Agata Fronczak i Piotr Fronczak

Wydział Fizyki Politechniki Warszawskiej

Błądzenie przypadkowe i procesy transportu w sieciach złożonych

Seminarium DUZ(8 października 2007r)

Transport i wyszukiwanie w sieciach złożonych

1 / 17

Metody wyszukiwania w sieciStrategie efektywnego routingu

Sieci telekomunikacyjne, np. Internet Sieci transportowe, np. sieci połączeń lotniczychSieci społeczne

Autorzy, którzy zajmowali się tymi zagadnieniami:

Adamic & Humerman, Tadic & Rodgers & Thurner,Kim et al.Germano & Moura,Redner et al.,Havlin & Stanley et al.,Holme et al.,Rosvall & Sneppen,Motter et al.,Bianconi & Marsili,Goh et al., W.-X. Wang et al., Phys. Rev. E 73, 026111 (2006) (…)

W większości przypadków w podstaw tych zagadnień leży proces błądzenia przypadkowego.

Ruch pakietów w sieci złożonej

Model ruchu pakietów w sieci złożonej

1. W każdym kroku czasowym w sieci generowanych jest R pakietów. Każdemu pakietowi losowo przypisywany jest węzeł-nadawca oraz węzeł-odbiorca.

2. W kolejnych krokach czasowych pakiety poruszają się po sieci w poszukiwaniu swoich węzłów-odbiorców. Gdy pakiet dociera do miejsca swego przeznaczenia jest usuwany z sieci.

3. Ruch pakietów po sieci odpowiada preferencyjnemu błądzeniu przypadkowemu z cyklicznym przeszukiwaniem.

4. Wszystkie węzły w sieci mają ograniczoną szybkość pracy tj. w jednym kroku czasowym potrafią przesłać dalej co najwyżej C pakietów.

5. Na węzłach obowiązuje kolejka FIFO o nieograniczonej długości.

preferencyjne błądzenie przypadkowe: prawdopodobieństwo przejścia między węzłami i oraz j

przeszukiwanie cykliczne:każdy węzeł zna swoje najbliższe otoczenie do głębokości x.

Traffic dynamics based on local routing protocol on a scale-free network W.X. Wang et al.,, Phys. Rev. E 73, 026111 (2006)

2 / 17

Przejście fazowe ze stanu swobodnego przepływu do stanu przepełnienia

Podstawowa obserwacja

Dla pewnej wartości parametru RC(), w sieci obserwujemy ciągłe przejście fazowe ze stanu cechującego swobodny przepływ pakietów do stanu, w którym sieć jest przepełniona.

Free Flow Traffic Jam

Parametr porządku tego przejścia fazowego

Gdzie zmiana liczby pakietów w sieci, przy czym <…> oznacza uśrednienie po różnych oknach czasowych .

Phys. Rev. Lett. 86, 3196 (2001).

3 / 17

Faza przepełnienia Faza swobodnego przepływu

W stanie przepełnienia: liczba pakietów w sieci rośnie liniowo w czasie.

Stan swobodnego przepływu: średnia liczba pakietów na węźle o stopniu k

4 / 17

Krytyczna wartość tempa generacji pakietów RC()

Strategia antypreferencyjna – najefektywniejsza !?

5 / 17

Zwykłe błądzenie przypadkowe – najefektywniejsze!?

Błądzenie przypadkowe z dryftem – Biased random walks

x x+1 x+2 x+4 x+5 x-4 x-3 x-2 x-1

p q=1-p

Równanie Master:

Rozwiązanie równania:

rozkład dwumianowy

w granicy długich czasów – rozkład normalny

prawdopodobieństwo, że cząstka znajduje się w pozycji x po N krokach czasowych;

warunek początkowy;

6 / 17

Błądzenie przypadkowe w wielowymiarowych sieciach regularnych

Polya, 1921

Random walk in dimensions 1 and 2 is recurrent, while in dimension 3 and above it is transient.

Błądzenie przypadkowe na łańcuchu węzłów (d=1) i na sieci kwadratowej (d=2) ma charakter rekurencyjny. Prawdopodobieństwo, że cząstka kiedyś powróci do punktu z którego wyszła, jest równe 1. W przypadku sieci kwadratowej czas powrotu =. Proces stochastyczny ze stanami powtarzającymi się

Dla d3 błądzenie przypadkowe ma charakter przejściowy. Prawdopodobieństwo powrotu <1. Proces stochastyczny ze stanami chwilowymi.

7 / 17

Błądzenie przypadkowe na sieciach złożonych

J.D. Noh, H. Reiger, Random walks on complex networks Phys. Rev. Lett. 92, 118701 (2004)

Prawdopodobieństwo przejścia cząstki z węzła i do węzła j (transition probability)

Prawdopodobieństwo, że w czasie t cząstka będzie się znajdowała w węźle i o stopniu ki (stationary occupation probability)

Idea centralności węzłów: różnica czasów przejścia miedzy węzłami i oraz j

gdzie Ci – tzw. random walk centrality

i

j

8 / 17

Błądzenie przypadkowe z dryftem na sieciach złożonychBiased random walks on complex networks

A.Fronczak, P. FronczakBiased random walks on complex networks: the role of local navigation rulesarxiv:0709.2231 (wrzesień 2007)

1. preferencyjne prawdopodobieństwo przejścia z węzła i do węzła j

Lokalne reguły rozważane przy błądzeniu przypadkowym:

2. przeszukiwanie cykliczne (cyclic search): jeśli węzeł docelowy cząstki został znaleziony w odległości x=1,2,… od węzła, w którym cząstka aktualnie przebywa, wtedy w następnych krokach czasowych cząstka zmierza bezpośrednio do miejsca przeznaczenia.

9 / 17

węzeł docelowy

cząstka błądząca po sieci

węzeł j + jego najbliższe otoczenie

j

x=1

Stacjonarne prawdopodobieństwo obsadzenia węzłów

Równanie Master:

prawdopodobieństwo, że cząstka, która wyruszyła w czasie t=0 z węzła i, w czasie t będzie przebywała w węźle j

Stosując przybliżenie średniego pola do równania Master

oraz zakładając brak korelacji międzywęzłowych w sieciach

dostajemy

10 / 17

Zagadnienie pierwszego przejściaFirst-passage processes

Prawdopodobieństwo pierwszego-przejścia

tj. prawdopodobieństwo, że cząstka, która rozpoczyna błądzenie po sieci od węzła i po raz pierwszy trafi do węzła j w chwili t

Stosując transformatę Laplace’a do powyższego równania

dostajemy znaną zależność

Następnie podstawiając do zależności (♠) poniższe wyrażenie

gdzie

(♠) i rozwijając (♠) w szereg potęgowy otrzymujemy wzory opisujące średnie czasy pierwszego przejścia błądzącej cząstki z węzła i do węzła j

11 / 17

Średnie czasy pierwszego powrotu

Uśrednione po wszystkich węzłach czasy pierwszego powrotu są najkrótsze przy strategii =-1.

Oznacza to, że ta strategia skutkuje najwolniejszą eksploracją sieci!

12 / 17

Średnie czasy pierwszego przejścia między węzłami sieci

13 / 17

Przeszukiwanie cykliczne

znormalizowany węzeł J

j J gdzie reprezentuje średni stopień najbliższego sąsiada, natomiast x jest parametrem przeszukiwania cyklicznego

Stopień znormalizowanego węzła J

Średni czas pierwszego przejścia z węzła i do węzła j przy cyklicznym przeszukiwaniu, jest równy

gdzie odpowiednie parametry TiJ RiJ RJJ odnoszą się do sieci, w której węzeł j wraz z jego najbliższym x-otoczeniem zastąpiono znormalizowanym węzłem J o stopniu kJ

14 / 17

węzeł docelowy

cząstka błądząca po sieci

węzeł j + jego najbliższe otoczenie

x=1

Ruch pakietów w sieci złożonej – założenie o niezależności pakietów

Założenie: W stanie swobodnego przepływu pakiety w sieci można traktować jak niezależne cząstki.

Fig. Średnia liczba pakietów na węźle o stopniu k

Fig. Stacjonarny rozkład prawdopodobieństwa obsadzenia węzła przez cząstkę błądzącą przypadkowo wg strategii .

15 / 17

Oszacowanie krytycznej wartości tempa generacji pakietów RC()

Niech:

średni czas pierwszego przejścia z węzła i do j przy zadanej strategii.

Wtedy:

średnia liczba pakietów w sieci w każdym kroku czasowym przy założeniu, że pakiety są niezależne

Krytyczna wartość tempa generacji pakietów:

Sieć zaczyna się zapychać wtedy, gdy liczba pakietów na dowolnym węźle sieci przekracza jego zdolność przetwórczą C

dla >-1 zapychają się węzły dużedla <-1 zapychają się węzły małe dla =-1 wszystkie węzły mają jednakowe prawdopodobieństwo zapchania

16 / 17

To już koniec !

Podsumowanie

Wykonaliśly analizę błądzenia przypadkowego w sieciach złożonych; Rozważaliśmy następujące lokalne reguły nawigacji:

* preferencyjne prawdopodobieństwo przejścia * przeszukiwanie cykliczne;

Pokazaliśmy, że w stanie swobodnego przepływu pakietów w sieciach łożonych pakiety można traktować jak cząstki nie oddziałujące ze sobą;

Podejście niezależnych cząstek umożliwiło nam wyznaczenie krytycznej wartości tempa generacji pakietów;

Rozliczyliśmy grant MiNI !?

17 / 17