บทท 9 การวเคราะหความแปรปรวน

ในการทดสอบสมมตฐานเกยวกบคาเฉลยของประชากร 1 กลม และ 2 กลม ตวสถต

ทดสอบทใชคอ Z หรอ T โดยการเลอกใชตวสถตทดสอบใดขนอยกบวาทราบความแปรปรวนของขอมลในประชากรนนหรอไม ตวอยางมขนาดใหญ หรอเลก แตในกรณทท าการศกษาประชากรมากกวา 2 กลม และตองการทดสอบสมมตฐานวาคาเฉลยของประชากรแตละกลมนนแตกตางกนหรอไมจะตองทดสอบสมมตฐานทละค เชนในการทดสอบสมมตฐานเกยวกบคาเฉลยของประชากร 3 กลม จะตองท าการทดสอบสมมตฐานทละค จ านวน 3 ครง ดงน

211

210

:H

:H

311

310

:H

:H

321

320

:H

:H

ซงจะท าใหเสยเวลาในการทดสอบสมมตฐานทซ าซอนเปนอยางมาก และประการส าคญคอเปนการท าคาระดบนยส าคญมคามากเกนไป ดงนนจงมการน าเทคนคการวเคราะหความแปรปรวน (Analysis of Variance: ANOVA) ซงเปนการวเคราะหขอมลทใชในการทดสอบสมมตฐานเกยวกบความแตกตางของคาเฉลยกรณประชากรมากกวา 2 กลม (k กลม) โดยท าการทดสอบเพยงครงเดยว เชนกรณประชากร 3 กลม สมมตฐานเชงสถตเปนดงน

ค 1 อยางนอย3211

3210

:H

:H

ถาผลการทดสอบสมมตฐานปฏเสธ H0 หมายความวามคาเฉลยอยางนอย 1 คทมคาแตกตางกน ซงอาจจะเปน 21 หรอ 31 หรอ 32 หรอ 321 กได ซงการทดสอบวาคาเฉลยของประชากรกลมใดไมเทากนนนเรยกวาการเปรยบเทยบเชงพห (Multiple Comparison) ซงจะกลาวรายละเอยดตอไป

การวเคราะหความแปรปรวนมดวยกนหลายประเภท ในเอกสารฉบบนจะกลาวถงการวเคราะหความแปรปรวนเพยง 2 แบบ คอ

1. การวเคราะหความแปรปรวนทางเดยว (One-way ANOVA) 2. การวเคราะหความแปรปรวนสองทาง (Two-way ANOVA)

272

หลกการของการวเคราะหความแปรปรวน

หลกเกณฑทส าคญในการวเคราะหความแปรปรวนคอแบงความแปรปรวนของขอมลทงหมดออกตามสาเหตทท าใหขอมลแตกตางกน คอความแปรปรวนภายในกลม (within group) และความแปรปรวนระหวางกลม (between group) โดยท

ความแปรปรวนทงหมด = ความแปรปรวนภายในกลม + ความแปรปรวนระหวางกลม

การวเคราะหความแปรปรวนทางเดยว

เปนการศกษาปจจยหรอแฟคเตอร (factor) ทมผลท าใหขอมลแตกตางกนเพยงปจจยเดยว โดยทปจจยนนอาจมหลาย ๆ ระดบ เรยกระดบตาง ๆ ของปจจยวาทรทเมนต (treatment) ดงนนจงเปนการเปรยบเทยบคาเฉลยของขอมลในระดบตาง ๆ ของปจจยนนเอง นยมเรยกขอมลวาคาสงเกต และหนวยแจงนบทใหขอมลวาหนวยทดลอง (experimental unit) เชน

ตวอยาง 9.1 บรษทผลตถงกระดาษทใชในรานขายของช าพบวาความเหนยวของถงกระดาษขนอยกบความเขมขนของเยอไมทใชท าเยอกระดาษ จงท าการทดลองผลตถงกระดาษโดยใชความเขมขนของเยอไมตางกน คอ 5% 10% 15% และ 20% แลวท าการวดความเหนยวของถงกระดาษทเลอกจากแตละกลม ๆ ละ 6 ใบ

คาสงเกต คอความเหนยวของถงกระดาษ แฟคเตอร คอความเขมขนของเยอไม ทรทเมนต คอความเขมขนของเยอไมตางกน คอ 5%, 10%, 15% และ 20% หนวยทดลอง คอถงกระดาษ

ลกษณะของตารางขอมล ความเขมขนของเยอกระดาษ

5% 10% 15% 20% 9 12 13 19

10 11 15 23 8 13 15 19

11 13 17 20 8 14 17 21 8 15 17 21

273

1. ลกษณะของตารางขอมลในรปทวไป

ลกษณะของขอมลทใชในการวเคราะหความแปรปรวนทางเดยว เปนดงน

ทรทเมนต(treatment) 1 2 3 … k x11 x21 x31 … xk1 x12 x22 x32 … xk2 x13 x23 x33 … xk3 … x1n1 x2n2 x3n3 … xknk

รวม T1 T2 T3 … Tk T คาเฉลย

1x 2x 3x … kx x

เมอ ijx แทนขอมลของทรทเมนตท i หนวยทดลองท j i = 1,2,3,…,k และ j = 1,2,3,…,ni

Ti แทนผลรวมของขอมลทรทเมนตท i T แทนผลรวมขอมลทงหมด ix แทนคาเฉลยของขอมลทรทเมนตท i x แทนคาเฉลยของขอมลทงหมด k แทนจ านวนทรทเมนต n แทนจ านวนขอมลทงหมด เทากบ n1+n2+n3+…+nk

เนองจากการวเคราะหความแปรปรวนทางเดยวเปนการศกษาอทธพลของปจจย

เดยวทมผลท าใหคาสงเกตแตกตางกน นนคอขอมลมความแตกตางเนองจากกลมทแตกตางเทานนดงนนการวเคราะหจงแบงความแปรปรวนของขอมลเปนดงน

1. ความแปรปรวนระหวางกลม (Between Groups Sum of Square) เขยนแทนดวยสญลกษณ SSB เปนการพจารณาความแปรปรวนทเกดจากการทคาเฉลยของตวอยางในแตละกลมแตกตางจากคาเฉลยรวม โดยท

k

1i

2ii xxnSSB

274

2. ความแปรปรวนภายในกลม (Within Group Sum of Square) เขยนแทนดวยสญลกษณ SSE เปนการพจารณาความแปรปรวนทเกดขนภายในกลมแตละกลมซงไมทราบสาเหตวาเปนความแปรปรวนทเกดจากสาเหตใด ในบางครงจงเรยกวาความคลาดเคลอน (Error Sum of Square) โดยท

k

1i

n

1j

2iij

i

xxSSE

3. ความแปรปรวนรวม (Total Sum of Square) เขยนแทนดวยสญลกษณ SST เปนการพจารณาความแปรปรวนทเกดจากคาสงเกตแตละคาแตกตางจากคาเฉลยรวม โดยท

k

1i

n

1j

2ij

i

xxSST )( และ SST = SSB + SSE

การค านวณ Sum of Square นอกจากจะค านวณจากวธการขางตนแลว ยงมวธการค านวณทปรบใหงายขน ดงน

n

xMeanofcorrectedCM

2ij

)(

)(

CMx

xxSST

2ij

2ij )(

CMn

x

xxnSSB

i

2i

2ii

)(

)(

SSBSSTSSE

2. เงอนไขของการวเคราะหความแปรปรวน

ในการทดสอบสมมตฐานเกยวกบคาเฉลยของประชากร k กลม ดวยเทคนคการวเคราะหความแปรปรวน มเงอนไขดงน

1 ประชากร k กลมมการแจกแจงแบบปกต 2 ความแปรปรวนของแตละประชากรเทากน 3 ตวอยางสมจากแตละประชากรเปนอสระตอกน

275

3. สมมตฐานในการทดสอบ

ก าหนด 1 แทนคาเฉลยของประชากรกลมท 1 2 แทนคาเฉลยของประชากรกลมท 2 . . . k แทนคาเฉลยของประชากรกลมท k สมมตฐานเชงสถต

ค 1 อยางนอยk3211

k3210

:H

:H

หรอ HO : คาเฉลยของประชากร k กลมไมแตกตางกน H1 : คาเฉลยของประชากร k กลมแตกตางกนอยางนอย 1 ค

4. ตวสถตทดสอบ และคาวกฤต

ตวสถตในการทดสอบคอ MSE

MSBF ซงค านวณจากตารางการวเคราะหความ

แปรปรวน (Analysis of Variance Table) หรอเรยกวา ANOVA ดงน

ตาราง ANOVA แหลงความแปรปรวน (Source of variation)

องศาอสระ (df)

ผลรวมก าลงสอง (Sum of Square)

(SS)

ผลรวมก าลงสองเฉลย (Mean of Square)

)(df

ssMS

คาตวสถต (F)

ระหวางกลม k-1 SSB 1k

SSBMSB

MSE

MSBF

ภายในกลม n-k SSE kn

SSEMSE

รวม n-1 SST

คาวกฤต kn,1k,1f และปฏเสธ 0H เมอคาสถตทดสอบ F มากกวาคาวกฤต

276

ตวอยาง 9.2 ในการหาปรมาณฟอสฟอรสจากฟางขาวทใชเทคนคการสกดทแตกตางกน 4 เทคนค ในการทดสอบจงน าฟางขาวทมอายเทากน และมาจากแหลงเดยวกนมาท าการสกดฟอสฟอรสดวยวธทแตกตางกน ไดผลดงน

ปรมาณฟอสฟอรส เทคนคท 1 เทคนคท 2 เทคนคท 3 เทคนคท 4

34 37 39 36 31 41 37 35 34 38 38 37 30 43 37 38 34 37 36 36 32 42 42 38 34 40 40 36 32 44 41 35

อยากทราบวาปรมาณฟอสฟอรสจากฟางขาวทไดจากเทคนคการสกดทง 4 เทคนคแตกตางกนหรอไมทระดบนยส าคญ 0.05 วธท า

1184291310322261x

29135373536x

31041383739x

32244384137x

26132343134x

32nnnnn

ij

j4

j3

j2

j1

4321

43808

32

1184

n

xCM

2

2ij

)(

277

376

4380844184

4380835343134

CMxSST

2222

2ij

)(

25265

438082544073

438088

291

8

310

8

322

8

261

CMn

xSSB

2222

i

2i

.

.

)(

75110

25265376

SSBSSTSSE

.

.

ตาราง ANOVA แหลงความแปรปรวน df SS MS F

ระหวางกลม 3 SSB=265.25 MSB=88.41 F=22.38 ภายในกลม 28 SSE=110.75 MSE=3.95 ผลรวม 31 SST=376.00

สมมตฐานเชงสถต HO : ปรมาณฟอสฟอรสจากเทคนคการสกดทง 4 เทคนคไมแตกตางกน H1 : ปรมาณฟอสฟอรสจากเทคนคการสกดทง 4 เทคนคแตกตางกนอยางนอย 2 เทคนค ตวสถตทดสอบ

จากตาราง ANOVA ตวสถตทดสอบ MSE

MSBF =22.38

คาวกฤต 95.2ff 28,3,95.0kn,1k,1

เนองจากคาสถตทดสอบ F=22.38 อยในบรเวณปฏเสธ HO หมายความวาปรมาณฟอสฟอรสจากเทคนคการสกดทง 4 เทคนคแตกตางกนอยางนอย 2 เทคนค ทระดบนยส าคญ 0.05

278

ตวอยาง 9.3 อาจารยผสอนวชาสถตตองการเปรยบเทยบผลการสอบยอยของนกศกษา 3 กลม ไดแก นกศกษาชนป 1, 2 และ 3 ทลงทะเบยนเรยน จงท าการเลอกตวอยางนกศกษาชนป 1, 2 และ 3 มากลมละ 4, 6 และ 5 คน ตามล าดบ จากนนท าการทดสอบโดยใชขอสอบเดยวกน ซงมคะแนนเตม 10 คะแนน นกศกษาไดคะแนนสอบ ดงน

คะแนนสอบวชาสถตของนกศกษาชนปท 1 2 3 4 5 8 7 1 6 6 3 8 6 5 9 3 5 4

ผลรวม 23 21 36

ใหทดสอบวาคะแนนเฉลยของนกศกษา 3 ชนปนแตกตางกนหรอไม ทระดบนยส าคญ 0.05 วธท า

667426

15

5674

n

xCM

2

2ij

.

)(

)(

33365

6674265674

CMxSST

2222

2ij

.

.)(

28338

667426950464

6674265

36

6

21

4

23

CMn

xSSB

222

i

2i

.

..

.

)(

279

0527

2833833365

SSBSSTSSE

.

..

14219

2

28338

1k

SSBMSB

.

.

2542

12

0527

kn

SSEMSE

.

.

498

2542

14219

MSE

MSBF

.

.

.

ตาราง ANOVA แหลงความแปรปรวน df SS MS F

ระหวางกลม 2 38.283 19.142 8.49 ภายในกลม 12 27.052 2.254 ผลรวม 14 65.333

สมมตฐานเชงสถต 3210 :H ji;:H ji1 อยางนอย 1 ค

ตวสถตทดสอบ

จากตาราง ANOVA ตวสถตทดสอบ MSE

MSBF =8.49

คาวกฤต 89.3ff 12,2,95.0kn,1k,1 เนองจากคาสถตทดสอบ F=8.49 อยในบรเวณปฏเสธ HO หมายความวาคะแนนเฉลย

ของนกศกษาอยางนอยหนงกลมจะแตกตางไปจากกลมอน ๆ ทระดบนยส าคญ 0.05

280

ตวอยาง 9.4 ในการศกษาวาวธการคนน าสมทแตกตางกน 4 วธมอทธพลตอปรมาณของวตามนซในน าสมขนาด 8 ออนซ หรอไมทระดบนยส าคญ 0.05 จงท าการทดลองแลววดผลขอมลทไดปรากฏดงตาราง

ปรมาณของวตามนซ วธท 1 วธท 2 วธท 3 วธท 4

88 123 72 89 83 115 78 88 80 122 75 87 87 118 79 89 90 120 80 90 89 119 82 89 92 117 78 88 90 116 74 90 86 119 76 85 90 122 80 91

วธท า CM = (ผลรวมขอมลทงหมด)2 / จ านวนตวอยาง = (3726)2 / 40 = 347076.9

SST = ผลบวก(ขอมลแตละตว)2 – CM = (882 + 832 + 802 + … + 912 ) - 347076.9 = 10039.1

SSB = ผลบวก((ผลรวมขอมลแตละกลม)2 / จ านวนตวอยางแตละกลม) - CM

= 10

886

10

774

10

1191

10

857 2222

- 347076.9

= 9740.9

281

SSE = SST – SSA = 10039.1 – 9740.9 = 298.2

97.3246

3

9.9740

1k

SSBMSB

28.8

36

2.298

kn

SSEMSE

15.392

28.8

97.3246

MSE

MSBF

ตาราง ANOVA แหลงความแปรผน

(Source of variation) องศาอสระ

(df) ผลรวมก าลงสอง

(SS) ผลรวมก าลงสองเฉลย

(MS) คาตวสถต

(F) ระหวางกลม 4 – 1 = 3 9740.9 3246.97 392.15 ภายในกลม 40 – 4 = 36 298.2 8.28

รวม 40 – 1 = 39 100391.1

i แทนปรมาณวตามนซเฉลยจากวธการคนท i เมอ i = 1,2,3,4 สมมตฐานเชงสถต

43210 :H 43211 :H อยางนอย 1 ค

คาวกฤต 866.2ff 36,3,95.0kn,1k,1

เนองจาก F = 392.15 มากกวา 2.866 จงปฏเสธ H0 หมายความวาปรมาณวตามนซเฉลยจากวธการคน 4 วธ แตกตางกน อยางมนยส าคญทระดบ 0.05

282

การเปรยบเทยบพหคณ (Multiple comparison)

เทคนคการวเคราะหความแปรปรวนเปนการทดสอบวาจะมคาเฉลยของประชากร k กลมแตกตางกนหรอไม ถาแตกตางกนอยางมนยส าคญทางสถต (significant) กจะบอกเพยงวามคาเฉลยอยางนอย 1 คทมคาแตกตางกน แตจะไมบอกวาเปนคใด ซงเราจะตองท าการทดสอบหลงการวเคราะห (Post hoc test) โดยวธการเปรยบเทยบพหคณ (Multiple comparison) ซงมหลายวธดวยกน ในเอกสารฉบบนจะขอกลาวเพยงบางวธทนยมใช

1. วธ Least - Significant Different (LSD)

วธการเปรยบเทยบพหคณแบบ LSD หรอ Fisher’s Least – Significant Different เปนเทคนคท R.A. Fisher ไดพฒนาขนหรอเปรยบเทยบคาเฉลยประชากรครงละหลายค โดยใชสตร

ji2

n

1

n

1MSEtLSD

เมอ MSE แทนคาความแปรปรวนจาก one way ANOVA ni แทนจ านวนขอมลกลมท i nj แทนจ านวนขอมลกลมท j

วธ LSD มขนตอนดงน 1. ค านวณคา LSD 2. ค านวณความแตกตางระหวางคาเฉลย ji xx

3. น าคา ji xx เปรยบเทยบกบ คา LSD

3.1 ถา คา ji xx > คา LSD แสดงวา ji

3.2. ถา คา ji xx คา LSD แสดงวา ji

2. วธ Turkey’s Honestly Significant Different (HSD)

เปนวธการเปรยบเทยบภายใตเงอนไขทวาจ านวนกลมตวอยางแตละกลมมขนาดเทากน nnnnn K ...321 โดยมสตรของ Diekhoff ดงน

n

MSEqHSD kdf ),,(

283

เมอ q หาไดจากตารางคาวกฤตของ Studentized rough statistic โดย kndf จากตาราง ANOVA MSE ไดจากการค านวนหาคาความแปรปรวน one way ANOVA n จ านวนขอมลทงหมด

วธ HDS มขนตอนดงน 1. ค านวณคา HSD 2. ค านวณคา ji xx

3. เปรยบเทยบคา ji xx กบคา HSD โดย

3.1 ถา ji xx > HSD แสดงวา ji

3.2 ถา ji xx HSD แสดงวา ji

3. วธ The Sheffe’s Post hoc Comparison (Sheffe’)

การเปรยบเทยบพหคณโดยวธ Sheffe นนสามารถใชไดกบกลมตวอยางทมขนาดเทากนหรอไมเทากนกได โดยใชสตรของ Byrkit

))()()(( *

jid

n

1

n

1MSEF1kCV

เมอ *F คอ คาวกฤต จากตาราง F โดยม kndfkdf 21 ,1 MSE ไดจากการค านวนหาคาความแปรปรวน one way ANOVA ni จ านวนขอมลกลมท i nj จ านวนขอมลกลมท j

วธของ Sheffe มขนตอนดงน 1. ค านวณคา dCV 2. ค านวณคา ji xx

3. เปรยบเทยบ ji xx กบคา dCV โดย

3.1 ถา ji xx dCV แสดงวา ji

3.2 ถา ji xx < dCV แสดงวา ji

284

ความสมพนธระหวางตวทดสอบสถตเอฟ (F) และท (t)

ตวสถตทดสอบ t ทใชในการทดสอบสมมตฐานเกยวกบคาเฉลยของประชากร 2 กลมทเปนอสระกน ในกรณทความแปรปรวนของขอมลทง 2 กลมเทากน กบตวสถตทดสอบ F จากตาราง ANOVA ในกรณทมประชากรเพยง 2 กลม ซงกมเงอนไขวาความแปรปรวนของขอมลในประชากรแตละกลมตองเทากนนน มความสมพนธกน ดงน

2tF

เมอ F แทนคาตวสถตทดสอบ F จากตาราง ANOVA t แทนคาตวสถตทดสอบ t

ตวอยาง 9.5 ในการเปรยบเทยบวธการสอน 2 แบบ โดยท าการเลอกนสตทเรยนแบบ 1 มา 8 คน แบบ 2 มา 12 คน ค านวณคะแนนเฉลย และสวนเบยงเบนมาตรฐานไดดงน

976x1 . 772x2 . 854s1 . 356s2 .

โดยทคะแนนสอบของการสอนทง 2 แบบมการแจกแจงใกลเคยงแบบปกต และมคาความแปรปรวนเทากน จงทดสอบวาคะแนนสอบเฉลยของการสอน 2 แบบเทากนหรอไม ทระดบนยส าคญ 0.05

การทดสอบสมมตฐานดวยตวสถตทดสอบ t ด าเนนการตามขนตอนตอไปน

สมมตฐานเชงสถต

211

210

H

H

:

:

เนองไมทราบความแปรปรวนของประชากร แตทราบวา 222

21

และตวอยางมขนาดเลก ดงนนจะประมาณความแปรปรวนดวยความแปรปรวนรวม ดงน

78933

2128

35611285418

2nn

s1ns1ns

22

21

222

2112

p

.

).)(().)((

)()(

285

ตวสถตทดสอบ

21p

2121

n

1

n

1s

xxT

)()(

5841

652

24

12

1

8

1815

0772976

.

.

.

.

)..(

คาวกฤต 1012tt 1802502nn

221

.,.,

เนองจากคาสถตทดสอบ T = 1.584 อยในบรเวณยอมรบ 210H : หมายความวาคะแนนเฉลย จากวธการสอน 2 แบบไมแตกตางกนทระดบนยส าคญ 0.05

การทดสอบสมมตฐานดวยตวสถตทดสอบ F ในตาราง ANOVA ด าเนนการตามขนตอนตอไปน

สมมตฐานเชงสถต 211

210

H

H

:

:

ค านวณ x จาก 21

2211

nn

xnxnx

38.74

128

)7.72(12)9.76(8

SSB = 8(76.9)2 + 12(72.7)2 – (20)(74.38)2 = 84.672 SSE = (8-1)(4.85)2 + (12-1)(6.35)2 = 608.205 SST = 84.672 + 608.205 = 692.877

MSB =

MSE =

F =

672.841

672.84

789.3318

205.608

503.2826.33

672.84

286

ตาราง ANOVA แหลงความแปรปรวน df SS MS F

ระหวางกลม ภายในกลม

1 18

84.672 608.205

84.672 33.789

2.503

รวม 19 692.877

คาวกฤต 41.4ff 18,1,95.0kn,1k,1 เนองจากคาสถตทดสอบ F=2.503 อยในบรเวณยอมรบ H0 หมายความวาวาคะแนน

สอบเฉลยของการสอน 2 แบบเทากน

ส าหรบความสมพนธระหวางตวสถตทดสอบ F และ t ของตวอยางน

F = (1.584)2 = 2.509 ดงนน 2tF

การวเคราะหความแปรปรวนสองทาง

การวเคราะหความแปรปรวนสองทาง (Two–Way ANOVA) แตกตางจากการวเคราะหความแปรปรวนทางเดยวคอ ในการวเคราะหความแปรปรวนทางเดยวหนวยตวอยางภายในกลมเดยวกนจะตองมความแตกตางกนนอยมาก เพอทจะมนใจไดวาเมอเกดความแปรปรวนในการทดลอง จะน าไปสขอสรปไดชดเจนวาเปนความแปรปรวนระหวางกลม แตในทางปฏบตอาจพบวาการใชหนวยตวอยางทเหมอนกนหรอมความคลายคลงกนจะเปนไปไดยากมาก เชนถาจะเปรยบเทยบยอดขายประกนของบรษทจากวธขายทแตกตางกน 3 วธ อาจเปนไดวาความสามารถทแตกตางกนของพนกงานกเปนสวนหนงทท าใหยอดขายแตกตางกนได แมจะใชวธขายวธเดยวกน ดงนนเมอเกดความแปรปรวนของขอมล จงท าใหสรปไดไมชดเจนวาเปนเพราะวธขายทตางกน หรอเปนเพราะความสามารถของพนกงานทแตกตางกนทเปนสาเหตท าใหยอดขายแตกตางกน ดงนนจงอาจจะแบงหนวยทดลองออกเปนกลม ๆ เรยกวา บลอค (block) โดยใหภายในแตละบลอคประกอบไปดวยหนวยตวอยางทมความคลายคลงกน สวนในตางบลอคกจะเปนหนวยตวอยางทแตกตางกน และจ านวนหนวยทดลองภายในแตละบลอกจะไดรบทรทเมนตตาง ๆ ครบชด ตารางขอมลส าหรบการวเคราะหความแปรปรวนสองทางเปน ดงน

287

แถว(block)

คอลมภ (treatment) รวม เฉลย

1 2 ... j … c 1 x11 x12 ... x1j ... x1c T1. .1x

2 x21 x22 ... x2j ... x2c T2. .2x

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

i xi1 xi2 ... xij ... xic Ti. .ix .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

r xr1 xr2 ... xrj ... xrc Tr. .rx รวม T.1 T.2 ... T.j ... T.c T

เฉลย 1x . 2x . ... jx . ... cx . x

เมอ ijx แทนคาสงเกตแถวท i คอลมภท j .iT แทนผลรวมคาสงเกตแถวท i jT. แทนผลรวมคาสงเกตคอลมภท j T แทนผลรวมทงหมด .ix แทนคาเฉลยของคาสงเกตแถวท i jx . แทนคาเฉลยของคาสงเกตคอลมภท j x แทนคาเฉลยของขอมลทงหมด r แทนจ านวนแถว c แทนจ านวนคอลมภ

n แทนจ านวนตวอยางทงหมด = rc ในกรณนจะแยกแหลงความแปรปรวนทงหมดออกไดเปน

ความแปรปรวนรวม (SST) = ความแปรปรวนระหวางทรทเมนต (SSA) + ความแปรปรวน ระหวางบลอก (SSB) + ความแปรปรวนอน ๆ (SSE)

หรอ SST = SSA + SSB + SSE

288

การค านวณหาคา Sum of Square เรมตนจากการหาคา

n

xMeanofcorrectedCM

2ij

)(

)(

SST แทนความแปรปรวนรวมค านวณไดโดย

CMxSSTr

1i

c

1j

2ij

SSA แทนความแปรปรวนระหวางทรทเมนตในแตละคอลมน ค านวณไดโดย

CMn

TSSA

c

1j j

2j

SSB แทนความแปรปรวนระหวางบลอคในแตละแถว ค านวณไดโดย

CMn

TSSB

r

1i i

2i

SSE แทนความผนแปรภายในอน ๆ ทไมทราบสาเหต ค านวณไดโดย

SSE = SST - SSA - SSB

1. สมมตฐานการทดสอบ

กรณทดสอบวาทรทเมนตมผลท าใหคาเฉลยแตกตางกนหรอไม

สมมตฐานเชงสถต H0 : คาเฉลยของขอมลทไดรบทรทเมนตแตละทรทเมนตไมแตกตางกน H1 : คาเฉลยของขอมลทไดรบทรทเมนตแตละทรทเมนตแตกตางกนอยางนอย 1 ค

หรอ

c3211

c3210

H

H

....

....

:

:

289

กรณทดสอบวาบลอคมผลท าใหคาเฉลยแตกตางกนหรอไม H0 : คาเฉลยของขอมลทอยในบลอคแตละบลอคไมแตกตางกน H1 : คาเฉลยของขอมลทอยในบลอคแตละบลอคแตกตางกนอยางนอย 1 ค หรอ

....

....

:

:

r3211

r3210

H

H

2. ตวสถตทดสอบ และคาวกฤต

ตวสถตในการทดสอบอทธพลของทรทเมนตคอ MSE

MSAF และตวสถตทดสอบ

อทธพลของบลอกคอ MSE

MSBF ซงค านวณจากตารางการวเคราะหความแปรปรวน (Analysis of

Variance) หรอทเรยกวา ANOVA ดงน

ตาราง ANOVA แหลงความแปรปรวน (Source of variation)

องศาอสระ (df)

ผลรวมก าลงสอง (Sum of Square)

(SS)

ผลรวมก าลงสองเฉลย (Mean of Square)

)(df

ssMS

คาตวสถต (F)

ระหวางทรทเมนต c-1 SSA 1c

SSAMSA

MSE

MSAF

ระหวางบลอค r-1 SSB 1r

SSBMSB

MSE

MSBF

ความคลาดเคลอน (c-1)(r-1) SSE ))(( 1r1c

SSEMSE

รวม n-1 SST

คาวกฤตในการทดสอบอทธพลของทรทเมนตคอ ))((,, 1r1c1c1f คาวกฤตในการทดสอบอทธพลของบลอคคอ ))((,, 1r1c1r1f และปฏเสธ 0H เมอคาสถตทดสอบ F มากกวา คาวกฤต

290

ตวอยาง 9.6 รานคาแหงหนงมสาขาอยหลายแหง ตองการทดสอบวาสาขามผลท าใหยอดขายขนมแตกตางกนหรอไม จงเลอกรานคามา 5 สาขา เพอท าการเกบรวบรวมขอมล แตเนองจากในรานคาแตละสาขานนมลกษณะการจดวางขนมทแตกตางกน 3 แบบ ดงนนจงเกบรวบรวมขอมลยอดขายขนม (รอยบาท) จากรานคา 5 แหง และต าแหนงทวางขนม 3 ต าแหนง ไดผลดงน

ต าแหนงทวางขนม รานคา

รวม A B C D E

ชนบน 7 8 9 10 11 45 ชนกลาง 9 9 9 9 12 48 ชนลาง 10 10 12 12 14 58 รวม 26 27 30 31 37 151

ทระดบนยส าคญ 0.05 จงทดสอบวายอดขายขนมของแตละราน และต าแหนงทวางขนมแตละระดบแตกตางกนหรอไม

วธท า การค านวณเรมตนจากการหาคา

071520

15

151

n

xCM

2

2ij

.

)(

)(

9346

0715201567

071520141097

CMxSST

2222

r

1i

c

1j

2ij

.

.

.)(

9324

0715201545

0715203

37

3

31

3

30

3

27

3

26

CMn

TSSA

22222

c

1j j

2j

.

.

.

291

5318

071520601538

0715205

58

5

48

5

45

CMn

TSSB

222

r

1i i

2i

.

..

.

473

531893249346

SSBSSASSTSSE

.

...

ตาราง ANOVA แหลงความแปรปรวน df SS MS F ระหวางทรทเมนต 4 24.93 6.23 14.49 ระหวางบลอค 2 18.53 9.265 21.55

ความคลาดเคลอน 8 3.47 0.43 รวม 14 46.93

กรณทดสอบวาสาขามผลท าใหยอดขายขนมเฉลยแตกตางกนหรอไม H0 : ยอดขายขนมเฉลยของรานคาแตละสาขาไมแตกตางกน H1 : ยอดขายขนมเฉลยของรานคาแตละสาขาแตกตางกนอยางนอย 1 ค หรอ

543211

543210

H

H

.....

.....

:

:

ตวสถตทดสอบคอ MSE

MSAF จากตาราง ANOVA จะได F = 14.49

คาวกฤตคอ 843ff 849501r1c1c1 .,,.))((,,

เนองจาก F=14.49 อยในบรเวณปฏเสธ H0 หมายความวายอดขายขนมเฉลยของรานคาแตละสาขาแตกตางกนอยางนอย 1 ค หรอสาขาของรานคามผลท าใหยอดขายขนมเฉลยแตกตางกนอยางมนยส าคญทระดบ 0.05

292

กรณทดสอบวาต าแหนงการวางมผลท าใหยอดขายขนมเฉลยแตกตางกนหรอไม H0 : ยอดขายขนมเฉลยทวางอยในต าแหนงแตละต าแหนงไมแตกตางกน H1 : ยอดขายขนมเฉลยทวางอยในต าแหนงแตละต าแหนงแตกตางกนอยางนอย 1 ค หรอ

...

...

:

:

3211

3210

H

H

ตวสถตทดสอบคอ MSE

MSBF จากตาราง ANOVA จะได F = 21.55

คาวกฤตคอ 464ff 829501r1c1r1 .,,.))((,,

เนองจาก F=21.55 อยในบรเวณปฏเสธ H0 หมายความวายอดขายขนมเฉลยทวางอยในต าแหนงแตละต าแหนงแตกตางกนอยางนอย 1 ค หรอต าแหนงการวางขนมมผลท าใหยอดขายขนมเฉลยแตกตางกนอยางมนยส าคญทระดบ 0.05

การใชโปรแกรมส าเรจรป

1. การวเคราะหความแปรปรวนทางเดยว

ตวอยาง 9.7 จากตวอยาง 9.2 จงวเคราะหขอมลดวย Microsoft Excel ขนตอนท 1 ใสขอมลดงรป เลอกเมน Data เลอก Data Analysis ดงน

293

ขนตอนท 2 ในหนาตาง Data Analysis เลอก Anova: Single Factor ดงน

ขนตอนท 3 ในสวน Input Range คอระบขอบเขตของขอมลทงหมด Grouped By คอระบแบงกลมของขอมลตาม row หรอ column Alpha คอคาระดบนยส าคญ

294

ขนตอนท 4 ไดผลลพธ ดงน

สมมตฐานเชงสถต HO : ปรมาณฟอสฟอรสจากเทคนคการสกดทง 4 เทคนคไมแตกตางกน H1 : ปรมาณฟอสฟอรสจากเทคนคการสกดทง 4 เทคนคแตกตางกนอยางนอย 2

เทคนค หรอ สมมตฐานเชงสถต

43210 : H

jiH ji ;:1 อยางนอย 1 ค

ตวสถตทดสอบ

จากตาราง ANOVA ตวสถตทดสอบ MSE

MSBF =22.38

คาวกฤต 952ff 283950kn1k1 .,,.,,

เนองจากคาสถตทดสอบ F=22.38 อยในบรเวณปฏเสธ HO หมายความวาปรมาณฟอสฟอรสจากเทคนคการสกดทง 4 เทคนคแตกตางกนอยางนอย 2 เทคนค ทระดบนยส าคญ 0.05

295

2. การวเคราะหความแปรปรวนสองทาง

ตวอยาง 9.8 จากตวอยาง 9.6 จงวเคราะหขอมลดวย Microsoft Excel ขนตอนท 1 ใสขอมลดงรป เลอกเมน Data เลอก Data Analysis

ขนตอนท 2 ในหนาตาง Data Analysis เลอก Anova: Two-Factor Without Replication ดงน

ขนตอนท 3 Input Range คอ กลมของขอมล

296

ขนตอนท 4 จะไดผลลพธ ดงน

กรณทดสอบวาสาขามผลท าใหยอดขายขนมเฉลยแตกตางกนหรอไม H0 : ยอดขายขนมเฉลยของรานคาแตละสาขาไมแตกตางกน H1 : ยอดขายขนมเฉลยของรานคาแตละสาขาแตกตางกนอยางนอย 1 ค

หรอ 543211

543210

H

H

.....

.....

:

:

ตวสถตทดสอบคอ MSE

MSAF จากตาราง ANOVA F = 14.49

คาวกฤตคอ 843ff 849501r1c1c1 .,,.))((,,

เนองจาก F=14.49 อยในบรเวณปฏเสธ H0 หมายความวายอดขายขนมเฉลยของรานคาแตละสาขาแตกตางกนอยางนอย 1 ค หรอสาขาของรานคามผลท าใหยอดขายขนมเฉลยแตกตางกนอยางมนยส าคญทระดบ 0.05

กรณทดสอบวาต าแหนงการวางมผลท าใหยอดขายขนมเฉลยแตกตางกนหรอไม H0 : ยอดขายขนมเฉลยทวางอยในต าแหนงแตละต าแหนงไมแตกตางกน H1 : ยอดขายขนมเฉลยทวางอยในต าแหนงแตละต าแหนงแตกตางกนอยางนอย 1 ค หรอ

...

...

:

:

3211

3210

H

H

297

ตวสถตทดสอบคอ MSE

MSBF จากตาราง ANOVA F = 21.55

คาวกฤตคอ 464ff 829501r1c1r1 .,,.))((,,

เนองจาก F=21.55 อยในบรเวณปฏเสธ H0 หมายความวายอดขายขนมเฉลยทวางอยในต าแหนงแตละต าแหนงแตกตางกนอยางนอย 1 ค หรอต าแหนงการวางขนมมผลท าใหยอดขายขนมเฉลยแตกตางกนอยางมนยส าคญทระดบ 0.05

สรปทายบท

การวเคราะหความแปรปรวนเปนวธการทางสถตอางองทใชในการทดสอบสมมตฐานเกยวกบคาเฉลยกรณประชากรมากกวา 2 กลม โดยใชหลกการของความแปรปรวน และค านวณคาสถตทดสอบ F ในรปของตารางการวเคราะหความแปรปรวน หรอตาราง ANOVA เพอใหเปนขนตอนทงายและสะดวก ประเภทของการวเคราะหความแปรปรวนขนอยกบวามปจจยทเกยวของกปจจย ดงนนควรระมดระวงในการเลอกวธการวเคราะหความแปรปรวนใหเหมาะสมเพอผลการวเคราะหขอมลทถกตอง

แบบฝกหดทายบท

1. ผจดการฝายการตลาดตองการเปรยบเทยบยอดขายของกระดาษช าระทมลกษณะการบรรจ 3 แบบ จงท าการสมตวอยางรานทขายกระดาษช าระชนดนมา 30 ราน และเกบรวบรวมขอมลยอดขาย (มวน) ในเวลา 1 วนของแตละแบบมาจาก 10 รานเทา ๆ กน ไดผลดงน

ยอดขาย (มวน) รานท กลองสเหลยมจตรส กลองสเหลยมผนผา หอกลม 1 52 28 15 2 48 35 14 3 43 34 23 4 50 32 21 5 43 34 14 6 44 27 20 7 46 31 21

298

ยอดขาย (มวน) รานท กลองสเหลยมจตรส กลองสเหลยมผนผา หอกลม 8 46 27 16 9 43 29 20 10 49 25 14

จากผลการวเคราะหขอมลสรปไดหรอไมวา ลกษณะการบรรจการดาษช าระ 3 แบบมผลท าใหยอดขายแตกตางกนทระดบนยส าคญ 0.05

2. บรษทABC จ ากด ผลตฮารดดสกส าหรบคอมพวเตอร ขนตอนการตดขดลวดทองแดงเขากบแขนของหวอานแผนดสกเปนขนตอนการผลตขนตอนหนง ในการตดขดลวดทองแดงเขากบแขนของหวอานแผนดสกจะใชกาว Epoxy 1140 หลงจากตดขดลวดทองแดงเขากบแขนของหวอานแผนดสกแลว จะท าสวนประกอบนเขาเตาอบเพออบทอณหภม 180 °F เปนเวลา 50 นาท วศวกรฝายผลตตองการศกษาวาอณหภมกบระยะเวลาทใชอบมผลตอแรงเฉอน (shear strength) ณ ต าแหนงทตดกาวยดสวนประกอบทงสองอยางไร เขาจงท าการทดลองแบบ factorial design ขอมลของแรงเฉอนทไดจากการทดลองมหนวยเปน psi แสดงดงตารางขางลางน

เวลาทใชอบ(นาท) อณหภมทใชอบ (°F) 150 180 200 250 300

30

20.3 19.5 22.1 17.6 23.6 19.8 18.6 23 18.3 24.5 21.4 18.9 22.4 18.2 25.1

40

21.6 20.1 20.1 19.5 17.6 22.4 19.9 21 19.2 18.3 21.3 20.5 19.8 20.3 18.1

50

19.8 19.6 22.3 19.4 22.1 18.6 18.3 22 18.5 24.3 21 19.8 21.6 19.1 23.8

จงวเคราะหความแปรปรวนเพอทดสอบสมมตฐานเกยวกบคาเฉลยของแรงฉอนทไดรบอทธพลจากอณหภมกบระยะเวลาทใชอบ โดยทระดบนยส าคญเทากบ 0.05 พรอมทงสรปผลทไดจากการวเคราะห