ABACOM Boletín Matemático

Las Matemáticas y la Literatura siempre han supuesto dos extremos completamen-te opuestos. Por un lado, a las Matemáti-cas siempre se les ha visto como frías, exactas, precisas, prácticas, no dan lugar a dudas. Por el otro, la Literatura es la ex-plosión de los sentimientos, es la forma de crear belleza. Son diferentes, por supues-to, pero acaso por ello…¿deben de ser enemigas?, ¿están enfrentadas las ma-temáticas con la literatura? Ciertamente que no. Veamos algunos ejemplos. En la literatura universal tenemos muchos ejemplos de esta relación entre la Ma-temática y la Literatura. Miguel de Cer-vantes se valió de las matemáticas para relatar una escena de su obra Don Quijote, cuando el protagonista de la novela hace una serie de cálculos para averiguar cuán-tos reales son 3.300 cuartillos (“ También los novelistas saben matemáticas”, José del Río Sánchez, Editorial Akron). Jorge Luis Borges, el destacado escritor argen-tino, siempre se interesó en las matemáti-cas – en particular le fascinó el tema del infinito – lo que se ve reflejado en su obra “El Aleph” y también al prologar el libro “Matemáticas e Imaginación”, de los au-tores Edward Kasner y James R. New-man.

En nuestro país se destaca Nicanor Pa-rra , el antipoeta, profesor de Matemáti-cas y Física de la Universidad de Chile, donde se desempeñó por algunos años como catedrático, su vida estuvo siem-pre entre los mundos de los números y de las letras. En 1965 se ganó la beca Fulbright y se desempeñó como profe-sor visitante en la Universidad de Loui-siana. Siendo su especialidad la literatu-ra, sorprendió a los académicos cuando dio una conferencia científica sobre las propiedades de la bomba atómica, la mecánica de Newton y los fundamentos de la relatividad, lo que al comienzo fue tomado como una humorada por el de-cano. También en nuestra ciudad, y más preci-samente en nuestra Universidad, tene-mos el caso de un profesor de Matemá-ticas que ha destacado en la poesía. Nos referimos a Lionel Henríquez, quien en Agosto viajará a México a exponer sus últimas creaciones literarias (ver NOTI-CIAS). Como se ve la Matemática y el Lengua-je y la Literatura trabajan de la mano: la Matemática ayuda a los niños a cons-truir habilidades lingüísticas, y el Len-guaje sustenta el aprendizaje de la Ma-temática. Ambos construyen habilidades de pensamiento. Las últimas investiga-ciones revelan que la magnitud en que un niño es expuesto a conceptos ma-temáticos durante sus primeros años de vida predice qué tan bueno será en ma-temáticas durante la primaria, pero lo sorprendente es que también predice qué tan bueno será en la lectura. Para ir más lejos, los niños que pueden contar una historia conocida o inventar una nueva cuando están pequeños, tienden a ser mejores en matemáticas. Así tene-mos que la buena noticia es que esta relación números-letras puede desarro-llarse simultáneamente y desde muy temprana edad.

JULIO 2010JULIO 2010JULIO 2010JULIO 2010

AÑO 9 N°35AÑO 9 N°35AÑO 9 N°35AÑO 9 N°35

Editorial

MATEMÁTICAS Y LITERATURAMATEMÁTICAS Y LITERATURAMATEMÁTICAS Y LITERATURAMATEMÁTICAS Y LITERATURA En esta edición

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Lo Último en Tecnología

• Internet, un Derecho. ................... .2

• La Netiqueta. ................................ .2

Estadística • Desviación Típica: Una Medida de

Dispersión .................................... .3

Matrices y Sistemas de Ecuaciones ..... .4

Bernhard Riemann • Una Mente Creativa. .................... .6

• Geometría Riemanniana .............. .6

• La Hipótesis de Riemann. ............ .7

• Anécdotas Sobre la Hipótesis de

Riemann. ...................................... .7

• La Integral de Riemann……….... .8

Juegos Matemáticos. ............................ .9

Anécdotas Matemáticas ....................... .9

Matemática Entrete • Ejercicio Complicado .................. 10

• La Rueda Reventada .................... 10

• Computación en la Prehistoria .... 10

• Acróstico. ..................................... 11

• La Antigüedad del Dinosaurio. .... 11

Concurso • Desafío a tu Ingenio ..................... 11

• Sopa Matemática .......................... 11

Noticias • Profesor Lionel Henríquez ........... 12

• XXII Olimpíada Nacional de Ma-

temática ........................................ 12

• Progr. Talentos para Ingeniería .... 12

J U L I O 2 0 1 0

Publicación destinada a Estudiantes y Profesores de Enseñanza Media.

Proyecto auspiciado por la Facultad de Ciencias de la Ingeniería de la

Universidad Austral de Chile.

Director: Juan Leiva V. Director Alterno: Víctor Alvarado A. Redacción Periodística :

Carolina Leiva C. Diagramación: Katherine Inalef P.

Centro de Docencia de CCBB Facultad de Ciencias de la Ingeniería

UACh.

Casilla 567 Valdivia. E.mail: abacom@uach.cl

Fono (63)221828 Fax (63)293730

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ABACOM Boletín Matemático

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Luis Véliz Matus

Hace pocos días entró en vigor en Finlandia una nueva ley, la cual obliga a los proveedo-res de Internet a ofrecer como mínimo una conexión de 1 Mbps a sus clientes. Así Fin-landia se convierte en

el primer país en el que el acceso a una conexión de banda ancha se considera un derecho legal. La visión que tiene el gobierno finlandés es que Inter-net es un medio fundamental para la comunicación y el acceso a la información. Actualmente, el 96% de la población finlandesa tiene conexión a Internet, lo cual es bastante comparado con el acceso en países de Su-damérica y en particular en Chile que es del 40%, don-de además, los accesos a internet de banda ancha son proporcionales al estrato social. También en Finlandia se anunció que para el año 2015 dispondrán de conexiones de 100 Mbps. Actualmente en Chile las conexiones de banda ancha más rápidas alcanzan los 30Mbps. En muchos países se están tomando medidas para me-

jorar la calidad y el acceso a Internet. En Estados Uni-dos el presidente Barack Obama ha anunciado la entre-ga de casi 800 millones de dólares en créditos y sub-venciones para la creación de redes de banda ancha que lleguen a hogares, colegios, hospitales, bibliotecas y espacios públicos. En Chile estamos lejos de alcanzar los índices de paí-ses desarrollados, pero al menos vamos por buen cami-no, el Gobierno de Chile tiene como objetivo para el año 2014 pasar del 40% al 70% de hogares conectados, llegar a un 100% de colegios conectados a alta veloci-dad, pasar del 10% al 20% en banda ancha móvil y al-canzar el 100% de las empresas. Lo último es muy im-portante ya que las Pymes en Chile ocupan el 80% de la mano de obra y producen el 15% de las exportaciones. También otras medidas son la conexión de 1.450 locali-dades aisladas, subsidiar la fibra óptica en zonas ex-tremas, agregar demanda de banda ancha internacional (el 70% del costo de las tarifas es por el costo inter-nacional).

Fuente: http://bit.ly/dc4LEm http://bit.ly/cR6qpf http://bit.ly/av9pvY

L a N E T i q u e t aL a N E T i q u e t aL a N E T i q u e t aL a N E T i q u e t a La palabra netiqueta es una palabra que deriva del francés étiquet-te (buena educación) y del inglés net (red) o network y vendría a designar el conjunto de reglas que regulan el comportamiento de un usuario en algún servicio de Internet como el correo electróni-co, mensajería instantánea, foros, blogs, redes sociales como Face-book y Twitter. La Netiqueta es importante ya que al igual que en la vida real ayuda a que haya armonía y respeto en las interacciones sociales. Algunas recomendaciones o reglas de netiqueta para internet en general:

• Considerar que el comportamiento en la red es reflejo de la personalidad y educación de las personas, por lo tanto para no pasar por mal educado o irrespetuoso, se debe tener en cuenta el contexto de las interacciones y con quién estamos interactuando.

• En el correo electrónico no se deben enviar cadenas y menos a todos los contactos. Generalmente el contenido de las cadenas es completamente falso. Cuando se envíen correos masivos debe usarse el campo CCO (“Con Copia Oculta”), así se respeta la privacidad de los contactos.

• Escribir con mayúsculas significa gritar, por lo tanto, no hay que hacerlo a menos que efectivamente se quiera dar esa impresión. Además es más incómodo de leer.

• Evitar el uso excesivo de emoticonos, cambios de colores y tamaños en los textos. • Más reglas y recomendaciones:

http://www.uprm.edu/ideal/netiqueta.pdf http://www.uned.es/iued/guia_actividad/netiqueta.htm

• Una lista de recomendaciones de netiqueta especiales para Facebook: http://www.enriquedans.com/2010/05/la-importancia-de-la-netiqueta-en-facebook.html

Internet, un Derecho

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ABACOM Boletín Matemático

DESVIACIÓN TÍPICA O ESTÁNDAR: UNA MEDIDA DE DISPERS IÓN A pesar de la gran importancia de las Medidas de Tendencia Cen-tral (Media, Mediana y Moda) y de la cantidad de información que aportan individualmente, no hay que dejar de señalar que en mu-chas ocasiones esa información, no sólo no es completa, sino que puede inducir a errores en su interpretación. Desviación Típica o Estándar Es sin duda la medida de dispersión más importante, ya que además sirve como medida previa al cálculo de otros valores es-tadísticos. La desviación estándar es una medida del grado de dispersión de los datos del valor promedio. Se designará con la letra s.

Cálculo de la desviación típica para datos no agrupados. Se calcula de la siguiente forma: Interpretación y Aplicación Una desviación estándar grande indica que los puntos están lejos de la media, y una desviación pequeña indica que los datos están agrupados cerca de la media.

Por ejemplo, las tres muestras (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) y (6, 6, 8, 8) cada una tiene una media de 7. Sus desviaciones estándar son 7, 5 y 1, respectivamente. La tercera muestra tiene una desviación mucho menor que las otras dos porque sus valores están más cer-ca de 7.

Ejemplo : Hallar la desviación típica de la serie: 5, 8, 10, 12, 16. Solución :

Primero hallamos la media que es: A continuación construimos la tabla:

Luego: Cálculo de la desviación típica para datos agrupados en clases y por frecuencias. La fórmula a utilizar es: Donde ci es la marca de clase para variables continuas.

Ejemplo: Hallar la desviación típica de las alturas en cm. de un grupo de 103 personas que se distribuyen según la tabla:

Solución : Antes de la realización de la tabla se debe calcular el promedio de la observación, lo que se realiza de la siguiente forma:

Luego, se completa la siguiente tabla:

Aplicando la fórmula obtenemos el valor de la desviación típica:

La interpretación de este resultado es que la dispersión de las alturas con respecto al promedio 172,8 cm es de 9,56 cm.

Danilo Díaz Levicoy EEEESSSSTTTTAAAADDDDÍÍÍÍSSSSTTTTIIIICCCCAAAA

x

5 5,2 27,04

8 2,2 4,84

10 0,2 0,04

12 -1,8 3,24

16 -5,8 33,64

= ≈s9413,27

9,56103

=x =152,5×3+157,5×6+162,5×12+...+187,5×7+192,5×4+197,5×1

103

= =17802,5172,8

103

=x 10,2

( )=

∑n

ii =1

x - xs

n

2

Altura n Altura n

(150;155] 3 (175;180] 17

(155;160] 6 (180;185] 10

(160;165] 12 (185;190] 7

(165;170] 18 (190;195] 4

(170;175] 25 (195;200] 1

Intervalo de Clase

M. de Clase (ci)

Frec. Abs (ni)

(150;155] 152,5 3 20,3 412,09 1236,27

(155;160] 157,5 6 15,3 234,09 1404,54

(160;165] 162,5 12 10,3 106,09 1273,08

(165;170] 167,5 18 5,3 28,09 505,62

(170;175] 172,5 25 0,3 0,09 2,25

(175;180] 177,5 17 -4,7 22,09 375,53

(180;185] 182,5 10 -9,7 94,09 940,9

(185;190] 187,5 7 -14,7 216,09 1512,63

(190;195] 192,5 4 -19,7 388,09 1552,36

(195;200] 197,5 1 -24,7 610,09 610,09

Total 103 9413,27

( )i−x c 2( )i−x c

2( )i i⋅ −n x c

.= =s 13,76 3,71

( )2

1

n

i ii=

⋅ −=∑n x c

sn

−x x 2( )−x x

J U L I O 2 0 1 0

4

Víctor Alvarado Alvarado

OPERACIONES CON MATRICES

En el número anterior se entregaron algunas breves nocio-nes sobre las matrices y sus orígenes. Ahora empezamos

entregando definiciones de igualdad de matrices, de la suma de dos matrices, del producto de un número por una matriz y del producto de dos matrices, además de las pro-piedades básicas con estas operaciones.

Sean A = (aij), B =(bij) є Mmxn, k є R. Entonces:

Igualdad de A y B: A = B ⇔ aij = bij, ∀ i, j.

Suma de A y B: A + B = (aij + bij) Ejemplo:

Producto de k y A: kA = (kaij) Ejemplo:

Propiedades

Sean A, B, C є Mmxn , s, t є R.

Entonces se cumplen las propiedades siguientes:

• A + B = B + A • A + (B + C) = (A + B) + C

• ∃O є Mmxn tal que A + O = O + A = A

(O = (0) se llama Matriz Nula).

• ∃ –A є Mmxn tal que A + (- A) = (- A) + A = O

(–A = (–aij ) se llama Matriz Inversa Aditiva de A). • s(tA) = (st)A • s(A + B) = sA + sB • (s + t)A = sA + tA • 1xA = A

Diferencia de A y B: A – B = A + (- B) Producto de A = (aij)єMmxn, B =(bij)єMnxp es AB = (cij)єMmxp,

con

Observar que para que se pueda efectuar el producto de dos matrices, el número de columnas de la primera debe coincidir con el número de filas de la segunda. Además el elemento “ij” del producto – o sea el que se encuentra en la

fila i y columna j – se obtiene multiplicando la fila “i” de la primera matriz con la columna “j” de la segunda matriz (se multiplican elemento a elemento y se suman los resultados).

Ejemplo: Acá A tiene 2 columnas y B tiene 2 filas, por eso se pue-

de efectuar el producto. El elemento c24, por ejemplo, es

26 pues al multiplicar la 2ª fila de A (2 5) por la 4ª co-

lumna de B resulta 2x3 + 5x4 = 26.

Propiedades

• A(BC) = (AB)C • A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC

• ∃In є Mn tal que ∀A є Mmxn , AIn = A

• ∃Im є Mm tal que ∀A є Mmxn , ImA = A

In = (dij), dij = 1, si i = j, dij = 0, si i ≠ j: Matriz Identidad. (En general, AB ≠ BA. Esto es: el producto de matrices no es conmutativo)

Matriz invertible

Sea A є Mn. A es invertible (o no singular), si ∃B є Mn tal

que AB = BA = In. B, matriz inversa de A, se anota A -1. Si no, A es no invertible (o singular). Propiedades

Sean A, B є Mn matrices invertibles. Entonces:

• La inversa de A es única • A -1 es invertible y (A -1)-1 = A • AB es invertible y (AB )-1 = B -1A -1

OPERACIONES ELEMENTALES Veremos a continuación operaciones entre las filas (o co-lumnas) de una matriz, llamadas operaciones elementales.

Estas operaciones son las que se deben efectuar para di-ferentes cálculos con matrices (por ejemplo para hallar la inversa) y para aplicaciones que tienen las matrices (por ejemplo para resolver sistemas de ecuaciones lineales). Llamaremos Operación Elemental Fila a cada una de las siguientes operaciones efectuadas sobre las filas de una matriz:

• Intercambiar dos filas.

Si se intercambian las filas r y s se anota: frs. • Multiplicar una fila por un número no nulo.

Si se multiplica por k la fila r, se anota: f(k)r. • Reemplazar una fila por ella más un múltiplo de otra.

Si se reemplaza la fila r por k veces la fila s, se anota: fr + (k)s.

+ =

1 -2 3 7 3 -8 8 1 -5

0 5 -4 -5 -2 6 -5 3 2

=

2 3 -1 10 15 -55

-4 0 6 -20 0 30

, =∑ a b = , =c n

ij ik kjk=1i 1,2,...,m j 1,2,...,p

⋅ =

1 -1 4 -2 1 -12 1 0 3

2 5 -6 17 -5 26-2 3 -1 4

-3 4 -14 9 -4 7

3

4

5

ABACOM Boletín Matemático

Ejemplos:

;

Dos matrices A, B є Mmxn son equivalentes por filas, si una se obtiene de la otra efectuando sucesivamente operaciones elementales fila (f1, f2, … ):

; se anota:

Una matriz elemental fila es una matriz obtenida de In, efectuando sobre ésta, una (sólo una) operación elemen-tal fila. Se anotan del siguiente modo:

Efectuar una operación elemental fila a una matriz A equivale a multiplicar A por la izquierda por la matriz elemental fila correspondiente. Una matriz se denomina Matriz Escalón Reducida por

Filas (MERF) si satisface las condiciones: 1. El primer elemento no nulo en cada fila no nula es 1. 2. Cada columna que tiene el primer elemento no nulo

de alguna fila, tiene todos sus otros elementos nulos. 3. El primer elemento no nulo de una fila, está a la de-

recha del primer elemento no nulo de la fila anterior. 4. Las filas nulas, si hay, están al final.

Ejemplos:

Sólo la matriz E es MERF ya que cumple con las 4 con-diciones. En A, el elemento a22 = 2, es el primer elemen-to no nulo de la 2ª fila, y no vale 1. En B, la segunda co-lumna, que tiene el primer elemento no nulo de la segun-

da fila, no tiene los demás elementos nulo (b12 = 5 ≠ 0). En C, el primer elemento no nulo de la 3ª fila no está a

la derecha del primer elemento no nulo de la 2ª fila (se encuentra a la izquierda de él). En D, la tercera fila es nula y no va al final.

A es Matriz Escalón (o escalonada) por Filas (MEF), si se cumplen las dos últimas condiciones. Se cumple que: Cualquier matriz es equivalente por filas a una única ma-triz escalón reducida por filas.

El Rango de una matriz A, denotado por r(A), es el número de filas no nulas de la matriz escalón reducida por filas, equivalente por filas con A. Ejemplo:

A ’ es MERF, es equivalente por filas con A y tiene 3 filas no nulas, por tanto el rango de A es 3, es decir r(A) = 3.

Se cumple que: A invertible

En tal caso la matriz inversa de A se encuentra hacien-do: ya que:

Es decir: Para hallar la matriz inversa de una matriz A, A є Mn, se forma una matriz con el doble de columnas que A, colocando al lado de ella la matriz identidad In. Luego, mediante operaciones elementales fila se trans-

forma esta nueva matriz de modo que donde estaba A resulte la matriz identidad. Ejemplo:

La matriz inversa de la matriz es la matriz Para hallarla, se hace el siguiente desarrollo:

= →

fA

2 + (-1)1

1 0 -6 3 -1 1 0 -6 3 -1

1 1 0 1 3 0 1 6 -2 4

0 2 13 0 7 0 2 13 0 7

0 -1 -6 2 -4 0 -1 -6 2 -4

→

f

f3 + (-2)2

4 + (1)2

1 0 -6 3 -1

0 1 6 -2 4

0 0 1 4 -1

0 0 0 0 0

→ =

f

f

A'1 + (6)3

2 + (-6)3

1 0 0 27 -7

0 1 0 -26 10

0 0 1 4 -1

0 0 0 0 0

�����

23

1 2 3 1 2 3

-2 4 5 3 1 -3

3 1 -3 -2 4 5

f ( )

�������

f2 3

1 2 3 1 2 3

-2 4 5 -2 4 5

3 1 -3 2×3 2×1 2×(-3)

( )

������������

f2+ 2 3

1 2 3 1 2 3

-2 4 5 -2+2×3 4+2×1 5+2×(-3)

3 1 -3 3 1 -3

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , = = =n n nF f I F f I F f Irs rs k r k r r+ k s r+ k s

=

1 0 -6 0 -1

0 1 5 0 1

0 0 0 1 3

0 0 0 0 0

E

=

1 0 -6 0 -1

0 2 5 0 1

0 0 0 1 3

0 0 0 0 0

A

=

1 5 -6 0 -1

0 1 5 0 1

0 0 0 1 3

0 0 0 0 0

B

=

C

1 0 -6 0 -1

0 0 0 1 3

0 1 5 0 1

0 0 0 0 0

=

D

1 0 -6 0 -1

0 1 5 0 1

0 0 0 0 0

0 0 0 1 3

( )⇔ ⇔∼ nfA I r A = n

( ) ( ) → →⋯1 -mffA I I An n

1

⇔m 2 1 n m 2 1 nF ...F F A = I F ...F F I = A -1

=

1 2 -3

0 1 2

1 3 -2

A

→

3 + (-1)1

1 2 -3 1 0 0

0 1 2 0 1 0

0 1 1 -1 0 1f( ) 3 =

A I

1 2 -3 1 0 0

0 1 2 0 1 0

1 3 -2 0 0 1

→

1 + (-2)2

3 + (-1)2

1 0 -7 1 -2 0

0 1 2 0 1 0

0 0 -1 -1 -1 1f

f

→

1 + (-7)3

2 + (2)3

(-1)3

1 0 0 8 5 -7

0 1 0-2 -1 2

0 0 1 1 1 -1

f

f

f

=

1

8 5 -7

-2 -1 2

1 1 -1

-A

1 2 1( ) ( ( ))→ → → →⋯A f A f f A B ∼fA B

Georg Friederich Bernhard Riemann nació el 17 de Septiembre de 1826, en Breselenz, Alemania. Su padre era pastor luterano y su abuelo materno fue consejero de la corte de Hannover. Era un niño tímido pero destacó tanto en matemáticas que el director de su escuela, donde comenzó sus estudios, le asignó un tutor individual para enseñarle aritmética y geometría avanzada. Al poco tiempo el tutor se dio cuenta que él mismo estaba aprendiendo de las sofisticadas solu-ciones que le planteaba el pequeño Rie-mann. Pocos años después, en un Colegio de Lüneberg, pidió al director algún libro de matemáticas que no fuera demasiado fácil y le recomendó “Teoría de Números” de Legendre. Era un libro muy denso y de nada menos que 859 páginas. Riemann volvió al cabo de una semana diciendo que ya lo había leído completo. A los 19 años ingresa a la Universidad de Gotinga para estudiar Teología y Filosofía como habían querido sus padres, pero se vio atraído por la figura de Karl Friederich Gauss (ABACOM N° 33), quien ya conta-

ba con 70 años, pero Riemann quedó asombrado con él y decidió profesionali-zarse en matemáticas. Gauss sugirió que fuera a Berlín, donde estudió con grandes matemáticos como: Steiner, Jacob, Eisenstein y Dirichlet. En 1849 volvió a Gotinga para desarrollar su tesis doctoral bajo la tutela de Gauss. En 1851 le enviaba su trabajo: “Bases de una Teoría General de Funciones de Variable Compleja”. Gauss alabó ese trabajo como una disertación propia de una mente crea-tiva, activa y genuinamente matemática y de una fértil y gloriosa originalidad. Tres años después, Riemann debía dar una clase magistral para su habilitación como profesor universitario. La costumbre era que el aspirante propusiera tres temas y el jurado le indicaba cual expusiese. General-mente elegían el primero de los temas pro-puestos. Gauss, que integraba el jurado, obviando dicha costumbre y picado por la curiosidad, solicitó que Riemann presenta-ra su tercer tema (supuestamente poco trabajado), cuyo título era “Sobre las Hipó-tesis en las que se funda la Geometría”. Fue una de las presentaciones más brillan-tes en la historia de las matemáticas. Gauss quedó entusiasmadísimo. Las ideas que expuso fueron utilizadas 50 años después de su muerte por Einstein, quien empleó esas matemáticas para desarrollar su Teoría de la Relatividad. En 1859 publica un artículo sobre los Números Primos, tema que le había cauti-

vado 15 años atrás. En esa publicación consta la famosa Hipótesis de Riemann (ver página siguiente). No se sabe cómo llegó a esa conjetura. Algunos matemáti-cos dicen que era muy perspicaz y otros que fue gracias a un enorme esfuerzo de cálculo. Pero también era un hombre y la pérdida de su padre y las cargas financieras que tuvo que soportar le llevaron a una crisis nerviosa en 1855. Se retiró a las montañas donde se relajaba dando paseos. Le con-cedieron un puesto como profesor asocia-do, pero murió su hermano y quedó al cargo de tres hermanas solteras, con lo que volvieron los problemas económicos. Finalmente, le concedieron la cátedra de Gotinga para suceder a Dirichlet. En 1862 se casó con Elise Koch. Fue pre-cisamente ella quien salvó parte de sus escritos de una sirvienta que había empe-zado a quemarlos, a la muerte de Rie-mann. Elise los mantuvo bajo llave hasta que murió. En 1920 se hicieron públicos y el editor, C.L. Siegel, que era matemático, vio que Riemann había utilizado potentes técnicas computacionales que otros ma-temáticos descubrirían a lo largo de 60 años después de su muerte. Riemann no los había publicado porque le faltaban pruebas para demostrar su eficacia. En 1863 se fue a Italia para intentar recu-perarse de una neumonía; pero recayó y murió en Selasca, el 20 de Julio 1866, antes de cumplir 40 años.

Juan Leiva Vivar

6

J U L I O 2 0 1 0

Una Mente Creativa Georg Friedrich Bernhard Riemann fue un destacadísi mo ma-temático del siglo XIX, a quien Gauss calificó de “ una mente creativa” por los aportes que hizo. Entre ellos te nemos la In-tegral de Riemann, la Geometría Riemanniana y sobre todo por una conjetura denominada “La Hipótesis de Riema nn”, que aun se encuentra sin resolver.

Uno de los postulados de la Geometría Plana de Euclides afirma que sólo se puede dibujar una línea recta paralela a otra recta que pase por un punto exterior a ésta. Durante muchos siglos los matemáticos creyeron que este postula-do se podía demostrar utilizando el resto de los postulados, pero los esfuerzos para probarlo fueron inútiles. A principios del siglo XIX, el matemático alemán Carl Friedrich Gauss, el matemático ruso Nikolái Lobachevski y el húngaro János Bolyai demostraron por separado la posibilidad de construir un sistema geométrico coherente, en el que el postulado de la paralela única de Euclides se reemplaza por otro que nos dice que se puede dibujar un número infinito de paralelas a una recta que pasan por un punto exterior a ésta. Más tar-

de, alrededor de 1860, Riemann mostró que una geometría en la que no existen líneas paralelas también es posible. Los detalles de estos dos tipos de geometría no euclídea son complejos, pero ambos se pueden demostrar utilizando modelos sencillos. La geometría Bolyai - Lobachevski, llamada normalmente Geometría no Euclídea Hiperbólica, describe la geometría de un plano que está formado sólo por los puntos interiores de un círculo en el que todas las posibles líneas rectas son cuerdas del círculo. De la misma manera, la Geometría Rie-manniana o no Euclídea Elíptica, es la geometría de la su-perficie de una esfera en la que todas las líneas rectas son círculos máximos.

Geometría RiemannianaGeometría RiemannianaGeometría RiemannianaGeometría Riemanniana

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ABACOM Boletín Matemático

ANÉCDOTAS SOBRE LA

HIPÓTESIS DE RIEMANN

El emperador alemán Federico I, apodado Barba-rroja, murió en una cruzada y fue enterrado en una tumba lejana. De allí surgió una leyenda que afir-maba que estaba vivo, dormido en una caverna de la montaña de Kyffhäuser, pero que despertaría y volvería al cabo de cientos de años, cuando Alema-nia lo necesitase. Se cuenta que alguien preguntó a Hilbert “Si revi-viera como Barbarroja después de quinientos años, ¿qué haría?”. “Preguntaría – respondió Hilbert – ¿Alguien ha demostrado la Hipótesis de Riemann?”

ȓ ȓ ȓ ȓ ȓ Godfrey Harold Hardy (1877-1947), matemático británico, gustaba en el verano visitar a sus amigos. Uno de ellos era Harald Bohr (hermano matemático del famoso físico), con quien cada vez que se reunían, lo primero que hacían era escribir una agenda de lo que harían en el día. El primer punto de la agenda siempre era el mismo: “Demostrar la Hipótesis de Riemann”. Obviamente nunca pudie-ron cumplirla, pero Hardy insistía que aquello debía ser escrito cada vez.

ȓ ȓ ȓ ȓ ȓ Otra de Hardy. Como broma, él consideraba a Dios como su enemigo personal. En una oportunidad en que el mar estaba muy revuelto, debió embarcarse. Antes de hacerlo envió una postal a su amigo Bohr, con el siguiente texto:

He probado la Hipótesis de Riemann. G. H. Hardy

Así, si el barco nau-fragaba, todo el mun-do creería que real-mente había probado la Hipótesis de Rie-mann. Pero, según Hardy, Dios no con-sentiría que tuviese tal honor y por tanto no dejaría que el barco se hundiera, Como llegó sin novedad a su des-tino…ciertamente la fórmula funcionó.

La Hipótesis de Riemann es uno de los problemas ma-temáticos más famosos que aún no ha sido resuelto. Tra-ta de un tema matemático llamado Variable Compleja y su enunciado es el siguiente:

La “función Zeta de Riemann” tiene ceros “triviales”, que son todos los números enteros pares y negativos, y ceros “no triviales”, cuya parte real está siempre entre 0 y 1. Riemann afirma que la parte real de todo cero no trivial es ½.

Riemann mencionó la conjetura, que sería llamada la Hipótesis de Riemann, en 1859 en su artículo Sobre los números primos menores que una magnitud dada, al desarrollar una fórmula explícita para calcular la canti-dad de primos menores que un número dado. Puesto que no era esencial para el propósito central de su artículo, no intentó dar una demostración de la misma.

En 1900, Hilbert incluyó la hipótesis de Riemann en su famosa lista de los 23 problemas no resueltos (ABACOM N° 16), es parte del problema 8 en la lista de Hilbert junto con la conjetura de Goldbach. La hipótesis de Riemann es el único problema de los que propuso Hilbert que está en el premio del milenio del Instituto Clay de Matemáticas, que ofrece un millón de dólares para quien lo resuelva.

Una infinidad de matemáticos ha dedicado mucho tiem-po en resolver este problema, sin tener éxito. Los que han hecho aportes significativos son, entre otros: Hada-mard, Hardy, Littlewood y Selberg.

Trabajos recientes se han concentrado en el cálculo explícito de la localización de grandes cantidades de ce-ros (con la esperanza de hallar algún contraejemplo).

En el año 2004, Xavier Gourdon verificó la conjetura de Riemann numéricamente para los primeros diez trillones de ceros no triviales de la función. Sin embargo esto no es una demostración, numéricamente sería interesante encontrar un contraejemplo, es decir un cero no trivial que no cumpla con que su parte real es 1/2, pues esto echaría por los suelos la validez de la conjetura.

Hasta el 2005, el intento más serio para explorar los ce-ros de la función Zeta de Riemann es el ZetaGrid, un proyecto de computación con la capacidad de verificar billones de ceros, de la mencionada función, por día. El proyecto acabó en diciembre de 2005, y ninguno de los ceros pudo ser identificado como contraejemplo de la hipótesis de Riemann.

La Hipótesis de RiemannLa Hipótesis de RiemannLa Hipótesis de RiemannLa Hipótesis de Riemann

Godfrey Harold Hardy

J U L I O 2 0 1 0

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De la Geometría, tenemos fórmulas que nos permiten calcular áreas de muchas figuras geométricas, tales como: triángulo, cuadrado, rectángulo, trapecio, círculo, etc. Pero si se quiere hallar el área de una figura que está limitada por curvas o seg-mentos de rectas cualesquiera, ¿cómo se podrá calcular su área? El concepto de Integral de Riemann, nos da la respuesta. Para ello se usa un proceso de aproximación y luego se calcula un límite. Veamos un ejemplo: Supongamos que se necesita calcular el área de la región R en el plano limitada por: y = f (x) = 4 – x2 , y = 0, x = 0, x = 2. Dividamos el intervalo [0,2] en n subin-tervalos de longitud 2/n, mediante los puntos

x0 = 0, x1 = 1⋅2/n, x2 = 2⋅2/n, … , xn = n⋅2/n= 2.

La suma es una aproximación del área de R.

Si se toma el límite, cuando n→∞, se obtendrá el valor exacto

del área. Tenemos:

(Pues la suma de los cuadrados de los naturales desde 1 hasta n está dada por: Reduciendo se obtiene:

por tanto el área de R es:

unidades de área. En general se tiene: Sea y = f(x) una función acotada definida en un intervalo [a,b]. Una partición del intervalo queda determinada por puntos x0 = a < x1 < x2 < … < xn = b. Se elige en cada intervalo [xi , xi+1] un punto xi

*, entonces si el límite

existe y es independiente de la partición y de la elección de los puntos xi

* , entonces el valor de este límite se llama Inte-gral de Riemann de la función f en el intervalo [a,b] y se anota:

Interpretación Geométrica: Para f función continua y no negativa el valor de la integral de Riemann de f en el intervalo [a,b] corresponde al área de la región del plano limitada por el gráfico de f , el eje X , y las rectas verticales x = a , x = b. En el ejemplo anterior tenemos que

El Teorema Fundamental del Cálculo permite calcular el valor de la Integral de Riemann si se conoce una antideriva-da de la función f . El enunciado es el siguiente: Si f es una función continua en un intervalo [a,b] y F una antiderivada de f (esto es, la derivada de F es f ), entonces:

Para el ejemplo anterior, tenemos que f (x) = 4 – x2, es conti-nua en [0,2] y una antiderivada de f es F(x) = 4x – x3 /3.

Por tanto:

La Integral de Riemann tiene muchas aplicaciones. En las apli-caciones de tipo Geométrico, además del cálculo de áreas de regiones planas, permite calcular longitud de arco de curvas, volúmenes de sólidos de revolución y áreas de superficies de revolución. Entre las aplicaciones de tipo Físico, tenemos el cálculo de la masa y centro de masa de cuerpos físicos, el tra-bajo efectuado por una fuerza que desplaza una partícula a lo largo de una curva, etc. También la Integral de Riemann tiene aplicaciones en la Economía, permitiendo calcular el valor presente de un ingreso continuo, la maximización de la utili-dad con respecto al tiempo, el superavit del consumidor y del productor, etc. Estas son sólo algunas de las utilidades que nos brinda la Inte-gral de Riemann.

LA INTEGRAL DE RIEMANN

0 1 1

2 2 2( ) ( ) ... ( )n nS f x f x f x

n n n−= ⋅ + ⋅ + + ⋅

2 22 1 2 ( 1) 2 2

4 0 4 ... 4nn

n n nS

⋅ − ⋅ = − + − + + − ⋅

2 2 22

4 24 [(1 2 ... ( 1) ]n n

n n = − + + + − ⋅

2

4 ( 1) (2 1) 24

6

n n nn

n n

− − = − ⋅ ⋅

2 2 2 ( 1)(2 1)1 2 ... )

6

n n nn

+ ++ + + =

2

2

16 12 4

3n

n nS

n

+ −=

16( ) lim

3nn

A R S→∞

= =

1*

10

lim ( ) ( )n

i i ini

f x x x−

+→∞ =

⋅ −∑

( )

b

af x dx∫

[ ] 2 2

0

16( ) (4 ) . .

3A R x dx ua= − =∫

( ) ( ) ( )

b

af x dx F b F a= −∫

2 2

0

8 16(4 ) (2) (0) 8

3 3x dx F F− = − = − =∫

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ABACOM Boletín Matemático

Juegos MatemáticosJuegos MatemáticosJuegos MatemáticosJuegos Matemáticos

En el ABACOM Nº 29 del año 2008 presenté un juego que provenía de la representación de un número en el sistema binario, aquí presento la creación de un juego similar usando el sistema ternario. Este juego consiste en mostrar 8 tarjetas a una persona, cada una con una serie de números, ésta debe elegir un número e indicar en cuál(es) de la(s) tarjeta(s) se encuentra el número elegido. Con esta informa-ción se puede adivinar el número (Las tarjetas se muestran abajo). El número elegido corresponde a la suma de los primeros números que se encuentran en las tarjetas donde estaba el número elegido.

Por Ejemplo: Si la persona dice que el número elegido está en las tarjetas 2, 5 y 8 entonces el número es 27 + 6 + 1 = 34.

¿Cómo y por qué funciona? La explicación de este juego está en la escritura de un número en sis-tema ternario (base 3). Los números que aparecen en las tarjetas van desde el 1 al 80. De acuerdo a la escritura en ternario, para escribir estos números se ne-cesitan 4 dígitos, que pueden ser 0,1 ó 2.

Por ejemplo, 2 se expresa 0002, pues 2 = 0⋅ 33 + 0⋅32 + 0⋅31 +

2⋅30 ; 34 se expresa 1021, pues 34 = 1⋅33 + 0⋅32 + 2⋅31 + 1⋅30 y 80 es

2222, pues 80 = 2⋅33 + 2⋅32 + 2⋅31 + 2⋅30 .

Las tarjetas se enumeran desde la 1 a la 8 y los números que contiene cada una se anotan del modo siguiente: si en la posición i se encuen-tra un 1, se anota el número en la tarjeta número 2i y si en la posi-ción i se encuentra un 2, se anota el número en la tarjeta número 2i – 1 , i = 1, 2, 3, 4. Los ceros no se toman en cuenta. Así, el 2, que se escribe 0002, tiene un 2 en la posición 4, entonces, se escribe el número 2 sólo en la tarjeta 2⋅4 – 1 = 7; el 34, que se

escribe 1021, tiene 1 en las posiciones 1 y 4, por tanto se debe escri-bir en las tarjetas 2⋅1 = 2 y 2⋅4 = 8; además tiene un 2 en la posición

3, por tanto también se escribe en la tarjeta 2⋅3 – 1 = 5. Por eso si la persona que juega dice que el número está en las tarje-tas 2, 5 y 8 entonces el número en el sistema ternario es 1021 que corresponde a 1⋅33 + 0⋅32 + 2⋅31 + 1⋅30 = 34.

Observar que la suma anterior es 27 + 6 + 1, es decir se suman los primeros números que aparecen en las tarjetas en donde está inclui-do el número elegido.

ANÉCDOTAS MATEMÁTICASANÉCDOTAS MATEMÁTICASANÉCDOTAS MATEMÁTICASANÉCDOTAS MATEMÁTICAS

JUEGO DE ADIVINAR UN NÚMERO

HILBERT, NOETHER Y LA CASA DE BAÑOS

Ara Pinilla Palma

David Hilbert (ver ABACOM Nº 17), al proponer la promoción de la extraordinaria matemática alemana Emmy Noether (1882 – 1935) a Pri-vatdozent (profesor titular universita-rio), lo que le permitiría convertirse en profesora e incluso en miembro del consejo universitario, se encontró con las reticencias de los miembros

del claustro, que se preguntaban cómo iba a asistir una mujer a las reu-niones de Facultad.

Fue entonces cuando Hilbert dijo: "Señores, no veo que el sexo del can-didato sea un obstáculo para su admi-sión a Privatdozent. Al fin y al cabo, esto no es una casa de baños".

27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53

Tarjeta Nº 2

54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

Tarjeta Nº 1

9 10 11 12 13 14 15 16 17 36 37 38 39 40 41 42 43 44 63 64 65 42 66 67 68 69 70 71

Tarjeta Nº 4

18 19 20 21 22 23 24 25 26 45 46 47 48 49 50 51 52 53 72 73 74 75 76 77 78 79 80

Tarjeta Nº 3

6 7 8 15 16 17 24 25 26 33 34 35 42 43 26 44 51 52 53 60 61 62 69 70 71 78 79 80

Tarjeta Nº 5

3 4 5 12 13 14 21 22 23 30 31 32 39 40 41 48 49 50 57 58 59 66 67 68 75 76 77

Tarjeta Nº 6

2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80 Tarjeta Nº 7

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 79 Tarjeta Nº 8

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Ejercicio Complicado El artista ruso Nicolai Pe-trovich Bogdanov Belski (1868-1945) pintó en 1895 el cuadro titulado Ejercicio Complicado. En él se aprecia al educador Serguei A. Ra-chinski (1833-1902), quien abandonó la cátedra en la universidad para dedicarse a enseñanza de niños campesi-nos. En la escena, el profesor Rachinski, está rodeado de alumnos que intentan resol-ver mentalmente el problema que él les propuso en el pi-zarrón. El problema consiste en calcular el valor de la ex-presión aritmética siguiente: La solución a este ejercicio puede ser muy fácil si se observa

que

además que , así el resultado es 2.

Pero, surge una pregunta: ¿Existe otra sucesión de 5 núme-ros enteros consecutivos de modo que la suma de los cuadra-dos de los 3 primeros sea igual a la suma de los cuadrados de los 2 últimos? La respuesta es sí. Se trata de resolver la ecuación:

,

que al desarrollar y reducir queda: ,

cuyas raíces son: x = 10, x = - 2.

Así existen dos sucesiones con estas características: 10, 11, 12, 13, 14 y - 2, - 1, 0, 1, 2.

La Rueda Reventada

Cuatro amigos universitarios se fueron de juer-ga un fin de semana antes del examen final de matemáticas. Lo pasaron bomba. Después de tanta fiesta, durmieron todo el domingo y no volvieron a casa hasta el lunes por la mañana. Como no habían podido estudiar, en lugar de entrar al examen final, decidieron que al termi-nar el examen hablarían con el profesor y le explicarían la razón por la cual no habían acu-dido. Le explicaron que habían ido de viaje el fin de semana y planeaban regresar para estu-diar, pero desafortunadamente pincharon un neumático. No tenían herramientas y nadie les había querido ayudar. Como resultado de la aventura, no llegaron a tiempo al examen final. El profesor pensó durante un rato y acordó hacerles el examen final al día siguiente. Los cuatro amigos estaban eufóricos. Estudiaron toda la noche y se presentaron al examen a la mañana siguiente. El profesor les puso en salas separadas y les entregó a cada uno su examen. Vieron el primer problema, valía 2 puntos y era muy fácil. "¡Excelente – pensó cada uno de ellos – esto está superfácil!". Cada uno terminó el problema y giraron el papel. En la segunda página sólo había una pregunta, que valía 4 puntos: "¿Qué rueda exactamente fue la que se pinchó?". (La verdad, es que el profesor de matemáticas fue generoso, pues los cuatro amigos aún tenían una probabilidad de acertar al azar: nada menos que 1/64.)

COMPUTACIÓN EN LA PREHISTORIA

2 2 2 2 210 +11 +12 +13 +14

365

2 2 2 2 210 +11 +12 =13 +14

100+121+144=365

2 2 2 2 2x +(x+1) +(x+2) =(x+3) +(x+4)

2x -8x-20=0

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ABACOM Boletín Matemático

soConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcu

Viola García Paredes

Problema 1: La Fracción Incógnita ¿Cuál es el mayor valor entero que puede tomar x para que la siguien-te fracción sea un número entero?

Problema 2: Reciclando Vasos de Papel En una fábrica reciclan todos sus materiales y pueden hacer un vaso de papel nuevo con nueve usados. ¿Cuántos vasos reciclados se pue-den fabricar, si inicialmente tenían 505 vasos nuevos?

RESOLUCIÓN PROBLEMAS EDICIÓN Nº 34

EDICIÓN Nº 35

Te proponemos que descubras diez (10) palabras relacionadas con Matri-ces . Pueden encontrarse en forma vertical, horizontal o en diagonal, de arriba hacia abajo (o viceversa), de izquierda a derecha (o viceversa).

H P E T N E G N A T D I R E C T R I Z R A S P A S O A E A A D E B E L I P L E T O S U C R O O R T O S P C I R B C M A T A I N T A E O E C N O L N R J S F L Y I H E A E S C O R A S C P I V O T E A L A

Envía tus soluciones (indicando Nombre, Colegio y Curso) a A B A C O M A B A C O M A B A C O M A B A C O M Boletín Matemático Casilla 567 Valdivia · Fax (63) 293730 · email: abacom@uach.cl Recepción de soluciones hasta el 10 de Septiembre de 2010

ACRÓSTICO En la Editorial (página 1) se habla de la relación entre Matemáticas y Literatura. Acá presentamos un acróstico (*) de Jose Antonio Herbás, "Matemáticas y Poesía":

M irar soñando despierto A l ver dos líneas trazadas T e refleja como ciertos E spacios que son del alma; M ar de infinitos destellos A cotados por las blancas T razas que dejan abiertos I mposibles movimientos C apaces de abrir las marcas A lcanzadas por expertos S abios de todos los tiempos Y soñando lograremos P enetrar en las esencias O cultas de los extremos E squivos de las conciencias, S abiendo que toda ciencia I ncluye cuando queremos A lgo de amor y cadencia

(*) Acróstico (del griego ákros: extre-mo, y stikhos: línea o verso) es una com-posición poética en la que las letras ini-ciales de cada verso, leídas en sentido vertical, forman un vocablo o una locu-ción.

La Antigüedad del La Antigüedad del DinosaurioDinosaurio

En el museo de historia natural, un visi-tante pregunta al conservador: "¿Qué antigüedad tiene este dinosaurio de aquí?". "Setenta millones y treinta y siete años", le contesta. Como el visitante se maravilla ante la precisión del dato, el conservador le explica: "Llevo trabajando aquí treinta y siete años, ¿sabe?, y cuando yo llegué me dijeron que el dinosaurio tenía seten-ta millones de años".

Problema 1: Un número es divisible por 11 si la dife-rencia entre la suma de las cifras ubicadas en los lugares pares y la suma de las cifra en los lugares impares es divisible por 11 o vale 0.

Valiéndose de esto y como los números deben tener 9 cifras sin repetirse, se puede obtener que: El mayor es 987.652.413 y el menor es 102.347.586.

Problema 2: El total de combinaciones posibles es 365 = 60.466.176. Como se invierten 3 segundos en cada intento, el tiempo total para efectuar todos los intentos es 60.466.176 X 3 = 181.398.528 segundos. Expresando en horas resulta 50.388,48, lo que equivale a casi 6.298,56 jornadas de trabajo de 8 horas. Si se trabajase todos los días, el tiempo para realizar todos los in-tentos es de 17,256328877 años, es decir aproximadamente 17 años 93 días.

PROBLEMAS EDICIÓN Nº 35

I N V E R S A D O R D O T C U D O R P S E G O T P U D I T A N N I A T E M O I R T A L U N E P I S E I R I S A M O F U S D I M E Y A U I M P A E S I N G U L A R D E U B O S N A O T M O T R S U V A N C

SOLUCIÓN EDICIÓN N° 34

Las palabras relacionadas con Cónicas son: Asíntota, Cen-tro, Directriz, Elipse, Eje, Foco, Hipérbo-la, Parábola, Tangente y Vértice.

3 2

2

4 212 3132

5 216

x x x

x x

+ + ++ +

ALUMNOS PARTICIPANTES :

Para los problemas planteados en la EDICIÓN 34 enviaron soluciones: Sebastián Bravo , Germán Gleisner y Eduardo Schild (I. Alemán, Valdivia); Raúl Cortez (Esc. Proyecto de Futuro, Paillaco); Rodolfo Ramírez (L. Rodulfo A. Phillippi, Paillaco); Felipe Torres (L. San Felipe Benicio, Coyhaique).

ciasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNo

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Carolina Leiva Cádiz

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Profesor Lionel Henríquez Barrientos: LA UNIÓN ENTRE LA MATEMÁTICA Y LA POESÍA

Con la conferencia “Binomio Matemática y Poesía” el poeta y docente de la UACh, Lionel Henríquez planteará la relación entre ambas disciplinas en Ti-juana, México, donde fue invita-do. También presentará sus últi-mas obras: “Sonetos Peregri-n a n t e s ” ( 2 0 0 9 ) y “Consentidos” (2010).

En Agosto participará como invitado de honor en el Congreso Universal de Poesía Hispanoamericana, organizado por la Sociedad Iberoamericana de Poetas, Escritores y Artistas (SIPEA) en Tijuana, México. Su talento por las letras y la matemática le hacen sostener que “ambas disciplinas contie-nen estructuras que requieren de un desarrollo sintáctico (construcción) y semántico (interpretación) para poder desarrollarse, de tal manera que sus resultados puedan comunicarse”, señala y agrega “ambas requieren de re-glas y ponen en desarrollo la creatividad”. En el contexto del aula, ABACOM invita a los alumnos a conocer la obra de este poeta valdiviano que cree que se pueden complementar las aptitudes por las letras y la matemática en dos actividades como lo son: desarrollar ejercicios matemáticos y crear poesías. En las dos se necesita utilizar la inspiración en la observación de nuestro entorno y el estudio previo para obtener la solución buscada. Además reconoce que sus obras “se basan en palabras con las que se for-man las metáforas y en el desarrollo de ejercicios matemáticos, las palabras son los números que permiten demostrar los teoremas”. Ver más información y obras del Poeta Lionel Henríquez en: http://lionelhenriquezb.blogspot.com/

Programa Talentos para Ingeniería: EL NEXO ENTRE LA UNIVERSIDAD Y LOS COLEGIOS

Con el fin de fortalecer los vínculos de la Facultad de Ciencias de la Ingeniería de la Universidad Austral de Chile con los estu-diantes de Enseñanza Media de los liceos de Valdivia y comunas, se dictan cursos del área de las Ciencias Básicas.

“Este programa comenzó el año 2008 a partir de la idea del profesor de Física Joaquín Castellano, quien propuso dictar clases con contenidos del área de la Física para la Ingeniería”, señala Lorena Díaz Parra, Coordinadora de Bachillerato y agrega: “Al concretar-se estos cursos se inscribieron 43 estudiantes y 15 ingresan a la Facultad de Ciencias de la Ingeniería el año 2009”. Esto representó todo un éxito y se senta-ron las bases para continuar mejorando y expandien-do este programa. Gracias a los buenos resultados anteriormente ex-puestos el año 2009 se promueve el programa en todos los colegios municipales de Valdivia y se consi-deran algunos colegios particulares subvencionados. Como se tuvo una buena acogida a la invitación se formaron cuatro cursos: dos de Física para Ingenier-ía y dos de Algebra para Ingeniería dictados por do-centes de la Universidad Austral de Chile. Este año se pretende detectar más alumnos con aptitudes sobresalientes ya que se extendió la ins-cripción a estudiantes de los colegios municipales, particulares subvencionados y particulares pagados. “Se realizó una inscripción masiva y se aplicó una prueba de selección para así formar cuatro cursos: dos de Introducción a la Ingeniería con un total de 95 alumnos; Algebra para Ingeniería con 37 alumnos inscritos y uno de Física para Ingeniería con 22 alumnos”, indica Díaz. Según el profesor Juan Leiva Vivar del Centro de Docencia de Ciencias Básicas de la UACh lo intere-sante de este programa es que los estudiantes, al aprobar los cursos, se les reconocen al ingresar a la Facultad de Ciencias de la Ingeniería. Esto lo confir-ma Lorena Díaz al declarar que “se tiene la expecta-tiva de contar con más alumnos en estudios superio-res de Ingeniería con conocimientos y cursos apro-bados de este programa. Además es un aporte a los conocimientos y aptitudes que se exigen para rendir la PSU”.

XXII OLIMPÍADA NACIONAL DE MATEMÁTICA

El 28 de Agosto se dará inicio a la Olimpíada de Matemática con la Prueba Nacional 2010, en las diferentes sedes en todo el país. A partir de este año el encar-gado regional para las regiones X (excepto Osorno), XI y XIV es el profesor Adolfo Quiroz del Instituto de Matemáti-ca de la UACh.

Esta competencia estará dividida en 2 categorías: A y B. La primera correspon-de a los alumnos nacidos en los años 94 o inferiores y la segunda corresponde a los alumnos nacidos en los años 95 o superio-

res. Posteriormente se medirán los mejores en la Final Nacional que se rea-lizará en Santiago los días 21,22 y 23 de Octubre de 2010.

Te invitamos a visitar la página www.olimpiadadematematica.cl para que te informes sobre las etapas, pautas año 2009 y pruebas anteriores para ejer-citar.