149

ชุดการเรยีนคณิตศาสตร

แบบอุปนัยโดยใชกระบวนการกลุม วิชา ค42101 คณติศาสตรพื้นฐาน เรื่อง ความนาจะเปน

ระดบัชัน้มัธยมศกึษาปที่ 5

ชุดที่ 1 กฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับ

จัดทําโดย

นางสาวไพบูลย ใจชอบธรรม กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร

โรงเรียนราชวินิตบางแกว ในพระบรมราชูปถัมภ สํานักงานเขตพืน้ที่การศึกษาสมุทรปราการ เขต 2

150

ชุดการเรียน

ชุดท่ี 1 เรื่อง กฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับ ( Fundamental Principles of Counting)

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวัง เม่ือนักเรียนศึกษาชุดการเรียนคณิตศาสตรชุดที่ 1 แลว นักเรียนสามารถหาจํานวนผลลัพธท่ีอาจเกิดข้ึนของเหตุการณโดยใชแผนภาพตนไมอยางงาย และกฎเกณฑเบ้ืองตนเกีย่วกับการนับได

จุดประสงคการเรียนรู นักเรียนสามารถ 1. ใชแผนภาพตนไมอยางงายในการหาจํานวนผลลัพธท่ีอาจเกิดข้ึนของเหตุการณตางๆได 2. ใชกฎเกณฑเบ้ืองตนเกีย่วกับการนับในการหาจํานวนผลลัพธท่ีอาจเกิดข้ึนของเหตุการณตางๆได เวลาท่ีใช 100 นาที แบงเปน 2 คาบ ส่ือการสอน ชุดการเรียนคณิตศาสตรแบบอุปนัยโดยใชกระบวนการกลุม ชุดที่ 1 กฎเกณฑเบ้ืองตนเกีย่วกบัการนับ ประกอบดวย - เอกสารแนะแนวทาง - ใบงาน - ใบความรู - เอกสารแบบฝกหัด - แบบทดสอบทายชุดการเรียน

151

คําแนะนําในการใชชุดการเรียนคณิตศาสตรแบบอุปนัยโดยใชกระบวนการกลุม เรื่อง ความนาจะเปน

ชุดที่ 1 กฎเกณฑเบ้ืองตนเกี่ยวกับการนับ ( Fundamental Principles of Counting)

ตอนท่ี 1 แผนภาพตนไม ตอนท่ี 2 กฎเกณฑเบ้ืองตนเกีย่วกับการนับ คําชี้แจง 1. ชุดการเรียนคณิตศาสตรนี้ตองการใหนกัเรียนเกดิการเรียนรูดวยตนเอง โดยศึกษาชุดการ

เรียนรวมกันเปนกลุมๆ กลุมละ 4 – 5 คน 2. นักเรียนในแตละกลุมศึกษาผลการเรียนรูท่ีคาดหวัง และเนื้อหาสาระดวยความต้ังใจ 3. ใหนกัเรียนทุกคนในแตละกลุมศึกษาเอกสารแนะแนวทาง ใบงาน และชวยกันคิดและ พิจารณารวมกันภายในกลุม 4. ใหนกัเรียนในแตละกลุมสรุปความหมายของแผนภาพตนไมอยางงาย และกฎเกณฑเบ้ืองตน

เกี่ยวกับการนบั ลงในใบงานท่ีไดรับ โดยสรุปเปนความคิดรวบยอดของกลุม 5. ใหนกัเรียนในแตละกลุมศึกษาใบความรู เพื่อตรวจสอบการสรุปความคิดรวบยอดวาถูกตอง

หรือไม 6. ใหนกัเรียนแตละกลุมสงตัวแทนกลุมมาสรุปความคิดรวบยอดของกลุมหนาหองเรียน เพื่อ

สรุปเปนความคิดรวบยอดของหอง 7. ใหนกัเรียนทําเอกสารแบบฝกหัดของชุดการเรียน 8. นักเรียนในกลุมท่ีมีปญหา หรือ ขอสงสัย ไมเขาใจ ใหสอบถามกับครูผูสอน 9. นักเรียนสามารถตรวจคําตอบของใบงาน และเอกสารแบบฝกหัด ไดจากเฉลย ซ่ึงอยู

ดานหลังชุดการเรียน 10. นักเรียนแตละคนจะตองทําแบบทดสอบทายชุดการเรียนท่ี 1 เพื่อประเมินผลการเรียนรู ท่ี

คาดหวัง

152

เอกสารแนะแนวทางที่ 1.1 กฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับ

ตอนท่ี 1 แผนภาพตนไม ใหนกัเรียนในแตละกลุมพิจารณาสถานการณ และเขียนแผนภาพเพ่ือนับจํานวนวิธีของสถานการณท่ีกําหนด อวน มีเส้ือ 3 ตัวและกางเกง 2 ตัว ดังรูป จงหาจํานวนวิธีท่ี สถานการณที่ 1 อวนจะสวมเส้ือและกางเกงไปเท่ียวเปนชุดๆ ท่ีแตกตางกัน

แผนภาพแสดงจํานวนวิธีท่ีอวนสามารถแตงตัวดวยชุดตางๆกันดังนี ้

แผนภาพขางบนแสดงจํานวนวิธี ท่ีเปนไปไดท้ังหมด ท่ีอวนจะแตงตัวไดแตกตางกัน เรียกแผนภาพนี้วา แผนภาพตนไม

(Tree Diagram )

153

สถานการณท่ี 2

มีเลขโดดอยู 5 ตัว คือ 1, 2, 3, 4, และ 5 จํานวนท่ีมีเลขสองหลัก ซ่ึงประกอบดวยเลขโดดเหลานี้มีท้ังหมดกี่จํานวน โดยแตละจํานวนหามใชเลขโดดซํ้ากันในจํานวนเดียวกนั เชน 11, 22, …

จํานวนท่ีมีเลขสองหลัก

หลักสิบ หลักหนวย เลขหลักสิบ เลขหลักหนวย 1 1 1 1

………. ……….. ……….. ……….. ………..

.………

………… ……….. ………… ………… ………… ……….. ………… ………… ………… ………..

2 3 4 5

………. ……….. ……….. ……….. ………..

.………

………… ……….. ………… ………… ………… ……….. ………… …………

1

2 3 4 5

จากแผนภาพตนไมจํานวนท่ีมีเลขสองหลักจากเลขโดด 5 ตัว คือ 1, 2, 3, 4, 5 มีท้ังหมด.……… จํานวน

คือ……………………………………………….………………………………………………..

………… ………..

2

3 4 5

…………. …………. …………. ………….

…………. …………. ………….

………….

…………. …………. ………….

………….

…………. …………. ………….

………….

154

สถานการณท่ี 3

นพและเอกแขงขันเทนนิสกนั โดยมีกติกาวาผูใดชนะสองเกมติดตอกนั หรือชนะรวมแลวสาม

เกม จะเปนผูชนะในการแขงขัน จงหาวาจะมีการแขงขันจนกวาจะมีผูชนะท้ังหมดกีว่ิธี วิธีทํา ใหอักษร N แทนช่ือ นพ และอักษร A แทนช่ือ เอก และช่ือท่ีปรากฏในแผนภาพตนไมคือผูชนะในเกมน้ันๆ จํานวนวธีิการแขงขันจนกวาจะมีผูชนะทั้งหมด สามารถแสดงไดดวยแผนภาพตนไมดังนี ้

N

A

N

A

N

A N

A

N

A

N

A

N

A

N

A

N

เร่ิม

A

จากแผนภาพสรุปไดวาจะมีการแขงขันท้ังหมด 10 วิธี ดังนี้ NN , NAA , ……………………………. ……………………………………………………………………………………………………………

155

สถานการณท่ี 4

เด็กคนหนึ่งแขงขันยิงปนกบัเพื่อนคนหนึง่ โดยมีกตกิาวา ถาเขายิงถูกเปาเขาจะได 1 บาท แตถาเขายิงผิดเปา เขาจะเสีย 1 บาท ถาเด็กคนนีย้ิงไดท้ังหมดไมเกิน 5 นัด และจะหยุดเลนกอนครบ 5 นัด เม่ือเขาเสียเงินหมด หรือเขาไดกําไร 3 บาท จงหาจาํนวนวิธีการเลนของเด็กคนนี้จนกวาเขาจะหยุดเลน โดยกําหนดใหวา เม่ือเร่ิมเลนเด็กคนนี้มีเงินอยูแลว 1 บาท

2

0

เร่ิม 1

3

1

4

2 3

1

4 2 2

0 2

0 3

1

4 2 2 0

(

(

ถูก)

ผิด)

ไดจํานวนวิธีในการเลนของเด็กคนนีจ้นกวาจะหยุดการเลนเทากับ 11 วิธี ขอสังเกต แผนภาพตนไมจากสถานการณท่ี 3 และ 4 กิ่งแตกออกไปอยางมีระเบียบหรือไม ตอบ ไมเปนระเบียบ

156

ใบงานท่ี 1.1 ใหนกัเรียนในแตละกลุมเขียนแผนภาพตนไมเพื่อหาจํานวนวิธีท่ีเปนไปไดท้ังหมด 1. ใหนกัเรียนยกตัวอยางเหตุการณในชีวิตประจําวันท่ีจําเปนตองนับจํานวนวิธีตางๆท่ีเปนไปไดท้ังหมดของเหตุการณนัน้ พรอมท้ังเขียนแผนภาพตนไมแสดงวิธีหาจํานวนวิธีท้ังหมดท่ีเปนไปได ..........................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................... 2. ในถุงใบหนึ่งมีลูกบอล 5 ลูก เปนสีดํา 2 ลูก และสีขาว 3 ลูก จงหาจํานวนวิธีท่ีแตกตางกันท้ังหมดในการหยิบลูกบอลข้ึนมาพรอมๆกัน 2 ลูก พรอมท้ังเขียนแผนภาพประกอบคําตอบดวย ..........................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................

157

3. กุลธิดาชอบไอศครีมอยู 3 ชนิด คือ ช็อกโกแลต มะนาว และ สตรอเบอรร่ี เธอไปท่ีรานไอศครีมแหงหนึ่ง ปรากฏวาท่ีรานมีถวยโคนอยูสองรสคือครีม กับ กาแฟ กุลธิดาจะสามารถเลือกรับประทานไอศครีมไดตางๆกันกี่วิธี ถาในการรับประทานแตละคร้ังตองประกอบดวยไอศครีม 1 ชนิด และถวยโคน 1 ชนิด ..........................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................... 4. ทีม A และ ทีม B แขงขันปงปองกัน โดยมีกติกาวา ถาทีมใดชนะ 2 เกม ติดตอกัน หรือชนะรวม 4 เกม จะเปนผูชนะในการแขงขัน จงเขียนแผนภาพหาจํานวนวิธีการแขงขัน ..........................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................... จากกจิกรรมในเอกสารแนะแนวทางและใบงานนักเรียนชวยสรุปไดอยางไรเกี่ยวกับแผนภาพตนไม

158

ใบความรูที ่1.1

แผนภาพตนไม เปนแผนภาพท่ีแสดงการหาจํานวนท่ีเปนไปไดท้ังหมดของการกระทํา มี 2 แบบ คือ

1. แผนภาพตนไมท่ีมีกิ่งแตกออกเปนระเบียบ 2. แผนภาพตนไมท่ีมีกิ่งแตกออกไมเปนระเบียบ จากความรูเร่ืองเซตและความสัมพันธ สามารถหาผลคูณคารทีเชียน เม่ือกําหนดเซต A และ

เซต B ดังนี้ A = { 1, 2, 3 } B = { a, b }

จะได A B = คือ {(1,a)(1,b)(2,a)(2,b)(3,a)(3,b)} สามารถเขียนแผนภาพตนไม (Tree Diagram) แสดงข้ันตอนไดดังนี ้

1

2

3

จากแผนภาพสรุปไดวา

ขั้นตอนท่ี 1 มีวิธีเลือกสมาชิกจากเซต A ได 3 วิธี คือ 1 หรือ 2 หรือ 3 ขั้นตอนท่ี 2 ในแตละวิธีของข้ันตอนท่ี 1 มีวิธีเลือกสมาชิกจากเซต B ได 2 วธีิ

คือ a หรือ b และเกดิคูอันดบัท้ังหมด 6 คู คือ (1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)

เอกสารแบบฝกหัดทายชุดที่ 1.1

ข้ันตอนท่ี 1 ข้ันตอนที ่ 2 คูอันดับ

a

b

b

a

a

b

( 1 , a )

( 1 , b ) ( 2 , a )

( 2 , b ) ( 3 , a )

( 3 , b )

สรุป จํานวนสมาชิกทัง้หมดของ A B เทากับผลคูณของจํานวนสมาชิกในเซต A กับจํานวนสมาชิกในเซต B นั่นคือ

n (A B) = n(A) n(B) =

159

เอกสารแบบฝกหัดท่ี 1.1 ใหนักเรียนเขียนแผนภาพเพ่ือหาจํานวนวิธีท่ีเปนไปไดท้ังหมดของเหตุการณ จงหาจํานวนวิธีของเหตุการณตางๆตอไปนี้ พรอมท้ังเขียนแผนภาพตนไมแสดงวิธีหาจํานวนวิธีท้ังหมดท่ีเปนไปได 1. นก 2 ตัว เกาะกิ่งไม 3 กิ่งไดกีว่ิธี .........................................................................................

.........................................................................................

.........................................................................................

.........................................................................................

......................................................................................... 2. โยนลูกเตา 2 ลูกพรอมกัน 1 คร้ัง .........................................................................................

.........................................................................................

.........................................................................................

.........................................................................................

.........................................................................................

160

3. มาลีมีกระเชาผลไมอยู 3 แบบ และมีผลไมอยู 4 ชนดิ จงหาจํานวนวิธีท่ีมาลีจะจดักระเชาผลไม เปนแบบตางๆ โดยใชผลไมเพียงชนิดเดียว .........................................................................................

.........................................................................................

.........................................................................................

.........................................................................................

.........................................................................................

4. ในการแขงขันโบวล่ิง มีทีมโบวล่ิงลงสมัครแขงขันท้ังหมด 4 ทีม คือ ทีม A ทีม B ทีม C และ ทีม Dตามลําดับ การแขงขันเปนแบบพบกันหมด อยากทราบวาจะมีการแขงขันท้ังหมดกีค่ร้ัง และทีมอะไรพบกับทีมอะไรบาง จงเขียนแผนภาพประกอบแสดงวธีิหาคําตอบ .........................................................................................

.........................................................................................

.........................................................................................

.........................................................................................

.........................................................................................

161

5. กุกโรงแรมแหงหนึ่งจัดอาหารเชาไวบริการเปนชุดประกอบดวยอาหารคาว และนํ้าผลไม อยางละ 1 ชนิด ถามีอาหารคาว 3 ชนิดและน้ําผลไมอีก 4 ชนิด กุกจะจัดอาหารชุดได ท้ังหมดกีแ่บบท่ีไมซํ้ากัน .........................................................................................

.........................................................................................

.........................................................................................

.........................................................................................

.........................................................................................

162

เฉลยเอกสารแนะแนวทางที่ 1.1

สถานการณท่ี 2

มีเลขโดดอยู 5 ตัว คือ 1, 2, 3, 4, และ 5 จํานวนท่ีมีเลขสองหลัก ซ่ึงประกอบดวยเลขโดดเหลานี้มีท้ังหมดกี่จํานวน โดยแตละจํานวนหามใชเลขโดดซํ้ากันในจํานวนเดียวกนั เชน 11, 22, …

จํานวนท่ีมีเลขสองหลัก

หลักสิบ หลักหนวย เลขหลักสิบ เลขหลักหนวย 1 2

1 2

3 4 5

1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5

3 4 5 1 3 4 5 1 2 4 5 1 2 3 5 1 2 3 4

2

3 4 5

1 3

4 5

1

2 4

5 1

2 3

5

1 2 3

4

163

จากแผนภาพตนไมจํานวนท่ีมีเลขสองหลักจากเลขโดด 5 ตัว คือ 1, 2, 3, 4, 5 มีท้ังหมด 20 จํานวน คือ 12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54

สถานการณท่ี 3

นพและเอกแขงขันเทนนิสกนั โดยมีกติกาวาผูใดชนะสองเกมติดตอกนั หรือชนะรวมแลวสาม

เกม จะเปนผูชนะในการแขงขัน จงหาวาจะมีการแขงขันจนกวาจะมีผูชนะท้ังหมดกีว่ิธี วิธีทํา ใหอักษร N แทนช่ือ นพ และอักษร A แทนช่ือ เอก และช่ือท่ีปรากฏในแผนภาพตนไมคือผูชนะในเกมน้ันๆ จํานวนวธีิการแขงขันจนกวาจะมีผูชนะทั้งหมด สามารถแสดงไดดวยแผนภาพตนไมดังนี ้

N

A

N

A

N

A N

A

N

A

N

A

N

A

N

A

N

เร่ิม

A

จากแผนภาพสรุปไดวาจะมีการแขงขันท้ังหมด 10 วิธี ดังนี้ NN , NAA ,NANN , NANAN, NANAA, AA, ANN, ANAA, ANANN, ANANA

164

เฉลยใบงานท่ี 1.1 ใหนกัเรียนในแตละกลุมเขียนแผนภาพเพ่ือหาคําตอบ 1. ใหนกัเรียนยกตัวอยางเหตุการณในชีวิตประจําวันท่ีจําเปนตองนับจํานวนวิธีตางๆท่ีเปนไปไดท้ังหมดของเหตุการณนัน้ พรอมท้ังเขียนแผนภาพตนไมแสดงวิธีหาจํานวนวิธีท้ังหมดท่ีเปนไปได

แตละกลุมหาเหตุการณไดหลากหลาย 2. ในถุงใบหนึ่งมีลูกบอล 5 ลูก เปนสีดํา 2 ลูก และสีขาว 3 ลูก จงหาจาํนวนวิธีท่ีแตกตางกัน

ท้ังหมดในการหยิบลูกบอลข้ึนมาพรอมๆกัน 2 ลูก พรอมท้ังเขียนแผนภาพประกอบคําตอบดวย ดํา 2

ขาว

ขาวขาว

ดํา

21 1

ขาวขาวขาว

1 32

3

ขาวขาวขาว

1 ขาว 2 ขาวดํา

2 32

จํานวนวิธีเทากับ 10 วิธี 3

165

3. กุลธิดาชอบไอศครีมอยู 3 ชนิด คือ ช็อกโกแลต มะนาว และ สตรอเบอรร่ี เธอไปท่ีรานไอศครีมแหงหนึ่ง ปรากฏวาท่ีรานมีถวยโคนอยูสองรสคือ ครีม กับ กาแฟ กุลธิดาจะสามารถเลือกรับประทานไอศครีมไดตางๆกันกี่วิธี ถาในการรับประทานแตละคร้ังตองประกอบดวยไอศครีม 1 ชนิด และถวยโคน 1 ชนิด ถวย รสไอศครีม เลือกรับประทาน ช็อกโกแลต 4. ทีม A และ ทีม B แขงขันปงปองกัน โดยมีกตกิาวา ถาทีมใดชนะ 2 เกม ติดตอกัน หรือชนะรวม 4 เกม จะเปนผูชนะในการแขงขัน จงเขียนแผนภาพหาจํานวนวิธีการแขงขัน ไดจํานวนวิธีเทากับ 14 วธีิ จากกจิกรรมในเอกสารแนะแนวทางและใบงานนักเรียนชวยสรุปไดอยางไรเกี่ยวกับแผนภาพตนไม สรุป แผนภาพตนไมใชแสดงการหาจํานวนวิธีท้ังหมดเทาท่ีจะเปนไปไดของเหตุการณตางๆ มี 2 แบบ คือ

1. แผนภาพตนไมท่ีมีก่ิงแตกออกเปนระเบียบ 2. แผนภาพตนไมท่ีมีก่ิงแตกออกไมเปนระเบียบ

ครีม

มะนาว

สตรอเบอร ี

กาแฟ มะนาว

สตรอเบอร ี

ครีม,สตรอเบอร ีกาแฟ,ช็อกโกแลต

กาแฟ,มะนาว

ช็อกโกแลต

ครีม,ช็อกโกแลต

ครีม,มะนาว

กาแฟ,สตรอเบอรี

A

B

A

B

A

B A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

เร่ิม

166

เฉลยเอกสารแบบฝกหัดท่ี 1.1 จงหาจํานวนวิธีของเหตุการณตางๆตอไปนี้ พรอมท้ังเขียนแผนภาพตนไมแสดงวิธีหาจํานวนวิธีท้ังหมดท่ีเปนไปได 1. นก 2 ตัว เกาะกิ่งไม 3 กิ่งไดกีว่ิธี

นก1 นก2 จํานวนวิธี

จํานวนวิธีท้ังหมด เทากับ 9 วิธี

ก1 ก1ก1

ก1 ก2 ก1ก2 ก3 ก1ก3

ก1 ก2ก1

ก2 ก2 ก2ก2 ก3 ก2ก3

ก1 ก3ก1

ก3 ก2 ก3ก2 ก3 ก3ก3

2. โยนลูกเตา 2 ลูกพรอมกัน 1 คร้ัง 1 (1,1)

ลูกท่ี 1 ผลลัพธ ลูก

2 (1,2) 3 (1,3) 4 (1,4) 5 (1,5) 6 (1,6)

ท่ี 2

1

1 (2,1) 2 (2,2) 3 (2,3) 4 (2,4) 5 (2,5) 6 (2,6)

2

167

1 (3,1)

ผลลัพธ ลูกท่ี 1 ลูกท่ี 2

2 (3,2) 3 (3,3) 4 (3,4)

3

5 (3,5) 6 (3,6)

1 (4,1) 2 (4,2) 3 (4,3) 4 (4,4) 5 (4,5) 6 (4,6)

4

1 (5,1) 2 (5,2) 3 (5,3) 4 (5,4) 5 (5,5) 6 (5,6)

5

1 (6,1) 2 (6,2) 3 (6,3) 4 (6,4) 5 (6,5) 6 (6,6)

6

จํานวนวิธี เทากับ 36 วิธี

168

3. มาลีมีกระเชาผลไมอยู 3 แบบ และมีผลไมอยู 4 ชนดิ จงหาจํานวนวิธีท่ีมาลีจะจดักระเชาผลไมเปนแบบตางๆ โดยใชผลไมเพยีงชนิดเดยีว ให ช1 แทน กระเชาผลไมแบบท่ี 1 ให ม1 แทนผลไมชนดิท่ี 1 ช2 แทน กระเชาผลไมแบบท่ี 2 ม2 แทนผลไมชนดิท่ี 2 ช3 แทน กระเชาผลไมแบบท่ี 3 ม3 แทนผลไมชนดิท่ี 3 ม4 แทนผลไมชนิดท่ี 4 ผลไม ผลลัพธ ผลไม ผลลัพธ กระเชา กระเชา

ช1 ม2 ม1

ม3 ม4

ช2 ม 2

ม1

ม3 ม4

ช ม ช2ม1

2 2ช2ม3 ช2ม4

ช1ม2 ช1ม1

ช1ม3 ช1ม4

ช ม3 2 ช3ม1

ช3ม3 ช3ม4

ช3 ม2 ม1

ม3 ม4

ดังนัน้มาลีจะจัดกระเชาผลไมไดท้ังหมด 12 แบบ 4. ในการแขงขันโบวล่ิง มีทีมโบวล่ิงลงสมัครแขงขันท้ังหมด 4 ทีม คือ ทีม A ทีม B ทีม C และ ทีม Dตามลําดับ การแขงขันเปนแบบพบกันหมด อยากทราบวาจะมีการแขงขันท้ังหมดกีค่ร้ัง และทีมอะไรพบกับทีมอะไรบาง จงเขียนแผนภาพประกอบแสดงวธีิหาคําตอบ

B

C

D C

D

D

AB

AC

BC AD

CD

BD

C

B

A

169

5. กุกโรงแรมแหงหนึ่งจัดอาหารเชาไวบริการเปนชุด ประกอบดวยอาหารคาว และนํ้าผลไม อยางละ 1 ชนิด ถามีอาหารคาว 3 ชนิดและน้ําผลไมอีก 4 ชนิด กุกจะจัดอาหารชุดได ท้ังหมดกีแ่บบท่ีไมซํ้ากัน

อาหารคาว น้ําผลไม ผลลัพธ ม1 ค1ม1 ม2 ค1ม2

ม3 ค1ม3

ม4 ค1ม4 ม1 ค2ม1

ค1

ม2 ค2ม2

ค2ม3 ค2ม3 ม4 ค2ม4

สมมุติใหอาหารคาว 3 อยางเปน ค1, ค2 , ค3 ม1 ค3ม1 และสมมุติใหน้ําผลไม 4 อยางเปน ม1 , ม2 , ม3 , ม ม2 ค3ม2 4

ค3ม3 ค3ม3

ม4 ค3ม4

ดังนัน้กุกจะจัดอาหารชดุไดท้ังหมด 12 แบบ

170

เอกสารแนะแนวทางที่ 1.2

ตอนท่ี 2 กฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับ

ใหนักเรียนในกลุมชวยกนัพิจารณาสถานการณตอไปนี้ สถานการณท่ี 1

มีถนน 3 สาย จากอุดมสุข ไปยังรามคําแหง 2 และมีถนน 2 สาย จากรามคําแหง 2 ไปยังวัดทุงเศรษฐี นายเอก ตองการเดินทางจากอุดมสุขไปยงัวัดทุงเศรษฐี โดยทางถนน เขาจะเลือกเดนิทางไดท้ังหมดกีว่ธีิ อยางไรบาง ( ถาใหถนน 3 สายจากอุดมสุข ไปยังรามคําแหง 2 คือ ถนน a, b, c และ ถนน 2 สายจากรามคําแหง 2 ไปยังวดัทุงเศรษฐี คือ ถนน 1, 2 )

วิธีทํา อุดมสุข – ราม 2 ราม 2 – วัดทุงเศรษฐี เลือกเดินทาง. 1 a1 a 2 a2 1 b1 b 2 b2 1 c1 c

2 c2

จากแผนภาพตนไม จํานวนวิธีท่ีเขาจะเลือกเดินทางไดท้ังหมดเทากับ 6 วิธี

171

ขอสังเกต จากความรูเร่ืองเซตและผลคูณคารทีเชียน ถาให A แทนเซตของถนนจากอุดมสุขไปรามคําแหง 2

A = {a , b , c } n(A) = 3

B แทนเซตของถนนรามคําแหง 2ไปวัดทุงเศรษฐี B = {1 , 2 } n(B) = 2

จํานวนวิธีท้ังหมด = n(AB) = n(A)n(B) = 3 2 = 6

172

สถานการณท่ี 2 รานอาหาร “รสเด็ด “ มีรายการอาหารกลางวันดังตาราง

รายการอาหารแนะนําวนันี ้อาหารคาว ของหวาน น้ําผลไมปน

ขาวขาหมู รวมมิตร สม ขนมจีนน้ํายา กลวยบวชช ี มะนาว

แตงโม

สดใส จะมีวิธีเลือกส่ังอาหาร ซ่ึงประกอบดวยอาหารคาว ของหวาน และนํ้าผลไมปน อยางละ 1 ชนิด ไดแตกตางกันท้ังหมดกี่วิธี สม ( ส ) ข ร ส รวมมิตร มะนาว ( ม ) ข ร ม แตงโม ( ต ) ข ร ต ขาวขาหมู ( ข) …………… ………….. กลวยบวชช ี …………… ………….. …………… ………….. …………… …………. รวมมิตร …………… …………. …………… …………. ขนมจีนน้ํายา …………… …………… กลวยบวชช ี ……………. …………… ……………. ……………

สรุปไดวา สดใสสามารถเลือกส่ังอาหารกลางวันได = 2 2 3 = 12 วิธี

( ก )

( ก )

( ร )

( ร )

( จ )

อาหารคาว ของหวาน อาหารกลางวนัม้ือนี้ของสดใส น้ําผลไมปน

173

สถานการณท่ี 3 ระหวางทาขามสองฝงแมนํ้ามีเรือยนตขามฟากแลนอยู 3 ลํา จงหาจํานวนวิธีท้ังหมดท่ี

ผูโดยสารคนหน่ึงจะขามฟากโดยท่ีเทีย่วไปและเท่ียวกลับลงเรือไมซํ้าลํากัน วิธีทํา มีเรือขามฟากทั้งหมด 3 ลํา

กําหนดใหขามฟากไปและกลับ ดังนั้นผูโดยสารคนหน่ึงจะทํางาน 2 ข้ันตอน คือ ข้ันตอนท่ี 1 ขามฟากไปโดยเลือกเรือลําใดลําหนึ่งได ........ วิธี

ข้ันตอนท่ี 2 ขามฟากกลับโดยไมซํ้าลําเดิมท่ีขามฟากไป ในแตละวิธีท่ีเลือกเรือลําหนึ่งขามฟากไป จะเลือกเรือเท่ียวกลับได .......... วิธี จํานวนวิธีท่ีผูโดยสารคนหน่ึงจะขามฟากโดยท่ีเท่ียวไปและกลับไมชัเรือซํ้ากัน = 3 2 วิธี = 6 วิธี จากสถานการณท่ี 1 และ 2 ถาไมใชแผนภาพตนไม จะสรุปวิธีหาคําตอบไดอยางไร สถานการณท่ี 4 ถาตองการทําปายเพื่อแสดงแบบ สี และ ขนาดของรองเทากีฬา 6 แบบ แตละแบบมี 3 สี แตละสีมี 5 ขนาด จะตองจัดทําปายที่ตางกันทัง้หมดกี่ปายจึงจะครบทุกแบบ สี และ ขนาด

วิธีทํา

รองเทากีฬามีทั้งหมด 6 แบบ รองเทาแตละแบบมี 3 ส ี รองเทาแตละสีมี 5 ขนาด ดังน้ันจํานวนปายท่ีแสดง แบบ ส ี และ ขนาด จะตองมี 635 หรือ 90 แบบ

174

ใบงานท่ี 1.2

ใหนกัเรียนในกลุมชวยกันหาจํานวนวิธีท้ังหมดของเหตกุารณในแตละขอ 1. มีถนน 3 สาย จากบานนาย ก. ไปยังวงเวยีนแหงหนึ่งและ จากวงเวยีนนี้จะมีถนน 4 สายท่ีจะไป

หอสมุด ถานาย ก. ตองการเดินจากบานไปหอสมุด โดยผานวงเวียนดวย จะมีวิธีเดนิไดกีว่ิธี

ตอบ .…………………………………………………………………………………………

2. ครูคนหน่ึงมีจะวิธีแจกหนังสือตางกัน 3 เลม ใหเดก็ 10 คน ไดกีว่ิธี เม่ือ

(1) ไมมีเงื่อนไข ตอบ …………………………………………………………….. (2) ไมแจกซํ้าคน ตอบ ……………………………………………………………..

3. ตองการสรางเลข 4 หลัก จากเลข 2, 3, 5, 6, 7, และ 9 จะสรางไดกี่จํานวน เม่ือ

(1) ไมมีเงื่อนไข

ตอบ .…………………………………………………………………………………………

(2) เลขแตละหลักไมซํ้ากัน

ตอบ .…………………………………………………………………………………………

(3) จํานวนท่ีสรางนอยกวา 4000

ตอบ .…………………………………………………………………………………………

(4) เปนจํานวนคูและแตละหลักไมซํ้ากัน

ตอบ .…………………………………………………………………………………………

จากการศึกษาเอกสารแนะแนวทางและใบงานนักเรียนสรุปกฎเกณฑเกีย่วกับการหาจาํนวนวิธีท่ี เปนไปไดท้ังหมดของการเกิดเหตุการณตางๆไดอยางไร

175

ใบความรูที ่1.2

การนับวิธีตางๆ ท่ีเปนไปไดท้ังหมดของการเกิด

กฎเกณฑเบ้ืองตนเก่ียวกับการนับ

เหตุการณ จะสามารถทําไดเร็วข้ึน โดยใช กฎเกณฑเกี่ยวกับการนับ ซ่ึงเรียกวา หลักมูลฐานเก่ียวกับการนับ ( Fundamental Principles of Counting) ดังนี ้ กฎขอที่ 1

ถาตองการทาํงานสองอยาง ตอเนื่องกัน โดยทีง่านอยางแรกเลือกทาํได n1 วิธี และในแตละวิธทีี่เลือกทํางานอยางแรกนี้ จะมีวธิีเลือกทาํงานอยางที่สองได

n2 วิธี จํานวนวิธทีี่จะเลือกทํางานท้ังสองอยางเทากับ n1 n2

กฎขอที่ 2

ถาตองการทาํงานหลายอยาง ตอเนื่องกนั โดยที่งานอยางแรกเลือกทําได n1 วิธี และในแตละวธิีที่เลือกทํางานอยางแรกนี ้ จะมวีิธีเลือกทํางานอยางทีส่องได n2 วิธ ี และ

ในแตละวิธทีี่เลือกทํางานอยางแรกและอยางที่สอง จะมีวิธีเลือกทาํงานอยางที่สามได n3 วิธี

ดังนี้ตอไปเร่ือยๆ จาํนวนวธิีที่จะเลือกทํางาน k อยางเทากับ n1 n2 n3 … nk วิธ ี

ตัวอยางท่ี 1 บริษัทผลิตเคร่ืองหนังสําเร็จรูปแหงหนึ่ง ผลิตกระเปาเดนิทาง 5 แบบ แตละแบบมี 7 สี ทุกแบบทุกสีมีขนาด 18” , 22” และ 24” ถาจะจัดแสดงในงาน “เคร่ืองหนังแฟร” ใหครบทุกแบบ ทุกสี และทุกขนาด จะตองใชกระเปาท้ังหมดกี่ใบ

วิธีทํา จํานวนวิธีท่ีจะไดแบบมี 5 วิธี

แตละแบบเลือกสีได 7 วิธี แตละแบบและสีเลือกขนาดได 3 วิธี ดังนัน้จํานวนวิธีท่ีจะจัดกระเปาแสดงมีท้ังหมด 5 7 3 = 105 วิธี

176

ตัวอยางท่ี 2 มีจดหมาย 4 ฉบับ ตองการนําจดหมายเหลานี้ไปท้ิงท่ีตูไปรษณยีซ่ึงมี 5 ตู อยากทราบวาจะมีวิธีการท้ิงจดหมายไดท้ังหมดกี่วิธี (1) ไมมีเงื่อนไข

วิธีทํา จดหมายแตละฉบับใสไดท้ัง 5 ตู (ใสซํ้าตูกันได) ดังนัน้จํานวนวิธีท่ีจะท้ิงจดหมายไดท้ังหมด = 5 5 5 5 = 625 วิธี

(2) จดหมายแตละฉบับจะท้ิงตูเดียวกนัไมได วิธีทํา

เพราะวาจดหมายแตละฉบับจะใสตูเดียวกันไมได ดังนัน้ฉบับแรกใสตูใดตูหนึง่ได 5 วิธี

ในแตละวิธีจดหมายฉบบัท่ีสองใสตูใดตูหนึ่งท่ีไมซํ้ากับฉบับแรกได 4 วิธี ในแตละวิธีของจดหมายฉบับท่ีหนึง่และสอง ฉบับท่ีสามไมใสตูซํ้ากับหนึ่งและสองได 3 วิธี ในแตละวิธีของจดหมายฉบับท่ีหนึ่ สองและสาม ฉบับท่ีส่ีไมใสตูซํ้ากับหนึ่ง สองและสามได 2 วิธี ในแตละวิธีของจดหมายส่ีฉบับแรก ฉบับท่ีหาไมใสตูซํ้ากับส่ีฉบบัแรกได 1 วิธี

จํานวนวิธีท้ิงจดหมายท้ัง 5 ฉบับ โดยไมท้ิงตูเดยีวกัน = 54321 วิธี = 120 วิธี อาจแสดงวิธีหาคําตอบโดยแผนภาพงายๆ ดังนี ้ ไมซ้ํากับ 1 ไมซ้ํากับ 1, 2 ไมซ้ํากับ 1-3 ไมซ้ํากับ 1-4

ฉบับท่ี 1 ฉบับท่ี 2 ฉบับท่ี 3 ฉบับท่ี 4 ฉบับท่ี 5

จํานวนวิธี = 5 4 3 2 1

177

เอกสารแบบฝกหัดท่ี 1.2

ใหนักเรียนหาจํานวนวิธีท้ังหมดท่ีเปนไปไดของเหตุการณตางๆตอไปนี้ โดยใชกฎเกณฑเบ้ืองตนเก่ียวกับการนับ

1. กรรมการชุดหนึ่งมีผูชาย 5 คน ผูหญิง 8 คน จะเลือกประธานซ่ึงเปนผูชาย 1 คน และรองประธานซ่ึงเปนผูหญิง 1 คน จะเลือกไดท้ังหมดกีว่ธีิ

.………………………………………………………………….

.………………………………………………………………….

.………………………………………………………………….

2. ในการทอดลูกเตา 2 ลูก หนึ่งคร้ัง จงหาจํานวนวิธีท้ังหมดของการข้ึนหนาของลูกเตา ท้ัง 2 ลูก เม่ือลูกเตา 2 ลูกข้ึนแตมตางกัน

.………………………………………………………………….

.………………………………………………………………….

.………………………………………………………………….

.…………………………………………………………………..

3. หอง ๆ หนึ่งมี 6 ประตู ชายคนหนึ่งจะเดนิเขาและออกจากหองนี้ไดกีว่ิธี (1) เขาและออกประตูใดก็ได

.………………………………………………………………….

.………………………………………………………………….

.………………………………………………………………….

(2) หามออกประตูท่ีเขา

.………………………………………………………………….

.………………………………………………………………….

.………………………………………………………………….

178

4. ถามีหนังสือคณิตศาสตร 5 เลมตางกัน เคมี 6 เลมตางกัน และฟสิกส 3 เลมตางกัน จงหาวา จะเลือกหนังสือ 3 เลมจากสามวชิาไดกีว่ิธี วิธีทํา

.……………………………………………………………………

.……………………………………………………………………

.……………………………………………………………………

5. เด็กชาย 5 คน จะเดินออกจากหองๆ หนึง่ท่ีมีประตูออกได 4 ประตูไดกีว่ิธี วิธีทํา

.……………………………………………………………………

.……………………………………………………………………

.……………………………………………………………………

6. จะมีวิธีนําลูกบอลสีตางๆ กัน 4 ลูก ใสกลองตางๆกัน 5 ใบ ไดกีว่ิธี ถากลองแตละใบใสลูกบอลกี่ลูกก็ได วิธีทํา

.……………………………………………………………………

.……………………………………………………………………

.……………………………………………………………………

179

แบบทดสอบทายชุดการเรียนท่ี 1 1. 5. จะมีวิธีเลือกหวัหนาช้ันและรองหัวหนา

ช้ันจากผูท่ีถูกเสนอช่ือจํานวน 12 คน ไดกี่วิธี

ถามีถนน 3 สาย ระหวางเมืองดาหลา กับเมืองนครทม และถนน 4 สาย ระหวางเมืองนครทม กับเมืองสายหมอก

ชายคนหนึ่ง ขับรถไปและกลับ จาก

.…………………………………………… เมืองดาหลาไปยังเมืองสายหมอก ไดกี่ วิธี ถาไมใชเสนทางเดมิ .……………………………………………

2. ถากลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร มีวิชาเลือก 3 วิชา กลุมสาระฯ สังคม มีวิชาเลือก 5 วิชา และกลุมสาระฯ ภาษาไทยมีวิชาเลือก 4 วิชา ถานักเรียนคนหน่ึงจําเปนตองเลือกเรียนวิชาตางๆ นี้กลุมละ 1 วิชา เขาจะมีวิธีเลือกไดท้ังหมดกีว่ิธี

.……………………………………………

.……………………………………………

6. ในการโยนลูกเตาสองลูกพรอมๆ กัน จงหาจํานวนวิธีท่ีจะไดผลดังนี้ (1) ผลรวมของแตมเปนเลขค่ี

.……………………………………………

.…………………………………………… .……………………………………………

.…………………………………………… 3. มีหองพัก 5 หอง จงหาวาชาย 3 คนจะเขาพักในหองตางๆ ไดกี่วธีิ

(2) ผลรวมของแตมนอยกวาสิบ

.……………………………………………

.…………………………………………… .…………………………………………… 4. มีธงสีตางๆกัน 9 ผืน จะสงสัญญาณ

ดวยธง 3 ผืนจากธง 9 ผืนนีไ้ดกีว่ิธี .……………………………………………

.……………………………………………

180

เฉลยเอกสารแนะแนวทางที่ 1.2 สถานการณท่ี 2 รานอาหาร “รสเด็ด “ มีรายการอาหารกลางวันดังตาราง

รายการอาหารแนะนําวนันี ้อาหารคาว ของหวาน น้ําผลไมปน

ขาวขาหมู รวมมิตร สม ขนมจีนน้ํายา กลวยบวชช ี มะนาว

แตงโม

สดใส จะมีวิธีเลือกส่ังอาหาร ซ่ึงประกอบดวยอาหารคาว ของหวาน และนํ้าผลไมปน อยางละ 1 ชนิด ไดแตกตางกันท้ังหมดกีว่ิธี สม ( ส ) ข ร ส รวมมิตร มะนาว ( ม ) ข ร ม แตงโม ( ต ) ข ร ต ขาวขาหมู

ข) สม ( ส ) ข ก ส ( กลวยบวชช ี มะนาว ( ม ) ข ก ม แตงโม ( ต ) ข ก ต สม ( ส ) จ ร ส รวมมิตร มะนาว ( ม ) จ ร ม แตงโม ( ต ) จ ร ต ขนมจีนน้ํายา สม ( ส ) จ ก ส กลวยบวชช ี มะนาว ( ม ) จ ก ม แตงโม ( ต ) จ ก ต

สรุปไดวา สดใสสามารถเลือกส่ังอาหารกลางวันได = 2 2 3 = 12 วิธี

( ก )

( ก )

( ร )

( ร )

( จ )

อาหารคาว ของหวาน อาหารกลางวนัม้ือนี้ของสดใส น้ําผลไมปน

181

สถานการณท่ี 3

ระหวางทาขามสองฝงแมนํ้ามีเรือยนตขามฟากแลนอยู 3 ลํา จงหาจํานวนวิธีท้ังหมดท่ีผูโดยสารคนหน่ึงจะขามฟากโดยท่ีเทีย่วไปและเท่ียวกลับลงเรือไมซํ้าลํากัน

วิธีทํา มีเรือขามฟากทั้งหมด 3 ลํา

กําหนดใหขามฟากไปและกลับ ดังนั้นผูโดยสารคนหน่ึงจะทํางาน 2 ข้ันตอน คือ

ข้ันตอนท่ี 1 ขามฟากไปโดยเลือกเรือลําใดลําหนึ่งได 3 วิธี ข้ันตอนท่ี 2 ขามฟากกลับโดยไมซํ้าลําเดิมท่ีขามฟากไป ในแตละวิธีท่ีเลือกเรือลําหนึ่งขาม

ฟากไป จะเลือกเรือเท่ียวกลับได 2 วิธี จํานวนวิธีท่ีผูโดยสารคนหน่ึงจะขามฟากโดยท่ีเท่ียวไปและกลับไมชัเรือซํ้ากัน = 3 2 วิธี = 6 วิธี จากสถานการณท่ี 1 และ 2 ถาไมใชแผนภาพตนไม จะสรุปวิธีหาคําตอบไดอยางไร

182

เฉลยใบงานท่ี 1.2

ใหนกัเรียนในกลุมชวยกันหาจํานวนวิธีท้ังหมดของเหตกุารณในแตละขอ 1. มีถนน 3 สาย จากบานนาย ก. ไปยังวงเวยีนแหงหนึ่งและ จากวงเวียนนี้จะมีถนน 4 สายท่ีจะไปหอสมุด ถานาย ก. ตองการเดินจากบานไปหอสมุด โดยผานวงเวยีนดวย จะมีวิธีเดินไดกีว่ิธี

ตอบ จะมีวิธีเดินได 3 4 = 12 วิธี 2 . ครูคนหน่ึงมีจะวิธีแจกหนังสือตางกัน 3 เลม ใหเดก็ 10 คน ไดกีว่ธีิ เม่ือ

31. ไมมีเงื่อนไข ตอบ แจกได = 101010 = วิธี 102. ไมแจกซํ้าคน ตอบ 10 × 9 × 8 = 720 วิธี

3 . ตองการสรางเลข 4 หลัก จากเลข 2, 3, 5, 6, 7, และ 9 จะสรางไดกีจ่ํานวน เม่ือ

1.ไมมีเงื่อนไข ตอบ สรางได = 6 × 6 × 6 ×6 = 1296 จํานวน 2. เลขแตละหลักไมซํ้ากัน ตอบ สรางได = 6 5 4 3 = 360 จํานวน 3. จํานวนท่ีสรางนอยกวา 4000 ตอบ สรางได = 2 6 6 6 = 432 จํานวน 4. เปนจํานวนคูและแตละหลักไมซํ้ากัน ตอบ สรางได = 5 4 3 2 = 120 จํานวน จากการศึกษาเอกสารแนะแนวทาง และใบงาน นักเรียนสรุปกฎเกณฑ เกี่ยวกับการหาจํานวน

วิธีท่ีเปนไปไดท้ังหมดของการเกิดเหตุการณไดอยางไร สรุป ทํางานอยางแรกมีวิธีทําได วิธี ในแตละวิธีท่ีเลือกทํางานอยางแรก มีวิธีท่ีจะทํางานอยางท่ี

สองได วิธี ในแตละวิธีท่ีเลือกทํางานอยางแรก และทํางานอยางท่ีสองมีวิธีท่ีจะทํางานอยางท่ีสามได วิธี ดังนี้ตอไปเร่ือยๆ จํานวนวิธีท้ังหมดท่ีจะเลือกทํางาน k อยางเทากับ

1n

2n

n 3

n1 × n2 × n3 …× nk วิธี

183

เฉลยเอกสารแบบฝกหัดท่ี 1.2

ใหนักเรียนหาจํานวนวิธีท้ังหมดท่ีเปนไปไดของเหตุการณตางๆตอไปนี้ โดยใชกฎเกณฑเบ้ืองตนเก่ียวกับการนับ

1. กรรมการชุดหนึ่งมีผูชาย 5 คน ผูหญิง 8 คน จะเลือกประธานซ่ึงเปนผูชาย 1 คน และรองประธานซ่ึงเปนผูหญิง 1 คน จะเลือกไดท้ังหมดกี่วิธี

เลือกไดท้ังหมด = 58 = 40 วิธี

2. ในการทอดลูกเตา 2 ลูก หนึ่งคร้ัง จงหาจํานวนวิธีท้ังหมดของการข้ึนหนาของลูกเตา ท้ัง 2 ลูก เม่ือลูกเตา 2 ลูกข้ึนแตมตางกนั

จํานวนวิธี = 6 5 = 30 วิธี

3. หอง ๆ หนึ่งมี 6 ประตู ชายคนหนึ่งจะเดินเขาและออกจากหองนี้ไดกี่วิธี (1) เขาและออกประตูใดก็ได

เขา ออก 6 6

จํานวนวิธี = 66 = 36 วิธี (3) หามออกประตูท่ีเขา

เขา ออก 6 5

จํานวนวิธี = 65 = 30 วิธี

184

4. ถามีหนังสือคณิตศาสตร 5 เลมตางกัน เคมี 6 เลมตางกัน และฟสิกส 3 เลมตางกัน จงหาวา จะเลือกหนังสือ 3 เลมจากสามวชิาไดกีว่ิธี

วิธีทํา คณิต เคมี ฟสิกส

5 6 3

จะเลือกได = 563 = 90 วิธี

5. เด็กชาย 5 คน จะเดินออกจากหองๆ หนึ่งท่ีมีประตูออกได 4 ประตูไดกีว่ิธี วิธีทํา เดินออกจากหองได = 44444 = 4 5 1024 วิธี

6. จะมีวิธีนําลูกบอลสีตางๆ กัน 4 ลูก ใสกลองตางๆกัน 5 ใบ ไดกีว่ธีิ ถากลองแตละใบใสลูกบอลกี่ลูกก็ได วิธีทํา

จํานวนวิธี = 5555 = 625 วิธี

185

เฉลยแบบทดสอบทายชุดการเรียนท่ี 1

1. 5. จะมีวิธีเลือกหวัหนาช้ันและรองหัวหนาช้ัน จากผูท่ีถูกเสนอช่ือ จํานวน 12 คน ไดกีว่ิธี

ถามีถนน 3 สาย ระหวางเมืองดาหลา กับเมืองนครทม และถนน 4 สาย ระหวางเมืองนครทม กับเมืองสายหมอก

หัวหนา รองหัวหนา ชายคนหนึ่ง ขับรถไปและกลับ จากเมืองดาหลาไปยังเมืองสายหมอก ไดกี่วิธี ถาไมใช เสนทางเดิม

ไดจํานวนวิธี = 1211 = 132 วิธี 2. ถากลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร มี

วิชาเลือก 3 วิชา กลุมสาระฯ สังคม มีวิชาเลือก 5 วิชา และกลุมสาระฯ ภาษาไทยมีวิชาเลือก 4 วิชา ถานักเรียนคนหน่ึงจําเปนตองเลือกเรียนวิชาตางๆ นี้กลุมละ 1 วิชา เขาจะมีวิธีเลือกไดท้ังหมดกีว่ิธี

ดาหลา-นครทม นครทม-สายหมอก

ขาไป 34 = 12 วิธี ขากลับ 12-1 = 11 วิธี

ไดจํานวนวธีิ = 1211 = 132 วิธี 6. ในการโยนลูกเตาสองลูกพรอมๆ กัน จง

หาจํานวนวิธีท่ีจะไดผลดังนี้

คณิต สังคม ไทย (1) ผลรวมของแตมเปนเลขค่ี ไดจํานวนวิธี = 354 = 60 วิธี

3. มีหองพัก 5 หอง จงหาวาชาย 3 คนจะเขาพักในหองตางๆ ไดกี่วธีิ

1-6 เลขค่ีหรือคู ไดจํานวนวิธี = 63 = 18 วิธี (2) ผลรวมของแตมนอยกวาสิบ

ไดจํานวนวิธี = 555 = 125 วิธี 4. มีธงสีตางๆกัน 9 ผืน จะสงสัญญาณ

ดวยธง 3 ผืนจากธง 9 ผืนนีไ้ดกีว่ิธี ผลรวมของแตมมากกวาหรือเทากับสิบมี (4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)

ไดจํานวนวิธี = 36-6 = 30 วิธี

ไดจาํนวนวิธี = 987 = 504 วิธ ี

ชาย2 ชาย1 ชาย3