การเปรยบเทยบคาความไมแนนอนของการวด โดยวธจ าลองมอนตคารโลกบวธมาตรฐานตาม GUM (Comparisons of the Uncertainty of Measurement

between Monte Carlo Simulation and GUM method) โดย พล.อ.ต. ดร. เพยร โตทาโรง ทปรกษาสมาคมมาตรวทยาแหงประเทศไทย

บทน า

บทความฉบบนเปนบทความทมเนอหาตอจากบทความฉบบแรกเรอง “การประมาณคา ความไมแนนอนของการวดดวยวธการจ าลองมอนตคารโล” (Uncertainty of Measurement by Monte Carlo Simulation) โดยบทความฉบบนจะเปรยบเทยบผลลพธของการหาคาความไมแนนอนของการวดโดยวธการจ าลองมอนตคารโลกบผลลพธจากการค านวณโดยวธมาตรฐาน (Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, GUM) ในสองกรณตวอยางไดแก การวดกระแสไฟฟา และ การสอบเทยบเครองชงอเลคทรอนคส

ตวอยางการเปรยบเทยบผลลพธความไมแนนอนของการวดดวยวธมอนตคารโลกบการค านวณดวยวธมาตรฐาน(GUM) ตวอยางท 1 การวดไฟฟากระแสตรง 10 A โดยใชดจตอลโวลทมเตอรวดคาแรงดนไฟฟาทตกครอม ความตานทานมาตรฐาน (Shunt Resistor) ทน ามาตออนกรมในวงจร ผลลพธของการวดคาแรงดนไฟฟาจ านวน 10 ครง ทอณหภมหอง 23±5 °C มคาดงน

V(mV) 100.68 100.83 100.79 100.64 100.63 100.94 100.60 100.68 100.76 100.65

โดยท Shunt Resistor มคณลกษณะเฉพาะดงน - จากใบรบรองการสอบเทยบ R = 0.010088 Ω ทคากระแส 10 A (23 °C) และคาความไมแนนอนของ

การวด ± 0.08% ทระดบความเชอมน 95% - Temperature Coefficient ระหวางชวงอณหภม 15 ถง 30 °C มคา 60 ppm/°C - ในการสอบเทยบไมคดคาความไมแนนอนเนองจาก Resistance Drift และดจตอลโวลทมเตอรม

คณลกษณะเฉพาะดงน

- ในชวงอณหภม 15-40 °C ท Range = 200 mV Full Scale = 199.99 mV ความละเอยดในการอานผล การวด (Voltmeter Resolution) = ±(0.03% of reading + 2 counts)

การค านวณความไมแนนอนของการวดดวยวธมาตรฐาน ดงน 1. สมาการระบบการวด

I = f (V, R) =

โดยท I = ผลลพธของการวดคากระแสไฟฟาในวงจร R = คาความตานทานของ Shunt Resistor V = คาแรงดนไฟฟาทตกครอม Shunt Resistor ทวดดวยโวลทมเตอร

2. การหาคาความไมแนนอนของการวด Type A, ua

ua =

โดยท s(V ) = คาเบยงเบนมาตรฐานของคาแรงดนไฟฟา (V) n = จ านวนครงของการวด

จากขอมลการวด 10 ครงค านวณหาคาเฉลยไดเทากบ 100.72 mV และค านวณหาคาเบยงเบนมาตรฐานไดเทากบ 10.75x10-2 mV แทนคาในสมาการขางตน ไดดงน

ua =

=

= 3.40x10-2 mV

โดยท Degree of Freedom มคาเทากบ 9 3. ค านวณหาคาความไมแนนอนของการวด Type B 3.1 ความไมแนนอนของการวดเนองจากความละเอยดของโวลทมเตอร (Voltmeter Resolution) มคา ±0.03% of reading + 2 counts = ± (0.03/100)x100.72+2(0.01) = ± 5.02x10-2 mV ดงนนคาความไมแนนอนของการวดมาตรฐาน (Standard Uncertainty) เนองจากความละเอยดของโวลทมเตอร (u2) หาไดดงน โดยลกษณะการกระจายตวเปนชนดสเหลยมผนผา (Rectangular Distribution)

u2 =

= 2.90x10-2 mV

โดยท Degree of Freedom มคาเทากบคาอนนต

3.2 ความไมแนนอนของคาความตานทางของ Shunt Resistor (u3)

u3 (95%) = 0.08% x 0.010088 = 8.07 x 10- 6 Ω ทระดบความเชอมน 95%

โดยทลกษณะการกระจายตวเปนชนด Normal Distribution ดงนนความไมแนนอนของการวดมาตรฐานมคาเทากบ

u3 =

= 4.035 x 10-6 Ω

โดยท Degree of Freedom มคาเทากบคาอนนต 3.3 ความไมแนนอนของคาความตานของ Shunt Resistor เนองจากผลของอณหภม (u4) คาสมประสทธการเปลยนแปลงคาความตานทานเนองจากอณหภม (Temperature Coefficient) มคาเทากบ 60 ppm/°C โดยทลกษณะการกระจายตวเปนชนดสเหลยมผนผา ดงนนคาความไมแนนอนมาตรฐานเนองจากการเปลยนแปลงอณหภมมคาเทากบ

u4 =

=

=

Ω

= 1.75 x 10-6 Ω

โดยท Degree of Freedom มคาเทากบคาอนนต 4. ค านวณหาคาความไมแนนอนรวม (Combined Standard Uncertainty), uC

uC =

จากสมการระบบการวดขางตนจะหาคา Sensitivity Coefficients, c1, c2 ไดโดยมคาดงน

c1 =

=

=

= 99.128 S

c2 =

= -

= - 989.70 V/ Ω2

แทนคาในสมการขางตนสามารถหาคาความไมแนนอนรวมไดดงน

uC =

= 6.26 x 10-3 A

5. ค านวณวณหาคา Effective Degree of Freedom, veff

สามารถหาไดโดยใชสมาการ Welch-Satterthwaite ดงนน

veff =

107

6. ค านวณหาคาความไมแนนอนขยาย (Expanded Uncertainty) , U

ใชคา Effective Degree of Freedom, veff = 107, หาคา Coverage Factor, k จากตาราง Student’s t ไดคา k = 2 ทระดบความเชอมน 95% ดงนน

U = k uC = 2 x 6.26 x 10-3 = 0.0125 A 7. การรายงานผลการวดคากระแสไฟฟา

จากขอมลการอานแรงดนไฟฟาตกครอม Shunt Resistor 10 ครง หาคาเฉลยไดเทากบ 100.72 x 10-3 V ดงนนผลลพธของการวดคากระแสไฟฟาจะเทากบ

I = = = 9.984 A

I = 9.984 ± 0.013 A ทระดบความเชอมน 95% รปท 1-4 แสดงผลลพธของการหาคาความไมแนนอนของการวดดวยวธการจ าลองระบบ มอนตคารโล จ านวน 5,000 ครง 20,000 ครง 50,000 ครง และ 200,000 ครง ตามล าดบ จะเหนไดวาผลลพธจากการจ าลองมอนตคารโล มคาใกลเคยงกบวธการค านวณมาตรฐานตาม GUM และเมอจ านวนครงของ การจ าลองมากขนรปแบบของการกระจายตวจะเปนชนด Normal Distribution และไดคา upper limit และ lower limit เปนคาเดยวกน

รปท 1 ผลลพธตวอยางท 1 การจ าลองมอนตคารโล 5,000 ครง ทระดบความเชอมน 95% คาความไมแนนอนของการวดอยในชวง -0.0124 ถง 0.0129

รปท 2 ผลลพธตวอยางท 1 การจ าลองมอนตคารโล 20,000 ครง ทระดบความเชอมน 95% คาความไมแนนอนของการวดอยในชวง -0.0125 ถง 0.0128

รปท 3 ผลลพธตวอยางท 1 การจ าลองมอนตคารโล 50,000 ครง ทระดบความเชอมน 95% คาความไมแนนอนของการวดอยในชวง -0.0125 ถง 0.0125

รปท 4 ผลลพธตวอยางท 1 การจ าลองมอนตคารโล 200,000 ครง ทระดบความเชอมน 95% คาความไมแนนอนของการวดอยในชวง -0.0125 ถง 0.0125

ตวอยางท 2 ในการสอบเทยบเครองชงอเลคทรอนคสทมชวงกวางของการชง(Range) 0 – 60 kg คา ความละเอยดของเครองชง (Resolution) 0.01 kg โดยใชวธการ Direct Comparison Method ดวยลกตมน าหนกมาตรฐาน OIML class M2 ในการหาคา Repeatability ของเครองชง ไดแบงการชงเปนสามชวงไดแก near zero, half-full load และ full load น าขอมลทงสามชวงมาค านวณหาคา Pooled Standard Deviation ใน การสอบเทยบจะท าการชงตมน าหนกมาตรฐานโดยเพมน าหนกขนประมาณ 10% ของ full load จนถงต าแหนง full load 60 kg อานคาน าหนกได 59.99 kg การค านวณคาความไมแนนอนของการวดดวยวธการมาตรฐาน ดงน

1. สมาการระบบการวด

S = M + E

โดยท S = คาน าหนกทอานไดจากเครองชง (Scale reading) M = คาน าหนกมาตรฐาน E = คาผดพลาดจากการอานคาน าหนก (Error of the scale reading)

2. การหาคาความไมแนนอนของการวด Type A , ua

ua =

โดยท S0(M) = Pooled standard deviation ของสามชวงของการชง n = จ านวนครงของการชง

ขอมลการชงในชวง near zero ค านวณหาคาเบยงเบนมาตรฐานได = 0.01 kg และมคา

Degree of Freedom, = 9 ขอมลการชงในชวง half full load หาคาเบยงเบนมาตรฐานได = 0.01 kg และมคา

Degree of Freedom, 1 = 9 ขอมลการชงในชวง full load ค านวณหาคาเบยงเบนมาตรฐานได = 0.01 kg และมคา

Degree of Freedom, 2 = 9

จากขอมลการชงทงสามชวงขางตนน ามาค านวณหาคา Pooled standard deviation ไดดงน

S0(M) = = 10 g

ในการสอบเทยบแตละจดจะท าการชงเพยงหนงครง ดงนนคาความไมแนนอนมาตรฐาน Type A มคาเทากบ

ua = = = 10 g

โดยท Degree of Freedom มคาเทากบ 27

3. ค านวณหาคาความไมแนนอนของการวด Type B 3.1 ความไมแนนอนของชดตมน าหนกมาตรฐานจากใบรบรองการสอบเทยบ มคามากทสดคอของ ตมน าหนก 60 kg มคา 1.8 g ทระดบความเชอมน 95% ดงนนคาความไมแนนอนของการวดมาตรฐาน (Standard Uncertainty), u2 จากใบรบรองการสอบเทยบตมน าหนกมาตรฐาน มคา

u2 = = 0.9 g

โดยท Degree of Freedom มคาเทากบคาอนนต

3.2 ความไมแนนอนของการวดเนองจากการเปลยนคาไปของตมน าหนกมาตรฐาน (Standard Weights Drift) มคา 0.3 g มรปแบบลกษณะการกระจายตวเปนชนดสเหลยมผนผา (Rectangular Distribution) ดงนนคาความไมแนนอนมาตรฐานเนองจาก Standard Weights Drift, u3 จะมคาเทากบ

u3 = = 0.173 g

โดยท Degree of Freedom มคาเทากบคาอนนต

3.3 ความไมแนนอนของการวดเนองจากคาความละเอยดของเครองชง (Scale Resolution) 0.01 kg มลกษณะการกระจายตวเปนชนดสเหลยมผนผา ดงนนคาความไมแนนอนของการวดมาตรฐานเนองจาก Scale Resolution , u4 จะมคาเทากบ

u4 = = 2.9 g

โดยท degree of freedom มคาเทากบ คาอนนต

3.4 ความไมแนนอนของการวดเนองจากผลการพยงตวของอาการ (Air Buoyancy Effect) มคา ± 0.55 g โดยทมรปแบบการกระจายเปนชนด Rectangular Distribution ดงนนคาความไมแนนอนมาตรฐานเนองจาก Air Bouyancy Effect, u5 จะมคาเทากบ

u5 = = 0.318 g

โดยท degree of freedom มคาเทากบ คาอนนต

4. ค านวณหาคาความไมแนนอนรวม (Combined Standard Uncertainty), uC

uC =

จากสมการระบบการวดขางตน จะหาคา sensitivity coefficients, c1 , c2 , c3 , c4, c5 ไดโดยมคาเทากบ 1 ดงนน

uC = = 10.45 g

5. ค านวณหาคา Effective Degrees of Freedom, veff

สามารถค านวณหาไดโดยใชสมาการ Welch-Satterthwaite ดงน

veff = 32

ผลลพธคา Effective Degree of Freedom, veff 32

6. ค านวณหาคาความไมแนนอนขยาย (Expanded Uncertainty) , U ใชคา Effective Degrees of Freedom, veff = 32 , หาคา Coverage Factor , k จากตาราง Student’s t ไดคา k = 2 ทระดบความเชอมน 95% ดงนน

U = k uC = 2 x 10.45 = 20.90 g 0.02 kg

7. การรายงานผลการสอบเทยบ

ระหวางการสอบเทยบโดยใชตมน าหนกมาตรฐาน 60 kg เครองชงอานคาได 59.99 kg มคาความไมแนนอนของการวด 0.02 kg คา Coverage Factor, k = 2 มรปแบบลกษณะการกระจายตวเปนชนด Normal Distribution ทระดบความเชอมน 95%

รปท 8-10 แสดงผลลพธของการหาคาความไมแนนอนของการวดดวยวธการจ าลองระบบมอนตคารโล จ านวน 5,000 ครง 100,000 ครง และ 200,000 ครง ตามล าดบ จะเหนไดวาผลลพธจาก การจ าลองมอนตคารโล มคาใกลเคยงกบวธการค านวณมาตรฐานตาม GUM และเมอจ านวนครงของ การจ าลองมากขนรปแบบของการกระจายตวจะเปนแบบ Normal Distribution และไดคา upper limit และ lower limit เปนคาเดยวกน

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

Distribution Histogram

frequency 95.45

รปท 5 ผลลพธตวอยางท 2 การจ าลองมอนตคารโล 5,000 ครง ทระดบความเชอมน 95% คาความไมแนนอนของการวดอยในชวง -20.18 ถง 21.03

-60 -40 -20 0 20 40 60

Distribution Histogram

frequency 95.45

รปท 6 ผลลพธตวอยางท 2 การจ าลองมอนตคารโล 100,000 ครง ทระดบความเชอมน 95% คาความไมแนนอนของการวดอยในชวง -20.96 ถง 21.07

-60 -40 -20 0 20 40 60

Distribution Histogram

frequency 95.45

รปท 7 ผลลพธตวอยางท 2 การจ าลองมอนตคารโล 200,000 ครง ทระดบความเชอมน 95% คาความไมแนนอนของการวดอยในชวง -20.93 ถง 20.96

สรป บทความฉบบนไดเสนอกรณตวอยางของการค านวณหาคาความไมแนนอนของการวดดวย

วธมาตรฐานตาม GUM และเปรยบเทยบผลกบวธการจ าลองมอนตคารโล ผลลพธทไดมคาใกลเคยงกน ดงนนวธการจ าลองมอนตคารโลสามารถน าไปใชตรวจเชคยนยนความถกตองของผลลพธทค านวณหาดวยวธการมาตรฐาน หรอในกรณทสมการระบบการวดมความสลบซบซอนแตมขอมลรปแบบลกษณะการกระจายตวของขอมลขาเขาระบบการวด ในกรณดงกลาวน การหาคาความไมแนนอนของการวดดวยวธการจ าลอง มอนตคารโลจะเปนทางเลอกทสะดวกและไดผลลพธทสามารถเชอถอได

เอกสารอางอง 1. ISO Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, 1995 2. Singapore Accreditation Council, Technical Guide 1: Guideline on the Evaluation and Expression of Measurement Uncertainty, 2nd Edition, 2001 3. Singapore Accreditation Council, Guidance Note EL001: Guideline on the Evaluation and Expression of Measurement Uncertainty for Electrical Testing Field, May 2002 4. John Hurll, เอกสารประกอบการบรรยายเรอง Uncertainty of Measurement from Basic to Advanced Practice จดโดยสมาคมมาตรวทยาแหงประเทศไทย พ.ศ. 2557 5. บทเรยนมาตรวทยา ฉบบปรบปรงครงท 1 โดย สถาบนมาตรวทยาแหงชาต พ.ศ. 2554

ประกาศเกยรตคณ ผเขยนขอขอบคณ Mr. John Hurll อดตผประเมนระบบคณภาพ ISO 17025 จาก UKAS ประเทศสหราชอาณาจกร ทไดมอบโปรแกรมค านวณหาคาความไมแนนอนของการวดดวยวธการจ าลองระบบมอนตคารโลใหแกสมาคมมาตรวทยาแหงประเทศไทย ซงผเขยนไดใชในการค านวณหาคาความไมแนนอนของการวดทปรากฏในบทความน