ฟสิกส (2)______________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004

การเคลื่อนที่

การศึกษาเก่ียวกับการเคลื่อนท่ี นับวาเปนพ้ืนฐานท่ีสํ าคัญมากอันหนึ่งในทางกลศาสตรและฟสิกส ปริมาณตางๆท่ีเก่ียวของกับการเคลื่อนท่ี ไดแก

การกระจัด (displacement) ถาใหจุดเริ่มตนของการเคล่ือนท่ีเปนจุดตนกํ าเนิดของระบบพิกัด จะกลาวไดวาการกระจัดของการเคล่ือนท่ีใด คือ เวกเตอรท่ีมีจุดต้ังตนตรงจุดเริ่มตนของการเคล่ือนท่ีนั้น และมีจุดปลายหรือหัวลูกศรของเวกเตอรอยูท่ีจุดส้ินสุดของการเคล่ือนท่ีนั้น การบอกการกระจัดตองระบุท้ังขนาดและทิศทาง ในระบบ SI การกระจดัมีหนวยเปน เมตร

ระยะทาง (distance) ในการเคล่ือนท่ีหนึ่งๆ ระยะทาง คือ ความยาวของเสนทางที่วัตถุเคล่ือนท่ี (Path) การระบุระยะทางจะกระทํ าโดยไมคํ านึงถึงทิศทางของการเคลื่อนท่ีนั้น ในระบบ SI ระยะทางมีหนวยเปนเมตรเชนเดียวกับหนวยของการกระจัด โดยท่ัวไป ระยะทางจะไมเทากับขนาดของการกระจัด อยางไรก็ดีหากวัตถุมีการเคล่ือนท่ีเปนเสนตรงและเคล่ือนท่ีในทิศทางเดียว คือ ไมมีการเล้ียว หรือถอยกลับมาในทิศทางเดิม ตัวเลขท่ีเปนระยะทางและตัวเลขท่ีเปนขนาดของการกระจัดจะมีคาเทากัน

ความเร็ว (velocity) คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของการกระจัด หรือกลาวไดวาความเร็วคือการกระจัดท่ีเปล่ียนไปในหนึ่งหนวยเวลา ความเร็วเปนปริมาณเวกเตอร การบงบอกความเร็วจึงตองระบุท้ังขนาดและทิศทาง ในระบบ SIความเร็วมีหนวยเปน เมตร/วินาที อัตราเร็ว (speed) คือ ระยะทางที่วัตถุเคล่ือนท่ีไดในหนึ่งหนวยเวลา อัตราเร็วเปนปริมาณที่มีเพียงขนาด ไมมีทิศทาง หนวยของอัตราเร็วในระบบ SI เปน เมตร/วินาที

ความเรง (acceleration) คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็ว หรือคือความเรว็ท่ีเปล่ียนไปในหนึง่หนวยเวลาโดยความเร็วท่ีเปล่ียนไปนี้อาจจะเปนการเปลี่ยนแปลงขนาด คือ วัตถุเคล่ือนท่ีเรว็ขึน้หรอืชาลง หรอืเปนการเปลีย่นทิศทางการเคล่ือนท่ี ท้ังๆ ท่ีวัตถุยังคงมีขนาดของความเร็วท่ีคงท่ี ความเรงเปนปริมาณเวกเตอร ประกอบดวยขนาดและทิศทาง

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004 ______________________________________ ฟสิกส (3)

จากความสัมพันธระหวางการกระจัด ความเร็ว และความเรงท่ีกลาวมาสามารถพิสูจนไดวา สํ าหรับกราฟระหวางความเร็วกับเวลา จะมีความชันเปนความเรง และพ้ืนท่ีใตกราฟเปนการกระจัด

วัตถุท่ีเคล่ือนท่ีดวยความเรงคงที่ คือ ท้ังขนาดและทิศทางของความเรงมีคาคงที่ วัตถุจะมีการเคลื่อนท่ีเปนแนวเสนตรง และความสัมพันธระหวางความเร็ว ความเรง การกระจัด และเวลา เปนไปตามสมการ

v = u + ats = ut + 2

1 at2

v2 = u2 + 2asโดย u เปนความเร็วตน v เปนความเร็วปลาย

a เปนความเรงของวัตถุ s เปนการกระจัด

แบบทดสอบ

1. รถทดลองเคลื่อนท่ีเปนเสนตรงไปทางทิศตะวันออกเปนระยะ L ดวยอัตราเร็ว 3 เมตร/วินาที จากนั้นเคล่ือนท่ีขึ้นไปทางทิศเหนือดวยอัตราเร็ว 2 เมตร/วินาที เปนระยะทาง 2L อัตราเร็วเฉล่ียของรถทดลองเปนเทาใด

2. สมการของการเคลื่อนท่ีตามแกน X ในหนวย SI ของอนภุาคหนึง่เปน x = 3t2 ในชวงเวลาจาก 2 วนิาทีถึง 2 + ∆t อนุภาคจะมีความเร็วเฉล่ียเปนเทาใด

3. ชายคนหนึ่งขับรถจากสภาพหยุดนิ่ง โดยเริ่มจากจุด A ดวยความเรงคงที่เปนเสนตรง เมื่อรถผานจุด B พบวารถมีความเร็ว 20 เมตร/วินาที ใหหาวาขณะที่รถอยูตรงกึ่งกลางระหวางจุด A และ B รถมีความเร็วเทาใด

4. คนขับ ขับรถบรรทุกมาดวยความเร็วคาหนึ่ง เมื่อผานบาน A คนขับก็เบรกรถดวยความหนวง 2 เมตร/วินาที2

ทํ าใหรถเคล่ือนท่ีไปถึงบาน B ซ่ึงหางออกไป 20 เมตรไดในเวลา 2 วินาที ใหหาความเร็วของรถบรรทุกขณะผานบาน B นี้

5. รถบรรทุกเริ่มเคล่ือนท่ีจากสภาพหยุดนิ่งดวยความเรง 2 เมตร/วินาที2 อีก 2 วินาทีตอมารถยนตนั่งก็ออกวิ่ง ณตํ าแหนงเดียวกับท่ีรถบรรทุกเริ่มเคล่ือนท่ี โดยรถยนตนั่งมีความเรง 6 เมตร/วินาที2 ใหหาวาเมื่อรถทั้งสองมีความเร็วเทากัน รถคันใดท่ีอยูขางหนา และระยะระหวางรถท้ังสองเปนเทาใด

6. รถคันหนึ่งกํ าลังวิ่งอยูบนทางหลวง ขณะท่ีผานหลักกิโลเมตรท่ี 130 ความเร็วของรถมีคาเปน 10 เมตร/วินาที และเมื่อผานหลักกิโลเมตรท่ี 131 ความเร็วมีคาเปน 12 เมตร/วินาที ใหหาวาขณะที่รถผานหลักกิโลเมตรท่ี 132ความเร็วของรถมีคาเทาใด (กํ าหนดใหถนนในชวงนั้นเปนเสนตรง)

7. ลูกปนเคล่ือนท่ีได 36 เมตรในวินาทีท่ี 2 หลังจากเริ่มจับเวลา และ 66 เมตรในวินาทีท่ี 5 ใหหาระยะทางที่ลูกปนเคล่ือนท่ีไดในวินาทีท่ี 10

8. เด็กคนหนึ่งโยนพวงกุญแจขึ้นไปในแนวดิ่ง เพ่ือใหเพ่ือนท่ีอยูบนระเบียงสูงขึ้นไป พบวาเพ่ือนรับกุญแจไดในเวลา2 วินาทีตอมา ถาจุดท่ีรับสูงกวาจุดโยน 4 เมตร พวงกุญแจจะถึงมือผูรับดวยความเร็วเทาใด

ฟสิกส (4)______________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004

เฉลย

1. 2.25 m/s 2. 12 + 3∆t 3. 14.14 m/s 4. 8 m/s 5. รถบรรทุกอยูขางหนา และรถหางกัน 6 เมตร 6. 13.7 m/s 7. 21 m/s 8. 8 m/s ทิศลง

แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่

กฎการเคลื่อนท่ีของนิวตัน เปนกฎท่ีวาดวยความสัมพันธระหวางแรงลัพธท่ีกระทํ าตอวัตถุกับสภาพการเคลื่อนท่ีของวัตถุนั้น โดยกลาวถึงกรณีท่ีมีและไมมีแรงลัพธมากระทํ าตอวัตถุ นอกจากนี้กฎการเคล่ือนท่ีนี้ยังครอบคลุมถึงความสัมพันธระหวางท่ีกระทํ ากันระหวางวัตถุคูหนึ่งๆ กฎการเคล่ือนท่ีของนิวตันประกอบดวยกฎตางๆ 3 ขอ ดังนี้

กฎขอท่ี 1 วัตถุจะคงสภาพการเคลื่อนท่ีของตัวเองอยูเสมอ นอกจากจะมีแรงลัพธภายนอกท่ีไมเทากับศูนยมาบังคับใหวัตถุนั้นเปลี่ยนสภาพการเคล่ือนท่ีไป บางครั้งเรียกกฎขอ 1 นี้วา กฎแหงความเฉื่อย (Law of Inertia)

กฎขอท่ี 2 แรงลัพธท่ีกระทํ าตอวัตถุมวล m แลวทํ าใหวัตถุมีความเรง a มีคาเทากับผลคูณระหวางมวลและความเรงนั้น หรือเขียนเปนสมการไดวา

F = ma

มขีอนาสังเกตวาสมการนีเ้ปนสมการเวกเตอร ซ่ึงสมการบงบอกวาทิศของแรงลพัธเปนทิศเดยีวกับทิศของความเรงกฎขอท่ี 3 ทุกๆ แรงกิริยา (Action) จะมีแรงปฏิกิริยา (Reaction) ท่ีมีขนาดเทากันแตทิศตรงขามเสมอการทํ าความเขาใจในกฎขอท่ี 3 นี้มีขอควรตระหนักวา แรงปฏิกิริยาของแรงที่วัตถุท่ีหนึ่งกระทํ าตอวัตถุท่ีสอง

ตองเปนแรงที่วัตถุท่ีสองกระทํ าตอวัตถุท่ีหนึ่งเทานั้น เปนแรงที่วัตถุอื่นกระทํ าตอวัตถุท่ีหนึ่งไมได

กฎแรงดึงดูดระหวางมวล (Law of Gravity)กฎแรงดงึดดูระหวางมวล หรือท่ีเรียกวา กฎแหงความโนมถวง (Law of Gravitaty) เปนกฎท่ีแสดงถึงแรงดึงดูด

ระหวางมวลสาร กฎแรงดึงดูดระหวางมวลกลาววาวัตถุท้ังหลายในเอกภพออกแรงดึงดูดซ่ึงกันและกันในลักษณะที่ ถาวัตถุ A หางจากวัตถุ B เปนระยะ r วัตถุ A

จะสงแรง FA ซ่ึงเปนแรงดึงดูดไปกระทํ าตอวัตถุ B ขณะเดียวกัน วัตถุ B จะสงแรง FB ซ่ึงเปนแรงดึงดูดไปกระทํ าตอวัตถุ A เชนกัน โดย FA และ FB มีขนาดเทากันแตทิศตรงขาม ถาให F เปนขนาดของแรง FA และ FB แลว จะได

F = Gm mr1 22

เรียก G วา คานิจแหงความโนมถวงสากล มีคาเทากับ 6.67 × 10-11 นิวตัน ⋅ เมตร2/กิโลกรัม2

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004 ______________________________________ ฟสิกส (5)

สมดุล (Equilibrium)เมื่อแรงลัพธท่ีกระทํ าตอวัตถุเปนศูนย วัตถุจะอยูในสภาพสมดุล คือเปนไปตามกฎการเคลือ่นท่ีขอท่ี 1 ของนวิตัน

เรียกสภาพสมดุลท่ีเกิดจากแรงลัพธเปนศูนยนี้วา สมดุลตอการเปลี่ยนตํ าแหนงสภาพสมดุลแบบที่ 2 เรียกวา สมดุลตอการหมุน เกิดจากการท่ี ทอรก (Torque) หรือโมเมนตลัพธท่ีกระทํ าตอ

วัตถุเปนศูนย และสมดุลตอการหมุนวัตถุท่ีอยูในสภาพสมดุลตอการเปลี่ยนตํ าแหนงพรอมๆ กับสภาพสมดุลตอการหมนุ คอื วตัถุท่ีอยูในสภาพสมดุล

อยางสมบูรณ

จุดศูนยกลางมวลและจุดศูนยถวงจุดศูนยกลางมวล (Center of gravity) คือ จุดในวัตถุท่ีเหมือนกับแรงความโนมถวงของโลกมากระทํ าตรงจุดนี้

มักจะใช "cg" เปนสัญลักษณของจุดศูนยถวงการทรงตัวของวัตถุ หากแนวนํ้ าหนักตกลงอยูระหวางฐานของวัตถุ วัตถุนั้นจะยังคงตั้งอยูไดไมมีการลม แตหาก

แนวนํ้ าหนักตกอยูนอกฐานของวัตถุแลว วัตถุนั้นจะลมลงทันทีวัตถุท่ีมีการทรงตัวดีจะมีตํ าแหนงของจุดศูนยถวงตํ่ า นอกจากนี้ความกวางของฐานของวัตถุก็มีผลตอการทรงตัว

เชนกัน โดยวัตถุท่ีมีฐานท่ีกวางกวาจะทรงตัวไดดีกวาวัตถุท่ีมีฐานแคบๆ

แบบทดสอบ

1. กรอบรูปมวล m ถูกแขวนไวดวยเชือก 2 เสน โดยเชือกแตละเสนยาว L และทํ ามุม θ กับกรอบดังรูป ถากรอบรูปนี้ถูกดึงใหเคล่ือนท่ีขึ้นดวยความเรง 2

g ใหหาความตึงในเชือกแตละเสน

L L

m

θ θ

2g

1) θ sin 43mg 2) θ sin 2

3mg 3) θ sin 4mg 4) θ sin 2

mg

ฟสิกส (6)______________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004

2. วัตถุ 2 กอน มวล m และ M (M มากกวา m) ผูกติดกันดวยเชือกเบาและคลองผานรอกลื่นท่ียอดของพ้ืนเอียงทรงสามเหลี่ยมหนาจั่ว ดังรูป หากคาสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานระหวางพ้ืนเอียงกับมวลทั้งสองเทากับ m ใหหา mท่ีทํ าใหกอนมวลมีการเคล่ือนท่ีดวยอัตราเร็วคงที่

T

m Mθ θ

1) θ

+ tanm M

m M - 2) θ

+ tanm M

m 3) θ

+ tanm M

M 4) tan θ

3. แรงคงที่ขนาดหนึ่ง ผลักวัตถุมวล 80 กิโลกรัม บนพ้ืนราบท่ีไมมีความฝด สามารถเปลี่ยนความเร็วจาก 3เมตร/วินาที เปน 4 เมตร/วินาที ในทิศเดิม และในเวลา 1 วินาที จงหาวาหากใชแรงขนาดเดียวกันนี้ผลักวัตถุมวล50 กิโลกรัม บนพ้ืนเดียวกัน จะทํ าใหความเร็วเพ่ิมขึ้นเทาใด ในเวลา 1 วินาทีเทากัน1) 1.0 เมตร/วินาที 2) 1.2 เมตร/วินาที 3) 1.4 เมตร/วินาที 4) 1.6 เมตร/วินาที

4. กลองสองใบมีมวล m1 และ m2 ตามลํ าดับ วางซอนกันบนพ้ืนราบท่ีไมมีแรงเสียดทาน มีแรง F กระทํ าตอกลอง m1 ทํ าใหกลองท้ังสองเคลื่อนท่ีไปทางขวาดวยความเรง a ถา f เปนแรงเสียดทานสูงสุดท่ีมีไดระหวางผิวสัมผัสของกลองท้ังสอง แรง F จะมีคามากท่ีสุดเทาใด มวล m2 จึงจะไมไถลไปบน m1

������

fa

F2m1m

1) 12

mm f 2) 21

2m m

m+ f 3) 2

1mm f 4) 2

21m

m m + f

5. คันโยก กขคง ซ่ึงมีความยาวของแกน กข ขค และ คง เทากันและหักเปนมุมฉากดังรูป ถาออกแรง F กระทํ าต้ังฉากกับแขน กข ท่ีจุด ก โดยให ข เปนจุดหมุน แรงที่นอยท่ีสุดท่ีกระทํ าตอปลาย ง โดยไมทํ าใหคนัโยกหมุนรอบ จุด ข จะมีขนาดเทาใด

ก ข

ค ง

1) F 2) 2F 3) 2

F 4) 3F

6. เมื่อแรงสองแรงทํ ามุมกันคาตางๆ ผลรวมของแรงมีคาต่ํ าสุด 2 นิวตัน และมีคาสูงสุด 14 นิวตัน ถาใหแรงทั้งสองกระทํ าตอวัตถุมวล 2 กิโลกรัม ตรงจุดเดียวกัน แตในแนวที่ต้ังฉากกัน และไมมีแรงอื่นมากระทํ าตอวัตถุอีกเลย วัตถุจะมีความเรงเทาใด1) 12 N 2) 10 N 3) 5 N 4) 8 N

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004 ______________________________________ ฟสิกส (7)

7. เชือกแขวนไวกับเพดาน มีเด็กมวล 20 กิโลกรัม โหนเชือกอยูสูงจากพ้ืน 10 เมตร ไดรูดตัวลงมากับเชือกดวยความเรงคงที่ถึงพ้ืนใชเวลา 2 วินาที ความตึงของเชือกเปนเทาใด (ไมคิดมวลของเชือก)1) 100 N 2) 150 N 3) 200 N 4) 250 N

8. วัตถุมวล m วางบนโตะล่ืน ผูกเชือกเบากับวัตถุมวล m แลวคลองผานรอกคลอง แลวนํ าวัตถุมวล M มาผูกติด กับปลายเชือกเบานี้ ถาปลอยใหมวล m และ M เคล่ือนท่ี จงหาวาวัตถุมวล M จะตองมีคาเปนก่ีเทาของวัตถุมวล m วัตถุมวล M จึงจะเคล่ือนท่ีดวยความเรง 9 เมตร/วินาที2

������������������

m

M

1) 3 เทา 2) 8 เทา 3) 9 เทา 4) 10 เทา 9. ล่ิมอันหนึ่งเคล่ือนท่ีดวยความเรง 2 เมตรตอ(วินาที)2 บนล่ิมมีมวล 5 กิโลกรัม ผูกดวยเชือกเบาดังรูป แรงตึงใน

เสนเชือกมีคาก่ีนิวตัน เมื่อถือวาทุกผิวสัมผัสเปนผิวเกลี้ยง

5 kg

37o

a = 2 m/s2

1) 11 2) 34 3) 38 4) 11010. นักบินอวกาศจะมีนํ้ าหนักก่ีเทาของนํ้ าหนักท่ีชั่งบนโลก ถาอยูบนดาวเคราะหท่ีมีรัศมีครึ่งหนึ่งของโลก และมีมวล

เปน 18 ของมวลโลก1) 0.25 2) 0.50 3) 0.75 4) 1.25

11. ดาวเคราะหดวงหนึ่งมีมวลเปน 9 เทาของมวลของโลก แตมีความหนาแนนเปน 13 ของความหนาแนนของโลกคาสนามความโนมถวงที่ผิวดาวเคราะหมีคาเปนก่ีเทาของ g ของโลก1) 19 2) 13 3) 1 4) 3

12. จากรูป โตะไมมีความเสียดทานและผิวสัมผัสระหวางมวลทั้งสอง มีสัมประสิทธิ์ความเสียดทานสถิตและจลนเปน0.4 และ 0.3 ตามลํ าดับ มวล m ตองเปนก่ีกิโลกรัม จึงจะทํ าใหระบบเริ่มเคล่ือนท่ี

3 kg2 kg

����������������������������������������

m

1) 0.4 2) 0.8 3) 1.2 4) 1.6

ฟสิกส (8)______________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004

13. คานสมํ่ าเสมอมวล 20 กิโลกรัม ยาว 5 เมตร ปลายขางหนึ่งติดอยูกับกํ าแพงดวยบานพับ ปลายอีกขางหนึ่งมีมวล8 กิโลกรัม แขวนอยู และมีเชือกดึงปลายคานใหติดกับกํ าแพง ดังรูป แรงที่บานพับกระทํ าตอปลายคานดานลางในทิศท่ีขนานกับกํ าแพงเปนก่ีนิวตัน

������

37o37o

8 กก.

1) 130 2) 150 3) 190 4) 28014. ABCD เปนวัตถุแบน หนัก 400 นิวตัน วางตัวในระนาบ xy ขณะมีแรง T1 และ T2 มากระทํ าดังรูป แรงลัพธท่ี

กระทํ าตอวัตถุมีทิศทางตามขอใด

37o

53o

T = 400 N1

T = 500 N2

y

xCA

D 400 N

B

1) ทํ ามุม 37° กับแกน +x 2) ทํ ามุม 37° กับแกน -x3) ทิศตามแกน -y 4) ทิศตามแกน -x

15. ในรูปพ้ืนเอียงมี µs และ µk เปน 0.3 และ 0.2 ตามลํ าดับ วัตถุมีมวล 3 กิโลกรัม แรง F ขนาด 30 นิวตัน มีทิศขนานกับพ้ืนราบ ถาวัตถุไมมีการเคล่ือนท่ี แรงเสียดทานจะมีขนาดและทิศอยางไร

37o

F

1) 6 นิวตัน ทิศลงมาตามพ้ืนเอียง 2) 6 นิวตัน ทิศขึ้นไปตามพ้ืนเอียง3) 12.6 นิวตัน ทิศลงมาตามพ้ืนเอียง 4) 12.6 นิวตัน ทิศขึ้นไปตามพ้ืนเอียง

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004 ______________________________________ ฟสิกส (9)

16. บานพับ A และ B ยึดประตูหนัก 400 นิวตัน บานพับ A รับนํ้ าหนักประตู 34 ของนํ้ าหนักท้ังหมด ใหหาขนาดของแรงที่บานพับ B กระทํ าตอประตู ถาความกวางของประตูเปน 1 เมตร และบานพับท้ัง 2 หางกัน 2 เมตร

A

B

1) 112 นิวตัน 2) 141 นิวตัน 3) 162 นิวตัน 4) 181 นิวตัน17. กลองไมสูง 2 เมตร กวาง 1 เมตร วางบนพ้ืนเอียงท่ีปรับมุมได ถาสัมประสิทธิ์ความเสียดทานสถิตระหวาง

กลองไมกับพ้ืนเอียงเปน 0.4 มุมของพ้ืนเอียงท่ีทํ าใหกลองเริ่มเคล่ือนท่ีลงมาเปนเทาใด1) tan-1 0.2 2) tan-1 0.4 3) tan-1 0.5 4) tan-1 0.6

เฉลย

1. 1) 2. 1) 3. 4) 4. 4) 5. 3) 6. 2) 7. 1) 8. 3) 9. 3) 10. 2)11. 1) 12. 4) 13. 3) 14. 4) 15. 1) 16. 2) 17. 2)

ฟสิกส (10) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004

งานและพลังงาน

งานและพลังงาน (Work and Energy)

��������

F

Sθ

ถามีแรง F กระทํ าตอวัตถุ และวัตถุเคล่ือนท่ีโดยมีการกระจัดเปน S ในทิศท่ีทํ ามุม θ กับ F จะไดงานท่ีแรง Fท่ีกระทํ าตอวัตถุเปน W โดย

W = FS cos θ

เห็นไดวา ถา θ เปนมุมแหลม งานจะเปนบวก แตถา θ มีคามากกวา 90 องศา งานจะเปนลบ หากมุม θ มีคาเทากับ 90 องศา หรือแรงที่กระทํ ามีทิศต้ังฉากกับการกระจัดของวัตถุ จะไดงานมีคาเปนศูนย

งานเปนปรมิาณสเกลาร แตอาจจะมคีาเปนบวกหรอืลบกไ็ด นอกจากนีง้านยังมคีาเปนศูนยไดอีกดวย หนวยของงานในระบบ SI คือ นิวตัน ⋅ เมตร หรือ จูล (Joule)

กราฟระหวางแรงและการกระจัดจากนิยามของงานทํ าใหไดงานเนือ่งจากแรง F เทากับพ้ืนท่ีใตเสนกราฟระหวางแรงนัน้กับการกระจัด ลักษณะเชนนี้

ทํ าใหเราสามารถคํ านวณหางานจากแรงที่มีขนาดไมคงท่ีได

F2F1

S2S1การกระจัด

แรง

รูปกราฟของงานจากแรงที่ไมคงที่เทากับพ้ืนท่ีใตกราฟระหวางแรงกับการกระจัด

พลังงานจลน (Kinetic Energy)วัตถุท่ีมีการเคล่ือนท่ีเปนวัตถุท่ีมีพลังงาน เรียกพลังงานเนื่องจากการเคล่ือนท่ีของวัตถุวา พลังงานจลน โดยมีการ

กํ าหนดวา วัตถุมวล m ท่ีมีอัตราเร็ว v มีพลังงานจลนเปนKE = 12 mv2

พลังงานจลนเปนปริมาณสเกลาร มีคาเปนศูนยไดแตไมมีคาเปนลบ หนวยของพลังงานจลนในระบบ SI คือ จูล

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004 _____________________________________ ฟสิกส (11)

หากมีแรง F กระทํ าตอวัตถุ จนขนาดของความเร็วของวัตถุเปล่ียนไป ทํ าใหพลังงานจลนของวัตถุเปล่ียนไปจากเดิม พบวางานที่แรงนั้นกระทํ าตอวัตถุมีคาเทากับพลังงานจลนของวัตถุท่ีเปลี่ยนไป

หรือ W = KE2 – KE1เรียกคํ ากลาวนี้วา หลักของงาน-พลังงานจลน (Work-Kinetic Energy Theorem)

แรงอนุรักษ (Conservative Force)งานท่ีแรงอนุรักษกระทํ าตอวัตถุจนทํ าใหวัตถุมีการเคล่ือนท่ีเปนวงปดมีคาเปนศูนยงานท่ีแรงอนุรักษกระทํ าตอวัตถุใหเคล่ือนท่ีระหวาง 2 จุดใด ไมขึ้นกับเสนทางที่วัตถุเดิน แตขึ้นกับตํ าแหนงของ

จุดท้ังสองนั้น

พลังงานศักย (Potential Energy)พลังงานศักยของวัตถุ ณ จุดใด คือ งานท่ีนอยท่ีสุดท่ีใชในการเคล่ือนท่ีวัตถุจากจุดหรือระดับอางอิงมายังจุดนั้น

หรือพลังงานศักยของวัตถุ ณ จุดใด คือ งานอันเนื่องจากแรงอนุรักษท่ีใชในการเคล่ือนท่ีวัตถุจากจุดหรือระดับอางอิงมายังจุดนั้น

แรงสปริงเมื่อสปริงยืดหรือหด จนความยาวของสปริงเปลี่ยนไป x จากความยาวปกติ สปริงจะออกแรงดึงกลับตอปลาย

ของมันเพ่ือทํ าใหตัวสปริงกลับมามีความยาวเปนปกติถา F เปนขนาดของแรงดึงกลับ และ x เปนความยาวที่เปล่ียนไปของสปริง จะได

F = kxเรียก k วา คาคงตัวของสปริง (Spring constant) มีหนวยเปน นิวตัน/เมตร ในระบบ SI

แรงและงานที่ใชในการยืด (หรือหด) สปริงหากตองการยืด (หรือหด) สปริงใหมีความยาวเปลี่ยนไป x จะตองออกแรงที่มีขนาดเทากับแรงดึงกลับเฉล่ีย

นับต้ังแตสปริงยังไมยืด (หรือหด) จนสปริงยืด (หรือหด) เปนระยะ xแรงที่ใชยืด (หรือหด) สปริง F = 0 + kx2 = 12 kxและงานที่ใชในการยืด (หรือหด) สปริง W = 12 kx2

พลังงานศักยของสปริงPE = 12 kx2

ความถาวรของพลังงานกล (Conservation of Mechanical Energy)ผลบวกของพลังงานศักยและพลังงานจลนของวัตถุ คือ พลังงานท้ังหมดของวัตถุ ณ จุดนั้นกฎอนุรักษพลังงาน : หากวัตถุเคล่ือนท่ีภายใตแรงอนุรักษ พลังงานท้ังหมดของวัตถุจะมีคาคงที่

ฟสิกส (12) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004

กํ าลัง (Power)กํ าลัง คือ อัตราการทํ างานใน 1 หนวยเวลา กํ าลังเฉล่ียเทากับงานทั้งหมดท่ีทํ า (W) หารดวยเวลาทั้งหมดท่ีใชใน

การทํ างานนั้น (∆t) ถาให P เปนกํ าลัง จะไดP = W

t∆จากนิยามของงาน W = FS cos θหากแรงที่กระทํ าตอวัตถุเปนแรงที่คงท่ีจะได P = Fv cos θนั่นคือ สามารถเขียนกํ าลังไดในเทอมของการคูณเชิงสเกลารระหวางแรงและความเร็วของวัตถุกํ าลังเปนสเกลาร หนวยของกํ าลังในระบบ SI คือ จูล/วินาที หรือ วัตต (Watt) นอกจากหนวยดังกลาว กํ าลังยัง

มีหนวยเปน กํ าลังมา (Horsepower) โดย กํ าลัง 1 กํ าลังมาเทากับ 746 วัตต

แบบทดสอบ

1. ตองการเรงเครื่องใหรถมวล 1500 กิโลกรัม มีความเร็วเปลี่ยนจาก 10 เมตร/วินาที เปน 30 เมตร/วินาที ภายในเวลา 15 วินาที จะตองใชกํ าลังเฉล่ียอยางนอยเทาใด1) 15 kW 2) 120 kW 3) 135 kW 4) 150 kw

2. ดึงกลองมวล 40 กิโลกรัม ดวยแรงคงที่ 130 นิวตัน ในแนวระดับ ใหเคล่ือนท่ีจากหยุดนิ่งไปบนพืน้ท่ีมสัีมประสทิธิ์ แรงเสียดทาน 0.3 เปนระยะ 5 เมตร พลังงานจลนของกลองจะเปลี่ยนไปเทาใด1) 50 จูล 2) 100 จูล 3) 150 จูล 4) 300 จูล

3. วัตถุหนึ่งไถลลงตามพ้ืนเอียงท่ีไมมีความฝด เมื่อถึงปลายลางของพื้นเอียง วัตถุนี้จะมีอัตราเร็วปลายเทากับ v ถาตองการใหอัตราเร็วปลายเพ่ิมเปน 2v จะตองยกปลายพ้ืนเอียงใหสูงขึ้นเปนก่ีเทาของความสูงเดิม1) 2 2) 2 3) 2 2 4) 4

4. อัดสปริงซ่ึงวางอยูในแนวราบบนพื้นราบลื่นดวยมวล 0.25 กิโลกรัม ทํ าใหสปริงถูกกดเขาไป 10 เซนติเมตร ดังรูปหลังจากนั้นปลอยใหสปริงดีดมวลออกไปความเร็วสูงสุดท่ีมวลนี้จะมีไดคือเทาใด ถาสปริงมีคาคงตัว 100 นิวตัน/เมตร

0.25 kg

10 cm

1) 1.0 m/s 2) 1.4 m/s 3) 2.0 m/s 4) 2.4 m/s

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004 _____________________________________ ฟสิกส (13)

5. สปริงเบายาว 40 เซนติเมตร มีคาคงตัวสปริง 100 นิวตันตอเมตร หอยลงมาจากเพดาน ถาแขวนมวล 500 กรัมท่ีอีกปลายหนึ่งของสปริงแลวปลอย ใหหาความยาวของสปริงในขณะที่สปริงยืดออกมากที่สุด1) 5 cm 2) 10 cm 3) 15 cm 4) 20 cm

6. มวล 2 กิโลกรัม เคล่ือนท่ีจากหยุดนิ่งลงตามพื้นเอียงท่ีทํ ามุม 30 องศากับพ้ืนราบเปนระยะ d แลวชนกับสปริงท่ีอยูบนพ้ืนเอียง ทํ าใหสปริงยุบลงไปเปนระยะ 0.2 เมตร แลวหยุด หากสปริงมีคาคงตัว 400 นิวตัน/เมตร ใหหาระยะ d ในหนวยเซนติเมตร1) 15 cm 2) 30 cm 3) 45 cm 4) 60 cm

7. ผูกวัตถุมวล 6 กิโลกรัมไวท่ีปลายสปริงท่ีมีคาคงตัว 1200 นิวตันตอเมตร วางอยูบนพ้ืนราบ ถาคาสัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลนระหวางวัตถุกับพ้ืนเทากับ 0.3 แลว ใหคํ านวณหางานจากแรงดึงวัตถุออกไปจากต ําแหนงสมดุลเปนระยะ 16 เซนติเมตร1) 15.4 จูล 2) 16.8 จูล 3) 18.2 จูล 4) 19.7 จูล

8. ขณะท่ีวัตถุกํ าลังเคล่ือนท่ีและมีพลังงานจลน 6 จูล ไดมีแรงตานการเคล่ือนท่ีขนาด 10 นิวตัน มากระทํ าตอวัตถุทํ าใหวัตถุมีความเร็วลดลงและหยุดในท่ีสุด ระยะทางที่วัตถุเคล่ือนท่ีไดหลังจากท่ีแรงกระทํ าจนหยุดเปนเทาใด1) 0.3 เมตร 2) 0.6 เมตร 3) 1.67 เมตร 4) 4 เมตร

9. ยิงอนุภาคมวล 9 × 10-31 กิโลกรัม เขาชนเปาโลหะในอัตรา 1018 ตัว/วินาที ขณะกระทบเปาอนุภาคแตละตัวมีอัตราเร็ว 2 × 106 เมตร/วินาที ถาเปามมีวล 0.9 กิโลกรัม และมคีวามจคุวามรอนจ ําเพาะ 60 จูล/กิโลกรัม ⋅ เคลวินนานเทาใด เปาจึงจะมีอุณหภูมิเพ่ิมขึ้น 50°C1) 15 นาที 2) 20 นาที 3) 25 นาที 4) 30 นาที

10. โรงไฟฟาพลังนํ้ าใชพลังงานจากนํ้ าตกสูง 50 เมตร กวาง 800 เมตร และลึก 1 เมตร ถาอัตราเร็วของนํ้ าท่ีไหลเปน10 เมตร/วินาที และพลังงานจากนํ้ าตกเปลี่ยนเปนไฟฟาไดเพียงรอยละ 20 ใหหากํ าลังไฟฟาท่ีผลิตได(กํ าหนดความหนาแนนของนํ้ าเปน 1000 กิโลกรัม/ลูกบาศกเมตร)1) 2 × 108 วัตต 2) 4 × 108 วัตต 3) 6 × 108 วัตต 4) 8 × 108 วัตต

11. ติดสปริงอันหนึ่งไวกับเพดาน เมื่อนํ ามวล 4 กิโลกรัม มาแขวนท่ีปลายลางของสปริง แลวปลอยใหวัตถุเคล่ือนท่ีลงมาตามแรงความโนมถวง พบวาเมื่อสปริงเคล่ือนท่ีลงจากจุดสมดุลเปนระยะ 0.2 เมตร มวลจะมีความเร็ว0.5 เมตร/วินาที ใหหาคาคงตัวของสปริง1) 15 นิวตัน/เมตร 2) 37.5 นิวตัน/เมตร 3) 150 นิวตัน/เมตร 4) 375 นิวตัน/เมตร

เฉลย

1. 4) 2. 2) 3. 2) 4. 4) 5. 2) 6. 2) 7. 3) 8. 2) 9. 3) 10. 4)11. 4)

ฟสิกส (14) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004

การชนและโมเมนตัม

�����mv

เมื่อวัตถุมวล m มีความเร็ว vv จะมีโมเมนตัมเปน vPโดย vP = mvvเห็นไดวาโมเมนตัมเปนปริมาณเวกเตอร มีทิศเดียวกับความเร็ว vv แตมีขนาดเปน m เทาหนวยของโมเมนตัมในระบบ SI เปน กิโลกรัม ⋅ เมตร/วินาทีจากนิยามของโมเมนตัม สามารถแสดงใหเห็นไดวา แรงลัพธท่ีกระทํ าตอวัตถุเทากับอัตราการเปลี่ยนแปลงของ

โมเมนตัม หรือvF = mv mv

t2 1 v v-

∆สมการขางบนเปนอีกรูปแบบหนึ่งของกฎการเคลื่อนท่ีขอท่ี 2 ของโมเมนตัม

การดลและแรงดลจากสมการของแรง เมื่อคูณตลอดดวยชวงเวลา ∆t ก็จะทํ าใหเขียนสมการนี้ใหมไดวา

F ⋅ ∆t = mv2 - mv1เรียกปริมาณ F ⋅ ∆t ทางซายวา การดล (Impulse)

แรง

เวลา

จากสมการเห็นไดวา การดลมีคาเทากับโมเมนตัมของวัตถุท่ีเปล่ียนแปลงไป นอกจากนี้การดลยังเทากับ พ้ืนท่ีใตกราฟระหวางแรงและเวลาที่แรงกระทํ าตอวัตถุ อีกดวย

กฎการอนุรักษโมเมนตัม "ถาไมมีแรงภายนอกมากระทํ า โมเมนตัมท้ังหมดของระบบจะมีขนาดและทิศทางที่คงที่"

หากวัตถุมวล m1 และ m2 มีความเร็ว v1 และ v2 ชนกัน แลวความเร็วเปลี่ยนเปน V1 และ V2 ตามลํ าดับจะเขียนสมการของกฎการอนุรักษโมเมนตัมไดวา

m1v1 + m2v2 = m1V1 + m2V2 ...(1)สมการ (1) เปนสมการเวกเตอร ในการแกสมการจึงตองคํ านึงถึงท้ังขนาดและทิศทางของโมเมนตัมท้ังหลาย

ในสมการ ไมใชพิจารณาเฉพาะขนาดเทานั้น

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004 _____________________________________ ฟสิกส (15)

การชนกัน (Collision)การชนท่ีสํ าคัญมี 2 แบบ คือ การชนแบบยืดหยุน และแบบไมยืดหยุนการชนแบบยืดหยุน มีลักษณะการชนดังนี้1. โมเมนตัมกอนชนเทากับโมเมนตัมหลังชน2. พลังงานจลนกอนชนเทากับพลังงานจลนหลังชนการชนแบบยืดหยุนแบบตรง (Head on elastic collision)

u1m1 m2 m1 m2u2

หลังชนกอนชน

ถาวัตถุมวล m1 วิ่งดวยความเร็ว u1 เขาชนวัตถุมวล m2 ซ่ึงเคล่ือนท่ีไปทางเดียวกัน ดวยความเร็ว u2 ทํ าใหความเร็วของ m1 และ m2 กลายเปน v1 และ v2 ตามลํ าดับ และการชนเปนแบบยืดหยุนจะได

m1(u1 - v1) = m2(v2 - u2)และ u1 + v1 = u2 + v2การชนแบบยืดหยุนแบบเฉียดหากวัตถุมวล m เคล่ือนท่ีชนวัตถุมวลเทากันซ่ึงหยุดนิ่งแบบยืดหยุน หลังการชนวัตถุท้ังสองจะแยกออกจากกัน

โดยแนวการเคลื่อนท่ีของวัตถุท้ังสองทํ ามุมกัน 90 องศาการชนแบบไมยืดหยุน มีลักษณะการชนดังนี้1. โมเมนตัมกอนชนเทากับโมเมนตัมหลังชน2. พลังงานจลนกอนชนไมเทากับพลังงานจลนหลังชนหากหลังการชนวัตถุติดกันไป จะจัดเปนการชนแบบไมยืดหยุนสมบูรณ

การระเบิดหรือรีคอยล (Recoil)เปนปรากฏการณท่ีเดิมมีวัตถุ 2 อัน หรือมากกวาอยูนิ่ง ทํ าใหโมเมนตัมของระบบเปนศูนย ตอมาเมื่อมีแรง

กระทํ ากันระหวางวัตถุเหลานั้น ทํ าใหวัตถุท้ังหลายมีการเคล่ือนท่ีในทิศตางกัน โดยโมเมนตัมของวัตถุกอนการระเบิดมีคาเทากับผลบวกแบบเวกเตอรของวัตถุยอยท้ังหลายที่แตกออกจากกัน

ฟสิกส (16) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004

แบบทดสอบ

1. เมือ่ปลอยลูกบอลมวล 200 กรมั ท่ีความสูง 125 เซนติเมตร ลงบนพ้ืนราบ ปรากฏวาหลังจากลูกบอลกระทบพืน้เปนเวลา 0.06 วนิาที ลูกบอลก็กระดอนกลบัขึน้ตามแนวดิง่ วดัระยะสงูไดเทากับ 80 เซนติเมตร จงหาแรงเฉลีย่ท่ีพ้ืนกระทํ าตอลูกบอล

1) 50 N 2) 42 N 3) 30 N 4) 22 N 2. ใชคอนมวล 400 กรัม ตอกตะปู ในขณะที่คอนเริ่มกระทบหัวตะปู คอนมีความเร็วขนาด 10 เมตร/วินาที หลังจาก

กระทบหัวตะปูแลว คอนสะทอนกลับดวยความเร็วเทาเดิม ถาชวงเวลาที่คอนกระทบตะปูเปน 0.5 มิลลิวินาทีใหหาแรงเฉลี่ยท่ีคอนกระทํ าตอตะปู1) 1.6 × 104 นิวตัน 2) 3.2 × 104 นิวตัน 3) 6.4 × 104 นิวตัน 4) 8.0 × 104 นิวตัน

3. ถาจะใหกลองมวล 2 กิโลกรัม เคล่ือนท่ีดวยความเร็วคงที่ไปบนพื้นราบ ตองออกแรงในแนวราบขนาด 0.7 นิวตันตอกลอง ถาจะยิงกลองไมนี้ดวยกระสุนมวล 100 กรัม เพ่ือใหกลองเคล่ือนท่ีได 1.5 เมตร กอนหยุด อัตราเร็วของกระสุนกอนชนตองเปนเทาใด ใหกระสุนฝงตัวอยูในเนื้อไม

1) 9 เมตร/วินาที 2) 21 เมตร/วินาที 3) 33 เมตร/วินาที 4) 47 เมตร/วินาที 4.

um M

มวล m วิ่งเขาชนมวล M ท่ีติดสปริงเบา มีคาคงตัวของสปริง k ดวยความเร็ว u ดังรูป พลังงานจลนของระบบเปนเทาใด เมื่อ m และ M ใกลกันท่ีสุด1) 2

1 mu2 2) 21

Mm mu2 3) 2

1

+ M mM mu2 4) 2

1

+ M mm mu2

5. ปลอยมวล M1 ซ่ึงผูกติดกับเชอืก จากตํ าแหนงหยดุนิง่ในแนวระดบั ใหชนมวล M2 ท่ีวางไวท่ีขอบโตะ อยางยืดหยุนถา M1 เทากับ M2 ใหหาระยะทาง x ในหนวยเมตร

���

1 m

1 m1 m1M

2M

�����������x

1) 1 เมตร 2) 2 เมตร 3) 3 เมตร 4) 4 เมตร

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004 _____________________________________ ฟสิกส (17)

6. มวล m และ 2m แขวนกับเชือกเบาท่ียาวเทากันดังรูป ถาจับมวล m ใหสูงกวา 2m เปนระยะ h แลวปลอยใหตกลงมากระทบกับมวล 2m หลังจากกระทบกันแลวมวล m หยุดนิ่ง ใหคํ านวณวามวล 2m จะแกวงขึ้นไปไดสูงสุดจากตํ าแหนงเดิมเทาใด และการชนเปนแบบยืดหยุนหรือไม

����

m2m

h

1) 2h เปนการชนแบบยืดหยุน 2) 2

h เปนการชนแบบไมยืดหยุน3) 4

h เปนการชนแบบยืดหยุน 4) 4h เปนการชนแบบไมยืดหยุน

7. มวล 8 kg เคล่ือนท่ีไปทางทิศตะวันออกดวยความเร็ว 20 m/s ไปชนกับมวล 2 kg ท่ีเคล่ือนท่ีไปทางทิศตะวันตกดวยความเร็ว 10 m/s แลวมวลแรกยังคงเคลื่อนไปทางทิศตะวันออกดวยความเร็ว 10 m/s พลังงานจลนรวมเปล่ียนไปกี่จูล1) 100 จูล 2) 200 จูล 3) 300 จูล 4) 400 จูล

8. วัตถุ A วิ่งดวยความเร็ว 1 เมตร/วินาที ชนวัตถุ B มวลเทากันซ่ึงอยูนิ่งแบบยืดหยุน หลังการชนวัตถุ B วิ่งไปในทิศ 30 องศากับแนวเดิมของ A ถามวาความเร็วของวัตถุ A หลังการชนเปนเทาใด และอยูในทิศทํ ามุมเทาใดกับแนวเดิม1) 0.86 m/s และ 30° 2) 0.86 m/s และ 60° 3) 0.50 m/s และ 30° 4) 0.50 m/s และ 60°

9. วัตถุมวล m ตกลงมาในแนวดิ่ง ขณะท่ีอยูหางจากพ้ืน 1000 เมตร วัตถุมีความเร็ว 20 เมตร/วินาที และไดเกิดระเบิดแตกออกเปน 2 กอน แตละกอนมีมวลเทาๆ กัน และยังคงเคลื่อนท่ีอยูในแนวดิ่งท้ังคู ทันทีหลังการระเบิดมวลกอนหนึง่เคล่ือนท่ีลงดวยความเรว็ 60 เมตร/วินาที ใหหาวาท่ีเวลา 2 วินาทีหลังการระเบดิ มวลท้ังสองจะอยูหางกันเปนระยะทางเทาใด1) 80 เมตร 2) 100 เมตร 3) 160 เมตร 4) 200 เมตร

10. รถทดลองมวล 1 kg เคล่ือนท่ีดวยความเร็ว 2 m/s เขาชนรถทดลองอีกคันหนึ่ง ซ่ึงมีมวลเทากันและอยูนิ่งหลังการชนรถทั้งสองเคลื่อนท่ีตัดกันไป ใหหาพลังงานความรอนท่ีเกิดขึ้นจากการชนกัน1) 0.25 จูล 2) 0.5 จูล 3) 0.75 จูล 4) 1.0 จูล

เฉลย

1. 3) 2. 1) 3. 2) 4. 4) 5. 2) 6. 4) 7. 4) 8. 4) 9. 3) 10. 4)

ฟสิกส (18) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004

การเคลื่อนที่เปนวงกลม

เมื่อมีแรงกระทํ าตอวัตถุในลักษณะที่ทิศทางของแรงตั้งฉากกับวัตถุตลอดเวลา จะมีผลทํ าใหวัตถุเคล่ือนท่ีเปนวงกลม การท่ีมีแรงกระทํ าตลอดเวลาทํ าใหวัตถุท่ีมีการเคล่ือนท่ีเปนวงกลมอยูในสภาพท่ีไมสมดุล คือมีความเรงตลอดเวลา ความเร็วในขณะใดๆ ของวัตถุอยูในแนวของเสนสัมผัสของวัตถุ ณ จุดนั้น สวนความเรงของวัตถุท่ีเคล่ือนท่ีเปนวงกลมดวยขนาดของความเร็วคงที่จะมีทิศชี้เขาหาจุดศูนยกลางเสมอ เรียกความเรงนี้วา ความเรงสูศูนยกลาง

ขนาดของความเรงสูศูนยกลาง a = vr2

การท่ีมีความเรงสูศูนยกลาง แสดงวาแรงลัพธท่ีกระทํ าตอวัตถุมีทิศเขาสูจุดศูนยกลาง ซ่ึงเปนทิศท่ีต้ังฉากกับความเร็ว ซ่ึงอยูในแนวเสนสัมผัส เรียกแรงนี้วา แรงสูศูนยกลาง จากกฎขอท่ี 2 ของนิวตัน ไดสมการแรงสูศนูยกลางเปน

F = mvr2

ความเร็วเชิงมุม คือ มุมท่ีเสนรัศมีกวาดไปไดใน 1 หนวยเวลา มีหนวยเปน เรเดียนตอวินาที และมักจะใชสัญลักษณ ω ความสัมพันธระหวางความเร็วเชิงเสนและความเร็วเชิงมุมเปน

ω = vrจากความสัมพันธนี้ทํ าใหเขียนสมการของความเรงสูศูนยกลางและแรงสูศูนยกลาง ในเทอมของความเร็วเชิงมุมไดวา a = ω2Rและ F = mω2R

การเลี้ยวของรถจักรยานเมื่อรถจักรยานเล้ียวโคง ผูขับขี่ตองเอียงรถเปนมุม θ กับแนวดิ่งเพ่ือมิใหโมเมนตเนื่องจากแรงปฏิกิริยาจากพ้ืน

มากระทํ าแกตัวรถ ซ่ึงจะทํ าใหรถลม คาของมุม θ หาไดจากสมการtan θ = vrg

2

การยกระดับถนนที่เปนทางโคง ถนนท่ีเปนทางโคงมีการยกระดับถนนใหเอียงทํ ามุมกับพ้ืนราบ เพ่ือใหรถท่ีมีความเร็วเหมาะสมสามารถเลี้ยวผานไปไดโดยไมไถลออกนอกโคง แมถนนนั้นจะไมมีแรงเสียดทานก็ตาม

ถา r เปนรัศมีความโคงของถนน และ v เปนอัตราเร็วสูงสุดของรถที่สามารถเคล่ือนท่ีไปตามทางโคงไดโดยไมล่ืนไถล จะไดมุมเอียงของถนนเปน θ โดย tan θ = vrg

2

สัมประสิทธ์ิความเสียดทานสถิตของถนนโคงกรณีมิไดยกพ้ืนถนน แรงเสียดทานระหวางพ้ืนถนนกับลอจะทํ าใหรถไมไถลออกนอกโคง ถา µ เปนสัมประสิทธิ์

ความเสียดทานสถิตระหวางลอรถกับถนน จะได µ = vrg2

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004 _____________________________________ ฟสิกส (19)

แบบทดสอบ.1. ในการทดลองการเคลื่อนท่ีเปนวงกลมในระนาบระดับ ขณะท่ีกํ าลังแกวงใหจุกยางหมุนอยูนั้น เชือกท่ีผูกกับจุกยาง

ขาดออกจากกัน ขณะท่ีเชือกขาด ภาพการเคล่ือนท่ีท่ีสังเกตจากดานบนจะเปนตามรูปใด ถา a เปนตํ าแหนงของจุกยางขณะที่เชือกขาด

1)a

2)a

3)a

4)a

2. ในการทดลอง การเคล่ือนท่ีของวัตถุในแนววงกลม โดยแกวงจุกยางในลักษณะดังรูป ถานํ ามาเขียนกราฟระหวางขนาดของแรงดึงในเชือก (F) กับกํ าลังสองของความถี่ของการแกวง (f2) เมื่อรัศมีคงตัว R1 คาหนึ่ง และ R2 อีกคาหนึ่ง โดย R2 > R1 จะไดกราฟดังรูปใด

1)

f2 R 1

R2

FO

2)

f2 R 2

R1

FO

3)

f2

R1 R2

FO

4)

f2

R2 R1

FO

ฟสิกส (20) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004

3. เครื่องบินบินวนเปนวงกลมไดครบรอบใน 2.2 นาที ถาอัตราเร็วของเครื่องบินเปน 180 เมตร/วินาที ความเรงสูศูนยกลางของเครื่องบินเปนเทาใด1) 2.4 เมตร/วินาที2 2) 4.8 เมตร/วินาที2 3) 8.6 เมตร/วินาที2 4) 10 เมตร/วินาที2

4. แรงที่รถกระทํ าตอพ้ืนถนนในขณะที่รถเคล่ือนท่ีผานยอดเขาท่ีมีรัศมีความโคง 35 เมตร จะมีคาเปนเทาใด ถารถมีมวล 700 กิโลกรัม และวิ่งดวยอัตราเร็ว 10 เมตร/วินาที1) 3500 นิวตัน 2) 5000 นิวตัน 3) 7000 นิวตัน 4) 9000 นิวตัน

5. มวลกอนหนึ่งเคล่ือนท่ีเปนวงกลมรัศมี 1 หนวยในแนวราบ ขอสรุปตอไปนี้ ขอใดไมจริง1) ขนาดของความเร็วเฉล่ียของวัตถุมีคาคงที่ 2) ขนาดของความเร็วท่ีเวลาใดๆ ของวัตถุมีคาคงที่3) ความเร็วเชิงมุมท่ีเวลาใดๆ ของวัตถุจะตองคงท่ี 4) ความเรงท่ีเวลาใดๆ ของวัตถุจะตองคงท่ี

6. ขณะแกวงจุกยางใหเคล่ือนท่ีเปนวงกลมดวยอัตราเร็ว 5 เรเดียน/วนิาที ความยาวของเชอืกจากปลายบนของทอพีวีซีถึงจุกยางเปน 0.1 เมตร ถาลดความยาวเหลือ 14 ของความยาวเดมิโดยเล่ือนทอพีวซีีขึน้ อตัราเรว็เชงิมมุของจกุยางจะเปนเทาใด

1) 10 เรเดียน/วินาที 2) 15 เรเดียน/วินาที 3) 20 เรเดียน/วินาที 4) 25 เรเดียน/วินาที7. ดาวเทียมดวงหนึ่งโคจรรอบโลกดวยรัศมีวงโคจร R จะมีอัตราเร็ว v ถาดาวเทียมดวงนี้โคจรรอบดาวเคราะหท่ีมี

มวลเปน 3 เทาของโลก ท่ีรัศมีวงโคจร R เทากัน ดาวเทียมจะมีอัตราเร็วเทาใด1) 3 v 2) v3 3) 3v 4) 9v

8. รถเล้ียวโคงบนทางราบดวยรัศมี 100 เมตร มีอัตราเร็วคงที่ 16 เมตร/วินาที ใหหาคาสัมประสิทธิ์ความเสียดทาน ระหวางลอกับถนนท่ีนอยท่ีสุดท่ีทํ าใหรถไมไถลออกนอกเสนทาง1) 0.016 2) 0.064 3) 0.256 4) 0.640

เฉลย

1. 1) 2. 1) 3. 3) 4. 2) 5. 4) 6. 1) 7. 1) 8. 3)

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004 _____________________________________ ฟสิกส (21)

การเคลื่อนที่แบบโปรเจกไตล

การเคล่ือนท่ีแบบโปรเจกไตล เปนการเคล่ือนท่ีท่ีประกอบดวยการเคล่ือนท่ี 2 แนวท่ีต้ังฉากซ่ึงกันและกัน ทํ าใหแบงการคํ านวณการเคล่ือนท่ีออกเปน 2 สวน โดยความเชื่อมโยงการเคลื่อนท่ีท้ัง 2 แนว คือ การเคล่ือนท่ีท้ังสองนั้นมีเวลาเทากัน ตัวอยางของการเคลื่อนท่ีแบบโปรเจกไตลท่ีเห็นไดชัด คือการเคล่ือนท่ีภายใตแรงความโนมถวงทีค่วามเรว็ตนไมไดอยูในแนวดิ่ง

การคํ านวณเก่ียวกับการเคลื่อนท่ีแบบโปรเจกไตลแบงออกเปน 2 สวน ไดแก การคํ านวณในแนวราบ และการคํ านวณในแนวดิ่ง

สํ าหรับสวนของการเคลื่อนท่ีในแนวราบมักจะไมมีแรงมากระทํ าตอวัตถุ สมการของการเคลื่อนท่ีจึงเปน ระยะทางในแนวราบ = อัตราเร็วในแนวราบ × เวลา

แตถามีแรงกระทํ าในแนวราบ ก็หาอัตราเรงในแนวราบไดจากกฎขอท่ี 2 ของนิวตัน หรือ F = maเมื่อไดความเรงในแนวราบแลว ก็คํ านวณหาปริมาณอื่นๆ ไดจากสมการ

v = u + at v2 = u2 + 2as

s = ut + 12 at2การคํ านวณในแนวดิ่ง จะมีลักษณะเดียวกับการคํ านวณการเคลื่อนท่ีในแนวดิ่งอยางเสรี คือความเรงของวัตถุมี

คาเปน g ทิศลง และมีการกํ าหนดเครื่องหมายของปริมาณเวกเตอรทุกชนิดสิ่งท่ีเชื่อมโยงการคํ านวณในแนวราบและแนวดิ่งก็คือเวลา กลาวคือเวลาท่ีเก่ียวของกับการคํ านวณในแนวราบ

และในแนวดิ่งเปนเวลาเดียวกัน มีคาเทากัน

แบบทดสอบ

1. ยิงลูกหินขึ้นไปจากพื้นราบดวยความเร็วตน 40 เมตร/วินาที ในแนวทํ ามุม 30° กับแนวดิ่ง ใหหาวาลูกหินจะตกถึงพ้ืนท่ีระยะหางจากจุดเริ่มตนเทาใด1) 160 3 m 2) 140 3 m 3) 100 3 m 4) 80 3 m

2. ยิงกระสุนออกไปในแนวราบจากหนาผาสูงดวยความเร็ว 40 เมตร/วินาที พบวากระสุนปนตกถึงพ้ืนราบหางจากแนวยิงเปนระยะ 80 เมตร หากไมคํ านึงถึงแรงตานอากาศ ขอสรุปใดตอไปนี้ถูกตอง

ก. กระสุนใชเวลาในอากาศ 2 วินาทีข. หนาผาสูง 40 เมตรค. ความเร็วในแนวดิ่งของกระสุนขณะตกถึงพ้ืนเปน 20 เมตร/วินาที

1) ก. และ ข. 2) ก. และ ค. 3) ข. และ ค. 4) ก. เทานั้น

ฟสิกส (22) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004

3. ลูกปงปองกระเด็นทํ ามุมเงย 30° กับแนวระดับจากขอบโตะซ่ึงสูง 1 เมตร ดวยอัตราเร็ว 4 เมตรตอวินาที ใหหาขนาดของความเร็วของลูกปงปองขณะอยูสูงจากพ้ืน 0.55 เมตร1) 4.4 เมตร/วินาที 2) 5 เมตร/วินาที 3) 5.6 เมตร/วินาที 4) 6 เมตร/วินาที

4. ปลอยกอนหินหนัก 10 กิโลกรัม ลงมาจากหนาผาสูง 20 เมตร ขณะนั้นมีลมพัดในแนวราบ ทํ าใหกอนหินมีความเรงในแนวราบ 5 เมตร/วินาที2 แนวการเคลื่อนท่ีของกอนหินจะเปนอยางไร1) เคล่ือนท่ีเปนเสนตรงในแนวทํ ามุม tan-1 0.5 กับแนวระดับ2) เคล่ือนท่ีเปนเสนตรงในแนวทํ ามุม tan-1 0.5 กับแนวดิ่ง3) เคล่ือนท่ีเปนแบบพาราโบลา4) เคล่ือนท่ีเปนเสนตรงระยะหนึ่ง แลวเปลี่ยนเปนแบบพาราโบลา

5. ยิงวัตถุขึ้นไปในอากาศในแนวทํ ามุม 45° กับแนวราบ ท่ีจุดสูงสุดวัตถุมีความเร็ว 10 เมตร/วินาที ในหาระยะทางสูงสุดท่ีวัตถุเคล่ือนท่ีขึ้นไปได และวัตถุตกหางจากจุดยิงเทาใด1) 5 เมตร และ 20 เมตร 2) 5 เมตร และ 25 เมตร3) 10 เมตร และ 20 เมตร 4) 10 เมตร และ 25 เมตร

6. จากอุปกรณในการทดลองเรื่องการเคล่ือนท่ีแบบโปรเจกไตล ทํ าใหหาเสนทางการเคล่ือนท่ีของลูกปนในอากาศหลังจากหลดุจากปลายรางได และไดกราฟระหวางการกระจดัจากปลายรางในแนวดิง่ (y) กับแนวราบยกกํ าลังสอง (x2)ดังรูป ความเร็วของลูกปนขณะหลุดจากปลายรางเปนเทาใด

y (m)

x (m )2 2

1.25

251) 5 m/s 2) 10 m/s 3) 15 m/s 4) 20 m/s

7. ยิงกระสุนมวล 0.2 กิโลกรัม ออกไปดวยความเร็ว 100 เมตร/วินาที ในแนวทํ ามุม 53° กับแนวระดับ เมื่อส้ินวินาทีท่ี 8 หลังการยิง กระสุนมีพลังงานก่ีจูล1) 120 2) 240 3) 320 4) 360

8. ชายคนหนึ่งยืนบนพ้ืนสนามราบ เขาขวางลูกบอลขึ้นไปในอากาศ ลูกบอลลอยอยูในอากาศนาน 4 วินาที โดยไมคิดแรงตานของอากาศ ถาลูกบอลไปไดไกลในแนวระดับ 60 เมตร ความเร็วท่ีใชขวางลูกบอลมีคาเทาใด1) 15 เมตร/วินาที 2) 20 เมตร/วินาที 3) 25 เมตร/วินาที 4) 30 เมตร/วินาที

9. โยนวัตถุจากรถบรรทกุในแนวดิง่ดวยอัตราเร็ว 10 เมตร/วินาที โดยขณะโยนรถก ําลังผานบานสีเขยีวพอดี คนในบานเห็นวัตถุเคล่ือนท่ีออกจากรถในแนวทํ ามุม 45° กับแนวระดับ เมื่อรถเคล่ือนท่ีผานบานสีเหลือง วัตถุก็กลับตกลงมายังรถอีกครั้งหนึ่ง ใหหาระยะระหวางบานท้ัง 2 หลัง1) 10 เมตร 2) 20 เมตร 3) 30 เมตร 4) 40 เมตร

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004 _____________________________________ ฟสิกส (23)

10. เครื่องบินบินในแนวราบดวยความเร็ว 72 เมตร/วินาที ท่ีความสูง 125 เมตร ขางลางมีรถบรรทุกวิ่งดวยความเร็วคงท่ีไปทางเดียวกับเครื่องบิน นักบินตองการท้ิงสัมภาระลงที่รถบรรทุก ถาระยะในแนวราบขณะปลอยสัมภาระระหวางเครื่องบินและรถเปน 160 เมตร ใหหาความเร็วของรถบรรทุก1) 10 เมตร/วินาที 2) 20 เมตร/วินาที 3) 30 เมตร/วินาที 4) 40 เมตร/วินาที

11. ถาตองการยิงกระสุนปนใหญใหขามเนินสูง 500 เมตร และตกสูเปาหมายหลังเนินเขา หางจากจุดยิงเปนระยะ500 เมตร โดยเนินเขาอยูตรงกึง่กลางระหวางปนใหญกับเปาหมายพอดี จะตองทํ าใหปนใหญทํ ามุมเทาใดกับพ้ืนดิน1) tan-1

41 2) tan-1 1 3) tan-1 4 4) ขอมูลไมเพียงพอ

12. ในการยิงขีปนาวุธจากพ้ืนดิน โดยทํ ามุม θ กับแนวระดับ ถา t เปนเวลาท้ังหมดในการเคลื่อนท่ี และ x เปนระยะกระจัดในแนวระดับ ขอใดตอไปนี้ถูกตอง1) t ∝ (sin θ)1/2 2) t ∝ (cos θ)-1 3) x ∝ sin θ 4) x ∝ sin 2θ

13. ปดลูกบอลจากจุดบนสุดของขั้นบันได ทํ าใหความเร็วตนของลูกบอลอยูในแนวระดับ และมีขนาด 2.5 เมตร/วินาทีถาบันไดแตละขั้นสูง 15 เซนติเมตร และกวาง 20 เซนติเมตร ใหหาวาลูกบอลจะตกลงมาตามบันไดไดก่ีขั้น1) 4 ขั้น 2) 5 ขั้น 3) 6 ขั้น 4) 7 ขั้น

เฉลย

1. 4) 2. 2) 3. 2) 4. 2) 5. 2) 6. 2) 7. 4) 8. 3) 9. 2) 10. 4)11. 3) 12. 4) 13. 2)

การเคลื่อนที่แบบหมุน

การเคลื่อนท่ีแบบหมุน (Rotation) คือ การท่ีวัตถุของแข็งหมุนรอบตัวเองรอบจุดใดจุดหนึ่งในตัวมัน หรือแกนใดแกนหนึ่งท่ีผานตัวมัน ปริมาณที่เก่ียวของกับการหมุน ไดแก

การกระจัดเชิงมุม (Angular displacement) คือ มุมท่ีเสนรัศมีกวาดไปได มีหนวยเปนเรเดียนความเร็วเชิงมุม (Angular velocity) คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของการกระจัด หรือการกระจัดท่ีเปล่ียนไปใน

หนึ่งหนวยเวลา ใชสัญลักษณ ω มีหนวยเปนเรเดียน/วินาทีความเรงเชิงมุม (Angular accerelation) คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็วเชิงมุม มีหนวยเรเดียน/วินาที2

ใชสัญลักษณ α ความสัมพันธระหวางความเรงและความเร็วเชิงมุมเปนดังสมการα = t∆

ω∆

การหมุนท่ีมีความเรงเชิงมุมคงท่ีมีความสัมพันธระหวางการกระจัดเชิงมุม ความเร็วเชิงมุมและความเรงเชิงมุมคลายกับระหวางการกระจัด ความเร็ว ความเรง ของการเปลี่ยนตํ าแหนงท่ีมีความเรงคงที่

ฟสิกส (24) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004

ถาให ω0 และ ω เปนความเร็วเชิงมุมในตอนแรก และเมื่อเวลาผานไป t ตามลํ าดับθ เปนการกระจัดเชิงมุมเมื่อเวลาผานไป t นับจากเริ่มหมุนα เปนความเรงเชิงมุม

ω = ω0 + αt เทียบไดกับ v = u + at θ = ω0t + 2

1 αt2 เทียบไดกับ s = ut + 21 at2

ω2 = 20ω + 2αθ เทียบไดกับ v2 = u2 + 2as

นอกจากนี ้ความสัมพันธระหวางอตัราเรว็เชงิมมุกับอตัราเรว็เชงิเสน และระหวางความเรงเชงิมมุกับความเรงเชิงเสนของวัตถุท่ีมีรัศมีของการหมุนเปน r เปนดังนี้

ω = rv และ α = ra

ทอรกกับการเคลื่อนที่แบบหมุนกรณีของการหมุน วัตถุมีสมบัติท่ีจะรักษาสภาพการหมุน โดยวัตถุท่ีรักษาสภาพการหมุนจะอยูในสภาพท่ีไมหมุน

หรือหมุนดวยอัตราเร็วเชิงมุมคงท่ี เรียกสมบัติท่ีทํ าใหวัตถุรักษาสภาพการหมุนวา โมเมนตความเฉื่อย (Moment ofinertia) และส่ิงท่ีทํ าใหสภาพการหมุนของวัตถุเปล่ียนไปก็คือ ทอรก (Torque)

ทอรก หรือโมเมนต คือส่ิงท่ีทํ าใหสภาพการหมุนของวัตถุเปล่ียนไป เชนเดียวกับแรงที่ทํ าใหสภาพการเคล่ือนท่ีของวัตถุเปล่ียนไป โดยกํ าหนดวา ทอรกหรือโมเมนตของการหมุนใด มีคาเทากับผลคูณของขนาดของแรงกับระยะทางต้ังฉากจากจุดหมุนถึงแนวแรงนั้น

ทอรกเปนปริมาณเวกเตอร ประกอบดวยขนาดและทิศทาง โดยทิศทางของทอรกคือทิศของการหมุนท่ีเกิดขึ้นไดแก ทิศตามเข็มนาฬิกา หรือทิศทวนเข็มนาฬิกา

ในเรื่องของการหมุนมักใช τ เปนสัญลักษณของทอรก หนวยของทอรก คือ นิวตัน-เมตร

โมเมนตความเฉ่ือยโมเมนตความเฉื่อยของวัตถุแตละอันมิไดมีคาขึ้นกับมวลเทานั้น แตยังขึ้นกับการกระจายของมวลและตํ าแหนง

ของแกนหมุนในวัตถุอีกดวย พิจารณาวัตถุเกร็งท่ีกํ าลังหมุนรอบแกนๆ หนึ่ง สามารถพิจารณาไดวาวัตถุเกร็งนี้ประกอบดวยอนุภาคท่ีมีมวลนอยๆ อยูมากมาย ถาให mi และ ri เปนมวลของอนุภาคตัวท่ี i และเปนระยะระหวางอนุภาคตัวท่ี iกับจุดหมุนตามลํ าดับ จะไดโมเมนตความเฉื่อยของอนุภาคตัวท่ี i เปน mi

2ir

สํ าหรับคาโมเมนตความเฉื่อยท้ังหมดของวัตถุท้ังกอน จะมีคาเทากับผลบวกของโมเมนตความเฉื่อยของอนุภาคท้ังหมด นั่นคือถาให I เปนโมเมนตความเฉื่อยของวัตถุเกร็งจะได I = 2

11rm + m222r + ... + mi

2ir + ...

หรือ I = ∑i

2iirm

โมเมนตความเฉื่อยมีหนวยในระบบ SI เปน กิโลกรัม-เมตร2

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004 _____________________________________ ฟสิกส (25)

กฎการเคลื่อนที่แบบหมุนจากการศึกษาธรรมชาติของการเคลื่อนท่ีแบบหมุนของวตัถุ ทํ าใหเขยีนกฎการเคล่ือนท่ีแบบหมนุไดเปน 3 ประการ

เชนกัน ดังนี้1. ถาไมมีทอรกลัพธมากระทํ า วัตถุจะรักษาสภาพการหมุนไวเสมอ2. ถามีทอรกลัพธท่ีไมเทากับศูนยมากระทํ า วัตถุจะหมุนดวยความเรงเชิงมุมตามสมการ

τ = Iα3. ทุกๆ ทอรกกิริยาจะมีทอรกปฏิกิริยาท่ีมีขนาดเทากันแตทิศตรงขามเสมอ

โมเมนตัมเชิงมุม (Angular Momentum)การเคล่ือนท่ีแบบหมุนมีการกํ าหนดปริมาณที่เรียกวา โมเมนตัมเชิงมุมขึ้น โดยโมเมนตัมเชิงมุมมีหลักความถาวร

ในลักษณะเดียวกับโมเมนตัมเชิงเสน โดยโมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุท่ีมีโมเมนตความเฉื่อย I และหมุนดวยความเร็วเชิงมุม ω มีคาเปน L โดย

L = Iωหลักความถาวรของโมเมนตัมเชิงมุมกลาววา หากไมมีทอรกภายนอกมากระทํ า โมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุจะมีคา

คงท่ี หนวยของโมเมนตัมเชิงมุมในระบบ SI คือ กิโลกรัม ⋅ เมตร2/วินาที

พลังงานจลนเน่ืองจากการหมุน (Rotational Kinetic Energy)วัตถุท่ีกํ าลังหมุนจะมีพลังงานจลนเนื่องจากการหมุน เขียนไดเปน KEr โดย

KEr = 21 Iω2

ท่ีผานมาเห็นไดวาปรมิาณตางๆ ท่ีเก่ียวของกับการเคลือ่นท่ีเชงิเสน และการเคลือ่นท่ีแบบหมนุมคีวามสอดคลองกันซ่ึงอาจจะสรุปไดอีกครั้งดังนี้ อัตราเร็วเชิงเสน v เทียบไดกับ อัตราเร็วเชิงมุม ω ความเรงเชิงเสน a เทียบไดกับ ความเรงเชิงมุม α ระยะทางเชิงเสน s เทียบไดกับ ระยะทางเชิงมุม θ แรง F เทียบไดกับ ทอรก τ โมเมนตัมเชิงเสน P เทียบไดกับ โมเมนตัมเชิงมุม L มวล m เทียบไดกับ โมเมนตความเฉื่อย I

ดังนั้นเมื่อการเคล่ือนท่ีเชิงเสนมีสมการของแรง F = maการเคล่ือนท่ีแบบหมุนก็มีสมการของทอรก τ = Iαการเคล่ือนท่ีเชิงเสนมีสมการของโมเมนตัม P = mvการเคล่ือนท่ีเชิงมุมก็มีสมการของโมเมนตัมเชิงมุม L = Iω

ฟสิกส (26) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004

แบบทดสอบ

1. วงลอกลมรัศมี 2 เมตร มีแรง 4 นิวตัน มากระทํ าในแนวเสนสัมผัส ทํ าใหวงลอหมุนรอบจุดศูนยกลางดวยความเรงเชิงมุม 0.5 เรเดียน/วินาที2 ใหหาโมเมนตความเฉื่อยของวงลอ1) 4 kg-m2 2) 8 kg-m2 3) 16 kg-m2 4) 20 kg-m2

2.

350 g

แขวนมวล 350 g จากรอกรัศมี 14 cm เมื่อปลอยมวลจากสภาพหยุดนิ่ง พบวาวัตถุจะตกลงไดระยะทาง 2.2 mในเวลา 5.5 s ใหหาโมเมนตความเฉื่อยของรอก1) 0.464 กิโลกรัม-เมตร2 2) 0.518 กิโลกรัม-เมตร23) 0.610 กิโลกรัม-เมตร2 4) 0.679 กิโลกรัม-เมตร2

3. ลูกบอลมวล 1.2 กิโลกรัม ติดอยูท่ีปลายขางหนึ่งของแทงไมยาว 0.8 เมตร ปลายอีกขางหนึ่งของแทงไมตรึงติดกับท่ี และทํ าใหแทงไมหมุนไดคลองเปนรูปวงกลมในแนวดิ่ง ในขณะที่แทงไมอยูในแนวราบ ทอรกเนื่องจากแรงความโนมถวงที่กระทํ าตอแทงไมเปนเทาใด1) 0 N-m 2) 0.96 N-m 3) 9.6 N-m 4) 96 N-m

4.0.25 0.75

AB

0.3 k 0.1 k

วัตถุมวล 0.3 และ 0.1 กิโลกรัม ติดอยูกับปลายทั้งสองของโลหะเบายาว 1.00 เมตร ใหหาพลังงานจลนของการหมุน ถาแทงโลหะหมุนรอบแกน AB ในอัตรา 10 เรเดียน/วินาที1) 3.75 จูล 2) 5.63 จูล 3) 7.50 จูล 4) 15.0 จูล

5. เด็กยืนบนแปนซ่ึงหมุนรอบแกนดิง่ เดก็และแปนมโีมเมนตความเฉือ่ย 8.0 kg-m2 มอืแตละขางถือมวลอนัละ 2 kgเมื่อเหยียดแขนมวลหางจากแกนหมุน 1.0 m และแปนมีอัตราเร็ว 5 รอบ/วินาที เมื่อหดแขนตุมนํ้ าหนักหางจากแกนหมุน 20 cm ใหหาวาแปนจะหมุนดวยอัตราเร็วก่ีรอบ/วินาที1) 6 2) 6.2 3) 6.6 4) 7.3

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004 _____________________________________ ฟสิกส (27)

6.����

4

25 m

�������จากรูป รอกรัศมี 0.2 เมตร มีโมเมนตความเฉื่อย 0.4 kg-m2 ถาเชือกไมเกิดการไถลบนรอกแลว มวล 4 kgจะเคลื่อนท่ีลงมากระทบพื้นดวยความเร็วเทาใด1) 2.5 m/s 2) 2

5 m/s 3) 5 2 m/s 4) 10 m/s

7. วัตถุรูปทรงกระบอก รัศมี 0.1 m มวล 10 kg กล้ิงจากยอดของพ้ืนเอียง ซ่ึงสูงจากพ้ืน 1.2 m เมื่อถึงพ้ืนลางวัตถุมีพลังงานจลนเนื่องจากการเคลื่อนท่ี 40 J ใหหาโมเมนตของความเฉื่อยของวัตถุนี้1) 0.1 kg-m2 2) 0.2 kg-m2 3) 0.5 kg-m2 4) 1.0 kg-m2

เฉลย

1. 3) 2. 1) 3. 3) 4. 1) 5. 4) 6. 2) 7. 3)