NOMBRE DEL ALUMNO

ESCUELA,GRADO Y GRUPO

NOMBRE DEL MAESTRO, ETC.

LAS LEYES DE LOS SIGNOS

LEY DE LOS SIGNOS PARA LA SUMA

Cuando se suman dos o más cantidades que tienen signos iguales, se suman sus valores absolutos y el resultado queda con el signo común.

Cuando se suman dos cantidades con signos diferentes, se obtiene la diferencia de sus valores absolutos y el resultado queda con el signo que tenga el sumando de mayor valor absoluto

Cuando se suman tres o más cantidades con signos combinados, se suman por separado los valores absolutos de positivos y negativos, luego se obtiene la diferencia de ambos prevaleciendo el signo del que tenga mayor valor absoluto.

LEY DE LOS SIGNOS PARA LA RESTA

Cuando antes de un paréntesis existe un signo negativo, significa que se debe tomar el simétrico de cada término contenido en el paréntesis.

LEYES DE LOS SIGNOS PARA LA MULTIPLICACION Y LA DIVISIÓN

+ x + = +

+ x - = -

-x + = -

- x - = +

+ + = +

+ - = -

- += -

- - =+

PROPIEDADES DE LAS POTENCIASPROPIEDAD REPRESENTACION

SIMBOLICA

Cualquier cantidad elevada a la potencia cero es igual a 1.

Cualquier cantidad elevada a la potencia 1 es igual a la misma

cantidad que se tiene como base.

Cuando se multiplican potencias de igual base en el resultado se

coloca la misma base y los exponentes se suman.

Cuando se dividen potencias de igual base, en el cociente se coloca

la misma base y al exponente del dividendo se le resta el exponente

del divisor.

Para elevar una potencia a otra potencia, en el resultado se coloca

la misma base y los exponentes se multiplican.

Para obtener la potencia de un producto, se eleva al exponente

indicado cada uno de los factores que intervienen en el producto.

Para obtener la potencia de una razón, se eleva al exponente

indicado tanto el numerador como el denominador.

10x

xx1

nmnm xxx

nm

n

m

xx

x

nmnm xx

nnnyxyx

m

mm

y

x

y

x

OTRAS PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS

PROPIEDAD REPRESENTACION

SIMBOLICA

Cuando en una potenciación el exponente es negativo, se

puede representar como una razón que tiene como numerador

1 y como denominador la misma potencia con exponente

positivo.

Cuando en una razón el numerador es uno y el denominador

tiene exponente negativo se puede representar con una

potenciación que tiene la misma base del denominador pero

con exponente positivo

Cuando se tiene una razón con exponente negativo esta es

equivalente al recíproco de la razón con exponente positivo.

Cuando una cantidad negativa se eleva a una potencia par se

obtiene un resultado positivo

Cuando una cantidad negativa se eleva a una potencia impar

se obtiene un resultado negativo

n

n

xx

1

n

nx

x

1

nn

x

y

y

x

par

impar

PRODUCTOS NOTABLES

BINOMIO AL CUADRADO

Al resultado de elevar un binomio al cuadrado se le llama

un trinomio cuadrado perfecto(TCP) y para obtenerlo se

hace lo siguiente:

a) Se eleva al cuadrado el primer término del binomio

b) Se obtiene el doble del producto del primer término

por el segundo

c) Se eleva al cuadrado el segundo término del binomio

222

222

2)(

2)(

bababa

bababa

PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOSAl resultado de multiplicar dos binomios conjugados se le

llama una diferencia de cuadrados y para obtenerla se

hace los siguiente:

a) Se eleva al cuadrado el término común

b) Se obtiene el producto de los términos simétricos22))(( bababa

PRODUCTO DE BINOMIOS CON TERMINO COMUN

Cuando se multiplican dos binomios que tienen un

término común, dan como producto un binomio de

segundo grado, para obtenerlo se hace lo siguiente:

a) Se eleva al cuadrado el término común

b) Se suman los términos no comunes y el resultado se

multiplica por el término común

c) Se obtiene el producto de los términos no comunes

baxbaxbxax 2

BINOMIO AL CUBO

Para elevar un binomio al cubo se hace lo siguiente:

a) Se eleve al cubo el primer término del binomio.

b) Se obtiene el triple de la multiplicación del cuadrado del

primer término por el segundo.

c) Se obtiene el triple de la multiplicación del primer término

por el cuadrado del segundo.

d) Se eleva al cubo el segundo término del binomio.

Cuando el signo de b es negativo, los signos del resultado quedan

alternados, comenzando con positivo:

3223333 babbaaba

3223333 babbaaba

TRINOMIO AL CUADRADO

acbcabcbacba 2222222

JERARQUIZACION DE LAS OPERERACIONESPRIMERO. Potencias y raíces.SEGUNDO. Multiplicaciones y divisiones.TERCERO. Sumas y restas

Cuando hay paréntesis, se resuelve primero lo que está contenido en ellos.

ÁNGULOS QUE SE FORMAN CUANDO DOS PARALELAS SON

CORTADAS POR UNA SECANTE O TRANSVERSAL

213 4

5 67 8

R1

R2

Colaterales internos: Están del mismo lado de la

secante, en la región interior, en distinta recta y

son suplementarios (3 y 5, 4 y 6)

Colaterales externos: Están del mismo lado de la

secante, en la región exterior, en distinta recta y

son suplementarios (1 y 7, 2 y 8)

Alternos internos: Están en distinto lado de la

secante, en la región interior, en diferente recta y

son iguales (3 y6, 4 y 5)

Alternos externos: Están en distinto lado de la

secante, en la región exterior, en diferente recta y

son iguales (1 y 8, 2 y 7)

Correspondientes: Uno es interno y el otro

externo, están del mismo lado de la secante, en

distinta recta y son iguales (1 y 5, 3 y 7, 2 y 6, 4 y 8)

Opuestos por el vértice: Uno es interno y el otro

externo, están en distinto lado de la secante, en la

misma recta y son iguales (1 y 4, 2 y 3, 5 y 8, 6 y 7)

Clasificación de los triángulos

1. Clasificación de triángulos según la medida de sus ladosTriángulo EquiláteroEs aquel que tiene todos sus lados de la misma medida, en donde:

Triángulo IsóscelesEs aquel que tiene sólo dos lados de igual medida.

Triángulo EscalenoEs aquel que tiene todos sus lados de distinta medida.

2. Clasificación de triángulos según la medida de sus ángulosTriángulo AcutánguloAquel que tiene todos sus ángulos agudos.Triángulo Rectángulo

Aquel que tiene un ángulo recto (< CAB).

Triángulo ObtusánguloAquel que tiene un ángulo obtuso,

tal como se muestra a continuación:

Clasificación de los cuadriláteros

Rombo. Tiene sus cuatro lados congruentes, sus ángulos

opuestos son iguales, sus diagonales no son igualesse cortan en los puntos medios de manera perpendicular.

Rectángulo. Cualquier cuadrilátero que tenga sus cuatro ángulos rectos. Sus diagonales son iguales. se cortan en los puntos medios de manera no perpendicular (a excepción del cuadrado).

Cuadrado. Tiene cuatro lados congruentes, sus cuatro ángulos son rectos, sus diagonales son iguales se cortan en los puntos medios de manera perpendicular.

Romboide. Sus lados opuestos son congruentes, sus lados consecutivos no lo son, no tienen ángulos rectos, sus diagonales son diferentes, se cortan en los puntos medios de manera no perpendicular.

ParalelogramosSus lados opuestos son paralelos

Noparalelogramos

Cuadriláteros

Trapecio. Solo tiene un par de lados opuestos paralelos llamados bases. Los que tienen sus lados no paralelos congruentes se llaman trapecios isósceles. Los que tienen dos ángulos rectos se llaman trapecios rectángulos.

Trapezoide. No tiene lados opuestos paralelos, a veces pueden tener lados consecutivos congruentes, como en los llamados papalotes, sus diagonales pueden o no cortarse de Manera perpendicular, no se cortan en los dos puntos medios

El binomio de Newton (teorema del binomio)

OBSERVACIONES:En los desarrollos anteriores podemos notar que:a) El número de términos del desarrollo siempre es el exponente

del binomio aumentado en uno.b) El primer término del desarrollo siempre es la a elevada al

mismo exponente que presenta el binomio.c) Los exponentes de a van disminuyendo de uno en uno en los

términos subsiguientes, hasta que desaparece a en el ultimo término.

d) El primer término no contiene b, esta aparece por primera vez en el segundo término elevada a la potencia 1 y de ahí va aumentando de uno en uno en los términos subsiguientes.

e) El último término del desarrollo es b elevada al mismo exponente que tiene el binomio.

DESARROLLOS:

a) (a+b)0 = 1b) (a+b)1 = a + bc) (a+b)2= a2+2ab+b2

d) (a+b)3= a3+3a2b+3ab2+b3

e) (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

f) (a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

g) (a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6

h) (a+b)7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7

i) (a-b)7=a7-7a6b+21a5b2-35a4b3+35a3b4-21a2b5+7ab6-b7

OBSERVACIONES:f) El coeficiente del segundo término del desarrollo siempre coincide con el exponente al que está elevado el binomio.g) El coeficiente del tercer término se obtiene multiplicando el coeficiente del segundo término por el exponente de a en ese mismo término y dividir el resultado entre el exponente de baumentado en uno.h) El coeficiente del cuarto término se obtiene multiplicando el

coeficiente del tercer término por el exponente de a en ese mismo término y dividir el resultado entre el exponente de baumentado en uno.

i) Se repite el proceso hasta obtener el coeficiente del último término.

j) También se puede notar que hay simetría en la distribución de los coeficientes en el desarrollo.

k) Si en cada termino se suman los exponentes de a y b, siempre se obtiene como resultado el mismo número que tiene de exponente el binomio.

l) Los coeficientes del desarrollo se ajustan al triángulo de Pascal.

La pendiente de una rectaLa pendiente de una recta es el cambio en el eje "y" dividido entre el cambio en el eje "x". El cambio en el eje y se llama elevación; el cambio en el eje x se llama avance.Generalmente la pendiente de una recta se representa utilizando para ello la letra "m".El procedimiento para encontrar la pendiente de una recta es el siguiente:a) Elige cualquier par de puntos sobre la recta. ( por ejemplo

A y B)b) Calcula el cambio en "y" : y2 - y1 (en este caso 5 - 1 = 4)c) Calcula el cambio en "x" : x2 - x1 ( en este caso 5 - 2)d) Escribe la razón entre el cambio en y y el cambio en x:

3

4

25

15

12

12 casoesteenxx

yym

A(2,1)

C(1,2)

D(-1,5) B(5,5)

Lo que tengo siempre que recordar:1) La pendiente de una recta mide el grado de inclinación

que presenta una recta con respecto a la horizontal (ubicados en el plano cartesiano diríamos que mide ángulo que forma la recta con respecto al eje de las abscisas)

2) Cualquier recta paralela al eje de las abscisas tiene una pendiente de cero (no presenta inclinación)

3) Cualquier recta perpendicular al eje de las abscisas tiene una pendiente infinita.

4) Cualquier recta que forme con el eje de las abscisas un ángulo de 45 , tiene una pendiente de 1.

5) Cuando en una recta a medida que se avanza se tiene un ascenso dicha recta tiene una pendiente positiva.

6) Cuando en una recta cada vez que se avanza se desciende, dicha recta tiene una pendiente negativa.

7) En el ejemplo del plano cartesiano anterior la recta que pasa por los puntos A y B tiene una pendiente positiva y la que pasa por los puntos C y D la tiene negativa

La realización de un estudio considera diferentes fases.

Fase 1: definición del estudio o experimento. ¿Qué es lo que se quiere

investigar y analizar? ¿Qué se espera encontrar?

Fase 2: obtención de datos. ¿Cómo se obtendrán los datos para

analizar? ¿A quiénes se les preguntará? ¿Qué tipo de pregunta es más

conveniente hacer? Una manera de obtener datos para realizar un

estudio estadístico es por medio de la aplicación de una encuesta.

Fase 3: organización y análisis de los datos. ¿Qué tipo de datos se

obtendrán? ¿Cómo es conveniente ordenar y clasificar los datos? ¿Qué

tipo de tabla o gráfica es conveniente para mostrar y analizar los datos

obtenidos?

Fase 4 : presentación de conclusiones o reportes. ¿Cuáles son los

resultados que se obtuvieron al realizar el análisis? Los resultados

obtenidos, ¿afirman o contradicen lo que se esperaba encontrar?

B

AC

ac

b

El teorema de Pitágoras establece que:

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la

hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los

catetos.

CATETOS: Son los lados que forman el ángulo recto. ( a, b

en este caso)

HIPOTENUSA: Lado opuesto al ángulo recto ( c en este

caso)

Si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos transversales, los segmentos que se forman

en una de ellas son proporcionales a los correspondientes segmentos de la otra.

R1

R2

R3

A

C

B

C

t

B

A

s

R1, R2 y R3 son rectas paralelas

t , s son dos transversales

Razones trigonométricas de ángulos agudos La base de la trigonometría está en las razones trigonométricas, valores numéricos

asociados a cada ángulo, que permiten relacionar operativamente los ángulos y

lados de los triángulos. Las razones trigonométricas directas son seno, coseno y

tangente, y las recíprocas son cotangente, secante y cosecante.

R

E

C

I

P

R

O

C

O

sen2 + cos2 = 1

PARA RECORDAR

En la figura siguiente se resumen los signos

de las tres razones directas en los

cuadrantes del plano cartesiano: