บทท 5 การประมาณคา

หลงจากเกบรวบรวมขอมลเรยบรอยแลว การอธบายลกษณะของขอมลจากตวอยาง

จะอธบายจากคาสถตทเกยวของ ซงใชวธการวเคราะหขอมลในสวนของสถตพรรณนา ทงทจรงแลวสงทเราตองการเปนการอธบายลกษณะของขอมลในประชากร ซงจะอธบายจากคาพารามเตอรทเกยวของ ดงนนจงตองน าคาสถตทเกยวของกลบมาสรปคาพารามเตอรทสนใจ ซงการน าคาสถตมาสรปหรออางองคาพารามเตอรนนสามารถสรปไดหลายกรณ เชนประมาณคา ทดสอบสมมตฐาน ความสมพนธหรอการพยากรณคาพารามเตอร ดงนนวธการวเคราะหขอมลในสวนของสถตอางอง จงมหลากหลายวธ การเลอกใชวธการวเคราะหขอมลในงานวจยจงขนอยกบวตถประสงคของงานวจย และประเภทของขอมล ถาวตถประสงคของงานวจยตองการทราบวาคาพารามเตรอรมคาประมาณเทาไร วธการในการวเคราะหขอมลทเลอกใชคอ การประมาณคา (estimation)

ความหมายของการประมาณคา

พจารณาตวอยาง 5.1 และ 5.2 เพออธบายความหมายของค าวาการประมาณคา

ตวอยาง 5.1 ในการศกษาเกยวกบน าหนกการบรรจนมกระปองของเครองจกร A ประชากรทศกษาคอนมกระปองทบรรจโดยเครองจกร A ตวอยางคอนมกระปองทบรรจโดยเครองจกร A จ านวน 50 กระปอง และขอมลทเกบรวบรวมคอน าหนกการบรรจนมกระปอง (g)

ถาตองการทราบวาเครองจกร A บรรจนมกระปองหนกกระปองละกกรม คาทอธบายไดคอคาเฉลย หรอ พารามเตอร แตในทางปฏบตทราบเพยงคาสถต x

ถาตองการทราบวาเครองจกร A บรรจนมกระปองแตละกระปองหนกแตกตางกนกกรม คาทอธบายไดคอคาสวนเบยงเบนมาตรฐาน หรอ พารามเตอร แตในทางปฏบตทราบเพยงคาสถต s

ถาตองการทราบวาเครองจกร A บรรจนมกระปองทมน าหนกนอยกวา 10 กรมรอยละเทาใด คาทอธบายไดคอคาสดสวน หรอ พารามเตอร p แตในทางปฏบตทราบเพยงคาสถต p

132

ตวอยาง 5.2 ถาตองการศกษาเกยวกบน าหนกการบรรจนมกระปองของเครองจกร A และ B ประชากรทศกษากลมท 1 คอนมกระปองทบรรจโดยเครองจกร A ตวอยาง คอนมกระปองทบรรจโดยเครองจกร A จ านวน 50 กระปอง และขอมลทเกบรวบรวมคอน าหนกการบรรจนมกระปอง (g) ประชากรทศกษากลมท 2 คอนมกระปองทบรรจโดยเครองจกร B ตวอยาง คอนมกระปองทบรรจโดยเครองจกร B จ านวน 80 กระปอง และขอมลทเกบรวบรวมคอน าหนกการบรรจนมกระปอง (g)

ถาตองการทราบวาเครองจกร A และ B บรรจนมกระปองมน าหนกหนกตางกนกระปองละกกรม คาทอธบายไดคอผลตางของคาเฉลย หรอ พารามเตอร 21 แตในทางปฏบตทราบเพยงคาสถต 21 xx

ถาตองการทราบวาความแปรปรวนของน าหนกนมกระปองทบรรจโดยเครองจกร A

และ B มคาตางกนเทาใด คาทอธบายไดคออตราสวนของความแปรปรวน หรอ พารามเตอร 22

21

แตในทางปฏบตทราบเพยงคาสถต 22

21

s

s

ถาตองการทราบวาเครองจกร A และ B ทบรรจนมกระปองทมน าหนกนอยกวา 10 กรมตางกนรอยละเทาใด คาทอธบายไดคอคาผลตางของสดสวน หรอ พารามเตอร 21 pp แตในทางปฏบตทราบเพยงคาสถต 21

ˆˆ pp

จากตวอยาง 5.1 และ 5.2 จะเหนวาคาพารามเตอรทสามารถอธบายและตอบค าถามในประชากรทศกษามมากมาย ขนอยกบวาเรามค าถามอะไร และเมอตองการทราบคาพารามเตอรใดในทางปฏบตเราจะหาคาสถตทเกยวของ และน ามาประมาณคาพารามเตอรนน ดงน

ประชากร ตวอยาง

สมตวอยาง - คาเฉลย - ผลตางของคาเฉลย - ความแปรปรวน - สดสวน - ฯลฯ - คาเฉลย

- ผลตางของคาเฉลย - ความแปรปรวน - สดสวน - ฯลฯ

ประมาณคา

133

จากรปขางตนสามารถสรปไดวา การประมาณค า หมายถงการน าค าสถ ตกลบมาส รป หรออา ง อง เ กยวกบ

คาพารามเตอรทสนใจวามคาประมาณเทาไร หรออาจกลาวไดวาการประมาณคากคอการสรปคาพารามเตอรทสนใจโดยอาศยคาจรงจากตวอยาง หรอทเรยกวาคาสถตนนเอง

ประเภทของการประมาณคา

ในการประมาณคาพารามเตอรตาง ๆ นนจะมหลกการ และวธการตาง ๆ ทเหมอนกน จะแตกตางกนทสตรในการประมาณคาซงขนอยกบการแจกแจงของคาสถต ดงนนในสวนนเราจะศกษาเกยวกบหลกการและประเภทของการประมาณคาพารามเตอรซงม 2 ประเภท คอ

1. การประมาณคาแบบจด (point estimation) 2. การประมาณคาแบบชวง (interval estimation)

1. การประมาณคาแบบจด

การประมาณคาแบบจดเปนการประมาณคาพารามเตอรทสนใจดวยคาสถตเพยงคาเดยวเทานน นนคอ

พารามเตอร จะมคาประมาณเทากบคาสถต พารามเตอร 2 จะมคาประมาณเทากบคาสถต พารามเตอร จะมคาประมาณเทากบคาสถต พารามเตอร p จะมคาประมาณเทากบคาสถต p พารามเตอร 21 จะมคาประมาณเทากบคาสถต 21 xx พารามเตอร 21 pp จะมคาประมาณเทากบคาสถต 21 pp เปนตน และเรยก เปนตวประมาณคาแบบจดของ

เปนตวประมาณคาแบบจดของ 2

เปนตวประมาณคาแบบจดของ p เปนตวประมาณคาแบบจดของ p

21 xx เปนตวประมาณคาแบบจดของ 21

21 pp เปนตวประมาณคาแบบจดของ 21 pp เปนตน

x2s

s

x2s

s

134

จะเหนวาการประมาณคาประเภทน ประมาณคาพารามเตอรใหเทากบคาสถตทค านวณจากตวอยางกลมหนง ดงนนถากลมตวอยางเปลยนไปคาสถตจะเปลยนไปดวย การประมาณคาแบบจดจงเปนการประมาณคาพารามเตอรทมโอกาสเกดความคลาดเคลอนในการประมาณคามาก เพราะเปนไปไดยากทคาพารามเตอรจะมคาเทากบคาสถต เชน ผวาราชการจงหวดตองการทราบราคาน ามนในจงหวดนครปฐมวาในขณะนราคาประมาณกบาท จงใหลกนองออกไปส ารวจขอมล ลกนองไปส ารวจราคาน ามนของปมน ามน 10 แหง แลวหาราคาน ามนเฉลย ปรากฎวาได 32.30 บาท จงน าขอมลนไปเสนอผวาราชการจงหวดวาในขณะนราคาน ามนของจงหวดนครปฐมประมาณ 32.30 บาท ซงในความเปนจรงนนเปนไปไดยากทราคาน ามนจะมคาเทากบ 32.30 บาท จะเหนไดวาการประมาณคาแบบนมโอกาสเกดความคลาดเคลอนมาก จงควรใชกบขอมลทมการกระจายนอย เพอใหการประมาณคามความคลาดเคลอนนอยลงจงมการประมาณคาอกแบบ ดงน

2. การประมาณคาแบบชวง

การประมาณคาแบบชวงเปนการประมาณคาพารามเตอรดวยชวงของจ านวน 2 จ านวนซงมตวประมาณคาแบบจดอยกงกลางระหวางจ านวน 2 จ านวนนน

ตวอยาง 5.3 จากการประมาณคาราคาน ามนแบบจดไดเทากบ 32.30 บาท ถาใชการประมาณคาแบบชวงอาจน าเสนอขอมลใหผวาราชการจงหวดทราบวา ราคาน ามนของจงหวดนครปฐมมคาตงแต 31.30 ถง 33.30 บาท ซงค านวณไดจาก

00.130.3230.3330.3230.3100.130.32

00.130.32

บาท

จะเหนวาถาใชการประมาณคาแบบชวงโอกาสทราคาน ามนจะอยในชวง 11.30 ถง 13.30 บาทมมากกวาการประมาณดวยตวประมาณแบบจด จงท าใหความคลาดเคลอนในการประมาณคานอยลง

จากตวอยาง 5.1 สามารถเขยนชวงในการประมาณคาพารามเตอรทสนใจไดดงน UL

UL 2 UL UpL

UL 21 UppL 21

135

เมอ L คอ คาต าสด และ U คอคาสงสด ถาคาของ L และ U แตกตางกนมากกหมายความวาพารามเตอรทสนใจมคาทเปนไปไดมากในชวง L ถง U และถาคาของ L และ U แตกตางกนนอยกหมายความวาพารามเตอรทสนใจมคาทเปนไปไดนอยในชวง L ถง U ซงคา L และ U จะแตกตางกนมากหรอนอยขนอยกบคา ๆ หนงทก าหนดซงเรยกวาระดบความเชอมน (confidence level)

ระดบความเชอมน

ระดบความเชอมน หมายถง ความนาจะเปนทพารามเตอรจะมคาอยในชวงประมาณทสรางขน เขยนแทนดวยสญลกษณ 1 นนคอ

1)( UparameterLP

เชน ถาก าหนดระดบความเชอมน 95% หรอ 95.01 หมายความวาถาท าการประมาณคาพารามเตอรโดยการสมตวอยาง 100 กลม และสรางชวงในการประมาณคาพารามเตอร 100 ชวง จะมคาพารามเตอรอยในชวงทสรางขน 95 ชวง หรอโอกาสทพารามเตอรจะมคาอยในชวงประมาณทสรางขนเทากบ 95%

การประมาณคาของพารามเตอรทใชกนทวไปในการวเคราะหขอมลคอ การประมาณคาเฉลย ผลตางของคาเฉลย สดสวน และผลตางของสดสวน เปนตน ซงจะแตกตางกนทสตรในการค านวณหาคา L และ U

การประมาณคาพารามเตอรคาเฉลยของประชากร 1 กลม )(

1. การประมาณคาแบบจดของคาเฉลย

ตวประมาณแบบจดของ คอ n

xx

2. การประมาณคาแบบชวงของคาเฉลย

แบงออกเปน 2 กรณ คอ ทราบ 2 และ ไมทราบ 2 2.1 กรณทราบ 2 ถาสมตวอยางมาจากประชากรทมการแจกแจงแบบปกต (หรอ

อาจจะมการแจกแจงแบบใดกได ถาตวอยางมขนาดใหญ) เราสามารถสรางชวงของความเชอมน

136

ของ ไดโดยการพจารณาการแจกแจงคาจากตวอยางของ X ซงเราทราบวาการแจกแจงคาจากตวอยางของ X มการแจกแจงประมาณไดดวยการแจกแจงแบบปกต ดวยคาเฉลย

X และ

ความแปรปรวน

X n

22

ดงนน n

xZ

จะมการแจกแจงแบบปกตมาตรฐาน

ดงนนทระดบความเชอมน 100(1-)% ชวงในการประมาณคา คอ

nzx

nzx 22

เมอ x แทนคาเฉลย แทนสวนเบยงเบนมาตรฐาน z 2

แทนคาจากตารางการแจกแจงแบบปกตมาตรฐาน ขนอยกบคา 1

n แทนจ านวนตวอยาง

ในบางครงอาจเขยนชวงความเชอมนของ ดงน

nzx 2

หรอ

nzx

nzx 22

,

2.2 กรณไมทราบ 2 ในบางครงนนเราไมทราบความแปรปรวนของขอมลใน

ประชากร ถากรณทตวอยางมขนาดใหญ (n30) คา 1n

)xx(

s

n

1i

2i

2

จะเปนคาประมาณทด

ส าหรบคา 2 ดงนนเราจงใช s2 แทน 2 ได และ n

s

xZ

ยงคงมการแจกแจงแบบปกต

มาตรฐาน และการประมาณคาเฉลยของประชากรกยงคงเปนในรปแบบเดมเพยงแตใหแทนคา

ดวย s ชวงความเชอมนในการประมาณคา 100(1-)% ของ คอ

n

szx 2

137

แตถาตวอยางมขนาดเลก ( n < 30 ) คา s2 จะไมใชคาประมาณทดของ 2 อกตอไป

และ ( )x

sn

กจะไมใชตวแปรเชงสม Z ทมการแจกแจงแบบปกตมาตรฐานอกตอไป แต ( )x

sn

จะเปนตวแปรเชงสม T ทมการแจกแจงแบบ t โดยมองศาแหงความเปนอสระ (degrees of freedom) เทากบ n-1

ดงนนทระดบความเชอมน 100(1-)% ชวงในการประมาณคา คอ

nstx

nstx 1n21n2 ,,

เมอ x แทนคาเฉลย s แทนสวนเบยงเบนมาตรฐาน 1n,2t แทนคาจากตารางการแจกแจงแบบท ขนอยกบคา 1 n แทนจ านวนตวอยาง

ในบางครงอาจจะเขยนชวงความเชอมนของ ในรปของ

nstx 1n2 , หรอ

nstx

nstx 1n21n2 ,, ,

ตวอยาง 5.4 ส านกงานสถตเกบขอมลเกยวกบอายของผใชแรงงานในจงหวดนครปฐมเพอใชเปนขอมลในการก าหนดอตราคาแรงตอไป จงท าการสมตวอยางผทใชแรงงานมา 50 คน เพอสอบถามอาย ปรากฏขอมลดงน

45 38 22 58 40 42 43 32 34 19 19 21 33 16 49 29 30 43 37 62 65 57 60 41 28 35 37 51 37 26 43 26 27 31 33 24 34 28 39 38 33 27 42 40 31 34 38 35 29 33

จงหาชวงความเชอมน 90 % ของอายเฉลยของผใชแรงงาน

วธท า จากขอมลคาประมาณแบบจดของ คอ x และคาประมาณแบบจดของ 2 คอ s2

138

28.36

50

33223845

n

xx

13.11

49

)28.3633()28.3638()28.3645(

1n

)xx(s

222

2

ก าหนด แทนอายเฉลยของผใชแรงงานในจงหวดนครปฐม ชวงความเชอมน 90 % หมายความวา 100(1- )% = 90% ดงนน

1- = 0.90 = 1 – 0.90 = 0.1

จากตารางการแจกแจงแบบปกตมาตรฐานไดคา 645.1z 2 ดงนนชวงความเชอมน 90 % ของอายเฉลยของผใชแรงงาน คอ

589.228.36

)50

13.11)(645.1(28.36n

s2

zx

หรอ 869.38691.33 นนคอทระดบความเชอมน 90 % อายเฉลยของผใช

แรงงานในจงหวดนครปฐมอยในชวง 33.691 ป ถง 38.869 ป

ตวอยาง 5.5 สมนกศกษา 36 คนจากนกศกษาทลงทะเบยนเรยนวชาสถต พบวาผลการเรยนเฉลยเทากบ 2.6 และสวนเบยงเบนมาตรฐานของผลการเรยนเทากบ 0.3 จงหาชวงความเชอมน 95% และ 99% ส าหรบการประมาณผลการเรยนเฉลยของนกศกษาทงหมดทลงทะเบยนเรยนวชาสถต วธท า ก าหนด แทนคะแนนเฉลยของนกศกษาทลงทะเบยนเรยนวชาสถต เนองจากจ านวนนกศกษาเทากบ 36 มากกวา 30 ดงนนชวงความเชอมน 95 % ของผลการเรยนของนกศกษา คอ

139

098.06.2

)36

3.0)(96.1(6.2n

s2

zx

หรอ 698.2502.2 นนคอผลการเรยนเฉลยของนกศกษาทลงทะเบยนเรยนวชาหลกสถตอยในชวง 2.502 ถง 2.698 ทระดบความเชอมน 95%

ชวงความเชอมน 99 % ของผลการเรยนเฉลยของนกศกษา คอ

129.06.2

)36

3.0)(576.2(6.2n

szx 2

หรอ 729.2471.2 นนคอคอผลการเรยนเฉลยของนกศกษาทลงทะเบยนเรยนวชาหลกสถตอยในชวง 2.471 ถง 2.729 ทระดบความเชอมน 95%

หมายเหต เมอระดบความเชอมนสงขน ชวงในการประมาณคาพารามเตอรจะกวางขน นนหมายถงคาพารามเตอรทเปนไปไดจะมากขนดวย การน าผลการประมาณคาไปใชจะพจารณาล าบากขนดวย และถาระดบความเชอมนนอยลง ชวงในการประมาณคาพารามเตอรจะแคบลง นนหมายถงคาพารามเตอรทเปนไปไดนอยลง การน าผลการประมาณคาไปใชกพจารณาไดงายขน ดงนนการก าหนดระดบความเชอมนในการประมาณคาจงขนอยกบผประมาณคา หรอผใชผลการประมาณคาเปนหลก ตวอยาง 5.6 เจาของฟารมสนขแหงหนงตองการทราบระยะเวลาตงครรภของสนข จงท าการเลอกตวอยางสนขมา 15 ตว และจดบนทกระยะเวลาเปนวนทสนขตงครรภ โดยเรมนบตงแตวนแรกทสนขตงครรภจนถงวนทสนขคลอดลกปรากฏผลดงน

62.0 61.4 59.8 62.2 60.3 60.4 59.4 60.2 60.4 60.8 61.8 59.2 61.1 60.4 60.9

จงประมาณระยะเวลาเฉลยทสนขใชในการตงครรภ ทระดบความเชอมน 0.95 วธท า ก าหนด แทนระยะเวลาเฉลยทสนขตงครรภ ระดบความเชอมน 0.95 หมายความวา (1-) = 0.95 ดงนน = 0.05 จากการเปดตาราง t จะได 14,025.0t = 2.145 ดงนนชวงความเชอมน 95% ของระยะเวลาเฉลยทสนขใชในการตงครรภ คอ

140

5.069.60

)15

9.0)(145.2(69.60n

stx 1n,2

หรอ 19.6119.60 นนคอระยะเวลาเฉลยในการตงครรภของสนขอยในชวง 60.19 วน ถง 61.19 วน ทระดบความเชอมน 95%

ตวอยาง 5.7 การไดรบไนเตรท (nitrate) จากอาหารทบรโภคในปรมาณสงอาจท าใหเกดผลรายตอสงมชวต เชน ววจะใหนมไดนอยลง เพอศกษาเรองนผศกษาไดใสไนเตรทในน าดมจ านวน 2,000 ppm และใหหนทดลอง 9 ตวดมน าน เปอรเซนตน าหนกของหนทเพมขนไดรบการบนทกเปนดงน

12.7 19.3 20.5 10.5 14.0 10.8 16.6 14.0 17.2

สมมตใหน าหนกมการแจกแจงแบบปกต จงหาชวงความเชอมน 90% ของน าหนกเฉลยทเพมขนของหน วธท า ก าหนด แทนเปอรเซนตเฉลยของน าหนกหนทเพมขน ดงนนชวงความเชอมน 90% ของเปอรเซนตเฉลยของน าหนกทเพมขนมคาเปน

206.2067.15

9

)558.3(86.1067.15

nstx 1n,2

หรอ 273.17861.12 หมายความวาเมอไดรบไนเตรทเปอรเซนตเฉลยของน าหนกทเพมขนมคาตงแต 12.861% ถง17.273% ทระดบความเชอมน 90%

ตวอยาง 5.8 สถานวทยแหงหนงตองการทราบอายของผฟงรายการในสถานวทยแหงน จงท าการเกบรวบรวมขอมลจากผฟงจ านวน 81 คน ผลการวเคราะหขอมลเบองตน พบวาอายเฉลย 22 ป และสวนเบยงเบนมาตรฐาน 3 ป ทระดบความเชอมน 95 % อายเฉลยของผฟงรายการวทยของสถานแหงนประมาณกป วธท า คอ อายเฉลยของผฟงรายการในสถานวทย

ทระดบความเชอมน 95% ชวงในการประมาณคา คอ

65.022

)33.0)(96.1(22

)81

3)(96.1(22

n

szx 2

141

นนคอ 65.2235.21 หมายความวา ทระดบความเชอมน 95% อายเฉลยของผฟงรายการในสถานวทยแหงนอยในชวง 21.35 ถง 22.65 ป

ตวอยาง 5.9 เจาหนาทอนามยคนหนงตองการทราบน าหนกของเดกหญงอาย 15 ป ในหมบานทตนเองรบผดชอบ จงท าการสมตวอยางเดกหญงอาย 15 ป ในหมบานจ านวน 144 คน แลวชงน าหนก พบวาน าหนกเฉลย 40 กโลกรม สวนเบยงเบนมาตรฐาน 3 กโลกรม ทระดบความเชอมน 95 % น าหนกเฉลยของเดกหญงอาย 15 ป ในหมบานนอยในชวงกกโลกรม วธท า ก าหนด แทนน าหนกเฉลยของเดกหญงอาย 15 ป

ทระดบความเชอมน 95% ชวงในการประมาณคา คอ

49.040

)25.0)(96.1(40

)144

3(t40

n

stx 143,025.0

1n,2

นนคอ 49.4051.39 หมายความวา ทระดบความเชอมน 95% น าหนกเฉลยของเดกหญงอาย 15 ป ในหมบานนอยในชวง 39.51 ถง 40.49 กโลกรม

การประมาณคาพารามเตอรผลตางของคาเฉลยของประชากร 2 กลม )( 21

1. การประมาณคาแบบจดของผลตางของคาเฉลย ตวประมาณคาแบบจดของ 21 คอ 21 xx

เมอ 1

n

1i

i1

1n

x

x

1

และ

2

n

1i

i2

2n

x

x

2

2. การประมาณคาแบบชวงของผลตางของคาเฉลย

แบงออกเปน 3 กรณ คอ 1. ทราบ 2

1 และ 2

2 และประชากร 2 กลมเปนอสระกน

2. ไมทราบ 21

และ 22

และประชากร 2 กลมเปนอสระกน 3. ไมทราบ 2

1 และ 2

2 และประชากร 2 กลมไมเปนอสระกน

142

2.1 ทราบ 21

และ 22

ประชากร 2 กลมเปนอสระกน ถาสมตวอยางทเปนอสระขนาด n1 และ n2 โดยท n1 และ n2 มขนาดใหญจากประชากร 2 กลม ทมการแจกแจงแบบใด ๆ ดวยคาเฉลย และความแปรปรวน

1 12

2 22, , , ตามล าดบ จะไดวาการแจกแจงคาจากตวอยางของ

X X1 2 จะประมาณดวยการแจกแจงแบบปกตดวย

X X1 21 2

และ

2

22

1

212

XX nn21

และ

2

22

1

21

2121

nn

)()xx(Z

จะมการแจกแจงแบบปกตมาตรฐาน

ดงนนทระดบความเชอมน 100(1-)% ชวงในการประมาณ 21 คอ

2

22

1

21

2212

22

1

21

221nn

zxxnn

zxx

)()(

เมอ 1x แทนคาเฉลยของตวอยางกลมท 1 2x แทนคาเฉลยของตวอยางกลมท 2 2

1 แทนความแปรปรวนของประชากรกลมท 1 2

2 แทนความแปรปรวนของประชากรกลมท 2 z

2 แทนคาจากตารางการแจกแจงแบบปกตมาตรฐาน ขนอยกบคา 1

n1 แทนจ านวนตวอยางกลมท 1 n2 แทนจ านวนตวอยางกลมท 2

ในบางครงอาจจะเขยนชวงความเชอมนของ 21 ในรปของ

2

22

1

21

221nn

zxx

)( หรอ

2

22

1

21

2212

22

1

21

221nn

zxxnn

zxx

)(,)(

หมายเหต ถาไมทราบความแปรปรวนของประชากรทง 2 กลม และตวอยางทเลอกมามขนาดใหญ นนคอ จ านวนตวอยางมากกวา 30 สามารถใชคา 2s ของตวอยางแตละกลม ประมาณคา 2 ได

และชวงในการประมาณคา 21

คอ 2

22

1

21

221n

s

n

szxx )(

143

ตวอยาง 5.10 ขอสอบมาตรฐานชดหนงถกใชน าไปทดสอบกบนกเรยนหญง 50 คนและนกเรยนชาย 75 คน นกเรยนหญงไดคะแนนเฉลย 76 คะแนน สวนเบยงเบนมาตรฐาน 6 คะแนน นกเรยนชายไดคะแนนเฉลย 82 คะแนน สวนเบยงเบนมาตรฐาน 8 คะแนน จงหาชวงความเชอมน 96% ของผลตางของคะแนนเฉลยของนกเรยนชายกบนกเรยนหญง วธท า ก าหนด

1 แทนคะแนนเฉลยของนกเรยนชาย

2

แทนคะแนนเฉลยของนกเรยนหญง ชวงความเชอมน 96% หมายความวา 100(1-)% = 96 % 1- = 0.96

= 1-0.96 = 0.04

6s76x50n

8s82x75n

222

111

จากตารางการแจกแจงแบบปกตมาตรฐานจะไดคา 054.2z2

(โดยการเทยบ

บญญตไตรยางค) ดงนนชวงความเชอมน 96% ของผลตางของคะแนนเฉลยของนกเรยนชายกบนกเรยน

หญง คอ

58.26

50

36

75

64)054.2()7682(

n

s

n

sz)xx(

2

22

1

21

221

หรอ 58.842.321 นนคอนกเรยนชายกบนกเรยนหญงสอบไดคะแนน

แตกตางกนประมาณ 3.42 ถง 8.58 คะแนน 2.2 ไมทราบ 2

1 และ 2

2 ประชากร 2 กลมเปนอสระกน ในกรณทไมทราบ 2

และตวอยางมขนาดเลกถกสมมาจากประชากรทประมาณไดดวยการแจกแจงแบบปกต การแจกแจงคาจากตวอยางของ

21XX จะมการแจกแจงแบบ t ดวยองศาแหงความเปนอสระเทากบ n-1

2.2.1 ในกรณทไมทราบ 2 แตทราบวา 222

21

เราจะประมาณ 2 ดวยความแปรปรวนรวมจากตวอยาง 2

ps โดยท

2nn

s1ns1ns

21

222

2112

p

)()(

ดงนน

144

21p

2121

n

1

n

1s

xxT

)()(

จะเปนตวแปรเชงสม T ทมการแจกแจงแบบ t ดวยองศาแหงความเปนอสระ 2nn

21 และในท านองเดยวกนกบการหาชวงความเชอมนในกรณททราบความแปรปรวน

ของประชากรทงสองกลม

ดงนนทระดบความเชอมน100(1-)% ชวงในการประมาณคา 21 คอ

21p2nn221

21p2nn221

n

1

n

1stxx

n

1

n

1stxx

2121 ),(),( )()(

เมอ 1x แทนคาเฉลยของตวอยางกลมท 1 2x แทนคาเฉลยของตวอยางกลมท 2 2nn,2 21

t แทนคาจากตารางการแจกแจงแบบท ขนอยกบคา 1 n1 แทนจ านวนตวอยางกลมท 1 n2 แทนจ านวนตวอยางกลมท 2

ps แทนสวนเบยงเบนมาตรฐานรวม และ 2nn

s)1n(s)1n(s

21

222

211

p

ในบางครงอาจจะเขยนชวงความเชอมนของ 21 ในรปของ

21p2nn221

n

1

n

1stxx

21 ),()( หรอ

21p2nn221

21p2nn221

n

1

n

1stxx

n

1

n

1stxx

2121 ),(),( )(,)(

2.2.2 ในกรณทไมทราบ 2 แตทราบวา 22

21

และตวอยางมขนาดเลก จะไดวา

2

22

1

21

2121

n

s

n

s

)()xx(T

โดยท T มการแจกแจงแบบ t ดวยองศาแหงความเปนอสระ ซงมคาเปน

145

1n

ns

1n

ns

n

s

n

s

2

2

222

1

2

121

2

2

22

1

21

]

ดงนนทระดบความเชอมน100(1-)% ชวงในการประมาณคา 21 คอ

2

22

1

21

),2(212

22

1

21

),2(21n

s

n

st)xx(

n

s

n

st)xx(

เมอ 1x แทนคาเฉลยของตวอยางกลมท 1 2x แทนคาเฉลยของตวอยางกลมท 2 2

1s แทนสวนเบยงเบนมาตรฐานของตวอยางกลมท 1 2

2s แทนสวนเบยงเบนมาตรฐานของตวอยางกลมท 2 ,t 2 แทนคาจากตารางการแจกแจงแบบปกตมาตรฐาน ขนอยกบคา 1

n1 แทนจ านวนตวอยางกลมท 1 n2 แทนจ านวนตวอยางกลมท 2

ในบางครงอาจจะเขยนชวงความเชอมนของ 21 ในรปของ

2

22

1

21

),2(21n

s

n

stxx หรอ

2

22

1

21

),2(212

22

1

21

),2(21n

s

n

st)xx(,

n

s

n

st)xx(

ตวอยาง 5.11 ในการศกษาวธการสอน 2 แบบกบนกศกษามหาวทยาลยราชภฏนครปฐมจงท าการทดลองสอนกบนกศกษา 2 กลม โดยกลมแรกใชวธการสอน A กบนกศกษาจ านวน 12 คน และกลมท 2 ใชวธการสอน B กบนกศกษาจ านวน 10 คน จากการใหทดสอบดวยขอสอบเดยวกนปรากฏวา กลมแรกไดคะแนนเฉลย 85 คะแนน สวนเบยงเบนมาตรฐาน 4 คะแนน สวนกลมท 2 ไดคะแนนเฉลย 81 คะแนน สวนเบยงเบนมาตรฐาน 5 คะแนน จงหาชวงความเชอมน 90% ในการประมาณผลตางระหวางคะแนนเฉลยของนกศกษามหาวทยาลยราชภฏนครปฐมทง 2 กลม โดยสมมตวาประชากรทงสองกลมมการแจกแจงแบบปกตดวยความแปรปรวนเทากน

146

วธท า ก าหนด 1

แทนคะแนนเฉลยของนกศกษาทงหมดทใชวธการสอน A

2 แทนคะแนนเฉลยของนกศกษาทงหมดทใชวธการสอน B

10n12n5s4s81x85x 212121 ในทน 22

221

ดงนนจะประมาณ 2 ดวย 2p

s โดยท

4784s

0520

21012

2591611

2nn

s1ns1ns

p

21

212

2112

p

.

.

))(())((

)()(

ชวงความเชอมน 90% หมายความวา = 0.1 7251tt 2005022n1n2 .),.(),( ดงน นชวงความเ ชอมน 90%ของผลตางระหวางคะแนนเฉลยของนกศกษา

มหาวทยาลยราชภฏนครปฐมทง 2 กลม คอ

78.34

)49.0)(72.7(4

10

1

12

1)478.4)(725.1()8185(

n

1

n

1st)xx(

21p)2nn,2(21 21

นนคอ 78.722.0 หมายความวาผลตางระหวางคะแนนเฉลยของนกศกษามหาวทยาลยราชภฏนครปฐมทใชวธการสอน A กบ B อยในชวง 0.22 คะแนน กบ 7.78 คะแนน ทระดบความเชอมน 90%

ตวอยาง 5.12 จากตวอยาง 5.11 ถาขอสมมตทวาความแปรปรวนของประชากรทง 2 กลมเทากน ไมเปนจรงแลว จงหาชวงความเชอมน 95% ของ

21

องศาแหงความเปนอสระ คอ

1596.14

19

1025

112

1216

101216

1n

ns

1n

ns

n

s

n

s

22

2

2

2

222

1

2

121

2

2

22

1

21

147

ดงนน 131.2tt 15,025.0,2 จะไดชวงความเชอมน 95% ของ

21 คอ

33.44

)03.2)(131.2(4

9

25

12

16)131.2()8185(

n

s

n

stxx

2

22

1

21

),2(21

หมายความวาผลตางระหวางคะแนนเฉลยของนกศกษามหาวทยาลยราชภฏนครปฐมทใชวธการสอน A กบ B อยในชวง –0.33 คะแนน กบ 8.33 คะแนน ทระดบความเชอมน 95 %

2.3 ไมทราบ 21

และ 22

ประชากร 2 กลมไมเปนอสระกน ในหวขอทผานมาเปนการประมาณคาแบบชวงของผลตางของคาเฉลยของประชากร 2 กลมทเปนอสระกน นนคอตวอยางทสมมาจากประชากรกลมท 1 เปนอสระจากตวอยางทสมมาจากประชากรกลมท 2 ซงเมอรวมขนาดของตวอยางแลวจะมขนาด 21 nn แตในการทดลองบางประเภท เชนการควบคมอาหารใหถกวธจะชวยลดน าหนกไดอยางมประสทธภาพเพยงใด โดยเปรยบเทยบน าหนกกอน และหลงควบคม หรอการเปรยบเทยบผลการเรยนของนกศกษาในปสดทายกอนทจะจบ กบปแรกทเรมเขาเปนนกศกษาใหมวาแตกตางกนหรอไม เปนตน การทดลองเหลานจะใชขนาดตวอยางเพยงแค n เทานนส าหรบการทดลอง ซงแตละตวอยางจะมขอมล 2 คา เชนน าหนกกอนการควบคม และน าหนกหลงการควบคม ผลการเรยนของนกศกษาในปสดทายกอนทจะจบ และปแรกทเรมเขาเปนนกศกษาใหม คะแนนกอนเรยนและหลงเรยน ปรมาณเชอแบคทเรยในอาหารเมอเวลาผานไป 1 และ 2 ชวโมง เปนตน

ขอมลในลกษณะเชนนจะเปนขอมลของตวยางทมาจากประชากรเพยงกลมเดยวแตมการรวบรวมขอมล 2 ครง ซงถอวาขอมล 2 กลมนไมเปนอสระกน หรอเรยกวา ขอมลค (pair data) การประมาณคาผลตางของคาเฉลยของประชากร 2 กลมในลกษณะนเรยกวาการประมาณคาเฉลยของผลตางระหวาง 2 ประชากรโดยวธการจบค หรอการประมาณคาเฉลยของผลตางระหวาง 2 ประชากรทไมเปนอสระกน

ก าหนดให i1x และ i2x เปนขอมลของตวอยางกลมท 1 (กอน) และกลมท 2

(หลง) และ i2i1i xxd เปนผลตางของขอมลแตละค เมอ i = 1,…, n ลกษณะของขอมลเปนดงน

148

กลมท 1 ( กอน )

i1x

กลมท 2 (หลง)

i2x

ผลตาง

i2i1i xxd

11x 21x 21111 xxd

12x 22x 22122 xxd 13x 23x 23133 xxd

n1x n2x n2n1n xxd

จะเหนวา n21 d,,d,d เปนตวแปรสม ทมาจากประชากรทมการแจกแจงแบบปกตทมคาเฉลย d และไมทราบความแปรปรวน 2

d ดวยวธการเชนเดยวกบการประมาณคาแบบชวง

ของคาเฉลยของประชากร 1 กลม จะไดชวงความเชอมนในการประมาณคา 21d ดงน

ทระดบความเชอมน100(1-)% ชวงในการประมาณคา d คอ

n

std

n

std d

1n,2dd

1n,2

เมอ d แทนคาเฉลยของผลตาง และ n

d

d

n

1i

i

ds แทนสวนเบยงเบนมาตรฐานของผลตาง และ

1n

dd

s

n

1i

2i

d

1n,2t แทนคาจากตารางการแจกแจงแบบท ขนอยกบคา 1 n แทนจ านวนคตวอยาง

ในบางครงอาจจะเขยนชวงความเชอมนของ d ในรปของ

n

std d

1n,2

หรอ

n

std,

n

std d

1n,2d

1n,2

ตวอยาง 5.13 นกจตวทยาผหนงตองการเปรยบเทยบวธการวดระดบ IQ 2 วธ จงเลอกตวอยางเดกมา 8 คน แลวทดสอบวด IQ ดวยวธการวดแบบท 1 เวนระยะเวลาพอประมาณแลวทดสอบวด IQ ดวยวธการวดแบบท 2 กบเดกกลมเดม ไดผลดงตารางดานลาง จงประมาณคาเฉลยของความแตกตางของระดบ IQ ทระดบความเชอมน 99 %

149

คนท ระดบ IQ ผลตาง วธท 1 วธท 2

1 77 72 5 2 74 68 6 3 82 76 6 4 73 68 5 5 87 84 3 6 69 68 1 7 66 61 5 8 80 76 4 35d

37548

35

n

dd

i.

83927

375443754637545

1n

dd

s222

n

1i

2i

2

d.

).().().()(

วธท า ก าหนด d แทนคาเฉลยของความแตกตางของระดบ IQ ชวงความเชอมน 99% ของ d คอ

085.2375.4

)596.0()499.3(375.4

8

685.1t375.4

n

std 7,005.0

d

1n,2

ดงนน 466292 d .. หมายความวาทระดบความเชอมน 99 % วธการวดระดบ IQ วธท 1 วดระดบ IQ สงกวาวธท 2 ประมาณ 2.29 ถง 6.46 คะแนน

150

การประมาณคาสดสวนของประชากร 1 กลม )p(

ในบางครงเราอาจสนใจลกษณะของประชากรเกยวกบรอยละของลกษณะทสนใจ เชนรอยละของผทนยมชมชอบการสอสารดวย MSN รอยละของลกคาทชอบใชยาสฟนทผสมเกลอ หรอรอยละผลตภณฑทไมไดมาตรฐานเปนตน ซงการจะตอบค าถามเหลานไดตองทราบจ านวนของลกษณะทสนใจแลวเทยบกบจ านวนทงหมด หรอทเราเรยกวาคาสดสวนของสงทสนใจ โดยทวไปการหาคาสดสวนของสงทสนใจมกใชกบขอมลเชงคณภาพมากกวาขอมลเชงปรมาณ หรอถาเปนขอมลเชงปรมาณกเปนขอมลเชงปรมาณทเกบเปนชวง ๆ

1. การประมาณคาแบบจดของสดสวน

ตวประมาณคาแบบจดของ p คอ p โดยท

p =

2. การประมาณคาแบบชวงของสดสวน

ชวงความเชอมนของ p เมอขอมลมการแจกแจงแบบปกต หรอใกลเคยงปกต และตวอยางมจ านวนมากจนท าให )ˆ(ˆ p1npn และ มคามากกวาหรอเทากบ 5 เปนดงน

ทระดบความเชอมน %)( 1001 ชวงในการประมาณคา p คอ

n

p1pzpp

n

p1pzp

22

)ˆ(ˆˆ

)ˆ(ˆˆ

เมอ p แทนสดสวนของตวอยางทสนใจ

2

z แทนคาจากตารางการแจกแจงแบบปกตมาตรฐาน มคาขนอยกบ 1

n แทนจ านวนตวอยาง

ในบางครงอาจจะเขยนชวงความเชอมนของ p ในรปของ

n

)p1(pzp

2

หรอ

n

)p1(pzp,

n

)p1(pzp

22

จ านวนตวอยางทสนใจ จ านวนตวอยางทงหมด

151

ตวอยาง 5.14 ในการเลอกตวอยางผใชรถยนตสวนบคคลจ านวน 100 คน เพอสอบถามยหอรถคนตอไปถาเขาจะเปลยนรถคนทใชอยในปจจบน ปรากฏวามอย 30 คนทตองการเปลยนไปใชรถยหอ A ทระดบความเชอมน 90% จงประมาณคาสดสวนของผใชรถยนตสวนบคคลทจะเปลยนไปใชรถยหอ A ในการเปลยนรถครงตอไป วธท า ก าหนด p คอสดสวนของผใชรถยนตสวนบคคลทจะเปลยนไปใชรถยหอ A ดงนน

p =

= 10030

= 0.30

เนองจาก 70)70.0(100)pn(1;30)30.0)(100(pn มากกวา 5

ดงนนทระดบความเชอมน 90% ชวงในการประมาณคา p คอ

07.030.0100

)70.0)(30.0()645.1(30.0

n)p(1p

zp2α

นนคอ 37.0p23.0 หมายความวาทระดบความเชอมน 90% สดสวนของผใชรถยนตสวนบคคลทจะเปลยนไปใชรถยหอ A ในครงตอไปอยในชวง 23% ถง 37%

ตวอยาง 5.15 บรษทขายเครองส าอางคยหอ tell me ตองการทราบวาผหญงไทยใชเครองส าอางคยหอนประมาณกเปอรเซนต จงสมตวอยางผหญงไทยมา 500 คน ปรากฏวามผใชเครองส าอางคยหอน 95 คน ใหตอบค าถามของบรษททระดบความเชอมน 95% วธท า ก าหนด p แทนสดสวนของผหญงไทยใชเครองส าอางคยหอ tell me

p =

= 500

95

= 0.19

จ านวนผใชรถยนตสวนบคคลทจะเปลยนไปใชรถยหอ A

จ านวนตวอยางทงหมด

จ านวนตวอยางทงหมด จ านวนผใชเครองส าอางคยหอ tell me

152

เนองจาก 405810500p1n95190500pn ).()ˆ(;).)((ˆ มากกวา 5 ดงนน ทระดบความเชอมน 95% ชวงในการประมาณคา p คอ

03430190

01750961190

500

810190961190

n

p1pzp

2

..

).)(.(.

).)(.().(.

)ˆ(ˆˆ

นนคอ 22430p15570 .. หมายความวาทระดบความเชอมน 90% มผหญงไทยใชเครองส าอางยหอ tell me ประมาณรอยละ 15.57 ถง 22.43

การประมาณคาผลตางของสดสวนของประชากร 2 กลม )( 21 pp

1. การประมาณคาแบบจดของผลตางของสดสวน

ตวประมาณคาแบบจดของ 21 pp คอ 21 pp ˆˆ โดยท

1p =

2p =

2. การประมาณคาแบบชวงของผลตางของสดสวน

ชวงความเชอมนของ 21 pp เมอขอมลมการแจกแจงแบบปกต หรอใกลเคยงปกต และตวอยางมจ านวนมากจนท าให )p1(n,pn 1111 และ )p1(n,pn 2222 มคามากกวาหรอเทากบ 5 เปนดงน

ทระดบความเชอมน %)( 1001 ชวงในการประมาณคา 21 pp คอ

2

22

1

11

2

21212

22

1

11

2

21n

p1p

n

p1pzpppp

n

p1p

n

p1pzpp

)ˆ(ˆ)ˆ(ˆˆˆ

)ˆ(ˆ)ˆ(ˆˆˆ

จ านวนตวอยางกลมท 1 จ านวนตวอยางทสนใจในประชากรกลมท 1

จ านวนตวอยางกลมท 2 จ านวนตวอยางทสนใจในประชากรกลมท 2

153

เมอ 1p แทนสดสวนของตวอยางทสนใจในตวอยางกลมท 1

2p แทนสดสวนของตวอยางทสนใจในตวอยางกลมท 2

2

z แทนคาจากตารางการแจกแจงแบบปกตมาตรฐาน มคาขนอยกบ 1

n1 แทนจ านวนตวอยางกลมท 1 n2 แทนจ านวนตวอยางกลมท 2

บางครงอาจเขยนชวงความเชอมนของ 21 pp ในรปของ

2

22

1

11

2

21n

p1p

n

p1pzpp

)ˆ(ˆ)ˆ(ˆˆˆ

หรอ

2

22

1

11

2

212

22

1

11

2

21n

)p1(p

n

)p1(pzpp,

n

)p1(p

n

)p1(pzpp

ตวอยาง 5.16 ในการหยงเสยงการลงคะแนนของผมสทธเลอกตงของเขต 1 และเขต 2 ทมตอผสมครเบอร 1 จงท าการสมตวอยางผมสทธเลอกตงจากเขต 1 จ านวน 300 คน และเขต 2 จ านวน 200 คน พบวาในเขต 1 มผลงคะแนนใหเบอร 1 จ านวน 168 คน และเขต 2 จ านวน96 คน ทระดบความเชอมน 90% สดสวนของผลงคะแนนใหผสมครเบอร 1 ในเขต 1 ตางจากเขต 2 ประมาณเทาไร วธท า ก าหนด p1 แทนสดสวนของผลงคะแนนใหผสมครเบอร 1 ในเขต 1 p2 แทนสดสวนของผลงคะแนนใหผสมครเบอร 1 ในเขต 2

ดงนน

560

300

168

n

ap

1

11

.

ˆ

และ 480

200

96

n

ap

2

22

.

ˆ

เนองจาก 132p1n168pn 1111 )ˆ(,ˆ และ 104p1n96pn 2222 )ˆ(,ˆ มคามากกวาหรอเทากบ 5 ดงนน

154

ทระดบความเชอมน 90% ชวงในการประมาณคา 21 pp คอ

2

22

1

11

2

21n

p1p

n

p1pzpp

)ˆ(ˆ)ˆ(ˆˆˆ

200

520480

300

4405606451480560

).)(.().)(.().()..(

0730080

04506451080

..

).)(.(.

นนคอ 15302p1p0070 .. หมายความวาสดสวนของผลงคะแนนใหผสมครเบอร 1 ในเขต 1 ตางจากเขต 2 ประมาณ 0.007 ถง 0.153 ทระดบความเชอมน 90 %

การใชโปรแกรมส าเรจรป

ตวอยาง 5.17 ส านกงานสถตเกบขอมลเกยวกบอายของผใชแรงงานในจงหวดนครปฐมเพอใชเปนขอมลในการก าหนดอตราคาแรงตอไป จงท าการสมตวอยางผทใชแรงงานมา 50 คน เพอหาอายเฉลย ปรากฏขอมลดงตาตารางดานลาง จงหาชวงความเชอมน 90 % ของอายเฉลยของผใชแรงงาน ดวย Microsoft Excel

45 38 22 58 40 42 43 32 34 19 19 21 33 16 49 29 30 43 37 62 65 57 60 41 28 35 37 51 37 26 43 26 27 31 33 24 34 28 39 38 33 27 42 40 31 34 38 35 29 33

ขนตอนท 1 ใสขอมลใน Microsoft Excel เลอกเมน Data เลอก Data Analysis

155

ขนตอนท 2 ในหนาตาง Data Analysis เลอก Descriptive Statistics

ขนตอนท 3 ใสรายละเอยดในสวนตาง ๆ ดงรป

ขนตอนท 4 จะไดผลลพธ ดงรป

156

ก าหนด แทนอายเฉลยของผใชแรงงานในจงหวดนครปฐม ทระดบความเชอมน 90 % ชวงในการประมาณคา คอ

6422836n

stx

1n2

..,

นนคอ 92386433 .. หมายความวาอายเฉลยของผใชแรงงานในจงหวดนครปฐมประมาณ 33.64 ถง 38.92 ป ทระดบความเชอมน 90%

สรปทายบท

การประมาณคาเปนวธการแรกของการวเคราะหขอมลในสวนสถตอางองซงเปนการประมาณคาพารามเตอรทสนใจจากคาสถตของตวอยางทเลอกมาเปนตวแทนของประชากร โดยทวไปการประมาณคาพารามเตอรใด ๆ ม 2 วธ คอการประมาณคาแบบจด และการประมาณคาแบบชวงมขอดและขอเสยแตกตางกนไป การประมาณคาแบบจดนนสะดวกและงาย แตโอกาสทจะประมาณคาผดพลาดจากความเปนจรงมากในขณะทการประมาณคาแบบชวงนนมโอกาสทจะประมาณคาผดพลาดจากความเปนจรงนอยลง แตกยงยากกวา ดงนนควรระมดระวงในการเลอกวธการประมาณคา

แบบฝกหดทายบท

1. สมตวอยางขนาด 9 จากประชากรทมการแจกแจงแบบ N( ,25) จากตวอยางทม 70x จงประมาณชวงความเชอมนของ โดยก าหนดระดบความเชอมน ดงน 1.1 ระดบความเชอมน 99% 1.2 ระดบความเชอมน 95% 1.3 ระดบความเชอมน 80%

2. เพอประมาณคาเฉลยของเสนผานศนยกลางของลกปนของบรษทแหงหนง จงสมตวอยางลกปน 200 ลก ปรากฏวาไดคาเฉลยเปน0.824 นว สวนเบยงเบนมาตรฐาน 0.042 นว จงหาชวงความเชอมน 95% และ 98%

157

3. สมตวอยางหลอดไฟ 25 หลอด จากบรรดาหลอดไฟ 40 วตต รนหนง ปรากฏวาไดอายเฉลยในการใชงาน 1,410 ชวโมง สวนเบยงเบนมาตรฐาน 200 ชวโมง สมมตวาอายการใชงานของหลอดไฟมการแจกแจงแบบปกต จงประมาณคาอายการใชงานเฉลยของหลอดไฟ 40 วตต ทระดบความเชอมน 0.95

4. ในการผลตแผนเหลกไรสนมใหมคณภาพนน จะตองมการตรวจสอบผลตภณฑอยางสม าเสมอ เมอตรวจสอบเหลกไรสนมชนดแผนกวาง ชนดทมความกวาง 660 มม. จ านวน 25 แผน ในชวงสปดาหหนง พบวาคาเฉลยของความกวาง เทากบ 662 มม. ความแปรปรวนเทากบ 16 จงหา 4.1 ชวงความเชอมน 90% ของ 4.2 โดยไมตองแสดงคาของชวงความเชอมน ถาเปลยนจาก 90% เปน 99% จะมผลเชนใดกบ

ชวงทสรางขนใหมน 5. สมตวอยางขนาด 16 จากประชากรกลม 1 ทมการแจกแจงแบบปกต ( 1 ,7) โดย 42X

1 สม

ตวอยางขนาด 25 จากประชากรกลม 2 ทมการแจกแจงแบบปกต ( 2 ,9) โดย 31X2 จงหา

ชวงความเชอมน 90% ของ 21 6. อาจารยสอนสถตเบองตนผหนงสอนวชานใหแกนกเรยน 2 กลม กลมแรกมนกเรยน 10 คน

กลมทสอง 13 คน อาจารยใชวธการสอบโดยสอบทกสปดาหกบนกเรยนกลมแรก และสอบสอบกลางภาคเพยงครงเดยวกบนกเรยนกลมท 2 และขอสอบปลายภาคใชชดเดยวกน ปรากฏวาคะแนนเฉลยของนกเรยนกลมแรก คอ 80 คะแนน คาเบยงเบนมาตรฐาน 10 คะแนน คะแนนเฉลยของนกเรยนกลมท 2 คอ 82 คะแนน คาเบยงเบนมาตรฐาน 12 คะแนน ถาสมมตวา ความแปรปรวนของคะแนนของนกเรยนทงสองกลมเทากน จงหา 6.1 ชวงความเชอมน 90% ของ 21 6.2 ถาขอสมมตขางตนไมเปนจรง จงหาชวงความเชอมน 90% ของ 21

7. การตรวจวดระดบกรดยรกผปวยชายในกลมอายหนงทเปนโรคประสาทจ านวน 12 คน ไดคาเฉลยระดบกรดยรกเทากบ 4.5 มลลกรมตอ 100 มลลลตร และจากการตรวจวดระดบกรดยรกผปวยหญงในกลมอายเดยวกนกบผปวยชายทเปนโรคประสาทจ านวน 15 คน ไดคาเฉลยระดบกรดยรกเทากบ 3.4 มลลกรมตอ 100 มลลลตร ถาปรมาณกรดยรกในประชากรทงสองมการแจกแจงแบบปกต โดยทประชากรทงสองมความแปรปรวนเทากบ 1 เทากน จงสรางชวงความเชอมน 95% ของการประมาณความแตกตางระหวางปรมาณระดบกรดยรกโดยเฉลยในผปวยชายและผปวยหญงทเปนโรคประสาทในกลมอายเดยวกน

158

8. การทดลองเพอเปรยบเทยบการละลายของสารชนดหนงดวยตวท าละลาย 2 ชนด คอ A และ B โดยแตละครงของการทดลองใชสารทดลอง 100 มลลกรม ตวท าละลาย 50 เซนตลตร เมอทดลองดวยตวท าละลายชนด A จ านวน 9 ครง พบวา ไดน าหนกสารทละลายเฉลย 64 มลลกรม สวนเบยงเบนมาตรฐาน 6 มลลกรม ทดลองดวยตวท าละลายชนด B จ านวน 14 ครง พบวา ไดน าหนกสารทละลายเฉลย 49 มลลกรม สวนเบยงเบนมาตรฐาน 5 มลลกรม ถาความแปรปรวนของน าหนกสารทละลายดวยตวท าละลายทงสองชนดเทากน จงหาชวงความเชอมน 95% ของการประมาณความแตกตางของน าหนกเฉลยของสารทละลายโดยใชตวท าละลายทงสองชนด

9. ผผลตรองเทากฬารายหนงตองการทราบวาลกคามความนยมในรองเทากฬาทผลตหรอไม จงท าการส ารวจผซอรองเทากฬาทงหมด 500 คน พบวามลกคา 60% ทนยมในรองเทากฬาทผลต อยากทราบวาทระดบความเชอมน 0.90 สดสวนของลกคาทนยมในรองเทากฬาทผลตเปนเทาใด

10. เพอทดสอบเชอไวรสชนดหนงทฉดเขาไปในกระตายวาท าใหกระตายทไดรบเชอนมโอกาสเปนเนองอกทหนาอกในอตรารอยละเทาไร ผท าการวจยจงไดสมตวอยางกระตายทไดรบเชอนมา 128 ตว แลวท าการตรวจสอบ ปรากฎวามอย 72 ตว ทเปนเนองอกทหนาอก จงประมาณคาสดสวนของกระตายทงหมดทไดรบเชอไวรสนแลวจะเปนเนองอกทหนาอก โดยใชชวงความเชอมน 95%

11. ในการทดลองเพอทดสอบประสทธภาพของยาทใชรกษาหม โดยแบงหมทเปนโรคชนดหนงออกเปน 2 กลม ๆ ละ 100 ตว และทดลองใหยาแกหมกลมท 1 แตไมใหยาแกหมกลมท 2 นอกจากนนไดควบคมตวแปรอน ๆ ใหมความสม าเสมอกนทงสองกลม จากการทดลองพบวาหมกลมท 1 หายจากโรค 75 ตว สวนหมกลมท 2 หายจากโรค 65 ตว ทระดบความเชอมน 95% สดสวนของหมกลมท 1 ทหายจากการเปนโรคตางจากหมกลมท 2 ประมาณเทาไร

12. จากการสมตวอยางผลงคะแนนเสยงเลอกตงสมาชกสภาผแทนราษฎรของจงหวดสงขลาครงหนง จากอ าเภอเมอง 300 คน และอ าเภอระโนด 200 คน พบวา ม 56% และ 48% ตามล าดบ ทเลอกผสมครรบเลอกตงเบอร 1 จงหาชวงความเชอมน 95% ของความแตกตางระหวางสดสวนทผลงคะแนนเลอกผสมครรบเลอกตงเบอร 1 ของทงสองอ าเภอน