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En esta edición
Visítanos en: www.uach.cl/abacom Contáctanos en: [email protected]
pág Reflexiones . . . . . . . . . . . . 2
FISICOM 3
Conde Cálcula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Ciencia de Culto . . . . . . . . . 4
Tips Matemáticos . . . . . . . . . . 4
Concurso Desafío a tu Ingenio . . . . . . . . 5
. . . . . . . . . . . . . . . . 5
Grandes Inventos 5
Problemas con Historia
6
¿Qué es el GIMPS? . . . . . . . . . . . . . . .6
7
. . . . . 7
La Criptografía. . . . . . . . . . . . . 8
Anécdotas de la Ciencia . . 8
ABAQUIM La Importancia de los Colores en las
Plantas, lo Explica la Química . 9
Ciencia Entrete Cerámicas y Matemáticas. . . . . . . . . .10 . .10
¿Sabes más que un niño de Prime-
ro
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Noticias ¿Start o Game Over? . . . . . . . . 12
12
12
Ya llegó a Chile “La Hora del Código”, una campaña que ha tenido éxito en más de 180 países de todo el mundo y que tiene como objetivo promover el aprendizaje de la programación de computadores. En Chile esta iniciativa está siendo coordinada por Kodea, una fundación sin fines de lucro, y partici-pan entre otros el Departamento de Ciencias de la Computación de la Uni-versidad de Chile y la Subsecretaría de Economía.
Programar, en computación, es elaborar una serie de instrucciones para que el computador realice una cierta tarea, que permite resolver un problema espe-cífico. El conjunto de instrucciones se denomina programa y debe estar expre-sado en un lenguaje o código especial, para que la máquina lo entienda.
Si nos preguntamos ¿para qué sirve programar?, la respuesta es: para todo. Actualmente todas las actividades hu-manas están relacionadas con el computador, ya sea el antiguo aparato (con torre, pantalla y teclado separa-dos), el notebook, tablet o los teléfonos inteligentes actuales. Transacciones comerciales, estudio, búsqueda de in-formación, comunicaciones o entreten-
ción, tienen que ver con la compu-tación. Pero, no basta con tener acceso a un computador y saber usarlo, pues siempre necesitaremos realizar alguna acción específica, que los softwares disponibles no la traen. Ahí es donde el saber programar es indispensable.
Así es como se propuso durante el mes de octubre pasado, que todos los niños, jóvenes y cualquier persona que se in-terese, aprendan y practiquen durante una hora las ideas básicas de programa-ción. En el sitio:
http://www.horadelcodigo.cl
se puede encontrar material que permi-te, a través de pasos sencillos entender cómo hacer programas simples. No es necesario tener conocimientos previos de programación y puede hacerlo cual-quier persona. La idea es dar a conocer la importancia de esta habilidad en la población, ya que en nuestro país esta herramienta no está considerada en la educación formal y que en un futuro próximo será absolutamente necesaria.
La programación de computadores se ha considerado el “latín del siglo XXI”. Así como el latín sirvió a los romanos para unificar culturas, comerciar y co-nectar a las gentes de su vasto imperio, la programación es hoy el lenguaje uni-versal que permite conectarnos con el imperio de la tecnología.
Todas las aplicaciones que se usan en los celulares y todos los videojuegos han sido creados usando programación computacional. Así, el aprender a pro-gramar puede permitirnos crear nues-tras propias aplicaciones o videojuegos. Pero aún más, el aprender a programar ayuda a mejorar las habilidades para resolver problemas, las habilidades lógicas y sobre todo la creatividad.
Nº 56 Año 14
Noviembre 2015
Editorial
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F. Tatiana Riquelme Quezada, Miguel Velásquez Rojas 2
REFLEXIONES
El Cálculo forma parte de toda carrera de ingeniería, en donde tradicionalmente se enseñan técnicas de derivación e integración y sus aplicaciones. Generalmente, las aplicaciones son estudia-das al culminar la teoría, tal como se puede apreciar en la mayo-ría de los índices de libros de texto tradicionales. Este hecho deja la impresión de que las aplicaciones son consecuencia natural del dominio de la teoría (Alanís, 2009). Más aún, las aplicaciones a fenómenos físicos sólo se circunscriben al análisis teórico de las situaciones, sin que los estudiantes tengan la oportunidad de constatar dichas aplicaciones.
En el mismo sentido, Artigue (1995) señala que si bien en la enseñanza universitaria se tienen otras ambiciones, esta tiende a centrarse en una práctica algorítmica y algebraica del cálculo, teniendo como esencia de la evaluación las competencias asocia-das a este dominio. Una de las principales consecuencias negati-vas de esta forma de enseñanza es que el conocimiento adquirido por los estudiantes no es suficiente para abordar problemas en un contexto que escape a los ejercicios y problemas rutinarios (Moreno, 2005).
Como respuesta a dicha problemática Artigue (1995) distingue dos efectos relativos a la enseñanza del cálculo, a saber, el desa-rrollo de investigaciones didácticas en este campo y proyectos de innovación de la enseñanza, estos últimos situados en los niveles de educación media y superior.
En el Centro de Docencia de Ciencias Básicas para Ingeniería de la Universidad Austral de Chile, el equipo docente de Cálculo I para Ingeniería, ha diseñado actividades tendientes a vivenciar aplicaciones del cálculo. Una de ellas es la búsqueda del centro de masa de una placa de densidad uniforme, que no presenta simetrías, utilizando como herramienta la integral.
A partir de una placa de trupán se les pide a los estudiantes en-
contrar su centro de masa. Para esto, deben realizar una investi-gación bibliográfica, asociada a los conceptos físicos involucra-
dos y al uso de la integral, para localizar las coordenadas del centro de masa de una placa de densidad uniforme. Para obtener-
lo deben encontrar las ecuaciones que modelan la forma de la placa y luego, aplicando la teoría investigada, determinar las
coordenadas del punto buscado para, finalmente, comprobar de manera empírica que el resultado es el correcto (Figura 1).
B i b l i o g r a f í a Alanís, J., Salinas, P. (2009) Hacia un nuevo paradigma en la enseñanza del cálculo dentro de una institución educativa. Revista Latino Ameri-cana de Investigación en Matemática Educativa (México), Vol. 12, N° 3, 2009, pp. 355-382.
Artigue, M. (1995). La enseñanza de los principios del cálculo: proble-mas epistemológicos, cognitivos y didácticos. En Artigue, M.; Douady, R.; Moreno, L. y Gómez, P. (Eds.), Ingeniería didáctica en educación matemática. México: Grupo Editorial Iberoamérica, pp. 97-140.
Moreno, M. (2005). El papel de la didáctica en la enseñanza del cálculo: evolución, estado actual y retos futuros. En Maz, Alexander; Gómez, Bernardo; Torralbo, Manuel (Eds.), Noveno Simposio de la Sociedad Española de Educación Matemática SEIEM, pp. 81-96. Córdoba: Socie-dad Española de Investigación en Educación Matemática, SEIEM.
1 Ponencia presentada en la XXIX Reunión Latinoamericana de Matemá-tica Educativa (RELME) en Ciudad de Panamá, Panamá. Julio de 2015. 2 Profesores de Matemáticas del Centro de Docencia de CCBB de la Facultad de Ciencias de la Ingeniería de la UACh.
El diseño de actividades que permitan vivenciar las aplicaciones del cálculo, ofrece a los estudiantes la posibilidad de abordar problemas en contexto, además de los ejercicios y problemas tradicionales.
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Publicación destinada a Estudiantes y Profesores de
Enseñanza Media. Proyecto auspiciado por la Facultad
de Ciencias de la Ingeniería UACh.
Centro de Docencia de CCBB para Ingeniería Facultad de Ciencias de la Ingeniería UACh. Casilla 567 Valdivia Fono 632221828 Fax 632293730 [email protected] www.uach.cl/abacom
Director: Juan Leiva V. Redacción Periodística: Julio Morales M.
Web Master: Edinson Contreras R. Loopy y Gráficos: Sebastián Acevedo A.
Colaboraron en esta edición: M. Gricelda Iturra L., Óscar Pilichi C., F. Tatiana Riquelme Q. y
Miguel Velásquez R.
Figura1. Prueba empírica del resultado obtenido por los estudiantes de Bachillerato en Ciencias de la Ingeniería: Matías Ampuero, Miguel Bórquez, Israel Díaz y Hugo Ojeda.
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ABACOM Boletín Matemático
ARDUINO:
Una Introducción a la Robótica
Óscar Pilichi Cerón
En 2005, en el Instituto de Diseño In-teractivo IVREA, en Italia, se propuso Arduino como una herramienta de trabajo para los alumnos.
Uno de los creadores de Arduino fue el profesor de ese instituto Massimo Banzi, y el nombre provino de un bar que frecuentaba Banzi, llamado “El Bar del Rey Arduino”.
Pero, ¿qué es Arduino?
Arduino es una plataforma electrónica open-hardware de código abierto (open source), basada en una placa sencilla con entradas y salidas, analó-gicas y digitales pensada para cual-quier persona con interés de crear objetos o entornos interactivos. Ar-duino puede captar el entorno a tra-vés de una variedad de sensores co-nectados a sus entradas y además puede afectar su medio con el uso de led, parlantes, motores, etc, todo me-
diante un lenguaje de programación bajo processing
1/wiring
2. Se puede
acceder al software gratuito en la pá-gina oficial de arduino
3 o en su versión
en español4, donde se encuentra in-
formación sobre las distintas placas, lenguaje de programación y variados ejemplos. Es necesario adquirir una placa de las distintas que ya existen en el mercado, como por ejemplo: Dieci-mila, Nano, LilyPad, Uno, Leonardo, Mega, etc.
Para comenzar sigue estos pasos: 1. Consigue una placa Arduino y un
cable USB 2. Descarga el IDE de Arduino 3. Conecta la placa 4. Instala los drivers 5. Ejecuta la Aplicación Arduino 6. Abre el ejemplo básico llamado
“Blink”
7. Selecciona tu placa 8. Selecciona tu puerto serie 9. Sube (carga) el sketch a la placa
Al abrir el sketch Blink y ejecutarlo, podrás ver una pantalla con líneas de comando (la que está abajo). Al Cargar ( ) el sketch verás que la luz led de tu placa se enciende y apa-ga. Esto es algo simple, pero a medida que vas aprendiendo podrás agregar otros elementos como motores servo o paso a paso para mover ruedas, sensores de proximidad, de sonido, etc. Es una notable plataforma para comenzar en robótica, ¡anímate! Referencias: 1 https://www.processing.org 2 http://www.wiring.org.co/
3 https://www.arduino.cc
4 http://arduino.cl/
CONDE CÁLCULA: Un Vampiro Matemático NOVASUR, la TV educativa del Consejo Nacional de Televisión, tiene una propuesta muy interesante, que permite, a niños y jóvenes aprender Matemáticas de una manera muy en-tretenida, a través de dibujos anima-dos. Se trata de las aventuras del Conde Cálcula, un par ticular vampiro, quién junto a su sobrino Esteban nos muestran situaciones cotidianas, donde se ve la aplicación concreta de diferen-tes tópicos matemáticos.
El formato es de videos de menos de 10 minutos de duración, en cada uno de los cuales se trata un tema específi-co, como por ejemplo: volúmenes de cuerpos geométricos, repartos propor-cionales o los misterios del álgebra. Este material se puede acceder a través del sitio: http://www.novasur.cl/series/conde-calcula . También tenemos la oportunidad de aprender Ciencias Naturales, con la serie: Camaleón y las naturales cien-cias.
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Juan Leiva Vivar
Nuevamente estamos juntos en “Ciencia de Culto, contacto entre dos mundos”. Esta es la última instancia en la que nos encontramos, por-que ABACOM concluye el año con este número 56. Pero no es tiempo de ponernos tristes, sino de exponer algunos ejemplos donde la cien-cia y la cultura se vinculan. Esto para bien o para mal. Partamos por el bien. En la región de Los Ríos, se desenvuelve una diversidad interesante de disciplinas universitarias que estudian todo tipo de ciencias e incluso han llegado a comprender la realidad desde la interdisciplina o más allá desde la teoría de la complejidad1. Hemos visto como dialogan los dos mundos, pero para dejarlo claro desde una perspectiva local, les cuento que en nuestras narices hay claros ejemplos de ello. Les invito a tomar un minibús hasta la Comuna de Mariquina; allí el artista visual Carlos Rivera, junto a su equipo de trabajo, están ejecutando el proyecto Mariküga: Mitos y Leyendas del Valle. Una investigación sobre patrimonio inmaterial, mediante técni-cas sociológicas para reconstruir mitos y leyendas de la comuna, el producto es un libro ilustrado que pronto circulará por la región. Por su parte, también se ejecuta en la comuna de Panguipulli, el pro-yecto Isla Millahuapi: Un parque prehispánico para la región de Los Ríos. Éste consiste en contribuir a la puesta en valor del patrimonio cultural y natural, diseñando y habilitando un parque temático que contribuye a dar uso y sentido al territorio a través de la construcción de un proyecto museográfico in situ que permite la transferencia de conocimiento científico histórico y arqueológico para los habitantes del lugar y sus visitantes2. Como se aprecia, ambas iniciativas son interesantes y colaboran con el desarrollo cultural regional. Sin embargo, existen otras instancias don-de lo científico y cultural no logran dialogar y se producen diferencias en la cosmovisión, además de conflictos socioambientales3. En Los Ríos, donde hay gran concentración de recursos hídricos, las forestales atacaron introduciendo pinos y eucaliptus. Y por si no fuera poco, eventualmente se sumaron la posible instalación de megapro-yectos hidroeléctricos. Uno de ellos es la Central Neltume, iniciativa que pretende instalarse en la comuna de Panguipulli y que de ser aprobado destruirá lugares ceremoniales de las comunidades que
habitan el lugar. A pesar de que la gente se ha unido para expulsar a la empresa, los resultados no han logrado ser óptimos4. Ulrich Beck habla de que vivimos constantemente en un sociedad de riesgo, dónde las megaempresas llegan a sectores rurales para llevar el supuesto progreso. Otro ejemplo de esto es la hidroeléctrica que afecta al sector de Pilmaiquén, donde comunidades completas son perseguidas e incriminadas5. Estos hechos se invisibilizan, deteniendo incluso a los periodistas que pretenden documentar la instancia. Es en este espacio, donde la ciencia y la cultura no logran dialogar, sobre todo cuando la ciencia se usa al servicio del poder para así levantar información que beneficia a solo una de las partes. Lamentable hecho. Para ir concluyendo, podemos decir que la ciencia y la cultura van de la mano. Que se pueden mezclar o no. Pero que juntas son grandes aliadas para hacer del mundo un espacio mejor. La invitación es a investigar más la temática y a tener la mente abierta, porque muchas veces 1 + 1 puede ser 3. Que todas y todos tengan un excelente fin de año. Hasta pronto. Y que viva el conocimiento, venga de donde venga.
1 http://es.slideshare.net/21733010/la-teora-de-la-complejidad
2 http://www.museosaustral.cl/index.php/investigacion/proyectos/proyectos-en-curso
3 https://www.youtube.com/watch?v=Z4dJJ6d2j7c
4 http://lagoneltumedocumental.blogspot.cl/
5 http://weichanpilmaiquen.blogspot.cl/2011/11/comunicado-publico-la-nacion-mapuche-y.html
Contacto entre dos Mundos Julio Morales Muñoz
La construcción de ciertas curvas puede reali-zarse apoyándose de algunos aparatos. Por ejemplo, para construir una circunferencia se usa un compás, pero de no contar con uno de ellos, se puede hacer uno en forma artesanal con un clavo, un hilo y un lápiz. Pero, para construir otras curvas no existen aparatos específicos para ello. Así debemos apoyarnos de objetos que tengamos a mano. Veamos cómo lo podemos hacer para cons-truir una parábola. Una parábola es una curva plana definida del modo siguiente: es el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo (foco) es igual a la distancia a una recta fija (directriz). Para construirla necesitamos una regla, una escuadra, un hilo que tenga la misma longitud
que el cateto mayor de la escuadra (MN) y un lápiz. Llamaremos F al foco y L a la directriz de la parábola. Se fija un extremo del hilo en el punto N (que es un vértice del triángulo que forma la es-cuadra) y el otro en el foco F. La regla se mantiene fija coincidiendo con la recta L y la escuadra se ubica coincidiendo el cateto OM con la regla. Se ubica la punta del lápiz en un punto P sobre el cateto MN, y se desliza la escuadra sobre la regla de modo que el hilo se manten-ga tenso. El punto P dibujará la parábola, ya que en todo momento se cumple que la distancia desde P al foco F es igual que la distancia desde P a la directriz L.
La Región de Los Ríos, Ciencia y Cultura
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ABACOM Boletín Matemático
rsoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcur
Problema 1: Suma de Números Pares
La suma de 19 números pares consecutivos es
2.128.
¿Cuál es el mayor de ellos?
Solución
Si 2n el primero de estos números pares, la
suma de los 19 pares consecutivos es:
Desarrollando y reduciendo se obtiene: 38n +
342. Como esta suma es 2.128, se forma la
ecuación: 38n + 342 =2.128, cuya solución es
n = 47.
Ya que el mayor de estos números pares es
2(n +18), entonces su valor es:
Luego: el mayor de los números pares es 130.
Problema 2: ¿Qué hora es? En un reloj análogo, a las 3:00 horas, el minu-tero y el horario forman un ángulo recto. ¿A qué hora, entre las 3 y las 4, vuelven a for-mar un ángulo recto? Solución: Si x la cantidad de minutos que transcurren desde las 3:00 hasta la hora que nos interesa, es decir x es lo que avanza el minutero, entonces el horario avanza, en ese mismo lapso de tiem-po x/12. Así tenemos que: x – 15 – x/12 = 15 (observar que la cantidad de minutos entre el horario y minutero es 15 minutos, pues deben formar un ángulo recto). Al resolver se obtiene que: x = 360/11 = 32,72. Luego: las manecillas están en ángulo recto a las 3 hrs. 32 min. 44 seg., aproximadamente.
Los Antibióticos Aunque hace más de 2.500 años, en China y Egipto se usaba el moho para tra-tar ciertas
infecciones, no fue hasta el siglo XX que se aislaron y se identificaron los antibióticos que se usan actualmente. El médico británico Alexander Fleming (1881 1955), en 1928 estaba cultivando una cierta bacteria la que se contaminó con hongos; y él observó que la parte alrededor del moho esta-
ba libre de la bacteria. Investigó esta situación, descubriendo así el primer antibiótico: la Peni-cilina. Por este descubrimiento, Fleming obtuvo el Premio Nobel de Medicina, en 1945, junto a otros dos investigadores.
El Computador Hace varios siglos que ya existían diversas máquinas que permitían hacer cálculos, pero el primer computador electrónico digital fue inventado, a mediados del siglo XX, por el ingeniero electrónico estadounidense de ori-gen búlgaro John Atanasoff (1903 1995). En 1933 comenzó a idear su máquina digital, con la ayuda de un destacado estudiante de Inge-niería Electrónica, Clifford Berry. Trabajaron duro casi una década en los sótanos de la Uni-versidad de Iowa, para presentarla terminada
y funcionando en 1942. Claro que debería dar una dura pelea para que se le reconociera su autoría. Sólo en 1973 un tribunal sentenció que él era el inventor de este aparato que hoy en día nos es tan común y útil.
La Impresora 3D En 1980, el ingeniero norteamericano Charles Hull (1939 ) , trabajando en creación de pro-totipos, observó que la resina que utilizaba si se ponía por capas, podía ser moldeada con luz ultravioleta. Así ideó la impresora 3D, pero debieron pasar casi 30 años para que, en 2009 se hiciera realidad. El primer objeto que se imprimió en 3D fue una bañera ocular, utilizada por optometristas. Actualmente este invento es muy útil en la industria automotriz y en el ámbito dental y médico.
Finalizamos esta sección con algunos inventos creados en el recién pasado siglo XX e inicios del actual siglo XXI.
Sebastián Acevedo Álvarez
π α + 1 ALUMNOS PARTICIPANTES
Durante este año, enviaron soluciones a los problemas planteados, los estudiantes que a continuación se nombran. Los felicitamos por su participación, se les enviará un reconocimiento a su respectivo colegio.
Liceo San Felipe Benicio, Coyhaique: Nicole Aguayo (4°B), Jorge Asenjo (3°C), Rodrigo Ca-rrasco (4°B), Camila Chiguay (4°B), Diego Díaz (7°B), Nicolás García (4°A), Amanda González (3°D), Emilio González (4°A), Tiare Guenumán (3°C), Natacha Hidal-go (3°C), Nicole Johnson (4°B), Constanza Lobos (4°B ), Javiera Mercado (3° C), Elizabeth Millán (3°C), Diego Ojeda (4°B), Constanza Palacios (3°D), Javiera Palacios (4°B), Daniel Quilodrán (3°C), José Ramírez (4°A),
Paulina Rivera (3°D), María José Soto (4°B), Martín Ulloa (4°A), Fernanda Vargas (4°B).
Instituto Alemán Carlos Anwandter, Valdivia: Javiera Berríos (II°C), Alberto Dunner (IV°C), Pedro Godoy (III°C), Eduardo Schild (III°C), Javiera Suazo (III°A), Nicolás Villarroel (III°C), Isidora Villegas (IV°C).
Liceo Vicente Pérez Rosales, Río Bueno: Matías de la Fuente (1°A).
Juan Leiva Vivar
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Desde tiempos de Euclides se sabe que la cantidad de números primos es infinita. Sin embargo no existe una fórmula o regla que permita generar números primos y es complicado verificar que un cierto número es primo, sobre todo si éste es un nú-mero grande. En la actualidad los números primos grandes se utilizan en Criptogra-fía y son los que permiten seguridad en la información y comunicación digital.
Problemas con Historia
El GIMPS (Great Internet Mersenne Prime
Search, que en castellano significa: Gran
búsqueda de números primos de Mersenne
por Internet) es un proyecto colaborativo de
voluntarios que, desde 1996 se dedica a
buscar números primos de Mersenne,
usando programas computacionales
(Prime95 y MPrime). El fundador de este
proyecto es el experto en Computación
estadounidense George Woltman (1957),
quien también ha escrito los programas
que se encargan de la búsqueda de núme-
ros primos.
A quienes deseen participar en este pro-
yecto, GIMPS le proporciona los programas
y le asigna un intervalo de números primos
para que compruebe si Mp es primo para
algún primo p del intervalo asignado. El
programa chequea primero si Mp es divisi-
ble por algún número primo pequeño, lo
que ocurre casi siempre. Si no es así, el
programa aplica un test denominado Test
de Lucas– Lehmer
El proyecto ha tenido éxito, pues ha encon-
trado 14 primos de Mersenne, de los 48
conocidos hasta la fecha.
El mayor número de Mersenne fue descu-
bieto en 2013 por el Dr. Curtis Cooper de la
Universidad de Central Missouri y es:
Este número tiene 17.425.170 cifras y se
necesitarían aproximadamente 13.000
páginas para escribirlo completo.
La Fundación Fronteras Electrónicas (en
inglés Electronic Frontier Foundation o
EFF), una organización sin fines de lucro
con sede en San Francisco, Estados Uni-
dos, ofrece un premio de 150 mil dólares a
quien descubra un número primo de más
de cien millones de cifras y otro de 250 mil
dólares por uno de más de mil millones de
cifras. Claro que si el descubrimiento lo
hace algún integrante del GIMPS, el pre-
mio lo recibe esta organización, otorgándo-
le una parte a quien realizó la hazaña.
La siguiente tabla muestra los primos de
Mersenne descubiertos por el GIMPS:
¿Qué es el GIMPS?
57.885.1612 1
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ABACOM Boletín Matemático
El Conjunto de Números Primos es Infinito Euclides, en el siglo III a.C. probó que el Conjunto de Números Primos es infinito. La demostración de esta afirmación es muy sencilla. Supongamos que existe sólo un número finito de números primos, por ejemplo: p1, p2, p3,…, pn. Podemos formar el número p = p1∙ p2∙ p3∙…∙ pn + 1, que no es divisible por ninguno de los n núme-ros primos p1, p2, p3,…, pn, puesto que si suponemos que p es divisible por p1 tendríamos que:
q = p p1∙ p2∙ p3∙…∙ pn sería divisible por p1 , lo que es imposible pues q = 1. Por tanto q no es
divisible por p1. Análogamente se prueba que q no es divisible por los otros primos p2, …,pn. Por tanto q es otro primo diferente a p1, p2, p3,…, pn.
Distancia entre dos primos consecutivos. Primos Gemelos
Los números primos no siguen un patrón en su distribución entre los Números Naturales. Así es como , salvo los dos primeros números primos 2 y 3, la distancia entre dos primos siempre es mayor o igual que 2, ya que entre dos primos consecutivos debe haber un número par, que clara-mente no es primo. Si la distancia entre dos números primos es 2, se denominan primos gemelos. Los primeros pares de primos gemelos son: (3,5), (5,7), (11,13), (17,19) y (29,31). Salvo el trío (3,5,7) no existen otros tríos de primos distanciados por una unidad, ya que entre tres números impares mayores que 3, siempre hay un múltiplo de 3, que es número compuesto. Si nos preguntamos cuán distanciados pueden estar dos números primos, la respuesta es sorpren-dente: ¡la distancia entre dos números primos consecutivos puede ser tan grande como uno quie-ra! También es fácil verificar esto. Si n es un número natural cualquiera, se pueden hallar n núme-ros naturales consecutivos que son compuestos. Estos son: (n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, … , (n + 1)! + n, (n + 1)! + (n + 1). (El símbolo ! es el factorial) Claramente cada uno de estos números son compuestos, ya que: (n + 1)! + 2 es divisible por 2, (n + 1)! + 3 es divisible por 3, etc. Por ejemplo para n = 5, se obtienen los números: 722, 723, 724, 725 y 726, que son 5 números compuestos consecutivos. Claro que existe otra serie de 5 números compuestos consecutivos más pequeños, por ejemplo: 24, 25, 26, 27 y 28.
Primos de Mersenne y Números Perfectos Un número entero positivo se llama número perfecto si es igual a la suma de todos sus divisores propios (es decir, menores que el mismo número). Los primeros números perfectos son: 6, 28, 496 y 8.128; pues tenemos que: 6 = 1 + 2 + 3; 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14; 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248; 8.128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1.016 + 2.032 + 4.064. Euclides se dio cuenta que estos cuatro primeros números perfectos están dados por la fórmula: 2p-1 ∙ (2p –1), para p = 2, 3, 5 y 7, respectivamente, y así demostró que esta fórmula genera un número perfecto par, siempre que 2p –1 sea número primo, es decir un número primo de Mer-senne. Veamos por qué esta fórmula genera números perfectos:
1 + 2 + 22 + … + 2p-1 + 2p –1 + 2(2p –1) + 22 (2p –1) + … + 2p-2 (2p –1) = = (2 + 22 + … + 2p-1 + 2p) + (2p –1)( 2 + 22 + … + 2p-2) = (2p+1 –2) + (2p –1)(2p-1 –2) = 2p-1 (2p –1).
Así se ha probado que la suma de los divisores propios de este número es igual al número, por tanto el número 2p-1 (2p –1) 2p –1
Los Números Primos
Marin Mersenne
Nació en Oizé, Francia, en 1588 en una familia de campesinos. Sus estudios superiores los realizó en la Universidad Jesuita de La Fleche, estudiando Teolo-gía y Hebreo. Se ordenó sacerdote en París en 1613. Tras su ordenación se dedicó al estudio de la Matemática, relacionándose con figuras como Des-cartes, Fermat y Galileo. Aunque es recordado principalmente por sus aportes a la Matemática, Mer-senne se dedicó también a la Teología, Filosofía, Física, Astronomía y Teoría Musical. En su obra Cogitata Physicomathemati-ca introduce los números primos que llevan su nombre, haciendo conjeturas acerca de ellos, algunas de las cuales resultaron ciertas, lo que se pudo com-probar sólo en el siglo XX. También tradujo y comentó obras de Euclides y Arquímedes. Quizás su ma-yor contribución se deba a una extensa correspondencia con matemáticos y otros científicos de diversos países, lo que permitió la difusión de temas cien-tíficos en una época en que aún no apa-recían las revistas científicas. Murió en 1648 a causa de diversas complicaciones que derivaron de una intervención quirúrgica. En su testa-mento pidió que se le practicara la au-topsia, como un último servicio a la ciencia.
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¿Para qué sirven los Números Primos?
LA CRIPTOGRAFÍA
En Álgebra y Teoría de Números – dos ramas muy importantes de la Matemática – los números primos juegan un papel fundamental. Pero, Ud. se preguntará, aparte de la matemática teórica, ¿los nú-meros primos tendrán alguna utilidad?, y más aún ¿tendrá algún sentido seguir bus-cando números primos gigantes? Respecto a esta última pregunta, una pri-mera razón puede ser que hay una recom-pensa de varios miles de dólares a quién haga tal descubrimiento, pero esa no es la única motivación. Hasta hace algunas décadas la única motivación estaba en el
desarrollo matemático que se lograba en esta búsqueda y la satisfacción de hallar algo que es escaso y que nadie antes lo había hallado. Más de alguien ha compa-rado a los números primos gigantes con un diamante que por lo escaso, es muy preciado y que por su belleza, sólo sirve de adorno. Pero actualmente los números primos grandes tienen una gran utilidad en Crip-tografía, que es el conjunto de técnicas que permiten encubrir, mediante codifica-ciones, el contenido de un mensaje, ha-ciéndolo ininteligible a personas no auto-rizadas. Es muy utilizada en internet para mantener la confidencialidad de la infor-mación, sobre todo en transacciones co-merciales. También la utilizan los gobier-nos para que la comunicación entre distin-tos integrantes del mismo no pueda ser violada. Existen varias formas de encriptar mensa-jes, una de ellas es usando Matrices (ABACOM N°20) y otra es con Aritméti-ca Modular (ABACOM N° 48). También los Números Primos sirven en esto. Para
ello se usan números que son el producto de dos números primos muy grandes, pues para descubrir las claves usadas se necesitaría hallar los factores de este pro-ducto, lo que es casi imposible. El Teorema Fundamental de la Aritméti-ca, indica que todo número entero positi-vo se puede expresar de manera única – salvo el orden – como el producto de nú-meros primos. Para ciertos números es relativamente sencillo descomponerlos en factores primos, por ejemplo para el nú-mero 390 es fácil hallar su descomposi-ción, que es 2∙3∙5∙13, pero para 391 no lo es tanto, pues es el producto de primos más grandes: 17∙23. Así, el hallazgo de números primos gran-des permite poder encriptar de manera eficiente la información que se quiere proteger. En esta época, en que todo gira en torno a la Tecnología, y ésta a su vez alrededor de la Informática, se ve que los números primos se han vuelto indispensables y lo seguirán siendo a medida que la Tecnolo-gía avance aún más.
El físico teórico británico Paul Dirac (1902 – 1984) se destacó por su contribución funda-mental al desarrollo de la Mecánica Cuántica y la Electrodinámica Cuántica. Era de carácter muy reservado y en una re-ciente biografía se ha sugerido que era autis-ta. Era reconocido por su naturaleza precisa, lo que queda reflejado en dos anécdotas: En una ocasión Niels Bohr, uno de sus cole-gas, se quejó que no sabía cómo terminar una determinada frase en un artículo científi-co. Dirac le replicó:
– A mí me enseñaron en la escuela que nun-ca se debe empezar una frase sin saber el final de la misma. En otra ocasión, al finalizar una conferencia, sobre un tema bastante complicado, preguntó a la audiencia, como era su costumbre, si alguien tenía alguna pregunta al respecto. Un joven estudiante, tímidamente levantó la mano y le dijo: – No entiendo la última ecuación que escri-bió en la pizarra. A lo que Dirac respondió: – Esa no es una pregunta, es una afirmación.
UNA CUESTIÓN DE EXACTITUD
UNA MEMORIA PRODIGIOSA
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ABACOM Boletín Matemático
A pesar de que estamos rodeados de plan-tas, que son parte de nuestro entorno y que gracias a ellas estamos vivos, no las conocemos bien. Sabemos que son seres vivos que, a diferencia de nosotros, fabri-can su propio alimento, son la base de la cadena trófica y que además, nos propor-cionan oxígeno. Esta multi-funcionabilidad de las plantas en la naturaleza está rela-cionada con los colores que poseen. El color de las plantas no solo embellece nuestro entorno con sus flores, frutos y el verdor característico de la naturaleza, sino también permite el desarrollo de funciones muy importantes, como la fotosíntesis, atracción de agentes polinizadores, la respiración y la alimentación de todos los seres vivos, entre otras. La importancia y la variedad de colores que presentan las plantas se pueden explicar a través de la química.
¿Por qué las planta, en su mayoría, son de color verde? El color de las plantas se debe a la pre-sencia de pigmentos que “son moléculas orgánicas que absorben selectivamente
longitudes de onda específicas de la luz visible y son capaces de reflejar un color determinado”. Es decir, el color del pig-mento está dado por la longitud de onda que no absorbe dicho pigmento y por lo tanto, la refleja. Dos pigmentos emparen-tados, la clorofila a y la clorofila b, le otor-gan a las plantas ese color verde tan ca-racterístico debido a que tienen la capaci-dad de absorber todas las longitudes de onda de la luz visible excepto el verde, el cual es reflejado y percibido por el ojo humano.
¿Por qué el color otoñal de las hojas? Las plantas requieren de temperaturas templadas así como de luz solar para pro-ducir clorofila. En otoño, la cantidad pro-ducida decrece, y la clorofila existente se va descomponiendo lentamente, haciendo que las hojas pierdan su verdor. Las ho-jas amarillas obtienen su color de un tipo de pigmentos llamados carotenoides y las rojas de las antocianinas. Durante la pri-mavera y el verano las hojas presentan color verde gracias a la clorofila, pero en otoño los árboles transforman la clorofila en nutrientes que necesitan para crecer y reproducirse en primavera, lo cual hace que las hojas se tornen hacia tonalidades rojizas con la llegada del otoño, ya que éste color las hace menos sensibles al frío e incluso al descenso de radiación solar.
¿Cuál es el papel de los pigmentos en el proceso de la Fotosíntesis? Las plantas son los productores de la cadena trófica, debido a que son capaces de fabricar su propio alimento a través del proceso químico llamado Fotosíntesis (ver ecuación química) y este alimento es la base de nuestra nutrición y de otros seres vivos. Además, la fotosíntesis permite la formación del Oxígeno (O2) que es el gas esencial en la respiración. Las plantas pueden fotosintetizar porque poseen en sus estructuras vegetativas
pigmentos espe-cializados capaces de absorber la energía de la luz solar, estos son: la clorofila y los caro-tenoides, denomi-nados pigmentos fotosintéticos. Ambos pueden ejercer este rol, porque poseen en su estructura mo-lecular sistemas de enlaces dobles conjugados en forma de zig-zag (ver estructura de carotenoides y clorofila), lo que confiere a dichas moléculas la capa-cidad de absorber la energía de los fotones. Estos fotones, partículas que componen la luz del sol, rompen las moléculas de agua absorbidas por las plantas a través de sus raíces, liberando electrones e iones hidrógeno, otras partí-culas que a su vez provocan reacciones que producen ATP y NADPH, dos molécu-las que sirven para almacenar energía en forma química. Después, con el dióxido de carbono (CO2) que las plantas absorben de la atmósfera, forman hidratos de car-bono como la glucosa que son la base de nuestra alimentación.
A B Q U I M M. Gricelda Iturra Lara
La Importancia de los Colores en las Plantas, lo Explica la Química
energía de la luz del sol
6H2O + 6CO2 C6H12O6 + 6O2 agua dióxido de glucosa oxígeno carbono
A
Fuente: http://www.visitarb.com/educacion/la-quimica-de-las-hojas-en-otono/
FLAVONOL FLAVONA LIPOCENO
Sugar
FOTOSÍNTESIS
ESTRUCTURA
DE LA
CLOROFILA
VIOLAXANTOCINA
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¿Sabías que?...
… para que los fuegos artificiales tengan los hermosos colo-res que observamos, se agrega a la pólvora sales de diferen-tes elementos químicos, que al ser detonados producen diferentes colores. Por ejemplo el color amarillo se obtiene con el Sodio, el rojo con el Estroncio y el Litio y el color ver-de se logra con el Bario.
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… el elemento químico más abundante en la Tierra es el Oxígeno, que compone un 49,5% de masa de la corteza terrestre, el agua y la atmósfera. El que sigue en abundancia es el Silicio. El dióxido de silicio y los silicatos forman un 87% de los compuestos que existen en la corteza terrestre.
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… los responsables de que lloremos al cortar una cebolla son algunos compuestos que contienen Azufre y que se encuentran en las células de la cebolla. Al cortarla, se rom-pen las células y estos compuestos sufren una reacción química que los transforman en moléculas sulfuradas muy volátiles, que son liberadas al aire. Estos compuestos reac-cionan con la humedad de los ojos, generando ácido sulfúri-co, que es el que produce la sensación de quemazón. Las terminaciones nerviosas que detectan esta irritación, hacen que los conductos lacrimales derramen lágrimas para diluir el ácido y proteger así los ojos.
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… el cuerpo humano está compuesto, al menos por 60 ele-mentos químicos diferentes, muchos de los cuales se desco-noce su finalidad en el organismo. De éstos, los que se pre-sentan en mayor cantidad son: Oxígeno (65%), Carbono (18%), Hidrógeno (10%), Nitrógeno (3%), Calcio (1,5%) y Fósforo (1%).
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… uno de los elementos químicos también presentes en nuestro organismo es el Cobre. Se encuentra en mayor proporción en el cerebro y el hígado y su papel es funda-mental para crear el pigmento de la melanina en la piel, contribuye en la síntesis de fosfolípidos y forma parte de la producción de la hemoglobina en la sangre, junto con el Hierro. Es un componente de las enzimas involucradas en la oxidación de ácidos grasos y es esencial para el óptimo esta-do del cabello.
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… las bacterias pertenecientes al género Geobacter son capaces de alimentarse de Uranio. El Deinococcus radiodu-rans puede resistir radiaciones 2.000 veces mayores que la dosis letal para un ser humano.
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Una de las actividades más comunes y corrientes como cubrir con cerámicas el piso o una pared, tiene que ver con un tema muy interesante de las matemáticas: Las Teselaciones del Plano. Co-múnmente las piezas de cerámica son cuadrados o rectángulos, pero también es común ver de tipo hexagonal. ¿Podrán usarse otro tipo de polígono para cubrir el piso o una pared? Claro que existen, pero con un polígono cualquiera no es posible hacer esto. Se dice que un polígono “tesela” un plano, si puede rellenarse completamente el plano (es decir sin que queden huecos) con copias del mismo polígono, que no se superpongan entre sí. La pregunta obvia es: ¿con qué polígonos se puede teselar el plano? Entre los polígonos regulares, es decir aquéllos que tienen todos sus ángulos internos de igual medida y sus lados de igual longi-tud, sólo el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regu-lar permiten teselar el plano. Y para los polígonos irregulares convexos (es decir cuyos ángulos internos miden menos que 180°) se tiene lo siguiente:
Todo triángulo tesela el plano.
Todo cuadrilátero tesela el plano.
Ningún polígono convexo de siete o más lados puede teselar el plano.
Para los hexágono está probado que existen sólo tres tipos de hexágonos que teselan el plano.
Para los pentágonos el problema aún está abierto. Hasta hace poco se conocían 14 tipos de pentágonos convexos irregulares que teselan el plano. El primero fue hallado por el matemático alemán Karl Reinhardt en 1918, quien descubrió 5 clases de pentágonos teseladores. Durante mucho tiempo se creía que eran los únicos que existían, hasta que en 1968 se encontraron 3 tipos más. Lo curioso de esta historia es que una ama de casa norteamericana Marjorie Rice, leyó acerca de este problema, se interesó en el asunto y, usando métodos de su invención, en 1977 halló 4 tipos de pentágonos teseladores. En 1985 fue ha-llado el pentágono teselador número 14 y ahora, en 2015 se halló el número 15.
El problema aún sigue abierto: ¿serán estos 15 los únicos pentá-gonos convexos que teselan el plano? He aquí un bonito desafío, que cualquiera podría resolver.
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Las 15 teselaciones del plano con pentágonos convexos conocidas hasta ahora. La última encontrada está abajo a la derecha.
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LEYES DE MURPHY
Y OTRAS
Leyes de Murphy: 1. Si algo puede salir mal, saldrá mal. 2. Si algo no puede salir mal, saldrá mal de todas
maneras. 3. Si todo parece estar saliendo bien, evidentemen-
te hay algo en lo que no te has fijado. 4. Cualquier cosa que empieza bien, acaba mal. 5. Cualquier cosa que empieza mal, acaba peor. 6. Si parece fácil, es difícil. 7. Si parece difícil, es totalmente imposible. 8. Si un experimento funciona, es que algo ha sali-
do mal.
Comentario de O'Toole sobre las Leyes de Murphy:
Murphy era un optimista.
Paradoja de Murphy: El camino complicado es siempre el más fácil.
Ley de Olivier: La experiencia es una cosa que no tienes hasta des-pués de haberla necesitado.
Ley de Jacob: Errar es humano. Echarle la culpa a otro, es más humano todavía.
Ley de la edición de Jones: Algunos errores pasarán siempre desapercibidos, hasta que se publique el libro.
Corolario de Bloch: La primera página por la que el autor abra el libro recién publicado, será aquélla que contenga el peor error.
Conclusión de Jilly y Rob: La vida es demasiado seria para tomarla en serio.
SEGÚN LA FÍSICA CUÁNTICA, UNA PARTÍCULA ATÓMICA PUEDE TENER UN COMPORTAMIENTO ...
… CUANDO ES OBSERVADA, Y OTRO DISTINTO CUANDO ESTÁ
A SOLAS ...
Se cuenta que, en el siglo XVI, el zar Iván IV, llamado “El Terrible”, propu-so un problema a un geómetra de su corte, el que consistía en determinar cuántos ladrillos se necesitarían para la construcción de un cierto edificio, cuyas dimensiones le indicó. La res-puesta fue rápida y la construcción posterior demostró la exactitud de los cálculos. El zar, impresionado con este hecho, ordenó quemar al matemático,
convencido que así libraba a su pueblo de un peligroso hechicero.
FrançoisViète (1540 1603), destacado matemático francés, tam-bién fue acusado de hechicería. En su tiempo fue famoso por lograr descifrar mensajes secretos que Felipe II, rey de España, enviaba a sus tropas, estando en guerra con Francia. Cuando los españoles se enteraron de esto, acusaron a Viète de brujería.
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El problema que se propone debería ser respondido, en a lo más 20 segundos, por un niño de 6 años. Al menos así lo aseguran las autorida-des escolares de Hong Kong, quiénes incorporaron este acertijo a las preguntas que conforman el examen de ingreso a la escuela primaria. ¿Cuál es el número que está debajo del auto estacionado?
16 68 06 88 98
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Julio Morales Muñoz, Periodista y Comunicador Social
¿Start o game over? Un desafío que te puede dejar dentro o fuera del juego
Más de 20 colegios de Valdivia se atreven a crear videojuegos, un acto complejo que requiere conocimientos en programa-ción, diseño, lenguaje audiovisual, lógica de contenidos, entre otros. El programa es dirigido, en esta segunda versión, por la Escuela de Ingeniería Civil en Informática de la Universidad Austral de Chile. La actividad llamada PROGAME 2015 convocó a estudiantes de tercero y cuarto medio para trabajar durante 6 semanas y crear su propio video juego. El objetivo es que los participantes apren-dan a programar juegos, desarrollar el trabajo en equipo y cono-cer sobre informática, esto desde la perspectiva lúdica y colabo-rativa. Los estudiantes de enseñanza media provienen de los colegios Liceo Rector Armando Robles de Rivera, Instituto Comercial de Valdivia, Instituto Italia de Valdivia, Liceo Industrial, Instituto Superior de Administración y Turismo, Liceo Santa María la Blan-ca, Colegio de Música Juan Sebastián Bach, Liceo Técnico Valdi-via, Instituto Chile Asia Pacífico, Colegio Baquedano, Colegio Teniente Hernán Merino Correa y Colegio Aliwen; quiénes reci-ben, durante el curso, charlas que ayudan al trabajo a desarro-llar. Cabe destacar que la actividad es gratuita para los estudian-tes participantes.
Llega a la pantalla chica “La Ciencia a la Vuelta de la Esquina”
En septiembre pasado se estrenó la nueva serie audiovisual “La Ciencia a la Vuelta de la Esquina” en la Carpa de la Ciencia de Valdivia. El proyecto es co-producido por el Consejo Nacional de Televisión, por medio de la programación Cultural y Educati-va Novasur y el Centro de Estudios Científicos (Cecs).
La serie pretende invitar a niñas, niños y público interesado en el tema a que descubran la ciencia que prospera en los edificios patrimoniales y en la Costanera de la Ciencia, mostrando la in-
corporación de la misma a la cotidianidad y paisaje urbano. Junto a la exhibición de dos capítulos de la producción, se reali-zó una tertulia para estudiantes de educación media que fue dictada por Marcela Cárdenas, investigadora del Laboratorio de Física Teórica del Cecs, quién expuso sobre la Teoría de la Relati-vidad. Los contenidos de los primeros capítulos se encuentran disponi-bles en http://cecs.cl/series/
Creatividad a 100 km/h
Concluye el año y en octubre pasado se celebró la tradicional competencia, impulsada por Ingeniería UACh, sobre carros reciclados. Hito que este año, por primera vez, incluyó a repre-sentantes de otras universidades valdivianas.
La competencia Charchamóvil se realiza desde el año 2012 en la Facultad de Ciencias de la Ingeniería, instancia donde la creativi-dad debe viajar a 100 km/h para lograr hacer el carro más rápi-do y con materiales reciclados. En la ocasión, estudiantes del Hogar Huachocopihue, representantes de Inacap y jóvenes de las distintas carreras del Campus Miraflores se reunieron frente al Edificio 9000 para ver a los cuatro vehículos en competencia. Los materiales usados fueron catres de camas, ruedas de bicicle-tas, cartón tetra pack, bolsas y fierros. El primer lugar lo obtuvo el carro construido por los estudiantes residentes del Hogar Huachocopihue de la UACh, quienes pertenecen a las carreras de Ingeniería Civil en Informática, Ingeniería Naval, Kinesiología y Auditoría. Por su parte, el primer lugar en diseño lo recibieron estudiantes de Inacap con un carro semejante a un carro blindado de la em-presa Prosegur. Esta categoría destaca el uso creativo de los materiales en el diseño, originalidad y estética.
Carro ganador de la competencia, junto a sus creadores. Fotografía: Gentileza estudiantes Hogar Huachocopihue
