Dr = Rs

1 3 5 7

2 4 6 8

r 1 3 5 7

2 4 6 8

s

Rr = Ds

ตวผกผนของความสมพนธ (Inverse Relation) ก าหนดให r = { (1,2),(3,4),(5,6),(7,8) } จะได Dr = { 1,3,5,7} และ Rr = { 2,4,6,8 }

ถาสลบทสมาชกตวหนาและตวหลงของแตละคอนดบ จะไดความสมพนธ s = { (2,1),(4,3),(6,5),(8,7) } จะได Ds = { 2,4,6,8 } และ Rs = { 1,3,5,7}

จะเหนวา Dr = Rs และ Rr = Ds

เรยก s วา อนเวอรสของความสมพนธ r

บทนยาม อนเวอรสของความสมพนธ r คอความสมพนธซงเกดจากการสลบทของสมาชกตวหนาและสมาชกตวหลงของแตละคอนดบทเปนสมาชกของ r

อนเวอรสความสมพนธ r เขยนแทนดวย r-1

𝑟−1 = 𝑦, 𝑥 | 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑟

ตวอยาง จงหาอนเวอรสของความสมพนธ r พรอมทงบอกโดเมนและเรนจ r = { (1,1),(3,2),(1,3),(4,1),(0,-1) }

วธท า r-1= { (1,1),(2,3),(3,1),(1,4),(-1,0) }

ความสมพนธแบบบอกเงอนไข

ตวอยาง จงเขยนกราฟของ r และ r-1 ในระบบแกน ของมมฉากเดยวกนก าหนดให r = { (x,y) ∈ A×B 𝑦 = 2𝑥 + 1

วธท า แบบท 1 เปลยนทคอนดบ

r-1 = { (y,x) ∈ B× A 𝑦 = 2𝑥 + 1}

r-1 = { (y,x) ∈ B× A 𝑥 =𝑦−1

2}

เปลยน x เปน y , เปลยน y เปน x

ความสมพนธเปนแบบบอกเงอนไข

ตวอยาง จงเขยนกราฟของ r และ r-1 ในระบบแกน ของมมฉากเดยวกนก าหนดให r = { (x,y) 𝑦 = 2𝑥 + 1

วธท า แบบท 2 เปลยนทเงอนไข

r-1 = { (x,y) 𝑦 =𝑥−1

2

เปลยน x เปน y , เปลยน y เปน x

4

3

2

1

-1

-2

-3

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

y=x

y=x-1

2

y=2x+1

r-1 ={ (x,y) 𝑦 =𝑥−1

2 } เสนสแดง

𝑦 =𝑥 − 1

2

การพดคยท าใหเขาใจกนมากขน

มากกวาการคดเอง เออเอง

ตวอยาง ก าหนด r จงหา r-1 เมอ r = { (x,y) 𝑦 = 𝑥 − 5

วธท า

r-1 = { (x,y) 𝑥2 = 𝑦 − 5, 𝑥 ≥ 0

r = { (x,y) 𝑦 = 𝑥 − 5

r = { (x,y) 𝑦2 = 𝑥 − 5 , 𝑦 ≥ 0 ดงนน

r-1 = { (x,y) 𝑦 = 𝑥2 + 5, 𝑥 ≥ 0

ความสมพนธเปนกราฟ

อนเวอรสของความสมพนธคอ กราฟทสมมาตรกบกราฟของความสมพนธ โดยมเสนตรง y = x เปนแกนสมมาตร

จงเขยนกราฟของ r -1 ลงบนระบบพกดฉากเดยวกน

ตวอยาง จงหา r -1 และเขยนกราฟของ r และ r-1 บนระบบแกนมมฉากเดยวกน เมอก าหนด r ดงตอไปน

1. r = {(x,y) | y = x+1}

r-1 = ……………………………………………………………………

2. f = {(x,y) | y = x2 }

3. g = {(x,y) | y = |x-2| }

}

4. h = {(x,y) | y = 𝑥 − 3