Upload
others
View
6
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 26 _________________________________________คณตศาสตร (51)
กราฟว เคราะห ข อสอบ PAT 1
แคลคลส
ลาดบ &
อนกรม
คณตศาสตร (52)__________________________________________ โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 26
Main Map
โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 26 _________________________________________คณตศาสตร (53)
ตรรกศาสตร ตวเชอมประพจน และตารางคาความจรง
p q p ∧ q p ∨ q p → q p ↔ q ∼p T T T T T T F T F F T F F F T F T T F T F F F F T T
ความหมายของสมมลและนเสธ สมมล คอ มคาความจรง “ตรงกน” ทกกรณ นเสธ คอ มคาความจรง “ตรงขามกน” ทกกรณ กฎพชคณต 1. p ∧ q ≡ q ∧ p 4. p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ q ≡ q ∨ p p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) p ↔ q ≡ q ↔ p 5. ∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q 2. (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) ∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) 6. p → q ≡ ∼p ∨ q ≡ ∼q → ∼p 3. ∼(∼p) ≡ p 7. p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) ≡ ∼p ↔ ∼q 1. กาหนดให p, q, r และ s เปนประพจนใดๆ พจารณาขอความตอไปน (ก) ถาประพจน (p ∨ q) ↔ (r ∧ s) และประพจน p มคาความจรงเปนจรง แลวสรปไดวาประพจน s มคาความจรงเปนจรง (ข) ประพจน (p ∧ q) → (r ∧ s) สมมลกบประพจน [q → (p → r)] ∧ [p → (q → s)] ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 ม.ค. 57) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก แต (ข) ผด 3) (ก) ผด แต (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด
คณตศาสตร (54)__________________________________________ โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 26
2. กาหนดให p, q, r, s และ t เปนประพจน ซง p → (q ∧ r) มคาความจรงเปน เทจ p ↔ (s ∨ t) มคาความจรงเปน จรง ประพจนในขอใดตอไปน มคาความจรงเปนจรง (PAT 1 เม.ย. 57) 1) (q ∧ s) → (p ∧ q) 2) (s ∧ t) → ∼q 3) (q ∨ s) ↔ p 4) (p → r) → s 3. กาหนดให a และ b เปนจานวนจรง โดยท ab > 0 ให p แทนประพจน “ถา a < b แลว a
1 > b1 ”
และ q แทนประพจน “ ab = a b ” ประพจนในขอใดตอไปนมคาความจรงเปนจรง (PAT 1 ม.ค. 57) 1) (p → q) ∨ (q ∧ ∼p) 2) (∼q → ∼p) ∧ (∼q ∨ p) 3) (p ∧ ∼q) ∧ (q → p) 4) (∼p → q) → (p ∧ q) 4. กาหนดให p, q, r และ s เปนประพจนใดๆ ประพจน [(p ∧ ∼q) ∨ ∼p] → [(r ∨ s) ∧ (r ∨ ∼s)]
สมมลกบประพจนในขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 55) 1) p → r 2) q → r 3) (p ∨ r) ∧ (q ∨ r) 4) (q ∨ r) ∧ (q ∨ s) 5. กาหนดให p และ q เปนประพจน ประพจนในขอใดตอไปนเปนสจนรนดร ( PAT 1 ต.ค. 55) 1) (p → q) → (q → p) 2) (∼p ∨ ∼q) → (p → q) 3) [(p ∧ ∼q) → ∼p] → (p → q) 4) [(p ∧ q) → ∼q] → (p → q)
โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 26 _________________________________________คณตศาสตร (55)
ระบบจ านวนจร ง การแกสมการพหนามกาลง 2
ถา ax2 + bx + c = 0 แลว x = 2a 4ac b b 2 -- ± สตรทควรร
> 0 ; ม 2 คาตอบ (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 โดยท b2 - 4ac = 0 ; ม 1 คาตอบ a2 - b2 = (a + b)(a - b) < 0 ; ไมมคาตอบใน R a3 ± b3 = (a ± b)(a2 m ab + b2) การแกสมการ / อสมการ คาสมบรณ 1. |P(x)| = Q(x) P(x) = ±Q(x) |P(x)| < Q(x) -Q(x) < P(x) < Q(x) |P(x)| > Q(x) P(x) < -Q(x) หรอ P(x) > Q(x) 2. |P(x)| = P(x) P(x) ≥ 0 |P(x)| = -P(x) P(x) ≤ 0 3. |P(x)| = |Q(x)| (P(x))2 = (Q(x))2 4. x2 = |x|2 5. ถาม | | หลายพจน ใหปลด | |, แยกกรณคด 6. |a| + |b| = |a + b| ab ≥ 0 |a| + |b| = |a - b| ab ≤ 0 |a| + |b| > |a + b| ab < 0 |a| + |b| ≥ |a + b| R 6. กาหนดให เอกภพสมพทธ คอ เซตของจานวนจรงบวก พจารณาขอความตอไปน (ก) ประพจน ∀x[|x2 - 5x + 4| < x2 + 6x + 5] มคาความจรงเปนจรง (ข) ประพจน ∀x[|x2 - 1| ≥ 2x - 2] มคาความจรงเปนเทจ ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 เม.ย. 57) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก แต (ข) ผด 3) (ก) ผด แต (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด
คณตศาสตร (56)__________________________________________ โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 26
7. ถา A แทนเซตของเซตคาตอบของสมการ |2 - 2x| + |x + 2| = 4 - x แลวเซต A เปนสบเซตของขอใดตอไปน (PAT 1 เม.ย. 57)
1) (-4, 0) 2) (-1, 1) 3) (0, 4) 4) (-3, 2) 8. กาหนดให a และ b เปนจานวนจรงบวก และ a < b เซตคาตอบของสมการ |x - a| - |x - b| = b - a
เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 57) 1) {b} 2) (a, b] 3) [b, ∞) 4)
+ ∞ ,2
b a
9. ให A แทนเซตของจานวนจรง x ทงหมดทสอดคลองกบสมการ
7 8x 4x4x
2 +- +
7 10x 4x3x
2 +- = 1
และให B แทนเซตของจานวนจรง x ทงหมดทสอดคลองกบอสมการ |x2 - 2x| + x2 > 4 พจารณาขอความตอไปน (ก) A ⊂ B (ข) จานวนสมาชกของเพาเวอรเซตของเซต AI B เทากบ 2 ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 เม.ย. 57) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก แต (ข) ผด 3) (ก) ผด แต (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด
โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 26 _________________________________________คณตศาสตร (57)
10. ให R แทนเซตของจานวนจรง ถา A = {x ∈ R | x2 + 4 3x x2 +- > 3x + 2} แลวเซต A เปนสบเซตของขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 57) 1) (-∞, 2)U (3, 4) 2) (-∞, 0)U (3, ∞) 3) (-∞, -1)U (4, ∞) 4) (-1, ∞) 11. กาหนดให I แทนเซตของจานวนเตม ให A = {x ∈ I | |2x + 7| ≤ 9} และ B = {x ∈ I | |x2 - x - 1| > 1} พจารณาขอความตอไปน (ก) จานวนสมาชกของเซต AI B เทากบ 7 (ข) A - B เปนเซตวาง ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 ต.ค. 55) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก แต (ข) ผด 3) (ก) ผด แต (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด 12. ถา A แทนเซตของจานวนเตมทงหมด ทสอดคลองกบอสมการ 3|x - 1| - 2x > 2|3x + 1| และ B แทนเซตคาตอบของอสมการ x(x + 2)(x + 1)2 < 0 แลวขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 ม.ค. 55) 1) เซต A - B มสมาชก 5 ตว 2) AU B = A 3) เซต AI B มสมาชก 1 ตว 4) (A - B)U (B - A) = B
คณตศาสตร (58)__________________________________________ โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 26
ทฤษฎ จ านวน ห.ร.ม. นยาม (a, b) = d กตอเมอ 1. d|a และ d|b 2. ถา c|a และ c|b แลว c|d สมบต 1. d = ax + by โดยท x, y ∈ I 2. (a, b) = (-a, b) = (a, -b) = (-a, -b) ค.ร.น. นยาม [a, b] = c กตอเมอ 1. a|c และ b|c 2. ถา a|d และ b|d แลว c|d สมบต a ⋅ b = (a, b) ⋅ [a, b] 13. กาหนดให a เปนจานวนเตมบวก ถา ห.ร.ม. ของ a และ 2520 เทากบ 60 และ ค.ร.น. ของ a และ 420 เทากบ 4620 แลว a อยในชวงในขอใดตอไปน (สามญ 56) 1) [200, 350) 2) [350, 500) 3) [500, 650) 4) [650, 800) 5) [800, 950) 14. กาหนดให n เปนจานวนนบทมากทสดทหาร 166 และ 1101 แลวไดเศษเหลอ 1 แลว n มคาเทากบเทาใด
(สามญ 57)
โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 26 _________________________________________คณตศาสตร (59)
15. กาหนดให m และ n เปนจานวนเตมบวกซง m = n + 2 และ ค.ร.น ของ m และ n เทากบ 180 แลว ผลคณ mn มคาเทากบเทาใด (สามญ 57)
16. ถา S เปนเซตของจานวนนบ n ซง ค.ร.น. ของ 720 และ n มคาเทากบ 10800 แลวสมาชกของ S ทมคา
นอยทสดมคาเทากบเทาใด (สามญ 55) 17. กาหนดให a, b เปนจานวนเตมบวกซง ab - 25a - 25b = 1575 ถา ห.ร.ม. (a, b) = 5 แลว |a - b|
มคาเทากบขอใดตอไปน (สามญ 55) 1) 15 2) 45 3) 90 4) 210 5) 435 18. เศษเหลอจากการหาร 4999 + 9555 ดวย 5 มคาเทากบเทาใด (สามญ 57) 19. ถา d เปนจานวนเตมบวกทมากกวา 1 และจานวน 3456, 2561 และ 1308 หารดวย d มเศษเหลอเทากน
คอ r แลว d + r เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 54)
คณตศาสตร (60)__________________________________________ โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 26
เรขาคณ ตว เคราะห และภาคต ดกรวย เรขาคณตวเคราะห
) y,(x 11
) y,(x 22
d
) y,(x 11
dAx + By + C = 0
0 C By Ax 1 =++
d0 C By Ax 2 =++
d = 221
221 ) y (y )x (x -- + d =
2211
B A
|C By Ax|
+
++ d = 22
21
B A
|C C|
+
-
ภาคตดกรวย
วงกลม (x - h)2 + (y - k)2 = r2 ; จดศนยกลาง คอ (h, k) รศม = r (x - h)2 = 4c(y - k) ; c > 0 หงาย, c < 0 ควา
พาราโบลา (y - k)2 = 4c(x - h) ; c > 0 ขวา, c < 0 ซาย
นอน : 22
ah) (x - + 2
2
bk) (y - = 1 ตง : 2
2
bh) (x - + 2
2
ak) (y - = 1
วงร a2 = b2 + c2 ; คาความเยองศนยกลาง (e) = a
c ; 0 < e < 1
นอน : 22
ah) (x - - 2
2
bk) (y - = 1 ตง : 2
2
ak) (y - - 2
2
bh) (x - = 1
ไฮเพอรโบลา c2 = a2 + b2
20. กาหนดใหวงรรปหนงมสมการเปน x2 + Ay2 + Bx + Cy - 92 = 0 ; A, B, C ∈ I โดยทมจดศนยกลาง
อยท (2, 1) และแกนเอกยาวเปน 2 เทาของแกนโท ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 เม.ย. 57) 1) A + B + C = 0
2) ความเยองศนยกลางของวงรเทากบ 53
3) วงรมจดศนยกลางรวมกบจดศนยกลางของวงกลม x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0 และแกนเอก ยาวเทากบรศมของวงกลม
4) ผลบวกของระยะทางจากจด (2, 6) ไปยงโฟกสทงสองของวงรเทากบ 20 หนวย
โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 26 _________________________________________คณตศาสตร (61)
21. ให F เปนโฟกสของพาราโบลา 4y = x2 - 6x + 13 ถาไฮเพอรโบลารปหนงมสมบตดงน (ก) แกนตามขวางขนานแกน y (ข) จดศนยกลางของไฮเพอรโบลาอยท F (ค) โฟกสหนงของไฮเพอรโบลา คอ (3, 2 + 2 13 ) (ง) แกนสงยคยาว 12 หนวย แลวไฮเพอรโบลารปนมสมการตรงกบขอใดตอไปน (PAT 1 เม.ย. 57) 1) 4x2 - 9y2 - 24x + 36y + 144 = 0 2) 4x2 - 9y2 - 24x + 36y - 36 = 0 3) 9y2 - 4x2 + 24x + 36y - 144 = 0 4) 9y2 - 4x2 + 24x + 36y + 36 = 0 22. ถาวงกลมวงหนงมจดศนยกลาง คอ C(h, k) อยบนเสนตรง x + y + 4 = 0 และวงกลมนผานจด
A(-5, -2) และจด B(-2, 5) แลวพนทของรปสามเหลยม ABC เทากบเทาใด (PAT 1 ต.ค. 55) 23. ให A เปนจดตดของเสนตรง x - 3y + 1 = 0 และ 2x + 5y - 9 = 0 ถาเสนตรง L มความชนเทากบ m
เมอ m < 0 มระยะหางจากจดกาเนด (0, 0) เทากบ k หนวย โดยท k2 + 2m = 1 และผานจด A แลวสมการของเสนตรง L ตรงกบขอใดตอไปน (PAT 1 เม.ย. 57)
1) 2x + y - 5 = 0 2) 3x + y - 7 = 0 3) x + 2y - 4 = 0 4) x + 3y - 5 = 0
คณตศาสตร (62)__________________________________________ โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 26
24. พจารณาขอความตอไปน (ก) ให P(x, y) เปนจดใดๆ ในระนาบ ถาผลบวกของระยะทางจากจด P(x, y) ไปยงจด (0, -2) และ
ระยะทาง จากจด P(x, y) ไปยงจด (2, -2) เทากบ 2 5 แลวเซตของจด P(x, y) คอ {(x, y) | 4x2 + 5y2 - 8x + 20y - 12 = 0}
(ข) จด (1, 1) เปนจดบนพาราโบลา y = x2 อยใกลกบเสนตรง y = 2x - 4 มากทสด ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 ม.ค. 57) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก แต (ข) ผด 3) (ก) ผด แต (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด 25. แกนเอกของวงรเปนสวนของเสนตรงทเชอมระหวางจดตดของวงกลม x2 + y2 = 25 กบวงกลม
x2 + y2 + 6y - 7 = 0 และโฟกสจดหนงของวงรอยบนเสนตรง x + 2 3 = 0 สมการของวงรตรงกบขอใดตอไปน (PAT 1 ต.ค. 55)
1) x2 + 4y2 - 8x = 0 2) x2 + 4y2 + 24y + 20 = 0 3) 4x2 + y2 + 6y - 7 = 0 4) 4x2 + y2 - 32x + 48 = 0 26. กาหนดใหไฮเพอรโบลารปหนงมสมการเปน x2 - y2 - 2x = 0 ถาพาราโบลามโฟกสเปนจดกงกลางของ
สวนของเสนตรงทเชอมระหวางจดตดของเสนตรง y = 2x กบเสนกากบของไฮเพอรโบลา และมเสนไดเรกตรกซเปนเสนตรงทผานจดยอดทงสองของไฮเพอรโบลา แลวสมการของพาราโบลาคอขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 57)
1) 9x2 + 12x + 12y - 3 = 0 2) 9x2 + 12x + 12y + 8 = 0 3) 9x2 + 6x - 12y - 3 = 0 4) 9x2 + 6x + 12y + 5 = 0
โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 26 _________________________________________คณตศาสตร (63)
27. พาราโบลาทมจดโฟกส F อยทจดศนยกลางของวงกลม x2 + y2 - 6x + 4y + 4 = 0 และมจดยอด V อยทจดตดของวงกลมกบแกน y ถา A และ B เปนจดบนพาราโบลาซงสวนของเสนตรง AB ผานจดโฟกส F และตงฉากกบแกนของพาราโบลา แลวพนทของรปสามเหลยม VAB เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 55)
1) 9 ตารางหนวย 2) 12 ตารางหนวย 3) 18 ตารางหนวย 4) 36 ตารางหนวย 28. กาหนดให L เปนเสนตรงมสมการเปน a
x + by = 1 เมอ a, b > 0 และให C1 และ C2 เปนวงกลมสองวง
ทตางกน โดยทมรศมเทากนและวงกลมทงสองวงตางสมผสกบเสนตรง L ทจดเดยวกน ถาวงกลม C1 มจดศนยกลางทจด (0, 0) แลวสมการของวงกลม C2 คอขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 57)
1) (a2 + b2)2(x2 + y2) - 4ab(a2 + b2)(bx + ay) + 3a2b2 = 0 2) (a2 + b2)(x2 + y2) - 4ab(bx + ay) + 3a2b2 = 0 3) (a2 + b2)2(x2 + y2) - 4ab(a2 + b2)(bx + ay) + 5a2b2 = 0 4) (a2 + b2)(x2 + y2) - 4ab(bx + ay) + 5a2b2 = 0
คณตศาสตร (64)__________________________________________ โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 26
ฟ งก ช น ฟงกชนอนเวอรส 1. Df-1 = Rf และ Rf-1 = Df 2. (f-1)-1 = f 3. f(∆) = → ∆ = f-1( ) ฟงกชนประกอบ 1. (fog)(x) = f(g(x)) 2. (fog)-1(x) = (g-1of-1)(x) 29. ให R แทนเซตของจานวนจรง และ a เปนจานวนจรงโดยท a ≠ 0 ให f : R → R และ g : R → R เปนฟงกชนทนยามโดย f(x) = ax + 2 และ g(x) = x3 - 3x(x - 1)
สาหรบทกจานวนจรง x ถา (f-1og-1)(1) = 1 แลว (gof)(a) เทากบเทาใด (PAT 1 เม.ย. 57) 30. กาหนดให R แทนเซตของจานวนจรง ให f : R → R และ g : R → R เปนฟงกชนทสอดคลองกบ f(x + g(y)) = 2x + y + 15 สาหรบ
ทกจานวนจรง x และ y พจารณาขอความตอไปน (ก) (gof)(x) = 2x + 15 สาหรบทกจานวนจรง x (ข) g(25 + f(57)) = 75 ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 เม.ย. 57) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก แต (ข) ผด 3) (ก) ผด แต (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด
โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 26 _________________________________________คณตศาสตร (65)
31. ให R แทนเซตของจานวนจรง ถา f : R → R และ g : R → R เปนฟงกชนหนงตอหนง โดยท (fog)(x) = 4x - 5 และ g-1(x) = 2x + 1
สาหรบทกจานวนจรง x พจารณาขอความตอไปน (ก) 4(f-1og)(2x + 1) = g(x) + 1 สาหรบทกจานวนจรง x (ข) (g-1o(f-1og))(x) = f-1(x) + 1 สาหรบทกจานวนจรง x ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 เม.ย. 57) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก และ (ข) ผด 3) (ก) ผด และ (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด 32. กาหนดให R แทนเซตของจานวนจรง กาหนด g(x) = x2 + x + 3 สาหรบทกจานวนจรง x ถา f : R → R เปนฟงกชน และสอดคลองกบ (fog)(x) + 2(fog)(1 - x) = 6x2 - 10x + 17 2(fog)(x) + (fog)(1 - x) = 6x2 - 2x + 13 คาของ f(383) เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 55) 33. กาหนดให R แทนเซตของจานวนจรง และให I แทนเซตของจานวนเตม ให f และ g เปนฟงกชนจาก R ไปยง R โดยท f(x + 5) = x3 - x2 + 2x สาหรบทกจานวนจรง x และ
g-1(2x - 1) = x + 4 สาหรบทกจานวนจรง x พจารณาขอความตอไปน (ก) (f - g)(0) < -169 (ข) {x ∈ I|(gof)(x) + 5 = 0}เปนเซตวาง ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 ต.ค. 55) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก แต (ข) ผด 3) (ก) ผด แต (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด
คณตศาสตร (66)__________________________________________ โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 26
34. ให R แทนเซตของจานวนจรง
ถา f เปนฟงกชน ซงมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของเซตจานวนจรง โดยท f(x) = 1 x 4 4x 2x2
+++ เมอ
x ≠ -1 แลวเรนจของฟงกชน f เปนสบเซตของขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 57) 1) {x ∈ R|x2 + 6x - 7 ≥ 0} 2) {x ∈ R|x2 + 3x - 10 ≥ 0} 3) {x ∈ R|x2 + x - 12 ≥ 0} 4) {x ∈ R|x2 - 6x - 16 ≥ 0} 35. ให R แทนเซตของจานวนจรง และให f : R → R เปนฟงกชนทมสมบตสอดคลองกบ f
+ x 1x 1 - = x
สาหรบทกจานวนจรง x ≠ -1 ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 ม.ค. 54)
1) f(f(x)) = -x สาหรบทกจานวนจรง x 2) f(-x) = f
+
x 1x 1
- สาหรบทกจานวนจรง x ≠ 1
3) f
x1 = f(x) สาหรบทกจานวนจรง x ≠ 0 4) f(-2 - x) = -2 - f(x) สาหรบทกจานวนจรง x
โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 26 _________________________________________คณตศาสตร (67)
เมทร กซ ดเทอรมแนนต กรณ n = 2
A =
dcba → det(A) = dc
ba = ad - bc
กรณ n = 3
A =
ihgfedcba
→ det(A) = ihgfedcba
gda
heb
สมบตของ det 1. det(At) = det(A) 2. det(AB) = det(A) ⋅ det(B) 3. det(An) = (detA)n 4. det(kA) = kndet(A) 5. det(I) = 1 และ det(0) = 0 6. ถาเมทรกซมสมาชกแถวใดหรอหลกใดเปนศนยทกตว จะไดวา det เทากบ 0
653000121
, 650430120
7. ถาเมทรกซมสองแถวใดหรอสองหลกใดเหมอนกน จะไดวา det เทากบ 0
121654121
, 668443112
8. คา det ของเมทรกซสามเหลยมจะเทากบ ผลคณของสมาชกในแนวทแยงมมหลก
356024001
, 600430122
9. ถาเมทรกซ B เกดจาก A โดยการสลบสองแถวใดหรอสองหลกใดแลว det(B) = -det(A)
333231232221131211
aaaaaaaaa
= -333231131211232221
aaaaaaaaa
= -333132232122131112
aaaaaaaaa
คณตศาสตร (68)__________________________________________ โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 26
10. ถาเมทรกซ B เกดจาก A โดยการคณแถวใดแถวหนงดวย k ∈ R แลว det(B) = k ⋅ det(A)
333231232221131211
aaakakakaaaa
= k333231232221131211
aaaaaaaaa
11. ถาเมทรกซ B เกดจาก A โดยการคณแถวใดแถวหนงดวย k ∈ R แลวนาไปบวกกบอกแถวหนงหรอคณหลกใดหลกหนงดวย k ∈ R แลวนาไปบวกกบอกหลกหนง แลว det(B) = det(A)
333231232221131211
aaaaaaaaa
= 333231
132312221121131211
aaa)ka (a)ka (a)ka (a
aaa+++
36. พจารณาขอความตอไปน
(ก) ถา A =
0c000ba00
เมอ a, b, c เปนจานวนจรงบวกท abc = 1 และ I เปนเมทรกซเอกลกษณ
การคณมต 3 × 3 แลว det(A2 + A + I) = 0
(ข) ให A =
321321321
cccbbbaaa
และ B =
+++
321321
333222111
3c3c3c2b2b2b
3c 2b a3c 2b a3c 2b a ---
เมอ a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3 เปนจานวนจรง ถา det(A) = 3 แลว det(B) = -18 ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 เม.ย. 57) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก แต (ข) ผด 3) (ก) ผด แต (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด
โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 26 _________________________________________คณตศาสตร (69)
37. กาหนดให A =
4ba1
, I =
1001
เมอ a และ b เปนจานวนจรงท ab ≠ 0 และเมทรกซ A
สอดคลองกบสมการ 2(A - I)-1 = 4I - A พจารณาขอความตอไปน (ก) ab = 2 (ข) det(3A2AtA-1) = 324 ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 เม.ย. 57) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก แต (ข) ผด 3) (ก) ผด แต (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด
38. กาหนดให A =
1021
--
, I =
1001
และ B เปนเมทรกซใดๆ มมต 2 × 2 ให x เปนจานวนจรงท
สอดคลองกบ det(A2 + xI) = 0 พจารณาขอความตอไปน (ก) det(A + xI) = 0 (ข) det(A2 + xI - B) = det(Bt) ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 ม.ค. 57) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก แต (ข) ผด 3) (ก) ผด แต (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด
คณตศาสตร (70)__________________________________________ โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 26
39. กาหนดให A เปนเมทรกซ ทมมต 3 × 3 และ det(A) ≠ 0 พจารณาขอความตอไปน (ก) (det(A))3 = det(adj(A)) (ข) ถา A2 = 2A แลว det(A) = 2 ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 ต.ค. 55) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก แต (ข) ผด 3) (ก) ผด แต (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด
40. กาหนดให A, B และ C เปนเมทรกซมมต 3 × 3 โดยท det B ≠ 0 ถา A =
0 13 1 1 2 32 1
-
-- และ
det(BtCB-1) = -4 แลว det(CtAC) เทากบเทาใด (PAT 1 ต.ค. 55) 41. กาหนดให A และ B เปนเมทรกซจตรสมตเทากน โดยท det(A) ≠ 0 และ det(B) ≠ 0 ถา
det(A-1 + B-1) ≠ 0 และ det(A + B) ≠ 0 แลว (A + B)-1 ตรงกบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 57) 1) B-1(A-1 + B-1)A-1 2) B-1(A-1 + B-1)-1A-1 3) B(A-1 + B-1)A 4) B(A-1 + B-1)-1A
โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 26 _________________________________________คณตศาสตร (71)
ฟ งก ช นเอกซ โพเนนเช ยล และฟ งก ช นลอการ ท ม ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล สมบตของเลขยกกาลง
1. am ⋅ an = am+n 2. nm
aa = am-n 3. (am)n = amn
4. (ab)m = ambm 5. m
ba
= m
m
ba 6. a-n = na
1
การแกสมการ Expo 1. ax = ay → x = y 2. ax = bx → x = 0 การแกอสมการ Expo 1. ax > ay 2. ax > bx
ถา 0 < a < 1 แลว x < y จดรปเปน x
ba
> 1 →
x
ba
>
0
ba
ถา a > 1 แลว x > y แลวพจารณาตามขอ 1. ฟงกชนลอการทม สมบต log 1. loga1 = 0 2. logaa = 1
3. logax + logay = loga(xy) 4. logax - logay = loga
yx
5. logax = alogxlog
cc = alog
1x
6. loganxm = nm logax
7. ylogax = xlogay 8. alogax = x ขอควรร log10x = logx, logex = ln x log 2 ≈ 0.3010, log 3 ≈ 0.4771, log 5 = 1 - log 2 การแกสมการ log 1. logax = logay → x = y 2.logax = logbx → x = 1 การแกอสมการ log 1. logax > logay 2. logax > logbx
ถา 0 < a < 1 แลว x < y จดรปเปน alogxlog
cc > blog
xlogcc
ถา a > 1 แลว x > y !!! การแกสมการ / อสมการ log ตองตรวจคาตอบ log∆ → > 0 และ ∆ > 0 แต ∆ ≠ 1
คณตศาสตร (72)__________________________________________ โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 26
42. กาหนดให A แทนเซตคาตอบของสมการ 3(1+2x) + 9(2-x) = 244 แลวเซต A เปนสบเซตของชวงใดตอไปน (PAT 1 ต.ค. 55)
1) (-1, 4) 2) (-2, 0.5) 3) (0, 5) 4) (-3, 0) 43. กาหนดให A แทนเซตคาตอบของสมการ log2(x + 7)2 + 4log4(x - 3) = 3log8(64x2 - 256x + 256)
ผลบวกของสมาชกทงหมดในเซต A เทากบเทาใด (PAT 1 เม.ย. 57) 44. ให R แทนเซตของจานวนจรงและ ถา A = {x ∈ R|32x - 34(15x-1) + 52x = 0} และ B =
++=+∈ 2x1 1 6log 125) (5logR x 5
1/x5
แลวจานวนสมาชกของเซต AU B เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 54)
โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 26 _________________________________________คณตศาสตร (73)
45. พจารณาขอความตอไปน (ก) ถา x เปนจานวนจรงทสอดคลองกบสมการ log2x + log4x + log8x + log16x - 2log64x = 7
แลว x สอดคลองกบสมการ x - 3 x = 4 (ข) ถา a, b และ c เปนจานวนจรงทสอดคลองกบ (1 - a)log32 = 2 - log35 (3 + b)log52 = 2 - log53 และ (3 + c)log72 = 4log73 - log75 แลว 2a + b - c = 2 + 5log25 - 9log23 ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 เม.ย. 57) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก แต (ข) ผด 3) (ก) ผด แต (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด
46. ถา x เปนจานวนจรงทมากทสดทเปนคาตอบของสมการ 2x 3x 14 -+ - 2x 5x 9 -+ = 1 แลวคาของ
1221
2x 3x9x 12x 4--
--
-- + เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 57)
47. กาหนดให A แทนเซตคาตอบของสมการ log6(3 ⋅ 4x + 2 ⋅ 9x) = x + log65
และให B แทนเซตคาตอบของสมการ x + 2x 1 - = 1 + 2x 2x 1 - จานวนสมาชกของเซต AU B เทากบเทาใด (PAT 1 เม.ย. 57)
คณตศาสตร (74)__________________________________________ โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 26
48. ให A เปนเซตคาตอบของสมการ 1 3x2 2 3x +++ + 1 3x6 10 3x +++ = 14
และให B เปนเซตคาตอบของสมการ 2x2 - 6x + 11 + 2 5 3x x2 +- = 25 ผลบวกของสมาชกทงหมดในเซต AU B เทากบเทาใด (PAT 1 ต.ค. 55)
49. กาหนดให A =
++ >∈ 32 2 2 2R x 1/2x2x2x -- เมอ R แทนเซตของจานวนจรง จงหาจานวน
สมาชกทเปนจานวนเตมของ R - A (PAT 1 ธ.ค. 54) 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 50. ถา A เปนเซตคาตอบของอสมการ (x - 2)x2+2 < (x - 2)2x+10 เมอ x > 2 แลว A เปนสบเซตของชวง
ในขอใดตอไปน (PAT 1 ต.ค. 55) 1) (2, 3) 2) (3.5, 5) 3) (2.5, 4) 4) (4, 7) 51. กาหนดให A แทนเซตคาตอบของสมการ x2log4(x2 + 2x - 1) + xlog1/2(x2 + 2x - 1) = 2x - x2
และให B = {x2|x ∈ A} ผลบวกของสมาชกทงหมดในเซต B เทากบเทาใด (PAT 1 ต.ค. 55)
โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 26 _________________________________________คณตศาสตร (75)
ฟ งก ช นตร โกณม ต เอกลกษณ sin2 A + cos2 A = 1 สตร ผลบวก/ผลตาง มม 2 เทา sin (A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B sin 2A = 2 sin A cos A cos (A ± B) = cos A cos B m sin A sin B cos 2A = cos2 A - sin2 A tan (A ± B) = B tanA tan 1
B tan A tanm
± tan 2A = A tan 1
A tan22-
มม 3 เทา มม 21 เทา
sin 3A = 3 sin A - 4 sin3 A sin 2A = ± 2
A cos 1 -
cos 3A = 4 cos3 A - 3 cos A cos 2A = ± 2
A cos 1 + สมบตของอนเวอรสของฟงกชนตรโกณมต สมบต arc มมลบ arcsin (-x) = -arcsin x arccos (-x) = π - arccos x arctan (-x) = -arctan x arccot (-x) = π - arccot x arccsc (-x) = -arccsc x arcsec (-x) = π - arcsec x สมบตสวนกลบ สมบตยบ arctan arcsin x = arccsc x
1 arctan x + arctan y = arctan xy 1 y x
-+ ; xy < 1
arccos x = arcsec x1 สมบตค co-function
arctan x = arccot x1 ; x > 0 arcsin x + arccos x = 2
π
arctan x + arccot x = 2π
arcsec x + arccsc x = 2π
ฟงกชนตรโกณมตกบเรขาคณต Law of Sine Law of Cosine a
A sin = bB sin = c
C sin a2 = b2 + c2 - 2bc cos A
b2 = a2 + c2 - 2ac cos B c2 = a2 + b2 - 2ab cos C
A
C Ba
b c
คณตศาสตร (76)__________________________________________ โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 26
52. cot
+326 1 arccos 3
2 arccos - มคาเทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 57)
1) 32 2) 3
1 3) 326 1 + 4) 3
53. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม B และมม C เปนมมแหลม โดยท 25 cos B - 13 cos C = 15,
65(cos B + cos C) = 77 และดานตรงขามมม C ยาว 20 หนวย ความยาวของเสนรอบรปสามเหลยม ABC เทากบเทาใด (PAT 1 เม.ย. 57)
54. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยม โดยทมความยาวของดานตรงขามมม A มม B และมม C เทากบ a
หนวย b หนวย และ c หนวย ตามลาดบ และมม A มขนาดเปนสองเทาของมม B ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 เม.ย. 57)
1) c2 = a2 + ab 2) c2 = b2 + ab 3) a2 = b2 +bc 4) a2 = c2 + bc 55. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมใดๆ โดยทมความยาวของดานตรงขามมม A มม B และมม C เทากบ a
หนวย b หนวย และ c หนวย ตามลาดบ ถามม A มขนาดมากกวา 90° มม B มขนาด 45° และ 2 c = ( 3 - 1)a แลว cos2 (A - B - C) + cos2 B + cos2 C เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 57)
โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 26 _________________________________________คณตศาสตร (77)
56. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมใดๆ ถา a, b และ c เปนความยาวของดานตรงขามมม A มม B และ
มม C ตามลาดบ โดยท c a1+ + c b
1+ = c b a
3++ แลว sin C เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ต.ค. 55)
1) 22 2) 2
1 3) 23 4) 1
57. คาของ sec2
+ 7
1 arctan 31 arctan 2 เทากบเทาใด (PAT 1 ต.ค. 55)
58. ถา x และ y เปนจานวนจรงทสอดคลองกบสมการ 3 sin (x - y) = 2 sin (x + y) แลว (tan3 x)(cot3 y)
เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 57) 1) 8 2) 27 3) 64 4) 125 59. กาหนดให θ เปนจานวนจรงใดๆ พจารณาขอความตอไปน (ก) 16 sin3 θ cos2 θ = 2 sin θ + sin 3θ - sin 5θ (ข) sin 3θ = (sin 2θ + sin θ)(2 cos θ - 1) ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 ม.ค. 57) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก แต (ข) ผด 3) (ก) ผด แต (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด
คณตศาสตร (78)__________________________________________ โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 26
60. ถา cos 5θ = a cos5 θ + b cos3 θ + c cos θ เมอ θ เปนจานวนจรงใดๆ แลวคาของ a2 + b2 + c2 เทากบเทาใด (PAT 1 เม.ย. 57)
61. กาหนดให sin θ - sin 2θ + sin 3θ = 0 โดยท 0 < θ < 2
π ถา a = θθθθ
2 cos cos2 tan tan
-- และ
b = θθθθθθ
++++
5 cos 4cos 3 cos5 sin 4sin 3 sin แลวคาของ a4 + b4 เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 57)
62. กาหนดให 0° < θ < 15° คาของ arctan
θθ sin 3 1
cos 3- - arccot
θθ sin 3
cos- เทากบขอใดตอไปน
(PAT 1 เม.ย. 57) 1) arctan (cot θ) 2) arctan (tan θ) 3) arctan (sin θ) 4) arctan (cos θ) 63. ให A แทนเซตคาตอบของจานวนจรง x ∈ [0, 2π) ทงหมดทสอดคลองกบสมการ 2(1+3sinx) - 5 ⋅ 22sinx + 2(2+sinx) = 1 จานวนสมาชกของเซต A เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 57)
โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 26 _________________________________________คณตศาสตร (79)
64. พจารณาขอความตอไปน (ก) ถา A และ B เปนจานวนจรงทสอดคลองกบสมการ sin2 B = sin A cos A แลว cos 2B = 2 cos2 (45° + A) (ข) ถา 0 ≤ A, B ≤ 2
π สอดคลองกบ sin A = 2 sin B และ 3 sec B = 2 sec A แลว sin 10A + cos 10B = 0.5
ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 เม.ย. 57) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก แต (ข) ผด 3) (ก) ผด แต (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด 65. พจารณาขอความตอไปน (ก) cos 5
π + cos 53π + cos π = 2
1
(ข) tan 167π - tan 8
3π = cosec 8π
ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 ต.ค. 55) 1) (ก) ถก และ (ข) ถก 2) (ก) ถก แต (ข) ผด 3) (ก) ผด แต (ข) ถก 4) (ก) ผด และ (ข) ผด
คณตศาสตร (80)__________________________________________ โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 26
ล าด บอน นต และอน กรมอน นต ลมตอนนต เศษสวนพหนาม ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล 1. ดกรสงสดของ “เศษ < สวน” 1. ฐานสงสดของ “เศษ < สวน”
∞→n
lim 4 n
3 2n n n423
+
+++ = 0 ∞→n
lim 1 52 3
nn1n
+
+ - = 0
2. ดกรสงสดของ “เศษ = สวน” 2. ฐานสงสดของ “เศษ = สวน”
∞→n
lim 3 2n 4n
1 4n n 3n23
23
--
+
++ = 43
∞→nlim nn
n1n
2 3 42 3
+
+
⋅- = 4
3
3. ดกรสงสดของ “เศษ > สวน” 3. ฐานสงสดของ “เศษ > สวน”
∞→n
lim 1 2n n
n n2
23
++
+ → หาคาไมได ∞→n
lim n1nn
2 31 5
++- → หาคาไมได
อนกรม เลขคณต / เรขาคณต
จากด อนนต
อนกรมเลขคณต Sn = 2n (a1 + an) 0 + 0 + 0 + ... = 0
อนกรมเรขาคณต Sn = r 1)r (1a n
1-- S∞ = r 1
a1- ; |r| < 1
อนกรมเศษสวนยอย
∑ d) n(n1+
= d1 ∑
+ d n1 n
1 -
∑ 2d) d)(n n(n1
++ = 2d
1 ∑
+++ 2d) d)(n (n
1 d) n(n1 -
โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 26 _________________________________________คณตศาสตร (81)
66. กาหนดให an = 4 16n
n22
- เมอ n = 1, 2, 3, ... ถา
∞→nlim n
a ... a a a n321 ++++ = ba โดยท
a และ b เปนจานวนเตมบวก ซง ห.ร.ม. ของ a และ b เทากบ 1 แลว a2 + b2 เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 เม.ย. 57)
1) 17 2) 25 3) 145 4) 257
67. กาหนดให an = k2kn
1k=∑ เมอ n = 1, 2, 3, ... คาของ
∞→nlim
1 5n n
)3a (622
nn
++
- เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 57)
68. กาหนดให an = 3 16n n2 ++ - 2 n2 + เมอ n = 1, 2, 3, ... คาของ ∞→n
lim 3 na เทากบเทาใด
(PAT 1 ม.ค. 57) 1) 0 2) 1 3) 2 4) 8
คณตศาสตร (82)__________________________________________ โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 26
69. กาหนดให an = sin
ππ 2 n - - cos nπ สาหรบ n = 1, 2, 3, ... และ bn = 6 cos
ππ 3 2n -
สาหรบ n = 1, 2, 3, ... ผลบวกของอนกรม 11
ba +
2
22
ba
+
3
33
ba
+ ... +
n
nn
ba
+ ... เทากบ
ขอใดตอไปน (PAT 1 ต.ค. 55) 1) 5
2 2) - 52 3) 2 4) -2
70. สาหรบ n = 1, 2, 3, ... กาหนดให an = 2 + 4 + 6 + ... + 2n และ bn = a1 + a2 + a3 + ... + an
คาของ ∞→n
lim
+++++n321 b1 n ... b
4 b3 b
2 เทากบเทาใด (PAT 1 ต.ค. 55)
โครงการแบรนดซมเมอรแคมป ปท 26 _________________________________________คณตศาสตร (83)
เฉลยตวอยางขอสอบ 1. 1) 2. 1) 3. 3) 4. 3) 5. 3) 6. 4) 7. 4) 8. 3) 9. 3) 10. 2) 11. 2) 12. 1) 13. 4) 14. 55 15. 360 16. 675 17. 1) 18. 3 19. 234 20. 4) 21. 3) 22. 14.5 23. 1) 24. 3) 25. 2) 26. 4) 27. 3) 28. 2) 29. 9 30. 4) 31. 1) 32. 763 33. 4) 34. 3) 35. 4) 36. 2) 37. 3) 38. 1) 39. 4) 40. 320 41. 2) 42. 1) 43. 5 44. 4 45. 1) 46. 4 47. 3 48. 11 49. 2) 50. 3) 51. 4 52. 4) 53. 54 54. 3) 55. 2 56. 3) 57. 2 58. 4) 59. 1) 60. 681 61. 153 62. 2) 63. 3 64. 2) 65. 3) 66. 4) 67. 3 68. 3) 69. 3) 70. 2.25