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actividad 12
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Análisis del Discurso Matemático Escolar 2015 Prof.: Verónica Molfino
Actividad 12 – Artigue (1995)
Realizar la lectura del documento:
Artigue, M. (1995). Cap. 6: La enseñanza de los principios del cálculo: problemas
epistemológicos, cognitivos y didácticos. En Gómez, P. (Ed.) Ingeniería Didáctica en
Educación Matemática. Un esquema para la investigación y la innovación en la
enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, pp. 97135. México: Grupo Editorial
Iberoamericana.
(En particular la actividad se centrará en lo desarrollado en las páginas 97 a 116).
Parte 1
1) En la primera parte del documento, Artigue presenta una reseña de la historia de la
enseñanza del Cálculo en la secundaria francesa. Plantear, en un máximo de 400
palabras, una reflexión grupal acerca de la influencia que las reformas y
contrarreformas en dicho contexto pudieron haber tenido en el contexto educativo
uruguayo. Recomendamos ejemplificar con hechos concretos, como pueden ser libros de
texto o programas de diferentes épocas. (Encontrarán en la plataforma programas de
planes que no se encuentran en la página de ANEP).
En 1902 en Francia los matemáticos más prestigiosos de la época realizan la reforma de los
programas adaptándolos a la evolución de las matemáticas. La introducción del cálculo fue
un elemento clave. Se hace referencia a la continuidad y derivabilidad de las funciones. Había
un fuerte consenso internacional para dar a los estudiantes herramientas para el trabajo
científico,cómo son las del cálculo diferencial e integral.
Consideramos que esta reforma tuvo influencia en el plan de 1941 de Análisis Matemático
para Ingeniería y Agrimensura de 2°año del 2°ciclo ya que se trabajan los temas:
Concepto de Función;
Funciones Continuas: continuidad en un punto y en un intervalo;
Derivada: proponiendose en profundidad el estudio de las mismas.
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Análisis del Discurso Matemático Escolar 2015 Prof.: Verónica Molfino
Con la renovación de los años 60 en Francia entraron en los programas las notaciones de
conjuntos, los cuantificadores y estructuras algebraicas y un apartado sobre las generalidades
de las funciones con variables reales ( límites, continuidad, derivadas, primitivas); los
teoremas generales. Las funciones circulares reemplazaron a las trigonométricas y aparecen
las funciones exponencial y logarítmica. Se presenta como cuerpo.ℜ
En el plano local podemos mencionar algunas similitudes con el Plan de 1963 2°ciclo, 6° año
de la orientación “ciencias físicomatemáticas”se presentan los temas:
Número Complejo: nociones de grupo, anillo y cuerpo.
Funciones: espacio Rn Integración: continuidad uniforme, integral definida.Cálculo de primitivas. Convergencia de
series.
Consideramos también que el Plan 1976 de Matemática “A” de 3° año de Bachillerato
Diversificado, orientación científica opción ingeniería tiene influencias de la reforma de los
años 60
Estudio de Funciones: Crecimiento y extremos. Concavidad e inflexiones. Asíntotas.
Representación gráfica. Métodos de separación y aproximación de raíces
En la contra reforma de los años 80 las matemáticas se perciben como una actividad humana,
histórica cuya finalidad es la resolución de problemas. Se busca un equilibrio entre las
exigencias que impone el saber matemático y las que impone el funcionamiento cognitivo del
estudiante.
El cálculo se vio como el campo de la aproximación y se trató de que los estudiantes entraran
en él de manera progresiva.
En el año 1996, se realiza una reforma educativa en Uruguay, que alcanzó tanto a la
educación inicial, primaria (creación de escuelas de tiempo completo) como el ciclo básico
donde se modificaron materias, la extensión de la carga horaria, así como los contenidos
pedagógicos a ser tratados en el aula; también la reforma alcanzó a los niveles superiores en
formación docente con la creación de los CeRP.
Los planes anteriores al 96 tenían en particular materias como ser “reparación” para aquellos
estudiantes que no alcanzaban la suficiencia, la misma parecía dejar ver que el alumno tenía
problemas, algo así como que “estaba roto” y precisaba ser reparado.
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Análisis del Discurso Matemático Escolar 2015 Prof.: Verónica Molfino
Era común ver en bachillerato también que los exámenes fueran basados en 12 preguntas y
un tema a trabajar, como modalidad de trabajo.
Una clara influencia de la reforma francesa de los años 80 es la aparición de términos en los
programas educativos como por ejemplo el de 1° año plan 1986/93 como “Se sugiere iniciar
el estudio de divisibilidad mediante la resolución de problemas sencillos” (C.E.S, 2009,
Programa de 1° año plan 1993, p.2)
Esta contra reforma tiene influencia también en la Reformulación 2006.
Tercer año de BachilleratoDiversificación Científica. Opción: Físico Matemática.
Programa de Matemática I.
El objetivo de esta etapa es enfrentar al alumno con un método de trabajo más riguroso que el
realizado en cursos anteriores, fomentando una participación activa en la resolución de
problemas donde se estimulará la experimentación, elaboración de conjeturas y demostración
de las mismas.
El estudio del análisis matemático en esta etapa del Bachillerato pretende encontrar un
equilibrio adecuado entre los contenidos matemáticos a aprender y el desarrollo cognitivo del
estudiante
2) Explicar en un máximo de 200 palabras, en qué consiste, según Artigue, la noción de
“obstáculo epistemológico”. Pueden usar ese mismo documento u otras referencias que
conozcan de otros cursos o de Internet.
“El concepto de obstáculo epistemológico no se refiere a las dificultades desorganizadas o
derivadas de la ausencia de conocimiento, sino a las dificultades directamente vinculadas con
la formas de considerar el conocimiento… el conocimiento científico no es el resultado de un
proceso continuo, sino que necesita de algunos momentos de ruptura con los conocimientos
anteriores”.(Artigue 1995. p112)
“El error y fracaso no tienen el papel simplificado que queremos a veces hacerles jugar. El
error no es simplemente el efecto de la ignorancia, de la incertidumbre, del azar, como lo
creemos de acuerdo a las teorías empíricas o conductistas del aprendizaje, sino el efecto de un
conocimiento anterior, que tenía su interés, su éxito, pero que ahora se revela falso o
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simplemente inadaptado. Los errores de ese tipo no son erráticos e imprevisibles, ellos son
establecidos como obstáculos. Adicionalmente dentro del funcionamiento del maestro y del
estudiante, el error se constituye como el sentido del conocimiento adquirido.” (G.
Brousseau, 1976)
“Obstáculos epistemológicos son las limitaciones o impedimentos que afectan la capacidad
de los individuos para construir el conocimiento real o empírico. El individuo entonces se
confunde por el efecto que ejercen sobre él algunos factores, lo que hace que los
conocimientos científicos no se adquieran de una manera correcta, lo que obviamente afecta
su aprendizaje.” Extraído de
(http://www.cientec.or.cr/exploraciones/ponenciaspdf/ArabelaMora2.pdf )
3) Desarrollar, en un máximo de 1 carilla A4:
a) ¿Cuáles son los obstáculos epistemológicos que Artigue menciona en torno al
concepto de límite?
“Los obstáculos epistemológicos que aparecen sobre el concepto de límite son:
El sentido común que evoca el término límite favorece una concepción del límite como una
barrera imposible de atravesar y de alcanzar, como el último término de un proceso, que
tiende a reforzar concepciones monótonas estrictas de la convergencia."(Artigue 1995 p.111)
Otro obstáculo surge cuando se trata el concepto de límite como un proceso
algebraico “finito”, e incluso el problema de confundir que todas las sucesiones convergentes
deben ser monótonas. También se señala como un obstáculo la percepción de ciertas
cantidades como ser 0.99999 como un proceso dinámico que no se detiene nunca, estas ideas
se han catalogado como el principio de continuidad (Leibniz) que consiste en creer que
cualquier propiedad común a todos los términos de una sucesión también la tiene el límite
También señala como interesante la coexistencia del problema anterior con el cálculo
de una suma geométrica que incluso en el mismo cuestionario da en ocasiones otro resultado.
Se señala incluso una categorización para los obstáculos encontrados, en este caso A.
Sierpinska (1985) nombra cinco de ellas, que son “Horror infiniti”, obstáculos asociados a la
noción de función, obstáculos geométricos, lógicos y simbólicos. (Artigue 1995 p.113)
.
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Análisis del Discurso Matemático Escolar 2015 Prof.: Verónica Molfino
b) Específicamente una de las dificultades reportadas por Artigue refiere a la
comparación errónea entre 0.9999… y 1, lo que en el documento de Tall y Vinner
(1981) analizado fuera catalogado como un “conflicto cognitivo”. ¿En qué sentido la
noción de “obstáculo epistemológico” amplía la explicación de dicho fenómeno?
Hablamos de conflicto cognitivo, cuando hay diferencias entre imágenes conceptuales o entre
las imágenes conceptuales y la definición formal, justamente la resolución de ese conflicto es
considerada aprendizaje sin embargo el obstáculo epistemológico se considera persistente y
asociados a la forma de organizar los conocimientos tanto como a los conocimientos en sí; el
obstáculo epistemológico en este caso viene asociado a el principio de continuidad (Leibniz)
antes citado; la solución del obstáculo radica en “disociar con claridad el objeto límite del
proceso que ha permitido construirlo” (Artigue, 1995 p.113).
En otro aspecto el concepto de conflicto cognitivo se presenta ligado al proceso interno del
estudiante para la adquisición del conocimiento, mientras que el obstáculo epistemológico
discute y agrega un componente asociado con la forma en la que se enseña el conocimiento.
Parte 2
Considera el cuestionario 12a respondido (posterior al segundo encuentro).
4) ¿Cuál(es) de los obstáculos epistemológicos que menciona Artigue (1995) consideran
puede(n) rastrearse con este cuestionario?
El sentido común que favorece a la concepción de límite como barrera intraspasable e
inalcanzable, ya que en la actividad 1 se pide que se usen los términos en contextos no
matemáticos y luego en la actividad 2 donde se pide que se distinga entre las dos
representaciones (decimal infinita y natural) del límite de la sucesión
La concepción monótona estricta de la convergencia, evidenciada en que para todos los casos
se usan sucesiones monótonas.
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5) Analizar las respuestas de los integrantes del grupo a la luz de lo planteado en el
documento. Recomiendo incluir y desarrollar detalladamente, si existe entre sus
respuestas, algún caso que ponga en evidencia los obstáculos.
Con respecto a la Actividad 1 ambos redactamos oraciones teniendo en cuenta el sentido
común del término límite, tenemos la concepción del límite como barrera, tope.
En relación a la Actividad 2 parte 1, los dos contestamos que las oraciones b, d, f y h son
verdaderas. Mariela no contestó las a, c, e y g mientras que Pablo mencionó que dependía de
la cantidad de cifras que podía tomar ( el 0,9 periódico). Consideramos que el obstáculo que
tenemos es la dificultad para percibir la notación 0,9 periódico como algo diferente a un
proceso dinámico y para ver a cambio la designación de un número.
En la parte 2, Mariela contestó directamente su valor es 1 mientras que Pablo indica la suma
que permite calcularla. El proceso del límite es si se deja en último plano.
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Análisis del Discurso Matemático Escolar 2015 Prof.: Verónica Molfino
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Bibliografía.
Artigue, M. (1995). Cap. 6: La enseñanza de los principios del cálculo: problemas
epistemológicos, cognitivos y didácticos.
Gómez, P. (Ed.) Ingeniería Didáctica en Educación Matemática. Un esquema para la
investigación y la innovación en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, pp.
97135.México: Grupo Editorial Iberoamericana.
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Análisis del Discurso Matemático Escolar 2015 Prof.: Verónica Molfino
ANEP (1941). Programa de Análisis Matemático. Orientación Ingeniería. Sexto año de
segundo ciclo.
ANEP (1963). Programa de Matemática. Orientación Ciencias Físico Matemáticas.
Segundo año de segundo ciclo.
ANEP. (1976). Programa de Matemática A. Orientación Científica, Opción Ingeniería.
Tercer Año de Bachillerato.
ANEP. (2006). Programa de Matemática I. Opción FísicoMatemática. Tercer Año de
Bachillerato. Reformulación 2006. Montevideo, Uruguay.
Tall, D. y Vinner, S. (1981). Concept Image and concept definition in mathematics with
particular reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics, 12(7).
pp.151169. ISSN 00131954.
Mora, A. Obstáculos Epistemológicos que afectan el proceso de construcción de conceptos
del área de ciencias en niños de edad escolar. Recuperado el día 18 de agosto de 2015 de:
http://www.cientec.or.cr/exploraciones/ponenciaspdf/ArabelaMora2.pdf
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