1

Advanced Counting Techniques

2

ความสั�มพั�นธเว�ยนเกิ�ด(Recurrence Relations)

น�ยาม 1 ความสั�มพั�นธเว�ยนเกิ�ด(Recurrence Relation)

สั�าหรั�บลํ�าด�บ (sequence) {an} ค�อสัมกิารัที่��แสั ดงความสั�มพั�นธรัะหวาง an กิ�บพัจนที่��มากิอน ค�อ a0,

a1, ., an-1 เม��อ n n0 แแแ n0 เปน จ�านวนเต็ มที่��มา กิกิวาหรั�อเที่ากิ�บ 0

an = f(a0, a1, ., an-1 )

บางครั�!งเรัาเรั�ยกิว"า difference equation.

3

ความสั�มพั�นธเว�ยนเกิ�ด

ต็�วอย"าง n ! = n (n–1)! for n ≥1. Fibonacci sequence

an = an-1+ an-2 for n ≥3. Pascal's recursion for the binomial

coefficient is a two variable recurrence equation:

C(n+1, k) = C(n, k) + C(n, k -1)

4

ความสั�มพั�นธเว�ยนเกิ�ด

ลํ�าด�บ { an} จะเป#นผลํเฉลํยของความสั�มพั�นธ'เว�ยนเกิ�ดถ้)าแต็"ลํะพัจน'ของลํ�าด�บสัอดคลํ)องกิ�บความสั�มพั�นธ'เว�ยนเกิ�ดน�!น ปกิต็�จะม�ลํ�าด�บมากิมายที่��สัอดคลํ)องกิ�บสัมกิารัของความ

สั�มพั�นธ'เว�ยนเกิ�ด ในกิารัหาความสั�มพั�นธ'เว�ยนเกิ�ดน�!นจะต็)องกิ�าหนดเง��อนไขเรั��ม

ต็)น(initial conditions)เสัมอเช่"น In factorial recurrence we must specify 0! = 1. In the Fibonacci recurrence we must specify a0and

a1. In Pascal's identity we must specify C(1,0) and C(1,1).

5

ความสั�มพั�นธเว�ยนเกิ�ด

จงพั�จารัณาว"าจากิความสั�มพั�นธ'เว�ยนเกิ�ดan = 2an−1 − an−2 (n ≥2).

ข)อใดต็"อไปน�!เป#นผลํเฉลํยของความสั�มพั�นธ'เว�ยนเกิ�ดข)างต็)น

an = 3nan = 2n

an = 5

Yes

Yes

No

6

ความสั�มพั�นธเว�ยนเกิ�ด

ลํ�าด�บที่��เข�ยนเป#นสั.ต็รัได)ช่�ดแจ)งสัามารัถ้เข�ยนแที่นด)วยความสั�มพั�นธเว�ยนเกิ�ดเช่"น

ต็�วอย"าง {an} เป#นลํ�าด�บที่��ม� an = f(n) = 3 n ด�งน�!นจะ

น�ยาม recursive ได)ด�งน�! เง��อนไขเรั��มต็)น f(0) = 3 0 = 1 ความสั�มพั�นธเว�ยนเกิ�ด

f(n+ 1) = 3(n+1) = 3(3 n ) = 3 f(n) ด�งน�!นf(n+1) = 3 f(n)

7

Modeling with Recurrence Relations ตั�วอยางที่�� 1 ในหองที่ดลํองที่างช่�วว�ที่ยาแหงหน/�งพับวา จ�านวนบ�กิเต็รั�

จะเพั��มเปน 2 เที่าในที่0กิ ๆ ช่��วโมง สัมมต็�วาเม��อเรั��มต็น ที่ดลํองม�บ�กิ เต็รั� 5 ต็�ว อยากิที่รัาบวา จะม�บ�กิเต็รั�ที่�!งหมดกิ��ต็�ว หลํ�งจากิเวลําผาน

ไปที่�!งหมด n ช่��วโมงว�ธ�ที่�า

กิ�าหนดให an เปนจ� านวนของบ�กิเต็รั�เม��อสั�!นสั0ดช่��วโมงที่�� n ซึ่/�งจะเปน2 เที่าของจ�านวนบ�กิเต็รั�ใน 1 ช่��วโมงกิอนหนาน�!น (an-1) ด�งน�!น

an = 2 an-1 ........ (1)= 2 (2 an-2) = 22 an-2

= 22 (2 an-3)) = 23 an-3

.

.

.= 2 (2 (2 . 2 a0))= 2n a0

8

ในที่��น�! a0 ค�อจ�านวนบ�กิเต็รั�เม��อเรั��มต็นที่ดลํอง ซึ่/�งม�คาด�งน�!

a0 = 5 .......... (2)

ด�งน�!น an = 2n ✕ 5 .......... (3) สัมกิารั (1) เปนต็�วอยางของความสั�มพั�นธเว�ยน

เกิ�ด(Recurrence Relation) สัมกิารั (2) จะเรั�ยกิวา เง��อนไขเรั��มต็น สัมกิารั (3) จะเรั�ยกิวา ค�าต็อบเฉพัาะที่��ใช่ค�านวณหา

ค�าต็อบเม��อแที่นคา n แลํะเง��อนไขเรั��มต็น

9

ตั�วอยางที่�� 3

นายอภิ�กิ0ลํน�าเง�น 10,000 บาที่ไปฝากิธนาคารัแบบปรัะจ�าไดดอกิเบ�!ย 11% (ดอกิเบ�!ยที่บต็น) อยากิที่รัาบวาเม��อครับ 30 ป นายอภิ�กิ0ลํจะม�เง�นในบ�ญช่�กิ��

บาที่ สัมมต็�นายอภิ�กิ0ลํไมไดถ้อนเง�นจากิบ�ญช่�น�!เลํยว�ธ�ที่�า

กิ�าหนดให Pn เปนจ� านวนเง�นในบ�ญช่� เม��อฝากิครับ n ป เน��องจากิธนาคารั ใหดอกิเบ�!ย 11% ที่0กิ ๆ ปของเง�นต็นของปกิอนหนาน�!น น��นค�อ

Pn = Pn-1 + (0.11 ✕ Pn-1)= (1.11) Pn-1

= (1.11)(1.11 Pn-2)=(1.11)2 Pn-2

.

.

.= (1.11)nPn-n = (1.11)nP0

10

แต็ P0 = 10,000 บาที่ด�งน�!นP30 = (1.11)30 ✕ 10,000

= 228,992.97 บาที่

11

ตั�วอยางที่�� 4

ความสั�มพั�นธเว�ยนเกิ�ดที่��เปนที่��รั.จ�กิกิ�นด�อ�นหน/�งในกิลํ0ม น�กิ คณ�ต็ศาสัต็รั ค�อ ปญหาของ Leonard diPisa. ซึ่/�งรั.จ�กิกิ�น

ในนาม Fibonacci. Fibonacci ไดต็�!งปญหาในหน�งสั�อLiber abaci. รัาว ๆ ครั�สัศต็วรัรัษที่��13 ด�งน�!

กิรัะต็ายแรักิเกิ�ดเพัศผ.แลํะเพัศเม�ยค.หน/�งถ้.กิน�าไปปลํอยไวที่�� เกิาะแหงหน/�ง อยากิที่รัาบวาจะม�กิรัะต็ายที่�!งหมดกิ��ค.เม��อเวลํา

ผานไป n เด�อน โดยม�ขอสัมมต็�วา เม��อกิรัะต็ายที่�!งสัองม�อาย0 ครับ 2 เด�อนจ/งจะสัามารัถ้ให)กิ�าเน�ดกิรัะต็ายเพัศผ.แลํะเพัศ

เม�ยอ�กิ 1 ค. แลํะเม��อจ0ดเรั��มต็นบนเกิาะน�!นไมม� กิรัะต็ายอย.เลํย

12 กิระตัายที่��เกิ�ดใหม กิระตัายที่��ม�อย�เด�ม

13

ว�ธ�ที่� า กิ�าหนดให fn เปนจ� านวนค.ของกิรัะต็าย เม��อต็อนต็นเด�อนที่�� n

สั�งเกิต็จากิภิาพัที่�� 1 จะเห นวา จ�านวนกิรัะต็ายเม��อต็นเด�อนที่�� 3 เที่ากิ�บจ�านวนกิรัะต็ายเม��อต็นเด�อนที่�� 2บวกิกิ�บจ�านวนกิรัะต็าย

เม��อต็นเด�อนที่�� 1 แลํะจ�านวนกิรัะต็ายเม��อต็นเด�อนที่�� 4 เที่ากิ�บ จ�านวนกิรัะต็ายเม��อต็นเด�อนที่�� 3 บวกิกิ�บจ�านวนกิรัะต็ายเม��อ

ต็นเด�อนที่�� 2 เปนเช่นน�!เรั��อย ๆ ไป ด�งน�!นfn = fn-1 + fn-2 ..... (4)

ถ้าเรัากิ� าหนด f0 = 1 แลํวสัมกิารั (4) จะเปนไปไดสั�าหรั�บn 2 แลํะเรัาที่รัาบวา f1 = 1 ด�งน�!นf2 = f1 + f0 = 2f3 = f2 + f1 = 3f4 = f3 + f2 = 5f5 = f4 + f3 = 8

14

ต็�วอย"างที่��5 หอคอยแหงฮานอย

โจที่ยปญหาที่��โดงด�งอ�กิป:ญหา หน/�งในปลํายครั�สัศต็วรัรัษที่�� 18

ค�อ หอคอยแหงฮานอย ซึ่/�งต็�!ง ค�าถ้ามวา จงหาจ�านวนว�ธ�ในกิารั

เคลํ��อนยายแผนไมจากิเสัาที่�� 1 ซึ่/�งวางเรั�ยงซึ่อนกิ�นจากิแผน

ใหญสั0ดไปย�ง แผนที่��เลํ กิที่��สั0ด ด�งภิาพั ไปย�งเสัาต็น อ��นภิายใต็

ขอต็กิลํงด�งต็อไปน�!

15

ขอต็กิลํงด�งต็อไปน�!1. สัามารัถ้เคลํ��อนยายแผนไมไดที่�ลํะ 1 แผนเที่าน�!น2. แผนไมที่��ถ้.กิเคลํ��อนยายจะน�าไปไวที่��เสัาใดกิ ได แต็ม�

เง��อนไขวาแผนไมที่��ม�ขนาดใหญจะวางซึ่อนบนแผนไมที่��ม�ขนาดเลํ กิกิวา

ไมได

16

ว�ธ�ที่� า กิ�าหนดให Hn เปนจ� านวนครั�!งของกิารัยายแผนไมจากิเสัา

ต็นที่�� 1 ไปย�งเสัาต็นอ��น ถ้าเรัาเรั��มต็นจากิม�แผนไม n แผนบนเสัาที่�� 1 เรัาสัามา

รัถ้ยายแผนไม n-1 แผนต็ามขอต็กิลํงไปไวที่��เสัาที่�� 3 ด�ง ในภิาพัที่�� 3 โดยใช่จ�านวนครั�!งในกิารัยาย แผนไมที่�!งหมด

Hn-1 ครั�!ง หลํ�งจากิน�!นยาย แผนไมที่��ใหญที่��สั0ดไปไวที่��เสัาที่�� สัองแลํวเรัากิ ยายแผนไม n-1 แผนจากิเสัาที่�� 3 ไปย�งเสัา

ที่�� 2 โดยใช่จ�านวน ครั�!งที่��ยายเปน Hn-1 ครั�!ง

17

18

หอคอยแหงฮานอย ป:ญหา:ต็)องกิารั ย)ายแผ"นไม)จากิเสัาที่�� 1 ไปไว)เสัาที่��2 กิฏ:

(a) สัามารัถ้เคลํ��อนยายแผนไมไดที่�ลํะ 1 แผน เที่าน�!น (b) แผนไมที่��ถ้.กิเคลํ��อนยายจะน�าไปไวที่��เสัาใดกิ ได แต็ม�เง��อน

ไขวาแผนไมที่��ม�ขนาดใหญจะวางซึ่อนบน แผนไมที่��ม�ขนาดเลํ กิกิวาไมได

Peg #1 Peg #2 Peg #3

19

ด�งน�!นจ� านวนครั�!งของกิารัยายแผนไมที่�!งหมด n แผน ค�อHn = 2 Hn-1 + 1

โดยที่�� H1 = 1 แแแแแแแแแแแแแแแแแแแแแแแแแแแแ 1 แผนจากิเสัา ที่�� 1 ไปย�งเสัาที่�� 2 ไดโดยจ�านวนครั�!งที่��นอยที่��สั0ดเปน 1 ครั�!ง

ถ้าเรัาใช่ว�ธ�กิารัแที่นคาดวยเที่อมที่��อย.กิอนหนาน�!นเสัมอจะไดวาHn = 2 Hn-1 + 1

= 2 (2 Hn-2 + 1) + 1 = 22Hn-2 + 2 + 1

= 22 (2Hn-3 + 1) + 2 + 1 = 23Hn-3 + 22 + 2 + 1...= 2n-1Hn-1 + 2n-2+ ... + 2 + 1= 2n-1 + 2n-2+ ... + 22 + 1= 2n – 1 ............ (5)

20

น�ยายปรั�มปรัาเกิ��ยวกิ�บหอคอยแหงฮานอยเลําวาพัรัะที่��ปรัะจ�าอ ย.ในหอคอยแหงฮานอยปรัะกิาศวา ถ้าที่านจะยายแผนที่องค�าจ�า

นวน 64 แผน โดยในกิารัยาย แผนที่องค�า 1 แผน ใช่เวลํา 1 ว�นาที่�เที่าน�!น แลํว

เม��อที่านยายแผนที่องค�าจากิเสัาต็นที่�� 1 ไปย�งเสัา ต็นอ��นเสัรั จสั�!น โลํกิกิ จะแต็กิสัลํายไปแลํว จากิสัมกิารั (5) จะไดวา จ�านวนครั�!งของกิารัยาย H64 = 264- 1

= 18,446,774,073,709,551,615 ซึ่/�งถ้ายาย 1 แผนใช่เวลํา 1 ว�นาที่� แลํวจะใช่เวลําที่�!งหมด มา

กิกิวา 500 พั�นลํานปที่�เด�ยว

21

กิารแกิสัมกิารความสั�มพั�นธเว�ยนเกิ�ด

ความสั�มพั�นธเว�ยนเกิ�ดม�รั.ปแบบต็าง ๆ กิ�น บางแบบสัามารัถ้หาค�าต็อบไดงายโดยกิารัแที่นคาไป

เรั��อย ๆ กิ จะไดเที่อม an อย.ในรั.ปของเง��อนไขเรั��มต็น(a0, a1 แแแแ a2) ด�งในต็�วอยางที่�� 1, 3 แลํะต็�วอยางที่��5 ที่��ผานมาซึ่/�งเรัาเรั�ยกิวา กิารัที่�าซึ่�! า (Iteration) แลํะอ�กิว�ธ�หน/�งที่��จะกิลําวถ้/งต็อไปน�!เปนว�ธ�เฉพัาะที่��ใช่กิ�บสัม

กิารัความสั�มพั�นธเว�ยนเกิ�ดเช่�งเสัน (Linear recurrence Relations)

22

ความสั�มพั�นธเว�ยนเกิ�ดเช่�งเสัน

น�ยามความสั�มพั�นธเว�ยนเกิ�ดในรั.ป

an = c1an-1 + c2 an-2 +. ck an-k ......(6)

โดยที่�� ci เปนคาคงที่�� (i = 1, 2, ., k)

ถ้า ck ≠ 0 แลํวเรัาเรั�ยกิความสั�มพั�นธน�!วา ความสั�มพั�นธเว�ยนเกิ�ดเช่�งเสันลํ�าด�บที่�� k

23

ความสั�มพั�นธเว�ยนเกิ�ดเช่�งเสัน

ต็�วอย"างความสั�มพั�นธเว�ยนเกิ�ดเช่�งเสัน an= (1.11) an-1: of degree one. an= an-1+ an-2: of degree two. an= an-5: of degree five.

ต็�วอย"างที่��ไม"ใช่"ความสั�มพั�นธเว�ยนเกิ�ดเช่�งเสัน an= an-1+ (an-2)2: is not linear. an= 2an-1+ 1: is not homogeneous. an= nan-1: does not have constant

coefficients.

24

กิารแกิสัมกิารความสั�มพั�นธเว�ยนเกิ�ด

ค�าต็อบที่��วไป (general solution) ของสัมกิารั (6) จะอย.ในรั.ป ผลํบวกิของค�าต็อบพั�!นฐาน (basic solution)

ซึ่/�งม�ว�ธ�กิารัหาด�งน�! ให) an = rn เม��อ r เปนคาคงที่�� เป#นค�าต็อบที่��วไป

แลํะเม��อแที่นคา an = rn ลํงในสัมกิารั (6) จะไดrn = c1 rn-1 + c2 rn-2 + ... + ck rn-k

เม��อหารัที่�!งสัองขางดวย rn-k แลํวจะไดrk = c1 rk-1 + c2 rk-2 + ... + ck

หรั�อrk - c1 rk-1 - c2 rk-2 - ... - ck = 0 ....... (7)

เรัาเรั�ยกิสัมกิารั (7) น�!วา สัมกิารัลํ�กิษณะ (characteristic equation)

25

กิารแกิสัมกิารความสั�มพั�นธเว�ยนเกิ�ด

เน��องจากิสัมกิารั (7) เปนสัมกิารัที่��อย.ในรั.ปน�พัจนพัห0 นาม (Polynomial) ลํ�าด�บที่�� k ด�งน�!นจะม�ค�าต็อบสั�าห

รั�บ r ที่�!งหมด k ค�าต็อบ กิ�าหนดให ri (i = 1, 2,.,k) เปนค�าต็อบที่�!ง k ค�าต็อบ

ด�งน�!น an = rin จ/งเปนค�าต็อบพั�!นฐานค�าต็อบหน/�งของ

ความสั�มพั�นธเว�ยนเกิ�ดน��นค�อ ค�าต็อบที่��วไปจะอย.ในรั.ปan = A1 r1

n + A2 r2n + ... + Ak rk

n ....... (8)

โดยที่�� Ai (i = 1, 2,..., k) เปนคาคงที่�� ที่��คาของม�นข/!นอย.กิ�บเง��อนไขเรั��มต็น

26

ที่ฤษฎี�บที่ 1

ให)c1 , c2 ,..., ck เป#นจ�านวนจรั�ง สัมกิารัลํ�กิษณะ rk - c1 rk-1 - c2 rk-2 - ... - ck = 0

ม�รัากิลํ�กิษณะที่��แต็กิต็"างกิ�น k รัากิค�อ r1 , r2 ,..., rk

แลํ)วลํ�าด�บ {an } เป#นผลํเฉลํยของความสั�มพั�นธ'เว�ยนเกิ�ด

an = c1an-1 + c2 an-2 +. ck an-k

กิ ต็"อเม��อ an = A1 r1n + A2 r2

n + ... + Ak rkn

สั�าหรั�บ n= 1,2,… เม��อ A1 , A2 ,..., Ak เป#นจ�านวนจรั�ง

27

ต็�วอย"าง จงหาค�าต็อบของความสั�มพั�นธเว�ยนเกิ�ด an = an-1 + 2 an-2 เม��อ a0 = 2 แลํะ a1 = 7

ว�ธ�ที่� า จากิสัมกิารัพั�!นฐาน an = rn จะไดสัมกิารัลํ�กิษณะด�งน�!

rn = rn-1 + 2 rn-2

แแแแr2 - r - 2 = 0(r - 2) (r + 1) = 0r = 2, -1

28

ต็�วอย"าง จงหาค�าต็อบของความสั�มพั�นธเว�ยนเกิ�ดan = an-1 + 2 an-2 เม��อ a0 = 2 แลํะ a1 = 7

ด�งน�!นค� าต็อบที่��วไปค�อan = A1 2n + A2 (-1)n

เม��อแที่นเง��อนไขเรั��มต็น a0 แลํะ a1 แแแแแa0 = 2 = A1 20 + A2 (-1)0

2 = A1 + A2 ......... (a)a1 = 7 = A1 21 + A2 (-1)1

7 = 2A1 - A2 ......... (b) แกิสัมกิารั (a) กิ�บ (b) จะได A1 = 3, A2 = -1

ด�งน�!นค� าต็อบของความสั�มพั�นธเว�ยนเกิ�ดค�อan = 3.2n + (-1)(-1)n

an = 3.2n - (-1)n

29

ต็�วอย"าง จงหาค�าต็อบของความสั�มพั�นธเว�ยนเกิ�ดan = 6an-1 - 11 an-2 + 6 an-3 เม��อ a0 = 2 , a1 = 2

แลํะ a2 = 15 ว�ธ�ที่� า

จากิสัมกิารัพั�!นฐาน an = rn จะไดสัมกิารัลํ�กิษณะด�งน�!rn = 6rn-1 - 11 rn-2 + 6 rn-3

แแแแr3 - 6r2 +11 r - 6 = 0(r - 1) (r - 2) (r - 3) = 0r = 1, 2, 3

30

ต็�วอย"าง จงหาค�าต็อบของความสั�มพั�นธเว�ยนเกิ�ดan = 6an-1 - 11 an-2 + 6 an-3 เม��อ a0 = 2 , a1 = 2

แลํะ a2 = 15 ด�งน�!นค� าต็อบที่��วไปค�อ

an = A1 (1)n + A2 (2)n +A3 (3)n เม��อแที่นเง��อนไขเรั��มต็น a0 , a1 แลํะ a2 แแแแแ

a0 = 2 = A1 (1)0 + A2 (2)0 +A3 (3)0 2 = A1 + A2 + A3 ......... (a)5 = A1 + 2A2 + 3A3 ......... (b)

15 = A1 + 4A2 + 9A3 ......... (c) แกิสัมกิารั (a) , (b),(c) จะได A1 = 1, A2 = -1 , A3 = 2

ด�งน�!นค� าต็อบของความสั�มพั�นธเว�ยนเกิ�ดค�อan = 1 (1)n - 1 (2)n +2(3)n an = 1 - 2n + 2.3n

31

ที่ฤษฎี�บที่ 2

ให)c1 , c2 ,..., ck เป#นจ�านวนจรั�ง สัมกิารัลํ�กิษณะ rk - c1 rk-1 - c2 rk-2 - ... - ck = 0

ม�รัากิลํ�กิษณะที่��ซึ่�!ากิ�น k รัากิค�อ r1 = r2 =...= rk

แลํ)วลํ�าด�บ {an } เป#นผลํเฉลํยของความสั�มพั�นธ'เว�ยนเกิ�ด an = c1an-1 + c2 an-2 +. ck an-k

กิ ต็"อเม��อ an = (A1 + A2 n+ A3 n2 + ... + Ak n k-1 ) r1n

สั�าหรั�บ n= 1,2,… เม��อ A1 , A2 ,..., Ak เป#นจ�านวนจรั�ง

32

ต็�วอย"าง จงหาค�าต็อบของความสั�มพั�นธเว�ยนเกิ�ดan = 6an-1 - 9 an-2 เม��อ a0 = a1 = 1

ว�ธ�ที่�า หาสัมกิารัลํ�กิษณะได)ค�อ r 2- 6r + 9 =0

(r –3)2= 0r1= r2= 3

ค�าต็อบที่��วไปค�อ an= A13n+ A2n3n

แที่นค"าจากิค"าเรั��มต็)น a0 = a1 = 1

จะได)ค"า A1= 1, A2= -2/3

an = 3n - 2n(3n-1 )

33

ต็�วอย"าง จงหาค�าต็อบของความสั�มพั�นธเว�ยนเกิ�ดan = -3an-1 - 3 an-2 - an-3 เม��อ a0 =1, a1= -2, a1 = -1 ว�ธ�ที่�า จากิ an = -3an-1 - 3 an-2 - an-3 เม��อ a0 =1, a1= -2, a1 = -1

เป#นความสั�มพั�นธเว�ยนเกิ�ดเช่�งเสั)นเอกิพั�นธ'อ�นด�บ 3 หาสัมกิารัลํ�กิษณะได)ค�อ r 3 + 3r 2 + 3r + 1 =0

(r +1)3= 0r= -1, -1, -1

ค�าต็อบที่��วไปค�อ an= A1(-1)n+ A2 n (-1)n + A3 n2 (-1)n

แที่นค"าจากิค"าเรั��มต็)น a0 =1, a1= -2, a1 = -1

จะได)ค"า A1 = 1 ...............(1)

-A1 - A2 - A3 = -2 ...............(2)

A1 + 2A2 + 4A3 = -3 ...............(3)

34

จากิสัมกิารั (1) –(3) จะได)ค"า A1= 1, A2= 3 แลํะ A3= -2

ด�งน�!นผลํเฉลํยค�อan = (1 +3 n -2 n2 ) (-1)n-1 เม��อ n 3

35

ฟั!งกิ"ชั�นกิ$อกิ�าเน�ด (Generating Functions)

น�ยาม ให) a0, a1, a2, … เป#นลํ�าด�บช่0ดหน/�งของจ�านวนจรั�ง ฟั:งกิ'ช่�น G(x) = a0 + a1x + a2x2 + …

หรั�อ

จะเรั�ยกิว"าฟั:งกิ'ช่�นกิ"อกิ�าเน�ด (generating function)

36

ฟั!งกิ"ชั�นกิ$อกิ�าเน�ด ต็�วอย"าง

สัมมต็�ลํ�าด�บค�อ 1 , 1, 1,… ฟั:งกิ'ช่�นกิ"อกิ�าเน�ดสั�าหรั�บลํ�าด�บที่��กิ�าหนดค�อ

สัมมต็�ลํ�าด�บค�อ 0, 1, 2,3,… ฟั:งกิ'ช่�นกิ"อกิ�าเน�ดสั�าหรั�บลํ�าด�บที่��กิ�าหนดค�อ

37

ฟั!งกิ"ชั�นกิ$อกิ�าเน�ด ต็�วอย"าง

สัมมต็�ลํ�าด�บจ�ากิ�ดค�อ {1 , 1, 1} แลํะกิ�าหนดS={1,1,1,0,0,0,…} ฟั:งกิ'ช่�นกิ"อกิ�าเน�ดสั�าหรั�บลํ�าด�บที่��กิ�าหนดค�อ

38

ฟั!งกิ"ชั�นกิ$อกิ�าเน�ด

39

ฟั!งกิ"ชั�นกิ$อกิ�าเน�ด

สัมมต็�ลํ�าด�บ {20 , 21, 22,…} แแแแแแแแแแแแแแแแแแแแเป#น

f(x) = 20 + 21 x + 22 x2 + … + 2r xr + …

เรัาสัามารัถ้เข�ยน f(x) ให)อย."ในรั.ปที่��สั� !นกิว"าได)โดย

40

ฟั!งกิ"ชั�นกิ$อกิ�าเน�ด

ฟั:งกิ'ช่�นกิ"อกิ�าเน�ดสัามารัถ้ด�าเน�นกิารัโดยใช่)กิฎพั�ช่คณ�ต็ได)ด�งน�!

ให) F(x) แลํะ G(x) เป#นฟั:งกิ'ช่�นกิ"อกิ�าเน�ดด�งน�!

จะได)ว"า