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⼲渉計原理宮本 祐介
国⽴天⽂台アルマプロジェクトアルマ東アジア地域センター
2020.11.17
⼲渉計参考書
•⼲渉計サマースクール http://astro.sci.yamaguchi-u.ac.jp/jvn/reduction/SS2005text.pdf
電波望遠鏡
•多くのアンテナは回転放物⾯（パラボラ）を利⽤•正⾯から⼊射した波⾯が等位相で焦点に集まる
焦点
波面
口径: D
d1
d2
d1 d1
d2d2
d1 + d1 = 一定
野辺⼭45m電波望遠鏡
D(⼝径) 望遠鏡の解像度(分解能)（≒回折限界）
θresolu'on〜 λ/D(λ︓観測波⻑)
世界最⼤の単⼀鏡（固定鏡）(FAST ︓500m)
観測周波数︓0.07 - 3.0 GHz（λ 〜10 cm - 4 m）
単⼀鏡
電波望遠鏡
分解能 = アンテナの電界分布をフーリエ変換したもの
電波望遠鏡（可動式単一鏡）
グリーンバンク100-m鏡(アメリカ)0.3 GHz ~ 100 GHz
野辺⼭45-m鏡(⽇本）20GHz ~ 115 GHz
LMT 50-m(メキシコ）75GHz ~ 350 GHz
• アンテナ鏡⾯は観測波⻑の1/10以下になる必要（例 100GHz (λ=3mm)の場合は300 um以下の鏡⾯誤差）
• 可動式電波望遠鏡としては現在 100-mが最⼤
https://greenbankobservatory.org/telescopes/gbt/ http://lmtgtm.org/general-2/general/https://www.nro.nao.ac.jp/gallery/45m.html
電波望遠鏡（単一鏡での観測）
データ
分光計•電波望遠鏡の受信機は通常1素⼦
Cf. デジタルカメラ (2000万素⼦)
分布を調べるには1点ずつ観測
分解能 (~λ/D)https://alma-telescope.jp/gallerytag/instruments
⼲渉計とはD(⼝径) 望遠鏡の解像度（≒回折限界）
θresolu'on = λ/D(λ︓観測波⻑)
複数の望遠鏡を⽤いて開⼝合成することで、望遠鏡間の距離（基線⻑）と等価の開⼝を持った望遠鏡の解像度を得ることができる⇒上記式でDが基線⻑に相当す
る
単⼀鏡
⼲渉計
（ 各素⼦アンテナの電圧)
⼲渉計の基本観測⽅程式
位相中⼼ s0の⽅向からα (l =sin α)ずれている信号の V 2のV 1に対する応答は
V 2= V1 exp (2πi Δx/λ) = V1 exp (2πi (ul))
ここで u = b cosθ /λ（空間周波数）
アンテナ１と２の⼲渉計出⼒は空間周波数 uの逆数の周期で強め合う （フリンジ）
0 0
波面
（ 各素⼦アンテナの電圧)
⼲渉計の基本観測⽅程式
V (u,v) : ビジビリティ
アンテナ１とアンテナ２で受信した天体信号(2次元: I(l, m))の時間平均出⼒
⟨V1 V2⟩ ≡ V (u,v)= ∬ I(l, m) exp(2πi(ul+vm)) dldm
0 0
波面
⼲渉計の基本観測⽅程式
•ビジビリティV は、天体の輝度分布 I のフーリエ変換• u, vは空間周波数
u
vNorth pole
Fourier 空間V (u,v) =∬ I(l, m) exp(2πi(ul+vm)) dldm
I (l,m) =∬ V (u,v) exp(-2πi(ul+vm)) dudvImage 空間
現実的な観測
測定されるビジビリティV’ は (u, v)平⾯上の有限な点でサンプリング
（S(u, v)は実際にサンプリングされた点→UV カバレッジ（平⾯）
合成ビーム
I (l,m) =∬ V (u,v) exp(-2πi(ul+vm)) dudv
V’ = S(u, v) V(u, v)
FT-1[V’] =FT-1[S(u,v)V(u,v)]=FT-1[S(u,v)]** FT-1[V(u,v)]=FT-1[S(u,v)]** I(l,m)= B(l,m) ** I(l,m)
V’のフーリエ変換を考える
例: 合成ビーム（３アンテナ）アンテナ位置 Baseline（基線) = 3 * (3-1) /2
= 3
観測時間: 10 min周波数: 345GHz で観測した時
(u,v) 平⾯
観測時間: 10 min
例:合成ビーム（３アンテナ）baseline = 3 * (3-1) /2
= 3
周波数: 345GHz で観測した時
例:合成ビーム（9アンテナ）アンテナ位置
baseline = 9 * (9-1) /2 = 36
観測時間: 10 min
周波数: 345GHz で観測した時
例:合成ビーム（9アンテナ）baseline = 9 * (9-1) /2
= 36
観測時間: 10 min
周波数: 345GHz で観測した時
例:合成ビーム（9アンテナ）アンテナ位置
baseline = 9 * (9-1) /2 = 36
観測時間: 2 hr
周波数: 345GHz で観測した時
例: フリンジパターン（9アンテナ）baseline = 9 * (9-1) /2
= 36
観測時間: 2 hr
周波数: 345GHz で観測した時
43 アンテナのとき(コンパクトアレイ)
観測時間: 10 min
周波数: 345GHz で観測した時
分解能、イメージング可能領域、視野の関係
Dmin
Dmax
Dant
測定されるビジビリティV’ は (u, v)平⾯上の有限な点でサンプリング
感度がない領域
λ/Dmax
この幅よりも⼩さい空間スケールの情報は、ほぼ縮退してしまう
Dmax
※厳密にはDmaxは天体から⾒た射影⻑
分解能、イメージング可能領域、視野の関係
⼲渉縞のことを、フリンジパターンなどと呼んだりする
λ/Dmin
Dmin
この幅よりも⼤きい空間スケールの構造は、ほぼ検出できない（俗にresolve-outと呼ぶ）
Maximum angular scale of sourceとかMaximum recoverable scaleと呼ぶ
分解能、イメージング可能領域、視野の関係
Dant
λ/Dant
Field of View (FoV) 単⼀鏡での分解能に相当
この幅で視野は制限される
分解能、イメージング可能領域、視野の関係
⼲渉計の基本観測⽅程式Fourier 空間V (u,v) =∬ I(l, m) exp(2πi(ul+vm)) dldm
I (l,m) =∬ V (u,v) exp(-2πi(ul+vm)) dudvImage 空間
V’ = S(u, v) V(u, v)
I’ (l,m) = FT-1[S(u,v)V(u,v)]=FT-1[S(u,v)]** I(l,m)= B(l,m) ** I(l,m)
実際に測定されるビジビリティ
Dirty Image
Dirty Imageから天体の真の輝度分布を求める⼿法はデータ解析講習会（中初級編）で
（補⾜）実観測で得られるデータ• Visibiity V (u,v) =∬ A(l, m) I(l, m) exp(i(ul+vm)) dldm
• u,v: 波⻑で規格化されたprojected baseline⻑
•観測で得られるVisiiblityは Vobs= GVtrue• G:ゲイン(複素量) 装置+⼤気が影響
=> 時間、周波数、アンテナ、baselineの関数• Gを補正して正しいVisibilityを求める
=>Calibration
u
vNorth pole
⼤気 Gatm(t,ν)- ⽔蒸気量
アンテナGant(t,ν)- 重⼒変形- ポインティング
受信機安定性Grx(t,ν)
Gatm Gant Grx … ≡ G(t,ν)= G0 G(ν)ΔG(t)
G0 : absolute flux scaleG(ν) : Band 特性ΔG(t) : 位相/ampの時間変化
実観測で得られるデータ
Vobs= GVtrue
Calibration• G0 : absolute flux scale
ü既知のcalibratorを使う
• G(ν) : Band 特性ü強い点源（flat spectrum）を使ってbandpass 補正
• ΔG(t): 位相/ampの時間変化ü天体近くの点源を使って補正
なぜ点源︖ V(u,v)=∬I(x,y) exp(i(ux+vy))dxdy=>∬δ(x,y) exp(i(ux+vy))dxdy=1
• Visibility のampがuv-distanceによらない（時間、周波数、アンテナのみ)
• Visibilityの位相=0
