Apuntes: Aeroelasticidad yvibraciones.Apuntes:Aeroelasticidadvibraciones.yAlejandro Roger UllIngeniera AeronuticaPrimera edicin 01 de julio de 2012Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesAcerca de estos apuntesEstos apuntes se han realizado para cubrir el temario de la asignatura Aeroelasticidad yvibraciones, que se imparte en el quinto curso de Ingeniera Aeronutica, en intensificacin en Aeronaves, en la Escola Tcnica Superior dEnginyeries Industrial i Aeronutica de Terrassa, de la Universitat Politcnica de Catalunya (ETSEIAT UPC).LicenciaEsta obra est bajo una licencia Attribution-ShareAlike 3.0 Unported (CC BY-SA 3.0) deCreative Commons. Para ver una copia de esta licencia, visite:http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.es_ESEn lneas generales:Es libre de:Compartir Copiar, distribuir y comunicar pblicamente la obra.Transformar la obra y crear obras derivadas. Hacer un uso comercial de esta obra.Bajo las condiciones siguientes:Reconocimiento Debe reconocer al autor de la obra original (pero no de unamanera que sugiera que tiene su apoyo o apoya el uso que hace de su obra).Compartir bajo la Misma Licencia Si altera o transforma esta obra, o genera una obra derivada, slo puede distribuir la obra generada bajo una licencia idntica a sta.- 4 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesContenidosMdulo 1.Tema 1. Mdulo 2. Tema 2. Tema 3.Tema 4.Introduccin a la aeroelasticidad.Fenmenos aeroelsticos. ........................................................................................ 6Aeroelasticidad del perfil.Aeroelasticidad esttica. Divergencia e inversin de mando................................... 7Aeroelasticidad dinmica. Flameo.......................................................................... 10Teora del perfil oscilante y clculo de fuerzas aerodinmicas en flujo incompresible. Funcin de Theodorsen. ................................................................ 18Teora del perfil oscilante y clculo de fuerzas aerodinmicas en compresible. ........................................................................................................... 28Aeroelasticidad dinmica. Rfagas y turbulencias. ................................................ 40Aeroelasticidad dinmica. Flameo en separacin y bataneo. ................................ 53Aeroelasticidad de turbomquinas. ....................................................................... 59Estructuras unidimensionales.Introduccin............................................................................................................ 60Aeroelasticidad esttica en alas rectas................................................................... 60Flameo en alas de gran alargamiento..................................................................... 75Flujo incompresible no estacionario en torno a alas deformables. ....................... 83Tema 5.Tema 6.Tema 7. Tema 8. Mdulo 3. Tema 9. Tema 10. Tema 11.Tema 12.- 5 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesMdulo 1. Introduccin a la aeroelasticidad.Tema 1.Fenmenos aeroelsticos.La aeroelasticidad estudia la interaccin entre fuerzas aerodinmicas, fuerzas elsticas yfuerzas de inercia. Por ello se aplicarn muchos conceptos que se han ido adquiriendo en otras asignaturas a lo largo de la carrera. Se contemplarn los principales fenmenos aeroelsticos:Aeroelasticidad esttica: Divergencia (Divergence):Modificacin del ngulo de ataque que puede estabilizarse o explotar en funcin de la velocidad. Inversin de mando (Control reversal):Al deflectar el alern aumenta la sustentacin, pero se produce tambin un aumento del momento de picado. Esto disminuye el ngulo de ataque, lo que disminuye a su vez la sustentacin. El mando pierde efectividad.Aeroelasticidad dinmica:Flameo (Flutter):Se produce cuando el perfil empieza a oscilar. Si las fuerzas aerodinmicas extraen energa del sistema, el sistema se amortigua. Si entregan energa al sistema entonces, si el sistema puede disiparla, se amortiguar, pero si no puede disiparla entonces explotar. Si durante la oscilacin se alcanza la zona no lineal entonces durante parte de ciclo se entrar en prdida.Bataneo (Buffeting):Se produce por una excitacin exterior armnica, por ejemplo una estela del ala sobre el estabilizador horizontal.Rfagas (Gusts):Las rfagas se tratan como excitaciones conocidas, y la turbulencia se trata estadsticamente.La Figura 1.1 muestra las relaciones entre las diferentes acciones y los fenmenos de estudio.AR Inversin de mando A Fuerzas aerodinmicasD DivergenciaG Rfagas F Flameo B BataneoE Fuerzas elsticasI Fuerzas inercialesG F BR DDSNo entran en la asignatura:V VibracionesDS Estabilidad dinmicaEIVFigura 1.1: Tringulo de Collar de fuerzas aeroelsticas.- 6 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesMdulo 2. Aeroelasticidad del perfil.Tema 2.Aeroelasticidad esttica. Divergencia e inversin de mando.En aeroelasticidad esttica el movimiento vertical no tiene ningn efecto, ya que no se tienenen cuenta las velocidades de desplazamiento, y slo se considera la variacin en ngulo de ataque debido al giro. Es decir, en la Figura 2.1 no es necesario considerar el efecto de la rigidez a flexin para estudiar el fenmeno esttico de divergencia.Figura 2.1: Modelizacin del perfil.En la Figura 2.1elsticos. La distanciarepresenta el ngulo de ataque modificado por los elementoses la que hay entre el eje elsticoy el centro aerodinmico . Laecuacin de equilibrio ser:(2.1)(())Cuando se trabaja con perfiles, la superficie de referenciarepresenta la cuerda , ya que lasuperficie por unidad de envergadura esconcordancia con los casos de ala larga.. Se elige esta nomenclatura para que tengaDespejando el ngulo de ataque elsticose obtiene:()(2.2)Para que se produzca la divergencia el denominador de la ecuacin (2.2) se debe anular. Por lotanto la presin dinmica de divergenciay la velocidad de divergenciason:(2.3)- 7 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesSi el eje elsticoest por delante del centro aerodinmico, es decir, entonces noexiste la velocidad de divergencia.En la Tabla 2.1 se recuerdan algunos valores habituales:Tabla 2.1: Parmetros aerodinmicos habituales.El planteamiento para el fenmeno de inversin de mando es el mismo, pero con un alern. Sequiere ver qu incremento de sustentacin produce este alern. Lo primero que se debe suponer es que se est a una velocidad inferior a la de divergencia, y que por lo tanto se ha alcanzado un equilibrio en ngulo de ataque.Ahora se toma este ngulo como referencia y se deflecta el alern un ngulo , Figura 2.2.Figura 2.2: Modelizacin del perfil con alern.Esta deflexin modifica la distribucin de la sustentacin en el borde de salida del perfil, lo queorigina un momento de cabeceo. El ngulo de ataque elstico debido nicamente a ser:( ())(2.4)Despejando se obtiene:(2.5)- 8 -IncompresibleSubsnicoSupersnicoPosicin del centro aerodinmicoCoeficiente de sustentacinCoeficienteAlejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesSe pueden definir la variacin de sustentacin debida a la deflexin del alerny lavariacin total, que incluye el efecto elstico, como:(2.6)Entonces la efectividad del mando se define como:(2.7)La inversin de mando se produce cuando la efectividad se anula. La presin dinmica deinversin de mandoes entonces:(2.8)La efectividad del mando tambin se puede escribir como:(2.9)La Figura 2.3 representa la efectividad del mando en funcin de la presin dinmica.2.01.51.00.50.0-0.5-1.0-1.5-2.000.20.40.60.81Presin dinmicaFigura 2.3: Efectividad del mando en funcin de la presin dinmicapara diferentes presiones de inversin.- 9 -Efectividad del mando 1.10.90.70.50.3Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesTema 3.Aeroelasticidad dinmica. Flameo.Se plantea la teora del flameo con un ejemplo como el que se muestra en la Figura 2.4. Sesupone que el sistema parte de un sistema estacionario equilibrado, por lo que slo se consideran las variaciones temporales de las variables.Figura 2.4: Modelo de perfil para el estudio del flameo.El movimiento vertical se define positivo hacia abajo. Las distancias horizontales , y sondefinidas positivas hacia la derecha, por lo que es negativa en la Figura 2.4.Con el perfil sometido a una corrientese trata de conocer el comportamiento temporal de(),( )(). Se obtendrn la energa cintica y la energa potencial del sistema, y seyplantearn las ecuaciones de Lagrange.La posicin de un punto del perfil en funcin del tiempo ser:()( )()( )()()( )(2.10)() es la funcin escaln de Heaviside:Donde(){(2.11)La energa cintica se calcula como:()()() ()(())()(()))(()())(()()(2.12)()Dondeyrepresentan el momento esttico, yyrepresentan el momento de inercia,respecto a los ejes de y respectivamente.- 10 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesLa energa potencialse obtiene de:(2.13)Las frecuencias propias de la ecuacin (2.13) no son las frecuencias acopladas del sistema, sinoque son las frecuencias propias de los muelles, como si el resto de los grados de libertad estuvieran bloqueados.(2.14)La disipacines:(2.15)Se trata de una disipacin histertica, que no depende de la frecuencia de oscilacin. Se puededemostrar que, en flameo, la frecuenciaes la misma para todos los grados de libertad. Se hahecho tambin la suposicin de que el acoplamiento modal en amortiguacin es despreciable,por lo que no aparecen trminos cruzados como en la energa cintica.La ecuacin de Lagrange para cada grado de libertad queda:()(2.16)Dondees la fuerza generalizada para el grado de libertad . Desarrollando el sistema:(2.17)()()()()Las fuerzas generalizadas se pueden obtener aplicando el principio de los trabajos virtuales,mediante un desplazamiento virtual del perfilde libertad . Las fuerzas generalizadas sern:que origina un cambio virtual en los grados(2.18)Dado que ninidependern del desplazamiento virtual del grado de libertad , bastacon realizar la derivacin nicamente en el trmino, utilizando la expresin (2.10).- 11 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesPor lo que finalmente queda, recordando que el eje apunta hacia abajo:()[ ]()[( ) ](2.19)()[( ) ]En el Tema 4 se utilizar aerodinmica linealizada no estacionaria para obtener la variacin dela distribucin del coeficiente de presin. Al considerar ngulos pequeos se desprecianlos trminos de segundo orden, por lo que ser proporcional a los trminos:(2.20)Por lo tanto las fuerzas dependern de estos mismos trminos, es decir, de la solucin delmovimiento, y se podrn aadir al lado derecho del sistema (2.17):( )()( )()(2.21)( )()Se definen los siguientes parmetros:(2.22)sus ecuaciones por Deforma que el sistema (2.17) se puede rescribir, dividiendo,y respectivamente:(2.23)( )()( () )Considerando soluciones armnicas del tipo:( )( )( )(2.24)- 12 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesLa variacin de la distribucin del coeficiente de presinse puede escribir como:()( ) ( )()(2.25)Y el sistema se puede escribir matricialmente como:( )[] {}[] {}[] {}{}(2.26)Donde: {}[] {}(2.27)Ahora se aplican al sistema (2.26) los siguientes pasos:1.2.3.Dividir por.Sacar factor comnSe hace la hiptesis(frecuencia de referencia).(son difciles de determinar con ms precisin).Se definen dos parmetros muy importantes que se emplearn a partir de ahora:1. Frecuencia reducida :(2.28)2. Coeficiente msico :{(2.29)Empleando estos dos parmetros y dividiendo porse obtiene:(2.30)- 13 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesY el sistema (2.26) queda:) { } { }) ) ((((2.31)Donde las matrices de masa , de rigidez con disipacin y de fuerzasson:( )[](2.32)[][]La solucin trivial sera que el vector de desplazamientos sea nulo. Descartando esta solucinla otra posibilidad es:) ((())(2.33)Se puede rescribir como un problema de autovalores:(()()()())(2.34)Existen varios mtodos para la resolucin. Uno de ellos es el llamado VG:1.Seleccionar un rango para la frecuencia reducida entrey , con:(2.35)2.Entre dos valores de se calculan matricesadicionales por interpolacin:(2.36)3.Partiendo de la frecuencia reducidamayor se obtiene:()(2.37)4.Se calculan los autovaloresde la matriz .- 14 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibraciones5. Para cada autovalor se comprueba:( )( )( )()(2.38)( )}{6. En caso negativo se vuelve al paso 3 y se pasa a la siguiente.En el caso compresible la matrizdepende tambin del nmero de mach, y adems elparmetro msicodepende de la densidad , que a su vez depende de la altitud , igualque la velocidad del sonido. Para obtener la solucin en rgimen compresible hay quecomprobar para varias altitudes si existe la velocidad de flameo.1.2.3.4.5.Fijar un nmero de Mach.().Aplicar los pasos 1 y 2 del mtodo VG para incompresible, conFijar una altitud , con la que se obtieneContinuar el mtodo VG para encontrary,.,.Comprobar si.Se ha obtenido un punto () para el que se produce el flameo. ParaSi:obtener el siguiente punto volver al paso 1.No se produce flameo a esa altitud para el nmero de Mach fijado. Volver al paso 3.No:El fenmeno de flameo puede interpretarse fsicamente de dos formas. Desde un punto devista aerodinmico hay que tener en cuenta que la circulacin global debe ser nula, motivo por el que al aparecer una circulacin en el perfil, aparece una de signo contrario en la posicin inicial. Por esta misma razn, al modificarse la circulacin por efecto de la oscilacin en , se desprenden pequeas circulaciones adicionales continuamente, como muestra la Figura 2.5.. . .Figura 2.5: Conservacin de la circulacin a lo largo del tiempo.Si la variacin es lenta entonces se puede considerar que estas circulaciones son pequeas yque elest en fase con el grado de libertad . Pero, si no son despreciables, hay que aadir, proporcional a , y por lo tanto desfasada en otra contribucin.( )( ) ()()(2.39)Ahora interesa comprobar el trabajo que realiza cada una de estas contribuciones a lo largo deun periodo de oscilacin completo de, suponiendo la solucin armnica:- 15 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibraciones( )( )( )( )(2.40)El trabajo se puede calcular como:(2.41)Para la contribucin en fase se tiene:(2.42)Algo lgico, ya que durante la mitad del ciclo la fuerza acompaa al desplazamiento y durantela otra mitad se opone al mismo.En el caso de la contribucin desfasada:(2.43)Es decir, el valor del trabajo depender del trmino de proporcionalidad, porque el trminoarmnico no se anular, a diferencia del caso de la contribucin en fase. Siel aire extrae energa del sistema y no se produce el flameo. En el caso contrario, sientonces,el aire introduce energa en el sistema, y si la estructura no es capaz de disipar el trabajo, seproducir el flameo.Desde un punto de vista estructural se puede considerar un sistema de 2 grados de libertad sinamortiguacin. Planteando la ecuacin del movimiento de la estructura:(2.44)Aunque habitualmente no se hace, porque es complicado transformar la matriz de fuerzas ,se puede aplicar la transformada de Laplace a la ecuacin (2.44): (2.45)Si se dibujan las races en funcin de la velocidad, Figura 2.6, se comprueba que a partir deuno de los grados de libertad empieza a extraer energa del otro.Figura 2.6: Evolucin de las races del sistema estructural.- 16 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesPor ltimo, resulta conveniente estudiar la influencia de los diferentes parmetros en elflameo para un caso con 2 grados de libertad en y .La velocidad de flameo se har mnima cuando las dos frecuencias propiasdesacopladas sean muy cercanas.Tambin se har mnima para valores del parmetro msico entreque puede afectar a aviones pequeos.y, loDel mismo modo tambin se har mnima parapequea. Para aumentarla se aplicanormalmente un equilibrio dinmico, aadiendo algo de masa al borde de ataque delala o de los alerones y flaps.Por ltimo, en el caso compresible, para aviones de transporte, el flameo no empiezahasta, y a partir de ah la altitudaumenta hasta alcanzar un pico en, para despus disminuir un poco y estabilizarse.FlameoFlameo1210FlameoFlameo0.41Figura 2.7: Evolucin del flameo con diferentes parmetros.- 17 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesTema 4.Teora del perfil oscilantey clculo de fuerzas aerodinmicas en flujoincompresible. Funcin de Theodorsen.En este tema se calcularn las fuerzas aerodinmicas no estacionarias que se producen cuandotodos los grados de libertad oscilan con una misma frecuencia .Se realizan las siguientes hiptesis:1.2.3.Fluido ideal, es decir, incompresible, no viscoso y con conductividad trmica nula.Campo irrotacional en, por lo tanto la vorticidad global se tendr que conservar.Teora linealizada. Causa y efecto del mismo orden.La ecuacin fundamental es la de continuidad,velocidades se deriva de un potencial :dedonde sededuce que el campo de(2.46)()Hay que recordar que el potenciales una funcinarmnica,que cumple la ecuacin deLaplace. Las condiciones de contorno son:En el perfil, superficie fluida, con velocidad tangente al obstculo.()(2.47)En el campo lejano, la velocidad es uniforme.(2.48)Se cumple la condicin de Kutta en el borde de salida.|(2.49)El perfil se descompone en efectos estacionarios y transitorios. Se supone que las magnitudesestacionarias estn en equilibrio y se estudiarn las fuerzas transitorias. El espesor o la curvatura no tienen transitorio, el perfil no se infla ni se dobla a lo largo de la cuerda.Estacionarios:EspesorCurvaturangulo de ataqueTransitorios:Oscilacin verticalOscilacin ngulo de ataque Oscilacin del flap/alernFigura 2.8: Descomposicin del perfil.Es conveniente definir la escala de estos parmetros para poder determinar la magnitud de susefectos. En comparacin con la cuerda, referencia de orden unidad, se considera que elespesor, la curvatura y el ngulo de ataque son de una magnitud. Del mismo modo seconsidera que las oscilaciones tendrn una magnitud.- 18 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesLa geometra del perfil se puede definir a partir de la funcin:()( )()(2.50)Dondecontiene los parmetros geomtricos estacionarios ycontiene los transitorios.Ntese que la definicin de y hace queysean de orden unidad.Aplicando la tercera hiptesis, se supone entonces que la solucin para el potencial ser elpotencial correspondiente al flujo sin perturbar, de magnitud unidad, junto con el efectode las perturbaciones estacionarias, escaladas una magnitud , y el efecto de lasperturbaciones transitorias, escaladas una magnitud .()()()(2.51)Ntese que la definicin deyhace queytambin sean de ordenunidad. Si seintroduce esta solucin en la ecuacin de continuidad (2.46), al aplicar la laplaciana el trminocorrespondiente al flujo sin perturbardesaparece. Separando los trminos segn sumagnitud, , se obtienen entonces dos ecuaciones:()()(2.52)La condicin de contorno a aplicar en el campo lejano para estas ecuaciones es inmediata:(2.53)Para obtener la condicin de contorno en el perfil hay que introducir la ecuacin de sugeometra (2.50) y la solucin para el potencial (2.51) en la condicin de contorno (2.47).{} {}(2.54)Donde los subndicesyhacen referencia a las derivadas en esas coordenadas. Estaecuacin se puede separar segn el orden de magnitud de sus trminos:( )( )(2.55)La derivada temporales una novedad respecto al procedimiento que se segua en laasignatura Aerodinmica. Estas condiciones para las derivadas endeyse imponenen el perfil, es decir, en. Pero linealizando esta ecuacin para el perfil se puedeconsiderar que es suficiente aplicarlas en.||(2.56)Por ltimo, para obtener la condicin de Kutta, hay que aplicar la ecuacin de Euler-Bernoulli,relacionando los valores locales con los del campo lejano.()(2.57)- 19 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesLa expresin para la presin linealizada se puede obtener como en el caso del potencial o dela geometra del perfil, aadiendo las diferentes perturbaciones:()()(2.58)Sustituyendo en la ecuacin (2.57) y separando los trminos segn su orden de magnitud:( )(2.59)( )()Escrito en trminos del coeficiente de presin:()()()(2.60)Y la condicin de Kutta queda:||(2.61)En la asignatura Aerodinmica se tena una distribucin de torbellinos estacionaria sobre elperfil. El salto de velocidades a travs del perfil venia representado por la intensidad de ladistribucin de torbellinos( de airfoil). Como ya se ha comentado, dado que la circulacinglobal debe mantenerse nula, en rgimen transitorio se desprende una distribucin detorbellinos( de wake) para compensar los cambios en la distribucin del perfil.. . .Figura 2.9: Desprendimiento de torbellinos de estela.Se asumen las siguientes hiptesis para la distribucin de torbellinos de estela:1.2.3.Los torbellinos permanecen en.Los torbellinos viajan aguas abajo a una velocidad.Los torbellinos no inducen velocidad sobre s mismos.En Aerodinmica se obtuvo, aplicando la integral de Cauchy a un problema anti-simtrico:()()()(2.62)Se suponen soluciones armnicas, donde las variables con barra representan amplitudes:()( )()()(2.63)()()()( )()( )- 20 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesSustituyendo en la ecuacin (2.62), considerandoqueyase ha alcanzado el rgimenpermanente, y que por lo tanto, se obtiene:( )( )| ()|(2.64)()Aplicando la condicin de Kutta (2.61) yla definicin para el salto de presiones (intradsmenos extrads) de la ecuacin (2.60) se obtiene, para el borde de salida:||||(2.65)En Aerodinmica se vio que el salto de velocidad horizontal es:||()(2.66)Y respecto al trminose puede considerar que la variacin a lo largo del tiempo se hapropagado longitudinalmente con de la estela. Dado que la circulacin global se conserva:||()(2.67)Por lo que la condicin de Kutta queda:() ()(2.68)Este es el valor paraen el instante de tiempoen la posicin . Dado que los torbellinos sedesplazan aguas abajo a una velocidad, en cualquier otra posicinel valor ser:()||(2.69)Aplicando el movimiento armnico:()) ( )((2.70)Los trminos exponenciales se pueden cancelar:) ( )((2.71)Sustituyendo ( ) en la ecuacin (2.64) se obtiene:( )(2.72)- 21 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesSe procede a continuacin a adimensionalizar las variables. Las variables sin barra que nodependan del tiempo son amplitudes adimensionalizadas:(2.73)Sustituyendo:()( )(2.74)( )Se puede cancelar el factory emplear la frecuencia reducida :( )( )(2.75)Llegado este punto se puede aplicar el mtodo de Goldstein para obtener. Dadas unafuncin conocida ( ) y una funcin incgnita( ), la ecuacin:()( )(2.76)Tiene como solucin:()(2.77)( ) Esto se puede aplicar a la ecuacin (2.75) como:( )(2.78)( )Resultando en:(2.79)( ) []El trmino que depende dese tieneque integrarensegncada problema. Paradesarrollar el otro trmino es ms cmodo invertir el orden de integracin, es decir, integrarprimero en y despus en . La integral en ser:(2.80)()Dado que se realizarn muchas integrales similares, se presentan en la Tabla 2.2 los resultadosde algunas integrales habituales.- 22 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesTabla 2.2: Integrales habituales. Los parmetrosy se pueden ajustar segn convenga.Teniendo en cuenta que:()(2.81)Entonces la integral (2.80) se puede resolver empleando las integrales 1 y 7 de la Tabla 2.2. ()()( )(2.82)(( ))Sustituyendo este resultado en la ecuacin (2.79):( )( ) (2.83)- 23 -1. Donde:2. ( )3. ( )4. ( )5. ( )6. 7. ( )Donde:8. ( )Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesIntegrando esta ecuacin a lo largo del perfil se puede obtener una ecuacin paradefine en la ecuacin (2.68):como se( )(2.84)Despus de invertir de nuevo el orden de integracin, integrar en , y aplicar las integrales 1 y8 de la Tabla 2.2, queda finalmente: ()(2.85)Se introducen entonceslas funciones de Hankel segunda especiedeordeny,( ) y() y definidas como:representadas por( ) (( ) ())(2.86) ()A partir de estas funciones es posible escribir la integral encomo:( )(( )()))()((2.87)De forma que la solucin para la circulacinqueda: ()(2.88)( )(( )()))(La solucin armnica tambin se aplica aantes de integrarla:(2.89)Eliminando las exponenciales y adimensionalizando queda:(2.90)Ahora que ya se tiene la distribucin de circulacin ( ), y tambin la circulacin, interesaobtener el salto de presiones. Aplicando la solucin armnica al coeficiente de presin:()( )(2.91)Y adimensionalizando queda:()(2.92)El salto de presiones en el perfil es la diferencia de intradsmenos extrads:- 24 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibraciones||(2.93)Teniendo en cuenta:( )( )(2.94)Entonces queda:( ( ) ( ))(2.95)Aplicando la Tabla 2.2 se llega a:) ((()){ (2.96)))(()(}Donde ( ) es la funcin de Theodorsen, que viene dada por:( ) ()( )( )( )( )(2.97)( )( )( )( )() es:Y()( )(2.98)Aunque es matemticamente inconsistente, si se toma un valor para la frecuencia reducidapequeo,, se podran despreciar todos los trminos menos:) (()(2.99)Esto es matemticamente inconsistente porque no se han despreciado lasque hay en.Aun as es un procedimiento que resulta adecuado, porque sta es la misma solucin que seobtena en Aerodinmica, salvo porque la condicines diferente.El concepto es el de operador aerodinmico estacionario. Se trata de un operadorrepresentado porque es aplicado a la condicin de contorno en el caso estacionario. Sieste mismo operador estacionario se aplica a una condicin no estacionaria, entonces se estaplicando aerodinmica casi-estacionaria:()()(2.100)- 25 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesDondees solamente otra forma de llamar a la condicin, que representa la velocidadvertical en el perfil, de ah la letra .(2.101)El operadorpuede ser la ecuacin (2.99), como es el caso, o bien puede ser ejecutar uncdigo de CFD, o cualquier cosa que vincule la condicin estacionaria al salto de presiones.Interesa ahora obtener el valor deintegrando la ecuacin (2.99) para las diferentes, esdecir, para los diferentes movimientos del perfil ilustrados en la Figura 2.8.En el caso del movimiento vertical del perfil (flexin para un ala larga) se tiene la condicin:(2.102)Por lo que se puede integrar la ecuacin (2.99) aplicando la Tabla 2.2, obteniendo:(2.103)Para la oscilacin en ngulo de ataque (torsin para un ala larga) se tiene:()()(2.104)E integrando la ecuacin (2.99) se obtiene:(2.105)())(Para el caso del alern se hace la simplificacin de que la posicin de la charnela es:()( )( )(() ) ( )(2.106)( ). HayLa integracin slo hay que hacerla entreque aplicar el cambio de variableypor la funcin escaln de Heavisidey tener en cuenta que:() | |(2.107)()Obteniendo entonces:(||)(2.108)() ( )(||)- 26 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesLa forma de la expresin para los dos primeros casos es la habitual para la distribucin delcoeficiente de presiones, como se muestra en la Figura 2.10. Finalmente:(2.109)Figura 2.10: Distribucin del coeficiente de presin.Una vez se ha obtenido, ya sea empleando la funcin de Theodorsen en la ecuacin(2.96), o bien trabajando con aerodinmica casi-estacionaria, para obtener las fuerzasaerodinmicas generalizadas hay que volver a la ecuacin (2.19). En forma dimensional, y considerando la solucin armnica, estas fuerzas son:()()()(2.110)()Para calcular, por ejemplo, la fuerza vertical, la integral se puede descomponer en:)() ((2.111)Y sustituyendo los valores de,yde las ecuaciones (2.103), (2.105) y (2.108),calculados con aerodinmica casi-estacionaria, utilizando las integrales 3 y 5 de la Tabla 2.2,conen la tabla, se obtiene:()()(())(2.112)()()( ()))(Las dems fuerzas se obtienen mediante un procedimiento similar, hasta completar la matrizdel sistema (2.31). Hay que recordar que este procedimiento se ha aplicado a un caso de ejemplo, Figura 2.4, y que puede variar ligeramente en otros casos, pero por lo general los pasos a seguir sern los mismos que los que aqu se han desarrollado.- 27 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesTema 5.Teora del perfil oscilante y clculo de fuerzas aerodinmicas en compresible.El problema del flujo compresible se plantea directamente en su formulacin potencial, elprocedimiento para llegar a este planteamiento se expuso en la asignatura Aerodinmica.La ecuacin de Euler-Bernoulli para un flujo compresible no estacionario relaciona la velocidady la presin junto con la densidad, a travs de la velocidad del sonido .()(2.113)Como se ve en la asignatura Aerodinmica, aplicando a esta ecuacin una derivadasustancial se llega a su formulacin diferencial:() )(2.114)(Puede comprobarse que en el caso incompresible, con, laderivada temporal. De nuevo sedesaparece frente al trmino de la laplaciana, obteniendo de nuevoprocede a linealizar el problema, del mismo modo que en el Tema 4, con:()()()(2.115)Introduciendo esta solucin en la ecuacin (2.114) se puede desarrollar trmino a trmino. Laderivada temporal del potencial es solamente la de la perturbacin no estacionaria:(2.116)El trmino del cuadrado de la velocidad, recordando que el gradiente del potencial es lavelocidad, ecuacin (2.46), se puede desarrollar como:()()()(2.117)La derivada sustancial se calcula entonces como:( )()( )()( )(2.118)()()()()( )Por lo que finalmente, indicando de dnde viene cada trmino, la ecuacin (2.114) es:( )(2.119)( )()- 28 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesDonde se ha hecho tambin la aproximacin, despreciando trminos de ordensuperior. Esta aproximacin no es vlida en rgimen transnico, pero en subsnico funcionabien. Ahora se separa segn el orden de magnitud de los trminos. Los de ordenson:(2.120)Dividiendo por, escribiendo las derivadas en forma reducida, se llega a:()(2.121)Por otro lado los trminos de orden son:(2.122)De nuevo dividiendo pory en forma reducida:()(2.123)De nuevo las ecuaciones (2.121) y (2.123) son idnticas al caso incompresible, ecuacin (2.52),si se toma, y por lo tanto.Para encontrar el coeficiente de presin hay que volver a la ecuacin (2.113) de Euler-Bernoulliteniendo en cuenta las relaciones isentrpicas:(2.124)()Entonces se puede escribir la ecuacin (2.113) como:(2.125)()()Despejando la presin:(2.126)()(())La presin se linealiza igual que en la ecuacin (2.58) para el caso incompresible:(())(2.127)())(- 29 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesdentro del gradiente () . LosEl trmino conse ha cancelado con el que tienetrminos del gradiente de orden menor que no se han escrito, se eliminarn ahora.Esta expresin es de la forma () , con, todos los trminos entienen . Se:puede aplicar el desarrollo en polinomio de Taylor de primer orden en torno a()()(2.128)Donde se ha desarrollado tambin el logaritmo en torno a. Como se hace el desarrollode primer orden, no tiene sentido considerar los trminos de orden inferior a , quedando:) ()(()(2.129)Separando de nuevo los trminos segn su orden de magnitud:( )(2.130)( )()()Donde se ha tenido en cuenta que:(2.131)Este resultado para el coeficiente de presin es el mismo que el que se obtuvo en la ecuacin(2.60) para el caso incompresible, aunque no tena por qu haber sido as.Esta formulacin del coeficiente de presin funciona bien en rgimen subsnico, y en rgimensupersnico hasta. En rgimen subsnico hay que forzar la condicin de Kutta y queen el campo lejano no haya perturbacin. Para rgimen supersnico la perturbacin debe sernula fuera del cono de Mach. A partir dees necesario emplear otra formulacin.El coeficiente de presin de van Dyke funciona bien hasta. Para obtenerlo se linealizala ecuacin de Euler-Bernoulli en pero no en . De este modo se gana mucha precisin, peroya no es posible desacoplar el problema estacionario del transitorio. Volviendo a la ecuacin:(2.132)() ))((Ahora se realiza el mismo desarrollo que antes para el trmino del gradiente (ecuacin (2.117), pero conservando ms trminos:) de la()()()(2.133)()()- 30 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesCon lo que la ecuacin de Euler-Bernoulli queda:(2.134)())(Donde:()(2.135)()El siguiente paso es realizar un desarrollo en serie de Taylor de primer orden en:( )| |||()()()()(2.136)De este modo se gana precisin para obtener, pero ahora el trmino no estacionariodepende dey , que dependen a su vez de la solucin estacionaria.Ya se tienen dos expresiones para el coeficiente de presin, la linealizada y la de van Dyke. Acontinuacin se busca una solucin para el potencial de perturbacinpara el casosupersnico. Se considera que esta solucin estar formada por una superposicin desoluciones elementales. Para este caso se utiliza una distribucin de dobletes no estacionarios.()() Figura 2.11: Distribucin de dobletes no estacionarios.La perturbacinque hay en un puntoen el instante , debida a un solo dobletecentrado en de intensidad producida en el instante , es:()() (2.137)()(()())()- 31 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesNo se demuestra aqu, pero esta solucin cumple la ecuacin (2.123). La expresin es comopara el doblete estacionario, intensidad entre distancia, pero corregida con el tiempo. La perturbacin momentnea, producida en el instante , se expande a la velocidad del sonidoy viaja aguas abajo a la velocidadcomo muestra la Figura 2.12.()Figura 2.12: Propagacin de una perturbacin.Considerando, existen unos valores lmite deque hacen que el radicando se anule,y que a partir de estos valores sea negativo.(()())()()()()()()()()(2.138)Estos valoresyrepresentan los momentos en que el puntoentra y sale del crculo depropagacin de la perturbacin respectivamente, como se puede intuir de la Figura 2.12.{(2.139)A continuacin se calcula el efecto de una distribucin de estos dobletes. Se considerar queesta distribucin est situada en, es decir, sobre el perfil.A la hora de aplicar el principio de superposicin e integrar el efecto de la distribucin dedobletes, hay que tener en cuenta que las perturbaciones originadas aguas abajo denoafectarn al punto, puesto que este punto quedar fuera del cono de Mach. Figura 2.13: Efecto de una distribucin de dobletes.- 32 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesEl puntoestar en:()(2.140)Entonces el efecto de la distribucin de dobletes ser, aplicando el principio de superposicin:( ) ()() (2.141)()()()()(), con unDonde se ha expresadocambio de signo.a partir de sus racesy() para conocer(). Para ello se aplica la condicin deEl objetivo ahora es conocercontorno en el perfil:|(2.142)Para poder aplicar esta condicin ser necesario derivar la ecuacin (2.141) respecto a paraluego particularizar en el perfil. Con este propsito se considera el cambio de variable:(2.143)Se trata del mismo cambio de variable que se empleaba en la asignatura Aerodinmica en laanaloga de Prandtl-Glauert. Se tienen entonces las relaciones:()()(2.144)()()Aplicando el cambio de variable en la ecuacin (2.141),sustituyendoel valor de,sustituyendo el valor de en el argumento de , cancelando los ( )()de la razy del diferencial , y cambiando el orden de integracin en con un signo menos, se obtiene: (2.145)(())Ahora apareceen el lmite de integracin en . Paraderivar esta ecuacin y aplicar lacondicin de contorno hay que tener en cuenta que la derivada en de la integral en ser: laderivada del lmite superior por el integrando particularizado para ese lmite; menos la derivada en el lmite inferior por el integrando particularizado para ese lmite; ms la integral de la derivada del integrando.- 33 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesMatemticamente:( ) (( )( ))()()(2.146)( )Aplicando esto a la integral (2.145) queda:() (||(2.147)()||)Dado que ()el segundo trmino se anula. El tercero se desarrolla aplicando laregla de la cadena: ( ||)(2.148)(())Se contina buscando la integral . Para ello se empieza por aplicar la derivada en . Comono depende de slo hay que considerar:() (2.149)()()Donde es la raz que aparece en la solucin paray, en la ecuacin (2.138). Entonces:( )(2.150)A continuacin se realiza una integracin por partes en , con:| | ( )(2.151)Entonces:()( )()()()(2.152)( )- 34 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesPor lo que queda:() |( )|() (2.153)Ahora que ya se ha derivado respecto aes cuando interesa particularizar para el perfil en. El primer trmino de la expresin deseanula, elsegundoqueda,aplicando elresultado para ()de la ecuacin (2.149):(2.154)Este trmino tambin se anula, por lo que queda finalmente:| |(2.155)Sustituyendo este resultado en la ecuacin (2.148), particularizada paracondicin de contorno:e igualada a la|| ((||||) )()(2.156)Donde se ha tenido en cuenta para particularizar el tercer argumento deque:()||(2.157)||Y al particularizar para:||||(2.158)Finalmente:()||(2.159)Ahora es posible regresar a la ecuacin (2.141), donde se plante encontrarvalor, quedando:, para sustituir su()() ()()() (2.160)()()- 35 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesCon los valores dey de la ecuacin (2.138) particularizados tambin para:()(2.161)()Este valor espara el extrads.El problema no estacionario es anti-simtrico, ya queconsiste slo en efectos de curvatura y ngulo de ataque, no hay variaciones de espesor. Poreso en el intrads slo hay que cambiar de signo.Hay que resaltar que, hasta este punto, para hacer este desarrollo no se ha supuestomovimiento armnico, al contrario que en el caso subsnico. Ahora s que se har esta suposicin de cara a encontrar el coeficiente de presin . Para ello ser necesario obtenery. La solucin armnica es:()))( )( )( )((2.162)()(Aplicando esta solucin ase tiene:()() ()() ()(2.163)Donde:() (2.164)()()De nuevo se aplica el cambio de variable de la ecuacin (2.143) deinvirtiendo los lmites de integracin, quedando:a, y se cambia el signo()()(2.165)Mediante la funcin de Bessel de primera especie de ordendefinida como:( )(2.166)Se puede obtener como:()()(2.167)- 36 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesY teniendo en cuenta que:(2.168)Se puede escribir:()(2.169)()()En forma adimensional queda:() ( )()(2.170)()()())(A partir de este resultado parase conseguir ahora el coeficiente de presin. Para ello sesupone un perfil como el de la Figura 2.4 de la pgina 10, con el movimiento del perfil:( )()( )()( )()(2.171)Se puede aplicar entonces la condicin de contorno derivando esta ecuacin:())()()()(2.172)(Suponiendo movimiento armnico (las amplitudes dimensionales se indican con una barra):())()()() (2.173)(Y en forma adimensional:()())()()()(2.174)(Entonces, para integrar la ecuacin (2.170) se puede aplicar aerodinmica casi-estacionaria, esdecir, considerar pequea y despreciable salvo cuando aparece en.Si adems el nmero de Mach es suficientemente alto(para que no aparezca unaindeterminacin), dado que la funcin de Bessel de primera especie de ordenen el origenvale ( ), entonces se puede comprobar que (), por lo que se puede integrarfcilmente el potencial.Una vez se tiene el potencial ya se puede obtener el coeficiente de presin como se vio en laecuacin (2.130), conen forma dimensional ( es siempre adimensional):()()(2.175)- 37 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesAplicando movimiento armnico y adimensionalizandose puede escribir:()()()(2.176)Como ya se ha comentado, esta solucin es para el extrads, en el intrads cambia el signo:( )()()(2.177)Por lo que el salto de presiones es:()(2.178)Y a partir delecuacin (2.110).ya es posible obtener las fuerzas generalizadas igual que en el Tema 4,Por ltimo, para nmeros de Mach elevados, entreyaproximadamente, puedemoderada, ya no tiene queemplearse la llamada teora del pistn. Para ello se considera unaser despreciable. Lo que s se debe cumplir es . Entonces la funcin () queda:()( )()())((2.179)Donde se ha aplicado de nuevo (). El potenciales entonces:()() ()(2.180)Para obtenerhabr que derivar esta expresin del potencial, para ello es necesario aplicarde nuevo la ecuacin (2.146) para derivar una integral con variables en los lmites. Entonces:()()()( () ())()( ( )() ()()())()(2.181)Donde se han cancelado los dos trminos integrales entre ellos por ser iguales. De nuevo sepuede calculary a partir de ste se obtienen las fuerzas generalizadas.- 38 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesRecapitulando, en el Tema 4 y el Tema 5 se han encontrado expresiones para el coeficiente depresinpor diferentes mtodos. En todos ellos es necesario encontrar una forma derelacionar la condicin de contorno del perfilcon el potencialpara poder derivarlo yencontrar el coeficiente de presin.Para el caso incompresible, en el Tema 4, se ha encontrado una expresin para el coeficientede presin, ecuacin (2.60). Esta expresin se ha desarrollado encontrando el potenciala partir de una distribucin de torbellinos en el perfil y la estela, una solucin que cumple lalaplaciana del potencial, ecuacin (2.52). Finalmente se ha obtenido una expresin paradirectamente en funcin de la condicin de contorno paraTheodorsen, ecuacin (2.96)., que contiene la funcin deEn el caso compresible se ha aplicado la teora linealizada a la ecuacin de Euler-Bernoulli, y seha encontrado la misma expresin paraque en el caso incompresible, ecuacin (2.130).Esta teora linealizada es vlida en rgimen subsnico, y en rgimen supersnico desdehasta. La diferencia con el caso incompresible est en la forma deobtener, empleando la ecuacin (2.123). Para cumplir esta ecuacin se ha utilizado ladistribucin de dobletes no estacionarios en supersnico, ecuacin (2.137), obteniendo al finaluna expresin para, ecuacin (2.170).En rgimen supersnico la precisin demejora si se emplea, en lugar del coeficientelinealizado, el coeficiente de van Dyke, obtenido a partir de la presin de la ecuacin(2.136). Funciona desdehasta.Por ltimo, para rgimen supersnico elevado se puede emplear la teora del pistn parasimplificar la expresin dey dejarla en funcin de. Es vlida entrey.Hay que resaltar que ninguna de estas teoras es vlida en rgimen transnico.Adems se ha visto cmo, aplicando aerodinmica casi-estacionaria, es posible simplificar lasecuaciones (2.96) (2.170), de forma que sea ms sencillo integraren estas ecuaciones.- 39 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesTema 6.Aeroelasticidad dinmica. Rfagas y turbulencias.Para el estudio de rfagas se considera un perfil en una corriente que se desplaza a unavelocidad , y que recibe una perturbacin en velocidad vertical conocida. Este cambio en la velocidad vertical originar una variacin en ngulo de ataque, lo que provocar una perturbacin en las fuerzas aerodinmicas que desplazarn el perfil.( )Figura 2.14: Problema de rfagas.El desplazamiento del perfil tambin originar unas fuerzas aerodinmicas, pero en estaocasin no se podr suponer movimiento armnico. Sin embargo, dado que se trabaja con excitaciones conocidas, ser posible realizar una transformada de Laplace, escribirla en trminos de sus armnicos y tratar estos armnicos de forma similar a las secciones anteriores.El objetivo de este estudio es:1. Obtener los picos de aceleracin y comprobar que sean menores que el mximoespecificado en las normas para la rfaga tpica.2. Determinar los esfuerzos dinmicos para obtener la vida a fatiga.Esta asignatura se centra en el primer objetivo, el segundo correspondera a las asignaturas deEstructuras aeroespaciales y Diseo de mquinas en aeronutica. Se realizan las siguientes hiptesis:1.2.3.4.Ala larga, se estudia el perfil con una teora bidimensional.Componente lateral no uniforme nula, la rfaga tiene slo componente vertical.Flujo incompresible,.nico grado de libertad en flexin , positivo hacia arriba.La ecuacin dinmica es:(2.182)( )( )Donde se han separado las fuerzas de sustentacin en las provocadas por la rfagay lasinducidas por el movimiento del perfil.Del mismo modo que en la asignatura Mecnica de vuelo II, se estudiarn aqu dos funcionesde entrada unitarias y se obtendr la respuesta del sistema para estas funciones. Luego, la respuesta a una funcin de entrada arbitraria se podr escribir como una superposicin de respuestas unitarias a lo largo del tiempo empleando la integral de convolucin.- 40 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesSe considera como variable de entrada el ngulo de ataquey como respuesta la sustentacin.adimensional. El tiempo se adimensionaliza comoComo ya se ha comentado, se ha de tener en cuenta el ngulo de ataque inducido por la rfagade velocidad vertical, y tambin el ngulo de ataque inducido por el movimiento del perfil. Se definen entonces dos funciones de respuesta unitaria, la funcin de Kussner y la funcin de Wagner que consideran estos dos efectos respectivamente.En primer lugar, la funcin de Wagner ( ) se obtiene como la respuesta de la sustentacinadimensional de unainstantneamente derespuesta vale ( )placa plana en un flujo incompresible, que encambiaa. La sustentacin experimenta un transitorio, lainicialmente y va tendiendo a .() se obtiene como la respuesta de la sustentacinPor otro lado, la funcin de Kussneradimensional de una placa plana en un flujo incompresible cuando enincide una rfagaescaln que induce un ngulo de ataque. El escaln se ir desplazando aguas abajoa velocidad, de modo que no todo el perfil ve el cambio en ngulo de ataque de golpe.Inicialmente la sustentacin ser ( ), y al final todo el perfil ver un ngulo de ataque de, por lo que el valor final de la respuesta ser tambin.10.80.60.40.200246810Tiempo adimensional() y de Kussner().Figura 2.15: Funciones de WagnerEntonces se puede decir que la respuesta debida al movimiento instantneo del perfil ser larespuesta unitaria de Wagner ( ) multiplicada por el ngulo de ataque que induce elmovimiento, debido a la velocidad vertical del grado de libertadla respuesta debido a una rfaga escaln de velocidad vertical. Por otro lado,ser la respuesta unitaria deKussner ( ) multiplicada por el ngulo de ataque que induce la rfaga.A continuacin se obtienen estas dos funciones a partir de la expresin para la sustentacingeneralizada en funcin del desplazamiento(que apunta hacia abajo, al revs que ) y elngulo de ataque . Aunque el ngulo de ataque no sea un grado de libertad, representa laperturbacin que se introduce, por esto se debe tener en cuenta.Suponiendo que el movimiento es armnico (como ya se ha dicho, no tiene por qu serlo), conamplitudes ysustentacin:, al desarrollar la teora del Tema 4 se obtiene la siguiente expresin para la- 41 -( )( )Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibraciones( )(( )( ) )(2.183)()( ) ((() ))Es posible escribir esta expresin en forma de funcin de transferencia:( )( )( )(2.184)Donde ( ) y( ) son funciones de transferencia que dependen de la frecuencia.Entonces, para obtener la sustentacin de un movimiento que no sea armnico, se puedeaplicar la transformada de Fourier, denotada aqu por una barra, que se define como:( ) ( )( ) ( )(2.185)De forma que queda:(()( ))( )()(2.186)Entonces se puede aplicar la transformada inversa para obtener ( ):( ){(()( ) )(2.187)()( ) ((() )) }() los dems son fcilesA excepcin de los trminos que incluyen la funcin de Theodorsende anti-transformar, teniendo en cuenta que donde aparezcala anti-transformada es unaderivada, y donde aparezcala anti-transformada es una segunda derivada:(2.188)( )()( ){(()) }Aunque no se pueda observar a primera vista, el trmino que multiplica a la funcin deTheodorsen es la transformada de la velocidad vertical del perfil, cambiada de signo, yparticularizada en el punto. Para comprobarlo, si el perfil es:( )() ( )(2.189)La velocidad vertical ser:( )()(2.190)Aplicando la transformada, cambiando de signo y particularizando para:| |()(2.191)- 42 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesPor lo tanto:( )()(2.192)( ) | |A partir de la ecuacin (2.192) es posible obtener la funcin de Wagner ( ) y la funcin deKussner ( ) aplicando las condiciones de contorno con las que se definieron. En el caso de lafuncin de Wagner:(2.193){La velocidad vertical que ve el puntoser, sustituyendo en la ecuacin (2.190):||{(2.194)Su transformada ser:| |||()||(2.195)Sustituyendo en la ecuacin (2.192), adimensionalizando las frecuencias y tiempos:( )( )( )(2.196)Pero por definicin, la funcin de Wagner (que darle dimensiones multiplicando pory la cuerda:) es esta respuesta en sustentacin, aunque hay, porque, y por la presin dinmica( )( )( )(2.197)Entonces se puede despejar la funcin de Wagner:( )( )(2.198)() se obtiene siguiendo el mismo procedimiento, salvo porque en no ver ninguna velocidad hasta que no pase un cierto tiempo,La funcin de Kussneresta ocasin el puntoel que tarde la rfaga en alcanzar ese punto, teniendo en cuenta que se desplaza a unavelocidad:||{(2.199)- 43 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesLa transformada de la velocidad vertical en este caso incluir una exponencial:| || |()||(2.200)Sustituyendo en la ecuacin (2.192), adimensionalizando las frecuencias y tiempos:(2.201)( )( )( )() es esta respuesta en sustentacin, aunqueDe nuevo, por definicin la funcin de Kussnerhay que darle dimensiones:( )( )( )(2.202)Entonces se puede despejar la funcin de Kussner:()( )( )(2.203)Una vez se tienen estas dos funciones, empleando la integral de convolucin de Duhamel, sepuede reproducir la respuesta a una rfaga arbitraria. En forma dimensional la integral es:( ) ()( )(2.204)Donde ( ) es la funcin de excitacin, en trminos del ngulo de ataque, ( ) es la llamada funcin de instalacin, que es la respuesta a un impulso unitario, y ( ) es la respuesta global.Esta integral de convolucin indica que el valor de la respuesta global en un instante es lasuperposicin de muchas respuestas unitarias sucesivas que se producen debido a unos impulsos ocurridos en un instante anterior , multiplicadas por el valor esta excitacin. Cuando se lleva al lmite esta superposicin se realiza la integral para desde hasta .Se escribe la derivada ( ) porque se trata de la respuesta a un impulso unitario. Pero lasfunciones de Wagner y Kussner son respuestas a un escaln unitario, no a un impulso. Laderivada de estas funciones correspondera a la respuesta a un impulso unitario. Otra forma de ver la integral de convolucin, con la respuesta a un escaln, resulta de integrar por partes:( )(())(2.205)() es por tanto la respuesta a un escaln unitario. Entonces se obtiene:Donde( )| () ( )| ()(2.206)- 44 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesSi se supone ( ), aunque esto no es as para la funcin de Wagner, se tiene:( )( ) ( ) ()(2.207)Entonces se puede visualizar la respuesta global en elinstantecomo la respuesta a unescaln unitario inicial, escalada segn la excitacin inicial, ms la suma integral de lasrespuestas a unas excitaciones de escaln unitario producidas en un instante anterior , multiplicadas por el aumento diferencial de excitacin en ese instante .() se utiliza laPara obtener la respuesta en sustentacin debida al movimiento del perfilfuncin de Wagner como funcin de instalacin ( )( ). La funcin de excitacin es elngulo de ataque que induce el movimiento vertical, que es el mismo en todo el perfil y vale( )( ). Por lo tanto, en forma dimensional, de la ecuacin (2.204) se obtiene:( ) () ()(2.208)( )Donde se ha tenido en cuentaque. Como en el segundo trmino hay dosderivadas temporales y una sola integral, al realizar el cambio de variable slo ha quedado unadividiendo. Solamente el segundo trmino se obtiene de la integral de convolucin.El primero hay que aadirlo porque la funcin de Wagner no tiene en cuenta la aceleracininstantnea del perfil, que sin embargo s que genera una fuerza, como se puede ver en el primer trmino de la ecuacin (2.183). Hay que tener en cuenta que en aquella ecuacin representa una segunda derivada, y que entre una expresin y otra ha cambiado elsigno porque es positiva hacia arriba, mientras que era positiva hacia abajo.De forma similar, para obtener la respuesta en sustentacin debida a la velocidad inducida porla rfaga ( ) se utiliza la funcin de Kussner como funcin de instalacin ( )( ). La( )( )funcin de excitacin es la velocidad vertical. De la ecuacin (2.204):( )( )()(2.209)Con estos resultados la ecuacin dinmica (2.182) queda, adimensionalizando el tiempo: ()( )(2.210) ()Es conveniente llegado este punto aplicar la transformada de Laplace y su inversa:( )())( )((2.211)( )())( )(- 45 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesSe designa a las transformadas de Laplace con una barra, pero no debera generarse ningunaconfusin con las transformadas de Fourier que se emplearon para encontrar las funciones deWagner y Kussner. La transformada de Laplace tiene algunas propiedades de inters:La transformada de una derivada es por la transformada de la funcin sin derivar.La transformada de una integral de convolucin es el producto de las transformadas de las dos funciones del integrando.Adems las funciones de Wagner y de Kussner se pueden aproximar por las exponenciales:( )( )(2.212)Aunque no se ajustan muy bien para, estas aproximaciones son fciles de transformar:()(2.213)()Aplicando la transformada de Laplace a la ecuacin (2.210) y utilizando las dos propiedadesque se han comentado se obtiene: (2.214)Ahora se puede despejar finalmente el trmino de la transformada de la aceleracinera el objetivo para el que se propuso este estudio al principio del tema:, que ()(2.215)Donde el llamado parmetro msicoes:(2.216) .Es interesante aplicar una rfaga escaln uniformeDimensionalizando de nuevo el tiempo se obtiene:deintensidad,con( )( )(2.217) Entonces se puede definir el factor de atenuacin o factor de aliviocomo: )((2.218)- 46 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesEn el caso estacionario este factor de alivio es la unidad:(2.219)El mximo del factor de alivio se puede aproximar por la expresin:(2.220)Se ha visto cmo se trata la rfaga, representada por una funcin conocida, aplicando latransformada de Laplace. Para la turbulencia se utiliza una excitacin aleatoria. En primer lugar se presentan algunos conceptos para tratar la respuesta de un sistema lineal ante unaexcitacin aleatoria ( ) de forma estadstica. Se consideran estas tres funciones estadsticas:Media -sima:())((2.221)().Parase obtiene la media cuadrtica, que da una idea de la potencia contenida enFuncin de auto-correlacin:( ) ( )()(2.222)La funcin de correlacin permite comprobar la similitud entre dos funciones. En este caso seemplea con la misma funcin, con el argumento desfasado una cantidad . Si se particularizaentonces ( )ense obtiene la media cuadrtica, mientras que para. Puede( )().comprobarse fcilmente que la auto-correlacin es una funcin par, es decir Densidad espectral de potencia:| ( )|(2.223)( )() es la transformada de Fourier de(), que se puede escribir como:Donde( ( ))( ) ( )(2.224)Ntese que ( ) y () son funciones complejas conjugadas, y se cumple la propiedad:| ( )|( )()(2.225)Se recuerda tambin, de la ecuacin (2.185), cuando se dedujeron las funciones de Wagner yKussner, que la transformada inversa de Fourier es:())( )((2.226)- 47 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesUna vez se han expuesto estas expresionesse empieza obteniendo una relacin entre ladensidad espectral de potencia y la funcin de auto-correlacin planteando la integral:( )()(2.227)A esta expresin slo le falta el factor para tratarse de una transformada inversa.() como una transformada de Fourier:Escribiendo()( ){ }(2.228)Aplicando un cambio de variable, el cambio de signo ense puede aprovecharpara invertir los lmites de integracin, que tambin cambian de signo. Y cambiando tambinel orden de integracin dey se obtiene:() ( ) {()}(2.229)El trmino encerrado en llaves es la anti-transformada de (), salvo por el factor . ( )()(2.230)Igualando las ecuaciones (2.227) y (2.230), recordando la propiedad (2.225):| ( )| ( )()(2.231)Aplicando la definicin de la densidad espectral de potencia (2.223) se puede escribir:( )( )()(2.232)A la izquierda queda la transformada inversa de Fourier de la densidad de potencia espectral,salvo por un factor , y a la derecha la funcin de auto-correlacin (2.222). Finalmente:())( )())( )(2.233)((( ) y se definen para ella la funcin de auto-A continuacin se analiza la respuesta aleatoriacorrelacin de la respuesta ( ) y la densidad espectral de potencia de la respuesta ( ). Se llama ( ) a la respuesta a un impulso unitario. De la relacin anterior se puede escribir:( ) ( )(2.234)Y la respuesta es posible escribirla en trminos de la integral de convolucin de Duhamel:( ) ( ) ()(2.235)- 48 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesla excitacin ( ) se considera nula, y paraDado que parala respuesta unitaria()tambin se anula, se pueden extender los lmites de la integral hasta el infinito.Aplicando tambin el cambio de variablese puede escribir:( ) ( )() ()( ) ()(2.236) ()( )Teniendo en cuenta la definicin de la funcin de auto-correlacin para la respuesta:( )( )()(2.237)Es posible introducir en esta expresin la integral de convolucin (2.236):( ) ( ) () ( ) ( )(2.238)Donderepresenta la misma variable que , se diferencian en que cada una es la variable de() y para().una de las dos integrales de convolucin que se han introducido, paraCambiando el orden de integracin de :( ) ( )( ) { () ()}(2.239)El trmino encerrado en llaves puede desarrollarse aplicando el cambio de variableobteniendo la funcin de auto-correlacin de la excitacin :, ( )())()(()( )(2.240)Ahora es posible introducir este resultado en (2.239):( ) ()()()(2.241)Separando las integrales en y:( ) ( )( )( ){} {}(2.242)De las integrales encerradas en llavesrespuesta unitaria ( ) se anula paraese desarrolla la segunda. Como ya se ha dicho, la, y se puede cambiar el lmite de integracin: ( ) ( )(2.243)- 49 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesHaciendo el cambio de variablese obtiene:() ()()(2.244)Puede verse cmo la integral de la derecha es la integral de convolucin de Duhamel para una() a una entrada armnica.entrada armnica. Esta integral es entonces la respuestaAplicando el mismo procedimiento a la otra integralse puede escribir:()( )(2.245)Y al multiplicar ambas queda, recordando la ecuacin (2.225):( )| ( )|( )(2.246)Finalmente al igualar esta ecuacin con la ecuacin (2.234) se obtiene la relacin entre ladensidad espectral de potencia de la excitacin y la de la respuesta: ( ) | ( )| ( )(2.247)Igualando ambos integrandos:( )|( )|( )(2.248)Es decir, la densidad espectral de potencia de la respuesta es la densidad espectral de potenciade la entrada multiplicada por la respuesta a una excitacin armnica.Ahora que ya se ha desarrollado el tratamiento para la respuesta de un sistema lineal ante unaexcitacin aleatoria, se concreta este anlisis para la respuesta de un perfil ante la turbulencia atmosfrica. Como se indic al principio de este tema, interesa obtener la aceleracin de esta respuesta, pero como no se puede conocer la respuesta exacta, habr que trabajar con la media cuadrtica y la densidad espectral de potencia. ( ) | ( )|( )(2.249)Como se ve ms adelante, la densidad espectral de potencia tendr que obtenerse haciendoun estudio de la atmsfera y aplicando un modelo de turbulencia atmosfrica. Este modelo de turbulencia estar referenciado a tierra, por lo que ser necesario tener en cuenta que el perfilse desplaza a una velocidadcon respecto a la turbulencia.Como ya se ha indicado, la funcin ( ) representa la respuesta a una excitacin armnica.Como la frecuencia de la excitacin est referenciada a tierra, por efecto Doppler la frecuenciade la misma vista desde el perfil ser diferente segn la velocidadarmnica vista desde un punto del perfil puede escribirse como:. Entonces la excitacin()(2.250)- 50 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesEl ngulo de ataque inducido visto por el perfil ser:(2.251)Para encontrar entonces la respuesta ante esta excitacin armnica se puede aplicar el mismoprocedimiento que se usaba en el caso de rfagas, partiendo de la ecuacin dinmica:(2.252)( )( )No se demuestra aqu, pero la sustentacin inducida por la rfaga armnica es:( )( )(2.253)() es la funcin de Sears, que puede expresarse combinando funciones de Bessel deDonde, con la funcin de Theodorsen ( ) (que depende de lasprimera especie de orden ,( ) y () (que a su vez son funcinfunciones de Hankel de segunda especie de orden y ,de las funciones de Bessel de primera y segunda especie de orden y , , ,e)):( )()(( )())( )(2.254)La funcin de Sears representa la respuesta en sustentacin cuando al perfil le llega una rfagaarmnica pero no se permite su movimiento, de modo que la velocidad inducida se debe slo a la rfaga, y no al movimiento del perfil. Podra hacerse un ensayo as en un tnel de viento. Para la sustentacin debida al movimiento:( )(( ))(2.255)Se puede sustituir en la ecuacin dinmica aplicando movimiento armnico:( ) )( )(2.256)(Entonces se puede despejar la respuesta en aceleracin para la excitacin armnica:()( )( )(2.257)( ) )( (())Para la densidad espectral de potencia de la excitacin, el modelo de turbulencia atmosfricams extendido es el de von Krmn, que viene dado por:()( )(2.258)()()Donde la escala integral de turbulencia y la media cuadrtica de la velocidad de turbulenciason los dos parmetros caractersticos de este modelo de turbulencia atmosfrica.- 51 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesEstos parmetros estn relacionados con los de otros modelos de turbulencia como el y el . Ntese que el modelo depende deporque la forma en que el perfil ve la turbulenciacambiar segn la velocidad del perfil respecto a la misma.() y() en la ecuacin (2.249) para obtener la mediaFinalmente se puede introducir().cuadrtica de la respuesta en aceleraciny su densidad espectral de potenciaInteresa entonces que el mximo de la media cuadrtica de la aceleracin est por debajo delos lmites legales.Figura 2.16: Media cuadrtica de la aceleracinen funcin dela semi-cuerday la escala integral de turbulencia.- 52 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesTema 7.Aeroelasticidad dinmica. Flameo en separacin y bataneo.El flameo en separacin se produce cuando, durante parte del ciclo del movimiento de flameo,el perfil se encuentra en la zona no lineal de la curva de sustentacin. Esto impide aplicar aerodinmica linealizada. Puede suceder si por ejemplo, la amplitud del movimiento de flameoes pequea, pero la posicin de equilibrioera cercana a la prdida.( )Figura 2.17: Separacin de flujo por flameo.Por otro lado, en el caso de que la amplitud del movimiento sea muy grande, se puedealcanzar la zona no lineal estructural, lo que obligara a considerar efectos de plasticidad. No se considerar esta situacin, y que supondr que las amplitudes del movimiento son pequeas. Se estudiarn por separado los casos de flexin y torsin. No se considerar el acoplamiento.S que habr que tener en cuenta los efectos de la histresis aerodinmica. stos se deben aque la curva de sustentacin se obtiene en condiciones estticas, por ejemplo en el tnel de viento. Sin embargo, si las condiciones varan de forma rpida, hay que considerar que al aumentar el ngulo de ataque se produce un retraso en el desprendimiento, la corriente tarda unos instantes en desprenderse. Por otro lado al disminuir el ngulo de ataque tambin se produce un retraso en la re-adherencia.() positivo hacia abajo.Se estudia a continuacin el caso de flexin, con el grado de libertadEl ngulo de ataque de equilibrio esque, como se ha indicado, no se puede considerar() induce entonces un ngulo de ataque() como se ve enpequeo. La velocidad verticalla Figura 2.18:Figura 2.18: Movimiento de flameo en separacin de flexin.- 53 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesEs inmediato obtener la siguiente relacin a partir de la Figura 2.18:(2.259)()De donde se puede despejar el ngulo:( )(2.260)()Suponiendo que ()entonces se puede rescribir:(2.261)( )()() en torno aY ahora se puede hacer el desarrollo en serie de Taylor de:()(2.262)()Sustituyendo el valor dey agrupando las funciones trigonomtricas, al sustituir la expansinen la ecuacin (2.260) se cancelan los dos trminos, quedando:(2.263)( )() (() (()))Para se asume una solucin armnica:( )(2.264)Y se considera la fuerza vertical , positiva hacia abajo, como:( )()) )(((2.265)El coeficientese ha expresado como serie de potencias de , donde los coeficientes sonfuncin del ngulo de equilibrio. Esta funcin se obtiene habitualmente de formaexperimental en funcin de , y lo que se hace es desarrollarla en esta serie de potencias. Lapresin dinmica relativase puede obtener fcilmente de la Figura 2.18:(()())(( ) )(2.266)Sin embargo, esta expresin para el coeficiente de fuerzano tiene en cuenta el efecto yamencionado de histresis aerodinmica, el retraso que sufre la separacin y la adhesin delflujo por los cambios bruscos de ngulo de ataque. Para tenerlo en cuenta lo que se hace esaadir un desfasea las del ngulo de ataque , pero no en las de la presin dinmica.- 54 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesSustituyendo todos estos resultados la expresin para la fuerza verticalqueda, limitndosela expresin dea los primeros trminos:()( ))(( )( )() {(()(2.267)() (())() (())) }Una vez se tiene esta expresin interesa obtener el trabajo que se realiza durante un ciclo de laoscilacin, con periodo , y la potencia asociada a ese trabajo. De este modo se puede deducir que, si la potencia es negativa, la atmsfera extrae energa del sistema y no se produce el flameo. Por otro lado, si la potencia es positiva, entonces se producir el flameo, y se podrn determinar las condiciones en las que se produce. Para obtener el trabajo en un ciclo:()(2.268)Y la potencia ser:()(2.269)Tras realizar esta integral, que no se desarrolla aqu, queda una expresin del tipo:( ( )( )( )(2.270))Los trminos con potencias impares se han cancelado al integrar durante un ciclo de oscilacincompleto. Los coeficientes, , , etc. son funcin dey . Segn los signos de estoscoeficientes las caractersticas del flameo sern diferentes. Si se dibuja la potenciaenfuncin de la amplitud del movimiento, la pendiente de la curva para valorespequeos de la amplitud vendr dada por el signo de, para valores medios se impondr elsigno de , y para valores grandes el signo de dominar sobre los otros.Intuitivamente, se puede entender que una potenciapositiva har que la amplitud delmovimiento aumente, mientras que una potencia negativa har que disminuya. Esto se puedever en la Figura 2.19 indicado por flechas junto a las curvas. Los puntos conentonces de dos tipos: de ciclo lmite y de flameo explosivo.pueden serEl flameo de ciclo lmite es un punto de equilibrio estable para el que, si se produce unapequea perturbacin de amplitud o potencia, el sistema evoluciona hacia el punto de inicio. El flameo explosivo se produce en puntos de equilibrio inestables. Un pequeo aumento de la amplitud o la potencia har que stas se disparen.- 55 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesNo existe elflameoFlameo deciclo lmiteFlameo deciclo lmiteFlameo deciclo lmiteFlameo explosivo?Flameo deciclo lmiteFlameoexplosivo?FlameoexplosivoFlameoexplosivoFigura 2.19: Evolucin de la amplitud y la potencia de flameopara las diferentes combinaciones de signos de los coeficientes,.Los puntos de flameo de ciclo lmite y flameo explosivo se pueden obtenerpotencia a cero:igualando la| || |(2.271)()| |- 56 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesSi se considera que la amplitud es suficientemente pequea, la expresin de la potencia sepuede reducir a:(2.272)()El signo de esta expresin depender exclusivamente del signo de. Si se toman los dosprimeros coeficientesde la expresin (2.265) para:(2.273)El coeficienterepresenta, el coeficiente de fuerza en el punto de equilibrio, con, yes siempre mayor que cero. Por otro lado el coeficienterepresenta la pendiente de la curvade sustentacin en ese punto. Para que se produzca flameo deber cumplirse que:(2.274)Por lo tantono slo debe ser negativo, si no que adems deber ser inferior a este valor.Se analiza a continuacin el caso de torsin. El procedimiento es anlogo, aunque el resultadofinal es ms complejo. El perfil es libre de oscilar en torno a un punto. La velocidad verticalque ve cada punto del perfil ser ahora diferente, como se ilustra en la Figura 2.20.()Figura 2.20: Movimiento de flameo en separacin de torsin.El ngulo de ataque ser por tanto:()( )( )()(2.275)Mientras que la presin dinmica relativa es:()()(() )(2.276)() yPero ahoradependen de la posicin. Para simplificar lo que se hace es suponerque existe un punto caracterstico del movimiento, situado a una distanciadel punto, deforma similar a cuando se utiliz el puntopara obtener la funcin de Kussner.- 57 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesDe este modo estas expresiones quedan:( )) ( )((2.277)(( ))(2.278)De nuevo se supone una solucin armnica para ( ):( )(2.279)Y el coeficiente de momento tambin se expresa en serie de potencias:()()()) )(((2.280)Desarrollando ( ) en serie de Taylor en torno a, en forma adimensional:( )() ()() ()()(2.281)() ()()De nuevo hay que aplicar el desfasea la hora de introducir el ngulo de ataque en la serie depotencias del coeficiente de momento para tener en cuenta el efecto de histresisaerodinmica. Una vez se hace esto se obtiene el trabajo en un ciclo completo y la potencia:()()(2.282)No se hace aqu, pues se trata de un procedimiento muy largo, pero despus de desarrollaresta integral se llega a la expresin:()()(2.283)De nuevo los coeficientes ,,, etc. son funcin dey, y sus signos determinarn lasy la frecuencia reducida secaractersticas del flameo. Si se da la casualidad de queconsidera pequea se puede escribir la integral anterior como:() ()(2.284)()Todo este desarrollo tiene algunas deficiencias. Por un lado, en la realidad los coeficientesydependen tambin de la frecuencia reduciday, en caso de tratarse de flujo compresible,del nmero de Mach. Adems se han considerado los grados de libertad de torsin yflexin por separado, y no se ha estudiado el posible acoplamiento entre ambos.- 58 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesEl ltimo fenmeno de aeroelasticidad en perfiles que se ver es el del bataneo, y se tratarexclusivamente de forma cualitativa. El bataneo es el movimiento regular de una estructura excitada por una turbulencia que se ha generado en alguna parte de la misma, y no por el propio movimiento como sucede en el caso del flameo.El nombre de bataneo proviene de la palabra batn, que es una mquina compuesta degruesos mazos de madera, y representa como si la estructura recibiera golpes externos.Existen dos casos principales de bataneo. El primer caso es el bataneo de cola, en el que la colaest excitada por la turbulencia que proviene del ala. El segundo se llama bataneo de superficies de control, aunque no tiene por qu haber una superficie de control para producirse.Para el primer caso es necesario conocer con qu frecuencias dominantes se desprenden lostorbellinos del ala. El anlisis es similar al de la calle de torbellinos de von Krmn. Una aproximacin para la frecuencia dominante reducida sera:{(2.285)El segundo caso afecta en rgimen transnico, cuando la superficie de control o la parteposterior del perfil est excitada por el movimiento de la onda de choque que se produce en el extrads, como se ilustra en la Figura 2.21. La onda de choque se sita en el extrads, provocando una diferencia de presin discreta muy elevada: la presin detrs de la onda de choque aumenta mucho. Por este motivo, en la capa lmite se desarrolla un flujo inverso que provoca un movimiento oscilante hacia adelante y hacia atrs de la posicin de la onda de choque. El anlisis de este fenmeno es muy complejo y no se desarrolla aqu.Capa lmiteOnda dechoqueFigura 2.21: Oscilacin de la onda de choque en vuelo transnico.Tema 8.Aeroelasticidad de turbomquinas.- 59 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesMdulo 3. Estructuras unidimensionales.Tema 9. Introduccin.En este mdulo se desarrollarn los efectos aeroelsticos en alas largas. El ala estarrepresentada como una viga, y se conocen las propiedades elsticas de la misma, como la rigidez a torsin y a flexin.nicamente se tendrn en cuenta la variacin de las variables a lo largo de la envergadura. Porejemplo se contar con que el coeficiente de sustentacin sea diferente en diferentes perfiles del ala, pero no se tendr en cuenta su variacin a lo largo de la cuerda de cada perfil. Por esto se considera que el estudio es unidimensional, y no bidimensional.Los fenmenos aeroelsticos que se vern son los mismos que en el caso del perfil, pero suanlisis en el caso de alas largas arrojar nuevas conclusiones.Tema 10. Aeroelasticidad esttica en alas rectas.Para simplificar el tratamiento se considerarn alas sin flecha, en las que los centros decortadura de las secciones del ala estn alineados, formando el eje elstico. En la asignatura Estructuras Aeroespaciales se ve cmo obtener la posicin del centro de cortadura de una seccin del ala. Como en el caso del perfil, en aeroelasticidad esttica no influyen los movimientos de flexin, por lo que slo se tiene en cuenta la torsin.Existen dos mtodos para analizar el ala larga como una viga, empleando la formulacindiferencial o la formulacin integral de la ecuacin de equilibrio. Cada una de las dos formulaciones tiene su utilidad.La formulacin diferencial tiene la ventaja de que es muy sencilla de resolver, si se supone queun montn de cosas son constantes a lo largo de la envergadura, como la cuerda y las propiedades elsticas. Esto ltimo hace que los resultados tengan poca exactitud, pero permite obtener una visin global de los fenmenos aeroelsticos.Por otro lado la formulacin integral, aunque ms complicada analticamente, es mucho mssencilla de implementar numricamente, y por lo tanto es la que se usa en la realidad.Eje elsticoCentro aerodinmicoCentro de gravedad CGFigura 3.1: Representacin del ala recta.- 60 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesAntes de todo se definen las siguientes variables:( )( )( )Cuerda:DistanciaDistancia::Longitud de una semi-ala:Masa por unidad de envergadura: Rigidez a torsin:Giro o deformacin en torsin: Momento torsor:Distribucin de sustentacin:( )( )( )( )( )( )( )Distribucin de momentoFactor de carga::Se estudia en primer lugar la formulacin diferencial. Se estudiar primero elsimtrico y despus el anti-simtrico. La ecuacin de equilibrio es:problema) ( )((3.1)En Estructuras Aeroespaciales se ve la misma ecuacin pero de forma diferente:( )(3.2)( )Esto es porque aques el momento torsor aplicado, y en Estructuras Aeroespaciales( ) representa el esfuerzo a torsin que soporta la viga, que se obtiene del diagrama demomentos. El diagrama de momentos no es ms que la integracin a lo largo de la viga de los . El signo depende de los sistemas de referencia.momentos aplicados, por lo quePara poder resolver analticamente la ecuacin (3.1) ser necesario definirlo casi todoconstante. El momento torsor ser el provocado por las fuerzas aerodinmicas y el peso, escalado por el factor de carga , que en el caso simtrico es:( )(3.3)De nuevo, como en el caso del perfil, se supone un ngulo de ataque de equilibrio, rgido,( ), por lo que el ngulo de ataque ser la combinacin de la parte rgida y la deformacin:( )( )( )(3.4)Debe recordarse que este ngulo de ataque se mide respecto a la lnea de sustentacin nuladel ala. La sustentacin ser:( )( ) ( )(3.5)Aqu se est haciendo la suposicin de que el coeficiente de sustentacinde cada perfil slose ve afectado por su propia deformacin, y no por la deformacin de los perfiles vecinos.Tener este efecto en cuenta complicara mucho el anlisis, y se har solamente para la formulacin integral, ya que al discretizar ser ms sencillo tener este efecto en consideracin.- 61 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesSustituyendo el momento torsor y la sustentacin, despejando los trminos que dependen de(), la ecuacin diferencial queda:la deformacin en torsin()(3.6)Las condiciones de contorno implican que no haya giro en el encaste del ala y que no hayamomento torsor en la punta. Respectivamente:( )( )(3.7)Suponiendo propiedades uniformes la ecuacin diferencial se puede escribir como:(3.8)Donde:(3.9)La solucin de la ecuacin ser la combinacin de la solucin homognea (con)combinada con una solucin particular. La divergencia a torsin ocurrir cuando la solucin dela ecuacin homognea no sea una solucin trivial. De forma similar al caso del perfil, paraeste anlisis no se tienen en cuenta los trminos constantes. La solucin homognea ser:( )()()(3.10)Al imponer la condicin de contorno de no giro en el encaste ( )queda. Para la( )condicin de contorno de no momento en la puntaqueda:( )(3.11)( )La solucin trivial sera. Para que se produzca la divergencia entonces.()(3.12)Comparando con la definicin de , el valor ms pequeo ser el que corresponda con lapresin dinmica ms pequea, que ser para la que se producir la divergencia:( )( )(3.13)En el caso del perfil la presin dinmica de divergenciase podra escribir, partiendo de laecuacin (2.3), y suponiendo una seccin caracterstica del ala en:|| || (3.14)- 62 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesComparando con la presin dinmica del ala:(3.15)Estos clculos no son muy precisos, pero sirven para hacerse una idea de la diferencia de losvalores calculados en teora de perfiles con los correspondientes para alas.Una vez se tiene la presin dinmica de divergenciainteresa calcular la deformacin del alapara presiones inferiores a sta. Para ello se obtiene de forma inmediata la solucin particular:(3.16)( )Por lo que si la presin dinmica es menor que la de divergencia, la solucin completa ser:(3.17)( )()( )Aplicando las condiciones de contorno se obtiene:(3.18)( )Quedando entonces la solucin como:(3.19)( )(()( )())Este sera el valor de la deformacin si no fuera porque la torsin modificar la sustentacin,que a su vez modificar el factor de carga . Por ello hay que elegir una definicin paraquepermita cerrar el problema. Existen dos opciones: dejar quevare libremente o forzar unvalor deimpuesto. El factor de carga ser:(3.20)Donde, teniendo en cuenta que se est tratando el problema simtrico, se ha realizado laintegral desde hasta y se ha multiplicado por . En el primer caso, en el que puede variar:()) (( )()() ((()))()))((() (( )))((3.21)- 63 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesDe esta ltima expresin es posible despejar:( )( ) ))(((3.22) ( )(())Con el nico objetivo de poder analizar un poco el resultado se realizan las simplificaciones dequey que. Entonces la deformacin en torsin queda:( )(( )( ) ())(()( )())(3.23)Si se compara entonces la sustentacin completa con la sustentacin de equilibrio rgida, se , entonces se produce la divergencia:puede ver cmo efectivamente, si(()( )()))(()( )()(3.24)Si por otro lado se considera quedebe ser constante, entonces ser necesario que el pilotomodifique la sustentacin del mismo modo que lo hace la torsin, pero en sentido inverso.Para ello el piloto induce un ngulo de ataquey el factor de carga queda: ()(3.25)Dondees el factor de carga del caso de equilibrio rgido, que debe mantenerse. Igualandoambas expresiones se obtiene el ngulo de ataque que debe inducir el piloto: ()(3.26)Sustituyendo el valor del giro ( ):( )()( )( ) (())()(3.27)Si se repiten las hiptesis de quey que:()(3.28)Desarrollando de nuevo se comprueba cmo sise produce la divergencia:()() (())(3.29)- 64 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesUna vez se ha estudiado el problema de carga simtrica se estudia el problema anti-simtrico.Para ello se supone que toda la parte simtrica est en equilibrio, por lo que solo existencargas anti-simtricas, provocadas por una deflexinde los alerones. El ngulo de ataqueser el obtenido por la deflexin de alerones, el inducido por la velocidad de balancegenerado por la deformacin en torsin:, y el( )( )(3.30)Figura 3.2: Velocidades inducidas por la velocidad de balance.Se aplican la misma ecuacin de equilibrio y ecuaciones de contorno:) ( )( )( )((3.31)El momento torsor es, considerando slo trminos anti-simtricos:( )(3.32)Donde la sustentacin rgida es a su vez:()(3.33)( )Se estn abreviando las derivadas de los coeficientes como:(3.34)( )El factor de carga en el caso anti-simtrico se debe a la aceleracin angularlinealmente con . El peso y dems cargas simtricas se consideran en equilibrio:y vara( )(3.35)Sustituyendo todos estos valores en la ecuacin diferencial queda:()(3.36)- 65 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesno slo en ( ) como pasaba en el casoAhora existen dependencias con respecto asimtrico, sino tambin en el factor de carga y en los coeficientes aerodinmicos. Lo que sehace es simplificar considerando propiedades uniformes, y adems se divide el ala en dos trozos, de forma que en la zona donde no hay alern:(3.37)La ecuacin ahora se escribira a trozos:()(3.38)()Con dos condiciones de continuidad adicionales en el saltopara el giro y el momento:( )( )( )( )(3.39)Se ha considerado que el alern llega al final del ala. Esto no tiene por qu ser as, aunque seracomplicarlo mucho. No se hace aqu, pero desarrollando esta ecuacin se llega a la solucin:( )(3.40)Donde:())(()))())( ((( )()()(3.41)()( )()(){De nuevo la solucin depende del valor de, y adems ahora depende de la evolucintemporal dey . Por ello se proponen dos soluciones: el desplazamiento instantneo delalern y el tonel uniforme.En el caso de desplazamiento instantneo del alern se estudia el instante inicial despus de ladeflexin de alerones, en el que se considera queporque an no ha tenido tiempo deaumentar, pero la aceleracin s se tiene en cuenta, y se considera constante.El momento de balance es, considerando solo una semi-ala y multiplicando por : ()()) ((3.42)- 66 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibracionesDe aqu es posible obtener una expresin para: ()(3.43)En el caso del tonel uniforme se estudia justamente la situacin contraria, en la que lavelocidad angularse ha estabilizado y se considera constante, y por lo tanto la aceleracinangular debe anularse. El momento de balance es: (())(3.44)La expresin que se obtiene para la velocidad angular es entonces: ()(3.45) ()El coeficiente que multiplica arepresenta la efectividad del mando, la velocidad angular quese alcanza para una deflexin de alerones . La inversin de mando se producir cuando elvalor de esta expresin se haga nulo. No se hace aqu, pero si se desarrolla se obtiene:()()(3.46)Igualando el numerador ase puede obtener el menor valor deque produzca la inversinde mando . Entonces, de la definicin de , ecuacin (3.9):(3.47)Ahora que ya se ha estudiado la formulacin diferencial, y se ha realizado un anlisiscualitativo de la aeroelasticidad esttica en alas, se desarrollar a continuacin la formulacin integral, mucho ms prctica de cara a la realidad. Se empezar por el problema simtrico.(), que representa el efecto que tieneLa base es el llamado coeficiente de influenciaun momento torsor unitario en una seccin situada en el punto , sobre la deformacin entorsin de una seccin situada en el punto. Entonces el giro completo en esta seccin ser:( )()( )(3.48)Donde se ha multiplicado el coeficientede influencia por el momento torsor que estactuando en cada punto, ya que el coeficiente es para momentos unitarios. Este coeficiente deinfluencia se podra obtener de la ecuacin diferencial aplicada para un momento unitario:- 67 -Alejandro Roger UllAeroelasticidad y vibraciones()( )(){(3.49)Donde ( ) es la delta de Dirac. Sustituyendo el momento aerodinmico ( ):( ) () ()(3.50)Como siempre, para el estudio de la divergencia basta con el trmino elstico del momento:( ) () ( )( )( )(3.51)Lo que se hace a continuacin es lo que da a esta formulacin el sentido prctico del quecarece la formulacin diferencial. Esta expresin puede discretizarse enrebanadas, por loque el giro en la rebanada situada ense puede obtener como:( ) () ( ) ( ) ( )(3.52)Donderepresenta una funcin de peso que determina la forma en la que se est realizandola integracin. Por ejemplo, si se aplica la regla del trapecio. Tomar otros valoresdiferentes si se aplican reglas diferentes, como la regla de Simpson. En forma matricial:()(3.53)Dondees la matrizde coeficientes de influencia,es una matriz diagonalcon las distancias entre el centro aerodinmico y el eje elstico, ypesos de integracin, y si se trabajo con la regla del trapecioes la matriz. Por ltimo,dees un fuerzasvector columna. La expresines una relacin estructural entre lasaerodinmicas y el giro de las rebanadas. La matriz se podra obtener aplicando un cdigo declculo estructural. Interesa ahora encontrar la misma relacin pero de forma aerodinmica. Para ello existen tres mtodos diferentes.El primero es el llamado mtodo de las rebanadas, y es el ms sencillo. Consiste en considerarque el ngulo de ataque elstico de cada rebanada slo se ve influenciado por el giro, y que ninguna rebanada induce ngulo de ataque