ชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยโปรแกรม C.a.R.

สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4

ปรญญานพนธ

ของ ปณยพล จนทรฝอย

เสนอตอบณฑตวทยาลย มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ เพอเปนสวนหนงของการศกษา

ตามหลกสตรปรญญาการศกษามหาบณฑต สาขาวชาคณตศาสตร ธนวาคม 2551

ชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R.

สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4

ปรญญานพนธ

ของ ปณยพล จนทรฝอย

เสนอตอบณฑตวทยาลย มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ เพอเปนสวนหนงของการศกษา

ตามหลกสตรปรญญาการศกษามหาบณฑต สาขาวชาคณตศาสตร ธนวาคม 2551

ลขสทธเปนของมหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ

ชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยโปรแกรม C.a.R.

สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4

บทคดยอ ของ

ปณยพล จนทรฝอย

เสนอตอบณฑตวทยาลย มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ เพอเปนสวนหนงของการศกษา

ตามหลกสตรปรญญาการศกษามหาบณฑต สาขาวชาคณตศาสตร ธนวาคม 2551

ปณยพล จนทรฝอย. (2551). ชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใช

โปรแกรม C.a.R. สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4. ปรญญานพนธ กศ.ม.

(คณตศาสตร). กรงเทพฯ: บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ.

คณะกรรมการควบคม: อาจารยธนชย ภอดม, ผชวยศาสตราจารยชตวรรณ เพญเพยร.

ในการจดการเรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมต ในระดบชนมธยมศกษาปท 4 นน จากการศกษางานวจยทเกยวของและจากการสมภาษณ พบวานกเรยนมปญหาในการเรยนเรอง

ฟงกชนตรโกณมต โดยเฉพาะอยางยงการหาคาของฟงกชนตรโกณมต การระบเครองหมายใน จตภาคตางๆ และการเขยนกราฟฟงกชนตรโกณมตมากทสด เปนเพราะนกเรยนไมสามารถมองเหน

รปธรรมของเนอหาได และนกเรยนไมสามารถทจะสราง สารวจ ซาๆ กนไดหลายครง ดงนนผวจยจง

มองหาวธทจะมาชวยแกปญหาทเกดขน ซงโปรแกรม C.a.R. เปนโปรแกรมทมความสามารถในทางเรขาคณตและพชคณต ซงเหมาะสมทจะนามาสรางชดกจกรรมการเรยนการสอน เพอใหนกเรยน

สามารถสราง สารวจ ตงขอคาดการณ และสามารถทาการศกษาซาๆ ได อกทงโปรแกรม C.a.R. ยงมจดเดนในการสรางงานแบบ HTML การสรางงานในลกษณะของแบบทดสอบ และการสรางการ

เคลอนไหวได ดงนน การวจยครงนมจดมงหมายเพอ (1) เพอสรางชดกจกรรมการเรยนการสอน

เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 (2) เพอศกษา

ผลสมฤทธทางการเรยนของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ในการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใช

โปรแกรม C.a.R. (3) เพอศกษาความพงพอใจของนกเรยนหลงจากทไดทาชดกจกรรมการเรยนการ

สอน เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. กลมตวอยางเปนนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4

ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2551 โรงเรยนมธยมสาธตมหาวทยาลยราชภฏบานสมเดจเจาพระยา

เขตธนบร จงหวดกรงเทพมหานคร จานวน 1 หองเรยน มนกเรยนจานวน 53 คน จากประชากรทงหมด

126 คน 3 หองเรยน โดยสมตวอยางแบบเกาะกลม (Cluster Sampling) โดยจดหองเรยนแบบคละ

ความสามารถของนกเรยนทมระดบเกง ปานกลาง และออนอยในหองเดยวกน ซงผวจยทาการทดลอง

นกเรยนกลมตวอยางดวยชดกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R.

ทผวจยสรางขน ผวจยไดทาการทดลองทงหมด 20 คาบ ซงทง 20 คาบ ผวจยทาการสอนในหอง

คอมพวเตอร โดยใชโปรแกรม C.a.R. ในการสอน ซงเครองมอทใชในการวจยครงนประกอบดวย

(1) ชดกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. ประกอบดวย คมอ

การใชชดกจกรรม ใบกจกรรมแบบรายบคคล และแผนการจดการเรยนร (2) แบบทดสอบวดผลสมฤทธ

ทางการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. และ (3) แบบทดสอบวดความพงพอใจ

ของนกเรยนทมตอชดกจกรรม เมอสนสดการสอนใหนกเรยนกลมตวอยางทาแบบทดสอบวดผล

สมฤทธทางการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. และตอบแบบวดความพงพอใจ

ของนกเรยนในการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. ในการผานเกณฑนนนกเรยน

ตองไดคะแนนตงแต 60 คะแนนจากคะแนนเตม 100 คะแนน มาจากใบกจกรรม 20 และการทดสอบ

วดผลสมฤทธ 80 คะแนน

ผลการวจยพบวา

นกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ทเรยนดวยชดกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชน

ตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. สามารถสอบผานเกณฑไดมากกวารอยละ 70 ของจานวนนกเรยน

ทงหมด ทระดบนยสาคญ .01 และนกเรยนกลมตวอยางมความพงพอใจในการเรยนเรองฟงกชน

ตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. อยในระดบมาก ดงนนจงสรปไดวา นกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ม

ความสามารถในการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชชดกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชน

ตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. ทผวจยสรางขน

INSTRUCTIONAL ACTIVITY PACKAGE ON TRIGONOMETRIC FUNCTION

BY USING C.a.R. SOFTWARE FOR MATHAYOMSUKSA IV STUDENTS

AN ABSTRACT

BY

POONYAPON CHANFOY

Presented in Partial Fulfillment of the Requirements for the

Master of Education Degree in Mathematics

at Srinakharinwirot University

December 2008

Poonyapon Chanfoy. (2008). Instructional Activity Package on Trigonometric

Functions by Using C.a.R. Software for Mathayomsuksa IV Students.

Master thesis, M.Ed. (Mathematics). Bangkok: Graduate School,

Srinakharinwirot University. Advisor Committee: Mr. Thanuchai Pooudom,

Assist. Prof. Chutiwon Penpean.

From various studies and students’ interviews about learning and teaching

trigonometric functions, three points of students’ difficulties were found. They are

1). determining values of trigonometric functions when a real number is given 2). assigning

the positive or negative values of trigonometric functions in each quadrant and 3). draw the

graphs, determine their periods and amplitudes of trigonometric functions. The researcher

found that computer software C.a.R. could help students to overcome those difficulties.

When C.a.R. was used, students could construct, investigate and make conjectures as

many times as they wanted. Moreover C.a.R. can be linked with HTML for learning

convenience. The purposes of this study were (1) to design instructional activity package

on trigonometric functions by using C.a.R. software, (2) to determine the effectiveness of

such activity package in terms of students’ achievement, and (3) to evaluate students’

attitude toward instructional activity package.

The study took place at Bansomdej Chaopraya Rajabhat University Demonstration

Secondary School in Bangkok during the first semester of the 2008 academic year with 53

students participated as subjects. The experimental group was selected by the use of the

cluster sampling. The researcher taught them a total of 20 periods in a computer laboratory.

Each topic gave the students opportunity to use C.a.R. software. At the end of the

instruction, an achievement test was given to measure their performance on trigonometric

functions. To pass the instructional package, students’ must obtain at least 60% of the total

scores, the score form lesson activities and achievement test. The researcher hypothesized

that more than 70% of the experimental group can pass the instructional package. To find

out their preference toward the instructional, a questionnaire was also given to each student

in the experimental group.

The results showed that more than 70% of the experimental group pass the

instruction at .01 level of significant. This clearly indicated that Matthayomsuksa IV students

profit from the instructional package designed by the researcher. The scores on

questionnaire showed an average satisfaction of the experimental group toward the

instruction.

ปรญญานพนธ เรอง

ชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยโปรแกรม C.a.R.

สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4

ของ ปณยพล จนทรฝอย

ไดรบอนมตจากบณฑตวทยาลยใหนบเปนสวนหนงของการศกษาตามหลกสตร

ปรญญาการศกษามหาบณฑต สาขาวชาคณตศาสตร

ของมหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ

................................................................... คณบดบณฑตวทยาลย

(รองศาสตราจารย ดร. สมชาย สนตวฒนกล)

วนท...........เดอน.............................พ.ศ. 2551

คณะกรรมการควบคมปรญญานพนธ คณะกรรมการสอบปากเปลา

.............................................. ประธาน .......................................... ประธาน

(อาจารยธนชย ภอดม ) (อาจารย ดร. สายณห โสธะโร)

.............................................. กรรมการ ........................................ กรรมการ

(ผชวยศาสตราจารยชตวรรณ เพญเพยร) (รองศาสตราจารย อษาวด จนทรสนธ)

........................................ กรรมการ

(อาจารยธนชย ภอดม)

........................................ กรรมการ

(ผชวยศาสตราจารยชตวรรณ เพญเพยร)

ประกาศคณปการ

ปรญญานพนธนสาเรจไดดวยด เปนเพราะผวจยไดรบความเมตตากรณาและความ

ชวยเหลออยางหาทสดมไดจากอาจารยธนชย ภอดม ประธานกรรมการควบคม และผชวย

ศาสตราจารยชตวรรณ เพญเพยร กรรมการควบคม โดยทานไดเสยสละเวลาอนมคาเพอใหคาปรกษา

และขอเสนอแนะตางๆ ทเปนประโยชนในการทางานวจยนทกขนตอน ตลอดจนตรวจแกไขปรญญา

นพนธฉบบนอยางละเอยดมาโดยตลอด ผวจยรสกดใจและซาบซงเปนอยางมาก จงกราบขอบพระคณ

เปนอยางสงไว ณ ทน

ขอกราบขอบพระคณ อาจารยเมตต แยมวงษ อาจารยสวรรณา คลายกระแส และอาจารย

ธนชย ภอดม ทชวยกรณาเปนผเชยวชาญในการตรวจสอบความเทยงตรงของเนอหา ความถกตองของ

ภาษา และแกไขชดกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมต ไดแก ใบกจกรรม แบบทดสอบ

วดผลสมฤทธ แบบทดสอบวดความพงพอใจ และแผนการจดการเรยนร อกทงใหขอคดในสงทเปน

ประโยชนตอผวจย สงผลใหปรญญานพนธฉบบนสมบรณยงขน

ขอกราบขอบพระคณอาจารย ดร. สายณห โสธะโร ทกรณาเปนประธานกรรมการสอบปาก

เปลา และอาจารยธนชย ภอดม ผชวยศาสตราจารยชตวรรณ เพญเพยรและรองศาสตราจารยอษาวด

จนทรสนธ ทกรณารวมเปนกรรมการสอบปากเปลา และใหขอคดในสงทเปนประโยชนตอผวจย สงผล

ใหปรญญานพนธฉบบนสมบรณยงขน

ขอกราบขอบพระคณ ผอานวยการ คณะครหมวดคณตศาสตรและคอมพวเตอร โรงเรยนว

สทธกษตร โดยเฉพาะอยางยงอาจารยสมลย ออมสน ทอานวยความสะดวกในการทดลองใชเครองมอ

กบกลมนารอง และขอกราบขอบพระคณผอานวยการ คณะครหมวดคณตศาสตรและคอมพวเตอร

โรงเรยนไตรมตรวทยาลย โดยเฉพาะอยางยงอาจารยพสทธศลป โพธอะ ทชวยเปนธระในการตดตอขอ

ทดลองงานวจยกลมนารองและอานวยความสะดวกในการเกบขอมลเปนอยางยง และขอกราบ

ขอบพระคณอาจารยธนญญา คนอย และอาจารยสวทย เจรญผล ครหมวดคณตศาสตร โรงเรยน

มธยมสาธตมหาวทยาลยราชภฏบานสมเดจเจาพระยา เขตธนบร จงหวดกรงเทพฯ โดยเฉพาะอยางยง

อาจารยทวศกด จงประดบเกยรต ผอานวยการ อาจารยวรวฒ วรนมมานนท ทกรณาใหความ

ชวยเหลออานวยความสะดวกในการทดลองใชเครองมอและเกบรวบรวมขอมลทใชในการวจยครงนจน

สาเรจลลวงไปไดดวยด

ขอขอบใจนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ของโรงเรยนมธยมสาธตมหาวทยาลยราชภฏบาน

สมเดจเจาพระยาและโรงเรยนไตรมตรวทยาลย และขอขอบใจนกเรยนชนมธยมศกษาปท 5 โรงเรยนว

สทธกษตร ทใหความรวมมอในการวจยครงนดวยด

ขอกราบขอบพระคณนางวรรณภา จนทรฝอย มารดาของขาพเจาและนางสาวชนกนาถ

จนทรฝอย นองสาวของขาพเจา ทใหความชวยเหลอกาลงทรพยและเปนกาลงใจดวยดเสมอมา

ขอกราบขอบพระคณ อาจารย ดร. รงฟา จนทจารภรณ ทไดกรณาใหยมหนงสอดๆ เพอการ

คนควาสาหรบใชในงานวจยและขอบคณ พ เพอน และนองนสตปรญญาโท สาขาคณตศาสตรทกคนท

ใหคาแนะนาและเปนกาลงใจดวยด ตลอดระยะเวลาทาปรญญานพนธฉบบน

ขอกราบขอบพระคณ ผศ. ดร. สพจน ไชยสงข ทไดกรณาเสยสละเวลาในการทางานในการ

ตรวจและปรบปรง แกไข บทคดยอทเปนภาษาองกฤษ พรอมทงใหคาแนะนาทด สงผลใหปรญญา

นพนธฉบบนสมบรณยงขน

ปณยพล จนทรฝอย

สารบญ

บทท หนา 1 บทนา ….…………………………..………………...……………...………………… 1

ภมหลง ……….………………………..……………………………………………. 1

โปรแกรมคอมพวเตอรสาหรบสรางชดกจกรรม …………………………………….. 5

ความมงหมายของการวจย ….…………..……..……………………….…….……. 6

ความสาคญของการวจย …………………………………………………………… 6

ขอบเขตของการวจย …………..……………………………………………………. 7

ประชากรทใชในการวจย …………………………………………………….…. 7

กลมตวอยางทใชในการวจย ……………………………………………………. 7

ระยะเวลาทใชในการวจย ………………………………………………….…… 7

เนอหาทใชในการวจย ………………………………………………………….. 7

ตวแปรทศกษา …………………………………………………………………. 7

นยามศพทเฉพาะ ………………………………………………………………. 8

สมมตฐานในการวจย ………………………………………………………………. 9

2 เอกสารและงานวจยทเกยวของ …………………………………………………… 10

หลกสตรการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2544 ………………….………………. 10

เอกสารและงานวจยทเกยวของกบชดกจกรรมการเรยนการสอน ………………….. 13

เอกสารทเกยวของกบชดกจกรรมการเรยนการสอน ……………………………. 13

งานวจยทเกยวของกบชดกจกรรมการเรยนการสอน …………………………… 33

เอกสารและงานวจยทเกยวของกบฟงกชนตรโกณมต ……………………………... 35

เอกสารทเกยวของกบฟงกชนตรโกณมต ……………………………………….. 35

งานวจยทเกยวของกบฟงกชนตรโกณมต …………………………………….... 39

เอกสารและงานวจยทเกยวของกบการใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต ………… 44

เอกสารทเกยวของกบการใชคอมพวเตอรในการเรยนการสอน ………………… 44

เอกสารทเกยวของกบซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต …………………………. 45

งานวจยทเกยวของกบการใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต …………………. 47

สารบญ (ตอ)

บทท หนา 3 วธดาเนนการวจย …………………………………………………………………… 52

การกาหนดประชากรและการสมกลมตวอยาง ……………………………………. 52

การสรางเครองมอทใชในการวจย …………………………………………………. 52

การเกบรวบรวมขอมล ……………………………………………………………… 63

การจดกระทาขอมลและการวเคราะหขอมล ………………………………………. 64

4 ผลการวเคราะหขอมล ……………………………………………………………… 66

5 สรปผล อภปรายผล และขอเสนอแนะ …………………………………………… 74

ความมงหมายของการวจย ………………………………………………………... 74

สมมตฐานในการวจย ……………………………………………………………… 74

วธดาเนนการวจย ………………………………………………………………….. 74

สรปผลการวจย …………………………………………………………………….. 77

อภปรายผล ………………………………………………………………………… 77

ขอเสนอแนะ ……………………………………………………………………….. 79

บรรณานกรม ………………………………………………………………………………... 81

ภาคผนวก ……………………………………………………………………………………. 91

ภาคผนวก ก รายนามผเชยวชาญ …………..………………………………...………… 92

ภาคผนวก ข การวเคราะหขอมล ………………………………………………………… 94

สารบญ (ตอ)

บทท หนา ภาคผนวก (ตอ) ............................................................................................................

ภาคผนวก ค คมอการใชชดกจกรรมการเรยนการสอน ………………………….………. 108

ภาคผนวก ง แผนการจดการเรยนรเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. 131

ภาคผนวก จ ชดกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใช

โปรแกรม C.a.R. สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ……………………………..

237

ภาคผนวก ฉ แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต

โดยใชโปรแกรม C.a.R. ……………………………………………………….………

359

ภาคผนวก ช เฉลยชดกจกรรมการเรยนการสอนและแบบทดสอบวดผลสมฤทธ

ทางการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. ……………….……...

370

ภาคผนวก ซ แบบวดความพงพอใจของนกเรยนตอการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมต

โดยใชโปรแกรม C.a.R. …………………………………………………….…………

425

ประวตยอผวจย ……………………………………………………………………………... 429

บญชตาราง

ตาราง หนา

1 ผลการสอบวดคณภาพการศกษาระดบชาต ดานผลสมฤทธทางการเรยน (GAT) …… 3

2 เกณฑการตรวจใหคะแนนของแบบทดสอบอตนย เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใช

โปรแกรม C.a.R. ………………………………………………………..……………

61

3 คารอยละ คาเฉลยเลขคณต และสวนเบยงเบนมาตรฐาน ของคะแนนจากการทาใบ

กจกรรมแบบรายบคคลของนกเรยนกลมตวอยางชนมธยมศกษาปท 4 ……………

67

4 คารอยละ คาเฉลยเลขคณต และสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนจากการทา

แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยนของนกเรยนกลมตวอยางชนมธยม

ศกษาปท 4 ……………………………………………………………………….…

68

5 คารอยละ คาเฉลยเลขคณต และสวนเบยงเบนมาตรฐาน ของคะแนนผลสมฤทธ

ทางการเรยนของนกเรยนกลมตวอยางชนมธยมศกษาปท 4 ในการเรยน

เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. …………………………….………

68

6 คารอยละของจานวนนกเรยนกลมตวอยางชนมธยมศกษาปท 4 ทไดคะแนนผลสมฤทธ

ทางการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. ตงแตรอยละ 60 ขนไป

ของคะแนนเตม ……………………………………………………………………..

69

7 การทดสอบจานวนนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ทสอบผานเกณฑ เรองฟงกชน

ตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. มจานวนมากกวารอยละ 70 ของจานวน

นกเรยนทงหมด ……………………………………………………………….…….

70

8 คาเฉลยเลขคณต สวนเบยงเบนมาตรฐานและระดบความพงพอใจของนกเรยนกลม

ตวอยางหลงจากเรยนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. ……….……

71

9 แสดงคาดชนความสอดคลองของแบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน

(แบบปรนย 4 ตวเลอก) ………………………………………………...................

95

10 แสดงคาดชนความสอดคลองของแบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน

(แบบอตนย) …………………………………………………………………..……

98

11 แสดงคาความยากงาย (p), คาอานาจการจาแนก (r) และคาความเชอมนของ

แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม

C.a.R. สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ทเปนกลมนารอง ……………..……

99

บญชตาราง (ตอ)

ตาราง หนา

12 คาเฉลยเลขคณต สวนเบยงเบนมาตรฐานของแบบวดความพงพอใจของนกเรยนกลม

นารองทเรยนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. และคาความเชอมน

ของแบบวดความพงพอใจของนกเรยนกลมนารอง ……………………………….

100

13 การหาคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนทไดระหวางเรยนจาก

ใบกจกรรมเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.ของนกเรยนกลมตวอยาง

102

14 การหาคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนทไดจากการทา

แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม

C.a.R. ของนกเรยนกลมตวอยาง …………………………………………………

102

15 คารอยละ คาเฉลยเลขคณต และสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนทไดจากการทา

ผลสมฤทธทางการเรยนของนกเรยนกลมตวอยางชนมธยมศกษาปท 4 ในการเรยน

เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. คะแนนเตม 100 คะแนน ……….

102

16 คารอยละ คาเฉลยเลขคณต และสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนทไดจากใบ

กจกรรมแบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน และผลสมฤทธทางการเรยนของ

นกเรยนกลมตวอยางชนมธยมศกษาปท 4 จานวน 53 คน ………………………

103

17 คะแนนแบบวดความพงพอใจของนกเรยนกลมตวอยางทเรยนเรองฟงกชนตรโกณมต

โดยใชโปรแกรม C.a.R. …………………………………………………………..

104

18 คาเฉลยเลขคณต สวนเบยงเบนมาตรฐานของแบบวดความพงพอใจของนกเรยนกลม

ตวอยางทเรยนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. …………………..

106

บญชภาพประกอบ

ภาพประกอบ หนา

1 แผนผงขนตอนการสรางและออกแบบชดกจกรรมการเรยนการสอน …………………. 25

2 แสดงการเขยนนยามฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน โดยวธเซอรคลาฟงกชน ………… 37

3 แสดงการอธบายนยามของฟงกชนตรโกณมต โดยวธการ The Wrapping Function .. 38

4 หนาหลกชดกจกรรมการเรยนการสอน ………………………………………………… 56

5 บางสวนของสารบญหลก ………………………………………………………………. 57

6 บางสวนของสารบญยอย ………………………………………………………………. 57

7 ตวอยางกจกรรมหนวยการวดมมเรเดยน ………………………………………………. 58

บทท 1 บทนา

ภมหลง คณตศาสตรเปนวชาทมบทบาทสาคญยงตอการพฒนาความคดของมนษย ทาใหมนษย

มความคดสรางสรรค คดอยางมเหตผล เปนระบบระเบยบมแบบแผน สามารถวเคราะหปญหา

และสถานการณไดอยางถถวนรอบคอบ ทาใหสามารถคาดการณวางแผนตดสนใจและแกปญหา

ไดอยางถกตองเหมาะสม (กรมวชาการ. 2545ก) อกทงคณตศาสตรเปนเครองมอทใชในการศกษา

วทยาศาสตรและเทคโนโลยตลอดจนศาสตรอนๆ ทเกยวของทงในอดตและปจจบน คณตศาสตร

จงเปนประโยชนตอการดารงชวต และชวยพฒนาคณภาพชวตใหดขน เชน การบอกเวลาจากเขม

นาฬกา สงเหลานเปนผลมาจากคณตศาสตรทงนน นอกจากนคณตศาสตรยงชวยพฒนามนษยให

สมบรณ มความสมดลทงทางรางกาย จตใจ สตปญญา และอารมณ สามารถคดเปน ทาเปน

แกปญหาเปน และสามารถอยรวมกนกบผอนไดอยางมความสข (กรมวชาการ. 2545ข: 1) ดงนน

การจดการเรยนการสอนวชาคณตศาสตรควรจดใหนกเรยนสามารถคดอยางมเหตผล เขาใจ

หลกการพนฐานของโครงสรางทางคณตศาสตรและกาวตามทนยคสมยใหมทมการเปลยนแปลง

และแขงขนกนทางดานความรและเทคโนโลย และเพอใหสอดคลองกบพระราชบญญตการศกษา

แหงชาต พ.ศ. 2542 มาตรา 22 ระบวาการจดการศกษาตองยดหลกวานกเรยนทกคนม

ความสามารถเรยนรและพฒนาดวยตนเองได และถอวานกเรยนมความสาคญทสด กระบวนการ

จดการศกษาตองสงเสรมใหนกเรยนสามารถพฒนาตนเองไดตามธรรมชาตและเตมศกยภาพ และ

ในมาตรา 24 ไดระบถงการจดกระบวนการเรยนรไวสวนหนงวาใหฝกทกษะ กระบวนการคด การ

เผชญสถานการณ และการประยกตความรมาใชเพอปองกนแลแกไข

ปญหา อกทงระบใหจดกจกรรมใหนกเรยนไดเรยนรจากการลงมอปฏบตจรงฝกการปฏบตใหทาได

คดเปน ทาเปน รกการอานและเกดการใฝรอยางตอเนอง และจากการวจยเพอการพฒนาหลกสตร

ของกรมวชาการ (2545จ: 1) ไดพบขอจากดของการใชหลกสตรประถมศกษา พทธศกราช 2521

(ฉบบปรบปรง พ.ศ. 2533) หลกสตรมธยมศกษาตอนตน พทธศกราช 2521 (ฉบบปรบปรง พ.ศ.

2533) และหลกสตรมธยมศกษาตอนปลาย พทธศกราช 2524 (ฉบบปรบปรง พ.ศ. 2533) ประการ

หนงคอ การนาหลกสตรไปใชยงไมสามารถสรางพนฐานในการคด สรางวธการเรยนรใหคนไทยม

ทกษะในการจดการและทกษะในการดาเนนชวต สามารถเผชญปญหาสงคมและเศรษฐกจท

เปลยนแปลงอยางรวดเรวไดอยางมประสทธภาพซงเปนสาเหตประการหนงททาใหประเทศไทยได

มการปรบปรงหลกสตรการเรยนการสอน โดยกระทรวงศกษาธการไดใหสถาบนสงเสรมการสอน

วทยาศาสตรและเทคโนโลยดาเนนการจดทาหลกสตรการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2544 ของ

กลมสาระการเรยนรคณตศาสตรขนมา ซงการศกษาคณตศาสตรสาหรบหลกสตรการศกษาขน

พนฐาน พทธศกราช 2544 มสาระการเรยนรประกอบดวย

สาระท 1 จานวนและการดาเนนการ

สาระท 2 การวด

สาระท 3 เรขาคณต

สาระท 4 พชคณต

สาระท 5 การวเคราะหและความนาจะเปน

สาระท 6 ทกษะ/กระบวนการทางคณตศาสตร

สาหรบสาระท 4 พชคณต และสาระท 6 ทกษะ/กระบวนการทางคณตศาสตร หลกสตร

การศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2544 ไดกาหนดมาตรฐานการเรยนรไว ดงน

มาตรฐาน ค 4.1 : อธบายและวเคราะหแบบรป (pattern) ความสมพนธ และฟงกชน

ตางๆ ได

มาตรฐาน ค 4.2 : ใชนพจน สมการ อสมการ กราฟ และแบบจาลองทาง

คณตศาสตรอนๆ แทนสถานการณตางๆ ตลอดจนแปลความหมายและนาไปใชแกปญหาได

มาตรฐาน ค 6.1 : มความสามารถในการแกปญหา

มาตรฐาน ค 6.2 : มความสามารถในการใหเหตผล

มาตรฐาน ค 6.3 : มความสามารถในการสอสาร การสอความหมายทาง

คณตศาสตรและการนาเสนอ

มาตรฐาน ค 6.4 : มความสามารถในการเชอมโยงความรตางๆ ทางคณตศาสตร

และเชอมโยงคณตศาสตรกบศาสตรอนๆ ได

มาตรฐาน ค 6.5 : มความคดรเรมสรางสรรค

จากการศกษามาตรฐาน ค 4.1 และมาตรฐาน ค 6.1 ตองการใหนกเรยนไดเกดการ

เรยนรดงน ตามลาดบ

• มความคดรวบยอดเกยวกบฟงกชนตรโกณมตและเขยนกราฟของฟงกชนท

กาหนดใหไดและความรเรองฟงกชนตรโกณมตไปใชได

• ใชความร ทกษะกระบวนการทางคณตศาสตรและเทคโนโลยในการ

แกปญหาไดอยางเหมาะสม

ถงแมวาในปจจบนการเรยนการสอนกลมสาระการเรยนรคณตศาสตรไดมการพฒนา

และปรบปรงหลกสตรอยางมาก จากการตดตามผลและการดาเนนการวจยเพอพฒนาหลกสตร

ของกระทรวงศกษาธการโดยกรมวชาการ พบวา การจดหลกสตรและการเรยนรวชาคณตศาสตร

วทยาศาสตรและเทคโนโลย ยงไมสามารถผลกดนใหประเทศไทยเปนผนาดานวทยาศาสตร

คณตศาสตร และเทคโนโลยในภมภาคอาเซยน ซงจาเปนตองปรบปรงกระบวนการเรยนการสอน

ใหคนไทยมทกษะกระบวนการและเจตคตทดทางคณตศาสตร วทยาศาสตรและเทคโนโลย พรอม

ทงมความคดสรางสรรค (กรมวชาการ. 2545จ: 1) และจากผลการประเมนคณภาพการศกษา

ระดบชาต นกเรยนชนมธยมศกษาตอนปลาย วนท 12-13 พฤศจกายน ปการศกษา 2546 ดาน

ผลสมฤทธทางการเรยน (GAT) ระดบชาต จะแสดงตามตารางตอไปน

ตาราง 1 ผลการสอบวดคณภาพการศกษาระดบชาต ดานผลสมฤทธทางการเรยน (GAT)

รอยละของจานวนนกเรยน

แยกตามเกณฑ วชา จานวน

นกเรยน

คะแนน

เตม

คะแนน

เฉลย

คะแนนเฉลย

รอยละ

ความ

เบยงเบน

มาตรฐาน ปรบปรง พอใช ด

ภาษาไทย 345,463 50 22.25 44.49 6.72 26.12 61.05 12.84

ภาษาองกฤษ 345,425 50 19.57 39.14 9.25 27.36 62.79 9.85

สงคมศกษา 345,241 40 16.74 41.85 6.08 37.92 50.77 11.31

วทยาศาสตรฯ 155,350 50 24.41 48.82 7.32 18.07 57.36 24.57

เคม 189,626 40 15.46 38.65 6.87 49.02 40.22 10.76

ชววทยา 188,986 40 14.70 36.76 5.59 48.45 43.27 8.28

ฟสกส 189,568 40 13.03 32.59 6.38 51.27 40.53 8.20

คณตศาสตร 244,720 40 13.60 33.99 6.81 57.49 35.32 7.18

ทมา: สานกงานทดสอบทางการศกษา. (2546). ผลการสอบวดคณภาพการศกษา. (ออนไลน)

จากตาราง 1 จะพบวาวชาคณตศาสตร มอตราสวนทควรปรบปรงสงกวาวชาอนๆ ซง

กรมวชาการ (2545จ: 4) กลาววาการจดการเรยนรในกลมสาระการเรยนรตางๆ ครตองคานงถง

พฒนาการทางดานรางกาย สตปญญา วธการเรยนร และความสนใจของนกเรยน ซงปจจยเหลาน

สงผลตอการเรยนรของนกเรยน ครควรมวธการสอนทหลากหลายเพราะหากนกเรยนไดเรยนรแต

เนอหาวชาแตเมอตองเผชญกบสถานการณ ทเปนปญหาในชวตประจาวนหรอสถานการณใหมๆ

กลบไมสามารถแกไขปญหาเหลานนไดเนองจากขาดทกษะกระบวนการและประสบการณในการ

แกปญหา ดงนนถาครสามารถจดชดกจกรรมการเรยนการสอนใหนกเ รยนเรยนรจาก

ประสบการณจรงจากการฝกปฏบต ฝกใหนกเรยนคดวเคราะหและแกปญหา ซงครจะตองเนน

บทบาทของตนเองอยางเหมาะสมและเพมบทบาทของนกเรยนใหมากขน โดยใหนกเรยนเปน

ผกระทา เปนผแกปญหา เปนผคนควาแลกเปลยนความรและประสบการณซงกนและกน

ชวยเหลอกนซงทาใหนกเรยนรสกสนกสนานในการเรยนรกจะชวยกระตนใหนกเรยนใฝเรยนใฝร

มากขน และเมอไดเผชญกบสถานการณจรงกจะทาใหนกเรยนรจกใชทกษะในการแกปญหา

เฉพาะหนาได

สาหรบเนอหาวชาคณตศาสตรในเรอง ฟงกชนตรโกณมต จากการศกษางานวจยท

เกยวของและการสอบถามสภาพปญหาจรง เกยวกบการเรยนการสอน เรอง ฟงกชนตรโกณมต

พบวาปญหาทเกดขนกบนกเรยนในการเรยนวชาคณตศาสตร เรองฟงกชนตรโกณมต มดงน

กตยารตน ภรพฒน (2545: 60-70) ไดพบวานกเรยนมปญหาเกยวกบการเรยนการสอน

เรอง ฟงกชนตรโกณมต ดงน

1. นกเรยนไมเขาใจคาของฟงกชนตรโกณมต

2. บกพรองเรองการหาคาฟงกชนตรโกณมต

3. ไมเขาใจในการกาหนดเครองหมายในจตภาค

4. ไมเขาใจการระบคาพกดของจด

5. นกเรยนแยกแยะกราฟของแตละฟงกชนไมได

ศรลกษณ กโบลา (2547: 4) การสอน เรองฟงกชนตรโกณมต มปญหาดงน

1. ขาดสอการเรยนการสอนทมประสทธภาพ

2. เนอหาสวนมากเปนนามธรรม

สมศกด อวนสาเล (2540: 92–103) ไดพบวานกเรยนมปญหาดงน

1. การหาคาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนของจานวนจรงบางจานวน

2. การหาตาแหนงจดปลายสวนโคงของวงกลมหนงหนวย

3. สบสนเรองเครองหมายของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนในชวงตางๆ

4. การใชสตรตางๆ ของฟงกชนตรโกณมตอนๆ

5. ไมเขาใจความคดรวบยอดเกยวกบการเขยนกราฟของฟงกชนตรโกณมต

6. ไมเขาใจความคดรวบยอดเกยวกบคาบของฟงกชนตรโกณมต

ครพสมร สทธกลด (2551: สมภาษณ) ตาแหนง คร คศ.3 โรงเรยนศกษานาร ผม

ประสบ

การณในการสอน วชาคณตศาสตร ในระดบมธยมศกษาตอนปลาย มานานกวา 25 ป ไดพบปญหา

ดงน

1. เนอหาเรองฟงกชนตรโกณมตเปนเรองทนกเรยนมปญหามากทสด ในระดบชน

มธยมศกษาปท 4 ซงไดแกเนอหาดงน

1.1 การหาคาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนของจานวนจรงบางจานวน

1.2 สบสนเรองเครองหมายของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนในชวงตางๆ

1.3 ไมเขาใจความคดรวบยอดเกยวกบการเขยนกราฟของฟงกชนตรโกณมต

1.4 ไมเขาใจความคดรวบยอดเกยวกบคาบของกราฟฟงกชนตรโกณมต

2. ขาดสอการเรยนการสอนทจะชวยใหนกเรยนทาการสารวจ สงเกต ตงขอ

คาดการณ และสรปความสมพนธของฟงกชนตรโกณมต

จากปญหาตางๆ ขางตนจะเหนวาในการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรองฟงกชน

ตรโกณมต คอนกเรยนไมเขาใจเรองคาของฟงกชนตรโกณมต การหาคาของฟงกชนตรโกณมต

มากทสด และไมเขาใจการระบเครองหมายในจตภาคตางๆ และไมเขาใจความคดรวบยอดเกยว

กบการเขยนกราฟของฟงกชนตรโกณมต ปญหาเหลานนกเรยนควรไดรบการแกไขจากคร ซงผวจย

ไดพยายามหาวธทางในการปรบปรงและพฒนาการเรยนการสอน เพอแกไขขอบกพรองของ

นกเรยนทเปนปญหาในการเรยน เรอง ฟงกชนตรโกณมต

ดวยความกาวหนาของเทคโนโลยทางคอมพวเตอรไดเขามามบทบาทในดานการเรยน

การสอนคณตศาสตร มซอฟตแวรทางคอมพวเตอรมากมายทเกยวของกบการเรยนการสอนวชา

คณตศาสตร ทงทางดานเรขาคณต พชคณต จานวนและการดาเนนการ โดยเฉพาะในสวนของ

เรขาคณต ซงซอฟตแวรคอมพวเตอรทดจะชวยใหนกเรยนสามารถสรางรปเรขาคณต และวดขนาด

ความยาวสวนของเสนตรง ความยาวสวนโคง และมมไดอยางรวดเรวถกตอง ทงยงชวยใหนกเรยน

สรางรปสองมตและสามมตบนหนาจอแลวสามารถพลก หมน หรอเลอนรปในมมมองตางๆ ทา

กจกรรมการสารวจดวยการพลก เลอน หมน ยอ ขยาย เพอเรยนรมโนทศนตางๆ ทางเรขาคณตได

รวดเรว และสามารถทดลองสรางรปเรขาคณต หรอกราฟ ในลกษณะตางๆ ไดหลายๆ ครง ซง

นาไปสการคนหาสมบตตางๆ ทางเรขาคณต นกเรยนสามารถสารวจตงขอคาดการณ และสบเสาะ

ตรวจคนรปตางๆ ในหลายลกษณะเพอยนยนเหตผลของตนเองสงเสรมใหนกเรยนเกดจนตนาการ

ในการคนควาหาเหตผลและเพมพนความร ซงการเรยนรเรขาคณตในลกษณะดงกลาว จะทาให

นกเรยนมองสงตางๆ รอบตวไดอยางมความหมายมากขน (วรรณวภา สทธเกยรต. 2542: 3-4)

นอกเหนอจากงานวจยทเกยวของทผวจยไดทาการศกษาในบทท 2 ผวจยยงไดทาการ

ศกษาโปรแกรมทเกยวกบเรขาคณตแบบพลวต ไดแก GSP, Geogebra และ C.a.R. ซงโปรแกรม

ทงสามนมความสามารถในการใชงานทคลายคลงกน คอเปนโปรแกรมทสามารถสรางภาพ

เคลอนไหว ยอ ขยายภาพไดตามทตองการ ซงเหมาะทจะนามาใชเปนประโยชนในการเรยนการ

สอน ปรบปรง และพฒนารปแบบการสอนใหดขน

โปรแกรมคอมพวเตอรสาหรบสรางชดกจกรรมการเรยนการสอน ในการวจยครงนโปรแกรมทผวจยนามาใชสาหรบสรางชดกจกรรมการเรยนการสอน คอ

โปรแกรมคอมพวเตอร ชอ C.a.R. ยอมาจาก Compass and Ruler, Construct and Rule ซง

เปนโปรแกรมซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต ทพฒนาขนเพอใชเปนสอในการเรยนการสอนวชา

คณตศาสตร โดย Prof Dr. René Grothmann ในเวอรชน 8.0 ซงเปนโปรแกรมทสามารถสรางรป

เรขาคณต รปกราฟตางๆ สามารถเลอน หมน ยอ ขยาย และเคลอนไหวได ทาใหนกเรยนสามารถ

สบเสาะ คนหา และคาดเดา และสรปหาเหตผลดวยตนเองได แตยงคงรกษาสมบตและ

ความสมพนธของรปนนไวเสมอ เชน เมอกาหนดรปสามเหลยมหนาจวเปนรปสามเหลยมหนาจว

ไมวาจะเคลอนยายจด ยอ ขยาย หรอหมนรปในลกษณะใดกตาม โปรแกรม C.a.R. กยงคงรกษา

สมบตของรปสามเหลยมหนาจวไว สาเหตทผวจยเลอกโปรแกรม C.a.R. มาใชในงานวจยเพราะ

เปนโปรแกรมทมความสามารถในการใชงานทางเรขาคณตและพชคณต และจดเดนของโปรแกรม

C.a.R. คอ 1. สามารถแปลงเปนแฟมงาน HTML ได 2. สามารถสรางงานในลกษณะของ

แบบทดสอบได 3. สามารถทาการเคลอนไหวในลกษณะ Animationได อกทงยงเปนโปรแกรมท

ไดรบอนญาตใหทาการเผยแพรโดยไมเสยคาลขสทธ ดวยความสาคญและเหตผลดงกลาวขางตน

ผวจยจงสนใจทจะนาโปรแกรม C.a.R. เขามาใชในการเรยนการสอนวชาคณตศาสตรเพมเตม

เรองฟงกชนตรโกณมต สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 เพอสงเสรมใหนกเรยนสารวจ ตงขอ

คาดการณ และสบเสาะหาเหตผลดวยตนเอง เพอเปนอกแนวทางหนงในการจดชดกจกรรมการ

เรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต

ความมงหมายของการวจย ในการวจยครงนผวจยไดตงความมงหมายไวดงน

1. เพอสรางชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม

C.a.R. สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4

2. เพอศกษาผลสมฤทธทางการเรยนของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ในการเรยน

เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

3. เพอศกษาความพงพอใจของนกเรยนหลงจากทไดทาชดกจกรรมการเรยนการ

สอน เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

ความสาคญของการวจย 1. ไดชดกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4

2. ไดแนวทางในการจดชดกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมต ซงนกเรยน

เปนผลงมอปฏบตเอง โดยอาศยการสารวจ ตงขอความคาดการณ การสราง และหาเหตผลเพอ

ตรวจสอบขอความคาดการณทตงไว

3. ทราบความพงพอใจของนกเรยนหลงจากใชชดกจกรรมการเรยนการสอน

เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

4. ผลทไดจากการศกษาวจยครงนจะเปนแนวทางในการสรางหรอพฒนาบทเรยนโดยใช

โปรแกรมซอฟตแวรทางคอมพวเตอร ในคณตศาสตรแขนงอนๆ และสาขาวชาอนๆ ตอไป

ขอบเขตของการวจย 1. ประชากรและกลมตวอยางทใชในการวจย 1.1 ประชากร นกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 โรงเรยนมธยมสาธตมหาวทยาลย

ราชภฏบานสมเดจเจาพระยา เขตธนบร จงหวดกรงเทพมหานคร

1.2 กลมตวอยาง นกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2551

โรงเรยนมธยมสาธตมหาวทยาลยราชภฏบานสมเดจเจาพระยา จานวน 1 หอง 53 คน จาก

ทงหมด 3 หองจานวน 126 คน โดยสมตวอยางแบบเกาะกลม (Cluster Sampling) โดยจด

หองเรยนแบบคละความสามารถของนกเรยนทมระดบเกง ปานกลาง และออนอยในหองเดยวกน

2. เนอหาทใชในการวจย เนอหาการทาวจยครงนเปนชดกจกรรมการเรยนการสอนวชาคณตศาสตรเพมเตม

เรองฟงกชนตรโกณมต องตามหลกสตรการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2544 ประกอบดวย

หนวยยอย 7 หนวย ใชเวลา 18 คาบ คาบละ 50 นาทและทาการทดสอบวดผลสมฤทธ 2 คาบ ดงน

2.1 หนวยท 1 ทบทวนเรองอตราสวนตรโกณมต เวลา 2 คาบ

2.2 หนวยท 2 วงกลมหนงหนวยและความยาวสวนโคง เวลา 2 คาบ

2.3 หนวยท 3 ฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน เวลา 1 คาบ

2.4 หนวยท 4 คาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน เวลา 4 คาบ

2.5 หนวยท 5 ฟงกชนตรโกณมตทไดจากความสมพนธ เวลา 2 คาบ

ระหวางฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน

2.6 หนวยท 6 ฟงกชนตรโกณมตของมม เวลา 3 คาบ

2.7 หนวยท 7 กราฟของฟงกชนตรโกณมต เวลา 4 คาบ

2.8 ทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต เวลา 2 คาบ

3. ตวแปรทศกษา 1. ตวแปรอสระ คอ ชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใช

โปรแกรม C.a.R. ทผวจยสรางขนเอง

2. ตวแปรตาม ไดแก

2.1 ผลสมฤทธทางเรยนของนกเรยนทเรยนโดยใชชดกจกรรมการเรยนการสอน

เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

2.2 ความพงพอใจของนกเรยนทมตอการเรยนหลงเรยนดวยชดกจกรรมการ

เรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. 4. นยามศพทเฉพาะ 1. ชดกจกรรมการเรยนการสอน โดยใชโปรแกรม C.a.R. หมายถง ชดกจกรรม

การเรยนการสอนทผวจยสรางขน ซงจดลาดบเนอหาของบทเรยนเปนหนวยยอย ๆ เรยกวา กรอบ

(frame) ซงแตละกรอบมการอธบายเนอหาและมกจกรรมทผวจยสรางขนจากโปรแกรม C.a.R. ซง

เปนโปรแกรมททาใหนกเรยนไดทาการสารวจ วเคราะห สงเกต ตงขอคาดการณ ตรวจคาตอบ และ

สรปความรไดดวยตนเองภายใตคาสอนของคร ชดกจกรรมจะมสสนทสวยงาม สามารถ ยด ยอ

ขยาย เคลอนไหว ทาใหนกเรยนเกดการกระตอรอรนในการเรยนมากขน เนอหาทใชทากจกรรม คอ

เรอง ฟงกชนตรโกณมต ประกอบดวย

1.1 หนวยท 1 ทบทวนเรองอตราสวนตรโกณมต

1.2 หนวยท 2 วงกลมหนงหนวยและความยาวสวนโคง

1.3 หนวยท 3 ฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน

1.4 หนวยท 4 คาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน

1.5 หนวยท 5 ฟงกชนตรโกณมตทไดจากความสมพนธระหวางฟงกชนไซน

และฟงกชนโคไซน

1.6 หนวยท 6 ฟงกชนตรโกณมตของมม

1.7 หนวยท 7 กราฟของฟงกชนตรโกณมต

2. ผลสมฤทธทางการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต หมายถง คะแนนรวมของ

นกเรยนทไดจากการประเมนผล ดงน

2.1 การประเมนผลระหวางเรยน จากใบกจกรรม มนาหนกคะแนนคดเปน

รอยละ 20 ของคะแนนทงหมด

2.2 การประเมนผลหลงเรยน จากการทาแบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการ

เรยนเรอง ฟงกชนตรโกณมต มนาหนกคะแนนคดเปนรอยละ 80 ของคะแนนทงหมด

3. แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต หมายถง

แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยนทผวจยสรางขน เพอวดความรความเขาใจ ของนกเรยน

ระดบชนมธยมศกษาปท 4 หลงจากทไดเรยนผานชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชน

ตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R.

4. เกณฑผานการสอบ หมายถง คารอยละ 60 ของคะแนนรวม กลาวคอ ถา

นกเรยนไดคะแนนสอบไมนอยกวารอยละ 60 ของคะแนนรวม ถอวานกเรยนสอบผานเกณฑ 5. ความพงพอใจของนกเรยนในการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใช โปรแกรม C.a.R. หมายถง การแสดงออกของนกเรยนถงความพงพอใจในชดกจกรรมการเรยนการ

สอน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. ซงวดจากแบบสอบถามวดความพงพอใจของ

นกเรยนทผวจยสรางขน เปนชนดมาตราสวนประมาณคา (Rating Scale) 5 สเกล คอ 5, 4, 3, 2 และ

1 หมายถง มากทสด มาก ปานกลาง นอย และนอยทสด ตามลาดบ และนาเสนอนาหนกความคด

โดยใชการประเมนคาความคดเหนของประคอง กรรณสต (2538: 77) ดงน

คะแนนเฉลย 4.50–5.00 หมายถง นกเรยนมความพงพอใจอยในระดบมากทสด

หลงจากเรยนชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

คะแนนเฉลย 3.50–4.49 หมายถง นกเรยนมความพงพอใจอยในระดบมาก

หลงจากเรยนชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

คะแนนเฉลย 2.50–3.49 หมายถง นกเรยนมความพงพอใจอยในระดบปานกลาง

หลงจากเรยนชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

คะแนนเฉลย 1.50–2.49 หมายถง นกเรยนมความพงพอใจอยในระดบนอย

หลงจากเรยนชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

คะแนนเฉลย 1.00–1.49 หมายถง นกเรยนมความพงพอใจอยในระดบนอยมาก

หลงจากเรยนชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

สมมตฐานในการวจย นกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 สามารถสอบผานเกณฑการเรยน เรอง ฟงกชนตรโกณมต

โดยใชโปรแกรม C.a.R. มากกวารอยละ 70 ของจานวนนกเรยนทงหมด

บทท 2 เอกสารและงานวจยทเกยวของ

ในการวจย เรองชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใช

โปรแกรม C.a.R. ครงน ผวจยไดศกษาเอกสารและงานวจยทเกยวของ และไดนาเสนอโดยแบง

ออกเปน 3 ตอน ดงน

ตอนท 1 เอกสารและงานวจยทเกยวของกบชดกจกรรมการเรยนการสอน

ตอนท 2 เอกสารและงานวจยทเกยวของกบฟงกชนตรโกณมต

ตอนท 3 เอกสารและงานวจยทเกยวของกบชดกจกรรมทใชซอฟตแวรเรขาคณต

แบบพลวต

ตอนท 1 เอกสารและงานวจยทเกยวของกบชดกจกรรมการเรยนการสอน 1. หลกสตรการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2544 ในการวจยครงนผวจยไดทาการศกษาแนวนโยบายทางการศกษา ของหลกสตร

การศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2544 เพอเปนกรอบแนวคดในการสรางชดกจกรรมการเรยนการ

สอน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. โดยผวจยไดทาการศกษาแนวนโยบาย ดงน 1.1 ความสาคญ คณตศาสตรมบทบาทสาคญยงตอการพฒนาความคดของมนษย ทาใหมนษยม

ความคดสรางสรรค คดอยางมเหตผล เปนระบบ ระเบยบ มแบบแผน สามารถวเคราะหปญหาและ

สถานการณไดอยางถถวนรอบคอบ ทาใหสามารถคาดการณ วางแผน ตดสนใจ และ แกปญหาได

อยางถกตองและเหมาะสม คณตศาสตรเปนเครองมอในการศกษาวทยาศาสตรและเทคโนโลย

ตลอดจนศาสตรอนๆ ทเกยวของ คณตศาสตรจงมประโยชนตอการดารงชวตและชวยพฒนาคณภาพ

ชวตใหดขน นอกจากนคณตศาสตรยงชวยพฒนาคนใหเปนมนษยทสมบรณ มความสมดลทงทาง

รางกายจตใจ สตปญญา และอารมณ สามารถคดเปน ทาเปน แกปญหาเปน และสามารถอยรวมกบ

ผอนไดอยางมความสข 1.2 วสยทศน การศกษาคณตศาสตรสาหรบหลกสตรการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2544 เปน

การศกษาเพอปวงชนทเปดโอกาสใหเยาวชนทกคนไดเรยนรคณตศาสตรอยางตอเนองและตลอดชวต

ตามศกยภาพ ทงนเพอให เยาวชนเปนผทมความรความสามารถทางคณตศาสตรทพอเพยง สามารถ

นาความร ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรทจาเปนไปพฒนาคณภาพชวตใหดยงขน รวมทง

11

สามารถนาไปเปนเครองมอในการเรยนรสงตางๆ และเปนพนฐานสาหรบการศกษาตอ ดงนนจงเปน

ความรบผดชอบของสถานศกษาทตองจดสาระการเรยนรทเหมาะสมแกนกเรยนแตละคน ทงนเพอให

บรรลตามมาตรฐานการเรยนรทกาหนดไว 1.3 คณภาพของนกเรยน เมอนกเรยน เรยนจบการศกษาขนพนฐาน 12 ปแลว นกเรยนจะตองมความรความ

เขาใจในเนอหาสาระคณตศาสตร มทกษะกระบวนการทางคณตศาสตร มเจตคตทดตอคณตศาสตร

ตระหนกในคณคาของคณตศาสตร และสามารถนาความรทางคณตศาสตรไปพฒนาคณภาพชวต

ตลอดจนสามารถนาความรทางคณตศาสตรไปเปนเครองมอในการเรยนรสงตางๆ และเปนพนฐานใน

การศกษาในระดบทสงขน

1.3.1 คณภาพของนกเรยนเมอจบชวงชนท 4 (ชนมธยมศกษาปท 4-6)

เมอนกเรยนจบการเรยนชวงชนท 4 นกเรยนควรจะมความสามารถดงน

1. มความคดรวบยอดเกยวกบระบบจานวนจรงและสามารถนาสมบตของ

จานวนจรงไปใชได

2. นาความรเรองอตราสวนตรโกณมตไปใชคาดคะเนระยะทาง ความสง และ

แกปญหาเกยวกบการวด

3. มความเขาใจและสามารถใชการใหเหตผลแบบอปนยและนรนยได

4. มความคดรวบยอดในเรองเซตและการดาเนนการของเซต สามารถบอกไดวา

การอางเหตผลสมเหตสมผลหรอไมโดยใชแผนภาพแทนเซต มความคดรวบยอดเกยวกบความสมพนธ

และฟงกชนสามารถใชความสมพนธและฟงกชนแกปญหาในสถานการณตางๆ ได

5. สามารถหาพจนทวไปของลาดบทกาหนดให เขาใจความหมายของผลบวก

ของ n พจนแรกของอนกรมเลขคณต อนกรมเรขาคณต และหาผลบวกของ n พจนแรกของอนกรมเลข

คณต และอนกรมเรขาคณตโดยใชสตรและการนาไปใช

6. สามารถสารวจรวบรวมขอมล วเคราะหขอมล และนาผลจากการวเคราะห

ขอมลไปชวยในการตดสนในบางอยางได

7. นาความรเรองความนาจะเปนของเหตการณไปใชได

8. มทกษะกระบวนการทางคณตศาสตรทจาเปน สามารถแกปญหาดวยวธ

การทหลากหลายและใชเทคโนโลยทเหมาะสม สามารถใหเหตผล สอสาร สอความหมายทาง

คณตศาสตร และนาเสนอมความคดรเรมสรางสรรค สามารถเชอมโยงความรตางๆ ทางคณตศาสตร

และเชอมโยงคณตศาสตร กบศาสตรอนๆ ได

12

1.4 มาตรฐานการเรยนร มาตรฐานการเรยนรทจาเปนสาหรบนกเรยนทกคน มดงน

สาระท 1: จานวนและการดาเนนการ

มาตรฐาน ค 1.1 เขาใจถงความหลากหลายของการแสดงจานวนและการใช

จานวนในชวตจรง

มาตรฐาน ค 1.2 เขาใจถงผลทเกดขนจากการดาเนนการของจานวนและความ

สมพนธระหวางการดาเนนการตางๆ และสามารถใชการดาเนนการในการแกปญหาได

มาตรฐาน ค 1.3 ใชการประมาณคาในการคานวณและแกปญหาได

มาตรฐาน ค 1.4 เขาใจระบบจานวนและสามารถนาสมบตเกยวกบจานวนไปใช

สาระท 2: การวด

มาตรฐาน ค 2.1 เขาใจพนฐานเกยวกบการวด

มาตรฐาน ค 2.2 วดและคาดคะเนขนาดของสงทตองการวดได

มาตรฐาน ค 2.3 แกปญหาเกยวกบการวดได

สาระท 3: เรขาคณต

มาตรฐาน ค 3.1 อธบายและวเคราะหรปเรขาคณตสองมตและสามมตได

มาตรฐาน ค 3.2 ใชการนกภาพ (visualization) ใชเหตผลเกยวกบปรภม

(spatial reasoning) และใชแบบจาลองทางเรขาคณต(geometric model) ในการแกปญหาได

สาระท 4: พชคณต

มาตรฐาน ค 4.1 อธบายและวเคราะหแบบรป (pattern) ความสมพนธ และ

ฟงกชนตางๆ ได

มาตรฐาน ค 4.2 ใชนพจน สมการ อสมการ กราฟ และแบบจาลองทาง

คณตศาสตรอนๆ แทนสถานการณตางๆ ตลอดจนแปลความหมายและนาไปใชแกปญหาได

สาระท 5: การวเคราะหขอมลและความนาจะเปน

มาตรฐาน ค 5.1 เขาใจและใชวธการทางสถตในการวเคราะหขอมลได

มาตรฐาน ค 5.2 ใชวธการทางสถตและความรเกยวกบความนาจะเปนในการ

คาดการณไดอยางสมเหตสมผล

มาตรฐาน ค 5.3 ใชความรเกยวกบสถตและความนาจะเปนชวยในการตดสนใจ

และแกปญหาได

13

สาระท 6: ทกษะ/กระบวนการทางคณตศาสตร

มาตรฐาน ค 6.1 มความสามารถในการแกปญหา

มาตรฐาน ค 6.2 มความสามารถในการใหเหตผล

มาตรฐาน ค 6.3 มความสามารถในการสอสาร การสอความหมายทาง

คณตศาสตรและการนาเสนอ

มาตรฐาน ค 6.4 มความสามารถในการเชอมโยงความรตางๆ ทางคณตศาสตร

และเชอมโยงคณตศาสตรกบศาสตรอนๆ ได

มาตรฐาน ค. 6.5 มความคดรเรมสรางสรรค

สาหรบสาระการเรยนรคณตศาสตรพนฐาน เปนสาระการเรยนรทจดขนให

สอดคลองกบมาตรฐานการเรยนรชวงชนทนกเรยนทกคนตองบรรล

2. เอกสารและงานวจยทเกยวของกบชดกจกรรมการเรยนการสอน 2.1 ความหมายของชดกจกรรม ชดการสอนหรอชดการเรยนมชอเรยกตางกน เชน ชดการสอน ชดการเรยนการสอนชด

การเรยนสาเรจรป ชดการสอนรายบคคล ชดการเรยนดวยตนเอง ชดกจกรรม ซงในการวจยครงนผวจย

ขอใชคาวา “ชดกจกรรม” แทนชอตางๆ ดงกลาวขาง ซงมผใหความหมายไวตางๆ กนดงน

บราวน และคนอนๆ (Brown; et al. 1973: 338) ใหความหมายไววาชดกจกรรม คอ

ชดของสอผสม ทสรางขนเพอชวยเหลอครใหสามารถสอนไดอยางมประสทธภาพ ชดกจกรรมมกจะ

ประกอบไปดวยสงของหลายอยาง เชน ภาพโปรงใส ฟลมสครป ภาพเหมอน และแผนภม บางชดอาจ

ประกอบดวยเอกสารเพยงอยางเดยวบางชดอาจจะเปนโปรแกรมทมบตรคาสงใหนกเรยน เรยนดวยตนเอง

วาสนา ชาวหา (2525: 32) ไดใหความหมายของชดกจกรรมวาหมายถง การวางแผน

การเรยนการสอนโดยใชสอตางๆ รวมกน (Multi Media Approach) หรอหมายถงการใชสอประสม

(Multi Media) เพอสรางประสบการณในการเรยนรอยางกวางขวางและเปนไปตามจดมงหมายทวางไว

โดยจดไวเปนชดหรอกลอง

วชย วงษใหญ (2525: 185) กลาววา ชดกจกรรมเปนระบบการผลตและการนาสอ การ

เรยนหลายๆ อยางมาสมพนธกน และมคณคาสงเสรมซงกนและกน สอการเรยนอยางหนงอาจใชเพอ

การเราความสนใจ ในขณะทอกอยางหนงใชเพออธบายขอเทจจรงของเนอหาและอกอยางหนงอาจใช

เพอกอใหเกดการเสาะแสวงหาอนนาไปสความเขาใจอนลกซงและปองกนการเขาใจความหมายผด สอ

การเรยนเหลานเรยกอกประการหนง สอประสมทเรานามาใชใหสอดคลองกบเนอหาวชา เพอชวยให

นกเรยนมการเปลยนแปลงพฤตกรรมการเรยนรใหเปนไปอยางมประสทธภาพยงขน

14

ยพน พพธกล (2530: 212) ไดใหความหมายของชดกจกรรมเปนรายบคคลวา เปนชด

กจกรรมทนกเรยนเรยนดวยตนเอง ในชดกจกรรมจะประกอบดวย บตรคาสง บตรกจกรรม บตรเนอหา

บตรแบบฝกหด หรอบตรงานพรอมเฉลยและบตรทดสอบพรอมเฉลย ในชดกจกรรมนนจะมสอการ

เรยนการสอนไวพรอมเพอทนกเรยนจะใชประกอบการเรยนเรองนนๆ

บญชม ศรสะอาด (2541: 95) ไดใหความหมายของชดกจกรรม หมายถง สอการเรยน

หลายอยางประกอบกนจดเขาไวเปนชด เรยกวา สอประสม (Multi Media) เพอมงใหนกเรยนเกดการ

เรยนรอยางมประสทธภาพ

บญเกอ ควรหาเวช (2545: 91) ไดใหความหมายชดกจกรรม หมายถง สอการสอนชนด

หนงซงเปนชดของสอประสม (หมายถง การใชสอการสอนตงแตสองชนดขนไปรวมกน เพอใหนกเรยน

ไดรบความรตามทตองการ สอทนามาใชรวมกนนจะชวยเสรมประสบการณซงกนและกนตามลาดบขน

ทจดเอาไว) ทจดขนสาหรบหนวยการเรยนตามหวขอเนอหาและประสบการณของแตละหนวยทตอง

การจะใหนกเรยนไดรบ โดยจดเอาไวเปนชดๆ บรรจอยในซอง กลอง หรอกระเปา

กองพฒนาการการศกษานอกโรงเรยน (2542: 5) กลาวา ชดกจกรรม หมายถง งานหรอ

ภารกจทกาหนดใหนกเรยนลงมอปฏบตระหวางศกษาหรอหลงจากศกษาเนอหาสาระตาง ๆ ในชดวชา

แตละเรองจบแลว ชดกจกรรมตองสอดคลองกบวตถประสงค นกเรยนไดลงมอปฏบตและมสวนรวมใน

การเรยนดวยตนเองตามทกาหนดในชดวชา เมอทากจกรรมเสรจเรยบรอยแลว จะสามารถตรวจสอบ

แนวตอบทนทวงทเปนการเสรมแรงและประสบการณทเปนความภาคภมใจใหแกนกเรยน

กาญจนา เกยรตประวต (2524: 175) กลาววา ชดกจกรรม หมายถง ระบบการผลตและ

การนาสอการเรยนตางๆ ทสมพนธกบเนอหา มาสงเสรมใหเกดการเปลยนแปลงพฤตกรรมการเรยนร

ตามจดประสงคอยางมประสทธภาพมากขน

สมานน รงเรองธรรม (2526: 112) กลาววาชดกจกรรม หมายถง ระบบการผลตและการ

นาสอการเรยนหลายๆ อยางมาสมพนธกนและมคณคาสงเสรมซงกนและกน หรอการนาระบบสอ

ประสม (Multi Media) ทสอดคลองกบเนอหาและประสบการณของแตละหนวยวชา มาชวยใหการ

เปลยนแปลงพฤตกรรมการเรยนรเปนไปอยางมประสทธภาพมากขน วฒนาพร ระงบทกข (2542: 27) กลาววา ชดกจกรรม คอ กจกรรมการเรยนรทไดรบการ

ออกแบบและจดอยางเปนระบบ ประกอบดวยจดมงหมาย เนอหาและวสดอปกรณ โดยกจกรรมตางๆ

ดงกลาว ไดรบการรวบรวมไวเปนระเบยบในกลองเพอเตรยมไวใหนกเรยนไดศกษาจากประสบการณ

ทงหมด

จากการศกษาความหมายตางๆ ของชดกจกรรมผวจยไดรวบรวมและไดสรปความหมาย

ของชดกจกรรมการเรยนการสอน ไวดงน

15

ชดการสอนหรอชดกจกรรมการเรยนการสอน หมายถง ระบบการผลตโดยครผสอนและ

การนาสอการเรยนหลายๆ อยางประผสมผสานกนหรอเรยกวาสอประสม (Multi Media) โดยจดอยาง

เปนระบบ ประกอบดวยจดมงหมาย เนอหา แบบฝกหดและวสดอปกรณประกอบการเรยน สาหรบการ

เรยนรเปนรายบคคลหรอการเรยนเปนกลม ซงจะชวยใหนกเรยนไดสมฤทธผลทางการเรยนตาม

เปาหมาย นกเรยนจะเรยนไปตามอตราความสามารถและความตองการของตนเองทาใหนกเรยนมการ

เปลยนแปลงพฤตกรรมการเรยนรใหเปนไปอยางมประสทธภาพยงขน 2.2 ประเภทของชดกจกรรม คณะอนกรรมการพฒนาการสอนและผลตอปกรณการสอนคณตศาสตร (2524: 250–251)

ไดแบงประเภทของชดกจกรรมออกเปน 3 ประเภท คอ

1. ชดกจกรรมสาหรบคร เปนชดสาหรบจดใหครโดยเฉพาะ มคมอและเครองมอ

สาหรบครซงพรอมทจะนาไปใชสอนใหเดกเกดพฤตกรรมทคาดหวง ครเปนผดาเนนการและควบคม

กจกรรมทงหมด นกเรยนมสวนรวมกจกรรมภายใตการดแลของคร

2. ชดกจกรรมสาหรบนกเรยน เปนชดกจกรรมการเรยนสาหรบจดใหนกเรยน เรยน

ดวยตนเอง ครมหนาทเพยงจดอปกรณและมอบชดการเรยนให แลวคอยรบรายงานผลเปนระยะๆ ให

คาแนะนาเมอมปญหาและประเมนผล ชดการเรยนนจะฝกการเรยนดวยตนเอง เมอนกเรยน เรยนจบ

การศกษาจากโรงเรยนไปแลวกสามารถเรยนรหรอศกษาสงตางๆ ไดดวยตนเอง

3. ชดกจกรรมทครและนกเรยนใชรวมกน ชดนมลกษณะผสมระหวางชดแบบ

ท 1 และชดแบบท 2 ครเปนผคอยดแล และกจกรรมบางอยางครตองเปนผแสดงนาใหนกเรยนด และ

กจกรรมบางอยางนกเรยนตองทาดวยตนเอง ชดการเรยนแบบนเหมาะอยางยงทจะใชกบนกเรยน

ระดบมธยมศกษาซงจะเรมฝกใหรจกการเรยนดวยตนเองภายใตการดแลของคร

กาญจนา เกยรตประวต (2524: 175)ไดจาแนกประเภทของชดกจกรรมไว 2 ประเภท คอ

1. ชดกจกรรมสาหรบกจกรรมกลม สงเสรมใหนกเรยนศกษาหาความรดวยตนเอง

โดยใชกจกรรมกลม เชน ในวธการของศนยการเรยน (Learning Center) หรอบทเรยนโมดลเมอ

ออกแบบใหใชกจกรรมกลมเปนวธเรยน

2. ชดกจกรรมรายบคคล สงเสรมการเรยนดวยตนเองตามลาพง เพอพฒนาความ

รบผดชอบของนกเรยน และความกาวหนาในการเรยนตามความสามารถในเวลาทแตกตางกนนกเรยน

สามารถทดสอบเพอทราบผลความกาวหนาของตนเองไดทกเวลา และตรวจคาตอบไดทนท

16

วชย วงษใหญ (2525: 174–175) ไดแบงชดกจกรรมตามลกษณะของการใชออก

เปน 3 ประเภท คอ

1. ชดกจกรรมสาหรบการบรรยาย หรอเรยกอกอยางหนงวา ชดการเรยนสาหรบคร

ใช คอเปนชดการเรยนการสอนสาหรบกาหนดกจกรรมและสอการเรยนใหครใชประกอบคาบรรยาย

เพอเปลยนบทบาทการพดของครใหนอยลง และเปดโอกาสใหนกเรยนรวมกจกรรมการเรยนมากยงขน

ชดการเรยนการสอนนจะมเนอหาเพยงหนวยเดยวและใชกบนกเรยนทงชน

2. ชดกจกรรมสาหรบกจกรรมแบบกลม ชดการเรยนการสอนนมงเนนทตวนกเรยน

ไดประกอบกจกรรมรวมกน และอาจจดการเรยนการสอนในรปศนยการเรยน ชดการเรยนการสอนแบบ

กจกรรมกลมอาจจะตองขอความชวยเหลอจากครเพยงเลกนอยในระยะเรมตนเทานน หลงจากเคยชน

ตอวธการใชแลวนกเรยนสามารถชวยเหลอ ซงกนและกนไดเอง ในขณะทากจกรรมการเรยนหากม

ปญหานกเรยนสามารถซกถามครไดเสมอ เมอจบการเรยนแตละศนยแลว นกเรยนอาจจะสนใจการ

เรยนเสรมเพอเจาะลกสงทเรยนรไดอกจากศนยสารองทครจดเตรยมไวเพอเปนการไมเสยเวลาทจะตอง

รอคอยผอน

3. ชดกจกรรมรายบคคล เปนชดกจกรรมทจดระบบขนตอนเพอใหนกเรยนใชเรยน

ดวยตนเองตามลาดบขนความสามารถของแตละคน เมอศกษาครบแลวจะทาการทดสอบประเมนผล

ความกาวหนา และศกษาชดการเรยนการสอนชดอนตอไปตามลาดบ เมอมปญหานกเรยนจะปรกษา

กนไดในระหวางเรยน และผสอนพรอมทจะใหความชวยเหลอทนทในฐานะผประสานงานหรอผชแนะ

แนวทาง การเรยนดวยชดการเรยนการสอนนจดเพอสงเสรมศกยภาพการเรยนรของแตละบคคลให

พฒนาการเรยนรของตนเองไปจนเตมสดขดความสามารถโดยไมตองเสยเวลารอคอยผอน ชดการเรยน

การสอนแบบนบางครงเรยกวาบทเรยนโมดล

บญเกอ ควรหาเวช (2545: 94–95) ไดแบงประเภทของชดกจกรรมเปน 3 ประเภทใหญ ๆคอ

1. ชดกจกรรมการสอนประกอบคาบรรยาย เปนชดการสอนสาหรบผสอนจะใชสอน

นกเรยนเปนกลมใหญ หรอการสอนทตองการปพนฐานใหนกเรยนสวนใหญรและเขาใจในเวลาเดยวกน

มงในการขยายเนอหาสาระใหชดเจนยงขน ชดการสอนแบบนจะชวยใหผสอนลดการพดใหนอยลงและ

ใชสอการสอนทมความพรอมอยในชดการสอนในการเสนอเนอหามากขน สอทใชอาจไดแก รปภาพ

แผนภม สไลด ฟลมสครป ภาพยนตร เปนตน ขอสาคญคอสอทจะนามาใชนตองใหนกเรยนไดเหน

อยางชดเจนทกคน ชดการสอนชนดนบางคนอาจเรยกวาชดการสอนสาหรบคร

2. ชดกจกรรมการสอนแบบกลมกจกรรม เปนชดการสอนสาหรบใหนกเรยนเรยน

รวมกนเปนกลมเลกๆ ประมาณ 5–7 คน โดยใชสอการสอนทบรรจไวในชดการสอนแตละชด มงทจะฝก

17

ทกษะในเนอหาวชาทเรยนและใหนกเรยนมโอกาสทางานรวมกน ชดการสอนชนดนมกจะใชในการ

สอนแบบกจกรรมกลม เชน การสอนแบบศนยการเรยน การสอนแบบกลมสมพนธ เปนตน

3. ชดกจกรรมการสอนแบบรายบคคลหรอชดการสอนตามเอกตภาพ เปนชดการ

สอนสาหรบเรยนดวยตนเองเปนรายบคคล คอ นกเรยนจะตองศกษาหาความรตามความสามารถและ

ความสนใจของตนเองอาจจะเรยนทโรงเรยนหรอทบานกได สวนมากมกจะมงใหนกเรยนไดทาความ

เขาใจในเนอหาวชาทเรยนเพมเตม นกเรยนสามารถจะประเมนผลการเรยนดวยตนเองไดดวย ชดการ

สอนชนดนอาจจะจดในลกษณะของหนวยการสอนยอยหรอโมดลกได

สมานน รงเรองธรรม (2526: 112) ไดแบงประเภทของชดกจกรรมเปน 3 ประเภทใหญๆ

1. ชดกจกรรมการสอนประกอบการบรรยาย หรอ ชดการสอนสาหรบคร เปนชดการ

สอนทกาหนดกจกรรมและสอการเรยนใหครหรอผสอนใชประกอบการบรรยาย เปนเนอหาและประสบ การณทผสอนตองการพนฐานใหนกเรยนไดเรยนพรอมกน โดยมเวลาใหนกเรยนไดเขาเรยนรวมกน

บางครงตามทกาหนดไวในตารางเรยนของแตละคน ชดการสอนนนจะมเนอหาวชาเพยงหนวยเดยว 2. ชดกจกรรมการสอนแบบกลมกจกรรม ชดการสอนแบบนใชในการประกอบ

กจกรรมของนกเรยนเปนกลม หรออาจจดในรปของศนยการเรยน (Learning Center) ซงแตละศนยน

จะมสอการเรยนหรอบทเรยนครบชดตามจานวนนกเรยนในศนยกจกรรมนน นกเรยนสามารถศกษา

ดวยตนเอง หรอชวยเหลอซงกนและกนในศนยตางๆ จนครบ ในตอนแรกอาจจาตองขอความชวยเหลอ

จากผสอนบาง แตเมอเกดความเขาใจแลวการขอคาปรกษาจากผสอนกจะลดนอยลง 3. ชดกจกรรมการสอนรายบคคล สาหรบนกเรยนทจะเรยนตามความสนใจ และ

ระดบความสามารถของตนเอง ชดการสอนแตละชดมคาแนะนาใหนกเรยนไดทากจกรรมตางๆ

ตลอดจนแหลงวสดอปกรณอนๆ ทจะตองไปศกษาเพมเตม นกเรยนสามารถทดสอบเพอทราบผล

ความกาวหนาของตนเองไดทกเวลาและทราบผลการเรยนไดทนท เพอจะศกษาตอในชดอนๆ ชยยงค พรหมวงศ และคนอนๆ (2523: 118) ไดแบงชดกจกรรมออกเปน 4 ประเภท

ใหญ ๆ ดงน คอ

1. ชดกจกรรมประกอบการบรรยาย เปนชดกจกรรมทกาหนดกจกรรมและสอ

การสอนใหครประกอบการสอนแบบบรรยาย เพอเปลยนบทบาทใหครพดนอยลง และเปดโอกาส

ใหนกเรยนมสวนรวมกจกรรมการเรยนมากยงขน ชดกจกรรมประกอบการบรรยายมงชวยขยายเนอหา

สาระการสอนแบบบรรยายใหชดเจนขน ชวยใหผสอนพดนอยลง และใหสอการสอน ทาหนาทแทน

ชดกจกรรมแบบบรรยายนนยมใชกบการฝกอบรม

18

2. ชดกจกรรมแบบกลมกจกรรม เปนชดกจกรรมทมงใหนกเรยนไดประกอบ

กจกรรมกลมรวมกน นกเรยนจะสามารถชวยเหลอกนและกนไดเองระหวางประกอบกจกรรมการเรยน

หากมปญหานกเรยนสามารถซกถามครไดเสมอ

3. ชดกจกรรมเอกตภาพหรอชดกจกรรมรายบคคล เปนชดกจกรรมทจดระบบขน

ตอนเพอมงใหนกเรยนสามารถศกษาหาความรดวยตนเองตามลาดบความสามารถของแตละคน

เพอใหนกเรยนกาวไปขางหนาตามความสามารถ ความสนใจ และความพรอมของนกเรยน

4. ชดกจกรรมทางไกล เปนชดกจกรรมทผสอนกบนกเรยนอยตางถนตางเวลากน

มงสอนใหนกเรยนศกษาไดดวยตนเองโดยไมตองมาเขาเรยน ประกอบดวยสอประเภทสงพมพ

รายการวทยกระจายเสยง วทยโทรทศน ภาพยนตร และการสอนซอมเสรมตามศนยบรการ

การศกษา เชน ชดกจกรรมทางไกล มหาวทยาลยสโขทยธรรมาธราช นอกจากนยงมชดการฝก

อบรม ชดกจกรรมของผปกครอง ชดกจกรรมทางไปรษณย จรภทร แกวก (2547: 112) ไดแบงชดกจกรรมออกเปน 2 ประเภทใหญๆ คอ

การจดกจกรรมการเรยนรแบบทวไปหรอแบบอสระ และการจดกจกรรมการเรยนรแบบกระบวนการ

การจดกจกรรมการเรยนรแบบทวไป หรอแบบอสระ หมายถง กจกรรมตางๆ ทแสดง ถงความพยายามทจะใหนกเรยนเกดการเรยนรในเรองราวทไดกาหนดไวแลว รวมทงการจดบรรยากาศ

การเรยนรทเอออานวยตอการพฒนาพฤตกรรมดานพทธพสย เจตพสย และทกษพสย กจกรรมการเรยนรเหลานมชอเรยก และรปแบบตางๆ กนไป ดงรายการตอไปน 1. วธสอนแบบบรรยาย (Lecture) 2. วธสอนแบบสาธต (Demonstration) 3. วธสอนแบบทดลอง (Experiment) 4. วธสอนแบบนรนย (Deduction) 5. วธสอนแบบอปนย (Induction)

6. วธสอนแบบทศนศกษา (Field Trip)

7. วธสอบแบบอภปรายกลมยอย (Small Group Discussion)

8. วธสอนแบบแสดงบทบาทสมมต (Role Playing)

9. วธสอนแบบกรณตวอยาง (Case)

ฯลฯ

19

จากการศกษาเรองประเภทของชดการสอนผวจยไดทารวบรวมและไดสรปประเภทของชด

การสอนไว 3 ประเภทดงน

ประเภทท 1 ชดกจกรรมประกอบการบรรยาย หรอ ชดการสอนสาหรบคร

ประเภทท 2 ชดกจกรรมแบบกลมกจกรรมหรอชดการสอนทครและนกเรยนรวมกนทา

ประเภทท 3 ชดกจกรรมแบบเอกตภาพ หรอชดการสอนรายบคคล

และในปจจบนนกไดมการพยายามพฒนารปแบบการสอนใหมการเผยแพรไปทวประเทศ

เพอใหนกเรยนในโรงเรยนทขาดแคลนครผสอนไดมโอกาสไดศกษา เราเรยกวา ชดการสอนทางไกล 2.3 จตวทยาทนามาใชในชดกจกรรม เปรอง กมท (2519: 42) ไดกลาวถงเทคนคการเรยนรดวยชดกจกรรม ดงน

1. สอนดวยวธใหนกเรยนกระทาหรอสนองตอบอยตลอดเวลา

2. ทกครงทนกเรยนตอบ กจะไดรบรผลการสนองตอบของตนทนทวาถกหรอผดและ

คาตอบทถกเปนอยางไร

3. สอนใหนกเรยนพยายามทาในสงทตองการ เพอทเขาจะไดไมเบอหนายทจะเรยน

และมกาลงใจเรยน

4. สอนไปตามลาดบขนตอน ครงละเลกนอย ไมยดเยยดครงละจานวนมาก

ชยยงค พรหมวงศ และคนอนๆ (2523: 110–120) ไดเสนอจตวทยาการเรยนรทนามาส

การผลตชดกจกรรม ดงน

1. เพอสนองความแตกตางระหวางบคคล

2. เพอยดนกเรยนเปนศนยกลางดวยการใหศกษาคนควาดวยตนเอง

3. มสอการเรยนใหมๆ ทชวยในการเรยนของนกเรยน เพอชวยการสอนของคร

4. มปฏสมพนธระหวางครกบนกเรยนทเปลยนไป เปลยนจากครเปนผนาเปนผม

อทธพลตอนกเรยนมาก

5. การจดสภาพสงแวดลอมการเรยนรไดยดหลกจตวทยาการเรยนมาใชโดยจด

สภาพการณออกมาเปนการสอนแบบโปรแกรม ซงหมายถง ระบบการเรยนการสอนทเปดโอกาสให

นกเรยน

5.1 ไดเขารวมในกจกรรมการเรยนดวยตนเอง

5.2 มทางทราบวาการตดสนใจหรอการทางานของตนถกหรอผดอยางไร

5.3 มการเสรมแรงบวกททาใหนกเรยนภาคภมใจทไดทาถก หรอคดถกอนจะ

ทาใหกระทาพฤตกรรมนนซาอกในอนาคต

5.4 เรยนรไปทละขนตามความสามารถ และความสนใจของนกเรยนเองโดย

20

ไมมใครบงคบ การจดสภาพการณทจะเอออานวยตอการเรยนรตามนยดงกลาวขางตนน จะม

เครองมอชวยใหบรรจจดหมายปลายทาง โดยการจดการสอนแบบโปรแกรมในรปของ กระบวนการ

และใชชดกจกรรมเปนเครองมอสาคญ

ไชยยศ เรองสวรรณ (2526: 199) กลาวถงการสรางชดกจกรรมวามหลกการและ ทฤษฎ ดงน

1. ทฤษฎทเกยวกบความแตกตางระหวางบคคล ชดกจกรรมนเปนสอและ กจกรรมการเรยน จดทาขนเพอสนองความสามารถ ความสนใจ และความตองการของนกเรยน เปนสาคญ

ทฤษฎทวาดวยความแตกตางระหวางบคคลจงนามาใชเปนทฤษฎพนฐานในการจดทาและใชชด

กจกรรม

2. หลกการเกยวกบสอประสมชดกจกรรม ซงหมายถง การใชสอหลาย ๆ อยางท

เสรมซงกนและกนอยางมระบบ มาใชเปนแนวทางการเรยนรและกจกรรมการเรยน ทาใหนกเรยนได

เรยนรจากสอ

3. ทฤษฎการเรยนร ชดกจกรรมเปนสอการเรยนทมงใหนกเรยนไดมสวนรวมในการ เรยนอยางแขงขน และไดรบขอมลยอนกลบอยางฉบพลน อกทงไดรบประโยชนแหง ความสาเรจหรอ

การเสรมแรง มการเรยนเปนขนตามความสามารถของนกเรยน

4. หลกการวเคราะหระบบ ชดกจกรรมจดทาโดยอาศยวธวเคราะหระบบมการ

ทดลองสอน และปรบปรงแกไขจนเปนทนาเชอถอได จงนาออกใชและเผยแพรกจกรรม การเรยน

การสอนโดยใชชดกจกรรม ทงนเพอใหกจกรรมการเรยนการสอนดาเนนไปอยางสมพนธกน

บรเนอร (สรางค โควตระกล. 2541: 31; อางองจาก Bruner. 1960, 1966, 1971: The

Relevance of Education) บรเนอรเชอวาการเรยนรจะเกดขนกตอเมอผเรยนไดประมวลขอมล

ขาวสารจากการทมปฏสมพนธกบสงแวดลอมและสารวจสงแวดลอม และเขาเชอวาการรบรของมนษย

เปนสงทเลอกหรอสงรบรขนกบความใสใจของผเรยนทมตอสงนนๆ การเรยนรจะเกดจากการคนพบ

เนองจากผเรยนมความอยากรอยากเหนซงเปนแรงผลกดนใหเกดพฤตกรรมการเรยนร ซงบรเนอรได

แบงเครองมอในการคนพบความรออกเปน 3 วธ

1. ขนเอนแอคทฟ (Enactive Mode) ซงเปนวธทมปฏสมพนธกบสงแวดลอมโดยการ

สมผสจบตองดวยมอ เชน การผลก การดง รวมทงการทเดกใชปากกบวตถสงของทอยรอบ ๆ ตว ขอ

สาคญทสดคอการกระทาของเดกเอง

2. ขนไอคอนนค (Iconic Mode) เมอเดกสามารถทจะสรางจนตนาการหรอมโนภาพ

(Imagery) ขนในใจได กจะสามารถทจะรจกโลกโดยวธไอคอนนค เดกวยนจะใชรปภาพแทนของจรง

21

โดยไมจาเปนจะตองแตะตองหรอสมผสของจรง นอกจากนเดกจะสามารถรจกสงของจากภาพ แมวา

จะมขนาดและสเปลยนไป

3. ขนใชสญลกษณ (Symbolic Mode) วธการนผเรยนจะใชในการเรยนร เมอผเรยนม

ความสามารถทจะเขาใจในสงทเปนนามธรรม หรอความคดรวบยอดทซบซอนและเปนนามธรรม จง

สามารถทจะสรางสมมตฐาน และพสจนวาสมมตฐานถกหรอผดได

ออซเบล (Ausubel. ทมา http://ednet.kku.ac.th/~sumcha/2545/nong. วนท 1 ธนวาคม

พ.ศ. 2551. ออนไลน) ออซเบลใหความหมายการเรยนรอยางมความหมาย ( Mearningful learning)

วา เปนการเรยนทผเรยนไดรบมาจากการทผสอน อธบายสงทจะตองเรยนรใหทราบและผเรยนรบฟง

ดวยความเขาใจ โดยผเรยนเหนความสมพนธของสงทเรยนรกบโครงสรางพทธปญญาทไดเกบไวใน

ความทรงจา และจะสามารถนามาใชในอนาคต ออซเบลไดชใหเหนวาทฤษฎนมวตถประสงคเพอทจะ

อธบายเกยวกบพทธปญญา ออซเบล ไดแบงประเภทของการเรยนรโดยรบอยางมความหมาย ดงน

1. Subordinate Learning เปนการเรยนรโดยการรบอยางมความหมาย โดยมวธการ

2 ประเภทไดแก

1.1 Deriveration Subsumption เปนการเชอมโยงสงทจะตองเรยนรใหมกบ

หลกการหรอกฎเกณฑทเคยเรยนมาแลว โดยการไดรบขอมลมาเพม เชน มคนบอก แลวสามารถดดซม

เขาไปในโครงสรางทางสตปญญาทมอยแลวอยางมความหมาย โดยไมตองทองจา

1.2 Correlative Subsumption เปนการเรยนรทมความหมายเกดจากการขยาย

ความ หรอปรบโครงสรางทางสตปญญาทมมากอนใหสมพนธกบสงทจะเรยนรใหม

2. Superordinate Learning เปนการเรยนรโดยการอนมาน โดยการจดกลมสงทเรยน

ใหมเขากบความคดรวบยอดทกวางและครอบคลมความคดยอดของสงทเรยนใหม เชน สนข แมว หม

เปนสตวเลยงลกดวยนม

3. Combinatorial Learning เปนการเรยนรหลกการ กฎเกณฑตางๆเชงผสม ในวชา

คณตศาสตร หรอ วทยาศาสตร โดยการใชเหตผล หรอการสงเกต เชนการเรยนรเกยวกบความสมพนธ

ระหวางนาหนกกบระยะทางในการททาใหเกดความสมดล

จากการศกษาเรองจตวทยาทจะนามาใชในการจดทาชดกจกรรมผวจยไดทารวบรวมและได

สรปแนวคดหลกในการนาจตวทยาทควรคานงมาใช ดงน

1. ความแตกตางระหวางบคคล ตองจดทาขนเพอสนองความสามารถ ความสนใจ และ

ความตอการของนกเรยนเปนสาคญ

2. การมสวนรวมในกจกรรมการเรยน เปดโอกาสใหนกเรยนมสวนรวมในกจกรรมการ

เรยน และมปฏสมพนธทดกบคร

22

3. การเสรมแรงในทางบวกททาใหนกเรยนภาคภมในสงทไดทาถก แตไมควรทาบอยๆ

เพราะจะทาใหนกเรยนมองเหนเปนเรองปกต 2.4 ขนตอนในการสรางชดกจกรรม กาญจนา เกยรตประวต (2524: 176–178) ไดวางแนวทางในการสรางชดกจกรรมไวดงน

1. เลอกเรอง เรองทจะทาจะตองรสกวามปญหาในการสอนดวยวธอนๆ จงจะม

คณคาพอสาหรบการสราง 2. พฒนาเรองใหเปนปญหา เพอยวยใหนกเรยนเกดความสงสยในคาตอบการ

พฒนาหวขอเรองใหเปนปญหา เชน วธเราความสนใจในการเรยนแกนกเรยนไดดขอสาคญปญหานน

จะตองสมพนธกบจดสาคญทครตองการสอน 3. เนอหาสาระ ครกาหนดเนอหาสาระจากการศกษาขอบเขตในหลกสตรการศกษา

หลกสตรจะทาใหครรระยะเวลาของการสอนวาควรเนนยารายละเอยดเพยงใด เชน ไมสอนทกสงทก

อยางทหลกสตรกาหนดใหสอนในเวลา 10 ชวโมง โดยใชชดการเรยนเพยง 2-3 ชวโมง 4. เขยนสงกป (Concept) หรอหลกการ (Generalization) ของเรองเพอเปนหลกในการจดกจกรรมและการตงคาถามของคร ครทสอนโดยคานงถงหลกการและสงกปของเรอง เทากบ

สงเสรมใหนกเรยนคดเปนดวย 5. เขยนจดประสงคเชงพฤตกรรม แลวเรยงลาดบโดยเรมจากสงทจะตองสอนกอน 6. ระบวชาทจะนามาสมพนธหรอบรณาการกนได จะชวยใหการคดกจกรรมการ

เรยนการสอนของครสงเสรมความคดของนกเรยนใหกวางขวางออกไปในเชงบรณาการ 7. คานงถงจตวทยาพฒนาการของนกเรยน นกเรยนแตละระดบมชวงเวลาความ

สนใจตางกน ลกษณะกจกรรมทจดจะตองคานงถงวยนกเรยนทจะเปนผลงมอกระทากจกรรมนนดวย 8. วเคราะหงาน โดยนาจดประสงคเชงพฤตกรรมแตละขอมาวเคราะหกจกรรมทคร

และนกเรยนจะตองทา ตลอดจนกาหนดสอทจาเปน แลวเรยงลาดบกจกรรมดงกลาว การกาหนดกจกรรมการเรยนการสอน จะตองระบชดเจนวาใครทาอะไร ทไหน อยางไร

เมอไร และเขยนเปนประโยคบอกเลาไมใชคาอธบายเชงคาถาม วสดอปกรณทใชประกอบ ใหวงเลบ

หมายเลขไว 9. รายการอปกรณ เอกสาร ประกอบการเรยน ควรมหมายเลขกากบเพอสะดวกตอ

การหยบใช สงของทหาไดจากตวทยาศาสตร หรอลาบากในการบรรจเขาแฟม เชน ขนนา ขวด ควรระบ

ไวเปนอปกรณสวนทครตองหามาเพมเตมกอนสอนแผนภมแผนใหญๆ ควรคดวธพบเกบใหเรยบรอย

23

10. การวดผล ไมวาจะเปนการวดกอนหรอหลงการเรยน จะตองใชจดประสงคเชง

พฤตกรรมเปนหลก วดพฤตกรรมทคาดหวงเปนสาคญ พยายามออกแบบการวดผลใหนกเรยนวด

กนเองและตรวจคาตอบเองได 11. กจกรรมสารอง จดไวสาหรบซอมพนฐานทจาเปนของเดกเรยนออนและเสรมความรของเดกทเรยนเรว สงเหลานมผลตอการรกษาวนยของหองเรยนดวย 12. คมอการใชชดการเรยน 13. แฟมสาหรบบรรจชดการเรยน ควรมขนาดมาตรฐานเพอสะดวกในการจดวาง

และการใช โดยถอหลกประโยชน ประหยด คงทน สะดวก และภมฐาน 14. การทดลองใช ปรบปรง แกไข ทดลอง เมอสรางเสรจควรไดมการทดลองใชกบ

นกเรยนในระดบทตองการกอน เพอการแกไขปรบปรง กอนนาไปใชจรง ในคมอครควรมแบบบนทกผล

การใชไวใหครบนทกขอด ขอบกพรองในการใชแตละครงไวดวย

ชยยงค พรหมวงศ และคนอนๆ (2523) แบงขนตอนในการผลตชดกจกรรมออก

เปน 10 ขนตอน ดงน

1. กาหนดหมวดหมเนอหาและประสบการณ อาจจะกาหนดเปนหมวดวชาหรอ

บรณาการเปนแบบสหวทยาการ ตามทเหนเหมาะสม 2. กาหนดหนวยการสอน แบงเนอหาวชาออกเปนหนวยการสอนโดยประมาณ

เนอหาวชาทจะใหครสามารถถายทอดความรแกนกเรยนไดในหนงสปดาหหรอหนงครง 3. กาหนดหวเรอง ผสอนจะตองถามตนเองวาในการสอนแตละหนวยควรให

ประสบการณออกมาเปน 4–6 หวเรอง 4. กาหนดความคดรวบยอดและหลกการ จะตองใหสอดคลองกบหนวยและหวเรอง โดยสรปรวมแนวคด สาระ และหลกเกณฑสาคญไวเพอเปนแนวทางในการจดเนอหาทสอนให

สอดคลองกน 5. กาหนดวตถประสงค ใหสอดคลองกบหวเรอง เปนจดประสงคทวไปกอนแลว

เปลยนเปนวตถประสงคเชงพฤตกรรมทตองมเงอนไขและเกณฑพฤตกรรมไวทกครง 6. กาหนดกจกรรมการเรยน ใหสอดคลองกบวตถประสงคเชงพฤตกรรม ซงจะเปน

แนวทางในการเลอกและการผลตสอการสอน กจกรรมการเรยน หมายถง กจกรรมทกอยางทนกเรยน

ปฏบต เชน การอาน บตรคาสง ตอบคาถาม เขยนภาพทาการทดลองทางวทยาศาสตร ฯลฯ 7. กาหนดแบบประเมนผล ตองออกแบบการประเมนผลใหตรงกบวตถประสงคเชง

พฤตกรรม โดยใชการสอบแบบองเกณฑ เพอใหผสอนทราบวา หลงจากผานกจกรรมมาเรยบรอยแลว

นกเรยนไดเปลยนพฤตกรรมการเรยนรตามวตถประสงคทตงไวหรอไม

24

8. เลอกและผลตสอการสอน วสดอปกรณและวธการทครใชถอเปนสอการสอน

ทงสน เมอผลตสอการสอนของแตละหวเรองแลวกจดสอการสอนเหลานนไวเปนหมวดหมในกลองท

เตรยมไว กอนนาไปทดลองหาประสทธภาพ เรยกกวา ชดกจกรรม 9. หาประสทธภาพชดการสอน เพอเปนการประกนวา ชดการสอนทสรางขนมาม

ประสทธภาพในการสอน ผสรางจาตองกาหนดเกณฑขนลวงหนา โดยคานงถงหลกการทวา การเรยนร

เปนการชวยใหการเปลยนพฤตกรรมของนกเรยนบรรลผล 10. การใชชดการสอน ชดการสอนทไดปรบปรงและมประสทธภาพตามเกณฑทตง

ไวแลว สามารถนาไปสอนนกเรยนไดตามประเภทของชดการสอนและระดบการศกษา

บญชม ศรสะอาด (2541: 99–100) ไดเสนอขนตอนในการสรางชดกจกรรมดงน

1. วเคราะหภารกจการเรยนสาหรบเนอหาวชาทจะสรางชดกจกรรม กาหนดจด ประสงคทวไป จดประสงคเชงพฤตกรรม และจาแนกเนอหาออกเปนหนวยยอย ๆสาหรบสอนแตละคาบเวลา 2. สรางชดกจกรรมตามลกษณะของชดการสอน และทฤษฎทเปนพนฐานและ

หลกการเรยนการสอนทไดกลาวมาแลว โดยมสวนประกอบดงน 2.1 ขอแนะนาในการใชจดประสงคของบทเรยน 2.2 กจกรรมของนกเรยนและผสอน 2.3 เอกสารสาหรบนกเรยนและผสอน 2.4 สอการเรยนการสอนตางๆ 2.5 การประเมนผล 3. ทบทวนและปรบปรง 4. ใหผเชยวชาญดานการพฒนาหลกสตร ดานเนอหาสาระ ดานสอการสอน

พจารณาใหขอเสนอแนะ ผสรางปรบปรงตามขอเสนอแนะนนๆ 5. ทดลองใชและปรบปรง โดยนาไปทดลองใชกบนกเรยนทเปนกลมเปาหมายของการสรางชดกจกรรม ดงน 5.1 ทดลองแบบหนงตอหนง โดยนาชดกจกรรมไปทดลองใชกบนกเรยนหนงคน

ทาการสงเกตและบนทกพฤตกรรมของนกเรยนระหวางเรยน จบเวลาทใชในการเรยน สมภาษณหรอให

นกเรยนเขยนวจารณชดการสอนนน แลวนาเอาขอสนเทศตางๆ ทไดมาปรบปรงแกไขขอบกพรอง 5.2 ทดลองกบกลมยอย โดยนาชดกจกรรมทไดรบการปรบปรงแลวในชน 5.1 ไปทดลองใชกบนกเรยนจานวน 10 คน โดยจะมการทดสอบผลสมฤทธทางการเรยน แลวนาคะแนน

จากการทดสอบมาวเคราะหหาประสทธภาพของบทเรยนตามเกณฑมาตรฐาน 90/90 นาเอาผลมา

ปรบปรงกจกรรม เนอหาสาระและสอตางๆ ตามขอสนเทศทไดรบ

25

5.3 ทดลองกบกลมใหญ หลงจากทดลองและปรบปรงแกไขชดกจกรรมทงสองครงแลว นาเอาชดกจกรรมนไปทดลองใชกบนกเรยนหนงหองเรยน แลวนาผลการทดสอบผลสมฤทธ

ทางการเรยนมาหาประสทธภาพของบทเรยนตามเกณฑมาตรฐาน 90/90 วฒนาพร ระงบทกข (2545: 29–30) ไดเสนอแนวทางในการสรางและออกแบบชด

กจกรรมการสอนไวดงน

ตองการใหนกเรยนเกดพฤตกรรมดานใดในระดบใด

มความสามารถ ความสนใจและวธเรยนอยางไรบาง

• สามารถสรางเสรมความร ทกษะและคณลกษณะไดตรงกบ พฤตกรรมทกาหนดในผลการเรยนรหรอจดประสงค

ขนท 1 วเคราะหผลการเรยนรทคาดหวง และจดประสงคการเรยนร

ขนท 2 วเคราะหนกเรยน

ขนท 3 กาหนดรปแบบ วธการหรอเทคนคการจดการเรยนร

• เปดโอกาสใหนกเรยนไดแสดงบทบาทและมสวนรวมในกจกรรม การเรยนร

• กอประโยชนใหนกเรยนสงสด

• เหมาะสมกบจดมงหมาย กระบวนการเรยนรและผลทจะเกดขน กบนกเรยน

ขนท 4 ปรบและเรยบเรยงรปแบบ วธการหรอเทคนค

ภาพประกอบ 1 แผนผงขนตอนการสรางและออกแบบชดกจกรรมการเรยนการสอน

26

มหาวทยาลยสโขทยธรรมาธราช (2542: 782) ไดเสนอขนตอนในการสรางชดกจกรรมม

ขนตอนทตองดาเนน 4 ขนตอน ดงน

ขนท 1 การวเคราะหเนอหา

การวเคราะหเนอหา หมายถง การจาแนกเนอหาวชาออกเปนหนวยแยกยอยลง

ไปจนถงหนวยระดบบทเรยน ซงเปนหนวยทใชสอนได 1 ครง ชดการสอนทผลตขนจงเปนชดการสอน

ประจาหนวยระดบบทเรยน คอ 1 ชดการสอนสาหรบการสอนแตละครง

ขนท 2 วางแผนการสอน

การวางแผนการสอนเปนการคาดการณลวงหนาวา เมอครเรมสอนโดยใชชด

กจกรรมจะตองทาอะไรบางตามลาดบกอนหลง

ขนท 3 ผลตสอการสอน

ขนท 4 ทดสอบประสทธภาพชดกจกรรม

เปนการประเมนผลคณภาพชดการสอน ดวยการนาชดกจกรรมไปทดลองใช

แลวปรบปรงใหมคณภาพตามเกณฑทกาหนดไว

วชย วงษใหญ (2525: 189–192) ไดเสนอขนตอนในการสรางชดกจกรรมไว 10 ขนตอน คอ

1. ศกษาเนอหาสาระของวชาทงหมดอยางละเอยดวาตองการมงเนนใหเกดหลกการ

ของการเรยนรอะไรบางใหกบนกเรยน ควรจะเรยงลาดบขนตอนของเนอหาใหถกตองวาอะไรเปน

สงจาเปนทนกเรยนจะตองเรยนรกอนตามลกษณะธรรมชาตของวชานน

2. เมอศกษาเนอหาสาระและแบงหนวยการเรยนการสอนไดแลวจะตองพจารณา

ตดสนใจอกครงวา จะทาชดการสอนแบบใดโดยคานงถงขอกาหนดวา นกเรยนคอใคร จะใหอะไรกบ

นกเรยน จะทากจกรรมอยางไรและจะทาไดดอยางไร สงเหลานจะเปนเกณฑในการกาหนดการเรยน

3. กาหนดการเรยนการสอนโดยประมาณเนอหาสาระทเราจะสามารถถายทอด

ความรแกนกเรยน หาสอการเรยนไดงาย พยายามศกษาวเคราะหใหละเอยดอกครงหนงดงเอาแกน

ของหลกการเรยนรออกมาใหได

4. กาหนดความคดรวบยอดโดยทจะตองสอดคลองกบหนวยและหวเรอง โดยสรป

แนวความคดสาระและหลกเกณฑทสาคญ เพอเปนแนวทางในการจดกจกรรมการเรยนใหสอดคลอง

5. จดประสงคการเรยน การกาหนดจดประสงคการเรยนจะตองใหสอดคลองกบ

ความคดรวบยอด โดยกาหนดเปนจดประสงคเชงพฤตกรรม ซงหมายถงความสามารถของนกเรยนท

แสดงออกมาใหเหนไดภายหลงการเรยนการสอนบทเรยนแตละเรองจบไปแลวโดยผสอนควรใชเวลา

ตรวจสอบจดประสงคการเรยนแตละขอใหถกตอง และครอบคลมเนอหาสาระของการเรยนร

27

6. การวเคราะหงาน คอ การนาจดประสงคการเรยนแตละขอมาทาการวเคราะหงาน

เพอหากจกรรมการเรยนการสอน แลวจดลาดบกจกรรมการเรยนใหเหมาะสมถกตองสอดคลองกบ

จดประสงคทกาหนดไวแตละขอ

7. เรยงลาดบกจกรรมการเรยน ภายหลงจากทเรานาจดประสงคการเรยนแตละขอ

มาทาการวเคราะหงาน และเรยงลาดบกจกรรมของแตละขอ เพอไมใหเกดการซาซอนในการเรยนโดย

คานงถงพฤตกรรมพนฐานของนกเรยน (Entering Behavior) วธดาเนนการสอน (Instructional

Procedures) ตลอดจนการตดตามผลและประเมนผลพฤตกรรมทนกเรยนแสดงออกมาเมอมการเรยน

การสอนแลว (Performance Assessment)

8. สอการเรยน คอ วสดอปกรณและกจกรรมการเรยนทครและนกเรยนจะตอง

กระทาเพอเปนแนวทางในการเรยนร ซงครจะตองจดทาขนและจดหาไวเรยบรอย

9. การประเมน คอ การตรวจสอบดวา หลงจากการเรยนการสอนแลวไดมการ

เปลยนแปลงพฤตกรรมทจดประสงคการเรยนกาหนดไวหรอไม การประเมนผลนจะใชวธใดกตามแต

จะตองสอดคลองกบจดประสงคการเรยนทเราตงไว ถาการประเมนผลไมตรงตามจดมงหมายทตงไว

ชดการสอนทสรางขนมาเปนการเสยเวลาและไมมคณคา

10. การทดลองใชชดกจกรรมเพอหาประสทธภาพ การหาประสทธภาพของชด

กจกรรมเพอปรบปรงใหเหมาะสมควรนาไปทดลองใชกบกลมเลกๆ ดกอน และเมอตรวจสอบหา

ขอบกพรองพรอมกบแกไขปรบปรงอยางดแลว จงนาไปทดลองกบเดกทงชนหรอกลมใหญโดยกาหนด

ขนตอนไวดงน

1. ชดกจกรรมนตองการความรเดมของนกเรยนหรอไม

2. การนาเขาสบทเรยนของชดกจกรรมนเหมาะสมหรอไม

3. การประกอบกจกรรมการเรยนการสอน มความสบสนวนวายกบนกเรยนและ

ดาเนนไปตามขนตอนทกาหนดไวหรอไม

4. การสรปผลการเรยนการสอนเพอเปนแนวทางไปสความคดรวบยอดหรอหลก

สาคญของการเรยนรในหนวยนนๆ ด หรอไม หรอจะตองตรวจปรบเพมเตมอยางไร

5. การประเมนผลหลงการเรยนเพอตรวจสอบดวาพฤตกรรมการเรยนรท

เปลยนแปลงเกดขน ใหความเชอมนไดมากนอยแคไหนกบนกเรยน

นอกจากนการใชชดกจกรรมจะประสบผลสาเรจกตอเมอ ไดมการจดสภาพแวดลอมของ

หองเรยนทเอออานวยตอการเรยนรดงกลาวตอไปน

1. ใหนกเรยนมสวนรวมในการเรยนอยางแทจรง

2. ใหนกเรยนมโอกาสทราบผลการกระทาทนทจากกจกรรม

28

3. มการเสรมแรงนกเรยนจากประสบการณทเปนความสาเรจอยางถกจด

4. คอยชแนะแนวทางตามขนตอนในการเรยนรตามทศทางทครไดวเคราะหและ

กาหนดความสามารถพนฐานของนกเรยน 2.5 องคประกอบของชดกจกรรม บญเกอ ควรหาเวช (2545: 95–97) ไดกลาววา องคประกอบทสาคญๆ ภายในชด

กจกรรม สามารถจาแนกออกเปน 4 สวนดวยกน คอ

1. คมอคร เปนคมอและแผนการสอนสาหรบผสอนหรอนกเรยนตามแตชนดของชดกจกรรม ภายในคมอและชแจงถงวธการใชชดกจกรรมเอาไวอยางละเอยด อาจจะทาเปนเลมหรอแผน

พบกได ซงจะกลาวถงรายละเอยดและหลกการเขยนในตอนตอไป 2. บตรคาสงหรอคาแนะนา จะเปนสวนทบอกใหนกเรยนดาเนนการเรยนหรอ

ประกอบกจกรรมแตละอยาง ตามขนตอนทกาหนดไว บตรคาสงจะมอยในชดกจกรรมแบบกลมและ

รายบคคล ซงจะประกอบดวย 2.1 คาอธบายในเรองทจะศกษา 2.2 คาสงใหนกเรยนดาเนนกจกรรม 2.3 การสรปบทเรยน บตรคาสงน มกนยมใชกระดาษแขงตดเปนบตร ขนาด 6 คณ 8 นว 3. เนอหาสาระและสอ จะบรรจไวในรปของสอการสอนตางๆ อาจจะประกอบดวย

บทเรยนโปรแกรม สไลด เทปบนทกเสยง ฟลมสครป แผนภาพโปรงใส วสดกราฟฟกส หนจาลอง ของ

ตวอยาง รปภาพ เปนตน นกเรยนจะศกษาจากสอการสอนตางๆ ทบรรจอยในชดกจกรรม ตามบตรคา

ทกาหนดไวให 4. แบบประเมนผล นกเรยนจะทาการประเมนผลความรดวยตนเองกอนและหลง

เรยนแบบประเมนผลทอยในชดการสอนอาจจะเปนแบบฝกหดใหเตมคาในชองวางเลอกคาตอบทถก

จบค ดผลจากการทดลอง หรอใหทากจกรรม เปนตน บญชม ศรสะอาด (2541: 95) กลาววาชดกจกรรมมองคประกอบทสาคญ 4 ดาน ดงน

1. คมอการใชชดกจกรรม เปนคมอทจดทาขนเพอใหผใชชดกจกรรมศกษาและ

ปฏบตตามเพอใหบรรลผลอยางมประสทธภาพ อาจประกอบดวยแผนการสอน สงทครตองเตรยมกอน

สอนบทบาทของนกเรยน และการจดชนเรยน 2. บตรงาน เปนบตรทมคาสงวาจะใหนกเรยนปฏบตอะไรบาง โดยระบกจกรรม

ตามลาดบขนตอนของการเรยน

29

3. แบบทดสอบวดผลความกาวหนาของนกเรยน เปนแบบทดสอบทใชสาหรบ

ตรวจสอบวาหลงจากเรยนชดกจกรรมจบแลวนกเรยนเปลยนแปลงพฤตกรรมตามจดประสงคการ

เรยนรทกาหนดไวหรอไม 4. สอการเรยนตางๆ เปนสอสาหรบนกเรยนไดศกษามหลายชนดประกอบกน อาจ

เปนประเภทสงพมพ เชน บทความ เนอหาเฉพาะเรอง จลสาร บทเรยนโปรแกรม หรอประเภท โสตทศนปกรณ สมานน รงเรองธรรม (2526: 114–116) ไดกลาววา ชดกจกรรมมหลายประเภทตางๆ กน

อยางไรกดชดกจกรรมประเภทตางๆ น มสวนทเปนองคประกอบพนฐานทคลายคลงกน 7 ประการ คอ 1. หวเรอง เปนการแบงหนวยงานออกเปนสวนยอยใหนกเรยนไดเขาใจยงขน ซงหว

เรองนตองตรงกบความตองการของนกเรยนและผสอนอกทงมคณคาแกการเรยนการสอนตามหลกสตร 2. คมอการใชชดกจกรรม เปนสงทจาเปนมากซงผใชชดกจกรรมนนจะศกษาจากคมอเปนอนดบแรกดงนนคมอการใชชดกจกรรมจงประกอบดวย 2.1 หวเรอง กาหนดเวลาเรยนและจานวนนกเรยน 2.2 เนอหา สาระสาคญจากรายละเอยดของเนอเรองทงหมด ควรจะบรรยาย

เนอหาอยางสนๆ 2.3 ความคดรวบยอด (Concept) กลาวถงหลกการเรยนรทมงเนน 2.4 วตถประสงคเชงพฤตกรรม เปนวตถประสงคของการเรยนรทมงจะให นกเรยนไดรบ

2.5 สอการเรยนหรอวสดประกอบการเรยน ระบรายการศกษาคนควา และ ทผสอนจะใชประกอบการสอน

2.6 กจกรรมการเรยน เปนการกาหนดกจกรรมการเรยนการสอน และการ ใชอปกรณ

2.7 การประเมนผล 3. วสดประกอบการเรยนหรอสอ รายการทระบไวในคมอการใชชดกจกรรมจะตองมไวในชดกจกรรมจรงๆ และตองระบรายการวสดอปกรณ หรอสอทมอยดวยหมายเลขใหแนชด 4. การประเมนผล แบบประเมนผลเพอดพฤตกรรมของนกเรยน อาจเปนลกษณะของ

แบบทดสอบ หรอการใหแสดงผลงาน ซงจะตองกาหนดใหชดเจนและออกแบบมาใหเขาใจ 5. สงทใชบรรจ ขนาดรปแบบของชดกจกรรม ไมควรจะใหญเกนไป ตองคานงถง

ความสะดวกในการขนยายและการนาไปใช

30

6. กจกรรมสารอง ถาเปนชดกจกรรมแบบกลมกจกรรม ควรจะจดกจกรรมสารองไว

สาหรบนกเรยนบางคนททาเสรจกอนผอนไดมกจกรรมอยางอนทา 7. ทดลองใช เพอปรบปรงแกไขกอนทจะนาออกใชประกอบการสอน จากการศกษาเรององคประกอบของชดกจกรรมผวจยไดทารวบรวมและไดสรป

องคประกอบของชดกจกรรมไวดงน

1. คมอการใชชดกจกรรมประกอบไปดวยหวขอเรองจดประสงคของการจดทาชด

กจกรรม คาอธบายการใชเครองมอของชดกจกรรม เวลาทใชในการทากจกรรมแตละหนวย เกณฑในการ

ประเมนผล เปนตน

2. ชดกจกรรมทจะนามาใชในการเรยนการสอน ประกอบไปดวยสอตางๆ อาจจะเปน

บตรคา โปรแกรมคอมพวเตอร แผนใส หรอวสดอปกรณตางๆ เปนตน อกทงควรมกจกรรมสารองเอาไว

ในกรณทกจกรรมหลกนนนกเรยนทาเสรจไว

3. แบบทดสอบวดผลความกาวหนาของนกเรยน หรอแบบประเมนผลการเรยน 2.6 คณคาของชดกจกรรม ชดกจกรรมเปนสอการสอนทมคณคาตอระบบการสอน เพราะเปนตวชวยใหเกดการ

ถายทอดการเรยนรอยางมประสทธภาพ นกการศกษากลาวถงคณคาของชดกจกรรมไวหลายทานดงน

กาญจนา เกยรตประวต (2524: 175–176) ไดกลาวถงคณคาของชดกจกรรม ไวดงน

1. ชวยเพมประสทธภาพในการสอนของคร ลดบทบาทในการบอกของคร

2. ชวยเพมประสทธภาพในการเรยนของนกเรยน เพราะสอประสมทไดจดไวในระบบ

เปนการแปรเปลยนกจกรรมและชวยรกษาระดบความสนใจของนกเรยนอยตลอดเวลา

3. เปดโอกาสใหนกเรยนศกษาดวยตนเอง ทาใหมทกษะในการแสวงหาความร

พจารณาขอมล และฝกความรบผดชอบ การตดสนใจ

4. เปนแหลงความรททนสมย และคานงถงหลกจตวทยาการเรยนร

5. ชวยขจดปญหาการขาดคร เพราะนกเรยนสามารถศกษาดวยตนเอง

6. สงเสรมการศกษานอกระบบ เพราะสามารถนาไปใชไดทกเวลาและไมจาเปนตอง

ใชเฉพาะในโรงเรยน

บญเกอ ควรหาเวช (2545: 110–111) ไดกลาวถงคณคาของชดกจกรรม ไวดงน

1. สงเสรมการเรยนแบบรายบคคล นกเรยนเรยนไดตามความสามารถ ความสนใจ

ตามเวลาและโอกาสทเหมาะสมของแตละคน

2. ชวยขจดปญหาการขาดแคลนคร เพราะชดกจกรรมชวยใหนกเรยน เรยนไดดวย

ตนเองหรอตองการความชวยเหลอจากผสอนเพยงเลกนอย

31

3. ชวยในการศกษานอกระบบโรงเรยน เพราะนกเรยนสามารถนาเอาชดกจกรรมไป

ใชไดทกสถานทและทกเวลา 4. ชวยลดภาระและชวยสรางความพรอมและความมนใจใหแกครเพราะชดกจกรรมผลตไวเปนหมวดหม สามารถนาไปใชไดทนท 5. เปนประโยชนในการสอนแบบศนยการเรยน 6. ชวยใหครวดผลนกเรยนไดตรงตามความมงหมาย 7. เปดโอกาสใหนกเรยนไดแสดงความคดเหน ฝกการตดสนใจแสดวงหาความรดวย

ตนเอง และมความรบผดชอบตอตนเองและสงคม 8. ชวยใหนกเรยนจานวนมากไดรบความรแนวเดยวกนอยางมประสทธภาพ 9. ชวยฝกใหนกเรยนรจกเคารพ นบถอ ความคดเหนของผอน สมานน รงเรองธรรม (2526: 113–114) ไดกลาวถงคณคาของชดกจกรรมหรอชดการ

สอนไวดงน

1. ใหผสอนรจกใชเทคนคในการสารวจนกเรยนจากพฤตกรรมทเดกแสดงออกมา 2. ใหผสอนรจกนานกเรยนเขามสวนรวมในการเรยน 3. ใหผสอนรจกใชการเสรมแรง 4. ชวยแบงเบาภาระของผสอนและขจดปญหาการขาดแคลนคร 5. เปดโอกาสใหนกเรยนเรยนตามความสามารถ ความสนใจ และความถนดของตนเอง 6. ชวยเหลอนกเรยนทเรยนชาผดปกต ซงอาจนาชดการสอนนไปเรยนเองทบานโดย

ทผปกครองคอยใหคาแนะนาชวยเหลอ 7. ชวยกระตนใหนกเรยนเกดความพยายามเรยนดวยตนเอง และลดเวลาในการเรยนลงไปได

สนทด ภบาลสข และพมพใจ ภบาลสข (2525: 199) ไดกลาวถงคณคาของชดการเรยน

การสอนไวดงน

1. ชวยเราความสนใจของนกเรยนตอสงทกาลงศกษาอย เพราะชดการเรยนจะเปด

โอกาสใหนกเรยนมสวนรวมในการเรยนของตนมากทสด

2. นกเรยนเปนผกระทากจกรรมการเรยนดวยตนเอง และเรยนไดตามความสามารถ

ความสนใจ หรอความตองการของตนเอง

3. เปดโอกาสใหนกเรยนไดแสดงความคดเหน ฝกการตดสนใจแสวงหาความรดวย

ตนเอง และมความรบผดชอบตอตนเองและสงคม

4. ชวยใหนกเรยนจานวนมากรบความรแนวเดยวกน

32

5. ทาใหการเรยนรเปนอสระจากอารมณของคร ชดการเรยนสามารถทาใหนกเรยน

เรยนไดตลอด ไมวาผสอนจะมสภาพหรอคบของทางอารมณมากนอยเพยงใด

6. ชวยใหการเรยนเปนอสรภาพจากบคลกภาพของคร เนองจากชดการเรยนชวย

ถายทอดเนอหาได ดงนนครทพดไมเกงกสามารถสอนใหมประสทธภาพได

7. ชวยใหครวดผลนกเรยนไดตรงตามจดมงหมาย

8. ชวยลดภาระและสรางความพรอมและความมนใจใหแกครเพราะชดการเรยน

ผลตไวเปนหมวดหม สามารถนาไปใชไดทนท

9. ชวยขจดปญหาขาดแคลนครผชานาญการ เพราะชดการเรยนชวยใหนกเรยนได

เรยนดวยตนเอง หรอตองการความชวยเหลอจากครเพยงเลกนอย

10. ชวยสรางเสรมการเรยนแบบตอเนองหรอการศกษานอกระบบ เพราะชดการ

เรยนสามารถนาไปสอนนกเรยนไดทกสถานททกเวลา

11. แกปญหาความแตกตางระหวางบคคล เพราะชดกจกรรมสามารถทาใหนกเรยน

ไดเรยนตามความสามารถ ความถนด และความสนใจ ตามเวลาและโอกาสทเอออานวยแกนกเรยนซง

แตกตางกน

ชยยงค พรหมวงศ และคนอนๆ (2523: 121) ไดกลาวถงคณคาของชดกจกรรมวา

“ไมวาจะเปนชดกจกรรมประเภทใด ยอมมคณคาตอการเพมคณภาพในการเรยนการสอน หากไดม

การผลตทมการทดสอบ วจยแลวดวยกนทงนน” คณคาของชดกจกรรมพอจะสรปไดดงน 1. ชวยใหผสอนถายทอดเนอหา ประสบการณทสลบซบซอน มลกษณะเปน

นามธรรมสง เชน การทางานของเครองจกรกล อวยวะของรางกาย การเจรญเตบโตของสตวชนตา

เปนตนซงผสอนไมสามารถถายทอดดวยการบรรยายไดด

2. ชวยเราความสนใจของนกเรยนตอสงทกาลงศกษา เพราะชดกจกรรม เปด

โอกาสใหนกเรยนมสวนรวมในการเรยนของตนเองและสงคม

3. เปดโอกาสใหนกเรยนไดแสดงความคดเหน ฝกการตดสนใจ แสวงหาความรดวย

ตนเองและสงคม

4. ชวยสรางความพรอม ความมนใจแกผสอน เพราะชดกจกรรมทผลตไวเปน

หมวดหม สามารถหยบใชไดทนท โดยเฉพาะผมเวลาในการเตรยมการสอนลวงหนา

5. ทาใหการเรยนการสอนเปนอสระจากอารมณของผสอน นกเรยนไดตลอดเวลาไม

วาผสอนจะมสภาพขดของทางอารมณเพยงใด

33

6. ชวยใหการเรยนเปนอสระจากบคลกภาพของผสอน ชดกจกรรมทาหนาท

ถายทอดความรแทนคร แมครจะพดหรอสอนไมเกง นกเรยนสามารถเรยนไดอยางมประสทธภาพจาก

ชดกจกรรมทไดผานการทดสอบประสทธภาพมาแลว

7. ในกรณทครขาด ครอนสามารถสอนแทนไดโดยใชชดกจกรรม ครไมตองเขาไป

นงคมชนหรอปลอยนกเรยนอยเฉย ๆ เพราะเนอหาอยในชดกจกรรมเรยบรอยแลว ครผสอนแทนไม

ตองเตรยมตวอะไรมากนก คณาภรณ รศมมารย (วารสารการศกษาวทยาศาสตร. 2547: ฉบบท 130) ไดกลาวถง

คณคาของชดกจกรรมตามแนวคดของแฮรสเบอรเกอร ม 5 ประการ คอ

1. นกเรยนสามารถทดสอบตนเองกอนวามความสามารถอยในระดบใด หลงจาก

นนกเรมตนเรยนในสงทตนเองกไมทราบ ทาใหไมตองเสยเวลากลบมาเรยนในสงทนกเรยนรแลว

2. นกเรยนสามารถนาบทเรยนไปเรยนทไหนกไดตามความพอใจไมจากดในเรอง

ของเวลา สถานท 3. เมอเรยนจบแลวนกเรยนสามารถทดสอบตวเองไดทนทเวลาไหนกได และได

ทราบผลการเรยนของตนเองเลยเชนกน 4. นกเรยนมโอกาสไดพบปะกบผสอนมากขน เพราะนกเรยนเรยนดวยตนเอง ครกม

เวลาใหคาปรกษากบผมปญหาในขณะทเรยนชดการเรยนทเรยนดวยตนเอง 5. นกเรยนจะไดรบคะแนนอะไรนนขนอยกบความสามารถของนกเรยนหรอ

ผลสมฤทธทางการเรยนของนกเรยนเอง ไมมคาวาสอบตกสาหรบนกเรยนไมสาเรจ แตจะใหนกเรยน

กลบไปศกษาเรองเดมนนใหมจนผลการเรยนไดตามเกณฑมาตรฐานทตงไว 2.7 งานวจยทเกยวของกบชดกจกรรม ธงชย ขาเทศเจรญ (2546) ไดทาการศกษาการเปรยบเทยบผลสมฤทธทางการเรยนวชา

คณตศาสตร เรองการหารของนกเรยนชนประถมศกษาปท 2 ระหวางการใชชดการสอนแบบศนยการ

เรยนกบชดการสอนแบบแบงกลมผลสมฤทธทมการนา เสนอในรปซนดเคท กลมตวอยางทใชในการ

ศกษาครงน เปนนกเรยนชนประถมศกษาปท 2 โรงเรยนบานหนองยาง (อนศาสนานสรณ) โรงเรยนกด

ตาดา (คงฤทธครราษฎรสามคค) และโรงเรยนถนนสรนารายณ (ครรฐประชาสรรค) กงอาเภอพระ

ทองคา จงหวดนครราชสมา ภาคเรยนท 2 ปการศกษา 2545 รวมทงสน 136 คน โดยแบงเปนกลม

ตวอยางในการหาประสทธภาพของชดการสอนแตละรปแบบ ซงม 3 ขนตอน คอ ขนทดสอบรายบคคล

ขนทดสอบกลมเลกและขนทดสอบภาคสนาม ผลการศกษา พบวา 1). ชดการสอนทพฒนาขน 2

รปแบบ คอ ชดการสอนแบบศนยการเรยนและชดการสอนแบบแบงกลมผลสมฤทธทมการนา เสนอ

เนอหาในรปการสอนแบบซนดเคท มประสทธภาพ 75.08/74.29 และ 79.34/76.30 ตามลาดบ เปนไป

34

ตามเกณฑทกาหนดไว 75/75 2). ผลสมฤทธทางการเรยนของนกเรยนทเรยนโดยใชชดการสอนแบบ

แบงกลม ผลสมฤทธทมการนา เสนอในรปซนดเคทสงกวานกเรยนทเรยนโดยใชชดการสอนแบบศนย

การเรยน อยางมนยสาคญทางสถตทระดบ .05 ผองศร หวานเสยง (2547) ไดทาการศกษาผลการใชชดกจกรรมการเรยนการสอน

คณตศาสตรทเนนกระบวนการเรยนแบบซปปาเรองโจทยปญหาการคณของนกเรยนชนประถมศกษาป

ท 3 โรงเรยนบานปาสกสานกงานเขตพนทการศกษาเชยงราย เขต 2 จานวน 25 คนเครองมอทใชใน

การวจยประกอบดวยแผนการจดการเรยนรกลมสาระการเรยนรคณตศาสตรเรองโจทยปญหาการคณ

ชนประถมศกษาปท 3 ชดกจกรรมคณตศาสตรทเนนกระบวนการเรยนแบบซปปาแบบทดสอบวด

ผลสมฤทธทางการเรยนและแบบวดเจตคตของนกเรยนตอการเรยนดวยชดกจกรรมคณตศาสตร

ผลการวจยพบวาชดกจกรรมคณตศาสตรทเนนกระบวนการเรยนแบบซปปาเรองโจทยปญหาการคณท

ผวจยสรางขน มประสทธภาพสงกวาเกณฑทกาหนดไวคอ 80/80 นกเรยนมผลสมฤทธทางการเรยน

สงกวาเกณฑทกาหนดไวคอรอยละ 65 นกเรยนมเจตคตในเชงบวกตอการเรยนการสอนโดยใชชด

กจกรรมคณตศาสตร ณฐกฤษ จนทรตะ (2548) ไดทาการศกษาการพฒนาชดการสอนคณตศาสตรทเนน

กระบวนการแกปญหา เรองความนาจะเปน สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 3กลมตวอยาง เปน

นกเรยนชนมธยมศกษาปท 3/3 จานวน 32 คน ทกาลงเรยนอยในภาคเรยนท 2 ปการศกษา 2546

โรงเรยนหนองฉางวทยา อาเภอหนองฉาง จงหวดอทยธาน ผลการวจยพบวา 1). ชดการสอน

คณตศาสตรทเนนกระบวนการแกปญหา เรองความนาจะเปน สาหรบนกเรยน ชนมธยมศกษาปท 3

ทพฒนาขนมประสทธภาพ 90.00/78.94 ซงเปนไปตามเกณฑ 80/80 2). ผลสมฤทธทางการเรยนวชา

คณตศาสตรของนกเรยน ทไดรบการสอนโดยการใชชดการสอนคณตศาสตรทเนนกระบวนการแก

ปญหาหลงเรยนสงกวากอนเรยน อยางมนยสาคญทางสถตทระดบ .05 3). ความสนใจในการเรยน

วชาคณตศาสตรของนกเรยน ทไดรบการสอนโดยการใชชดการสอนคณตศาสตรทเนนกระบวนการ

แกปญหา หลงเรยนสงกวากอนเรยน อยางมนยสาคญทางสถตทระดบ .05

ถาวร ลกษณะ (2548) ไดทาการศกษาการพฒนาชดการสอนคณตศาสตร เรองสถต

เปรยบเทยบผลสมฤทธทางการเรยนวชาคณตศาสตร และความสนใจในการเรยนวชาคณตศาสตร

ของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 3 ทไดรบการสอนดวยชดการสอนคณตศาสตร เรองสถตกบการสอน

ตามคมอคร เครองมอทใชในการวจย ไดแก 1). ชดการสอนคณตศาสตร เรอง สถต มประสทธภาพ

ตามเกณฑ 80 / 80 2). แผนการสอนตามคมอครอยในระดบทเหมาะสมดมาก 3). แบบทดสอบวด

ผลสมฤทธทางการวชาคณตศาสตร เรองสถต เปนแบบทดสอบปรนย 4 ตวเลอก จานวน 30 ขอ

35

4). แบบวดความสนใจในการเรยนวชาคณตศาสตร มลกษณะเปนแบบลเคอรทสเกล 5 ตวเลอก

จานวน 26 ขอ ผลการวจยพบวา 1). ชดการสอนทพฒนาขนมประสทธภาพ 94.12 / 86.56 สงกวา

เกณฑ 80 / 80 2). ผลสมฤทธทางการเรยนวชาคณตศาสตร ของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 3 ทไดรบ

การสอนดวย ชดการสอนคณตศาสตร เรองสถต สงกวานกเรยนทไดรบการสอนตามคมอคร อยางม

นยสาคญระดบ .05 3). ความสนใจในการเรยนวชาคณตศาสตร ของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 3 ท

ไดรบการสอนดวยชดการสอนคณตศาสตร เรองสถต สงกวานกเรยนทไดรบการสอนตามคมอครอยาง

มนยสาคญระดบ .05

จากงานวจยทผวจยไดทาการศกษาขางบนนเปนเพยงสวนหนงเทานน แตจากการศกษา

พบวาชดการสอนหรอชดกจกรรมการเรยนการสอนชวยใหนกเรยนมผลสมฤทธทางการเรยนทดขน

ตอนท 2 เอกสารและงานวจยทเกยวของกบฟงกชนตรโกณมต 1. ประวตโดยยอ การทจะบอกถงแหลงทมาของตรโกณมตนนยงไมมหลกฐานยนยน วธการของ

ตรโกณมตถกนามาใชใหเปนประโยชนในเรองของ การสารวจ การวดแผนท การคานวณพนท และการ

เดนเรอ ซงแนนอนวามนเปนสงทสาคญจรงๆ ซงวชาตรโกณมตนนไดถกนามาใหนกเรยนไดศกษาใน

ระดบชนมธยมศกษาตอนตนและตอนปลาย เปนการศกษาแนวคดทเกยวกบการใช ไซน โคไซน และ

แทนเจนต เพอวดมมของรปสามเหลยมมมฉากซงเปนสวนหนงของวชาตรโกณมต ซงตอมาในระดบท

สงขนจะเปนการศกษาทเปลยนจากเรองทเคยศกษาเกยวกบการวดมาเปนศกษาเกยวกบฟงกชนแทน

หรอทคนเคยกนคอฟงกชนตรโกณมต

คาวา “ตรโกณมต” ไมทราบวามจดกาเนดมาจากทใด แตจากภาษากรกคาวา trigonon ซง

หมายความวา “รปสามเหลยม” และจากภาษากรก คาวา metria ซงหมายความวา “การวด” เดมท

ตรโกณมตไดถกพฒนามาจากการศกษาของรปสามเหลยมมมฉากโดยศกษาจากการใชความสมพนธ

ระหวางการวดความยาวของดานและการวดมมของเรองทเกยวกบเรองรปสามเหลยมคลาย อยางไรก

ตามคาวา “ตรโกณมต” กยงไมสามารถบอกทมาไดอยางแนชดนก แตตอมาไดมนกคณตศาสตรและ

นกเรยนดาราศาสตรชาวเยอรมนไดแนะนาเกยวกบตรโกณมตลงไปในงานของเขาวา Trigonometria

sive de solutione triangularum tractatus brevis et perspicius… ซงมการประกาศในป 1595

จากนนในป 1600 ไดมการปรบปรงแกไข และประกาศอกครงวา Trigonometria sive de dimensione triangulae.

36

จดกาเนดของตรโกณมตและพฒนาการของฟงกชนตรโกณมตนนมประวตความเปนมาท

ตางๆ นาๆ กนมากมาย ตรโกณมตไมใชงานของคนใดคนหนงหรอชาตใดชาตหนง อนทจรงแลวในสมย

อยปตโบราณและสมยบาบโลนไดมการพฒนาทฤษฎบทของอตราสวนความยาวดานของรปสาม

เหลยมคลาย กอนทจะมตรโกณมตซงเปนสวนหนงของวชาคณตศาสตร ซงทงสองกลมนไดมการนา

ความรเกยวกบฟงกชนตรโกณมตไปใชแตยงไมชดเจนนก โดยทอยปตนาตรโกณมตไปใชประโยชน

เกยวกบการสารวจแผนทและการสรางพระมด สวนบาบโลนนกดาราศาสตรไดมการเชอมโยง

ความสมพนธของฟงกชนตรโกณมตกบความยาวสวนโคงของวงกลมและระยะทางของคอรดทอยตรง

ขามกบสวนโคงบนวงกลม สาหรบชาวกรกมการคนพบวา ชาวกรกไดศกษาความสมพนธระหวาง

ความยาวของคอรดกบมมทรองรบคอรดนนอยางเปนระบบ ซงเรองเหลานเปนเรองทคนเคยสาหรบ

ชาวกรกในสมยของ ฮปโปเครตส (Hippocrates, ประมาณ 460 ปกอนครสตศกราช) และในเวลา

ใกลเคยงกนน ยโดซส (Eudoxus, ประมาณ 408–355 ปกอนครสตศกราช) ได ใชอตราสวนและการวด

มมในการหาขนาดของโลกและระยะทางสมพทธระหวางดวงอาทตยและดวงจนทร สวนผลงานของยค

ลดในทางเรขาคณตนนมทฤษฎบทอยหลายทฤษฎบททสามารถใชในการพสจนทฤษฎบททาง

ตรโกณมต โดยเฉพาะทฤษฎบททเกยวกบความยาวของคอรดซงคลายคลงกบไซนและโคไซนของ

ผลบวกและผลตางของมม บางทฤษฎบทกมความสมพนธโดยตรงกบกฎของไซน 2. แนวการสอนฟงกชนตรโกณมต ผวจยไดทาการศกษาเอกสารทเกยวของกบแนวการสอนฟงกชนตรโกณมต โดยศกษา

ขอบเขตของเนอหาวาควรทาการศกษาในแนวทางใด และการเรยบเรยงลาดบของเนอหา ซงผวจยได

ศกษาแนวทางการสอนฟงกชนตรโกณมต ดงน

ซลแวน (Sullivan. 1996: 495–567) ไดนาเสนอแบบเรยนเกยวกบพชคณตและฟงกชน

ตรโกณมต ในบททเกยวกบฟงกชนตรโกณมตเขาไดวางลาดบเนอหาพอจะสรปไดดงน

1. ตรโกณมตของรปสามเหลยมมมฉาก เปนการกลาวถงทฤษฎบทพทาโกรส และศกษา

เกยวกบอตราสวนความยาวดานของรปสามเหลยมมมฉาก อตราสวนตรโกณมต ใชทฤษฏบทพทา

โกรสนาไปสเอกลกษณพนฐานของฟงกชนตรโกณมต

2. สมบตของฟงกชนตรโกณมตโดยผานวงกลมหนงหนวย เรมจากใหรจกวงกลมหนง

หนวย (Unit Circle) และความสมพนธระหวางเรเดยนกบความยาวสวนโคง และนาไปสการนยาม

ฟงกชนตรโกณมตทง 6 ฟงกชน สดทายกลาวถงโดเมนและเรนจของฟงกชนตรโกณมต

3. การหาคาของฟงกชนตรโกณมต กลาวถงการหาคาของฟงกชนตรโกณมตของจานวน

จรงและมม ทงทเปนพนฐานและจานวนจรงใดๆ

37

4. กราฟของฟงกชนตรโกณมต จะกลาวถงกราฟของฟงกชนตรโกณมตทง 6 ฟงกชนของ

จานวนจรงโดยจานวนจรงอยบนแกน X และคาของฟงกชนอยบนแกน Y และกลาวถงแอมพลจดและ

คาบของฟงกชน

เบคเคนบาค และดรยาน (Beckenbach ; & Drooyan. 1968: 155–215) ไดนาเสนอ

เนอหาเกยวกบฟงกชนตรโกณมต โดยแบงการนาเสนอทละสวนคอ เซอรคลาฟงกชน (Circular

Functions) และ ฟงกชนตรโกณมตโดยทวางลาดบเนอหา ดงน

1. เซอรคลาฟงกชน (Circular Functions) เรมจากการนยามฟงกชนไซนและฟงกชน

โคไซนของจานวนจรง โดยอาศยวงกลมหนงหนวย ดงน

ภาพประกอบ 2 แสดงการเขยนนยามฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน โดยวธเซอรคลาฟงกชน

จากภาพประกอบ 2 จะไดวาเมอ P(x, y) เปนจดปลายสวนโคงของวงกลมหนงหนวยทวด

จากจด (1, 0) ยาว แลว cosine = {(θ , x)| x = cosθ }, sine = {( , y)| y = sinθ } จากนนไดอาศย

นยามนหาคาไซนและโคไซนของจานวนใดๆ เชน

θ θ

3π,

4π,

6π

2. เอกลกษณ จะกลาวถงเอกลกษณพนฐานของเซอรคลาฟงกชนพรอมทงพสจน

เอกลกษณของฟงกชน

3. ฟงกชนตรโกณมต บทนไดกลาวถงมมในตาแหนงมาตรฐาน การวดมมในระบบองศา

และเรเดยน ฟงกชนตรโกณมตของมม การใชตาราง ฟงกชนตรโกณมตของรปสามเหลยมมมฉาก

4. กราฟของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน กลาวถงการเขยนกราฟของไซนและโคไซน

และกลาวถงแอมพลจดและคาบของกราฟของฟงกชนตรโกณมต y = k⋅T(x), y = T(k⋅x), y = T(x) + k

และ y = T(x+k)

38

ชโวลควอฟสก (Swokowski. 1978: 38–98) ไดนาเสนอเนอหาฟงกชนตรโกณมตโดย

เรมจากใหเรยนเซตของจานวนจรง ความสมพนธและฟงกชนซงเปนลกษณะทวๆ ไปของคณตศาสตร

แผนใหม เพอเปนพนฐานกอนทจะเรยนฟงกชนตรโกณมตในสวนทเกยวกบฟงกชนตรโกณมตเขาไดวางลาดบ

เนอหา สรปไดดงน

1. The Wrapping Function หมายถง ฟงกชนของสวนของเสนจานวนจรงททาบลงไป

บนวงกลมหนงหนวย โดยมโดเมนเปนจานวนจรงและเรนจเปนคอนดบ ดงน

ภาพประกอบ 3 แสดงการอธบายนยามของฟงกชนตรโกณมต โดยวธการ The Wrapping Function

ทกๆ คาของจานวนจรงบนวงกลมหนงหนวยจะจบคกบจด (x, y) ในระนาบเสมอ ดงนน

The Wrapping Function จงเปนฟงกชนจากเซตของจานวนจรงไปยงเซตของคลาดบ (x, y) ดงกลาว

2. ฟงกชนตรโกณมต เปนการนยามฟงกชนตรโกณมตจาก The Wrapping Function

ในขอ 1 โดยท เมอ t เปนจานวนจรงบนวงกลมหนงหนวย ทจบคกบคลาดบ (x, y) แลว

sin t = y ; cos t = x

tan t = xy , ; cot t = 0x ≠

yx , 0y ≠

csc t = y1 , ; sec t = 0y ≠

x1 , x ≠ 0

3. คาของฟงกชนตรโกณมต กลาวถงคาของฟงกชนตรโกณมตของจานวนจรงตางๆ ทงท

ใชและไมใชตาราง

4. การวดมม กลาวถงมมในตาแหนงมาตรฐาน การวดมมในระบบองศาและเรเดยน

5. ฟงกชนตรโกณมตของมม กลาวถงนยามของฟงกชนตรโกณมตของมมแบบเรเดยนซง

สมพนธกบฟงกชนตรโกณมตของจานวนจรง แลวจงเชอมโยงไปถงฟงกชนตรโกณมตของมมแบบองศา

39

และอตราสวนตรโกณมตของมมแหลมของรปสามเหลยมมมฉาก ตลอดจนการนาไปใชในการ

แกปญหาเกยวกบรปสามเหลยมมมฉาก

6. กราฟของฟงกชนตรโกณมต กลาวถงการเขยนกราฟของไซนและโคไซน และฟงกชน

ตรโกณมตทไดจากฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน กลาวถง แอมพลจดและคาบของกราฟของฟงกชน

ตรโกณมต

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย (2548: 64–121) ไดมการจดเรยง

ลาดบเนอหา เรองฟงกชนตรโกณมตในหนงสอแบบเรยนดงน เรมจากวงกลมหนงหนวยและความยาว

สวนโคง แลวนาเขาสฟงกชนตรโกณมตของจานวนจรงและสตรตางๆ ในการหาคาของฟงกชน

ตรโกณมต จากนนกนาสฟงกชนตรโกณมตของมม โดยกลาวถงฟงกชนตรโกณมตของมมในระบบ

เรเดยนกอนแลวใชการแปลงมมจากระบบเรเดยนเปนระบบองศาและหาคาฟงกชนตรโกณมตของมม

ตางๆ ในระบบองศาจากการเทยบคาไปยงมมในระบบเรเดยน จากนนจะกลาวถงอตราสวนตรโกณมต

ของมมของรปสามเหลยมมมฉาก และตารางคาฟงกชนตรโกณมต สดทายจะกลาวถงกราฟของ

ฟงกชนตรโกณมต

จากการศกษาเอกสารเกยวกบแนวการสอนฟงกชนตรโกณมต สรปไดวามวธการนาเสนอ

วธการทแตกตางกน ซงอาจนาเขาสฟงกชนตรโกณมต ขนอยกบวาผสอนจะเลอกใชวธการนาเสนอ

แบบใด แตการนาเสนอในแตละแบบกมสวนทเหมอนกนกคอตองคานงถงพนฐานความรของนกเรยน

กอนทจะนาเสนอเนอหาฟงกชนตรโกณมต 3. งานวจยทเกยวของกบฟงกชนตรโกณมต งานวจยในประเทศ สมศกด อวนสาเล (2540) ไดทาการศกษาการสรางแบบทดสอบวนจฉยวชาคณตศาสตร

เรองฟงกชนตรโกณมต สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 โรงเรยนสงกดกรมสามญศกษา จงหวด

หนองบวลาภ แผนการเรยนวทยาศาสตร-คณตศาสตร ภาคเรยนท 2 ปการศกษา 2539 จานวน 286

คน โดยการสมแบบแบงชนภม (Stratified Random Sampling) จดมงหมายเพอ 1). เพอสราง

แบบทดสอบวนจฉยวชาคณตศาสตร ใหมคณภาพ 2). เพอหาจดบกพรองทนกเรยนมปญหาในเรอง

ฟงกชนตรโกณมต เครองมอทใชในการวจยเปนแบบทดสอบวนจฉยชนดเลอกตอบ 4 ตวเลอกจานวน 5

ฉบบ ผลการวจยพบวาในแบบทดสอบวนจฉยฉบบท 1 เรองคาของฟงกชนไซนและโคไซน นกเรยนม

จดบกพรอง คอ การหาคาของฟงกชนไซนและโคไซนของจานวนจรงพนฐาน การหาตาแหนงจดปลาย

สวนโคงของวงกลมหนงหนวย และสบสนเรองเครองหมายของฟงกชนไซนและโคไซนในชวงตางๆ

แบบทดสอบวนจฉยฉบบท 2 เรองฟงกชนตรโกณมตอนๆ จดบกพรองของนกเรยนคอการใชสตรตางๆ

ของฟงกชนตรโกณมตอนๆ บกพรองเรองเครองหมายของฟงกชนตรโกณมตในควอดรนตตางๆ และ

40

การคดคานวณ แบบทดสอบวนจฉยฉบบท 3 เรอง ฟงกชนตรโกณมตของมม จดบกพรองทพบคอเรอง

เครองหมายของฟงกชนตรโกณมตในควอดรนตตางๆ การใชสตรตางๆ ของฟงกชนตรโกณมตอนๆ

และการหาตาแหนงจดปลายสวนโคงของวงกลมหนงหนวย แบบทดสอบวนจฉยฉบบท 4 เรองฟงกชน

ตรโกณมตของมมของรปสามเหลยมมมฉาก จดบกพรองคอ การใชอตราสวนตรโกณมตของรป

สามเหลยมมมฉาก แปลความหมายโจทยไมครบ และการใชทฤษฎบทพธาทอรส และแบบทดสอบ

วนจฉยฉบบท 5 เรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต จดบกพรองคอ นกเรยนไมเขาใจความคดรวบยอด

เกยวกบคาบของฟงกชนตรโกณมต ไมเขาใจความคดรวบยอดเกยวกบแอมพลจดของฟงกชน

ตรโกณมต และไมเขาใจความคดรวบยอดเกยวกบการเขยนกราฟของฟงกชนตรโกณมต

เกษม มงลอ (2544) ไดทาการศกษาการสรางชดการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต สาหรบชน

ประถมศกษาปท 5 โรงเรยนขอนแกงพฒนาศกษา อาเภอเมอง จงหวดขอนแกน จานวน 42 คน โดย

การสมแบบกลม ทดลองโดยใชชดการสอนประกอบคาบรรยาย ซงแบงเปน 3 ขนตอน คอ การทดลอง

แบบหนงตอหนง กบนกเรยน 3 คน แบบกลมเลกใชนกเรยน 9 คน และแบบภาคสนามใชนกเรยน

จานวน 30 คน ชดการสอนประกอบคาบรรยายทสรางขนม 16 คาบ ซงใชเวลาเรยนคาบละ 50 นาท

ซงผลของการศกษาพบวาชดการสอนประกอบคาบรรยายมประสทธภาพโดยพจารณาจากผลการ

วเคราะหหาประสทธภาพ E1/E2 = 85.72 / 80.33 และคาดชนประสทธผล E.I.= .72

บปผา เซยสกล (2544) ไดทาการศกษาการสอนคณตศาสตรชนมธยมศกษาปท 4 โรงเรยน

สกลราชวทยานกล อาเภอเมอง จงสกลนคร ทกาลงเรยนวชาคณตศาสตร ค 012 ภาคเรยนท 2 ป

การศกษา 2542 เรอง ฟงกชนตรโกณมต โดยใชคอมพวเตอรชวยสอนซอมเสรม จานวน 40 คน ซง

ไดมาโดยการเลอกแบบเจาะจง เครองมอทใชในการวจย ไดแก แผนการสอนทใชในชนเรยนปกต

แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยนทมคาความเทยงตรง 0.7663 แบบบนทกการสงเกตพฤตกรรม

ทางการเรยน และบทเรยนคอมพวเตอร ซงประกอบดวย แบบทดสอบประจาหนวยกอนเรยน บทเรยน

คอมพวเตอรชวยสอนซอมเสรม และแบบทดสอบประจาหนวยหลงเรยน ผลการวจยพบวา นกเรยนท

เรยนวชาคณตศาสตร เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชคอมพวเตอรชวยสอนซอมเสรม มผลการเรยนด

ขน โดยนกเรยนสวนใหญมความกาวหนาทางการเรยนและมผลสมฤทธทางการเรยนสงกวาเกณฑรอย

ละ 50 เกอบทกจดประสงค และนกเรยนมความสนใจในการเรยนและมวนยในชนเรยนดมาก มความ

รบผดชอบในการเรยนและงานทไดรบมอบหมายสง

กตยารตน ภรพฒน (2545) ไดทาการศกษาการพฒนาแบบทดสอบวนจฉย วชาคณตศาสตร

ชนมธยมศกษาปท 4 โรงเรยนในสงกดสานกงานสามญศกษาจงหวดอบลราชธาน จานวน 957 คนได

มาจากการสมตวอยางหลายขนตอน เรองฟงกชนตรโกณมต การวจยนมวตถประสงค 1). เพอพฒนา

แบบทดสอบวนจฉยวชาคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 4 เรองฟงกชนตรโกณมต 2). หาคณภาพของ

41

แบบทดสอบวนจฉยทงฉบบและรายขอ และ 3). สรางคมอการใชแบบทดสอบวนจฉยวชาคณตศาสตร

ชนมธยมศกษาปท 4 เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชแบบทดสอบทสรางขนประกอบดวยแบบทดสอบ

ชนดเลอกตอบ 4 ตวเลอก จานวน 6 ฉบบ คอ 1). ฟงกชนไซนและโคไซน 2). คาของฟงกชนไซนและ

โคไซน 3). ฟงกชนตรโกณมตอนๆ 4). ฟงกชนตรโกณมตของมม 5). การอานคาของฟงกชนตรโกณมต

จากตาราง 6). กราฟของฟงกชนตรโกณมต ผลการวจยพบวา สาเหตททาใหเกดจดบกพรองเรยง

ลาดบจากมากไปนอยคอ นกเรยนบกพรองการคดคานวณ นกเรยนไมเขาใจคาของฟงกชนตรโกณมต

บกพรองเรองการหาคาฟงกชนตรโกณมต ไมเขาใจในการกาหนดเครองหมายในควอดรนต บกพรอง

เรองการหาคาและไมเขาใจการเขยนคาของเลขคณตของพกดและการหารเศษสวน ตามลาดบ

วระศกด พทบร (2545) ไดทาการศกษาการพฒนาบทเรยนคอมพวเตอรชวยสอนวชา

คณตศาสตรเรองฟงกชนตรโกณมตของจานวนจรงและมมระดบชนมธยมศกษาปท 4 โรงเรยนสตล

วทยา ภาคเรยนท 2 ปการศกษา 2544 จานวน 102 คน โดยการสมอยางงาย จดมงหมาย 1). เพอ

พฒนาประสทธภาพของบทเรยนคอมพวเตอรชวยสอน และ 2). เปรยบเทยบผลสมฤทธทางการเรยน

วชาคณตศาสตรระหวางกอนเรยนและหลงเรยน 3).เพอเปรยบเทยบผลสมฤทธทางการเรยนของ

นกเรยนทไดรบการสอนโดยใชบทเรยนคอมพวเตอรชวยสอนกบนกเรยนทไดรบการสอนโดยวธปกต

โดยแบงกลมตวอยางออกเปน 2 กลม กลมละ 30 คน โดยทกลมท 1 คอกลมทดลอง กลมท 2 คอกลม

ควบคม ผลการวจยพบวา บทเรยนคอมพวเตอรชวยสอนวชาคณตศาสตร เรองฟงกชนตรโกณมตของ

จานวนจรงและมม มประสทธภาพ 84.83/82.67 และผลการเปรยบเทยบระหวางกอนเรยนและหลง

เรยน ของนกเรยนทไดรบการสอนโดยใชบทเรยนคอมพวเตอรชวยสอนปรากฏวา นกเรยนมผลสมฤทธ

ทางเรยนหลงเรยนสงกวาผลสมฤทธทางการเรยนกอนเรยนอยางมนยสาคญทางสถตทระดบ 0.05

และนกเรยนทเรยนโดยใชบทเรยนคอมพวเตอรชวยสอนมผลสมฤทธสงกวานกเรยนทไดรบการสอน

แบบปกตอยางมนยสาคญทางสถตทระดบ 0.05

จตราภรณ ภแกว (2547) ไดทาการศกษาการพฒนาชดกจกรรมการเรยนรทเนนนกเรยนเปน

สาคญ โดยใชกจกรรมทหลากหลาย เรองอตราสวนตรโกณมตและการนาไปใช ชนมธยมศกษาปท 5

ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2547 โรงเรยนวฒนานคร อาเภอวฒนานคร จงหวดสระแกว ทไดมาโดยการ

สมแบบแบงกลม(Cluster Random Sampling)1หองเรยนจานวน 45 คน จดมงหมายเพอพฒนาชด

กจกรรมการเรยนรทเนนนกเรยนเปนสาคญโดยใชกจกรรมทหลากหลาย และหาคณภาพของชด

กจกรรม โดยพจารณาจากประสทธภาพตามเกณฑ 80/80 และผลสมฤทธทางการเรยนของนกเรยน

กอนและหลงจากไดรบการสอนดวยชดกจกรรมการเรยนรทเนนนกเรยนเปนสาคญ ดาเนนการสอนโดย

ใชเวลา จานวน 17 ชวโมง โดยใชแบบแผนการทดลองแบบ One Group Pretest – Postest Design

และวเคราะหขอมล โดยการใชการทดสอบคาสถต t-test Dependent ผลการวจยพบวาชดกจกรรม

42

การเรยนรทเนนนกเรยนเปนสาคญ โดยใชกจกรรมทหลากหลาย มประสทธภาพ 89.22/87.26 สงกวา

เกณฑทกาหนดไว และผลสมฤทธทางการเรยนของนกเรยนหลงไดรบการจดการเรยนรโดยใชชด

กจกรรมสงกวากอนไดรบการจดการเรยนรอยางมนยสาคญทางสถตทระดบ 0.01

ชษณชา พระสวาง (2547) ไดทาการศกษาการพฒนาการจดกจกรรมการเรยนรแบบรวมมอ

วชาคณตศาสตร เรองฟงกชนตรโกณมตและการประยกต ชนมธยมศกษาปท 5 โรงเรยนสรนารวทยา

จงหวดนครราชสมา ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2546 จานวน 2 หองเรยน หองเรยนละ 40 คน ไดสม

ตวอยางแบบเจาะจง รปแบบการวจยเปนการวจยเชงปฏบตการ มจดมงหมายเพอพฒนากจกรรมการ

เรยนรคณตศาสตรแบบรวมมอกนเรยนร และศกษาความคงทนในการเรยนร ผลการวจยปรากฏวา

กจกรรมการเรยนรคณตศาสตร เรองฟงกชนตรโกณมตและการประยกต ทพฒนาขนมามประสทธภาพ

98.02/81.31 ซงสงกวาเกณฑทกาหนด และมคาดชนประสทธผล 0.75 ซงหมายความวานกเรยนม

ความรเพมขนหลงการเรยน รอยละ 75.00 และนกเรยนมความคงทนในการเรยนร เทากบ 0.36

ปยาพชร พวงมาลย (2547) ไดทาการศกษาการสรางชดการสอน วชาคณตศาสตร เรอง

ฟงกชนตรโกณมต สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2546 โรงเรยนบาน

หนวทยา อาเภอเกษตรสมบรณ จงหวดชยภม จานวน 24 คน โดยการสมแบบกลม เพอทาการทดสอบ

หาประสทธภาพของชดการสอน เครองมอทใชในการศกษาครงประกอบดวย แบบทดสอบแบบปรนย 4

ตวเลอกจานวน 20 ขอและชดการสอนแบบบรรยาย เรองฟงกชนตรโกณมต ซงแบงเปน 3 ขนตอน คอ

การทดลองแบบหนงตอหนง กบนกเรยน 3 คน แบบกลมเลกใชกบนกเรยน 9 คน และแบบภาคสนาม

ใชกบนกเรยน 12 คน ชดการสอนแบบบรรยายทสรางขนม 6 คาบ ใชเวลาเรยนคาบละ 60 นาท

ผลการวจยพบวา ชดการสอนแบบบรรยายมประสทธภาพโดยพจารณาจากผลการวเคราะหหา

ประสทธภาพ E1/E2 = 92.12 / 82.08 และคาดชนประสทธผล E.I.= .72

มฑนย ศรนาค (2547) ไดทาการศกษาการพฒนากจกรรมการเรยนคณตศาสตรเรองการ

ประยกตฟงกชนตรโกณมต สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 5 ภาคเรยนท 2 ปการศกษา 2546

โรงเรยนหวหน จงหวดประจวบครขนธ จานวน 30 คน โดยเลอกมาทงหองเรยน จดมงหมายเพอ

1). พฒนากจกรรมการเรยนคณตศาสตรเรองการประยกตฟงกชนตรโกณมตโดยเนนการลงมอปฏบต

2). ศกษาความสามารถในการแกปญหาของนกเรยน เครองมอทใชการวจยประกอบดวย 2.1). แผนการ

จดกจกรรมการเรยนรทเนนการลงมอปฏบต 2.2). แบบทดสอบวดความสามารถในการแกปญหากอน-

หลงเรยนแบบคขนาน ผลการวจยพบวา กจกรรมการเรยนมประสทธภาพตามเกณฑ 75/75 และความ

สามารถในการแกปญหาของนกเรยนหลงการใชกจกรรมสงกวากอนการใชกจกรรมอยางมนยสาคญ

ทางสถตทระดบ 0.05

43

ศรลกษณ กโบลา (2547) ไดทาการศกษาการพฒนาบทเรยนคอมพวเตอรวชาคณตศาสตร

เรอง อนเวอรสของฟงกชนตรโกณมต ชนมธยมศกษาปท 5 โรงเรยนสรนารวทยา อาเภอเมอง จงหวด

นครราชสมา ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2546 ไดมาจากการสมนกเรยน 1 หองเรยนจาก 7 หองเรยน

จานวนนกเรยน 41 คน จดมงหมาย 1). เพอหาประสทธภาพของบทเรยนคอมพวเตอรตามเกณฑ 75/75

2). หาดชนประสทธผลของบทเรยนคอมพวเตอร 3). ศกษาผลการใชบทเรยนคอมพวเตอร 4). ศกษา

ความพอใจของนกเรยนทมตอบทเรยนคอมพวเตอร ซงเครองมอทใชในการศกษาคนความดงน

1). บทเรยนคอมพวเตอร ทผานการประเมนของผเชยวชาญดานสอและโปรแกรมคอมพวเตอรวาอยใน

เกณฑดมาก 2). แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยนแบบองเกณฑทเปนขอสอบแบบปรนย 4

ตวเลอก จานวน 40 ขอ 3). แบบสอบถามความพงพอใจทเปนแบบมาตราสวน ประมาณคา 5 ระดบ

จานวน 20 ขอ ผลการวจยพบวา การพฒนาบทเรยนคอมพวเตอรวชาคณตศาสตร เรอง อนเวอรสของ

ฟงกชนตรโกณมต ชนมธยมศกษาปท 5 มประสทธภาพ 77.64/83.35 สงกวาเกณฑทตงไว ดชน

ประสทธภาพเทากบ 0.7725 แสดงวาบทเรยนคอมพวเตอรทาใหนกเรยนมความกาวหนาทางการเรยน

เพมขนคดเปนรอยละ 77.25 และผลการใชบทเรยนคอมพวเตอรทาใหบรรยากาศของการเรยนการ

สอนดขน นกเรยนมความสขในการเรยน แตมความยงยากในการจดเวลาการใชหองเรยน นกเรยนม

ความพงพอใจในระดบมาก งานวจยในตางประเทศ เคนดอล, มากาเรท และ สเตซ, เคย (Kendal, Margaret ; & Stacey, Kaye. 1997:

Abstract) ไดทาการศกษาวธการสอน เรองตรโกณมต ในโรงเรยนวคตอเรย ซงผวจยไดทาการศกษา

วธการสอน เรองตรโกณมตออกเปน 2 วธ ไดแก วธท 1 คอการสอนตรโกณมตโดยการเปรยบเทยบ

อตราสวน (Ratio method) ความยาวของดานในรปสามเหลยมมมฉาก และวธท 2 คอการสอน

ตรโกณมตโดยการใชวงกลมหนงหนวย (Unit circle- method) ผลของการวจยพบวานกเรยนทไดรบ

การสอนดวยวธท 1 สวนใหญมคะแนนสงกวานกเรยนทไดรบการสอนดวยวธท 2

ออลฮน, เนวน (Orhun, Nevin. 2000, July: Abstract) ไดทาการศกษาขอผดพลาด ของ

นกเรยนทเรยนเรองตรโกณมต กลมตวอยางจานวน 77 คน ทศกษาอยในเกรด 10 ในการวจยผวจยได

สรางคาถามทเกยวกบแนวคดพนฐานของตรโกณมตไว 15 ขอ และนาไปใชถามนกเรยนแตในทนผวจย

ไดเลอกคาถามมา 4 ขอจาก 15 ขอ ผลการวจยพบวา นกเรยนมความผดพลาดอยางมากเกยวกบ

รปแบบของความสมพนธระหวางมมกบจานวนจรง และฟงกชนตรโกณมตของรปสามเหลยมมมฉาก

เวบเบอร, เคอซ (Weber, Keith. 2005: Abstract) ไดทาการวจยเกยวกบการศกษาความ

เขาใจของนกเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต กลมตวอยางทใชแยกออกเปน 2 กลม กลมแรกเปน

นกศกษาในมหาวทยาลยในเขตทางใตของสหรฐอเมรกาทกาลงศกษาวชาตรโกณมต จานวน 31 คน

44

และกลมสองเปนนกศกษาในมหาวทยาลยเดยวกน จานวน 40 คน ซงในกลมแรกจะเปนการเรยนวชา

ตรโกณมตจากศาสตราจารยทมประสบการณสอนมามากกวา 30 ป ซงสอนโดยใชวธการบรรยายเปน

หลก ซงครผสอนจะเปนผอธบายซะสวนใหญ สาหรบกลมสองใชวธการสอนโดยใหนกศกษาเรยนโดย

การใชแบบรปเพอใหนกเรยนไดมองความสมพนธออกดวยการสงเกต และการทดลองปฏบต ผลของ

การวจยพบวา นกศกษาทเรยนดวยวธการบรรยายนนการพฒนาการความเขาใจเกยวกบฟงกชนนนถก

จากดไวแคทผสอน สาหรบนกศกษาทรบการทดลองการสอนมการพฒนาความเขาใจเกยวกบฟงกชน

ตรโกณมตไดอยางลกซงมากกวา

ฟอลน, แอคเซล เพอเซน และเมอรฟ, เทเรน เฟลเทอร (Faughn, Axelle Person ; &

Murphy, Terran Felter. 2007: Abstract) ไดทาการศกษาผลของการใชโปรแกรมซอฟตแวรทาง

เรขาคณตในการสอน เรองตรโกณมต เครองมอทใชในการวจยคอชดกจกรรมทผวจยสรางขนเพอให

นกเรยนไดทาการสารวจโดยการลงมอปฏบตจรง สงเกต และตงขอคาดการณ เพอศกษาแนวคดของ

ตรโกณมต กลมตวอยางคอนกศกษาทกาลงจะเขาเรยนในมหาวทยาลย ในการทดลองนนนกศกษาจะ

ไดประสบการณโดยการใชหองทดลองคอมพวเตอร ซงในคอรดหนงจะมเวลา 2 ชวโมง ผวจยให

นกศกษาใชเวลา 25 นาท ในการทาการสารวจศกษาโดยใชคอมพวเตอรโดยใหนกเรยนจบกลม กลม

ละ 3 คน แลวปฏบตตามคาสงทมอยในกจกรรมทผวจยไดสรางขน ผลของการวจยพบวา นกศกษาท

ไดรบการสอนโดยใชโปรแกรมซอฟตแวรเรขาคณตมความรทคงทนและอยไดนาน

ตอนท 3 เอกสารและงานวจยทเกยวของกบการใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต 1. การใชคอมพวเตอรในการเรยนการสอน

การพฒนาทางดานเทคโนโลยคอมพวเตอรมความกาวหนาอยางรวดเรว โดยปจจบนไดม

การนาคอมพวเตอรไปใชในดานการเรยนการสอนมากขน โดยการนาคอมพวเตอรไปใชในการเรยนการ

สอนนมประโยชนสาคญๆดงน (ศรศกด จามรมาน. 2535: 10)

1. ทาใหนกเรยนไดมสวนรวมในกระบวนการเรยนการสอนมากขน ทาใหมความสนใจ

และความกระตอรอรนมากขน

2. ทาใหนกเรยนสามารถเลอกวธเรยนไดหลายแบบ ทาใหไมเบอหนาย

3. ทาใหนกเรยนเกดความเขาใจมากขน ลดการทองจา

4. ทาใหปรบปรง เปลยนแปลงการเรยนการสอนไดเหมาะสมกบความตองการของ

นกเรยนแตละคน

5. ทาใหนกเรยนมอสระในการเรยน

6. ทาใหนกเรยนสามารถสรปหลกการ

45

การพฒนาบทเรยนทางคณตศาสตรทใชคอมพวเตอรชวย ม 3 ลกษณะ

1. พฒนาบทเรยนโดยการสรางดวยโปรแกรมภาษาทางคอมพวเตอร เชน พฒนาโดยใช

ภาษา Basic, Fortran, Visual C, Visual Basic, Maple เปนตน ปญหาทพบในกรณนคอ ผพฒนาตอง

มความรและประสบการณทางคอมพวเตอรสงและใชเวลาในการพฒนามาก

2. พฒนาบทเรยนจากโปรแกรมบทเรยน (Authoring System) เชน โปรแกรมไทยทศน

บนภาพกราฟก มรปแบบตวอกษรตางๆ มภาพสามมต ลดความยงยากในการใชคาสงตางๆ นาเสนอ

เนอหา ตวอยางการทางาน การสรางภาพและเสยงประกอบคาถาม และการฝกปฏบต แตปญหาทพบ

คอ ผพฒนาสวนมากจะสรางบทเรยนสนๆแตการพฒนารปภาพทางเรขาคณตประกอบการคานวณ

ตองใชเวลามากและตองเรยนรเชอมโยงโปรแกรมเขาดวยกน

3. พฒนาจากโปรแกรมสาเรจรป ทมจาหนายทวไป ทเหมาะสมกบงานแตละงาน เชน

Microsoft Excel เหมาะกบการคานวณในลกษณะของแถวหรอหลก Microsoft Word เหมาะสมกบ

การทาเอกสาร Mathmatica Mathcad และ Mathlab ทงสามโปรแกรมนเหมาะสมกบการคานวณทาง

คณตศาสตร สามารถใชในแงของสญลกษณ การเขยนกราฟและฟงกชน การคานวณของแคลคลส

ชนสง (วรรณวภา สทธเกยรต. 2542: 28) 2. ซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต ซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตเปนซอฟตแวรดานเรขาคณตซงเนนการสรางรปเรขาคณตใน

ลกษณะเดยวกบการใชสนตรงและวงเวยน แตมลกษณะปฏสมพนธ ผใชสามารถสรางรปและเคลอน

ยายรปได โดยการเคลอนยายจดหรอยายเสนนนสามารถทาไดโดยงาย และการเคลอนยายจะยงคง

รกษาสมบตทรวมกนของรปนนไวเสมอ เชน รปสามเหลยมหนาจวจะเคลอนยายจดมมในลกษณะใดก

ตามจะเปนรปสามเหลยมหนาจวเสมอ หรอจดซงอยบนสวนของเสนตรง การเคลอนยายจะยงคงรกษา

สมบตของจดบนสวนของเสนตรงนนเสมอ ทาใหซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตเหมาะสาหรบการเรยน

รเรขาคณตโดยทดลองสรางและสารวจสมบตหรอคนหาความจรงในเชงเรขาคณตจากรปหลายๆ ลกษณะ

ซงสอดคลองกบลาดบขนการเรยนรสามขนแรกของแวน ฮล (สธนนท บญพฒนาภรณ. 2549: 18)

ซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตทมในปจจบนมสมบตพนฐานของการสรางและการ

เคลอนยายจด เสนตรง วงกลม มม พรอมทงเครองมออานวยความสะดวกเบองตน เชน ความยาว

ขนาดมม คลายคลงกน ซงสามารถจาแนกตามลกษณะการเผยแพรได 2 ลกษณะ ดงน

1. ซอฟตแวรธรกจ อาทเชน

1.1 CABRI (http://www.chartwellyorke.com/cabri.html. 2 กรกฏาคม 2551)

1.2 GSP (http://www.dynamicgeometry.com. 2 กรกฏาคม 2551)

1.3 CINDERELLA (http://www.cinderella.de/tiki-index.php. 2 กรกฏาคม 2551)

46

2. ซอฟตแวรทใชเผยแพรโดยไมเสยคาลขสทธ

2.1 C.a.R. (วนท 3 มถนายน 2551, http://www.z-u-l.de)

2.2 KSEG (วนท 23 มถนายน 2551, http://www.mit.edu/~ibaran/kseg.html.)

2.3 WinGeom (วนท 23 มถนายน 2551, http://math.exeter.edu/rparris/wingeom.html.)

2.4 GeoGebra (วนท 3 มถนายน 2551, http://www.geogebra.org.)

ผวจยเลอกใชซอฟตแวร C.a.R. (Compass and Ruler, Construct and Rule) เปน

เครองมอในการวจยครงนเนองจากเปนโปรแกรมซงอนญาตใหใชและเผยแพรไดโดยไมเสยคาลขสทธ

และมสมบตเบองตนของซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตพอเพยง และสามารถเพมเตมเครองมอโดย

ผใชดวยการสรางคาสงมาโคร (Macro) ซงโปรแกรม C.a.R. เปนซอฟตแวรทพฒนาขนโดย

ศาสตราจารย ดร. เรอเน กรอธมนน (Prof. Dr. Rene Grothmann) ชาวเยอรมน โดยมวตถประสงค

สาหรบนกเรยนตงแตชนประถมศกษาจนถงระดบสง รวมทงผใหญ เพอนามาใชในวชาคณตศาสตร

การใชโปรแกรมสามารถใชไดดวยการคลกเมาสและลากเมาส หรอใชคาสงเปนขอความโดยตรง

จดเดนของโปรแกรม C.a.R. คอ

1. การสรางแฟมงานแบบ HTML

โปรแกรม C.a.R. สามารถแปลงแฟมงานจากแฟมงานของ C.a.R. ใหเปนแฟมงานแบบ

HTML โดยทยงคงคณสมบตตางๆ ของโปรแกรมเสมอนอยในแฟมงานของ C.a.R. และสามารถเลอก

เครองมอทเคยใชงานในโปรแกรม C.a.R. เฉพาะทจาเปนมาใชงานในแฟมงานแบบ HTML ได

2. การสรางงานในลกษณะของแบบทดสอบการสราง

โปรแกรม C.a.R. มความสามารถในการสรางงานในลกษณะของแบบทดสอบการสราง

ได หมายความวาครผสอนสามารถทจะกาหนดคาตอบหรอวธการของกจกรรมทเกยวกบสรางนนๆ ได

ในขณะทนกเรยนปฏบตกจกรรมนนนกเรยนสามารถตอบสนองกบโปรแกรม C.a.R. ไดทนททนกเรยน

สรางไดถกตอง โปรแกรม C.a.R. จะมการตอบสนองวา Well Done ซงวธการเชนนทาใหนกเรยนนา

ความรทเคยเรยนมา ตอบคาถามกจกรรมการสราง โดยไมจากดวธสราง

3. การสรางภาพเคลอนไหว

โปรแกรม C.a.R. สามารถสรางภาพหรอขอความทเคลอนไหวได ซงการเหนความ

เคลอนไหว จะชวยใหนกเรยนมองเหนการเปลยนแปลง นาไปสการสารวจ สงเกต และตงขอคาดการณ

เปนแนวทางการเรยนร จะทาใหนกเรยนเขาใจเนอหาทเรยนไดดขน

47

3. งานวจยทเกยวของกบการใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตสอนเรขาคณต งานวจยในประเทศ วรรณวภา สทธเกยรต (2542) ไดพฒนาบทเรยนเรขาคณตทใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบ

พลวตเปนเครองมอในการเรยนร สาหรบนกเรยนระดบมธยมศกษาตอนปลาย แผนการเรยน

วทยาศาสตร-คณตศาสตร บทเรยนประกอบดวยเนอหาเรขาคณตทเปนพนฐานในการศกษาทางดาน

วทยาศาสตรและคณตศาสตร กจกรรมการเรยนรมลกษณะสงเสรมใหนกเรยนคดจนตนาการเพมพน

ความรทางเรขาคณตดวยการลงมอปฏบตเอง โดยการสารวจ ตงขอความคาดการณ และสบเสาะหา

เหตผลตามความเหมาะสมเพอตรวจสอบขอความคาดการณทตงไว กลมตวอยางทใชในการทดลอง

ตามขนตอนการพฒนาบทเรยนเรขาคณตไดแก นกเรยนอาสาสมครจานวน 42 คน ซงเปนนกเรยนชน

มธยมศกษาตอนปลาย แผนการเรยนวทยาศาสตร-คณตศาสตร โรงเรยนสามเสนวทยาลย ปการศกษา

2542 ผลการวจยพบวา บทเรยนเรขาคณตมคณภาพตามเกณฑการตดสน 70/70 ดงนนบทเรยน

เรขาคณตทพฒนาขนสามารถทาใหนกเรยนเรยนบรรลจดประสงคการเรยนรและมลกษณะตามท

กาหนด

สจรา มสกะเจรญ (2542) ไดเปรยบเทยบความสามารถดานมตสมพนธและผลสมฤทธ

ทางการเรยนเรองเสนขนานและความคลายของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 2 ระหวางกลมทเรยนโดย

ใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตและไมใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต ผลการวจยพบวา

1. นกเรยนทเรยนโดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตมความสามารถดานมตสมพนธ

แตกตางจากนกเรยนทเรยนโดยไมใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตอยางมนยสาคญทางสถตทระดบ 0.5

2. นกเรยนทเรยนโดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตมผลสมฤทธทางการเรยน

คณตศาสตรเรองเสนขนานและความคลาย แตกตางจากนกเรยนทเรยนโดยไมใชซอฟตแวรเรขาคณต

แบบพลวตอยางมนยสาคญทางสถตทระดบ 0.5

อรรถศาสน นมตพนธ (2542) ไดศกษาความสามารถในการเรยนวชาคณตศาสตรเรองความ

เทากนทกประการของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 1 ทเรยนโดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต

ประกอบกจกรรมการวชาเรยนคณตศาสตร 4 ขน ผลการวจยพบวา

1. นกเรยนชนมธยมศกษาปท 1 ทเรยนโดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตประกอบ

กจกรรมการเรยนวชาคณตศาสตร 4 ขน มความสามารถในการเรยนวชาคณตศาสตร เรองความ

เทากนทกประการ ผานเกณฑรอยละ 60 ทกาหนดไว

2. นกเรยนทมผลระดบการเรยนทางคณตศาสตรสง ปานกลาง และตา ทมความสามารถ

ในการเรยนวชาคณตศาสตร เรองความเทากนทกประการ ผานเกณฑรอยละ 60 ทกาหนดไวมรอยละ

100, 63.64 และ 25 ตามลาดบ

48

3. นกเรยนชนมธยมศกษาปท 1 ทเรยนโดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตประกอบ

กจกรรมการเรยนวชาคณตศาสตร 4 ขน มความสามารถในการเรยนวชาคณตศาสตร เรองความ

เทากนทกประการ หลงการเรยนสงการกอนเรยน อยางมนยสาคญทางสถตทระดบ 0.5

4. นกเรยนทมระดบผลการเรยนทางคณตศาสตรสง ปานกลาง และตา มความสามารถใน

การเรยนวชาคณตศาสตร เรองความเทากนทกประการ หลงเรยนเพมขนจากกอนเรยนคดเปนรอยละ

เฉลย 40.30, 30.00, และ 26.39 ตามลาดบ

วชรสนต อนธสาร (2547) ไดทาการศกษาผลของการพฒนามโนทศนทางเรขาคณตและ

เจตคตตอการเรยนคณตศาสตร ของนกเรยนระดบมธยมศกษาตอนตน โดยใชโปรแกรม

The Geometer’s Sketchpad โรงเรยนสรนารวทยา อาเภอเมอง จงหวดนครราชสมา ปการศกษา

2547 จานวน 60 คน ทมผลสมฤทธทางการเรยนคณตศาสตรสง ปานกลาง และตา ใชเวลาทงหมด

5 สปดาห จดมงหมายเพอ 1). เพอศกษามโนทศนทางเรขาคณตของนกเรยนระดบมธยมศกษาตอนตน

2). เปรยบเทยบมโนทศนทางเรขาคณตของนกเรยนระหวางกอนเรยนและหลงเรยนโดยใชโปรแกรม

3). เปรยบเทยบมโนทศนทางเรขาคณตของนกเรยนหลงเรยนโดยใชโปรแกรม 4). เปรยบเทยบเจตคต

ตอการเรยนคณตศาสตรของนกเรยนระหวางกอนและหลงเรยนโดยใชโปรแกรม 5). เปรยบเทยบเจต

คตตอการเรยนคณตศาสตรของนกเรยน หลงเรยนโดยใชโปรแกรม ผลการวจยพบวา 1). นกเรยน

ระดบมธยมศกษาตอนตนมมโนทศนทางเรขาคณตหลงการเรยนโดยใชโปรแกรมผานเกณฑรอยละ 50

2). นกเรยนมมโนทศนทางเรขาคณตสงกวากอนเรยนอยางมนยสาคญทางสถตทระดบ 0.05

3). นกเรยนระดบมธยมศกษาตอนตนทมผลสมฤทธทางการเรยนคณตศาสตรสง ปานกลาง และตา

มมโนทศนทางเรขาคณตหลงเรยนโดยใชโปรแกรมแตกตางกนอยางมนยสาคญทางสถตทระดบ 0.05

โดยนกเรยนทมผลสมฤทธทางการเรยนคณตศาสตรสงมมโนทศนทางเรขาคณตสงกวานกเรยนทม

ผลสมฤทธทางการเรยนคณตศาสตรปานกลางและตา และนกเรยนทมผลสมฤทธทางการเรยน

คณตศาสตรมมโนทศนสงกวานกเรยนทมผลสมฤทธตา 4). นกเรยนทมผลสมฤทธทางการเรยน

คณตศาสตรสงและปานกลางมเจตคตตอการเรยนคณตศาสตรสงกวากอนเรยน แตนกเรยนทม

ผลสมฤทธทางการเรยนตามเจตคตกอนเรยนและหลงเรยนไมแตกตางกน อยางมนยสาคญทางสถต

ทระดบ 0.05

สธนนท บญพฒนาภรณ (2549) ไดทาการศกษากจกรรมการเรยนการสอน เรองการแปลง

ทางเรขาคณต โดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตสาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 2 ภาคเรยนท

1 ปการศกษา 2548 โรงเรยนศกษานาร เขตธนบร จงหวดกรงเทพฯ 1 หองเรยน จานวน 57 คน ซง

ไดมาจากการสมตวอยางแบบเกาะกลม จากประชากรทงหมด 12 หองเรยน จานวน 680 คน

จดมงหมายเพอ 1). เพอสรางกจกรรมการเรยนการสอนเรองการแปลงทางเรขาคณตโดยใชซอฟแวร

49

เรขาคณตแบบพลวต สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 2 2). เพอศกษาผลสมฤทธทางการเรยนของ

นกเรยนชนมธยมศกษาปท 2 ในการเรยนเรองการแปลงทางเรขาคณตโดยใชซอฟแวรเรขาคณตแบบ

พลวต 3). เพอศกษาความพงพอใจของนกเรยนหลงจากเรยนเรองการแปลงทางเรขาคณต โดยใช

ซอฟแวรเรขาคณตแบบพลวต เครองมอทใชในการวจยประกอบดวยกจกรรมการเรยนการสอนทผวจย

สรางขน และแบบวดความพงพอใจของนกเรยน ผลการวจยพบวานกเรยนชนมธยมศกษาปท 2 ทเรยน

โดยใชกจกรรมการเรยนการสอนเรองการแปลงทางเรขาคณต โดยใชซอฟแวรเรขาคณตแบบพลวต

สามารถสอบผานเกณฑการเรยนเรองการแปลงทางเรขาคณต โดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต

ไดมากกวารอยละ 60 ขนไปของนกเรยนทงหมดทระดบนยสาคญ .01 และนกเรยนมความพงพอใจใน

การเรยนเรองการแปลงทางเรขาคณตโดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตอยในระดบปานกลาง

ดงนนจงสรปไดวา นกเรยนชนมธยมศกษาปท 2 มความสามารถในการเรยนเรองการแปลงทาง

เรขาคณตโดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตทผวจยสรางขน

สภทรา เกดมงคล (2550) ไดทาการศกษากจกรรมการเรยนการสอน เรองสมบตของวงกลม

โดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 3 ผลการวจยพบวานกเรยน

ทเรยนโดยใชและไมใชซอฟตแวรทางเรขาคณตแบบพลวต มผลสมฤทธทางการเรยน เรองสมบตของ

วงกลม ไมแตกตางกน และนกเรยนมความพงพอใจในการเรยนเรองสมบตของวงกลม โดยใช

ซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตอยในระดบปานกลาง

วรวรรณ กฤตยากรนพงศ (2551) ไดทาการศกษากจกรรมการเรยนการสอนเรองความ

เทากนทกประการ โดยใชการแปลงทางเรขาคณตและซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต สาหรบนกเรยน

ชนมธยมศกษาปท 2 ผลการวจยพบวา นกเรยนสามารถสอบผานเกณฑไดมากกวารอยละ 60 ของ

จานวนนกเรยนทงหมด และนกเรยนกลมตวอยางมความพงพอใจในการเรยนเรองความเทากนทก

ประการ โดยใชการแปลงทางเรขาคณตและซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตอยในระดบมาก งานวจยตางประเทศ พอเลททา (Foletta. 1995: 2311-A) ไดศกษาวจยผลของการสอนโดยใชซอฟตแวร

เรขาคณตแบบพลวตในการเรยนการสอนเรองการสารวจพนทโดยแบงเปนรปสามเหลยมของนกเรยน

เกรด 9 และ 10 ของรฐไอโอวา สหรฐอเมรกา ป ค.ศ. 1994 ผลการวจยพบวา

1. การวาด การวด หรอการสารวจของนกเรยนจะเกดจากการผลกดนและแนะนาจากคร

2. ซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต เปนเครองมอใหมของการเรยนรทางเรขาคณต

นกเรยนใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตในสวนทเพมเตมจากการใชกระดาษและดนสอ

3. การสบเสาะโดยการใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตสาหรบนกเรยนทมผลสมฤทธ

ทางการเรยนตาสามารถทาไดด แตจะตองมขนตอนมากกวา

50

4. นกเรยนสามารถตงขอความคาดการณไดตงแตเมอเรมใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบ

พลวตในการสบเสาะ

เฟอรกง (Frerking. 1995: 3772-A) ไดศกษาวจยความสมพนธระหวางระดบขนของแวน ฮล

ผลสมฤทธทางการพสจนและการตงขอความคาดการณในการเรยนโดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบ

พลวตของนกเรยนระดบมธยมศกษา ผวจยใหกลมทดลองเรยนโดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต

ชวยในการตงขอความคาดการณสมบตของรปเรขาคณต สวนกลมควบคมเรยนโดยการสอนแบบปกต

ผลการวจยพบวา ความสามารถในการตงขอความคาดการณ และตรวจสอบขอความคาดการณนน

สมพนธกบความสามารถในการพสจนผลสมฤทธทางการเรยนเรขาคณตสมพนธกบระดบขนของแวน ฮล

เลสเตอร (Lester. 1996) ไดศกษาวจยผลของการสอนโดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต

ทมตอผลสมฤทธทางการเรยนเรขาคณตของนกเรยนชนมธยมศกษาตอนปลาย รฐแคลฟอรเนย

สหรฐอเมรกา ในป ค.ศ. 1996 ผวจยใหกลมทดลองเรยนโดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต สวน

กลมควบคมเรยนตามปกตโดยใชไมบรรทด ดนสอ ไมโพรแทรกเตอรและวงเวยน ผลการวจยพบวา

คาเฉลยของผลการสอบหลงการเรยนเกยวกบการตงขอความคาดการณทางเรขาคณตของกลมทดลอง

สงกวากลมควบคมทระดบนยสาคญทางสถต .05

โยเซฟ (Yousif. 1997: 1631-A) ไดศกษาวจยผลการใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตทม

ผลตอเจตคตของนกเรยนระดบชนมธยมศกษาตอนปลายโรงเรยนเซาทเวสเทน รฐโอไอว สหรฐอเมรกา

ผวจยใหกลมทดลองเรยนดวยกจกรรมสารวจโดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต สวนกลมควบคม

เรยนดวยกจกรรมสารวจโดยใชกระดาษและดนสอ ผลการวจยพบวา กลมทดลองมเจตคตตอวชา

เรขาคณตสงกวากลมควบคมอยางมนยสาคญทางสถต

เมลซาเรค (Melczarek. 1998: 2611-A) ไดศกษาวจยความสมพนธระหวางเทคโนโลย

คอมพวเตอรและการเรยนรดวยตนเอง (Self-directed learning) โดยมงประเดนศกษาเฉพาะผลของ

กจกรรมแกปญหาโดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตทมตอความพรอมในการเรยนรดวยตนเองและ

ทศนคตตอการเรยนคณตศาสตร ผลการวจยพบวา การใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตม

ความสมพนธทางบวกกบการเรยนรดวยตนเอง

มอสส (Moss. 2001: 4317-A) ไดทาการวจยเพออธบายธรรมชาตของซอฟแวรเรขาคณต

แบบพลวต ซงใชเปนเครองมอในการสารวจในวชาเรขาคณตสมยใหม (Modern Geometry) สาหรบ

นกเรยนในระดบมหาวทยาลย โดยขอมลเกบมาจากการสารวจในหองเรยน การสมภาษณผสอน

หลกสตรของนกเรยน แบบฝกหดเรขาคณตททดสอบกอนเรยนและหลงเรยน และการใชคอมพวเตอร

ทวๆไป ผลการวจยพบวา ซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตไมเพยงแตพฒนาความเขาใจเกยวกบ

เรขาคณตเทานน แตยงพฒนาทกษะการใชคอมพวเตอรทวไปดวย

51

บาฮารวานด (Baharvand. 2002: 552-A) ไดเปรยบเทยบผลการสอนเรขาคณตระหวางสอน

โดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตเทยบกบการสอนของครแบบปกตโดยใชกระดาษ ดนสอ และคร

เปนผบรรยาย โดยกลมควบคมเปนนกเรยนชนมธยมศกษาปท 1 จานวน 26 คน ใหไดรบการสอนของ

ครแบบปกต และอกกลมเปนกลมทดลองซงเปนนกเรยนชนมธยมศกษาปท 1 จานวน 24 คน ใหเรยน

ดวยเนอหาเดยวกบกลมควบคมแตใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตในการเรยน ผลการศกษาพบวา

นกเรยนซงเรยนโดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตมคะแนนการทาแบบทดสอบหลงการเรยนท

ผวจยสรางขนสงกวานกเรยนกลมควบคม อยางมนยสาคญ ทระดบนยสาคญ .05 นอกจากนยงพบวา

นกเรยนในกลมทดลองมเจตคตตอวชาคณตศาสตร/เรขาคณตในทางบวก ซงแสดงใหเหนวาซอฟตแวร

เรขาคณตแบบพลวตเปนเครองมอทมประสทธภาพในการเรยนการสอนเรขาคณตในระดบมธยมศกษา

ตอนตน

จากการศกษางานวจยทเกยวของกบการใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตสอนเรขาคณต

พบวา ซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตเปนสงทเออประโยชนตอการเรยนการสอนเรขาคณตทงในการ

สารวจ การตงขอความคาดการณ และการตรวจสอบขอความคาดการณทตงไว รวมทงยงสงผลใหเจต

คตของนกเรยนตอวชาคณตศาสตรเปนไปในทางบวกดวย ดวยเหตนผวจยจงนาซอฟตแวรเรขาคณต

แบบพลวต คอโปรแกรม C.a.R. มาใชในงานวจย

บทท 3 วธดาเนนการวจย

ในการวจยครงน ผวจยไดดาเนนการตามขนตอนดงน

1. การกาหนดประชากรและการสมกลมตวอยาง

2. การสรางเครองมอทใชในการวจย

3. การเกบรวบรวมขอมล

4. การจดกระทาขอมลและการวเคราะหขอมล

การกาหนดประชากรและการสมกลมตวอยาง

ประชากร

ประชากรทใชในการวจยครงนไดแก นกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 โรงเรยนมธยมสาธต

มหาวทยาลยราชภฏบานสมเดจเจาพระยา เขตธนบร จงหวดกรงเทพมหานคร การเลอกกลมตวอยาง

กลมตวอยางทใชในการวจยครงนไดแกนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ภาคเรยนท 1 ป

การศกษา 2551โรงเรยนมธยมสาธตมหาวทยาลยราชภฏบานสมเดจเจาพระยา จานวน 1 หอง 53 คน

จากทงหมด 3 หองจานวน 126 คน โดยสมตวอยางแบบเกาะกลม (Cluster Sampling) โดยจดหอง

เรยนแบบคละความสามารถของนกเรยนทมระดบเกง ปานกลาง และออนอยในหองเดยวกน

การสรางเครองมอทใชในการวจย

เครองมอทใชในการวจยประกอบดวย ชดกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมต

โดยใชโปรแกรม C.a.R. สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 พรอมทงคมอการใชชดกจกรรมการเรยน

การสอน แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมต และแบบวดความพงพอใจ

ของนกเรยน ซงมรายละเอยดการดาเนนการ ดงน

ขนท 1 การเตรยมงานดานวชาการ

ขนท 2 การสรางชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต

ขนท 3 การสรางแบบทดสอบวดผลสมฤทธ

ขนท 4 การสรางแบบทดสอบวดความพงพอใจ

53

ชดกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

ชดกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. มขนตอน

ในการสรางดงตอไปน

ขนท 1 การเตรยมงานดานวชาการ

1. ศกษาบทความทางวชาการ ทเกยวกบปญหาการเรยนการสอนในประเทศไทยและแนว

ทางการจดการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร รวมทงรายงานการประเมนผลการศกษาททาง

กรมวชาการ กระทรวงศกษาธการ ไดจดทาขน

2. ศกษาหลกการ มาตรฐานการเรยนร และมาตรฐานการเรยนรชวงชนท 4 (มธยมศกษา

ปท 4–6) กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ตามหลกสตรการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2544

3. ศกษาเนอหาเรองฟงกชนตรโกณมตจากหนงสอตอไปน

3.1 หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตม วชาคณตศาสตร เลม 1 กลมสาระการเรยนร

คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 5 (กระทรวงศกษาธการ. 2548)

3.2 หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตมและพนฐาน วชาคณตศาสตร เลม 3 กลมสาระ

การเรยนรคณตศาสตร ชวงชนท 4 มธยมศกษาปท 4–6 (สมย เหลาวานชย. 2544)

3.3 หนงสอเรยนสาระการเรยนรพนฐานและเพมเตม วชาคณตศาสตร เลม 3 กลมสาระ

การเรยนรคณตศาสตร ชวงชนท 4 มธยมศกษาปท 4–6 (ธนวฒน สนทราพรพล. 2550?)

3.4 หนงสอเรยนสาระการเรยนร วชาคณตศาสตร ค 012 เลม 2 กลมสาระการเรยนร

คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 4 (กมล เอกไทยเจรญ. 2533)

3.5 Elementary Functions and Analytic Geometry (Flanders, Harley; & Price,

Justin J. 1973?)

3.6 Fundamentals of Algebra and Trigonometry (Swokowski, Earl W. 1926)

3.7 Modern Trigonometry (Wooton; & Beckenbach. 1966)

3.8 Trigonometry. A Functions Approach (Bittinger, keedy. 1974)

3.9 Trigonometry (Baley, John; & Holstege, Martin.second edition. 1991)

3.10 Trigonometry (Sullivan, Michael. Third edition. 1993)

3.11 Trigonometry Activities for the TI-82 And TI-85 Graphing Calculators

(Dennis, Cynthia R.; & Neal, Linda M. 1995)

54

4. ศกษาเอกสารและงานวจยทเกยวของกบการสรางชดกจกรรมการเรยนการสอน

เรองฟงกชนตรโกณมต และคมอการใชชดกจกรรมการเรยนการสอน

5. กาหนดเนอหา ความคดรวบยอด และผลการเรยนรทคาดหวง เรองฟงกชนตรโกณมต

สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 โดยผวจยไดกาหนดเนอหาขน 7 หนวยการเรยน ใชเวลาในการ

สอนทงหมด 18 คาบ และทดสอบวดผลสมฤทธ 2 คาบ ใชเวลาคาบละ 50 นาท ไดแก

5.1 หนวยท 1 ทบทวนเรองอตราสวนตรโกณมต เวลา 2 คาบ

5.2 หนวยท 2 วงกลมหนงหนวยและความยาวสวนโคง เวลา 2 คาบ

5.3 หนวยท 3 ฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน เวลา 1 คาบ

5.4 หนวยท 4 คาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน เวลา 4 คาบ

5.5 หนวยท 5 ฟงกชนตรโกณมตทไดจากความสมพนธ เวลา 2 คาบ

ระหวางฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน

5.6 หนวยท 6 ฟงกชนตรโกณมตของมม เวลา 3 คาบ

5.7 หนวยท 7 กราฟของฟงกชนตรโกณมต เวลา 4 คาบ

5.8 ทดสอบผลสมฤทธทางการเรยน เวลา 2 คาบ

ขนท 2 การสรางชดกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. และคมอการใชชดกจกรรมการเรยนการสอน

1. กาหนดกรอบเนอหาและรปแบบชดกจกรรมการเรยนการสอน โดยแบงออกเปน 7 หนวย

การเรยน ซงมรายละเอยดของเนอหาในแตละหนวยการเรยน ดงน

1.1 ทบทวนเรองอตราสวนตรโกณมต จานวน 2 คาบ

คาบท 1–2 ทบทวนอตราสวนตรโกณมตและการวดมม

1.2 วงกลมหนงหนวยและความยาวสวนโคง จานวน 2 คาบ

คาบท 1 วงกลมหนงหนวย

คาบท 2 ความยาวสวนโคง

1.3 ฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน จานวน 1 คาบ

คาบท 1 นยามของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน

1.4 คาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน จานวน 4 คาบ

คาบท 1 คาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนของจานวนจรงบางจานวน

คาบท 2–4 คาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนของจานวนจรงใดๆ

55

1.5 ฟงกชนตรโกณมตทไดจากความสมพนธระหวาง

ฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน จานวน 2 คาบ

คาบท 1 คาของฟงกชนตรโกณมตอนๆ ของจานวนจรงบางจานวน

คาบท 2 คาของฟงกชนตรโกณมตอนๆ ของจานวนจรงใดๆ

1.6 ฟงกชนตรโกณมตของมม จานวน 3 คาบ

คาบท 1 คาของฟงกชนตรโกณมตของมม ของจานวนจรงใดๆ

คาบท 2 ฟงกชนตรโกณมตของมมของรปสามเหลยมมมฉาก

คาบท 3 การหาคาของฟงกชนตรโกณมตจากตารางและไมอยในตาราง

1.7 กราฟของฟงกชนตรโกณมต จานวน 4 คาบ

2. จดทาแผนการจดการเรยนร เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. ประกอบดวย

2.1 ชอเรอง

2.2 เวลาทใช

2.3 สาระสาคญ

2.4 จดประสงคการเรยนร

2.5 สาระการเรยนร

2.6 สอการเรยนร/แหลงการเรยนร ประกอบดวย

2.6.1 คมอการใชงานชดกจกรรมการเรยนการสอน

2.6.2 ชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม

เรขาคณตแบบพลวต

2.6.3 ใบกจกรรมการเรยนการสอน

2.7 กจกรรมการเรยนร มขนตอนดงน

2.7.1 ครผสอนทาหนาทในการสอนโดยใชกจกรรม และดแลใหคาแนะนานกเรยน

2.7.2 ใหนกเรยนปฏบตตามคาสงในใบกจกรรม โดยนกเรยนใชคอมพวเตอร 1 คน

ตอ 1 เครอง ครผสอนจะเปนผสอนโดยใชกจกรรม แลวนกเรยนชวยกนหาคาตอบลงในใบกจกรรม

2.7.3 อภปรายและสรปผลการเรยนร

2.8 การวดผลและประเมนผลการเรยนร

56

หลงจากทผวจยไดทาการสรางชดกจกรรมการเรยนการสอน และแผนการจดการเรยนรเสรจ

แลวกไดนาชดกจกรรมการเรยนการสอนและแผนการจดการเรยนรเสนอตอผเชยวชาญ 3 ทานเพอ

ตรวจสอบ ความเทยงตรงเชงเนอหา ความเหมาะสมของการจดกจกรรมและความเหมาะสมของปญหาท

นามาใช แลวปรบปรงและแกไขแผนการจดการเรยนร ตามคาแนะนาของผเชยวชาญ

แนวทางในการจดการเรยนการสอน โดยลกษณะกจกรรมโดยทวไปในแผนการจดการ

เรยนรแตละคาบจะเปนกจกรรมทใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตในการเรยนรทงหมด 20 คาบ โดย

ใชเวลาคาบละ 50 นาท ซงผวจยไดจดทากจกรรมทใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตในรปแบบของ

html เพอใหเกดความสะดวกในการเรยกใชในแตละกจกรรม โดยกจกรรมมองคประกอบ ดงน

1. หนาหลก

2. สารบญหลก

3. สารบญยอย

4. กจกรรม (ดงภาพประกอบ 4–7)

ภาพประกอบ 4 บางสวนของหนาเมนหลก

57

ภาพประกอบ 5 บางสวนของหนาสารบญหลก

ภาพประกอบ 6 บางสวนของหนาสารบญยอย

58

ภาพประกอบ 7 ตวอยางกจกรรมหนวยการวดมมเรเดยน

บทบาท ผวจยมบทบาทในชดกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใช

โปรแกรม C.a.R. สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ดงน (1) เปนผสอน (2) เปนผชแนะ (3) เปนผนา

การอภปราย (4) เปนผตรวจตราภายนอก และ (5) เปนผชวยเหลออานวยความสะดวก ซงสงตาง ๆ เหลาน

รวมถง

1. จดบรรยากาศทผอนคลายสาหรบการเรยนร

2. จดอานวยความสะดวกในการเรยนร โดยการเตรยมหนงสอคมอการใช

ชดกจกรรมการเรยนการสอน โดยใชโปรแกรม C.a.R. เรองฟงกชนตรโกณมต และเครองคอมพวเตอร

ใหนกเรยนคนละ 1 เครอง

3. ครควรใชคาถามทเปนไปได และคาถามเปด พรอมทงฟงสงทนกเรยนพด

4. ครจะตองใหความสาคญกบกระบวนการตางๆ และการคด แมนกเรยนยงแกปญหา

ไมเสรจสมบรณ หรอถกตองเปนบางสวน

5. ตองใหความสาคญกบการประเมนนกเรยน และประเมนผลการสอนของตน

6. ครจะตองยอมรบความรสกของนกเรยน จะตองไมทาใหนกเรยนละอาย เยยหยน

หวเราะเหนบแนม ความผดพลาดและความเขาใจผดเปนผลเนองจากยงไมมความคดรวบยอด ควรให

การเสรมแรงทางบวกเมอนกเรยนทาถกหรอตอบคาถามได และกระบวนการ ควรนาขอผดพลาดมา

เปนพนฐานในการสรางความคดรวบยอดและกระบวนการตางๆ ใหชดเจนขน

59

บทบาทของนกเรยน ชดกจกรรมการเรยนการสอนโดยใชโปรแกรม C.a.R. เรองฟงกชน

ตรโกณมต สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 นกเรยนแตละคนมบทบาท ดงน

1. นกเรยนจะตองใหความรวมมอกบครผสอนในการทากจกรรม กระบวนการเรยนร

ทางคณตศาสตร

2. นกเรยนจะตองทางานอยางอสระในกลมเลกๆ และชวยเหลอกนตามความแตกตาง

ทางความสามารถของนกเรยน

3. นกเรยนควรใชรปธรรมตางๆ ภาพ กราฟ สญลกษณ และอปกรณทเกยวกบ

อเลกทรอนกส เพอใหเกดความคดรวบยอด และวธการตางๆ อยางสมบรณ

4. นกเรยนจะตองทาความคดใหแจมแจง ในชนเรยน ความเขาใจทไดพฒนาเปน

รปธรรมหรอรปแบบอนจะตองเชอมโยงกบสญลกษณทเขยนและทพด

5. นกเรยนใชความคดรวบยอดและกระบวนการตางๆ ในบรบททมความหมาย

ใชคณตศาสตรเปนแรงกระตนการเรยนร และสถานการณเชอมโยงไปยงโลกแหงความเปนจรง

3. กาหนดการประเมนผลของนกเรยน โดยแบงการประเมนผลของนกเรยนออกเปนดงน

3.1 การประเมนผลระหวางเรยน ครผสอนประเมนจากการสรป และคาตอบของนกเรยน

โดยใชโปรแกรม C.a.R. ในการปฏบตกจกรรมจากใบกจกรรมมนาหนกคะแนนคดเปนรอยละ 20 ของ

คะแนนทงหมด

3.2 การประเมนผลหลงเรยน ครผสอนประเมนจากการทาแบบทดสอบวดผลสมฤทธ

ทางการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. ทผวจยสรางขน มนาหนกของคะแนนคด

เปนรอยละ 80 ของคะแนนทงหมด

4. สรางคมอการใชชดกจกรรมการเรยนการสอนสาหรบครและนกเรยนเพอเปนแนวทางใน

การใชกจกรรมการเรยนการสอนทถกตองและมประสทธภาพ

5. หลงจากทผวจยไดทาการสรางเครองมอทใชในการวจย ไดแก ชดกจกรรมการเรยนการ

สอนเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. แผนการจดการเรยนร ใบกจกรรม เสรจแลวก

นาเสนอตอผเชยวชาญ 3 ทาน เพอตรวจสอบ ความเทยงตรงเชงเนอหา ความเหมาะสมของการจด

กจกรรม และความเหมาะสมกบจดประสงคการเรยนร แลวปรบปรงและแกไข ตามคาแนะนาของ

ผเชยวชาญ

6. นาชดกจกรรมการเรยนการสอนและคมอการใชชดกจกรรมการเรยนการสอนทไดรบการ

ปรบปรงแกไขตามคาแนะนาของคณะกรรมการควบคมปรญญานพนธและผเชยวชาญในการสอน

คณตศาสตรแลวนาไปทดลองสอนกบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2551

โรงเรยนไตรมตรวทยาลย จงหวดกรงเทพมหานคร ซงเปนนกเรยนกลมนารอง นอกเวลาเรยนปกต

60

จานวน 43 คน โดยนกเรยนใชคอมพวเตอร 1 คน ตอ 1 เครอง และนาไปทดลองสอนกบนกเรยนชน

มธยมศกษาปท 5 ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2551 โรงเรยนวสทธกษตร จงหวดสมทรปราการ ซงเปน

นกเรยนกลมนารอง จานวน 42 คน โดยใชนอกเวลาเรยนปกต

7. นาชดกจกรรมการเรยนการสอนและคมอการใชชดกจกรรมการเรยนการสอนจาก ขอ 6

มาปรบปรงแกไขขอบกพรอง และนาไปเสนอตอคณะกรรมการควบคมปรญญานพนธและผเชยวชาญ

ในการสอนคณตศาสตรตรวจสอบอกครงหนง

8. นาชดกจกรรมการเรยนการสอนและคมอการใชชดกจกรรมการเรยนการสอนไปใช ในการ

ทดลองกบกลมตวอยางตอไป ขนท 3 การสรางแบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. แบบวดผลสมฤทธทางการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต เปนแบบทดสอบทใชหลงจาก

ปฏบตกจกรรมการเรยนการสอนครบแลว ซงผวจยดาเนนการตามขนตอน ตอไปน

1. ศกษาทฤษฎและหลกการสรางแบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยนจากหนงสอ

เทคนคการเขยนขอสอบของชวาล แพรตกล (2520: 1–40) การวด การวเคราะห และการประเมนผลทาง

การศกษาเบองตนของกงวล เทยนกณฑเทศน (2540: 92–112) และเทคนคการวดผลการเรยนรของลวน

สายยศ และองคณา สายยศ (2543: 196–198)

2. วเคราะหเนอหา สาระสาคญ และจดประสงคการเรยนร ของเนอหาทใชในการทดลอง

ศกษางานวจยทเกยวของกบการสรางแบบทดสอบและการวเคราะหแบบทดสอบ เพอใชในการสราง

แบบทดสอบวดผลสมฤทธในการเรยน เรอง ฟงกชนตรโกณมต โดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต

3. สรางแบบทดสอบวดผลสมฤทธในการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชซอฟตแวร

เรขาคณตแบบพลวต ตามจดประสงคการเรยนรเปนแบบทดสอบอตนยจานวน 10 ขอ และเปนแบบ

ทดสอบปรนยเลอกคาตอบชนด 4 ตวเลอก จานวน 60 ขอ ใหครอบคลมเนอหาและจดประสงคตามท

กาหนด

4. นาแบบทดสอบทสรางขนเสนอตอคณะกรรมการควบคมปรญญานพนธและผเชยวชาญ

การสอนคณตศาสตร 3 ทาน เพอตรวจสอบความเทยงตรงของเนอหา โดยพจารณาวาแบบทดสอบทสราง

ขนสอดคลองกบเนอหา และจดประสงคการเรยนรหรอไม โดยใชเกณฑการพจารณาดงน

คะแนน +1 สาหรบขอสอบทสอดคลองกบจดประสงคการเรยนร

คะแนน 0 สาหรบขอสอบทไมแนใจวาสอดคลองกบจดประสงคการเรยนร

คะแนน –1 สาหรบขอสอบทไมสอดคลองกบจดประสงคการเรยนร

61

5. นาแบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต ทไดรบการ

ตรวจสอบจากคณะกรรมการควบคมปรญญานพนธและผเชยวชาญการสอนคณตศาสตรมาคานวณหา

คา IOC แลวคดเลอกขอสอบทมคา IOC ตงแต 0.5 ขนไป โดยเลอกแบบทดสอบแบบอตนยจานวน 7 ขอ

และแบบทดสอบแบบปรนย จานวน 40 ขอ

6. นาแบบทดสอบไปทดลองใชกบนกเรยนทไมใชกลมตวอยาง ซงเปนนกเรยนกลมนารอง

โรงเรยนวสทธกษตร ชนมธยมศกษาปท 5 จานวน 42 คน ทใชในการทดลองชดกจกรรมการเรยนการสอน

เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

7. วเคราะหแบบทดสอบ โดยนาแบบทดสอบทไดจากการสอบในขอ 6 มาตรวจ

ใหคะแนน ซงใชเกณฑการใหคะแนนของสถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย

(2546: 121) โดยผวจยปรบใหเหมาะสมกบแบบทดสอบ ดงน

7.1 แบบทดสอบปรนย 4 ตวเลอก มเกณฑใหคะแนนในแตละขอตอไปน ขอทตอบ

ถกตองให 1 คะแนน ขอทตอบผด ไมตอบหรอตอบเกน 1 ตวเลอก ให 0 คะแนน

7.2 แบบทดสอบอตนยขอละ 4 คะแนน โดยใชเกณฑในการตรวจใหคะแนน ดงน

ตาราง 2 เกณฑการตรวจใหคะแนนของแบบทดสอบอตนยเรอง ฟงกชนตรโกณมต

โดยใชโปรแกรม C.a.R.

คะแนน เกณฑการใหคะแนน

4 คะแนน - การแสดงวธทาชดเจน สมบรณ คาตอบถกตอง ครบถวน

3 คะแนน - การแสดงวธทายงไมชดเจน แตอยในแนวทางทถกตอง คาตอบถกตอง

ครบถวน

2 คะแนน - การแสดงวธทายงไมชดเจน หรอไมแสดงวธทา คาตอบถกตอง ครบถวน

1 คะแนน - การแสดงวธทาไมชดเจน แตอยในแนวทางทถกตอง คาตอบไมถกตอง

0 คะแนน ไมมรองรอยการดาเนนการใดๆ

8. นาคะแนนทไดจากขอสอบแบบปรนยในขอ 7 มาวเคราะหหาความยากงาย (p) และคา

อานาจจาแนก (r) คดเลอกขอทมความยากงายตงแต .20 ถง .80 และมคาอานาจจาแนกตงแต .20 ขนไป

จานวน 30 ขอ

62

9. นาแบบทดสอบทผานการคดเลอกในขอ 8 มาคานวณเพอหาคาความเชอมน สาหรบ

แบบทดสอบปรนย จานวน 30 ขอใชสตร KR – 20 ของคเดอร รชารดสน (Kuder Richardson 20) และ

แบบทดสอบอตนย จานวน 5 ขอใชสตรสมประสทธแอลฟา (α - Coefficient) ของครอนบค (Cronbach)

10. นาแบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม

C.a.R. ไปใชกบกลมตวอยางตอไป

ขนท 4 การสรางแบบวดความพงพอใจของนกเรยน แบบวดความพงพอใจของนกเรยนหลงจากเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใช

โปรแกรม C.a.R. จานวน 20 ขอ ซงผวจยดาเนนการสรางตามขนตอนดงน

1. ศกษาวธการสรางแบบวดความพงพอใจจากเอกสาร ตาราทเกยวของกบวธการ

และหลกการสรางแบบวดความพงพอใจ แลวกาหนดแนวทางในการออกแบบวดความพงพอใจตาม

วธการของลเคอรท (Likert)

2. สรางแบบวดความพงพอใจของนกเรยนตอการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต โดย

ใชโปรแกรม C.a.R. จานวน 20 ขอ โดยปรบปรงจากแบบสอบถามความพงพอใจของนกเรยน จาก

สธนนท บญพฒนาภรณ (2549) และสภทรา เกดมงคล (2550: 180–182) ลกษณะของแบบวดความ

พงพอใจเปนแบบมาตราสวนประมาณคา (Rating Scale) ซงม 5 ระดบ และขอความเปนขอความ

ทางบวก ซงมเกณฑการตรวจใหคะแนนในแตละความพงพอใจ ดงน เกณฑการตรวจใหคะแนน ในกรณขอความมความหมายทางบวก (Positive) กาหนดคะแนนแตละความพงพอใจ ดงน

มากทสด ใหคะแนน 5 คะแนน

มาก ใหคะแนน 4 คะแนน

ปานกลาง ใหคะแนน 3 คะแนน

นอย ใหคะแนน 2 คะแนน

นอยทสด ใหคะแนน 1 คะแนน

3. นาแบบวดความพงพอใจทสรางขนจานวน 20 ขอ ไปใหผเชยวชาญจานวน 3 ทาน

ตรวจสอบความถกตองและความเทยงตรงเชงโครงสราง (Construct Validity) ตลอดจนความ

เหมาะสมของภาษาทใช

4. นาแบบวดความพงพอใจทไดปรบปรงแกไขจากขอ 3 ไปทดสอบกบนกเรยนซงเปน

นกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ทไมใชกลมตวอยาง ซงเปนกลมทผวจยใชในการทดลองนารอง ซงเปน

63

นกเรยนกลมเดยวกบทใชในการทดลองกจกรรมการเรยนการสอนและคมอการใชชดกจกรรมการเรยน

การสอนเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R.

5. นาผลทไดจากขอ 4. มาหาความเชอมนของแบบวดความพงพอใจ โดยใชวธหา

สมประสทธแอลฟา (α - Coefficient) ของครอนบค (Cronbach)

6. นาแบบวดความพงพอใจของนกเรยนในการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใช

โปรแกรม C.a.R. ไปใชกบกลมตวอยางตอไป

การเกบรวบรวมขอมล

การวจยครงนผวจยทาการสอนนกเรยนกลมตวอยาง โดยใชชดกจกรรมการเรยนการสอน

เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ทผวจยสรางขน

โดยใชเวลาสอนตามตารางสอนปกต รวมระยะเวลาทใชในการทดลอง 20 คาบ ดงน

1. ระยะเวลาทใชชดกจกรรมการเรยนการสอนคณตศาสตร เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใช

โปรแกรม C.a.R. สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 รวม 20 คาบ ดงน

1.1 หนวยท 1 ทบทวนเรองอตราสวนตรโกณมต เวลา 2 คาบ

1.2 หนวยท 2 วงกลมหนงหนวยและความยาวสวนโคง เวลา 2 คาบ

1.3 หนวยท 3 ฟงกชนไซนและโคไซน เวลา 1 คาบ

1.4 หนวยท 4 คาของฟงกชนไซนและโคไซน เวลา 4 คาบ

1.5 หนวยท 5 ฟงกชนตรโกณมตทไดจากความสมพนธระหวาง เวลา 2 คาบ

ฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน

1.6 หนวยท 6 ฟงกชนตรโกณมตของมม เวลา 3 คาบ

1.7 หนวยท 7 กราฟของฟงกชนตรโกณมต เวลา 4 คาบ

1.8 ทดสอบวดผลสมฤทธการเรยนร เวลา 2 คาบ

แตละกจกรรมจะมการเกบคะแนนเพอประเมนผลระหวางเรยน

2. เมอสนสดการสอนและการทดสอบแลวใหนกเรยนทเรยนดวยชดกจกรรมทผวจยสรางขน

ตอบแบบวดความพงพอใจของนกเรยนในการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R.

สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 โดยใชเวลา 20 นาท

3. ผวจยนาคะแนนทไดทงหมดมาวเคราะหโดยใชวธทางสถต เพอทดสอบสมมตฐานทตงไว

64

การจดกระทาขอมลและการวเคราะหขอมล

1. หาคาสถตพนฐาน ไดแก คารอยละ คาเฉลยเลขคณต สวนเบยงเบนมาตรฐาน

2. ทดสอบสมมตฐานของการวจย ทวา นกเรยนระดบชนมธยมศกษาปท 4 ทเรยน

เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. มผลสมฤทธทางการเรยนผานเกณฑมากกวารอยละ

70 ของจานวนนกเรยนทงหมด

3. สถตทใชในการวเคราะหขอมล

3.1 สถตทใชในการทดสอบคณภาพเครองมอทใชในการทดลองดงน

3.1.1 หาคาดชนความสอดคลองจากความคดเหนของผเชยวชาญทมตอความ

สอดคลองระหวางแบบทดสอบ กบจดประสงคการเรยนรโดยใชสตร IOC

3.1.2 หาคาความยากงาย (p) และคาอานาจจาแนก (r) ของแบบทดสอบ

3.1.3 หาคาความเชอมนของแบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน โดยคานวณ

จากสตร KR – 20 สาหรบแบบทดสอบแบบปรนยและสตรสมประสทธแอลฟา (α - Coefficient)

ของครอนบค (Cronbach) สาหรบแบบทดสอบอตนย

3.2 สถตทใชในการวเคราะหขอมล

3.2.1 สถตพนฐาน

3.2.1.1 คารอยละ

3.2.1.2 คาเฉลยเลขคณต

3.2.1.3 สวนเบยงเบนมาตรฐาน

3.2.1.4 วเคราะหแบบวดความพงพอใจของนกเรยนโดยใชคาเฉลยเลขคณต

สวนเบยงเบนมาตรฐาน และนาเสนอนาหนกความคดโดยใชการประเมนคาความคดเหนของ

ประคอง กรรณสต (2538: 77) ดงน

คะแนนเฉลย 4.50–5.00 หมายถง นกเรยนมความพงพอใจอยในระดบมากทสด

หลงจากเรยนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

คะแนนเฉลย 3.50–4.49 หมายถง นกเรยนมความพงพอใจอยในระดบมากหลงจาก

เรยนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

คะแนนเฉลย 2.50–3.49 หมายถง นกเรยนมความพงพอใจอยในระดบปานกลาง

หลงจากเรยนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

คะแนนเฉลย 1.50–2.49 หมายถง นกเรยนมความพงพอใจอยในระดบนอยหลงจาก

เรยนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

65

คะแนนเฉลย 1.00–1.49 หมายถง นกเรยนมความพงพอใจอยในระดบนอยมาก

หลงจากเรยนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

3.2.2 สถตสาหรบการทดสอบสมมตฐาน

- สถตทใชทดสอบ คอ การทดสอบ Z (Z– test for Population Proportion)

������������ �������������

�

� ����������� ��������������������������������������� ����� ���������� �� !��"�#��!��"�$��"%�&������������'����( ����� ��� ��)�*+�,�%-.���/�����*+�,�01���2.)�3.�������� 4�� ����� ��� ��)�*+�,�%-.���/�&15�����*+�,�����+���$�4�� ����� .����!��� ��������������� �� !��"�#��!�&15���������������� ����� �1�������� "�$����������� ����� ����������� �� !��"�#��!�"�$��"%�&������������'����( ����� ��� ��)�*+�,�%-.���/�06����� '��� �01��������5� 4���61�������"�&(���%7 !� !�������������%7 1'���(��� ����

������������������� !�"����#���"�����#�$�%��� #����&'������(�����#���������������������)��"*+"�$�����,-� � ,.#($�,&�/����������

� 89������15����:1���14#�!���� �(����( ��!�;� �4��5& ������.'�$(��������&((��(�1�4�� ����� �1���!��������� ��)�*+�,�%-.���/�� �9������15����:1���14#�!�&15��� �(����( ��!�;� �4��5& ������.'�&((.���(���01���2.)�3.�������� 4�� ����� �1���!��������� ��)�*+�,�%-.���/�$ ������ ���������� �� !��"�#��!�"�$��"%�&������������ <9������15����:1���14#�!�&15��� �(����( ��!�;� �4��5& 01���2.)�3.�������� 4�� ����� �1���!��������� ��)�*+�,�%-.���/�$ ������ ���������� �� !��"�#��!�"�$��"%�&�����������

� 9������154���'� � ����� �1���!��������� ��)�*+�,�%-.���/�.��=��5& 01���2.)�3.�������� ����������� �� !��"�#��!�"�$��"%�&�����������!���&!����15�>?�4+� =%4��5& �!@��� 9����.���(�'� � ����� ��� ��)�*+�,�%-.����.����(0�� ��#A ������ ����������� �� !��"�#��!�"�$��"%�&��������������'� � ����������15�B?�4���'� � ����� .��������

���������������0�"0�(1��"�����#�������2���)%����)��"*+"�$�����,-� � �/����$3. 1�������#������� ���%�5��� ����+���$�.����!��� ��������� �� !��"�#��!�&15������������� �6���4�� ����� �1���!��������

� ���

���� �������������� $ ���*+�,�� ������� ���4���61.�� '��������5� �=��&���5& .��=��������.���( ����� �1���!�������C+���%7 ����� ��� ��)�*+�,�%-.���/�"����� ��)���)�!�����.�1����D�E(�� ����@�������5���4!) (����������������.���� ��D���� .���8�%-���*+�,��FGG8��'� � �8�������� ��� ����� �G<� ����5& 01���2.)�3.�������� C+��%�5��(����5& .��=�����$(��������&155& ���&((.���(���01���2.)�3.�������� ���������� �� !��"�#��!�"�$��"%�&������������%7 &((%� ��<?�4���&15&((��! ��G�4���&155& ����+���$�4�� ����� �1���!�������1�������� ���������� �� !��"�#��!�"�$��"%�&������������

�

������������������� !�"����#���"�����#�$�%��� #����&'������(�����#���������������������)��"*+"�$�����,-� � ,.#($�,&�/����������

�45��2���#����2�6���#����- ���2������#"������7����"��/��1��8(� 1���/���#�3������"�����#��32�����#2"$�%��� #����&'������%���E01���!�����<��

!������������15����:1���14#�!�&15��� �(����( ��!�;� �4��5& ������.'�$(����������������&((��(�14�� ����� �1���!��������� ��)�*+�,�%-.���/��

�1���!��������'� � � ����� �� ��

5& �!@���5& ��

���:1����14#�!�� � ��

���:1���14#�!����%7 ���154��5& �!@��

��� �(����( ��!�;� �

��� ��

����� ��� ��)�*+�,�%-.���/�

�� F?� ��� ���� ���

�

� ���!��������(����5& .��=��������.'�$(�������&((��(�1�4�� ����� �1���!��������'� � ��� ������:1���14#�!�.����(�������%7 ���15����4��5& �!@�&15����� �(����( ��!�;� �.����(����

�

�

�

�

� ���

�5��2���#����2�6���#����- ��/���2������#"������7���"��/��1��8/���.�����.������� !�"����#���"�����#��32�����#2"$�%��� #����&'�������%���E01���!�����/��

!�����/������15����:1���14#�!�&15��� �(����( ��!�;� 4��5& ������.'�&((.���(������������01���2.)�3.�������� 4�� ����� �1���!��������� ��)�*+�,�%-.���/���

�1���!��������'� � � ����� �� ��

5& �!@���5& ��

���:1����14#�!��x ��

���:1���14#�!����%7 ���154��5& �!@��

��� �(����( ��!�;� �

��� ��

����� ��� ��)�*+�,�%-.���/�

�� H?� ������ ������ ����

�

� ���!��������(����5& .��=��������.'�&((.���(���01���2.)�3.�������� �����#�!*��!� ���������� �� !��"�#��!�4�� ����� �1���!��������'� � ��� ������:1���14#�!�.����(����������%7 ���15�������4��5& �!@��&15����� �(����( ��!�;� �.����(�����

�

95��2���#����2�6���#����- ��/���2������#"������7����"��/��������� !�"����#���"�����#��32�����#2"$�%��� #����&'������(�����#���)��"*+"�$�����,-� � ,.#($�,&�/����������%���E01���!�����G��

!�����������15����:1���14#�!�&15��� �(����( ��!�;� �4��5& 01���2.)�3.�������� ���������4�� ����� �1���!��������� ��)�*+�,�%-.���/�$ ������ ���������� �� !��"�#��!�"�$��"%�&������������

�1���!��������'� � � ����� �� ��

5& �!@���5& ��

���:1����14#�!��x ��

���:1���14#�!����%7 ���154��5& �!@��

��� �(����( ��!�;� �

��� ��

����� ��� ��)�*+�,�%-.���/�

�� ���� ������ ������� ������

�

� ���

� ���!�������(����5& 01���2.)�3.�������� 4�� ����� �1���!��������� ��)�*+�,�%-.���/�$ ������ ���������� �� !��"�#��!�"�$��"%�&�����������'� � �G<� ������:1���14#�!�%7 ����������%7 ���15�������4��5& �!@�&15����� �(����( ��!�;� 4��5& �%7 �������

� �����!��5& 01���2.)�3.�������� 4�� ����� �1���!��������� ��)�*+�,�%-.���/�1������� "�$����������� ����� ����������� �� !��"�#��!��"�$��"%�&������������=�������5& ��� ���� 89��5& ������.'�$(�����������15�F?�4��5& �!@�.����������� �9��5& ������.'�&((.���(���01���2.)�3.�������� ����#�!*��!� ������������ �� !��"�#��!�����15����4��5& �!@�.�������&(���%7 �� � �98��5& ������.'�&((.���(���01���2.)�3.�������� ����#�!*��!� ������������ �� !��"�#��!���&((%� ������15��?�4��5& �!@��� � �9F��5& ������.'�&((.���(���01���2.)�3.�������� ����#�!*��!� ������������ �� !��"�#��!���&((��! ������15�F?�4��5& �!@���

�5��2���#����"18��������#��32�����#2"$�%��� #����&'���������:.���/��������� !�"����#����)��"*+"�$�����,-� � ,.#($�,&�/������������%"/�2���#���;<���%�:&��"��/����=��%���E01���!�����>��

!������������154���'� � ����� �1���!��������� ��)�*+�,�%-.���/�.��=��5& 01���2.)�3���������.�������� ����������� �� !��"�#��!�"�$��"%�&�����������!���&!����15�>?�4+� =%4����������5& �!@���

�1���!��������'� � � ����� �� ��

�'� � ����� .��=��5& �!���&!����15�>?�4+� =%�4��5& �!@��� ��

�����154���'� � ����� �.��=��5& !���&!����15�>?��4+� =%4��5& �!@��

����� ��� ��)�*+�,�%-.���/� �� �� ������

� �

�

�

� ���

� ���!��������(���� ����� �1���!��������� ��)�*+�,�%-.���/���'� � ��� �.��=��5& !���&!����15�>?�4+� =%4��5& �!@�����'� � ��� ����%7 ���15������4���'� � ����� �1���!������.��������

5���.���18��������#�$�%��� #����&'�������������2��->�����#����)��"*+"�$�����,-� � �,.#($�,&�/������������18�����2���#���?<���"18��������#���%"��.��%���E01���!�����B��

!����������.���(�'� � ����� ��� ��)�*+�,�%-.���/�.����(0�� ��#A ������ ����������� �� ���������!��"�#��!�"�$��"%�&��������������'� � ����������15�B?�4���'� � ����� .��������

�1���!������� �'� � � ����� �� ��

�'� � ����� .��=��5& !���&!�����15�>?�4+� =%4��5& �!@��

�I�!�.���(���

�����2!�

����� ��� ��)�*+�,�%-.���/�

�� �� �������� ������

�

� ��� ��'��J.���I�!�.���5��(�9?8��

� ���!��������(���� ����� ��� ��)�*+�,�%-.���/��'� � ��� �.����(0�� ��#A ������ ���������� �� !��"�#��!�"�$��"%�&��������������'� � ����������15����4���'� � ����� .������.���5��( ��'��J�9?8���

���������������0�"0�(1��"�����#�������2���)%����)��"*+"�$�����,-� � �/����$3. 1�������#�������

�&���� ����0�"0�(1������2���)%��*+"�$�����,-� � /��$3. 1�������#��������"�����#��32�����#2"�8����/�����@���.�1��� ������2���)%��*+"�$�����,-� � �/��$3. 1�������#������� 06�����=��*+�,�&15%��(%���& �����������&((��(I�������&((��(I���������+���$�.����!������#�!*��!� 4�����)� � . �(�J��K �D�# ������&15��D�.���������1���������������1��,#54��&((��(I����������+���$��%7 ��!����� %�5��#�����������������������G��5��(�4�����$ &((��(I���%7 4�����.����������.��(���C+������#A ���$��5& ��� ���

� ���

� � � � ��@ ��� ��.��������� $��5& �8�5& �� � � � ��@ ��� ����� � $��5& �F�5& �� � � � ��@ ���%� �1����� $��5& �<�5& �� � � � ��@ ��������� � $��5& �/�5& �� � � � ��@ ������.��������� $��5& �G�5& �� ���&%1������4��5& �:1������C+���%7 014����������!!�.����!��� �����.2,L��'� � �(����!� &15������������� �6��.���:(�($����#A ���%�5��� 4��%�5������#�6!��FG<H��������� ���� � � � 5& �:1���89??�89/M�����I+����@ ��� ��.������� � � � 5& �:1���89G?�F9/M�����I+����@ ��� ���� � � � 5& �:1���F9G?�<9/M�����I+����@ ���%� �1���� � � � 5& �:1���<9G?�/9/M�����I+����@ �������� � � � 5& �:1���/9G?�G9??�����I+����@ ������.������� C+�����%�5��� ����+���$�.����!��� ��������� �� !��"�#��!�&15������������� �6��4�� ����� �1���!�������%���E01���!�������

�

!����������:1���14#�!���� �(����( ��!�;� &15�5��(����+���$�4�� ����� �1���!��������������1�������� ���������� �� !��"�#��!�"�$��"%�&������������

�5��(�������@ �4��.���

� � �� �� ��X � �� �� &%101�

�� �������

���� ��������

���� ���������

��� �������

��� ��������

��� ������ ����� ����

�� ������

��� ��������

���� �������

��� ��������

��� �� � ��� ����� ����

�� �������

��� ���������

���� ���������

���� ��������

��� ��������

��� ������� ���� ����

� �������

��� �������

���� ��������

���� ��������

��� ��������

��� ������� ����� ����

� ������

���� ��������

��� �������

���� ��������

��� �� � ����� ����� ����

� ��

!��������!�������:1���14#�!���� �(����( ��!�;� &15�5��(����+���$�4�� ����� �1����������!�������1�������� ���������� �� !��"�#��!�"�$��"%�&�����������

�

�5��(�������@ �4��.���

� � �� �� ��X � �� �� &%101�

�� �����

���� ���������

���� ���������

��� ��������

��� �� � ���� ����� ����

�� �������

��� ��������

��� ��������

���� �� �

������

��� ������ ����� ����

�� �������

��� ���������

���� ��������

���� ��������

��� ��������

��� ������ ����� %� �1���

�� �������

���� ���������

���� ��������

���� ��������

��� ��������

��� ������ ����� ����

��� ������

���� ��������

���� �������

���� ��������

��� ��������

��� ������ ����� ����

��� �������

���� ���������

���� ��������

���� �������

��� �� � �!�� ����� ����

��� �����

���� ���������

���� ���������

���� �� � � ����� ����� ����

��� �������

���� ��������

���� �������

���� �� �

������

��� ������ ����� ����

�� �������

���� ��������

��� �������

���� �������

��� ��������

��� ������ ����� ����

�� �������

���� ���������

���� ���������

���� ��������

��� ��������

��� ������ ����� ����

��� �������

���� �������

���� ���������

��� �������

��� ��������

��� ������� ���� ����

��� �������

���� ���������

��� ���������

��� ��������

��� ��������

��� ������ ����� ����

�

� ��

!��������!�������:1���14#�!���� �(����( ��!�;� &15�5��(����+���$�4�� ����� �1����������!�������1�������� ���������� �� !��"�#��!�"�$��"%�&�����������

�

�5��(�������@ �4��.���

� � �� �� ��X � �� �� &%101�

��� �����

���� ��������

���� ���������

���� �������

��� �� � ���� ����� ����

��� �����

���� ���������

���� ���������

���� ��������

��� �� � ���� ����� ����

��� �������

���� ��������

���� �������

���� ��������

��� �� � ���� ����� ����

� ���:1��� ���� ����� ����

�

� ���!�������&���$����@ ���5& �5��(����+���$�4�� ����� �1���!������!��4��'�I��.������� ����� ���������@ �6�$ �5��(����&15����������#�5& �:1��4������+���$�4�� ����� �1���!�������1�������� ���������� �� !��"�#��!�"�$��"%�&�����������.���:(�(�C+�������.����(�����&������ ����� �1���!������������+���$��1�������� ���������� �� !��"�#��!�"�$��"%�&������������6�$ �5��(�����

�

�

บทท 5 สรปผล อภปราย และขอเสนอแนะ

ความมงหมายของการวจย สมมตฐานในการวจย และวธดาเนนการวจย

ความมงหมายของการวจย 1. เพอสรางชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4

2. เพอศกษาผลสมฤทธทางการเรยนของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ในการเรยน

เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

3. เพอศกษาความพงพอใจของนกเรยนหลงจากทไดทาชดกจกรรมการเรยนการสอน

เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. สมมตฐานของการวจย นกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 สามารถสอบผานเกณฑการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต

โดยใชโปรแกรม C.a.R. มากกวารอยละ 70 ของจานวนนกเรยนทงหมด

วธดาเนนการวจย กลมตวอยางทใชในการวจย

กลมตวอยางทใชในการวจยครงนเปนนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 โรงเรยนมธยม

สาธตมหาวทยาลยราชภฏบานสมเดจเจาพระยา เขตธนบร จงหวดกรงเทพมหานคร ภาคเรยนท 1

ปการศกษา 2551 จานวน 1 หองเรยน มนกเรยน 53 คน โดยการสมตวอยางแบบเกาะกลม (Cluster Sampling)

จากนกเรยนทงหมด 3 หองเรยน จานวน 126 คน โดยทโรงเรยนจดหองเรยนแบบคละความสามารถของ

นกเรยนทมการเรยนระดบ เกง ปานกลาง และออนอยในหองเดยวกน เครองมอทใชในการวจย เครองมอทใชในการวจยในครงน ประกอบดวย

1. ชดกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ซงผานการตรวจสอบจากผเชยวชาญ และผานการทดลองใช

เครองมอกบกลมนารองประกอบดวย

1.1 คมอการใชชดกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใช

โปรแกรม C.a.R. สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4

75

1.2 ชดกจกรรมการเรยนการสอนประกอบดวย เอกสารหนวยการเรยน

จานวน 7 หนวย และเอกสารในแตละหนวย ประกอบดวย ใบกจกรรม และแบบฝกหด

1.3 แผนการจดการเรยนรวชาคณตศาสตร จานวน 18 แผน แผนละ 1 คาบ

แตละแผนจะสอดคลองตามเอกสารหนวยการเรยนแตละหนวย

2. แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยนวชาคณตศาสตรเรองฟงกชนตรโกณมต

โดยใชโปรแกรม C.a.R. ทผวจยสรางขน ซงผานการตรวจสอบจากผเชยวชาญ และผานการทดลองใช

เครองมอกบกลมนารอง ประกอบดวย

2.1 แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยนวชาคณตศาสตรเรองฟงกชน

ตรโกณมต ตอนท 1 แบบปรนย จานวน 30 ขอ

2.2 แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยนวชาคณตศาสตรเรองฟงกชน

ตรโกณมต ตอนท 2 แบบอตนย จานวน 5 ขอ

3. แบบวดความพงพอใจทมตอเนอหาฟงกชนตรโกณมตและกจกรรมการเรยนร ซงผาน

การตรวจสอบจากผเชยวชาญ และผานการทดลองใชเครองมอกบกลมนารอง การเกบรวบรวมขอมล 1. ผวจยสอนนกเรยนกลมตวอยาง 1 หองเรยน จานวน 53 คน โดยใชชดกจกรรมการ

เรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4

โดยใชเวลาสอนตามตารางสอนปกตจานวน 5 สปดาห สปดาหละ 4 คาบ ซงแบงเนอหาตามเอกสาร

หนวยการเรยนทงหมด 7 หนวย ใชเวลา 18 คาบ และทดสอบผลสมฤทธทางการเรยน 2 คาบ ดงน

หนวยท 1 ทบทวนเรองอตราสวนตรโกณมต เวลา 2 คาบ

หนวยท 2 วงกลมหนงหนวยและความยาวสวนโคง เวลา 2 คาบ

หนวยท 3 ฟงกชนไซนและโคไซน เวลา 1 คาบ

หนวยท 4 คาของฟงกชนไซนและโคไซน เวลา 4 คาบ

หนวยท 5 ฟงกชนตรโกณมตอนๆ เวลา 2 คาบ

หนวยท 6 ฟงกชนตรโกณมตของมม เวลา 3 คาบ

หนวยท 7 กราฟของฟงกชนตรโกณมต เวลา 4 คาบ

ทดสอบผลสมฤทธทางการเรยน เวลา 2 คาบ

ในสวนของการจดกจกรรมการร จะมใบกจกรรมใหนกเรยนปฏบตเปนแบบ

รายบคคล ผวจยจะนาใบกจกรรมไปตรวจใหคะแนนทกครง เพอเปนสวนหนงของการประเมนผลการ

เรยนร สาหรบใบกจกรรมแบบรายบคคล คดเปนรอยละ 20 ของคะแนนเตม

76

2. เมอนกเรยนกลมตวอยางปฏบตกจกรรม ครบทกเอกสารหนวยการเรยนในชด

การเรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4

เสรจแลว ผวจยดาเนนการดงน

2.1 ใหนกเรยนกลมตวอยาง ทาแบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยนวชา

คณตศาสตรเรองฟงกชนตรโกณมต แบบทดสอบม 2 ตอน ประกอบดวย ตอนท 1 แบบปรนย 30 ขอ

คะแนนเตม 60 คะแนน และตอนท 2 แบบอตนย 5 ขอ คะแนนเตม 20 คะแนน รวมทง 2 ตอน คะแนน

เตม 80 คะแนน ใชเวลาในการทดสอบ 2 คาบ

2.2 ใหนกเรยนกลมตวอยาง ตอบแบบสอบถามวดความพงพอใจของนกเรยน

ทมตอเนอหาฟงกชนตรโกณมตและกจกรรมการเรยนร จานวน 20 ขอ ใชเวลา 20 นาท การวเคราะหขอมล

1. คารอยละ คาเฉลยเลขคณต สวนเบยงเบนมาตรฐาน ของคะแนนจากการทาใบ

กจกรรมแบบรายบคคล ของนกเรยนกลมตวอยางชนมธยมศกษาปท 4

2. คารอยละ คาเฉลยเลขคณต และสวนเบยงเบนมาตรฐาน ของคะแนนจากการทา

แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยนของนกเรยนกลมตวอยางชนมธยมศกษาปท 4 ในการเรยน

เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

3. คารอยละ คาเฉลยเลขคณต และสวนเบยงเบนมาตรฐาน ของคะแนนผลสมฤทธ

ทางการเรยนของนกเรยนกลมตวอยางชนมธยมศกษาปท 4 ในการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใช

โปรแกรม C.a.R.

4. คารอยละของจานวนนกเรยนกลมตวอยางชนมธยมศกษาปท 4 ทไดคะแนน

ผลสมฤทธทางการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. ตงแตรอยละ 60 ขนไปของ

คะแนนเตม

5. การทดสอบจานวนนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ทสอบผานเกณฑการเรยน

เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. ทมจานวนมากกวารอยละ 70 ของจานวนนกเรยน

ทงหมด

6. การประเมนความพงพอใจทมตอเนอหาฟงกชนตรโกณมตและกจกรรมการเรยนร

ของนกเรยนกลมตวอยาง

77

สรปผลการวจย 1. คะแนนทไดจากใบกจกรรมของนกเรยนกลมตวอยางชนมธยมศกษาปท 4 จานวน 53 คน

มคาเฉลยเลขคณตเปน 13 คดเปนรอยละ 60 ของคะแนนเตม และมสวนเบยงเบนมาตรฐานของ

คะแนนเปน 5.58

2. คะแนนจากการทาแบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยนของนกเรยนกลมตวอยาง

ชนมธยมศกษาปท 4 ในการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. จานวน 53 คน

มคาเฉลยเลขคณตเปน 60.62 คดเปนรอยละ 75.78 ของคะแนนเตม และมสวนเบยงเบนมาตรฐาน

ของคะแนนเปน 7.34

3. คะแนนผลสมฤทธทางการเรยนของนกเรยนกลมตวอยางชนมธยมศกษาปท 4 ในการ

เรยนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. จานวน 53 คน มคาเฉลยเลขคณตเปน 73.83

คดเปนรอยละ 73.83 ของคะแนนเตม และมสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนเปน 10.76

4. นกเรยนกลมตวอยางชนมธยมศกษาปท 4 ทไดคะแนนตงแตรอยละ 60 ขนไปของคะแนน

เตม มจานวน 48 คน คดเปนรอยละ 90.57 ของจานวนนกเรยนทเปนกลมตวอยางทงหมด

5. นกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ทสอบผานเกณฑการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใช

โปรแกรม C.a.R. มจานวนมากกวารอยละ 70 ของจานวนนกเรยนทงหมด ทระดบนยสาคญ .01 ดงนน

จงสรปไดวา นกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 มความสามารถในการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชชด

กจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. ทผวจยสรางขน

6. ความพงพอใจของนกเรยนกลมตวอยางหลงจากเรยนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใช

โปรแกรม C.a.R. ทงฉบบซงประเมนจากคะแนนเฉลยทงฉบบของแบบวดความพงพอใจ พบวา

นกเรยนกลมตวอยางมความพงพอใจหลงจากเรยนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

อยในระดบมาก

อภปรายผล จากการศกษาผลการเรยนรของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 หลงจากเรยนโดยใชชด

กจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. พบวานกเรยนชน

มธยมศกษาปท 4 มผลการเรยนรผานเกณฑผานการสอบเปนจานวนมากกวารอยละ 70 ขนไป ของ

จานวนนกเรยนทงหมด ทระดบนยสาคญ .01 จากผลการวจยการทนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4

สามารถสอบผานเกณฑผานการสอบการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมต เปนจานวนมากกวารอยละ 70

ขนไปของจานวนนกเรยนทงหมดอาจเนองมาจาก

78

1. กจกรรมการเรยนรทผวจยสรางขนนน ใชโปรแกรม C.a.R. ประกอบการเรยนการสอน

โดยโปรแกรม C.a.R. นทาใหนกเรยนสามารถมองเหนภาพ ทาการสารวจ สราง และสงเกตความ

แตกตางของเนอหาในการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมตจากนามธรรมเปนรปธรรมมากขน เชน การวด

มม การวดความยาวสวนโคง การหาจดปลายสวนโคง การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของจานวนจรง

ใดๆ และการสรางกราฟฟงกชนตรโกณมต ซงสอดคลองกบทบรเนอร (สรางค โควตระกล. 2541: 31;

อางองจาก Bruner. 1960, 1966, 1971: The Relevance of Education) การเรยนรจะเกดจากการ

คนพบ เนองจากผเรยนมความอยากรอยากเหนซงเปนแรงผลกดนใหเกดพฤตกรรมการเรยนร ซงบร

เนอรไดแบงเครองมอในการคนพบความรออกเปน 3 วธ 1. ขนเอนแอคทฟ (Enactive Mode) ซงเปน

วธทมปฏสมพนธกบสงแวดลอมโดยการสมผสจบตองดวยมอ เชน การผลก การดง รวมทงการทเดก

ใชปากกบวตถสงของทอยรอบ ๆ ตว ขอสาคญทสดคอการกระทาของเดกเอง 2. ขนไอคอนนค (Iconic

Mode) เมอเดกสามารถทจะสรางจนตนาการหรอมโนภาพ (Imagery) ขนในใจได กจะสามารถทจะ

รจกโลกโดยวธไอคอนนค เดกวยนจะใชรปภาพแทนของจรงโดยไมจาเปนจะตองแตะตองหรอสมผส

ของจรง นอกจากนเดกจะสามารถรจกสงของจากภาพแมวาจะมขนาดและสเปลยนไป 3. ขนใช

สญลกษณ (Symbolic Mode) วธการนผเรยนจะใชในการเรยนร เมอผเรยนมความสามารถทจะเขาใจ

ในสงทเปนนามธรรม หรอความคดรวบยอดทซบซอนและเปนนามธรรมจงสามารถทจะสรางสมมตฐาน

และพสจนวาสมมตฐานถกหรอผดได โดยทชดกจกรรมจะเปนตวสงเสรมเนอหาทครไดสอนไปทาให

นกเรยนเกดความเขาใจในเนอหาและไดทาสงทหลากหลายมากยงขน

2. โปรแกรม C.a.R. เปนโปรแกรมทงายตอการใชงาน สามารถสรางรปไดอยางรวดเรว

รวมทงยงสามารถทาภาพเคลอนไหว มสสนสวยงาม และเนนใหนกเรยนไดลงมอปฏบตกจกรรมดวย

ตนเอง โดยมคมอการใชชดกจกรรม ทาใหนกเรยนมความกระตอรอรน เกดความสนใจอยากเรยนร ซง

สอดคลองกบศรศกด จามรมาน (2535: 10) ทกลาววา การนาคอมพวเตอรไปใชในการเรยนการสอน

นน ทาใหนกเรยนสนใจและกระตอรอรนมากขน เกดความเขาใจและมองเหนสงทเปนนามธรรมใหเปน

รปธรรม ซงในชดกจกรรมผวจยไดออกแบบใหนกเรยนสามารถทาการสารวจ สงเกต และเคลอนไหวได

อยางอสระ อกทงนกเรยนยงมปฏสมพนธกบบทเรยนได คอโปรแกรม C.a.R. จะมการตอบสนองทนทท

นกเรยนปฏบตไดถกตอง ทาใหบรรยากาศการเรยนไมนาเบอและไมเครยด

3. ชดกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. ทผวจยสราง

ขน ไดแบงเนอหาออกเปน 7 หนวยการเรยนรและมใบกจกรรมแตละหนวย โดยเรยงลาดบเนอหาจาก

งายไปหายากตามความสอดคลองของเนอหา และมการกาหนดจดประสงคการเรยนรใหนกเรยนได

ทราบทกกจกรรม ทาใหนกเรยนทราบแนวทางการวดผลในแตละใบกจกรรมและทราบมงหมายของ

การเรยนในแตละหวขอวานกเรยน เรยนไปเพออะไร ซงในการเรยนนนผวจยจะเปนครสอนเนอหาทเปน

79

ทฤษฎกอนเพอใหนกเรยนเขาใจ แลวจงใหนกเรยนปฏบตกจกรรมโดยนาความรทไดจากครมาใช

ปฏบตกจกรรมซงสอดคลองกบท ออซเบล (Ausubel. ทมาhttp://ednet.kku.ac.th/~sumcha/2545-

-/nong. วนท 1 ธนวาคม พ.ศ. 2551. ออนไลน) ใหความหมายการเรยนรอยางมความหมาย

( Mearningful learning) วาเปนการเรยนทผเรยนไดรบมาจากการทผสอน อธบายสงทจะตองเรยนรให

ทราบและนกเรยนรบฟงดวยความเขาใจ โดยผเรยนเหนความสมพนธของสงทเรยนรกบโครงสรางพทธ

ปญญาทไดเกบไวในความทรงจา และจะสามารถนามาใชในอนาคต เมอนกเรยนเรยนจบแตละใบ

กจกรรม ผวจยจะเปนผตรวจคาตอบแลวสงคนกลบใหนกเรยน ทาใหนกเรยนทราบคาตอบและวธการ

ทาทถกตอง

4. ผลการศกษาความพงพอใจของนกเรยนหลงจากเรยน โดยใชชดกจกรรมการเรยนการ

สอน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. ของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ทเปนกลม

ตวอยาง ซงประเมนผลจากคะแนนเฉลยทงฉบบของแบบวดความพงพอใจ พบวานกเรยนกลมตวอยาง

มความพงพอใจหลงจากเรยนเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. อยในระดบมาก ทงน

อาจมสาเหตเนองมาจากนกเรยนไดมองเหนมโนภาพในการเรยนโดยการปฏบตตามกจกรรมทผวจย

สรางขนมากขน อกทงในขณะเรยนนกเรยนสามารถทาการสารวจ สงเกตซาๆ กนไดหลายครง ทาให

นกเรยนรสกสนก มอสระ ไมเครยด และไมหนกใจในการเรยนร

5. สาหรบนกเรยนทไมผานเกณฑการเรยน นนเปนผลมาจากนกเรยนไมใหความสนใจใน

การปฏบตกจกรรมตามทผวจยแนะนา ไมวาผวจยจะปฏบตอยางไรนกเรยนกไมใหความรวมมอแต

อยางใด อกทงใบกจกรรมรายบคคลทผวจยไดมอบหมายใหนกเรยนปฏบตในชนเรยน นกเรยนกลมนก

ไมใหความรวมมอใดๆ ทงสน จงเปนผลทาใหคาเฉลยของคะแนนใบกจกรรมทงหองนนคอนขางตา ซง

สาเหตทผวจยคดวาสงททาใหนกเรยนไมใหความรวมมอเพราะนกเรยนอาจจะไมชอบวชาคณตศาสตร

หรอเปนเพราะชดกจกรรมการเรยนการสอนไมเหมาะกบระดบความสามารถของนกเรยนกลมน จงเปน

ผลใหนกเรยนไมสนใจและไมผานเกณฑการเรยนในทสด

ขอเสนอแนะ 1. ขอเสนอแนะทวไป

1.1 ในการจดกจกรรมการเรยนการสอน โดยใชโปรแกรม C.a.R. ครควรมผชวยในการ

สอนเพอจะไดใหคาแนะนานกเรยนไดอยางทวถงและรวดเรว

1.2 ควรมเครองคอมพวเตอรทมการตดตงโปรแกรมซอฟตแวร JAVA ตงแตเวอรชน 1.4

ขนไป และชดกจกรรมการเรยนการสอน โดยใชโปรแกรม C.a.R. ประจาหองคอมพวเตอรของโรงเรยน

80

1.3 ควรใหนกเรยนไดรบ CD ชดกจกรรมการเรยนการสอนทกคน เพอใหนกเรยนไดม

การเตรยมความพรอมในการใชชดกจกรรมการเรยนการสอน และสามารถทาการศกษานอกเวลาได

2. ขอเสนอแนะสาหรบงานวจย

2.1 ควรมการวจยเกยวกบการนาโปรแกรม C.a.R. ไปใชสอนวชาคณตศาสตรทเกยวกบ

เนอหาเชงเรขาคณตหรอพชคณต ในเรองอนๆ เชน เสนขนาน, พนฐานทางเรขาคณต, เวกเตอร และ

การสรางกราฟของฟงกชนตางๆ เปนตน

2.2 ควรทาการวจยเพอเปรยบเทยบระหวางการสอนคณตศาสตรในเนอหาตางๆ โดยใช

โปรแกรม C.a.R. กบการสอบแบบปกต

บรรณานกรม

กมล เอกไทยเจรญ. (2533). คณตศาสตร ม. 4 เลม 2. กรงเทพฯ: ไฮเอดพบลชชง.

กรมวชาการ กระทรวงศกษาธการ. (2545ก). หนงสอรายชอสอการเรยนการสอนทบงชเนอหา

กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร. กรงเทพฯ: ศนยพฒนาหนงสอ กรมวชาการ.

-----------. (2545ข). หลกสตรการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2544. พมพครงท 3. กรงเทพฯ:

ครสภาลาดพราว.

-----------. (2545ค). เอกสารประกอบหลกสตรการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2544 คมอการจดการ

เรยนร กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร. กรงเทพฯ: องคการรบสงสนคาและพสดภณฑ.

-----------. (2545ง). หลกสตรการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2544 สาระและมาตรฐานการเรยนร

กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร. กรงเทพฯ: องคการรบสงสนคาและพสดภณฑ.

-----------. (2545จ). เอกสารประกอบหลกสตรการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2544 การวจยเพอ

พฒนาการเรยนรตามหลกสตรการศกษาขนพนฐาน. กรงเทพฯ: องคการรบสงสนคาและ

พสดภณฑ.

กองพฒนาการศกษานอกโรงเรยน กระทรวงศกษาธการ. (2542). เทคนคการเขยนกจกรรมการเรยน

การสอนในชดวชา. กรงเทพฯ: กองพฒนาการศกษานอกโรงเรยน.

กระทรวงศกษาธการ. (2548). หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตม คณตศาสตร เลม 1 ชน

มธยมศกษาปท 5. กรงเทพฯ: โรงพมพครสภา ลาดพราว.

กาญจนา เกยรตประวต. (2524). วธสอนทวไป และ ทกษะการสอน. กรงเทพฯ: ภาควชาหลกสตร

และการสอน มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ. อดสาเนา.

กตยารตน ภรพฒน. (2545). การพฒนาแบบทดสอบวนจฉย วชาคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 4

เรองฟงกชนตรโกณมต. วทยานพนธ ครศาสตรมหาบณฑต (วจยและประเมนผลการศกษา).

อบลราชธาน: บณฑตวทยาลย สถาบนราชภฏอบลราชธาน. ฐานขอมลปรญญานพนธ

มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ.

82

เกษม มงลอ. (2544). การสรางชดการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต วชาคณตศาสตรสาหรบชน

มธยมศกษาปท 5. รายงานการศกษาอสระ กศ.ม.(เทคโนโลยการศกษา). ขอนแกน:

บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยขอนแกน. ฐานขอมลปรญญานพนธ มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ.

กลยา ตนตผลาชวะ. (2547). การจดกจกรรมการเรยนรสาหรบเดกปฐมวย. กรงเทพฯ: สาขาวชา

การศกษาปฐมวย มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ. อดสาเนา.

กงวล เทยนกณฑเทศน. (2540). การวด การวเคราะห การประเมนทางการศกษาเบองตน.

พมพครงท 2. กรงเทพฯ: ศนยสอเสรมกรงเทพ.

คณะอนกรรมการพฒนาการสอนและผลตอปกรณการสอนคณตศาสตร ทบวงมหาวทยาลย. (2524).

ชดการเรยนการสอนสาหรบครคณตศาสตร. กรงเทพฯ: ทบวงมหาวทยาลย. อดสาเนา.

คณาภรณ รศมมารย. (2547). ประโยชนของชดการเรยนการสอน. ในวารสารการศกษาวทยาศาสตร

คณตศาสตรและเทคโนโลย ปท 32 ฉบบท 130 พฤษภาคม-มถนายน. หนา 24–28.

จตราภรณ ภแกว. (2547). การพฒนาชดกจกรรมการเรยนรทเนนผเรยนเปนสาคญ โดยใชกจกรรมท

หลากหลาย เรองอตรสวนตรโกณมตและการนาไปใช ชนมธยมศกษาปท 5.

ปรญญานพนธ กศ.ม. (การมธยมศกษา). กรงเทพฯ: บณฑตวทยาลย มหาวทยาลย

ศรนครทรวโรฒ. อดสาเนา.

จรภทร แกวก. (2547). หลกและวธการเขยนแผนการจดการเรยนร. ขอนแกน: โรงพมพศรภณฑ

ออฟเซท ขอนแกน. อดสาเนา.

ชมนาด เชอสวรรณทว. (2542). การสอนคณตศาสตร (ศกษารปแบบการสอนวชาคณตศาสตร).

กรงเทพฯ: ภาควชาหลกสตรและการสอน มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ. อดสาเนา.

ชวาล แพรตกล. (2520). เทคนคการเขยนขอสอบ. กรงเทพฯ: ม.ป.พ. อดสาเนา.

ชษณชา พระสวาง. (2547). การพฒนาการจดกจกรรมการเรยนรแบบรวมมอวชาคณตศาสตร เรอง

ฟงกชนตรโกณมตและการประยกต ชนมธยมศกษาปท 5. วทยานพนธ กศ.ม. (หลกสตร

และการสอน). มหาสารคาม: บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยมหาสารคาม. ฐานขอมล

ปรญญานพนธ มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ.

ชยยงค พรหมวงศ; และคนอนๆ. (2523). เอกสารการสอนชดวชา เทคโนโลยและสอสารการศกษา.

กรงเทพฯ: สานกเทคโนโลยการศกษา. มหาวทยาลยสโขทยธรรมาธราช. อดสาเนา.

83

ชยศกด ลลาจรสกล. (2542). การจดกจกรรมคณตศาสตรในโรงเรยน. กรงเทพฯ: โรงเรยนสาธต

มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ ปทมวน. อดสาเนา.

ไชยยศ เรองสวรรณ. (2526). เทคโนโลยทางการศกษา. กรงเทพฯ: วฒนาพานช. อดสาเนา.

ณฐกฤษ จนทรตะ. (2548). การพฒนาชดการสอนคณตศาสตรทเนนกระบวนการแกไขปญหา เรอง

ความนาจะเปน สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 3. วทยานพนธ ค.ม. (หลกสตรและการ

สอนคณตศาสตร). นครสวรรค: บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยราชภฎนครสวรรค.

ฐานขอมลปรญญานพนธ มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ.

ถาวร ลกษณะ. (2548). การพฒนาชดการสอนคณตศาสตร เรอง สถต สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษา

ปท 3. วทยานพนธ ค.ม. (หลกสตรและการสอนคณตศาสตร). นครสวรรค: บณฑตวทยาลย

มหาวทยาลยราชภฎนครสวรรค. ฐานขอมลปรญญานพนธ มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ.

ทฤษฎการเรยนรของออซเบล. (2551). สบคนเมอ 1 ธนวาคม 2551,

จาก http://ednet.kku.ac.th-/~sumcha/2545/nong.

ธงชย ขาเทศเจรญ. (2546). การเปรยบเทยบผลสมฤทธทางการเรยนวชาคณตศาสตร เรองการหาร

ของนกเรยนชนประถมศกษาปท 2 ระหวางการใชชดการสอนแบบศนยการเรยนกบชดการ

สอนแบบแบงกลมผลสมฤทธทมการนาเสนอในรปซนดเคท. วทยานพนธ ค.ม. (เทคโนโลย

และสอสารทางการศกษา). นครราชสมา: มหาวทยาลยราชภฎนครราชสมา. ฐานขอมล

ปรญญานพนธ มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ.

ธนวฒน สนทราพรพล. (2550?). หนงสอเรยนสาระการเรยนรพนฐานและเพมเตม วชาคณตศาสตร

เลม 3 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ชวงชนท 4 มธยมศกษาปท 4–6. กรงเทพฯ: ม.ป.พ.

แนวคดการสรางกจกรรม เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชซอฟตแวร. (2550). สบคนเมอ 1 ธนวาคม

2550, จาก http://www.ies.co.jp/math/products/trig/menu.html.

-----------. (2551ก). สบคนเมอ 5 มกราคม 2551, จาก http://mathforum.org/mathtools/cell/tr.

-----------. (2551ข). สบคนเมอ 5 มกราคม 2551, จาก http://www.dynamicgeometry.com.

-----------. (2551ค). สบคนเมอ 6 มกราคม 2551, จากhttp://recursos.pnte.cfnavarra.es/

~msadaall/geogebra/trigono.htm.

84

บญชม ศรสะอาด. (2541). การพฒนาการสอน. มหาสารคาม: มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ

มหาสารคาม. อดสาเนา.

บญเกอ ควรหาเวช. (2545). นวตกรรมการศกษา. กรงเทพฯ: หางหนสวนจากด SR Printing.

อดสาเนา.

บปผา เซยสกล. (2544). การสอนวชาคณตศาสตรชนมธยมศกษาตอนปลาย เรอง ฟงกชนตรโกณมต

โดยใชคอมพวเตอรชวยสอนซอมเสรม. วทยานพนธ กศ.ม. (คณตศาสตรศกษา). เชยงใหม:

บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยเชยงใหม. ฐานขอมลปรญญานพนธ มหาวทยาลยศรนครน ทรวโรฒ.

ประคอง กรรณสต. (2538). สถตเพอการวจยทางพฤตกรรมศาสตร. พมพครงท 2 (ฉบบปรบปรง

แกไข). กรงเทพฯ: ศนยหนงสอ ดร.ศรสงา.อดสาเนา.

ปยาพชร พวงมาลย. (2547). การสรางชดการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต วชาคณตศาสตร (ค 4111)

สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4. รายงานการศกษาอสระ กศ.ม. (เทคโนโลยการศกษา).

ขอนแกน: บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยขอนแกน. ฐานขอมลปรญญานพนธ มหาวทยาลย

ศรนครนทรวโรฒ.

เปรอง กมท. (2519). เทคนคการเขยนบทเรยนโปรแกรม. กรงเทพฯ: ภาควชาเทคโนโลยทางการศกษา

มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ. อดสาเนา.

ผองศร หวานเสยง. (2547). ผลการใชชดกจกรรมการเรยนการสอนคณตศาสตรทเนนกระบวนการ

เรยนแบบซปปา เรองโจทยปญหาการคณ ของนกเรยนชนประถมศกษาปท 3. วทยานพนธ

ค.ม. (หลกสตรและการสอนคณตศาสตร). เชยงราย: บณฑตวทยาลย มหาวทยาลย

เชยงราย. ฐานขอมลปรญญานพนธ มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ.

มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ. บณฑตวทยาลย. (2548). คมอการจดทาปรญญานพนธและสาร

นพนธ. กรงเทพฯ: บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยฯ.

มหาวทยาลยสโขทยธรรมาธราช. (2530). เอกสารการสอนชดวชา คณตศาสตร 4 (Mathematics)

หนวยท 8. กรงเทพฯ: มหาวทยาลยฯ. อดสาเนา.

-----------. (2542). ชดวชาสอการสอนระดบมธยมศกษา หนวยท 13. กรงเทพฯ: มหาวทยาลยฯ.

อดสาเนา.

85

มณฑนย ศรนาค. (2547). การพฒนากจกรรมการเรยนคณตศาสตรเรองการประยกตฟงกชน

ตรโกณมตสาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 5 โรงเรยนหวหน จงหวดประจวบครขนธ.

วทยานพนธ กศ.ม. (หลกสตรและการสอน). ประจวบครขนธ: บณฑตวทยาลย

มหาวทยาลยสโขทยธรรมาธราช. ฐานขอมลปรญญานพนธ มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ.

ยพน พพธกล. (2530). การสอนคณตศาสตร. กรงเทพฯ: จฬาลงกรณมหาวทยาลย.

ราชบณฑตยสถาน. (2549). ศพทคณตศาสตร. พมพครงท 9. กรงเทพฯ: สหมตรพรนตง.

ลวน สายยศ; และองคณา สายยศ. (2543). เทคนคการวดผลการเรยนร. พมพครงท 2. กรงเทพฯ:

สวรยาสาสน. อดสาเนา.

วรวรรณ กฤตยากรนพงศ. (2551). กจกรรมการเรยนการสอนเรองความเทากนทกประการ โดยใชการ

แปลงทางเรขาคณตและซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 2.

ปรญญานพนธ กศ.ม. (คณตศาสตร). กรงเทพฯ: บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยศรนค

รนทรวโรฒ. ฐานขอมลปรญญานพนธ มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ.

วรรณวภา สทธเกยรต. (2542). การพฒนาบทเรยนเรขาคณตทใชซอฟตแวรคอมพวเตอรเปนเครองมอ

ในการเรยนร. ปรญญานพนธ กศ.ด. (คณตศาสตรศกษา). กรงเทพฯ: บณฑตวทยาลย

มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ. ฐานขอมลปรญญานพนธ มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ.

วาสนา ชาวหา. (2525). เทคโนโลยทางการศกษา. กรงเทพฯ: อกษรสยามการพมพ. อดสาเนา.

วชย วงษใหญ. (2525). การพฒนาหลกสตรและการสอนมตใหม. กรงเทพฯ: โอเดยนสโตร.

วระศกด พทบร. (2545). การพฒนาบทเรยนคอมพวเตอรชวยสอนวชาคณตศาสตร เรองฟงกชน

ตรโกณมตของจานวนจรงและมม ระดบชนมธยมศกษาปท 4. วทยานพนธ กศ.ม.

(เทคโนโลยและสอสารการศกษา). สงขลา: บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยสงขลานครนทร.

ฐานขอมลปรญญานพนธ มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ.

วชรสนต อนธสาร. (2547). ผลของการพฒนามโนทศนทางเรขาคณตและเจตคตตอการเรยน

คณตศาสตรของนกเรยนระดบมธยมศกษาตอนตน โดยใชโปรแกรม The Geometer’s

Sketchpad. วทยานพนธ ค.ม. (การศกษาคณตศาสตร). กรงเทพฯ: บณฑตวทยาลย

จฬาลงกรณมหาวทยาลย. ฐานขอมลปรญญานพนธ มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ.

86

วฒนาพร ระงบทกข. (2542). แผนการสอนทเนนผเรยนเปนศนยกลาง. กรงเทพมหานคร: แอล ท เพรส.

-----------. (2545). เทคนคและกจกรรมการเรยนรทเนนผเรยนเปนสาคญ ตามหลกสตรการศกษาขน

พนฐาน พ.ศ. 2544. กรงเทพมหานคร: พรกหวานกราฟฟค.

ศรศกด จามรมาน. (2535). การพฒนาและการใชคอมพวเตอรเพอการเรยนการสอน. วารสาร

รามคาแหง. 15(3): 10.

ศรลกษณ กโบลา. (2547). การพฒนาบทเรยนคอมพวเตอรวชาคณตศาสตร เรองอนเวอรสของ

ฟงกชนตรโกณมต ชนมธยมศกษาปท 5. วทยานพนธ กศ.ม. (เทคโนโลยการศกษา).

มหาสารคาม: บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยมหาสารคาม. ฐานขอมลปรญญานพนธ

มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ.

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. (2546). การจดสาระการเรยนรกลมคณตศาสตร

ชวงชนท 3-4. พมพครงท 2. กรงเทพฯ: กราฟฟค โกร.

-----------. (2550). ทกษะ/กระบวนการทางคณตศาสตร. พมพครงท 1. กรงเทพฯ: สถาบนสงเสรม

การสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย กระทรวงศกษาธการ.

สมศกด สนธระเวชญ. (2544). กจกรรมพฒนาผเรยนคณตศาสตร (ศกษาบทบาทของครและนกเรยน

ในการปฏบตกจกรรม). กรงเทพมหานคร: วฒนาพานช. อดสาเนา.

สมศกด อภบาลศร. (2537). การผลตชดการสอน. พมพครงท 1. ภาควชาเทคโนโลยและนวตกรรม

ทางการศกษา คณะครศาสตร. อดสาเนา.

สมศกด อวนสาเล. (2540). การสรางแบบทดสอบวนจฉยวชาคณตศาสตร เรองฟงกชนตรโกณมต

สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ในจงหวดหนองบวลาภ. วทยานพนธ กศ.ม. (การวดผล

และประเมนผลการศกษา). ขอนแกน: บณฑตวทยาลย มหาวทยาขอนแกน. ฐานขอมล

ปรญญานพนธ มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ.

สมย เหลาวานชย. (2537). คณตศาสตร ม. 4-5-6. กรงเทพมหานคร: ไฮเอดพบลชชง.

-----------. (2544). คณตศาสตร พนฐาน+เพมเตม เลม 3. กรงเทพมหานคร: ไฮเอดพบลชชง.

สรพร ทพยคง. (2545). หลกสตร และการสอนคณตศาสตร. กรงเทพฯ: พฒนาคณภาพวชาการ.

อดสาเนา.

87

สจรา มสกะเจรญ. (2542). การเปรยบเทยบความสามารถดานมตสมพนธและผลสมฤทธทาง การ

เรยนคณตศาสตร เรองเสนขนานและความคลายของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 2 ระหวาง

กลมทเรยนโดยใชและไมใชซอฟตแวรคอมพวเตอรทางเรขาคณต. วทยานพนธ ค.ม.

(การศกษาคณตศาสตร). กรงเทพฯ: บณฑตวทยาลย จฬาลงกรณมหาวทยาลย. อดสาเนา.

สภทรา เกดมงคล. (2550). กจกรรมการเรยนการสอนเรองสมบตของวงกลม โดยใชซอฟตแวร

เรขาคณตแบบพลวตสาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 3. วทยานพนธ กศ.ม.

(คณตศาสตร). กรงเทพฯ: บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ. ฐานขอมล

ปรญญานพนธ มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ.

สมานน รงเรองธรรม. (2526). กลวธสอน. กรงเทพมหานคร: คณะศกษาศาสตร มหาวทยาลยศร

นครนทรวโรฒ ประสานมตร. อดสาเนา.

สธนนท บญพฒนาภรณ. (2549). กจกรรมการเรยนการสอนเรองการแปลงเรขาคณตโดยใชซอฟตแวร

เรขาคณตแบบพลวตสาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 2. ปรญญานพนธ กศ.ม.

(คณตศาสตร). กรงเทพฯ: บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ. อดสาเนา.

สรางค โควตระกล. (2541). จตวทยาการศกษา. กรงเทพฯ: จฬาลงกรณมหาวทยาลย. อดสาเนา.

สานกงานทดสอบทางการศกษา. (2546). ผลการสอบวดคณภาพการศกษาระดบชาต ระหวางวนท

12-13 พฤศจกายน ปการศกษา 2546. กรงเทพฯ. สบคนเมอ 9 มถนายน 2551,

จาก http://bet.bopp.go.th/gat_sat/bet/46.pdf.

สนทด ภบาลสข; และพมพใจ ภบาลสข. (2525). การใชสอการสอน. พมพครงท 2. กรงเทพฯ:

มหาวทยาลยขอนแกน. อดสาเนา.

องอาจ นยพฒน. (2549). วธวทยาการวจยเชงปรมาณและเชงคณภาพ ทางพฤตกรรมศาสตรและ

สงคมศาสตร. กรงเทพฯ: สามลดา.

อรรถศาสน นมตรพนธ. (2542). ผลของการใชซอฟตแวรคอมพวเตอรประกอบกจกรรมการเรยนวชา

คณตศาสตร 4 ขน ทมตอความสามารถในการเรยนวชาคณตศาสตร เรอง ความเทากนทก

ประการของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 1. วทยานพนธ ค.ม. (การศกษาคณตศาสตร).

กรงเทพฯ: บณฑตวทยาลย จฬาลงกรณมหาวทยาลย. ออนไลน.

Adamek, Tara; & others. (2005, May). The History Of Trigonometry. Retrieved March 8,

2008, from http://www.math.rutgers.edu/~mjraman/History_Of_Trig.pdf.

88

Baharvand, Mohsen. (2002, June). A Comparison of the Effectiveness of Computer Assisted

Instruction Versus Traditional Approach to Teaching Geometry. Dissertation

Abstracts International. 40(3): 522-A.

Baley, John; & Holstege, Martin. (1991). TRIGONOMETRY. Second Edition. New york:

McGraw-Hill.

Beckenbach, Edwid F.; & Drooyan, Irving. (1968). Modern College Algebra and

Trigonometry. California: Wadsworth Publishing Company.

Bittinger, Marvin L; & Keedy, Marvin L. (1974). Trigonometry: A Functions Approach.

Brown, A.L; & others. (1973). Learning Remembering and Understandings. Handbook of

Child Psychology: Cognitive Development. New York: Wiley.

Dennis, Cynthia R.; & Neal, Linda M. (1995). Trigonometry Activities for the TI-82 And TI-85

Graphing Calculators. Boston: PWS publishing.

Faughn, Axelle Person; & Murphy, Terran Felter. (2007). USING INTERACTIVE GEOMETRY

SOFTWARE BASED INSTRUCTION IN A COLLEGE TRIGONOMETRY COURSE.

California: California State University. Retrieved June 10, 2008, from

http://www.rume.org/crume2007/papers/faughn-murphy.pdf.

Flanders, Harley; & Price, Justin J. (1973?). Elementary Functions and Analytic Geometry.

New York: ACADEMIC PRESS.

Foletta, Gina Marie. (1995, February). Technology and Guided Inquiry Understanding of

Student’s Thinking While Using A Cognitive Computer Tool, The Geometer’s

Sketchpad, in a Geometry Class. Dissertation Abstracts International. 55(8):

2311-A.

Frerking, Bonnie Giddens. (1995, June). Conjecturing and Proof-Writing in Dynamic

Geometry. Dissertation Abstracts International. 55(12): 3772-A.

Grothmann, Rene. (2007). Download Program Compass and Ruler (C.a.R.). Retrieved

January 5, 2008, from www.z-u-l.de.

89

Hudnutt, Bethany. (2007). TEACHING FUNCTIONS WITH DYNAMIC GRAPHING TOOLS:

A STUDY OF LESSON PLANS. Thesis for the degree of Master of Science

(MATHEMATICS EDUCATION). United State: North Carolina State University.

Ken. (1995, January). Why is Circle 360 Degree. Retrieved Jan 6, 2008 from

http://mathforum.org/dr.math/.

Kendal, Margaret ; & Stacey, Kaye. (1997). TEACHING TRIGONOMETRY. Australia:

University of Melbourne. Retrieved June 9, 2008, from

http://staff.edfac.unimelb.edu.au/~kayecs/publications/1997/kendalstacey-Trig.pdf.

Lester, Margaret Lynn. (1996, December). The Effects of The Geometer’s Sketchpad

Software on Achievement of Geometric Knowledge of High School Geometry

Students. Dissertation Abstracts International. 57(6): 2343-A.

List of Interactive Geometry Software. (2007). Retrieved March 4, 2008, from

http://en.wikipedia.org/wiki/Interactive_geometry_software.

Melczarek, Robert Jan. (1998, January). The Effects of Problem-Solving Activities Using

Dynamic Geometry Computer Software on Readiness for Self-Directed Learning.

Dissertation Abstracts International. 58(07): 2611-A.

Moss, Laura Jean. (2001, May). The Use of Dynamic Geometry Software as a Cognitive

Tool. Dissertation Abstracts International. 61(11): 4317-A.

Orhun, Nevin. (2000, July). Student’s Mistakes and Misconceptions on Teaching of

Trigonometry. Turkey: Anadolu University. Retrieved June 10, 2008, from

http://math.unipa.it/~grim/AOrhun.PDF.

Prus, Thomas ; & Bonk, Emily. (2003, December). History of Trigonometry and

Mathematicians. Retrieved March 18, 2008, from http://angel_blue01.tripod.

com/home/docs/grade12/history_of_trigonometry.pdf.

Shaffer, David. Exploring Trigonometry with The Geometer’s Sketchpad. California: Key

Curriculum Press.

90

Sullivan, M. (1996). Algebra and Trigonometry Enhanced with Graphing Utilities. New

Jersey: Preitice-Hall,Inc.

Swokoski, Earl W. (1978). Fundamentals of Algebra and Trigonometry. Massachusetts:

Pridle, Weber & Schmidt, Incorporated.

Weber, Keith. (2005). Student’s Understanding of Trigonometric Functions. United State:

Rutgers University. Retrieved June 10, 2008, from http://eric.ed.gov/ERICDocs-

-/data/ericdocs2sql/content_storage_01/0000019b/80/2a/f6/ba.pdf.

Yousif, Adil Eltayeb. (1997, November). The Effects of The Geometer’s Sketchpad on The

Attitude Toward Geometry of High School Students. Dissertation Abstracts

International. 58(5): 1631-A.

______________________________________

91

ภาคผนวก

92

ภาคผนวก ก รายนามผเชยวชาญ

93

รายนามผเชยวชาญ

รายนามผเชยวชาญการสอนคณตศาสตร ทไดรบความอนเคราะหตรวจสอบความถกตอง

ดานเนอหาและความเหมาะสมของชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใช

โปรแกรม C.a.R. ความเทยงตรงของเนอหา ความเหมาะสมของแผนการจดการเรยนร ความ

เหมาะสมของแบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต และการใชภาษาใน

แบบทดสอบวดความพงพอใจของนกเรยนทไดเรยนผานชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชน

ตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. มดงน

1, อาจารยธนชย ภอดม

ภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ

2. อาจารยเมตต แยมวงษ

ภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ

3. อาจารยสวรรณา คลายกระแส

ภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ

94

ภาคผนวก ข การวเคราะหขอมล

95

ตาราง 9 แสดงคาดชนความสอดคลองของแบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน

(แบบปรนย 4 ตวเลอก)

ผลการพจารณาของผเชยวชาญ แบบทดสอบขอท

คนท 1 คนท 2 คนท 3 IOC แปลผล

1 +1 +1 +1 1.00 ใชได 2 +1 +1 +1 1.00 ใชได 3 +1 +1 +1 1.00 ใชได 4 +1 +1 +1 1.00 ใชได 5 +1 +1 +1 1.00 ใชได 6 +1 +1 +1 1.00 ใชได 7 +1 +1 +1 1.00 ใชได 8 +1 +1 +1 1.00 ใชได 9 +1 +1 +1 1.00 ใชได 10 +1 +1 +1 1.00 ใชได 11 +1 +1 +1 1.00 ใชได 12 +1 +1 +1 1.00 ใชได 13 +1 +1 +1 1.00 ใชได 14 +1 +1 +1 1.00 ใชได 15 +1 +1 +1 1.00 ใชได 16 +1 +1 +1 1.00 ใชได 17 +1 +1 +1 1.00 ใชได 18 +1 +1 +1 1.00 ใชได 19 +1 +1 +1 1.00 ใชได 20 +1 +1 +1 1.00 ใชได 21 +1 +1 +1 1.00 ใชได 22 +1 +1 +1 1.00 ใชได 23 +1 +1 +1 1.00 ใชได 24 +1 +1 +1 1.00 ใชได 25 +1 +1 +1 1.00 ใชได 26 +1 +1 +1 1.00 ใชได

96

ตาราง 9 (ตอ) แสดงคาดชนความสอดคลองของแบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน

(แบบปรนย 4 ตวเลอก)

ผลการพจารณาของผเชยวชาญ แบบทดสอบขอท

คนท 1 คนท 2 คนท 3 IOC แปลผล

27 +1 +1 +1 1.00 ใชได 28 +1 +1 +1 1.00 ใชได 29 +1 +1 +1 1.00 ใชได 30 +1 +1 +1 1.00 ใชได 31 +1 +1 +1 1.00 ใชได 32 +1 +1 +1 1.00 ใชได 33 +1 +1 +1 1.00 ใชได 34 +1 +1 +1 1.00 ใชได 35 +1 +1 +1 1.00 ใชได 36 +1 +1 +1 1.00 ใชได 37 +1 +1 +1 1.00 ใชได 38 +1 +1 +1 1.00 ใชได 39 +1 +1 +1 1.00 ใชได 40 +1 +1 +1 1.00 ใชได 41 +1 +1 +1 1.00 ใชได 42 +1 +1 +1 1.00 ใชได 43 +1 +1 +1 1.00 ใชได 44 +1 +1 +1 1.00 ใชได 45 +1 +1 +1 1.00 ใชได 46 +1 +1 +1 1.00 ใชได 47 +1 +1 +1 1.00 ใชได 48 +1 +1 +1 1.00 ใชได 49 +1 +1 +1 1.00 ใชได 50 +1 +1 +1 1.00 ใชได 51 +1 +1 +1 1.00 ใชได 52 +1 +1 +1 1.00 ใชได

97

ตาราง 9 (ตอ) แสดงคาดชนความสอดคลองของแบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน

(แบบปรนย 4 ตวเลอก)

ผลการพจารณาของผเชยวชาญ แบบทดสอบขอท

คนท 1 คนท 2 คนท 3 IOC แปลผล

53 +1 +1 +1 1.00 ใชได 54 +1 +1 +1 1.00 ใชได 55 +1 +1 +1 1.00 ใชได 56 +1 +1 +1 1.00 ใชได 57 +1 +1 +1 1.00 ใชได 58 +1 +1 +1 1.00 ใชได 59 +1 +1 +1 1.00 ใชได 60 +1 +1 +1 1.00 ใชได

98

ตาราง 10 แสดงคาดชนความสอดคลองของแบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน (แบบอตนย)

ผลการพจารณาของผเชยวชาญ แบบทดสอบขอท

คนท 1 คนท 2 คนท 3 IOC แปลผล

1 +1 +1 +1 1.00 ใชได 2 +1 +1 +1 1.00 ใชได 3 +1 +1 +1 1.00 ใชได 4 +1 +1 +1 1.00 ใชได 5 +1 +1 +1 1.00 ใชได 6 +1 +1 +1 1.00 ใชได 7 +1 +1 +1 1.00 ใชได 8 +1 +1 +1 1.00 ใชได 9 +1 +1 +1 1.00 ใชได 10 +1 +1 +1 1.00 ใชได

หมายเหต คะแนน +1 สาหรบขอสอบทสอดคลองกบจดประสงคการเรยนร

คะแนน 0 สาหรบขอสอบทไมแนใจวาสอดคลองกบจดประสงคการเรยนร

คะแนน -1 สาหรบขอสอบทไมสอดคลองกบจดประสงคการเรยนร

99

ตาราง 11 แสดงคาความยากงาย (p), คาอานาจการจาแนก (r) และคาความเชอมนของแบบทดสอบ

วดผลสมฤทธทางการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. สาหรบนกเรยน

ชนมธยมศกษาปท 4 ทเปนกลมนารอง

ขอท p r ขอท p r

1 0.95 0.10 21 0.78 0.37

2 0.80 0.55 22 0.50 0.64

3 0.98 0.10 23 0.21 0.45

4 0.92 0.10 24 0.26 0.73

5 0.92 0.10 25 0.24 0.73

6 0.71 0.37 26 0.45 0.27

7 0.69 0.27 27 0.45 0.55

8 0.92 0.20 28 0.21 0.20

9 0.80 0.20 29 0.64 0.00

10 0.52 0.55 30 0.21 0.45

11 0.67 0.10 31 0.71 0.27

12 0.71 0.45 32 0.52 0.27

13 0.59 0.45 33 0.62 0.27

14 0.21 0.36 34 0.71 0.27

15 0.59 0.82 35 0.55 0.27

16 0.43 0.45 36 0.45 0.27

17 0.26 0.20 37 0.36 0.27

18 0.36 0.10 38 0.45 0.27

19 0.41 0.27 39 0.31 0.27

20 0.21 - 0.10 40 0.41 0.27

คาความเชอมนของแบบทดสอบแบบปรนย 4 ตวเลอกจานวน 40 ขอ เทากบ 0.77

คาความเชอมนของแบบทดสอบแบบอตนยจานวน 5 ขอ เทากบ 0.89

คาความเชอมนของแบบทดสอบทงฉบบ เทากบ 0.87

100

ตาราง 12 คาเฉลยเลขคณต สวนเบยงเบนมาตรฐานของแบบวดความพงพอใจของนกเรยนกลมนา

รองทเรยนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. และคาความเชอมนของแบบวด

ความพงพอใจของนกเรยนกลมนารอง

ระดบความคดเหน ขอท

5 4 3 2 1 X S.D. แปลผล

1 28.60%

(12 คน)

45.20%

(19 คน)

26.20%

(11 คน) - - 4.02 0.75 มาก

2 9.50%

(4 คน)

45.20%

(19 คน)

45.20%

(19 คน) - - 3.64 0.66 มาก

3 7.10%

(3 คน)

40.50%

(17 คน)

42.90%

(18 คน)

9.50%

(4 คน) - 3.45 0.77 ปานกลาง

4 4.80%

(2 คน)

42.90%

(18 คน)

45.20%

(19 คน)

7.10%

(3 คน) - 3.45 0.71 ปานกลาง

5 33.30%

(14 คน)

31.00%

(13 คน)

31.00%

(13 คน)

4.80%

(2 คน) - 3.93 0.92 มาก

6 26.20%

(11 คน)

59.50%

(25 คน)

14.30%

(6 คน) - - 4.12 0.63 มาก

7 11.90%

(5 คน)

45.20%

(19 คน)

40.50%

(17 คน)

2.40%

(1 คน) - 3.67 0.72 มาก

8 -

31.00%

(13 คน)

57.10%

(24 คน)

11.90%

(5 คน) - 3.19 0.63 ปานกลาง

9 14.30%

(6 คน)

31.00%

(13 คน)

50.00%

(21 คน)

4.80%

(2 คน) - 3.55 0.80 มาก

10 16.70%

(7 คน)

52.40%

(22 คน)

31.00%

(13 คน) - - 3.86 0.68 มาก

101

ตาราง 12 (ตอ) คาเฉลยเลขคณต สวนเบยงเบนมาตรฐานของแบบวดความพงพอใจของนกเรยนกลม

นารองทเรยนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. และคาความเชอมนของแบบ

วดความพงพอใจของนกเรยนกลมนารอง

ระดบความคดเหน ขอท

5 4 3 2 1 X S.D. แปลผล

11 2.40%

(1 คน)

26.20%

(11 คน)

52.40%

(22 คน)

16.70%

(7 คน)

2.40%

(1 คน) 3.10 0.79 ปานกลาง

12 9.50%

(4 คน)

38.10%

(16 คน)

47.60%

(20 คน)

4.80%

(2 คน) - 3.52 0.74 มาก

13 7.10%

(3 คน)

31.00%

(13 คน)

54.80%

(23 คน)

4.80%

(2 คน)

2.40%

(1 คน) 3.36 0.79 ปานกลาง

14 2.40%

(1 คน)

19.00%

(8 คน)

64.30%

(27 คน)

14.30%

(6 คน) - 3.10 0.66 ปานกลาง

15 4.80%

(2 คน)

35.70%

(15 คน)

59.50%

(25 คน) - - 3.45 0.59 ปานกลาง

16 4.80%

(2 คน)

40.50%

(17 คน)

50.00%

(21 คน)

4.80%

(2 คน) - 3.45 0.67 ปานกลาง

17 14.30%

(6 คน)

50.00%

(21 คน)

33.30%

(14 คน)

2.40%

(1 คน) - 3.76 0.73 มาก

18 7.10%

(3 คน)

16.70%

(7 คน)

69.00%

(29 คน)

7.10%

(3 คน) - 3.24 0.69 ปานกลาง

19 2.40%

(1 คน)

31.00%

(13 คน)

61.90%

(26 คน)

4.80%

(2 คน) - 3.31 .60 ปานกลาง

20 16.70%

(7 คน)

42.90%

(18 คน)

40.50%

(17 คน) - - 3.76 0.73 มาก

คาความเชอมนของแบบวดความพงพอใจของนกเรยนกลมนารองทงฉบบ (α )

เทากบ 0.90

102

ตาราง 13 การหาคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนทไดระหวางเรยนจากใบ

กจกรรมเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. ของนกเรยนกลมตวอยาง

กลมตวอยาง

จานวน

นกเรยน

(คน)

คะแนนเตม

(คะแนน)

คาเฉลย

เลขคณต

( x )

คาเฉลยเลขคณต

คดเปนรอยละของ

คะแนนเตม

สวนเบยงเบน

มาตรฐาน

(S.D.)

นกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 53 20 13.21 66% 5.58

ตาราง 14 การหาคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนทไดจากการทา

แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. ของ

นกเรยนกลมตวอยาง

กลมตวอยาง

จานวน

นกเรยน

(คน)

คะแนนเตม

(คะแนน)

คาเฉลย

เลขคณต

( x )

คาเฉลยเลขคณต

คดเปนรอยละของ

คะแนนเตม

สวนเบยงเบน

มาตรฐาน

(S.D.)

นกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 53 80 60.62 75.78 7.34

ตาราง 15 คารอยละ คาเฉลยเลขคณต และสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนทไดจากการทา

ผลสมฤทธทางการเรยนของนกเรยนกลมตวอยางชนมธยมศกษาปท 4 ในการเรยนเรองฟงกชน

ตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. คะแนนเตม 100 คะแนน

กลมตวอยาง

จานวน

นกเรยน

(คน)

คะแนนเตม

(คะแนน)

คาเฉลย

เลขคณต

( x )

คาเฉลยเลขคณต

คดเปนรอยละของ

คะแนนเตม

สวนเบยงเบน

มาตรฐาน

(S.D.)

นกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 53 100 73.83 73.83 10.76

103

ตาราง 16 คารอยละ คาเฉลยเลขคณต และสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนทไดจากใบกจกรรม

แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน และผลสมฤทธทางการเรยนของนกเรยนกลมตวอยาง

ชนมธยมศกษาปท 4 จานวน 53 คน

กลมตวอยาง

คะแนนเตม

(คะแนน)

คาเฉลย

เลขคณต

( x )

คาเฉลยเลขคณต

คดเปนรอยละของ

คะแนนเตม

สวนเบยงเบน

มาตรฐาน

(S.D.)

ใบกจกรรม 20 13.21 66 5.58

แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน 80 60.62 75.78 7.34

ผลสมฤทธทางการเรยน 100 73.83 73.83 10.76

การทดสอบสมมตฐานเกยวกบจานวนนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ทเรยนเรองฟงกชน

ตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. ซงใชการทดสอบสมมตฐานเกยวกบคาสดสวนประชากร โดยใชการ

ทดสอบ Z (Z – test for Population Proportion)

สมมตฐาน คอ Ho : p ≤ 0.7

H1 : p > 0.7

สถตทดสอบ Z =

n)p(1p

pp

oo

o

−−

จาก 91.05348p == , po = 0.7

แทนคา Z =

53)30.0(70.0

7.091.0 −

= 00396.021.0

ดงนน Z = 3.338

จะปฏเสธ Ho เมอ Z > Z .01

จากตารางไดวา Z .01 = 2.326

และ 3.338 > 2.326 ซงตกอยในขอบเขตวกฤต

เพราะฉะนน ปฏเสธ Ho ยอมรบ H1 นนคอ นกรยนชนมธยมศกษาปท 4 ทเรยนเรองฟงกชน

ตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. สามารถสอบผานเกณฑไดมากกวา รอยละ 70 ของจานวนนกเรยน

ทงหมด

104

ตาราง 17 คะแนนแบบวดความพงพอใจของนกเรยนกลมตวอยางทเรยนเรองฟงกชนตรโกณมต

โดยใชโปรแกรม C.a.R.

ขอท

คนท 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 3 4 3 3 4 4 3 4 4 3 4 3 3 4 4 3 5 3 4 2 5 5 3 2 2 5 2 5 3 2 3 4 5 3 3 5 4 4 3 3 4 4 5 4 3 3 4 4 4 4 3 4 3 4 3 3 4 5 5 4 3 3 5 5 4 3 5 4 5 4 5 5 4 3 3 4 5 2 6 2 5 4 5 5 5 4 4 4 5 4 5 5 5 5 4 5 5 5 5 7 5 4 4 4 4 3 3 3 4 5 3 3 3 3 4 4 4 4 3 4 8 4 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 9 4 3 3 3 3 5 3 3 3 5 4 4 3 3 3 4 5 4 3 3 10 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 11 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 12 3 3 3 3 2 3 3 3 3 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 13 3 3 4 3 4 3 3 3 3 4 4 3 3 3 3 4 3 4 3 3 14 4 3 3 4 5 5 4 4 3 3 3 4 3 3 3 4 4 3 3 4 15 5 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 5 4 4 5 4 5 4 16 4 3 3 3 4 5 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 4 4 4 5 17 4 3 4 4 4 2 4 5 4 3 4 5 3 4 4 2 5 3 5 5 18 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 19 3 3 3 3 3 3 4 3 4 5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 20 2 4 2 4 3 5 5 3 5 4 3 4 4 3 4 5 5 4 2 5 21 2 3 3 3 3 4 4 3 3 3 2 3 3 3 3 2 2 2 3 3 22 4 2 3 3 4 4 3 2 3 3 2 3 3 3 3 2 2 2 3 3 23 4 4 4 4 4 5 4 0 3 3 3 4 5 3 4 3 4 4 4 5 24 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 25 3 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 4 4 3 2 3 3 2 3 3 26 4 4 3 4 4 5 4 4 4 5 4 5 4 4 3 5 5 3 4 4 27 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

105

ตาราง 17 (ตอ) คะแนนแบบวดความพงพอใจของนกเรยนกลมตวอยางทเรยนเรองฟงกชนตรโกณมต

โดยใชโปรแกรม C.a.R.

ขอท

คนท 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

28 3 5 5 3 4 5 4 3 4 5 3 4 4 5 4 4 5 5 5 5 29 4 4 4 4 4 4 4 3 4 4 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 30 3 3 3 3 3 4 3 3 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 31 5 5 5 3 5 5 5 5 5 5 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 32 4 3 3 3 5 4 3 4 3 5 4 3 4 3 4 5 5 5 4 4 33 5 4 5 3 5 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 34 5 4 5 5 4 4 5 5 4 5 5 4 4 5 5 5 5 4 5 5 35 3 3 3 4 3 4 3 3 4 4 3 4 4 3 3 3 4 3 3 4 36 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 37 3 3 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 4 3 3 4 3 3 38 3 3 3 4 4 4 3 3 3 4 4 4 3 4 4 4 4 4 3 3 39 3 3 3 4 3 4 3 3 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 40 5 3 4 2 3 4 0 3 4 5 4 5 3 2 4 3 4 5 4 3 41 5 2 4 4 4 5 4 5 5 5 3 4 3 3 3 4 4 5 3 4 42 3 5 4 4 5 5 4 4 5 5 3 5 3 4 3 3 4 5 3 4 43 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 44 5 4 5 4 4 5 4 4 4 3 3 3 4 3 4 4 4 3 4 4 45 1 5 1 5 5 5 1 1 5 1 4 0 1 1 1 1 5 5 5 5 46 4 0 4 4 4 4 3 3 4 4 5 4 4 4 4 4 3 4 4 5 47 5 3 3 1 3 4 4 3 1 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 48 5 4 4 5 0 5 4 4 5 5 5 5 4 4 5 5 5 4 4 5 49 3 3 3 3 3 4 3 3 3 2 0 3 3 3 3 3 3 3 3 4 50 4 4 4 3 4 5 4 4 4 3 4 4 5 4 3 4 5 4 5 5 51 4 4 3 4 4 5 3 4 3 3 5 4 4 3 3 4 3 3 4 5 52 4 3 4 0 4 4 4 3 4 5 4 3 3 2 4 4 3 3 4 5 53 5 5 5 5 5 5 5 4 5 4 4 4 4 5 4 4 5 4 4 5

106

ตาราง 18 คาเฉลยเลขคณต สวนเบยงเบนมาตรฐานของแบบวดความพงพอใจของนกเรยนกลม

ตวอยางทเรยนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

ระดบความคดเหน ขอท

5 4 3 2 1 X S.D. แปลผล

1 30.20%

(16 คน)

34.00%

(18 คน)

28.30%

(15 คน)

5.70%

(3 คน)

1.90%

(1 คน) 3.85 0.99 มาก

2 15.10%

(8 คน)

34.00%

(18 คน)

45.30%

(24 คน)

3.80%

(2 คน) - 3.55 0.93 มาก

3 17.00%

(9 คน)

39.60%

(21 คน)

39.60%

(21 คน)

1.90%

(1 คน)

1.90%

(1 คน) 3.68 0.85 มาก

4 17.00%

(9 คน)

41.50%

(22 คน)

34.00%

(18 คน)

3.80%

(2 คน)

1.90%

(1 คน) 3.62 1.00 มาก

5 15.10%

(13 คน)

34.00%

(24 คน)

45.30%

(13 คน)

3.80%

(1 คน) - 3.81 1.08 มาก

6 43.40%

(23 คน)

37.70%

(20 คน)

17.00%

(9 คน)

1.90%

(1 คน) - 4.23 0.80 มาก

7 13.20%

(7 คน)

47.20%

(25 คน)

35.80%

(19 คน) -

1.90%

(1 คน) 3.64 0.92 มาก

8 13.20%

(7 คน)

30.20%

(16 คน)

49.10%

(26 คน)

3.80%

(2 คน)

1.90%

(1 คน) 3.43 0.97 ปานกลาง

9 20.80%

(11 คน)

39.60%

(21 คน)

35.80%

(19 คน)

1.90%

(1 คน)

1.90%

(1 คน) 3.75 0.88 มาก

10 35.80%

(19 คน)

35.80%

(19 คน)

24.50%

(13 คน)

1.90%

(1 คน)

1.90%

(1 คน) 4.02 0.93 มาก

107

ตาราง 18 (ตอ) คาเฉลยเลขคณต สวนเบยงเบนมาตรฐานของแบบวดความพงพอใจของนกเรยนกลม

ตวอยางทเรยนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

ระดบความคดเหน ขอท

5 4 3 2 1 X S.D. แปลผล

11 18.90%

(10 คน)

37.70%

(20 คน)

34.00%

(18 คน)

5.70%

(3 คน) - 3,58 1.10 มาก

12 24.50%

(13 คน)

39.60%

(21 คน)

32.10%

(17 คน) - - 3.77 1.07 มาก

13 18.90%

(10 คน)

35.80%

(19 คน)

41.50%

(22 คน) -

1.90%

(1 คน) 3.64 0.98 มาก

14 20.80%

(11 คน)

26.40%

(14 คน)

43.40%

(23 คน)

5.70%

(3 คน)

1.90%

(1 คน) 3.53 1.07 มาก

15 18.90%

(10 คน)

37.70%

(20 คน)

37.70%

(20 คน)

1.90%

(1 คน)

1.90%

(1 คน) 3.64 1.00 มาก

16 20.80%

(11 คน)

41.50%

(22 คน)

28.30%

(15 คน)

5.70%

(3 คน)

1.90%

(1 คน) 3.68 1.05 มาก

17 37.70%

(20 คน)

28.30%

(15 คน)

28.30%

(15 คน)

3.80%

(2 คน)

1.90%

(1 คน) 3.94 1.06 มาก

18 24.50%

(13 คน)

35.80%

(19 คน)

32.10%

(17 คน)

5.70%

(3 คน) - 3.74 1.02 มาก

19 24.50%

(13 คน)

32.10%

(17 คน)

39.60%

(21 คน)

1.90%

(1 คน) - 3.74 0.98 มาก

20 37.70%

(20 คน)

34.00%

(18 คน)

24.50%

(13 คน)

1.90%

(1 คน) - 4.02 1.01 มาก

คาเฉลย 3.74 0.98 มาก

108

ภาคผนวก ค คมอการใชชดกจกรรมการเรยนการสอน

109

คมอการใชชดกจกรรมการเรยนการสอน

คาชแจงการใชชดกจกรรมการเรยนการสอน ชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. สาหรบนกเรยน

ชนมธยมศกษาปท 4

หลกการและเหตผล

ปจจบนประเทศไทยใชหลกสตร การศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2544 โดยเรมใชใน

ปการศกษา 2546 ซงหลกสตรไดกาหนดสาระการเรยนรไว 6 สาระดงน

สาระท 1 จานวนและการดาเนนการ

สาระท 2 การวด

สาระท 3 เรขาคณต

สาระท 4 พชคณต

สาระท 5 การวเคราะหและความนาจะเปน

สาระท 6 ทกษะ / กระบวนการทางคณตศาสตร

สาหรบสาระท 4 พชคณต และสาระท 6 ทกษะ/กระบวนการทางคณตศาสตร หลกสตร

การศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2544 ไดกาหนดมาตรฐานการเรยนรไว ดงน

มาตรฐาน ค 4.1 : อธบายและวเคราะหแบบรป (pattern) ความสมพนธ และฟงกชน

ตางๆ ได

มาตรฐาน ค 4.2 : ใชนพจน สมการ อสมการ กราฟ และแบบจาลองทางคณตศาสตร

อนๆ แทนสถานการณตางๆ ตลอดจนแปลความหมายและนาไปใชแกปญหาได

มาตรฐาน ค 6.1 : มความสามารถในการแกปญหา

มาตรฐาน ค 6.2 : มความสามารถในการใหเหตผล

มาตรฐาน ค 6.3 : มความสามารถในการสอสาร การสอความหมายทางคณตศาสตร

และการนาเสนอ

มาตรฐาน ค 6.4 : มความสามารถในการเชอมโยงความรตางๆ ทางคณตศาสตรและ

เชอมโยงคณตศาสตรกบศาสตรอนๆ ได

มาตรฐาน ค 6.5 : มความคดรเรมสรางสรรค

110

จากการศกษามาตรฐาน ค 4.1 และมาตรฐาน ค 6.1 ตองการใหผเรยนไดเกดการเรยนรดงน

ตามลาดบ

• มความคดรวบยอดเกยวกบฟงกชนตรโกณมตและเขยนกราฟของฟงกชนท

กาหนดใหไดและความรเรองฟงกชนตรโกณมตไปใชได

• ใชความร ทกษะกระบวนการทางคณตศาสตรและเทคโนโลยในการ

แกปญหาไดอยางเหมาะสม

ดงนนในการจดกจกรรมตางๆ จงตองเออตอการคนพบ เพอเสรมสรางความรและเพอใหเกด

มโนทศนตางๆ กจกรรมตางๆ ควรทาทาย นาสนใจ เปดโอกาสใหนกเรยนทดลองปฏบต สงเกต สมผส

สารวจ คด แกปญหา ซงฟงกชนตรโกณมตเปนเรองทสามารถสรางกจกรรมตางๆ ตามความสนใจของ

ผเรยนเพอใหผเรยนเกดการเรยนรและคนพบไดทงยงเปนพนฐานในการเรยนระดบสง เนองจาก

ปจจบนมความกาวหนาทางเทคโนโลยมากขน และยงไดมการพฒนาซอฟตแวรคอมพวเตอรเพอเปน

เครองอานวยการการเรยนรแกผเรยน โดยเฉพาะในสวนของพชคณต ซงซอฟตแวรคอมพวเตอรทดจะ

ชวยใหนกเรยนสามารถสรางกราฟของสมการ และวดขนาดสวนของเสนตรง สวนโคง และมมไดอยาง

รวดเรวถกตอง ทงยงชวยให นกเรยนสรางรปสองมตและสามมตบนหนาจอแลวพลก หมน หรอเลอน

รปในมมมองตางๆ ทากจกรรมการสารวจดวยการพลก เลอน หมน ยด หด เพอนกเรยนสามารถมอง

ความสมพนธของรปแบบกราฟตางๆ

ดวยเหตผลขางตนและความสาคญดงกลาว จะเหนวาเรองฟงกชนตรโกณมตเปนเนอหา

หนงทมความสาคญและมประโยชนตอการเรยนการสอนคณตศาสตร ดงนน เพอเปนแนวทาง

สาหรบครผสอนในการจดการเรยนการสอน ผวจยจงสนใจจะสรางชดกจกรรมการเรยนการสอนเรอง

ฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4

111

วตถประสงค เพอใหครใชเปนเครองมอในการสอน เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. สาหรบ

นกเรยนชนมธยมศกษาปท 4

เนอหา

ชดกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ประกอบดวย 7 หนวยการเรยน ดงน

หนวยท 1 ทบทวนเรองอตราสวนตรโกณมต เวลา 2 คาบ

หนวยท 2 วงกลมหนงหนวยและความยาวสวนโคง เวลา 2 คาบ

หนวยท 3 ฟงกชนไซนและโคไซน เวลา 1 คาบ

หนวยท 4 คาของฟงกชนไซนและโคไซน เวลา 4 คาบ

หนวยท 5 ฟงกชนตรโกณมตอนๆ เวลา 2 คาบ

หนวยท 6 ฟงกชนตรโกณมตของมม เวลา 3 คาบ

หนวยท 7 กราฟของฟงกชนตรโกณมต เวลา 4 คาบ

แนวทางการใชกจกรรม

ชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R. ประกอบดวย

1. คาชแจงการใชชดกจกรรมการเรยนการสอน

2. คมอการใชโปรแกรม C.a.R.

3. แผนการจดการเรยนร

4. สอการเรยนการสอน ซงประกอบดวย

4.1 ใบกจกรรม

4.2 แฟมคาสง

5. แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมต

6. แบบวดความพงพอใจ

ในการใชกจกรรมตางๆ ใหปฏบตตามแผนการจดการเรยนรและฝกทกษะตามใบกจกรรม

โดยแตละกจกรรมจะใชแฟมคาสงรวมกบใบกจกรรมทสรางขน เมอเสรจสนการเรยนการสอนให

นกเรยนทาแบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมต และทาแบบวดความพง

พอใจ

112

แผนการสอน แผนการ

จดการเรยนร เรอง

จานวนคาบ (คาบ)

1 ทบทวนความรเดมเรองอตราสวนตรโกณมต 1

2 การวดมม

- หนวยของมมเปนองศา

- หนวยของมมเปนเรเดยน

1

3 วงกลมหนงหนวยและความยาวสวนโคง

- ระยะทางและการวดระยะทาง

กรณท 1 ความยาวสวนโคงเปนจานวนเตม π

กรณท 2 ความยาวสวนโคงเปนจานวนเทาของ 2π

กรณท 3 ความยาวสวนโคงเปนจานวนเทาของ 4π

กรณท 4 ความยาวสวนโคงเปนจานวนเทาของ 6π และ

3π

2

4 ฟงกชนไซนและโคไซน 1

5 คาของฟงกชนไซนและโคไซน

- คาของฟงกชนไซนและโคไซนของจานวนจรงบางจานวน

- คาของฟงกชนไซนและโคไซนของจานวนจรงใดๆ

4

6 ฟงกชนตรโกณมตอน ๆ - คาของฟงกชนตรโกณมตอน ๆของจานวนจรงบางจานวน

- คาของฟงกชนตรโกณมตอนๆ ของจานวนจรงใดๆ 2

7 ฟงกชนตรโกณมตของมม 3

8 กราฟของฟงกชนตรโกณมต

- กาหนดฟงกชนตรโกณมต y = T(x) - กาหนดฟงกชนตรโกณมต y = k⋅T(x) เมอ 0k ≠

- กาหนดฟงกชนตรโกณมต y = T(k⋅x) เมอ 0k ≠

- กาหนดฟงกชนตรโกณมต y = T(x+k) เมอ 0k ≠

- กาหนดฟงกชนตรโกณมต y = T(x)+k เมอ 0k ≠

4

113

จดประสงคการเรยนร เรองฟงกชนตรโกณมต

หนวย การเรยน

เรอง จดประสงคการเรยนร

1 ทบทวนความรเดมเรองอตราสวน

ตรโกณมตและการวดมม

1. นกเรยนสามารถบอกความแตกตาง

ระหวางหนวยการวดมมองศากบเรเดยน

2. นกเรยนเขยนอตราสวนตรโกณมตได

2 วงกลมหนงหนวยและความยาวสวนโคง 1. นกเรยนสามารถบอกนยามของวงกลมหนง

หนวยไดอยางถกตอง

2. นกเรยนสามารถวดความยาวสวนโคงได

อยางถกตอง

3. นกเรยนสามารถบอกตาแหนงของจดปลาย

สวนโคงไดอยางถกตอง

3 ฟงกชนไซนและโคไซน 1. นกเรยนสามารถบอกนยามของฟงกชนไซน

และโคไซนได

2. นกเรยนสามารถหาโดเมนและเรนจของ

ฟงกชนไซนและโคไซนได

3. นกเรยนสามารถบอกตาแหนงจดปลายสวน

โคงได

4 คาของฟงกชนไซนและโคไซน 1. นกเรยนสามารถบอกคาฟงกชนไซนและ

โคไซนของจานวนจรงพนฐานได

2. เมอกาหนด sin θ หรอ cos θ นกเรยน

สามารถหาจานวนจรง θ ได

3. นกเรยนสามารถหาคาของฟงกชนไซนและ

โคไซนของจานวนจรง θ ใดๆ โดยอาศยคา

ของจานวนจรงพนฐานได

4. เมอกาหนดฟงกชนไซนหรอโคไซนให

นกเรยนสามารถหาคาของฟงกชนทเหลอ

โดยอาศยความสมพนธของฟงกชนทงสองได

114

หนวย การเรยน

เรอง จดประสงคการเรยนร

5 ฟงกชนตรโกณมตอน ๆ 1. นกเรยนสามารถบอกความสมพนธของ

ฟงกชนตรโกณมตอนๆ ได

2. นกเรยนสามารถหาคาของฟงกชน

ตรโกณมตอนๆ ของจานวนจรงพนฐานได

3. เมอกาหนดฟงกชนตรโกณมตฟงกชนใด

ฟงกชนหนงนกเรยนสามารถหาคาของ

ฟงกชนทเหลอโดยอาศยความสมพนธของ

ฟงกชนเหลานนได

6 ฟงกชนตรโกณมตของมม 1. นกเรยนสามารถบอกความสมพนธของมม

ทมหนวยเปนองศาและเรเดยนได

2. นกเรยนสามารถหาคาของฟงกชน

ตรโกณมตของมมพนฐานได

3. นกเรยนสามารถหาคาของฟงกชน

ตรโกณมตของมม θ เมอ θ > 90° โดย

อาศยคาของฟงกชนตรโกณมตพนฐานได

4. นกเรยนสามารถหาคาของฟงกชน

ตรโกณมตของมม -θ เมอ θ > 0° โดย

อาศยคาของฟงกชนตรโกณมตพนฐานได

5. เมอกาหนดรปสามเหลยมมมฉากพรอม

บอกมม 1 มม และดาน 1 ดานนกเรยน

สามารถหาความยาวของดานทเหลอได

6. นกเรยนสามารถหาคาของฟงกชน

ตรโกณมตของรปสามเหลยมมมฉาก

เมอกาหนดคาของฟงกชนตรโกณมตคา

หนงใหได

7. นกเรยนสามารถอานและหาคาของฟงกชน

ตรโกณมตทงทมอยในตารางและไมอยใน

ตารางได

115

หนวย การเรยน

เรอง จดประสงคการเรยนร

7 กราฟของฟงกชนตรโกณมต 1. นกเรยนสามารถเขยนกราฟของฟงกชน

ตรโกณมตทกาหนดใหได

2. นกเรยนสามารถบอกโดเมนและเรนจของ

ฟงกชนตรโกณมตทกาหนดใหได

3. นกเรยนสามารถหาคาคาบและแอมพลจด

ของฟงกชนตรโกณมตได

116

คมอการใชโปรแกรม C.a.R.

จดทาโดย

นายปณยพล จนทรฝอย

117

คมอการใชโปรแกรม C.a.R.

บทนา ซอฟตแวร C.a.R. เปนโปรแกรมซงอนญาตใหใชและเผยแพรไดโดยไมเสยคาใชจาย และม

สมบตเบองตนของซอฟตแวรเรขาคณตพลศาสตรเพยงพอ C.a.R. เปนซอฟตแวรทพฒนาขนโดย

ศาสตราจารย ดร.เรอเน โกรธมนน (Prof.Dr.Rene Grothmann ) ชาวเยอรมน โดยมวตถประสงค

สาหรบนกเรยนตงแตชนประถมศกษาจนถงระดบสงรวมทงผใหญ การใชโปรแกรมสามารถใชไดดวย

การคลกเมาสและลากเมาส หรอใชคาสงเปนขอความโดยตรง นอกจากนผสอนยงสามารถออกแบบ

การบานใหนกเรยนสราง โดยโปรแกรมจะแจงใหรเมอทาไดถกตอง จดเดนอกประการหนงคอสามารถ

นาเสนอในรป HTML ไดสะดวกเนองจากเปนโปรแกรมทพฒนาดวยภาษา JAVA

แหลงทมาของโปรแกรม C.a.R. ในทนผวจยจะขอนาเสนอตงแตทมาของโปรแกรมวามาอยางไรและตดตงอยางไร เพอเปน

ประโยชนตอนกเรยนและผทสนใจทจะศกษาโปรแกรมโปรแกรม C.a.R. ไดนาไปใชใหเปนประโยชนตอ

การเรยนการสอนวชาคณตศาสตร โดยปฏบตตามขนตอนดงน

ขนตอนท 1 เขาไปในเวบไซด www.z-u-l.de จะปรากฏภาพหนาจอดงรปขางลาง

ขนตอนท 2 เมอเขาเวบไซดแลวใหทาการเลอกภาษาทเราตองการ ในทนผวจยเลอกเขาเวบ

ไซด ดวยภาษาองกฤษ เมอทาการคลกทคาวา English แลวจะปรากฏหนาจอท 2 ดงรป

118

ขนตอนท 3 หลงจากทเราไดเขามาในหนาท 2 แลวจากนนเราจะทาการ Download

โปรแกรม โดยใชเมน Download ทอยทางดานซายของรปขางบน ใหทาการคลกเขาไปแลวจะปรากฏ

หนาจอ ดงน

119

ขนตอนท 4 เมอทาตามขนตอนท 3 เสรจแลวจากนนกเปนการ Download โปรแกรม ซง

จากรปขางบนจะเหนหวขอ Download and Installation ในทนใหทาการคลกไปทหวขอ Windows

เพยงเทานเรากสามารถ download โปรแกรมนไปใชได แตกอนอนหากเครองคอมพวเตอรของทานม

ระบบ JAVA ในเวอรชนทตากวา 1.4 เรากสามารถ download ไดโดยเลอกไปทหวขอ Prerequisites

แลวกดคลกเขาไปท More information about JAVA

เมอเราทาการคลกไปท Windows แลวกจะปรากฏหนาจอ ดงภาพขางลาง

จากนนเรากทาการ save แลวกลงโปรแกรม เทานกสามารถใชงานโปรแกรมโปรแกรม C.a.R.

(C.a.R.)

ซอฟตแวรเรขาคณตพลศาสตร C.a.R.

อปกรณทจาเปนสาหรบการใช C.a.R. ประกอบการเรยนตามบทเรยน มดงน

1. เครองคอมพวเตอรสวนบคคล พรอมทงคยบอรด เมาส และจอภาพส

2. เครองเลนแผนบนทก 3.5 นว ( 3.5 Floppy Disk Drive ) หรอเครองเลนแผน CD

3. ฮารดดสก ( Hard Disk ) ขนาดไมนอยกวา 4 GB.

4. แผนบนทก 3.5 นว หรอ แผน CD ทมไฟลทใชตามทระบในใบกจกรรม

5. ระบบปฏบตการ Microsoft Window xp หรอรนใหมกวา

6. สนบสนนเวอรชนตงแต JAVA 1.4 ขนไป

120

การใชงานเบองตน คาอธบายเกยวกบ Icon bar

เครองมอพนฐาน

เปนจดทสามารถเคลอนไหวไดอยางอสระ และสามารถกาหนดพกดจดได

ตามทตองการ

เปนจดทสรางขนบนวงกลม หรอ บนเสน หรอ สวนของเสนตรง หรอ รงส

การสรางเสนตรงผานจดสองจด

การสรางสวนของเสนตรงระหวางจดสองจด

การสรางรงสจากจดหนงผานอกจดหนง

การสรางวงกลมรอบจด และผานจดๆ หนง

การสรางจดตดระหวางสง 2 สง ไมวาจะเปนวงกลม,เสนตรง,รงส เปนตน

การสรางเสนขนานผานจดๆ หนง

การสรางเสนตงฉากผานจดๆ หนง

การสรางวงกลมรอบจด โดยมรศมเทากบระยะทางระหวางจดสองจด

การสรางวงกลมรอบจด โดยสามารถกาหนดรศมของวงกลมไดตามตองการ

เคลอนไหวจด

ใชในการวดมมของจดสามจด

ใชในการสรางคาพารามเตอร

ใชในการซอนวตถทตองการ

ใชในการแสดงวตถทถกซอนทงหมด

ใชในการวาดกราฟของฟงกชนทวๆ ไป

ใชในการลบการสรางในขนตอนสดทาย

ใชในการลบวตถ (ควรระวงในการใช)

ใชในการเรยกคนสงทถกลบกอนหนาน

ส

ใชในการเปลยนลกษณะของจด

ใชในการเปลยนลกษณะของเสน

ใชในการแสดงกรด

121

ตวอยางการใชงานโปรแกรมโปรแกรม C.a.R. ตวอยาง 1 การแบงครงมม เมอกาหนดมมๆ หนงมาให

ในตวอยางท 1 เปนการแบงครงมม จากมมทกาหนดให โดยใชชดคาสงทอยในการใชงาน

เบองตน ซงสามารถทาการสรางไดตามขนตอนดงน

จากรปขางบนจะเหนวาโจทยกาหนดมมมาใหหนงมม ซงเราสามารถทาการแบงครงมมไดดงน

ขนท 1 ใหใชคาสง ในการสรางวงกลมรอบจดกงกลางของมมทกาหนดให โดยกาหนด

รศมพอประมาณ จะไดดงน

122

ขนท 2 จากขนตอนท 1 จะเหนวาเมอเราสรางรปวงกลมแลว รปวงกลมจะตดกบสวนของ

เสนตรงอย 2 เสน ใหเราใชคาสง ในการสรางจดตดทเกดขนระหวางรปวงกลมกบสวนของ

เสนตรงทง 2 เสน ใหเปนชอ I1,I2 ดงน

ขนท 3 ใหใชคาสง เพอสรางวงกลมโดยเรมจากให I1 เปนจดศนยกลางของวงกลม

โดยมรศมเทากบระยะทางจากจด I1 ไปยง I2 จากนนกให I2 เปนจดศนยกลาง สรางวงกลมรศมเทา

เดม จะไดดงรปตอไปน

123

ขนท 4 สรางจดตดทเกดขนจากวงกลมทง 2 วง โดยใชคาสง ดงรป

ขนท 5 ใชคาสง ในการสรางรงสจากจดกงกลางมม ผานจด I3 ถาทาถกโปรแกรมก

จะทาการตอบสนองทนท แตถาทาไมถกโปรแกรมกจะไมทาการตอบสนองซงแสดงวาทาผดหรอ

อาจจะมตาแหนงไหนทเราวางไดไมพอดกบวตถ ดงรป

124

ตวอยางท 2 การสรางมมใหมขนาดเทากบ 60 องศา จากสวนของเสนตรงทกาหนดให ดงรป

ขนท 1 ใหจด P1 เปนจดศนยกลางของวงกลม โดยใชคาสง กาหนดใหวงกลมมรศม

เทากบระยะทางจากจด P1 ไปยงจด P2 ดงรป

ขนท 2 ใหจด P2 เปนจดศนยกลางของวงกลม โดยใชคาสง กาหนดใหวงกลมมรศมเทากบ

ระยะทางจากจด P1 ไปยงจด P2 ดงรป

125

ขนท 3 สรางจดตดของวงกลมทง 2 วง โดยใชคาสง โดยใหจดตดมชอวา I1 ดงรป

ขนท 4 ใชคาสง ในการสรางรงสจากจด P1 ผานจด I1 และสรางรงสจากจด P2

ผานจด I1 ถาทาถกตองโปรแกรมกจะทาการตอบสนองทนท ดงรป

126

ตวอยางท 3 การสรางกราฟของฟงกชนตรโกณมต สามารถสรางไดโดยปฏบตดงรป

ขนท 1 ใชคาสง เพอกาหนดฟงกชนและกาหนดคาพารามเตอรของคา x ดงรป

ขนท 2 กาหนดฟงกชนทตองการสรางกราฟ (ในทนผวจยจะสาธตการสรางกราฟ rsin(x))

จากนนกกาหนดคาพารามเตอรหรอคา x (ผวจยกาหนดคา x จาก -2pi ถง 2pi) ดงรป

127

ขนท 3 เมอทาการกาหนดฟงกชนและคาพารามเตอรเสรจแลว ใหคลกทปม OK กจะได

กราฟของฟงกชนปรากฏดงรปตอไปน

หมายเหต : ในการสรางกราฟของฟงกชนตรโกณมตเราตองพมพ r นาหนาฟงกชนตรโกณมต

เชน rsin(x), rcos(x), rtan(x) เพราะคาพารามเตอรหรอคา x ทเรากาหนดขอบเขต

นนมหนวยเปนเรเดยน ดงนนจงตองใส r นาหนาเสมอ

128

การเขาสบทเรยน การเขาสบทเรยนเรองฟงกชนตรโกณมต มขนตอนดงน

1. ใสแผน CD ทมแฟมคาสงเกยวกบชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต

2. ดบเบลคลกท My Computer

3. ดบเบลคลกทเครองเลนแผน CD

4. คดลอกโฟลเดอร กจกรรมการเรยน ไวใน Desktop

(ในทนผวจยจะใหนกเรยนคดลอกทละหนวยการเรยน)

5. ดบเบลคลกท กจกรรมการเรยน แลวคลกทคาวา เมนหลก จะปรากฏหนาจอ

ดงรป

6. ดบเบลคลกท เมนหลก จะปรากฏหนาจอ ดงน

129

7. คลกท สารบญ เพอเขาสกจกรรม ซงภายในสารบญกจะมกจกรรมทจะใหนกเรยนปฏบต

ทงหมด 7 หนวย ดงรปทปรากฏ

8. เลอกเรองทตองการทาชดกจกรรมการเรยนการสอน เชน กจกรรมการเรยนในหนวยท 2

กจกรรมท 1.2 เรองการวดมมทมหนวยเปนเรเดยน

130

9. เลอกทหนวยท 4 กจกรรมท 4.2 เลอกกรณท 1 จะไดชดกจกรรมการเรยนการสอน ดงรป

ทกลาวมาเปนตวอยางทมอยในชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใช

โปรแกรม C.a.R. หากนกเรยนหรอผสนใจปฏบตตามคมอการใชงาน กจะชวยใหทานสามารถใช

กจกรรมไดอยางสะดวก

131

ภาคผนวก ง แผนการจดการเรยนรเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R.

132

หนวยท 1 ทบทวนความรเดมเรองอตราสวนตรโกณมต แผนการจดการเรยนรท 1

วชา คณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ทบทวนความรเดมเรองอตราสวนตรโกณมต จานวน 1 คาบ

1. สาระสาคญ

รปสามเหลยมมมฉาก คอ รปสามเหลยมทมมมหนงมมเทากบ 90 องศา สวนประกอบของรปสามเหลยมมมฉาก ใหนกเรยนพจารณารปสามเหลยมมมฉากตอไปน

จากรป Δ ABC ทกาหนดให ทมมม A เปนมมแหลม มสวนประกอบดงน

ให a แทนความยาวสวนของเสนตรง BC ให b แทนความยาวสวนของเสนตรง AC ให c แทนความยาวสวนของเสนตรง AB จะไดวา

สวนของเสนตรง AC คอ ดานประชด (adjacent side) ของมม A

สวนของเสนตรง BC คอ ดานตรงขาม(opposite side)ของมม A

สวนของเสนตรง AB คอ ดานตรงขามมมฉาก (hypotenuse) ซงแตละดานมสมบตดงน 22 bca −= หรอ 222 bca −=

22 acb −= หรอ 222 acb −=

22 bac += หรอ 222 bac += จากสมบตขางบนจะเหนวาดานตรงขามมมฉากจะเปนดานทยาวทสด ซงสมบตนเรา

เรยกวา “ทฤษฎบทพทาโกรส”

133

อตราสวนตรโกณมต คอ อตราสวนของความยาวดานแตละดานของรปสามเหลยมมมฉาก ซงมทงหมด 6 อตราสวน ดงน (ในทนเราจะวดจากมม A เปนหลก) จากรปสามเหลยมมมฉากขางตนเราสามารถเขยนอตราสวนของดานแตละดานไดดงน

1. อตราสวน ca เราเรยกวา ไซน (sine)ของมม A

2. อตราสวน cb เราเรยกวา โคไซน (cosine) ของมม A

3. อตราสวน ba เราเรยกวา แทนเจนต (tangent) ของมม A

4. อตราสวน ac เราเรยกวา โคเซแคนต (cosecant) ของมม A

5. อตราสวน bc เราเรยกวา เซแคนต (secant) ของมม A

6. อตราสวน ab เราเรยกวา โคแทนเจนต(cotangent) ของมม A

ซงอตราสวนทง 6 เรานยมเขยน ดงน sin A อานวา ไซน - เอ แทน ไซน ของมม A (sine of A)

cos A อานวา โคไซน - เอ แทน โคไซน ของมม A (cosine of A)

tan A อานวา แทนเจนต - เอ แทน แทนเจนต ของมม A (tangent of A)

csc A อานวา โคเซแคนต - เอ แทน โคเซแคนต ของมม A (cosecant of A)

sec A อานวา เซแคนต - เอ แทน เซแคนต ของมม A (secant of A)

cot A อานวา โคแทนเจนต - เอ แทน โคแทนเจนต ของมม A (cotangent of A)

อตราสวนทง 6 นเราเรยกวา “อตราสวนตรโกณมต” 2. จดประสงคการเรยนร ดานความร 1. นกเรยนสามารถบอกสวนประกอบของรปสามเหลยมมมฉากไดถกตอง 2. นกเรยนสามารถเขยนอตราสวนตรโกณมตไดอยางถกตอง

134

A B

A B

I2A BI1

I2A BI1 FE

ดานทกษะ/กระบวนการ 1. มความสามารถในการใหเหตผล 2. มความสามารถในการสอสาร และนาเสนอ

ดานคณลกษณะ 1. มความสนใจและกระตอรอรนในการเรยนและการทางาน 2. มความรบผดชอบตอการทางานทไดรบมอบหมาย 3. มความเชอมนในตนเอง และกลาแสดงความคดเหน

3. สาระการเรยนร การสรางรปสามเหลยมมมฉากมขนตอนดงน

ขนท 1 กาหนดสวนของเสนตรง AB ดงรป ขนท 2 สรางเสนตรงผานจด A และ B ทกาหนดใหโดยใชคาสง ดงรป

ขนท 3 สรางวงกลมตดเสนตรงโดยให B เปนจดศนยกลาง โดยใชคาสง จะไดจดตดสองจดคอ I1 และ I2 ดงรป

ขนท 4 ใหจดตด I1 และ I2 เปนจดศนยกลางเพอสรางวงกลม โดยทรศมทงสอง เทากน โดยใชคาสง ดงรป

135

I2A BI1 FE

C

I2A BI1 FE

ขนท 5 กาหนดจดตด แลวสรางเสนตรงผานจดตด โดยใชคาสง ดงรป ขนท 6 ลากสวนของเสนตรง AC โดยใชคาสง ดงรป จะไดรปสามเหลยมมมฉาก ABC โดยทมมม B เปนมมฉาก จะไดวารป ΔABC มสวนประกอบดงน (ยดมม A เปนหลก)

สวนของเสนตรง AB คอ ดานประชด (adjacent side) ของมม A

สวนของเสนตรง BC คอ ดานตรงขาม (opposite side) ของมม A

สวนของเสนตรง CA คอ ดานตรงขามมมฉาก (hypotenuse) 4. สอการเรยนร/แหลงการเรยนร 1. แฟมคาสง/คอมพวเตอร 2. ใบกจกรรมท 1.1 เรองทบทวนความรเดมเกยวกบอตราสวนตรโกณมต 3. หนงสอเรยนวชาคณตศาสตรเพมเตม

136

5. กจกรรมการเรยนร 1. ครนานกเรยนทบทวนเกยวกบความรเดมในเรองอตราสวนตรโกณมตทนกเรยนไดเรยนในชนมธยมศกษาปท 3 ดงน - ครอธบายวาอตราสวนตรโกณมตทนกเรยนไดเรยนผานมาแลวเปนการศกษาเกยวกบรปสามเหลยมมมฉาก โดยนยามไซนและโคไซนดวยอตราสวนของความยาวดานของรปสามเหลยมมมฉาก - ครถามนกเรยนวานยามของไซนและโคไซนเปนอยางไร - ครถามนกเรยนวาคาของไซนและโคไซนของมมในรปสามเหลยมมมฉากมอะไรบาง 2. ครแนะนานกเรยนเกยวกบการใชงานของคาสงตางๆ ทใชในกจกรรมท 1.1 โดยการสาธตและใหนกเรยนปฏบตตาม 3. ครเปดโอกาสใหนกเรยนถามสงทไมเขาใจเกยวกบการใชงานของคาสงตางๆ 4. ครใหนกเรยนเปดชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต ใน หนวยท 1 พรอมทงแจกเอกสารใบกจกรรมท 1.1 แลวใหนกเรยนอานจดมงหมายของการเรยนการสอน เพอใหนกเรยนเขาใจจดมงหมายทแทจรง 5. ใหนกเรยนทากจกรรมท 1.1 โดยใชคอมพวเตอร และครใชกจกรรมเปนเครองมอในการสอน โดยใหนกเรยนไดปฏบตกจกรรมตามไปดวย สงทสาคญคอครจะตองชแจง และแนะนานกเรยนใหปฏบตกจกรรมไดอยางถกตอง แลวตอบคาถามลงในใบกจกรรมท 1.1

6. เมอนกเรยนปฏบตกจกรรมท 1.1 และทาใบกจกรรมท 1.1 เสรจแลวครสมถามนกเรยนในหองเรยน 1 คน ออกมาอธบายสงทนกเรยนไดจากการทากจกรรมท 1.1 ทางคอมพวเตอร

7. ครสรปสงทนกเรยนไดจากกจกรรมท 1.1 เพอใหนกเรยนไดแนวคดทเปนไปในทศทางเดยวกนทงหมด 6. การวดผลและการประเมนผลการเรยนร

การวด การประเมนผล เครองมอวด

- สงเกตจากการปฏบตตามใบ กจกรรมท 1.1 - สงเกตการใหเหตผล และ การอภปราย

- ทาใบกจกรรมท 1.1 ไดถกตอง - ตอบคาถามไดถกตอง

- ใบกจกรรมท 1.1

137

หนวยท 1 ทบทวนความรเดมเรองอตราสวนตรโกณมต แผนการจดการเรยนรท 2

วชา คณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง การวดมม จานวน 1 คาบ

1. สาระสาคญ

การวดมม ในการวดมม หนวยของมมทเกดจากการวดจะม 2 ลกษณะ 1. หนวยของมมเปนองศา 2. หนวยของมมเปนเรเดยน 1. หนวยของมมเปนองศา

องศา (degree) คอ หนวยวดมมชนดหนงบนระนาบสองมตโดยกาหนดใหมม ทเกดขนจากการหมนแขนขางหนงของมมครบหนงรอบ มคาเทากบ 360 องศา ซงหนงองศา แทนการกวาดมมรอบจดศนยกลางของวงกลมไปได 1 สวน ใน 360 สวนและเมอมมนนอางองกบเสนเมอรเดยน องศาจะแสดงใหเหนถงตาแหนงตางๆ บนวงกลมใหญของทรงกลม อยางทมการใชอางองตาแหนงบนโลก ดาวองคาร หรอทรงกลมทองฟา เปนตน สญลกษณทใชแทนองศา คอ "๐" และเปนหนวยเดยวทเวลาเขยนไมตองเวนวรรคระหวางตวเลขกบสญลกษณ เชน 15° แทน มมขนาด 15 องศา ซงหนวยการวดทเปนองศามรปแบบการวด 2 ลกษณะ คอ 1.1 การวดมมในทศทางทวนเขมนาฬกา การวดมมในลกษณะนเหมอนกบการหมนสวนของเสนตรง AC รอบจด A ไปในทศทางทวนเขมนาฬกาจนถงสวนของเสนตรง AB ดงรป เราเรยก สวนของเสนตรง AC วาเปน ดานเรมตน (initial side) ของมม

สวนของเสนตรง AB วาเปน ดานสนสด (terminal side) ของมม

จด A วาเปน จดยอด (vertex) ของมม เรยกมมทเกดขนวา CAB หรอมม A และใชสญลกษณ BAC หรอ A

138

1.2 การวดมมในทศทางตามเขมนาฬกา การวดมมในลกษณะนเหมอนกบการหมนสวนของเสนตรง AC รอบจด A ไปในทศทางตามเขมนาฬกาจนถงสวนของเสนตรง AD ดงรป

เราเรยก สวนของเสนตรง AC วาเปน ดานเรมตน (initial side) ของมม

สวนของเสนตรง AD วาเปน ดานสนสด (terminal side) ของมม

จด A วาเปน จดยอด (vertex) ของมม เรยกมมทเกดขนวา CAD หรอมม A และใชสญลกษณ DAC หรอ A ในการบอกทศทางของการวดมมนน เราจะใชเครองหมายเปนตวบงบอกถงทศทางของการวด ซงเปนขอตกลงทมกนมาชานาน เชน °−= 45A ถามเครองหมายลบ แสดงวา วดในทศทางตามเขมนาฬกา และ ขนาดของมมเทากบ °45 °= 45A ถาไมมเครองหมายลบ แสดงวา วดในทศทางทวนเขมนาฬกา และ ขนาดของมมเทากบ °45 หนวยทเปนองศานนยงสามารถแบงเปนหนวยยอยๆ ไดอกดงน 1 องศา เทากบ 60 ลปดา (minute) เขยนไดดงน

061 ′=° 1 ลปดา เทากบ 60 พลปดา (second) เขยนไดดงน

061 ′′=′ 2. หนวยของมมเปนเรเดยน หนวยการวดมม 1 เรเดยน (radian) คอ มมทศนยกลางของวงกลมซงรองรบสวนโคงของวงกลมทมความยาวเทากบรศมของวงกลมนน ใชสญลกษณ “rad” หรออกษร c ตวเลกทยกสงขน(มาจาก circular measure) ซงมกไมนยมใชมากเทาทควร ตวอยางเชน มมขนาด 1.2 เรเดยน สามารถเขยนไดเปน “1.2 rad” หรอ “ c1.2 ”

139

ให C เปนวงกลมทม O เปนจดศนยกลาง และรศมเทากบ r ดงรป จากรป θ เปนมมทจดศนยกลางของวงกลมทมรศม r หนวย (ในทน r = 1 หนวย)ซงมสวนโคงของวงกลมทยาว a หนวย รองรบมม ดงกลาว ถาเราตองการวดมม θ หรอมม BOA ใหมหนวยเปนเรเดยน เราสามารถกระทาดงน

θ = = ra เรเดยน

จากการนยาม หนวยของมมในระบบเรเดยน จะไดวา เพอความสะดวกในการเปรยบเทยบ เราจะพจารณาในกรณทความยาวของ a เทากบความยาวเสนรอบวง นนคอ a = πr2

ดงนน θ = π2rπr2

= เรเดยน

แตเนองจากในทนเรากาหนดใหวงกลมมรศม r = 1 ดงนนเราสามารถสรปไดทนทเลยวา “มมทจดศนยกลางของวงกลมทมรศมหนงหนวย ซงรองรบสวนโคงของวงกลมทยาว a หนวย จะมขนาดเทากบ a เรเดยน หรอ θ = a เรเดยน นนเอง” จากขางตนน เราสามารถนามาสรปได ดงน ( π ≈ 3.14159) 360 องศา เทยบเทากบ π2 เรเดยน หรอ 180 องศา เทยบเทากบ π เรเดยน

ดงนน 1 องศา เทยบเทากบ 180π เรเดยน ≈ 0.01745 เรเดยน

และ 1 เรเดยน เทยบเทากบ π

180 องศา ≈ 57.295๐ หรอ 57๐18′

มมทขนาด 1 เรเดยน คอ มมทจดศนยกลางของวงกลมซงรองรบสวนโคงของวงกลมทยาวเทากบรศมของวงกลมนน

140

ปจจบนนเรเดยนเปนหนวยพนฐานของการวดมมในวชาคณตศาสตร และสญลกษณ "rad" มกจะถกละไวในการเขยน นพจนทางคณตศาสตรตางๆ เมอใชหนวยองศาจะใชสญลกษณวงกลมเลก ° เพอใหเหนความแตกตางระหวางองศากบเรเดยน 2. จดประสงคการเรยนร ดานความร 1. นกเรยนสามารถบอกความแตกตางของหนวยการวดไดอยางถกตอง 2. นกเรยนสามารถเปรยบเทยบหนวยการวดทเปนองศากบเรเดยนไดอยางถกตอง

ดานทกษะ/กระบวนการ 1. มความสามารถในการใหเหตผล 2. มความสามารถในการสอสาร และนาเสนอ

ดานคณลกษณะ 1. มความสนใจและกระตอรอรนในการเรยนและการทางาน 2. มความรบผดชอบตอการทางานทไดรบมอบหมาย 3. มความเชอมนในตนเอง และกลาแสดงความคดเหน

3. สาระการเรยนร ในการวดมม หนวยของมมทเกดจากการวดจะม 2 ลกษณะ

1. หนวยของมมเปนองศา 2. หนวยของมมเปนเรเดยน

1. หนวยของมมเปนองศา องศา (degree) คอ หนวยวดมมชนดหนงบนระนาบสองมตโดยกาหนดใหมมท

เกดขนจากการหมนแขนขางหนงของมมครบหนงรอบ มคาเทากบ 360 องศา สญลกษณทใชแทนองศา คอ "๐" และเปนหนวยเดยวทเวลาเขยนไมตองเวนวรรคระหวางตวเลขกบสญลกษณ เชน 15° แทน มมขนาด 15 องศา ซงหนวยการวดทเปนองศามรปแบบการวด 2 ลกษณะ คอ 1. การวดมมในทศทางทวนเขมนาฬกา 2. การวดมมในทศทางตามเขมนาฬกา

2. หนวยของมมเปนเรเดยน หนวยการวดมม 1 เรเดยน (radian) คอ มมทศนยกลางของวงกลมซงรองรบสวนโคงของวงกลมทมความยาวเทากบรศมของวงกลมนน ใชสญลกษณ “rad” หรออกษร c ตวเลกทยกสงขน(มาจาก circular measure) ซงมกไมนยมใชมากเทาทควร ตวอยางเชน มมขนาด 1.2 เรเดยน สามารถเขยนไดเปน “1.2 rad” หรอ “ c1.2 ”

141

4. สอการเรยนร/แหลงการเรยนร 1. แฟมคาสง/คอมพวเตอร 2. ใบกจกรรมท 1.2 เรองทบทวนความรเดมเกยวกบการวดมม 3. หนงสอเรยนวชาคณตศาสตรเพมเตม 5. กจกรรมการเรยนร

1. ครถามทบทวนนกเรยนวานกเรยนรจกหนวยของการวดมมอะไรบาง 2. ครอธบายถงเนอหาทจะสอนอยางคราวๆ กอนแลวจงใหนกเรยนทากจกรรมในคอมพวเตอร

โดยครกลาววา การวดมมทนกเรยนจะเรยนในระดบนมดวยกน 2 ประเภท คอ

- การวดมมทมหนวยเปนองศา - การวดมมทมหนวยเปนเรเดยน 3. ครใหนกเรยนเปดกจกรรมท 1.2 ในเครองคอมพวเตอร พรอมทงแจกใบกจกรรมท 1.2 4. ครใหนกเรยนทาการศกษาการวดมมทมหนวยเปนองศาโดยนกเรยนจะตองใชกจกรรม

คอมพวเตอรหนวยท 1 เรองการวดมม ซงนกเรยนสามารถทาการหมนและเคลอนไหวภาพไดดวยตวเอง โดยครใหนกเรยนทาการสงเกตลกษณะของมมทมการหมนในทศทางทวนเขมนาฬกาและการหมนในทศทางตามเขมนาฬกาวามลกษณะแตกตางกนอยางไร แลวใหนกเรยนเตมคาตอบลงในใบกจกรรม

5. เมอนกเรยนทาการศกษาการวดมมทมหนวยเปนองศาเสรจแลว กใหนกเรยนทากจกรรมการวดมมทมหนวยเปนเรเดยนตอ

6. ครถามนกเรยนวาการวดมมทมหนวยเปนองศากบการวดมมทมหนวยเปนเรเดยนนนแตกตางกนอยางไร แลวครทาการสรป

7. ครใหนกเรยนทาแบบฝกหดเรองการเปรยบเทยบหนวยการวดทมอยในใบกจกรรมท 1.2 ถานกเรยนทาภายในหองไมเสรจกใหกลบไปทาตอเปนการบาน

6. การวดผลและการประเมนผลการเรยนร

การวด การประเมนผล เครองมอวด

- สงเกตจากการปฏบตตามใบ กจกรรม - สงเกตการณใหเหตผล และ การอภปราย

- ทาใบกจกรรมท 1.2 ได ถกตอง - ตอบคาถามไดถกตอง

- ใบกจกรรมท 1.2

142

หนวยท 2 วงกลมหนงหนวยและความยาวสวนโคง แผนการจดการเรยนรท 3

วชา คณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง วงกลมหนงหนวยและความยาวสวนโคง จานวน 1 คาบ

1. สาระสาคญ

วงกลมหนงหนวย วงกลมหนงหนวย (unit circle) หมายถง วงกลมทมจดศนยกลางทจดกาเนด และมรศมยาว 1 หนวย ซงวงกลมนเปนกราฟของความสมพนธ

{(x,y) ∈ R x R | x2 + y2 = 1}

เมอกาหนดจานวนจรง θ (theta อานวา ท-ตา) ให จากจด (1, 0) วดระยะไปตามสวนโคง

ของวงกลมหนงหนวยใหยาว | θ | หนวย จะถงจด (x, y) ซงอยบนวงกลมหนงหนวย โดยมขอตกลงสาหรบทศทางของการวดดงน

ถา θ > 0 จะวดสวนโคงจากจด (1, 0) ไปในทศทางทวนเขมนาฬกา

ถา θ < 0 จะวดสวนโคงจากจด (1, 0) ไปในทศทางตามเขมนาฬกา

ถา θ = 0 จดปลายสวนโคงคอจด (1, 0)

θ > 0 θ < 0 รปตอไปนแสดงตาแหนงของจดปลายสวนโคงของวงกลมหนงหนวยเมอกาหนดใหมคาตางๆ กน ดงรป

143

จะเหนวา เมอกาหนดจานวนจรง θ ให จะสามารถหาจด (x, y) ซงเปนจดปลายสวนโคงทยาว |

θ | หนวยไดเสมอ ไมวา θ จะเปนจานวนเทาใดไดเพยงจดเดยวเทานน ถา | θ | > 2π แสดงวา วดสวน

โคงเกน 1 รอบ เพราะเสนรอบวงของ วงกลมหนงหนวย ยาว 2π เรเดยน

*ขอสงเกต* มมทจดศนยกลางของวงกลมซงรองรบดวยสวนโคงของวงกลมทยาวเทากบรศมของวงกลมนน เปนมมทมขนาดเทากบ 1 เรเดยน ดงรปตอไปน

จากรปวงกลมมรศมยาว r หนวย ความยาวสวนโคงยาว r หนวย จะเรยก θ วามมทมขนาด 1 เรเดยน

144

ระยะทางและการวดระยะทาง ในทนจะใหนกเรยนไดฝกวดความยาวสวนโคง หรอ ศกษาเสนรอบวงแลวพจารณาวา จดปลายสวนโคงนนอยตรงไหน กอนอนใหพจารณาวงกลมหนงหนวยวาแบงไดกสวนเพอพจารณาความยาวของเสนรอบวง เนองจากวงกลมหนงหนวยมรศม 1 หนวย (r = 1) ดงนน

ความยาวของเสนรอบวง = 2π เรเดยน จากรปถาแบงวงกลมออกเปน 4 สวน ดงน

หนงสวนสของความยาวของเสนรอบวง = π241× =

2π เรเดยน

สองสวนสของความยาวของเสนรอบวง = π242× = π เรเดยน

สามสวนสของความยาวของเสนรอบวง = π243× =

2π3 เรเดยน

สสวนสของความยาวของเสนรอบวง = π244× = π2 เรเดยน

หลงจากพจารณาในรปวงกลมหนงหนวยขางตนแลว เราจะเหนวาแตละสวนของความยาวของเสนรอบวงเทากบเทาไร ตอไปนเราจะทาการศกษาระยะทางและจดปลายของสวนโคง

กรณท 1 ความยาวสวนโคงเปนจานวนเทาของ π (จดปลายของสวนโคงจะตกลงบนแกน x) กรณน แบงวงกลมออกเปน 2 สวนเทาๆ กน โดยใชแกน x เปนตวแบงวงกลม ซงความยาวสวน

โคงของครงวงกลมกคอ π เรเดยน แลวพจารณาจดปลายของสวนโคงทตกลงบนแกน x ดงน

145

พจารณา θ > 0 จะวดสวนโคงจากจด A(1, 0) ไปในทศทางทวนเขมนาฬกา เรยกจด (x, y) วา

เปนจดปลายสวนโคงทมความยาวสวนโคง π เรเดยน เขยนแทนดวย p(θ) = (x, y) ดงรป

วดความยาวสวนโคงในทศทางทวนเขมนาฬกาจากจด A ไปยงจด B ไดระยะทาง π เรเดยน

จากจด B วดความยาวสวนโคงตอไปยงจด C ไดระยะทางจาก A ถง C เทากบ 2π เรเดยน

และ จากจด C วดความยาวสวนโคงตอไปยงจด D ไดระยะทางจาก A ถง D เทากบ 3π เรเดยน

และ จากจด D วดความยาวสวนโคงตอไปยงจด E ไดระยะทางจาก A ถง E เทากบ 4π เรเดยน

ในทานองเดยวกน เรากสามารถวดความยาวสวนโคงเมอ θ < 0 แตในทศทางตามเขมนาฬกา ไดดงน

วดความยาวสวนโคงในทศทางตามขมนาฬกาจากจด A ไปยงจด B ไดระยะทาง - π เรเดยน

จากจด B วดความยาวสวนโคงตอไปยงจด C ไดระยะทางจาก A ถง C เทากบ - 2π เรเดยน

และ จากจด C วดความยาวสวนโคงตอไปยงจด D ไดระยะทางจาก A ถง D เทากบ - 3π เรเดยน

และ จากจด D วดความยาวสวนโคงตอไปยงจด E ไดระยะทางจาก A ถง E เทากบ - 4π เรเดยน ขอสงเกต ไมวาจะวดความยาวสวนโคงในทศทางทวนเขมนาฬกาหรอตามเขมนาฬกา จดปลายสวนโคง

ทตกลงบนแกนบวก X จะเปนจานวนเตมคของ π และจดปลายสวนโคงทตกลงบนแกนลบ X จะเปน

จานวนเตมคของ π เสมอ เราสามารถสรป จดปลายของสวนโคงทตกลงบนแกน X ใหอยในรปทวไป ไดดงน

จดปลายของสวนโคงทตกลงบนแกนบวก X คอ 2nπ เมอ n เปนจานวนเตม

จดปลายของสวนโคงทตกลงบนแกนลบ X คอ (2n – 1)π เมอ n เปนจานวนเตม

146

กรณท 2 ความยาวสวนโคงเปนจานวนเทาของ 2π (จดปลายสวนโคงตกลงบนแกน y)

กรณน แบงวงกลมออกเปน 4 สวนเทากนโดยใชแกน x กบแกน y เปนตวแบงวงกลมหนง

หนวย ซงความยาวสวนโคงของแตละสวนใน 4 สวน กคอ 2π เรเดยน

พจารณา θ > 0 จะวดสวนโคงจากจด A(1, 0) ไปในทศทางทวนเขมนาฬกา เรยกจด (x, y) วา

เปนจดปลายสวนโคงทยาว 2π หนวย เขยนแทนดวย P(θ) = (x, y) ดงรป

วดความยาวสวนโคงจากจด A ไปยงจด B ความยาวสวนโคงเทากบ 2π เรเดยน

และ วดความยาวสวนโคงจากจด B ตอไปยงจด C ความยาวสวนโคงจาก A ถง C เทากบ 2π3 เรเดยน

และ วดความยาวสวนโคงจากจด C ตอไปยงจด D ความยาวสวนโคงจาก A ถง D เทากบ 2π5 เรเดยน

และ วดความยาวสวนโคงจากจด D ตอไปยงจด E ความยาวสวนโคงจาก A ถง E เทากบ 2π7 เรเดยน

ในทานองเดยวกน เรากสามารถวดความยาวสวนโคงเมอ θ < 0 แตในทศทางตามเขมนาฬกา ไดดงน

วดความยาวสวนโคงจากจด A ไปยงจด C ความยาวสวนโคงเทากบ 2π

− เรเดยน

และ วดความยาวสวนโคงจากจด C ตอไปยงจด B ความยาวสวนโคงจาก A ถง B เทากบ 2π3

− เรเดยน

และ วดความยาวสวนโคงจากจด B ตอไปยงจด E ความยาวสวนโคงจาก A ถง E เทากบ 2π5

− เรเดยน

และ วดความยาวสวนโคงจากจด E ตอไปยงจด D ความยาวสวนโคงจาก A ถง D เทากบ 2π7

− เรเดยน

147

ขอสงเกต ใหนกเรยนจดจานวนเทาของ 2π อยในรปจานวนคละ คอ จานวนเตม π บวกหรอลบ

ดวย 2π ดงน

2πα = nπ +

2π โดยท n เปนจานวนเตม

เมอพจารณาเทอม nπ จะสามารถตอบไดทนทวาจดปลายสวนโคงนนตกทแกน X ใด

จากนนกบวกหรอลบดวย 2π นกเรยนกจะไดจดปลายสวนโคงทตกทแกนบวก Y หรอแกนลบ Y ได

อยางแนนอน 2. จดประสงคการเรยนร ดานความร 1. นกเรยนสามารถบอกนยามของวงกลมหนงหนวยไดอยางถกตอง

2. นกเรยนสามารถวดความยาวสวนโคงไดอยางถกตอง 3. นกเรยนสามารถบอกตาแหนงของจดปลายสวนโคงไดอยางถกตอง

ดานทกษะ/กระบวนการ 1. มความสามารถในการใหเหตผล 2. มความสามารถในการสอสาร และนาเสนอ

ดานคณลกษณะ 1. มความสนใจและกระตอรอรนในการเรยนและการทางาน 2. มความรบผดชอบตอการทางานทไดรบมอบหมาย 3. มความเชอมนในตนเอง และกลาแสดงความคดเหน

3. สาระการเรยนร วงกลมหนงหนวย

วงกลมหนงหนวย (The unit circle) หมายถง วงกลมทมจดศนยกลางทจดกาเนด และมรศมยาว 1 หนวย ซงวงกลมนเปนกราฟของความสมพนธ

{(x,y) ∈ R x R | x2 + y2 = 1} ระยะทางและการวดระยะทาง

ในทนจะใหนกเรยนไดฝกวดความยาวสวนโคง หรอ ศกษาเสนรอบวงแลวพจารณาวา จดปลายสวนโคงนนอยตรงไหน กอนอนใหพจารณาวงกลมหนงหนวยวาแบงไดกสวนเพอพจารณาความยาวของเสนรอบวง

148

เนองจากวงกลมหนงหนวยมรศม 1 หนวย (r = 1) ดงนน

ความยาวของเสนรอบวง = 2π เรเดยน จากรปถาแบงวงกลมออกเปน 4 สวน ดงน

หนงสวนสของความยาวของเสนรอบวง = π241× =

2π เรเดยน

สองสวนสของความยาวของเสนรอบวง = π242× = π เรเดยน

สามสวนสของความยาวของเสนรอบวง = π243× =

2π3 เรเดยน

สสวนสของความยาวของเสนรอบวง = π244× = π2 เรเดยน

กรณท 1 ความยาวสวนโคงเปนจานวนเทา π (จดปลายของสวนโคงจะตกลงบนแกน X) กรณน แบงวงกลมออกเปน 2 สวนเทาๆ กน โดยใชแกน x เปนตวแบงวงกลม ซง

ความยาวสวนโคงของครงวงกลมกคอ π เรเดยน

กรณท 2 ความยาวสวนโคงเปนจานวนเทาของ 2π (จดปลายสวนโคงตกลงบนแกน y)

กรณน แบงวงกลมออกเปน 4 สวนเทากนโดยใชแกน x กบแกน y เปนตวแบง

วงกลมหนงหนวย ซงความยาวสวนโคงของแตละสวนใน 4 สวน กคอ 2π เรเดยน

4. สอการเรยนร/แหลงการเรยนร 1. แฟมคาสง/คอมพวเตอร 2. ใบกจกรรมท 2.1 เรองวงกลมหนงหนวย และ 2.2 เรองความยาวสวนโคงกรณท 1–2 3. หนงสอเรยนวชาคณตศาสตรเพมเตม

149

5. กจกรรมการเรยนร 1. ครถามทบทวนนกเรยนเรองวงกลม ทนกเรยนเคยไดเรยนในชนมธยมศกษาปท 3 โดย

ครถามวา - วงกลมคออะไร มสมการในรปแบบใด (ใหนกเรยนตอบ) - วงกลมมพนทเทาไร และความยาวรอบรปวงกลมยาวเทาไร (ใหนกเรยนตอบ) 2. ครใหนกเรยนเปดกจกรรมหนวยท 2 แลวเลอกทกจกรรม เรองวงกลมหนงหนวย พรอมทง

แจกใบกจกรรมท 2.1 เรองวงกลมหนงหนวย ใหนกเรยน 3.ครใหนกเรยนทาการสรางวงกลมโดยมยาวเทาใดกไดตามความตองการของนกเรยน โดยใช

โปรแกรมคอมพวเตอร และใหนกเรยนทาการสงเกตสมการของวงกลมทนกเรยนสราง 4. ครถามวาจากการทนกเรยนไดทาการสรางวงกลม นกเรยนคดวาวงกลมหนงหนวยคออะไร

มสมการอยางไร แลวใหนกเรยนตอบคาถามลงในใบกจกรรมท 2.1 5. ครใหนกเรยนทาการศกษากจกรรมหนวยท 2 จากคอมพวเตอรเรองความยาวสวนโคง

โดยใหนกเรยนทาการศกษากรณท 1 พรอมทงแจกใบกจกรรมท 2.2 ซงการศกษากรณท 1 นนคร

ถามนกเรยนวาเนองจากวงกลมหนงหนวยนนมความยาวสวนโคงเทากบ 2π ถาเราทาการแบงออกเปน 2 สวนเทาๆ กนจะไดความยาวสวนโคงแตละสวนยาวเทาไร และจดตดทเกดบนแกน X นนมกจด(ใหนกเรยนตอบ) จากนนกใหนกเรยนทาการวดความยาวสวนโคงแลวใหนกเรยนสงเกตตาแหนงทจดปลายสวนโคงวาตกอยในแกน X ดานใด แลวสรป

6. ครใหนกเรยนทาการศกษากจกรรมหนวยท 2 จากคอมพวเตอรเรองความยาวสวนโคง โดยใหนกเรยนทาการศกษากรณท 2 พรอมทงแจกใบกจกรรมท 2.2 ซงการศกษากรณท 2 นนคร

ถามนกเรยนเนองจากวงกลมหนงหนวยนนมความยาวสวนโคงเทากบ 2π ถาเราทาการแบง ออกเปน 4 สวนเทาๆ กนจะไดความยาวสวนโคงแตละสวนยาวเทาไร และจดตดทเกดบนแกน X และแกน Y นนมกจด(ใหนกเรยนตอบ) จากนนกใหนกเรยนทาการวดความยาวสวนโคงแลวใหนกเรยนสงเกตตาแหนงทจดปลายสวนโคงวาตกอยในแกน X หรอแกน Y ดานใด แลวสรป

6. การวดผลและการประเมนผลการเรยนร

การวด การประเมนผล เครองมอวด

- สงเกตจากการปฏบตตามใบ กจกรรม - สงเกตการใหเหตผล และ การอภปราย

- ทาใบกจกรรมท 2.1 ได ถกตอง - ทาใบกจกรรมท 2.2 ได ถกตอง - ตอบคาถามไดถกตอง

- ใบกจกรรมท 2.1 - ใบกจกรรมท 2.2

150

หนวยท 2 วงกลมหนงหนวยและความยาวสวนโคง แผนการจดการเรยนรท 4

วชา คณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความยาวสวนโคงกรณท 3 และ 4 (ตอ) จานวน 1 คาบ

1. สาระสาคญ

กรณท 3 ความยาวสวนโคงเปนจานวนเทาของ 4π

กรณนแบงวงกลมหนงหนวยออกเปน 8 สวนเทาๆ กน ซงความยาวสวนโคงในแตละสวน

เทากบ 4π เรเดยน เนองจากจดปลายของสวนโคงจะไมตกอยบนแกน X และแกน Y ดงนนเรา

จาเปนตองหาพกดของจดเสยกอน สมมตพกด C = (x, y) ซงเปนจดแบงครงของสวนโคง AG จะได ความยาวคอรด AC = ความยาวคอรด CG

( ) ( )22 01 −+− yx = ( ) ( )22 10 −+− yx ยกกาลง 2 ทงสองขาง พรอมทงกระจายกาลง 2 ออกมา 22 12 yxx ++− = 1222 +−+ yyx x = y ……………………… (1) และจด C(x, y) อยบนวงกลมทมสมการ เปน x2 + y2 = 1 ……………………… (2)

แทน y = x ลงในสมการท (2) จะได x2 + x2 = 1 2 x2 = 1

x2 = 21

151

x = 2

1±

แตเนองจาก C (x, y) อยในจตภาคท 1 ดงนน x เปนคาบวก

x = 2

1 7071.0≈

พกด C = (2

1 ,2

1 )

นอกจากนเรายงสามารถหาพกดของจดทสมมาตรกบจด C ไดอก 3 จด คอ D ( -2

1 , 2

1 ) ,

E ( -2

1 , -2

1 ) และ F ( 2

1 , - 2

1 )

จากขางตนจะเหนวาเราสามารถหาพกดของจดไดเปนทเรยบรอยแลว ตอมาเราจะมาหาจดปลาย

ของสวนโคงทเปนจานวนเทาของ 4π

พจารณา θ > 0 จะวดสวนโคงจากจด A(1, 0) ไปในทศทางทวนเขมนาฬกา เรยกจด (x, y) วา

เปนจดปลายสวนโคงทยาว 4π เรเดยน เขยนแทนดวย p(θ) = (x, y) ดงรป

จากจด A วดความยาวสวนโคงไปยงจดปลายสวนโคงท C ไดความยาวสวนโคงเทากบ 4π เรเดยน

และตอ จากจด C วดความยาวสวนโคงไปยงจดปลายสวนโคงท D ไดความยาวสวนโคงเทากบ 4π3

4ππ =− เรเดยน

และตอ จากจด D วดความยาวสวนโคงไปยงจดปลายสวนโคงท E ไดความยาวสวนโคงเทากบ 4π5

4ππ =+ เรเดยน

และตอ จากจด E วดความยาวสวนโคงไปยงจดปลายสวนโคงท F ไดความยาวสวนโคงเทากบ 4π7

4ππ2 =− เรเดยน

ในทานองเดยวกน เรากสามารถวดความยาวสวนโคงเมอ θ < 0 แตในทศทางตามเขมนาฬกา ไดดงน

152

จากจด A วดความยาวสวนโคงไปยงจดปลายสวนโคงท F ไดความยาวสวนโคงเทากบ 4π

4π0 −=− เรเดยน

และตอ จากจด F วดความยาวสวนโคงไปยงจดปลายสวนโคงท E ไดความยาวสวนโคงเทากบ 4π3

4ππ0 −=+− เรเดยน

และตอ จากจด E วดความยาวสวนโคงไปยงจดปลายสวนโคงท D ไดความยาวสวนโคงเทากบ 4π5

4ππ0 −=−− เรเดยน

และตอ จากจด D วดความยาวสวนโคงไปยงจดปลายสวนโคงท C ไดความยาวสวนโคงเทากบ 4π7

4ππ20 −=+− เรเดยน

ขอสงเกต ใหนกเรยนจดจานวนเทาของ 4π อยในรปจานวนคละ คอ จานวนเทาของ π บวกหรอลบ

ดวย 4π ดงน

4πα = nπ +

4π โดยท n เปนจานวนเตม

เมอพจารณาเทอม nπ จะสามารถตอบไดทนทวาจดปลายสวนโคงนนตกทแกน X ใด

จากนนกบวกหรอลบดวย 4π นกเรยนกจะไดจดปลายสวนโคงตกทกงกลางระหวางแกนพกด

กรณท 4 ความยาวสวนโคงเปนจานวนเทาของ 6π และ

3π

กรณนแบงวงกลมหนงหนวย ออกเปน 6 สวนและ 12 สวนเทาๆ กน ซงจะไดความยาวสวน

โคงในแตละสวนเทากบ 3π และ

6π ตามลาดบ เนองจากจดปลายของสวนโคงจะไมตกอยบนแกน X

และแกน Y ดงนนเราจาเปนตองหาพกดของจดเสยกอน การหาพกดของจดนนเราสามารถทาได เชนเดยวกนกบการหาพกดของจดในกรณท 3 ซงเราสามารถหาพกดของจดได ดงน

กรณท 1 ความยาวสวนโคงเทากบ 6π จะไดพกดของจด คอ C = (

23 ,

21 ), D (

23

− ,21 ),

E (23

− ,21

− ) และ F (23 ,

21

− )

กรณท 2 ความยาวสวนโคงเทากบ 3π จะไดพกดของจด คอ C = (

21 ,

23 ), D (

21

− ,23 ),

E (21

− ,23

− ) และ F (21 ,

23

− )

เมอเราไดพกดของจดในแตละกรณแลว ตอไปนเราจะมาพจารณาหาจดปลายของสวนโคง จะมความยาวสวนโคงเทาใด ดงน

153

พจารณากรณท 1 เมอ θ > 0 จะวดสวนโคงจากจด A(1, 0) ไปในทศทางทวนเขมนาฬกา เรยก

จด (x, y) วาเปนจดปลายสวนโคงทยาว 6π เรเดยน เขยนแทนดวย p(θ) = (x, y) ดงรป

จากจด A ไปยงจดปลายสวนโคงท C ไดความยาวสวนโคงเทากบ 6π เรเดยน

จากจด A ไปยงจดปลายสวนโคงท D ไดความยาวสวนโคงเทากบ 6π5

6ππ =− เรเดยน

จากจด A ไปยงจดปลายสวนโคงท E ไดความยาวสวนโคงเทากบ 6π7

6ππ =+ เรเดยน

จากจด A ไปยงจดปลายสวนโคงท F ไดความยาวสวนโคงเทากบ 6π11

6ππ2 =− เรเดยน

ในทานองเดยวกน เรากสามารถวดความยาวสวนโคงเมอ θ < 0 แตในทศทางตามเขมนาฬกา ไดดงน

จากจด A ไปยงจดปลายสวนโคงท F ไดความยาวสวนโคงเทากบ 6π

6π0 −=− เรเดยน

จากจด A ไปยงจดปลายสวนโคงท E ไดความยาวสวนโคงเทากบ 6π5

6ππ0 −=+− เรเดยน

จากจด A ไปยงจดปลายสวนโคงท D ไดความยาวสวนโคงเทากบ 6π7

6ππ0 −=−− เรเดยน

จากจด A ไปยงจดปลายสวนโคงท C ไดความยาวสวนโคงเทากบ 6π11

6ππ20 −=+− เรเดยน

ขอสงเกต ใหนกเรยนจดจานวนเทาของ 6π อยในรปจานวนคละ คอ จานวนเทาของ π บวกหรอลบ

ดวย 6π ดงน

6πα = nπ +

6π โดยท n เปนจานวนเตม

เมอพจารณาเทอม nπ จะสามารถตอบไดทนทวาจดปลายสวนโคงนนตกทแกน X ใด

จากนนกบวกหรอลบดวย 6π นกเรยนกจะไดจดปลายสวนโคงตกบนบรเวณระหวางแกนพกด

154

พจารณากรณท 2 เมอ θ > 0 จะวดสวนโคงจากจด A(1, 0) ไปในทศทางทวนเขมนาฬกา เรยก

จด (x, y) วาเปนจดปลายสวนโคงทยาว 3π เรเดยน เขยนแทนดวย p(θ) = (x, y) ดงรป

จากจด A ไปยงจดปลายสวนโคงท C ไดความยาวสวนโคงเทากบ 3π เรเดยน

จากจด A ไปยงจดปลายสวนโคงท D ไดความยาวสวนโคงเทากบ 3π2

3ππ =− เรเดยน

จากจด A ไปยงจดปลายสวนโคงท E ไดความยาวสวนโคงเทากบ 3π4

3ππ =+ เรเดยน

จากจด A ไปยงจดปลายสวนโคงท F ไดความยาวสวนโคงเทากบ 3π5

3ππ2 =− เรเดยน

ในทานองเดยวกน เรากสามารถวดความยาวสวนโคงเมอ θ < 0 แตในทศทางตามเขมนาฬกา ไดดงน

จากจด A ไปยงจดปลายสวนโคงท F ไดความยาวสวนโคงเทากบ 3π

3π0 −=− เรเดยน

จากจด A ไปยงจดปลายสวนโคงท E ไดความยาวสวนโคงเทากบ 3π2

3ππ0 −=+− เรเดยน

จากจด A ไปยงจดปลายสวนโคงท D ไดความยาวสวนโคงเทากบ 3π4

3ππ0 −=−− เรเดยน

จากจด A ไปยงจดปลายสวนโคงท C ไดความยาวสวนโคงเทากบ 3π5

3ππ20 −=+− เรเดยน

ขอสงเกต ใหนกเรยนจดจานวนเทาของ 3π อยในรปจานวนคละ คอ จานวนเทาของ π บวกหรอลบ

ดวย 3π ดงน

3πα = nπ +

3π โดยท n เปนจานวนเตม

เมอพจารณาเทอม nπ จะสามารถตอบไดทนทวาจดปลายสวนโคงนนตกทแกน X ใด

จากนนกบวกหรอลบดวย 3π นกเรยนกจะไดจดปลายสวนโคงตกบนบรเวณระหวางแกนพกด

155

2. จดประสงคการเรยนร ดานความร

1. นกเรยนสามารถวดความยาวสวนโคงไดอยางถกตอง 2. นกเรยนสามารถบอกตาแหนงของจดปลายสวนโคงไดอยางถกตอง

ดานทกษะ/กระบวนการ 1. มความสามารถในการใหเหตผล 2. มความสามารถในการสอสาร และนาเสนอ

ดานคณลกษณะ 1. มความสนใจและกระตอรอรนในการเรยนและการทางาน 2. มความรบผดชอบตอการทางานทไดรบมอบหมาย 3. มความเชอมนในตนเอง และกลาแสดงความคดเหน

3. สาระการเรยนร

กรณท 3 ความยาวสวนโคงเปนจานวนเทาของ 4π

กรณนแบงวงกลมหนงหนวยออกเปน 8 สวนเทาๆ กน ซงความยาวสวนโคงในแตละ

สวนเทากบ 4π เรเดยน

กรณท 4 ความยาวสวนโคงเปนจานวนเทาของ 3π และ

6π

กรณนแบงวงกลมหนงหนวย ออกเปน 6 สวนและ 12 สวนเทาๆ กนตามลาดบ ซงจะได

ความยาวสวนโคงในแตละสวนเทากบ 3π และ

6π ตามลาดบ

4. สอการเรยนร/แหลงการเรยนร 1. แฟมคาสง/คอมพวเตอร 2. ใบกจกรรมท 2.3 เรองความยาวสวนโคงในกรณท 3–4 3. หนงสอเรยนวชาคณตศาสตรเพมเตม

156

5. กจกรรมการเรยนร 1. ครถามทบทวนความรเดมของนกเรยนเรองความยาวสวนโคงกรณท 1-2 ในคาบทแลว 2. ครใหนกเรยนทาการศกษากจกรรมหนวยท 2 จากคอมพวเตอรเรองความยาวสวนโคงโดยให

นกเรยนทาการศกษากรณท 3 พรอมทงแจกใบกจกรรมท 2.3 ซงการศกษากรณท 3 นนครถามนกเรยน

เนองจากวงกลมหนงหนวยนนมความยาวสวนโคงเทากบ 2π ถาเราทาการแบงออกเปน 8 สวนเทาๆ กนจะไดความยาวสวนโคงแตละสวนยาวเทาไร และจดตดทเกดบนแกน X นนมกจด(ใหนกเรยนตอบ) จากนนกใหนกเรยนทาการวดความยาวสวนโคงแลวใหนกเรยนสงเกตตาแหนงทจดปลายสวนโคงวาตกอยในแกน X ดานใด แลวสรป

3. ครใหนกเรยนทาการศกษากจกรรมหนวยท 2 จากคอมพวเตอรเรองความยาวสวนโคงโดยใหนกเรยนทาการศกษากรณท 4 พรอมทงแจกใบกจกรรมท 2.3 ซงการศกษากรณท 4 นนครถามนกเรยน

เนองจากวงกลมหนงหนวยนนมความยาวสวนโคงเทากบ 2π ถาเราทาการแบงออกเปน 12 สวนเทาๆ กนจะไดความยาวสวนโคงแตละสวนยาวเทาไร ซงในกรณท 4 ครถามนกเรยนวาถาเราจะแบงวงกลมใหเปน 12 สวน เราตองแบงวงกลมออกเปนกสวนกอน (ใหนกเรยนตอบ)

4. ครใหนกเรยนสงเกตจดทเกดขนบนวงกลมทไมไดอยบนแกน X หรอแกน Y ซงครอธบายวาเนองจากจดทเกดขนไมไดตกอยบนแกนพกด ดงนนนกเรยนตองทาการหาพกดของจดนนเสยกอนโดยเรมจากจดทเกดขนเมอแบงวงกลมออกเปน 6 สวนเทาๆ กน จากนนกหาพกดของจดทเกดขนเมอทาการแบงวงกลมออกเปน 12 สวนเทาๆ กน

5. ครใหนกเรยนทาการวดความยาวสวนโคง เพอใหนกเรยนทาการสงเกตตาแหนงของจดปลายสวนโคงทตก และทาการสงเกตเครองหมายของคา x และ คา y วามความแตกตางกนอยางไรเมอความยาวสวนโคงแตกตางกน

6. ครและนกเรยนรวมกนกลาวสรปความร และใหนกเรยนทาแบบฝกหดเพมเตมลงในใบกจกรรมท 2.3 ถาไมเสรจใหนกเรยนกลบไปทาตอเปนการบาน

6. การวดผลและการประเมนผลการเรยนร

การวด การประเมนผล เครองมอวด

- สงเกตจากการปฏบตตามใบ กจกรรม - สงเกตการใหเหตผล และ การอภปราย

- ทาใบกจกรรม 2.3 ได ถกตอง - ตอบคาถามไดถกตอง

- ใบกจกรรมท 2.3

157

หนวยท 3 เรองฟงกชนไซนและโคไซน แผนการจดการเรยนรท 5

วชา คณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน จานวน 1 คาบ

1. สาระสาคญ

ฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน ใหนกเรยนพจารณาวงกลมหนงหนวย โดยทให P(x, y) เปนจดใดๆ บนเสน รอบวงของวงกลมหนงหนวย ดงรป ลากเสน PA ตงฉากกบแกน X ทจด A จากรปจะไดรปสามเหลยมมมฉาก OAP ซงเมอนามาเขยนเปนอตราสวนตรโกณมต จะไดดงน

sin θ = OPPA =

1y = y

cos θ = OPOA =

1x = x

นนคอ x = cos θ และ y = sin θ เนองจาก (x, y) เปนจดใดๆ บนเสนรอบวงของวงกลมหนงหนวย จากความรดงกลาว สามารถสรปไดวา ตวหนาของคอนดบ (x) คอ คา cos θ ตวหลงของคอนดบ (y) คอ คา sin θ แสดงวา ถาเรารจดบนเสนรอบวงของวงกลมหนงหนวยทาใหเรารคา cos θ กบ sin θ ดงรป

158

ตอไปจะพจารณาความรดงกลาวในแงของฟงกชน จากลกษณะการกาหนดจดบนเสนรอบวงดงกลาว นกเรยนจะพบวาทกครงทมการกาหนดคาของ θ มาให เราสามารถหาจด (x, y) ซงเปนจดปลายของสวนโคงทวดตามแนวเสนรอบวงโดยมจดเรมตนทจด (1, 0) ใหยาว θ หนวย ไดเพยงจดเดยวเสมอ หรอจะกลาวอยางงายๆ กคอวา แตละคาของ θ จะทาใหเกดคา x เพยง 1 คา และ คา y เพยง 1 คา จากความเขาใจดงกลาวเราสามารถนามาใชสรางฟงกชนโคไซนและฟงกชนไซน ไดดงน

1. ฟงกชนไซน เนองจากคาแตละคาของ θ จะมคา y เกดขนเพยง 1 คา (ไมม θ ใดเลยททาใหม คา y เกน 1 คา) ดงนนเราจะนยามฟงกชนไซน ดงน บทนยาม ฟงกชนไซน หมายถง ฟงกชน g : R → R ซงนยามวา sine = {(θ , y) ∈R × R | g(θ ) = y}

สญลกษณ ถา (θ , y) ∈sine แลว จะเขยนวา y = sine (θ ) หรอ y = sin θ จากบทนยาม อาจกลาวไดวา ถา g(θ ) = (x, y) แลว sin θ = y เนองจาก g(θ ) = (x, y) เปนจด

บนวงกลมหนงหนวย ดงนน ≤−1 y 1≤ นนคอ ถา θ∈R แลว ≤−1 sin θ 1≤ ดงนน โดเมนของฟงกชนไซน คอ R เรนจของฟงกชนไซน คอ [-1, 1]

2. ฟงกชนโคไซน เนองจากคาแตละคาของ θ จะมคา x เกดขนเพยง 1 คา (ไมม θ ใดเลยททาใหม คา x เกน 1 คา) ดงนนเราจะนยามฟงกชนโคไซน ดงน บทนยาม ฟงกชนโคไซน หมายถง ฟงกชน f : R → R ซงนยามวา cosine = {(θ , x) ∈R × R | f(θ ) = x}

สญลกษณ ถา (θ , x) ∈cosine แลว จะเขยนวา x = cosine (θ ) หรอ x = cos θ

159

3 θ

จากบทนยาม อาจกลาวไดวา ถา f(θ ) = (x, y) แลว cos θ = x เนองจาก f(θ ) = (x, y) เปนจดบนวงกลมหนงหนวย ดงนน ≤−1 x 1≤ นนคอ ถา θ∈R แลว ≤−1 cos θ 1≤ ดงนน

โดเมนของฟงกชนโคไซน คอ R เรนจของฟงกชนโคไซน คอ [-1, 1] จากทฤษฎบททกลาววา p(θ ) = p(θ + 2n π ) เมอ n เปนจานวนเตม แสดงวามจานวนจรง

มากมายทไมเทากน แตใหจดปลายสวนโคงเปนจดเดยวกน ดงนนฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน จง ไมเปนฟงกชนหนงตอหนง เชน

ให 1θ = 0 และ π2θ2 = จะไดวา p( 1θ ) = p( 2θ ) = (1, 0) ดงนน sin 1θ = 0 และ sin 2θ = 0 cos 1θ = 1 และ cos 2θ = 1

ตอไปนเปนการนาความรเกยวกบวงกลมหนงหนวย มาหาคาของฟงกชนไซนและโคไซน ณ จดบนวงกลมหนงหนวยทเราทราบพกด นนคอ เราจะหา f(θ ) เมอ f(θ ) = cos θ และหา g(θ ) เมอ g(θ ) = sin θ จากความรทกลาววา จดทกจดบนวงกลมหนงหนวย ตวหนาของคอนดบคอคาของ cos θ และตวหลงของคอนดบคอ คาของ sin θ ดงนน จากจดบนเสนรอบวงของวงกลมหนงหนวยทเราทราบ เราสามารถหาคา sin θ และ cos θ ณ ตาแหนงตางๆ ไดดงน

เนองจากสมการของวงกลมหนงหนวย คอ 1yx 22 =+ และจากรปขางบนจะเหนวา y = sin θ , x = cos θ ดงนนสงผลให 1θsinθcos 22 =+

160

หมายเหต θcos2 หมายถง (cos θ )(cos θ ) cosθ 2 หมายถง cos ของจานวนจรง θ 2 เชน

2πcos2 หมายถง )

2π(cos )

2π(cos

แต 2)2πcos( หมายถง cos ของจานวนจรง

2

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛π

จากรปวงกลมหนงหนวยขางตน เราสามารถนามาเขยนใหอยในรปตารางไดดงน

ตาแหนงจดปลายสวนโคง เรเดยน องศา

x y 0 o0 1 0

2π o90 0 1

π o180 -1 0

2π3 o270 0 -1

ถาเรานาคา x = cos θ และ y = sin θ มาคานวณตอไปจะไดคาดงตารางตอไปน

หมายเหต ขอควรระวง ถา a ∈R แลว 0a ไมนยาม

มม θ ฟงกชน

o0 (0 เรเดยน) o90 (2π เรเดยน) o180 ( π เรเดยน) o270 (

2π3 เรเดยน)

sin θ 0 1 0 -1 cos θ 1 0 -1 0

tan θ =cosθsinθ 0 ไมนยาม 0 ไมนยาม

cosec θ = sinθ

1 ไมนยาม 1 ไมนยาม -1

sec θ = cosθ

1 1 ไมนยาม -1 ไมนยาม

cot θ = sinθcosθ ไมนยาม 0 ไมนยาม 0

161

2. จดประสงคการเรยนร ดานความร 1. นกเรยนสามารถบอกนยามของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนได 2. นกเรยนสามารถบอกตาแหนงของจดปลายสวนโคงของฟงกชนไซน และฟงกชนโคไซนได 3. นกเรยนสามารถหาโดเมนและเรนจของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนได

ดานทกษะ/กระบวนการ 1. มความสามารถในการใหเหตผล 2. มความสามารถในการสอสาร และนาเสนอ

ดานคณลกษณะ 1. มความสนใจและกระตอรอรนในการเรยนและการทางาน 2. มความรบผดชอบตอการทางานทไดรบมอบหมาย 3. มความเชอมนในตนเอง และกลาแสดงความคดเหน

3. สาระการเรยนร 1. ฟงกชนไซน

เนองจากคาแตละคาของ θ จะมคา y เกดขนเพยง 1 คา (ไมม θ ใดเลยททาใหม คา y เกน 1 คา) ดงนนเราจะนยามฟงกชนไซน ดงน บทนยาม ฟงกชนไซน หมายถง ฟงกชน g : R → R ซงนยามวา sine = {(θ , y) ∈R × R | g(θ ) = y}

สญลกษณ ถา (θ , y) ∈sine แลว จะเขยนวา y = sine (θ ) หรอ y = sin θ จากบทนยาม อาจกลาวไดวา ถา g(θ ) = (x, y) แลว sin θ = y เนองจาก g(θ ) = (x, y) เปนจด

บนวงกลมหนงหนวย ดงนน ≤−1 y 1≤ นนคอ ถา θ∈R แลว ≤−1 sin θ 1≤ ดงนน โดเมนของฟงกชนไซน คอ R เรนจของฟงกชนไซน คอ [-1, 1] 2. ฟงกชนโคไซน

เนองจากคาแตละคาของ θ จะมคา x เกดขนเพยง 1 คา (ไมม θ ใดเลยททาใหม คา x เกน 1 คา) ดงนนเราจะนยามฟงกชนโคไซน ดงน บทนยาม ฟงกชนโคไซน หมายถง ฟงกชน f : R → R ซงนยามวา cosine = {(θ , x) ∈R × R | f(θ ) = x}

162

สญลกษณ ถา (θ , x) ∈cosine แลว จะเขยนวา x = cosine (θ ) หรอ x = cos θ จากบทนยาม อาจกลาวไดวา ถา f(θ ) = (x, y) แลว cos θ = x เนองจาก f(θ ) = (x, y) เปนจด

บนวงกลมหนงหนวย ดงนน ≤−1 x 1≤ นนคอ ถา θ∈R แลว ≤−1 cos θ 1≤ ดงนน โดเมนของฟงกชนโคไซน คอ R เรนจของฟงกชนโคไซน คอ [-1, 1] จากทฤษฎบททกลาววา p(θ ) = p(θ + 2n π ) เมอ n เปนจานวนเตม แสดงวามจานวนจรง

มากมายทไมเทากน แตใหจดปลายสวนโคงเปนจดเดยวกน ดงนนฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน จง ไมเปนฟงกชนหนงตอหนง เชน

ให 1θ = 0 และ π2θ2 = จะไดวา p( 1θ ) = p( 2θ ) = (1, 0) ดงนน sin 1θ = 0 และ sin 2θ = 0 cos 1θ = 1 และ cos 2θ = 1

ตอไปนเปนการนาความรเกยวกบวงกลมหนงหนวย มาหาคาของฟงกชนไซนและโคไซน ณ จดบนวงกลมหนงหนวยทเราทราบพกด นนคอ เราจะหา f(θ ) เมอ f(θ ) = cos θ และหา g(θ ) เมอ g(θ ) = sin θ

4. สอการเรยนร/แหลงการเรยนร 1. แฟมคาสง/คอมพวเตอร 2. ใบกจกรรมท 3 เรองฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน 3. หนงสอเรยนวชาคณตศาสตรเพมเตม 5. กจกรรมการเรยนร 1. ครทบทวนนกเรยนเกยวกบการนยามไซนและโคไซนโดยใชอตราสวนความยาวดานของรปสามเหลยมมมฉากทนกเรยนไดเรยนในชนมธยมศกษาปท 3 วามบทนยามอยางไร (ใหนกเรยนตอบ) 2. ครอธบายขอจากดของรปสามเหลยมมมฉากและอธบายวาทาไมตองใชวงกลมหนงหนวยในการนยามฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนใหนกเรยนทราบ 3. ครใหนกเรยนเปดชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต ใน หนวยท 3 พรอมทงแจกเอกสารใบกจกรรมท 3 แลวใหนกเรยนอานจดมงหมายของการเรยนการสอน เพอใหนกเรยนเขาใจจดมงหมายทแทจรง

163

4. ใหนกเรยนทากจกรรมท 3 ในคอมพวเตอรโดยในการสอนนนครจะใหนกเรยนสงเกตวา ณ ทความยาวสวนโคงทเปนจานวนจรงใดๆ จะมจดปลายสวนโคงเพยงหนงจดเสมอ แลวถามนกเรยนวาเปนฟงกชนหรอไม เพราะอะไร และใหนกเรยนสงเกตตาแหนงของจดปลายสวนโคงวา มขอบเขตแคไหน เพอเปนการหาโดเมนและเรนจของฟงกชนไซนและโคไซน

5. เมอนกเรยนปฏบตกจกรรมท 3 เสรจแลวครสมถามนกเรยนในหองเรยน 1 คน ออกมาอธบายสงทนกเรยนไดจากการทากจกรรมท 3

6. ครสรปสงทนกเรยนไดจากกจกรรมท 3 เพอใหนกเรยนไดแนวคดทเปนไปในทศทางเดยวกนทงหมด 6. การวดผลและการประเมนผลการเรยนร

การวด การประเมนผล เครองมอวด

- สงเกตจากการปฏบตตามใบ กจกรรม - สงเกตการใหเหตผล และ การอภปราย

- ทาใบกจกรรมท 3 ไดถกตอง - ตอบคาถามไดถกตอง

- ใบกจกรรมท 3

164

หนวยท 4 เรองคาของฟงกชนไซนและโคไซน แผนการจดการเรยนรท 6

วชา คณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง คาของฟงกชนไซนและโคไซนของจานวนจรงบางจานวน จานวน 1 คาบ

1. สาระสาคญ

ในเรองคาของฟงกชนไซนและโคไซน เราจะแบงออกเปน 2 หวขอ หลกๆ ดงน 1. คาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนของจานวนจรงบางจานวน 2. คาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนของจานวนจรงใดๆ 1. คาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนของจานวนจรงบางจานวน ในหวขอนจะหาคาของ sin θ และ cos θ สาหรบ θ บางคาทสามารถหาพกดของจดปลายสวนโคงทวดจากจด (1, 0) ทยาว |θ | หนวยไดดวยวธงายๆ

ถา θ = 0 จดปลายสวนโคงทยาว 0 หนวย คอ (1, 0) ดงรป จะได sin 0 = 0

cos 0 = 1

เนองจากเสนรอบวงของวงกลมหนงหนวยยาว 2π (ในทน r = 1) ดงนน จดปลายสวนโคงท

ยาว 2π , π ,

2π3 หนวย จะมพกดเปนจดใดจดหนงตอไปน คอ (0, 1), (-1, 0) และ (0, -1) จะได

sin 2π = 1, sin (-

2π ) = -1

sin (π ) = 0, sin π(− ) = 0

sin 2π3 = -1, sin (-

2π3 ) = 1

cos 2π = 0, cos (-

2π ) = 0

cos π = -1, cos (- π ) = -1

cos 2π3 = 0, cos (-

2π3 ) = 0

165

จะเหนวา คาของ sin θ และ cos θ เมอ 2

nπθ = โดยท n เปนจานวนเตมนนหาไดจากพกด

ของจดปลายสวนโคงทยาว 2

nπ หนวย โดยการวดในทศทางทสอดคลองกบ θ ซงจดปลายนนจะเปน

จดใดจดหนงในสจดตอไปนคอ (1, 0), (0, 1), (-1, 0) และ (0, -1)

ตอไปนจะพจารณาคาของ sin θ และ cos θ เมอ θ เปน 4π ,

6π และ

3π

กรณท 1 คาของ sin 4π และ cos

4π

ให P(x, y) เปนจดปลายสวนโคงบนวงกลมหนงหนวย ซงม O เปนจดกาเนด สรางรป Δ มมฉาก PAO โดยม A เปนมมฉาก

และ m( POA ) = 4π (อยาลม o45 นะ)

แสดงวา Δ PAO เปนรปสามเหลยมหนาจว ดงนน OA = PA นนคอ x = y

จาก 222 OPPAOA =+

222 1yx =+

1xx 22 =+ 1x2 2 =

21x2 =

2

1x ±=

แต (x, y) เปนจดในจตภาคท 1 ดงนน x = 2

1

ดงนน x = y = 2

1 = 22

จะไดวา จดปลายสวนโคงทยาว 4π หนวย คอ จด (

22 ,

22 )

นนคอ sin 4π = cos

4π =

22 7071.0≈

จากความรเดมในหนวยท 2 เรายงสามารถหาคาของฟงกชนโคไซนและไซนของจานวนจรง

,4π3

4π5 ,

4π7 , …, ( )

4π1n2 + เมอ n เปนจานวนเตมบวก

166

กรณท 2 คาของ sin 6π และ cos

6π

ให P(x, y) เปนจดบนวงกลมหนงหนวย ซงม O เปนจดกาเนด และ A(1, 0) เปนจดบนเสนรอบวงทอยบนแกน x

กาหนดให 6πPOA =

จากรป ให B(0, 1) เปนจดบนเสนรอบวงทอยบนแกน Y

ดงนน BOA = 2π

จะได BOP = 6π

2π− =

3π

ให Q เปนจดในจตภาคท 4 โดยทจด Q สมมาตรกบจด P เมอมแกน X เปนแกนสมมาตร

ดงนน จด Q คอ (x, - y) และ 6πPOAQOA ==

ลากเสน PB และ PQ จะพบวา Δ POB ≅ Δ POQ

ดงนน PB = PQ

นนคอ ( ) 22 1)(y0x −+− = ( ) 22 y)(yxx ++− 22 1)(yx −+ = ( )2y2 1y2yx 22 +−+ = 2y4 ……………….. (1) เนองจาก P(x, y) เปนจดบนวงกลมหนงหนวย ดงนน 1yx 22 =+ นาไปแทนคาใน (1) จะได 1y21 +− = 2y4 2y2y4 2 −+ = 0 1yy2 2 −+ = 0 ( )( )1y1y2 +− = 0

y = 1,21−

แต (x, y) เปนจดในจตภาคท 1 ดงนน y = 21

จากสมการ 1yx 22 =+

จะได 121x

22 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

167

2x = 43

411 =−

x = 23

±

แต (x, y) เปนจดในจตภาคท 1 ดงนน x = 23

ดงนน จดปลายสวนโคงทยาว 6π หนวย คอ จด (

23 ,

21 )

นนคอ sin 6π =

21 = 0.5

cos 6π =

23 8660.0≈

โดยอาศยความรเดมในหนวยท 2 เราสามารถหาคาฟงกชนโคไซนและไซนของจานวนจรงในรป

6πnπ2 ± ,

6π5nπ2 ± ,

6π7nπ2 ± และ

6π11nπ2 ± เมอ n เปนจานวนเตม

กรณท 3 คาของ sin 3π และ cos

3π

ในการหาคาของ sin 3π และ cos

3π เราสามารถหาได 2 วธ คอ

วธท 1 ใชความรเดมจากกรณท 2 วธท 2 ใชวธการหาแบบตรงๆ ตามปกต

วธท 1 จากการหาคา sin 6π และ cos

6π ในกรณท 2 เราสามารถนามาสการหาคา sin

3π และ

cos3π ไดโดยใชความรเรองอตราสวนตรโกณมต

ขอใหนกเรยนสงเกตลกษณะของรปสามเหลยมมมฉาก จะพบวามม 3π และ

6π จะเปนสวน

หนงของรปสามเหลยมมมฉากรปเดยวกน

เนองจาก cos

6π =

23 และ sin

6π =

21

ดงนน อตราสวนดงกลาวจะทาใหเกดรปสามเหลยมมมฉากไดแบบหนง ดงน

168

จากรปสามเหลยมมมฉาก ดงกลาวใชความรเกยวกบ อตราสวนตรโกณมต จะได

sin 3π =

23

cos 3π =

21

วธท 2 ใหจด P(x, y) เปนจดบนสวนโคง AB ททาใหสวนโคง AP ยาว 3π หนวย ใหจด M

เปนภาพสะทอนของจด P(x, y) โดยมแกน Y เปนเสนสะทอน ดงรป จากรปจะไดวา พกดของจด M คอ (- x, y) และ

สวนโคง CM ยาว 3π หนวย

เนองจากสวนโคงของครงวงกลมนยาว π หนวย

ดงนนสวนโคง PM ยาว 3π หนวย ดวย

จะไดวา ระยะทางระหวางจด PM ยาวเทากบระยะทางระหวางจด PA นนคอ PM = PA 22 y)(yx))((x −+−− = 22 )0(y)1(x −+−

2x))((x −− = 22 y)1(x +− 2x4 = 22 y1x2x ++− 2x2x4 2 −+ = 0 (เนองจาก 1yx 22 =+ ) 1)1)(xx2(2 +− = 0 เนองจาก P(x, y) เปนจดอยในจตภาคท 1 ดงนน x และ y จงเปนจานวนบวก

จะได x = 21 และ y =

23

ดงนน จดปลายสวนโคงทยาว 3π หนวย คอ จด (

21 ,

23 )

นนคอ sin 3π =

23 8660.0≈

169

cos 3π =

21 = 0.5

โดยอาศยความรเดมจากหนวยท 2 เราสามารถหาคาของฟงกชนโคไซนและไซนของจานวน

จรงในรป 3πnπ2 ± ,

3π2nπ2 ± ,

3π4nπ2 ± และ

3π5nπ2 ± เมอ n เปนจานวนเตม

2. จดประสงคการเรยนร ดานความร 1. นกเรยนสามารถบอกตาแหนงจดปลายสวนโคงของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนได 2. นกเรยนสามารถบอกคาฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนของจานวนจรงบางจานวนได

ดานทกษะ/กระบวนการ 1. มความสามารถในการใหเหตผล 2. มความสามารถในการสอสาร และนาเสนอ

ดานคณลกษณะ 1. มความสนใจและกระตอรอรนในการเรยนและการทางาน 2. มความรบผดชอบตอการทางานทไดรบมอบหมาย 3. มความเชอมนในตนเอง และกลาแสดงความคดเหน

3. สาระการเรยนร 1. คาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนของจานวนจรงบางจานวน ในหวขอนจะหาคาของ sin θ และ cos θ สาหรบ θ บางคาทสามารถหาพกดของจดปลายสวนโคงทวดจากจด (1, 0) ทยาว |θ | หนวยไดดวยวธงายๆ

กรณท 1 คาของ sin 4π และ cos

4π

จดปลายสวนโคงทยาว 4π หนวย คอ จด (

22 ,

22 )

นนคอ sin 4π = cos

4π =

22 7071.0≈

จากความรเดมในหนวยท 2 เรายงสามารถหาคาของฟงกชนโคไซนและไซนของจานวนจรง

,4π3

4π5 ,

4π7 , …, ( )

4π1n2 + เมอ n เปน จานวนเตมบวก

170

กรณท 2 คาของ sin 6π และ cos

6π

จดปลายสวนโคงทยาว 6π หนวย คอ จด (

23 ,

21 )

นนคอ sin 6π =

21 = 0.5

cos 6π =

23 8660.0≈

โดยอาศยความรเดมในหนวยท 2 เราสามารถหาคาฟงกชนโคไซนและไซนของจานวนจรงในรป

6πnπ2 ± ,

6π5nπ2 ± ,

6π7nπ2 ± และ

6π11nπ2 ± เมอ n เปนจานวนเตม

กรณท 3 คาของ sin 3π และ cos

3π

จดปลายสวนโคงทยาว 3π หนวย คอ จด (

21 ,

23 )

นนคอ sin 3π =

23 8660.0≈

cos 3π =

21 = 0.5

โดยอาศยความรเดมจากหนวยท 2 เราสามารถหาคาของฟงกชนโคไซนและไซนของจานวน

จรงในรป 3πnπ2 ± ,

3π2nπ2 ± ,

3π4nπ2 ± และ

3π5nπ2 ± เมอ n เปนจานวนเตม

4. สอการเรยนร/แหลงการเรยนร 1. แฟมคาสง/คอมพวเตอร 2. ใบกจกรรมหนวยท 4 เรองคาของฟงกชนไซนและโคไซน ประกอบดวย - ใบกจกรรมท 4.1 : คาของฟงกชนไซนและโคไซนของจานวนจรงบางจานวน 3. หนงสอเรยนวชาคณตศาสตรเพมเตม 5. กจกรรมการเรยนร

1. ครทบทวนนกเรยนเรองความยาวสวนโคงทเรยนในหนวยท 2 ทง 4 กรณ ไดแก กรณท 1

ความยาวสวนโคงเปนจานวนเทาของ π กรณท 2 ความยาวสวนโคงเปนจานวนเทาของ 2π และกรณท

3 และ 4 ตามลาดบ โดยครใหนกเรยนสงเกตทคาของ x และ y 2. ครใหนกเรยนเชอมโยงความรระหวางบทนยามของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนกบ

ความยาวสวนโคง ซงนกเรยนรแลววานยามของฟงกชนไซนคอ y = sin(θ ) และนยามของฟงกชนโคไซนคอ x = cos(θ ) เมอ θ เปนจานวนจรง

171

3. ครใหนกเรยนทากจกรรมท 4.1 ในโปรแกรมคอมพวเตอร พรอมทงแจกใบกจกรรมท 4.1 เรองคาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนของจานวนจรงบางจานวน ใหนกเรยนทาการสารวจและสงเกตตาแหนงพกดของจดปลายสวนโคง

4. ครและนกเรยนรวมกนสรป และทาแบบฝกหดเสรมในใบกจกรรมท 4.1

6. การวดผลและการประเมนผลการเรยนร

การวด การประเมนผล เครองมอวด

- สงเกตจากการปฏบตตามใบ กจกรรม - สงเกตการใหเหตผล และ การอภปราย

- ทาใบกจกรรมท 4.1 ไดถกตอง - ตอบคาถามไดถกตอง

- ใบกจกรรมท 4.1

172

หนวยท 4 เรองคาของฟงกชนไซนและโคไซน แผนการจดการเรยนรท 7

วชา คณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง คาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนของจานวนจรงใดๆ จานวน 1 คาบ

1. สาระสาคญ

คาของฟงกชนไซนและโคไซนของจานวนจรงใดๆ พจารณาจานวนจรง θ > 0 และ (x, y) เปนจดปลายสวนโคงของวงกลมหนงหนวยทวด จากจด (1, 0) ไปในทศทางทวนเขมนาฬกา ยาว θ หนวย (เนองจาก θ > 0 จงได |θ | = θ ) จากการทจด (x, -y) เปนภาพสะทอนทเกดจากการสะทอนจด (x, y) โดยมแกน X เปนเสนสะทอน จงไดจด (x, -y) เปนจดปลายสวนโคงของวงกลมดงกลาวทวดจากจด (1, 0) ไปในทศทางตามเขมนาฬกายาว θ หนวย หรอกลาวไดวา (x, -y) เปนจดปลายของสวนโคงทเกดจากจานวนจรง -θ ตามขอตกลงเรองการวดความยาวสวนโคงทกลาวมาแลว กรณท 1 การหาคาของ sin (-θ ) และ cos (-θ ) เมอ θ เปนจานวนจรงบวก ถากาหนดให θ เปนจานวนจรงบวกแลว - θ จะเปนจานวนจรงลบ การหาคาของ sin (-θ ) และ cos (-θ ) สามารถหาไดจาก sin θ และ cos θ ซงมความสมพนธกนดวยสตรทจะกลาวตอไปน สมมตให p(θ ) = (x, y) เนองจาก p(θ ) เปนจดบนวงกลมหนงหนวย ซงวดจากจด A(1, 0) ไปในทศทางทวนเขมนาฬกา เปนความยาว |θ | หนวย และ p(-θ ) เปนจดบนวงกลมหนงหนวย ซงวดจากจด A(1, 0) ไปในทศทางตามเขมนาฬกา เปนความยาว |θ | หนวย เชนกน ดงนน จด p(θ ) และ p(-θ ) จะสมมาตรกนโดยมแกน X เปนแกนสมมาตร แสดงวา p(-θ ) = (x, -y) ดงรป

173

จากนยามฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน จะไดวา sin θ = y และ sin θ)(− = - y

cos θ = x และ cos θ)(− = x ดงนน จงสรปสตรความสมพนธระหวาง sin θ กบ sin θ)(− และ cos θ กบ cos θ)(− ไดดงตอไปน sin θ)(− = - sin θ

cos θ)(− = cos θ ประโยชนทนาไปใช คอ ในกรณทตองการหาคาของไซนและฟงกชนโคไซนของจานวนจรงลบ เราสามารถหาไดจากไซนและโคไซนของจานวนจรงบวกแทนไดทนท กรณท 2 การหาคาของ sin θ และ cos θ เมอ θ > π2 ตอไปนจะพจารณาเฉพาะวธหาคาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนของจานวนจรงบวกเทานน เพราะเราสามารถนาไปหาคาของฟงกชนดงกลาวของจานวนจรงลบได ถา θ > π2 และหาร θ ดวย π2 แลวได n เหลอเศษ α (แอลฟา) นนคอ θ = 2n π +α เมอ n เปนจานวนเตมบวก และ π2α0 <≤ จากทฤษฎบท เราทราบแลววา p(2n π +α ) = p(α ) ดงนน p(θ ) = p(α ) จงสรปเปนสตรการคานวณหา sin θ และ cos θ ไดดงน sin θ = sin (2n π +α ) = sin α cos θ = cos (2n π +α ) = cos α หรอ ถาเรามองอกแบบหนงคอใหนกเรยนทาการศกษาวงกลมหนงหนวยขางลางน เพราะวา P(x, y) และ Q(x, y) เปนจดบนวงกลมหนง

หนวย ดงนนจากความรเกยวกบวงกลมหนงหนวย จะได cos θ = x และ sin θ = y

จาก 420 o = 360 o + 60 o = θπ2 + จะไดวา cos ( θπ2 + ) = x และ sin ( θπ2 + ) = y

174

จากขางตนทกลาวมาทงหมด สรปไดวา cos ( θπ2 + ) = cos θ sin ( θπ2 + ) = sin θ ขอสงเกต ถานกเรยนใชวธดงกลาวทาไปเรอยๆ ผลทตามมากคอ ตาแหนงเรมจะซากบตาแหนงเดม นนคอ ถามมมขนาดเกน 1 รอบ จดปลายของสวนโคงจะไปอย ณ ตาแหนงเดยวกบกรณทมมมขนาดไมเกน 1 รอบ แสดงวา คาของไซนและโคไซนทมมมขนาด θπ2 + , θπ4 + , θπ6 + , … จะมคาเทากบคาของไซนและโคไซนทมมมขนาด θ นนเอง ถาสรปหรอเขยนอยางงาย กจะกลาวไดวา

sin θ = sin (2n π +θ ) เมอ n เปนจานวนเตม cos θ = cos (2n π +θ ) เมอ n เปนจานวนเตม 2. จดประสงคการเรยนร ดานความร 1. นกเรยนสามารถบอกตาแหนงจดปลายสวนโคงของฟงกชนไซนและโคไซนได 2. นกเรยนสามารถเขยนอธบายลกษณะของมมตางๆ ไดอยางถกตอง 3. นกเรยนสามารถหาคาของฟงกชนไซนและโคไซนของจานวนจรง θ ใดๆ โดยอาศยคา ของจานวนจรงพนฐานได

ดานทกษะ/กระบวนการ 1. มความสามารถในการใหเหตผล 2. มความสามารถในการสอสาร และนาเสนอ

ดานคณลกษณะ 1. มความสนใจและกระตอรอรนในการเรยนและการทางาน 2. มความรบผดชอบตอการทางานทไดรบมอบหมาย 3. มความเชอมนในตนเอง และกลาแสดงความคดเหน

175

3. สาระการเรยนร คาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนของจานวนจรงใดๆ

1. การหาคาของ sin (-θ ) และ cos (-θ ) เมอ θ เปนจานวนจรงบวก นนคอ sin θ)(− = - sin θ

cos θ)(− = cos θ 2. การหาคาของ sin θ และ cos θ เมอ θ > π2

นนคอ cos ( θπ2 + ) = cos θ sin ( θπ2 + ) = sin θ 4. สอการเรยนร/แหลงการเรยนร 1. แฟมคาสง/คอมพวเตอร 2. ใบกจกรรมหนวยท 4 เรองคาของฟงกชนไซนและโคไซน ประกอบดวย - ใบกจกรรมท 4.2 : คาของฟงกชนไซนและโคไซนของจานวนจรงใด ๆกรณท 1-2 3. หนงสอเรยนวชาคณตศาสตรเพมเตม 5. กจกรรมการเรยนร

1. ครนาเขาสบทเรยนดวยการกลาววาในบททผานมาทนกเรยนไดเรยนไปนนเปนเพยงบางสวนเทานน ยงมคาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนของจานวนจรงใดๆ อก แตในการหาคาของจานวนจรงใดๆ นนยงคงอาศยความรในการหาคาของจานวนจรงบางจานวนอย

2. ครใหนกเรยนทากจกรรมท 4.2 ในกรณท 1 เรองการหาคาของ sin (-θ ) และ cos (-θ ) เมอ θ เปนจานวนจรงบวก พรอมทงแจกใบกจกรรมท 4.2

3. ครใหนกเรยนทาการหมน เคลอนไหวจดปลายสวนโคง และใหนกเรยนทาการสงเกตคา x และ y ของความยาวสวนโคงทเปน θ และ -θ แลวตอบคาถามลงไปในใบกจกรรมท 4.2

4. เมอนกเรยนทาเสรจแลวครใหนกเรยนออกมาสรปหนงคน ซงจากการสรปในกจกรรมททาในกรณท 1 จะไดวา sin(-θ ) = - sin(θ ) และ cos(-θ ) = cos(θ )

5. หลงจากทนกเรยนทากจกรรมคอมพวเตอรในกรณท 1 เสรจแลวครใหนกเรยนทา กจกรรมคอมพวเตอรในกรณท 2 เรองการหาคาของ sin θ และ cos θ เมอ θ > π2

6. ครใหนกเรยนทาการหมน เคลอนไหวจดปลายสวนโคง และใหนกเรยนทาการสงเกตคา

x และ y ของความยาวสวนโคงทเปน θ และ 2π + θ แลวตอบคาถามลงไปในใบกจกรรมท 4.2 7. เมอนกเรยนทาเสรจแลวครใหนกเรยนออกมาสรปหนงคน ซงจากการสรปในกจกรรมททา

ในกรณท 1 จะไดวา sin(2π + θ ) = sin(θ ) และ cos(2π + θ ) = cos(θ )

176

6. การวดผลและการประเมนผลการเรยนร

การวด การประเมนผล เครองมอวด

- สงเกตจากการปฏบตตามใบ กจกรรม - สงเกตการใหเหตผล และ การอภปราย

- ทาใบกจกรรมท 4.2 ไดถกตอง - ตอบคาถามไดถกตอง

- ใบกจกรรมท 4.2

177

X

Y

หนวยท 4 เรองคาของฟงกชนไซนและโคไซน แผนการจดการเรยนรท 8

วชา คณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง คาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน กรณท 3 และ 4 จานวน 1 คาบ

1. สาระสาคญ

กรณท 3 การหาคาของ sin θ และ cos θ เมอ 2π <θ < π (จดปลายสวนโคงอยในจตภาคท 2)

ใหนกเรยนทาการพจารณารปมม θ ตอไปน

จากรปถาเราใหแกน Y เปนแกนสมมาตร ดงนนจด Q(-x, y) จะเปนจดทสมมาตรกบจด P(x, y) ดงรป แตเนองจากเราตองการหามมทม OA เปนดานเรมตน และ OQ เปนดานสนสด ดงนนขนาดของมมดงกลาวเทากบ θπ− เรเดยน ดงรป

178

X

Y

เพราะวา Q(-x, y) เปนจดบนวงกลมหนงหนวย ดงนนจากความรเกยวกบวงกลมหนงหนวย พกดตวหนาคอคาโคไซน และพกดตวหลงคอคาไซน ของมม ดงกลาว นนคอ cos ( θπ− ) = - x sin ( θπ− ) = y แต x = cos θ และ y = sin θ ดงนน cos ( θπ− ) = - cos θ sin ( θπ− ) = sin θ

กรณท 4 การหาคาของ sin θ และ cos θ เมอ π <θ <2π3 (จดปลายสวนโคงอยในจตภาคท 3)

ให P(x, y) และ Q(-x, y) เปนจดบนวงกลมหนงหนวย ซงม O เปนจดกาเนด และ A(1, 0) เปนจดบนเสนรอบวงทอยบนแกน X โดยทจด Q(-x, y) เปนจดทสมมาตรกบ P(x, y) จากรปขางลางถานกเรยนใชแกน X เปนแกนสมมาตร หาจดทสมมาตรกบจด Q จะได R(-x, -y) เปนจดทสมมาตรกบจด Q ดงรป

จากรปนกเรยนจะพบวา จด P และ R จะอยในแนวเสนตรงเดยวกน แตเนองจากเราตองการหามมทม OA เปนดานเรมตน และ OR เปนดานสนสด ดงนนขนาดของมมดงกลาวเทากบ θπ+ เรเดยน ดงรป

179

เพราะวา R(-x, -y) เปนจดบนวงกลมหนงหนวย ดงนนจากความรเกยวกบวงกลมหนงหนวย จะได cos ( θπ+ ) = - x sin ( θπ+ ) = - y แต x = cos θ และ y = sin θ ดงนน cos ( θπ+ ) = - cos θ sin ( θπ+ ) = - sin θ 2. จดประสงคการเรยนร ดานความร 1. นกเรยนสามารถบอกตาแหนงจดปลายสวนโคงของฟงกชนไซนและโคไซนได 2. นกเรยนสามารถเขยนอธบายลกษณะของมมตางๆ ไดอยางถกตอง 3. นกเรยนสามารถหาคาของฟงกชนไซนและโคไซนของจานวนจรง θ ใดๆ โดยอาศยคาของจานวนจรงพนฐานได

ดานทกษะ/กระบวนการ 1. มความสามารถในการใหเหตผล 2. มความสามารถในการสอสาร และนาเสนอ

ดานคณลกษณะ 1. มความสนใจและกระตอรอรนในการเรยนและการทางาน 2. มความรบผดชอบตอการทางานทไดรบมอบหมาย 3. มความเชอมนในตนเอง และกลาแสดงความคดเหน

3. สาระการเรยนร

การหาคาของ sin θ และ cos θ เมอ 2π <θ < π (จดปลายสวนโคงอยในจตภาคท 2)

นนคอ cos ( θπ− ) = - cos θ sin ( θπ− ) = sin θ

การหาคาของ sin θ และ cos θ เมอ π <θ <2π3 (จดปลายสวนโคงอยในจตภาคท 3)

นนคอ cos ( θπ+ ) = - cos θ sin ( θπ+ ) = - sin θ

180

4. สอการเรยนร/แหลงการเรยนร 1. แฟมคาสง/คอมพวเตอร 2. ใบกจกรรมหนวยท 4 เรองคาของฟงกชนไซนและโคไซน ประกอบดวย - ใบกจกรรมท 4.2.1 : คาของฟงกชนไซนและโคไซนของจานวนจรงใด ๆกรณท 3-4 3. หนงสอเรยนวชาคณตศาสตรเพมเตม 5. กจกรรมการเรยนร คาบท 3

1. ครทบทวนความรเดมทนกเรยนไดเรยนในคาบทแลว โดยทบทวนในกรณท 1 และกรณท 2

2. ครใหนกเรยนทากจกรรมท 4.2 ในกรณท 3 การหาคาของ sin θ และ cos θ เมอ 2π <θ < π

พรอมทงแจกใบกจกรรมท 4.2.1 3. ครใหนกเรยนทาการหมน เคลอนไหวจดปลายสวนโคง และใหนกเรยนทาการสงเกตคา

x และ y ของความยาวสวนโคงทเปน θ และ π -θ ตกอยในจตภาคทเทาไรแลวตอบคาถามลงไป ในใบกจกรรมท 4.2.1

4. เมอนกเรยนทาเสรจแลวครใหนกเรยนออกมาสรปหนงคน ซงจากการสรปในกจกรรมททา

ในกรณท 3 จะไดวา sin(π - θ ) = sin(θ ) และ cos(π - θ ) = - cos(θ ) 5. หลงจากทนกเรยนทากจกรรมคอมพวเตอรในกรณท 3 เสรจแลวครใหนกเรยนทา

กจกรรมคอมพวเตอรในกรณท 4 เรองการหาคาของ sin θ และ cos θ เมอ π <θ <2π3

6. ครใหนกเรยนทาการหมน เคลอนไหวจดปลายสวนโคง และใหนกเรยนทาการสงเกตคา

x และ y ของความยาวสวนโคงทเปน θ และ π + θ ตกอยในจตภาคทเทาไรแลวตอบคาถามลงไปในใบกจกรรมท 4.2.1

7. เมอนกเรยนทาเสรจแลวครใหนกเรยนออกมาสรปหนงคน ซงจากการสรปในกจกรรมททา

ในกรณท 4 จะไดวา sin(π + θ ) = - sin(θ ) และ cos(π + θ ) = - cos(θ ) 6. การวดผลและการประเมนผลการเรยนร

การวด การประเมนผล เครองมอวด

- สงเกตจากการปฏบตตามใบ กจกรรม - สงเกตการใหเหตผล และ การอภปราย

- ทาใบกจกรรมท 4.2.1 ไดถกตอง - ตอบคาถามไดถกตอง

- ใบกจกรรมท 4.2.1

181

X

Y

หนวยท 4 เรองคาของฟงกชนไซนและโคไซน แผนการจดการเรยนรท 9

วชา คณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง คาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนกรณท 5 จานวน 1 คาบ

1. สาระสาคญ

กรณท 5 การหาคาของ sin θ และ cos θ เมอ 2π3 <θ < 2 π (จดปลายสวนโคงอยในจตภาคท 4)

ในทานองเดยวกน ถานกเรยนทาตอเนองจาก กรณ 4 ไปอกโดยใชแกน Y เปนแกนสมมาตร หาจดทสมมาตรกบจด R จะได S(x, -y) เปนจดทสมมาตรกบจด R ดงรป เนองจากเราตองการหามมทม OA เปนดานเรมตน และ OS เปนดานสนสด ดงนนขนาดของมมดงกลาวเทากบ θπ2 − เรเดยน ดงรป เพราะวา S(x, -y) เปนจดบนวงกลมหนงหนวย ดงนนจากความรเกยวกบวงกลมหนงหนวย จะไดวา cos ( θπ2 − ) = x sin ( θπ2 − ) = - y แต x = cos θ และ y = sin θ

182

ดงนน cos ( θπ2 − ) = cos θ sin ( θπ2 − ) = - sin θ เพอใหนกเรยนไดมองเหนถงสงทเราหามาไดเปนหมวดหมยงขน จงขอรวบรวมสงทหามาไดในรปของตาราง และมขอทนาสงเกตเพมเตมดงน

คาของฟงกชนไซนและโคไซน จดปลายของสวนโคง

cos ( θπ− ) = - cos θ sin ( θπ− ) = sin θ

จตภาคท 2 พกดตวแรกเปนจานวนลบ พกดตวหลงเปนจานวนบวก

cos ( θπ+ ) = - cos θ

sin ( θπ+ ) = - sin θ

จตภาคท 3 พกดตวแรกเปนจานวนลบ พกดตวหลงเปนจานวนลบ

cos ( θπ2 − ) = cos θ sin ( θπ2 − ) = - sin θ

จตภาคท 4 พกดตวแรกเปนจานวนบวก พกดตวหลงเปนจานวนลบ

cos ( θπ2 + ) = cos θ sin ( θπ2 + ) = sin θ

จตภาคท 1 พกดตวแรกเปนจานวนบวก พกดตวหลงเปนจานวนบวก

2. จดประสงคการเรยนร ดานความร 1. นกเรยนสามารถบอกตาแหนงจดปลายสวนโคงของฟงกชนไซนและโคไซนได 2. นกเรยนสามารถเขยนอธบายลกษณะของมมตางๆ ไดอยางถกตอง

3. นกเรยนสามารถหาคาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนของจานวนจรง θ ใดๆ โดยอาศยคา ของจานวนจรงบางจานวนได ดานทกษะ/กระบวนการ

1. มความสามารถในการใหเหตผล 2. มความสามารถในการสอสาร และนาเสนอ

183

ดานคณลกษณะ 1. มความสนใจและกระตอรอรนในการเรยนและการทางาน 2. มความรบผดชอบตอการทางานทไดรบมอบหมาย 3. มความเชอมนในตนเอง และกลาแสดงความคดเหน

3. สาระการเรยนร

การหาคาของ sin θ และ cos θ เมอ 2π3 <θ < π (จดปลายสวนโคงอยในจตภาคท 4)

นนคอ cos ( θπ2 − ) = cos θ sin ( θπ2 − ) = - sin θ

4. สอการเรยนร/แหลงการเรยนร 1. แฟมคาสง/คอมพวเตอร 2. ใบกจกรรมหนวยท 4 เรองคาของฟงกชนไซนและโคไซน ประกอบดวย - ใบกจกรรมท 4.2.2 : คาของฟงกชนไซนและโคไซนของจานวนจรงใดๆ 3. หนงสอเรยนวชาคณตศาสตรเพมเตม 5. กจกรรมการเรยนร

1. ครใหนกเรยนทากจกรรมท 4.2 ในกรณท 5 การหาคาของ sin θ และ cos θ เมอ 2π3 <θ <π พรอม

ทงแจกใบกจกรรมท 4.2.2 2. ครใหนกเรยนทาการหมน เคลอนไหวจดปลายสวนโคง และใหนกเรยนทาการสงเกตคา

x และ y ของความยาวสวนโคงทเปน θ และ 2π -θ ตกอยในจตภาคทเทาไรแลวตอบคาถามลงไปในใบกจกรรมท 4.2.2

3. เมอนกเรยนทาเสรจแลวครใหนกเรยนออกมาสรปหนงคน ซงจากการสรปในกจกรรมททา

ในกรณท 5 จะไดวา sin(2π - θ ) = - sin(θ ) และ cos(2π - θ ) = cos(θ ) 4. ครใหนกเรยนทาแบบฝกหดระคนในหองเรยน ถานกเรยนทาไมเสรจใหทาตอเปนการบาน

6. การวดผลและการประเมนผลการเรยนร

การวด การประเมนผล เครองมอวด

- สงเกตจากการปฏบตตามใบ กจกรรม - สงเกตการใหเหตผล และ การอภปราย

- ทาใบกจกรรมท 4.2.2 ไดถกตอง - ตอบคาถามไดถกตอง

- ใบกจกรรมท 4.2.2

184

หนวยท 5 เรองฟงกชนตรโกณมตอน ๆ แผนการจดการเรยนรท 10

วชา คณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ฟงกชนตรโกณมตอน ๆ ของจานวนจรงบางจานวน จานวน 1 คาบ

1. สาระสาคญ

ฟงกชนตรโกณมตอนๆ นอกจากฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนทกลาวมาแลวในหนวยท 3 และ 4 ยงมฟงกชนตรโกณมตทสาคญอกหลายฟงกชน ดงตอไปน บทนยาม กาหนดให θ เปนจานวนจรง 1) ฟงกชนแทนเจนต (tangent) คอฟงกชนทนยามวา

tangent θ = cosθsinθ เมอ cos θ 0≠

2) ฟงกชนโคแทนเจนต (cotangent) คอฟงกชนทนยามวา

cotangent θ = sinθcosθ เมอ sin θ 0≠

3) ฟงกชนเซแคนต (secant) คอฟงกชนทนยามวา

secantθ = cosθ

1 เมอ cos θ 0≠

4) ฟงกชนโคเซแคนต (cosecant) คอฟงกชนทนยามวา

cosecantθ = sinθ

1 เมอ sinθ 0≠

จากบทนยามจะพบวา ฟงกชนทงสฟงกชน นยามในรปของฟงกชนไซนและโคไซน ดงนนถาเราทราบคาของ sinθ และ cos θ เราจะทราบคาของฟงกชนตรโกณมตอนๆ ทเหลอของจานวนจรง θ ได สญลกษณ เพอความสะดวกเราใชสญลกษณตอไปนแทนฟงกชนตรโกณมตอนๆ 1) tangent θ จะเขยนแทนดวย tanθ อานวา “แทนทตา” 2) cotangent θ จะเขยนแทนดวย cot θ อานวา “คอตทตา”

3) secantθ จะเขยนแทนดวย sec θ อานวา “เซกทตา” 4) cosecantθ จะเขยนแทนดวย cosec θ หรอ cscθ อานวา “โคเซกทตา”

185

การหาคาของ tan θ , cot θ , sec θ และ cosec θ กบจดปลายสวนโคง p(θ ) เราทราบมาแลวา การ sin θ และ cos θ สามารถหาไดจากจดปลายสวนโคง p(θ ) กลาวคอ ถา p(θ ) = (x, y) แลวจะไดวา sin θ = y และ cos θ = x

ดงนน จากนยาม เราสามารถหาคาของ tan θ , cot θ , sec θ และ cosec θ ไดจากจด p(θ ) = (x, y) ไดดงน

1) tanθ = xy เมอ 0x ≠

2) cotθ = yx เมอ 0≠y

3) secθ = x1 เมอ 0x ≠

4) cosecθ = y1 เมอ 0≠y

คาของ tanθ จะเปนจานวนจรงบวกหรอจานวนจรงลบ ขนอยกบ p(θ ) = (x, y) วาเปนจดทอยจตภาคทเทาใดกลาวคอ 1) ถา p(θ ) = (x, y) อยในจตภาคท 1 จะได x > 0 และ y > 0 ดงนน tan θ > 0

2) ถา p(θ ) = (x, y) อยในจตภาคท 2 จะได x < 0 และ y > 0 ดงนน tan θ < 0 3) ถา p(θ ) = (x, y) อยในจตภาคท 3 จะได x < 0 และ y < 0 ดงนน tan θ > 0 4) ถา p(θ ) = (x, y) อยในจตภาคท 4 จะได x > 0 และ y < 0 ดงนน tan θ < 0

หมายเหต คาของ cosecθ , secθ และ cotθ จะเปนจานวนจรงบวกหรอลบ ทานองเดยวกบคาของ sinθ , cosθ และ tanθ ตามลาดบ การหาคาของ tan(-θ ), cot(-θ ), sec(-θ ) และ cosec (-θ ) ถา θ เปนจานวนจรงททาใหหาคา tanθ , cotθ , secθ และ cosecθ ไดแลว เราสามารถหาคาของ tan(-θ ), cot(-θ ), sec(-θ ) และ cosec(-θ ) ได สงทจะกลาวตอไปนไดมาจากความจรงท กลาวไปแลววา sin (-θ ) = - sin θ

cos (-θ ) = cos θ

186

ดงนน

tan θ)(− = θ)cos(θ)sin(

−− =

cosθsinθ− = - tanθ

cot θ)(− = θ)sin(θ)cos(

−− =

sinθcosθ−

= - cot θ

sec θ)(− = θ)cos(

1−

= cosθ

1 = secθ

cosec θ)(− = θ)sin(

1−

= sinθ1

− = - cosec θ

ซงสรปเปนสตรไดดงตอไปน tan θ)(− = - tanθ cot θ)(− = - cot θ sec θ)(− = secθ

cosec θ)(− = - cosec θ

2. จดประสงคการเรยนร ดานความร 1. นกเรยนสามารถบอกตาแหนงจดปลายสวนโคงของฟงกชนตรโกณมตอนๆได 2. นกเรยนสามารถเขยนอธบายลกษณะของมมตางๆ ไดอยางถกตอง 3. เมอกาหนดฟงกชนตรโกณมตฟงกชนใดฟงกชนหนงนกเรยนสามารถหาคาของ ฟงกชนทเหลอโดยอาศยความสมพนธของฟงกชนเหลานนได

ดานทกษะ/กระบวนการ 1. มความสามารถในการใหเหตผล 2. มความสามารถในการสอสาร และนาเสนอ

ดานคณลกษณะ 1. มความสนใจและกระตอรอรนในการเรยนและการทางาน 2. มความรบผดชอบตอการทางานทไดรบมอบหมาย 3. มความเชอมนในตนเอง และกลาแสดงความคดเหน

187

3. สาระการเรยนร ฟงกชนตรโกณมตอนๆ นอกจากฟงกชนไซนและโคไซนทกลาวมาแลวในหนวยท 3 และ 4 ยงมฟงกชนตรโกณมตทสาคญอกหลายฟงกชน ดงตอไปน บทนยาม กาหนดให θ เปนจานวนจรง 1) ฟงกชนแทนเจนต (tangent) คอฟงกชนทนยามวา

tangent θ = cosθsinθ เมอ cos θ 0≠

2) ฟงกชนโคแทนเจนต (cotangent) คอฟงกชนทนยามวา

cotangent θ = sinθcosθ เมอ sin θ 0≠

3) ฟงกชนเซแคนต (secant) คอฟงกชนทนยามวา

secantθ = cosθ

1 เมอ cos θ 0≠

4) ฟงกชนโคเซแคนต (cosecant) คอฟงกชนทนยามวา

cosecantθ = sinθ

1 เมอ sinθ 0≠

1. การหาคาของ tan θ , cot θ , sec θ และ cosec θ กบจดปลายสวนโคง p(θ )

1) tanθ = xy เมอ 0x ≠

2) cotθ = yx เมอ 0≠y

3) secθ = x1 เมอ 0x ≠

4) cosecθ = y1 เมอ 0≠y

คาของ tanθ จะเปนจานวนจรงบวกหรอจานวนจรงลบ ขนอยกบ p(θ ) = (x, y) วาเปนจดทอยจตภาคทเทาใดกลาวคอ 1) ถา p(θ ) = (x, y) อยในจตภาคท 1 จะได x > 0 และ y > 0 ดงนน tan θ > 0

2) ถา p(θ ) = (x, y) อยในจตภาคท 2 จะได x < 0 และ y > 0 ดงนน tan θ < 0 3) ถา p(θ ) = (x, y) อยในจตภาคท 3 จะได x < 0 และ y < 0 ดงนน tan θ > 0 4) ถา p(θ ) = (x, y) อยในจตภาคท 4 จะได x > 0 และ y < 0 ดงนน tan θ < 0

188

2. การหาคาของ tan(-θ ), cot(-θ ), sec(-θ ) และ cosec (-θ ) ซงสรปเปนสตรไดดงตอไปน tan θ)(− = - tanθ cot θ)(− = - cot θ sec θ)(− = secθ

cosec θ)(− = - cosec θ

4. สอการเรยนร/แหลงการเรยนร 1. แฟมคาสง/คอมพวเตอร 2. ใบกจกรรมหนวยท 5 เรองคาของฟงกชนไซนและโคไซน ประกอบดวย 2.1) ใบกจกรรมท 5 : ฟงกชนตรโกณมตอนๆ 3. หนงสอเรยนวชาคณตศาสตรเพมเตม 5. กจกรรมการเรยนร คาบท 1

1. ครนาเขาสบทเรยนดวยการถามนกเรยนวานอกเหนอจากฟงกชนไซน ฟงกชนโคไซนและฟงกชนแทนเจนต นกเรยนรจกฟงกชนตรโกณมตอนๆ อะไรบางทนอกเหนอจากทกลาวมา

2. ครอธบายความสมพนธของฟงกชนโดยอาศยฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน ครอธบายโดยขนกระดานวา 1) ฟงกชนแทนเจนต (tangent) คอฟงกชนทนยามวา

tangent θ = cosθsinθ เมอ cos θ 0≠

2) ฟงกชนโคแทนเจนต (cotangent) คอฟงกชนทนยามวา

cotangent θ = sinθcosθ เมอ sin θ 0≠

3) ฟงกชนเซแคนต (secant) คอฟงกชนทนยามวา

secantθ = cosθ

1 เมอ cos θ 0≠

4) ฟงกชนโคเซแคนต (cosecant) คอฟงกชนทนยามวา

cosecantθ = sinθ

1 เมอ sinθ 0≠

3. หลงจากทครอธบายความสมพนธในขอท 2 เสรจครกใหนกเรยนสงเกต และถามนกเรยนวาทกฟงกชนตางมความสมพนธกบอะไร (ใหนกเรยนตอบ)

189

4. ครอธบายวาเนองจากฟงกชนตรโกณมตอนๆ มาจากความสมพนธของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน ดงนนการหาคาของฟงกชนตรโกณมตอนๆ ของจานวนจรงบางจานวน นกเรยน สามารถหาไดโดยใชคาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนของจานวนจรงบางจานวน ได 5. ครใหนกเรยนทากจกรรมคอมพวเตอรหนวยท 4 กจกรรมท 4.1 เรองคาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนของจานวนจรงบางจานวน เพอใหนกเรยนมองเหนความสมพนธกบฟงกชนตรโกณมตอนๆ พรอมทงแจกใบกจกรรมท 5 6. ใหนกเรยนทาใบกจกรรมท 5 ภายในหองเรยน ถาทาไมเสรจใหกลบไปทาตอเปนการบาน 6. การวดผลและการประเมนผลการเรยนร

การวด การประเมนผล เครองมอวด

- สงเกตจากการปฏบตตามใบ กจกรรม - สงเกตการใหเหตผล และ การอภปราย

- ทาใบกจกรรมท 5 ไดถกตอง - ตอบคาถามไดถกตอง

- ใบกจกรรมท 5

190

หนวยท 5 เรองฟงกชนตรโกณมตอน ๆ แผนการจดการเรยนรท 11

วชา คณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ฟงกชนตรโกณมตอน ๆ ของจานวนจรงใดๆ จานวน 1 คาบ

1. สาระสาคญ

การหาคาของ tan θ , cot θ , sec θ และ cosec θ เมอ θ เปนจานวนจรง ในทานองเดยวกบการหาคาของ sinθ และ cosθ ถา θ เปนจานวนจรงทสามารถหาคาของ tan θ , cot θ , sec θ และ cosec θ ได วธการหาคาของฟงกชนดงกลาวทาไดดงน 1) ถา θ < 0 แลว ใหหาคาของ tan(-θ ), cot(-θ ), sec(-θ ) หรอ cosec(-θ ) แทน โดยท θ เปนจานวนจรงบวก โดยใชสตรขางตนทกลาวมา 2) ถา 0θ ≥ ซงสามารถหาคาของ tan θ , cot θ , sec θ และ cosec θ ไดและ θ = αnπ2 + เมอ n เปนจานวนเตมบวกหรอศนย และ π2α0 <≤ แลว tanθ = tanα cotθ = cot α secθ = secα

cosecθ = cosecα 3) ถา π2θ0 <≤ ซงสามารถหาคาของ tan θ , cot θ , sec θ และ cosec θ ไดคาของฟงกชนตรโกณมตดงกลาว สามารถหาไดจาก tanα , cotα , secα และ cosecα ตามลาดบโดยท

2πα0 ≤≤ และ α คอ ความยาวของเสนโคงท p(θ ) อยหางจากแกน x ซงจะไดวา

tanθ = ± tanα cotθ = ± cot α secθ = ± secα

cosecθ = ± cosecα โดยเลอกตอบเครองหมาย + หรอ – ขนอยกบวา p(θ ) เปนจดทอยในจตภาคใด วธการเชนน กเชนเดยวกบวธการหาคาของ sinθ และ cosθ นนเอง จากขอ 1), 2) และ 3) สรปไดวา ถาเราสามารถหาคาของ tanα , cotα , secα และ cosecα

เมอ 2πα0 ≤≤ ได เรากจะสามารถหาคาของ tan θ , cot θ , sec θ และ cosec θ เมอθ เปนจานวนจรง

ซงสามารถหาคาฟงกชนตรโกณมตดงกลาวได

191

4) ความสมพนธระหวางฟงกชนตรโกณมต ฟงกชนตรโกณมตมความสมพนธกน ทเรยกวา “เอกลกษณ” ซงมเอกลกษณทสาคญดงตอไปน 1) ถา θ เปนจานวนจรง และ sinθ ≠ 0 แลว sinθ .cosecθ = 1 2) ถา θ เปนจานวนจรง และ cosθ ≠ 0 แลว cosθ .secθ = 1 3) ถา θ เปนจานวนจรง และ sinθ ≠ 0 และ cosθ ≠ 0 แลว tanθ .cotθ = 1 4) ถา θ เปนจานวนจรงใดๆ แลว 1θcosθsin 22 =+ 5) ถา θ เปนจานวนจรง ซง cosθ ≠ 0 แลว θsecθtan1 22 =+ 6) ถา θ เปนจานวนจรง ซง sinθ ≠ 0 แลว θcosecθcot1 22 =+ 2. จดประสงคการเรยนร ดานความร 1. นกเรยนสามารถบอกตาแหนงจดปลายสวนโคงของฟงกชนตรโกณมตอนๆได 2. นกเรยนสามารถเขยนอธบายลกษณะของมมตางๆ ไดอยางถกตอง 3. เมอกาหนดฟงกชนตรโกณมตฟงกชนใดฟงกชนหนงนกเรยนสามารถหาคาของ ฟงกชนทเหลอโดยอาศยความสมพนธของฟงกชนเหลานนได

ดานทกษะ/กระบวนการ 1. มความสามารถในการใหเหตผล 2. มความสามารถในการสอสาร และนาเสนอ

ดานคณลกษณะ 1. มความสนใจและกระตอรอรนในการเรยนและการทางาน 2. มความรบผดชอบตอการทางานทไดรบมอบหมาย 3. มความเชอมนในตนเอง และกลาแสดงความคดเหน

3. สาระการเรยนร การหาคาของ tan θ , cot θ , sec θ และ cosec θ เมอ θ เปนจานวนจรง

1) ถา θ < 0 แลว ใหหาคาของ tan(-θ ), cot(-θ ), sec(-θ ) หรอ cosec(-θ ) แทน โดยทθ เปนจานวนจรงบวก โดยใชสตรขางตนทกลาวมา 2) ถา 0θ ≥ ซงสามารถหาคาของ tan θ , cot θ , sec θ และ cosec θ ไดและ θ = αnπ2 + เมอ n เปนจานวนเตมบวกหรอศนย และ π2α0 <≤ แลว tanθ = tanα cotθ = cot α

192

secθ = secα cosecθ = cosecα

3) ถา π2θ0 <≤ ซงสามารถหาคาของ tan θ , cot θ , sec θ และ cosec θ ไดคาของฟงกชนตรโกณมตดงกลาว สามารถหาไดจาก tanα , cotα , secα และ cosecα ตามลาดบโดยท

2πα0 ≤≤ และ α คอ ความยาวของเสนโคงท p(θ ) อยหางจากแกน x ซงจะไดวา

tanθ = ± tanα cotθ = ± cot α secθ = ± secα

cosecθ = ± cosecα โดยเลอกตอบเครองหมาย + หรอ – ขนอยกบวา p(θ ) เปนจดทอยในควอดรนตใด ความสมพนธระหวางฟงกชนตรโกณมต

1) ถา θ เปนจานวนจรง และ sinθ ≠ 0 แลว sinθ .cosecθ = 1 2) ถา θ เปนจานวนจรง และ cosθ ≠ 0 แลว cosθ .secθ = 1 3) ถา θ เปนจานวนจรง และ sinθ ≠ 0 และ cosθ ≠ 0 แลว tanθ .cotθ = 1 4) ถา θ เปนจานวนจรงใดๆ แลว 1θcosθsin 22 =+ 5) ถา θ เปนจานวนจรง ซง cosθ ≠ 0 แลว θsecθtan1 22 =+ 6) ถา θ เปนจานวนจรง ซง sinθ ≠ 0 แลว θcosecθcot1 22 =+ 4. สอการเรยนร/แหลงการเรยนร 1. แฟมคาสง/คอมพวเตอร 2. ใบกจกรรมหนวยท 5 เรองคาของฟงกชนตรโกณมตอนๆ ประกอบดวย 2.1) ใบกจกรรมท 5 : ฟงกชนตรโกณมตอนๆ ของจานวนจรงใดๆ 3. หนงสอเรยนวชาคณตศาสตรเพมเตม 5. กจกรรมการเรยนร

1. ครอธบายความสมพนธของฟงกชนโดยอาศยฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน ดงตอไปน 1) ฟงกชนแทนเจนต (tangent) คอฟงกชนทนยามวา

tangent θ = cosθsinθ เมอ cos θ 0≠

2) ฟงกชนโคแทนเจนต (cotangent) คอฟงกชนทนยามวา

cotangent θ = sinθcosθ เมอ sin θ 0≠

193

3) ฟงกชนเซแคนต (secant) คอฟงกชนทนยามวา

secantθ = cosθ

1 เมอ cos θ 0≠

4) ฟงกชนโคเซแคนต (cosecant) คอฟงกชนทนยามวา

cosecantθ = sinθ

1 เมอ sinθ 0≠

3. หลงจากทครอธบายความสมพนธในขอท 2 เสรจครกใหนกเรยนสงเกต และถามนกเรยนวาทกฟงกชนตางมความสมพนธกบอะไร (ใหนกเรยนตอบ) 4. ครอธบายวาเนองจากฟงกชนตรโกณมตอนๆ มาจากความสมพนธของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน ดงนนการหาคาของฟงกชนตรโกณมตอนๆ ของจานวนจรงใดๆ นกเรยนสามารถหาไดโดยใชคาของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนของจานวนจรงใดๆ ได 5. ครใหนกเรยนทากจกรรมคอมพวเตอรหนวยท 5 เรองการหาคาฟงกชนตรโกณมตอนๆ ของจานวนจรงใดๆ พรอมทงแจกใบกจกรรมท 5 6. ใหนกเรยนทาใบกจกรรมท 5 ภายในหองเรยน ถาทาไมเสรจใหกลบไปทาตอเปนการบาน 6. การวดผลและการประเมนผลการเรยนร

การวด การประเมนผล เครองมอวด

- สงเกตจากการปฏบตตามใบ กจกรรม - สงเกตการใหเหตผล และ การอภปราย

- ทาใบกจกรรมท 5 ไดถกตอง - ตอบคาถามไดถกตอง

- ใบกจกรรมท 5

194

หนวยท 6 เรองฟงกชนตรโกณมตของมม แผนการจดการเรยนรท 12

วชา คณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ฟงกชนตรโกณมตของมม จานวน 1 คาบ

1. สาระสาคญ

ฟงกชนตรโกณมตของมม ฟงกชนตรโกณมตทไดกลาวไปในหนวยทผานมาแลว เปนฟงกชนตรโกณมตของจานวนจรง ซงกาหนดไดดวยความยาวของสวนโคงบนเสนรอบวงกลมหนงหนวย แลวใชจดปลายของ สวนโคงนนมาหาคาฟงกชนตรโกณมต เนองจากมมในตาแหนงมาตรฐาน (คอมมๆ หนงทจด (0, 0) และดานเรมตนของมมนนทาบไปตามแกน X ทางบวก) สามารถกาหนดไดดวยความยาวของสวนโคงบนเสนรอบวงของวงกลมหนงหนวยเชนกน ดงนน เราจงสามารถหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม ไดเชนเดยวกบการหาคาของฟงกชนตรโกณมตของจานวนจรงทกลาวไปแลว กาหนดให θ เปนมมในตาแหนงมาตรฐาน ในระบบเรเดยน ดงรป θ > 0 θ < 0 โดยทสวนโคงของวงกลมหนงหนวยทรองรบมมทจดศนยกลางขนาด 1 เรเดยนนนจะตองยาว 1 หนวย ดงนน สวนโคงของวงกลมหนงหนวยทรองรบมมทจดศนยกลางขนาด θ เรเดยน จงยาว θ หนวย จะเหนไดวา จดทดานสนสดของมมขนาด θ เรเดยน ตดกบวงกลมหนงหนวยนนมเพยงจดเดยวและเปนจดเดยวกนกบจดปลายสวนโคงทวดจากจด (1, 0) ยาว |θ | หนวยในทศทางทสอดคลอง

กบ θ เชน จดทดานสนสดของมม 4π

− เรเดยน ตดกบวงกลมหนงหนวย คอจด ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

22,

22 ซงเปน

จดเดยวกบจดปลายสวนโคงทวดจากจด (1, 0) ในทศทางตามเขมนาฬกายาว 4π หนวย

195

ดงนน เราจงอาศยจด p(θ ) ดงกลาวน นยามคาของฟงกชนตรโกณมตของมม θ ได โดยนยาม เชนเดยวกบคาของฟงกชนตรโกณมตของจานวนจรง θ นนเอง บทนยาม กาหนดมม θ เรเดยน ซงเปนมมในตาแหนงมาตรฐาน และใหดานสนสดของมม θ ตด กบวงกลมหนงหนวยทจด p(θ ) = (x, y) นยามฟงกชนตรโกณมตของมม θ ดงน 1) sinθ = y 2) cosθ = x

3) tanθ = xy เมอ x ≠ 0

4) cotθ = yx เมอ y ≠ 0

5) secθ = x1 เมอ x ≠ 0

6) cosecθ = y1 เมอ y ≠ 0

เนองจากหนวยในการวดมมทนยมใชกนนนมอยสองหนวย คอ เรเดยนและองศา จากทกลาวแลวขางตนจะเหนวา เมอหนวยของมมซงอยในตาแหนงมาตรฐานมหนวยเปนเรเดยน จานวนทแสดงคาของมมนนจะเปนจานวนเดยวกบจานวนจรงทแสดงความยาวและทศทางของ สวนโคงบนวงกลมหนงหนวยทรองรบมมนน ดงนนเมอตองการหาคาของฟงกชนตรโกณมตของ มมทมหนวยเปนเรเดยนจงหาไดตามทกลาวมาแลว สวนการหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม ทมหนวยเปนองศานนอาจหาไดโดยเปลยนคาของมมจากหนวยองศาใหเปนหนวยเรเดยนกอน แลวจงหาคาของฟงกชนนนเชนเดยวกบการหาคาของฟงกชนตรโกณมตของจานวนจรงทวๆ ไป จงสรปไดวา ไมวาจะนยามฟงกชนตรโกณมตในแงของมม หรอในแงของความ ยาวสวนโคงของวงกลมหนงหนวยทรองรบมม คาของฟงกชนตรโกณมตของจานวนเหลานนจะม คาเทากนเสมอ ตอไปนเปนตารางเปรยบเทยบเพอใหนกเรยนไดเหนชดเจนถงระบบเรเดยนกบ ระบบองศา วามความคลายกนอยางไร

ระบบเรเดยน ระบบองศา sin( θ− ) = - sinθ cos( θ− ) = cosθ tan( θ− ) = - tanθ cot( θ− ) = - cotθ sec( θ− ) = secθ

cosec( θ− ) = - cosecθ

sin( θ− ) = - sinθ cos( θ− ) = cosθ tan( θ− ) = - tanθ cot( θ− ) = - cotθ sec( θ− ) = secθ

cosec( θ− ) = - cosecθ

196

ระบบเรเดยน ระบบองศา sin( θπ− ) = sinθ

cos( θπ− ) = - cosθ tan( θπ− ) = - tanθ cot( θπ− ) = - cotθ

sec( θπ− ) = - secθ cosec( θπ− ) = cosecθ

sin( θ180 −o ) = sinθ cos( θ180 −o ) = - cosθ tan( θ180 −o ) = - tanθ cot( θ180 −o ) = - cotθ

sec( θ180 −o ) = - secθ cosec( θ180 −o ) = cosecθ

sin( θπ+ ) = - sinθ cos( θπ+ ) = - cosθ tan( θπ+ ) = tanθ cot( θπ+ ) = cotθ

sec( θπ+ ) = - secθ cosec( θπ+ ) = - cosecθ

sin( θ180 +o ) = - sinθ cos( θ180 +o ) = - cosθ tan( θ180 +o ) = tanθ cot( θ180 +o ) = cotθ

sec( θ180 +o ) = - secθ cosec( θ180 +o ) = - cosecθ

sin( θπ2 − ) = - sinθ cos( θπ2 − ) = cosθ

tan( θπ2 − ) = - tanθ cot( θπ2 − ) = - cotθ sec( θπ2 − ) = secθ

cosec( θπ2 − ) = - cosecθ

sin( θ360 −o ) = - sinθ cos( θ360 −o ) = cosθ tan( θ360 −o ) = - tanθ cot( θ360 −o ) = - cotθ sec( θ360 −o ) = secθ

cosec( θ360 −o ) = - cosecθ

ถา n เปนจานวนนบ แลว sin( θnπ2 + ) = sinθ cos( θnπ2 + ) = cosθ

tan( θnπ2 + ) = tanθ cot( θnπ2 + ) = cotθ sec( θnπ2 + ) = secθ

cosec( θnπ2 + ) = cosecθ

ถา n เปนจานวนนบ แลว

sin(n⋅ θ360 +o ) = sinθ

cos(n⋅ θ360 +o ) = cosθ

tan(n⋅ θ360 +o ) = tanθ

cot(n⋅ θ360 +o ) = cotθ

sec(n⋅ θ360 +o ) = secθ

cosec(n⋅ θ360 +o ) = cosecθ

197

2. จดประสงคการเรยนร ดานความร 1. นกเรยนสามารถหาคาฟงกชนตรโกณมตของมมไดอยางถกตอง 2. นกเรยนสามารถอธบายความแตกตางของฟงกชนตรโกณมตของมมและจานวน จรงไดอยางถกตอง ดานทกษะ/กระบวนการ

1. มความสามารถในการใหเหตผล 2. มความสามารถในการสอสาร และนาเสนอ

ดานคณลกษณะ 1. มความสนใจและกระตอรอรนในการเรยนและการทางาน 2. มความรบผดชอบตอการทางานทไดรบมอบหมาย 3. มความเชอมนในตนเอง และกลาแสดงความคดเหน

3. สาระการเรยนร ฟงกชนตรโกณมตของมม บทนยาม กาหนดมม θ เรเดยน ซงเปนมมในตาแหนงมาตรฐาน และใหดานสนสดของมม θ ตดกบวงกลมหนงหนวยทจด p(θ ) = (x, y) นยามฟงกชนตรโกณมตของมม θ ดงน 1) sinθ = y 2) cosθ = x

3) tanθ = xy เมอ x ≠ 0

4) cotθ = yx เมอ y ≠ 0

5) secθ = x1 เมอ x ≠ 0

6) cosecθ = y1 เมอ y ≠ 0

เนองจากหนวยในการวดมมทนยมใชกนนนมอยสองหนวย คอ เรเดยนและองศา จากทกลาวแลวขางตนจะเหนวา เมอหนวยของมมซงอยในตาแหนงมาตรฐานมหนวยเปนเรเดยน จานวนทแสดงคาของมมนนจะเปนจานวนเดยวกบจานวนจรงทแสดงความยาวและทศทางของ สวนโคงบนวงกลมหนงหนวยทรองรบมมนน ดงนนเมอตองการหาคาของฟงกชนตรโกณมตของ มมทมหนวยเปนเรเดยนจงหาไดตามทกลาวมาแลว สวนการหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมมท มหนวยเปนองศานนอาจหาไดโดยเปลยนคาของมมจากหนวยองศาใหเปนหนวยเรเดยนกอน แลว จงหาคาของฟงกชนนนเชนเดยวกบการหาคาของฟงกชนตรโกณมตของจานวนจรงทวๆ ไป

198

4. สอการเรยนร/แหลงการเรยนร 1. แฟมคาสง/คอมพวเตอร 2. ใบกจกรรมหนวยท 6 เรองฟงกชนตรโกณมตของมม ประกอบดวย 2.1) ใบกจกรรมท 6.1 : ฟงกชนตรโกณมตของมม 3. หนงสอเรยนวชาคณตศาสตรเพมเตม 5. กจกรรมการเรยนร คาบท 1 1. ครนานกเรยนทบทวนเกยวกบความรเดมในเรองฟงกชนตรไซนและฟงกชนโคไซนของจานวนจรงทนกเรยนไดเรยนไปแลวพรอมทงใหนกเรยนทบทวนเรองการวดมมในหนวยท 1 2. ครแนะนานกเรยนเกยวกบการใชงานของคาสงตางๆ ทใชในกจกรรมหนวยท 6 3. ครเปดโอกาสใหนกเรยนถามสงทไมเขาใจเกยวกบการใชงานของคาสงตางๆ 4. ครใหนกเรยนเปดชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต ใน หนวยท 6 พรอมทงแจกเอกสารใบกจกรรมท 6.1 เรองฟงกชนตรโกณมตของมม แลวใหนกเรยน อานจดมงหมายของการเรยนการสอน เพอใหนกเรยนเขาใจจดมงหมายทแทจรง 5. ใหนกเรยนทากจกรรมในคอมพวเตอรหนวยท 6 โดยครนนเปดโอกาสใหนกเรยนไดปฏบตกจกรรมตามความสามารถของตนเอง โดยทครมหนาทสอน ชแจง และแนะนานกเรยนใหปฏบตกจกรรมไดอยางถกตอง

6. เมอนกเรยนทาใบกจกรรมท 6.1 เสรจแลวครสมถามนกเรยนในหองเรยน 1 คน ออกมาอธบายสงทนกเรยนไดจากการทาใบกจกรรมท 6.1

7. ครสรปสงทนกเรยนไดจากใบกจกรรมท 6.1 เพอใหนกเรยนไดแนวคดทเปนไปใน ทศทางเดยวกนทงหมด

6. การวดผลและการประเมนผลการเรยนร

การวด การประเมนผล เครองมอวด

- สงเกตจากการปฏบตตามใบ กจกรรม - สงเกตการใหเหตผล และ การอภปราย

- ทาใบกจกรรมท 6.1 ไดถกตอง - ตอบคาถามไดถกตอง

- ใบกจกรรมท 6.1

199

หนวยท 6 เรองฟงกชนตรโกณมตของมม แผนการจดการเรยนรท 13

วชา คณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ฟงกชนตรโกณมตของรปสามเหลยมมมฉาก จานวน 1 คาบ

1. สาระสาคญ

ฟงกชนตรโกณมตของมมของรปสามเหลยมมมฉาก ประโยชนสาคญประการหนงของฟงกชนตรโกณมต คอ การนาไปใชในการหาสวนตางๆ ของรปสามเหลยม ตอไปนจะพจารณาถงฟงกชนตรโกณมตของมมของรปสามเหลยมมมฉาก

จากรปให ABC เปนรปสามเหลยม ซงม BCA เปนมมฉาก ดงนน o90CAB < ให a, b, c เปนความยาวของดานตรงขามมม A, B และ C ตามลาดบของรปสามเหลยม ให CAB อยในตาแหนงมาตรฐานดงรป สวนโคงของวงกลมหนงหนวยทรองรบมม A คอสวนโคง FD ให DE ตงฉากกบ AC ทจด E ดงนน sin A = sin(ความยาวสวนโคง FD) = DE cos A = cos(ความยาวสวนโคง FD) = AE เนองจากรปสามเหลยม ADE และรปสามเหลยม ABC เปนรปสามเหลยมคลาย

ดงนน ADDE =

ABBC และ

ADAE =

ABAC

แต AD = 1

ดงนน DE = ABBC =

ca และ AE =

ABAC =

cb

นนคอ sin A = ca , cos A =

cb

200

และ tan A = cosAsinA =

cbca

= ba

จากทกลาวมาน จงสรปไดวา sin A = cos A = tan A = สวนคาของฟงกชนตรโกณมตอนๆ ของมม A จะเปนสวนกลบของคาของฟงกชนทงสาม น สมการขางตนนมประโยชนในการหาสวนตางๆ ของรปสามเหลยมมมฉาก 2. จดประสงคการเรยนร ดานความร 1. เมอกาหนดรปสามเหลยมมมฉากพรอมบอกมม 1 มม และดาน 1 ดานนกเรยนสามารถหาความยาวของดานทเหลอได

2. นกเรยนสามารถหาคาของฟงกชนตรโกณมตของรปสามเหลยมมมฉาก เมอกาหนดคาของฟงกชนตรโกณมตคาหนงใหได

ดานทกษะ/กระบวนการ 1. มความสามารถในการใหเหตผล 2. มความสามารถในการสอสาร และนาเสนอ

ดานคณลกษณะ 1. มความสนใจและกระตอรอรนในการเรยนและการทางาน 2. มความรบผดชอบตอการทางานทไดรบมอบหมาย 3. มความเชอมนในตนเอง และกลาแสดงความคดเหน

3. สาระการเรยนร ฟงกชนตรโกณมตของมมของรปสามเหลยมมมฉาก sin A = cos A =

201

tan A = สวนคาของฟงกชนตรโกณมตอนๆ ของมม A จะเปนสวนกลบของคาของฟงกชนทงสาม น สมการขางตนนมประโยชนในการหาสวนตางๆ ของรปสามเหลยมมมฉาก 4. สอการเรยนร/แหลงการเรยนร 1. แฟมคาสง/คอมพวเตอร 2. ใบกจกรรมหนวยท 6 เรองฟงกชนตรโกณมตของมม ประกอบดวย 2.1) ใบกจกรรมท 6.2 ตอนท 1: ฟงกชนตรโกณมตของมมของรปสามเหลยมมมฉาก 3. หนงสอเรยนวชาคณตศาสตรเพมเตม 5. กจกรรมการเรยนร

1. ครนานกเรยนทบทวนเกยวกบความรเดมในเรองฟงกชนตรโกณมตของมมในคาบทผานมาโดยใหนกเรยนตอบคาถามทครถาม 2. ครใหนกเรยนเปดชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต ใน หนวยท 6 พรอมทงแจกเอกสารใบกจกรรมท 6.2 ตอนท 1 เรองฟงกชนตรโกณมตของมมของรปสามเหลยมมมฉาก แลวใหนกเรยนอานจดมงหมายของการเรยนการสอน เพอใหนกเรยนเขาใจจดมงหมายทแทจรง 3. ใหนกเรยนทากจกรรมท 6.2 ตอนท 1โดยครเปดโอกาสใหนกเรยนไดปฏบตกจกรรมตามความสามารถของตนเอง โดยทครมหนาทสอน ชแจง และแนะนานกเรยนใหปฏบตกจกรรมไดอยางถกตอง

4. เมอนกเรยนปฏบตกจกรรมท 6.2 ตอนท 1 เสรจแลวครสมถามนกเรยนในหองเรยน 1 คน ออกมาอธบายสงทนกเรยนไดจากการทากจกรรมท 6.2 ตอนท 1

5. ครสรปสงทนกเรยนไดจากกจกรรมท 6.2 ตอนท 1 เพอใหนกเรยนไดแนวคดทเปนไปในทศทางเดยวกนทงหมด 6. การวดผลและการประเมนผลการเรยนร

การวด การประเมนผล เครองมอวด

- สงเกตจากการปฏบตตามใบ กจกรรม - สงเกตการใหเหตผล และ การอภปราย

- ทาใบกจกรรมท 6.2 ตอนท 1 ไดถกตอง - ตอบคาถามไดถกตอง

- ใบกจกรรมท 6.2 ตอนท 1

202

หนวยท 6 เรองฟงกชนตรโกณมตของมม แผนการจดการเรยนรท 14

วชา คณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 4 เรองการหาคาของฟงกชนตรโกณมตจากตาราง จานวน 1 คาบ

1. สาระสาคญ

การหาคาของฟงกชนตรโกณมตจากตาราง (ใหนกเรยนเปดคาตารางทอยในหนงสอหนา 101) เราทราบมาแลววา ถา θ เปนจานวนจรง และอยในโดเมนของฟงกชนตรโกณมตใด จะสามารถหาคาของฟงกชนตรโกณมตนนไดเสมอ ซงเรากไดมการหาคาของฟงกชนตรโกณมต

ของจานวนจรงบางจานวนไปแลว เชน 4π,

6π หรอ

3π เปนตน

ในกรณท θ เปนจานวนจรงอนๆ เราจะทราบคาของฟงกชนตรโกณมตของ θ ไดอยางไร ปญหาขอน เราไดเคยมการอภปรายมากอนหนานแลววา ถาเราสามารถหาคาของฟงกชนตรโกณมต

ของจานวนจรง θ โดยท 2πθ0 ≤≤ ไดแลว เราจะหาคาของฟงกชนตรโกณมตของจานวนจรงอนๆ

ได ดงนน นกคณตศาสตรจงไดสรางตารางแสดงคาของฟงกชนตรโกณมตของจานวนจรงบางจานวน

ในชวง [0, 2π ] หรอของมมบางมมตงแต o0 ถง o90 ตารางน เรยกวา ตารางคาฟงกชนตรโกณมต

สวนประกอบของตารางคาฟงกชนตรโกณมต 1. ตารางจะประกอบดวยชองยอยๆ ทงหมด 10 ชอง 2. ชองท 1 และชองท 10 แสดงมม θ ซงเปนมมทมหนวยเปนเรเดยน โดยท - ในชองท 1 คาของ θ จะมคาเรมจาก .0000 เรเดยน ถง .7854 เรเดยน จากบนลงลาง - ในชองท 10 จะเรมจาก .7854 เรเดยน ถง 1.5708 เรเดยน จากลางขนบน 3. ชองท 2 และชองท 9 แสดงมม θ ซงเปนมมทมหนวยเปนองศา โดยท - ในชองท 2 คาของ θ จะมคาเรมจาก 000 ′o และเพมทละ 10 ลปดา จนถง 0045 ′o จากบนลงลาง - ในชองท 9 คาของ θ จะมคาเรมจาก 0045 ′o และเพมทละ 10 ลปดา จนถง 0090 ′o จากลางขนบน 4. ชองท 3, 4, 5, 6, 7 และ 8 จะเปนตวเลขทแสดงคาของ sinθ , cosθ , tanθ , cotθ , secθ และ cosecθ ตามลาดบ จากบนลงลาง หรอ cosθ , sinθ , cotθ , tanθ , cosecθ และ secθ ตามลาดบ จากลางขนบน

203

การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของจานวนจรงบางจานวนหรอมมบางมมทไมปรากฏในตาราง สมมตให θ เปนมมทตองการหาคาฟงกชนตรโกณมต (ซงไมปรากฏในตาราง) 1) หามม α ทมากทสด และมม β ทนอยทสด ซง βθα << 2) หาคาของฟงกชนตรโกณมตของ α และของ β 3) ใชสดสวนแสดงความสมพนธระหวางผลตางของมม และผลตางของคาฟงกชนของมม หมายเหต สงทควรระวงกคอ จะตองพจารณาใหถองแทวา ในขณะทมมเพมขนนน คาของฟงกชนตรโกณมตของมมนนจะเพมขนหรอลดลง ตวอยาง จงหาคาของ 1) sin 7140 ′o 2) cos 7140 ′o วธทา เนองจาก 024071400140 ′<′<′ ooo 1) จากตารางจะไดวา sin 0140 ′o = 0.6450 มมเพมขน 01 ′ sin 7140 ′o = ? 0.0022 คาฟงกชนเพมขน sin 0240 ′o = 0.6472

ดงนน 107 =

0.0022d

d = 10

0022.07× = .00154

เพราะฉะนน sin 7140 ′o = 0.6450 + 0.00154 = 0.64654 2) จากตารางจะไดวา cos 0140 ′o = 0.7642 มมเพมขน 01 ′ cos 7140 ′o = ? - 0.0019 คาฟงกชนลดลง cos 0240 ′o = 0.7623

ดงนน 107 =

190.00d

−

d = 10

)0019.0(7 −× = -0.00133

เพราะฉะนน cos 7140 ′o = 0.7642 + (-0.00133) = 0.76287

7′ d

7′ d

204

2. จดประสงคการเรยนร ดานความร 1. นกเรยนสามารถอานและหาคาของฟงกชนตรโกณมตทงทมอยในตารางและไม อยในตารางได

ดานทกษะ/กระบวนการ 1. มความสามารถในการใหเหตผล 2. มความสามารถในการสอสาร และนาเสนอ

ดานคณลกษณะ 1. มความสนใจและกระตอรอรนในการเรยนและการทางาน 2. มความรบผดชอบตอการทางานทไดรบมอบหมาย 3. มความเชอมนในตนเอง และกลาแสดงความคดเหน

3. สาระการเรยนร การหาคาของฟงกชนตรโกณมตจากตาราง สวนประกอบของตารางคาฟงกชนตรโกณมต 1. ตารางจะประกอบดวยชองยอยๆ ทงหมด 10 ชอง 2. ชองท 1 และชองท 10 แสดงมม θ ซงเปนมมทมหนวยเปนเรเดยน โดยท - ในชองท 1 คาของ θ จะมคาเรมจาก .0000 เรเดยน ถง .7854 เรเดยน จากบนลงลาง - ในชองท 10 จะเรมจาก .7854 เรเดยน ถง 1.5708 เรเดยน จากลางขนบน 3. ชองท 2 และชองท 9 แสดงมม θ ซงเปนมมทมหนวยเปนองศา โดยท - ในชองท 2 คาของ θ จะมคาเรมจาก 000 ′o และเพมทละ 10 ลปดา จนถง 0045 ′o จากบนลงลาง - ในชองท 9 คาของ θ จะมคาเรมจาก 0045 ′o และเพมทละ 10 ลปดา จนถง 0090 ′o จากลางขนบน 4. ชองท 3, 4, 5, 6, 7 และ 8 จะเปนตวเลขทแสดงคาของ sinθ , cosθ , tanθ , cotθ , secθ และ cosecθ ตามลาดบ จากบนลงลาง หรอ cosθ , sinθ , cotθ , tanθ , cosecθ และ secθ ตามลาดบ จากลางขนบน การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของจานวนจรงบางจานวนหรอมมบางมมทไมปรากฏในตาราง สมมตให θ เปนมมทตองการหาคาฟงกชนตรโกณมต (ซงไมปรากฏในตาราง) 1) หามม αทมากทสด และมม β ทนอยทสด ซง βθα << 2) หาคาของฟงกชนตรโกณมตของ α และของ β 3) ใชสดสวนแสดงความสมพนธระหวางผลตางของมม และผลตางของคาฟงกชนของมม

205

หมายเหต สงทควรระวงกคอ จะตองพจารณาใหถองแทวา ในขณะทมมเพมขนนน คาของฟงกชนตรโกณมตของมมนนจะเพมขนหรอลดลง 4. สอการเรยนร/แหลงการเรยนร 1. แฟมคาสง/คอมพวเตอร 2. ใบกจกรรมหนวยท 6 เรองฟงกชนตรโกณมตของมม ประกอบดวย 2.1) ใบกจกรรมท 6.2 ตอนท 2: การหาคาของฟงกชนตรโกณมตจากตาราง 3. หนงสอเรยนวชาคณตศาสตรเพมเตม 5. กจกรรมการเรยนร

1. ครนานกเรยนทบทวนเกยวกบความรเดมในเรองฟงกชนตรโกณมตของมมในคาบทผานมาโดยใหนกเรยนตอบคาถามทครถาม 2. ครใหนกเรยนเปดชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต ใน หนวยท 6 พรอมทงแจกเอกสารใบกจกรรมท 6.2 ตอนท 2 เรองการหาคาของฟงกชนตรโกณมตจากตาราง แลวใหนกเรยนอานจดมงหมายของการเรยนการสอน เพอใหนกเรยนเขาใจจดมงหมายทแทจรง 3. ใหนกเรยนทากจกรรมท 6.2 ตอนท 2โดยครเปดโอกาสใหนกเรยนไดปฏบตกจกรรมตามความสามารถของตนเอง โดยทครมหนาทสอน ชแจง และแนะนานกเรยนใหปฏบตกจกรรมไดอยางถกตอง

4. เมอนกเรยนปฏบตกจกรรมท 6.2 ตอนท 2 เสรจแลวครสมถามนกเรยนในหองเรยน 1 คน ออกมาอธบายสงทนกเรยนไดจากการทากจกรรมท 6.2 ตอนท 2

5. ครสรปสงทนกเรยนไดจากกจกรรมท 6.2 ตอนท 2 เพอใหนกเรยนไดแนวคดทเปนไปในทศทางเดยวกนทงหมด

6. การวดผลและการประเมนผลการเรยนร

การวด การประเมนผล เครองมอวด

- สงเกตจากการปฏบตตามใบ กจกรรม - สงเกตการใหเหตผล และ การอภปราย

- ทาใบกจกรรมท 6.2 ตอนท 2 ไดถกตอง - ตอบคาถามไดถกตอง

- ใบกจกรรมท 6.2 ตอนท 2

206

หนวยท 7 เรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต แผนการจดการเรยนรท 15

วชา คณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 4

เรอง กราฟของฟงกชนตรโกณมต กรณท 1 y = T(x) และกรณท 2 y = k⋅T(x) จานวน 1 คาบ

1. สาระสาคญ

กราฟของฟงกชนตรโกณมต ในการแกปญหาไมวาจะเปนปญหาทางคณตศาสตร หรอปญหาเกยวกบเรองแสง และเสยงในวชาฟสกส บางครงจาเปนตองอาศยความรเกยวกบกราฟของฟงกชนตรโกณมต การศกษากราฟของฟงกชนตรโกณมตกเหมอนกบฟงกชนทวๆไป กลาวคอ ศกษาเกยวกบลกษณะของกราฟ พรอมทงหาโดเมนและเรนจของฟงกชน กรณท 1 กราฟของฟงกชนตรโกณมตเมอ y = T(x) 1. กราฟของฟงกชนไซน ให (x, y) ∈ sine (ฟงกชนไซน) จะได y = sine x หรอเขยนสนๆ วา y = sin x เพอความสะดวก เราหากราฟของฟงกชนไซนในชวง [0, π2 ] เสยกอนโดยหาคาของฟงกชนไซนจากแตละคาของ x ทกาหนดให โดยทนจะขอแบงเปน 2 ชวง ดงน

ชวงท 1 กราฟของ y = sin x เมอ πx0 ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

sin(x) 0 21

22

23 1

23

22 2

1 0

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว จะไดวากราฟของ y = sin x เมอ πx0 ≤≤ มลกษณะดงน

207

ชวงท 2 กราฟของ y = sin x เมอ π2xπ ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x π 6π7

4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

sin(x) 0 21

− 22

− 23

− - 1 23

− 22

− 21

− 0

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว จะไดวากราฟของ y = sin x เมอ π2xπ ≤≤ มลกษณะดงน

เมอเรานากราฟทง 2 ชวงมารวมกน จะไดลกษณะของกราฟ y = sin x เมอ π2x0 ≤≤ ดงน

หรอนกเรยนสามารถดไดจากวงกลมหนงหนวยตอไปน

208

เนองจากเรนจของฟงกชนไซนคอเซตของจานวนจรงตงแต -1 ถง 1 ดงนนคาของฟงกชนไซนจงม คาตงแต -1 ถง 1 ซงคาของ sin x เมอ x เปนจานวนจรงตงแต 0 ถง π2 จะมคาเพมขนหรอลดลง ดงแสดงในตารางตอไปน

x : 0 2π π

2π3 π2

1 sin x : 0 0 0

-1

สรป

1. ขณะท θ เพมจาก 0 ถง 2π

กราฟของ y = sin θ จะเรมจาก 0 และสงขนไปเรอยๆ จนถง 1

2. ขณะท θ เพมจาก 2π ถง π

กราฟของ y = sin θ จะเรมจาก 1 และลดตาลงไปเรอยๆ จนถง 0

3. ขณะท θ เพมจาก π ถง 2π3

กราฟของ y = sin θ จะเรมจาก 0 และลดตาลงไปเรอยๆ จนถง -1

4. ขณะท θ เพมจาก 2π3 ถง π2

กราฟของ y = sin θ จะเรมจาก -1 และสงขนไปเรอยๆ จนถง 0 5. ลกษณะกราฟของ y = sinθ จะเปนไปตามขอ 1 ถงขอ 4

เรยงตามลาดบ ถา θ เพมขนอกชวงละ 2π เรเดยน ตามลาดบ

นกเรยนลองพจารณากราฟของฟงกชนไซน ตอไปน

209

จากกราฟดงกลาวเนองจาก sin( θnπ2 + ) = sinθ เมอ n เปนจานวนเตมใดๆ นกเรยนจะพบวาในชวง [ π2 , π4 ] หรอในชวง [ π2− , 0] ลกษณะของกราฟจะเหมอนกบกราฟในชวง [ 0 , π2 ] และจะมลกษณะเชนนไปเรอยๆ ฟงกชนทมลกษณะเชนนเราเรยกวา ฟงกชนทเปนคาบ (periodic function)และคาบของฟงกชนดงกลาวเทากบ π2 ซงกคอความยาวของชวงจาก 0 ถง π2 นนเอง ในกรณทฟงกชนทเปนคาบมคาตาสดและคาสงสด เราจะเรยกคาทเทากบครงหนงของผลตางของคาสงสดกบคาตาสดของฟงกชนนนวา แอมพลจด (amplitude) นนคอ ถา M และ m เปนคาสงสดและคาตาสดของฟงกชนทเปนคาบตามลาดบ จะไดวา

แอมพลจดของฟงกชน เทากบ m)(M21

−

เชน ฟงกชน y = sin x คาสงสดของฟงกชน y = sin x เทากบ 1 คาตาสดของฟงกชน y = sin x เทากบ -1

ดงนน แอมพลจดของฟงกชน เทากบ 11))((121

=−−

สรปลกษณะของฟงกชนไซน จากลกษณะกราฟของ y = sin x มสงทนกเรยนควรสนใจดงน 1) โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ rD = {x|x R∈ } 2) เรนจของฟงกชน คอ [-1, 1] นนคอ rR = {y| 1y1 ≤≤− } หรอกลาวอยางงายๆ ไดวา 1sinx1 ≤≤− 3) ฟงกชน y = sin x เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 ดงนน อาจจะมคา x หลายๆ คา ททาใหไดคา y เพยงคาเดยว 4) ฟงกชนไซน มคาบเทากบ π2 และมแอมพลจด เทากบ 1 5) เราสามารถบอกลกษณะของฟงกชนเพม ฟงกชนลดไดโดยดจากกราฟ เชน

ในชวง ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

2π,

2π ฟงกชนไซนเปนฟงกชนเพม

ในชวง ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2π3,

2π ฟงกชนไซนเปนฟงกชนลด เปนตน

2. กราฟของฟงกชนโคไซน ให (x, y) ∈ cosine (ฟงกชนโคไซน) จะได y = cosine x หรอเขยนสนๆ วา y = cos x เพอความสะดวก เราหากราฟของฟงกชนโคไซนในชวง [0, π2 ] เสยกอนโดยหาคาของฟงกชนโคไซนจากแตละคาของ x ทกาหนดให โดยทนจะขอแบงเปน 2 ชวง ดงน

210

ชวงท 1 กราฟของ y = cos x เมอ πx0 ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

cos(x) 1 23

22 2

1 0 21

− 22

− 23

− -1

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว จะไดวากราฟของ y = cos x เมอ πx0 ≤≤ มลกษณะดงน

ชวงท 2 กราฟของ y = cos x เมอ π2xπ ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x π 6π7

4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

cos(x) -1 23

− 22

− 21

− 0 21

22

23 1

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว จะไดวากราฟของ y = cos x เมอ π2xπ ≤≤ มลกษณะดงน

211

เมอเรานากราฟทง 2 ชวงมารวมกน จะไดลกษณะของกราฟ y = cos x เมอ π2x0 ≤≤ ดงน

เนองจากเรนจของฟงกชนโคไซนคอเซตของจานวนจรงตงแต -1 ถง 1 ดงนนคาของ ฟงกชนโคไซนจงมคาตงแต -1 ถง 1 ซงคาของ cos x เมอ x เปนจานวนจรงตงแต 0 ถง π2 จะมคาเพมขนหรอลดลงดงแสดงในตารางตอไปน

x : 0 2π π

2π3 π2

1 1 cos x : 0 0

-1

สรป

1. ขณะท θ เพมจาก 0 ถง 2π

กราฟของ y = cos θ จะเรมจาก 1 และลดลงไปเรอยๆ จนถง 0

2. ขณะท θ เพมจาก 2π ถง π

กราฟของ y = cosθ จะเรมจาก 0 และลดตาลงไปเรอยๆ จนถง -1

3. ขณะท θ เพมจาก π ถง 2π3

กราฟของ y = cos θ จะเรมจาก -1 และสงขนไปเรอยๆ จนถง 0

4. ขณะท θ เพมจาก 2π3 ถง π2

กราฟของ y = cos θ จะเรมจาก 0 และสงขนไปเรอยๆ จนถง 1 5. ลกษณะกราฟของ y = cosθ จะเปนไปตามขอ 1 ถงขอ 4

เรยงตามลาดบ ถา θ เพมขนอกชวงละ 2π เรเดยน ตามลาดบ

212

นกเรยนลองพจารณากราฟของฟงกชนโคไซน ตอไปน

จากกราฟดงกลาวเนองจาก cos( θnπ2 + ) = cosθ เมอ n เปนจานวนเตมใดๆ นกเรยนจะพบวา

ในชวง [ π2 , π4 ] หรอในชวง [ π2− , 0] ลกษณะของกราฟจะเหมอนกบกราฟในชวง [ 0 , π2 ] และจะมลกษณะเชนนไปเรอยๆ ฟงกชนทมลกษณะเชนนเราเรยกวา ฟงกชนทเปนคาบ (periodic function) และคาบของฟงกชนดงกลาวเทากบ π2 ซงกคอความยาวของชวงจาก 0 ถง π2 นนเอง สรปลกษณะของฟงกชนโคไซน จากลกษณะกราฟของ y = cos x มสงทนกเรยนควรสนใจดงน 1) โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ rD = {x|x R∈ } 2) เรนจของฟงกชน คอ [-1, 1] นนคอ rR = {x| 11 ≤≤− x } หรอกลาวอยางงายๆ ไดวา 1cosx1 ≤≤− 3) ฟงกชน y = cos x เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 ดงนน อาจจะมคา x หลายๆ คา ททาใหไดคา y เพยงคาเดยว 4) ฟงกชนโคไซน มคาบเทากบ π2 และมแอมพลจด เทากบ 1 5) เราสามารถบอกลกษณะของฟงกชนเพม ฟงกชนลดไดโดยดจากกราฟ เชน ในชวง ( π , π2 ) ฟงกชนโคไซนเปนฟงกชนเพม ในชวง (0, π ) ฟงกชนโคไซนเปนฟงกชนลด เปนตน 3. กราฟของฟงกชนแทนเจนต

tangent = {(x, y) ∈ RR× |y = tan x = xx

cossin เมอ cos x ≠ 0}

ดงนน คา x ททาใหเราไมสามารถหาคา y ได กคอคา x ททาให cos x = 0 จะไดวา rD = {x ∈R| cos x ≠ 0} = R - {x ∈R| cos x =0}

= R - {x ∈R| x = n⋅2π เมอ n เปนจานวนเตมค}

213

rR = R เพอความสะดวก เราหากราฟของฟงกชนแทนเจนตในชวง [0, π2 ] เสยกอนโดยหาคาของฟงกชนแทนเจนตจากแตละคาของ x ทกาหนดให

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว จะไดวากราฟของ y = tan x เมอ π2x0 ≤≤ มลกษณะดงน

จากรปขางบนจะพบวา

1) tan 2π หาคาไมได เพราะ cos

2π = 0

2) tan )2π(− หาคาไมได เพราะ cos )

2π(− = 0

3) ถา x < 2π และมคาเขาใกล

2π แลว คาของ tan x จะเปนจานวนจรงบวกและมคามากขน

อยางไมมทสนสด ดงนนกราฟในสวนน จงสงขนๆ แตจะไมตดกบเสนตรง x = 2π

4) ถา x > 2π และมคาเขาใกล

2π แลว คาของ tan x จะเปนจานวนจรงบวกและมคาลดลง

อยางไมมทสนสด ดงนนกราฟในสวนน จงลดลงๆ แตจะไมตดกบเสนตรง x = 2π

เพราะฉะนนกราฟของ y = tan x เมอ x เปนจานวนจรงทหาคา tan x ได จะมลกษณะดงรป

x 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

tan(x) 0 33 1 3 - 3− -1

33

− 0

x 6π7

4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

tan(x) 33 1 3 - 3− -1

33

− 0

214

สรป สงทนกเรยนควรรเกยวกบฟงกชน y = tan x

1) โดเมนของฟงกชน คอ R - {x ∈R| x = n⋅2π เมอ n เปนจานวนเตมค}

2) เรนจของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ ∞− < tan x < ∞ 3) ฟงกชน y = tan x เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 4) คาบของฟงกชนเทากบ π 5) แอมพลจดของฟงกชนไมม เพราะไมสามารถหาจดสงสดและจดตาสดได

4. กราฟของฟงกชนโคเซแคนต

cosecant = {(x, y) RR×∈ |y = cosec x = xsin

1 เมอ sin x ≠ 0}

ดงนน คา x ททาใหเราไมสามารถหาคา y ได กคอคา x ททาให sin x = 0 จะไดวา rD = {x ∈R| sin x ≠ 0}

= R - {x ∈R| sin x =0}

= R - {x ∈R| x = n⋅ π เมอ n เปนจานวนเตม} ถา x เปนจานวนจรงในโดเมนของ cosecant แลว จะได ≤−1 sin x < 0 หรอ 0 < sin x 1≤

ดงนน 1sin

1−≤

x หรอ 1

sin1

≥x

นนคอ cosec x 1−≤ หรอ cosec x 1≥ เพราะฉะนน rR = ( ∞− , - 1] U [1, ∞ )

215

เพอความสะดวก เราหากราฟของฟงกชนโคเซแคนตในชวง [- π2 , π4 ] เสยกอนโดยหา คาของฟงกชนโคเซแคนตจากแตละคาของ x ทกาหนดให (ทาในทานองเดยวกนกบทผานมา)

สรป สงทนกเรยนควรรมดงน

1) โดเมนของฟงกชน คอ R - {x ∈R| x = n⋅ π เมอ n เปนจานวนเตม} 2) เรนจของฟงกชน คอ ( ∞− , - 1] U [1, ∞ ) นนคอ cosec x 1−≤ หรอ cosec x 1≥ 3) ฟงกชน y = cosec x เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 4) คาบของฟงกชนเทากบ 2 π 5) แอมพลจดของฟงกชนไมม เพราะไมสามารถหาจดสงสดและจดตาสดได

5. กราฟของฟงกชนเซแคนต

secant = {(x, y) RR×∈ |y = sec x = xcos

1 เมอ cos x ≠ 0}

ดงนน คา x ททาใหเราไมสามารถหาคา y ได กคอคา x ททาให cos x = 0 จะไดวา

rD = {x ∈R| cos x ≠ 0} = R - {x ∈R| cos x =0}

= R - {x ∈R| x = n⋅2π เมอ n เปนจานวนเตมค}

ถา x เปนจานวนจรงในโดเมนของ secant แลว จะได ≤−1 cos x < 0 หรอ 0 < cos x 1≤

ดงนน 1cos

1−≤

x หรอ 1

cos1

≥x

นนคอ sec x 1−≤ หรอ sec x 1≥ เพราะฉะนน rR = ( ∞− , - 1] U [1, ∞ )

เพอความสะดวก เราหากราฟของฟงกชนเซแคนตในชวง [- π2 , π4 ] เสยกอนโดยหาคาของฟงกชนเซแคนตจากแตละคาของ x ทกาหนดให (ทาในทานองเดยวกนกบทผานมา)

216

สรป สงทนกเรยนควรรมดงน

1) โดเมนของฟงกชน คอ R - {x ∈R| x = n⋅2π เมอ n เปนจานวนเตมค}

2) เรนจของฟงกชน คอ ( ∞− , - 1] U [1, ∞ ) นนคอ sec x 1−≤ หรอ sec x 1≥ 3) ฟงกชน y = sec x เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 4) คาบของฟงกชนเทากบ 2 π 5) แอมพลจดของฟงกชนไมม เพราะไมสามารถหาจดสงสดและจดตาสดได

6. กราฟของฟงกชนโคแทนเจนต

cotangent = {(x, y) RR×∈ |y = cot x = xtan

1 เมอ tan x ≠ 0}

ดงนน คา x ททาใหเราไมสามารถหาคา y ได กคอคา x ททาให tan x = 0 จะไดวา

rD = {x ∈R| tan x ≠ 0} = R - {x ∈R| tan x =0}

= R - {x ∈R| x = n⋅ π เมอ n เปนจานวนเตม}

rR = R เพอความสะดวก เราหากราฟของฟงกชนโคแทนเจนตในชวง [- π2 , π4 ] เสยกอนโดยหาคา

ของฟงกชนโคแทนเจนตจากแตละคาของ x ทกาหนดให (ทาในทานองเดยวกนกบทผานมา)

217

สรป สงทนกเรยนควรรมดงน

1) โดเมนของฟงกชน คอ R - {x ∈R| x = n⋅ π เมอ n เปนจานวนเตม} 2) เรนจของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง หรอ ∞− < cot x < ∞ 3) ฟงกชน y = cot x เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 4) ถา x ∈ (0, π ) ฟงกชน y = cot x เปนฟงกชน 1 – 1 5) คาบของฟงกชนเทากบ π 6) แอมพลจดของฟงกชนไมม เพราะไมสามารถหาจดสงสดและจดตาสดได

กรณท 2 กราฟของฟงกชนตรโกณมต y = k⋅T(x) เมอ k 0≠ 1. กราฟของฟงกชนไซน ให (x, y) ∈ sine (ฟงกชนไซน)

จะได y = k⋅sine(x) หรอเขยนสนๆ วา y = k⋅sin(x) เพอความสะดวก เราหากราฟของฟงกชนไซนในชวง [0, π2 ] เสยกอนโดยหาคาของฟงกชนไซนจากแตละคาของ x ทกาหนดให โดยทนจะขอแบงเปน 2 ชวง ดงน

ชวงท 1 กราฟของ y = k⋅sin(x) เมอ πx0 ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

k⋅sin(x) k⋅0 k⋅21 k⋅

22 k⋅

23 k⋅1 k⋅

23 k⋅

22 k⋅

21 k⋅0

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว นาคาของฟงกชนไปวาดกราฟ

ชวงท 2 กราฟของ y = k⋅sin(x) เมอ π2xπ ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x π 6π7

4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

k⋅sin(x) k⋅0 k⋅(21

− ) k⋅(22

− ) k⋅(23

− ) k⋅(- 1) k⋅(23

− ) k⋅(22

− ) k⋅(21

− ) k⋅0

218

สรปลกษณะของฟงกชนไซนกรณ y = k.sin(x) จากลกษณะกราฟของ y = k.sin(x) มสงทนกเรยนควรสนใจดงน 1) โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ rD = {x|x R∈ }

2) เรนจของฟงกชน คอ [-1⋅k, 1⋅k] นนคอ rR = {y| k1k1 ⋅≤≤⋅− y } หรอกลาวอยางงายๆ ไดวา k1sin(x)kk1 ⋅≤⋅≤⋅− 3) ฟงกชน y = k.sin(x) เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 ดงนน อาจจะมคา x หลายๆ คา ททาใหไดคา y เพยงคาเดยว 4) ฟงกชนไซน มคาบเทากบ π2 และมแอมพลจด เทากบ |k| 2. กราฟของฟงกชนโคไซน

ให (x, y) ∈ cosine (ฟงกชนไซน)

จะได y = k⋅cosine(x) หรอเขยนสนๆ วา y = k⋅cos(x) เพอความสะดวก เราหากราฟของฟงกชนโคไซนในชวง [0, π2 ] เสยกอนโดยหาคาของฟงกชนโคไซนจากแตละคาของ x ทกาหนดให โดยทนจะขอแบงเปน 2 ชวง ดงน

ชวงท 1 กราฟของ y = k⋅cos(x) เมอ πx0 ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

k⋅cos(x) k⋅1 k⋅23 k⋅

22 k⋅

21 k⋅0 k⋅(

21

− ) k⋅(22

− ) k⋅(-23 ) k⋅(-1)

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว นาคาของฟงกชนไปวาดกราฟ

ชวงท 2 กราฟของ y = k⋅cos(x) เมอ π2xπ ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x π 6π7

4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

k⋅cos(x) k⋅(-1) k⋅(-23 ) k⋅(-

22 ) k⋅(-

21 ) k⋅0 k⋅

21 k⋅

22 k⋅

23 k⋅1

219

สรปลกษณะของฟงกชนโคไซนกรณ y = k⋅cos(x)

จากลกษณะกราฟของ y = k⋅cos (x) มสงทนกเรยนควรสนใจดงน 1) โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ rD = {x|x R∈ }

2) เรนจของฟงกชน คอ [-1⋅k, 1⋅k] นนคอ rR = {x| k1k1 ⋅≤≤⋅− x } หรอกลาวอยางงายๆ ไดวา k1cos(x)kk1 ⋅≤⋅≤⋅−

3) ฟงกชน y = k⋅cos(x) เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 ดงนน อาจจะมคา x หลายๆ คา ททาใหไดคา y เพยงคาเดยว 4) ฟงกชนโคไซน มคาบเทากบ π2 และมแอมพลจด เทากบ |k| สาหรบกราฟของฟงกชนทเหลอเราสามารถใชความสมพนธระหวางฟงกชนไซนและโคไซนในการวาดกราฟไดในทานองเดยวกน 2. จดประสงคการเรยนร ดานความร

1. นกเรยนสามารถเขยนกราฟของฟงกชนตรโกณมตทกาหนดใหได 2. นกเรยนสามารถบอกโดเมนและเรนจของฟงกชนตรโกณมตทกาหนดใหได 3. นกเรยนสามารถหาคาคาบและแอมพลจดของฟงกชนตรโกณมตได

ดานทกษะ/กระบวนการ 1. มความสามารถในการใหเหตผล 2. มความสามารถในการสอสาร และนาเสนอ

ดานคณลกษณะ 1. มความสนใจและกระตอรอรนในการเรยนและการทางาน 2. มความรบผดชอบตอการทางานทไดรบมอบหมาย 3. มความเชอมนในตนเอง และกลาแสดงความคดเหน

3. สาระการเรยนร 1. กราฟของฟงกชนไซน สรปลกษณะของฟงกชนไซน จากลกษณะกราฟของ y = sin x มสงทนกเรยนควรสนใจดงน 1) โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ rD = {x|x R∈ } 2) เรนจของฟงกชน คอ [-1, 1] นนคอ rR = {y| 1y1 ≤≤− } หรอกลาวอยางงายๆ ไดวา 1sinx1 ≤≤−

220

3) ฟงกชน y = sin x เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 ดงนน อาจจะมคา x หลายๆ คา ททาใหไดคา y เพยงคาเดยว 4) ฟงกชนไซน มคาบเทากบ π2 และมแอมพลจด เทากบ 1 5) เราสามารถบอกลกษณะของฟงกชนเพม ฟงกชนลดไดโดยดจากกราฟ เชน

ในชวง ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

2π,

2π ฟงกชนไซนเปนฟงกชนเพม

ในชวง ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2π3,

2π ฟงกชนไซนเปนฟงกชนลด เปนตน

2. กราฟของฟงกชนโคไซน สรปลกษณะของฟงกชนโคไซน จากลกษณะกราฟของ y = cos x มสงทนกเรยนควรสนใจดงน 1) โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ rD = {x|x R∈ } 2) เรนจของฟงกชน คอ [-1, 1] นนคอ rR = {x| 11 ≤≤− x } หรอกลาวอยางงายๆ ไดวา 1cosx1 ≤≤− 3) ฟงกชน y = cos x เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 ดงนน อาจจะมคา x หลายๆ คา ททาใหไดคา y เพยงคาเดยว 4) ฟงกชนโคไซน มคาบเทากบ π2 และมแอมพลจด เทากบ 1 5) เราสามารถบอกลกษณะของฟงกชนเพม ฟงกชนลดไดโดยดจากกราฟ เชน ในชวง ( π , π2 ) ฟงกชนโคไซนเปนฟงกชนเพม ในชวง (0, π ) ฟงกชนโคไซนเปนฟงกชนลด เปนตน 3. กราฟของฟงกชนแทนเจนต สรป สงทนกเรยนควรรเกยวกบฟงกชน y = tan x

1) โดเมนของฟงกชน คอ R - {x ∈R| x = n⋅2π เมอ n เปนจานวนเตมค}

2) เรนจของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ ∞− < tan x < ∞ 3) ฟงกชน y = tan x เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 4) คาบของฟงกชนเทากบ π 5) แอมพลจดของฟงกชนไมม เพราะไมสามารถหาจดสงสดและจดตาสดได

221

4. กราฟของฟงกชนโคเซแคนต สรป สงทนกเรยนควรรมดงน

1) โดเมนของฟงกชน คอ R - {x ∈R| x = n⋅ π เมอ n เปนจานวนเตม} 2) เรนจของฟงกชน คอ ( ∞− , - 1] U [1, ∞ ) นนคอ cosec x 1−≤ หรอ cosec x 1≥ 3) ฟงกชน y = cosec x เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 4) คาบของฟงกชนเทากบ 2 π 5) แอมพลจดของฟงกชนไมม เพราะไมสามารถหาจดสงสดและจดตาสดได

5. กราฟของฟงกชนเซแคนต สรป สงทนกเรยนควรรมดงน

1) โดเมนของฟงกชน คอ R - {x ∈R| x = n⋅2π เมอ n เปนจานวนเตมค}

2) เรนจของฟงกชน คอ ( ∞− , - 1] U [1, ∞ ) นนคอ sec x 1−≤ หรอ sec x 1≥ 3) ฟงกชน y = sec x เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 4) คาบของฟงกชนเทากบ 2 π 5) แอมพลจดของฟงกชนไมม เพราะไมสามารถหาจดสงสดและจดตาสดได

6. กราฟของฟงกชนโคแทนเจนต สรป สงทนกเรยนควรรมดงน

1) โดเมนของฟงกชน คอ R - {x ∈R| x = n⋅ π เมอ n เปนจานวนเตม} 2) เรนจของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง หรอ ∞− < cot x < ∞ 3) ฟงกชน y = cot x เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 4) ถา x ∈ (0, π ) ฟงกชน y = cot x เปนฟงกชน 1 – 1 5) คาบของฟงกชนเทากบ π 6) แอมพลจดของฟงกชนไมม เพราะไมสามารถหาจดสงสดและจดตาสดได

222

กรณท 2 กราฟของฟงกชนตรโกณมต y = k⋅T(x) เมอ k 0≠ สรปลกษณะของฟงกชนไซน

จากลกษณะกราฟของ y = k⋅sin(x) มสงทนกเรยนควรสนใจดงน 1) โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ rD = {x|x R∈ }

2) เรนจของฟงกชน คอ [-1⋅k, 1⋅k] นนคอ rR = {y| k1yk1 ⋅≤≤⋅− } หรอกลาวอยางงายๆ ไดวา k1sin(x)kk1 ⋅≤⋅≤⋅−

3) ฟงกชน y = k⋅sin(x) เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 ดงนน อาจจะมคา x หลายๆ คา ททาใหไดคา y เพยงคาเดยว 4) ฟงกชนไซน มคาบเทากบ π2 และมแอมพลจด เทากบ |k| สรปลกษณะของฟงกชนโคไซน

จากลกษณะกราฟของ y = k⋅cos (x) มสงทนกเรยนควรสนใจดงน 1) โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ rD = {x|x R∈ }

2) เรนจของฟงกชน คอ [-1⋅k, 1⋅k] นนคอ rR = {x| k1k1 ⋅≤≤⋅− x } หรอกลาวอยางงายๆ ไดวา k1cos(x)kk1 ⋅≤⋅≤⋅−

3) ฟงกชน y = k⋅cos(x) เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 ดงนน อาจจะมคา x หลายๆ คา ททาใหไดคา y เพยงคาเดยว 4) ฟงกชนโคไซน มคาบเทากบ π2 และมแอมพลจด เทากบ |k| สาหรบกราฟของฟงกชนทเหลอเราสามารถใชความสมพนธระหวางฟงกชนไซนและโคไซนในการวาดกราฟไดในทานองเดยวกน 4. สอการเรยนร/แหลงการเรยนร 1. แฟมคาสง/คอมพวเตอร 2. ใบกจกรรมหนวยท 7 เรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต 2.1) ใบกจกรรมท 7 : กราฟของฟงกชนตรโกณมตกรณท 1 กราฟของฟงกชนตรโกณมตกรณท 2 3. หนงสอเรยนวชาคณตศาสตรเพมเตม

223

5. กจกรรมการเรยนร 1. ครนานกเรยนทบทวนเกยวกบความรเดมในเรองการหาคาของฟงกชนตรโกณมตเพอนามาใชในการเขยนกราฟของฟงกชนตรโกณมตในกรณท 1 2. ครใหนกเรยนเปดชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต ใน หนวยท 7 พรอมทงแจกเอกสารใบกจกรรมท 7 แลวใหนกเรยนอานจดมงหมายของการเรยนการสอน เพอใหนกเรยนเขาใจจดมงหมายทแทจรง 3. ใหนกเรยนทากจกรรมคอมพวเตอรกรณท 1 y = T(x)โดยครเปดโอกาสใหนกเรยนไดปฏบตกจกรรมตามความสามารถของตนเอง ครใหนกเรยนทาการสรางกราฟโดยใชกจกรรมแลวทาการสงเกตลกษณะของกราฟทเปลยนแปลงไปตามคาของ k และดวาคาบของกราฟในกรณท 1 มคาเทากบเทาไร และมแอมพลจดเทาไร 4.เมอนกเรยนทากจกรรมคอมพวเตอรกรณท 1 y = T(x) เสรจแลวครใหนกเรยนทากจกรรม

ในกรณท 2 y = k⋅T(x) ตอเลยโดยครเปดโอกาสใหนกเรยนไดปฏบตกจกรรมตามความ สามารถของตนเอง ครใหนกเรยนทาการสรางกราฟโดยใชกจกรรมแลวทาการสงเกตลกษณะของกราฟทเปลยนแปลงไปตามคาของ k และดวาคาบของกราฟในกรณท 2 มคาเทากบเทาไร และม แอมพลจดเทาไร

5. เมอนกเรยนปฏบตกจกรรมกรณท 1 และ 2 เสรจแลวครสมถามนกเรยนในหองเรยน 1 คน ออกมาอธบายสงทนกเรยนไดจากการทากจกรรมกรณท 1 และ 2

6. ครสรปสงทนกเรยนไดจากกจกรรมกรณท 1 และ 2 เพอใหนกเรยนไดแนวคดทเปนไปในทศทางเดยวกนทงหมด 6. การวดผลและการประเมนผลการเรยนร

การวด การประเมนผล เครองมอวด

- สงเกตจากการปฏบตตามใบ กจกรรม - สงเกตการใหเหตผล และ การอภปราย

- ทาใบกจกรรมท 7 กรณท 1 ไดถกตอง - ทาใบกจกรรมท 7 กรณท 2 ไดถกตอง - ตอบคาถามไดถกตอง

- ใบกจกรรมท 7 กรณท1 - ใบกจกรรมท 7 กรณท 2

224

หนวยท 7 เรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต แผนการจดการเรยนรท 16

วชา คณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 4

เรอง กราฟของฟงกชนตรโกณมต y = T(k⋅x) เมอ k 0≠ และ 1 จานวน 1 คาบ

1. สาระสาคญ

กรณท 3 กราฟของฟงกชนตรโกณมต y = T(k⋅x) เมอ k 0≠ และ 1 1. กราฟของฟงกชนไซน ให (x, y) ∈ sine (ฟงกชนไซน)

จะได y = sine (k⋅x) หรอเขยนสนๆ วา y = sin (k⋅x) เพอความสะดวก เราหากราฟของฟงกชนไซนในชวง [0, π2 ] เสยกอนโดยหาคาของฟงกชนไซนจากแตละคาของ x ทกาหนดให โดยทนจะขอแบงเปน 2 ชวง ดงน

ชวงท 1 กราฟของ y = sin (k⋅x) เมอ πx0 ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

k⋅x k⋅0 K⋅6π k⋅

4π k⋅

3π k⋅

2π k⋅

3π2 k⋅

4π3 k⋅

6π5 k⋅ π

เมอเราหาคาของ y = sin(k⋅x) ไดแลว กนาไปวาดกราฟโดยใชวธเดยวกนกบกรณท 1

ชวงท 2 กราฟของ y = sin(k⋅x) เมอ π2xπ ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x π 6π7

4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

k⋅x k⋅ π k⋅6π7 k⋅

4π5 k⋅

3π4 k⋅

2π3 k⋅

3π5 k⋅

4π7 k⋅

6π11 k⋅ π2

สรปลกษณะของฟงกชนไซนกรณ y = sin(k⋅x)

จากลกษณะกราฟของ y = sin (k⋅x) มสงทนกเรยนควรสนใจดงน 1) โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ rD = {x|x R∈ } 2) เรนจของฟงกชน คอ [-1, 1] นนคอ rR = {y| 1y1 ≤≤− } หรอกลาวอยางงายๆ ไดวา 1x)sin(k1 ≤⋅≤− 3) ฟงกชน y = sin (k.x) เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 ดงนน อาจจะมคา x หลายๆ คา ททาใหไดคา y เพยงคาเดยว

225

4) ฟงกชนไซน มคาบเทากบ kπ2 และมแอมพลจด เทากบ 1

2. กราฟของฟงกชนโคไซน ให (x, y) ∈ cosine (ฟงกชนโคไซน)

จะได y = cosine (k⋅x) หรอเขยนสนๆ วา y = cos (k⋅x) เพอความสะดวก เราหากราฟของฟงกชนโคไซนในชวง [0, π2 ] เสยกอนโดยหาคาของฟงกชนโคไซนจากแตละคาของ x ทกาหนดให โดยทนจะขอแบงเปน 2 ชวง ดงน

ชวงท 1 กราฟของ y = cos (k⋅x) เมอ πx0 ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

k⋅x k⋅0 k⋅6π k⋅

4π k⋅

3π k⋅

2π k⋅

3π2 k⋅

4π3 k⋅

6π5 k⋅ π

เมอเราหาคาของ y = cos(k⋅x) ไดแลว กนาไปวาดกราฟโดยใชวธเดยวกนกบกรณท 1

ชวงท 2 กราฟของ y = cos(k⋅x) เมอ π2xπ ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x π 6π7

4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

k⋅x k⋅ π k⋅6π7 k⋅

4π5 k⋅

3π4 k⋅

2π3 k⋅

3π5 k⋅

4π7 k⋅

6π11 k⋅ π2

สรปลกษณะของฟงกชนโคไซนกรณ y = cos (k⋅x)

จากลกษณะกราฟของ y = cos (k⋅x) มสงทนกเรยนควรสนใจดงน 1) โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ rD = {x|x R∈ } 2) เรนจของฟงกชน คอ [-1, 1] นนคอ fR = 1x)cos(k1 ≤⋅≤−

3) ฟงกชน y = cos (k⋅x) เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 ดงนน อาจจะมคา x หลายๆ คา ททาใหไดคา y เพยงคาเดยว

4) ฟงกชนโคไซน มคาบเทากบ kπ2 และมแอมพลจด เทากบ 1

สาหรบกราฟของฟงกชนทเหลอเราใชความสมพนธของฟงกชนไซนและโคไซนในการสรางกราฟ โดยสรางกราฟไดในทานองเดยวกน

226

2. จดประสงคการเรยนร ดานความร 1. นกเรยนสามารถเขยนกราฟของฟงกชนตรโกณมตไดอยางถกตอง 2. นกเรยนสามารถทาการวเคราะหและอธบายลกษณะของกราฟ ฟงกชนตรโกณมตไดอยางถกตอง

ดานทกษะ/กระบวนการ 1. มความสามารถในการใหเหตผล 2. มความสามารถในการสอสาร และนาเสนอ

ดานคณลกษณะ 1. มความสนใจและกระตอรอรนในการเรยนและการทางาน 2. มความรบผดชอบตอการทางานทไดรบมอบหมาย 3. มความเชอมนในตนเอง และกลาแสดงความคดเหน

3. สาระการเรยนร

สรปลกษณะของฟงกชนไซนกรณ y = sin(k⋅x)

จากลกษณะกราฟของ y = sin (k⋅x) มสงทนกเรยนควรสนใจดงน 1) โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ rD = {x|x R∈ } 2) เรนจของฟงกชน คอ [-1, 1] นนคอ rR = {y| 1y1 ≤≤− } หรอกลาวอยางงายๆ ไดวา 1x)sin(k1 ≤⋅≤−

3) ฟงกชน y = sin (k⋅x) เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 ดงนน อาจจะมคา x หลายๆ คา ททาใหไดคา y เพยงคาเดยว

4) ฟงกชนไซน มคาบเทากบ |k|π2 และมแอมพลจด เทากบ 1

สรปลกษณะของฟงกชนโคไซนกรณ y = cos (k⋅x)

จากลกษณะกราฟของ y = cos (k⋅x) มสงทนกเรยนควรสนใจดงน 1) โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ rD = {x|x R∈ } 2) เรนจของฟงกชน คอ [-1, 1] นนคอ fR = 1x)cos(k1 ≤⋅≤−

3) ฟงกชน y = cos (k⋅x) เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 ดงนน อาจจะมคา x หลายๆ คา ททาใหไดคา y เพยงคาเดยว

227

4) ฟงกชนโคไซน มคาบเทากบ |k|π2 และมแอมพลจด เทากบ 1

4. สอการเรยนร/แหลงการเรยนร 1. แฟมคาสง/คอมพวเตอร 2. ใบกจกรรมหนวยท 7 เรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต 2.1) ใบกจกรรมท 7 : กราฟของฟงกชนตรโกณมตกรณท 3 3. หนงสอเรยนวชาคณตศาสตรเพมเตม 5. กจกรรมการเรยนร

1. ครทบทวนนกเรยนเกยวกบกราฟของฟงกชนตรโกณมตในกรณท 2 คอ y = k⋅T(x) โดยเนนไปทการหาคาของฟงกชนตรโกณมต รองลงมาคอการหาคาบและแอมพลจดของกราฟ 2. ครใหนกเรยนเปดชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต ใน หนวยท 7 พรอมทงแจกเอกสารใบกจกรรมท 7 แลวใหนกเรยนอานจดมงหมายของการเรยนการ สอน เพอใหนกเรยนเขาใจจดมงหมายทแทจรง

3. ใหนกเรยนทากจกรรมคอมพวเตอรกรณท 3 y = T(k⋅x)โดยครเปดโอกาสใหนกเรยนไดปฏบตกจกรรมตามความสามารถของตนเอง ครใหนกเรยนทาการสรางกราฟโดยใชกจกรรมแลวทาการสงเกตลกษณะของกราฟทเปลยนแปลงไปตามคาของ k และดวาคาบของกราฟในกรณท 3 มคาเทากบเทาไร และมแอมพลจดเทาไร

4. เมอนกเรยนปฏบตกจกรรมกรณท 3 เสรจแลวครสมถามนกเรยนในหองเรยน 1 คน ออกมาอธบายสงทนกเรยนไดจากการทากจกรรมกรณท 3

5. ครสรปสงทนกเรยนไดจากกจกรรมกรณท 3 เพอใหนกเรยนไดแนวคดทเปนไปใน ทศทางเดยวกนทงหมด 6. การวดผลและการประเมนผลการเรยนร

การวด การประเมนผล เครองมอวด

- สงเกตจากการปฏบตตามใบ กจกรรม - สงเกตการใหเหตผล และ การอภปราย

- ทาใบกจกรรมท 7 กรณท 3 ไดถกตอง - ตอบคาถามไดถกตอง

- ใบกจกรรมท 7 กรณท 3

228

หนวยท 7 เรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต แผนการจดการเรยนรท 17

วชา คณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 4

เรอง กราฟของฟงกชนตรโกณมต y = T(b⋅k+x) เมอ b และ k 0≠ และ 1 จานวน 1 คาบ

1. สาระสาคญ

กรณท 4 กราฟของฟงกชนตรโกณมต y = T(b⋅k+x) เมอ b และ k 0≠ และ 1 1. กราฟของฟงกชนไซน ให (x, y) ∈ sine (ฟงกชนไซน) จะได y = sine (k+x) หรอเขยนสนๆ วา y = sin (k+x) เพอความสะดวก เราหากราฟของฟงกชนไซนในชวง [0, π2 ] เสยกอนโดยหาคาของฟงกชนไซนจากแตละคาของ x ทกาหนดให โดยทนจะขอแบงเปน 2 ชวง ดงน ชวงท 1 กราฟของ y = sin (k+x) เมอ πx0 ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

k+x k+0 k+6π k+

4π k+

3π k+

2π k+

3π2 k+

4π3 k+

6π5 k+ π

เมอเราหาคาของ y = sin(k+x) ไดแลว กนาไปวาดกราฟโดยใชวธเดยวกนกบกรณท 1 ชวงท 2 กราฟของ y = sin (k+x) เมอ π2xπ ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x π 6π7

4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

k+x k+ π k+6π7 k+

4π5 k+

3π4 K+

2π3 k+

3π5 k+

4π7 k+

6π11 k+ π2

สรปลกษณะของฟงกชนไซนกรณ y = sin (k+x) จากลกษณะกราฟของ y = sin (k+x) มสงทนกเรยนควรสนใจดงน 1) โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ rD = {x|x R∈ } 2) เรนจของฟงกชน คอ [-1, 1] นนคอ rR = {y| 1y1 ≤≤− } หรอกลาวอยางงายๆ ไดวา 1x)sin(k1 ≤+≤− 3) ฟงกชน y = sin (k+x) เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 ดงนน อาจจะมคา x หลายๆ คา ททาใหไดคา y เพยงคาเดยว

229

4) ฟงกชนไซน มคาบเทากบ π21π2

|b|π2

== และมแอมพลจด เทากบ 1

2. กราฟของฟงกชนโคไซนกรณ y = cos (k+x) ให (x, y) ∈ cosine (ฟงกชนโคไซน) จะได y = cosine (k+x) หรอเขยนสนๆ วา y = cos (k+x) เพอความสะดวก เราหากราฟของฟงกชนโคไซนในชวง [0, π2 ] เสยกอนโดยหาคาของฟงกชนโคไซนจากแตละคาของ x ทกาหนดให โดยทนจะขอแบงเปน 2 ชวง ดงน ชวงท 1 กราฟของ y = cos (k+x) เมอ πx0 ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

k+x k+0 k+6π k+

4π k+

3π k+

2π k+

3π2 k+

4π3 k+

6π5 k+ π

เมอเราหาคาของ y = cos (k+x) ไดแลว กนาไปวาดกราฟโดยใชวธเดยวกนกบกรณท 1 ชวงท 2 กราฟของ y = cos (k+x) เมอ π2xπ ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x π 6π7

4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

k+x k+ π k+6π7 k+

4π5 k+

3π4 K+

2π3 k+

3π5 k+

4π7 k+

6π11 k+ π2

สรปลกษณะของฟงกชนโคไซนกรณ y = cos (k+x) จากลกษณะกราฟของ y = cos (k+x) มสงทนกเรยนควรสนใจดงน 1) โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ rD = {x|x R∈ } 2) เรนจของฟงกชน คอ [-1, 1] นนคอ rR = {x| 11 ≤≤− x } หรอกลาวอยางงายๆ ได 1x)cos(k1 ≤+≤− 3) ฟงกชน y = cos (k+x) เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 ดงนน อาจจะมคา x หลายๆ คา ททาใหไดคา y เพยงคาเดยว 4) ฟงกชนโคไซน มคาบเทากบ π2

1π2

|b|π2

== และมแอมพลจด เทากบ 1

สาหรบกราฟของฟงกชนทเหลอเราใชความสมพนธของฟงกชนไซนและโคไซนในการสรางกราฟ โดยสรางกราฟไดในทานองเดยวกน

230

2. จดประสงคการเรยนร ดานความร 1. นกเรยนสามารถเขยนกราฟของฟงกชนตรโกณมตไดอยางถกตอง 2. นกเรยนสามารถทาการวเคราะหและอธบายลกษณะของกราฟ ฟงกชนตรโกณมตไดอยางถกตอง

ดานทกษะ/กระบวนการ 1. มความสามารถในการใหเหตผล 2. มความสามารถในการสอสาร และนาเสนอ

ดานคณลกษณะ 1. มความสนใจและกระตอรอรนในการเรยนและการทางาน 2. มความรบผดชอบตอการทางานทไดรบมอบหมาย 3. มความเชอมนในตนเอง และกลาแสดงความคดเหน

3. สาระการเรยนร สรปลกษณะของฟงกชนไซนกรณ y = sin (k+x) จากลกษณะกราฟของ y = sin (k+x) มสงทนกเรยนควรสนใจดงน 1) โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ rD = {x|x R∈ } 2) เรนจของฟงกชน คอ [-1, 1] นนคอ rR = {y| 1y1 ≤≤− } หรอกลาวอยางงายๆ ไดวา 1x)sin(k1 ≤+≤− 3) ฟงกชน y = sin (k+x) เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 ดงนน อาจจะมคา x หลายๆ คา ททาใหไดคา y เพยงคาเดยว

4) ฟงกชนไซน มคาบเทากบ π21π2

|b|π2

== และมแอมพลจด เทากบ 1

สรปลกษณะของฟงกชนโคไซนกรณ y = cos (k+x) จากลกษณะกราฟของ y = cos (k+x) มสงทนกเรยนควรสนใจดงน 1) โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ rD = {x|x R∈ } 2) เรนจของฟงกชน คอ [-1, 1] นนคอ rR = {x| 11 ≤≤− x } หรอกลาวอยางงายๆ ได 1x)cos(k1 ≤+≤− 3) ฟงกชน y = cos (k+x) เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 ดงนน อาจจะมคา x หลายๆ คา ททาใหไดคา y เพยงคาเดยว

231

4) ฟงกชนโคไซน มคาบเทากบ π21π2

|b|π2

== และมแอมพลจด เทากบ 1

4. สอการเรยนร/แหลงการเรยนร 1. แฟมคาสง/คอมพวเตอร 2. ใบกจกรรมหนวยท 7 เรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต 2.1) ใบกจกรรมท 7 : กราฟของฟงกชนตรโกณมตกรณท 4 3. หนงสอเรยนวชาคณตศาสตรเพมเตม 5. กจกรรมการเรยนร

1. ครทบทวนนกเรยนเกยวกบกราฟของฟงกชนตรโกณมตในกรณท 3 คอ y = T(k⋅x) โดยเนนไปทการหาคาของฟงกชนตรโกณมต รองลงมาคอการหาคาบและแอมพลจดของกราฟ 2. ครใหนกเรยนเปดชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต ใน หนวยท 7 พรอมทงแจกเอกสารใบกจกรรมท 7 แลวใหนกเรยนอานจดมงหมายของการเรยนการ สอน เพอใหนกเรยนเขาใจจดมงหมายทแทจรง

3. ใหนกเรยนทากจกรรมคอมพวเตอรกรณท 4 y = T(b⋅k + x)โดยครเปดโอกาสใหนกเรยนไดปฏบตกจกรรมตามความสามารถของตนเอง ครใหนกเรยนทาการสรางกราฟโดยใชกจกรรมแลวทาการสงเกตลกษณะของกราฟทเปลยนแปลงไปตามคาของ k และดวาคาบของกราฟ ในกรณท 4 มคาเทากบเทาไร และมแอมพลจดเทาไร

4. เมอนกเรยนปฏบตกจกรรมกรณท 4 เสรจแลวครสมถามนกเรยนในหองเรยน 1 คน ออกมาอธบายสงทนกเรยนไดจากการทากจกรรมกรณท 4

5. ครสรปสงทนกเรยนไดจากกจกรรมกรณท 4เพอใหนกเรยนไดแนวคดทเปนไปใน ทศทางเดยวกนทงหมด

6. การวดผลและการประเมนผลการเรยนร

การวด การประเมนผล เครองมอวด

- สงเกตจากการปฏบตตามใบ กจกรรม - สงเกตการใหเหตผล และ การอภปราย

- ทาใบกจกรรมท 7 กรณท 4 ไดถกตอง - ตอบคาถามไดถกตอง

- ใบกจกรรมท 7 กรณท 4

232

หนวยท 7 เรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต แผนการจดการเรยนรท 18

วชา คณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง กราฟของฟงกชนตรโกณมต y = T(x) + k เมอ k 0≠ จานวน 1 คาบ

1. สาระสาคญ

กรณท 5 กราฟของฟงกชนตรโกณมต y = T(x) + k เมอ k 0≠ 1. กราฟของฟงกชนไซนกรณ y = sin(x) + k ให (x, y) ∈ sine (ฟงกชนไซน) จะได y = sine(x) + k หรอเขยนสนๆ วา y = sin(x) + k เพอความสะดวก เราหากราฟของฟงกชนไซนในชวง [0, π2 ] เสยกอนโดยหาคาของฟงกชนไซนจากแตละคาของ x ทกาหนดให โดยทนจะขอแบงเปน 2 ชวง ดงน ชวงท 1 กราฟของ y = sin(x) + k เมอ πx0 ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

sin(x)+ k 0+ k 21 + k

22 + k

23 + k 1+ k

23 + k

22 + k 2

1 + k 0+ k

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว นาคาของฟงกชนไปวาดกราฟ ชวงท 2 กราฟของ y = sin(x) + k เมอ π2xπ ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

สรปลกษณะของฟงกชนไซนกรณ y = sin(x) + k จากลกษณะกราฟของ y = sin(x) + k มสงทนกเรยนควรสนใจดงน 1) โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ rD = {x|x R∈ }

x π 6π7

4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

sin(x) + k 0+k )21(− + k )

22(− + k )

23(− + k (-1)+ k )

23(− + k )

22(− + k )

21(− + k 0+ k

233

2) เรนจของฟงกชน คอ [-1+k, 1+k] นนคอ rR = {y| k1yk1 +≤≤+− } หรอกลาวอยางงายๆ ไดวา k1ksin(x)k1 +≤+≤+− 3) ฟงกชน y = sin(x) + k เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 ดงนน อาจจะมคา x หลายๆ คา ททาใหไดคา y เพยงคาเดยว 4) ฟงกชนไซน มคาบเทากบ π2 และมแอมพลจด เทากบ 1 2. กราฟของฟงกชนโคไซนกรณ y = cos(x) + k

ให (x, y) ∈ cosine (ฟงกชนโคไซน) จะได y = cosine(x) + k หรอเขยนสนๆ วา y = cos(x) + k เพอความสะดวก เราหากราฟของฟงกชนโคไซนในชวง [0, π2 ] เสยกอนโดยหาคาของฟงกชนโคไซนจากแตละคาของ x ทกาหนดให โดยทนจะขอแบงเปน 2 ชวง ดงน ชวงท 1 กราฟของ y = cos(x) + k เมอ πx0 ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

cos(x)+k 1+ k 23+ k

22 + k

21 + k 0+ k )

21(− + k )

22(− + k )

23(− +k (-1)+ k

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว นาคาของฟงกชนไปวาดกราฟ ชวงท 2 กราฟของ y = cos(x) + k เมอ π2xπ ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

สรปลกษณะของฟงกชนโคไซนกรณ y = cos(x) + k จากลกษณะกราฟของ y = cos (x) + k มสงทนกเรยนควรสนใจดงน 1) โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ rD = {x|x R∈ } 2) เรนจของฟงกชน คอ [-1+ k, 1+ k] นนคอ rR = {x| k1k1 +≤≤+− x } หรอกลาวงายๆ ไดวา k1kcos(x)k1 +≤+≤+− 3) ฟงกชน y = cos(x) + k เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 ดงนน อาจจะมคา x หลายๆ คา ททาใหไดคา y เพยงคาเดยว

x π 6π7

4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

cos(x)+k (-1) + k )23(− + k )

22(− + k )

21(− + k 0+ k

21 + k

22 + k

23 + k 1 + k

234

4) ฟงกชนโคไซน มคาบเทากบ π2 และมแอมพลจด เทากบ 1 สาหรบกราฟของฟงกชนทเหลอเราสามารถใชความสมพนธระหวางฟงกชนไซนและโคไซนในการวาดกราฟไดในทานองเดยวกน 2. จดประสงคการเรยนร ดานความร 1. นกเรยนสามารถเขยนกราฟของฟงกชนตรโกณมตไดอยางถกตอง 2. นกเรยนสามารถทาการวเคราะหและอธบายลกษณะของกราฟ ฟงกชนตรโกณมตไดอยางถกตอง

ดานทกษะ/กระบวนการ 1. มความสามารถในการใหเหตผล 2. มความสามารถในการสอสาร และนาเสนอ

ดานคณลกษณะ 1. มความสนใจและกระตอรอรนในการเรยนและการทางาน 2. มความรบผดชอบตอการทางานทไดรบมอบหมาย 3. มความเชอมนในตนเอง และกลาแสดงความคดเหน

3. สาระการเรยนร สรปลกษณะของฟงกชนไซนกรณ y = sin(x) + k จากลกษณะกราฟของ y = sin(x) + k มสงทนกเรยนควรสนใจดงน 1) โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ rD = {x|x R∈ } 2) เรนจของฟงกชน คอ [-1+k, 1+k] นนคอ rR = {y| k1yk1 +≤≤+− } หรอกลาวอยางงายๆ ไดวา k1ksin(x)k1 +≤+≤+− 3) ฟงกชน y = sin(x) + k เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 ดงนน อาจจะมคา x หลายๆ คา ททาใหไดคา y เพยงคาเดยว 4) ฟงกชนไซน มคาบเทากบ π2 และมแอมพลจด เทากบ 1 สรปลกษณะของฟงกชนโคไซนกรณ y = cos(x) + k จากลกษณะกราฟของ y = cos (x) + k มสงทนกเรยนควรสนใจดงน 1) โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ rD = {x|x R∈ }

235

2) เรนจของฟงกชน คอ [-1+ k, 1+ k] นนคอ rR = {y| k1k1 +≤≤+− y } หรอกลาวงายๆ ไดวา k1kcos(x)k1 +≤+≤+− 3) ฟงกชน y = cos(x) + k เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 ดงนน อาจจะมคา x หลายๆ คา ททาใหไดคา y เพยงคาเดยว 4) ฟงกชนโคไซน มคาบเทากบ π2 และมแอมพลจด เทากบ 1 4. สอการเรยนร/แหลงการเรยนร 1. แฟมคาสง/คอมพวเตอร 2. ใบกจกรรมหนวยท 7 เรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต 2.1) ใบกจกรรมท 7 : กราฟของฟงกชนตรโกณมต กรณท 5 3. หนงสอเรยนวชาคณตศาสตรเพมเตม 5. กจกรรมการเรยนร

1. ครทบทวนนกเรยนเกยวกบกราฟของฟงกชนตรโกณมตในกรณท 4 คอ y = T(x+k) โดยเนนไปทการหาคาของฟงกชนตรโกณมต รองลงมาคอการหาคาบและแอมพลจดของกราฟ 2. ครใหนกเรยนเปดชดกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต ใน หนวยท 7 พรอมทงแจกเอกสารใบกจกรรมท 7 แลวใหนกเรยนอานจดมงหมายของการเรยนการ สอน เพอใหนกเรยนเขาใจจดมงหมายทแทจรง 3. ใหนกเรยนทากจกรรมคอมพวเตอรกรณท 5 y = T(x) + kโดยครเปดโอกาสใหนกเรยนไดปฏบตกจกรรมตามความสามารถของตนเอง ครใหนกเรยนทาการสรางกราฟโดยใชกจกรรมแลวทาการสงเกตลกษณะของกราฟทเปลยนแปลงไปตามคาของ k และดวาคาบของกราฟในกรณท 5 มคาเทากบเทาไร และมแอมพลจดเทาไร

4. เมอนกเรยนปฏบตกจกรรมกรณท 5 เสรจแลวครสมถามนกเรยนในหองเรยน 1 คน ออกมาอธบายสงทนกเรยนไดจากการทากจกรรมกรณท 5

5. ครสรปสงทนกเรยนไดจากกจกรรมกรณท 5 เพอใหนกเรยนไดแนวคดทเปนไปใน ทศทางเดยวกนทงหมด

236

6. การวดผลและการประเมนผลการเรยนร

การวด การประเมนผล เครองมอวด

- สงเกตจากการปฏบตตามใบ กจกรรม - สงเกตการใหเหตผล และ การอภปราย

- ทาใบกจกรรมท 7 กรณท 5 ไดถกตอง - ตอบคาถามไดถกตอง

- ใบกจกรรมท 7 กรณท 5

237

ภาคผนวก จ ชดกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4

238

ใบกจกรรมท 1.1 ทบทวนความรเดมเกยวกบอตราสวนตรโกณมต

คาชแจง ใหนกเรยนปฏบตตามกจกรรมตอไปน และเตมคาตอบลงในชองวาง ตอนท 1 ทบทวนสวนประกอบของสามเหลยมมมฉาก ใหนกเรยนปฏบตดงน 1. ใหนกเรยนสรางรปสามเหลยมมมฉากจากเสนตรงทกาหนดให โดยใชคาสงตอไปน

1.1 คาสง ใชในการสรางจดบนเสนตรง 1.2 คาสง ใชในการสรางเสนตรงผานจดสองจด 1.3 คาสง ใชในการสรางสวนของเสนตรง 1.4 คาสง ใชในการสรางรปวงกลม 1.5 คาสง ใชในการกาหนดลกษณะของเสน (เสนบาง, เสนหนา, เสนประ) 1.6 คาสง ใชในการกาหนดลกษณะของจด 1.7 คาสง ใชในการกาหนดสของเสน จด เปนตน 1.8 คาสง ใชในการวดมมระหวางจด 3 จด 1.9 คาสง ใชเปนลกศรในการควบคมจด 1.10 คาสง ใชในการลบสงทเราไมตองการ

2. จากการสรางใหนกเรยนบอกนยามของรปสามเหลยมมมฉาก รปสามเหลยมมมฉาก คอ ..............................................................................................................

239

3. กาหนดให มม A เปนมมหลก 3.1 สวนของเสนตรง AB เรยกวา .................................................................. 3.2 สวนของเสนตรง BC เรยกวา ................................................................... 3.3 สวนของเสนตรง CA เรยกวา ................................................................... 4. กาหนดใหมม C เปนมมหลก 5.1 สวนของเสนตรง AB เรยกวา .................................................................. 5.2 สวนของเสนตรง BC เรยกวา ................................................................... 5.3 สวนของเสนตรง CA เรยกวา ................................................................... 5. จากรปขางบนนอกจากสามเหลยมมมฉากแลว สวนประกอบในขอ 3-4 สามารถใชกบสามเหลยม อนๆ (ได/ไมได)................... เพราะ .............................................................................................. ตอนท 2 ทบทวนอตราสวนของรปสามเหลยมมมฉาก ใหนกเรยนปฏบตดงน 1. ใหนกเรยนใชคาสง ในการทาการศกษา 2. ใหนกเรยนใชปม a และ b ในการเปลยนแปลงความยาวของเสนตรง เพอทาการศกษากจกรรม

240

3. จากชดกจกรรมขางบนและจากความรเดมของนกเรยน จะไดวา (วดจากมม A เปนหลกกอน) 3.1 อตราสวนไซน A (sin A) = ............................................................................ 3.2 อตราสวนโคไซน A (cos A) = ..................................................................................................... 3.3 อตราสวนแทนเจนต A (tan A) = ........................................................................ 4. ใหนกเรยนเขยนอตราสวนของไซน ,โคไซน และแทนเจนต โดยกาหนดใหความเปน a, b, c ตามลาดบ โดยยดมม A และ C ตามลาดบ จากการสารวจจะไดวา 4.1 sin A = ........................ 4.4 sin C = ........................... 4.2 cos A = ........................ 4.5 cos C = ........................... 4.3 tan A = ........................ 4.6 tan C = ............................. 5. ใหนกเรยนวดความยาวของดานทงสามของรปสามเหลยมมมฉาก (ตามทนกเรยนตองการ) แลว หาอตราสวนของ ไซน, โคไซน และแทนเจนต ตามลาดบ โดยยดมม A และ C ตามลาดบ จากการสารวจจะไดวา (ในทน a =......... , b = …… , c = ……. , มม A = ........ , มม C = ……) 5.1 sin A = ........................ 5.4 sin C = ........................... 5.2 cos A = ........................ 4.5 cos C = ........................... 5.3 tan A = ........................ 5.6 tan C = ............................. 6. จากการสารวจในขอท 4-6 นกเรยนสามารถตงขอคาดการณไดวา ....................................... .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. ..............................................................................................................................................

241

6 5

3

3

6

5

7. กาหนด ΔABC เปนรปสามเหลยมมมฉากท B มขนาดตามทกาหนดใหในตารางตอไปน ใหนก เรยนหาความยาวของดานทเหลอของรปสามเหลยมแตละรปทกาหนดใหแลวเขยนคาของ อตราสวนเตมในตาราง

คาของอตราสวน Δ ABC ขนาดของ A

sin A cos A tan A

8. จากการสารวจในขอ 7 นกเรยนสรปไดวา

ฟงกชน 30๐ 45๐ 60๐ sin cos tan

242

ใบกจกรรมท 1.2 ทบทวนความรเดมเกยวกบการวดมม

คาชแจง ใหนกเรยนปฏบตตามกจกรรมตอไปน และเตมคาตอบลงในชองวาง ตอนท 1 ทบทวนการวดมมหนวยทเปนองศา ใหนกเรยนปฏบตดงน 1. ใหนกเรยนเขากจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยเขาไปทหนวยการเรยนร ท 1 แลวคลกเลอกกจกรรมท 1.2 2. ใหนกเรยนศกษาคานยามของการวดมมหนวยทเปนองศา แลวสรปจากสงทไดเปนขอ ดงน .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... 3. ใหนกเรยนคลกทากจกรรมการวดมมในทศทางทวนเขมนาฬกา ดงรป มม 1 แทนสนาเงน มม 2 แทนสแดง

ใหนกเรยนใชคาสง ในการควบคมจดในทนเราใชจด B ในการทากจกรรม แลวตอบคาถาม ดงน 3.1 สวนของเสนตรง AC เรยกวา ........................................................................ 3.2 สวนของเสนตรง AB เรยกวา ........................................................................ 3.3 จด A เรยกวา................................................................................................ เรยกมมทเกดขนวา ................หรอมม.....................และใชสญลกษณ.............หรอ..........

243

3.4 จากการสารวจลกษณะของมมพบวา ............................................................... .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 3.5 ใหนกเรยนสรปสงทไดจากการทากจกรรม ....................................................... .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 3.6 ใหนกเรยนใชกจกรรมท 1.2 เพอตอบคาถามตอไปน (คลกขวาเพอสารวจมม) 3.6.1 มม °30 มม 1 เทากบ ............... หมนในทศทาง....................................... มม 2 เทากบ ............... หมนในทศทาง....................................... 3.6.2 มม °45 มม 1 เทากบ ............... หมนในทศทาง....................................... มม 2 เทากบ ............... หมนในทศทาง....................................... 3.6.3 มม °60 มม 1 เทากบ ............... หมนในทศทาง....................................... มม 2 เทากบ ............... หมนในทศทาง....................................... 3.6.4 มม °90 มม 1 เทากบ ............... หมนในทศทาง....................................... มม 2 เทากบ ............... หมนในทศทาง....................................... 3.6.5 มม °180 มม 1 เทากบ ............... หมนในทศทาง...................................... มม 2 เทากบ ............... หมนในทศทาง....................................... 4. จากการศกษาในชดกจกรรมใหนกเรยนเปลยนหนวยองศาใหเปนลปดา และฟลปดาดงตอไปน 4.1) ถา °= 60θ แลวเทากบ ........................................................ ลปดา แลวเทากบ......................................................... ฟลปดา 4.2) ถา °−= 150θ แลวเทากบ ........................................................ ลปดา แลวเทากบ......................................................... ฟลปดา

4.3) ถา °= 270θ แลวเทากบ ........................................................ ลปดา แลวเทากบ......................................................... ฟลปดา

4.4) ถา °= 225θ แลวเทากบ ........................................................ ลปดา แลวเทากบ......................................................... ฟลปดา

4.5) ถา °−= 60θ แลวเทากบ ........................................................ ลปดา แลวเทากบ......................................................... ฟลปดา

4.6) ถาให 06 ′ แลวเทากบ ........................................................ องศา แลวเทากบ......................................................... ฟลปดา

244

4.7) ถา °= 315θ แลวเทากบ ........................................................ ลปดา แลวเทากบ......................................................... ฟลปดา

4.8) ถาให 036 ′′ แลวเทากบ ........................................................ องศา แลวเทากบ......................................................... ลปดา

4.9) ถา °= 180θ แลวเทากบ ........................................................ ลปดา แลวเทากบ......................................................... ฟลปดา

4.10) ถา °= 30θ แลวเทากบ ........................................................ ลปดา แลวเทากบ......................................................... ฟลปดา ตอนท 2 ทบทวนการวดมมหนวยทเปนเรเดยน ใหนกเรยนปฏบตดงน 1. ใหนกเรยนเขากจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยเขาไปทหนวยการเรยนร ท 1 แลวคลกเลอกกจกรรมท 1.2 2. ใหนกเรยนศกษาคานยามของการวดมมหนวยทเปนเรเดยน แลวสรปจากสงทไดเปนขอ ดงน .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... 3. ใหนกเรยนทาการศกษาและสารวจการวดมมเรเดยน โดยใชชดกจกรรมการเรยนการสอน ดงรป

245

ใหนกเรยนบอกสวนประกอบแตละอยางของรปทกาหนดให ขางตน ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 4. จากการศกษากจกรรม ใหนกเรยนตอบคาถามตอไปน 4.1 มม =θ ................................................................ เรเดยน หรอเขยนในรปทวไปจะไดวา มม =θ ................. เรเดยน 4.2 นยามของมม 1 เรเดยน คอ .......................................................................................... ..........................................................................................................................................................

4.3 จากความรเดมของนกเรยน ความยาวของเสนรอบรปวงกลมเทากบ ........................... นนคอ a = ........................................................ ดงนน =θ ................. เรเดยน

และเนองจากวงกลมทเรากาหนดใหนนมรศม r = ..................... เพราะฉะนนนกเรยนสามารถสรปไดวา ................................................................................................... เรเดยน 5. จากการทากจกรรมท 4 นกเรยนสามารถอธบายความแตกตางระหวางหนวยการวดมมทเปน องศากบเรเดยน ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

246

แบบฝกหดเสรมสรางความแกรง ใหนกเรยนฝกหดการเปรยบการวดมมทมหนวยเปนองศากบเรเดยน 1. จงเปลยนมมเรเดยนตอไปน ใหเปนหนวยองศา 1) π 2) π2 วธทา ......................................................... วธทา ......................................................... ......................................................... ..........................................................

3) 2π 4)

12π

วธทา ......................................................... วธทา ......................................................... ......................................................... ..........................................................

5) 5π 6)

12π5

วธทา ......................................................... วธทา ......................................................... ......................................................... ..........................................................

7) 5π2 8)

6π7

วธทา ......................................................... วธทา ......................................................... ......................................................... ..........................................................

9) 2π3 10)

3π4

วธทา ......................................................... วธทา ......................................................... ......................................................... ..........................................................

11) 4π5 12)

2π5

−

วธทา ......................................................... วธทา ......................................................... ......................................................... ..........................................................

13) 6π5

− 14) 3π2

−

วธทา ......................................................... วธทา ......................................................... ......................................................... ..........................................................

15) 4π7

− 16) 12π11

−

วธทา ......................................................... วธทา ......................................................... ......................................................... ..........................................................

247

17) 6π11

− 18) 4π3

−

วธทา ......................................................... วธทา ......................................................... ......................................................... .......................................................... 2. จงเปลยนมมองศาตอไปน ใหเปนหนวยเรเดยน 1) o1 2) o30 วธทา ......................................................... วธทา ......................................................... ......................................................... .......................................................... 3) o45 4) o60 วธทา ......................................................... วธทา ......................................................... ......................................................... .......................................................... 5) o90 6) o180 วธทา ......................................................... วธทา ......................................................... ......................................................... .......................................................... 7) o150 8) o210 วธทา ......................................................... วธทา ......................................................... ......................................................... .......................................................... 9) o330 10) o540 วธทา ......................................................... วธทา ......................................................... ......................................................... .......................................................... 11) o360− 12) o120− วธทา ......................................................... วธทา ......................................................... ......................................................... .......................................................... 13) o300− 14) o225− วธทา ......................................................... วธทา ......................................................... ......................................................... .......................................................... 15) o75− 16) o54− วธทา ......................................................... วธทา ......................................................... ......................................................... ..........................................................

248

ใบกจกรรมท 2.1 วงกลมหนงหนวย

คาชแจง ใหนกเรยนปฏบตตามกจกรรมตอไปน และเตมคาตอบลงในชองวาง ตอนท 1 วงกลมหนงหนวย ใหนกเรยนปฏบตดงน 1. ใหนกเรยนเขากจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยเขาไปทหนวยการเรยนร ท 2 แลวคลกเลอกกจกรรมท 2.1 2. ใหนกเรยนสรางรปวงกลมจากจดทกาหนดใหโดยมรศมเทาใดกไดจานวน 3 รป โดยใชคาสงตอไปน

2.1 คาสง ใชในการกาหนดลกษณะของเสน (เสนบาง, เสนหนา, เสนประ) 2.2 คาสง ใชในการกาหนดลกษณะของจด 2.3 คาสง ใชในการกาหนดสของเสน จด เปนตน 2.4 คาสง ใชในการลบสงทเราไมตองการ 2.5 คาสง ใชเปนลกศรในการควบคมจด 2.6 คาสง ใชในการสรางรปวงกลม 2.7 คาสง ใชในการแสดงชอของวตถ 2.8 คาสง ใชในการสรางจดตด

249

3. ใหนกเรยนวาดรปวงกลมทนกเรยนสรางลงในชองวางพรอมทงเขยนสมการวงกลม ดวย 3.1 3.2 รศมยาว................................ หนวย รศมยาว...................................หนวย สมการ ................................. สมการ.................................... 3.2 รศมยาว................................ หนวย สมการ ................................. 4. จากการสรางรปวงกลมในขอ 3 นกเรยนลองตงขอคาดการณซวานยามของวงกลมหนงหนวยคอ อะไร มสมการเปนอยางไร และสรางรปวงกลมหนงหนวยพรอมทงบอกตาแหนงของจดตด ……………….………………………………………… …………………………………………………………. …………………….…………………………………… …………………………………………………………. …………………….…………………………………… …………………………………………………………. …………………….…………………………………… ………………………………………………………….

250

ตอนท 2 เมอนกเรยนตอบคาถามในขอท 4 เสรจแลวใหนกเรยนทากจกรรมวงกลมหนงหนวย โดยเลอกท หนาถดไปของกจกรรม โดยใชคาสง ในการทาการสารวจกจกรรม 5.1 จากการศกษากจกรรมดงภาพขางลางน ใหนกเรยนตอบคาถามตอไปน เราเรยก θ วา .....................................วดในทศทาง......................................... เราเรยกพกดจด (x, y) วา ........................................................... ความยาวรอบรปวงกลมเทากบ................................................... 5.1.1 ถาตาแหนงจดปลายสวนโคงอยทพกดจด (0, 1) คดเปน.................. สวนของวงกลม จะไดความยาวของสวนโคง θ เทากบ ......................................................................

5.1.2 ถาตาแหนงจดปลายสวนโคงอยทพกดจด (-1, 0) คดเปน.................. สวนของวงกลม จะไดความยาวของสวนโคง θ เทากบ ...................................................................... 5.1.3 ถาตาแหนงจดปลายสวนโคงอยทพกดจด (0, -1) คดเปน.................. สวนของวงกลม จะไดความยาวของสวนโคง θ เทากบ ...................................................................... 5.1.4 ถาตาแหนงจดปลายสวนโคงอยทพกดจด (1, 0) คดเปน.................. สวนของวงกลม จะไดความยาวของสวนโคง θ เทากบ ...................................................................... 5.1.5 จากการทากจกรรมนกเรยนจะเหนวาตาแหนงของจดปลายสวนโคงม................จด

251

5.2 จากการศกษากจกรรมดงภาพขางลางน ใหนกเรยนตอบคาถามตอไปน เราเรยก θ วา .....................................วดในทศทาง......................................... เราเรยกพกดจด (x, y) วา ........................................................... ความยาวรอบรปวงกลมเทากบ................................................... 5.2.1 ถาตาแหนงจดปลายสวนโคงอยทพกดจด (0, 1) คดเปน.................. สวนของวงกลม จะไดความยาวของสวนโคง θ เทากบ ......................................................................

5.2.2 ถาตาแหนงจดปลายสวนโคงอยทพกดจด (-1, 0) คดเปน.................. สวนของวงกลม จะไดความยาวของสวนโคง θ เทากบ ...................................................................... 5.2.3 ถาตาแหนงจดปลายสวนโคงอยทพกดจด (0, -1) คดเปน.................. สวนของวงกลม จะไดความยาวของสวนโคง θ เทากบ ...................................................................... 5.2.4 ถาตาแหนงจดปลายสวนโคงอยทพกดจด (1, 0) คดเปน.................. สวนของวงกลม

จะไดความยาวของสวนโคง θ เทากบ ...................................................................... 5.2.5 จากการทากจกรรมนกเรยนจะเหนวาตาแหนงของจดปลายสวนโคงม................จด

6. จากการทากจกรรมในขอท 5 นกเรยนสรปอะไรไดบาง (ตอบเปนขอๆ ) ……………….…………………………………………………………………………………………………….…………………….…………………………………………………………..…………………………………….…………………….…………………………………………..…………………………………………………….…………………….………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………

252

ใบกจกรรมท 2.2 จดปลายและความยาวสวนโคง

คาชแจง ในกจกรรมท 2.2 จะแบงออกเปนกจกรรมยอยๆ 2 กรณ ดงน

กรณท 1: ความยาวสวนโคงเปนจานวนเทาของ π กรณท 2: ความยาวสวนโคงเปนจานวนเทาของ

2π

กรณท 1 คาสง ใหนกเรยนปฏบตตามกจกรรมตอไปน และเตมคาตอบลงในชองวาง คาชแจง ใหนกเรยนทาการศกษาวงกลมเมอแบงออกเปน 2 สวนเทาๆ กน โดยใชคาสงตอไปน

1. คาสง ใชเปนลกศรในการควบคมจด

2. คาสง ใชในการแสดงคาของวตถ

3. คาสง ใชในการแสดงแกน x และแกน y 1. ใหนกเรยนทาการศกษาวงกลมเมอแบงออกเปน 2 สวนเทาๆ กน แลวใหนกเรยนตอบคาถามจากสงทนกเรยนไดทาการสารวจ ดงน 1.1 ใหนกเรยนวาดรปวงกลมททาการแบงวงกลมเปน 2 สวนเทาๆ กน เสรจแลวลงในกรอบดานลางน

จากวงกลมหนงหนวยทนกเรยนสรางเสรจแลวนกเรยนลองคดซวาแตละสวนโคงมความยาวสวนโคงเทาไหรและมแกนอะไรเปนตวแบง เพราะอะไรใหนกเรยนเขยนอธบาย

.............................................................................................................................................. ........................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................

253

กรณท 1 เมอกาหนดให 0θ > 1.1.1 จากA (1, 0) วดความยาวสวนโคงไปหา B(-1, 0) ไดความยาวสวนโคง......................

โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ................................................... 1.1.2 จาก B (-1, 0) วดความยาวสวนโคงไปหา C (1, 0) ไดความยาวสวนโคง..................... โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ................................................... กรณท 2 เมอกาหนดให 0θ <

1.1.3 จากC (1, 0) วดความยาวสวนโคงไปหา B(-1, 0) ไดความยาวสวนโคง...................... โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ................................................... 1.1.4 จาก B (-1, 0) วดความยาวสวนโคงไปหา A (1, 0) ไดความยาวสวนโคง..................... โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ................................................... 1.1.5 ใหนกเรยนทาการสงเกตจดปลายสวนโคง ของแตละความยาวสวนโคง และเขยนสงทนกเรยนไดจากการสงเกต

.............................................................................................................................................. ........................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................

254

กรณท 2 คาสง ใหนกเรยนปฏบตตามกจกรรมตอไปน และเตมคาตอบลงในชองวาง คาชแจง ใหนกเรยนทาการศกษาวงกลมเมอแบงออกเปน 2 สวนเทาๆ กน โดยใชคาสงตอไปน

1. คาสง ใชเปนลกศรในการควบคมจด

2. คาสง ใชในการแสดงคาของวตถ

3. คาสง ใชในการแสดงแกน x และแกน y ใหนกเรยนทากจกรรมท 2.2.2 แลวตอบคาถาม ตอไปน พรอมทงวาดรปประกอบ 1. ใหนกเรยนทาการแบงวงกลมออกเปน 4 สวนเทาๆ กน เมอสรางเสรจแลวใหนกเรยนตอบคาถามจากสงทนกเรยนไดทาการสารวจ และคนพบดวยตนเอง ดงน 1.1 ใหนกเรยนวาดรปวงกลมททาการแบงวงกลมเปน 4 สวนเทาๆ กน เสรจแลววาดรปลงในกรอบดานลางน

จากวงกลมหนงหนวยทนกเรยนสรางเสรจแลวนกเรยนลองคดซวาแตละสวนโคงมความยาวสวนโคงเทาไหรและมแกนอะไรเปนตวแบง เพราะอะไรใหนกเรยนเขยนอธบาย

.............................................................................................................................................. ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... กรณท 1 เมอกาหนดให 0θ >

1.1.1 จาก A(1, 0) วดความยาวสวนโคงไปหา B (0, 1) ไดความยาวสวนโคง...................... โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ................................................... 1.1.2 จาก B (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา C (-1, 0) ไดความยาวสวนโคง..................... โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ...................................................

255

1.1.3 จากC(-1, 0) วดความยาวสวนโคงไปหา D(0, -1) ไดความยาวสวนโคง......................

โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ................................................... กรณท 2 เมอกาหนดให 0θ <

1.1.5 จาก A(1, 0) วดความยาวสวนโคงไปหา D(0, -1) ไดความยาวสวนโคง...................... โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ...................................................

1.1.6 จาก D(0, -1) วดความยาวสวนโคงไปหา C(-1, 0)ไดความยาวสวนโคง...................... โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ...................................................

1.1.7 จาก C(-1, 0) วดความยาวสวนโคงไปหา B(0, 1) ไดความยาวสวนโคง...................... โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ...................................................

1.1.8 จาก B (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา A(1, 0) ไดความยาวสวนโคง...................... โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ...................................................

1.1.9 ใหนกเรยนทาการสงเกตจดปลายสวนโคง ของแตละความยาวสวนโคง และเขยนสงทนกเรยนไดจากการสงเกต

.............................................................................................................................................. ........................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................

256

แบบฝกหดระคน 1. ใหนกเรยนใชเครองมอทอยในชดกจกรรม หาความยาวสวนโคงเมอกาหนด p(θ ) กคอพกด (x, y) ทจดสนสดของการวดความยาวสวนโคง θ พรอมทงวาดรปตอไปน 1.1 จงหา p(π ) เทากบ......... องศา 1.2 จงหา p( π2 ) เทากบ......... องศา จดสนสด คอ................................... จดสนสด คอ................................... จดสนสดตกบนแกน ...................... จดสนสดตกบนแกน ...................... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... นนคอ ............................................ นนคอ............................................. 1.3 จงหา p( π5 )เทากบ......... องศา 1.4 จงหา p( π20 ) เทากบ......... องศา จดสนสด คอ................................... จดสนสด คอ................................... จดสนสดตกบนแกน ...................... จดสนสดตกบนแกน ...................... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... นนคอ ............................................ นนคอ.............................................

257

1.5 จงหา p( π1002 )เทากบ......... องศา 1.6 จงหา p( π− ) เทากบ......... องศา จดสนสด คอ................................... จดสนสด คอ................................... จดสนสดตกบนแกน ...................... จดสนสดตกบนแกน ...................... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... นนคอ ............................................ นนคอ............................................. 1.7 จงหา p( π2− ) เทากบ......... องศา 1.8 จงหา p( π35− ) เทากบ......... องศา จดสนสด คอ................................... จดสนสด คอ................................... จดสนสดตกบนแกน ...................... จดสนสดตกบนแกน ...................... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... นนคอ ............................................ นนคอ............................................. 1.9 จงหา p( π446− ) เทากบ......... องศา 1.10 จงหา p( π5337− ) เทากบ......... องศา

258

จดสนสด คอ................................... จดสนสด คอ................................... จดสนสดตกบนแกน ...................... จดสนสดตกบนแกน ...................... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... นนคอ ............................................ นนคอ.............................................

2. จากทนกเรยนไดตอบคาถามในขอ 2 ใหนกเรยนตอบสงทนกเรยนไดจากการทากจกรรม ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... 2. ใหนกเรยนใชเครองมอทอยในชดกจกรรม หาความยาวสวนโคงเมอกาหนด p(θ ) กคอพกด (x, y) ทจดสนสดของการวดความยาวสวนโคง θ พรอมทงวาดรปตอไปน

2.1 จงหา p(2

3π ) เทากบ......... องศา 2.2 จงหา p(2

9π )เ ทากบ......... องศา

จดสนสด คอ................................... จดสนสด คอ................................... จดสนสดตกบนแกน ...................... จดสนสดตกบนแกน ...................... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... นนคอ ............................................ นนคอ.............................................

2.3 จงหา p(2

35π ) เทากบ......... องศา 2.4 จงหา p(2

23π ) เทากบ......... องศา

259

จดสนสด คอ................................... จดสนสด คอ................................... จดสนสดตกบนแกน ...................... จดสนสดตกบนแกน ...................... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... นนคอ ............................................ นนคอ.............................................

2.5 จงหา p(2

17π ) เทากบ......... องศา 2.6 จงหา p(27π− ) เทากบ......... องศา

จดสนสด คอ................................... จดสนสด คอ................................... จดสนสดตกบนแกน ...................... จดสนสดตกบนแกน ...................... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... นนคอ ............................................ นนคอ.............................................

2.7 จงหา p(2

201π− ) เทากบ......... องศา 2.8 จงหา p(231π− ) เทากบ......... องศา

จดสนสด คอ................................... จดสนสด คอ................................... จดสนสดตกบนแกน ...................... จดสนสดตกบนแกน ...................... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... นนคอ ............................................ นนคอ.............................................

260

2.9 จงหา p(249π− ) เทากบ......... องศา 2.10 จงหา p(

25337π− ) เทากบ......... องศา

จดสนสด คอ................................... จดสนสด คอ................................... จดสนสดตกบนแกน ...................... จดสนสดตกบนแกน ...................... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... นนคอ ............................................ นนคอ............................................. 3. จากทนกเรยนไดตอบคาถามในขอ 2 ใหนกเรยนตอบสงทนกเรยนไดจากการทากจกรรม ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................

261

ใบกจกรรมท 2.3 จดปลายและความยาวสวนโคง

คาชแจง ในกจกรรมท 2.3 จะแบงออกเปน 2 กรณ ดงน กรณท 3: ความยาวสวนโคงเปนจานวนเทาของ

4π

กรณท 4: ความยาวสวนโคงเปนจานวนเทาของ 3π และ

6π

กรณท 3 คาสง ใหนกเรยนปฏบตตามกจกรรมตอไปน และเตมคาตอบลงในชองวาง คาชแจง ใหนกเรยนทาการศกษาวงกลมเมอแบงวงกลมเปน 8 สวนเทาๆ กน โดยใชคาสงตอไปน

1. คาสง ใชเปนลกศรในการควบคมจด

2. คาสง ใชในการแสดงคาของวตถ

3. คาสง ใชในการแสดงแกน x และแกน y 2. ใหนกเรยนทาการศกษาวงกลมเมอแบงวงกลมเปน 8 สวนเทาๆ กน เมอสรางเสรจแลวให

นกเรยนตอบคาถามจากสงทนกเรยนไดทาการสารวจ และคนพบดวยตนเอง ดงน 2.1 ใหนกเรยนวาดรปวงกลมททาการแบงวงกลมเปน 8 สวนเทาๆ กน เสรจแลววาดรปลงในกรอบดานลางน

จากวงกลมหนงหนวยทนกเรยนสรางเสรจแลวนกเรยนลองคดซวาแตละสวนโคงมความยาวสวนโคงเทาไหรและมแกนอะไรเปนตวแบง เพราะอะไรใหนกเรยนเขยนอธบาย

.............................................................................................................................................. ........................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................

262

2.2 จากการทากจกรรมนกเรยนจะเหนวาในการแบงสวนโคง 8 สวน ซงจะมอย 4 จดปลายสวนโคงทเราไมทราบตาแหนงของพกดจดปลายสวน โคง ดงนนใหนกเรยนทาการหาตาแหนงพกด จดทง 4 จด ดงน ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... กรณท 1 เมอกาหนดให 0θ > 2.1.1 จาก A (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา B ไดความยาวสวนโคง.............................. โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ...................................................

2.1.2 จาก A (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา C ไดความยาวสวนโคง.............................. โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ...................................................

2.1.3 จาก A (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา D ไดความยาวสวนโคง............................... โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ...................................................

2.1.4 จาก A (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา E ไดความยาวสวนโคง............................... โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ................................................... กรณท 2 เมอกาหนดให 0θ <

2.1.5 จาก A (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา E ไดความยาวสวนโคง............................... โดยวดในทศทางทศทางทวนเขมนาฬกา จดปลายของสวนโคง คอ ...................................................

2.1.6 จาก A (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา D ไดความยาวสวนโคง.............................. โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ...................................................

2.1.7 จาก A (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา C ไดความยาวสวนโคง.............................. โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ...................................................

263

2.1.8 จาก A (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา B ไดความยาวสวนโคง.............................. โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ...................................................

2.1.9 ใหนกเรยนทาการสงเกตจดปลายสวนโคง ของแตละความยาวสวนโคง และเขยนสงทนกเรยนไดจากการสงเกต

.............................................................................................................................................. ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... กรณท 4 คาสง ใหนกเรยนปฏบตตามกจกรรมตอไปน และเตมคาตอบลงในชองวาง คาชแจง ใหนกเรยนทาการศกษาวงกลมเมอแบงวงกลมเปน 12 สวนเทาๆ กน โดยใชคาสงตอไปน

1. คาสง ใชเปนลกศรในการควบคมจด

2. คาสง ใชในการแสดงคาของวตถ

3. คาสง ใชในการแสดงแกน x และแกน y

2. ใหนกเรยนทาการศกษาวงกลมเมอแบงวงกลมเปน 12 สวนเทาๆ กน เมอสรางเสรจแลวใหนกเรยนตอบคาถามจากสงทนกเรยนไดทาการสารวจ และคนพบดวยตนเอง ดงน 2.1 ใหนกเรยนวาดรปวงกลมททาการแบงวงกลมเปน 12 สวนเทาๆ กน เสรจแลววาดรปลงในกรอบดานลางน

จากวงกลมหนงหนวยทนกเรยนสรางเสรจแลวนกเรยนลองคดซวาแตละสวนโคงมความยาวสวนโคงเทาไหรและมแกนอะไรเปนตวแบง เพราะอะไรใหนกเรยนเขยนอธบาย

.............................................................................................................................................. ........................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................

264

2.2 จากการทากจกรรมนกเรยนจะเหนวาในการแบงสวนโคง 12 สวน ซงจะมอย 8 จดปลายสวนโคงทเราไมทราบตาแหนงของพกดจดปลายสวน โคง ดงนนใหนกเรยนทาการหาตาแหนงพกดจดทง 8 จด ดงน กรณท 1 ความยาวสวนโคงเทากบ...................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... กรณท 2 ความยาวสวนโคง เทากบ.................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................

265

กรณท 1 ความยาวสวนโคงเทากบ 3π

กรณท 1.1 เมอกาหนดให 0θ > 2.1.1 จาก A (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา C ไดความยาวสวนโคง..............................

โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ................................................... 2.1.2 จาก A (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา D ไดความยาวสวนโคง..............................

โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ................................................... 2.1.3 จาก A (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา G ไดความยาวสวนโคง...............................

โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ................................................... 2.1.4 จาก A (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา H ไดความยาวสวนโคง...............................

โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ................................................... กรณท 1.2 เมอกาหนดให 0θ <

2.1.5 จาก A (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา H ไดความยาวสวนโคง............................... โดยวดในทศทางทศทางทวนเขมนาฬกา จดปลายของสวนโคง คอ ...................................................

2.1.6 จาก A (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา G ไดความยาวสวนโคง.............................. โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ...................................................

2.1.7 จาก A (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา D ไดความยาวสวนโคง.............................. โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ...................................................

2.1.8 จาก A (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา C ไดความยาวสวนโคง.............................. โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ...................................................

2.1.9 ใหนกเรยนทาการสงเกตจดปลายสวนโคง ของแตละความยาวสวนโคง และเขยนสงทนกเรยนไดจากการสงเกต

.............................................................................................................................................. ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................

266

กรณท 2 ความยาวสวนโคงเทากบ 6π

2.1.1 จาก A (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา B ไดความยาวสวนโคง.............................. โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ...................................................

2.1.2 จาก A (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา E ไดความยาวสวนโคง.............................. โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ...................................................

2.1.3 จาก A (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา F ไดความยาวสวนโคง............................... โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ...................................................

2.1.4 จาก A (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา I ไดความยาวสวนโคง............................... โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ...................................................

2.1.5 จาก A (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา I ไดความยาวสวนโคง............................... โดยวดในทศทางทศทางทวนเขมนาฬกา จดปลายของสวนโคง คอ ...................................................

2.1.6 จาก A (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา F ไดความยาวสวนโคง.............................. โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ...................................................

2.1.7 จาก A (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา E ไดความยาวสวนโคง.............................. โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ...................................................

2.1.8 จาก A (0, 1) วดความยาวสวนโคงไปหา B ไดความยาวสวนโคง.............................. โดยวดในทศทาง................................... จดปลายของสวนโคง คอ ...................................................

2.1.9 ใหนกเรยนทาการสงเกตจดปลายสวนโคง ของแตละความยาวสวนโคง และเขยนสงทนกเรยนไดจากการสงเกต

.............................................................................................................................................. ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................

267

จากการศกษาความยาวสวนโคงในกรณท 3 และ 4 ใหนกเรยนใชความร ความเขาใจ ตอบคาถามตอไปน โดยใชโปรแกรม C.a.R. เปนตวชวยในการทากจกรรม 1. ใหนกเรยนใชเครองมอทอยในชดกจกรรม หาความยาวสวนโคงเมอกาหนด p(θ ) กคอพกด (x, y) ทจดสนสดของการวดความยาวสวนโคง θ พรอมทงวาดรปตอไปน

1.1 จงหา p(4π ) เทากบ......... องศา 1.2 จงหา p(

43π ) เทากบ......... องศา

จดสนสด คอ................................... จดสนสด คอ................................... จดสนสดตกบนแกน ...................... จดสนสดตกบนแกน ...................... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... นนคอ ............................................ นนคอ.............................................

1.3 จงหา p(4

5π ) เทากบ......... องศา 1.4 จงหา p(4

7π ) เทากบ......... องศา

จดสนสด คอ................................... จดสนสด คอ................................... จดสนสดตกบนแกน ...................... จดสนสดตกบนแกน ...................... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... นนคอ ............................................ นนคอ.............................................

268

1.5 จงหา p(4

13π ) เทากบ......... องศา 1.6 จงหา p(4

27π ) เทากบ......... องศา

จดสนสด คอ................................... จดสนสด คอ................................... จดสนสดตกบนแกน ...................... จดสนสดตกบนแกน ...................... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... นนคอ ............................................ นนคอ.............................................

1.7 จงหา p(45π− ) เทากบ......... องศา 1.8 จงหา p(

47π− ) เทากบ......... องศา

จดสนสด คอ................................... จดสนสด คอ................................... จดสนสดตกบนแกน ...................... จดสนสดตกบนแกน ...................... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... นนคอ ............................................ นนคอ.............................................

1.9 จงหา p(411π− ) เทากบ......... องศา 1.10 จงหา p(

417π− ) เทากบ......... องศา

269

จดสนสด คอ................................... จดสนสด คอ................................... จดสนสดตกบนแกน ...................... จดสนสดตกบนแกน ...................... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... นนคอ ............................................ นนคอ.............................................

2. จากทนกเรยนไดตอบคาถามในขอ 3 ใหนกเรยนตอบสงทนกเรยนไดจากการทากจกรรม ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... 2. ใหนกเรยนใชเครองมอทอยในชดกจกรรม หาความยาวสวนโคงเมอกาหนด p(θ ) กคอพกด (x, y) ทจดสนสดของการวดความยาวสวนโคง θ พรอมทงวาดรปตอไปน

2.1 จงหา p(3π ) เทากบ......... องศา 2.2 จงหา p(

32π ) เทากบ......... องศา

จดสนสด คอ................................... จดสนสด คอ................................... จดสนสดตกบนแกน ...................... จดสนสดตกบนแกน ...................... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... นนคอ ............................................ นนคอ.............................................

2.3 จงหา p(3

4π ) เทากบ......... องศา 2.4 จงหา p(3

5π ) เทากบ......... องศา

270

จดสนสด คอ................................... จดสนสด คอ................................... จดสนสดตกบนแกน ...................... จดสนสดตกบนแกน ...................... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... นนคอ ............................................ นนคอ.............................................

2.5 จงหา p(3

7π ) เทากบ......... องศา 2.6 จงหา p(3

14π ) เทากบ......... องศา

จดสนสด คอ................................... จดสนสด คอ................................... จดสนสดตกบนแกน ...................... จดสนสดตกบนแกน ...................... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... นนคอ ............................................ นนคอ............................................

2.7 จงหา p(3π

− ) เทากบ......... องศา 2.8 จงหา p(3

2π− ) เทากบ......... องศา

จดสนสด คอ................................... จดสนสด คอ................................... จดสนสดตกบนแกน ...................... จดสนสดตกบนแกน ...................... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... นนคอ ............................................ นนคอ.............................................

271

2.9 จงหา p(3

28π− ) เทากบ......... องศา 2.10 จงหา p(

311π− ) เทากบ......... องศา

จดสนสด คอ................................... จดสนสด คอ................................... จดสนสดตกบนแกน ...................... จดสนสดตกบนแกน ...................... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... นนคอ ............................................ นนคอ.............................................

4. จากทนกเรยนไดตอบคาถามในขอ 3 ใหนกเรยนตอบสงทนกเรยนไดจากการทากจกรรม ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... 3. ใหนกเรยนใชเครองมอทอยในชดกจกรรม หาความยาวสวนโคงเมอกาหนด p(θ ) กคอพกด (x, y) ทจดสนสดของการวดความยาวสวนโคง θ พรอมทงวาดรปตอไปน

3.1 จงหา p(6π ) เทากบ......... องศา 3.2 จงหา p(

65π ) เทากบ......... องศา

จดสนสด คอ................................... จดสนสด คอ................................... จดสนสดตกบนแกน ...................... จดสนสดตกบนแกน ...................... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... นนคอ ............................................ นนคอ.............................................

272

3.3 จงหา p(6

7π ) เทากบ......... องศา 3.4 จงหา p(6

11π ) เทากบ......... องศา

จดสนสด คอ................................... จดสนสด คอ................................... จดสนสดตกบนแกน ...................... จดสนสดตกบนแกน ...................... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... นนคอ ............................................ นนคอ.............................................

3.5 จงหา p(6

17π ) เทากบ......... องศา 3.6 จงหา p(6

35π ) เทากบ......... องศา

จดสนสด คอ................................... จดสนสด คอ................................... จดสนสดตกบนแกน ...................... จดสนสดตกบนแกน ...................... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... นนคอ ............................................ นนคอ.............................................

3.7 จงหา p(6π

− ) เทากบ......... องศา 3.8 จงหา p(6

5π− ) เทากบ......... องศา

273

จดสนสด คอ................................... จดสนสด คอ................................... จดสนสดตกบนแกน ...................... จดสนสดตกบนแกน ...................... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... นนคอ ............................................ นนคอ.............................................

3.9 จงหา p(6

19π− ) เทากบ......... องศา 3.10 จงหา p(

623π

− ) เทากบ......... องศา

จดสนสด คอ................................... จดสนสด คอ................................... จดสนสดตกบนแกน ...................... จดสนสดตกบนแกน ...................... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... N เปนจานวนเตม (ค/ค) เทากบ...... นนคอ ............................................ นนคอ............................................. 4. จากทนกเรยนไดตอบคาถามในขอ 3 ใหนกเรยนตอบสงทนกเรยนไดจากการทากจกรรม ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................

274

แบบฝกหดเพมเตม ใหนกเรยน หาตาแหนงจดปลายสวนโคง ตอไปน

1. )4π17p(

วธทา เนองจาก =4π17

4π4 = π4

4π+ = π)2(2

4π+

จะไดวา )4π17p( = p( π)2(2

4π+ )

= )4πp(

ดงนน )4π17p( = (

22,

22 )

หมายเหต : ถานกเรยนไมสามารถแยกใหเปน 2(n π ) โดยท n คอจานวนเตม กไมเปนไร แตถาทาได ใหทานะครบ

2. )3π91p(

วธทา ....................................................................................... ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. .................................................................................................

3. )6π49p(

วธทา ....................................................................................... ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. .................................................................................................

275

4. )2π9p(−

วธทา ....................................................................................... ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. .................................................................................................

5. )6π37p(−

วธทา ....................................................................................... ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. .................................................................................................

6. )4π11p(−

วธทา ....................................................................................... ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. .................................................................................................

7. )4π45p(

วธทา ....................................................................................... ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. .................................................................................................

276

8. )6π5p(−

วธทา ....................................................................................... ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. .................................................................................................

9. )4π7p(−

วธทา ....................................................................................... ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. .................................................................................................

10. )6π41p(−

วธทา ....................................................................................... ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. จากขอ 1 – 10 ใหนกเรยนเขยนสรปสงทนกเรยนไดจากการทาแบบฝกหด ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................

277

ใบกจกรรมท 3 ฟงกชนโคไซนและฟงกชนไซน

คาสง ใหนกเรยนเปดชดกจกรรมแลวเลอกทากจกรรมในหนวยท 3 เรองฟงกชนโคไซนและฟงกชนไซน คาชแจง ใหนกเรยนปฏบตตามกจกรรมตอไปน และเตมคาตอบลงในชองวาง

1. ใหนกเรยนทาการศกษาการนยามฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนโดยใชวงกลมหนงหนวย 2. จากขอ 1 ใหนกเรยนสารวจกจกรรมแลวเตมคาตอบลงในตารางตอไปน

หนวยการวดมม พกดจด

เรเดยน องศา x y 0 0๐

6π 30๐

4π 45๐

3π 60๐

2π 90๐

32π 120๐

43π 135๐

65π 150๐

π 180๐

34π 210๐

45π 225๐

67π 240๐

23π 270๐

35π 300๐

47π 315๐

611 π 330๐

π2 360๐

หมายเหต : คาของ 23 = 0.866 ,

22 = 0.7071

278

3. จากความรเดมในหนวยท 2 จะเหนวาคาของความยาวสวนโคง θ เมอθ เปนจานวนจรงใดๆ จะสามารถกาหนดจดปลายของสวนโคงไดเพยง ............. จด เทานน นกเรยนคดวาเปนฟงกชนหรอไมเพราะเหตใด.......................................................................................................................................... ..............................................................................................................................................................

4. จากขอมลในขอ 1- 3 ทนกเรยนไดตอบใหนกเรยนเขยนนยามของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน ตามความเขาใจของนกเรยน ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

5. เมอนกเรยนไดบทนยามในขอท 4 แลว ใหนกเรยนตอบคาถามตอไปน 5.1 โดเมนของฟงกชนโคไซน คอ .................................................. เรนจของฟงกชนโคไซน คอ .................................................. 5.2 โดเมนของฟงกชนไซน คอ .................................................. เรนจของฟงกชนไซน คอ ..................................................

6. ใหนกเรยนตอบคาถามลงในวงกลมหนงหนวยตอไปน

279

เนองจากสมการของวงกลมหนงหนวย คอ....................................... และจากรปขางบนจะเหนวา y = …….. , x = ………… ดงนนสงผลให .............................................. 7. ใหนกเรยนเตมคาตอบลงในตารางขางลางน

มม θ ฟงกชน

o0 30๐ 45๐ 60๐ 90๐ 180๐ 270๐

sin θ cos θ

tan θ =cosθsinθ

cosec θ = sinθ

1

sec θ = cosθ

1

cot θ = sinθcosθ

280

ใบกจกรรมท 4.1 คาของฟงกชนโคไซนและฟงกชนไซน

คาสง ใหนกเรยนเปดชดกจกรรมแลวเลอกทากจกรรมในหนวยท 4 เรองคาของฟงกชนโคไซน และฟงกชนไซน ในกจกรรมนจะแบงออกเปน 2 สวน กรณท 1 คาของฟงกชนไซนและโคไซนของจานวนจรงบางจานวน 1. ใหนกเรยนทากจกรรม 4.1 ในหนวยท 4 แลวตอบคาถามลงในใบงาน 2. ใหนกเรยนหาความยาวสวนโคงของจดปลายสวนโคงตอไปน (ภายใน 1 รอบ ทศทางทวนเขมนาฬกา) 2.1 พกดจดปลาย p(1, 0) 2.2 พกดจดปลาย p(0, 1) θ = ………….. θ = ………… sin (…..) = ………… sin (…..) = ………… cos (….) = ………… cos (…..) = …………

2.3 พกดจดปลาย p(-1, 0) 2.4 พกดจดปลาย p(0, -1) θ = ………….. θ = ………… sin (…..) = ………… sin (…..) = ………… cos (….) = ………… cos (…..) = …………

2.5 ให θ = 2π

− 2.6 ให θ = π−

พกดจดปลายสวนโคง............ พกดจดปลาย .............. sin (…..) = ………… sin (…..) = ………… cos (….) = ………… cos (….) = …………

2.7 ให θ =2

3π− 2.8 ให θ = π2−

พกดจดปลายสวนโคง............ พกดจดปลาย .............. sin (…..) = ………… sin (…..) = ………… cos (….) = ………… cos (….) = …………

3. ใหนกเรยนใชความรเดมในหนวยท 2 แบงวงกลมออกเปน 8 สวน จะไดดงรป

281

เมอนกเรยนสรางรปเสรจแลวใหกาหนดจด P(x, y) เปนจดตดทอยบนวงกลม และใหนกเรยนปฏบตดงน 3.1 ใหนกเรยนสรางรป Δ มมฉาก PAO โดยม A เปนมมฉาก จะไดวา m( POA ) = …………. เรเดยน หรอ ............... องศา จะเหนวา Δ PAO เปนสามเหลยม.......................................... ดงนน ...................................................... นนคอ ...................................................... 3.2 จากขอ 3.1 นกเรยนทราบแลววา ............................................... หนาทของนกเรยนคอตองหาพกดจดปลายสวนโคง ใหไดซงสามารถหาได 2 วธ ดงน

วธท 1 ใชความรเรองทฤษฏบทพทาโกรส วธท 2 ใชความรเรองการหาระยะทางระหวางจด (คลายๆ กบหนวยท 2)

3.3 ใหนกเรยนหาจดปลายสวนโคง โดยใชวธใดวธหนง ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

นอกจากคาของ 4π แลว เรายงสามารถหาคาของฟงกชนไซนและโคไซนของจานวนจรง

,4π3

4π5 ,

4π7 , …, ( )

4π1n2 + เมอ n คอ จานวนเตมบวก

282

4. ใหนกเรยนใชความรเดมในชน ม. 1 สรางมม 60 องศา โดยทให Oกางเทากบ o60 เมอนกเรยนสรางรปเสรจแลวใหกาหนดจด P(x, y) เปนจดตดทเกดจากการสรางมม o60 เปนจดตดทอยบนวงกลม และใหนกเรยนปฏบตดงน 4.1 ใหนกเรยนสรางรป Δ มมฉาก PAO โดยม A เปนมมฉาก จะไดวา m( POA ) = ............... องศา หรอ ..................... เรเดยน จะเหนวา Δ PAO เปนสามเหลยม..........................................

4.2 หนาทของนกเรยนคอตองหาพกดจดปลายสวนโคง ใหไดซงถาเราพจารณาแลวการหาจดปลายสวนโคงในขอน เราสามารถหาไดในกรณเดยวคอ.............................................................. เพราะ......................................................... ดงนนนกเรยนตองหาจดทสมมาตรกบจด P(x, y) ขนมาอกหนงจด คอ M(-x, y) โดยทจดนเกดจากการใหแกน.......... เปนเสนสะทอนของจด P(x, y) 4.3 ใหนกเรยนหาจดปลายสวนโคง (ใชแนวคดเดยวกนกบในหนวยท 2) ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

283

นอกจากคาของ 3π แลว เรายงสามารถหาคาของฟงกชนไซนและโคไซนของจานวนจรง

ในรป 3πnπ2 ± ,

3π2nπ2 ± ,

3π4nπ2 ± และ

3π5nπ2 ± เมอ n เปนจานวนเตม

5. จากขอ 4 จะไดวาจากการหา sin 3π และ cos

3π ในกรณท 2 เราสามารถนามาสการหาคา sin

6π และ

cos6π ไดโดยใชความรเรองอตราสวนตรโกณมต

ขอใหนกเรยนสงเกต รป Δ PAO ในขอ 4 จะพบวามมแตละมมเทากบ............................... มความยาวสวนโคง........................................... เรเดยน ตามลาดบ และมม.................. เปนสวนหนงของรปสามเหลยมมมฉากเดยวกน ดงรป

จากขอ 4 จะไดวา sin 3π = ………. และ cos

3π = ………….

ดงนน อตราสวนดงกลาวจะทาใหเกดรปสามเหลยมมมฉากไดแบบหนง ดงน จากรปสามเหลยมมมฉาก ดงกลาวใชความรเกยวกบอตราสวนตรโกณมต จะได

sin 6π = ……………

cos 6π = ……………

284

แบบฝกหดเสรม 1. จงหาคาของ sinθ และ cosθ เมอ θ เปนจานวนจรงตอไปน 1) π3 2) π8 p( π3 ) = ………………. p( π8 ) = ………………….. sin( π3 ) = …………….. sin( π8 ) = …………….. cos( π3 ) = …………….. cos( π8 ) = …………….. 3) π5− 4) π2− p( π5− ) = ………………. p( π2− ) = ………………….. sin( π5− ) = …………….. sin( π2− ) = …………….. cos( π5− ) = …………….. cos( π2− ) = ……………..

5) 2π

− 6) 2π3

−

p(2π

− ) = ………………. p(2π3

− ) = …………………..

sin(2π

− ) = …………….. sin(2π3

− ) = ……………..

cos(2π

− ) = …………….. cos(2π3

− ) = ……………..

7) 2π7 8)

2π7

−

p(2π7 ) = ………………. p(

2π7

− ) = …………………..

sin(2π7 ) = …………….. sin(

2π7

− ) = ……………..

cos(2π7 ) = …………….. cos(

2π7

− ) = ……………..

9) 2π9 10)

2π9

−

p(2π9 ) = ………………. p(

2π9

− ) = …………………..

sin(2π9 ) = …………….. sin(

2π9

− ) = ……………..

cos(2π9 ) = …………….. cos(

2π9

− ) = ……………..

285

11) π57 12) π57− p( π57 ) = ………………. p( π57− ) = ………………….. sin( π57 ) = …………….. sin( π57− ) = …………….. cos( π57 ) = …………….. cos( π57− ) = …………….. 13) π35 14) π35− p( π35 ) = ………………. p( π35− ) = ………………….. sin( π35 ) = …………….. sin( π35− ) = …………….. cos( π35 ) = …………….. cos( π35− ) = ……………..

15) 2π27 16)

2π27

−

p(2π27 ) = ………………. p(

2π27

− ) = …………………..

sin(2π27 ) = …………….. sin(

2π27

− ) = ……………..

cos(2π27 ) = …………….. cos(

2π27

− ) = ……………..

2. จากรปวงกลมหนงหนวยใหนกเรยนบอกตาแหนงจดปลายสวนโคงทยาว 4π ,

3π ,

6π ลงไปในรป

และบอกคาของฟงกชนไซนและโคไซน พรอมทงหาคาของฟงกชนไซนและโคไซนของจานวนจรง

ตอไปน 3π2 ,

4π3 ,

6π5 ,

6π7 ,

4π5 ,

3π4 ,

3π5 ,

4π7 และ

6π11

286

3. จงหาผลลพธตอไปน

1) sin3π cos

4π + tan

4π sec

6π 2) 3

6πtan2

6πcos

34

4πcosec

21

3πsin

31 222 +−−

วธทา ......................................................... วธทา .................................................................. ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................

3) sin2π3 secπ + sec 2

6π

4cot

6sin ππ

− 4) ooooo 60cos2360cos60sec45cot720sin −+

วธทา ......................................................... วธทา .................................................................. ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................

5) sin3π +2 sin

2π 6) sin

3π cos

2π

วธทา ......................................................... วธทา .................................................................. ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................

287

7) 3πtan

2π3cos

2π3sin

6πcos

6πsin ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + 8) oooooo 60cot60sec45cot60cosec30tan90sin −−

วธทา ......................................................... วธทา .................................................................. ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................

9) ooooo 45cot60cos60sec30cos60tan − 10) 3

cot43

3sin

3cos

4cot 222 ππππ

−−+

วธทา ......................................................... วธทา .................................................................. ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................

11) 3

tan4

sin6

tan3

sec3

sin31 2222 πππππ

+− 12) oo

oo 45sec8160sin30cot

2145tan3 2222 +−−

วธทา ......................................................... วธทา .................................................................. ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................ ................................................................... ............................................................................

288

ใบกจกรรมท 4.2 คาของฟงกชนตรโกณมตของจานวนจรงใดๆ

คาสง ใหนกเรยนเปดชดกจกรรมแลวเลอกทากจกรรมในหนวยท 4 เรองคาของฟงกชนโคไซนและไซน และเลอกทากจกรรมท 4.2 คาชแจง ในกจกรรมท 4.2 จะแบงการหาคาของฟงกชนโคไซนและไซนของจานวนจรงออกเปน 2 กรณ กรณ 1 การหาคาของ sin (-θ ) และ cos (-θ ) เมอ θ เปนจานวนจรงบวก กรณ 2 การหาคาของ sin θ และ cos θ เมอ θ > π2 กรณ 1 การหาคาของ sin (-θ ) และ cos (-θ ) เมอ θ เปนจานวนจรงบวก 1. ใหนกเรยนทาการสารวจกจกรรมในกรณท 1 แลวเขยนสงทนกเรยนไดจากการสารวจ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

289

2. ใหนกเรยนใชวงกลมหนงหนวยในกรณท 1 ตอบคาถามตอไปน

2.1) ให θ = 6π 2.2) ให θ =

6π

−

ทศทาง........................................ ทศทาง......................................... p(θ ) = ……………………….. p(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. จากขอ 2.1 และ 2.2 จะไดวา …………………………………………………………….. ……………………………………………………….…….

2.3) ให θ = 4π 2.4) ให θ =

4π

−

ทศทาง........................................ ทศทาง......................................... p(θ ) = ……………………….. p(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. จากขอ 2.3 และ 2.4 จะไดวา …………………………………………………………….. ……………………………………………………….…….

2.5) ให θ = 3π 2.6) ให θ =

3π

−

ทศทาง........................................ ทศทาง......................................... p(θ ) = ……………………….. p(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ………………………..

290

cosec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. จากขอ 2.5 และ 2.6 จะไดวา …………………………………………………………….. ……………………………………………………….…….

2.7) ให θ = 3

2π 2.8) ให θ = 3

2π−

ทศทาง........................................ ทศทาง......................................... p(θ ) = ……………………….. p(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. จากขอ 2.7 และ 2.8 จะไดวา …………………………………………………………….. ……………………………………………………….…….

2.9) ให θ = 4

3π 2.10) ให θ = 4

3π−

ทศทาง........................................ ทศทาง......................................... p(θ ) = ……………………….. p(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. จากขอ 2.9 และ 2.10 จะไดวา …………………………………………………………….. ……………………………………………………….……. 3. จากทนกเรยนทาทงหมดในขอ 2 เราสามารถสรปเปนสตรไดคอ …………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………….………

291

กรณ 2 การหาคาของ sin θ และ cos θ เมอ θ > π2 ใหนกเรยนทาการสารวจกจกรรมท 4.2 ในกรณท 2 ตามรป 1. จากการสารวจกจกรรมในกรณท 2 นกเรยนไดอะไรบาง ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 2. จากคณสมบตทไดจากการสารวจในขอท 1 ใหนกเรยนนาความรมาตอบคาถามตอไปน

2.1) กาหนดใหθ = 6π จงหาจานวนจรง θ มา 4 จานวนทมคาของฟงกชนตรโกณมตเทากน

จะได sin(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. cos(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….…….

tan(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. sec(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. cosec(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. cot(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. 2.2) กาหนดใหθ =

4π จงหาจานวนจรง θ มา 4 จานวนทมคาของฟงกชนตรโกณมต

จะได sin(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. cos(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. tan(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….…….

292

sec(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. cosec(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. cot(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. 2.3) กาหนดใหθ =

3π จงหาจานวนจรง θ มา 4 จานวนทมคาของฟงกชนตรโกณมต

จะได sin(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. cos(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….…….

tan(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. sec(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. cosec(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. cot(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. 2.4) กาหนดใหθ =

2π จงหาจานวนจรง θ มา 4 จานวนทมคาของฟงกชนตรโกณมต

จะได sin(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. cos(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….…….

tan(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. sec(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. cosec(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. cot(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….…….

2.5) กาหนดใหθ = π จงหาจานวนจรง θ มา 4 จานวนทมคาของฟงกชนตรโกณมต จะได sin(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. cos(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….…….

tan(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. sec(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. cosec(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….……. cot(…….) = ……..……… = ……....…… = ………..…… = ……….…….

3. จากขอ 1-2 ใหนกเรยนสรปสตรทนกเรยนไดจากการปฏบต ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

293

ใบกจกรรมท 4.2.1 คาของฟงกชนตรโกณมตของจานวนจรงใดๆ

คาสง ใหนกเรยนเปดชดกจกรรมแลวเลอกทากจกรรมในหนวยท 4 เรองคาของฟงกชนโคไซนและไซน และเลอกทากจกรรมท 4.2 คาชแจง ในกจกรรมท 4.2.1 จะแบงการหาคาของฟงกชนโคไซนและไซนของจานวนจรงออกเปน 2 กรณ

กรณ 3 การหาคาของ sin θ และ cos θ เมอ 2π <θ < π

กรณ 4 การหาคาของ sin θ และ cos θ เมอ π <θ <2π3

กรณ 3 การหาคาของ sin θ และ cos θ เมอ 2π <θ < π

1. ใหนกเรยนทาการศกษาสารวจกจกรรมท 4.2 ในกรณท 3 ดงรป

2. ใหนกเรยนเขยนสงทไดจากการสารวจ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

294

3. ใหนกเรยนใชความรทไดจากการสารวจตอบคาถามตอไปน

3.1) ให θ = 3π 3.2) ให θ =

32π

p(θ ) = (21 ,

23 ) p(θ ) =

32π = (

3ππ − ) = (

21

− , 23 )

sin(θ ) = 23 sin(θ ) =

23

cos(θ ) = 21 cos(θ ) =

21

−

tan(θ ) = 3 tan(θ ) = 3− sec(θ ) = 2 sec(θ ) = - 2

cosec(θ ) = 3

2 cosec(θ ) = 3

2

cot(θ ) = 3

1 cot(θ ) = 3

1−

จากขอ 3.1 และ 3.2 จะไดวา sin(3ππ − ) = sin (

3π ), cos(

3ππ − ) = - cos (

3π )

tan(3ππ − ) = - tan(

3π ), sec(

3ππ − ) = - sec(

3π )

cosec(3ππ − ) = cosec(

3π ), cot(

3ππ − ) = - cot(

3π )

3.3) ให θ = 4π 3.4) ให θ =

43π

p(θ ) = ……………………….. p(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. จากขอ 3.3 และ 3.4 จะไดวา …………………………………………….………………. ………………………………………………………….…. ……………………………………………………………..

295

3.5) ให θ = 6π 3.6) ให θ =

65π

p(θ ) = ……………………….. p(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. จากขอ 3.5 และ 3.6 จะไดวา ……………………………………………………..………. ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… 4. จากขอ 1-3 นกเรยนสามารถสรปใหอยในรปสตรทวไปไดแก ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

296

กรณ 4 การหาคาของ sin θ และ cos θ เมอ π <θ <2π3

1. ใหนกเรยนทาการศกษาสารวจกจกรรมท 4.2 ในกรณท 4 ดงรป 2. ใหนกเรยนเขยนสงทไดจากการสารวจ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 3. ใหนกเรยนใชความรทไดจากการสารวจตอบคาถามตอไปน

3.1) ให θ = 6π 3.2) ให θ =

67π

P(θ ) = (23 ,

21 ) P(θ ) =

67π = (

6ππ + ) = (

23

− ,21

− )

sin(θ ) = 21 sin(θ ) =

21

−

cos(θ ) = 23 cos(θ ) =

23

−

tan(θ ) = 3

1 tan(θ ) = 3

1

sec(θ ) = 3

2 sec(θ ) = 3

2−

cosec(θ ) = 2 cosec(θ ) = 2− cot(θ ) = 3 cot(θ ) = 3

จากขอ 3.1 และ 3.2 จะไดวา sin(6ππ + ) = - sin (

6π ), cos(

6ππ + ) = - cos (

6π )

tan(6ππ + ) = tan(

6π ), sec(

6ππ + ) = - sec(

6π )

cosec(6ππ + ) = - cosec(

6π ), cot(

6ππ + ) = cot(

6π )

297

3.3) ให θ = 4π 3.4) ให θ =

45π

p(θ ) = ……………………….. p(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. จากขอ 3.3 และ 3.4 จะไดวา …………………………………………………….………. …………………………………………………………….. ……………………………………………………………..

3.5) ให θ = 3π 3.6) ให θ =

34π

p(θ ) = ……………………….. p(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. จากขอ 3.5 และ 3.6 จะไดวา …………………………………………………….………. …………………………………………………………….. ……………………………………………………………..

3.7) ให θ = 2π 3.8) ให θ =

23π

p(θ ) = ……………………….. p(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ………………………..

298

จากขอ 3.7 และ 3.8 จะไดวา …………………………………………………….………. …………………………………………………………….. …………………………………………………………….. 4. จากขอ 1-3 นกเรยนสามารถสรปใหอยในรปสตรทวไปไดแก ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

299

ใบกจกรรมท 4.2.2 คาของฟงกชนตรโกณมตของจานวนจรงใดๆ

คาสง ใหนกเรยนเปดชดกจกรรมแลวเลอกทากจกรรมในหนวยท 4 เรองคาของฟงกชนโคไซนและไซน และเลอกทากจกรรมท 4.2 คาชแจง ในกจกรรมท 4.2.2 จะแบงการหาคาของฟงกชนโคไซนและไซนของจานวนจรงออกเปน 1 กรณ

กรณ 5 การหาคาของ sin θ และ cos θ เมอ 2π3 <θ < π

กรณ 5 การหาคาของ sin θ และ cos θ เมอ 2π3 <θ < π2

1. ใหนกเรยนทาการศกษาสารวจกจกรรมท 4.2 ในกรณท 5 ดงรป 2. ใหนกเรยนเขยนสงทไดจากการสารวจ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

300

3. ใหนกเรยนใชความรทไดจากการสารวจตอบคาถามตอไปน

3.1) ให θ = 6π 3.2) ให θ =

611π

p(θ ) = ……………………….. p(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. จากขอ 3.1 และ 3.2 จะไดวา …………………………………………………………..…. ……………………………………………………………... ………………………………………………………………

3.3) ให θ = 4π 3.4) ให θ =

47π

p(θ ) = ……………………….. p(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. จากขอ 3.3 และ 3.4 จะไดวา …………………………………………………………..…. ……………………………………………………………... ………………………………………………………………

3.5) ให θ = 3π 3.6) ให θ =

35π

p(θ ) = ……………………….. p(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ………………………..

301

cot(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. จากขอ 3.5 และ 3.6 จะไดวา …………………………………………………………..…. ……………………………………………………………... ………………………………………………………………

3.7) ให θ = 2π 3.8) ให θ =

23π

p(θ ) = ……………………….. p(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. sin(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. cos(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. tan(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. sec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cosec(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. cot(θ ) = ……………………….. จากขอ 3.7 และ 3.8 จะไดวา …………………………………………………………..…. ……………………………………………………………... ……………………………………………………………… 4. จากขอ 1-3 นกเรยนสามารถสรปใหอยในรปสตรทวไปไดแก ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

302

แบบฝกหดระคน

1. จงเขยนคาของ sinθ และ cosθ ในรปของ sinα และ cosα โดยท 2πα0 ≤≤ เมอกาหนด θ

ดงตอไปน (ในทน π = 3.14159) 1.1) θ = 3 1.2) θ = -3

วธทา เนองจาก π32π

<< วธทา ............................................................

ดงนน p(3) อยในควอดรนตท 2 ......................................................................

ให α = 3π− จะได 2πα0 << และ ......................................................................

sin 3 = sin( 3π− ) ...................................................................... cos 3 = - cos( 3π− ) ...................................................................... 1.3) θ = 4 1.4) θ = - 4 วธทา ............................................................ วธทา ............................................................ ...................................................................... ...................................................................... ...................................................................... ...................................................................... ...................................................................... ......................................................................

1.5) θ = 5 1.6) θ = - 5 วธทา ............................................................ วธทา ............................................................ ...................................................................... ...................................................................... ...................................................................... ...................................................................... ...................................................................... ......................................................................

2. กาหนดให 2πθ0 ≤≤ และ sinθ = 0.5075 จงหาคาของ

2.1) sin(-θ ) 2.2) sin( θπ − ) วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... ....................................................................... 2.3) sin( θπ + ) 2.4) sin( πθ − ) วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... .......................................................................

303

2.5) sin( θπ −2 ) 2.6) sin( πθ 2− ) วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... .......................................................................

3. กาหนดให 2πθ0 ≤≤ และ cosθ = 0.8090 จงหาคาของ

2.1) cos( θπ − ) 2.2) cos( πθ − ) วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... ....................................................................... 2.3) cos( θπ −2 ) 2.4) cos( πθ 2− ) วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... .......................................................................

2.5) cos( θπ −3 ) 2.6) cos( πθ 3− ) วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... ....................................................................... 4. จงพจารณาดวาขอตอไปถกหรอผด พรอมทงอธบายเหตผล 1. ถา sinθ = 0.5 แลว p(θ ) เปนจดทอยในควอดรนตท 1 เทานน ตอบ ................................................................................................................................................ ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... 2. ถา sinθ = -0.309 และ cosθ = -0.951 แลว p(θ ) เปนจดทอยในควอดรนตท 3 เทานน ตอบ ................................................................................................................................................ ......................................................................................................................................................... 3. ถา sinθ =cosθ แลว p(θ ) เปนจดทอยในควอดรนตท 1 เทานน ตอบ ................................................................................................................................................ ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... 4. ถา sinθ = - cosθ แลว p(θ ) เปนจดทอยในควอดรนตท 2 หรอ 4 ตอบ ................................................................................................................................................ .........................................................................................................................................................

304

5. กาหนดให 2πθ0 1 ≤≤ และ

2πθ0 2 ≤≤ โดยท sinθ = 0.1045 และ cosθ = 0.8090 จงหาคาของขอ

ตอไปน 5.1) sin( πθ1− ) 5.2) cos( πθ2− ) วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... ....................................................................... 5.3) sin( 1θπ3 + ) 5.4) cos( 2θπ3 + ) วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... ....................................................................... 5.5) sin( 1θπ3 − ) 5.6) cos( 2θπ3 − ) วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... .......................................................................

5.7) sin( 1θπ5 + ) 5.8) cos( 2θπ5 + ) วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... .......................................................................

5.9) sin( 1θπ5 − ) 5.10) cos( 2θπ5 − ) วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... .......................................................................

5.11) sin( π2θ1− ) 5.12) cos( π2θ2− ) วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... ....................................................................... 6. ให o90θ0 << จงพจารณาวาขอใดตอไปนถกตอง 6.1) sin ( )o180θ− < 0 เปน..............

6.2) cos ( )o360θ2 − < 0 เปน.............. 6.3) cos ( )θ270 −o > 0 เปน.............. 6.4) tan ( )θ90 +o > 0 เปน..............

305

ใบกจกรรมท 5 ฟงกชนตรโกณมตอนๆ

คาสง ใหนกเรยนเปดชดกจกรรมแลวเลอกทากจกรรมในหนวยท 5 เรองฟงกชนตรโกณมตอนๆ โดยใชความรเดมในหนวยท 4 นามาใชกบใบกจกรรมในหนวยท 5 1. จงทาใหอยในรป tanθ 1.1) tan ( θπ− ) 1.2) tan ( θπ+ ) วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... .......................................................................

1.3) tan ( θπ2 − ) 1.4) tan ( θπ2 + ) วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... 2. จงทาใหอยในรป cosecθ 2.1) cosec ( θπ− ) 2.2) cosec ( θπ+ ) วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... .......................................................................

2.3) cosec ( θπ2 − ) 2.4) cosec ( θπ2 + ) วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... .......................................................................

306

3. จงทาใหอยในรป secθ 3.1) sec ( θπ− ) 3.2) sec ( θπ+ ) วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... .......................................................................

3.3) sec ( θπ2 − ) 3.4) sec ( θπ2 + ) วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... 4. จงทาใหอยในรป cotθ 4.1) cot ( θπ− ) 4.2) cot ( θπ+ ) วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... .......................................................................

4.3) cot ( θπ2 − ) 4.4) cot ( θπ2 + ) วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... 5. จงหาคาของ

5.1) tan3

5π - cos3

4π - cosec6

5π 5.2) tan4

7π - cot4

3π - cosec3

5π

วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... .......................................................................

307

5.3) sec3π5 tan

43π 5.4)

14

7tan2π3cosec

4π3tan

6π7sec

3π7sin4

−

+

π

วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... .......................................................................

5.5) sin )540cos()765sec(240tan300 ooo

o −− 5.6) o

ooo

630tan2π3cosec240tan)765sec(300sin4 +−

วธทา ............................................................. วธทา ............................................................. ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... 6. จงหาจานวนจรง θ โดยท π2θ0 ≤≤ และสอดคลองกบสมการในขอตอไปน 6.1) |sinθ | = sinθ จะไดจานวนจรง θ เทากบ..................................................... 6.2) |cosθ | = - cosθ จะไดจานวนจรง θ เทากบ....................................................

6.3) |tanθ | = tanθ จะไดจานวนจรง θ เทากบ.................................................... 6.4) |cotθ | = - cotθ จะไดจานวนจรง θ เทากบ.................................................... 6.5) |secθ | = secθ จะไดจานวนจรง θ เทากบ.................................................... 6.6) |cosecθ | = - cosecθ จะไดจานวนจรง θ เทากบ.................................................... 6.7) sinθ = cosθ จะไดจานวนจรง θ เทากบ.................................................... 6.8) tanθ = cotθ จะไดจานวนจรง θ เทากบ.................................................... 6.9) sinθ = tanθ จะไดจานวนจรง θ เทากบ.................................................... 6.10) cosθ = cotθ จะไดจานวนจรง θ เทากบ....................................................

308

ใบกจกรรมท 6.1 ฟงกชนตรโกณมตของมม

คาสง ใหนกเรยนเปดชดกจกรรมแลวเลอกทากจกรรมในหนวยท 6 เรองฟงกชนตรโกณมตของมม คาชแจง ในกจกรรมท 6.1 จะแบงออกเปน 2 ตอน ดงน ตอนท 1 ทบทวนความรเดมเรองการวดมม ตอนท 2 ฟงกชนตรโกณมตของมม ตอนท 1 ทบทวนความรเดมเรองการวดมม 1. ใหนกเรยนใชความรเรองการวดมมในหนวยท 1 เปลยนมม θทกาหนดให ใหมหนวยเปนองศา และเรเดยน 1.1) o1θ = 1.2) o60θ = วธทา .............................................................. วธทา .............................................................. ........................................................................ .......................................................................

1.3) o501θ −= 1.4) o270θ = วธทา .............................................................. วธทา .............................................................. ........................................................................ .......................................................................

1.5) 6

11θ π= เรเดยน 1.6)

32θ π

= เรเดยน

วธทา .............................................................. วธทา .............................................................. ........................................................................ ....................................................................

1.7) 5

θ π= เรเดยน 1.8)

45θ π

−= เรเดยน

วธทา .............................................................. วธทา .............................................................. ........................................................................ .......................................................................

1.9) 6

7θ π−= เรเดยน 1.10) 3θ = เรเดยน

วธทา .............................................................. วธทา .............................................................. ........................................................................ .......................................................................

309

ตอนท 2 ฟงกชนตรโกณมตของมม ในกจกรรมเรองฟงกชนตรโกณมตของมมจะแบงเนอหาออกเปน 5 กรณเชนเดยวกนกบฟงกชนตรโกณมตของจานวนจรง ดงน กรณ 1 การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม -θ เมอ θ เปนมมบวก กรณ 2 การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม θ เมอ θ > o360 กรณ 3 การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม θ เมอ o90 <θ < o180 กรณ 4 การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม θ เมอ o180 <θ < o270 กรณ 5 การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม θ เมอ o270 <θ < o360

ใหนกเรยนใชความสมพนธระหวางหนวยการวดมมทเปนองศากบหนวยการวดมมเรเดยนเตมคาตอบลงในตารางทง 5 กรณตอไปน กรณ 1 การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม -θ เมอ θ เปนมมบวก

ระบบเรเดยน ระบบองศา sin( θ− ) = …………..

cos( θ− ) = ………….. tan( θ− ) = ………….. cot( θ− ) = ………….. sec( θ− ) = …………..

cosec( θ− ) = …………..

กรณ 2 การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม θ เมอ θ > o360

ระบบเรเดยน ระบบองศา ถา n เปนจานวนนบ แลว

sin( θnπ2 + ) = ………….. cos( θnπ2 + ) = …………..

tan( θnπ2 + ) = ………….. cot( θnπ2 + ) = ………….. sec( θnπ2 + ) = …………..

cosec( θnπ2 + ) = …………..

310

กรณ 3 การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม θ เมอ o90 <θ < o180

ระบบเรเดยน ระบบองศา sin( θπ− ) = ………….. cos( θπ− ) = ………….. tan( θπ− ) = ………….. cot( θπ− ) = …………..

sec( θπ− ) = ………….. cosec( θπ− ) = …………..

กรณ 4 การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม θ เมอ o180 <θ < o270

ระบบเรเดยน ระบบองศา sin( θπ+ ) = ………….. cos( θπ+ ) = ………….. tan( θπ+ ) = ………….. cot( θπ+ ) = ………….. sec( θπ+ ) = ………….. cosec( θπ+ ) = …………..

กรณ 5 การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม θ เมอ o270 <θ < o360

ระบบเรเดยน ระบบองศา sin( θπ2 − ) = ………….. cos( θπ2 − ) = …………..

tan( θπ2 − ) = ………….. cot( θπ2 − ) = …………..

sec( θπ2 − ) = ………….. cosec( θπ2 − ) = …………..

311

แบบฝกหดเสรมทกษะ 1. จงหาคาของฟงกชนตรโกณมตทกฟงกชนของมมตอไปน 1) 150๐ 2) 120๐ วธทา วธทา sin(150๐) = …………………. sin(120๐) = …………………. cos(150๐) = …………………. cos(120๐) = …………………. tan(150๐) = …………………. tan(120๐) = …………………. sec(150๐) = …………………. sec(120๐) = …………………. csc(150๐) = …………………. csc(120๐) = …………………. cot(150๐) = …………………. cot(120๐) = ………………….

3) 315๐ 4) –315๐ วธทา วธทา sin(315๐) = …………………. sin(–315๐) = …………………. cos(315๐) = …………………. cos(–315๐) = …………………. tan(315๐) = …………………. tan(–315๐) = …………………. sec(315๐) = …………………. sec(–315๐) = …………………. csc(315๐) = …………………. csc(–315๐) = …………………. cot(315๐) = …………………. cot(–315๐) = …………………. 5) 930๐ 6) 225๐ วธทา วธทา sin(930๐ ) = …………………. sin(225๐) = …………………. cos(930๐) = …………………. cos(225๐) = …………………. tan(930๐) = …………………. tan(225๐) = …………………. sec(930๐) = …………………. sec(225๐) = …………………. csc(930๐) = …………………. csc(225๐) = …………………. cot(930๐) = …………………. cot(225๐) = ………………….

312

2. จงหาคาของ

1) °

°° −330sin2

300sec135tan3 22

2) )390cos(

)840sin()480tan(°

°°

−−−−

วธทา …………………………………………. วธทา ………………………………... ………………………………………………… ………………………………………. ………………………………………………… ………………………………………. ………………………………………………… ………………………………………. ………………………………………………… ………………………………………. ………………………………………………… ………………………………………. ………………………………………………… ………………………………………. ………………………………………………… ………………………………………. 3) cos240๐cos120๐ – sin120๐cos150๐ 4) sin300๐tan240๐sec(-765๐)cos(-540๐) วธทา …………………………………………. วธทา ………………………………... ………………………………………………… ………………………………………. ………………………………………………… ………………………………………. ………………………………………………… ………………………………………. ………………………………………………… ………………………………………. ………………………………………………… ………………………………………. ………………………………………………… ………………………………………. ………………………………………………… ……………………………………….

5) sec2(-240๐) + cosec2(6π5

− ) + cot2(315๐)

วธทา …………………………………………. ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………

313

3. จงหาคาของฟงกชนตรโกณมตจากจดปลายสวนโคงของมม 1. กาหนดให θ เปนมมในตาแหนงมาตรฐาน และ P(15, -8) เปนจดปลายสวนโคงของมมθ จงหาคาของฟงกชนตรโกณมตทง 6 ฟงกชนของมม θ วธทา ........................................................................................................................................ .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. 2. กาหนดให θ เปนมมในตาแหนงมาตรฐาน และ 180๐ < θ < 270๐ และมดานสนสดของมม θ อยบนเสนตรง 4y = 3x จงหาคาของฟงกชนตรโกณมตทง 6 ฟงกชนของมม θ วธทา ........................................................................................................................................ .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. 3. กาหนดให θ เปนมมในตาแหนงมาตรฐาน และ P(-1, -4) เปนจดปลายสวนโคงของมมθ จงหาคาของฟงกชนตรโกณมตทง 6 ฟงกชนของมม θ วธทา ........................................................................................................................................ .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................

314

4. กาหนดให θ เปนมมในตาแหนงมาตรฐาน และ P(1, - 2 ) เปนจดปลายสวนโคงของมมθ จงหาคาของฟงกชนตรโกณมตทง 6 ฟงกชนของมม θ วธทา ........................................................................................................................................ .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. 5. กาหนดให θ เปนมมในตาแหนงมาตรฐาน และ P(- 3 , 1) เปนจดปลายสวนโคงของมมθ จงหาคาของฟงกชนตรโกณมตทง 6 ฟงกชนของมม θ วธทา ........................................................................................................................................ .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................

315

ใบกจกรรมท 6.2 ฟงกชนตรโกณมตของมม

คาสง ใหนกเรยนเปดชดกจกรรมแลวเลอกทากจกรรมในหนวยท 6 เรองฟงกชนตรโกณมตของมม คาชแจง ในกจกรรมท 6.2 จะแบงออกเปน 2 ตอน ดงน ตอนท 1 ฟงกชนตรโกณมตของมมของรปสามเหลยมมมฉาก ตอนท 2 การหาคาของฟงกชนตรโกณมตจากตาราง ตอนท 1 ฟงกชนตรโกณมตของมมของรปสามเหลยมมมฉาก 1. จากทนกเรยนไดทาการศกษามาทงหมดจะเหนวาจะมรปสามเหลยมมมฉากเขามาเกยวของเสมอ นกเรยนคดวาเราสามารถนาความรเกยวกบฟงกชนตรโกณมตมาใชประโยชนในดานใดไดบาง ......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 2. นกเรยนคดวานกเรยนสามารถหาความยาวของรปสามเหลยมมมฉากแตละรปตอไปนไดอยางไร 2.1) 2.2) เราสามารถ หา x ไดจาก.................................. เราสามารถ หา x ไดจาก.................................. หา y ไดจาก.................................. หา y ไดจาก.................................. จะได x = ……………… , y = ……………… จะได x = ……………… , y = ………………

2.3) 2.4) เราสามารถ หา x ไดจาก.................................. เราสามารถ หา x ไดจาก.................................. หา y ไดจาก.................................. หา y ไดจาก.................................. จะได x = ……………… , y = ……………… จะได x = ……………… , y = ………………

316

2.5) จงหา cosecθ ถา cosθ = 23 2.6) จาก secθ =

45 จงหา tanθ cosθ +sinθ -cotθ

จะได................................................................... จะได............................................................ ............................................................................ .................................................................... ............................................................................ .................................................................... ............................................................................ .................................................................... ............................................................................ .................................................................... ตอนท 2 การหาคาของฟงกชนตรโกณมตจากตาราง คาสง ใหนกเรยนใชตารางคาของฟงกชนตรโกณมตทครแจกใหนกเรยนหาคาของมมตอไปน 1. 0535θ ′= o 2. 7999.0θ = เรเดยน วธทา ............................................................ วธทา .............................................................. .......................................................................... ......................................................................... .......................................................................... ......................................................................... .......................................................................... ......................................................................... .......................................................................... ......................................................................... .......................................................................... ......................................................................... .......................................................................... ......................................................................... 3. 04102θ ′= o 4. 2201.3θ = เรเดยน วธทา ............................................................ วธทา .............................................................. .......................................................................... ......................................................................... .......................................................................... ......................................................................... .......................................................................... ......................................................................... .......................................................................... ......................................................................... .......................................................................... ......................................................................... .......................................................................... .........................................................................

317

5. 01210θ ′= o 6. 7639.16θ = เรเดยน วธทา ............................................................ วธทา .............................................................. .......................................................................... ......................................................................... .......................................................................... ......................................................................... .......................................................................... ......................................................................... .......................................................................... ......................................................................... 7. 02930θ ′−= o 8. 746.6θ = เรเดยน วธทา ............................................................ วธทา .............................................................. .......................................................................... ......................................................................... .......................................................................... ......................................................................... .......................................................................... ......................................................................... .......................................................................... ......................................................................... 9. 02159θ ′= o 10. 04178θ ′= o วธทา ............................................................ วธทา .............................................................. .......................................................................... ......................................................................... .......................................................................... ......................................................................... .......................................................................... ......................................................................... จากขอ 1-10 นกเรยนจะเหนวาทกๆ จานวนจรง θ ไมวาจะเปนองศาหรอเรเดยน เราสามารถหาคาไดจากในตารางไดทงหมด ตอไปนเปนการหาคาของฟงกชนตรโกณมตทเราไมสามารถหาไดจากในตาราง ซงเราสามารถหาคาไดดงปญหาตอไปน 1) sin 7140 ′o วธทา เนองจาก 024071400140 ′<′<′ ooo 1) จากตารางจะไดวา sin 0140 ′o = 0.6450 มมเพมขน 01 ′ sin 7140 ′o = ? 0.0022 คาฟงกชนเพมขน sin 0240 ′o = 0.6472

ดงนน 107 =

0.0022d

d = 10

0022.07× = .00154

เพราะฉะนน sin 7140 ′o = 0.6450 + 0.00154 = 0.64654

7′ d

318

2) cos 7140 ′o วธทา cos 0140 ′o = 0.7642 มมเพมขน 01 ′ cos 7140 ′o = ? - 0.0019 คาฟงกชนลดลง cos 0240 ′o = 0.7623

ดงนน 107 =

190.00d

−

d = 10

)0019.0(7 −× = -0.00133

เพราะฉะนน cos 7140 ′o = 0.7642 + (-0.00133) = 0.76287 3) กาหนดให oo 90θ0 ≤≤ จงหาคาของ θ เมอกาหนดให sinθ = 0.4862 วธทา ............................................................................................................................................ ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... 4) กาหนดให oo 018θ0 ≤≤ จงหาคาของ θ เมอกาหนดให sinθ = 0.4759 วธทา ............................................................................................................................................ ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................

7′ d

319

5) กาหนดให π2θ0 ≤≤ จงหาคาของ θ เมอกาหนดให cosθ = - 0.7302 วธทา ............................................................................................................................................ ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... 6) จงหาคาของฟงกชนตรโกณมต tan 27 วธทา ............................................................................................................................................ ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................

320

แบบฝกหดเสรมสรางความแขงแกรง 1. จากรปสามเหลยมมมฉากในขอตอไปน จงหาคาของฟงกชนตรโกณมตทง 6 ฟงกชนของมม A 1.1) 1.2) 1.3) 1.4)

1.5) 1.6)

ขอ sin A cos A tan A cosec A sec A cot A

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

321

2. จากรปสามเหลยมเหลยมมมฉากในขอตอไปน จงหาคาของ x 2.1) 2.2) วธทา...................................................................... วธทา ............................................................. ............................................................................... ...................................................................... ............................................................................... ...................................................................... ............................................................................... ...................................................................... ............................................................................... ...................................................................... ............................................................................... ...................................................................... ............................................................................... ...................................................................... 2.3) 2.4) วธทา...................................................................... วธทา ............................................................. ............................................................................... ...................................................................... ............................................................................... ...................................................................... ............................................................................... ...................................................................... ............................................................................... ...................................................................... ............................................................................... ...................................................................... 2.5) 2.6) วธทา...................................................................... วธทา ............................................................. ............................................................................... ...................................................................... ............................................................................... ...................................................................... ............................................................................... ...................................................................... ............................................................................... ......................................................................

322

3. จงหาคาตอบของขอตอไปน

3.1) กาหนดให cot A = 5

12− เมอ π2A0 ≤≤ จงหาคาของ cos A

รปภาพ วธทา ............................................................................................................................................ ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................

3.2) ถา πθ0 ≤≤ และ cos θ = 23 จงหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม θทเหลอ

รปภาพ วธทา ............................................................................................................................................ ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................

323

3.3) กาหนดให cos θ = 23

− เมอ π2θ0 ≤≤ จงหาคาของ cosecθ

รปภาพ วธทา ............................................................................................................................................ ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... 3.4) กาหนดรปสามเหลยมมมฉาก ABC โดยมมม C เปนมมฉาก ลากเสนจากจด C ไปตงฉากกบ AB ทจด D ถา AC และ BC ยาว 8 และ 15 เซนตเมตรตามลาดบ จงหาความยาวของ CD, BD และ AD รปภาพ วธทา ............................................................................................................................................ ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................

324

3.5) จากรป กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมมมฉาก AE ขนานกบ BC , AB = 100 เมตร จงหาความยาวของ CD วธทา ............................................................................................................................................ ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... 4. จงใชตารางคาฟงกชนตรโกณมต หาคาฟงกชนตรโกณมตทง 6 ฟงกชน ของ θ ทกาหนดให 4.1) 0472θ ′= o 4.2) 2356.0θ = วธทา ........................................................... วธทา ................................................................. ..................................................................... ........................................................................... ..................................................................... ........................................................................... ..................................................................... ........................................................................... ..................................................................... ........................................................................... ..................................................................... ........................................................................... ..................................................................... ...........................................................................

4.3) 0365θ ′= o 4.4) 0588.1θ = วธทา ........................................................... วธทา ................................................................. ..................................................................... ........................................................................... ..................................................................... ........................................................................... ..................................................................... ........................................................................... ..................................................................... ........................................................................... ..................................................................... ...........................................................................

325

5. จงใชหาคาของฟงกชนตรโกณมตในขอตอไปน 5.1) cos 1 วธทา ............................................................................................................................................ ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... 5.2) sec 18.1271 = sec(3.1416(6) – 0.7225) = sec(0.7225) วธทา ............................................................................................................................................ ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... 5.3) cosec (-3.76) = - cosec(3.1416 + 0.6184) = cosec(0.6184) วธทา ............................................................................................................................................ ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................

326

5.4) sin 4226.0θ = จงหา θ เมอ oo 360θ0 ≤≤ วธทา ............................................................................................................................................ ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... 5.5 cos 3173.0θ −= จงหา θ เมอ oo 360θ0 ≤≤ วธทา ............................................................................................................................................ ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... 5.6) tan 197.6θ −= จงหา θ เมอ oo 360θ0 ≤≤ วธทา ............................................................................................................................................ ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................

327

5.7) ให ABC เปนรปสามเหลยม มม A มขนาด o50 มม B มขนาด o70 โดยท AC ยาว 10 ซม. จากจด C ลากเสนไปตงฉากกบ AB ทจด D จงหา CD, AD, BC และ BD วธทา ............................................................................................................................................ ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................

328

ใบกจกรรมท 7 กราฟของฟงกชนตรโกณมต

คาสง ใหนกเรยนเปดชดกจกรรมแลวเลอกทากจกรรมในหนวยท 7 เรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต คาชแจง ในกจกรรมท 7 จะแบงออกเปน 5 ตอน ดงน ตอนท 1 กาหนดฟงกชนตรโกณมต y = T(x)

ตอนท 2 กาหนดฟงกชนตรโกณมต y = k⋅T(x) เมอ k เปนจานวนจรง และ k 0≠ , k 1≠

ตอนท 3 กาหนดฟงกชนตรโกณมต y = T(k⋅x) เมอ k เปนจานวนจรง และ k 0≠ , k 1≠

ตอนท 4 กาหนดฟงกชนตรโกณมต y = T(b⋅x+k) เมอ b, k เปนจานวนจรงไมเทากบ 0 ตอนท 5 กาหนดฟงกชนตรโกณมต y = T(x)+k เมอ k เปนจานวนจรง และ k 0≠

ตอนท 1 กาหนดฟงกชนตรโกณมต y = T(x) กราฟของฟงกชนไซน y = sin x

1. ใหนกเรยนเลอกทากจกรรมแรกคอกราฟของฟงกชนไซน y = sin x เมอ π2x0 ≤≤ โดย ใชคาสง ใหนกเรยนตอบคาถามลงในตาราง แลวนาไปวาดกราฟ

ชวงท 1 กราฟของ y = sin x เมอ πx0 ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

sinx

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว ใหนกเรยนสรางกราฟลงในกจกรรมในคอมพวเตอร แลว

นามาวาดลงในใบกจกรรม

329

ชวงท 2 กราฟของ y = sin x เมอ π2xπ ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว ใหนกเรยนสรางกราฟลงในกจกรรมในคอมพวเตอร แลวนามาวาดลงในใบกจกรรม ใหนกเรยนนาทง 2 ชวงมารวมกน โดยใหนกเรยนสรางกราฟและนามาวาดรปลงในใบกจกรรม 2. หากนกเรยนยงมองภาพไมชดเจน ใหนกเรยนเปดทหนาถดไปในกจกรรมคอมพวเตอร แลวตอบคาถามตอไปน 2.1) มจานวนจรงใดบางทหาคาไมได…………………

คาสงสดของฟงกชน คอ ………………… (M = Maximum) คาตาสดของฟงกชน คอ ………………… (m = minimum) 2.2) โดเมนของฟงกชนไซน คอ ………………… เรนจของฟงกชนไซน คอ …………………

x π 6π7

4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

sinx

330

2.3) ใหนกเรยนสรางกราฟไซนบนชวง π2xπ2 ≤≤− แลวสงเกตวาชวงใดบางทซากน ชวงท 1 ………………… ชวงท 2 ………………… แตละชวงหางกน ………………… 2.4) แอมพลจดของฟงกชน คอ ………………… 3. จากขอ 1-2 ใหนกเรยนสรปลกษณะของกราฟฟงกชนไซนเมอ y = sin x ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ กราฟของฟงกชนโคไซน y = cos x 1. ใหนกเรยนเลอกทากจกรรมแรกคอกราฟของฟงกชนโคไซน y = cos x เมอ π2x0 ≤≤ โดยใช คาสง ใหนกเรยนตอบคาถามลงในตาราง แลวนาไปวาดกราฟ

ชวงท 1 กราฟของ y = cos x เมอ πx0 ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว ใหนกเรยนสรางกราฟลงในกจกรรมในคอมพวเตอร แลว

นามาวาดลงในใบกจกรรม

x 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

cosx

331

ชวงท 2 กราฟของ y = cos x เมอ π2xπ ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x π 6π7

4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

cosx

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว ใหนกเรยนสรางกราฟลงในกจกรรมในคอมพวเตอร แลวนามาวาดลงในใบกจกรรม ใหนกเรยนนาทง 2 ชวงมารวมกน โดยใหนกเรยนสรางกราฟและนามาวาดรปลงในใบกจกรรม 2. หากนกเรยนยงมองภาพไมชดเจน ใหนกเรยนเปดทหนาถดไปในกจกรรมคอมพวเตอร แลวตอบคาถามตอไปน 2.1) มจานวนจรงใดบางทหาคาไมได ................................

คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ (M = Maximum) คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ (m = minimum) 2.2) โดเมนของฟงกชนโคไซน คอ ................................ เรนจของฟงกชนโคไซน คอ ................................

332

2.3) ใหนกเรยนสรางกราฟโคไซนบนชวง π2xπ2 ≤≤− แลวสงเกตวาชวงใดบางทซากน ชวงท 1 ................................ ชวงท 2 ................................ แตละชวงหางกน ................................ 2.4) แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................ 3. จากขอ 1-2 ใหนกเรยนสรปลกษณะของกราฟฟงกชนโคไซนเมอ y = cos x ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ กราฟของฟงกชนแทนเจนต y = tan x 1. ใหนกเรยนเลอกทากจกรรมแรกคอกราฟของฟงกชนแทนเจนต y = tan x เมอ π2x0 ≤≤ โดยใชคาสง ใหนกเรยนตอบคาถามลงในตาราง แลวนาไปวาดกราฟ

ชวงท 1 กราฟของ y = tan x เมอ πx0 ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว ใหนกเรยนสรางกราฟลงในกจกรรมในคอมพวเตอร แลว

นามาวาดลงในใบกจกรรม

x 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

tanx

333

ชวงท 2 กราฟของ y = tan x เมอ π2xπ ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x π 6π7

4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

tanx

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว ใหนกเรยนสรางกราฟลงในกจกรรมในคอมพวเตอร แลวนามาวาดลงในใบกจกรรม ใหนกเรยนนาทง 2 ชวงมารวมกน โดยใหนกเรยนสรางกราฟและนามาวาดรปลงในใบกจกรรม 2. หากนกเรยนยงมองภาพไมชดเจน ใหนกเรยนเปดทหนาถดไปในกจกรรมคอมพวเตอร แลวตอบคาถามตอไปน 2.1) มจานวนจรงใดบางทหาคาไมได ...............................................................

คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ (M = Maximum) คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ (m = minimum)

2.2) โดเมนของฟงกชนแทนเจนต คอ ................................................................ เรนจของฟงกชนแทนเจนต คอ ...............................................................

334

2.3) ใหนกเรยนสรางกราฟแทนเจนตบนชวง π2xπ2 ≤≤− แลวสงเกตวาชวงใดบางทซากน ชวงท 1 ................................ ชวงท 2 ................................ ชวงท 3 ................................ ชวงท 4 ................................ แตละชวงหางกน ................................ 2.4) แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................ 3. จากขอ 1-2 ใหนกเรยนสรปลกษณะของกราฟฟงกชนแทนเจนตเมอ y = tan x ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ กราฟของฟงกชนโคเซแคนต y = cosec x 1. ใหนกเรยนเลอกทากจกรรมแรกคอกราฟของฟงกชนโคเซแคนต y = cosec x เมอ π2x0 ≤≤ โดยใชคาสง ใหนกเรยนตอบคาถามลงในตาราง แลวนาไปวาดกราฟ

ชวงท 1 กราฟของ y = cosec x เมอ πx0 ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว ใหนกเรยนสรางกราฟลงในกจกรรมในคอมพวเตอร แลว

นามาวาดลงในใบกจกรรม

x 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

cosec x

335

ชวงท 2 กราฟของ y = cosec x เมอ π2xπ ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x π 6π7

4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

cosecx

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว ใหนกเรยนสรางกราฟลงในกจกรรมในคอมพวเตอร แลว

นามาวาดลงในใบกจกรรม ใหนกเรยนนาทง 2 ชวงมารวมกน โดยใหนกเรยนสรางกราฟและนามาวาดรปลงในใบกจกรรม 2. หากนกเรยนยงมองภาพไมชดเจน ใหนกเรยนเปดทหนาถดไปในกจกรรมคอมพวเตอร แลวตอบคาถามตอไปน 2.1) มจานวนจรงใดบางทหาคาไมได ................................................................

คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ (M = Maximum) คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ (m = minimum)

2.2) โดเมนของฟงกชนโคเซแคนต คอ ............................................................... เรนจของฟงกชนโคเซแคนต คอ ................................................................

336

2.3) ใหนกเรยนสรางกราฟโคแทนเจนตบนชวง π2xπ2 ≤≤− แลวสงเกตวาชวงใดบางทซากน ชวงท 1 ................................ ชวงท 2 ................................ แตละชวงหางกน ................................ 2.4) แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................................................ 3. จากขอ 1-2 ใหนกเรยนสรปลกษณะของกราฟฟงกชนโคเซแคนตเมอ y = cosec x ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ กราฟของฟงกชนเซแคนต y = sec x 1. ใหนกเรยนเลอกทากจกรรมแรกคอกราฟของฟงกชนเซแคนต y = sec x เมอ π2x0 ≤≤ โดย ใชคาสง ใหนกเรยนตอบคาถามลงในตาราง แลวนาไปวาดกราฟ

ชวงท 1 กราฟของ y = sec x เมอ πx0 ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว ใหนกเรยนสรางกราฟลงในกจกรรมในคอมพวเตอร แลว

นามาวาดลงในใบกจกรรม

x 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

sec x

337

ชวงท 2 กราฟของ y = sec x เมอ π2xπ ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x π 6π7

4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

y

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว ใหนกเรยนสรางกราฟลงในกจกรรมในคอมพวเตอร แลวนามาวาดลงในใบกจกรรม ใหนกเรยนนาทง 2 ชวงมารวมกน โดยใหนกเรยนสรางกราฟและนามาวาดรปลงในใบกจกรรม 2. หากนกเรยนยงมองภาพไมชดเจน ใหนกเรยนเปดทหนาถดไปในกจกรรมคอมพวเตอร แลวตอบคาถามตอไปน 2.1) มจานวนจรงใดบางทหาคาไมได ...............................................................

คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ (M = Maximum) คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ (m = minimum)

338

2.2) โดเมนของฟงกชนเซแคนต คอ ............................................................... เรนจของฟงกชนเซแคนต คอ ................................ 2.3) ใหนกเรยนสรางกราฟไซนบนชวง π2xπ2 ≤≤− แลวสงเกตวาชวงใดบางทซากน ชวงท 1 ................................ ชวงท 2 ................................ แตละชวงหางกน ................................ 2.4) แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................ 3. จากขอ 1-2 ใหนกเรยนสรปลกษณะของกราฟฟงกชนเซแคนต เมอ y = sec x ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ กราฟของฟงกชนโคแทนเจนต y = cot x 1. ใหนกเรยนเลอกทากจกรรมแรกคอกราฟของฟงกชนโคแทนเจนต y = cot x เมอ π2x0 ≤≤ โดยใชคาสง ใหนกเรยนตอบคาถามลงในตาราง แลวนาไปวาดกราฟ

ชวงท 1 กราฟของ y = cot x เมอ πx0 ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว ใหนกเรยนสรางกราฟลงในกจกรรมในคอมพวเตอร แลว

นามาวาดลงในใบกจกรรม

x 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

cotx

339

ชวงท 2 กราฟของ y = cot x เมอ π2xπ ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x π 6π7

4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

cotx

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว ใหนกเรยนสรางกราฟลงในกจกรรมในคอมพวเตอร แลว

นามาวาดลงในใบกจกรรม

ใหนกเรยนนาทง 2 ชวงมารวมกน โดยใหนกเรยนสรางกราฟและนามาวาดรปลงในใบกจกรรม

340

2. หากนกเรยนยงมองภาพไมชดเจน ใหนกเรยนเปดทหนาถดไปในกจกรรมคอมพวเตอร แลวตอบคาถามตอไปน 2.1) มจานวนจรงใดบางทหาคาไมได ................................................................

คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ (M = Maximum) คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ (m = minimum)

2.2) โดเมนของฟงกชนโคแทนเจนต คอ ................................................................ เรนจของฟงกชนโคแทนเจนต คอ ................................ 2.3) ใหนกเรยนสรางกราฟโคแทนเจนตบนชวง π2xπ2 ≤≤− แลวสงเกตวาชวงใดบางทซากน ชวงท 1 ................................ ชวงท 2 ................................ ชวงท 3 ................................ ชวงท 4 ................................ แตละชวงหางกน ................................ 2.4) แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................................................ 3. จากขอ 1-2 ใหนกเรยนสรปลกษณะของกราฟฟงกชนโคแทนเจนตเมอ y = cot x ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................

ตอนท 2 กาหนดฟงกชนตรโกณมต y = k⋅T(x) เมอ k เปนจานวนจรง และ k 0≠ ,k 1≠ 1. ใหนกเรยนทากจกรรมกราฟของฟงกชนตรโกณมตในตอนท 2 โดยใหนกเรยนทาการสารวจกราฟและวาดกราฟพรอมทงตอบคาถามตอไปน

1.1) จงวาดกราฟของ y = xsin21 โดยท π2x0 ≤≤

x 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

xsin21⋅

x π

6π7

4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

xsin21⋅

341

ใหนกเรยนวาดกราฟทไดจากการสรางในแฟมคอมพวเตอร

มจานวนจรงใดบางทหาคาไมได ................................ คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ (M = Maximum)

คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ (m = minimum) โดเมนของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................ 1.2) จงวาดกราฟของ y = xsin2− โดยท π2x0 ≤≤

x 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

-2⋅sin(x)

x π 6π7

4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

-2⋅sin(x)

ใหนกเรยนวาดกราฟทไดจากการสรางในแฟมคอมพวเตอร

342

มจานวนจรงใดบางทหาคาไมได ................................ คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ (M = Maximum)

คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ (m = minimum) โดเมนของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................

1.3) จงวาดกราฟของ y = xcos3 โดยท π2x0 ≤≤ x 0

6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

3⋅cos(x)

x π 6π7

4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

3⋅cos(x)

ใหนกเรยนวาดกราฟทไดจากการสรางในแฟมคอมพวเตอร

มจานวนจรงใดบางทหาคาไมได ................................ คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ (M = Maximum)

คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ (m = minimum) โดเมนของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................

343

1.4) จงวาดกราฟของ y = xsec2 โดยท π2x0 ≤≤ x 0

6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

2⋅sec(x)

x π 6π7

4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

2⋅sec(x)

ใหนกเรยนวาดกราฟทไดจากการสรางในแฟมคอมพวเตอร

มจานวนจรงใดบางทหาคาไมได ................................ คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ (M = Maximum)

คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ (m = minimum) โดเมนของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................

344

2. ใหนกเรยนใชคอมพวเตอรสรางกราฟของฟงกชนตรโกณมตตอไปน พรอมทงตอบคาถาม 2.1) y = 3sin x โดยท π2x0 ≤≤ 2.2) y = 2tan x โดยท π2x0 ≤≤ คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ โดเมนของฟงกชน คอ ................................ โดเมนของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................ 2.3) y = -cot x โดยท π2x0 ≤≤ 2.4) y = 2sec x โดยท π2x0 ≤≤ คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ โดเมนของฟงกชน คอ ................................ โดเมนของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................

2.5) y = cosec21 xโดยท π2x0 ≤≤ 2.6) y = -4sin x โดยท π2x0 ≤≤

คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ คาตาสดของฟงกชน คอ ............................... โดเมนของฟงกชน คอ ................................ โดเมนของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................

2.7) y = 3sec x โดยท π2x0 ≤≤ 2.8) y = 2cot x โดยท π2x0 ≤≤ คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ โดเมนของฟงกชน คอ ................................ โดเมนของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................

345

3. ใหนกเรยนสรปขอ 2 ใหอยในรปทวไป ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….

ตอนท 3 กาหนดฟงกชนตรโกณมต y = T(k⋅x) เมอ k เปนจานวนจรง และ k 0≠ ,k 1≠ 1. ใหนกเรยนทากจกรรมกราฟของฟงกชนตรโกณมตในตอนท 3 โดยใหนกเรยนทาการสารวจกราฟและวาดกราฟพรอมทงตอบคาถามตอไปน 1.1) จงวาดกราฟของ y = x2sin โดยท π2x0 ≤≤

x 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

2x

sin(2x)

x π

6π7

4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

2x

sin(2x)

ใหนกเรยนวาดกราฟทไดจากการสรางในแฟมคอมพวเตอร

346

มจานวนจรงใดบางทหาคาไมได ................................ คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ (M = Maximum)

คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ (m = minimum) โดเมนของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................

1.2) จงวาดกราฟของ y = 2

sin x โดยท π2x0 ≤≤ (คาของ 1416.3≈π )

x 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

2x

sin(2x )

x π 6π7

4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

2x

sin(2x )

ใหนกเรยนวาดกราฟทไดจากการสรางในแฟมคอมพวเตอร

มจานวนจรงใดบางทหาคาไมได ................................ คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ (M = Maximum)

คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ (m = minimum) โดเมนของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................

347

1.3) จงวาดกราฟของ y = x2cos3 โดยท π2x0 ≤≤ (คาของ 1416.3≈π ) x 0

6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

2x

x2cos3

x π 6π7

4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

2x

x2cos3

ใหนกเรยนวาดกราฟทไดจากการสรางในแฟมคอมพวเตอร

มจานวนจรงใดบางทหาคาไมได ................................ คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ (M = Maximum)

คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ (m = minimum) โดเมนของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................

348

1.4) จงวาดกราฟของ y = x3sin2− โดยท π2x0 ≤≤ (คาของ 1416.3≈π )

X 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

3x

x3sin2−

X π 6π7

4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

3x

x3sin2−

ใหนกเรยนวาดกราฟทไดจากการสรางในแฟมคอมพวเตอร

มจานวนจรงใดบางทหาคาไมได ................................ คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ (M = Maximum)

คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ (m = minimum) โดเมนของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................

349

2. ใหนกเรยนใชคอมพวเตอรสรางกราฟของฟงกชนตรโกณมตตอไปน พรอมทงตอบคาถาม

2.1) y = cos 2x โดยท π2x0 ≤≤ 2.2) y = 6cos πx โดยท π2x0 ≤≤

คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ โดเมนของฟงกชน คอ ................................ โดเมนของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................

2.3) y = tan 2x โดยท π2x0 ≤≤ 2.4) y = cot (-x) โดยท π2x0 ≤≤

คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ โดเมนของฟงกชน คอ ................................ โดเมนของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................

2.5) y = sin (-4x) โดยท π2x0 ≤≤ 2.6) y = 31 cos(2x)โดยท π2x0 ≤≤

คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ โดเมนของฟงกชน คอ ................................ โดเมนของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................ 3. ใหนกเรยนสรปขอ 2 ใหอยในรปทวไป ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….

350

ตอนท 4 กาหนดฟงกชนตรโกณมต y = T(b⋅x+k) เมอ b, k เปนจานวนจรง และไมเทากบ 0 1. ใหนกเรยนทากจกรรมกราฟของฟงกชนตรโกณมตในตอนท 4 โดยใหนกเรยนทาการสารวจกราฟและวาดกราฟพรอมทงตอบคาถามตอไปน

1.1) จงวาดกราฟของ y = )2πsin(x+ โดยท π2x0 ≤≤ (คาของ 1416.3≈π )

X 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

x+2π

)2πsin(x+

x π 6

π7 4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

x+2π

)2πsin(x+

ใหนกเรยนวาดกราฟทไดจากการสรางในแฟมคอมพวเตอร

มจานวนจรงใดบางทหาคาไมได ................................ คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ (M = Maximum)

คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ (m = minimum) โดเมนของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................

351

1.2) จงวาดกราฟของ y = )2πtan(x− โดยท π2x0 ≤≤ (คาของ 1416.3≈π )

x 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

x - 2π

)2πtan(x−

x π 6

π7 4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

x-2π

)2πtan(x−

ใหนกเรยนวาดกราฟทไดจากการสรางในแฟมคอมพวเตอร

มจานวนจรงใดบางทหาคาไมได ................................ คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ (M = Maximum)

คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ (m = minimum) โดเมนของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................

352

1.3) จงวาดกราฟของ y = π)xsin(23 + โดยท π2x0 ≤≤ (คาของ 1416.3≈π )

x 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

2x + π

π)xsin(23 +

x π 6

π7 4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

2x + π

π)xsin(23 +

ใหนกเรยนวาดกราฟทไดจากการสรางในแฟมคอมพวเตอร

มจานวนจรงใดบางทหาคาไมได ................................ คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ (M = Maximum)

คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ (m = minimum) โดเมนของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................

353

1.4) จงวาดกราฟของ y = )2πcos(x+ โดยท π2x0 ≤≤ (คาของ 1416.3≈π )

x 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

x+2π

)2πcos(x+

x π 6

π7 4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

x+2π

)2πcos(x+

ใหนกเรยนวาดกราฟทไดจากการสรางในแฟมคอมพวเตอร

มจานวนจรงใดบางทหาคาไมได ................................ คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ (M = Maximum)

คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ (m = minimum) โดเมนของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................

354

2. ใหนกเรยนใชคอมพวเตอรสรางกราฟของฟงกชนตรโกณมตตอไปน พรอมทงตอบคาถาม

2.1) y = 4sin (2πx− )โดยท π2x0 ≤≤ 2.2) y = 4cos( πx3 + )โดยท π2x0 ≤≤

คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ โดเมนของฟงกชน คอ ................................ โดเมนของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................

2.3) y = tan(2πx+ ) โดยท π2x0 ≤≤ 2.4) y = cosec (

2πx+ )โดยท π2x0 ≤≤

คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ โดเมนของฟงกชน คอ ................................ โดเมนของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................

2.5) y = sec (2x + π3 ) โดยท π2x0 ≤≤ 2.6) y = 2cos( π2x31

+ )โดยท π2x0 ≤≤

คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ โดเมนของฟงกชน คอ ................................ โดเมนของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................ 3. ใหนกเรยนสรปขอ 2 ใหอยในรปทวไป ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….

355

ตอนท 5 กาหนดฟงกชนตรโกณมต y = T(x)+k เมอ k เปนจานวนจรง และ k 0≠ 1. ใหนกเรยนทากจกรรมกราฟของฟงกชนตรโกณมตในตอนท 5 โดยใหนกเรยนทาการสารวจกราฟและวาดกราฟพรอมทงตอบคาถามตอไปน 1.1) จงวาดกราฟของ y = 4sin(x) + โดยท π2x0 ≤≤ (คาของ 1416.3≈π )

x 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

sin(x) sin(x) + 4

x π 6

π7 4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

sin(x)

sin(x) + 4

ใหนกเรยนวาดกราฟทไดจากการสรางในแฟมคอมพวเตอร

มจานวนจรงใดบางทหาคาไมได ................................ คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ (M = Maximum)

คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ (m = minimum) โดเมนของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................

356

1.2) จงวาดกราฟของ y = 2cos(x) + โดยท π2x0 ≤≤ (คาของ 1416.3≈π )

x 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

cos(x)

cos(x) + 2

x π 6

π7 4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

cos(x)

cos(x) + 2

ใหนกเรยนวาดกราฟทไดจากการสรางในแฟมคอมพวเตอร

มจานวนจรงใดบางทหาคาไมได ................................ คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ (M = Maximum)

คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ (m = minimum) โดเมนของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................

357

1.3) จงวาดกราฟของ y = cos3− x โดยท π2x0 ≤≤ (คาของ 1416.3≈π )

x 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

- cos(x)

3 - cos(x)

x π 6

π7 4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

- cos(x)

3 - cos(x)

ใหนกเรยนวาดกราฟทไดจากการสรางในแฟมคอมพวเตอร

มจานวนจรงใดบางทหาคาไมได ................................ คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ (M = Maximum)

คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ (m = minimum) โดเมนของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................

358

1.4) จงวาดกราฟของ y = sinx2 −− โดยท π2x0 ≤≤ (คาของ 1416.3≈π )

x 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5

π

- sin(x)

-2 - sin(x)

x π 6

π7 4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

- sin(x)

-2 - sin(x)

ใหนกเรยนวาดกราฟทไดจากการสรางในแฟมคอมพวเตอร

มจานวนจรงใดบางทหาคาไมได ................................ คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ (M = Maximum)

คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ (m = minimum) โดเมนของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................

359

ภาคผนวก ฉ แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4

360

แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4

คาชแจง

1. แบบทดสอบฉบบนสรางขนเพอวดผลสมฤทธทางการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต ของ

นกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ทเรยนดวยกจกรรมการเรยนการสอนเรอง ฟงกชนตรโกณมต โดยใช

ซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต

2. แบบทดสอบฉบบนเปนแบบทดสอบแบบปรนย 4 ตวเลอก จานวน 30 ขอ และ

แบบทดสอบแบบอตนยแสดงวธทา จานวน 5 ขอ

3. ใหนกเรยนทาเครองหมาย × ลงในกระดาษคาตอบในแตละขอ โดยเลอกคาตอบท

ถกตองเพยงคาตอบเดยวและแสดงวธทาลงในแบบทดสอบฉบบนใหถกตองครบถวน

4. ในแตละขอคาถามจะมคาตอบทถกตองเพยง 1 คาตอบเทานน

5. เวลาทใชในการทาแบบทดสอบ 100 นาท

ชอ.......................................................................... ชน .................... เลขท ...............

361

แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4

ตอนท 1 จงเลอกคาตอบทถกตองทสดเพยงคาตอบเดยว 1. ขอใดตอไปนไมถกตอง ก.

ข.

ค.

ง.

2.

จากรป sin A มคาตรงกบขอใด

ก. 5

1 ข. 5

2

ค. 21 ง. 5

3. จากรป sin B มคาตรงกบขอใด

ก. ca ข.

cb

ค. ba ง.

ac

4.กาหนดให cot A = 34 คาของ

tan A มคาตรงกบขอใด

ก. 3 ข. 4

ค. 43 ง.

34

5.กาหนดให tan A = 3 คาของ

cot A มคาตรงกบขอใด

ก. 3 ข. 3

ค. 31 ง.

31

6. จากรป sin °60 มคาตรงกบขอใด

ก. 21 ข. 2

ค. 23 ง.

32

7. ขอใดตอไปนผด

ก. 061 ′=° ข. 061 ′′=°

ค. π2360 =° เรเดยน ง. π180 =° เรเดยน

362

8. 2π3 เรเดยน เทากบกองศา

ก. 135๐ ข. 270๐

ค. 405๐ ง. 540๐

9. 2 เรเดยน เทากบกองศา

ก. 6157 ′° ข. 7257 ′°

ค. 63114 ′° ง. 55114 ′°

10. 210 ๐ เทากบกเรเดยน

ก. 6π7 ข.

3π7

ค. 7π6 ง.

12π7

11. °75 เทากบกเรเดยน

ก. 125π ข.

65π

ค. 12π ง.

63

12. สาหรบวงกลมหนงหนวยขอใด

ตอไปน ถกตอง

ก. แบงความยาวสวนโคงเปน 4 สวนเทาๆ กน

จะไดความยาวสวนโคงสวนละ 4π

ข. แบงความยาวสวนโคงเปน 8 สวนเทาๆ

กน จะไดความยาวสวนโคงสวนละ 4π

ค. แบงความยาวสวนโคงเปน 12 สวนเทาๆ

กน จะไดความยาวสวนโคงสวนละ 8π

ง. แบงความยาวสวนโคงเปน 6 สวนเทาๆ กน

จะไดความยาวสวนโคงสวนละ 6π

13. จากรปคาของ θ ตรงกบขอใด

ก. 2π ข.

23π

ค. 2π

− ง. 2

3π−

14. จากรปคาของ θ ตรงกบขอใด เมอ

กาหนดให 0 � θ � 2π

ก. 4

7π ข. 6

5π

ค. 3

11π ง. 4

3π

363

15. กาหนดให p(θ ) = (54,

53 ) ดงรป

พกดของจด p( π3θ+− ) ตรงกบขอใด

ก. (54,

53 ) ข. (

54,

53−− )

ค. (54,

53− ) ง. (

54,

53

− )

16. โดเมนและเรนจของฟงกชนไซนตรงกบขอ

ใด

ก. โดเมน คอ R และ เรนจ คอ [-1, 1]

ข. โดเมน คอ I+ และ เรนจ คอ [0, 1]

ค. โดเมน คอ I- และ เรนจ คอ [-1, ∞ )

ง. โดเมน คอ จานวนค และ เรนจ คอ [-1, 1]

17. ขอใดตอไปนมคาเทากบ 1

ก. 6

sin3

cos6

cos3

sin ππππ−

ข. 6

sin3

cos6

cos3

sin ππππ+

ค. 6

sin4

sin6

cos4

cos ππππ−

ง. 6

cos4

sin6

sin4

cos ππππ+

18.คาของ

6sin

3sin

2cos

3cos

2sin πππππ

+−

ตรงกบขอใด

ก. – 1 ข. 1

ค. 21

− ง. 21

19. ถา cos θ = -1 และ 04 <<− θπ

แลว θ คอจานวนในขอใด

ก. 2

5,2

ππ−− ข.

27,

23 ππ

−−

ค. ππ 3,−− ง. ππ 4,2 −−

20.ขอใดถกตอง

ก. θθ sin)sin( =− และ

θθ cos)cos( =− ข. θθ sin)sin( =− และ

θθ cos)cos( −=− ค. θθ sin)sin( −=− และ

θθ cos)cos( =− ง. θθ sin)sin( −=− และ

21. ขอใดถกตอง

ก. θθπ sin)sin( −=+ และ

θθπ cos)cos( =+ ข. θθπ sin)sin( =+ และ

θθπ cos)cos( =+ ค. θθπ sin)sin( −=+ และ

θθπ cos)cos( −=+ ง. θθπ sin)sin( =+ และ

θθπ cos)cos( −=+

22. sin ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

4π7 มคาเทาไร

ก. 2

2 ข.

2

3

ค. 22

− ง. 23

−

6

θ

364

23. ถา secθ = 5

13 เมอ π2θ2π3

<<

แลว sinθ มคาเทากบขอใด

ก. 135 ข.

1312

ค. 135

− ง. 1312

−

24. ถา cosθ = 65 เมอ π2θ

2π3

<<

แลว cosecθ มคาเทากบขอใด

ก. 56 ข.

11116

ค. 56

− ง. 11

116−

25. จากรป AB ยาวเทาไร

ก. 3 ข. 33

ค. 33 ง.

333

26. จากรป BC ยาวเทาไร

ก. 3 ข. 33

ค. 3

315 ง. 2

315

27. รปสามเหลยม ABC ถาม CBA

เปนมมฉาก AB ยาว 16 หนวย และ

ACB = °30 แลว BC ยาวเทาใด

ก. 216 หนวย ข. 316 หนวย

ค. 2

216 หนวย ง. 3

316 หนวย

28. กราฟของ y = sin 3x เมอ

320 π

≤≤ x หรอ π20 ≤≤ X คอขอใด

ก.

ข.

ค.

ง.

365

29. กราฟทกาหนดใหตรงกบในขอใด

ก. y = sin 2X ข. y = cos 2X

ค. y = 2 + sin X ง. y = 2 + cos

30. กราฟทกาหนดใหตรงกบในขอใด

ก. y = 4cos X ข. y = 4sin X

ค. y = - 4cosX ง. y = -4sin X

_______________________________________________________________________________

สาหรบทด

366

ตอนท 2 จงแสดงวธทา 1. จงหาคาของ cos 18.9910 โดยแสดงวธทาอยางละเอยด

วธทา ................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

2. ให οθ 900 ≤≤o จงหาคาของ θ เมอกาหนดให sinθ = 0.4862 (แสดงวธทาอยางละเอยด)

วธทา ................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

367

3. ให ABC เปนรปสามเหลยม มม A มขนาด 50๐ มม B มขนาด 70๐ และ AC ยาว 10 เซนตเมตร จาก

จด C ลากเสนไปตงฉากกบ AB ทจด D จงหา CD, AD, BC และ BD

วธทา ................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

368

4. จงวาดกราฟของฟงกชนตอไปน พรอมทงหาโดเมน เรนจ คาบและแอมพลจดของฟงกชน

y = sin x + 4 เมอ π2xπ2 ≤≤−

x 0

6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

sin(x) sin(x) + 4

x π 6

π7 4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

sin(x)

sin(x) + 4

ใหนกเรยนวาดกราฟทไดจากการสรางในแฟมคอมพวเตอร

คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ (M = Maximum)

คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ (m = minimum) โดเมนของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................

369

5. จงพจารณาดวาขอความตอไปนถกหรอผด เพราะเหตใดจงอธบาย

5.1) ฟงกชน y = sin x เปนฟงกชนเพมบนชวง [0, π ]

ตอบ ..................... เพราะ......................................................................................................

.............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

5.2) ฟงกชน y = sin x เปนฟงกชนลดบนชวง [2π ,

23π ]

ตอบ ..................... เพราะ......................................................................................................

.............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

5.3) ฟงกชน y = cos x เปนฟงกชนลดบนชวง [0, π ]

ตอบ ..................... เพราะ......................................................................................................

.............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

5.4) ฟงกชน y = cos x เปนฟงกชนหนงตอหนงบนชวง [2π ,

23π ]

ตอบ ..................... เพราะ......................................................................................................

.............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

5.5) ฟงกชน y = tan x เปนฟงกชนเพมบนชวง (2π

− ,2π )

ตอบ ..................... เพราะ......................................................................................................

.............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

______________________________________________________________________________

ไมมสงไหนจะหนกเกน ไมมคาวาทาไมได

ขอใหโชคดนะครบ

370

ภาคผนวก ช เฉลยบางสวนของชดกจกรรมการเรยนการสอนและแบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน

เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

371

เฉลยใบกจกรรมท 1.1 ทบทวนความรเดมเกยวกบอตราสวนตรโกณมต

คาชแจง ใหนกเรยนปฏบตตามกจกรรมตอไปน และเตมคาตอบลงในชองวาง ตอนท 1 ทบทวนสวนประกอบของสามเหลยมมมฉาก ใหนกเรยนปฏบตดงน 1. ใหนกเรยนสรางรปสามเหลยมมมฉากจากเสนตรงทกาหนดให โดยใชคาสงตอไปน

1.1 คาสง ใชในการสรางจดบนเสนตรง 1.2 คาสง ใชในการสรางเสนตรงผานจดสองจด 1.3 คาสง ใชในการสรางสวนของเสนตรง 1.4 คาสง ใชในการสรางรปวงกลม 1.5 คาสง ใชในการกาหนดลกษณะของเสน (เสนบาง, เสนหนา, เสนประ) 1.6 คาสง ใชในการกาหนดลกษณะของจด 1.7 คาสง ใชในการกาหนดสของเสน จด เปนตน 1.8 คาสง ใชในการวดมมระหวางจด 3 จด 1.9 คาสง ใชเปนลกศรในการควบคมจด 1.10 คาสง ใชในการลบสงทเราไมตองการ

2. จากการสรางใหนกเรยนบอกนยามของรปสามเหลยมมมฉาก รปสามเหลยมมมฉาก คอ สามเหลยมทมมมหนงมมเทากบ 90 องศา

372

3. กาหนดให มม A เปนมมหลก 3.1 สวนของเสนตรง AB เรยกวา ดานประชดของมม A 3.2 สวนของเสนตรง BC เรยกวา ดานตรงขามมม A 3.3 สวนของเสนตรง CA เรยกวา ดานตรงขามมมฉาก 4. กาหนดใหมม C เปนมมหลก 5.1 สวนของเสนตรง AB เรยกวา ดานตรงขามมม C 5.2 สวนของเสนตรง BC เรยกวา ดานประชดของมม C 5.3 สวนของเสนตรง CA เรยกวา ดานตรงขามมมฉาก 5. จากรปขางบนนอกจากสามเหลยมมมฉากแลว สวนประกอบในขอ 3-5 สามารถใชกบสามเหลยม อนๆ (ได/ไมได) ไมได เพราะ ไมสามารถนาไปเขยนใหอยในรปอตราสวนตรโกณมตได ตอนท 2 ทบทวนอตราสวนของรปสามเหลยมมมฉาก ใหนกเรยนปฏบตดงน 1. ใหนกเรยนใชคาสง ในการทาการศกษา 2. ใหนกเรยนใชปม a และ b ในการเปลยนแปลงความยาวของเสนตรง เพอทาการศกษากจกรรม

373

3. จากชดกจกรรมขางบนและจากความรเดมของนกเรยน จะไดวา (วดจากมม A เปนหลกกอน)

3.1 อตราสวนไซน A (sin A) = cb

3.2 อตราสวนโคไซน A (cos A) = ca

3.3 อตราสวนแทนเจนต A (tan A) = ab

4. ใหนกเรยนเขยนอตราสวนของไซน ,โคไซน และแทนเจนต โดยกาหนดใหความเปน a , b, c ตามลาดบ โดยยดมม A และ C ตามลาดบ จากการสารวจจะไดวา

4.1 sin A = cb 4.4 sin C =

ca

4.2 cos A = ca 4.5 cos C =

cb

4.3 tan A = ab 4.6 tan C =

ba

5. ใหนกเรยนวดความยาวของดานทงสามของรปสามเหลยมมมฉาก (ตามทนกเรยนตองการ) แลว หาอตราสวนของ ไซน ,โคไซน และแทนเจนต ตามลาดบ โดยยดมม A และ B ตามลาดบ จากการสารวจจะไดวา (ในทน a = 3, b = 4, c = 5)

5.1 sin A = 54 5.4 sin C =

53

5.2 cos A = 53 4.5 cos C =

54

5.3 tan A = 34 5.6 tan C =

43

6. จากการสารวจในขอท 4-6 นกเรยนสามารถตงขอคาดการณไดวา ........................................ sin A = cos C ............................................ ........................................ cos A = sin C ............................................

374

6 3

3

3

6

5

7. กาหนด ΔABC เปนรปสามเหลยมมมฉากท B มขนาดตามทกาหนดใหในตารางตอไปน ใหนก เรยนหาความยาวของดานทเหลอของรปสามเหลยมแตละรปทกาหนดใหแลวเขยนคาของ อตราสวนเตมในตาราง

คาของอตราสวน Δ ABC ขนาดของ A

sin A cos A tan A

°30 65

6x

x5

°45 x3

x3

33

°60 6x

65

5x

8. จากการสารวจในขอ 7 นกเรยนสรปไดวา

ขนาดของมม ฟงกชนตรโกณมต

°30 °45 °60 sin

21

22

23

cos 23

22 2

1

tan 33 1 3

375

เฉลยใบกจกรรมท 2.1 วงกลมหนงหนวย

คาชแจง ใหนกเรยนปฏบตตามกจกรรมตอไปน และเตมคาตอบลงในชองวาง ตอนท 1 วงกลมหนงหนวย ใหนกเรยนปฏบตดงน 1. ใหนกเรยนเขากจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยเขาไปทหนวยการเรยนร ท 2 แลวคลกเลอกกจกรรมท 2.1 2. ใหนกเรยนสรางรปวงกลมจากจดทกาหนดใหโดยมรศมเทาใดกไดจานวน 3 รป โดยใชคาสงตอไปน

2.1 คาสง ใชในการกาหนดลกษณะของเสน (เสนบาง, เสนหนา, เสนประ) 2.2 คาสง ใชในการกาหนดลกษณะของจด 2.3 คาสง ใชในการกาหนดสของเสน จด เปนตน 2.4 คาสง ใชในการลบสงทเราไมตองการ 2.5 คาสง ใชเปนลกศรในการควบคมจด 2.6 คาสง ใชในการสรางรปวงกลม 2.7 คาสง ใชในการแสดงชอของวตถ 2.8 คาสง ใชในการสรางจดตด

376

3. ใหนกเรยนวาดรปวงกลมทนกเรยนสรางลงในชองวางพรอมทงเขยนสมการวงกลม ดวย 3.1 3.2 รศมยาว 2 หนวย รศมยาว 1.5 หนวย สมการ 4)74.0()75.0( 22 =−+− yx สมการ 25.2)0()2( 22 =−+− yx 3.2 รศมยาว 2.5 หนวย สมการ 25.6)5.1()5.1( 22 =−++ yx 4. จากการสรางรปวงกลมในขอ 3 นกเรยนลองตงขอคาดการณซวานยามของวงกลมหนงหนวยคอ อะไร มสมการเปนอยางไร และสรางรปวงกลมหนงหนวยพรอมทงบอกตาแหนงของจดตด วงกลมหนงหนวย (The unit circle) หมายถง วงกลมท มจดศนยกลางทจดกาเนด และมรศมยาว 1 หนวย ซง วงกลมนเปนกราฟของความสมพนธ .

{(x,y) ∈ R x R | x2 + y2 = 1} และมความยาวสวนโคง วงกลมเทากบ π2 r มจดตดบนแกน X และแกน Y ทงหมด 4 จด คอ (1, 0), (0, 1), (-1, 0) และ (0, -1)

377

ตอนท 2 เมอนกเรยนตอบคาถามในขอท 4 เสรจแลวใหนกเรยนทากจกรรมวงกลมหนงหนวย โดยเลอกท หนาถดไปของกจกรรม โดยใชคาสง ในการทาการสารวจกจกรรม 5.1 จากการศกษากจกรรมดงภาพขางลางน ใหนกเรยนตอบคาถามตอไปน เราเรยก θ วา ความยาวสวนโคงของวงกลม วดในทศทางทวนเขมนาฬกา 0θ > เราเรยกพกดจด (x, y) วา จดปลายสวนโคงหรอจดสนสด ความยาวรอบรปวงกลมเทากบ π2 r

5.1.1 ถาตาแหนงจดปลายสวนโคงอยทพกดจด (0, 1) คดเปน 41 สวนของวงกลม

จะไดความยาวของสวนโคง θ เทากบ 41 x π2 =

2π

5.1.2 ถาตาแหนงจดปลายสวนโคงอยทพกดจด (-1, 0) คดเปน 42 สวนของวงกลม

จะไดความยาวของสวนโคง θ เทากบ 42 x π2 = π

5.1.3 ถาตาแหนงจดปลายสวนโคงอยทพกดจด (0, -1) คดเปน 43 สวนของวงกลม

จะไดความยาวของสวนโคง θ เทากบ 43 x π2 =

23π

5.1.4 ถาตาแหนงจดปลายสวนโคงอยทพกดจด (1, 0) คดเปน 44 สวนของวงกลม

จะไดความยาวของสวนโคง θ เทากบ 44 x π2 = π2

5.1.5 จากการทากจกรรมนกเรยนจะเหนวาตาแหนงของจดปลายสวนโคงม 4 จด

378

5.2 จากการศกษากจกรรมดงภาพขางลางน ใหนกเรยนตอบคาถามตอไปน เราเรยก θ วา ความยาวสวนโคงวงกลม วดในทศทางตามเขมนาฬกา 0θ < เราเรยกพกดจด (x, y) วา จดปลายสวนโคงหรอจดสนสด ความยาวรอบรปวงกลมเทากบ π2− r

5.2.1 ถาตาแหนงจดปลายสวนโคงอยทพกดจด (0, 1) คดเปน 41 สวนของวงกลม

จะไดความยาวของสวนโคง θ เทากบ 41 x π)2(− =

2π

−

5.2.2 ถาตาแหนงจดปลายสวนโคงอยทพกดจด (-1, 0) คดเปน 42 สวนของวงกลม

จะไดความยาวของสวนโคง θ เทากบ 42 x π)2(− = π−

5.2.3 ถาตาแหนงจดปลายสวนโคงอยทพกดจด (0, -1) คดเปน 43 สวนของวงกลม

จะไดความยาวของสวนโคง θ เทากบ 43 x π)2(− =

23π

−

5.2.4 ถาตาแหนงจดปลายสวนโคงอยทพกดจด (1, 0) คดเปน 44 สวนของวงกลม

จะไดความยาวของสวนโคง θ เทากบ 44 x π)2(− = π2−

5.2.5 จากการทากจกรรมนกเรยนจะเหนวาตาแหนงของจดปลายสวนโคงม 4 จด

379

6. จากการทากจกรรมในขอท 5 นกเรยนสรปอะไรไดบาง (ตอบเปนขอๆ ) 1. วงกลมหนงหนวย (The unit circle) หมายถง วงกลมทมจดศนยกลางทจดกาเนด และมรศมยาว 1 หนวย มสมการคอ x2 + y2 = 1

2. ถา θ > 0 จะวดสวนโคงจากจด (1, 0) ไปในทศทางทวนเขมนาฬกา

ถา θ < 0 จะวดสวนโคงจากจด (1, 0) ไปในทศทางตามเขมนาฬกา

ถา θ = 0 จดปลายสวนโคงคอจด (1, 0)

3. หาจด (x, y) ซงเปนจดปลายสวนโคงทยาว | θ | หนวยไดเสมอ ไมวา θ จะเปนจานวน เทาใดไดเพยงจดเดยวเทานน

380

เฉลยใบกจกรรมท 3 ฟงกชนโคไซนและฟงกชนไซน

คาสง ใหนกเรยนเปดชดกจกรรมแลวเลอกทากจกรรมในหนวยท 3 เรองฟงกชนโคไซนและฟงกชนไซน คาชแจง ใหนกเรยนปฏบตตามกจกรรมตอไปน และเตมคาตอบลงในชองวาง

1. ใหนกเรยนทาการศกษาการนยามฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนโดยใชวงกลมหนงหนวย 2. จากขอ 1 ใหนกเรยนสารวจกจกรรมแลวเตมคาตอบลงในตารางตอไปน

หนวยการวดมม พกดจด

เรเดยน องศา x y 0 0๐ 1 0

6π 30๐

23

21

4π 45๐

22

22

3π 60๐ 2

1 23

2π 90๐ 0 1

32π 120๐ 2

1−

23

43π 135๐

22

− 22

65π 150๐

23

− 21

π 180๐ -1 0

34π 210๐ 2

1−

23

−

45π 225๐

22

− 22

−

67π 240๐

23

− 21

−

23π 270๐ 0 -1

35π 300๐ 2

1 23

−

47π 315๐

22

22

−

611 π 330๐

23

21

−

π2 360๐ 1 0

หมายเหต : คาของ 23 = 0.866 ,

22 = 0.7071

381

3. จากความรเดมในหนวยท 2 จะเหนวาคาของความยาวสวนโคง θ เมอθ เปนจานวนจรงใดๆ จะสามารถกาหนดจดปลายของสวนโคงไดเพยง 1 จด เทานน นกเรยนคดวาเปนฟงกชนหรอไมเพราะเหตใด จากการทากจกรรมในขอ 2 คดวาเปนฟงกชน เพราะเมอกาหนด θ เปนความยาวสวนโคงของ

จานวนจรงใดๆ จะมพกดของจด x และ y เพยงคาเดยวเสมอ 4. จากขอมลในขอ 1- 3 ทนกเรยนไดตอบใหนกเรยนเขยนนยามของฟงกชนไซนและฟงกชน

โคไซน ตามความเขาใจของนกเรยน บทนยาม ฟงกชนไซน หมายถง ฟงกชน sine : R → R ซงนยามวา sine = {(θ , y) ∈R × R | g(θ ) = (x, y)} บทนยาม ฟงกชนโคไซน หมายถง ฟงกชน cosine : R → R ซงนยามวา cosine = {(θ , x) ∈R × R | f(θ ) = (x, y)}

5. เมอนกเรยนไดบทนยามในขอท 4 แลว ใหนกเรยนตอบคาถามตอไปน 5.1 โดเมนของฟงกชนโคไซน คอ R เรนจของฟงกชนโคไซน คอ [-1, 1] 5.2 โดเมนของฟงกชนไซน คอ R เรนจของฟงกชนไซน คอ [-1, 1]

6. ใหนกเรยนตอบคาถามลงในวงกลมหนงหนวยตอไปน

เนองจากสมการของวงกลมหนงหนวย คอ 1yx 22 =+ และจากรปขางบนจะเหนวา y = sin(θ ) , x = cos(θ ) ดงนนสงผลให 1θsinθcos 22 =+

cos

sin

π π 0 0

2

π

2

π

2

π3

2

π3

382

7. ใหนกเรยนเตมคาตอบลงในตารางขางลางน

มม θ ฟงกชน

0 6π

4π

3π

2π

π 23π

sin θ 0 21

22

23 1 0 -1

cos θ 1 23

22

21 0 -1 0

tan θ =cosθsinθ 0 3

1 1 3 ไมนยาม 0 ไมนยาม

cosec θ = sinθ

1 ไมนยาม 2 22

32 1 ไมนยาม -1

sec θ = cosθ

1 1 32

22 2 ไมนยาม -1 ไมนยาม

cot θ = sinθcosθ ไมนยาม 3 1 3

1 0 ไมนยาม 0

383

เฉลยใบกจกรรมท 4.1 คาของฟงกชนโคไซนและฟงกชนไซน

คาสง ใหนกเรยนเปดชดกจกรรมแลวเลอกทากจกรรมในหนวยท 4 เรองคาของฟงกชนโคไซน และฟงกชนไซน ในกจกรรมนจะแบงออกเปน 2 สวน กรณท 1 คาของฟงกชนไซนและโคไซนของจานวนจรงบางจานวน 1. ใหนกเรยนทากจกรรม 4.1 ในหนวยท 4 แลวตอบคาถามลงในใบงาน 2. ใหนกเรยนหาความยาวสวนโคงของจดปลายสวนโคงตอไปน (ภายใน 1 รอบ ทศทางทวนเขมนาฬกา) 2.1 พกดจดปลาย p(1, 0) 2.2 พกดจดปลาย p(0, 1) θ = 0 θ =

2π

sin (0) = 0 sin (2π ) = 1

cos (0) = 1 cos (2π ) = 0

2.3 พกดจดปลาย p(-1, 0) 2.4 พกดจดปลาย (0, -1) θ = π θ =

2π3

sin (0) = 0 sin (2π ) = -1

cos (0) = -1 cos (2π ) = 0

2.5 ให θ = 2π

− 2.6 ให θ = π−

พกดของจดปลายสวนโคง (0, -1) พกดของจดปลายสวนโคง (-1, 0) sin (

2π

− ) = -1 sin ( π− ) = 0

cos (2π

− ) = 0 cos ( π− ) = -1

2.7 ให θ =2

3π− 2.8 ให θ = π2−

พกดของจดปลายสวนโคง (0, 1) พกดของจดปลายสวนโคง (1, 0) sin (

2π3

− ) = 1 sin ( π2− ) = 0

cos (2π3

− ) = 0 cos ( π2− ) = 1

384

3. ใหนกเรยนใชความรเดมในหนวยท 2 แบงวงกลมออกเปน 8 สวน จะไดดงรป เมอนกเรยนสรางรปเสรจแลวใหกาหนดจด P(x, y) เปนจดตดทอยบนวงกลม และใหนกเรยนปฏบตดงน 3.1 ใหนกเรยนสรางรป Δ มมฉาก PAO โดยม A เปนมมฉาก จะไดวา m( POA ) =

4π เรเดยน หรอ o45 องศา

จะเหนวา Δ PAO เปนรปสามเหลยมหนาจว ดงนน OA = PA นนคอ x = y 3.2 ใหนกเรยนหาจดปลายสวนโคง

จาก 222 OPPAOA =+

222 1yx =+

1xx 22 =+ 1x2 2 =

21x2 =

2

1x ±=

แต (x, y) เปนจดในจตภาคท 1 ดงนน x = 2

1

ดงนน x = y = 2

1 = 22

นอกจากคาของ 4π แลว เรายงสามารถหาคาของฟงกชนไซนและโคไซนของจานวนจรง

,4π3

4π5 ,

4π7 , …, ( )

4π1n2 + เมอ n คอ จานวนเตมบวก

385

4. ใหนกเรยนใชความรเดมในชน ม. 1 สรางมม 60 องศา โดยทให Oกางเทากบ o60

เมอนกเรยนสรางรปเสรจแลวใหกาหนดจด P(x, y) เปนจดตดทเกดจากการสรางมม o60 เปนจดตดทอยบนวงกลม และใหนกเรยนปฏบตดงน 4.1 ใหนกเรยนหาจดปลายสวนโคง (ใชแนวคดเดยวกนกบในหนวยท 2) จะไดวา ระยะทางระหวางจด PM ยาวเทากบระยะทางระหวางจด PA นนคอ PM = PA 22 y)(yx))((x −+−− = 22 )0(y)1(x −+−

2x))((x −− = 22 y)1(x +− 2x4 = 22 y1x2x ++− 2x2x4 2 −+ = 0 (เนองจาก 1yx 22 =+ ) 1)1)(xx2(2 +− = 0 เนองจาก P(x, y) เปนจดอยในจตภาคท 1 ดงนน x และ y จงเปนจานวนบวก

จะได x = 21 และ y =

23

ดงนน จดปลายสวนโคงทยาว 3π หนวย คอ จด (

21 ,

23 )

นนคอ sin 3π =

23 8660.0≈

cos 3π =

21 = 0.5

นอกจากคาของ 3π แลว เรายงสามารถหาคาของฟงกชนไซนและโคไซนของจานวนจรง

ในรป 3πnπ2 ± ,

3π2nπ2 ± ,

3π4nπ2 ± และ

3π5nπ2 ± เมอ n เปนจานวนเตม

386

5. จากขอ 4 จะไดวาจากการหา sin 3π และ cos

3π ในกรณท 2 เราสามารถนามาสการหาคา sin

6π และ

cos6π ไดโดยใชความรเรองอตราสวนตรโกณมต

ขอใหนกเรยนสงเกต รป Δ PAO ในขอ 4 จะพบวามมแตละมมเทากบ 60๐, 30๐ และ 90๐

มความยาวสวนโคง 3π ,

6π และ

2π เรเดยน ตามลาดบ และมม OPA เปนสวนหนงของรปสามเหลยม

มมฉากเดยวกน ดงรป

จากขอ 4 จะไดวา sin 3π =

23 และ cos

3π =

21

ดงนน อตราสวนดงกลาวจะทาใหเกดรปสามเหลยมมมฉากไดแบบหนง ดงน จากรปสามเหลยมมมฉาก ดงกลาวใชความรเกยวกบอตราสวนตรโกณมต จะได

sin 6π =

21

cos 6π =

23

3

π

6π

3

π

6π

3 2

1

387

แบบฝกหดเสรม 1. จงหาคาของ sinθ และ cosθ เมอ θ เปนจานวนจรงตอไปน 1) π3 2) π8 p( π3 ) = (-1, 0) p( π8 ) = (1, 0) sin( π3 ) = 0 sin( π8 ) = 0 cos( π3 ) = -1 cos( π8 ) = 1 3) π5− 4) π2− p( π5− ) = (-1, 0) p( π2− ) = (1, 0) sin( π5− ) = 0 sin( π2− ) = 0 cos( π5− ) = -1 cos( π2− ) = 1

5) 2π

− 6) 2π3

−

p(2π

− ) = (0, -1) p(2π3

− ) = (0, 1)

sin(2π

− ) = -1 sin(2π3

− ) = 1

cos(2π

− ) = 0 cos(2π3

− ) = 0

7) 2π7 8)

2π7

−

p(2π7 ) = (0, -1) p(

2π7

− ) = (0, 1)

sin(2π7 ) = -1 sin(

2π7

− ) = 1

cos(2π7 ) = 0 cos(

2π7

− ) = 0

9) 2π9 10)

2π9

−

p(2π9 ) = (0, 1) p(

2π9

− ) = (0, -1)

sin(2π9 ) = 1 sin(

2π9

− ) = -1

cos(2π9 ) = 0 cos(

2π9

− ) = 0

388

11) π57 12) π57− p( π57 ) = (-1, 0) p( π57− ) = (-1, 0) sin( π57 ) = 0 sin( π57− ) = 0 cos( π57 ) = -1 cos( π57− ) = -1 13) π35 14) π35− p( π35 ) = (-1, 0) p( π35− ) = (-1, 0) sin( π35 ) = 0 sin( π35− ) = 0 cos( π35 ) = -1 cos( π35− ) = -1

15) 2π27 16)

2π27

−

p(2π27 ) = (0, -1) p(

2π27

− ) = (0, 1)

sin(2π27 ) = -1 sin(

2π27

− ) = 1

cos(2π27 ) = 0 cos(

2π27

− ) = 0

2. จากรปวงกลมหนงหนวยใหนกเรยนบอกตาแหนงจดปลายสวนโคงทยาว 4π ,

3π ,

6π ลงไปในรป

และบอกคาของฟงกชนไซนและโคไซน พรอมทงหาคาของฟงกชนไซนและโคไซนของจานวนจรง

ตอไปน 3π2 ,

4π3 ,

6π5 ,

6π7 ,

4π5 ,

3π4 ,

3π5 ,

4π7 และ

6π11

389

3. จงหาผลลพธตอไปน

1) sin3π cos

4π + tan

4π sec

6π 2) 3

6πtan2

6πcos

34

4πcosec

21

3πsin

31 222 +−−

วธทา จาก sin3π =

23 , cos

4π =

22 วธทา จาก

6πtan2 =

2

31⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ,

3πsin2 =

2

23⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

tan4π = 1 และ sec

6π =

32

4πcosec2 =

2

22⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ และ

6πcos2 =

2

23⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

นนคอ sin3π cos

4π + tan

4π sec

6π นนคอ 3

6πtan2

6πcos

34

4πcosec

21

3πsin

31 222 +−−

= 23 .

22 + 1.

32 = 3.(

31 ) − (

31 ).(

43 ) − (

21 ).2 + (

34 ).

43

= 46 +

332 = 1 –

41 – 1 + 1

= 43

3) sin2π3 secπ + sec 2

6π

4cot

6sin ππ

− 4) ooooo 60cos2360cos60sec45cot720sin −+

วธทา จาก sin2π3 = -1 , secπ = 1 วธทา sin720๐ = 0 , cot45๐ = 1, sec60๐ = 2

sec 2

6π =

2

32⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ , sin

6π =

21 และ cot

4π = 1 cos360๐ = 1 และ cos60๐ =

21

นนคอ sin2π3 secπ + sec 2

6π

4cot

6sin ππ

− นนคอ ooooo 60cos2360cos60sec45cot720sin −+

= (-1).(1) + 34 - (

21 )(1) = (0).(1) + (2)(1) – 2.(

21 )

= -1 + 65 = 0 + 2 - 1

= 61

− = 1

5) sin3π +2 sin

2π 6) sin

3π cos

2π

วธทา จาก sin3π =

23 และ sin

2π = 1 วธทา จาก sin

3π =

23 และ cos

2π = 0

นนคอ sin3π +2 sin

2π นนคอ sin

3π . cos

2π

= 23 + 2.(1) =

23 .0

= 2

34 + = 0

390

7) 3πtan

2π3cos

2π3sin

6πcos

6πsin ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + 8) oooooo 60cot60sec45cot60cosec30tan90sin −−

วธทา จาก sin6π =

21 , cos

6π =

23 วธทา sin90๐ = 1, tan30๐ =

31 , cosec60๐ =

32

sin 12

3−=

π , cos 02

3=

π และ tan 33=

π cot45๐ = 1, sec60๐ = 2 และ cot60๐ = 3

1

นนคอ3πtan

2π3cos

2π3sin

6πcos

6πsin ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + นนคอ oooooo 60cot60sec45cot60cosec30tan90sin −−

= (21 +

23 ).(-1 – 0). 3 = (1)(

31 ) – (

32 )(1) – (2)(

31 )

= (2

31+ ).(-1). 3 = 3

1 – 3

2 – 3

2

= 2

33 −− = 3

3−

9) ooooo 45cot60cos60sec30cos60tan − 10) 3

cot43

3sin

3cos

4cot 222 ππππ

−−+

วธทา tan60๐ = 3 , cos30๐ =23 , cos60๐ =

21 วธทา จาก cot2

4π = 1, cos

3π =

21 , sin2

3π = 2)

23(

sec60๐ = 2 และ cot45๐ = 1 และ cot2

3π = 3

นนคอ ooooo 45cot60cos60sec30cos60tan − นนคอ 3

cot43

3sin

3cos

4cot 222 ππππ

−−+

= ( 3 )(23 )(2) – (

21 )(1) = 1 +

21 -

43 - (

43 )(3)

= 3 – 21 = 1 +

21 -

412

= 25 =

25

−

11) 3

tan4

sin6

tan3

sec3

sin31 2222 πππππ

+− 12) oo

oo 45sec8160sin30cot

2145tan3 2222 +−−

วธทา จาก sin2

3π = 2)

23( , sec

3π = 2, sin2

4π =

21 วธทา จาก tan245๐ = 1, cot230๐ =

31 , sin260๐ =

43

tan2

6π =

31 และ tan2

3π = 3 และ sec245๐ = 2

นนคอ 3

tan4

sin6

tan3

sec3

sin31 2222 πππππ

+− นนคอ oo

oo 45sec8160sin30cot

2145tan3 2222 +−−

= (31 ).(

43 ) – (2).(

31 ) + (

21 ).(3) = 3.(1) -

21 .(

31 ) -

43 +

81 .(2)

= 41 -

32 +

23 = 3 -

61 -

43 +

41

= 1213 = 3 – 2 –

61

= 65

391

เฉลยใบกจกรรมท 5 ฟงกชนตรโกณมตอนๆ

คาสง ใหนกเรยนเปดชดกจกรรมแลวเลอกทากจกรรมในหนวยท 5 เรองฟงกชนตรโกณมตอนๆ โดยใชความรเดมในหนวยท 4 นามาใชกบใบกจกรรมในหนวยท 5 1. จงทาใหอยในรป tanθ 1.1) tan ( θπ− ) 1.2) tan ( θπ+ )

วธทา จาก tan ( θπ− ) = θ)cos(πθ)sin(π

−− วธทา จาก tan ( θπ+ ) =

θ)cos(πθ)sin(π

++

= ( )( )θcosθsin

− = ( )

( )θcosθsin

−−

= - tan(θ ) = tan(θ ) 1.3) tan ( θπ2 − ) 1.4) tan ( θπ2 + )

วธทา จาก tan ( θπ2 − ) = θ)π2cos(θ)π2sin(

−− วธทา จาก tan ( θπ2 + ) =

θ)π2cos(θ)π2sin(

++

= ( )( )θcosθsin− = ( )

( )θcosθsin

= - tan(θ ) = tan(θ ) 2. จงทาใหอยในรป cosecθ 2.1) cosec ( θπ− ) 2.2) cosec ( θπ+ )

วธทา จาก cosec ( θπ− ) = θ)sin(π

1−

วธทา จาก cosec ( θπ+ ) = θ)sin(π

1+

= ( )θsin1 = ( )θsin

1−

= cosec(θ ) = - cosec(θ ) 2.3) cosec ( θπ2 − ) 2.4) cosec ( θπ2 + )

วธทา จาก cosec ( θπ2 − ) = θ)π2sin(

1−

วธทา จาก cosec ( θπ2 + ) = θ)π2sin(

1+

= ( )θsin1

− = ( )θsin

1

= - cosec(θ ) = cosec(θ )

392

3. จงทาใหอยในรป secθ 3.1) sec ( θπ− ) 3.2) sec ( θπ+ )

วธทา จาก sec ( θπ− ) = θ)cos(π

1−

วธทา จาก sec ( θπ+ ) = θ)cos(π

1+

= ( )θcos1

− = ( )θcos

1−

= - sec(θ ) = - sec(θ ) 3.3) sec ( θπ2 − ) 3.4) sec ( θπ2 + )

วธทา จาก sec ( θπ2 − ) = θ)π2cos(

1−

วธทา จาก sec ( θπ2 + ) = θ)π2cos(

1+

= ( )θcos1 = ( )θcos

1

= sec(θ ) = sec(θ ) 4. จงทาใหอยในรป cotθ 4.1) cot ( θπ− ) 4.2) cot ( θπ+ )

วธทา จาก cot ( θπ− ) = θ)tan(π

1−

วธทา จาก cot ( θπ+ ) = θ)tan(π

1+

= ( )θtan1

− = ( )θtan

1

= - cot(θ ) = cot(θ ) 4.3) cot ( θπ2 − ) 4.4) cot ( θπ2 + )

วธทา จาก cot ( θπ2 − ) = θ)π2tan(

1−

วธทา จาก cot ( θπ2 + ) = θ)π2tan(

1+

= ( )θtan1

− = ( )θtan

1

= - cot(θ ) = cot(θ ) 5. จงหาคาของ

5.1) tan3

5π - cos3

4π - cosec6

5π 5.2) tan4

7π - cot4

3π - cosec3

5π

วธทา จาก tan3

5π = 3− , cos3

4π = 21

− วธทา จาก tan4

7π = -1, cot4

3π = -1, cosec3

5π = 3

2−

และ cosec 6

5π = -2 นนคอ tan4

7π - cot4

3π - cosec3

5π

นนคอ tan3

5π - cos3

4π - cosec6

5π = - 1 + 1 + 3

2

= 3− + 21 + 2 =

2325 − =

32

393

5.3) sec3π5 tan

43π 5.4)

14

7tan2π3cosec

4π3tan

6π7sec

3π7sin4

−

+

π

วธทา จาก sec3π5 = 2 , tan

43π = -1 วธทา จาก sin

3π7 =

23 , sec

6π7 =

32

−

นนคอ sec3π5 tan

43π tan

43π = -1, cosec

23π = -1, tan

47π = -1

= (2).(-1) นนคอ 1

47tan

2π3cosec

4π3tan

6π7sec

3π7sin4

−

+

π

= -2 = 11

)1).(1()3

2).(234.(

−−

−−+−

= 2

1)14.(−

+−

= 23

−− =

23

5.5) sin )540cos()765sec(240tan300 oooo −− 5.6) o

ooo

630tan2π3cosec240tan)765sec(300sin4 +−

วธทาจาก sin300๐ = 23

− , tan240๐ = 3 วธทา จาก sin300๐ = 23

− , sec(-765๐) = 22

sec(-765๐) = 22 , cos(-540๐) = -1 tan240๐ = 3 , cosec

23π = -1, tan630๐ = ไมนยาม

นนคอ sin )540cos()765sec(240tan300 oooo −− นนคอ o

ooo

630tan2π3cosec240tan)765sec(300sin4 +−

= (23

− ).( 3 ).(22 ).(-1) ไมสามารถหาคาตอบได

= 4

23

6. จงหาจานวนจรง θ โดยท π2θ0 ≤≤ และสอดคลองกบสมการในขอตอไปน 6.1) |sinθ | = sinθ จะไดจานวนจรง θ เทากบ πθ0 ≤≤

6.2) |cosθ | = - cosθ จะไดจานวนจรง θ เทากบ 2π3θ

2π

≤≤

6.3) |tanθ | = tanθ จะไดจานวนจรง θ เทากบ 2πθ0 ≤≤ หรอ

2π3θπ ≤≤

6.4) |cotθ | = - cotθ จะไดจานวนจรง θ เทากบ ππ≤≤ θ

2 หรอ π2θ

2π3

≤≤

394

6.5) |secθ | = secθ จะไดจานวนจรง θ เทากบ 2πθ0 ≤≤ หรอ π2θ

2π3

≤≤

6.6) |cosecθ | = - cosecθ จะไดจานวนจรง θ เทากบ π2θπ ≤≤

6.7) sinθ = cosθ จะไดจานวนจรง θ เทากบ 4π หรอ

4π5

6.8) tanθ = cotθ จะไดจานวนจรง θ เทากบ4π5,

4π3,

4π หรอ

4π7

6.9) sinθ = tanθ จะไดจานวนจรง θ เทากบ ππ,20,

6.10) cosθ = cotθ จะไดจานวนจรง θ เทากบ 2π3,

2π

395

เฉลยใบกจกรรมท 6.1 ฟงกชนตรโกณมตของมม

คาสง ใหนกเรยนเปดชดกจกรรมแลวเลอกทากจกรรมในหนวยท 6 เรองฟงกชนตรโกณมตของมม คาชแจง ในกจกรรมท 6.1 จะแบงออกเปน 2 ตอน ดงน ตอนท 1 ทบทวนความรเดมเรองการวดมม ตอนท 2 ฟงกชนตรโกณมตของมม ตอนท 1 ทบทวนความรเดมเรองการวดมม 1. ใหนกเรยนใชความรเรองการวดมมในหนวยท 1 เปลยนมม θทกาหนดให ใหมหนวยเปนองศา และเรเดยน 1.1) o1θ = 1.2) o60θ = วธทา จาก π2 เรเดยน เทยบเทากบ 360๐ วธทา จาก π2 เรเดยน เทยบเทากบ 360๐ ดงนน 1๐ =

180π เรเดยน ดงนน 60๐ =

3π เรเดยน

1.3) o501θ −= 1.4) o270θ = วธทา จาก π2 เทยบเทากบ 360๐ วธทา จาก π2 เทยบเทากบ 360๐ ดงนน -150๐ =

6π5

− เรเดยน ดงนน 270๐ = 2π3 เรเดยน

1.5) 6

11θ π= เรเดยน 1.6)

32θ π

= เรเดยน

วธทา จาก π2 เทยบเทากบ 360๐ วธทา จาก π2 เทยบเทากบ 360๐ ดงนน

6π11 = 330๐ องศา ดงนน

3π2 = 120๐ องศา

1.7) 5

θ π= เรเดยน 1.8)

45θ π

−= เรเดยน

วธทา จาก π2 เทยบเทากบ 360๐ วธทา จาก π2 เทยบเทากบ 360๐ ดงนน

5π = 36๐ องศา ดงนน

4π5

− = -225๐ องศา

1.9) 6

7θ π−= เรเดยน 1.10) 3θ = เรเดยน

ดงนน 6π7

− = -210๐ องศา ดงนน 3 = 3 x 57๐18′ ≈ 171.88๐ องศา

396

ตอนท 2 ฟงกชนตรโกณมตของมม ในกจกรรมเรองฟงกชนตรโกณมตของมมจะแบงเนอหาออกเปน 5 กรณเชนเดยวกนกบฟงกชนตรโกณมตของจานวนจรง ดงน กรณ 1 การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม -θ เมอ θ เปนมมบวก กรณ 2 การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม θ เมอ θ > o360 กรณ 3 การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม θ เมอ o90 <θ < o180 กรณ 4 การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม θ เมอ o180 <θ < o270 กรณ 5 การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม θ เมอ o270 <θ < o360

ใหนกเรยนใชความสมพนธระหวางหนวยการวดมมทเปนองศากบหนวยการวดมมเรเดยนเตมคาตอบลงในตารางทง 5 กรณตอไปน กรณ 1 การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม -θ เมอ θ เปนมมบวก

ระบบเรเดยน ระบบองศา sin( θ− ) = - sinθ

cos( θ− ) = cosθ tan( θ− ) = - tanθ cot( θ− ) = - cotθ

sec( θ− ) = secθ cosec( θ− ) = - cosecθ

sin( θ− ) = - sinθ cos( θ− ) = cosθ

tan( θ− ) = - tanθ cot( θ− ) = - cotθ

sec( θ− ) = secθ cosec( θ− ) = - cosecθ

กรณ 2 การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม θ เมอ θ > o360

ระบบเรเดยน ระบบองศา ถา n เปนจานวนนบ แลว sin( θnπ2 + ) = sinθ

cos( θnπ2 + ) = cosθ tan( θnπ2 + ) = tanθ cot( θnπ2 + ) = cotθ

sec( θnπ2 + ) = secθ cosec( θnπ2 + ) = cosecθ

ถา n เปนจานวนนบ แลว sin( θn360 +⋅o ) = sinθ cos( θn360 +⋅o ) = cosθ

tan( θn360 +⋅o ) = tanθ cot( θn360 +⋅o ) = cotθ sec( θn360 +⋅o ) = secθ

cosec( θn360 +⋅o ) = cosecθ

397

กรณ 3 การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม θ เมอ o90 <θ < o180

ระบบเรเดยน ระบบองศา sin( θπ− ) = sinθ

cos( θπ− ) = - cosθ tan( θπ− ) = - tanθ cot( θπ− ) = - cotθ

sec( θπ− ) = - secθ cosec( θπ− ) = cosecθ

sin( θ180 −o ) = sinθ cos( θ180 −o ) = - cosθ tan( θ180 −o ) = - tanθ cot( θ180 −o ) = - cotθ sec( θ180 −o ) = - secθ

cosec( θ180 −o ) = cosecθ

กรณ 4 การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม θ เมอ o180 <θ < o270

ระบบเรเดยน ระบบองศา sin( θπ+ ) = - sinθ cos( θπ+ ) = - cosθ

tan( θπ+ ) = tanθ cot( θπ+ ) = cotθ

sec( θπ+ ) = - secθ cosec( θπ+ ) = - cosecθ

sin( θ180 +o ) = - sinθ cos( θ180 +o ) = - cosθ tan( θ180 +o ) = tanθ cot( θ180 +o ) = cotθ

sec( θ180 +o ) = - secθ cosec( θ180 +o ) = - cosecθ

กรณ 5 การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม θ เมอ o270 <θ < o360

ระบบเรเดยน ระบบองศา sin( θπ2 − ) = - sinθ cos( θπ2 − ) = cosθ

tan( θπ2 − ) = - tanθ cot( θπ2 − ) = - cotθ

sec( θπ2 − ) = secθ cosec( θπ2 − ) = - cosecθ

sin( θ360 −o ) = - sinθ cos( θ360 −o ) = cosθ

tan( θ360 −o ) = - tanθ cot( θ360 −o ) = - cotθ sec( θ360 −o ) = secθ

cosec( θ360 −o ) = - cosecθ

398

แบบฝกหดเสรมทกษะ 1. จงหาคาของฟงกชนตรโกณมตทกฟงกชนของมมตอไปน 1) 150๐ 2) 120๐ วธทา วธทา sin(150๐) = sin(180๐ – 30๐) = sin(30๐) sin(120๐) = sin(180๐ – 60๐) = sin(60๐) cos(150๐) = cos(180๐ – 30๐) = - cos(30๐) cos(120๐) = cos(180๐ – 60๐) = - cos(60๐) tan(150๐) = tan(180๐ – 30๐) = - tan(30๐) tan(120๐) = tan(180๐ – 60๐) = - tan(60๐) sec(150๐) = sec(180๐ – 30๐) = - sec(30๐) sec(120๐) = sec(180๐ – 60๐) = - sec(60๐) csc(150๐) = csc(180๐ – 30๐) = csc(30๐) csc(120๐) = csc(180๐ – 60๐) = csc(60๐) cot(150๐) = cot(180๐ – 30๐) = - cot(30๐) cot(120๐) = cot(180๐ – 60๐) = - cot(60๐)

3) 315๐ 4) –315๐ วธทา วธทา จาก sin(-θ ) = - sinθ และ cos(-θ ) = cosθ sin(315๐) = sin(360๐ – 45๐) = - sin(45๐) - sin(315๐) = - sin(360๐ – 45๐) = sin(45๐) cos(315๐) = cos(360๐ – 45๐) = cos(45๐) cos(315๐) = cos(360๐ – 45๐) = cos(45๐) tan(315๐) = tan(360๐ – 45๐) = - tan(45๐) - tan(315๐) = - tan(360๐ – 45๐) = tan(45๐) sec(315๐) = sec(360๐ – 45๐) = sec(45๐) sec(315๐) = sec(360๐ – 45๐) = sec(45๐) csc(315๐) = csc(360๐ – 45๐) = - csc(45๐) - csc(315๐) = - csc(360๐ – 45๐) = csc(45๐) cot(315๐) = cot(360๐ – 45๐) = - cot(45๐) - cot(315๐) = -cot(360๐ – 45๐) = cot(45๐) 5) 930๐ 6) 225๐ วธทา วธทา sin(930๐) = sin(900๐ + 30๐) = - sin(30๐) sin(225๐) = sin(180๐ + 45๐) = - sin(45๐) cos(930๐) = cos(900๐ + 30๐) = - cos(30๐) cos(225๐) = cos(180๐ + 45๐) = - cos(45๐) tan(930๐) = tan(900๐ + 30๐) = tan(30๐) tan(225๐) = tan(180๐ + 45๐) = tan(45๐) sec(930๐) = sec(900๐ + 30๐) = - sec(30๐) sec(225๐) = sec(180๐ + 45๐) = - sec(45๐) csc(930๐) = csc(900๐ + 30๐) = - csc(30๐) csc(225๐) = csc(180๐ + 45๐) = - csc(45๐) cot(930๐) = cot(900๐ + 30๐) = cot(30๐) cot(225๐) = cot(180๐ + 45๐) = cot(45๐)

399

2. จงหาคาของ

1) °

°° −330sin2

300sec135tan3 22

2) )390cos(

)840sin()480tan(°

°°

−−−−

วธทา จาก tan2135๐ = 1, sec2300๐ = 4 วธทา จาก tan(-480๐) = 3 , sin(-840๐) = 23

−

และ sin330๐ = 21

− และ cos(-390๐) = 23

นนคอ °

°° −330sin2

300sec135tan3 22

นนคอ )390cos(

)840sin()480tan(°

°°

−−−−

= )

21.(2

4)1.(3

−

− =

23

)23(3 −−

= 11

−− =

32.

233

= 1 = 3 3) cos240๐cos120๐ – sin120๐cos150๐ 4) sin300๐tan240๐sec(-765๐)cos(-540๐)

วธทา จาก cos240๐ = 21

− , cos120๐ = 21

− วธทา จาก sin300๐ = 23

− , tan240๐ = 3

sin120๐ = 23 , cos150๐ =

23

− sec(-765๐) = 22 , cos(-540๐) = -1

นนคอ cos240๐cos120๐ – sin120๐cos150๐ นนคอ sin300๐tan240๐sec(-765๐)cos(-540๐)

= (21

− ).(21

− ) – (23 ).(

23

− ) = (23

− ).( 3 ).(22 ).(-1)

= 43

41+ =

423

= 1

5) sec2(-240๐) + cosec2(6π5

− ) + cot2(315๐)

วธทา จาก sec2(-240๐) = 4, cosec2(6π5

− ) = 41

และ cot2(315๐) = 1

นนคอ sec2(-240๐) + cosec2(6π5

− ) + cot2(315๐)

= (4) + (41 ) + (1)

= 421

400

3. จงหาคาของฟงกชนตรโกณมตจากจดปลายสวนโคงของมม 1. กาหนดให θ เปนมมในตาแหนงมาตรฐาน และ P(15, -8) เปนจดปลายสวนโคงของมมθ จงหาคาของฟงกชนตรโกณมตทง 6 ฟงกชนของมม θ วธทา ในทน x = 15 และ y = -8 จาก r = 22 )08()015( −−+− = 64225 + = 17289 =

ดงนน sinθ = 178

− , cosecθ = 8

17−

cosθ = 1715 , secθ =

1715

tanθ = 158

− , cotθ = 8

15−

2. กาหนดให θ เปนมมในตาแหนงมาตรฐาน และ 180๐ < θ < 270๐ และมดานสนสดของมม θ อยบนเสนตรง 4y = 3x จงหาคาของฟงกชนตรโกณมตทง 6 ฟงกชนของมม θ วธทา เลอกจดใดจดหนงทอยบนดานสนสดของมม ให x = -4 จะได y = -3 จาก r = 22 )03()04( −−+−− = 916 + = 525 =

ดงนน sinθ = 53

− , cosecθ = 35

−

cosθ = 54

− , secθ = 45

−

tanθ = 43 , cotθ =

34

3. กาหนดให θ เปนมมในตาแหนงมาตรฐาน และ P(-1, -4) เปนจดปลายสวนโคงของมมθ จงหาคาของฟงกชนตรโกณมตทง 6 ฟงกชนของมม θ วธทา จาก r = 22 )04()01( −−+−− = 161+ = 17

ดงนน sinθ = 174

− , cosecθ = 417

−

cosθ = 171

− , secθ = 17−

tanθ = 4− , cotθ = 41

−

401

4. กาหนดให θ เปนมมในตาแหนงมาตรฐาน และ P(1, - 2 ) เปนจดปลายสวนโคงของมมθ จงหาคาของฟงกชนตรโกณมตทง 6 ฟงกชนของมม θ

วธทา จาก r = 22 )02()01( −−+− = 21+ = 3

ดงนน sinθ = 32

− , cosecθ = 23

−

cosθ = 3

1 , secθ = 3

tanθ = 2− , cotθ = 2

1−

5. กาหนดให θ เปนมมในตาแหนงมาตรฐาน และ P(- 3 , 1) เปนจดปลายสวนโคงของมมθ จงหาคาของฟงกชนตรโกณมตทง 6 ฟงกชนของมม θ

วธทา จาก r = 22 )01()03( −+−− = 13+ = 24 =

ดงนน sinθ = 21 , cosecθ = 2

cosθ = 23

− , secθ = 3

2−

tanθ = 3− , cotθ = 3

1−

402

เฉลยใบกจกรรมท 7 กราฟของฟงกชนตรโกณมต

คาสง ใหนกเรยนเปดชดกจกรรมแลวเลอกทากจกรรมในหนวยท 7 เรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต คาชแจง ในกจกรรมท 7 จะแบงออกเปน 5 ตอน ดงน ตอนท 1 กาหนดฟงกชนตรโกณมต y = T(x)

ตอนท 2 กาหนดฟงกชนตรโกณมต y = k⋅T(x) เมอ k เปนจานวนจรง และ k 0≠ ,k 1≠

ตอนท 3 กาหนดฟงกชนตรโกณมต y = T(k⋅x) เมอ k เปนจานวนจรง และ k 0≠ ,k 1≠

ตอนท 4 กาหนดฟงกชนตรโกณมต y = T(b⋅x+k) เมอ b, k เปนจานวนจรงไมเทากบ 0 ตอนท 5 กาหนดฟงกชนตรโกณมต y = T(x)+k เมอ k เปนจานวนจรง และ k 0≠

ตอนท 1 กาหนดฟงกชนตรโกณมต y = T(x) กราฟของฟงกชนไซน y = sin x

2. ใหนกเรยนเลอกทากจกรรมแรกคอกราฟของฟงกชนไซน y = sin x เมอ π2x0 ≤≤ โดย ใชคาสง ใหนกเรยนตอบคาถามลงในตาราง แลวนาไปวาดกราฟ

ชวงท 1 กราฟของ y = sin x เมอ πx0 ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

sinx 0 21

22

23 1

23

22

21 0

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว ใหนกเรยนสรางกราฟลงในกจกรรมในคอมพวเตอร แลว

นามาวาดลงในใบกจกรรม

403

ชวงท 2 กราฟของ y = sin x เมอ π2xπ ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x π 6π7

4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

sinx 0 21

− 22

− 23

− -1 23

− 22

− 21

− 0

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว ใหนกเรยนสรางกราฟลงในกจกรรมในคอมพวเตอร แลว

นามาวาดลงในใบกจกรรม ใหนกเรยนนาทง 2 ชวงมารวมกน โดยใหนกเรยนสรางกราฟและนามาวาดรปลงในใบกจกรรม 2. หากนกเรยนยงมองภาพไมชดเจน ใหนกเรยนเปดทหนาถดไปในกจกรรมคอมพวเตอร แลวตอบคาถามตอไปน 2.1) มจานวนจรงใดบางทหาคาไมได ไมม

คาสงสดของฟงกชน คอ 1 (M = Maximum) คาตาสดของฟงกชน คอ -1 (m = minimum) 2.2) โดเมนของฟงกชนไซน คอ R เรนจของฟงกชนไซน คอ [-1, 1] เปนฟงกชนแบบทวถง เพราะมจานวนจรง 2 จานวนททาใหคาของฟงกชนเหมอนกน

404

2.3) ใหนกเรยนสรางกราฟไซนบนชวง π2xπ2 ≤≤− แลวสงเกตวาชวงใดบางทซากน ชวงท 1 0xπ2 ≤≤− ชวงท 2 π2x0 ≤≤ แตละชวงหางกน π2

2.4) แอมพลจดของฟงกชน คอ 12

)1(12

mM=

−−=

−

3. จากขอ 1-2 ใหนกเรยนสรปลกษณะของกราฟฟงกชนไซนเมอ y = sin x จากลกษณะกราฟของ y = sin x มสงทนกเรยนควรสนใจดงน

1) โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ rD = {x|x R∈ } 2) เรนจของฟงกชน คอ [-1, 1] นนคอ fR = {y| 1y1 ≤≤− } หรอกลาวอยางงายๆ ไดวา 1sinx1 ≤≤− 3) ฟงกชน y = sin x เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 ดงนน อาจจะมคา x หลายๆ คา ททาใหไดคา y เพยงคาเดยว 4) ฟงกชนไซน มคาบเทากบ π2 และมแอมพลจด เทากบ 1 กราฟของฟงกชนโคไซน y = cos x 1. ใหนกเรยนเลอกทากจกรรมแรกคอกราฟของฟงกชนโคไซน y = cos x เมอ π2x0 ≤≤ โดยใช คาสง ใหนกเรยนตอบคาถามลงในตาราง แลวนาไปวาดกราฟ

ชวงท 1 กราฟของ y = cos x เมอ πx0 ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

cosx 1 23

22

21 0 2

1−

22

− 23

− -1

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว ใหนกเรยนสรางกราฟลงในกจกรรมในคอมพวเตอร แลวนามาวาดลงในใบกจกรรม

405

ชวงท 2 กราฟของ y = cos x เมอ π2xπ ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x π 6π7

4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

cosx -1 23

− 22

− 21

− 0 21

22

23 1

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว ใหนกเรยนสรางกราฟลงในกจกรรมในคอมพวเตอร แลวนามาวาดลงในใบกจกรรม ใหนกเรยนนาทง 2 ชวงมารวมกน โดยใหนกเรยนสรางกราฟและนามาวาดรปลงในใบกจกรรม

2. หากนกเรยนยงมองภาพไมชดเจน ใหนกเรยนเปดทหนาถดไปในกจกรรมคอมพวเตอร แลวตอบคาถามตอไปน 2.1) มจานวนจรงใดบางทหาคาไมได ไมม

คาสงสดของฟงกชน คอ 1 (M = Maximum) คาตาสดของฟงกชน คอ -1 (m = minimum) 2.2) โดเมนของฟงกชนโคไซน คอ R เรนจของฟงกชนโคไซน คอ [-1, 1] เปนฟงกชนแบบทวถง เพราะมจานวนจรง 2 จานวนททาใหคาของฟงกชนเหมอนกน

406

2.3) ใหนกเรยนสรางกราฟโคไซนบนชวง π2xπ2 ≤≤− แลวสงเกตวาชวงใดบางทซากน ชวงท 1 0xπ2 ≤≤− ชวงท 2 π2x0 ≤≤ แตละชวงหางกน π2

2.4) แอมพลจดของฟงกชน คอ 12

)1(12

mM=

−−=

−

3. จากขอ 1-2 ใหนกเรยนสรปลกษณะของกราฟฟงกชนโคไซนเมอ y = cos x จากลกษณะกราฟของ y = cos x มสงทนกเรยนควรสนใจดงน

1) โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ rD = {x|x R∈ } 2) เรนจของฟงกชน คอ [-1, 1] นนคอ fR = 1cosx1 ≤≤− 3) ฟงกชน y = cos x เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 ดงนน อาจจะมคา x หลายๆ คา ททาใหไดคา y เพยงคาเดยว 4) ฟงกชนโคไซน มคาบเทากบ π2 และมแอมพลจด เทากบ 1 5) เราสามารถบอกลกษณะของฟงกชนเพม ฟงกชนลดไดโดยดจากกราฟ เชน ในชวง ( π , π2 ) ฟงกชนโคไซนเปนฟงกชนเพม ในชวง (0, π ) ฟงกชนโคไซนเปนฟงกชนลด กราฟของฟงกชนแทนเจนต y = tan x 1. ใหนกเรยนเลอกทากจกรรมแรกคอกราฟของฟงกชนแทนเจนต y = tan x เมอ π2x0 ≤≤ โดยใชคาสง ใหนกเรยนตอบคาถามลงในตาราง แลวนาไปวาดกราฟ

ชวงท 1 กราฟของ y = tan x เมอ πx0 ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

tanx 0 31 1 3 ไมนยาม

3− -1 31

− 0

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว ใหนกเรยนสรางกราฟลงในกจกรรมในคอมพวเตอร แลว

นามาวาดลงในใบกจกรรม

407

ชวงท 2 กราฟของ y = tan x เมอ π2xπ ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x π 6π7

4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

tanx 0 31 1 3 ไมนยาม

3− -1 31

− 0

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว ใหนกเรยนสรางกราฟลงในกจกรรมในคอมพวเตอร แลวนามาวาดลงในใบกจกรรม ใหนกเรยนนาทง 2 ชวงมารวมกน โดยใหนกเรยนสรางกราฟและนามาวาดรปลงในใบกจกรรม

408

2. หากนกเรยนยงมองภาพไมชดเจน ใหนกเรยนเปดทหนาถดไปในกจกรรมคอมพวเตอร แลวตอบคาถามตอไปน

2.1) มจานวนจรงใดบางทหาคาไมได จานวนจรง 2π.n เมอ n เปนจานวนเตมค

คาสงสดของฟงกชน คอ ∞ (M = Maximum) คาตาสดของฟงกชน คอ ∞− (m = minimum)

2.2) โดเมนของฟงกชนแทนเจนต คอ R - {x ∈R| x = 2π.n เมอ n เปนจานวนเตมค}

เรนจของฟงกชนแทนเจนต คอ ( ∞− , ∞ ) เปนฟงกชนแบบทวถง เพราะมจานวนจรง 2 จานวนททาใหคาของฟงกชนเหมอนกน 2.3) ใหนกเรยนสรางกราฟแทนเจนตบนชวง π2xπ2 ≤≤− แลวสงเกตวาชวงใดบางทซากน ชวงท 1 π≤≤− xπ2 ชวงท 2 0xπ ≤≤− ชวงท 3 π≤≤ x0 ชวงท 4 π2xπ ≤≤ แตละชวงหางกน π 2.4) แอมพลจดของฟงกชน คอ ไมมแอมพลจดเพราะไมมคาสงสดและคาตาสด 3. จากขอ 1-2 ใหนกเรยนสรปลกษณะของกราฟฟงกชนแทนเจนตเมอ y = tan x

1) โดเมนของฟงกชน คอ R - {x ∈R| x = 2π.n เมอ n เปนจานวนเตมค}

2) เรนจของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ ∞− < tan x < ∞ 3) ฟงกชน y = tan x เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 4) คาบของฟงกชนเทากบ π 5) แอมพลจดของฟงกชนไมม เพราะไมสามารถหาจดสงสดและจดตาสดได

กราฟของฟงกชนโคเซแคนต y = cosec x 1. ใหนกเรยนเลอกทากจกรรมแรกคอกราฟของฟงกชนโคเซแคนต y = cosec x เมอ π2x0 ≤≤ โดยใชคาสง ใหนกเรยนตอบคาถามลงในตาราง แลวนาไปวาดกราฟ

ชวงท 1 กราฟของ y = cosec x เมอ πx0 ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

cosec x ไมนยาม 2 22

32 1 3

2 2

2 2 ไมนยาม

409

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว ใหนกเรยนสรางกราฟลงในกจกรรมในคอมพวเตอร แลวนามาวาดลงในใบกจกรรม

ชวงท 2 กราฟของ y = cosec x เมอ π2xπ ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x π 6π7

4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

cosecx ไมนยาม -2 22

− 3

2− -1 3

2−

22

− -2 ไมนยาม

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว ใหนกเรยนสรางกราฟลงในกจกรรมในคอมพวเตอร แลวนามาวาดลงในใบกจกรรม ใหนกเรยนนาทง 2 ชวงมารวมกน โดยใหนกเรยนสรางกราฟและนามาวาดรปลงในใบกจกรรม

410

2. หากนกเรยนยงมองภาพไมชดเจน ใหนกเรยนเปดทหนาถดไปในกจกรรมคอมพวเตอร แลวตอบคาถามตอไปน 2.1) มจานวนจรงใดบางทหาคาไมได จานวนจรง π.n เมอ n เปนจานวนเตม

คาสงสดของฟงกชน คอ ∞ (M = Maximum) คาตาสดของฟงกชน คอ ∞− (m = minimum)

2.2) โดเมนของฟงกชนโคเซแคนต คอ R - {x ∈R| x π.n= เมอ n เปนจานวนเตม} เรนจของฟงกชนโคเซแคนต คอ ( ∞− , - 1] U [1, ∞ ) เปนฟงกชนแบบทวถง เพราะมจานวนจรง 2 จานวนททาใหคาของฟงกชนเหมอนกน 2.3) ใหนกเรยนสรางกราฟโคแทนเจนตบนชวง π2xπ2 ≤≤− แลวสงเกตวาชวงใดบางทซากน ชวงท 1 0xπ2 ≤≤− ชวงท 2 π2x0 ≤≤ แตละชวงหางกน 2 π 2.4) แอมพลจดของฟงกชน คอ ไมมแอมพลจดเพราะไมมคาสงสดและคาตาสด 3. จากขอ 1-2 ใหนกเรยนสรปลกษณะของกราฟฟงกชนโคเซแคนตเมอ y = cosec x

1) โดเมนของฟงกชน คอ R - {x ∈R| x π.n= เมอ n เปนจานวนเตม} 2) เรนจของฟงกชน ( ∞− , - 1] U [1, ∞ ) นนคอ cosec x 1−≤ หรอ cosec x 1≥ 3) ฟงกชน y = cosec x เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 4) คาบของฟงกชนเทากบ 2 π 5) แอมพลจดของฟงกชนไมม เพราะไมสามารถหาจดสงสดและจดตาสดได

กราฟของฟงกชนเซแคนต y = sec x 1. ใหนกเรยนเลอกทากจกรรมแรกคอกราฟของฟงกชนเซแคนต y = sec x เมอ π2x0 ≤≤ โดยใช คาสง ใหนกเรยนตอบคาถามลงในตาราง แลวนาไปวาดกราฟ

ชวงท 1 กราฟของ y = sec x เมอ πx0 ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

y 1 32

22 2 ไมนยาม -2 2

2−

32

− -1

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว ใหนกเรยนสรางกราฟลงในกจกรรมในคอมพวเตอร แลว

นามาวาดลงในใบกจกรรม

411

ชวงท 2 กราฟของ y = sec x เมอ π2xπ ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x π 6π7

4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

y -1 32

− 2

2− -2 ไมนยาม 2 2

2 3

2 1

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว ใหนกเรยนสรางกราฟลงในกจกรรมในคอมพวเตอร แลวนามาวาดลงในใบกจกรรม ใหนกเรยนนาทง 2 ชวงมารวมกน โดยใหนกเรยนสรางกราฟและนามาวาดรปลงในใบกจกรรม

412

2. หากนกเรยนยงมองภาพไมชดเจน ใหนกเรยนเปดทหนาถดไปในกจกรรมคอมพวเตอร แลวตอบคาถามตอไปน

2.1) มจานวนจรงใดบางทหาคาไมได จานวนจรง2π.n เมอ n เปนจานวนเตมค

คาสงสดของฟงกชน คอ ∞ (M = Maximum) คาตาสดของฟงกชน คอ ∞− (m = minimum)

2.2) โดเมนของฟงกชนเซแคนต คอ R - {x ∈R| x 2π.n= เมอ n เปนจานวนเตมค}

เรนจของฟงกชนเซแคนต คอ ( ∞− , - 1] U [1, ∞ ) เปนฟงกชนแบบทวถง เพราะมจานวนจรง 2 จานวนททาใหคาของฟงกชนเหมอนกน 2.3) ใหนกเรยนสรางกราฟไซนบนชวง π2xπ2 ≤≤− แลวสงเกตวาชวงใดบางทซากน ชวงท 1 0xπ2 ≤≤− ชวงท 2 π2x0 ≤≤ แตละชวงหางกน 2 π 2.4) แอมพลจดของฟงกชน คอ ไมมแอมพลจดเพราะไมมคาสงสดและคาตาสด 3. จากขอ 1-2 ใหนกเรยนสรปลกษณะของกราฟฟงกชนเซแคนต เมอ y = sec x

1) โดเมนของฟงกชน คอ R - {x ∈R| x 2π.n= เมอ n เปนจานวนเตมค}

2) เรนจของฟงกชน คอ ( ∞− , - 1] U [1, ∞ ) นนคอ sec x 1−≤ หรอ sec x 1≥ 3) ฟงกชน y = sec x เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 4) คาบของฟงกชนเทากบ 2 π 5) แอมพลจดของฟงกชนไมม เพราะไมสามารถหาจดสงสดและจดตาสดได

กราฟของฟงกชนโคแทนเจนต y = cot x 1. ใหนกเรยนเลอกทากจกรรมแรกคอกราฟของฟงกชนโคแทนเจนต y = cot x เมอ π2x0 ≤≤ โดยใชคาสง ใหนกเรยนตอบคาถามลงในตาราง แลวนาไปวาดกราฟ

ชวงท 1 กราฟของ y = cot x เมอ πx0 ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

cotx ไมนยาม 3 1 3

1 0 3

1− -1 3− ไมนยาม

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว ใหนกเรยนสรางกราฟลงในกจกรรมในคอมพวเตอร แลวนามาวาดลงในใบกจกรรม

413

ชวงท 2 กราฟของ y = cot x เมอ π2xπ ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x π 6π7

4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

cotx ไมนยาม 3 1 3

1 0 3

1− -1 3− ไมนยาม

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว ใหนกเรยนสรางกราฟลงในกจกรรมในคอมพวเตอร แลว

นามาวาดลงในใบกจกรรม

ใหนกเรยนนาทง 2 ชวงมารวมกน โดยใหนกเรยนสรางกราฟและนามาวาดรปลงในใบกจกรรม

414

2. หากนกเรยนยงมองภาพไมชดเจน ใหนกเรยนเปดทหนาถดไปในกจกรรมคอมพวเตอร แลวตอบคาถามตอไปน 2.1) มจานวนจรงใดบางทหาคาไมได จานวนจรง π.n เมอ n เปนจานวนเตม

คาสงสดของฟงกชน คอ ∞ (M = Maximum) คาตาสดของฟงกชน คอ ∞− (m = minimum)

2.2) โดเมนของฟงกชนโคแทนเจนต คอ R - {x ∈R| x π.n= เมอ n เปนจานวนเตม} เรนจของฟงกชนโคแทนเจนต คอ ( ∞− , ∞ ) เปนฟงกชนแบบทวถง เพราะมจานวนจรง 2 จานวนททาใหคาของฟงกชนเหมอนกน 2.3) ใหนกเรยนสรางกราฟโคแทนเจนตบนชวง π2xπ2 ≤≤− แลวสงเกตวาชวงใดบางทซากน ชวงท 1 π≤≤− xπ2 ชวงท 2 0xπ ≤≤− ชวงท 3 π≤≤ x0 ชวงท 4 π2xπ ≤≤ แตละชวงหางกน π 2.4) แอมพลจดของฟงกชน คอ ไมมแอมพลจดเพราะไมมคาสงสดและคาตาสด 3. จากขอ 1-2 ใหนกเรยนสรปลกษณะของกราฟฟงกชนโคแทนเจนตเมอ y = cot x

1) โดเมนของฟงกชน คอ R - {x ∈R| x = π.n เมอ n เปนจานวนเตม} 2) เรนจของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง คอ ∞− < cot x < ∞ 3) ฟงกชน y = cot x เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 4) ถา x ∈ (0, π ) ฟงกชน y = cot x เปนฟงกชน 1 – 1 5) คาบของฟงกชนเทากบ π 6) แอมพลจดของฟงกชนไมม เพราะไมสามารถหาจดสงสดและจดตาสดได

415

เฉลยแบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4

คาชแจง

1. แบบทดสอบฉบบนสรางขนเพอวดผลสมฤทธทางการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต ของ

นกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ทเรยนดวยกจกรรมการเรยนการสอนเรอง ฟงกชนตรโกณมต โดยใช

ซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต

2. แบบทดสอบฉบบนเปนแบบทดสอบแบบปรนย 4 ตวเลอก จานวน 30 ขอ และ

แบบทดสอบแบบอตนยแสดงวธทา จานวน 5 ขอ

3. ใหนกเรยนทาเครองหมาย × ลงในกระดาษคาตอบในแตละขอ โดยเลอกคาตอบท

ถกตองเพยงคาตอบเดยวและแสดงวธทาลงในแบบทดสอบฉบบนใหถกตองครบถวน

4. ในแตละขอคาถามจะมคาตอบทถกตองเพยง 1 คาตอบเทานน

5. เวลาทใชในการทาแบบทดสอบ 100 นาท

ชอ.......................................................................... ชน .................... เลขท ...............

416

แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4

ตอนท 1 จงเลอกคาตอบทถกตองทสดเพยงคาตอบเดยว 1. ขอใดตอไปนไมถกตอง ก.

ข.

ค.

ง.

2.

จากรป sin A มคาตรงกบขอใด

ก. 5

1 ข. 5

2

ค. 21 ง. 5

3. จากรป sin B มคาตรงกบขอใด

ก. ca ข.

cb

ค. ba ง.

ac

4.กาหนดให cot A = 34 คาของ

tan A มคาตรงกบขอใด

ก. 3 ข. 4

ค. 43 ง.

34

5.กาหนดให tan A = 3 คาของ

cot A มคาตรงกบขอใด

ก. 3 ข. 3

ค. 31 ง.

31

6. จากรป sin °60 มคาตรงกบขอใด

ก. 21 ข. 2

ค. 23 ง.

32

7. ขอใดตอไปนผด

ก. 061 ′=° ข. 061 ′′=°

ค. π2360 =° เรเดยน ง. π180 =° เรเดยน

417

8. 2π3 เรเดยน เทากบกองศา

ก. 135๐ ข. 270๐

ค. 405๐ ง. 540๐

9. 2 เรเดยน เทากบกองศา

ก. 6157 ′° ข. 7257 ′°

ค. 63114 ′° ง. 55114 ′°

10. 210 ๐ เทากบกเรเดยน

ก. 6π7 ข.

3π7

ค. 7π6 ง.

12π7

11. °75 เทากบกเรเดยน

ก. 125π ข.

65π

ค. 12π ง.

63

12. สาหรบวงกลมหนงหนวยขอใด

ตอไปน ถกตอง

ก. แบงความยาวสวนโคงเปน 4 สวนเทาๆ กน

จะไดความยาวสวนโคงสวนละ 4π

ข. แบงความยาวสวนโคงเปน 8 สวนเทาๆ

กน จะไดความยาวสวนโคงสวนละ 4π

ค. แบงความยาวสวนโคงเปน 12 สวนเทาๆ

กน จะไดความยาวสวนโคงสวนละ 8π

ง. แบงความยาวสวนโคงเปน 6 สวนเทาๆ กน

จะไดความยาวสวนโคงสวนละ 6π

13. จากรปคาของ θ ตรงกบขอใด

ก. 2π ข.

23π

ค. 2π

− ง. 2

3π−

14. จากรปคาของ θ ตรงกบขอใด เมอ

กาหนดให 0 ≤ θ ≤ 2π

ก. 4

7π ข. 6

5π

ค. 3

11π ง. 4

3π

418

15. กาหนดให p(θ ) = (54,

53 ) ดงรป

พกดของจด p( π3θ+− ) ตรงกบขอใด

ก. (54,

53 ) ข. (

54,

53−− )

ค. (54,

53− ) ง. (

54,

53

− )

16. โดเมนและเรนจของฟงกชนไซนตรงกบขอ

ใด

ก. โดเมน คอ R และ เรนจ คอ [-1, 1]

ข. โดเมน คอ I+ และ เรนจ คอ [0, 1]

ค. โดเมน คอ I- และ เรนจ คอ [-1, ∞ )

ง. โดเมน คอ จานวนค และ เรนจ คอ [-1, 1]

17. ขอใดตอไปนมคาเทากบ 1

ก. 6

sin3

cos6

cos3

sin ππππ−

ข. 6

sin3

cos6

cos3

sin ππππ+

ค. 6

sin4

sin6

cos4

cos ππππ−

ง. 6

cos4

sin6

sin4

cos ππππ+

18.คาของ

6sin

3sin

2cos

3cos

2sin πππππ

+−

ตรงกบขอใด

ก. – 1 ข. 1

ค. 21

− ง. 21

19. ถา cos θ = -1 และ 04 <<− θπ

แลว θ คอจานวนในขอใด

ก. 2

5,2

ππ−− ข.

27,

23 ππ

−−

ค. ππ 3,−− ง. ππ 4,2 −−

20.ขอใดถกตอง

ก. θθ sin)sin( =− และ

θθ cos)cos( =− ข. θθ sin)sin( =− และ

θθ cos)cos( −=− ค. θθ sin)sin( −=− และ

θθ cos)cos( =− ง. θθ sin)sin( −=− และ

21. ขอใดถกตอง

ก. θθπ sin)sin( −=+ และ

θθπ cos)cos( =+ ข. θθπ sin)sin( =+ และ

θθπ cos)cos( =+ ค. θθπ sin)sin( −=+ และ

θθπ cos)cos( −=+ ง. θθπ sin)sin( =+ และ

θθπ cos)cos( −=+

22. sin ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

4π7 มคาเทาไร

ก. 2

2 ข.

2

3

ค. 22

− ง. 23

−

6

θ

419

23. ถา secθ = 5

13 เมอ π2θ2π3

<<

แลว sinθ มคาเทากบขอใด

ก. 135 ข.

1312

ค. 135

− ง. 1312

−

24. ถา cosθ = 65 เมอ π2θ

2π3

<<

แลว cosecθ มคาเทากบขอใด

ก. 56 ข.

11116

ค. 56

− ง. 11

116−

25. จากรป AB ยาวเทาไร

ก. 3 ข. 33

ค. 33 ง.

333

26. จากรป BC ยาวเทาไร

ก. 3 ข. 33

ค. 3

315 ง. 2

315

27. รปสามเหลยม ABC ถาม CBA

เปนมมฉาก AB ยาว 16 หนวย และ

ACB = °30 แลว BC ยาวเทาใด

ก. 216 หนวย ข. 316 หนวย

ค. 2

216 หนวย ง. 3

316 หนวย

28. กราฟของ y = sin 3x เมอ

320 π

≤≤ x หรอ π20 ≤≤ X คอขอใด

ก.

ข.

ค.

ง.

360

29. กราฟทกาหนดใหตรงกบในขอใด

ก. y = sin 2X ข. y = cos 2X

ค. y = 2 + sin X ง. y = 2 + cos

30. กราฟทกาหนดใหตรงกบในขอใด

ก. y = 4cos X ข. y = 4sin X

ค. y = - 4cosX ง. y = -4sin X

_______________________________________________________________________________ เฉลยแบบทดสอบแบบปรนย 30 ขอ

1. ค. 11. ก. 21. ค.

2. ก. 12. ข. 22. ค.

3. ข. 13. ข. 23. ข.

4. ค. 14. ก. 24. ง.

5. ง. 15. ง. 25. ก.

6. ข. 16. ก. 26. ง.

7. ข. 17. ข. 27. ข.

8. ข. 18. ข. 28. ก.

9. ค. 19. ค. 29. ค.

10. ก. 20. ค. 30. ง.

361

0018.0

ตอนท 2 จงแสดงวธทา 1. จงหาคาของ cos 18.9910 โดยแสดงวธทาอยางละเอยด วธทา เนองจาก 18.9910 = 3.1416(6) + 0.1414 จากตารางจะไดวา 0.1396 < 0.1414 < 0.1425 cos 0.1396 = 0.9903 มมเพมขน 0.0029 cos 0.1414 = ? -0.0004 คาฟงกชนลดลง cos 0.1425 = 0.9899

ดงนน 0029.00018.0 =

0.0004d

−

d = 0029.0

)0004.0(0018.0 −×

= -0.00025 เพราะฉะนน cos 0.1414 = 0.9903 – 0.00025 = 0.99005 ≈ 0.9901 หรอ cos 18.9910 ≈ 0.9901 2. ให οθ 900 ≤≤o จงหาคาของ θ เมอกาหนดให sinθ = 0.4862 (แสดงวธทาอยางละเอยด) วธทา เนองจาก 4874.04862.04848.0 << จากตารางจะไดวา sin 0029 ′o = 0.4848 มมเพมขน 01 ′ sinθ = 0.4862 0.0026 คาฟงกชนเพมขน sin 0129 ′o = 0.4874

ดงนน 10d =

60.0020014.0

d = 0026.0014.0 ≈ 5′

เพราะฉะนน sinθ = 0029 ′o + 5′ = 529 ′o

d 0.0014

d

362

3. ให ABC เปนรปสามเหลยม มม A มขนาด 50๐ มม B มขนาด 70๐ และ AC ยาว 10 เซนตเมตร จากจด C ลากเสนไปตงฉากกบ AB ทจด D จงหา CD, AD, BC และ BD วธทา จากรปสามเหลยมมมฉาก ACD จะไดวา

sin50๐ = ACCD

ดงนน CD = AC × sin50๐

= 10 × 0.7660 (เพราะวา sin50๐ = 0.7660) ≈ 7.66 เซนตเมตร

และ cos50๐ = ACAD

ดงนน AD = AC × cos50๐

= 10 × 0.6428 (เพราะวา cos50๐ = 0.6428) ≈ 6.43 เซนตเมตร จากรปสามเหลยมมมฉาก BCD จะไดวา

cosec70๐ = CDBC

ดงนน BC = CD × cosec70๐

≈ 7.66 × 1.064 (เพราะวา cosec70๐ = 1.064) ≈ 8.15 เซนตเมตร

และ cot70๐ = CDBD

ดงนน BD = CD × cot70๐

≈ 7.66 × 0.3640 (เพราะวา cot70๐ = 0.3640) ≈ 2.79 เซนตเมตร เพราะฉะนนความยาวดาน CD, AD, BC และ BD ยาวประมาณ 7.66, 6.43, 8.15 และ 2.79 ซม. ตามลาดบ

363

4. จงวาดกราฟของฟงกชนตอไปน พรอมทงหาโดเมน เรนจ คาบและแอมพลจดของฟงกชน y = sin x + 4 เมอ π2x0 ≤≤ (แสดงวธทา)

x 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

sin(x) 0 21

22

23 1

23

22

21 0

sin(x) + 4 4 29

228 +

238 + 5

238 +

228 +

29 4

x π 6

π7 4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

sin(x) 0 21

− 22

− 23

− -1 23

− 22

− 21

− 0

sin(x) + 4 4 27

228 −

238 − 3

238 −

228 −

27 4

ใหนกเรยนวาดกราฟทไดจากการสรางในแฟมคอมพวเตอร มจานวนจรงใดบางทหาคาไมได ไมม

คาสงสดของฟงกชน คอ 5 (M = Maximum) คาตาสดของฟงกชน คอ 3 (m = minimum) โดเมนของฟงกชน คอ R เรนจของฟงกชน คอ [3, 5]

คาบของฟงกชนเทากบ 2π

แอมพลจดของฟงกชน คอ 42

)3(5=

−−

364

5. จงพจารณาดวาขอความตอไปนถกหรอผด เพราะเหตใดจงอธบาย 5.1) ฟงกชน y = sin x เปนฟงกชนเพมบนชวง [0, π ] ตอบ ผด เพราะ ลกษณะของกราฟ sin x บนชวง [0, π ] มทงฟงกชนเพมและฟงกชนลด

5.2) ฟงกชน y = sin x เปนฟงกชนลดบนชวง [2π ,

23π ]

ตอบ ถก เพราะ ลกษณะของกราฟ sin x บนชวง [2π ,

23π ] มลกษณะลดลงจงเปนฟงกชนลด

5.3) ฟงกชน y = cos x เปนฟงกชนลดบนชวง [0, π ] ตอบ ถก เพราะ ลกษณะของกราฟ cos x บนชวง [0, π ] มลกษณะลดลงจงเปนฟงกชนลด

5.4) ฟงกชน y = cos x เปนฟงกชนหนงตอหนงบนชวง [2π ,

23π ]

ตอบ ผด เพราะ เมอแทนจานวน x เขาไป 2 คา คอ 4π3 และ

4π5 ผลลพธทง 2 มคาเทากน

5.5) ฟงกชน y = tan x เปนฟงกชนเพมบนชวง (2π

− ,2π )

ตอบ ถก เพราะ ลกษณะของกราฟ tan x บนชวง (2π

− ,2π ) มลกษณะเพมจงเปนฟงกชนเพม

______________________________________________________________________________ ไมมสงไหนจะหนกเกน ไมมคาวาทาไมได ขอใหโชคดนะครบ

365

ภาคผนวก ซ แบบวดความพงพอใจของนกเรยนตอการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมต

โดยใชโปรแกรม C.a.R. สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4

366

แบบวดความพงพอใจของนกเรยนตอการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชซอฟตแวร เรขาคณตแบบพลวต

คาชแจง 1. แบบวดความพงพอใจฉบบนเปนแบบวดความพงพอใจตอการเรยนเรองฟงกชน

ตรโกณมต โดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 มจานวน

20 ขอ แบงเปน 2 ตอน คอ

ตอนท 1 เปนแบบวดความพงพอใจตอการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใช

ซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต

ตอนท 2 เปนแบบวดความพงพอใจตอการรวมกจกรรมการเรยนการสอน

2. ใหนกเรยนทาเครองหมาย ✓ ลงในชองทางขวามอหลงขอความทตรงกบความรสกท

แทจรงของนกเรยนเพยงชองเดยว คาตอบทนกเรยนตอบนนไมมผลตอการใหคะแนน

3. ในแตละชองทแสดงความพงพอใจ มความหมายดงน

พงพอใจมากทสด หมายความวา นกเรยนเหนดวยกบขอความขอนนมากทสด

พงพอใจมาก หมายความวา นกเรยนเหนดวยกบขอความขอนนมาก

พงพอใจปานกลาง หมายความวา นกเรยนเหนดวยกบขอความขอนนปานกลาง

พงพอใจนอย หมายความวา นกเรยนเหนดวยกบขอความขอนนนอย

พงพอใจนอยทสด หมายความวา นกเรยนเหนดวยกบขอความขอนนนอยทสด

367

ตอนท 1 แบบวดความพงพอใจตอการเรยนดวยกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต

โดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต

ระดบความพงพอใจ

ขอท ขอความ มาก

ทสด

มาก ปาน

กลาง

นอย นอย

ทสด

1 ขาพเจารสกไมเครยด และไมหนกใจตอการเรยน

เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชซอฟตแวรเรขาคณต

แบบพลวต

2 การเรยนเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชซอฟตแวร

เรขาคณตแบบพลวต ทาใหขาพเจามความ

กระตอรอรนในการเรยนมากขน

3 เนอหาจากกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชน

ตรโกณมต โดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต

เหมาะกบระดบความสามารถของขาพเจา

4 จากการทาใบกจกรรมในแตละคาบ ทาใหขาพเจา

เขาใจเนอหาเรองฟงกชนตรโกณมตมากขน

5 ทาใหขาพเจามองเหนมโนภาพการเทากนไดดขน

6 การออกแบบจอภาพ และการใชภาพเคลอนไหวทาให

กจกรรมนาสนใจและมความสวยงาม

7 การมปฏสมพนธกบซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตทา

ใหขาพเจา เขาใจเนอหามากขน

8 การเรยนดวยซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตทาให

ขาพเจาสามารถตงขอความคาดการณได

9 การจดลาดบเนอหาในใบกจกรรม มความตอเนองและ

ชดเจน ทาใหขาพเจาเขาใจไดงาย

10 เครองมอในการสรางและสารวจกจกรรมการเรยนการ

สอนใชไดสะดวกตามความตองการของขาพเจา

368

ตอนท 2 แบบวดความพงพอใจตอการรวมกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมต

โดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต

ระดบความพงพอใจ

ขอท ขอความ มาก

ทสด

มาก ปาน

กลาง

นอย นอย

ทสด

11 ขาพเจาเขาใจคาถามในใบกจกรรมอยางชดเจน

12 จากการปฏบตกจกรรมเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใช

ซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตทาใหขาพเจามโอกาส

แลกเปลยนความคดเหนกบเพอนมากขน

13 จากการปฏบตกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชน

ตรโกณมต โดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตทา

ใหขาพเจามกาลงใจ อยากเรยนคณตศาสตรมากขน

14 กจกรรมการเรยนการสอนโดยใชซอฟตแวรเรขาคณต

แบบพลวตทาใหขาพเจาเกดการคนพบดวยตนเอง

15 จากการปฏบตกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชน

ตรโกณมต โดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต

ทาใหขาพเจามความเขาใจเนอหามากยงขน

16 แบบฝกหดทายกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชน

ตรโกณมต โดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต

ชวยฝกทกษะการคดคานวณของขาพเจา

17 กจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมต โดย

ใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต สงเสรมบรรยากาศ

ในการเรยนของขาพเจามากขน

18 กจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมต โดย

ใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต กระตนใหขาพเจา

เกดการแสวงหาความรดวยตนเอง

19 กจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมต โดย

ใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต ทาใหขาพเจาม

ความมนใจในตวเองเกยวกบการเรยนมากขน

20 ทาใหขาพเจามเจตคตทดตอการเรยนคณตศาสตร

369

ภาคผนวก ฉ แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4

370

แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4

คาชแจง

1. แบบทดสอบฉบบนสรางขนเพอวดผลสมฤทธทางการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต ของ

นกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ทเรยนดวยกจกรรมการเรยนการสอนเรอง ฟงกชนตรโกณมต โดยใช

ซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต

2. แบบทดสอบฉบบนเปนแบบทดสอบแบบปรนย 4 ตวเลอก จานวน 30 ขอ และ

แบบทดสอบแบบอตนยแสดงวธทา จานวน 5 ขอ

3. ใหนกเรยนทาเครองหมาย × ลงในกระดาษคาตอบในแตละขอ โดยเลอกคาตอบท

ถกตองเพยงคาตอบเดยวและแสดงวธทาลงในแบบทดสอบฉบบนใหถกตองครบถวน

4. ในแตละขอคาถามจะมคาตอบทถกตองเพยง 1 คาตอบเทานน

5. เวลาทใชในการทาแบบทดสอบ 100 นาท

ชอ.......................................................................... ชน .................... เลขท ...............

371

แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4

ตอนท 1 จงเลอกคาตอบทถกตองทสดเพยงคาตอบเดยว 1. ขอใดตอไปนไมถกตอง ก.

ข.

ค.

ง.

2.

จากรป sin A มคาตรงกบขอใด

ก. 5

1 ข. 5

2

ค. 21 ง. 5

3. จากรป sin B มคาตรงกบขอใด

ก. ca ข.

cb

ค. ba ง.

ac

4.กาหนดให cot A = 34 คาของ

tan A มคาตรงกบขอใด

ก. 3 ข. 4

ค. 43 ง.

34

5.กาหนดให tan A = 3 คาของ

cot A มคาตรงกบขอใด

ก. 3 ข. 3

ค. 31 ง.

31

6. จากรป sin °60 มคาตรงกบขอใด

ก. 21 ข. 2

ค. 23 ง.

32

7. ขอใดตอไปนผด

ก. 061 ′=° ข. 061 ′′=°

ค. π2360 =° เรเดยน ง. π180 =° เรเดยน

372

8. 2π3 เรเดยน เทากบกองศา

ก. 135๐ ข. 270๐

ค. 405๐ ง. 540๐

9. 2 เรเดยน เทากบกองศา

ก. 6157 ′° ข. 7257 ′°

ค. 63114 ′° ง. 55114 ′°

10. 210 ๐ เทากบกเรเดยน

ก. 6π7 ข.

3π7

ค. 7π6 ง.

12π7

11. °75 เทากบกเรเดยน

ก. 125π ข.

65π

ค. 12π ง.

63

12. สาหรบวงกลมหนงหนวยขอใด

ตอไปน ถกตอง

ก. แบงความยาวสวนโคงเปน 4 สวนเทาๆ กน

จะไดความยาวสวนโคงสวนละ 4π

ข. แบงความยาวสวนโคงเปน 8 สวนเทาๆ

กน จะไดความยาวสวนโคงสวนละ 4π

ค. แบงความยาวสวนโคงเปน 12 สวนเทาๆ

กน จะไดความยาวสวนโคงสวนละ 8π

ง. แบงความยาวสวนโคงเปน 6 สวนเทาๆ กน

จะไดความยาวสวนโคงสวนละ 6π

13. จากรปคาของ θ ตรงกบขอใด

ก. 2π ข.

23π

ค. 2π

− ง. 2

3π−

14. จากรปคาของ θ ตรงกบขอใด เมอ

กาหนดให 0 � θ � 2π

ก. 4

7π ข. 6

5π

ค. 3

11π ง. 4

3π

373

15. กาหนดให p(θ ) = (54,

53 ) ดงรป

พกดของจด p( π3θ+− ) ตรงกบขอใด

ก. (54,

53 ) ข. (

54,

53−− )

ค. (54,

53− ) ง. (

54,

53

− )

16. โดเมนและเรนจของฟงกชนไซนตรงกบขอ

ใด

ก. โดเมน คอ R และ เรนจ คอ [-1, 1]

ข. โดเมน คอ I+ และ เรนจ คอ [0, 1]

ค. โดเมน คอ I- และ เรนจ คอ [-1, ∞ )

ง. โดเมน คอ จานวนค และ เรนจ คอ [-1, 1]

17. ขอใดตอไปนมคาเทากบ 1

ก. 6

sin3

cos6

cos3

sin ππππ−

ข. 6

sin3

cos6

cos3

sin ππππ+

ค. 6

sin4

sin6

cos4

cos ππππ−

ง. 6

cos4

sin6

sin4

cos ππππ+

18.คาของ

6sin

3sin

2cos

3cos

2sin πππππ

+−

ตรงกบขอใด

ก. – 1 ข. 1

ค. 21

− ง. 21

19. ถา cos θ = -1 และ 04 <<− θπ

แลว θ คอจานวนในขอใด

ก. 2

5,2

ππ−− ข.

27,

23 ππ

−−

ค. ππ 3,−− ง. ππ 4,2 −−

20.ขอใดถกตอง

ก. θθ sin)sin( =− และ

θθ cos)cos( =− ข. θθ sin)sin( =− และ

θθ cos)cos( −=− ค. θθ sin)sin( −=− และ

θθ cos)cos( =− ง. θθ sin)sin( −=− และ

21. ขอใดถกตอง

ก. θθπ sin)sin( −=+ และ

θθπ cos)cos( =+ ข. θθπ sin)sin( =+ และ

θθπ cos)cos( =+ ค. θθπ sin)sin( −=+ และ

θθπ cos)cos( −=+ ง. θθπ sin)sin( =+ และ

θθπ cos)cos( −=+

22. sin ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

4π7 มคาเทาไร

ก. 2

2 ข.

2

3

ค. 22

− ง. 23

−

374

23. ถา secθ = 5

13 เมอ π2θ2π3

<<

แลว sinθ มคาเทากบขอใด

ก. 135 ข.

1312

ค. 135

− ง. 1312

−

24. ถา cosθ = 65 เมอ π2θ

2π3

<<

แลว cosecθ มคาเทากบขอใด

ก. 56 ข.

11116

ค. 56

− ง. 11

116−

25. จากรป AB ยาวเทาไร

ก. 3 ข. 33

ค. 33 ง.

333

26. จากรป BC ยาวเทาไร

ก. 3 ข. 33

ค. 3

315 ง. 2

315

27. รปสามเหลยม ABC ถาม CBA

เปนมมฉาก AB ยาว 16 หนวย และ

ACB = °30 แลว BC ยาวเทาใด

ก. 216 หนวย ข. 316 หนวย

ค. 2

216 หนวย ง. 3

316 หนวย

28. กราฟของ y = sin 3x เมอ

320 π

≤≤ x หรอ π20 ≤≤ X คอขอใด

ก.

ข.

ค.

ง.

375

29. กราฟทกาหนดใหตรงกบในขอใด

ก. y = sin 2X ข. y = cos 2X

ค. y = 2 + sin X ง. y = 2 + cos

30. กราฟทกาหนดใหตรงกบในขอใด

ก. y = 4cos X ข. y = 4sin X

ค. y = - 4cosX ง. y = -4sin X

_______________________________________________________________________________

สาหรบทด

376

ตอนท 2 จงแสดงวธทา 1. จงหาคาของ cos 18.9910 โดยแสดงวธทาอยางละเอยด

วธทา ................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

2. ให οθ 900 ≤≤o จงหาคาของ θ เมอกาหนดให sinθ = 0.4862 (แสดงวธทาอยางละเอยด)

วธทา ................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

377

3. ให ABC เปนรปสามเหลยม มม A มขนาด 50๐ มม B มขนาด 70๐ และ AC ยาว 10 เซนตเมตร จาก

จด C ลากเสนไปตงฉากกบ AB ทจด D จงหา CD, AD, BC และ BD

วธทา ................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

378

4. จงวาดกราฟของฟงกชนตอไปน พรอมทงหาโดเมน เรนจ คาบและแอมพลจดของฟงกชน

y = sin x + 4 เมอ π2xπ2 ≤≤−

x 0

6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

sin(x) sin(x) + 4

x π 6

π7 4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

sin(x)

sin(x) + 4

ใหนกเรยนวาดกราฟทไดจากการสรางในแฟมคอมพวเตอร

คาสงสดของฟงกชน คอ ................................ (M = Maximum)

คาตาสดของฟงกชน คอ ................................ (m = minimum) โดเมนของฟงกชน คอ ................................ เรนจของฟงกชน คอ ................................ คาบของฟงกชนเทากบ ................................ แอมพลจดของฟงกชน คอ ................................

379

5. จงพจารณาดวาขอความตอไปนถกหรอผด เพราะเหตใดจงอธบาย

5.1) ฟงกชน y = sin x เปนฟงกชนเพมบนชวง [0, π ]

ตอบ ..................... เพราะ......................................................................................................

.............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

5.2) ฟงกชน y = sin x เปนฟงกชนลดบนชวง [2π ,

23π ]

ตอบ ..................... เพราะ......................................................................................................

.............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

5.3) ฟงกชน y = cos x เปนฟงกชนลดบนชวง [0, π ]

ตอบ ..................... เพราะ......................................................................................................

.............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

5.4) ฟงกชน y = cos x เปนฟงกชนหนงตอหนงบนชวง [2π ,

23π ]

ตอบ ..................... เพราะ......................................................................................................

.............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

5.5) ฟงกชน y = tan x เปนฟงกชนเพมบนชวง (2π

− ,2π )

ตอบ ..................... เพราะ......................................................................................................

.............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

______________________________________________________________________________

ไมมสงไหนจะหนกเกน ไมมคาวาทาไมได

ขอใหโชคดนะครบ

380

ภาคผนวก ช เฉลยบางสวนของชดกจกรรมการเรยนการสอนและแบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน

เรองฟงกชนตรโกณมตโดยใชโปรแกรม C.a.R.

381

เฉลยใบกจกรรมท 1.1 ทบทวนความรเดมเกยวกบอตราสวนตรโกณมต

คาชแจง ใหนกเรยนปฏบตตามกจกรรมตอไปน และเตมคาตอบลงในชองวาง ตอนท 1 ทบทวนสวนประกอบของสามเหลยมมมฉาก ใหนกเรยนปฏบตดงน 1. ใหนกเรยนสรางรปสามเหลยมมมฉากจากเสนตรงทกาหนดให โดยใชคาสงตอไปน

1.1 คาสง ใชในการสรางจดบนเสนตรง 1.2 คาสง ใชในการสรางเสนตรงผานจดสองจด 1.3 คาสง ใชในการสรางสวนของเสนตรง 1.4 คาสง ใชในการสรางรปวงกลม 1.5 คาสง ใชในการกาหนดลกษณะของเสน (เสนบาง, เสนหนา, เสนประ) 1.6 คาสง ใชในการกาหนดลกษณะของจด 1.7 คาสง ใชในการกาหนดสของเสน จด เปนตน 1.8 คาสง ใชในการวดมมระหวางจด 3 จด 1.9 คาสง ใชเปนลกศรในการควบคมจด 1.10 คาสง ใชในการลบสงทเราไมตองการ

2. จากการสรางใหนกเรยนบอกนยามของรปสามเหลยมมมฉาก รปสามเหลยมมมฉาก คอ สามเหลยมทมมมหนงมมเทากบ 90 องศา

382

3. กาหนดให มม A เปนมมหลก 3.1 สวนของเสนตรง AB เรยกวา ดานประชดของมม A 3.2 สวนของเสนตรง BC เรยกวา ดานตรงขามมม A 3.3 สวนของเสนตรง CA เรยกวา ดานตรงขามมมฉาก 4. กาหนดใหมม C เปนมมหลก 5.1 สวนของเสนตรง AB เรยกวา ดานตรงขามมม C 5.2 สวนของเสนตรง BC เรยกวา ดานประชดของมม C 5.3 สวนของเสนตรง CA เรยกวา ดานตรงขามมมฉาก 5. จากรปขางบนนอกจากสามเหลยมมมฉากแลว สวนประกอบในขอ 3-5 สามารถใชกบสามเหลยม อนๆ (ได/ไมได) ไมได เพราะ ไมสามารถนาไปเขยนใหอยในรปอตราสวนตรโกณมตได ตอนท 2 ทบทวนอตราสวนของรปสามเหลยมมมฉาก ใหนกเรยนปฏบตดงน 1. ใหนกเรยนใชคาสง ในการทาการศกษา 2. ใหนกเรยนใชปม a และ b ในการเปลยนแปลงความยาวของเสนตรง เพอทาการศกษากจกรรม

383

3. จากชดกจกรรมขางบนและจากความรเดมของนกเรยน จะไดวา (วดจากมม A เปนหลกกอน)

3.1 อตราสวนไซน A (sin A) = cb

3.2 อตราสวนโคไซน A (cos A) = ca

3.3 อตราสวนแทนเจนต A (tan A) = ab

4. ใหนกเรยนเขยนอตราสวนของไซน ,โคไซน และแทนเจนต โดยกาหนดใหความเปน a , b, c ตามลาดบ โดยยดมม A และ C ตามลาดบ จากการสารวจจะไดวา

4.1 sin A = cb 4.4 sin C =

ca

4.2 cos A = ca 4.5 cos C =

cb

4.3 tan A = ab 4.6 tan C =

ba

5. ใหนกเรยนวดความยาวของดานทงสามของรปสามเหลยมมมฉาก (ตามทนกเรยนตองการ) แลว หาอตราสวนของ ไซน ,โคไซน และแทนเจนต ตามลาดบ โดยยดมม A และ B ตามลาดบ จากการสารวจจะไดวา (ในทน a = 3, b = 4, c = 5)

5.1 sin A = 54 5.4 sin C =

53

5.2 cos A = 53 4.5 cos C =

54

5.3 tan A = 34 5.6 tan C =

43

6. จากการสารวจในขอท 4-6 นกเรยนสามารถตงขอคาดการณไดวา ........................................ sin A = cos C ............................................ ........................................ cos A = sin C ............................................

384

3

6

5

7. กาหนด ΔABC เปนรปสามเหลยมมมฉากท B มขนาดตามทกาหนดใหในตารางตอไปน ใหนก เรยนหาความยาวของดานทเหลอของรปสามเหลยมแตละรปทกาหนดใหแลวเขยนคาของ อตราสวนเตมในตาราง

คาของอตราสวน Δ ABC ขนาดของ A

sin A cos A tan A

°30 65

6x

x5

°45 x3

x3

33

°60 6x

65

5x

8. จากการสารวจในขอ 7 นกเรยนสรปไดวา

ขนาดของมม ฟงกชนตรโกณมต

°30 °45 °60 sin

21

22

23

cos 23

22 2

1

tan 33 1 3

385

เฉลยใบกจกรรมท 2.1 วงกลมหนงหนวย

คาชแจง ใหนกเรยนปฏบตตามกจกรรมตอไปน และเตมคาตอบลงในชองวาง ตอนท 1 วงกลมหนงหนวย ใหนกเรยนปฏบตดงน 1. ใหนกเรยนเขากจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยเขาไปทหนวยการเรยนร ท 2 แลวคลกเลอกกจกรรมท 2.1 2. ใหนกเรยนสรางรปวงกลมจากจดทกาหนดใหโดยมรศมเทาใดกไดจานวน 3 รป โดยใชคาสงตอไปน

2.1 คาสง ใชในการกาหนดลกษณะของเสน (เสนบาง, เสนหนา, เสนประ) 2.2 คาสง ใชในการกาหนดลกษณะของจด 2.3 คาสง ใชในการกาหนดสของเสน จด เปนตน 2.4 คาสง ใชในการลบสงทเราไมตองการ 2.5 คาสง ใชเปนลกศรในการควบคมจด 2.6 คาสง ใชในการสรางรปวงกลม 2.7 คาสง ใชในการแสดงชอของวตถ 2.8 คาสง ใชในการสรางจดตด

386

3. ใหนกเรยนวาดรปวงกลมทนกเรยนสรางลงในชองวางพรอมทงเขยนสมการวงกลม ดวย 3.1 3.2 รศมยาว 2 หนวย รศมยาว 1.5 หนวย สมการ 4)74.0()75.0( 22 =−+− yx สมการ 25.2)0()2( 22 =−+− yx 3.2 รศมยาว 2.5 หนวย สมการ 25.6)5.1()5.1( 22 =−++ yx 4. จากการสรางรปวงกลมในขอ 3 นกเรยนลองตงขอคาดการณซวานยามของวงกลมหนงหนวยคอ อะไร มสมการเปนอยางไร และสรางรปวงกลมหนงหนวยพรอมทงบอกตาแหนงของจดตด วงกลมหนงหนวย (The unit circle) หมายถง วงกลมท มจดศนยกลางทจดกาเนด และมรศมยาว 1 หนวย ซง วงกลมนเปนกราฟของความสมพนธ .

{(x,y) ∈ R x R | x2 + y2 = 1} และมความยาวสวนโคง วงกลมเทากบ π2 r มจดตดบนแกน X และแกน Y ทงหมด 4 จด คอ (1, 0), (0, 1), (-1, 0) และ (0, -1)

387

ตอนท 2 เมอนกเรยนตอบคาถามในขอท 4 เสรจแลวใหนกเรยนทากจกรรมวงกลมหนงหนวย โดยเลอกท หนาถดไปของกจกรรม โดยใชคาสง ในการทาการสารวจกจกรรม 5.1 จากการศกษากจกรรมดงภาพขางลางน ใหนกเรยนตอบคาถามตอไปน เราเรยก θ วา ความยาวสวนโคงของวงกลม วดในทศทางทวนเขมนาฬกา 0θ > เราเรยกพกดจด (x, y) วา จดปลายสวนโคงหรอจดสนสด ความยาวรอบรปวงกลมเทากบ π2 r

5.1.1 ถาตาแหนงจดปลายสวนโคงอยทพกดจด (0, 1) คดเปน 41 สวนของวงกลม

จะไดความยาวของสวนโคง θ เทากบ 41 x π2 =

2π

5.1.2 ถาตาแหนงจดปลายสวนโคงอยทพกดจด (-1, 0) คดเปน 42 สวนของวงกลม

จะไดความยาวของสวนโคง θ เทากบ 42 x π2 = π

5.1.3 ถาตาแหนงจดปลายสวนโคงอยทพกดจด (0, -1) คดเปน 43 สวนของวงกลม

จะไดความยาวของสวนโคง θ เทากบ 43 x π2 =

23π

5.1.4 ถาตาแหนงจดปลายสวนโคงอยทพกดจด (1, 0) คดเปน 44 สวนของวงกลม

จะไดความยาวของสวนโคง θ เทากบ 44 x π2 = π2

5.1.5 จากการทากจกรรมนกเรยนจะเหนวาตาแหนงของจดปลายสวนโคงม 4 จด

388

5.2 จากการศกษากจกรรมดงภาพขางลางน ใหนกเรยนตอบคาถามตอไปน เราเรยก θ วา ความยาวสวนโคงวงกลม วดในทศทางตามเขมนาฬกา 0θ < เราเรยกพกดจด (x, y) วา จดปลายสวนโคงหรอจดสนสด ความยาวรอบรปวงกลมเทากบ π2− r

5.2.1 ถาตาแหนงจดปลายสวนโคงอยทพกดจด (0, 1) คดเปน 41 สวนของวงกลม

จะไดความยาวของสวนโคง θ เทากบ 41 x π)2(− =

2π

−

5.2.2 ถาตาแหนงจดปลายสวนโคงอยทพกดจด (-1, 0) คดเปน 42 สวนของวงกลม

จะไดความยาวของสวนโคง θ เทากบ 42 x π)2(− = π−

5.2.3 ถาตาแหนงจดปลายสวนโคงอยทพกดจด (0, -1) คดเปน 43 สวนของวงกลม

จะไดความยาวของสวนโคง θ เทากบ 43 x π)2(− =

23π

−

5.2.4 ถาตาแหนงจดปลายสวนโคงอยทพกดจด (1, 0) คดเปน 44 สวนของวงกลม

จะไดความยาวของสวนโคง θ เทากบ 44 x π)2(− = π2−

5.2.5 จากการทากจกรรมนกเรยนจะเหนวาตาแหนงของจดปลายสวนโคงม 4 จด

389

6. จากการทากจกรรมในขอท 5 นกเรยนสรปอะไรไดบาง (ตอบเปนขอๆ ) 1. วงกลมหนงหนวย (The unit circle) หมายถง วงกลมทมจดศนยกลางทจดกาเนด และมรศมยาว 1 หนวย มสมการคอ x2 + y2 = 1

2. ถา θ > 0 จะวดสวนโคงจากจด (1, 0) ไปในทศทางทวนเขมนาฬกา

ถา θ < 0 จะวดสวนโคงจากจด (1, 0) ไปในทศทางตามเขมนาฬกา

ถา θ = 0 จดปลายสวนโคงคอจด (1, 0)

3. หาจด (x, y) ซงเปนจดปลายสวนโคงทยาว | θ | หนวยไดเสมอ ไมวา θ จะเปนจานวน เทาใดไดเพยงจดเดยวเทานน

390

เฉลยใบกจกรรมท 3 ฟงกชนโคไซนและฟงกชนไซน

คาสง ใหนกเรยนเปดชดกจกรรมแลวเลอกทากจกรรมในหนวยท 3 เรองฟงกชนโคไซนและฟงกชนไซน คาชแจง ใหนกเรยนปฏบตตามกจกรรมตอไปน และเตมคาตอบลงในชองวาง

1. ใหนกเรยนทาการศกษาการนยามฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนโดยใชวงกลมหนงหนวย 2. จากขอ 1 ใหนกเรยนสารวจกจกรรมแลวเตมคาตอบลงในตารางตอไปน

หนวยการวดมม พกดจด

เรเดยน องศา x y 0 0๐ 1 0

6π 30๐

23

21

4π 45๐

22

22

3π 60๐ 2

1 23

2π 90๐ 0 1

32π 120๐ 2

1−

23

43π 135๐

22

− 22

65π 150๐

23

− 21

π 180๐ -1 0

34π 210๐ 2

1−

23

−

45π 225๐

22

− 22

−

67π 240๐

23

− 21

−

23π 270๐ 0 -1

35π 300๐ 2

1 23

−

47π 315๐

22

22

−

611 π 330๐

23

21

−

π2 360๐ 1 0

หมายเหต : คาของ 23 = 0.866 ,

22 = 0.7071

391

3. จากความรเดมในหนวยท 2 จะเหนวาคาของความยาวสวนโคง θ เมอθ เปนจานวนจรงใดๆ จะสามารถกาหนดจดปลายของสวนโคงไดเพยง 1 จด เทานน นกเรยนคดวาเปนฟงกชนหรอไมเพราะเหตใด จากการทากจกรรมในขอ 2 คดวาเปนฟงกชน เพราะเมอกาหนด θ เปนความยาวสวนโคงของ

จานวนจรงใดๆ จะมพกดของจด x และ y เพยงคาเดยวเสมอ 4. จากขอมลในขอ 1- 3 ทนกเรยนไดตอบใหนกเรยนเขยนนยามของฟงกชนไซนและฟงกชน

โคไซน ตามความเขาใจของนกเรยน บทนยาม ฟงกชนไซน หมายถง ฟงกชน sine : R → R ซงนยามวา sine = {(θ , y) ∈R × R | g(θ ) = (x, y)} บทนยาม ฟงกชนโคไซน หมายถง ฟงกชน cosine : R → R ซงนยามวา cosine = {(θ , x) ∈R × R | f(θ ) = (x, y)}

5. เมอนกเรยนไดบทนยามในขอท 4 แลว ใหนกเรยนตอบคาถามตอไปน 5.1 โดเมนของฟงกชนโคไซน คอ R เรนจของฟงกชนโคไซน คอ [-1, 1] 5.2 โดเมนของฟงกชนไซน คอ R เรนจของฟงกชนไซน คอ [-1, 1]

6. ใหนกเรยนตอบคาถามลงในวงกลมหนงหนวยตอไปน

เนองจากสมการของวงกลมหนงหนวย คอ 1yx 22 =+ และจากรปขางบนจะเหนวา y = sin(θ ) , x = cos(θ ) ดงนนสงผลให 1θsinθcos 22 =+

cos

sin

π π 0 0

2

π

2

π

2

π3

2

π3

392

7. ใหนกเรยนเตมคาตอบลงในตารางขางลางน

มม θ ฟงกชน

0 6π

4π

3π

2π

π 23π

sin θ 0 21

22

23 1 0 -1

cos θ 1 23

22

21 0 -1 0

tan θ =cosθsinθ 0 3

1 1 3 ไมนยาม 0 ไมนยาม

cosec θ = sinθ

1 ไมนยาม 2 22

32 1 ไมนยาม -1

sec θ = cosθ

1 1 32

22 2 ไมนยาม -1 ไมนยาม

cot θ = sinθcosθ ไมนยาม 3 1 3

1 0 ไมนยาม 0

393

เฉลยใบกจกรรมท 4.1 คาของฟงกชนโคไซนและฟงกชนไซน

คาสง ใหนกเรยนเปดชดกจกรรมแลวเลอกทากจกรรมในหนวยท 4 เรองคาของฟงกชนโคไซน และฟงกชนไซน ในกจกรรมนจะแบงออกเปน 2 สวน กรณท 1 คาของฟงกชนไซนและโคไซนของจานวนจรงบางจานวน 1. ใหนกเรยนทากจกรรม 4.1 ในหนวยท 4 แลวตอบคาถามลงในใบงาน 2. ใหนกเรยนหาความยาวสวนโคงของจดปลายสวนโคงตอไปน (ภายใน 1 รอบ ทศทางทวนเขมนาฬกา) 2.1 พกดจดปลาย p(1, 0) 2.2 พกดจดปลาย p(0, 1) θ = 0 θ =

2π

sin (0) = 0 sin (2π ) = 1

cos (0) = 1 cos (2π ) = 0

2.3 พกดจดปลาย p(-1, 0) 2.4 พกดจดปลาย (0, -1) θ = π θ =

2π3

sin (0) = 0 sin (2π ) = -1

cos (0) = -1 cos (2π ) = 0

2.5 ให θ = 2π

− 2.6 ให θ = π−

พกดของจดปลายสวนโคง (0, -1) พกดของจดปลายสวนโคง (-1, 0) sin (

2π

− ) = -1 sin ( π− ) = 0

cos (2π

− ) = 0 cos ( π− ) = -1

2.7 ให θ =2

3π− 2.8 ให θ = π2−

พกดของจดปลายสวนโคง (0, 1) พกดของจดปลายสวนโคง (1, 0) sin (

2π3

− ) = 1 sin ( π2− ) = 0

cos (2π3

− ) = 0 cos ( π2− ) = 1

394

3. ใหนกเรยนใชความรเดมในหนวยท 2 แบงวงกลมออกเปน 8 สวน จะไดดงรป เมอนกเรยนสรางรปเสรจแลวใหกาหนดจด P(x, y) เปนจดตดทอยบนวงกลม และใหนกเรยนปฏบตดงน 3.1 ใหนกเรยนสรางรป Δ มมฉาก PAO โดยม A เปนมมฉาก จะไดวา m( POA ) =

4π เรเดยน หรอ o45 องศา

จะเหนวา Δ PAO เปนรปสามเหลยมหนาจว ดงนน OA = PA นนคอ x = y 3.2 ใหนกเรยนหาจดปลายสวนโคง

จาก 222 OPPAOA =+

222 1yx =+

1xx 22 =+ 1x2 2 =

21x2 =

2

1x ±=

แต (x, y) เปนจดในจตภาคท 1 ดงนน x = 2

1

ดงนน x = y = 2

1 = 22

นอกจากคาของ 4π แลว เรายงสามารถหาคาของฟงกชนไซนและโคไซนของจานวนจรง

,4π3

4π5 ,

4π7 , …, ( )

4π1n2 + เมอ n คอ จานวนเตมบวก

395

4. ใหนกเรยนใชความรเดมในชน ม. 1 สรางมม 60 องศา โดยทให Oกางเทากบ o60

เมอนกเรยนสรางรปเสรจแลวใหกาหนดจด P(x, y) เปนจดตดทเกดจากการสรางมม o60 เปนจดตดทอยบนวงกลม และใหนกเรยนปฏบตดงน 4.1 ใหนกเรยนหาจดปลายสวนโคง (ใชแนวคดเดยวกนกบในหนวยท 2) จะไดวา ระยะทางระหวางจด PM ยาวเทากบระยะทางระหวางจด PA นนคอ PM = PA 22 y)(yx))((x −+−− = 22 )0(y)1(x −+−

2x))((x −− = 22 y)1(x +− 2x4 = 22 y1x2x ++− 2x2x4 2 −+ = 0 (เนองจาก 1yx 22 =+ ) 1)1)(xx2(2 +− = 0 เนองจาก P(x, y) เปนจดอยในจตภาคท 1 ดงนน x และ y จงเปนจานวนบวก

จะได x = 21 และ y =

23

ดงนน จดปลายสวนโคงทยาว 3π หนวย คอ จด (

21 ,

23 )

นนคอ sin 3π =

23 8660.0≈

cos 3π =

21 = 0.5

นอกจากคาของ 3π แลว เรายงสามารถหาคาของฟงกชนไซนและโคไซนของจานวนจรง

ในรป 3πnπ2 ± ,

3π2nπ2 ± ,

3π4nπ2 ± และ

3π5nπ2 ± เมอ n เปนจานวนเตม

396

5. จากขอ 4 จะไดวาจากการหา sin 3π และ cos

3π ในกรณท 2 เราสามารถนามาสการหาคา sin

6π และ

cos6π ไดโดยใชความรเรองอตราสวนตรโกณมต

ขอใหนกเรยนสงเกต รป Δ PAO ในขอ 4 จะพบวามมแตละมมเทากบ 60๐, 30๐ และ 90๐

มความยาวสวนโคง 3π ,

6π และ

2π เรเดยน ตามลาดบ และมม OPA เปนสวนหนงของรปสามเหลยม

มมฉากเดยวกน ดงรป

จากขอ 4 จะไดวา sin 3π =

23 และ cos

3π =

21

ดงนน อตราสวนดงกลาวจะทาใหเกดรปสามเหลยมมมฉากไดแบบหนง ดงน จากรปสามเหลยมมมฉาก ดงกลาวใชความรเกยวกบอตราสวนตรโกณมต จะได

sin 6π =

21

cos 6π =

23

3

π

6π

3

π

6π

3 2

1

397

แบบฝกหดเสรม 1. จงหาคาของ sinθ และ cosθ เมอ θ เปนจานวนจรงตอไปน 1) π3 2) π8 p( π3 ) = (-1, 0) p( π8 ) = (1, 0) sin( π3 ) = 0 sin( π8 ) = 0 cos( π3 ) = -1 cos( π8 ) = 1 3) π5− 4) π2− p( π5− ) = (-1, 0) p( π2− ) = (1, 0) sin( π5− ) = 0 sin( π2− ) = 0 cos( π5− ) = -1 cos( π2− ) = 1

5) 2π

− 6) 2π3

−

p(2π

− ) = (0, -1) p(2π3

− ) = (0, 1)

sin(2π

− ) = -1 sin(2π3

− ) = 1

cos(2π

− ) = 0 cos(2π3

− ) = 0

7) 2π7 8)

2π7

−

p(2π7 ) = (0, -1) p(

2π7

− ) = (0, 1)

sin(2π7 ) = -1 sin(

2π7

− ) = 1

cos(2π7 ) = 0 cos(

2π7

− ) = 0

9) 2π9 10)

2π9

−

p(2π9 ) = (0, 1) p(

2π9

− ) = (0, -1)

sin(2π9 ) = 1 sin(

2π9

− ) = -1

cos(2π9 ) = 0 cos(

2π9

− ) = 0

398

11) π57 12) π57− p( π57 ) = (-1, 0) p( π57− ) = (-1, 0) sin( π57 ) = 0 sin( π57− ) = 0 cos( π57 ) = -1 cos( π57− ) = -1 13) π35 14) π35− p( π35 ) = (-1, 0) p( π35− ) = (-1, 0) sin( π35 ) = 0 sin( π35− ) = 0 cos( π35 ) = -1 cos( π35− ) = -1

15) 2π27 16)

2π27

−

p(2π27 ) = (0, -1) p(

2π27

− ) = (0, 1)

sin(2π27 ) = -1 sin(

2π27

− ) = 1

cos(2π27 ) = 0 cos(

2π27

− ) = 0

2. จากรปวงกลมหนงหนวยใหนกเรยนบอกตาแหนงจดปลายสวนโคงทยาว 4π ,

3π ,

6π ลงไปในรป

และบอกคาของฟงกชนไซนและโคไซน พรอมทงหาคาของฟงกชนไซนและโคไซนของจานวนจรง

ตอไปน 3π2 ,

4π3 ,

6π5 ,

6π7 ,

4π5 ,

3π4 ,

3π5 ,

4π7 และ

6π11

399

3. จงหาผลลพธตอไปน

1) sin3π cos

4π + tan

4π sec

6π 2) 3

6πtan2

6πcos

34

4πcosec

21

3πsin

31 222 +−−

วธทา จาก sin3π =

23 , cos

4π =

22 วธทา จาก

6πtan2 =

2

31⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ,

3πsin2 =

2

23⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

tan4π = 1 และ sec

6π =

32

4πcosec2 =

2

22⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ และ

6πcos2 =

2

23⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

นนคอ sin3π cos

4π + tan

4π sec

6π นนคอ 3

6πtan2

6πcos

34

4πcosec

21

3πsin

31 222 +−−

= 23 .

22 + 1.

32 = 3.(

31 ) − (

31 ).(

43 ) − (

21 ).2 + (

34 ).

43

= 46 +

332 = 1 –

41 – 1 + 1

= 43

3) sin2π3 secπ + sec 2

6π

4cot

6sin ππ

− 4) ooooo 60cos2360cos60sec45cot720sin −+

วธทา จาก sin2π3 = -1 , secπ = 1 วธทา sin720๐ = 0 , cot45๐ = 1, sec60๐ = 2

sec 2

6π =

2

32⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ , sin

6π =

21 และ cot

4π = 1 cos360๐ = 1 และ cos60๐ =

21

นนคอ sin2π3 secπ + sec 2

6π

4cot

6sin ππ

− นนคอ ooooo 60cos2360cos60sec45cot720sin −+

= (-1).(1) + 34 - (

21 )(1) = (0).(1) + (2)(1) – 2.(

21 )

= -1 + 65 = 0 + 2 - 1

= 61

− = 1

5) sin3π +2 sin

2π 6) sin

3π cos

2π

วธทา จาก sin3π =

23 และ sin

2π = 1 วธทา จาก sin

3π =

23 และ cos

2π = 0

นนคอ sin3π +2 sin

2π นนคอ sin

3π . cos

2π

= 23 + 2.(1) =

23 .0

= 2

34 + = 0

400

7) 3πtan

2π3cos

2π3sin

6πcos

6πsin ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + 8) oooooo 60cot60sec45cot60cosec30tan90sin −−

วธทา จาก sin6π =

21 , cos

6π =

23 วธทา sin90๐ = 1, tan30๐ =

31 , cosec60๐ =

32

sin 12

3−=

π , cos 02

3=

π และ tan 33=

π cot45๐ = 1, sec60๐ = 2 และ cot60๐ = 3

1

นนคอ3πtan

2π3cos

2π3sin

6πcos

6πsin ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + นนคอ oooooo 60cot60sec45cot60cosec30tan90sin −−

= (21 +

23 ).(-1 – 0). 3 = (1)(

31 ) – (

32 )(1) – (2)(

31 )

= (2

31+ ).(-1). 3 = 3

1 – 3

2 – 3

2

= 2

33 −− = 3

3−

9) ooooo 45cot60cos60sec30cos60tan − 10) 3

cot43

3sin

3cos

4cot 222 ππππ

−−+

วธทา tan60๐ = 3 , cos30๐ =23 , cos60๐ =

21 วธทา จาก cot2

4π = 1, cos

3π =

21 , sin2

3π = 2)

23(

sec60๐ = 2 และ cot45๐ = 1 และ cot2

3π = 3

นนคอ ooooo 45cot60cos60sec30cos60tan − นนคอ 3

cot43

3sin

3cos

4cot 222 ππππ

−−+

= ( 3 )(23 )(2) – (

21 )(1) = 1 +

21 -

43 - (

43 )(3)

= 3 – 21 = 1 +

21 -

412

= 25 =

25

−

11) 3

tan4

sin6

tan3

sec3

sin31 2222 πππππ

+− 12) oo

oo 45sec8160sin30cot

2145tan3 2222 +−−

วธทา จาก sin2

3π = 2)

23( , sec

3π = 2, sin2

4π =

21 วธทา จาก tan245๐ = 1, cot230๐ =

31 , sin260๐ =

43

tan2

6π =

31 และ tan2

3π = 3 และ sec245๐ = 2

นนคอ 3

tan4

sin6

tan3

sec3

sin31 2222 πππππ

+− นนคอ oo

oo 45sec8160sin30cot

2145tan3 2222 +−−

= (31 ).(

43 ) – (2).(

31 ) + (

21 ).(3) = 3.(1) -

21 .(

31 ) -

43 +

81 .(2)

= 41 -

32 +

23 = 3 -

61 -

43 +

41

= 1213 = 3 – 2 –

61

= 65

401

เฉลยใบกจกรรมท 5 ฟงกชนตรโกณมตอนๆ

คาสง ใหนกเรยนเปดชดกจกรรมแลวเลอกทากจกรรมในหนวยท 5 เรองฟงกชนตรโกณมตอนๆ โดยใชความรเดมในหนวยท 4 นามาใชกบใบกจกรรมในหนวยท 5 1. จงทาใหอยในรป tanθ 1.1) tan ( θπ− ) 1.2) tan ( θπ+ )

วธทา จาก tan ( θπ− ) = θ)cos(πθ)sin(π

−− วธทา จาก tan ( θπ+ ) =

θ)cos(πθ)sin(π

++

= ( )( )θcosθsin

− = ( )

( )θcosθsin

−−

= - tan(θ ) = tan(θ ) 1.3) tan ( θπ2 − ) 1.4) tan ( θπ2 + )

วธทา จาก tan ( θπ2 − ) = θ)π2cos(θ)π2sin(

−− วธทา จาก tan ( θπ2 + ) =

θ)π2cos(θ)π2sin(

++

= ( )( )θcosθsin− = ( )

( )θcosθsin

= - tan(θ ) = tan(θ ) 2. จงทาใหอยในรป cosecθ 2.1) cosec ( θπ− ) 2.2) cosec ( θπ+ )

วธทา จาก cosec ( θπ− ) = θ)sin(π

1−

วธทา จาก cosec ( θπ+ ) = θ)sin(π

1+

= ( )θsin1 = ( )θsin

1−

= cosec(θ ) = - cosec(θ ) 2.3) cosec ( θπ2 − ) 2.4) cosec ( θπ2 + )

วธทา จาก cosec ( θπ2 − ) = θ)π2sin(

1−

วธทา จาก cosec ( θπ2 + ) = θ)π2sin(

1+

= ( )θsin1

− = ( )θsin

1

= - cosec(θ ) = cosec(θ )

402

3. จงทาใหอยในรป secθ 3.1) sec ( θπ− ) 3.2) sec ( θπ+ )

วธทา จาก sec ( θπ− ) = θ)cos(π

1−

วธทา จาก sec ( θπ+ ) = θ)cos(π

1+

= ( )θcos1

− = ( )θcos

1−

= - sec(θ ) = - sec(θ ) 3.3) sec ( θπ2 − ) 3.4) sec ( θπ2 + )

วธทา จาก sec ( θπ2 − ) = θ)π2cos(

1−

วธทา จาก sec ( θπ2 + ) = θ)π2cos(

1+

= ( )θcos1 = ( )θcos

1

= sec(θ ) = sec(θ ) 4. จงทาใหอยในรป cotθ 4.1) cot ( θπ− ) 4.2) cot ( θπ+ )

วธทา จาก cot ( θπ− ) = θ)tan(π

1−

วธทา จาก cot ( θπ+ ) = θ)tan(π

1+

= ( )θtan1

− = ( )θtan

1

= - cot(θ ) = cot(θ ) 4.3) cot ( θπ2 − ) 4.4) cot ( θπ2 + )

วธทา จาก cot ( θπ2 − ) = θ)π2tan(

1−

วธทา จาก cot ( θπ2 + ) = θ)π2tan(

1+

= ( )θtan1

− = ( )θtan

1

= - cot(θ ) = cot(θ ) 5. จงหาคาของ

5.1) tan3

5π - cos3

4π - cosec6

5π 5.2) tan4

7π - cot4

3π - cosec3

5π

วธทา จาก tan3

5π = 3− , cos3

4π = 21

− วธทา จาก tan4

7π = -1, cot4

3π = -1, cosec3

5π = 3

2−

และ cosec 6

5π = -2 นนคอ tan4

7π - cot4

3π - cosec3

5π

นนคอ tan3

5π - cos3

4π - cosec6

5π = - 1 + 1 + 3

2

= 3− + 21 + 2 =

2325 − =

32

403

5.3) sec3π5 tan

43π 5.4)

14

7tan2π3cosec

4π3tan

6π7sec

3π7sin4

−

+

π

วธทา จาก sec3π5 = 2 , tan

43π = -1 วธทา จาก sin

3π7 =

23 , sec

6π7 =

32

−

นนคอ sec3π5 tan

43π tan

43π = -1, cosec

23π = -1, tan

47π = -1

= (2).(-1) นนคอ 1

47tan

2π3cosec

4π3tan

6π7sec

3π7sin4

−

+

π

= -2 = 11

)1).(1()3

2).(234.(

−−

−−+−

= 2

1)14.(−

+−

= 23

−− =

23

5.5) sin )540cos()765sec(240tan300 oooo −− 5.6) o

ooo

630tan2π3cosec240tan)765sec(300sin4 +−

วธทาจาก sin300๐ = 23

− , tan240๐ = 3 วธทา จาก sin300๐ = 23

− , sec(-765๐) = 22

sec(-765๐) = 22 , cos(-540๐) = -1 tan240๐ = 3 , cosec

23π = -1, tan630๐ = ไมนยาม

นนคอ sin )540cos()765sec(240tan300 oooo −− นนคอ o

ooo

630tan2π3cosec240tan)765sec(300sin4 +−

= (23

− ).( 3 ).(22 ).(-1) ไมสามารถหาคาตอบได

= 4

23

6. จงหาจานวนจรง θ โดยท π2θ0 ≤≤ และสอดคลองกบสมการในขอตอไปน 6.1) |sinθ | = sinθ จะไดจานวนจรง θ เทากบ πθ0 ≤≤

6.2) |cosθ | = - cosθ จะไดจานวนจรง θ เทากบ 2π3θ

2π

≤≤

6.3) |tanθ | = tanθ จะไดจานวนจรง θ เทากบ 2πθ0 ≤≤ หรอ

2π3θπ ≤≤

6.4) |cotθ | = - cotθ จะไดจานวนจรง θ เทากบ ππ≤≤ θ

2 หรอ π2θ

2π3

≤≤

404

6.5) |secθ | = secθ จะไดจานวนจรง θ เทากบ 2πθ0 ≤≤ หรอ π2θ

2π3

≤≤

6.6) |cosecθ | = - cosecθ จะไดจานวนจรง θ เทากบ π2θπ ≤≤

6.7) sinθ = cosθ จะไดจานวนจรง θ เทากบ 4π หรอ

4π5

6.8) tanθ = cotθ จะไดจานวนจรง θ เทากบ4π5,

4π3,

4π หรอ

4π7

6.9) sinθ = tanθ จะไดจานวนจรง θ เทากบ ππ,20,

6.10) cosθ = cotθ จะไดจานวนจรง θ เทากบ 2π3,

2π

405

เฉลยใบกจกรรมท 6.1 ฟงกชนตรโกณมตของมม

คาสง ใหนกเรยนเปดชดกจกรรมแลวเลอกทากจกรรมในหนวยท 6 เรองฟงกชนตรโกณมตของมม คาชแจง ในกจกรรมท 6.1 จะแบงออกเปน 2 ตอน ดงน ตอนท 1 ทบทวนความรเดมเรองการวดมม ตอนท 2 ฟงกชนตรโกณมตของมม ตอนท 1 ทบทวนความรเดมเรองการวดมม 1. ใหนกเรยนใชความรเรองการวดมมในหนวยท 1 เปลยนมม θทกาหนดให ใหมหนวยเปนองศา และเรเดยน 1.1) o1θ = 1.2) o60θ = วธทา จาก π2 เรเดยน เทยบเทากบ 360๐ วธทา จาก π2 เรเดยน เทยบเทากบ 360๐ ดงนน 1๐ =

180π เรเดยน ดงนน 60๐ =

3π เรเดยน

1.3) o501θ −= 1.4) o270θ = วธทา จาก π2 เทยบเทากบ 360๐ วธทา จาก π2 เทยบเทากบ 360๐ ดงนน -150๐ =

6π5

− เรเดยน ดงนน 270๐ = 2π3 เรเดยน

1.5) 6

11θ π= เรเดยน 1.6)

32θ π

= เรเดยน

วธทา จาก π2 เทยบเทากบ 360๐ วธทา จาก π2 เทยบเทากบ 360๐ ดงนน

6π11 = 330๐ องศา ดงนน

3π2 = 120๐ องศา

1.7) 5

θ π= เรเดยน 1.8)

45θ π

−= เรเดยน

วธทา จาก π2 เทยบเทากบ 360๐ วธทา จาก π2 เทยบเทากบ 360๐ ดงนน

5π = 36๐ องศา ดงนน

4π5

− = -225๐ องศา

1.9) 6

7θ π−= เรเดยน 1.10) 3θ = เรเดยน

ดงนน 6π7

− = -210๐ องศา ดงนน 3 = 3 x 57๐18′ ≈ 171.88๐ องศา

406

ตอนท 2 ฟงกชนตรโกณมตของมม ในกจกรรมเรองฟงกชนตรโกณมตของมมจะแบงเนอหาออกเปน 5 กรณเชนเดยวกนกบฟงกชนตรโกณมตของจานวนจรง ดงน กรณ 1 การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม -θ เมอ θ เปนมมบวก กรณ 2 การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม θ เมอ θ > o360 กรณ 3 การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม θ เมอ o90 <θ < o180 กรณ 4 การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม θ เมอ o180 <θ < o270 กรณ 5 การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม θ เมอ o270 <θ < o360

ใหนกเรยนใชความสมพนธระหวางหนวยการวดมมทเปนองศากบหนวยการวดมมเรเดยนเตมคาตอบลงในตารางทง 5 กรณตอไปน กรณ 1 การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม -θ เมอ θ เปนมมบวก

ระบบเรเดยน ระบบองศา sin( θ− ) = - sinθ

cos( θ− ) = cosθ tan( θ− ) = - tanθ cot( θ− ) = - cotθ

sec( θ− ) = secθ cosec( θ− ) = - cosecθ

sin( θ− ) = - sinθ cos( θ− ) = cosθ

tan( θ− ) = - tanθ cot( θ− ) = - cotθ

sec( θ− ) = secθ cosec( θ− ) = - cosecθ

กรณ 2 การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม θ เมอ θ > o360

ระบบเรเดยน ระบบองศา ถา n เปนจานวนนบ แลว sin( θnπ2 + ) = sinθ

cos( θnπ2 + ) = cosθ tan( θnπ2 + ) = tanθ cot( θnπ2 + ) = cotθ

sec( θnπ2 + ) = secθ cosec( θnπ2 + ) = cosecθ

ถา n เปนจานวนนบ แลว sin( θn360 +⋅o ) = sinθ cos( θn360 +⋅o ) = cosθ

tan( θn360 +⋅o ) = tanθ cot( θn360 +⋅o ) = cotθ sec( θn360 +⋅o ) = secθ

cosec( θn360 +⋅o ) = cosecθ

407

กรณ 3 การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม θ เมอ o90 <θ < o180

ระบบเรเดยน ระบบองศา sin( θπ− ) = sinθ

cos( θπ− ) = - cosθ tan( θπ− ) = - tanθ cot( θπ− ) = - cotθ

sec( θπ− ) = - secθ cosec( θπ− ) = cosecθ

sin( θ180 −o ) = sinθ cos( θ180 −o ) = - cosθ tan( θ180 −o ) = - tanθ cot( θ180 −o ) = - cotθ sec( θ180 −o ) = - secθ

cosec( θ180 −o ) = cosecθ

กรณ 4 การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม θ เมอ o180 <θ < o270

ระบบเรเดยน ระบบองศา sin( θπ+ ) = - sinθ cos( θπ+ ) = - cosθ

tan( θπ+ ) = tanθ cot( θπ+ ) = cotθ

sec( θπ+ ) = - secθ cosec( θπ+ ) = - cosecθ

sin( θ180 +o ) = - sinθ cos( θ180 +o ) = - cosθ tan( θ180 +o ) = tanθ cot( θ180 +o ) = cotθ

sec( θ180 +o ) = - secθ cosec( θ180 +o ) = - cosecθ

กรณ 5 การหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมม θ เมอ o270 <θ < o360

ระบบเรเดยน ระบบองศา sin( θπ2 − ) = - sinθ cos( θπ2 − ) = cosθ

tan( θπ2 − ) = - tanθ cot( θπ2 − ) = - cotθ

sec( θπ2 − ) = secθ cosec( θπ2 − ) = - cosecθ

sin( θ360 −o ) = - sinθ cos( θ360 −o ) = cosθ

tan( θ360 −o ) = - tanθ cot( θ360 −o ) = - cotθ sec( θ360 −o ) = secθ

cosec( θ360 −o ) = - cosecθ

408

แบบฝกหดเสรมทกษะ 1. จงหาคาของฟงกชนตรโกณมตทกฟงกชนของมมตอไปน 1) 150๐ 2) 120๐ วธทา วธทา sin(150๐) = sin(180๐ – 30๐) = sin(30๐) sin(120๐) = sin(180๐ – 60๐) = sin(60๐) cos(150๐) = cos(180๐ – 30๐) = - cos(30๐) cos(120๐) = cos(180๐ – 60๐) = - cos(60๐) tan(150๐) = tan(180๐ – 30๐) = - tan(30๐) tan(120๐) = tan(180๐ – 60๐) = - tan(60๐) sec(150๐) = sec(180๐ – 30๐) = - sec(30๐) sec(120๐) = sec(180๐ – 60๐) = - sec(60๐) csc(150๐) = csc(180๐ – 30๐) = csc(30๐) csc(120๐) = csc(180๐ – 60๐) = csc(60๐) cot(150๐) = cot(180๐ – 30๐) = - cot(30๐) cot(120๐) = cot(180๐ – 60๐) = - cot(60๐)

3) 315๐ 4) –315๐ วธทา วธทา จาก sin(-θ ) = - sinθ และ cos(-θ ) = cosθ sin(315๐) = sin(360๐ – 45๐) = - sin(45๐) - sin(315๐) = - sin(360๐ – 45๐) = sin(45๐) cos(315๐) = cos(360๐ – 45๐) = cos(45๐) cos(315๐) = cos(360๐ – 45๐) = cos(45๐) tan(315๐) = tan(360๐ – 45๐) = - tan(45๐) - tan(315๐) = - tan(360๐ – 45๐) = tan(45๐) sec(315๐) = sec(360๐ – 45๐) = sec(45๐) sec(315๐) = sec(360๐ – 45๐) = sec(45๐) csc(315๐) = csc(360๐ – 45๐) = - csc(45๐) - csc(315๐) = - csc(360๐ – 45๐) = csc(45๐) cot(315๐) = cot(360๐ – 45๐) = - cot(45๐) - cot(315๐) = -cot(360๐ – 45๐) = cot(45๐) 5) 930๐ 6) 225๐ วธทา วธทา sin(930๐) = sin(900๐ + 30๐) = - sin(30๐) sin(225๐) = sin(180๐ + 45๐) = - sin(45๐) cos(930๐) = cos(900๐ + 30๐) = - cos(30๐) cos(225๐) = cos(180๐ + 45๐) = - cos(45๐) tan(930๐) = tan(900๐ + 30๐) = tan(30๐) tan(225๐) = tan(180๐ + 45๐) = tan(45๐) sec(930๐) = sec(900๐ + 30๐) = - sec(30๐) sec(225๐) = sec(180๐ + 45๐) = - sec(45๐) csc(930๐) = csc(900๐ + 30๐) = - csc(30๐) csc(225๐) = csc(180๐ + 45๐) = - csc(45๐) cot(930๐) = cot(900๐ + 30๐) = cot(30๐) cot(225๐) = cot(180๐ + 45๐) = cot(45๐)

409

2. จงหาคาของ

1) °

°° −330sin2

300sec135tan3 22

2) )390cos(

)840sin()480tan(°

°°

−−−−

วธทา จาก tan2135๐ = 1, sec2300๐ = 4 วธทา จาก tan(-480๐) = 3 , sin(-840๐) = 23

−

และ sin330๐ = 21

− และ cos(-390๐) = 23

นนคอ °

°° −330sin2

300sec135tan3 22

นนคอ )390cos(

)840sin()480tan(°

°°

−−−−

= )

21.(2

4)1.(3

−

− =

23

)23(3 −−

= 11

−− =

32.

233

= 1 = 3 3) cos240๐cos120๐ – sin120๐cos150๐ 4) sin300๐tan240๐sec(-765๐)cos(-540๐)

วธทา จาก cos240๐ = 21

− , cos120๐ = 21

− วธทา จาก sin300๐ = 23

− , tan240๐ = 3

sin120๐ = 23 , cos150๐ =

23

− sec(-765๐) = 22 , cos(-540๐) = -1

นนคอ cos240๐cos120๐ – sin120๐cos150๐ นนคอ sin300๐tan240๐sec(-765๐)cos(-540๐)

= (21

− ).(21

− ) – (23 ).(

23

− ) = (23

− ).( 3 ).(22 ).(-1)

= 43

41+ =

423

= 1

5) sec2(-240๐) + cosec2(6π5

− ) + cot2(315๐)

วธทา จาก sec2(-240๐) = 4, cosec2(6π5

− ) = 41

และ cot2(315๐) = 1

นนคอ sec2(-240๐) + cosec2(6π5

− ) + cot2(315๐)

= (4) + (41 ) + (1)

= 421

410

3. จงหาคาของฟงกชนตรโกณมตจากจดปลายสวนโคงของมม 1. กาหนดให θ เปนมมในตาแหนงมาตรฐาน และ P(15, -8) เปนจดปลายสวนโคงของมมθ จงหาคาของฟงกชนตรโกณมตทง 6 ฟงกชนของมม θ วธทา ในทน x = 15 และ y = -8 จาก r = 22 )08()015( −−+− = 64225 + = 17289 =

ดงนน sinθ = 178

− , cosecθ = 8

17−

cosθ = 1715 , secθ =

1715

tanθ = 158

− , cotθ = 8

15−

2. กาหนดให θ เปนมมในตาแหนงมาตรฐาน และ 180๐ < θ < 270๐ และมดานสนสดของมม θ อยบนเสนตรง 4y = 3x จงหาคาของฟงกชนตรโกณมตทง 6 ฟงกชนของมม θ วธทา เลอกจดใดจดหนงทอยบนดานสนสดของมม ให x = -4 จะได y = -3 จาก r = 22 )03()04( −−+−− = 916 + = 525 =

ดงนน sinθ = 53

− , cosecθ = 35

−

cosθ = 54

− , secθ = 45

−

tanθ = 43 , cotθ =

34

3. กาหนดให θ เปนมมในตาแหนงมาตรฐาน และ P(-1, -4) เปนจดปลายสวนโคงของมมθ จงหาคาของฟงกชนตรโกณมตทง 6 ฟงกชนของมม θ วธทา จาก r = 22 )04()01( −−+−− = 161+ = 17

ดงนน sinθ = 174

− , cosecθ = 417

−

cosθ = 171

− , secθ = 17−

tanθ = 4− , cotθ = 41

−

411

4. กาหนดให θ เปนมมในตาแหนงมาตรฐาน และ P(1, - 2 ) เปนจดปลายสวนโคงของมมθ จงหาคาของฟงกชนตรโกณมตทง 6 ฟงกชนของมม θ

วธทา จาก r = 22 )02()01( −−+− = 21+ = 3

ดงนน sinθ = 32

− , cosecθ = 23

−

cosθ = 3

1 , secθ = 3

tanθ = 2− , cotθ = 2

1−

5. กาหนดให θ เปนมมในตาแหนงมาตรฐาน และ P(- 3 , 1) เปนจดปลายสวนโคงของมมθ จงหาคาของฟงกชนตรโกณมตทง 6 ฟงกชนของมม θ

วธทา จาก r = 22 )01()03( −+−− = 13+ = 24 =

ดงนน sinθ = 21 , cosecθ = 2

cosθ = 23

− , secθ = 3

2−

tanθ = 3− , cotθ = 3

1−

412

เฉลยใบกจกรรมท 7 กราฟของฟงกชนตรโกณมต

คาสง ใหนกเรยนเปดชดกจกรรมแลวเลอกทากจกรรมในหนวยท 7 เรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต คาชแจง ในกจกรรมท 7 จะแบงออกเปน 5 ตอน ดงน ตอนท 1 กาหนดฟงกชนตรโกณมต y = T(x)

ตอนท 2 กาหนดฟงกชนตรโกณมต y = k⋅T(x) เมอ k เปนจานวนจรง และ k 0≠ ,k 1≠

ตอนท 3 กาหนดฟงกชนตรโกณมต y = T(k⋅x) เมอ k เปนจานวนจรง และ k 0≠ ,k 1≠

ตอนท 4 กาหนดฟงกชนตรโกณมต y = T(b⋅x+k) เมอ b, k เปนจานวนจรงไมเทากบ 0 ตอนท 5 กาหนดฟงกชนตรโกณมต y = T(x)+k เมอ k เปนจานวนจรง และ k 0≠

ตอนท 1 กาหนดฟงกชนตรโกณมต y = T(x) กราฟของฟงกชนไซน y = sin x

3. ใหนกเรยนเลอกทากจกรรมแรกคอกราฟของฟงกชนไซน y = sin x เมอ π2x0 ≤≤ โดย ใชคาสง ใหนกเรยนตอบคาถามลงในตาราง แลวนาไปวาดกราฟ

ชวงท 1 กราฟของ y = sin x เมอ πx0 ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

sinx 0 21

22

23 1

23

22

21 0

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว ใหนกเรยนสรางกราฟลงในกจกรรมในคอมพวเตอร แลว

นามาวาดลงในใบกจกรรม

413

ชวงท 2 กราฟของ y = sin x เมอ π2xπ ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x π 6π7

4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

sinx 0 21

− 22

− 23

− -1 23

− 22

− 21

− 0

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว ใหนกเรยนสรางกราฟลงในกจกรรมในคอมพวเตอร แลว

นามาวาดลงในใบกจกรรม ใหนกเรยนนาทง 2 ชวงมารวมกน โดยใหนกเรยนสรางกราฟและนามาวาดรปลงในใบกจกรรม 2. หากนกเรยนยงมองภาพไมชดเจน ใหนกเรยนเปดทหนาถดไปในกจกรรมคอมพวเตอร แลวตอบคาถามตอไปน 2.1) มจานวนจรงใดบางทหาคาไมได ไมม

คาสงสดของฟงกชน คอ 1 (M = Maximum) คาตาสดของฟงกชน คอ -1 (m = minimum) 2.2) โดเมนของฟงกชนไซน คอ R เรนจของฟงกชนไซน คอ [-1, 1] เปนฟงกชนแบบทวถง เพราะมจานวนจรง 2 จานวนททาใหคาของฟงกชนเหมอนกน

414

2.3) ใหนกเรยนสรางกราฟไซนบนชวง π2xπ2 ≤≤− แลวสงเกตวาชวงใดบางทซากน ชวงท 1 0xπ2 ≤≤− ชวงท 2 π2x0 ≤≤ แตละชวงหางกน π2

2.4) แอมพลจดของฟงกชน คอ 12

)1(12

mM=

−−=

−

3. จากขอ 1-2 ใหนกเรยนสรปลกษณะของกราฟฟงกชนไซนเมอ y = sin x จากลกษณะกราฟของ y = sin x มสงทนกเรยนควรสนใจดงน

1) โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ rD = {x|x R∈ } 2) เรนจของฟงกชน คอ [-1, 1] นนคอ fR = {y| 1y1 ≤≤− } หรอกลาวอยางงายๆ ไดวา 1sinx1 ≤≤− 3) ฟงกชน y = sin x เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 ดงนน อาจจะมคา x หลายๆ คา ททาใหไดคา y เพยงคาเดยว 4) ฟงกชนไซน มคาบเทากบ π2 และมแอมพลจด เทากบ 1 กราฟของฟงกชนโคไซน y = cos x 1. ใหนกเรยนเลอกทากจกรรมแรกคอกราฟของฟงกชนโคไซน y = cos x เมอ π2x0 ≤≤ โดยใช คาสง ใหนกเรยนตอบคาถามลงในตาราง แลวนาไปวาดกราฟ

ชวงท 1 กราฟของ y = cos x เมอ πx0 ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

cosx 1 23

22

21 0 2

1−

22

− 23

− -1

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว ใหนกเรยนสรางกราฟลงในกจกรรมในคอมพวเตอร แลวนามาวาดลงในใบกจกรรม

415

ชวงท 2 กราฟของ y = cos x เมอ π2xπ ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x π 6π7

4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

cosx -1 23

− 22

− 21

− 0 21

22

23 1

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว ใหนกเรยนสรางกราฟลงในกจกรรมในคอมพวเตอร แลวนามาวาดลงในใบกจกรรม ใหนกเรยนนาทง 2 ชวงมารวมกน โดยใหนกเรยนสรางกราฟและนามาวาดรปลงในใบกจกรรม

2. หากนกเรยนยงมองภาพไมชดเจน ใหนกเรยนเปดทหนาถดไปในกจกรรมคอมพวเตอร แลวตอบคาถามตอไปน 2.1) มจานวนจรงใดบางทหาคาไมได ไมม

คาสงสดของฟงกชน คอ 1 (M = Maximum) คาตาสดของฟงกชน คอ -1 (m = minimum) 2.2) โดเมนของฟงกชนโคไซน คอ R เรนจของฟงกชนโคไซน คอ [-1, 1] เปนฟงกชนแบบทวถง เพราะมจานวนจรง 2 จานวนททาใหคาของฟงกชนเหมอนกน

416

2.3) ใหนกเรยนสรางกราฟโคไซนบนชวง π2xπ2 ≤≤− แลวสงเกตวาชวงใดบางทซากน ชวงท 1 0xπ2 ≤≤− ชวงท 2 π2x0 ≤≤ แตละชวงหางกน π2

2.4) แอมพลจดของฟงกชน คอ 12

)1(12

mM=

−−=

−

3. จากขอ 1-2 ใหนกเรยนสรปลกษณะของกราฟฟงกชนโคไซนเมอ y = cos x จากลกษณะกราฟของ y = cos x มสงทนกเรยนควรสนใจดงน

1) โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ rD = {x|x R∈ } 2) เรนจของฟงกชน คอ [-1, 1] นนคอ fR = 1cosx1 ≤≤− 3) ฟงกชน y = cos x เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 ดงนน อาจจะมคา x หลายๆ คา ททาใหไดคา y เพยงคาเดยว 4) ฟงกชนโคไซน มคาบเทากบ π2 และมแอมพลจด เทากบ 1 5) เราสามารถบอกลกษณะของฟงกชนเพม ฟงกชนลดไดโดยดจากกราฟ เชน ในชวง ( π , π2 ) ฟงกชนโคไซนเปนฟงกชนเพม ในชวง (0, π ) ฟงกชนโคไซนเปนฟงกชนลด กราฟของฟงกชนแทนเจนต y = tan x 1. ใหนกเรยนเลอกทากจกรรมแรกคอกราฟของฟงกชนแทนเจนต y = tan x เมอ π2x0 ≤≤ โดยใชคาสง ใหนกเรยนตอบคาถามลงในตาราง แลวนาไปวาดกราฟ

ชวงท 1 กราฟของ y = tan x เมอ πx0 ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

tanx 0 31 1 3 ไมนยาม

3− -1 31

− 0

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว ใหนกเรยนสรางกราฟลงในกจกรรมในคอมพวเตอร แลว

นามาวาดลงในใบกจกรรม

417

ชวงท 2 กราฟของ y = tan x เมอ π2xπ ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x π 6π7

4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

tanx 0 31 1 3 ไมนยาม

3− -1 31

− 0

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว ใหนกเรยนสรางกราฟลงในกจกรรมในคอมพวเตอร แลวนามาวาดลงในใบกจกรรม ใหนกเรยนนาทง 2 ชวงมารวมกน โดยใหนกเรยนสรางกราฟและนามาวาดรปลงในใบกจกรรม

418

2. หากนกเรยนยงมองภาพไมชดเจน ใหนกเรยนเปดทหนาถดไปในกจกรรมคอมพวเตอร แลวตอบคาถามตอไปน

2.1) มจานวนจรงใดบางทหาคาไมได จานวนจรง 2π.n เมอ n เปนจานวนเตมค

คาสงสดของฟงกชน คอ ∞ (M = Maximum) คาตาสดของฟงกชน คอ ∞− (m = minimum)

2.2) โดเมนของฟงกชนแทนเจนต คอ R - {x ∈R| x = 2π.n เมอ n เปนจานวนเตมค}

เรนจของฟงกชนแทนเจนต คอ ( ∞− , ∞ ) เปนฟงกชนแบบทวถง เพราะมจานวนจรง 2 จานวนททาใหคาของฟงกชนเหมอนกน 2.3) ใหนกเรยนสรางกราฟแทนเจนตบนชวง π2xπ2 ≤≤− แลวสงเกตวาชวงใดบางทซากน ชวงท 1 π≤≤− xπ2 ชวงท 2 0xπ ≤≤− ชวงท 3 π≤≤ x0 ชวงท 4 π2xπ ≤≤ แตละชวงหางกน π 2.4) แอมพลจดของฟงกชน คอ ไมมแอมพลจดเพราะไมมคาสงสดและคาตาสด 3. จากขอ 1-2 ใหนกเรยนสรปลกษณะของกราฟฟงกชนแทนเจนตเมอ y = tan x

1) โดเมนของฟงกชน คอ R - {x ∈R| x = 2π.n เมอ n เปนจานวนเตมค}

2) เรนจของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง นนคอ ∞− < tan x < ∞ 3) ฟงกชน y = tan x เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 4) คาบของฟงกชนเทากบ π 5) แอมพลจดของฟงกชนไมม เพราะไมสามารถหาจดสงสดและจดตาสดได

กราฟของฟงกชนโคเซแคนต y = cosec x 1. ใหนกเรยนเลอกทากจกรรมแรกคอกราฟของฟงกชนโคเซแคนต y = cosec x เมอ π2x0 ≤≤ โดยใชคาสง ใหนกเรยนตอบคาถามลงในตาราง แลวนาไปวาดกราฟ

ชวงท 1 กราฟของ y = cosec x เมอ πx0 ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

cosec x ไมนยาม 2 22

32 1 3

2 2

2 2 ไมนยาม

419

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว ใหนกเรยนสรางกราฟลงในกจกรรมในคอมพวเตอร แลวนามาวาดลงในใบกจกรรม

ชวงท 2 กราฟของ y = cosec x เมอ π2xπ ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x π 6π7

4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

cosecx ไมนยาม -2 22

− 3

2− -1 3

2−

22

− -2 ไมนยาม

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว ใหนกเรยนสรางกราฟลงในกจกรรมในคอมพวเตอร แลวนามาวาดลงในใบกจกรรม ใหนกเรยนนาทง 2 ชวงมารวมกน โดยใหนกเรยนสรางกราฟและนามาวาดรปลงในใบกจกรรม

420

2. หากนกเรยนยงมองภาพไมชดเจน ใหนกเรยนเปดทหนาถดไปในกจกรรมคอมพวเตอร แลวตอบคาถามตอไปน 2.1) มจานวนจรงใดบางทหาคาไมได จานวนจรง π.n เมอ n เปนจานวนเตม

คาสงสดของฟงกชน คอ ∞ (M = Maximum) คาตาสดของฟงกชน คอ ∞− (m = minimum)

2.2) โดเมนของฟงกชนโคเซแคนต คอ R - {x ∈R| x π.n= เมอ n เปนจานวนเตม} เรนจของฟงกชนโคเซแคนต คอ ( ∞− , - 1] U [1, ∞ ) เปนฟงกชนแบบทวถง เพราะมจานวนจรง 2 จานวนททาใหคาของฟงกชนเหมอนกน 2.3) ใหนกเรยนสรางกราฟโคแทนเจนตบนชวง π2xπ2 ≤≤− แลวสงเกตวาชวงใดบางทซากน ชวงท 1 0xπ2 ≤≤− ชวงท 2 π2x0 ≤≤ แตละชวงหางกน 2 π 2.4) แอมพลจดของฟงกชน คอ ไมมแอมพลจดเพราะไมมคาสงสดและคาตาสด 3. จากขอ 1-2 ใหนกเรยนสรปลกษณะของกราฟฟงกชนโคเซแคนตเมอ y = cosec x

1) โดเมนของฟงกชน คอ R - {x ∈R| x π.n= เมอ n เปนจานวนเตม} 2) เรนจของฟงกชน ( ∞− , - 1] U [1, ∞ ) นนคอ cosec x 1−≤ หรอ cosec x 1≥ 3) ฟงกชน y = cosec x เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 4) คาบของฟงกชนเทากบ 2 π 5) แอมพลจดของฟงกชนไมม เพราะไมสามารถหาจดสงสดและจดตาสดได

กราฟของฟงกชนเซแคนต y = sec x 1. ใหนกเรยนเลอกทากจกรรมแรกคอกราฟของฟงกชนเซแคนต y = sec x เมอ π2x0 ≤≤ โดยใช คาสง ใหนกเรยนตอบคาถามลงในตาราง แลวนาไปวาดกราฟ

ชวงท 1 กราฟของ y = sec x เมอ πx0 ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

y 1 32

22 2 ไมนยาม -2 2

2−

32

− -1

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว ใหนกเรยนสรางกราฟลงในกจกรรมในคอมพวเตอร แลว

นามาวาดลงในใบกจกรรม

421

ชวงท 2 กราฟของ y = sec x เมอ π2xπ ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x π 6π7

4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

y -1 32

− 2

2− -2 ไมนยาม 2 2

2 3

2 1

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว ใหนกเรยนสรางกราฟลงในกจกรรมในคอมพวเตอร แลวนามาวาดลงในใบกจกรรม ใหนกเรยนนาทง 2 ชวงมารวมกน โดยใหนกเรยนสรางกราฟและนามาวาดรปลงในใบกจกรรม

422

2. หากนกเรยนยงมองภาพไมชดเจน ใหนกเรยนเปดทหนาถดไปในกจกรรมคอมพวเตอร แลวตอบคาถามตอไปน

2.1) มจานวนจรงใดบางทหาคาไมได จานวนจรง2π.n เมอ n เปนจานวนเตมค

คาสงสดของฟงกชน คอ ∞ (M = Maximum) คาตาสดของฟงกชน คอ ∞− (m = minimum)

2.2) โดเมนของฟงกชนเซแคนต คอ R - {x ∈R| x 2π.n= เมอ n เปนจานวนเตมค}

เรนจของฟงกชนเซแคนต คอ ( ∞− , - 1] U [1, ∞ ) เปนฟงกชนแบบทวถง เพราะมจานวนจรง 2 จานวนททาใหคาของฟงกชนเหมอนกน 2.3) ใหนกเรยนสรางกราฟไซนบนชวง π2xπ2 ≤≤− แลวสงเกตวาชวงใดบางทซากน ชวงท 1 0xπ2 ≤≤− ชวงท 2 π2x0 ≤≤ แตละชวงหางกน 2 π 2.4) แอมพลจดของฟงกชน คอ ไมมแอมพลจดเพราะไมมคาสงสดและคาตาสด 3. จากขอ 1-2 ใหนกเรยนสรปลกษณะของกราฟฟงกชนเซแคนต เมอ y = sec x

1) โดเมนของฟงกชน คอ R - {x ∈R| x 2π.n= เมอ n เปนจานวนเตมค}

2) เรนจของฟงกชน คอ ( ∞− , - 1] U [1, ∞ ) นนคอ sec x 1−≤ หรอ sec x 1≥ 3) ฟงกชน y = sec x เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 4) คาบของฟงกชนเทากบ 2 π 5) แอมพลจดของฟงกชนไมม เพราะไมสามารถหาจดสงสดและจดตาสดได

กราฟของฟงกชนโคแทนเจนต y = cot x 1. ใหนกเรยนเลอกทากจกรรมแรกคอกราฟของฟงกชนโคแทนเจนต y = cot x เมอ π2x0 ≤≤ โดยใชคาสง ใหนกเรยนตอบคาถามลงในตาราง แลวนาไปวาดกราฟ

ชวงท 1 กราฟของ y = cot x เมอ πx0 ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

cotx ไมนยาม 3 1 3

1 0 3

1− -1 3− ไมนยาม

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว ใหนกเรยนสรางกราฟลงในกจกรรมในคอมพวเตอร แลวนามาวาดลงในใบกจกรรม

423

ชวงท 2 กราฟของ y = cot x เมอ π2xπ ≤≤ โดยท x แทนความยาวสวนโคงเปนเรเดยน

x π 6π7

4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

cotx ไมนยาม 3 1 3

1 0 3

1− -1 3− ไมนยาม

เมอนกเรยนหาคาไดครบหมดแลว ใหนกเรยนสรางกราฟลงในกจกรรมในคอมพวเตอร แลว

นามาวาดลงในใบกจกรรม

ใหนกเรยนนาทง 2 ชวงมารวมกน โดยใหนกเรยนสรางกราฟและนามาวาดรปลงในใบกจกรรม

424

2. หากนกเรยนยงมองภาพไมชดเจน ใหนกเรยนเปดทหนาถดไปในกจกรรมคอมพวเตอร แลวตอบคาถามตอไปน 2.1) มจานวนจรงใดบางทหาคาไมได จานวนจรง π.n เมอ n เปนจานวนเตม

คาสงสดของฟงกชน คอ ∞ (M = Maximum) คาตาสดของฟงกชน คอ ∞− (m = minimum)

2.2) โดเมนของฟงกชนโคแทนเจนต คอ R - {x ∈R| x π.n= เมอ n เปนจานวนเตม} เรนจของฟงกชนโคแทนเจนต คอ ( ∞− , ∞ ) เปนฟงกชนแบบทวถง เพราะมจานวนจรง 2 จานวนททาใหคาของฟงกชนเหมอนกน 2.3) ใหนกเรยนสรางกราฟโคแทนเจนตบนชวง π2xπ2 ≤≤− แลวสงเกตวาชวงใดบางทซากน ชวงท 1 π≤≤− xπ2 ชวงท 2 0xπ ≤≤− ชวงท 3 π≤≤ x0 ชวงท 4 π2xπ ≤≤ แตละชวงหางกน π 2.4) แอมพลจดของฟงกชน คอ ไมมแอมพลจดเพราะไมมคาสงสดและคาตาสด 3. จากขอ 1-2 ใหนกเรยนสรปลกษณะของกราฟฟงกชนโคแทนเจนตเมอ y = cot x

1) โดเมนของฟงกชน คอ R - {x ∈R| x = π.n เมอ n เปนจานวนเตม} 2) เรนจของฟงกชน คอ เซตของจานวนจรง คอ ∞− < cot x < ∞ 3) ฟงกชน y = cot x เปนฟงกชนทมใชฟงกชน 1 – 1 4) ถา x ∈ (0, π ) ฟงกชน y = cot x เปนฟงกชน 1 – 1 5) คาบของฟงกชนเทากบ π 6) แอมพลจดของฟงกชนไมม เพราะไมสามารถหาจดสงสดและจดตาสดได

425

เฉลยแบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4

คาชแจง

1. แบบทดสอบฉบบนสรางขนเพอวดผลสมฤทธทางการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต ของ

นกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ทเรยนดวยกจกรรมการเรยนการสอนเรอง ฟงกชนตรโกณมต โดยใช

ซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต

2. แบบทดสอบฉบบนเปนแบบทดสอบแบบปรนย 4 ตวเลอก จานวน 30 ขอ และ

แบบทดสอบแบบอตนยแสดงวธทา จานวน 5 ขอ

3. ใหนกเรยนทาเครองหมาย × ลงในกระดาษคาตอบในแตละขอ โดยเลอกคาตอบท

ถกตองเพยงคาตอบเดยวและแสดงวธทาลงในแบบทดสอบฉบบนใหถกตองครบถวน

4. ในแตละขอคาถามจะมคาตอบทถกตองเพยง 1 คาตอบเทานน

5. เวลาทใชในการทาแบบทดสอบ 100 นาท

ชอ.......................................................................... ชน .................... เลขท ...............

426

แบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชโปรแกรม C.a.R. สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4

ตอนท 1 จงเลอกคาตอบทถกตองทสดเพยงคาตอบเดยว 1. ขอใดตอไปนไมถกตอง ก.

ข.

ค.

ง.

2.

จากรป sin A มคาตรงกบขอใด

ก. 5

1 ข. 5

2

ค. 21 ง. 5

3. จากรป sin B มคาตรงกบขอใด

ก. ca ข.

cb

ค. ba ง.

ac

4.กาหนดให cot A = 34 คาของ

tan A มคาตรงกบขอใด

ก. 3 ข. 4

ค. 43 ง.

34

5.กาหนดให tan A = 3 คาของ

cot A มคาตรงกบขอใด

ก. 3 ข. 3

ค. 31 ง.

31

6. จากรป sin °60 มคาตรงกบขอใด

ก. 21 ข. 2

ค. 23 ง.

32

7. ขอใดตอไปนผด

ก. 061 ′=° ข. 061 ′′=°

ค. π2360 =° เรเดยน ง. π180 =° เรเดยน

427

8. 2π3 เรเดยน เทากบกองศา

ก. 135๐ ข. 270๐

ค. 405๐ ง. 540๐

9. 2 เรเดยน เทากบกองศา

ก. 6157 ′° ข. 7257 ′°

ค. 63114 ′° ง. 55114 ′°

10. 210 ๐ เทากบกเรเดยน

ก. 6π7 ข.

3π7

ค. 7π6 ง.

12π7

11. °75 เทากบกเรเดยน

ก. 125π ข.

65π

ค. 12π ง.

63

12. สาหรบวงกลมหนงหนวยขอใด

ตอไปน ถกตอง

ก. แบงความยาวสวนโคงเปน 4 สวนเทาๆ กน

จะไดความยาวสวนโคงสวนละ 4π

ข. แบงความยาวสวนโคงเปน 8 สวนเทาๆ

กน จะไดความยาวสวนโคงสวนละ 4π

ค. แบงความยาวสวนโคงเปน 12 สวนเทาๆ

กน จะไดความยาวสวนโคงสวนละ 8π

ง. แบงความยาวสวนโคงเปน 6 สวนเทาๆ กน

จะไดความยาวสวนโคงสวนละ 6π

13. จากรปคาของ θ ตรงกบขอใด

ก. 2π ข.

23π

ค. 2π

− ง. 2

3π−

14. จากรปคาของ θ ตรงกบขอใด เมอ

กาหนดให 0 ≤ θ ≤ 2π

ก. 4

7π ข. 6

5π

ค. 3

11π ง. 4

3π

428

15. กาหนดให p(θ ) = (54,

53 ) ดงรป

พกดของจด p( π3θ+− ) ตรงกบขอใด

ก. (54,

53 ) ข. (

54,

53−− )

ค. (54,

53− ) ง. (

54,

53

− )

16. โดเมนและเรนจของฟงกชนไซนตรงกบขอ

ใด

ก. โดเมน คอ R และ เรนจ คอ [-1, 1]

ข. โดเมน คอ I+ และ เรนจ คอ [0, 1]

ค. โดเมน คอ I- และ เรนจ คอ [-1, ∞ )

ง. โดเมน คอ จานวนค และ เรนจ คอ [-1, 1]

17. ขอใดตอไปนมคาเทากบ 1

ก. 6

sin3

cos6

cos3

sin ππππ−

ข. 6

sin3

cos6

cos3

sin ππππ+

ค. 6

sin4

sin6

cos4

cos ππππ−

ง. 6

cos4

sin6

sin4

cos ππππ+

18.คาของ

6sin

3sin

2cos

3cos

2sin πππππ

+−

ตรงกบขอใด

ก. – 1 ข. 1

ค. 21

− ง. 21

19. ถา cos θ = -1 และ 04 <<− θπ

แลว θ คอจานวนในขอใด

ก. 2

5,2

ππ−− ข.

27,

23 ππ

−−

ค. ππ 3,−− ง. ππ 4,2 −−

20.ขอใดถกตอง

ก. θθ sin)sin( =− และ

θθ cos)cos( =− ข. θθ sin)sin( =− และ

θθ cos)cos( −=− ค. θθ sin)sin( −=− และ

θθ cos)cos( =− ง. θθ sin)sin( −=− และ

21. ขอใดถกตอง

ก. θθπ sin)sin( −=+ และ

θθπ cos)cos( =+ ข. θθπ sin)sin( =+ และ

θθπ cos)cos( =+ ค. θθπ sin)sin( −=+ และ

θθπ cos)cos( −=+ ง. θθπ sin)sin( =+ และ

θθπ cos)cos( −=+

22. sin ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

4π7 มคาเทาไร

ก. 2

2 ข.

2

3

ค. 22

− ง. 23

−

6

θ

429

23. ถา secθ = 5

13 เมอ π2θ2π3

<<

แลว sinθ มคาเทากบขอใด

ก. 135 ข.

1312

ค. 135

− ง. 1312

−

24. ถา cosθ = 65 เมอ π2θ

2π3

<<

แลว cosecθ มคาเทากบขอใด

ก. 56 ข.

11116

ค. 56

− ง. 11

116−

25. จากรป AB ยาวเทาไร

ก. 3 ข. 33

ค. 33 ง.

333

26. จากรป BC ยาวเทาไร

ก. 3 ข. 33

ค. 3

315 ง. 2

315

27. รปสามเหลยม ABC ถาม CBA

เปนมมฉาก AB ยาว 16 หนวย และ

ACB = °30 แลว BC ยาวเทาใด

ก. 216 หนวย ข. 316 หนวย

ค. 2

216 หนวย ง. 3

316 หนวย

28. กราฟของ y = sin 3x เมอ

320 π

≤≤ x หรอ π20 ≤≤ X คอขอใด

ก.

ข.

ค.

ง.

430

29. กราฟทกาหนดใหตรงกบในขอใด

ก. y = sin 2X ข. y = cos 2X

ค. y = 2 + sin X ง. y = 2 + cos

30. กราฟทกาหนดใหตรงกบในขอใด

ก. y = 4cos X ข. y = 4sin X

ค. y = - 4cosX ง. y = -4sin X

_______________________________________________________________________________ เฉลยแบบทดสอบแบบปรนย 30 ขอ

1. ค. 11. ก. 21. ค.

2. ก. 12. ข. 22. ค.

3. ข. 13. ข. 23. ข.

4. ค. 14. ก. 24. ง.

5. ง. 15. ง. 25. ก.

6. ข. 16. ก. 26. ง.

7. ข. 17. ข. 27. ข.

8. ข. 18. ข. 28. ก.

9. ค. 19. ค. 29. ค.

10. ก. 20. ค. 30. ง.

431

0018.0

ตอนท 2 จงแสดงวธทา 1. จงหาคาของ cos 18.9910 โดยแสดงวธทาอยางละเอยด วธทา เนองจาก 18.9910 = 3.1416(6) + 0.1414 จากตารางจะไดวา 0.1396 < 0.1414 < 0.1425 cos 0.1396 = 0.9903 มมเพมขน 0.0029 cos 0.1414 = ? -0.0004 คาฟงกชนลดลง cos 0.1425 = 0.9899

ดงนน 0029.00018.0 =

0.0004d

−

d = 0029.0

)0004.0(0018.0 −×

= -0.00025 เพราะฉะนน cos 0.1414 = 0.9903 – 0.00025 = 0.99005 ≈ 0.9901 หรอ cos 18.9910 ≈ 0.9901 2. ให οθ 900 ≤≤o จงหาคาของ θ เมอกาหนดให sinθ = 0.4862 (แสดงวธทาอยางละเอยด) วธทา เนองจาก 4874.04862.04848.0 << จากตารางจะไดวา sin 0029 ′o = 0.4848 มมเพมขน 01 ′ sinθ = 0.4862 0.0026 คาฟงกชนเพมขน sin 0129 ′o = 0.4874

ดงนน 10d =

60.0020014.0

d = 0026.0014.0 ≈ 5′

เพราะฉะนน sinθ = 0029 ′o + 5′ = 529 ′o

d 0.0014

d

432

3. ให ABC เปนรปสามเหลยม มม A มขนาด 50๐ มม B มขนาด 70๐ และ AC ยาว 10 เซนตเมตร จากจด C ลากเสนไปตงฉากกบ AB ทจด D จงหา CD, AD, BC และ BD วธทา จากรปสามเหลยมมมฉาก ACD จะไดวา

sin50๐ = ACCD

ดงนน CD = AC × sin50๐

= 10 × 0.7660 (เพราะวา sin50๐ = 0.7660) ≈ 7.66 เซนตเมตร

และ cos50๐ = ACAD

ดงนน AD = AC × cos50๐

= 10 × 0.6428 (เพราะวา cos50๐ = 0.6428) ≈ 6.43 เซนตเมตร จากรปสามเหลยมมมฉาก BCD จะไดวา

cosec70๐ = CDBC

ดงนน BC = CD × cosec70๐

≈ 7.66 × 1.064 (เพราะวา cosec70๐ = 1.064) ≈ 8.15 เซนตเมตร

และ cot70๐ = CDBD

ดงนน BD = CD × cot70๐

≈ 7.66 × 0.3640 (เพราะวา cot70๐ = 0.3640) ≈ 2.79 เซนตเมตร เพราะฉะนนความยาวดาน CD, AD, BC และ BD ยาวประมาณ 7.66, 6.43, 8.15 และ 2.79 ซม. ตามลาดบ

433

4. จงวาดกราฟของฟงกชนตอไปน พรอมทงหาโดเมน เรนจ คาบและแอมพลจดของฟงกชน y = sin x + 4 เมอ π2x0 ≤≤ (แสดงวธทา)

x 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

sin(x) 0 21

22

23 1

23

22

21 0

sin(x) + 4 4 29

228 +

238 + 5

238 +

228 +

29 4

x π 6

π7 4π5

3π4

2π3

3π5

4π7

6π11 π2

sin(x) 0 21

− 22

− 23

− -1 23

− 22

− 21

− 0

sin(x) + 4 4 27

228 −

238 − 3

238 −

228 −

27 4

ใหนกเรยนวาดกราฟทไดจากการสรางในแฟมคอมพวเตอร มจานวนจรงใดบางทหาคาไมได ไมม

คาสงสดของฟงกชน คอ 5 (M = Maximum) คาตาสดของฟงกชน คอ 3 (m = minimum) โดเมนของฟงกชน คอ R เรนจของฟงกชน คอ [3, 5]

คาบของฟงกชนเทากบ 2π

แอมพลจดของฟงกชน คอ 42

)3(5=

−−

434

5. จงพจารณาดวาขอความตอไปนถกหรอผด เพราะเหตใดจงอธบาย 5.1) ฟงกชน y = sin x เปนฟงกชนเพมบนชวง [0, π ] ตอบ ผด เพราะ ลกษณะของกราฟ sin x บนชวง [0, π ] มทงฟงกชนเพมและฟงกชนลด

5.2) ฟงกชน y = sin x เปนฟงกชนลดบนชวง [2π ,

23π ]

ตอบ ถก เพราะ ลกษณะของกราฟ sin x บนชวง [2π ,

23π ] มลกษณะลดลงจงเปนฟงกชนลด

5.3) ฟงกชน y = cos x เปนฟงกชนลดบนชวง [0, π ] ตอบ ถก เพราะ ลกษณะของกราฟ cos x บนชวง [0, π ] มลกษณะลดลงจงเปนฟงกชนลด

5.4) ฟงกชน y = cos x เปนฟงกชนหนงตอหนงบนชวง [2π ,

23π ]

ตอบ ผด เพราะ เมอแทนจานวน x เขาไป 2 คา คอ 4π3 และ

4π5 ผลลพธทง 2 มคาเทากน

5.5) ฟงกชน y = tan x เปนฟงกชนเพมบนชวง (2π

− ,2π )

ตอบ ถก เพราะ ลกษณะของกราฟ tan x บนชวง (2π

− ,2π ) มลกษณะเพมจงเปนฟงกชนเพม

______________________________________________________________________________ ไมมสงไหนจะหนกเกน ไมมคาวาทาไมได ขอใหโชคดนะครบ

435

ภาคผนวก ซ แบบวดความพงพอใจของนกเรยนตอการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมต

โดยใชโปรแกรม C.a.R. สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4

436

แบบวดความพงพอใจของนกเรยนตอการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชซอฟตแวร เรขาคณตแบบพลวต

คาชแจง 1. แบบวดความพงพอใจฉบบนเปนแบบวดความพงพอใจตอการเรยนเรองฟงกชน

ตรโกณมต โดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 มจานวน

20 ขอ แบงเปน 2 ตอน คอ

ตอนท 1 เปนแบบวดความพงพอใจตอการเรยนเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใช

ซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต

ตอนท 2 เปนแบบวดความพงพอใจตอการรวมกจกรรมการเรยนการสอน

2. ใหนกเรยนทาเครองหมาย ✓ ลงในชองทางขวามอหลงขอความทตรงกบความรสกท

แทจรงของนกเรยนเพยงชองเดยว คาตอบทนกเรยนตอบนนไมมผลตอการใหคะแนน

3. ในแตละชองทแสดงความพงพอใจ มความหมายดงน

พงพอใจมากทสด หมายความวา นกเรยนเหนดวยกบขอความขอนนมากทสด

พงพอใจมาก หมายความวา นกเรยนเหนดวยกบขอความขอนนมาก

พงพอใจปานกลาง หมายความวา นกเรยนเหนดวยกบขอความขอนนปานกลาง

พงพอใจนอย หมายความวา นกเรยนเหนดวยกบขอความขอนนนอย

พงพอใจนอยทสด หมายความวา นกเรยนเหนดวยกบขอความขอนนนอยทสด

437

ตอนท 1 แบบวดความพงพอใจตอการเรยนดวยกจกรรมการเรยนการสอน เรองฟงกชนตรโกณมต

โดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต

ระดบความพงพอใจ

ขอท ขอความ มาก

ทสด

มาก ปาน

กลาง

นอย นอย

ทสด

1 ขาพเจารสกไมเครยด และไมหนกใจตอการเรยน

เรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชซอฟตแวรเรขาคณต

แบบพลวต

2 การเรยนเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใชซอฟตแวร

เรขาคณตแบบพลวต ทาใหขาพเจามความ

กระตอรอรนในการเรยนมากขน

3 เนอหาจากกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชน

ตรโกณมต โดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต

เหมาะกบระดบความสามารถของขาพเจา

4 จากการทาใบกจกรรมในแตละคาบ ทาใหขาพเจา

เขาใจเนอหาเรองฟงกชนตรโกณมตมากขน

5 ทาใหขาพเจามองเหนมโนภาพการเทากนไดดขน

6 การออกแบบจอภาพ และการใชภาพเคลอนไหวทาให

กจกรรมนาสนใจและมความสวยงาม

7 การมปฏสมพนธกบซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตทา

ใหขาพเจา เขาใจเนอหามากขน

8 การเรยนดวยซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตทาให

ขาพเจาสามารถตงขอความคาดการณได

9 การจดลาดบเนอหาในใบกจกรรม มความตอเนองและ

ชดเจน ทาใหขาพเจาเขาใจไดงาย

10 เครองมอในการสรางและสารวจกจกรรมการเรยนการ

สอนใชไดสะดวกตามความตองการของขาพเจา

438

ตอนท 2 แบบวดความพงพอใจตอการรวมกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมต

โดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต

ระดบความพงพอใจ

ขอท ขอความ มาก

ทสด

มาก ปาน

กลาง

นอย นอย

ทสด

11 ขาพเจาเขาใจคาถามในใบกจกรรมอยางชดเจน

12 จากการปฏบตกจกรรมเรองฟงกชนตรโกณมต โดยใช

ซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตทาใหขาพเจามโอกาส

แลกเปลยนความคดเหนกบเพอนมากขน

13 จากการปฏบตกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชน

ตรโกณมต โดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวตทา

ใหขาพเจามกาลงใจ อยากเรยนคณตศาสตรมากขน

14 กจกรรมการเรยนการสอนโดยใชซอฟตแวรเรขาคณต

แบบพลวตทาใหขาพเจาเกดการคนพบดวยตนเอง

15 จากการปฏบตกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชน

ตรโกณมต โดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต

ทาใหขาพเจามความเขาใจเนอหามากยงขน

16 แบบฝกหดทายกจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชน

ตรโกณมต โดยใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต

ชวยฝกทกษะการคดคานวณของขาพเจา

17 กจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมต โดย

ใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต สงเสรมบรรยากาศ

ในการเรยนของขาพเจามากขน

18 กจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมต โดย

ใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต กระตนใหขาพเจา

เกดการแสวงหาความรดวยตนเอง

19 กจกรรมการเรยนการสอนเรองฟงกชนตรโกณมต โดย

ใชซอฟตแวรเรขาคณตแบบพลวต ทาใหขาพเจาม

ความมนใจในตวเองเกยวกบการเรยนมากขน

20 ทาใหขาพเจามเจตคตทดตอการเรยนคณตศาสตร

ประวตผวจย

430

ประวตผวจย

ชอ ชอสกล นายปณยพล จนทรฝอย

วนเดอนปเกด 12 ธนวาคม 2527

สถานทเกด จงหวดกรงเทพมหานคร

สถานทอยปจจบน 32 ถ.เจรญนคร ซ.เจรญนคร 14 ตรอกเยนจตร

แขวงคลองตนไทร เขตคลองสาน กรงเทพฯ 10600

ประวตการศกษา

พ.ศ. 2541 ชนมธยมศกษาปท 3

จากโรงเรยนวดราชบพธ จงหวดกรงเทพมหานคร

พ.ศ. 2544 ชนมธยมศกษาปท 6

จากโรงเรยนวดราชบพธ จงหวดกรงเทพมหานคร

พ.ศ. 2548 คบ. (คณตศาสตร)

จากมหาวทยาลยราชภฏบานสมเดจเจาพระยา

พ.ศ. 2551 กศ.ม. (คณตศาสตร)

จากมหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ