AG-2011-Glava-1

АГ: Глава 1

Глава 1. Простейшие геометрические фигуры: точка, отрезок и вектор. Аналитические модели простейших геометрических фигур в одномерном, двумерном и трёхмерном пространствах. Система координат и базис на прямой линии, на плоскости и в пространстве. Линейные операции над векторами и их свойства. Скалярное произведение векторов

В начале главы определяются понятия простейших геометрических фигур: точка, отрезок и вектор. Эти понятия рассматривались при изучении основ элементарной геометрии. В аналитической геометрии точка, отрезок, вектор – объект аналитического моделирования. Создавая аналитические модели геометрических фигур, мы должны видеть, как геометрические свойства отображаются в свойствах аналитических моделей.

Построение аналитических моделей геометрических фигур начитается с одномерных моделей. Эти модели отображают геометрические фигуры числовой оси .

После освоения одномерных аналитических моделей осваиваем двумерные модели на плоскости , затем трёхмерные в пространстве .

Надеемся, изложение материала по принципу от простого к сложному, с присутствием явных повторений, будет способствовать и пониманию материала, и его запоминанию.

Скалярное произведение для двух произвольных векторов и определяется так, что это согласуется и с физикой, и с алгеброй: такие параллели очень важны, чтобы ещё раз отметить, что любые формальные построения в математике всегда предполагают их применение в практической деятельности человека.

Вопросы построения и использования специальных систем координат: полярных, цилиндрических и сферических, а также вопросы преобразования прямоугольных декартовых координат рассматриваются как дополнительные, то есть справочные. Они представлены в Дополнении к Главе 1. Некоторые из результатов Дополнения будут использоваться в линейной алгебре, большая часть – в математическом анализе и в физике.

§ 1. Простейшие геометрические фигуры: точка, отрезок и вектор.

Точка: основная фигура в геометрии. Это понятие первично: его нельзя определить, его можно только описать, ссылаясь на практический опыт, исходя из особенностей восприятия зрительных образов человеком. В пространстве представление о точке можно получить, рассматривая звезду на ночном небе, или круглый светящийся предмет на значительном удалении. Учитывая опыт черчения или рисования, многие назовут точкой след на листе бумаге, оставляемый тонко заточенным карандашом.

Прямая: её тоже относят к основным фигурам геометрии. Это понятие также первично. Восприятие прямой многие получают, проводя линию карандашом вдоль линейки. Это прямая линия на плоскости. В пространстве представление о прямой линии даёт, например, тонкий луч света или туго натянутый тонкий шнур.

Вектор: его тоже относят к основным фигурам геометрии. Это понятие также первично. Вектор есть направленный отрезок прямой : точка A – начало, и точка B - конец. Обозначение вектора: означает, что задана геометрическая фигура, которая определяется длиной отрезка:

и направлением: от точки A к точке B.

После того, как определены первичные понятия, необходимо определить их индивидуальные и совокупные свойства. Это осуществляется при помощи аксиом. Рассмотрим простейшие из аксиом геометрии:A1: Какова бы ни была прямая, существуют точки,

принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

12

АГ: Глава 1

Эта простая аксиома позволяет использовать для обозначения конкретной прямой любые две точки, принадлежащие этой прямой. Например, факт, что точки B и C принадлежат прямой можно использовать для обозначений: прямая , или прямая . Утверждение, что через две точки можно провести только одну прямую воспринимается пока только как пожелание: при вычерчивании прямой линии соблюдать одинаковость диаметра точки и толщины линии!

A2: Из трёх точек на прямой линии одна и только одна лежит между двумя другими. Например, из точек , представленных на рисунке, только точка O обладает определяемым аксиомой свойством: точка O разделяет точки C и B.

Данная аксиома, как и любые другие, требует толкования, то есть единого понимания. Так, при рассмотрении данной аксиоме можно добавить: точка O разделяет точки C и B, так как точка C лежит по одну сторону от точки O, а точка B по другую сторону от точки O.

Используя аксиому A2, можем определить понятие отрезка как часть прямой линии, состоящая из множества точек, расположенных между точками C и B. При этом точки C и B называют концами отрезка .

A3: Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой точкой, принадлежащей отрезку. Например, для отрезка это значит: = .

Данная аксиома на бытовом уровне воспринимается вполне однозначно. А для геометров много веков не давала покоя длина диагонали квадрата, сторона которого имела длину, равную единице! Пифагор подсказывал, что длина диагонали такого квадрата равна числу: . Но, именно это число и не поддавалось определению!.. Сегодня проблема измерения длины любого отрезка решена, если определена единица длины.

Рассмотрим несколько примеров, которые демонстрируют как аксиомы, то есть утверждения, которые не нужно доказывать, помогают доказывать простейшие теоремы.

☺☺Пример 1–01: Имеем прямые линии и , которые пересекаются в точке C. На прямой

отметим точку, не принадлежащую прямой . Аналогично, на прямой отметим точку, не принадлежащую прямой . Также на плоскости необходимо отметить точку, которая не принадлежит ни прямой , ни прямой .

Решение:

1). Обычно относятся к этой задаче, как простенькой шутке: рисуют картинку и показывают соответствующие прямые и точки. Но, как быть с утверждением: в геометрии рисунок не является доказательством?2). На самом деле задача весьма изящная: она демонстрирует, что очевидности, не являющиеся аксиомами, необходимо доказывать:

• Так как прямые имеют только одну общую точку C, отметим на прямой точку , не совпадающую с точкой C: аксиома подтверждает, что такая точка на прямой найдётся. Точка не может принадлежать прямой , так как прямые и имели бы две общие точки и совпадали бы. Это противоречит условию.

• Точку , принадлежащую прямой , но не принадлежащую прямой , строим аналогично: используем те же ссылки на аксиомы.

• Учтём, что на прямой уже отмечена точка A, а на прямой - точка B. Для построения точки, не принадлежащей прямым и , строим прямую , проходящую через точки и

. На прямой теперь нетрудно выделить точку , которая не совпадает ни с точкой , ни с точкой . Точка не может принадлежать прямым и . Если бы точка принадлежала прямой , то прямые и совпадали бы. Но тогда совпадали бы и прямые

13

АГ: Глава 1

и , что противоречит условию. Точно также точка не может принадлежать прямой .

3). Видим, все наши построения доказаны: они подкреплены ссылками на соответствующие аксиомы.

Ответ: построения выполнены доказательно.

Пример 1–02: Используя аксиомы доказать, что точка не имеет размера. Решение:

1). Пусть имеем прямую , отрезок и точку , причём их взаимное расположение соответствует рисунку.2). Проведём через точки O и A прямую . Эта прямая пересекает прямую в единственной точке: . Аналогично, прямая определяет на прямой единственную точку: .3). Сравним количество точек на отрезке и на отрезке . Оказывается, их количество одинаково: произвольной точке C отрезка соответствует единственная точка отрезка

, а также произвольной точке отрезка соответствует единственная точка отрезка .

4). Если точку устремить к отрезку , то отрезок бесконечно удлиняясь, превратится в бесконечную прямую. Это значит, что количество точек отрезка и прямой одинаково. Такое возможно только в одном случае: точка не имеет размера! 5). Доказанный факт позволяет получить обобщение: прямая не имеет размера толщины; плоскость тоже не имеет толщины!

Ответ: доказано, получены обобщения для прямой и плоскости.

☻При рассмотрении теоретических вопросов аналитической геометрии и в примерах будем

также учитывать следующие понятия и аксиомы элементарной геометрии:

• Полуплоскость. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Полуплоскость: множество точек плоскости, расположенных по одну сторону от прямой .

• Полупрямая или луч. Точка принадлежит прямой линии . Тогда, множество точек прямой линии , расположенных по одну сторону от точки , определяет полупрямую. Полупрямые прямой линии , имеющие общую точку , называют дополнительными.

• Угол. Углом называют геометрическую фигуру, образованную двумя лучами и , выходящими из общей точки . Эти лучи называют сторонами угла. В геометрии максимальный угол может быть образован двумя лучами, совпадающими с дополнительными полупрямыми одной прямой. В этом случае угол называют развёрнутым.

Для измерения угла вводится понятие: луч проходит между сторонами угла. Это понятие играет ту же роль, что и понятие: точка разделяет точки C и B при измерении длины отрезка. Итак, луч проходит между сторонами угла и , если он исходит из вершины угла и пересекает любой отрезок с концами на сторонах угла.

В случае развёрнутого угла, образованного лучами и будем считать, что любой луч , не совпадающий с лучами и , проходит между сторонами угла. Угол может изменяться от 0 до 1800.

Каждый угол имеет определённую градусную меру, большую нуля, развёрнутый угол равен 1800. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он

14

АГ: Глава 1

разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами. Используя названия лучей-сторон угла, можно записать: = + .

• На любой полупрямой от её начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.

• От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 1800, и только один.

• Параллельность прямых линий. Прямые называются параллельными, если они не пересекаются. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной. При оценке совокупности аксиом любой науки следует учитывать три принципа:

• Непротиворечивость. Применяя различные наборы аксиом, нельзя получить взаимно противоречащие утверждения.

• Полнота. Совокупность аксиом определённой науки должна обеспечить развитие теории этой науки и иметь существенную практическую ценность.

• Неизбыточность. Невозможно доказать ни одну аксиому, применяя другие аксиомы.

Замечание: отметим особую роль принципа неизбыточности; этот принцип отрицает способ доказательства любого утверждения ссылками на иллюстрирующий чертёж, каким бы выразительным он ни казался: утверждение не требует доказательства только в случае, если это утверждение есть аксиома!

☺☺Пример 1–03: Может ли прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, не пересекать

другую? Объясните ответ!Решение:

1). При внимательном прочтении условия задачи-теоремы, отмечаем: имеется две параллельные прямые, то есть не совпадающие, различные! Каждая точка прямой обладает свойством: не принадлежать прямой . 2). Точка , пересечения прямых и , принад-лежит прямой . Это значит, что точка не при-надлежит прямой . 3). Остаётся применить аксиому параллельности двух прямых. Через точку , не лежащую на данной прямой , можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной прямой. Это значит, что ответом на вопрос задачи есть отрицательный ответ.

Ответ: доказано: если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Замечание: многие стремятся доказывать теорему графически, причём выбирают наиболее благоприятное расположение прямых.

☻Рассмотрение простейших геометрических фигур и аксиом должно помочь

систематизировать знания по элементарной геометрии и побудить к повторению тех разделов геометрии, которые в наибольшей степени будем применять в теории и при решении практических задач.

§ 2. Системы координат и аналитические модели простейших геометрических фигур в одномерном, двумерном и трёхмерном пространствах.

Прежде всего, отметим двойственную роль аналитических моделей в аналитической геометрии: 1) имея геометрическую фигуру, строить её аналитическую модель; 2) имея аналитическую модель, превращать её в геометрическую фигуру.

В то же время, аналитическая модель может обслуживать различные практические задачи:

15

АГ: Глава 1

1). Задачи анализа имеющихся геометрических фигур: для конкретной фигуры исследовать её отдельные свойства.

2). Задачи синтеза геометрических фигур: учитывая необходимые свойства, определить геометрическую фигуру, которая заданным набором свойств обладает.

В примерах, которые будут рассмотрены по мере изучения предмета, упомянутые особенности разработки и использования аналитических моделей, будут отмечаться.

Будем считать, что аналитическая модель геометрической фигуры получена, если установлено взаимно однозначное соответствие между геометрической фигурой и системой чисел, используемой по определённым правилам. Прежде всего, построим аналитические модели точки, отрезка прямой линии и вектора.

Одномерное пространство.Система координат на числовой оси OX. Числовой осью ОХ называют прямую линию, на ко-торой определено направление (отмечают стрелкой), задана начальная точка (точка О) и единица измерения длины (отрезок ). Относительно точки O полупрямую, полуось, отмеченную стрелкой, назовем положительной, а дополнительную полупрямую, полуось – отрицательной.

На числовой оси отметим некоторую точку . Точка однозначно определяет отрезок

. Аксиомами геометрии установлено: длина отрезка определяется положительным числом однозначно. Если точка располагается на положительной полуоси , то точке

ставится в соответствие число: = . Если точка располагается на отрицательной полуоси , то: =– . Число называют координатой точки на числовой оси .

Пусть имеем числовую ось и некоторое число: . Если рассматривать число как координату точки на оси , то нетрудно эту точку отметить на этой оси:

• если >0, то откладываем отрезок длины = от точки на положительной полуоси ;

• если <0, то откладываем отрезок длины = от точки на отрицательной полуоси .

Установлено взаимно однозначное соответствие: точка → координата точки и координата точки → точка . Обозначим это соответствие в виде тождественного равенства: = . (1)

Учитывая запись: = , а также тождество (1), запишем цепочку тождественных соответствий: = = = . (2)

Соответствие (1) называют системой координат на числовой оси: . Так как для определения соответствия (1) требуется всего лишь одно число, числовую ось называют одномерным геометрическим пространством. Конструкция в этом случае называется одномерной аналитической моделью точки на оси: .

Построение аналитической модели отрезка на числовой оси пока не может продвинуться дальше обычного геометрического образа: отрезок есть множество точек , расположенных между точками и . Нужны дополнительные средства!

Дальнейшее развитие аналитической геометрии на числовой оси требует введения поня-тия направленный отрезок или геометрический вектор .

Определение:(1.1)

Направленным отрезком, геометрическим вектором, называется отрезок прямой, определяемый точкой A – началом и точкой – концом отрезка.

Точку называют также точкой приложения вектора . Длина направленного отрезка равна длине отрезка AB. Обычно это равенство записывают в виде: = . Если точки

и совпадают, то вектор называют нулевым, так как его длина равна нулю. По аналогии с числами будем обозначать нулевой вектор: =0. Для нулевого вектора не определено направление, хотя (увидим позже!) при некоторых обобщениях (для удобства!) вектору приписывают определённое направление!

16

АГ: Глава 1

Если считать точку фиксированной, а точку произвольной, то можно построить бес-численное множество векторов произвольной длины и направления с точкой приложения

. Все эти векторы разные. А что, если точку перемещать вдоль числовой оси, сохраняя длину и направление

вектора ? Было принято соглашение, что вектор не меняется при переносе его вдоль числовой

оси. Более того, договорились, что тождество означает: векторы и можно совместить переносом вдоль числовой оси ОХ. Это не вытекает из определения вектора как направленного отрезка: в общем случае точки приложения названных векторов и не совпадают.

В физике векторы, которые не изменяются при параллельном переносе, называют свобод-ными. В геометрии и в алгебре чаще применяются свободные векторы.

Выходит так, что вектор сначала порождается точками и , а потом теряет с ними связь и превращается в свободный вектор! В этом случае в определении вектора существенными остаются: направление вектора и его длина.

Пока не установлено как свойство свободы вектора проявится в аналитической модели вектора, сделаем формальные шаги, отражающие наблюдаемый факт. Для заданных векторов:

и введём обозначения: = , = . Будем считать, что равенство векторов: = равносильно утверждению, что векторы и можно совместить переносом вдоль оси ОХ. Но в таком случае одновременно принимается, что вектор при переносе вдоль оси ОХ не изменяется, то есть для любого положения вектора реализуется тождество: = .

Учитывая свойство аналитических моделей однозначно отображать свойства геометриче-ских фигур, возникает вопрос: как свойство свободы векторов может реализоваться в аналитической модели?

Прежде чем пробовать построить аналитическую модель вектора, изучим совокупные свойства векторов, а именно: линейные операции над векторами: сумма векторов и умножение вектора на произвольное вещественное число .Сумма векторов: Пусть заданы векторы и . Суммой векторов и называют вектор , ко-торый получают по следующему правилу:

вектор переносят (не меняя его!) вдоль ОХ так, что его начало совмещается с концом вектора , а вектор соединяет начало вектора

и конец вектора .

Нахождение вектора для заданных векторов и будем называть сложением векторов и (по аналогии с числами!). Для обозначения суммы применяют выражение: + = .

Замечания: при построении суммы двух векторов применяется перенос вектора вдоль ОХ, правомерность переноса обеспечивается тождеством: = для любого промежуточного положения вектора в процессе его переноса.

Из определений нулевого вектора и суммы векторов можем записать свойство нулевого вектора в операции суммы векторов. Пусть = . Тогда, для любого вектора можем записать:

+ = . Для удобства это равенство будем записывать в виде: +0 = .

Свойства суммы векторов легко наблюдаются на соответствующих рисунках:

1. – переместительное:

17

АГ: Глава 1

2. – сочетательное:

3.Для каждого вектора существует противоположный

вектор , такой, что + =0:

Замечания:1). Учтём эквивалентность применения терминов: переместительное ≡ коммутатив-ное; сочетательное ≡ ассоциативное (русский аналог более точно отображает специ-фику свойства рассматриваемой операции!).

2). Изображение вектора для произвольного вектора в соответствии с выраже-нием: + =0 далее будет обосновано формальным использованием операции умножения вектора на число (–1).

Разность векторов и определяется как обратная операция сложению векторов: это такой вектор , что . Так как операция разности векторов есть обратная операция по отношению к операции суммы, то вектор однозначно определяется для любых векторов и

. Для обозначения разности векторов и применяют выражение: – = . Из рисунка таблицы следует геометрическое правило построения разности векторов и :

Начало вектора совмещаем с началом вектора : → вектор разности приложен к концу вектора и заканчивается в конце вектора :

Замечания:1). Из рисунка построения разности векторов и видим геометрическое правило совмещения векторов и : начало - начало . Результат получаем по геометрическому правилу: конец - конец .

2). Из рисунка построения суммы векторов и видим геометрическое правило совмещения векторов и : конец - начало . Результат получаем по геомет-рическому правилу: начало - конец .

Из замечания следует, что при изучении предмета требуется запоминать два геометриче-ских правила, причём с запоминанием правила для разности трудности возникают у большин-ства студентов.

Неудобства возникают не только с запоминанием правил. При записи выражения, содержащего одновременно и суммы и разности для векторов , ,..., , неудобства прояв-ляются при построении результирующего вектора для такого выражения.

Принятые правила для построения суммы и разности векторов копируют правила нахождения равнодействующей нескольких векторов в физике.

Попробуем расширить круг операций с векторами. Наблюдения из физики подсказывают ещё одну линейную операцию – умножение вектора на число.

Произведение вектора на произвольное вещественное число : это такой вектор , что его длина определяется выражением: | |=| || |, а направление таблицей:

1. если λ >0 – направление совпадает с направлением ;

2. если λ <0 – направление противоположно направлению .

Можно сказать иначе: умножением вектора на число получают вектор , определяе-мый выражением: = ∙ = ∙ , причём: | |=| ∙ |=| ∙ |=| |∙| |=| |∙| |. Вещественное число | | определяет сжатие вектора , если , или его растяжение, если .

18

АГ: Глава 1

Пусть число = . Тогда вектор = ∙ = = имеет длину: = =1. Вектор, длина

которого равна единице, называется единичным. Вектор: = по направлению совпадает с

вектором и имеет длину, равную 1. Такой вектор имеет специальное название – орт (от фр. orientation - направление). Таким образом, получена запись вектора: =| |∙ . В этой записи свойство длины вектора отражает величина: | |, а направление: вектор . Так как при переносе вектора вдоль оси ОХ не изменяются ни | |, ни , то тождество: = , определяющее перенос вектора вполне обосновано!

Пусть имеем произвольные векторы и , расположенные на числовой оси ОХ. Покажем, что всегда можно найти число , обеспечивающее равенство: . Действительно, если: =|

|∙ и =| |∙ , то:

1) = , если направления векторов и совпадают, тогда: = · = · , из чего

следует, что = ;

2) =– , если направления векторов и противоположны, тогда: = · =– · , из

чего следует, что =– .

Векторы, для которых выполняется равенство: , называют коллинеарными (параллельными!). Для числовой оси верно утверждение: если имеем множество векторов: ,

,..., , то все эти векторы коллинеарны, то есть через любой из векторов можно выразить все остальные! Базис на числовой оси OX. Выделим на числовой оси произвольный вектор . Мы доказали, что любой другой вектор , расположенный на этой оси, можно представить в виде:

= . В таком случае говорят: вектор есть базис для множества векторов, расположенных на оси .

Продолжим рассмотрение линейных операций для векторов числовой оси . Учитывая определение операции умножения вектора на число, для векторов , и произвольных чисел

верны тождества (легко доказываются геометрически!):1). ; 2). 3). .Для частного случая =–1 получаем вектор =

∙ =(–1) =– . Если воспользоваться рисунком, то получается (формально, по правилу суммы!) равенство: +( )= +(– )= – =0. Это значит, что противоположным вектором для вектора является вектор – , Причём, можем записать =(–1) =– (см. рисунок). Так как умножение любого вектора на число =–1 всегда возможно, то для каждого вектора существует противоположный вектор, причём единственный!

Использование противоположного вектора позволяет задачу нахождения разности векторов и свести к сумме векторов и , то есть: . Ниже, из рисунка таблицы видим геометрический смысл перехода от операции разности векторов к операции суммы при замене вычитания вектора прибавлением вектора :

Пусть заданы векторы и , требуется найти их разность:

– . Можем записать: .

Итак, для любого выражения, содержащего векторы , ,..., , результирующий вектор можно найти, помня только правила построения противоположного вектора и суммы. Геомет-рические удобства такого перехода очевидны!

19

АГ: Глава 1

Рассмотрим вектор , началом которого есть точка , а концом – точка . Такой вектор называют радиус-вектором точки . Легко заметить, что указанием точки вектор определяется однозначно:

1) Направление вектора определяется знаком числа : если >0, направление вектора совпадает с направлением числовой оси; если <0, направление вектора противоположно на-правлению числовой оси.

2) Длина вектора: | |= – расстояние точки от точки . Если точка такова, что: = = (1), то | |=1. В этом случае вектор – единичный

вектор числовой оси ОХ: его направление совпадает с направлением оси ОХ. Для этого вектора применяют специальное обозначение: =(1), или =(1). Используя определение вектора и правило умножения вектора на число, для произвольного вектора запишем:

= ∙ = ∙(1)=( ). Для наглядности вектор перенесён вдоль оси ОХ так, что его начало совмещено с точкой . Это значит, что вектор можно принять в качестве базиса для всех векторов числовой оси ОХ.

Пусть заданы векторы: = = и = = . Тогда, учитывая свойства линейных операций векторов, можем записать:

1). + = ∙ + ∙ =( + )∙ =( + ). Это значит, что для вычисления суммы векторов их координаты складываются.

2). – = ∙ – ∙ =( – )∙ =( – ). Это значит, что для нахождения разности векторов их координаты вычитаются.

Используя полученные результаты, построим аналитическую модель вектора , выпол-нив действия:

=A=( ), =B=( ) → = + → = – = В– A=( )–( )=( – ).Вывод: 1). Для построения аналитической модели вектора нужно из координаты точки

вычесть координату точки и полученное число принять в качестве координаты , причем после этого вектор можно считать свободным, так как он определя-

ется только разностью координат точек и , которая не изменяется при переносе вектора.

2). Если число – >0, то по направлению совпадает с направлением ; если число – <0, то направление противоположно .

3). Если полученную аналитическую модель вектора применить к радиус-вектору , то = =( )–(0)=( ), то есть – частный случай реализации модели!

В координатной форме свойства линейных операций над векторами становятся очевид-ными: они вытекают из свойств операций над действительными числами!

После того, как нами получены аналитические модели векторов, мы можем говорить и об алгебраических векторах: скобки с числами, над которыми можно производить действия, соответствующие действиям над геометрическими векторами. Соответствие это взаимно однозначное!

Замечания:1). При построении векторов в первую очередь учитываются потребности физики. Поэтому операция суммы векторов вводится с учетом правил построения рав-нодействующей нескольких, в частном случае двух, сил.

2). Устанавливаемые далее свойства линейных операций над векторами также соответствуют наблюдаемым в физике законам!

Построение аналитической модели отрезка на числовой оси . Воспользуемся аналитической моделью направленного отрезка , причём будем считать точку закреплённой. Произвольную точку , расположенную между точками и , запишем при помощи векторного равенства: = + , , (3)если имеем: точка совпадает с точкой ; если имеем: = . Учтём:

20

АГ: Глава 1

= ; = ; = – . (4)Используя равенство (3), с учётом выражений (4), запишем окончательное выражение для

модели произвольной точки, принадлежащей отрезку : = = = . (5)

Нетрудно заметить, что ограничение: определяет деление отрезка в заданном отношении внутренним образом. Если , то деление отрезка будет производиться внешним образом, причём:

• если , то точка разделяет точки и ; • если , то точка разделяет точки и .

Представленные ниже задачи иллюстрируют применение установленных понятий и опе-раций. Приобретаемые при этом навыки будут использоваться при рассмотрении моделей в пространстве!

Представленные ниже задачи иллюстрируют применение установленных понятий и опе-раций. Приобретаемые при этом навыки будут использоваться при рассмотрении моделей на прямой линии, на плоскости и в пространстве!

☺☺Пример 1–04: Пусть имеем точки A=( ) и B=( ). Требуется найти расстояние между заданными

точками: а) A=(2) и B=(6); б) A=(–3) и B=(5); в) A=(–1) и B=(–4).Решение:

1). Так как длина отрезка AB равна длине вектора , то, используя полученное ранее выражение: = , можем записать: AB=| |= =| – |.

2). Имея формулу: AB=| – |, запишем решения для заданных исходных данных:а) AB=| – |= =4; б) AB=| – |= =8; в) AB=| – |=|(–1)– (–4)|=3.

Ответ: расстояние: 4; 8; 3.

Пример 1–05: Определить вектор и , если заданы точки A и B: а) A=(5) и B=(2); б) A=(–5) и B=(–3); в) A=(–1) и B=(–3).

Решение: Воспользуемся выражениями: , → = – =( )–( )= (

– ). Тогда в каждом из заданных условий получим: а) = = (2) –(5)=(–3), =|–3 = 3;б) = =(–3) –(–5)=(2), =|2 =2;в) = =(–3) –(–1)=(–2), =|–2 =2.

Ответ: а) (–3) и 3; б) (2) и 2; в) (–2) и 2.

Пример 1–06: Определить координаты точки A, если известно: а) B=(3) и =(5); б) B=(2) и =(–3); в) B=(–5) и =(–3); г) B=(–5) и =2.

Решение: Воспользуемся выражениями: = – =В– =( )–( )=( – ) → A=B– =B+ . Тогда в каждом из заданных условий получим:

а) = В– =(3) –(5)=(–2); б) = В– =(2) –(–3)=(5); в) = B+ =(–5) +(–3)=(–8); г) = В– , при условии, что: ▫ =(–2) → тогда: A=B– = (–5)–(–2) = (–3);

▫ = (2) → тогда: A=B– = (–5)–(2) = (–7).Ответ: а) (–2); б) (5); в) (–8); г) (–3) или (–7).

Пример 1–07: Пусть точками A=( ) и B=( ) задан отрезок AB, причём точка A расположена ле-вее точки B. Требуется определить координаты точки C, которая делит отрезок AB в заданном отношении внутренним или внешним образом:

а). A= (2) и B= (8); точка C лежит между A и B, коэффициент: = ;

21

АГ: Глава 1

б). A= (–2) и B= (6); точка C лежит правее точек A и B, коэффициент: =2;в). A= (0) и B= (9); точка C лежит левее точек A и B, коэффициент =–3.

Решение: Воспользуемся общей для всех случаев формулой (5): =( )= .

а). Рисунок: Тогда: =( )= =(4).

б). Рисунок: Тогда: =( )= =(14).

в). Рисунок: Тогда: =( )= =(–27).

Ответ: координаты точки C: а). (4); б). (14); в). (–27).

Замечание: Полученные выражения для вычисления точки C не следует запоминать! Они про-сто получаются после изображения рисунка по свойствам операций с векторами на числовой оси.

Пример 1–08: Определить отношение λ, если = λ∙ и заданы точки A, B и C: а) A=(1), B=(13) и C=(5); б) A=(–1), B=(5) и C=(3).

Решение:

Воспользуемся выражениями: =C–A, =B–C → C–A= ∙ (B–C) → = . Тогда в каж-

дом из заданных условий получим: а) = = ; б) = =2.

Ответ: а) ; б) 2.

Пример 1–09: Определить координаты точки M, если: а) A=(2), B=(–5) и λ=3 в равенстве ; б) A=(–1), B=(3) и λ= –2 в равенстве .

Решение:

Воспользуемся выражениями: =M–A, =B–M → M–A= ∙(B–M) → M = . Тогда в

каждом из заданных условий получим:

а) по формуле: M= = ; б) аналогично: M= = (7).

Ответ: а) ; б) (7).

Пример 1–10: Определить координаты концов A и B отрезка, который точками P(–25) и Q(–9) разделен на три равные части.

Решение: 1). Воспользуемся рисунком. По условию: =

= или P–A=Q–P=B–Q, откуда: A=2P–Q и B=Q+P–A.2). Тогда A=2(–25)–(–9)=(–41); B =(–9)+(–25)–(–41)=(7).

Ответ: 1) A=(–41); 2) B =(7).

Рассмотренные примеры обнаруживают широкие возможности простейших аналитиче-ских моделей в геометрии: без использования геометрических построений можно решать дос-таточно сложные задачи. Распространение аналитических моделей геометрических фигур: точка, отрезок, вектор на плоскости и в пространстве должны ещё более расширить круг задач, решаемых при помощи этих моделей.

☻Двумерное пространство.Система координат OXY на плоскости. Систему координат на плоскости можно определить двумя

22

АГ: Глава 1

пересекающимися числовыми осями, осями координат: и . Такую систему координат обозначают: . Если числовые оси пересекаются под углом 900, то систему координат называют прямоугольной, или декартовой. На плоскости , определяют четверти: . Характеристики четвертей определим позже.

На плоскости отметим некоторую точку . Проведя из точки перпендикуляр к оси , получим на оси координату точки . Перпендикуляр к оси определяет на оси координату точки . Аксиомы и теоремы геометрии однозначно определяют пару чисел для каждой точки плоскости. Верно и обратное. Каждой паре чисел: соответствует единственная точка плоскости . Так как знаки чисел , однозначно определяются положением на соответствующих осях координат, то нетрудно установить характеристики названных ранее четвертей:

• первая четверть : и ; • вторая четверть : и ;• третья четверть : и ; • четвёртая четверть : и .

Итак, для каждой точки , то есть геометрической фигуры, расположенной на плоскости , установлено взаимно однозначное соответствие: точка → пара чисел и пара

чисел → точка . Обозначим это соответствие в виде тождественного равенства: =. (1)

В прямоугольной системе координат, учитывая теорему Пифагора, можем записать формулу для вычисления расстояния от точки до точки : =

. (2)

Пару чисел называют координатами точки на плоскости , или аналитической моделью точки на плоскости. Так как для определения соответствия (1) требуется пара чисел, плоскость называют двумерным геометрическим пространством. Конструкция в этом случае называется двумерной аналитической моделью точки на плоскости: .

Построение аналитической модели отрезка на плоскости пока не может продвинуться дальше обычного геометрического образа: отрезок есть множество точек , расположенных между точками и . Нужны дополнительные средства!

Дальнейшее развитие аналитической геометрии на плоскости требует введения понятия направленный отрезок или геометрический вектор .



Нетрудно заметить, что Определение 1.2 дословно повторяет определение геометрического вектора на числовой оси. Пусть: = и = . Тогда длина направленного отрезка , расположенного на плоскости равна длине отрезка AB и вычисляется по формуле: = = .

Если точки и совпадают, то вектор называют нулевым, так как его длина равна нулю. По аналогии с числами будем обозначать нулевой вектор: =0. Для нулевого вектора не определено направление, хотя (увидим позже!) при некоторых обобщениях (для удобства!) вектору приписывают определённое направление!

Как и в случае числовой оси, будем считать, что вектор не меняется при параллельном переносе, то есть в определении вектора существенными остаются: направление вектора и его длина.

Как и для числовой оси, чтобы подчеркнуть, что векторы и свободные, введем обозначения: = , = . Если записано = , то это значит, что векторы и можно со вместить параллельным переносом:

23

АГ: Глава 1

Для произвольных векторов: , , … плоскости определим линейные операции: сумму векторов и умножение вектора на произвольное число (вещественное!).Сумма векторов: для произвольных векторов и существует вектор , называемый суммой векторов и . Сумму векторов принято обозначать выражением: + = .

В определении суммы векторов не указано правило построения суммы. Обычно это правило соответствует принятому в физике правилу сложения направленных величин:

1) правило параллелограмма: пусть заданы векторы и ; вектор = + является диагональю параллело-

грамма, построенного на векторах и (начала векто-ров совпадают!); в таком виде правило сложения векторов было установлено и многократно проверено физиками: проводились лабораторные испытания, где исследовали динамику материаль-ной точки под действием системы сил (векторов) и их равнодействующей;

2) правило треугольника: вектор = + соединяет начало вектора и конец вектора , при условии, что вектор приложен к концу вектора ; в таком виде правило сложения векто-ров получено как следствие установленного в физике правила параллелограмма; правило треугольника удобно использовать в случае, когда применяют графические способы по-строения равнодействующей системы сил. Легко заметить, что в этом виде геометрическое правило суммы совпадает с тем, что использовалось для векторов на числовой оси. Точнее, рисунки на чи-словой оси получаются как частный случай для плоско-сти и пространства (соблюдается принцип обобщения!).

Замечание: принятые правила суммы векторов – геометрические; далее, как и в случае одномерных моделей на числовой оси, введём алгебраические модели для точек, и векторов на плоскости и в пространстве, причём так, что модели для плоскости и числовой оси будут получаться как частные случаи трёхмерных моделей!

Свойства суммы векторов легко наблюдаются на соответствующих рисунках:

1. + = + – переместительное.Свойство легко наблюдается по рисунку, ис-пользуемому при рассмотрении правила па-раллелограмма.

2. – сочетательное.

3. Существует нулевой вектор , такой, что для любого вектора : .

4 .Для каждого вектора существует противоположный

вектор , такой, что ; обозначим его (смыл обозначения: смотри рисунок).

Замечание: Запись свойства и смысл выражения аналогичны тем, что были ус-тановлены при рассмотрении аналитических моделей на числовой оси ОХ.

24

АГ: Глава 1

Операция разность векторов и , как и на числовой оси, вводится как операция, обрат-ная сумме: это такой вектор , что . Важно, что это определение совпадает с определе-нием, принятым для числовой оси (геометрическое правило сохраняется)!

Произведение вектора на произвольное вещественное число : это такой вектор , что ∙ = ∙ = (формально запись не отличается от установленной при рассмотрении оси ОХ).

Длина вектора определяется выражением: , а направление таблицей:

1. если λ >0 – направление совпадает с направлением ;

2. если λ <0 – направление противоположно направлению .

Если векторы и связаны соотношением: , то говорят, что векторы и коллинеарные. Равенство возможно, если векторы и принадлежат одной прямой, или параллельным прямым.

Используя операцию умножения вектора на число, продолжим учет свойств линейных операций над векторами. Пусть заданы векторы , и числа . Тогда:

1). ; 2). 3). .Операция умножения на число позволяет более наглядно представить правило построения

противоположного вектора: – =(–1)∙ .Воспользуемся понятием противоположного

вектора для замены разности векторов: – суммой векторов: . Представленные на рисунке варианты построения вектора показывают, что пе-реход от разности к сумме позволяет воспользоваться переместительным свойством суммы. Применение замены разности векторов: – суммой векторов: может существенно сократить трудоёмкость выполняемых построений для выражений, содержащих чередующиеся операции:

и ! Итак, если задано выражение: + – + +…, то замена всех вычитаний добавлением про-

тивоположных векторов при использовании геометрических построений всегда целесообразно. Но определены два геометрических правила построения суммы векторов: правило па-раллелограмма и правило треугольника. Представленная ниже геометрическая схема нахождения суммы нескольких векторов отдаёт предпочтение правилу треугольника!

Обобщение правила треугольника для суммы векторов: = + +… . Выполняя последова-тельно сложение нескольких векторов легко заметить, что правило треугольника превращается в правило многоугольника:

Видим, что добавление следующего слагаемого требует параллельным переносом совместить на-чало очередного вектора с концом предыдущего и т.д. до последнего . Вектор суммы получается соединением начала вектора с концом вектора .

При построении аналитических моделей в одномерном пространстве отмечались значи-тельные преимущества алгебраических моделей векторов! Для построения таких моделей на плоскости и в пространстве нам потребуются новые понятия, введения которых не требовалось в одномерном пространстве.

25

АГ: Глава 1

Линейная зависимость векторов. Пусть имеем совокупность векторов: , , …, . Запись:, (3)

где , ,..., – вещественные числа, называется линейной комбинацией векторов , ,…, . Используя совместные свойства заданной совокупности векторов в линейных комбинациях,

определим одно из важнейших понятий линейной алгебры.


Векторы , ,…, называют линейно зависимыми, если найдутся числа ,,..., , хотя бы одно из которых отлично от нуля, что выполняется

равенство: . (4)

Если (4) выполняется только в случае, когда все числа , ,..., равны нулю, то векторы , , …, называют линейно независимыми.

Учитывая выражение (4) запишем простейшие теоремы, уточняющие практическое при-менение понятия линейной зависимости векторов.

Теорема:(1.1)

Если хотя бы один из векторов , ,…, нулевой, условия (4) выполняются и, значит, векторы линейно зависимы.

► Пусть вектор =0. Тогда в выражении (4) примем λ1≠ 0, выполняя требование неравенства нулю хотя бы одного из чисел , ,..., → совокупность векторов линейно зависима. ◄

Теорема (1.1) отмечает особую роль нулевого вектора при определении линейной зависи-мости совокупности векторов!


Если подсистема векторов из системы векторов , , …, линейно зависима, то и вся система векторов линейно зависима.

► Пусть подсистема векторов: – линейно зависима, то есть

выполняется равенство: , где хотя бы одно из чисел: , ,..., отлично от нуля. В таком случае можно допустить, что в линейной комбинации: все остальные коэффициенты: ,..., равны нулю. Следует: совокупность векторов линейно зависима. ◄

Теорема (1.2) в применении к 3-мерному пространству утверждает: если в совокупности нескольких векторов, хотя бы два вектора линейно зависимы, то совокупность векторов зависима.


Два ненулевых вектора , линейно зависимы, если они коллинеарные, и наобо-рот: если векторы , коллинеарные, то они зависимы.

► Докажем первое утверждение. Если векторы, , – коллинеарные, то выполняется равен-ство . Но тогда справедливо и равенство , которое определяет линейную зависимость и .

Докажем второе утверждение. Пусть векторы , – линейно зависимы: .

Тогда справедливо и равенство (числа и не равны нулю, так как векторы ,

- ненулевые!), которое определяет коллинеарность векторов и . ◄Для векторов, принадлежащих плоскости верна следующая теорема:

Теорема:(1.4) На плоскости любые три вектора , , линейно зависимы.

► Выберем на плоскости точку и параллельным переносом совместим начала заданных векторов , , с этой точкой.

26

АГ: Глава 1

В этом случае вектор можно представить в виде: = + , причём (по определению

коллинеарности): = , = ; из выражения для вектора получим: + +(–1) =0, что определяет зависимость , , . ◄

Базис на плоскости OXY. На плоскости любые неколлинеарные векторы , образуют базис: любой вектор плоскости может быть представлен в виде линейной комбинации этих векторов: =

+ , (5)числа – координаты относительно базиса, образованного векторами и .

Рассмотрим вектор , началом которого есть точка , а концом – точка . Такой вектор называют радиус-вектором точки на плоскости

. Легко заметить, что указанием точки = вектор определяется однозначно.

Выделим на оси единичный вектор , а на оси единичный вектор . Так как векторы и – неколлинеарные, то их можно принять в качестве базиса. Используя эти векторы, запишем вектор в виде их линейной комбинации:

= . (6) Числа: , называют координатами вектора в базисе , . Так как = , то

любой вектор плоскости может быть выражен в виде линейной комбинации векторов базиса , .

Пусть заданы векторы: = = = и = = = . Тогда, учитывая свойства линейных операций векторов, можем записать:

1). + = + = = . Это значит, что для вычисления суммы векторов их координаты складываются.

2). – = – = = . Это значит, что для нахождения разности векторов их координаты вычитаются.

Используя полученные результаты, построим аналитическую модель вектора , если заданы точки A= = , B= = :

= + → = – = В– A= – = .Вывод: 1). Для построения аналитической модели вектора нужно из координат точки

вычесть координаты точки и полученную пару чисел принять в качестве координат , причем после этого вектор можно считать свободным, так как он определяется только разностью координат точек и , которая не изменяется при параллельном переносе вектора.

2). Если полученную аналитическую модель вектора применить к радиус-вектору , то = = –(0,0)= , то есть – частный случай реализации модели!



Построение аналитической модели отрезка на плоскости . Воспользуемся аналитической моделью направленного отрезка , причём будем считать точку закреплённой. Произвольную точку , расположенную между точками и , запишем при помощи векторного равенства: = + , , (7)если имеем: точка совпадает с точкой ; если имеем: = . Учтём:

27

АГ: Глава 1

= ; = ; = – . (8)Используя равенство (7), с учётом выражений (8), запишем окончательное выражение для

модели произвольной точки, принадлежащей отрезку : = = = . (9)

Нетрудно заметить, что ограничение: определяет деление отрезка в заданном отношении внутренним образом. Если , то деление отрезка будет производиться внешним образом, причём: • если , то точка разделяет точки и ;

• если , то точка разделяет точки и . Представленные ниже задачи иллюстрируют применение установленных понятий и опе-

раций. Приобретаемые при этом навыки будут использоваться при рассмотрении моделей в пространстве! Замечание: из полученных для плоскости соотношений соотношения для числовой оси

получаются как частный случай!

Трёхмерное пространство.Система координат OXYZ в пространстве. Систему координат в пространстве можно определить тремя пересекающимися числовыми осями, осями координат: , и . Такую систему координат обозначают: . В пространстве , определяют октанты: . Характеристики октантов определим позже.

При построении аналитических моделей на плоскости мы ограничились прямоугольными координатами. Если между осями координат , , углы произвольные, систему координат называют аффинной. Правила построения такой системы для случая двумерного пространства будут легко следовать как частный случай трёхмерного пространства.

При построении аффинной системы координат, прежде всего, необходимо определить содержание понятий: параллельное и ортогональное проектирование.

A1: Пусть имеем числовую ось: , точку M, не принадлежащую этой оси и прямую пересекающую ось . Через точку проведём прямую , параллельную прямой . Согласно известной теореме геометрии, прямая также пересечёт ось . Обозначим точку пересечения:

. Точка называется параллельной проекцией точки на оси в направлении, определяемом прямой . В общем случае угол между прямой и осью не равен 900.

A2: Пусть имеем числовую ось и точку M, не принадлежащую этой оси. Пусть плоскость пересекает ось . Если через точку провести плоскость , параллельную плоскости , то, согласно известной теореме геометрии, плоскость также пересечёт ось : обозначим точку пересечения – . Точка называется параллельной проекцией точки на оси в направлении, определяемом плоскостью . В общем случае угол между плоскостью и осью не равен 900.

A3: Пусть в пространстве заданы плоскость и точка M, не принадлежащую этой плоскости. Пусть прямая пересекает плоскость и определяет направление параллельного проектирования произвольных точек пространства на заданную плоскость. Через точку проведём прямую , параллельную прямой . Согласно известной теореме геометрии, прямая также будет пересекать плоскость . Обозначим точку пересечения прямой с плоскостью как .

28

АГ: Глава 1

Точка называется параллельной проекцией точки на плоскость в направлении, определяемом прямой . В общем случае угол между плоскостью и прямой не равен 900.

A4: Пусть имеем систему координат: и некоторую точку трёхмерного пространства, не принадлежащую ни одной из плоскостей: OXY, OXZ, OYZ. На рисунке показана одна из схем получения координат точки M на осях

, , . Из рисунка видим, как используется параллельное проектирование точки : • параллельно проектируем точку на плоскость

;• параллельно проектируем точку на ось ;• параллельно проектируем точку на ось ;• параллельно проектируем точку на ось .

В результате выполнения всех действий параллельного проектирования получили систему чисел: , однозначно определяющих аналитическую модель точки пространства .

Если имеем систему чисел: , то выполняя все действия параллельного проектирования в обратном порядке, построим геометрическую фигуру: точку пространства . Итак, в соответствии с теоремами геометрии получено взаимно однозначное соответствие:

→ тройка чисел ;тройка чисел → . (10)

Так как знаки чисел: однозначно определяются положением на соответствующих осях координат, то нетрудно установить характеристики названных ранее октантов:

• ; • ; • ; • ;• ; • ; • ; • ;

Итак, для каждой точки , то есть геометрической фигуры, расположенной в пространстве , установлено взаимно однозначное соответствие: точка → тройка чисел

.В прямоугольной системе координат,

учитывая теорему Пифагора, можем записать формулу для вычисления расстояния от точки до точки :

= . (11)

Тройку чисел называют координатами точки в пространстве , или аналитической моделью точки на плоскости. Так как для определения соответствия (10) требуется тройка чисел, пространство называют трёхмерным геометрическим пространством. Конструкция в этом случае называется трёхмерной аналитической моделью точки в пространстве: .

Построение аналитической модели отрезка в пространстве пока не может продвинуться дальше обычного геометрического образа: отрезок есть множество точек , расположенных между точками и . Нужны дополнительные средства!

Дальнейшее развитие аналитической геометрии на плоскости требует введения понятия направленный отрезок или геометрический вектор .



Нетрудно заметить, что Определение 1.3 дословно повторяет определение геометрического вектора на числовой оси и на плоскости. Пусть: = и =

29

АГ: Глава 1

. Тогда длина направленного отрезка , расположенного в пространстве

равна длине отрезка AB и вычисляется по формуле: = =.

Как и в случае числовой оси и плоскости, будем считать, что вектор не меняется при параллельном переносе, то есть в определении вектора существенными остаются: направление вектора и его длина.

Как и для плоскости, для векторов в пространстве определяется понятие свободных векторов. Линейные операции: сумма и разность векторов, умножение вектора на произвольное число определяются и изображаются также как и в случае двумерного пространства, то есть на плоскости. Определение нулевого вектора и противоположного вектора ничем не отличается от ранее рассмотренных определений: в случае числовой оси и плоскости . Определение линейной зависимости векторов трёхмерного пространства не отличается от определения, принятого для векторов, расположенных в плоскости .

Для трёхмерного пространства важна теорема, обобщающая результат Теоремы 1.4, доказанной для векторов двумерного пространства:

Теорема:(1.5) Любые четыре вектора , , , линейно зависимы.

► 1). Если какая-нибудь тройка векторов (например, , , ) лежит в одной плоскости, то векторы , , – зависимы: учтём Теорему . Так как в системе векторов , , , подсистема векторов , , зависима, то зависима и вся система векторов , , , : учитываем Теорему 1.2.

2). Пусть никакая тройка векторов из , , , не компланарна (и нет ни одной пары коллинеарных векторов, и нет нулевых!).

Приведем все четыре вектора к одному началу О, и на векторах , , построим параллелепипед. Учитывая операцию сложения векторов, запишем:

. Используя понятие коллинеарности для пар векторов: и , и ,

и , можем записать: = , = , = .Это значит: = + + , или: + + +(–

1) =0. Последнее есть равенство, определяющее линейную зависимость совокупности векторов , ,

, . ◄

Из доказанных Теорем 1.1÷1.5 получаем следствия:1*. Если векторы , , не компланарны и – любой вектор, то найдутся вещественные

числа , , такие, что = + + . Говорят: любые три линейно независимые вектора , , образуют в пространстве базис. Числа – координаты вектора относительно этого базиса, образованного векторами , , .

2*. Выражение = + + единственно, если , , – базис. Действительно: если имеем одновременно разложения = + + и = + + , то их разность определяет равенство: 0 = ( – ) +( – ) +( – ) = + + , т.е. , , – зависимы, что противоречит исходным условиям!

Замечание: термин координаты в пространстве, на плоскости и на прямой имеет двойное применение: в системе осей координат координаты определяют проекции произвольной точки пространства на оси координат; в системе векторов базиса ,

, координаты определяют проекции произвольного вектора пространства на векторы базиса!

30

АГ: Глава 1

Рассмотрим вектор , началом которого есть точка , а концом – точка . Такой вектор называют радиус-вектором точки в пространстве . Легко заметить, что указанием точки = вектор определяется однозначно.

Выделим на оси единичный вектор , на оси единичный вектор , на оси единичный вектор . Так как векторы , , – некомпланарные, то их можно принять в качестве базиса для множества векторов пространства . Используя эти векторы, запишем вектор в виде их линейной комбинации:

= . (12) Числа: , , называют координатами вектора в базисе , , . Так как = , то

любой вектор пространства может быть выражен в виде линейной комбинации векторов базиса , , .

Пусть имеем произвольные векторы пространства :

= = = и = = = .

Учитывая свойства линейных операций для векторов и , можем записать:1). + = + =

= =.

Это значит, что для вычисления суммы векторов и их координаты складываются.2). – = – = =

= . Это значит, что для нахождения разности векторов и их координаты вычитаются.

Используя полученные результаты для суммы и разности векторов, построим аналитическую модель вектора , если заданы точки A= = , B= = :

= + → = – = В– A= – = .Вывод: 1). Для построения аналитической модели вектора нужно из координат точки

вычесть координаты точки и полученную пару чисел принять в качестве координат , причем после этого вектор можно считать свободным, так как он определяется только разностью координат точек и , которая не изменяется при параллельном переносе вектора.

2). Если полученную аналитическую модель вектора применить к радиус-вектору , то = = –(0,0,0)= , то есть – частный случай реализации модели!



Построение аналитической модели отрезка в пространстве . Воспользуемся аналитической моделью направленного отрезка , причём будем считать точку

31

АГ: Глава 1

закреплённой. Произвольную точку , расположенную между точками и , запишем при помощи векторного равенства: = + , , (13)если имеем: точка совпадает с точкой ; если имеем: = . Учтём:

= ; = ; = – . (14)Используя равенство (13), с учётом выражений (14), запишем окончательное выражение

для модели произвольной точки, принадлежащей отрезку : = = = . (15)

Нетрудно заметить, что ограничение: определяет деление отрезка в заданном отношении внутренним образом. Если , то деление отрезка будет производиться внешним образом, причём: • если , то точка разделяет точки и ;

• если , то точка разделяет точки и .

Замечание: из полученных для трёхмерного пространства соотношений соотношения для плоскости и числовой оси получаются как частный случай!

Пусть имеем прямоугольную систему координат . Пусть вектор составляет с осями координат углы , соответственно. Эти углы называют направляющими углами вектора, , , – направляющими косинусами вектора. Тогда: 1) выражения для проекций вектора на оси будут:

= , = , = ; причём: . (16)

2) из выражений (16) легко получить тождество: + + =1, для этого достаточно возвести в квадрат равенства: ax= , ay= , = и их сложить.

Представленные ниже задачи иллюстрируют применение установленных понятий и опе-раций. Легко заметить, что переход от 1-мерного пространства к 2-мерному и 3-мерному прин-ципиально не изменяет общие схемы алгоритмов решения задач.

☺☺Пример 1–11: Пусть имеем точки A= + j+ k=( , , ), B= i+ j+ k=( , , ). Требуется

найти расстояние между заданными точками: а) A=(2,3,4) и B=(3,4,5); б) A=(–2,–3,–4) и B=(–3,–4,–5); в) A=(2,3,4) и B=(–2,–3,–4).

Решение:

1). Длина отрезка AB равна длине вектора , причём = .

2). Воспользуемся общей формулой: AB=| | = . Запишем решения для заданных исходных данных:

а) AB= = ; б) AB= = ;

в) AB= =2 .

Ответ: расстояние: ; ; 2 .

Пример 1–12: Определить вектор и , если заданы точки A и В: а) A=(2,3,4) и B=(3,4,5); б) А =(–2,–3,–4) и В =(–3,–4,–5); в) А =(2,3,4) и В =(–2,–3,–4).

Решение:

1). Общее: =( – ; – ; – ), = .

2). Для заданных условий получим: а) = (1,1,1), = ; б) = (–1,–1,–1), = ; в) = (–4,–6,–8), =2 .

Ответ: а) =(1,1,1), = ; б) =(–1,–1,–1), = ; в) =(–4,–6,–8), =2 .Пример 1–13: Определить координаты точки A, если известно: 1) B=(3, 4, 5) и

=(1,1,1); б) B= (–3,–4,–5) и =(–1,–1,–1); в) B=(–2,–3,–4) и =(4,6,8).

Решение:

32

АГ: Глава 1

Воспользуемся выражениями: = – = B–A= ( , , )–( , , )=( – ; – ; – ) → A= В– = B+ . Тогда в каждом из заданных условий получим:

а) A= B– =(3, 4, 5) –(1,1,1)= (2, 3, 4);б) A= B– =(–3,–4,–5) –(–1,–1,–1)= (–2,–3,–4);в) A= B+ =(–2,–3,–4) +(4, 6, 8)= (2, 3, 4);

Ответ: а) (2, 3, 4); б) (–2,–3,–4); в) (2, 3, 4).

Пример 1–14: Пусть точками A=( , , ) и B=( , , ) задан отрезок AB, причём точка A рас-положена левее точки B. Требуется определить координаты точки C, которая делит отрезок AB в заданном отношении λ внутренним или внешним образом:

а). A= (2, 4, 6) и B= (8, 10, 12); точка C лежит между A и B, коэффициент: λ= ;

б). A= (–2, 3,–2) и B= (2, 5, 4); точка C лежит правее точек A и B, коэффициент: λ=2;в). A= (0, 0, 0) и B= (0, 2, 1); точка C лежит левее точек A и B, коэффициент: λ=–3;

Решение:

Воспользуемся общей для всех случаев формулой (5): = .

а). Рисунок: → = ∙(2,4,6)+ ∙(8,10,12)=(4,6,8).

б). Рисунок: → =–1∙(–2,3,–2)+2∙(2,5,4)=(6,7,10).

в). Рисунок: =4∙(0,0,0)–3∙(0,2,1)=(0,–6,–3).

Ответ: координаты точки C: а). (4,6,8); б). (6,7,10); в). (0,–6,–3).

Замечание: Полученные выражения для вычисления точки C не следует запоминать! Они про-сто получаются после изображения рисунка по свойствам операций с векторами на числовой оси.

Пример 1–15: Определить отношение , если = ∙ и заданы точки A, B и C: а) A=(2,4,6), B=(8,10,12) и C=(4,6,8); б) A=(–2,3,–2), B=(2,5,4) и C=(6,7,10).

Решение:

Воспользуемся выражениями: =С–А, =В–С → С–A= ∙(В–С). Учитывая, что все

координаты преобразуются с одним и тем же коэффициентом , запишем → = . Тогда в

каждом из заданных условий получим: а) = = ; б) = =–2.

Ответ: а) ; б) –2.

Пример 1–16: Определить координаты точки M, если: а) A=(4,5,6), B=(8,9,10) и λ=3 в равенстве ; б) A=(3,4,5), B=(5,6,7) и λ= –2 в равенстве .

Решение:

Воспользуемся выражениями: =М–А, =В–М → M–A= ∙(В–М) → М = . Тогда в

каждом из заданных условий получим:

а) по формуле: M= =(7,8,9); б) аналогично: =

=(7,8,9).Ответ: а) (7,8,9); б) (7,8,9).

Пример 1–17: Определить координаты концов A и B отрезка, который точками P=(4,5,6) и Q=(6,7,8) разделен на три равные части.

Решение:1). Воспользуемся рисунком:

33

АГ: Глава 1

2). Из условия задачи следует: = = или . Тогда имеем: A=2P–O, .

2) тогда A=2(4,5,6)– (6,7,8)= (2,3,4).3) тогда B =(6,7,8)+ (4,5,6)– (2,3,4)= (8,9,10).

Ответ: 1) A=(2,3,4); 2) B =(8,9,10).

Рассмотренные Примеры 11–17 повторяют Примеры 4–10, отличаясь только размерностью: геометрические образы перенесены из 1-мерного пространства в 3-мерное. Это иллюстрирует широкие возможности обобщений в алгебраических моделях при переходе к n-мерным пространствам (туда, где привычные геометрические фигуры не могут быть «нарисованы»).

☻§ 3. Скалярное произведение векторов и .

Прежде чем определить скалярное произведение для произвольных векторов и , вспомним задачу из физики: твёрдое тело под действием постоянной силы переместилось из точки O в точку A вдоль прямолинейного отрезка OA. Требуется вычислить работу силы на отрезке OA. Для простоты считаем, что линия действия силы и точка O расположены в плоскости рисунка! Если отметить рассматриваемое движение тела вектором , то мы укажем, в соответствии с понятиями физики, перемещение тела за время наблюдения! Если силу разложить на две составляющие: одна вдоль вектора , а другая вдоль прямой, перпендикулярной вектору , то (из физики!) работу будет совершать только составляющая . Это значит, что работу силы на перемещении определяется выражением:

A=| |·| | =| |∙ ·| | =| |·| |∙ ,где – угол между векторами и .

Из выражения для вычисления работы силы на перемещении : A=| |·| |∙ сле-дуют требования к вектору силы и вектору – перемещения тела:

1) Векторы и – связанные, так как точкой их приложения является движущееся под действием силы тело.

2) При вычислении работы A важна только величина угла между векторами силы и перемещения, но не его знак.

Замечание: формула A=| |·| |∙ верна только для абсолютно твёрдого тела, так как допуще-ние возможных деформаций тела требовало бы учета работы, затрачиваемой на увеличение внутренней энергии тела!

Далее мы получим обобщение операции, применяемой к векторам и при вычисле-нии работы силы, причём такое, что векторы и – свободные и равноправные!

Из формулы A=| |·| |∙ следует: 1) А – число; 2) величины | | и | | входят в формулу симметрично: это определяется чётностью функции: .

Учитывая главный принцип математики – разрабатывать общие методы и модели, можно было бы, отвлекаясь от физического смысла векторов: и , определить для произвольных векторов и операцию:

∙ =| |∙| |∙ (1)и назвать её скалярным произведением векторов и .

Если векторы и заданы геометрически, то, с учётом доступной точности измерений, нетрудно получить длины векторов | |,| | и величину угла , то есть .

Обычно мы имеем дело с векторами, заданными в координатной форме, причём в прямоугольной системе координат: = + j+ k =( , , ) и = + j+ k =( , , ).

34

АГ: Глава 1

Чтобы вычислить скалярное произведение: ∙ для векторов, заданных координатами в прямоугольной системе координат, необходимо вычислить:

=a= , =b= , – = ,

=c= , = . (A)

Объём вычислений, указанных в (A), впечатляет!.. В линейной алгебре для векторов n-мерных линейных векторных пространств геометрическими образами не пользуются. Если

это практически невозможно. Да и сами векторы в алгебре, как правило, не являются геометрическими. Потому для векторов, заданных в координатной форме, в линейной алгебре определяют скалярное произведение формально:

∙ = + + . (2)Если сравнить объём вычислений в выражении (2) с объёмом вычислений, указанных в

(A), то предпочтительность определения скалярного произведения (2) очевидна. Если учитывать особенность совместного изучения аналитической геометрии и линейной алгебры, то выбор определения (2) скалярного произведения вполне оправдан.


Имеем векторы: = + j+ k = ( , , ), = + j+ k = ( , , ). Ска-

лярным произведением векторов и назовём число: ∙ = + + .

Замечание: следует иметь в виду: в Определении 1.5 векторы – базис трёхмерного, геометрического, пространства: единичные и взаимно перпендикулярные; далее мы увидим, что в случае использования произвольного базиса такого простого выражения для скалярного произведения не будет!

Попробуем применить принятое определение скалярного произведения в частном случае, когда = : = + + = → = .Так как не зависит от выбора системы координат, то все выражения (A) будут вычислены правильно, если применять для скалярного произведения выражение (2). Это значит, что вычисление скалярного произведения по определению (2) не противоречит определению (1). Далее мы докажем, что эти определения эквивалентны!

Из определения (2) скалярного произведения следуют свойства (учитывая свойства операций сложения и умножения для чисел!):

1*. ; 2*. ;3*. – не зависит от выбора

системы координат (!), так как = - квадрат длины вектора.

Учитывая свойство 3) скалярного произведения, выберем прямоугольную систему координат так, чтобы выражение скалярного произведения векторов и по первому определению было максимально простым: вектор направим по направлению оси OX, а вектор под углом к оси OX.

Из рисунка: =(| |; 0; 0), =(| | ; | | ; 0). Применяя определение (1.5) скалярного произведения, получим известное выражение:

∙ =| |∙| |∙ , (1)которое можно рассматривать как ещё одно определение скалярного произведения. Угол между векторами изменяется в диапазоне: 0≤ ≤ (напоминание!).

Пусть теперь определение скалярного произведения: ∙ =| |∙| |∙ первично. Очевидно, что свойства скалярного произведения: 1*÷3* выполняются и в этом случае. Используя это

35

АГ: Глава 1

определение, вычислим скалярное произведение для векторов = = + j+ k и = + j+k, заданных в прямоугольной системе координат :

· = · = + + ,

так как: · =1, · =1, · =1; · = · = · =0. Совместное использование двух определений скалярного произведения позволяет

получить важный для применения в векторном пространстве результат. Пусть используется не прямоугольная система координат и векторы , , - не ортогональные и не единичные. Вычислим скалярные произведения:

· = , · = , · = ; · = = = · ; · = = = · ; · = = · .

Пусть в системе координат, определяемой базисными векторами , , , заданы векторы: = и = . Используя свойства скалярного произведения векторов

, , вычислим их скалярное произведение:· = + (3)

+ = .

Сравнивая записи скалярного произведения в выражениях (2) и (3), видим, что выражение для скалярного произведения получается простейшим только в случае, если базисные векторы – единичные и взаимно перпендикулярные!

Вывод: оба определения скалярного произведения эквивалентны только в прямоугольной системе координат.

Полученные выражения скалярного произведения векторов и позволяют сразу расши-рить его область применения: так как скалярное произведение позволяет получить проекцию одного вектора на направление другого, то рассмотрим его применение в геометрии.

Из второго определения скалярного произведения векторов и очевидно следует фор-мула для вычисления проекции вектора на некоторую числовую ось OX (рисунок ниже):

Вычисление проекции век-тора на числовую ось OX:

Из выражения можно заметить также, что проекция вектора на на-правление может быть вычислена по формулам: или вектора на направление

: (рисунок ниже):

4*. → векторы и ортогональны и тогда + + =0; → угол φ между векторами и острый; → угол φ между векторами и тупой;

5*. , если ; , если .

Из второго определения скалярного произведения векторов и следуют также фор-мулы для вычисления проекций вектора на вектор , и наоборот:

= и = . (2)

36

АГ: Глава 1

Замечания: 1). Формула (1) получена из принятых для векторов аксиоматических понятий, с учётом использования прямоугольной системы координат.

2). Скалярное произведение векторов устанавливает в векторном пространстве понятие длины вектора, используя только алгебраические модели векторов!

Используя оба определения скалярного произведения, а также (1), получим формулу для вычисления угла между векторами и :

∙ = + + = ∙ → = = .

Представленные ниже задачи иллюстрируют использование скалярного произведения на плоскости и в пространстве.

☺☺Пример 1–18: Пусть имеем точки A=( , , ), B=( , , ). Требуется найти косинус угла между

отрезком AB и осями координат: а) A=(2,3,4) и B=(3,4,5); б) A=(–2,–3,–4) и B=(–3,–4,–5); в) A=(0,1,2) и B=(2,4,5).

Решение:

1). Воспользуемся формулой: = . Также учтём определение единичных векторов прямоугольной системы координат: =(1,0,0), =(0,1,0), =(0,0,1). Пусть вектор составляет с осями углы . Тогда:

= , = , = . (18.1)

2). Используя полученные формулы (18.1), вычислим:

а) =(1,1,1) → = = = ; б) AB=(–1,–1,–1) → = = =– ;

в) AB=(2,3,3) → = , = = . (18.2)

Ответ: выражения (18.2).

Пример 1–19: Пусть имеем точки A=( , , ) , B=( , , ), C=(сx,сy,сz). Найти высоту BD, опу-щенную из вершины B заданного треугольника на сторону АС: а) A=(2,3,0), B=(0,3,4), C=(5,0,6).

Решение: 0). Примем схему решения задачи: 1) определим векторы: = , = и вычислим их

модули: =а, =b; 2) вычислим AD = аb = и |аb| = d; 3) вычислим координаты точки D; 4)

определим вектор и вычислим его модуль =h – искомая высота треугольника ABC.1). Определив =(–2,0,4), =(3,–3,6), запишем: а =2 , b =3 .

2). Вычислим: ∙ =18, запишем: аb= = = .

3). Вычислим: = , следует: = =(1,–1,2)=D–A → D= A+ =(3,2,2).

4). Вычислим: = D–B=(3,–1,–2), следует: h = .

Замечание: вместо пунктов 3),4) можно воспользоваться теоремой Пифагора и вычислить высоту: h = = .

Ответ: h = .

Пример 1–20: Сторона ромба равна , две его противоположные вершины: P(3,–4), Q(1,2). Вы-числить длину высоты этого ромба.

37

АГ: Глава 1

Решение:

Воспользуемся эскизом:

1). Вычислим и далее .2). Вычисляем , по условию , и тогда (так как диагонали ромба

взаимно перпендикулярны!): → .

3). Учтем площадь ромба: , откуда → .

Ответ: .Пример 1–21: Вершины треугольника: А(– ,1), В(0, 2), С(–2 ,2). Вычислить его внешний угол

при вершине А.Решение:

Замечание: для вычисления внешнего угла треугольника не обязательно вычислять смежный внутренний угол, так как пара векторов и вполне определяет внешний угол. Это видим на рисунке ниже:


1). Вычислим и далее .

2). Тогда , откуда , и окончательно: .

Ответ: .

Пример 1–22: Даны две противоположные вершины квадрата A(3, 0), C(–4,1). Найти две его дру-гие вершины.

Решение:


1). Обозначим B(x,y) (и одновременно D(x,y)). Тогда . 2).Вычислим: =C–B=(–4–x,1–y), =A–B=(3–x,0–y), =C–A=(–7,1) .

3). Учитывая п. 1): → = x2–6x+ y2+9,

откуда достаточно просто получаем два решения: B=(x1, y1) = (0, 4) и D=(x2, y2) = (–1,–3).

Ответ: B=(x1, y1) = (0, 4) и D=(x2, y2) = (–1,–3).

38

АГ: Глава 1

Пример 1–23: Даны вершины треугольника A(–1,–1), B(3,5), С(–4,1). Найти точку пересечения биссектрисы его внешнего угла при вершине A с продолжением стороны ВС.

Решение:


1). Известно, что в обозначениях, показанных на рисунке, теоремы о биссектрисах внутрен-него и внешнего углов треугольника записываются одинаково (!), а именно:

2).Вычислим: = (3,5) –(–1,–1)=(4,6), C–A=(–4,1)–(–1,–1)=(–3, 2), после чего

найдем: , и затем: .

3). Так как AD=AC и =2, то AD=BD; также CD || AK (см. рис!), тогда получаем: BC=CK, или: , где C–B=(–7,–4), K – C; но тогда K=2C– B =2(–4,1) –(3,5) =(–11,–3)

Ответ: K= (–11,–3).

Пример 1–24: Прямая проходит через точки M(–6,5), N (2,–3). На этой прямой найти точку, орди-ната которой равна (–5).

Решение:

1). В обозначениях рисунка можем записать: или M–M0 =5(N–M0), откуда 4M0 =5N –

M =5(2,–3) –(–6,5)= (16, –20).2).После чего найдем: M0 = (4, –5).

Ответ: M0 = (4, –5).Пример 1–25: Точка M пересечения медиан

треугольника лежит на оси абсцисс, две его вершины: А (2,–3), В (–5,1), вершина C – на оси ординат. Определить координаты точек M, С.

Решение: Замечание: при построении рисунка не обязательно учитывать пропорции отрезков, так как

эти пропорции устанавливаются аналитическими выражениями и будут учтены в расчетах координат и длин отрезков!


39

АГ: Глава 1

1). В обозначениях рисунка и в соответствии с исходными данными можем записать: для точки (середина AB: все медианы пересекаются в одной точке M, и потому тоже

медиана!): .

2). Обозначим M =(a,0) и C =(0,y). По свойству медианы: , или, в координатной

форме: = (a,0)–(0,y)=(a, –y); . Из вектор-

ного равенства получаем: a = –1 и y = 2 . Окончательно: M = (–1, 0) и C = (0, 2).

Ответ: M = (–1, 0) и C = (0, 2).

Пример 1–26: Даны последовательные вершины однородной 4-угольной пластинки A(2, 1), В (5,3), С (–1,7), D (–7,5). Определить координаты центра масс пластины.

Решение:

Замечание: при нахождении центра масс (тяжести) используют принципы независимости действия сил и суперпозиции!


Схема решения задачи: 1) вычисляем площади S1 и S2 треугольников ABD и ; 2) находим точки O1 и O2 (точки пересечения медиан названных треугольников: из физики знаем, что в O1 и O2 располагаются центры масс однородных треугольников); 3) вычисляем координату центра масс (точки N) по известному «правилу равнодействующей».

1). Вычисляем: , откуда S1 = 15;

, откуда S2 = 18;

2). Координаты точки М вычислим как середину BD (МС и МА – медианы): 2M = D+B,

откуда .

3). Учитывая свойство медиан, вычисляем координаты точек O1 и O2: а) , откуда C– O1 = 2(O1–M) и далее: 3O1 = C+2M, или O1 =(–1,5); аналогично б) , откуда A–O2 = 2(O2–M) и далее: 3O2 = A+2M, или O2 = (0,3). .

4). Из физики: или , т.е. , откуда

(уравнение скобок, которые уже неоднократно использовались!) N= .

Ответ: N= .

40

АГ: Глава 1

Рассмотренные Примеры (1–18) (1–26) иллюстрирует великолепные возможности применения аналитических моделей в геометрии, то есть возможности аналитической геометрии! Решение большинства из представленных примеров только средствами элементарной геометрии вызвало значительные логические и вычислительные трудности.

☻§ 4. Обобщающие примеры по теме: «Простейшие понятия. Скалярное произведение»

Набор обобщающих Примеров соответствует требованиям «Семестрового плана» при изучении темы: «Простейшие понятия. Скалярное произведение». Эти Примеры предназначены закрепить навыки применения общих алгоритмов решений, установленных в поясняющих Примерах.

☺ ☻ ☺Пример 1–719: Построить в аксонометрической проекции следующие точки по их декартовым

координатам А(3,4,6), B(–5,3,1), C(1,–3,–5), D(0,–3,5), E(–3,–5,0), F(–1,–5,–3).Решение:

Замечания: 1) К сведению: О – начало координат (лат. – origo – начало), Ox – ось абсцисс (лат. – abscissa – отсеченная, отделённая), – ось ординат (лат. – ordinata – подряд проведённая), Oz – ось аппликат (лат. – applicata – приложенная).

2) При построении используем правую систему координат.

При построении всех заданных точек применяется одна и та же последовательность дей-ствий для произвольной точки N :

• отмечаем на оси Ox точку , где – координата проекции точки N на ось Ox; • проводим прямую, параллельную оси , и отмечаем на этой прямой точку ,

где – координата проекции точки N на ось ; • проводим прямую, параллельную оси Oz, и отмечаем на этой прямой точку N ,

где – координата проекции точки N на ось Oz.

Ответ: Результаты построения представлены на рисунке.

41

АГ: Глава 1

Пример 2–722: Даны четыре вершины куба A(–a,–a,–a), B(a,–a,–a), C , D . Определить остальные вершины.

Решение:

Замечания: 1) Т.к. в условии задачи требуется лишь определить (значит, просто представить записи точек M(x,y,z)), то ответ можно записать сразу: (a,a,–a), (a,–a,a), (–a,a,a), (–a,–a,a) – координаты остальных точек (простым перебором возможных вари-антов записи).

2) Мы употребим, все-таки, геометрические соображения и чертеж. Из чертежа легко «прочитывается» схема решения:

А(–a,–a,–a) → G: для получения точки G нужно поднять точку A над плоскостью OXY; т.е. заменить z = –a на z = a; это значит, что G(–a,–a, a);В(a,–a,–a) → H: для получения точки H нужно под-нять точку B над плоскостью OXY; то есть заменить z = –a на z = a; это значит, что H (a,–a, a);C(–a, a,–a) → F: для получения точки F нужно под-нять точку C над плоскостью OXY; т.е. заменить z = –a на z = a; это значит, что F(–a, a, a);D(a, a, a) → E: для получения точки E нужно опустить точку D под плоскость OXY; т.е. заменить z = a на z = –a; это значит, что E ( a, a, –a).

Ответ: текст: точки E , F , G , H .

Пример 3–739: Даны три вершины параллелограмма : А(3,–4, 7), B(–5, 3,–2), C(1, 2,–3). Найти четвертую вершину D, противоположную B.

Решение:

Для решения задачи удобно (хотя не обязательно!) воспользоваться эскизом параллелограмма:

Учитывая свойство: противоположные стороны параллелограмма равны, а также определение равенства векторов, можем записать: . Далее следует:

B –A = C –D → = (3,–4, 7) + (1, 2,–3) – (–5, 3,–2) = (9,–5, 6).

Ответ: D = (9,–5, 6).

Пример 4–741: Отрезок прямой, ограниченный точками: А(–1, 8, 3) и B(9,–7,–2) разделен точками C, D, E, F на пять равных частей . Найти координаты этих точек.

Решение: 1). Координаты точки C вычислим из векторного равенства :

.

2). Координаты точки D вычислим из векторного равенства: : .

3). Координаты точки E вычислим из векторного равенства: : .

4). Координаты точки F вычислим из векторного равенства :.

Ответ: в тексте координаты точек C,D,E,F.Пример 5–761: По данным векторам и построить каждый из следующих векторов: 1) ,

2) , 3) , 4) .Решение:

42

АГ: Глава 1

Замечания: 1). Из условия следует, что изображение заданных векторов произвольно, хотя и не должно отражать некоторый частный случай (включать нулевые или коллинеарные векторы!).

2). При решении задачи целесообразно применять одновременно оба определения суммы векторов (правило «параллелограмма» и правило «треугольника»), а также замену раз-ности векторов суммой: .

3). При оформлении решений важно («технологично») пользоваться ссылками на уже имеющиеся (и оформленные!) результаты.

На рисунке видим:1) - диагональ параллелограмма («большая»).2) - диагональ параллелограмма («малая»).3) . 4) .

Ответ: решение оформлено рисунками.

Пример 6–765: Векторы и образуют угол = 600 , причем , . Определить и .

Решение: 1). Учитывая свойства скалярного произведения, запишем:

, после чего

.2). Аналогично, запишем:

, после чего

.Ответ: , .

Пример 7–795: Векторы и образуют угол . Зная, что , вычислить: 1) , 2)

, 3) , 4) , 5) , 6) , 7) .Решение: Воспользуемся результатами Примера 6–765, а также всеми промежуточными результатами на-стоящего Примера:

1). ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) .

Ответ: 1) =–6, 2) =9, 3) =16, 4) =13, 5) =–61,

6) =37, 7) =73.

43

АГ: Глава 1

Пример 8–796: Векторы и взаимно перпендикулярны; вектор образует с ними углы, равные

. Зная, что , и вычислить: 1) , 2) , 3)

.

Решение:

Воспользуемся результатами Примера 6–765, а также всеми промежуточными результатами на-стоящего Примера:

1). ;2). ;3). , после подстановки исходных данных:

.

Ответ: 1) =–62, 2) =162, 3) =373.

Пример 9–797: Доказать справедливость тождества: .Решение:

1). Геометрический смысл тождества: так как и - диагонали параллелограмма, построенного на векторах и , то можно воспользоваться известным тождеством: «сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон».

2). Запишем формальное доказательство тождества: достаточно раскрыть скобки левой части и привести подобные члены полученного выражения!

Ответ: в тексте подробно.

Пример 10–804: Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы вектор был перпендикулярен вектору ?

Решение: 1). Геометрический смысл тождества: так как и - диагонали параллелограмма,

построенного на векторах и , то из условия их перпендикулярности сразу получаем: векторы и должны определять стороны ромба, то есть .

2). Запишем формальное доказательство тождества: → .

Ответ: .

Пример 11–818: Определить, при каком значении векторы = и = вза-имно перпендикулярны.

Решение: 1). Воспользуемся формулой: .2). В нашем случае: .3). Тогда: = –6.

Ответ: = –6. ☻

Вопросы для самопроверки :

1. Что значит «вектор равен вектору »? 2. Что значит «векторы и – коллинеарны»? 3. Что значит «векторы и – компланарны»?4. Верно ли утверждение «угол между двумя векторами и изменяется в диапазоне [0; 3600] »? Почему?5. Как, используя векторы, определить внутренний и внешний углы треугольника АВС для вершины А?6. Заданы векторы и . Как графически изображается их сумма? 7. Заданы векторы и . Как графически изображается их разность? 8. Векторы , , используют как базис. Что можно сказать о векторах , , ? 9. Что такое «модуль вектора»?

10. Верно ли равенство ?

11. Почему , если ?

44

АГ: Глава 1

12. Какой физический смысл «скалярного произведения»?

Задачи для самоподготовки :

Пример 1–720: Найти координаты проекций точек A(4, 3, 5), B(–3, 2, 1), C(2,–3, 0) и D(0, 0,–3) 1) на плоскость Oxy; 2) на плоскость

; 3) на плоскость ; 4) на ось абсцисс; 5) на ось ординат; 6) на ось аппликат.

Ответ: В соответствии с рисунком:

1). = (4,3,0), = (–3,2,0), = (2,–3,0), = (0,0,0).2). = (4,0,5), = (–3,0,1), = (2, 0, 0), = (0,0,–3).3). = (0,3,5), = (0 ,2,1), = (0,–3,0), = (0,0,–3).4). = (4,0,0), = (–3,0,0), = (2, 0, 0), = (0,0, 0).5). = (0,3,0), = (0, 2, 0), = (0,–3, 0), = (0,0, 0).6). = (0,0,5), = (0, 0, 1), = (0, 0, 0), = (0,0,–3).

Пример 2–723: В каких октантах могут быть расположены точки, координаты которых удовлетворяют одному из следующих условий: 1) = 0; 2) = 0; 3) = 0; 4) = 0; 5) = 0; 6) = 0.

Ответ: каждое из приведенных условий определяет в пространстве плоскость:1). Плоскость || и содержит прямую y = x → октанты 1, 3, 5, 7;2). Плоскость || и содержит прямую y = –x → октанты 2,4, 6, 8;3). Плоскость || и содержит прямую z = x → октанты 1, 4, 6, 7;4). Плоскость || и содержит прямую z = –x → октанты 2, 3, 5, 8;5). Плоскость || и содержит прямую z = y → октанты 1, 2, 7, 8;6). Плоскость || и содержит прямую z = –y → октанты 3, 4, 5, 6;

Пример 3–728: Доказать, что треугольник с вершинами (3,–1, 2), (0,–4, 2), (–3, 2, 1) равнобедренный.

Ответ: равнобедренный: = .

Пример 4–736: Даны вершины треугольника (2,–1, 4), (3, 2,–6), (–5, 0, 2) . Вычислить длину его медианы, проведенной из вершины .

Ответ: = 7.

Пример 5–738: Даны две вершины параллелограмма : (2,–3,–5), (–1, 3, 2) и точка пересечения его диагоналей (4, -1, 7). Определить две другие вершины параллелограмма.

Ответ: =(6, 1, 19); = (9, –5, 12).

Пример 6–742: Определить координаты концов отрезка, который точками (2, 0, 2); (5,–2, 0) разделен на три равные части.

Ответ: =(–1, 2, 4); = (8,–4,–2).

Пример 7–762: Даны , и . Вычислить .

Ответ: .

Пример 8–766: Векторы и образуют угол причем , . Определить: и .

Ответ: и .

45

АГ: Глава 1

Пример 9–805: Доказать, что вектор перпендикулярен к вектору .

Ответ: доказано: =0.

Пример 10–820: Даны вершины треугольника: (–1,–2, 4), (–4,–2, 0) и (3,–2, 1). Определить его внутренний угол при вершине .

Ответ: = 450.

< * * * * * >

46

Documents

AG-2011-Glava-1