BAB I PENDAHULUAN 1.1Latar belakang Dalamkehidupansehari-hariseringkitamenjumpaifenomenasebuah data yang berhubungan dengan waktu. Dalam berbagai bidang, hal tersebut dapatkitaamatidiantaranyadalambidangkedokteranyaitutingkat kematianpasienakibatvirusfluburungyangmelandanegarakitaakhir-akhirini,dalambidangekonomisepertikenaikanharga-hargasembako setiapperiodetertentu,danmasihbanyakbidang-bidangyanglainnya lagi. Analisisderet waktuadalah datayang dikumpulkandari waktu ke waktuuntukmenggambarkanperkembangansuatukegiatan (perkembangan produksi, harga, hasil penjualan, jumlah penduduk, jumlah kecelakaan,jumlahpesertaKBdanlainsebagainya). Analisisderetwaktu memungkinkankitauntukmengetahuiperkembangansuatuataubeberapa kejadian serta hubungan atau pengaruhnya terhadap kejadian lain. Misalnya apakah kenaikan biaya iklan akan diikuti dengan kenaikan penerimaan hasil penjualan,apakahpenurunantarifpajakpenghasilandiikutioleh kenaikannya pemasukan pemerintah dari sektor pajak dan lain sebagainya. Analisisderetwaktumempunyai2macammanfaat,pertama,untuk mengetahuidanmemodelkanmekanismestokastikyangmemberikan kesimpulandaridatayangkitaamatisertauntukmemprediksiatau meramalkannilaiyangkitaamatidimasayangakandatangberdasarkan nilai sekarang.Didalamanalisisderetwaktu,dikenalbeberapamacammodel yangmemilikiparameter-parameteryangberbedapadatiap-tiapmodel. Untuk mengetahui parameter tersebut, diperlukan metode dalam pendugaan parameter,sehinggamodeldapatdiketahuidandapatdigunakanuntuk meramalkannilaidimasayangakandatang.Salahsatumodelperamalan yangmensyaratkanpenggunaandataruntutwaktuyangstasioneradalah ARIMA(AutoregressiveIntegratedMovingAverage).MetodeARIMA merupakanmetodeyangsecaraintensifdikembangkanolehGeorgeBox dan Gwilym Jenkins yang diterapkan untuk analisis peramalan data berkala (timeseries).Metodeinimemanfaatkansepenuhnyadatamasalaludan datasekaranguntukmenghasilkanperamalanjangkapendekyanglebih akurat. Plotdatatimeseriesyangdihasilkandarisuatuobservasiakan mempunyai plot (grafik) yang berbeda-beda. Tentunya model yang sesuai untukdatatersebutjugaberbeda-beda.Untukmenentukanmodelyang sesuai,langkahpertamayangharusdilakukanadalahmelihatapakahdata tersebutsudahstasionerterhadapragamdanrata-rataataubelum.Data yangtidakstasionerakanmempunyainilairagamdanrata-ratayang berbeda pada tiap waktunya. Model ARIMA adalah suatu model deret waktu yang terdiri atas modelautoregressivedanmodelMovingAverage(MA)yangdidiferensi sebanyakdkali.Dalammelihatgambardaridatatimeseries,spesifikasi modeltentatifdapatdibuatdengancaramengidentifikasiciri-cirigrafik fungsiautokorelasi(ACF)dangrafikfungsiautokorelasiparsial(PACF). Olehkarenaitu,pembahasanspesifikasiimodelsangatdiperlukanuntuk mempelajari suatu data analisis deret waktu.Dalam melakukan penentuan model pada analisis deret waktu ada beberapatahapanyangakankitalewati,yaituyangpertamamerumuskan model-modelumum,dansalahsatunyadenganmenggunakanmodel ARIMAataumodelyanglainnya.Sedangkantahapselanjutnyaadalah penentuanmodeltentativedanmelakukanidentifikasimodel,dimana dalammenentukanmodeltentativeiniterlebihdahulukitaharusmenguji datakitaituapakahdiasudahstasionerterhadapragamdanrata-rataatau tidak.Setelahmodeltentativediperolehmakaselanjutnyayangkita lakukanadalahmelakukanpendugaanparameterdenganmenggunakan beberapametode.Adapunmetodeyangbiasadigunakanadalahmetode momen,metodeleastsquares,danmetodemaximumlikelihood.Namun dalamlaporanpraktikumkaliinihanyadibahasmetodeMaximum Likelihood. 1.2Tujuan -Tujuan umum Mahasiswamampumelakukanpendugaanparameterdengan berbagai cara -Tujuan khusus Mahasiswa mampu melakukan 1.Pendugaan parameter dengan metode moment 2.Pendugaan parameter dengan metode least-squares 3.Pendugaan parameter dengan metode maximum likelihood. BAB II TINJAUAN PUSTAKA DalammengidentifikasisuatumodeltentatifARIMA(p,d,q) dapatdilakukandenganmengenalciri-ciriACFdanPACFsuatumodel. SetelahciriACFdanPACFdatasudahdikenali,makamodeldaridata yangsudahstationerbisaditentukan.ModelARIMA(p,d,q)adalahsuatu model time series yang terdiri model gabungan antara model autoregressive(AR) dan moving average (MA) dengan p adalah order untuk AR , q adalah orderuntukMAdandadalahdifferensi.Untukmodeltimeseriesmoving average(MA),bisadilihatdaribentukACFnyadanuntukARdapat dilihat dari PACF (Harvey, 1993). -Fungsi autokorelasi data sampel Autokorelasi lag ke k dari data sampel dapat dihitung dengan : ( )( )( )==+ =nttk ntk t tkZ ZZ Z Z Zr121, k=0, 1,2 ,3, Yangdimaksuddenganfungsiautokorelasi(ACF)datasampeladalah denganmemplotkandataautokorelasilagke-kdenganlagke-kitu sendiri. -Fungsi autokorelasi parsial data sampel Autokorelasi parsial lag ke k dari data sampel dapat dihitung dengan : == =11, 111, 11kjj j kkjj k j k kkk | | |dan kj = k-1,j - kk j-1 , k-j , j = 1, 2, 3, ......k-1 Untuk contoh 11 = maka, dapat dihasilkan sebagai berikut : 2121 21 111 11 22211 | | |==21 = 11 22 11 ( dibutuhkan untuk k = 3 ) 2 22 1 211 22 2 21 3331 | | | | | =Plotantaraautokorelasiparsialantaralagke-kdenganlagke-kitusendiri akan membentuk suatu fungsi autokorelasi parsial (PACF) dari data sampel (Cryer,1986). Secaraempirikderetberkalatidakmemilikirataratayang konstan(tidakstasioner)akantetapimempunyairagamyanghomogen. Carayangdigunakanuntukmenganalisadatatersebutadalahdengan melakukanprosesdiferensasiterlebihdahulusehinggadatamenjadi stasioner.Dalamprakteknya,parameterdiferensiasi,d,umunyabernilai 0, 1,dan2.Jikad=0berartidataderetberkalamenunjukkanbentuk eksponensial.Jikad=1berartidataderetberkalamempunyaitrendlinier danjikad>1berartidataderetberkalamenunjukkantrendpolinomial. Modelyangmelibatkandiferensiasipadaderetberkaladisebutproses ARIMA (Lestari, 2000). Model ARIMA terdiri dari orde ke p proses autoregresif, orde ke qprosesmovingaveragedanordekedprosesdiferensiasi,sehingga model ARIMA dinotasikan dengan model ARIMA (p,d,q). Beberapa model umum ARIMA yang stasioner adalah :a.Model ARIMA (p,0,0) atau AR(p) t p t p t t ta Z Z Z Z + + + + = | | | ...2 2 1 1 atau t ta Z B = ) ( |KondisistasionerpadaprosesAR(pa)terjadiapabilaakarakar daripersamaan0 ) ( = B | ,nilainyalebihbesar1dalamnilai mutlak. Model AR(p) ditandai dengan :autokorelasimenurunsecaraeksponensialataumengikuti gelombang sinus teredam koefisienautokorelasiparsialtidakberbedanyatadengannol setelah lag ke-p. b.Model ARIMA (0,0,q) atau MA(q) q t q t t t ta a a a Z = u u u ....2 2 1 1atau t ta B Z ) ( u =SyaratsuatuprosesMA(q)dikatakanstasionerjikajumlah paramterparameternyaadalahterhingga,yaitu < qu u u 2 11 danakarakarpersamaan0 ) ( = B ulebihbesardari1dalamnilaimutlak.ProsesMA(q)ditandai dengan :autokorelasi tidak berbeda nyata dengan nol setelah lag ke-q koefisienautokorelasiparsialmenurunsecaraeksponensial atau mengikuti gelombang sinus teredam. c.Model ARIMA(p,0,q) atau ARMA(p,q) q t q t t t p t p t t ta a a a Z Z Z Z + + + + = u u u | | | ... ...2 2 1 1 2 2 1 1atau=tZ B) ( |ta B) ( uModelinidikatakanstasionerapabilaakardaripersamaan 0 ) ( = B | dan0 ) ( = B u lebihbesardari1dalamnilaimutlak (Nugroho, 2006). PadasuatudatasampelmodelARIMAmemilikifungsi autokorelasilagke-kdanfungsiautokorelasiparsiallagke-k.Proses identifikasimodeltentatifARIMA(p,d,q)dapatdilakukandengan mengenalciri-ciriACFdanPACFsuatumodel.Jikaciri-ciriACFdan PACF dapat dikenali maka dapat ditentukan model dari data yang stasioner (Arga, 1985).Dengandemikian,suatudatamengikutimodelARMA(p,q) apabiladatatersebutstasioner.Namun,apabilatidakstasionerdapatdi stasionerkandengandiferensisebanyakdkalisehinggadatatersebut mengikutimodelARIMA(p,d,q).Untukmenentukanpdanqbisa diidentifikasidariplotACFdanPACFpadadatayangsudahstasioner. Nilai p ditentukan dengan melihat pada time lag berapa terdapat garis yang keluarbataspadagrafikfungsiPACF.p=1ditandaidenganadanyasatu garis yang keluar batas pada lag pertama.p=2 ditandai dengan adanya dua garisyangkeluarbataspadalagpertamadankedua.Nilaiqditentukan dengan melihat pada time lag berapa terdapat garis yang keluar batas pada grafikfungsiACF.Jikaterdapatsatugariskeluarpadalag1,makaq=1. Jikaterdapatduagariskeluarpadalag1dan2,makaq=2.Sedangkand dapatditentukandenganmelihat berapabanyak diferensi yang dibutuhkan untuk membuat data yang ada menjadi stasioner (Harvey, 1993). Untukmendapatkan model dari data yang diperoleh dari observasi tersebutdiperlukansuatupemodelanderetwaktusepertiautoregressive (AR), moving average (MA), autoregressive moving average (ARMA) dan autoregressiveintegratedmovingaverage(ARIMA).Model-modelini digunakanuntukmemodelkandataderetwaktudenganketergantungan jangkapendek(shortmemory),yaitudatadenganperiodeterpisahjauh diasumsikan tidak memiliki hubungan (tidak berkorelasi). Data deret waktu akanmempunyaisifatketergantunganjangkapanjang(longmemory)jika diantara pengamatan dengan periode yang terpisah jauh masih mempunyai korelasiyangtinggi.Sifatdaridataderetwaktusepertiinimempunyai fungsiautokorelasi(ACF)kuntuklagke-k,turunsecarahiperbolik. Sedangkandataderetwaktuyangstasionerakanmempunyaisifat ketergantunganjangkapendek(shortmemory)jikamempunyaifungsi autokorelasi kyang turun secara cepat atau turun secara eksponensial Tabel 1. ciri-ciri ACF dan PACF model ARIMA (p,d,q) ModelACFPACF MA (1)beda nyata pada lag-1turun eksponensial MA (2)beda nyata pada lag-1 dan 2 turun eksponensial/gelombang sinus MA (q)beda nyata pada lag-1 sampai k turun eksponensial/gelombang sinus AR (1)turun eksponensialbeda nyata pada lag-1 AR (2) turun eksponensial/gelombang sinusbeda nyata pada lag-1 dan 2 AR (p) turun eksponensial/gelombang sinus beda nyata padalag-1 sampai -p ARMA (1,1)turun eksponensialturun eksponensial (Darmawan, dkk, 2010). Pendugaanparameterdilakukanpadamodeltentatifyangtelah terpilih. Pendugaan parameter dapat diduga dengan menggunakan beberapa metode,yakni:metodeMoment,metodeLeast-Square(metodeKuadrat Terkecil) dan metode Maximum Likelihood. (Arga, IR W.1985) 2.1 Metode Moment Metodemomentmerupakanmetodeyangpalingmudahdan seringdipakaiuntukmendugaparameter.Metodeiniterdiridari persamaanmomentsederhanauntukuntukmomentdanpersamaan hasilpenyelesaianuntukmendugaparameteryangtidakdiketahui. Contohsederhanadarimetodeiniadalahuntukmendugawakturata-rata dengan sample rata-rata Z. Model MA(1) Zt = at - at-1 , dengan 1 < 1, maka21 uu+= Dengan menganggap 1 menjadi r1 , nilai dapar diduga dengan menyelesaikanpersamaankuadrat.Jika| |=0.5diperolehpenduga parameternya adalah: ( )12124 1 1rr + = u Jika r1 = 0,5, maka = 1 yang berarti model tidak invertible. Jika | r1 | > 0.5 maka nilai tidak ada. Jadi metode moment gagal untuk menghasilkan penduga dari . Tentu saja jika | r1 | > 0.5, spesifikasi dari modelMA(1)akandiragukan.UntukmodelMA(q),metodemoment akan lebih cepat mendapatkan hasil. Model AR (1)

, dengan

< 1. Untukmodeliniterdapathubungansederhana | =1.Pada metodemoment,1adalahdisamakandenganr1,padalag1sample autokorelasi. Jadi penduga | adalah 1r = |. Model AR (2)

Untuk kasus AR(2), hubungan antara parameter 1| dan 2| akan mengikuti persamaan Yule - Walker : 2 1 1 1| | + =dan2 1 1 2| | + = Dengan metode moment, 1 digantikan oleh r1 dan 2 diganti oleh r2 sehingga menghasilkan : 2 2 1 1| | r r + = dan 2 1 1 2| | + = r r Kemudian diselesaikan untuk memperoleh 1| dan 2|

( )212 1111rr r= | dan 2121 221rr r= | UntukkasusAR(p)prosesyangsamadilakukandengan menggantikan k dengan rk, pada persamaan Yule - Walker diperoleh: p p p pp pp pr r rr r rr r r| | || | || | |+ + + =+ + + =+ + + = .........2 2 1 12 2 1 1 21 2 1 1 1 Persamaanlinierinidiselesaikanuntukmencari p| | |,...,,2 1dalam bentuk r1, r2,., rp (Cryer,1986). 2.2 Metode Kuadrat Terkecil Karena metode moment tidak dapat memenuhi untuk model MA, makaharusdidugadenganmetodependugaanlain,salahsatunya dengan Metode Kuadrat Terkecil.Konsepdarimetodeleast-square(metodekuadratterkecil)ini adalahmeminimumkangalatdarimodelyangada.Karenadalam modelTimeSeriesgalatnyaadalahwhitenoisemakauntuk mendapatkannilaidugadariparametermodel,harusmeminimumkan at.Kitadapatmemandanginiadalahsuatumodelregresidengan peramal Zt-1 dan respon Zt. Model AR(1) t t ta Z Z + = ) (1 | Modelregresidenganvariablebebasadalah 1 tZdanvariable respon tZadalahMetodekuadratterkecilberusahameminimumkan jumlah kuadrat menjadi:t t ta Z Z = ) (1 | Sehingga diperoleh | |= =nttZ Z S221 *) ( ) ( ) , ( | | InibiasanyadisebutFungsiJumlahKuadrat.Berdasarkan prinsip metode kuadrat terkecil asumsi| dan dengan harga masing-masingbahwanilaiminimumS*(|,)diberikanolehZ1,Z2,,Zn. Mempertimbangkan persamaan 0*= c c S, maka diperoleh: ( ) ( ) | |( )== + =ccntt tZ ZS21*0 1 2 | | Sehingga penyelesaian untuk adalah( )( ) || = ==1 1212nZ Znttntt Untuk n besar diapat : ZnZnZntntt t~~ = =2 211 1 Jadi, dengan tanpa melihat harga |, didapatkan :ZZ Z=~i|1 Untuk meminimalkan S*(|,) terhadap | didapatkan: ( )( ) ( ) | |( )= =ccntt t tZ Z Z Z Z ZZ S21 1*2,||| Sehingga|adalah ( )( )( )== =nttntt tZ ZZ Z Z Z22121| Kecuali untuk satu bentuk kesalahan penyebut, nama ( )2Z Zn adalah samadenganr1,jadimetodekuadratterkecildanmetodependugaan moment identik khususnya untuk sample yang besar (Cryer,1986). MODEL MA(1) Rumus umum untuk model MA (1) adalahZt = at - at-1,model invertiblenya adalaht t t ta Z Z Z + = ....221u u ,rumusinidisebutmodel autoregressive tetapi berasal dari orde yang tidak terbatas. Jadi metode kuadrat terkecil bisa diselesaikan dengan memilih nilai untuk parameter yang telah diminimalkan yaitu dengan rumus =2*) (ta S u dimana at = at ( ) adalah fungsi dari observasi waktu dan parameter . Untuk Z1, Z2,,Zndannilaitertentudariuntukmenyelesaikanrumusdiatas denganmenggunakanrumusumumuntukMA(1)diperolehat=Zt+ at-1 dan untuk keadaan a0 = 0 digunakan a1 = Z1, a2 = Z2 + a1, a3 = Z3 +a2,.,an=Z2+an-1.untukordeyanglebihbesardigunakan persamaan at = Zt + 1a1+ 2a2++ qat-q, dengan a0 = a-1 = ... = a1-q = 0 (Wei W.S.1990) 2.3 Metode Likelihood Kelebihan metode Maksimum Likelihood adalah semua informasi yangtersediadalamdatadigunakanlebihbaikdarisekedarmomen pertamadankedua,sepertipadakuadratterkecil.Manfaatlainadalah banyaksampelberukuranbesaryangdikenaldibawahkondisiumum. Salah satu kekurangan dari metode ini adalah kita terlebih dahulu harus menemukan joint Probability Density Function (PDF). Padametodeini,setelahkitamemperolehProbabilityDensity Functionmakauntukselanjutnyakitamencarifungsilndarimodel tersebutkemudiandimaksimumkandengancaramenurunkanterhadap parameter yang akan diduga. Fungsi log likelihood adalahdimanaSSRadalahJumlahkuadratsisaandenganrumus ProsesARMAuntukWtdimanat>0disebutfungsilikelihood bersyaratkarenadiasumsikanet =0(BoxandJenkins,1976) mengatakanbahwanilailog-likelihooddalammodelARIMAbisa ditulis dengan Dengan catatan Dan Sehingga Untuk matrix variance-covariance pendugaan parameter didapat dari invers matrix Dalamprakteknyanilai1ijatauSijdidekatiolehsalahsatuobservasi yaitu Untuk varian dari sampel besar digunakan (Anonim, 2004 ) BAB III METODOLOGI 3.1 Plot data danIdentifikasi pola-Ketikan data percobaan pada notepad -MasukpadaMinitabsessionlalupilihEditor>enable commands -MTB > Set C1 (pilih sesuai tempat yang diinginkan) -DATA>(copydatadarinotepadyangtelahdisimpantadi), lalu tekan enter. -DATA > end. -Beri nama C1 dengan nama yangdiinginkan - Setelah itu untuk menggambar grafik, pilih Stat > Time Series > Time Series Plot

-Pilih Simple -Isi series dengan data yang akan diidentifikasi polanya -Isi label dengan judul grafik -Klik OK 3.2 Uji stasioneritas Terhadap ragam -Membuat-PlotBox-CoxdatadenganPilihStat> Control Chat > Box-Cox Transformation. -PadaKotakpilihAllobservationsforachartarein onecolumn.MasukkanC1(yangterdapatpada kotak paling kiri), dengan Subgroup size 1. -DanKemudianklikOptionpadaStoretransformed datainketikdikolommanadatahasiltransformasi itu akan diletakkan lalu tekan OK.

-Datadikatakanstasionerterhadapragamapabila nilaidari1 ~ atau=1.Jika1 = maka lanjutkan mentransformasi data.-Dilakukanlangkahdiatasdenganmemasukkandata hasiltransformasisampai nilai mendekati1 atau = 1 . Terhadap rata-rata Datayangdipakaiadalahdatayangstasionerpadaragam. Langkahnya sebagai berikut: -Klik Stat > Time Series > Autocorellation -Jikadidapatkanhasillagyangke4mendekatibatassehingga meragukan untuk memutuskan apakah lagtersebutmelebihi batas kepercayaanatautidakmakadataharusdiujidenganDickey Fuller(DF) untuk memutuskannya. Jika data memang jelas terlihattidakstasioneryaituterdapatlebihdari3lagyangmelebihibatas maka di lakukan uji Differences. 1.Uji Dickey Fuller menggunakan E-Views -Klik file > new > workfile -Isikansatuandata(missal:bulanan)denganbanyaknyadata (start-end date) -Masukkan data salah satunya dengan file > import > read text lotus excel -Di dapatkan data, kemudian untuk menampilkan gambar view > unit root test. Pilih user specified isi dengan 1 -Setelahkeluarhasilnya,dilihatnilaistatistictestDF, bandingkan dengan nilai test critical 5%. Apabila | statistic test DF| > | test critical 5%.| maka data tersebut stasioner. 2.Uji Differensi, langkahnya sebagai berikut -Klik stat > time series > difference. -Massukkandatayangsudahstasionerterhadapragam,Pada Storedifferencesinkitaisikannamakolomuntukmeletakkan datayangtelahdidiferensi.Kemudiandatatersebutdibuat grafik autocorrelation lagi. -Untukmelihatgambardengan:stat>timeseries> autocorellation. Centang store ACF. -Halinidiulangmaksimalsampai 3 kali, jikasetelah diulang3 kali,datamasihbelumstasioner,berartidatamemangtidak stasionerkan terhadap rata-rata. 3.3 Identifikasi Model Datayangdipakaiadalahdatayangstasionerpadaragam. Terlebih dahulu lihat plot ACF nya, kemudian -Pilih Stat > Time Series > Parsial Correlation 3.4 Pendugaan Parameter Setelahdidapatkanmodelsementara,kemudiandiduga parameternya menggunakan metode Maximum Likelihood, dengan-Pilih Stat > Time Series >ARIMA BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1.Milk Production (4bulanan) a)Pola data Berikut ini ialah data dari Milk Production (4bulanan) MTB > set c1 DATA> 244626632280249227352333263928232443 DATA> 271128932473280330412661292631432726 DATA> 298432072795301432812872308833472949 DATA> 329835583153341536453190337535993137 DATA> 339736913213341136573284 DATA> end IndexMilk.Proc (4bln)40 36 32 28 24 20 16 12 8 4380036003400320030002800260024002200Milk Production4 bulanan BerdasarkanhasiltimeseriesplotdiatasdataMilkProduction (4bulanan) ,dapat dikatakanbahwa data tersebut memiliki pola trend musiman, dimana trend-nya cenderungnaik. b)Stasioneritas Terhadap ragam LambdaStDev5.0 2.5 0.0 -2.5 -5.0340330320310300290280270260Lower CL Upper CLLimitLambda0.50(using 95.0% confidence)Estimate 0.69LowerCL -1.50UpperCL 3.06Rounded ValueBox-Cox Plot of Milk.Proc (4bln) BerdasarkanhasilBox-Coxdiatas,nilaiestimasiLambdadaridataMilk Production(4bulanan)yangdiperolehadalah0.69dannilaiLowerCL=-1.50danUpperCL=3.06.Nilaitersebutmasihjauhdari1.Jadi,data tersebutbelummemenuhiasumsistasionerterhadapragamsehinggadata perlu ditransfosmasi kembali. LambdaStDev5.0 2.5 0.0 -2.5 -5.02.652.602.552.502.45Lower CLLimitLambda1.38(using 95.0% confidence)Estimate 1.38LowerCL -3.17UpperCL *Rounded ValueBox-Cox Plot of trnfr.1 NilaiestimasiLambdahasiltransformasiyangpertamadidapatkanhasil 1.38dannilaiLowerCL=-3.17danUpperCL=*.Nilaitersebutmasih jauhdari1sehinggadapatdisimpulkanbahwadatatidakstasioner.Jadi, datatersebutbelummemenuhiasumsistasionerterhadapragamsehingga data perlu ditransformasi kembali. LambdaStDev5.0 2.5 0.0 -2.5 -5.018.017.517.016.516.015.5Lower CL Upper CLLimitLambda1.00(using 95.0% confidence)Estimate 1.00LowerCL -2.14UpperCL 4.57Rounded ValueBox-Cox Plot of trnfr.2 NilaiestimasiLambdahasiltransformasiyangkeduadidapatkanhasil adalah1.00dannilaiLowerCL=-2.14danUpperCL=*.Nilaitersebutsudah mencapai nilai lambda sebesar 1 sehingga dapat disimpulkan bahwa data stasioner. Jadi,dapatdisimpulkanbahwadataMilkProduction(4bulanan) stasionerterhadapragampadatransformasikeduadengannilaiestimasi lambda sebesar 1. Terhadap rata rata LagAutocorrelation11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 11.00.80.60.40.20.0-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0Autocorrelation Function for trnfr.2(with 5% significance limits for the autocorrelations) GrafikACFMilkProduction(4bulanan)diatas terlihatbahwa terdapat3 lagpertamayangkeluarbatas(2/n),makadapatdikatakanbahwadata Milk Production (4bulanan) sudah stasioner terhadap rata rata tanpa perlu dilakukan differences. c)Identifikasi model LagAutocorrelation11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 11.00.80.60.40.20.0-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0Autocorrelation Function for trnfr.2(with 5% significance limits for the autocorrelations) Dari plot ACF Milk Production (4bulanan) yang sudah stasionerterhadap ragamdanratarataterdapathanya3lagyangpertamakeluarbatas (2/n)atauyangsignifikan,darihasiltersebutdapatdikatakanbahwa model yang memenuhi ialah MA(3) dengan d=0.LagPartial Autocorrelation11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 11.00.80.60.40.20.0-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0Partial Autocorrelation Function for trnfr.2(with 5% significance limits for the partial autocorrelations) Dari plot PACF di atas terdapat lebih dari 3 lag yang melebihi batas (2/n) maka dapat dikatakan bahwa tidak ada model AR yang tepat untuk data Milk Production (4bulanan) di atas.Dari kedua plot (ACF dan PACF) diatas dapat dikatakan bahwa data Milk Production (4bulanan) di atas memiliki model MA(3). d)Pendugaan Perameter ARIMA Model: Milk.Proc (4bln) Estimates at each iteration IterationSSEParameters 0760384344 0.100 0.100 0.100 1573448895-0.050 0.128 0.113 2438326925-0.200 0.155 0.115 3335901396-0.350 0.173 0.109 4257528793-0.500 0.177 0.098 5196504533-0.650 0.156 0.085 6147912317-0.800 0.096 0.072 7109029004-0.950-0.014 0.051 8 81269442-1.084-0.164 0.017 9 63884321-1.192-0.314-0.031 10 51853259-1.290-0.464-0.089 11 43313604-1.381-0.614-0.152 12 37125476-1.468-0.764-0.219 13 32675139-1.552-0.914-0.290 14 29556778-1.635-1.064-0.362 15 27534562-1.720-1.214-0.432 16 25891259-1.819-1.364-0.485 17 23689373-1.909-1.445-0.460 18 20928075-2.054-1.595-0.509 19 20664091-2.048-1.569-0.466 20 19785701-2.114-1.719-0.554 21 19473099-2.119-1.716-0.522 22 17415901-2.244-1.866-0.570 23 17300962-2.250-1.872-0.564 24 16989710-2.272-1.895-0.570 25 16967767-2.273-1.883-0.556 ** Convergence criterion not met after 25 iterations ** Final Estimates of Parameters Type CoefSE Coef TP MA 1-2.2730 0.0017-1358.650.000 MA 2-1.8826 0.0152 -123.700.000 MA 3-0.5561 0.0473-11.750.000 Number of observations:42 Residuals:SS =16569930 (backforecasts excluded) MS =424870DF = 39 Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic Lag12 24 3648 Chi-Square136.8228.6280.6 * DF 9 21 33 * P-Value 0.0000.0000.000 * Denganmelihathasilkeluaranminitabdiatasdidapatkanbahwa iterasidihentikanpadaiterasike-25karenapadaiterasiinimempunyai hasilyangsamasepertipadaiterasisebelumnya.Nilai

,

dan

masing - masing sebesar -2.273, -1.883 dan -0.556.Sehinggauntuknilaipendugaannparameterdenganmetode likelihooddidapatkankoefisienMA(1)sebesar-2.273,MA(2)sebesar-1.883 dan MA (3) -0.556, dimana ketiga nilai ini merupakan nilai duga dari

,

dan

SehinggajikamenggunakanmetodeMaximumLikelihood yang diperoleh tanpa nilai awalan adalah:

4.2.Porland Oregon (4bulanan) a)Pola data Berikut ini ialah data dari Portland Oregon (4bulanan) MTB > set c1 DATA>147.6153.6161.5191.8216.6 212.8 210.0 222.4 229.9 DATA>223.2229.5237.3242.1248.5 249.8 253.7 265.7 275.6 DATA>287.3353.5398.1454.6482.2 482.9 515.5 536.8 533.8 DATA> 500.8 DATA> end IndexPortlnd Oregon (4bln)27 24 21 18 15 12 9 6 3500400300200100Portland Oregon4 bulanan BerdasarkanhasiltimeseriesplotdiatasdataPortlandOregon (4bulanan),dapatdikatakanbahwadatatersebutmemilikipolatrend dimana trend-nya cenderungnaik. b)Stasioneritas Terhadap ragam LambdaStDev5.0 2.5 0.0 -2.5 -5.0605040302010Lower CL Upper CLLimitLambda0.00(using 95.0% confidence)Estimate -0.07LowerCL -1.03UpperCL 0.80Rounded ValueBox-Cox Plot of Portlnd Oregon (4bln) BerdasarkanhasilBox-Coxdiatas,nilaiestimasiLambdadaridata PortlandOregon(4bulanan)yangdiperolehadalah-0.07dannilaiLower CL= -1.03 dan Upper CL= 0.80. Nilai tersebutmasih jauh dari 1. Jadi, data tersebutbelummemenuhiasumsistasionerterhadapragamsehinggadata perlu ditransfosmasi kembali. LambdaStDev5.0 2.5 0.0 -2.5 -5.00.05250.05200.05150.05100.05050.05000.04950.04900.0485Lower CLLimitLambda0.60(using 95.0% confidence)Estimate 0.60LowerCL -4.97UpperCL *Rounded ValueBox-Cox Plot of trnsfrm.1 NilaiestimasiLambdahasiltransformasiyangpertamadidapatkanhasil 0.60dannilaiLowerCL=-4.97danUpperCL=*.Nilaitersebutmasih jauh dari 1. Jadi, data tersebut belum memenuhi asumsi stasioner terhadap ragam sehingga data perlu ditransfosmasi kembali. LambdaStDev5.0 2.5 0.0 -2.5 -5.00.01530.01520.01510.01500.01490.0148Lambda1.00(using 95.0% confidence)Estimate 1.00LowerCL *UpperCL *Rounded ValueBox-Cox Plot of trnsfrm.2 NilaiestimasiLambdahasiltransformasiyangkeduadidapatkanhasil adalah 1.00 dan nilai Lower CL= * dan Upper CL= *. Nilai tersebutsudah mencapainilailambdasebesar1sehinggadapatdisimpulkanbahwadata stasioner. Jadi,dapatdisimpulkanbahwadataPortlandOregon(4bulanan) stasionerterhadapragampadatransformasikeduadengannilaiestimasi lambda sebesar 1. Terhadap rata rata LagAutocorrelation7 6 5 4 3 2 11.00.80.60.40.20.0-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0Autocorrelation Function for trnsfrm.2(with 5% significance limits for the autocorrelations) GrafikACFPortlandOregon(4bulanan)diatasterlihatbahwahanya terdapat2lagpertamayangkeluarbatas(2/n),makadapatdikatakan bahwadataPortlandOregon(4bulanan)sudahstasionerterhadaprata rata tanpa perlu dilakukan differences.

c)Identifikasi model LagAutocorrelation7 6 5 4 3 2 11.00.80.60.40.20.0-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0Autocorrelation Function for trnsfrm.2(with 5% significance limits for the autocorrelations) DariplotACFyangsudahstasionerterhadapragamdanratarata terdapat 2 lag yang pertama keluar batas (2/n)atau yang signifikan, dari hasiltersebutdapatdikatakanbahwamodelyangmemenuhiialahMA(2) dengan d=0. LagPartial Autocorrelation7 6 5 4 3 2 11.00.80.60.40.20.0-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0Partial Autocorrelation Function for trnsfrm.2(with 5% significance limits for the partial autocorrelations) Dari plot PACF di atas terdapat lebih dari 1 lag yang melebihi batas maka dapat dikatakan bahwa model AR yang tepat untuk data Portland Oregon (4bulanan)di atas ialah AR(1). Dari kedua plot (ACF dan PACF) diatas dapat dikatakan bahwa data Portland Oregon (4bulanan)) di atas memiliki model ARMA(1,2) atau ARIMA(1,0,2). d)Pendugaan Perameter ARIMA Model: Portlnd Oregon (4bln) Estimates at each iteration IterationSSEParameters 037248890.100 0.100 0.100 124466850.250 0.020 0.149 218730940.400 0.032 0.203 316186590.550 0.114 0.266 414593750.700 0.222 0.341 513299290.850 0.337 0.432 611312600.814 0.187 0.500 710263530.733 0.037 0.492 8 9756460.617-0.113 0.422 9 9370060.492-0.263 0.327 10 8990670.367-0.413 0.223 11 8521320.251-0.563 0.115 12 7772430.156-0.713 0.003 13 6064300.142-0.863-0.115 14 4093770.292-0.876-0.135 15 2560020.442-0.886-0.157 16 1468270.592-0.876-0.166 17711480.742-0.846-0.162 18246880.892-0.788-0.143 19 95190.999-0.825-0.243 20 91991.003-0.685-0.162 21 91371.003-0.710-0.232 22 91171.003-0.682-0.235 23 91111.003-0.680-0.251 24 91091.003-0.674-0.254 25 91091.003-0.672-0.258 ** Convergence criterion not met after 25 iterations ** * WARNING * Back forecasts not dying out rapidly Back forecasts (after differencing) Lag-97 - -92192.909192.308191.709191.111190.515189.921 Lag-91 - -86189.329188.739188.151187.564186.979186.397 Lag-85 - -80185.815185.236184.659184.083183.509182.937 Lag-79 - -74182.367181.798181.232180.667180.104179.542 Lag-73 - -68178.982178.424177.868177.314176.761176.210 Lag-67 - -62175.661175.113174.567174.023173.481172.940 Lag-61 - -56172.401171.863171.327170.793170.261169.730 Lag-55 - -50169.201168.674168.148167.624167.101166.580 Lag-49 - -44166.061165.543165.027164.513164.000163.489 Lag-43 - -38162.979162.471161.964161.460160.956160.455 Lag-37 - -32159.954159.456158.959158.463157.969157.477 Lag-31 - -26156.986156.496156.009155.522155.037154.554 Lag-25 - -20154.072153.592153.113152.636152.160151.686 Lag-19 - -14151.213150.742150.272149.803149.336148.871 Lag-13 --8148.407147.944147.483147.023146.565146.108 Lag -7 --2145.652145.198144.746144.294143.845143.396 Lag -1 - 0142.949144.530 Back forecast residuals Lag-97 - -92-1.208-0.392-0.625-0.675-0.578-0.627 Lag-91 - -86-0.615-0.607-0.612-0.607-0.605-0.604 Lag-85 - -80-0.602-0.600-0.598-0.596-0.594-0.592 Lag-79 - -74-0.591-0.589-0.587-0.585-0.583-0.581 Lag-73 - -68-0.580-0.578-0.576-0.574-0.572-0.571 Lag-67 - -62-0.569-0.567-0.565-0.564-0.562-0.560 Lag-61 - -56-0.558-0.557-0.555-0.553-0.551-0.550 Lag-55 - -50-0.548-0.546-0.545-0.543-0.541-0.540 Lag-49 - -44-0.538-0.536-0.534-0.533-0.531-0.529 Lag-43 - -38-0.528-0.526-0.525-0.523-0.521-0.520 Lag-37 - -32-0.518-0.516-0.515-0.513-0.512-0.510 Lag-31 - -26-0.508-0.507-0.505-0.504-0.502-0.501 Lag-25 - -20-0.499-0.497-0.496-0.494-0.493-0.491 Lag-19 - -14-0.490-0.488-0.487-0.485-0.484-0.482 Lag-13 --8-0.481-0.479-0.478-0.476-0.475-0.473 Lag -7 --2-0.472-0.470-0.469-0.467-0.466-0.464 Lag -1 - 0-0.463 1.565 Final Estimates of Parameters Type CoefSE CoefTP AR 1 1.0031 0.022843.960.000 MA 1-0.6724 0.2067-3.250.003 MA 2-0.2580 0.2068-1.250.224 Number of observations:28 Residuals:SS =9077.02 (backforecasts excluded) MS =363.08DF = 25 Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic Lag12 243648 Chi-Square6.6 14.7 * * DF9 21 * * P-Value 0.6810.836 * * Denganmelihathasilkeluaranminitabdiatasdidapatkanbahwa iterasidihentikanpadaiterasike-25karenapadaiterasiinimempunyai hasilyangsamasepertipadaiterasisebelumnya.Nilai

dan

,

masing - masing sebesar 1.0031, dan -0.6724 , -0.2580 .Sehinggauntuknilaipendugaannparameterdenganmetode likelihooddidapatkankoefisienAR(1)sebesar1.0031,MA(1)sebesar--0.6724 dan MA (2) -0.2580 , dimana ketiga nilai ini merupakan nilai duga dari

dan

,

.SehinggajikamenggunakanmetodeMaximum Likelihood yang diperoleh tanpa nilai awalan adalah:

BAB V PENUTUP 5.1 Kesimpulan Pendugaan parameter dilakukan pada modeltentatif yang telah terpilih.Pendugaanparameterdapatdidugadenganmenggunakan beberapametode,yakni:metodeMoment,metodeLeast-Square (metodeKuadratTerkecil)danmetodeMaximumLikelihood.Namun laporanpraktikumhanyadibahastentangMetodeMaximum Likelihood saja.Dari praktikum yang dilakukan dapat di tarik kesimpulan bahwa pendugaanparametermenggunakanmetodeMaximumLikelihood denganiterasisebanyak25kalimempunyaihasilkoefisiennya

,

dan

masing-masingsebesar-2.273,-1.883dan-0.556.untuk Milk Production dan Portland Oregon

dan

,

masing -masing sebesar1.0031,dan-0.6724,-0.2580.sehinggamodeldengan pendugaan paramer yang didapat untukMilk Production dan Portland Oregon berturut - turut ialah

dan

5.2 Saran Dalampengadaanpraktikumanalisisderetwaktusebaiknya dilakukan revisi dalam pembuatan modul tiap tahunnya. Mengingat perkembanganteknologiyangsangatpesatsehinggadapat menggunakan software software yang terbaru. DAFTAR PUSTAKA Anonim.2004.ARIMA.www.xycoon.com/arima_estimation.htm//. Diakses pada tanggal 4 Desember 2011 Arga, IR W. 1985. Analisa Runtun Waktu Teori dan Aplikasi Jilid I. BPFE. Yogyakarta Cryer,D.J.1986.TimeSeriesAnalysis.PWS-KENTPublishing Company. Boston USA Darmawan,dkk.2010.PerbandinganModelPadaDataDeretWaktu PemakaianListrikJangkaPendekYangMengandungPola MusimanGanda.http://pustaka.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2010/01/perbandingan_model_pada_data_deret_waktu.pdf . Diakses tanggal 26 November 2011. Harvey, C.Andrew. 1993. Time Series Models. Harvester wheatsheaf . New York Lestari, Budi. 2000. Pemodelan dan Peramalan Banyaknya Hari Hujan Di JemberDenganProsesARIMA.http://www.unej.ac.id/fakultas/mipa/majalah_mat/2000/Pemodelan%20dan%20Peramalan-Budi.pdf.Diaksestanggal26November 2011. Nugroho,Sigit.2006.AnalisisDeretWaktu.http://www.geocities.com/sinugsta/AnalisisDeretWaktu.pdf. Diakses tanggal 26 November 2011. Wei,W.S.1990.TimeSeriesAnalysis.Addison.WeshleyPublishingCompany.