ÑAÏI SOÁ VAØ HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH 2 · PDF fileHöôùng daãn sinh vieân ñoïc giaùo trình Ñaây laø giaùo trình Ñaïi soá vaø Hình hoïc Giaûi tích 2 daønh

TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑAØ LAÏT KHOA TOAÙN - TIN HOÏC

TAÏ LEÂ LÔÏI

ÑAÏI SOÁ VAØ HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH 2 (Giaùo Trình)

-- Löu haønh noäi boä -- Ñaø Laït 2008

Höôùng daãn sinh vieân ñoïc giaùo trình

Ñaây laø giaùo trình Ñaïi soá vaø Hình hoïc Giaûi tích 2 daønh cho sinh vieân naêm thöù nhaátngaønh Toaùn hay ngaønh Toaùn Tin. Ñaây laø phaàn noái tieáp cuûa giaùo trình Ñaïi soá vaø Hìnhhoïc Giaûi tích 1, noäi dung ñeà caäp ñeán moät soá khaùi nieäm vaø keát quaû cô baûn nhaát cuûañaïi soá tuyeán tính: daïng ñöôøng cheùo cuûa töï ñoàng caáu, khoâng gian Euclid, daïng songtuyeán tính. Ngoaøi ra, giaùo trình neâu ra moät soá aùp duïng cuûa ñaïi soá tuyeán tính vaøo hìnhhoïc Affin vaø hình hoïc Euclid: caùc pheùp bieán hình, ñöôøng maët baäc 2. Ñeå ñoïc ñöôïcgiaùo trình naøy sinh vieân caàn coù caùc kieán thöùc cô baûn nhaát cuûa giaùo trình Ñaïi soá vaøHình hoïc 1. Ngöôøi ñoïc laàn ñaàu neân ñoïc laàn löôït theo thöù töï ñöôïc trình baøy trong giaùotrìnhï.

Ñeå ñoïc moät caùch tích cöïc, sau caùc khaùi nieäm vaø ñònh lyù sinh vieân neân ñoïc kyõ caùc víduï, laøm moät soá baøi taäp neâu lieàn ñoù. Neân döïa vaøo tröïc quan ñeå trôï giuùp vieäc tö duykhaùi quaùt vaø tröøu töôïng. Ngoaøi ra hoïc toaùn phaûi laøm baøi taäp. Moät soá baøi taäp caên baûnnhaát cuûa moãi chöông ñöôïc neâu ôû phaàn cuoái cuûa giaùo trình.

Veà nguyeân taéc neân ñoïc moïi phaàn cuûa giaùo trình. Tuy vaäy, coù theå neâu ôû ñaây moät soáñieåm caàn löu yù ôû töøng chöông:

VI. Cheùo hoaù. Coù theå boû muïc 3.6 veà phöông trình sai phaân.VII. Khoâng gian vector Euclid. Coù theå boû phaàn aùp duïng ôû muïc 2.3, 2.4, øÑònh lyù 3.6.VIII. Daïng toaøn phöông. Coù theå boû thuaät toaùn Lagrange döôùi daïng ma traän ôû muïc3.3, coâng thöùc Jacobi 3.8.IX. AÙp duïng vaøo hình hoïc. Laàn ñaàu ñoïc coù theå löôùt qua vieäc moâ taû caùc pheùp bieánñoåi ôû phaàn 2.

Ñeå vieäc töï hoïc coù keát quaû toát sinh vieân neân tham khaûo theâm moät soá taøi lieäu khaùc coùnoäi dung lieân quan (ñaëc bieät laø phaàn höôùng daãn giaûi caùc baøi taäp). Khoù coù theå neâu heáttaøi lieäu neân tham khaûo, ôû ñaây chæ ñeà nghò caùc taøi lieäu sau (baèng tieáng Vieät):

[1] Jean-Marier Monier, Ñaïi soá 1 vaø 2 , NXB Giaùo duïc.[2] Jean-Marier Monier, Hình hoïc , NXB Giaùo duïc.[3] Leâ Tuaán Hoa, Ñaïi soá tuyeán tính qua caùc ví duï & baøi taäp, NXB Ñaïi hoïc Quoác giaHaø noäi.

Ngoaøi ra, sinh vieân neân tìm hieåu vaø söû duïng moät soá phaàn meàm maùy tính hoã trôï chovieäc hoïc vaø laøm toaùn nhö Maple, Mathematica,...

Chuùc caùc baïn thaønh coâng!

Ñaïi soá vaø Hình hoïc giaûi tích 2

Taï Leâ Lôïi

Muïc luïc

Chöông VI. Cheùo hoùa1. Chuyeån cô sôû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Vector rieâng - Gía trò rieâng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43. Daïng ñöôøng cheùo - Cheùo hoùa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Chöông VII. Khoâng gian vector Euclid1. Khoâng gian vector Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112. Moät soá öùng duïng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183. Toaùn töû tröïc giao - Ma traän tröïc giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224. Toaùn töû ñoái xöùng - Cheùo hoùa tröïc giao ma traän ñoái xöùng . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Chöông VIII. Daïng song tuyeán tính - Daïng toaøn phöông1. Daïng song tuyeán tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312. Daïng toaøn phöông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323. Daïng chính taéc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Chöông IX. AÙp duïng vaøo hình hoïc1. Caáu truùc affin chính taéc cuûa moät khoâng gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432. Moät soá aùnh xaï affin thoâng duïng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473. Ñöôøng, maët baäc 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Baøi taäp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

VI. Cheùo hoùa

Toïa ñoä moät vector hay ma traän bieåu dieãn cuûa moät aùnh xaï tuyeán tính laø phuï thuoäc vaøocô sôû. Chöông naøy chuùng ta quan taâm ñeán moái quan heä cuûa caùc bieåu dieãn ñoù trongcaùc cô sôû khaùc nhau. Ñaëc bieät, baøi toaùn tìm cô sôû “toát” ñeå moät aùnh tuyeán tính coù matraän bieåu dieãn daïng ñôn giaûn (ñeå coù thoâng tin roõ raøng veà maët ñònh tính cuõng nhö ñònhlöôïng cho aùnh xaï naøy) ñöôïc giaûi quyeát moät phaàn. Cuï theå, chöông naøy cho lôøi giaûicuûa caâu hoûi: khi naøo moät pheùp bieán ñoåi tuyeán tính coù ma traän bieåu dieãn trong cô sôûnaøo ñoù coù daïng ñöôøng cheùo? thuaät toaùn tìm cô sôû ñoù?. Moät vaøi öùng duïng neâu ôû cuoáichöông nhö giaûi phöông trình sai phaân hay xeùt daõy ñeä qui tuyeán tính.

1. Chuyeån cô sôû

Baøi toaùn 1: Cho B vaø C laø caùc cô sôû cuûa khoâng gian vector V . Khi ñoù moãi x ∈ V coùtoïa ñoä theo B, maët khaùc cuõng coù toïa ñoä theo C.Tìm moái quan heä giöõa toïa ñoä “cuõ” xB vaø “môùi” xC cuûa x ∈ V .

1.1 Ma traän chuyeån cô sôû. Cho B = (e1, · · · , en) vaø C = (f1, · · · , fn) laø caùccô sôû cuûa V . Khi ñoù

f1 = p11e1 + p21e2 + · · · + pn1en

f2 = p12e1 + p22e2 + · · · + pn2en...

...fn = p1ne1 + p2ne2 + · · · + pnnen

i.e. fj =n∑

i=1

pijei , hay (fj)B =

p1j...pnj

(j = 1, · · · , n).

Ma traän chuyeån cô sôû B sang C ñöôïc ñònh nghóa:

P = ((f1)B · · · (fn)B) = (pij)n×n

Nhaän xeùt.• Theo pheùp nhaân ma traän, coù theå vieát (f1 · · · fn) = (e1 · · · en)P hay C = BP .• Töø ñònh nghóa cuûa ma traän bieåu dieãn cuûa aùnh xaï idV , ta coù P = MB

C (id).• Do MC

B(id)MBC (id) = MC

C (id) = I, neân P laø ma traän khaû nghòch vaø ma traän chuyeåncô sôû töø C sang B chính laø P−1 = MC

B(id).Sô ñoà tìm ma traän chuyeån cô sôû B = (e1, · · · , en) sang C = (f1, · · · , fn) trong Kn:Duøng thuaät toaùn Gauss-Jordan, ta coù

(e1 · · · en|f1 · · · fn) → (I|P ), P = MBC (id)

Coâng thöùc chyeån cô sôû. Khi vieát x = id(x), ta coù xB = MBC (id)xC . Vaäy heä thöùc lieân

heä giöõa caùc toïa ñoä cuûa x trong caùc cô sôû treân:

xB = PxC vaø xC = P−1xB

2

Ví duï. Trong R2 cho cô sôû (e1, e2). Khi ñoù:Neáu chuyeån qua cô sôû (e2, e1), thì coâng thöùc chuyeån toïa ñoä (cuõ theo môùi) laø{

x1 = x′2x2 = x′1

Neáu chuyeån qua cô sôû (k1e1, k2e2), thì coâng thöùc chuyeån toïa ñoä laø{x1 = k1x

′1

x2 = k2x′2

Neáu chuyeån qua cô sôû (e′1, e′2) laø quay cuûa (e1, e2) moät goùc ϕ, thì coâng thöùc chuyeåntoïa ñoä laø {

x1 = cosϕ x′1 − sinϕ x′2x2 = sinϕ x′1 + cosϕ x′2

1.2 Ma traän bieåu dieãn aùnh xaï tuyeán tính trong caùc cô sôû khaùc nhau.Gæa söû f : V → V ′ laø aùnh xaï K-tuyeán tính.Goïi P laø ma traän chuyeån côû sôû B sang C cuûa V .Goïi Q laø ma traän chuyeån cô sôû B′ sang C′ cuûa V ′.Khi ñoù

MC′C (f) = Q−1MB′

B (f)P

Chöùng minh: Coâng thöùc treân suy töø moái lieân heä giöõa hôïp aùnh xaï tuyeán tính vaø tíchma traän, vaø ñònh nghóa:

MC′C (f) = MC′

C (id ◦ f ◦ id) = MC′B′ (id)MB′

B (f)MBC (id) = Q−1MB′

B (f)P �

1.3. Meänh ñeà. Cho f : V → V ′ laø aùnh xaï K-tuyeán tính giöõa caùc khoâng gian höõu haïnchieàu vaø rankf = r. Khi ñoù toàn taïi côû sôû B cuûa V vaø B′ cuûa V ′ sao cho ma traän bieåudieãn f coù daïng

MB′B (f) =

(Ir 00 0

).

Theo ngoân ngöõ ma traän, khaúng ñònh treân töông ñöông vôùi khaúng ñònh sau:

Cho A ∈ MatK(m,n) vaø rankA = r. Khi ñoù toàn taïi caùc ma traän khaû nghòchP ∈ GLK(n), Q ∈ GlK(m), sao cho:

Q−1AP =

(Ir 00 0

).

Chöùng minh: Goïi (er+1, · · · , en) laø cô sôû cuûa Kerf . Goïi B = (e1, · · · , er, er+1, · · · , en)laø cô sôû cuûa V ñöôïc xaây döïng baèng caùch boå sung heä vector ñaõ cho. Khi ñoù heä(f(e1), · · · , f(er)) laø cô sôû cuûa Imf . Goïi B′ laø cô sôû cuûa V ′ ñöôïc xaây döïng baèngcaùch boå sung heä ñoù. Deã thaáy caùc cô sôû vöøa xaây döïng coù tính chaát caàn tìm.Coù theå chöùng minh meänh ñeà döôùi daïng ma traän (xem I.2.8). �

Chöông VI. Cheùo hoùa 3

Nhaän xeùt.• Cho A,A′ ∈MatK(m,n). Xeùt quan heä sau:

A ∼ A′ ⇔ ∃P ∈ Glk(n), Q ∈ GlK(m) : A′ = Q−1AP

Khi ñoù ∼ laø quan heä töông ñöông treân MatK(m,n).Theo meänh ñeà treân ta coù: A ∼ A′ khi vaø chæ khi rankA = rankA′.• Meänh ñeà treân cho thaáy neáu löïa choïn caùc cô sôû thích hôïp, thì vieäc ñònh tính cuõngnhö ñònh löôïng aùnh xaï tuyeán tính trôû neân roõ raøng, thuaän lôïi. Chaúng haïn:Neáu r = n = dimV , thì n ≤ m vaø f coù tính chaát nhö pheùp nhuùng:

Kn � (x1, · · · , xn) → (x1, · · · , xn, 0, · · · , 0) ∈ Kn ×O ⊂ Kn ×Km−n.

Neáu r = m = dimV ′, thì m ≤ n vaø f coù tính chaát nhö pheùp chieáu:

Km ×Kn−m � (x1, · · · , xm, · · · , xn) → (x1, · · · , xm) ∈ Km.

Phaàn coøn laïi cuûa chöông naøy ta quan taâm ñeán baøi toaùn sau:

Baøi toaùn 2: Cho f : V → V laø moät töï ñoàng caáu tuyeán tính. Tìm côû sôû B cuûaV sao cho ma traän bieåu dieãn cuûa f trong cô sôû ñoù, MB

B (f), coù daïng ñôn giaûn (chaúnghaïn, daïng ñöôøng cheùo), ñeå coù thoâng tin roõ hôn veà f , vaø tính toaùn deã daøng hôn.

Nhaän xeùt. A vaø A′ laø caùc ma traän bieåu dieãn cuûa cuøng moät aùnh xaï tuyeán tính ftrong caùc cô sôû khaùc nhau khi vaø chæ khi A′ = P−1AP (vôùi P laø ma traän chuyeån côsôû). Töø ñoù, ngöôøi ta ñöa ra khaùi nieäm:

1.4 Ma traän ñoàng daïng. A,A′ ∈ MatK(n) goïi laø ñoàng daïng neáuu toàn taïi matraän khaû nghòch P sao cho A′ = P−1AP .

Nhaän xeùt. Quan heä “ñoàng daïng” laø quan heä töông ñöông treân MatK(n).Theo ngoân ngöõ ma traän, baøi toaùn treân töông ñöông vôùi baøi toaùn:

Baøi toaùn 2’: Cho ma traän vuoâng A. Tìm ma traän khaû nghòch P sao cho P−1APcoù daïng ñôn giaûn.

Ví duï. Cho aùnh xaï tuyeán tính f : R2 → R2,

(xy

)→(

2x− y−x+ 2y

).

Hoûi: f thöïc hieän pheùp bieán ñoåi hình hoïc? (chaúng haïn, tìm aûnh cuûa hình troøn, hìnhvuoâng,... qua f ). Tính Ak ?

Ma traän bieåu dieãn f trong cô sôû chính taéc laø A =

(2 −1

−1 2

).

Trong cô sôû chính taéc vieäc ñònh tính f hay tính toaùn döïa treân A khoâng thuaän lôïi.Thay vì cô sôû chính taéc, neáu choïn cô sôû (f1 = (1, 1), f2 = (−1, 1)), thì ma traän bieåu

dieãn f trong cô sôû ñoù laø ma traän ñöôøng cheùo A′ =

(1 00 3

).

4

Nhö vaäy, trong cô sôû môùi f coù daïng

(XY

)→(

X3Y

), laø pheùp daõn 3 laàn theo

truïc OY (chaúng haïn aûnh cuûa ñöôøng troøn taâm O laø ellip). Coøn vieäc tính Ak coù theåchuyeån veà tính A′k ñôn giaûn hôn nhieàu.

��f2

��

��

��

��

��f1

��

��

��

��

XY

x

y

�f

��f1

��

��

��

��

��

��

3f2

��

��

��

��

��

��

��

X

Y

Vieäc tìm moät cô sôû nhö ví duï treân seõ ñöôïc trình baøy tieáp sau ñaây.

2. Vector rieâng - Giaù trò rieâng

2.1 Ñònh nghóa. Cho f ∈ LK(V, V ) vaø A ∈MatK(n).λ ∈ K goïi laø gía trò rieâng cuûa f neáuu toàn taïi x ∈ V, x �= 0, sao cho f(x) = λx .λ ∈ K goïi laø gía trò rieâng cuûa A neáuu toàn taïi x ∈ Kn, x �= 0, sao cho Ax = λx .Khi ñoù x goïi laø vector rieâng öùng vôùi gía trò rieâng λ.

Nhaän xeùt. λ ∈ K laø gía trò rieâng cuûa A khi vaø chæ khi phöông trình thuaàn nhaát(A − λI)x = 0 coù nghieäm khoâng taàm thöôøng. Töø ñoù ñeå tìm giaù trò rieâng vaø vectorrieâng, ta döïa vaøo meänh ñeà sau:

Meänh ñeà. Cho A ∈MatK(n). Khi ñoù(i) λ ∈ K laø giaù trò rieâng cuûa A khi vaø chæ khi det(A− λI) = 0.(ii) x laø vector rieâng öùng vôùi gía trò rieâng λ khi vaø chæ khi x laø nghieäm khoâng taàmthöôøng cuûa phöông trình thuaàn nhaát: (A− λI)x = 0.

2.2 Ña thöùc ñaëc tröng. PA(λ) = det(A − λI) goïi laø ña thöùc ñaëc tröng cuûaA ∈MatK(n).

Daïng cuûa ña thöùc ñaëc tröng: Tính ñònh thöùc ta coù

PA(λ) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 − λ a12 · · · a1n

a21 a22 − λ · · · a2n...

. . ....

an1 an2 · · · ann − λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (−1)nλn + an−1λ

n−1 + · · · + a0.

Caùc soá haïng baäc n vaø n−1 chính laø soá haïng baäc töông öùng trong (a11−λ) · · · (ann−λ).Vaäy heä soá baäc n laø (−1)n, vaø heä soá baäc n− 1 laø an−1 = (−1)n−1(a11 + · · · + ann).


Kyù hieäu Tr(A) = a11 + · · · + ann (toång caùc phaàn töû ñöôøng cheùo) goïi laø veát cuûa A.Khi cho λ = 0, PA(0) = detA. Vaäy a0 = detA.

2.3 Meänh ñeà. Neáu A′ ñoàng daïng vôùi A, thì PA′(λ) = PA(λ).Ñaëc bieät, khi ñoù Tr(A) = Tr(A′), detA = detA′.

Chöùng minh: Neáu A′ = P−1AP , thì

PA′(λ) = det(P−1AP − λI) = det(P−1(A− λI)P )= detP−1 det(A− λI) detP = det(A− λI) = PA(λ)

Ñoàng nhaát caùc heä soá baäc n− 1 vaø baäc 0, ta coù tính baát bieán cuûa Tr(A) vaø detA. �

2.3 Ñònh nghóa. Cho töï ñoàng caáu tuyeán tính f : V → V . Goïi A laø ma traän bieåudieãn f trong cô sôû naøo ñoù cuûa V . Töø meänh ñeà treân caùc ñònh nghóa sau laø hôïp caùch(i.e. khoâng phuï thuoäc cô sôû):Ñònh thöùc cuûa f : det f = detA, veát cuûa f : Tr(f) = TrA, vaøña thöùc ñaëc tröng cuûa f : Pf (λ) = det(A− λI),

Ví duï.

a) Pheùp ñoái xöùng qua phaân giaùc thöù I trong R2:

(xy

)→(yx

)=

(0 11 0

)(xy

),

Ña thöùc ñaëc tröng laø λ2 − 1 = (λ− 1)(λ+ 1), neân caùc gía trò rieâng laø 1 vaø −1.Vaäy caùc vector rieâng thoûa:(

yx

)=

(xy

)hay

(yx

)= −

(xy

)

chính laø caùc phaân giaùc thöù I vaø thöù II (laø caùc taäp baát bieán qua pheùp ñoái xöùng).

b) Cho A =

(a bc d

)∈MatR(2). Khi ñoù PA(λ) = λ2 − (a+ d)λ+ (ad− bc).

Vaäy neáu (a+ d)2 − 4(ad− bc) < 0, thì A khoâng coù giaù trò rieâng thöïc. Chaúng haïn caùcpheùp quay goùc ϕ �= kπ (k ∈ Z)

Chuù yù: Theo ñònh lyù cô baûn cuûa ñaïi soá: moïi ña thöùc phöùc ñeàu coù nghieäm phöùc.Vaäy moïi ma traän treân C ñeàu coù giaù trò rieâng (phöùc).

Baøi taäp: Xem ví duï ôû phaàn tröôùc, tìm laïi caùc giaù trò rieâng λ1 = 1, λ2 = 3 vaø caùcvector rieâng laø caùc vector naèm treân phaân giaùc thöù I vaø thöù II.

3. Daïng ñöôøng cheùo - Cheùo hoùa

3.1 Ñònh nghóa.AÙnh xaï K-tuyeán tính f : V → V goïi laø cheùo hoùa ñöôïc treân K neáuu toàn taïi cô sôû Bcuûa V sao cho ma traän bieåu dieãn cuûa f trong cô sôû B coù daïng ñöôøng cheùo, i.e. toàntaïi cô sôû B chöùa toaøn laø vector rieâng cuûa f .

6

Ma traän A ∈MatK(n) goïi laø cheùo hoùa ñöôïc treân K neáuu toàn taïi ma traän khaû nghòchP sao cho P−1AP laø ma traän ñöôøng cheùo.

3.2 Tieâu chuaån cheùo hoùa ñöôïc. A ∈ MatK(n) cheùo hoùa ñöôïc treân K khi vaø chækhi hai tieâu chuaån sau ñaây thoûa:(i) Ña thöùc ñaëc tröng PA(λ) = 0 coù moïi nghieäm trong K (keå caû boäi), i.e.

toàn taïi λ1, · · · , λs ∈ K khaùc nhau sao cho: PA(λ) = (−1)ns∏

i=1

(λ− λi)ri .

(ii) Vôùi moïi i ∈ {1, · · · , s}, phöông trình: (A− λiI)x = 0 coù ñuû ri nghieäm cô sôû.

Tröôùc khi chöùng minh, ta coù nhaän xeùt sau:• Vôùi moïi λ ∈ K, Vλ = {x : Ax = λx} = {x : (A− λI)x = 0}, laø khoâng gian vectorcon.• Hôn nöõa, neáu x ∈ Vλ, thì Ax = λx, i.e. A(Vλ) ⊂ Vλ (Vλ coù tính A-baát bieán).

Chöùng minh: Ta caàn boå ñeà sau:Boå ñeà. Gæa söû λ1, · · · , λs ∈ K laø caùc gía trò rieâng khaùc nhau cuûa A, vaø e1, · · · , es ∈ Kn

laø caùc vector rieâng öùng vôùi caùc gía trò rieâng ñoù. Khi ñoù e1, · · · , es ∈ Kn laø heä ñoäc laäptuyeán tính.

Ta chöùng minh Boå ñeà baèng qui naïp theo s.Vôùi s = 1, Boå ñeà ñuùng vì moïi vector rieâng theo ñònh nghóa ñeàu khaùc O.Gæa thieát Boå ñeà ñuùng tôùi s−1. Cho e1, · · · , es laø caùc vector rieâng öùng vôùi gía trò rieângkhaùc nhau λ1, · · · , λs ∈ K.Giaû söû α1, · · · , αs ∈ K, sao cho: α1e

1 + · · · + αses = O. (∗).

Nhaân A vaøo hai veá, ta coù: α1λ1e1 + · · · + αsλse

s = O. (∗∗).Thöïc hieän λs(∗) − (∗∗): α1(λs − λ1)e1 + · · · + αs−1(λs − λs−1)es−1 = O.Töø giaû thieát qui naïp vaø λs �= λi, suy ra α1 = · · · = αs−1 = 0. Thay vaøo (∗), ta cuõngcoù αs = 0. Vaäy e1, · · · , es ñoäc laäp tuyeán tính, i.e. Boå ñeà ñuùng vôùi s.

Baây giôø laø chöùng minh ñònh lyù:(⇒): Gæa söû toàn taïi P ∈ GlK(n) sao cho

P−1AP = D = diag(λ1, · · · , λ1︸︷︷︸r1

, · · · , λs, · · · , λs︸︷︷︸rs

).

Khi ñoù PA(λ) = PD(λ) = (−1)ns∏

i=1

(λ− λi)ri , i.e. (i) thoûa.

Do AP = DP , i.e. moãi coät cuûa P laø moät vector rieâng cuûa A. Hôn nöõa, P khaû nghòchneân caùc coät laø caùc vector ñoäc laäp tuyeán tính. Suy ra (ii).(⇐): Töø (i) suy ra A coù caùc gía trò rieâng λ1, · · · , λs ∈ K khaùc nhau. Töø (ii) suy ramoãi gía trò rieâng λi, coù ri vector rieâng ñoäc laäp tuyeán tính: ei

1, · · · , eiri.

Theo Boå ñeà heä e11, · · · , e1r1

, · · · , es1, · · · , es

rslaø ñoäc laäp tuyeán tính, vaø theo (ii), heä goàm

r1 + · · · + rs = n vector, neân heä laø moät cô sôû cuûa Kn.Ñaët P = (e11 · · · es

rs). Khi ñoù P khaû nghòch vaø AP = diag(λ1, · · · , λ1︸︷︷︸

r1

, · · · , λs, · · · , λs︸︷︷︸rs

)P ,


i.e. P−1AP coù daïng ñöôøng cheùo. �

Heä quûa. Neáu moïi giaù trò rieâng cuûa A thuoäc K vaø khaùc nhau töøng ñoâi, thì A cheùohoùa ñöôïc.

3.3 Thuaät toaùn cheùo hoùa ma traän.Input: A ∈MatK(n).Output: A cheùo hoaù ñöôïc?

Neáu coù xaùc ñònh P ∈ GlK(n) vaø D laø ma traän ñöôøng cheùo: P−1AP = D

Böôùc 1: Giaûi phöông trình PA(λ) = det(A− λI) = 0, tìm giaù trò rieâng.- Neáu khoâng ñuû n nghieäm thuoäc K, thì A khoâng theå cheùo hoaù (treân K).- Neáu ñuû n nghieäm λ1, · · · , λs ∈ K vôùi boäi r1, · · · , rs töông öùng, thì qua böôùc 2.Böôùc 2: Vôùi i = 1, · · · , s, giaûi phöông trình tuyeán tính:

(A− λiI)x = 0 , tìm vector rieâng .

- Neáu soá bieán töï do < ri (soá boäi), thì A khoâng theå cheùo hoaù (treân moïi tröôøng).- Neáu soá bieán töï do = ri, xaùc ñònh ri nghieäm ñoäc laäp tuyeán tính: ei

1, · · · , eiri.

Böôùc 3: Xeáp caùc nghieäm eij theo coät: P = (e11 · · · esrs

). Khi ñoù P khaû nghòch vaø

P−1AP = diag(λ1, · · · , λ1︸︷︷︸r1

, · · · , λs, · · · , λs︸︷︷︸rs

)

Thuaät toaùn cheùo hoaù aùnh xaï tuyeán tính.Input: f : V → V laø K-tuyeán tính.Output: Cô sôû C sao cho M C

C (f) coù daïng ñöôøng cheùo.

Böôùc 1: Coá ñònh moät cô sôû B cuûa V , xaùc ñònh A = MBB (f).

Böôùc 2: Cheùo hoùa A, ta coù P sao cho P−1AP = D laø ma traän cheùo.Böôùc 3: Cô sôû C = BP thoaû MC

C (f) = D.

Chuù yù: Khoâng coù caùch giaûi baèng caên thöùc phöông trình ña thöùc baäc ≥ 5 toång quaùt,theo nghóa khoâng theå bieåu dieãn nghieäm nhö laø bieåu thöùc goàm caùc pheùp toaùn ñaïi soá(coäng, tröø, nhaân, chia) vaø caên soá (baäc 2, 3, · · · ) cuûa caùc heä soá cuûa ña thöùc. Nhö vaäy,Böôùc 1 cuûa thuaät toaùn treân khoâng phaûi luùc naøo coù theå tìm nghieäm chính xaùc ñöôïc khin ≥ 5.

Ví duï. Ta tieán haønh cheùo hoùa (neáu ñöôïc) caùc ma traän:

a) A =

−1 3 −1

−3 5 −1−3 3 1

.

Tìm gía trò rieâng: PA(λ) = −(λ− 2)2(λ− 1).Tìm vector rieâng:- Vôùi λ := 2 (boäi 2), vector rieâng töông öùng laø nghieäm heä phöông trình

−3x + 3y − z = 0−3x + 3y − z = 0−3x + 3y − z = 0

. Heä coù nghieäm toång quaùt: (x, y,−3x+3y), x, y ∈ K.

8

Choïn vector cô sôû:

1

0−3

,

0

13

.

- Vôùi λ := 1 (ñôn), heä phöông trình

−2x + 3y − z = 0−3x + 4y − z = 0−3x + 3y = 0

, coù nghieäm toång quaùt: (x, x, x), x ∈ K.

Choïn vector cô sôû:

1

11

.

Vaäy A cheùo hoaù ñöôïc. Laäp P =

1 0 1

0 1 1−3 3 1

. Khi ñoù P−1AP = diag(2, 2, 1).

b) Xeùt Rϕ =

(cosϕ − sinϕsinϕ cosϕ

)(ϕ �= kπ).

Ña thöùc ñaëc tröng: P (λ) = λ2 − 2 cosϕλ+ 1, coù bieät thöùc cos2 ϕ− 1 = − sin2 ϕ < 0.Treân R ña thöùc voâ nghieäm. Vaäy Rϕ khoâng cheùo hoùa ñöôïc treân tröôøng thöïc R.Veà maët hình hoïc Rϕ laø ma traän bieåu dieãn pheùp quay goùc ϕ trong cô sôû chính taéc.Treân C ña thöùc coù 2 nghieäm khaùc nhau: λ1 = cosϕ + i sinϕ, λ2 = cosϕ − i sinϕ.Vaäy Rϕ cheùo hoaù ñöôïc treân C.

c) A =

3 a b

0 1 10 0 1

.

Ta coù: PA(λ) = −(λ− 1)2(λ− 3).Vôùi λ := 1 (boäi 2), heä phöông trình

2x + ay + bz = 0z = 0

0z = 0, coù nghieäm toång quaùt: (− a

2y, y, 0), y ∈ K.

Nghieäm phuï thuoäc 1 tham soá, i.e. khoâng gian nghieäm coù soá chieàu 1 < soá boäi. VaäyA khoâng theå cheùo hoaù ñöôïc (treân moïi tröôøng).

3.4 Moät aùp duïng vaøo hình hoïc. Xeùt bieán ñoåi trong R2, coù ma traän bieåu dieãn trongcô sôû chính taéc:

S =

(cosϕ sinϕsinϕ − cosϕ

)

Ña thöùc ñaëc tröng cuûa S laø P (λ) = λ2 − 1. Vaäy caùc giaù trò rieâng laø 1 vaø −1.Vôùi giaù trò rieâng 1, caùc vector rieâng thoûa phöông trình: (cosϕ− 1)x+ sinϕ y = 0.Ñoù laø ñöôøng thaúng D : sin

ϕ

2x− cos

ϕ

2y = 0

Vôùi giaù trò rieâng −1, caùc vector rieâng thoûa phöông trình: (cosϕ+ 1)x+ sinϕ y = 0.Ñoù laø ñöôøng thaúng D ⊥ D′.Goïi P laø ma traän chuyeån cô sôû chính taéc sang cô sôû (f1, f2) laø caùc vector chæ phöôngñôn vò cuûa D,D′.


Ta coù P−1SP =

(1 00 −1

)Ma traän treân bieåu dieãn pheùp ñoái xöùng qua truïc. Vaäy veà maët hình hoïc S laø ma traänbieåu dieãn (trong cô sôû chính taéc) cuûa pheùp ñoái xöùng qua ñöôøng thaúng D.

� e1

�

e2

D

ϕ2

�M

�

S(M)

��

��

3.5 AÙp duïng tính Ak. Neáu A ∈MatK(n) cheùo hoaù ñöôïc, thì toàn taïi P ∈ GlK(n) vaøD = diag(λ1, · · · , λn), ñeå P−1AP = D hay A = PDP−1.Vaäy Ak = PDP−1PDP−1 · · ·PDP−1 = PDkP−1.Vaäy luõy thöøa Ak döôïc tính bôûi pheùp nhaân ba ma traän:

Ak = P diag(λk1, · · · , λk

n)P−1

Ví duï. Daõy Fibonacci ñöôïc ñònh nghóa qui naïp:

F0 = 0, F1 = 1, Fk = Fk−2 + Fk−1 (k ≥ 2)

Ñeå tìm bieåu thöùc töôøng minh Fk = f(k), coù theå duøng phöông phaùp sau.Ñaët

x0 =

(F0

F1

), xk =

(Fk

Fk+1

), k = 1, 2, · · ·

Töø ñònh nghóa cuûa daõy, ta coù

xk = Axk−1 vôùi A =

(0 11 1

)

Suy ra xk = Akx0. Ñeå tìm xk , ta caàn tính Ak.

Ta coù PA(λ) = λ2−λ−1, neân A coù caùc gía trò rieâng λ1 =12(1+

√5), λ2 =

12(1−

√5).

Vaäy A cheùo hoùa ñöôïc. Goïi P ∈ Gl(2), sao cho P−1AP = D = diag(λ1, λ2).Suy ra Ak = PDkP−1. Do Dk = diag(λk

1, λk2), vaø töøø pheùp nhaân ma traän ta coù

Fk = aλk1 + bλk

2 , vôùi a, b ∈ R, k = 0, 1, · · ·

Caùc heä soá a, b coù theå tính theo quaù trình treân. Tuy nhieân, ñôn giaûn hôn ta giaûi heäphöông trình:

F0 = 0 = a+ b, F1 = 1 = aλ1 + bλ2 (öùng vôùi k = 0, 1)

Suy ra Fk =1√5(λk

1 − λk2).

10

Nhaän xeùt. Do |λ2| =

∣∣∣∣∣1 −√5

2

∣∣∣∣∣ < 1, neân Fk ∼ 1√5

(1 +

√5

2

)k

, khi k lôùn.

Soá λ1 =12(1 +

√5) goïi laø tæ leä vaøng , noù coù nhieàu tính chaát thuù vò.

3.6 AÙp duïng vaøo phöông trình sai phaân. Phöông phaùp ôû ví duï treân coù theå khaùiquaùt hoùa ñeå nghieân cöùu caùc daõy soá (ak) trong K, thoaû tính ñeä quy tuyeán tính:

ak+n = αnak+n−1 + αn−1ak+n−2 + · · · + α1ak, k = 0, 1, 2, · · ·vôùi n giaù trò ñaàu a0, · · · , an−1 cho tröôùc, vaø α1, · · · , αn ∈ K.Baèng caùc ñaët

x0 =

a0

a1...an−1

xk =

ak

ak+1...ak+n−1

vaø A =

0 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0...

.... . .

...α1 α2 · · · αn

Ta coù daõy (xk) trong Kn, thoaû phöông trình sai phaân baäc nhaát:

xk = Axk−1, vôùi A ∈MatK(n), vaø ñieàu kieän ñaàu x0 ∈ Kn.

Khi ñoùa) xk = Akx0.b) Neáu A coù theå cheùo hoùa, i.e. toàn taïi P ∈ GlK(n): P−1AP = D = diag(λ1, · · · , λn),

thì Ak = PDkP−1 = P diag(λk1, · · · , λk

n)P−1.c) Gæa söû e1, · · · , en laø caùc vector rieâng töông öùng, vôùi caùc gía trò rieâng λ1, · · · , λn.Neáu x0 = A1e1 + · · · +Anen, thì xk = A1λ

k1e1 + · · · +Anλ

knen.

d) Xaép xeáp sao cho |λ1| = max |λi|. Gæa söû A1 �= 0. Khi ñoù:

Neáu |λ1| < 1 , thì limk→∞

xk = 0.

Neáu |λ1| = 1 , thì ∃M : |xk| < M, ∀k.Neáu |λ1| > 1 , thì lim

k→∞|xk| = ∞.

VII. Khoâng gian vector Euclid

Khoâng gian vector Euclid laø khoâng gian vector thöïc cuøng vôùi moät tích voâ höôùng. Lôùpcaùc khoâng gian nhö vaäy coù ñaëc tröng hình hoïc roõ neùt. Caùc khaùi nieäm nhö ñoä daøivector, goùc giöõa 2 vector, hình chieáu vuoâng goùc, ... ñöôïc khaùi quaùt hoùa moät caùch töïnhieân töø hình hoïc Euclid 2, 3 chieàu. Trong khoâng gian vector Euclid, moät soá baøi toaùn,chaúng haïn baøi toaùn cöïc trò, coù theå moâ taû moät caùch hình hoïc vaø nhôø vaäy lôøi giaûi coùtheå ñöôïc tìm deã daøng hôn.Trong chöông naøy, tröôùc heát laø heä tieân ñeà cuûa khoâng gian vector Euclid, sau ñoù trìnhbaøy moät soá tính chaát cô baûn nhaát cuûa pheùp chieáu tröïc giao, toaùn töû (ma traän) tröïc giaovaø toaùn töû (ma traän) ñoái xöùng. AÙp duïng cuûa pheùp chieáu tröïc giao laø phöông phaùp tìmnghieäm xaáp xæ bình phöông beù nhaát cho moät soá baøi toaùn. Moät aùp duïng cuûa cheùo hoùatröïc giao ma traän ñoái xöùng ñeå tìm phöông trình chính taéc cuûa ñöôøng cong hay maëtcong baäc 2 seõ ñöôïc trình baøy ôû caùc chöông sau.

1. Khoâng gian vector Euclid

1.1 Ñònh nghóa. Moät khoâng gian vector Euclid laø moät caëp (E,< , >), trong ñoù:E laø khoâng gian vector treân R.< , >: E × E → R, goïi laø tích voâ höôùng , laø moät daïng song tuyeán tính ñoái xöùng,

xaùc ñònh döông, i.e. thoaû caùc tieân ñeà sau: ∀x, x′, y ∈ E, ∀α, β ∈ K,

(SP1) < αx+ βx, , y > = α < x, y > + β < x′, y >(SP2) < x, y > = < y, x >(SP3) < x, x > > 0, ∀x �= 0

Khi ñoù ‖x‖ =√< x, x > goïi laø chuaån hay modul hay ñoä daøi cuûa x.

Hai vector x, y ∈ E goïi laø tröïc giao hay vuoâng goùc, kyù hieäu x ⊥ y, neáuu < x, y >= 0.

Ví duï.a) Khoâng gian vector hình hoïc vôùi tích voâ höôùng < �x, �y >= ‖�x‖‖�y‖ cos(�x, �y).Khaùi nieäm tröïc giao chính laø khaùi nieäm vuoâng goùc thoâng thöôøng.

b) Khoâng gian Rn vôùi tích voâ höôùng Euclid < x, y > = txy =n∑

i=1

xiyi.

Khi ñoù chuaån ‖x‖ =√x2

1 + · · · + x2n. (chính laø ñoä daøi vector khi n := 1, 2, 3).

c) Khoâng gian caùc haøm thöïc lieân tuïc treân ñoaïn [a, b], C[a, b]. Trong nhieàu baøi toaùn,ngöôøi ta xaùc ñònh treân khoâng gian naøy tích voâ höôùng nhö sau:

< f, g > =∫ b

afg (f, g ∈ C[a, b]).

d) Trong khoâng gian C[−π, π] vôùi tích voâ höôùng cho ôû ví duï treân, xeùt caùc haømfk(x) = sin kx, gl(x) = cos lx (k, l = 1, 2, · · · ). Khi ñoù fk ⊥ gl, bôûi vì

< fk, gl >=∫ π

−πsin kx cos lxdx = 0

12

1.2 Tính chaát. ∀x, y ∈ E, ∀α ∈ R,(i) ‖x‖ ≥ 0 vaø ‖x‖ = 0 khi vaø chæ khi x = 0.(ii) ‖αx‖ = |α|‖x‖.(iii) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖ (baát ñaúng thöùc tam giaùc).(iv) | < x, y > | ≤ ‖x‖‖y‖ (baát ñaúng thöùc Schwarz).(v) x ⊥ y ⇒ ‖x+ y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2 (coâng thöùc Pythagore).

Chöùng minh: (i) vaø (ii) suy deã daøng töø ñònh nghóa.Vieäc chöùng minh (iv) coù theå tieán haønh nhö sau. Xeùt ña thöùc baäc 2:

f(t) = ‖tx+ y‖2 = t2‖x‖2 + 2t < x, y > +‖y‖2, t ∈ R

Khi x �= 0, f(t) laø ña thöùc baäc 2 khoâng aâm, neân bieät thöùc

| < x, y > |2 − ‖x‖2‖y‖2 ≤ 0 ⇔ (iv)

Töø (iv) ta coù

‖x+ y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2 < x, y >≤ ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2‖x‖‖y‖ = (‖x‖ + ‖y‖)2.Suy ra (iii). Ñaúng thöùc ñaàu cuûa bieåu thöùc treân cuõng cho (v) khi x ⊥ y. �

Ví duï. Baát ñaúng thöùc Schwarz trong khoâng gian Rn vaø C[a, b] cho ôû ví duï 1.2coù daïng:

|n∑

i=1

xiyi| ≤√√√√ n∑

i=1

x2i

√√√√ n∑i=1

y2i .

∣∣∣∣∣∫ b

afg

∣∣∣∣∣ ≤√∫ b

af2

√∫ b

ag2.

Nhaän xeùt. Töø (iv) cho pheùp ñònh nghóa cosin cuûa goùc 2 vector x, y khaùc 0:

cos(x, y) =< x, y >

‖x‖‖y‖ .

Trong khoâng gian vector Euclid heä cô sôû goàm caùc vector tröïc giao vôùi nhau ñoùng vaitroø ñaëc bieät quan troïng: tính toaùn trong cô sôû tröïc giao deã daøng, thuaän tieän hôn nhieàuso vôùi vieäc tính toaùn trong cô sôû baát kyø. Ngoaøi ra, caùc ñaëc tröng hình hoïc theå hieän roõraøng hôn trong moät heä cô sôû nhö vaäy.

1.3 Heä tröïc giao - Cô sôû tröïc giao. Trong khoâng gian vector Euclid E moät heägoàm caùc vector khaùc khoâng vaø tröïc giao vôùi nhau töøng ñoâi goïi laø moät heä tröïc giao.Moät cô sôû tröïc giao cuûa E laø moät heä vöøa laø cô sôû cuûa E vöøa laø heä tröïc giao.Moät cô sôû tröïc chuaån laø moät cô sôû tröïc giao vaø theâm ñieàu kieän ñoä daøi moãi vector cuûaheä baèng 1. Vaäy B = (e1, · · · , en) laø cô sôû tröïc chuaån cuûa E neáuu:

< ei, ej >= δij =

{0 , neáu i �= j1 , neáu i = j

(kyù hieäu delta Kr onecker)

Chöông VII. Khoâng gian vector Euclid 13

Nhaän xeùt. Moät heä tröïc giao laø moät heä ñoäc laäp tuyeán tính. Thaät vaäy, neáu f1, · · · , fm

laø heä tröïc giao vaø x1f1 + · · · + xmfm = O, thì khi tích voâ höôùng hai veá vôùi fi

(i = 1, · · · ,m), ta coù xi < fi, fi >= 0, ∀i. Do < fi, fi >= ‖fi‖2 �= 0, neân xi = 0, ∀i.

Ví duï.a) Trong Rn, cô sôû chính taéc laø moät cô sôû tröïc chuaån.b) Trong khoâng gian C[−π, π] vôùi tích voâ höôùng cho ôû Ví duï 1.1 c) heä haøm löôïng giaùc{1, sinx, cosx, · · · , sin kx, cos kx} laø heä tröïc giao. Chuùng sinh ra moät khoâng gian con2k + 1 chieàu.

Töông töï nhö caùc coâng thöùc trong cô sôû chính taéc cuûa Rn, ta coù

Coâng thöùc caùc pheùp toaùn trong cô sôû tröïc chuaån. Cho (e1, · · · , en) laø cô sôû tröïcchuaån cuûa khoâng gian E. Khi ñoù:

x =n∑

i=1

< x, ei > ei, < x, y >=n∑

i=1

< x, ei >< y, ej >, ‖x‖ =

√√√√ n∑i=1

< x, ei >2.

Chöùng minh: Cho x = x1e1 + · · · + xnen. Tích voâ höôùng hai veá vôùi ei. Töø tính tröïcchuaån, suy ra toïa ñoä xi cuûa x:

< x, ei >= x1 < ei, e1 > + · · · + xn < ei, en >= xi < ei, ei >= xi.

Caùc ñaúng thöùc coøn laïi laäp luaän töông töï. �

1.4 Pheùp chieáu vuoâng goùc leân khoâng gian con.Nhaän xeùt. Cho e ∈ E laø vector khaùc khoâng. Khi ñoù vôùi moïi x ∈ E toàn taïi duy nhaáthình chieáu vuoâng goùc cuûa x leân phöông e, i.e. vector Pe(x) coù tính chaát

Pe(x) = αe ∈ L(e) vaø x− Pe(x) ⊥ L(e).

Töø caùc ñieàu kieän treân, x− αe ⊥ e ⇔ < x− αe, e >= 0 ⇔ α =< x, e >

< e, e >.

Vaäy Pe(x) =< x, e >

< e, e >e, vôùi

< x, e >

< e, e >goïi laø heä soá Fourier cuûa x ñoái vôùi e.

��x

O

�e

�P (x)

W��

��

14

Khaùi quaùt hoùa nhaän xeùt tröïc quan vöøa neâu, ta coù

Meänh ñeà. Cho W laø khoâng gian con höõu haïn chieàu cuûa khoâng gian vector EuclidE. Khi ñoù vôùi moïi x ∈ E, toàn taïi duy nhaát vector chieáu vuoâng goùc hay chieáu tröïc giao

cuûa x leân W , kyù hieäu PW (x), thoaû caùc ñieàu kieän

PW (x) ∈W vaø x− PW (x) ⊥W.

Cuï theå:(i) Neáu (e1, · · · , em) laø cô sôû tröïc giao cuûa W , thì

PW (x) = Pe1(x) + · · · + Pem(x) =< x, e1 >

< e1, e1 >e1 + · · · + < x, em >

< em, em >em.

(ii) Neáu a1, · · · , ak laø heä sinh cuûa W , thì

PW (x) = x1a1 + · · · + xkak,

trong ñoù x1, · · · , xk laø nghieäm cuûa heä phöông trình

< a1, a1 > x1 + < a1, a2 > x2 + · · · + < a1, ak > xk = < x, a1 >< a2, a1 > x1 + < a2, a2 > x2 + · · · + < a2, ak > xk = < x, a2 >

......

......

< ak, a1 > x1 + < ak, a2 > x2 + · · · + < ak, ak > xk = < x, ak >

Chöùng minh: Ta coù x− PW (x) ⊥W khi vaø chæ khi x− PW (x) ⊥ ai, ∀i = 1, · · · , k.Ñieàu kieän treân töông ñöông vôùi < x− PW (x), ai >= 0, i = 1, · · · , k.Hay laø < PW (x), ai >=< x, ai >, i = 1, · · · , k.Thay PW (x) = x1a1 + · · · + xkak, vaøo ta coù heä phöông trình neâu ôû (ii)

< ai, a1 > x1+ < ai, a2 > x2 + · · ·+ < ai, ak > xk =< x, ai >, i = 1, · · · , k.

Ta caàn chöùng minh heä treân coù nghieäm.Tröôøng hôïp a1, · · · , ak ñoäc laäp tuyeán tính: Goïi x = (x1, · · · , xk) laø nghieäm cuûa heäphöông trình thuaàn nhaát töông öùng:

< ai,k∑

j=1

xjaj >= 0, i = 1, · · · , k.

Suy ra 0 =k∑

i=1

xi < ai,k∑

j=1

xjaj >=<k∑

i=1

xiai,k∑

j=1

xjaj >= ‖k∑

i=1

xiai‖2.

Vaäyk∑

i=1

xiai = 0. Do a1, · · · , am ñoäc laäp tuyeán tính, x1 = · · · ,= xk = 0. Vaäy heä

phöông trình thuaàn nhaát laø heä Cramer, neân heä ñang xeùt coù duy nhaát nghieäm.Tröôøng hôïp a1, · · · , ak phuï thuoäc tuyeán tính: Neáu ap laø toå hôïp tuyeán tính cuûa caùcvector coøn laïi, thì phöông trình thöù p cuûa heä laø toå hôïp tuyeán tính cuûa caùc phöông trìnhcoøn laïi. Loaïi caùc phöông trình phuï thuoäc, ñöa heä veà tröôøng hôïp ñoäc laäp tuyeán tính.


Coâng thöùc ôû (i) suy töø heä phöông trình neâu treân (khi ñoù heä coù daïng ñöôøng cheùo) �

Phaàn buø tröïc giao cuûa taäp W ⊂ E laø khoâng gian vector con ñöôïc ñònh nghóa:

W⊥ = {x ∈ E : x ⊥ y, ∀y ∈W}.

Khi W laø khoâng gian vector con, ta ñaõ chöùng minh toàn taïi pheùp chieáu tröïc giao leân W

PW : E → E,

moãi x ∈ E coù bieåu dieãn duy nhaát x = PW (x) + x⊥, vôùi PW (x) ∈W vaø x⊥ ∈W⊥.Ta coù PW ◦ PW = PW , i.e. PW (x) = x, ∀x ∈W, vaø PW (x) = 0 ⇔ x ∈W⊥.Vaäy E = W ⊕W⊥ = Im PW ⊕ KerPW .

Ma traän Gramm cuûa heä vector a1, · · · ak ∈ E ñöôïc kyù hieäu vaø ñònh nghóa:

G(a1, · · · , ak) =

< a1, a1 > < a1, a2 > · · · < a1, ak >< a2, a1 > < a2, a2 > · · · < a2, ak >

......

...< ak, a1 > < ak, a2 > · · · < ak, ak >

Nhaän xeùt. Goïi A = (a1B · · · akB) laø ma traän toïa ñoä cuûa heä vector ñaõ cho trong moätcô sôû tröïc chuaån B. Khi ñoù < ai, aj >= taiBajB. Theo pheùp nhaân ma traän , ta coù

G(a1, · · · , ak) = tAA

Khi kyù hieäu x = t(x1 · · ·xk), phöông trình ôû (ii) cuûa meõnh ñeà treân coù daïng:

G(a1, · · · , ak)x = tAAx = tAxB

vaø ñöôïc goïi laø phöông trình chuaån taéc öùng vôùi phöông trình Ax = xB.Neáu a1, · · · , ak laø cô sôû cuûa W , thì G(a1, · · · , ak) = tAA khaû nghòch. Khi ñoù, töøPW (x)B = Ax = A(tAA)−1 tAxB, suy ra ma traän bieåu dieãn cuûa pheùp chieáu PW trongcô sôû tröïc chuaån B laø

P = A(tAA)−1 tA

Baøi taäp: Chöùng minh: P 2 = P (tính luõy linh), tP = P (tính ñoái xöùng).Baøi taäp: Chöùng minh neáu ma traän vuoâng P , thoaû P 2 = P vaø tP = P , thì P laø matraän (trong cô sôû chính taéc) cuûa pheùp chieáu leân khoâng gian sinh bôûi caùc coät cuûa noù.

Nhaän xeùt. Theo meänh ñeà treân, ñeå tìm hình chieáu tröïc giao cuûa x leân khoâng gianW ta coù 2 caùch sau:Caùch 1: Giaûi heä phöông trình chuaån taéc ôû (ii).Caùch 2: Tìm moät cô sôû tröïc giao cho W . Roài duøng coâng thöùc ôû (i).

Ñeå xaây döïng moät heä cô sôû tröïc giao cho moät khoâng gian, ta duøng thuaät toaùn sau:

16

1.5 Thuaät toaùn tröïc chuaån hoùa Gram-Schmidt.Input: (a1, · · · , ak) laø moät heä vector ñoäc laäp tuyeán tính.Output: (e1, · · · , ek) laø moät cô sôû tröïc chuaån cuûa L(a1, · · · , ak)

Böôùc tröïc giao hoùa:

b1 = a1,

bj = aj − < aj , b1 >

< b1, b1 >b1 − · · · − < aj , bj−1 >

< bj−1, bj−1 >bj−1, j = 2, · · · , k.

Heä b1, · · · , bk laø cô sôû tröïc giao cuûa khoâng gian sinh bôûi heä vector ñaõ cho.

Böôùc chuaån hoùa: ej =bj

‖bj‖ , j = 1, · · · , k.Heä e1, · · · , ek laø cô sôû tröïc chuaån cuûa khoâng gian sinh bôûi heä vector ñaõ cho.

Nhaän xeùt. Theo thuaät toaùn treân:Wj = L(a1, · · · , aj) = L(b1, · · · , bj) = L(e1, · · · , ej) (j = 1, · · · , k).bj = aj − PWj−1(aj). Vaäy bj ⊥ b1, · · · , bj−1.aj = q1je1 + q2je2 + · · · + qjjej , trong ñoù qjj = ‖bj‖ �= 0.

Vieát laïi doøng cuoái theo caùch nhaân ma traän, ta coù

Phaân tích QR. Cho A laø ma traän coù caùc coät laø ñoäc laäp tuyeán tính. Khi ñoù toàntaïi phaân tích

A = QR

trong ñoù Q laø ma traän maø caùc coät laø caùc vector tröïc chuaån, R laø ma traän tam giaùc treânkhaû nghòch.

Ví duï. Trong R4 cho a1 = (1, 1, 0, 1), a2 = (1,−2, 0, 0), a3 = (1, 0,−1, 2). Xaùcñònh moät cô sôû tröïc chuaån cho khoâng gian sinh bôûi a1, a2, a3.Ta tieán haønh thuaät toaùn treân. Vieäc a1, a2, a3 ñoäc laäp tuyeán tính hay khoâng ñöôïc theåhieän trong quaù trình tieán haønh (coù xuaát hieän vector 0 hay khoâng).Tröïc giao hoùa:

b1 = a1 = (1, 1, 0, 1),

b2 = a2 − < a2, b1 >

< b1, b1 >b1

= (1,−2, 0, 0) − 1.1 + (−2)1 + 0.0 + 0.112 + 12 + 02 + 12

(1, 1, 0, 1)

=13(4,−5, 0, 1).

b3 = a3 − < a3, b1 >

< b1, b1 >b1 − < a3, b2 >

< b2, b2 >b2

= (1, 0,−1, 2) − 33(1, 1, 0, 1) − 1

42(4,−5, 0, 1)

=17(−4,−2,−7, 6)


Chuaån hoùa:

e1 =1√3(1, 1, 0, 1), e2 =

1√42

(4,−5, 0, 1), e3 =1√105

(−4,−2,−7, 6).

Baøi taäp: Tìm phaân tích QR cho ma traän A coù caùc coät laø a1, a2, a3 cuûa ví duï treân:

A =

1 1 11 −2 00 0 −11 0 2

Ví duï. Trong C[0, 1] vôùi tích voâ höôùng ôû ví duï 1.1.c), tìm cô sôû tröïc chuaån cho khoânggian sinh bôûi {f0(x) = 1, f1(x) = x, f2(x) = x2}.Goïi (p0, p1, p2) laø cô sôû caàn tìm, ta coù p0(x) = 1 vaø

p1(x) = x− < p0, x >

< p0, p0 >p0(x).

Tính

< p0, x >=∫ 1

0xdx = 1/2 vaø < p0, p0 >=

∫ 1

0dx = 1.

Vaäy p1(x) = x− 1/2.

p2(x) = x2 − < p0, x2 >

< p0, p0 >p0(x) − < p1, x

2 >

< p1, p1 >p1(x).

Tính

< p0, x2 >=

∫ 1

0x2dx = 1/3, < p0, p0 >=

∫ 1

0dx = 1

< p1, x2 >=

∫ 1

0(x3 − x2/2)dx = 1/12, < p1, p1 >=

∫ 1

0(x2 − x+ 1/4)dx = 1/12.

Vaäy p2(x) = x2 − p0(x)/3 − p1(x) = x2 − x+ 1/6.

Ví duï. Trong R4 cho a1 = (1, 1, 0, 1), a2 = (1,−2, 0, 0), a3 = (1, 0,−1, 2). Xaùcñònh hình chieáu tröïc giao cuûa x = (1, 0, 0, 0) leân khoâng gian sinh bôûi a1, a2, a3.Caùch 1: (duøng phöông trình chuaån taéc) Goïi hình chieáu cuûa x laø

P (x) = x1a1 + x2a2 + x3a3.

Khi ñoù x1, x2, x3 laø nghieäm cuûa heä phöông trình< a1, a1 > x1 + < a1, a2 > x2 + < a1, a3 > x3 = < x, a1 >< a2, a1 > x1 + < a2, a2 > x2 + < a2, a3 > x3 = < x, a2 >< a3, a1 > x1 + < a3, a2 > x2 + < a3, a3 > x3 = < x, a3 >

Thay vaøo ta coù:

3x1 − x2 + 3x3 = 1−x1 + 5x2 + x3 = 13x1 + x2 + 6x3 = 1

18

Suy ra x1 =1115, x2 =

615, x3 =

−415

. Vaäy P (x) =115

(13,−1, 4, 3).

Caùch 2: (duøng phöông phaùp G-S) Sau khi tröïc chuaån hoùa heä vector, ta coù heä vectortröïc chuaån e1, e2, e3 ñaõ tính ôû ví duï 1.4. Vaäy hình chieáu cuûa x laø

P (x) = < x, e1 > e1+ < x, e2 > e2+ < x, e3 > e3

=1√3

1√3(1, 1, 0, 1) +

1√42

1√42

(4,−5, 0, 1) +1√105

1√105

(−4,−2,−7, 6)

= · · ·

Baøi taäp: Xaùc ñònh hình chieáu f(x) = ex leân khoâng gian sinh bôûi {1, x, x2}, trongkhoâng gian C[0, 1], vôùi tích voâ höôùng cho ôû ví duï 1.1.c.

1.6 Xaáp xæ bình phöông beù nhaát.Baøi toaùn. Gæa söû W ⊂ E laø khoâng gian con. Cho x ∈ E, tìm phaàn töû thuoäc W coùkhoaûng caùch ñeán x beù nhaát, i.e. tìm x∗ ∈W , sao cho

‖x∗ − x‖ ≤ ‖y − x‖, ∀y ∈W.

Noùi caùch khaùc x∗ laøm cöïc tieåu bình phöông khoaûng caùch Q(y) = ‖y − x‖2, y ∈W ,Khi ñoù x∗ goïi laø xaáp xæ bình phöông beù nhaát cuûa x trong W .

Gôïi yù tröïc quan hình hoïc cho ta tieân ñoaùn laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa x leân khoânggian W chính laø vector thuoäc W coù khoaûng caùch beù nhaát ñeán x. Thöïc vaäy ta coù

Meänh ñeà. Hình chieáu tröïc giao PW (x) cuûa x leân khoâng gian W chính laø xaáp xæbình phöông beù nhaát cuûa x trong W , i.e.

x∗ ∈W, ‖x∗ − x‖ = min{‖y − x‖ : y ∈W} ⇔ x∗ = PW (x).

Chöùng minh: Do y − PW (x) ∈ W vaø x − PW (x) ⊥ y, ∀y ∈ W , theo coâng thöùcPythagore

‖y − x‖2 = ‖(y − PW (x)) + (PW (x) − x)‖2 = ‖y − PW (x)‖2 + ‖PW (x) − x‖2.

Suy ra ‖y − x‖ ≥ ‖PW (x) − x‖, ∀y ∈ W , vaø daáu ñaúng thöùc xaûy ra khi vaø chæ khiy = PW (x). �

2. Moät soá öùng duïng.

2.1 Tìm nghieäm xaáp xæ bình phöông beù nhaát cuûa heä phöông trình tuyeán tính.Xeùt heä phöông trình tuyeán tính:

Ax = b, vôùi A ∈MatR(m,n)

Ñaët r(x) = ‖Ax − b‖. Khi ñoù x laø nghieäm phöông trình khi vaø chæ khi r(x) = 0.Trong tröôøng hôïp heä phöông trình khoâng coù nghieäm (thöôøng xaûy ra khi soá phöông


trình raøng buoäc m lôùn hôn soá aån n), ngöôøi ta thöôøng tìm nghieäm xaáp xæ x laøm r(x)ñaït minimum, i.e.

‖Ax− b‖2 ≤ ‖Ax− b‖2, ∀x ∈ Rn,

x goïi laø nghieäm bình phöông beù nhaát cuûa phöông trình Ax = b.

Nhaän xeùt. Vieát laïi Ax = x1a1 + · · · + xnan, vôùi a1, · · · , an ∈ Rm laø caùc coät cuûaA. Khi ñoù ‖Ax− b‖ = ‖x1a1 + · · · + xnan − b‖. Vaäy nghieäm bình phöông beù nhaát

x ∈ Rn : Ax = chieáu tröïc giao cuûa b leân L(a1, · · · , an)

Töø caùc keát quûa ôû phaàn tröôùc ta coù

Meänh ñeà. Xeùt heä phöông trình Ax = b, A ∈ MatR(m,n). Khi ñoù toàn taïi nghieämbình phöông beù nhaát x cuûa heä vaø laø nghieäm cuûa phöông trình chuaån taéc:

tAAx = tAb.

Neáu rankA = n, thì nghieäm ñoù laø duy nhaát x = (tAA)−1 tAb.

Ví duï. Cho

A =

1 0 20 2 2

−1 1 −1−1 2 0

, b =

3−3

03

Phöông trình Ax = b voâ nghieäm (haõy kieåm tra). Ta tìm nghieäm bình phöông beù nhaátcuûa heä töø phöông trình chuaån taéc tAAx = tAb. Tính toaùn vaø bieán ñoåi

( tAA| tAb) =

3 −3 3 | 6

−3 9 3 | −123 3 9 | 0

→

1 −1 1 | 2

0 1 1 | −10 0 0 | 0

Nghieäm bình phöông beù nhaát cuûa heä: x =

1 − 2x3

−1 − x3

x3

2.2 Phöông phaùp bình phöông beù nhaát.

Baøi toaùn xaáp xæ tuyeán tính, bình phöông beù nhaát: Cho hai ñaïi löôïng t, y maø quanheä giöõa chuùng cho qua baûng döõ lieäu sau (nhôø quan traéc thöïc nghieäm chaúng haïn)

t t1 t2 · · · tmy y1 y2 · · · ym

Ta muoán tìm haøm tuyeán tính y = a0 + a1t, thoûa caùc döõ kieän treân, i.e. tìm a0, a1 thoûaheä phöông trình

Ax = b ⇔

a0 + a1t1 = y1

· · ·a0 + a1tm = ym

20

Trong ñoù

A =

1 t1...

...1 tm

x =

(a0

a1

)b =

y1...ym

Neáu t1, · · · , tm khaùc nhau, thì coù duy nhaát moät ña thöùc baäc m − 1 thoaû boä döõ lieäutreân (ña thöùc noäi suy). Tuy nhieân, ôû ñaây ta muoán tìm ña thöùc baäc 1, neân noùi chungheä phöông trình treân voâ nghieäm (thöôøng xaûy ra khi m > 2 hay t1, · · · , tm khoâng khaùcnhau).Nghieäm bình phöông beù nhaát cuûa heä x =t (a0 a1) coù tính chaát

‖Ax− b‖2 = mina0,a1

m∑i=1

(a0 + a1ti − yi)2

i.e. laøm cöïc tieåu toång bình phöông caùc sai soá giöõa giaù trò ña thöùc taïi ti vôùi döõ lieäu yi.Haøm y = a0 + a1t, goïi laø xaáp xæ tuyeán tính, bình phöông beù nhaát cho y = y(t).

Ví duï. Tìm xaáp xæ tuyeán tính, bình phöông beù nhaát cho haøm y = y(t) cho bôûi döõ

kieän:t 0 3 6y 1 4 5

. Khoâng coù ña thöùc baäc 1 naøo thoaû döõ lieäu treân (khoâng coù

ñöôøng thaúng naøo ñi qua 3 ñieåm khoâng thaúng haøng). Ta caàn tìm nghieäm bình phöôngbeù nhaát cuûa heä:

Ax = b vôùi A =

1 0

1 31 6

x =

(a0

a1

)b =

1

45

Giaûi phöông trình chuaån taéc

tAAx =tAy ⇔(

3 99 45

)(a0

a1

)=

(1040

)

Haøm xaáp xæ caàn tìm laø y =43

+23t.

��

��

��

��

��

��

��

��

� t

�

�

�

0 3 6

�y


Baøi toaùn xaáp xæ baäc n, bình phöông beù nhaát. Toång quaùt baøi toaùn treân. Vôùi döõkieän cho nhö phaàn treân, tìm ña thöùc baäc n, p(t) = a0 + a1t + · · · + ant

n, i.e. tìma0, a1, · · · , an, sao cho toång bình phöông sai soá laø beù nhaát:

Q(a0, · · · , an) =n∑

i=1

(p(ti) − yi)2 → min

Baøi toaùn treân chính laø baøi toaùn tìm nghieäm x laøm cöïc tieåu ‖Ax− b‖2, trong ñoù

A =

1 t1 · · · tn0...

...1 tm · · · tnm

x =

a0...an

b =

y1...ym

Vaäy nghieäm baøi toaùn treân chính laø nghieäm bình phöông beù nhaát cuûa phöông trìnhAx = b.Goïi x = t(a0 · · · an) laø nghieäm cuûa heä tAAx = tAb, khi ñoù ña thöùc caàn tìm laøp(t) = a0 + a1t+ · · · + ant

n.

2.3 Khai trieån Fourier. Trong khoâng gian C[−π, π], vôùi tích voâ höôùng cho ôû víduï 1.1 c), heä haøm Bn = (1, sinx, cosx, · · · , sinnx, cosnx) laø heä tröïc giao.Vôùi f ∈ C[−π, π], hình chieáu cuûa noù leân khoâng gian L(Bn) goïi laø khai trieån Fourier

ñeán caáp n cuûa f :

Fn[f ] =a0

2+ a1 sinx+ b1 cosx+ · · · + an sinnx+ bn cosnx,

trong ñoù caùc heä soá Fourier:

ak =1π

∫ π

−πf(x) sin kxdx, bk =

1π

∫ π

−πf(x) cos kxdx

Khi ñoù Fn[f ] chính laø xaáp xæ bình phöông beù nhaát cuûa f trong khoâng gian sinh bôûiBn, i.e. Fn[f ] laøm cöïc tieåu phieám haøm sai soá trung bình bình phöông

L(Bn) → R, g �→ Q(g) =∫ π

−π(f − g)2

2.4 Theå tích k-chieàu vaø ñònh thöùc Gram. Cho a1, · · · ak ∈ E.Hình bình haønh taïo bôûi caùc vector ñaõ cho ñònh nghóa laø taäp

{x ∈ E : x = t1a1 + · · · + tkak, t1, · · · , tk ∈ [0, 1]}Theå tích cuûa hình bình haønh treân, ñöôïc ñònh nghóa qui naïp theo k:

V1(a1) = ‖a1‖, Vk(a1, · · · , ak) = Vk−1(a1, · · · , ak−1)‖a⊥k ‖trong ñoù ak = a′k + a⊥k , vôùi ak

⊥ ⊥ L(a1, · · · , ak−1) laø “chieàu cao” cuûa hình.

��a3

�a1

��a2

�a⊥3��

��

��

��

22

Ma traän Gram cuûa heä vector treân laø

G(a1, · · · , ak) =

< a1, a1 > · · · < a1, ak >

......

< ak, a1 > · · · < ak, ak >

Ta coù moái quan heä giöõa theå tích vaø ma traän Gramm:

Meänh ñeà. Goïi b1, · · · , bk laø tröïc giao hoaù Gram-Schmidt cuûa a1, · · · , ak. Khi ñoù(i) Vk(a1, · · · , ak) = Vk(b1, · · · , bk)(ii) Vk(a1, · · · , ak) =

√detG(a1, · · · , ak).

(iii) detG(a1, · · · , ak) ≥ 0, vaø = 0 khi vaø chæ khi a1, · · · , ak phuï thuoäc tuyeán tính.(iv) detG(a1, · · · , ak) ≤ ‖a1‖2 · · · ‖ak‖2, vaø daáu baèng xaûy ra khi vaø chæ khi a1, · · · , ak

laø heä tröïc giao.

(v) | det(aij)| ≤√√√√ n∏

j=1

n∑i=1

a2ij , vôùi (aij) ∈MatR(n) (Baát ñaúng thöùc Hadamard).

(vi) Khoaûng caùch töø x ñeán W = L(a1, · · · , ak) laø d(x,W ) =√

detG((a1, · · · , ak, x)√detG(a1, · · · , ak)

Chöùng minh: (Xem moät chöùng minh khaùc ôû phaàn aùp duïng cuûa ñònh thöùc)(i) suy töø Vk(a1, · · · , ak) = Vk−1(a1, · · · , ak−1)‖bk‖, vì a⊥k = bk.(ii) Goïi A laø ma traän toïa ñoä cuûa heä vector ñaõ cho trong moät cô sôû tröïc chuaån naøo ñoù.Ta coù G(a1, · · · , ak) = tAA. Maët khaùc, theo thuaät toaùn Gram-Schmidt, ta coù phaântích A = QR, vôùi Q coù caùc coät laø heä tröïc chuaån trong Rk, vaø R laø ma traän tam giaùccoù caùc phaàn töû ñöôøng cheùo laø rii = ‖bi‖. Vaäy

detG(a1, · · · , ak) = det tAA = det tRtQQR = det tR det tQQdetR= detQdet Ik detR = ‖b1‖2 · · · ‖bk‖2 = Vk(a1, · · · , ak)2

(iii) suy töø (ii).(iv) Töø (ii) (i), detG(a1, · · · , ak) = Vk(a1, · · · , ak) = ‖b1‖2 · · · ‖bk‖2 ≤ ‖a1‖2 · · · ‖ak‖2.Hôn nöõa, daáu baèng xaûy ra khi vaø chæ khi ai = bi, ∀i = 1, · · · , k , i.e. heä vector ñaõ cholaø heä tröïc giao.(v) suy töø (ii) vaø (iv) khi E = Rn vaø heä vector laø caùc coät cuûa ma traän.(vi) suy töø ñònh nghóa vaø (ii). �

3. Toaùn töû tröïc giao - Ma traän tröïc giao

3.1 Ñònh nghóa. Cho (E,<,>) laø khoâng gian vector Euclid.AÙnh xaï T : E → E goïi laø toaùn töû tröïc giao hay bieán ñoåi tröïc giao neáuu T tuyeán tínhvaø thoûa moät trong caùc ñieàu kieän töông ñöông sau: 1

(O) < Tx, Ty >=< x, y > ∀x, y ∈ E (baûo toaøn tích voâ höôùng)(O’) ‖Tx‖ = ‖x‖ ∀x ∈ E (baûo toaøn chuaån).

Kyù hieäu O(E) taäp moïi toaùn töû tröïc giao treân E.1Khi T laø aùnh xaï tuyeán tính, ngöôøi ta thöôøng vieát Tx = T (x) (boû daáu ngoaëc)


Nhaän xeùt.• Hai ñieàu kieän treân laø töông ñöông:

(O) ⇒ (O’): ‖Tx‖ =√< Tx, Tx >

(O)=√< x, x > = ‖x‖

(O’) ⇒ (O): Ta coù caùc ñaúng thöùc sau‖Tx+ Ty‖2 = ‖Tx‖2 + ‖Ty‖2 + 2 < Tx, Ty >‖x+ y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2 < x, y >

Töø ñieàu kieän (O′), ta coù ‖Tx+ Ty‖2 = ‖x+ y‖2, ‖Tx‖ = ‖x‖, ‖Ty‖ = ‖y‖.So saùnh veá phaûi cuûa hai ñaúng thöùc treân, suy ra < Tx, Ty >=< x, y >• Neáu E laø khoâng gian vector höõu haïn chieàu, thì moïi toaùn töû tröïc giao laø song aùnh vìnoù ñôn aùnh.• Moät aùnh xaï T : E → E baûo toaøn goác vaø baûo toaøn khoaûng caùch laø toaùn töû tröïc giao:

T ∈ O(E) ⇔ T (O) = O vaø ‖T (x) − T (y)‖ = ‖x− y‖, ∀x, y ∈ E

Chöùng minh: Roõ raøng neáu T ∈ O(E), thì T (O) = O vaø vôùi moïi x, y ∈ E ta coù

‖Tx− Ty‖ = ‖T (x− y)‖ = ‖x− y‖Ngöôïc laïi, giaû söû T : E → E laø aùnh xaï thoaû T (O) = O vaø baûo toaøn khoaûng caùch.Tröôùc heát ta chöùng minh T baûo toaøn tích voâ höôùng. Vôùi moïi x, y ∈ E, ta coù

‖T (x) − T (y)‖2 = ‖T (x)‖2 + ‖T (y)‖2 − 2 < T (x), T (y) > (1)

Töø giaû thieát ‖T (x) − T (y)‖2 = ‖x− y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2 − 2 < x, y > (2).So saùnh (1) vaø (2) suy ra < T (x), T (y) >=< x, y >.Tính tuyeán tính cuûa T suy töø ‖T (αx+ βy) − αT (x) − βT (y)‖2 = 0 (cuõng khai trieåntöông töï (1) vaø (2). Baøi taäp) �

3.2 Ma traän bieåu dieãn toaùn töû tröïc giao trong cô sôû tröïc chuaån.Cho B = (e1, · · · , en) laø cô sôû tröïc chuaån cuûa E vaø T ∈ O(E).Goïi A = (aij) = MB

B (T ), i.e Tej =∑

i

aijei.

Ta coù < Tei, T ej >=<∑k

akiek,∑h

ahjeh >=∑k,h

akiahj < ek, eh > .

Do < Tei, T ej >=< ei, ej >= δij vaø < ek, eh >= δkh, suy ra

n∑k=1

akiakj = 0 (i �= j) ,n∑

k=1

a2ki = 1 (i = 1, · · · , n)

Ma traän coù tính chaát treân goïi laø ma traän tröïc giao.

3.3 Ma traän tröïc giao. Ma traän vuoâng caáp n treân tröôøng R goïi laø tröïc giao

neáuu noù thoûa moät trong caùc ñieàu kieän töông ñöông sau:(i) Caùc coät laø cô sôû tröïc chuaån cuûa Rn (vôùi tích voâ höôùng Euclid).(ii) Caùc doøng laø cô sôû tröïc chuaån cuûa Rn.(iii) tAA = A tA = I(iv) A−1 = tA

24

Kyù hieäu O(n) taäp moïi ma traän tröïc giao caáp n.

Nhaän xeùt.• O(E) laø nhoùm con cuûa Gl(E) vaø goïi laø nhoùm tröïc giao cuûa E.• O(n) laø nhoùm con cuûa Gl(n) vaø goïi laø nhoùm tröïc giao caáp n.• Neáu A ∈ O(n), thì (detA)2 = det tAA = det I = 1 neân detA = ±1.• Neáu T ∈ O(E), thì caùc giaù trò rieâng thöïc λ ∈ R cuûa T laø ±1. Thaät vaäy, töø Tx = λx,suy ra ‖Tx‖ = |λ|‖x‖ = ‖x‖. Vaäy |λ| = 1.• Kyù hieäu SO(E) = {T ∈ O(E) : detT = 1} vaø SO(n) = {A ∈ O(n) : detA = 1}.Khi doù chuùng laø caùc nhoùm con vaø goïi laø nhoùm tröïc giao ñaëc bieät cuûa O(E), O(n)töông öùng. Vaäy neáu T ∈ SO(E), thì T baûo toaøn höôùng.

Theo ñònh nghóa vaø chöùng minh treân ta coù:

3.4 Meänh ñeà. Trong khoâng gian vector Euclid:(i) Ma traän bieåu dieãn toaùn töû tröïc giao trong cô sôû tröïc chuaån laø ma traän tröïc giao.(ii) Ma traän chuyeån cô sôû tröïc chuaån sang cô sôû tröïc chuaån laø ma traän tröïc giao.(iii) Moät toaùn töû tröïc giao bieán côû sôû tröïc chuaån thaønh cô sôû tröïc chuaån.

3. 5 Tính chaát hình hoïc cuûa toaùn töû tröïc giao khi n = 1, 2, 3.

• Xeùt T ∈ O(R). Do |Tx| = |x|, suy raT =id (pheùp ñoàng nhaát) hay T = −id (pheùp ñoái xöùng qua 0, ñaûo höôùng).

• Xeùt T ∈ O(R2). Neáu (e1, e2) laø cô sôû tröïc chuaån, thì ma traän bieåu dieãn toaùn töû tröïc

giao T trong cô sôû ñoù laø M(T ) =

(a bc d

)∈ O(2). Vaäy

a2 + c2 = 1b2 + d2 = 1ab+ cd = 0

Töø heä phöông trình treân suy ra: hoaëc d = a, b = −c hoaëc d = −a, b = c, i.e.

O(2) = {(a −cc a

): a2 + c2 = 1 } ∪ {

(a cc −a

): a2 + c2 = 1 }

Ñaët a = cosϕ, c = sinϕ. Ta coù:- Neáu detT = +1, i.e. T ∈ SO(R2), thì T laø pheùp quay goùc ϕ

M(T ) = Rϕ =

(cosϕ − sinϕsinϕ cosϕ

)� e1

�

e2

��

�Te1

�Te2

ϕ


- Neáu detT = −1, thì T laø pheùp ñoái xöùng qua ñöôøng thaúng D

M(T ) = Sϕ =

(cosϕ sinϕsinϕ − cosϕ

)� e1

�

e2

D

ϕ

2

�x

�

Tx

��

��

Ñöôøng thaúng D laø caùc vector rieâng öùng vôùi giaù trò rieâng +1, coù phöông trình trong côsôû (e1, e2) laø (cosϕ− 1)x1 − sinϕx2 = 0 hay sin

ϕ

2x1 − cos

ϕ

2x2 = 0.

• Xeùt T ∈ O(R3). Khi ñoù ña thöùc ñaëc tröng cuûa T laø ña thöùc baäc 3 neân luoâncoù ít nhaát moät nghieäm thöïc. Vaäy coù moät ñöôøng thaúng D goàm caùc vector rieâng öùngvôùi giaù trò rieâng 1 hay −1.Vì D laø T -baát bieán, i.e. T (D) ⊂ D, vaø T tröïc giao, neân maët phaúng P = D⊥ cuõngT -baát bieán. Khi ñoù haïn cheá T leân P laø toaùn töû tröïc giao trong khoâng gian 2 chieàu.Nhö vaäy T |P laø pheùp quay hay pheùp ñoái xöùng trong P .Toùm laïi, toàn taïi cô sôû tröïc chuaån (e1, e2, e3) cuûa R3 vôùi e1 laø côû sôû cuûa D, (e2, e3)laø coû sôû cuûa D⊥, sao cho ma traän bieåu dieãn cuûa T trong cô sôû ñoù coù moät trong caùcdaïng sau 1 0 0

0 cosϕ − sinϕ0 sinϕ cosϕ

−1 0 0


1 0 0

0 1 00 0 −1

−1 0 0

0 1 00 0 −1

Ñeå yù laø 2 ma traän cuoái coù theå ñöa veà 2 daïng ñaàu baèng pheùp hoaùn vò vector trong côûsôû. Vaäy veà maët hình hoïc, vôùi T ∈ O(R3), ta coù:- Neáu detT = +1: T laø pheùp quay quanh truïc D moät goùc ϕ.- Neáu detT = −1: T laø hôïp cuûa pheùp ñoái xöùng qua maët phaúng D⊥ vaø pheùp quayquanh truïc D moät goùc ϕ.

��

��

O

D

�x�

Txϕ

��

��

O

D

�x

�Sx�

Txϕ

26

Nhaän xeùt. Truïc D chöùa trong taäp caùc vector rieâng cuûa T öùng vôùi giaù trò rieâng ±1.Goùc ϕ tính ñöôïc nhôø giaûi phöông trình ñaëc tröng P (λ) = −(λ± 1)(λ2 − 2 cosϕλ+ 1)hay ±1 + 2 cosϕ = Tr(T ).

Ví duï. Xeùt ma traän tröïc giao T =

0 0 1

1 0 00 1 0

∈ O(3)

Vì detT = 1, neân T ∈ SO(3).Vector rieâng vôùi giaù trò rieâng 1 laø ñöôøng thaúng D coù vector chæ phöông laø (1, 1, 1).

Ta coù 1 + 2 cosϕ = 0. Suy ra ϕ =2π3

.

Vaäy T laø ma traän bieåu dieãn pheùp quay quanh vector (1, 1, 1) moät goùc2π3

.

Baèng laäp luaän hoaøn toaøn töông töï nhö tröôøng hôïp khoâng gian Euclid 3 chieàu ta coù:

3. 6 Ñònh lyù. Cho toaùn töû tröïc giao T trong khoâng gian Euclid höõu haïn chieàu E.Khi ñoù toàn taïi phaân tích E = E1 ⊕ · · · ⊕Es, trong ñoùEi laø caùc khoâng gian con, T -baát bieán, coù soá chieàu 1 hay 2 vaø Ei ⊥ Ej neáu i �= j.Vaäy toàn taïi cô sôû tröïc chuaån B sao cho ma traän bieåu dieãn cuûa T trong cô sôû B coù daïngchuaån taéc sau

1 0. . .

1−1

. . .−1

cosϕ1 − sinϕ1

sinϕ1 cosϕ1

. . .cosϕp − sinϕp

0 sinϕp cosϕp

Chöùng minh: Tröôùc heát ta chöùng minh 2 boå ñeà:

Boå ñeà 1. Moïi toaùn töû T treân khoâng gian vector thöïc ñeàu toàn taïi khoâng gian T -baát bieán E1 coù soá chieàu 1 hay 2.Thaät vaäy, neáu T coù giaù trò rieâng thöïc vaø x laø moät vector rieâng öùng vôùi giaù trò rieângñoù, thì E1 = L(x) laø moät khoâng gian T -baát bieán 1 chieàu.Tröôøng hôïp T khoâng coù giaù trò rieâng thöïc, goïi a + ib ∈ C, vôùi b �= 0, laø moät giaùtrò rieâng cuûa T . Ta coù theå xem V = Rn vaø T laø moät ma traän. Nhö vaäy toàn taïi


z = x+ iy ∈ Cn, z �= 0, sao cho

T (x+ iy) = (a+ ib)(x+ iy) ⇔ Tx = ax− by, Ty = bx+ ay

Goïi E1 = L(x, y). Khi ñoù roõ raøng E1 laø T -baát bieán. Hôn nöõa, dimE1 khoâng theå baèng0 vì z �= 0, cuõng khoâng theå baèng 1 vì giaû thieát T khoâng coù giaù trò rieâng thöïc. Vaäytrong tröôøng hôïp naøy dimE1 = 2.

Boå ñeà 2. Cho T laø toaùn töû tröïc giao. Neáu khoâng gian con E1 laø T -baát bieán, thìphaàn buø tröïc giao E⊥

1 cuõng T -baát bieán.Ñieàu naøy suy ra töø tính tröïc giao cuûa T : Do E1 T -baát bieán vaø T laø song aùnh neânE1 = T (E1). Vaäy khi x ∈ E⊥

1 , i.e.x ⊥ y, ∀y ∈ E1, ta coù < Tx, Ty >=< x, y >=0, ∀y ∈ E1, i.e Tx ∈ T (E1)⊥ = E⊥

1 .

Baây giôø ta chöùng minh ñònh lyù qui naïp theo soá chieàu cuûa E. Do caùc boå ñeà treânta coù phaân tích E = E1 ⊕ E⊥

1 thaønh toång caùc khoâng gian T - tröïc giao coù dimE1 = 1hay 2. Duøng giaû thieát qui naïp cho haïn cheá cuûa T leân khoâng gian E⊥

1 ta coù keát quûa.Hôn nöõa, theo tính chaát hình hoïc cuûa toaùn töû tröïc giao treân khoâng gian 1 hay 2 chieàu,neáu goïi Bi laø côû sôû tröïc chuaån cuûa Ei, i = 1, · · · , s, thì B = (B1, · · · , Bs) laø cô sôûcuûa E = E1 ⊕ · · · ⊕Es vaø ma traän bieåu dieãn cuûa T trong cô sôû ñoù coù daïng chuaån taécneâu treân. �

Nhaän xeùt.• Do ña thöùc ñaëc tröng cuûa T coù heä soá thöïc, neân neáu a+ ib ∈ C laø giaù trò rieâng cuûaT thì a− ib cuõng laø giaù trò rieâng cuûa T .• Hôn nöõa, theo chöùng minh ôû boå ñeà 1, khi choïn cô sôû tröïc chuaån (x, y) chokhoâng gian E1, thì x + iy laø vector rieâng öùng vôùi giaù trò rieâng a + ib, vaø ta coùTx = ax − by, Ty = bx + ay. Vaäy khoái ma traän ñoái vôùi cô sôû ñaõ choïn öùng vôùi caëp

giaù trò rieâng a± ib naøy laø

(a b

−b a

).

Vaäy neáu b = − sinϕ > 0, thì ϕ ∈ (−π, 0). Noùi caùch khaùc muoán choïn ϕ ∈ (0, π) tatìm cô sôû (x, y) sao cho x+ iy laø vector rieâng öùng vôùi giaù trò rieâng a+ ib vôùi b < 0.

Ví duï. Ñöa ma traän tröïc giao sau veà daïng chuaån taéc A =13

2 −1 2

2 2 −1−1 2 2

.

Ña thöùc ñaëc tröng PA(λ) = −(λ− 1)(λ2 − λ+ 1).Caùc giaù trò rieâng laø λ1 = 1, λ2,3 = 1±√

3i2

Vôùi λ1 = 1, ta coù caùc vector rieâng laø (x = x, y = x, z = z).

Cô sôû tröïc chuaån laø e1 =1√3(1, 1, 1)

Vôùi λ2,3 = 1±i√

32 , giaûi phöông trình (A− ( 1+i

√3

2 )I)Z = 0

Ta coù nghieäm: (x = x, y = −1 +√

3i2

x, z = −1 −√3i

2x).

Cho x = 1, roài taùch phaàn thöïc vaø phaàn aûo ta coù: X1 = (1,−12 ,−1

2), Y1 = (0,−√

32 ,

√3

2 )

Tröïc chuaån Gram-Schmidt, ta coù: e2 =1√6(2,−1,−1), e3 =

1√2(0,−1, 1)

28

Ñaët P =

1√3

2√6

01√3

− 1√6

− 1√2

1√3

− 1√6

1√2

. Ta coù P ∈ O(3) vaø P−1AP =

1 0 0

0 12

√3

2

0 −√

32

12

Nhaän xeùt. Nhoùm SO(3) coøn coù moâ taû hình hoïc baèng 3 goùc Euler nhö sau:Xeùt T ∈ SO(R3). Do detT = 1 > 0, neân neáu (e1, e2, e3) laø cô sôû tröïc chuaån thuaän,thì (Te1, T e2, T e3) laø cô sôû tröïc chuaån thuaän. Khi ñoù T laø hôïp cuûa 3 pheùp quay:

M(T ) = R3(θ)R1(ψ)R3(ϕ)

R3(ϕ) quay quanh e3 goùc ϕ = (e1, d), d laø giao tuyeán mp(e1, e2) vaø mp(Te1, T e2).R1(ψ) quay quanh d goùc ψ = (e3, T e3).R3(θ) quay quanh Te3 goùc θ = (d, Te1).

Cuï theå

R3(ϕ) =

cosϕ − sinϕ 0

sinϕ cosϕ 00 0 1

R1(ψ) =

1 0 0

0 cosψ − sinψ0 sinψ cosψ

Caùc goùc ϕ, ψ, θ goïi laø caùc goùc quay Euler.

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

d

��e1

� e2

�e3

��

Te1

��Te2

�

Te3

ϕ

ψ�

θ�

4. Toaùn töû ñoái xöùng - Cheùo hoùa tröïc giao ma traän ñoái xöùng

4.1 Ñònh nghóa. AÙnh xaï tuyeán tính A : E −→ E goïi laø toaùn töû ñoái xöùng neáuu

< Ax, y >=< x,Ay >, ∀x, y ∈ E

4.2 Ma traän bieåu dieãn toaùn töû ñoái xöùng trong cô sôû tröïc chuaån.Ma traän bieåu dieãn toaùn töû ñoái xöùng trong cô sôû tröïc chuaån laø ma traän ñoái xöùng.Thaät vaäy, neáu (e1, · · · , en) laø cô sôû tröïc chuaån vaø A laø toaùn töû ñoái xöùng, thì:

< Aej , ei >=<∑k

akjek, ei >= aij


< ej, Aei >=< ei,∑k

akjek >= aji

Do tính ñoái xöùng suy ra aij = aji.

4.3 Daïng chính taéc cuûa ma traän ñoái xöùng.(i) Moïi toaùn töû ñoái xöùng trong khoâng gian vector Euclid höõu haïn chieàu ñeàu toàn taïi côsôû tröïc chuaån goàm toaøn vector rieâng (khi ñoù ma traän bieåu dieãn coù daïng ñöôøng cheùo).(ii) Moïi ma traän ñoái xöùng A ∈ MatR(n) toàn taïi ma traän tröïc giao P ∈ O(n) sao chotPAP laø ma traän ñöôøng cheùo.

Chöùng minh: Vieäc chöùng minh döïa vaøo caùc boå ñeà sau:

Boå ñeà 1. Moïi gía trò rieâng cuûa ma traän ñoái xöùng ñeàu laø soá thöïc.Gæa söû λ ∈ C laø gía trò rieâng cuûa A. Ta caàn chöùng minh λ laø soá thöïc, i.e. λ = λ. Tacoù Ax = λx, vôùi x ∈ Cn \ 0 laø vector rieâng (phöùc) cuûa A. Laáy lieân hôïp hai veá

Ax = Ax = λx = λx.

Do A laø ma traän thöïc neân A = A. Suy ra Ax = λx, i.e. λ laø moät gía trò rieâng cuûa A.Ta coù txAx = txλx = λ txx.Maët khaùc, do tA = A, txAx = t(tAx)x = t(Ax)x = λ txx.Vaäy (λ− λ)txx = 0. Do txx = |x1|2 + · · · + |xn|2 > 0, λ = λ.

Boå ñeà 2. Neáu λ laø gía trò rieâng cuûa ma traän ñoái xöùng A vaø V ′ = V ⊥λ , thì V ′ laø

A-baát bieán, nghóa laø A(V ′) ⊂ V ′.Thöïc vaäy, vôùi moïi x ∈ V ′, i.e. < x, e >= 0, ∀e ∈ Vλ, ta coù

< Ax, e >=< x,Ae >=< x, λe >= λ < x, e >= 0, ∀e ∈ Vλ.

Suy ra Ax ∈ V ⊥λ = V ′, i.e. A(V ′) ⊂ V ′.

Ñeå chöùng minh ñònh lyù ta laäp luaän qui naïp theo dimE. Do Boå ñeà 1, A coù gíatrò rieâng λ1. Ñaët V ′ = V ⊥

λ1, theo Boå ñeà 2, A|V ′ : V ′ → V ′. Theo gæa thieát qui naïp toàn

taïi cô sôû tröïc chuaån B′ cuûa V ′ goàm toaøn vector rieâng cuûa A|V ′ . Goïi B1 laø cô sôû tröïcchuaån cuûa Vλ1 . B = B1∪B′ laø cô sôû tröïc chuaån cuûa E goàm toaøn vector rieâng cuûa A. �

Nhaän xeùt. Gæa söû λ1 vaø λ2 laø caùc gía trò rieâng khaùc nhau cuûa ma traän ñoái xöùng A. Khiñoù caùc khoâng gian con rieâng Vλ1 = {x ∈ E : Ax = λ1x} vaø Vλ2 = {x ∈ E : Ax = λ2x}laø tröïc giao vôùi nhau, Vλ1 ⊥ Vλ2 .Thöïc vaäy, gæa söû e1 ∈ Vλ1 vaø e2 ∈ Vλ2 . Khi ñoù

λ1 < e1, e2 >=< λ1e1, e2 >=< Ae1, e2 >=< e1, Ae2 >=< e1, λ2e2 >= λ2 < e1, e2 > .

Do λ1 �= λ2, < e1, e2 >= 0, i.e. Vλ1 ⊥ Vλ2 .

Toùm taét ta coù thuaät toaùn sau:

30

4.4 Thuaät toaùn cheùo hoùa tröïc giao ma traän ñoái xöùng.Input: A ∈MatR(n), tA = A.Output: P ∈ O(n), D ma traän ñöôøng cheùo, sao cho P−1AP = D.

Böôùc 1: Giaûi phöông trình PA(λ) = det(A− λI) = 0.Phöông trình luoân coù ñuû n nghieäm thöïc: λ1, · · · , λs boäi r1, · · · , rs (r1 + · · ·+ rs = n).Böôùc 2: Vôùi i = 1, · · · , s, giaûi phöông trình tuyeán tính:

(A− λiI)x = 0 , tìm vector rieâng .

Phöông trình coù ñuû ri nghieäm ñoäc laäp tuyeán tính: f i1, · · · , f i

ri.

Tröïc chuaån hoaù G-S ta coù: ei1, · · · , eiri.

Böôùc 3: Xeáp caùc nghieäm eij theo coät: P = (e11 · · · esrs

). Khi ñoù P ∈ O(n) vaø

P−1AP = tPAP = diag(λ1, · · · , λ1︸︷︷︸r1

, · · · , λs, · · · , λs︸︷︷︸rs

)

Ví duï. Cheùo hoùa tröïc giao ma traän sau A =

1 2 2

2 1 22 2 1

.

Ña thöùc ñaëc tröng: PA(λ) = (λ− 5)(λ+ 1)2.- Vôùi gía trò rieâng λ = 5, giaûi phöông trình tuyeán tính töông öùng, ta coù caùc vectorrieâng laø (x, x, x), x ∈ R.Choïn moät vector (nghieäm) cô sôû, chaúng haïn a1 = (1, 1, 1).

Chuaån hoùa: e1 =1√3(1, 1, 1).

- Vôùi gía trò rieâng λ = −1 (boäi 2), caùc vector rieâng öùng vôùi gía trò rieâng naøy coù daïngtoång quaùt: (x, y,−x− y), x, y ∈ R.Choïn 2 vector cô sôû, chaúng haïn a2 = (1, 0,−1), a3 = (0, 1,−1).Tröïc giao hoùa:

b2 = a2 = (1, 0,−1), b3 = a3 − < a3, b2 >

< b2, b2 >b2 = (−1, 2,−1).

Chuaån hoùa: e2 =1√2(1, 0,−1), e3 =

1√6(−1, 2,−1).

Ñaët

P =

1/

√3 1/

√2 −1/

√6

1/√

3 0 2/√

61/

√3 −1/

√2 −1/

√6

.

Khi ñoù P laø ma traän tröïc giao vaø P−1AP = diag(5,−1,−1).

VIII. Daïng song tuyeán tính - Daïng toaøn phöông

Daïng song tuyeán tính ñoái xöùng töông öùng moät moät vôùi daïng toaøn phöông. Bieåu dieãnqua toïa ñoä daïng toaøn phöông laø moät ña thöùc thuaàn nhaát baäc hai. Daïng toaøn phöôngcoù nhieàu öùng duïng vaøo caùc baøi toaùn cô hoïc, hình hoïc, cöïc trò,.... Chöông naøy seõ ñeàcaäp ñeán: thuaät toaùn Lagrange nhaèm ñöa daïng toaøn phöông veà daïng chính taéc, daïngxaùc ñònh daáu vaø tieâu chuaån Sylvester ñeå nhaän bieát khi naøo daïng xaùc ñònh daáu, tieâuchuaån naøy coù theå öùng duïng vaøo baøi toaùn cöïc trò (ñieàu kieän ñaïo haøm caáp 2). Phaàncuoái chöông xeùt vieäc tìm bieán ñoåi tröïc giao ñeå ñöa moät daïng toaøn phöông trong khoânggian Euclid veà daïng chính taéc (ñònh lyù truïc chính), ñeåø aùp duïng vaøo vieäc nghieân cöùuhình hoïc caùc ñöôøng, maët baäc 2 ôû chöông sau.

1. Daïng song tuyeán tính

Cho V laø khoâng gian vector treân K.1.1 Ñònh nghóa. Moät daïng song tuyeán tính treân V laø aùnh xaï q : V × V −→ K, thoûacaùc ñieàu kieän sau vôùi moïi x, x′, y, y′ ∈ V vaø α, β ∈ K:

(B1) q(x+ x′, y) = q(x, y) + q(x′, y)q(αx, y) = αq(x, y)

(B2) q(x, y + y′) = q(x, y) + q(x, y′)q(x, βy) = βq(x, y)

Noùi caùch khaùc q tuyeán tính theo töøng bieán.Daïng song tuyeán tính q goïi laø ñoái xöùng neáuu q(x, y) = q(y, x), ∀x, y ∈ V.Ví duï.a) Ñònh thöùc caáp 2 laø daïng song tuyeán tính theo vector coät (doøng) trong K2.b) Tích voâ höôùng treân khoâng gian caùc vector hình hoïc E3 : �x.�y = ‖�x‖‖�y‖ cos(�x, �y).c) Tích voâ höôùng Euclid trong Rn : < x, y >= x1y1 + · · · + xnyn = txy.d) Daïng song tuyeán tính sinh bôûi ma traän A = (aij) ∈MatK(n):

qA : Kn ×Kn −→ K, qA(x, y) = txAy =n∑

i=1

n∑j=1

aijxiyj .

Ñeå yù laø qA ñoái xöùng khi vaø chæ khi A laø ma traän ñoái xöùng, i.e. aij = aji, ∀i, j.

1.2 Ma traän bieåu dieãn daïng song tuyeán tính.Giaû söû B = (e1, · · · , en) laø cô sôû cuûa V vaø q laø daïng song tuyeán tính treân V .Khi ñoù

q(x, y) = q(∑

i

xiei,∑j

yjej) =n∑

i,j=1

q(ei, ej)xiyj

Vaäy q ñöôïc hoaøn toaøn xaùc ñònh bôûi ma traän A = (ai,j) = (q(ei, ej)) ∈MatK(n).Ma traän A goïi laø ma traän bieåu dieãn cuûa q trong cô sôû B.

32

Ta coùq(x, y) = txBAyB

Baøi taäp: Chöùng minh q ñoái xöùng khi vaø chæ khi A ñoái xöùng.

Ví duï. Ma traän bieåu dieãn cuûa qA trong ví duï 1.1 d) trong cô sôû chính taéc chínhlaø ma traän A. Vì vaäy tích voâ hôùng coù ma traän bieåu dieãn trong cô sôû chính taéc laø matraän ñôn vò.Baøi taäp: Xaùc ñònh ma traän bieåu dieãn cuûa ñònh thöùc caáp 2 trong cô sôû chính taéc.

1.3 Chuyeån cô sôû.Giaû söû A laø ma traän bieåu dieãn q trong cô sôû B.

A′ laø ma traän bieåu dieãn q trong cô sôû B′.Goïi P laø ma traän chuyeån cô sôû töø B sang B′, i.e. B′ = BP .Khi ñoù vôùi x, y ∈ V , xB = PxB′ vaø yB = PyB′ .Vaäy q(x, y) = txBAyB = atxB′ tPAPyB′ , ∀x, y ∈ V.Suy ra moái quan heä giöõa A vaø A′:

A′ = tPAP

Nhaän xeùt. Töø coâng thöùc treân suy ra haïng cuûa ma traän bieåu dieãn q khoâng phuï thuoäccô sôû. Ta coù

1.4 Ñònh nghóa. Haïng cuûa daïng song tuyeán tính q, kyù hieäu rank(q), laø haïng cuûa matraän bieåu dieãn A trong cô sôû naøo ñoù.Ta noùi q laø khoâng suy bieán neáuu rank(q) = dimV .

2. Daïng toaøn phöông

2.1 Ñònh nghóa. Q : V −→ K goïi laø daïng toaøn phöông neáuu toàn taïi daïng songtuyeán tính q treân V sao cho: Q(x) = q(x, x), ∀x ∈ V.Khi ñoù ta noùi daïng toaøn phöông Q sinh bôûi daïng song tuyeán tính q.Nhaän xeùt. Q laø thuaàn nhaát baäc 2, i.e. Q(αx) = α2Q(x), ∀x ∈ V, α ∈ K.

Ví duï.a) Trong R2 vôùi toïa ñoä (x1, x2), moïi daïng toaøn phöông coù daïng:

Q(x1, x2) = ax21 + bx1x2 + cx2

2 = (x1 x2)

(a b/2b/2 c

)(x1

x2

)

b) Moät daïng toaøn phöông trong Rn laø ña thöùc thuaàn nhaát baäc 2 theo n bieán:

Q(x) = txAx =n∑

i,j=1

aijxixj

Ñeå yù laø daïng song tuyeán tính qA(x, y) = txAy cho ôû ví duï 1.2 d), sinh ra daïng toaønphöông treân.

Chöông VIII. Daïng song tuyeán tính - Daïng toaøn phöông 33

c) Tích voâ höôùng Euclid trong Rn sinh ra daïng toaøn phöông: x21 + · · · + x2

n.d) Daïng Lorentz trong khoâng-thôøi gian R4 = {(x, y, z, t)}: x2 +y2 +z2−ct2 (c > 0).

Nhaän xeùt. Coù theå coù nhieàu daïng song tuyeán tính sinh ra cuøng moät daïng toaøn phöông.Chaúng haïn, caùc daïng song tuyeán tính q = ax1y1+λx1y2+µx2y1+cx2y2, vôùi λ+µ = b,cuøng sinh ra moät daïng toaøn phöông Q = ax2

1 + bx1x2 + cx22.

2.4 Meänh ñeà. Moïi daïng toaøn phöông Q toàn taïi duy nhaát daïng song tuyeán tính ñoáixöùng q sinh ra Q, i.e. coù töông öùng 1-1 giöõa daïng toaøn phöông vaø daïng song tuyeán tínhñoái xöùng.

Chöùng minh: Gæa söû q laø daïng song tuyeán tính sinh ra Q. Ñaët q(x, y) =12(q(x, y) +

q(y, x). Khi ñoù q laø daïng song tuyeán tính ñoái xöùng sinh ra Q.Töø tính ñoái xöùng cuûa q, ta coù

q(x+ y, x+ y) = q(x, x) + q(y, y) + 2q(x, y).

Suy ra q ñôïc xaùc ñònh bôûi coâng thöùc:

q(x, y) =12(Q(x+ y) −Q(x) −Q(y)).

Vaäy tính duy nhaát cuûa q ñöôïc chöùng minh. �

Nhaän xeùt. Theo chöùng minh treân, daïng song tuyeán tính ñoái xöùng sinh ra

Q(x) = txAx =n∑

i,j=1

aijxixj

coù ma traän laø ma traän ñoái xöùng hoùa cuûa A:

A =12(A+ tA) , i.e. aij =

12(aij + aji).

2.3 Daïng cöïc cuûa daïng toaøn phöông = Daïng song tuyeán tính ñoái xöùng sinh ra noù.Ma traän bieåu dieãn daïng toaøn phöông trong moät cô sôû laø ma traän (ñoái xöùng) bieåu dieãndaïng cöïc cuûa noù trong cô sôû ñoù.

3. Daïng chính taéc

Baøi toaùn. Xeùt 3 baøi toaùn töông ñöông sau:1. Tìm cô sôû ñeå ma traän bieåu dieãn daïng song tuyeán ñoái xöùng coù daïng ñôn giaûn.2. Cho ma traän ñoái xöùng A ∈ MatK(n), tìm ma traän P ∈ GlK(n) sao cho tPAP laøma traän ñôn giaûn.

3. Cho daïng toaøn phöông Q =n∑

i,j=1

aijxixj , tìm pheùp ñoåi bieán x = PX sao cho Q

coù daïng ñôn giaûn theo bieán môùi.

34

Ta seõ chöùng minh coù theå ñöa veà daïng ma traän ñöôøng cheùo.

3.1 Ñònh nghóa. Cho q laø daïng song tuyeán tính treân V . Cô sôû B = (e1, · · · , en)cuûa V goïi laø cô sôû q-tröïc giao neáuu q(ei, ej) = 0, ∀i �= j.Nhaän xeùt. Moät cô sôû q-tröïc giao khi vaø chæ khi ma traän bieåu dieãn q trong cô sôû ñoù coùdaïng ñöôøng cheùo.

Keát quûa sau ñöôïc phaùt bieåu döôùi 3 daïng töông ñöông:

3.2 Ñònh lyù.(i) Moïi daïng song tuyeán tính ñoái xöùng q treân khoâng gian vector höõu haïn chieàu ñeàutoàn taïi cô sôû q-tröïc giao.(ii) Moïi ma traän ñoái xöùng A ∈MatK(n) ñeàu toàn taïi ma traän khaû nghòch P ∈ GlK(n)sao cho tPAP laø ma traän ñöôøng cheùo.

(iii) Moïi daïng toaøn phöông treân K, Q =n∑

i,j=1

aijxixj , toàn taïi bieái ñoåi tuyeán tính

x = PX , sao cho theo bieán môùi Q coù daïng chính taéc

Q = λ1X21 + · · · + λnX

2n.

Ñònh lyù ôû daïng (iii) ñöôïc chöùng minh qua thuaät toaùn sau:

3.3 Thuaät toaùn Lagrange.

Input: Daïng toaøn phöông Q =n∑

i,j=1

aijxixj �= 0 , (aij = aji)

Ouput: Daïng chính taéc Q = λ1X21 + · · · + λnX

2n.

Giaû söû ôû voøng laëp thöù k − 1, Q = λ1X21 + · · · + λk−1X

2k−1 +Qk(Xk, · · · , Xn),

trong ñoù Qk = akkX2k + 2(

∑j>k

akjXj)Xk +∑

i,j>k

aijXiXj

Baây giôø chæ bieán ñoåi Qk.Böôùc 1:• Tröôøng hôïp toàn taïi aii �= 0: Hoaùn vò vò trí i vaø k baèng ñoåi bieán

Xi = yk, Xk = yi, Xj = yj (j �= i, k). Ñaët λk = akk, roài qua böôùc 2.

• Tröôøng hôïp moïi aii = 0, vaø toàn taïi akl �= 0: Duøng ñoåi bieán

Xk = yk + yl, Xl = yk − yl, Xj = yj (j �= k, l). Ñaët λk = akl, roài qua böôùc 2.

• Tröôøng hôïp akj = 0 vôùi noïi j ≥ k: Ñaët λk = 0, roài qua böôùc 3.

Böôùc 2: Sau böôùc 1 ta coù Qk = λky2k + · · · vôùi λk �= 0.


Duøng bieán ñoåi λy2 + 2by = λ(y +b

λ)2 − b2

λ, ta coù

Qk = λky2k + 2(

∑j>k

a′kjyj)yk +∑

i,j>k

a′ijyiyj

= λk[ yk +1λk

(∑j>k

a′kjyj) ]2 − 1λk

(∑j>k

a′kjyj)2 +∑

i,j>k

a′ijyiyj

Ñoåi bieán: Xk = yk +1λk

∑j≥k

a′kjyj , Xj = yk (j ≥ k).

Khi ñoù Qk = λkX2k + Qk+1(Xk+1, · · · , Xn).

Böôùc 3: Neáu k < n, taêng k leân 1.

Sau höõu haïn voøng laëp (khi k = n) Q coùù daïng chính taéc caàn tìm.

Ví duï. Ñöa veà daïng chính taéc daïng toaøn phöông

Q = 2x1x2 − 4x2x3 + 6x3x1

Vì caùc heä soá cuûa x21, x

22, x

23 baèng 0, vaø heä soá cuûa x1x2 khaùc 0, ta ñoåi bieán:

x1 = y1 + y2, x2 = y1 − y2, x3 = y3.

Thay vaøo:

Q = 2(y1 + y2)(y1 − y2) − 4(y1 − y2)y3 + 6y3(y1 + y2)= 2y2

1 + 2y3y1 − 2y22 + 10y2y3

= 2(y1 +12y3)2 − 1

2y23 − 2y2

2 + 10y2y3

Ñoåi bieán X1 = y1 +12y3, roài tieán haønh töông töï cho caùc bieán sau:

Q = 2X21 − 2y2

2 + 10y2y3 − 12y23

= 2X21 − 2[(y2 − 5/2y3)2 − 25/4y2

3 ] −12y23

= 2X21 − 2(y2 − 5/2y3)2 + 12y2

3

Ñoåi bieán X2 = y2 − 5/2y3, X3 = y3. Ta coù daïng chính taéc:

Q = 2X21 − 2X3

2 + 12X23

Nhaän xeùt. Coù theå xaây döïng thuaät toaùn ôû daïng ma traän cuûa ñònh lyù treân:Ñeå tìm P sao cho tPAP = D coù daïng ñöôøng cheùo, ta caàn laàn löôït bieán ñoåi sô caáp treândoøng (= nhaân beân traùi A bôûi ma traän sô caáp E) ñi ñoâi vôùi bieán ñoåi sô caáp cuøng kieåutreân coät (= nhaân beân phaûi A bôûi ma traän sô caáp tE). Töø ñoù ta coù:

36

Thuaät toaùn:

Input: Ma traän ñoái xöùng A.

Output: Caùc ma traän P khaû nghòch vaø D ñöôøng cheùo, sao cho tPAP = D

Baét ñaàu thöïc hieän caùc bieán ñoåi sô caáp töø (I|A).Giaû söû ôû voøng laëp thöù k − 1, I ñaõ bieán ñoåi thaønh I ′ vaø A coù daïng

λ1 · · · 0 0 · · · 0. . .

......

0 · · · λk−1 0 · · · 00 · · · 0 akk · · · akn...

......

...0 · · · 0 ank · · · ann

Böôùc 1:• Tröôøng hôïp toàn taïi aii �= 0: Bieán ñoåi Di ↔ Dk, roài qua böôùc 2.• Tröôøng hôïp moïi aii = 0, vaø toàn taïi akl �= 0:

Bieán ñoåi Dk +Dl & Dl −Dk (= Dk +Dl, 2Dl −Dk) treân caëp (I ′|A).Bieán ñoåi Ck + Cl & Cl − Ck chæ treân A, roài qua böôc 2.

• Tröôøng hôïp akj = 0 vôùi moïi j ≥ k: qua böôùc 3.Böôùc 2: Sau böôùc 1 ta coù akk �= 0. Khöû caùc phaàn töû khaùc 0 phía döôùi akk, baèng bieánñoåi treân (I ′|A):

Dj − αjDk, vôùi αj =aij

akk(j > k)

Khöû caùc phaàn töû khaùc 0 phía phaûi akk, baèng bieán ñoåi chæ treân A:

Cj − αjCk, vôùi αj =aij

akk(j > k)

Böôùc 3: Neáu k < n, taêng k leân 1

Sau n voøng laëp A→ D coù daïng ñöôøng cheùo vaø I → tP , thoaû tPAP = D.

Ví duï. Ma traän bieåu dieãn cuûa daïng toaøn phöông ôû ví duï treân:

A =

0 1 −2

1 0 3−2 3 0


Thuaät toaùn treân ñöôïc tieán haønh nhö sau (khoâng thöïc hieän bieán ñoåi treân coät cuûa I)

(I|A) =

1 0 0 | 0 1 −2

0 1 0 | 1 0 30 0 1 | −2 3 0

−→ 1 1 0 | 1 1 1

−1 1 0 | 1 −1 50 0 1 | −2 3 0

(D1 +D2 & D2 −D1)

−→ 1 1 0 | 2 0 1

−1 1 0 | 0 −2 50 0 1 | 1 5 0

(C1 + C2 & C2 − C1)

−→ 1 1 0 | 2 0 1

−1 1 0 | 0 −2 5−1

2 −12 1 | 0 5 −1

2

(D3 − 1

2D1)

−→ 1 1 0 | 2 0 0

−1 1 0 | 0 −2 5−1

2 −12 1 | 0 5 −1

2

(C3 − 1

2C1)

−→ 1 1 0 | 2 0 0

−1 1 0 | 0 −2 5−3 2 1 | 0 0 12

(D3 + 5

2D2)

−→ 1 1 0 | 2 0 0

−1 1 0 | 0 −2 0−3 2 1 | 0 0 12

(C3 + 5

2C2)

Vaäy tP =

1 1 0

−1 1 0−3 2 1

vaø D =

2 0 0

0 −2 00 0 12

Nhaän xeùt. Khi coù daïng chính taéc, tieáp tuïc bieán ñoåi Xk :=√λkXk trong tröôøng hôïp

K := C, vaø Xk :=√|λk|Xk khi K := R ta coù:

3.5 Daïng chuaån taéc phöùc. Moïi daïng toaøn phöông Q treân khoâng gian vector phöùcñeàu toàn taïi cô sôû sao cho

Q = X21 + · · · +X2

r (r = rank(Q))

3.6 Daïng chuaån taéc thöïc (luaät quaùn tính). Moïi daïng toaøn phöông Q treân khoâng gianthöïc V ñeàu toàn taïi cô sôû sao cho

Q = X21 + · · · +X2

p −X2p+1 − · · · −X2

r

Caùc soá r vaø p laø khoâng phuï thuoäc caùch choïn cô sôû.Noùi caùch khaùc, toàn taïi phaân tích V = V+ ⊕ V− ⊕ V0, thoaû ñieàu kieän: Q|V+\{0} > 0,Q|V−\{0} < 0, Q|V0 = 0. Vôùi moïi caùc phaân tích nhö treân dimV+, dimV−, dimV0 laøkhoâng ñoåi.

38

Kyù hieäu ind+Q = p goïi laø chæ soá quaùn tính döông cuûa Q.ind−Q = r − p goïi laø chæ soá quaùn tính aâm .

Chöùng minh: Theo Ñònh lyù 3.2, toàn taïi cô sôû (e1, · · · , en) sao cho

Q = X21 + · · · +X2

p −X2p+1 − · · · −X2

r

Khi ñoù V+ = L(e1, · · · , ep), V− = L(ep+1, · · · , er), V0 = L(er+1, · · · , en) thoûa phaântích neâu treân.Gæa söû trong moät cô sôû khaùc (f1, · · · , fn) ta coù

Q = Y 21 + · · · + Y 2

q − Y 2q+1 − · · · − Y 2

r′

Roõ raøng r = r′ = haïng cuûa Q. Ta caàn chöùng minh p = q.Ñaët V1 = L(e1, · · · , ep), V2 = L(fq+1, · · · , fn). Khi ñoù neáu x ∈ V1 ∩ V2, thì

Q(x) = X21 + · · · +X2

p = −Y 2q+1 − · · · − Y 2

r .

Suy ra X1 = · · · = Xp = 0, i.e. x = 0. Vaäy V1 ∩ V2 = {0}.Suy ra dimV1 + dimV2 = dim(V1 + V2) ≤ dimV , i.e. p + n − q ≤ n. Suy ra p ≤ q.Do tính ñoái xöùng ta cuõng coù q ≤ p. Vaäy p = q. �

3.7 Daïng xaùc ñònh daáu. Cho Q laø daïng toaøn phöông treân khoâng gian vector thöïc.Khi ñoù

Q goïi laø xaùc ñònh döông , kyù hieäu Q > 0,neáuu Q(x) > 0, ∀x �= 0.Q goïi laø xaùc ñònh aâm , kyù hieäu Q < 0,neáuu Q(x) < 0, ∀x �= 0.Q goïi laø khoâng xaùc ñònh daáu neáuu toàn taïi x, y : Q(x) > 0, Q(y) < 0 .

Nhaän xeùt. Daïng xaùc ñònh daáu lieân quan ñeán baøi toaùn cöïc trò haøm nhieàu bieán (vôùi Qlaø ñaïo haøm caáp 2):Neáu Q > 0, thì Q ñaït min taïi 0; neáu Q < 0, thì Q ñaït max taïi 0; vaø neáu Q khoâng xaùcñònh daáu, thì Q khoâng coù cöïc trò taïi 0.

Nhaän xeùt. Duøng thuaät toaùn Lagrange ñöa Q veà daïng chính taéc:

Q = λ1X21 + · · · + λnX

2n.

Khi ñoù Q > 0 khi vaø chæ khi λ1, · · · , λn > 0, i.e. ind+Q = dimV .Q < 0 khi vaø chæ khi λ1, · · · , λn < 0, i.e. ind−Q = dimV .Q khoâng xaùc ñònh daáu khi vaø chæ khi toàn taïi i, j sao cho λiλj < 0.

Ví duï. Vôùi a �= 0, Q = ax2 + 2bxy + cy2 = a(x+b

ay)2 +

ac− b2

ay2

VaäyQ > 0 khi vaø chæ khi a > 0, ac− b2 > 0.Q < 0 khi vaø chæ khi a < 0, ac− b2 > 0.Q khoâng xaùc ñònh daáu khi vaø chæ khi ac− b2 < 0.


Trong ví duï treân ta thaáy laø coù theå döïa vaøo moät soá ñieàu kieän veà daáu cuûa ñònh thöùc cuûama traän bieåu dieãn cuûa moät daïng toaøn phöông ñeå bieát daïng ñoù khi naøo xaùc ñònh daáu.Toång quaùt, ta coù coâng thöùc sau:

Cho daïng toaøn phöông thöïc Q =n∑

i,j=1

aijxixj .

Goïi Dk = det(aij)1≤i,j≤k (k = 1, · · · , n), laø k-minor chính.

3.8 Coâng thöùc Jacobi. Neáu D1 �= 0, · · · , Dr �= 0, thì töø thuaät toaùn Lagrange

Q = D1X21 +

D2

D1X2

2 + · · · + Dr

Dr−1X2

r +Qr+1(Xr+1, · · · , Xn).

Chöùng minh: Gæa söû Q(x) = txAx vaø A′ = tPAP . Goïi Dk vaø D′k laø caùc k-minor

chính cuûa A vaø A′ töông öùng.Boå ñeà 1. Gæa söû ma traän chuyeån P coù daïng tam giaùc treân vôùi caùc phaàn töû treân ñöôøngcheùo chính baèng 1

P =

1 × · · · ×0 1 · · · ×...

...0 0 · · · 1

Khi ñoù D′k = Dk, vôùi k = 1, · · · , n.

Thaät vaäy, neáu goïi Ak, A′k vaø Pk laø caùc ma traän con chính caáp k, i.e. caùc ma traän taïo

bôûi k doøng k coät ñaàu cuûa A,A′ vaø P töông öùng, thì deã thaáy A′k = tPkAkPk. Suy ra

D′k = det( tPkAkPk) = det tPk detAk detPk = (detPk)2 detAk = Dk.

Boå ñeà 2. Neáu D1 �= 0, · · · , Dr �= 0, thì thuaät toaùn Lagrange ôû caùc voøng laëp ≤ rcoù ma traän cuûa pheùp ñoåi bieán coù daïng cho ôû Boå ñeà 1.

Ta chöùng minh boå ñeà baèng qui naïp theo k (1 ≤ k ≤ r). Vôùi k = 1, a11 = D1 �= 0 neântheo böôùc 2 cuûa thuaät toaùn ta duøng ñoåi bieán coù daïng neâu treân.Baây giôø gæa söû boå ñeà ñuùng tôùi k− 1. Theo thuaät toaùn Lagrange ôû voøng thöù k− 1, quapheùp ñoåi bieán x = PX , vôù P coù daïng ôû Boå ñeà 1, sao cho Q coù daïng

Q(x) = Q(PX) = λ1X21 + · · · + λk−1X

2k−1 + a′kkX

2k + 2(

∑j>k

a′kjXj)Xk + · · · ,

i.e. ma traän bieåu dieãn cuûa Q theo bieán X coù daïng

A′ = tPAP =

λ1 · · · 0 0 · · · 0. . .

......

0 · · · λk−1 0 · · · 00 · · · 0 a′kk · · · a′kn...

......

...0 · · · 0 a′nk · · · a′nn

40

Theo Boå ñeà 1, a′kk = D′k = Dk �= 0. Vaäy ôû voøng laëp thöù k cuûa thuaät toaùn seõ söû duïng

bieán ñoåi daïng cho ôû Boå ñeà 1, i.e. Boå ñeà ñuùng tôùi k.

Döïa vaøo 2 boå ñeà treân, ta coù coâng thöùc Jacobi. �

Töø coâng thöùc treân ta coù:

3.9 Tieâu chuaån Sylvester.

Q > 0 khi vaø chæ khi D1 > 0, D2 > 0, · · · , Dn > 0

Q < 0 khi vaø chæ khi D1 < 0, D2 > 0, · · · , (−1)nDn > 0.

3.10 AÙp duïng vaøo baøi toaùn cöïc trò. Daïng xaùc ñònh daáu ñöôïc aùp duïng vaøo baøi toaùntìm cöïc trò ñòa phöông haøm f : U → R, vôùi U ⊂ R3 laø taäp môû.Neáu f khaû vi ñeán caáp 2, thì theo khai trieån Taylor cuûa f taïi M0 ∈ U :

f(M) = f(M0)+Df(M0)(M−M0)+12

t(M−M0)Hf(M0)(M−M0)+o(‖M−M0‖2).

trong ñoù phaàn baäc nhaát xaùc ñònh bôûi ma traän Jacobi Df(M0) = t(∂f

∂x

∂f

∂y

∂f

∂z)M0

vaø phaàn baäc hai xaùc ñònh bôûi ma traän Hess Hf(M0), laø ma traän ñoái xöùng:

Hf(M0) =

∂2f

∂x2

∂2f

∂x∂y

∂2f

∂x∂z∂2f

∂y∂x

∂2f

∂y2

∂2f

∂y∂z∂2f

∂z∂x

∂2f

∂z∂y

∂2f

∂z2

M0

Theo ñieàu kieän caàn neáu f ñaït cöïc trò taïi M0, thì Df(M0) = 0.Khi Df(M0) = 0, töø coâng thöùc treân ta thaáy khi ‖M−M0‖ ñuû beù, giaù trò f(M) lôùn hônhay nhoû hôn f(M0) phuï thuoäc vaøo daáu cuûa daïng toaøn phöông xaùc ñònh bôûi Hf(M0).

Ví duï. Xeùt cöïc trò haøm f(M) = x3 + y3 − 3xy + z2, M = (x, y, z) ∈ R3.Ñieåm nghi ngôø cöïc trò laø ñieåm M , sao cho:

Df(M) =

3x2 − 3y

3y2 − 3x2z

=

0

00

Vaäy ta coù hai ñieåm caàn xeùt laø O = (0, 0, 0) vaø M0 = (1, 1, 0).Ma traän Hess cuûa f :

Hf(M) =

6x −3 0

−3 6y 00 0 2


Taïi M0 caùc ñònh thöùc chính laø: D1 = 6 > 0, D2 = 27 > 0, D3 = 54 > 0.Theo tieâu chuaån Sylvester Hf(M0) > 0. Suy ra f ñaït cöïc tieåu taïi M0.Taïi O ù daïng toaøn phöông

tMHf(0, 0, 0)M = −6xy + 2z2 = −6(X + Y )(X − Y ) + 2z2 = −6X2 + 6Y 2 + 2Z2

coù haïng cöïc ñaïi vaø khoâng xaùc ñònh daáu. Vaäy f khoâng ñaït cöïc trò taïi O.

3.10 Daïng chính taéc cuûa toaøn phöông trong khoâng gian vector Euclid Cho E laøkhoâng gian vector Euclid. Xeùt daïng toaøn phöông Q : E → R.Khi coá ñònh cô sôû tröïc chuaån trong E, ta coù theå xem Q laø daïng toaøn phöông treân Rn

vôùi tích voâ höôùng Euclid <,>. Ta coù bieåu dieãn

Q(x) =n∑

i,j=1

aijxixj = txAx = < Ax, x >,

trong ñoù A = (aij)n×n laø ma traän ñoái xöùng, x =

x1...xn

.

Töø thuaät toaùn cheùo hoaù tröïc giao ma traän ñoái xöùng, ta coù caùc keát quaû töông ñöông sau:

Ñònh lyù truïc chính.(i) Moïi daïng song tuyeán tính ñoái xöùng q trong khoâng gian vector Euclid höõu haïn chieàuñeàu toàn taïi côû sôû vöøa tröïc chuaån (theo tích voâ höôùng), vöøa q-tröïc giao.(ii) Moïi daïng toaøn phöông Q treân khoâng gian vector Euclid ñeàu toàn taïi cô sôû tröïc chuaånsao cho Q coù daïng chính taéc.

Cuï theå, neáu Q(x) =t xAx, thì toàn taïi P ∈ O(n) laø ma traän maø caùc coät laø moät heä côsôû tröïc chuaån cuûa Rn, goàm caùc vector rieâng cuûa A öùng vôùi gía trò rieâng λ1, · · · , λn,

sao cho pheùp ñoåi bieán x = PX , vôùi X =

X1...Xn

, ta coù

Q(x) = Q(PX) = λ1X21 + · · · + λ2

nX2n.

Nhaän xeùt. Thuaät toaùn Lagrange ñöa daïng toaøn phöông veå daïng chính taéc nhöng trongcô sôû khoâng nhaát thieát tröïc chuaån. Coøn thuaät toaùn cheùo hoùa tröïc giao ôû chöông VII,pheùp bieán ñoåi laø tröïc giao, i.e. bieåu dieãn daïng toaøn phöông trong cô sôû tröïc chuaån,neân khoâng laøm thay ñoåi “kích thöôùc” cuûa daïng. Vì vaäy phöông phaùp naøy ñöôïc aùpduïng vaøo hình hoïc Euclid (xem chöông sau)

IX. AÙp duïng vaøo hình hoïc

Chöông naøy seõ neâu moät soá aùp duïng cuûa ñaïi soá tuyeán tính vaøo hình hoïc affin vaø hìnhhoïc Euclid. Cuï theå ta seõ xeùt ñeán caùc pheùp bieán hình thoâng duïng vaø caùc ñöôøng, maëtbaäc hai.

1. Caáu truùc affin chính taéc cuûa moät khoâng gian vector

Cho E laø moät khoâng gian vector n chieàu treân R.

1.1 Ñònh nghóa. Khi xem caùc phaàn töû cuûa E laø caùc ñieåm thì E ñöôïc trang bò moät caáutruùc affin chính taéc ñöôïc ñònh nghóa nhö sau:

E × E → E, (A,B) �→−→AB= B −A

Khi ñoù E ñöôïc goïi laø moät khoâng gian affin n chieàu.Hôn nöõa, neáu E laø khoâng gian vector Euclid, thì luùc ñoù ta goïi E laø khoâng gian Euclid.Khi ñoù ta ñònh nghóa:

Khoaûng caùch giöõa hai ñieåm A,B ∈ E laø d(A,B) = ‖ −→AB ‖

Goùc AOB, vôùi O,A,B ∈ E, laø goùc coù cos(AOB) = cos(−→OA,

−→OB).

�

O

��

��

��

��B

�A

��

��

d(A,B) = ‖ −→AB ‖

AOB

Qui öôùc: Ñeå phaân bieät vector vaø ñieåm trong E, trong chöông naøy ta qui öôùc:• Khi xem E laø khoâng gian vector, thì phaàn töû cuûa noù laø vector vaø duøng kyù hieäu

→x .

• Khi xem E laø khoâng gian affin, thì phaàn töû cuûa noù laø ñieåm vaø duøng kyù hieäuA,B,O,M, · · · . Ñaëc bieät, duøng kyù hieäu 0 cho ñieåm öùng vôùi vector khoâng cuûa E.

Meänh ñeà. Vôùi moïi ñieåm A,B,C ∈ E, ta coù:

−→AB=

→0 ⇔ A = B,

−→BA= −

−→AB,

−→AB +

−→BC=

−→AC (heä thöùc Chasles)

1.2 AÙnh xaï affin. Cho E,F laø caùc khoâng gian vector höõu haïn chieàu treân R.AÙnh xaï f : E → F , goïi laø affin neáuu toàn taïi aùnh xaï tuyeán tính f∗ : E → F , sao cho

−−−−−−→f(A)f(M)= f∗(

−→AM) hay f(M) = f(A) + f∗(

−→AM), ∀A,M ∈ E

44

Deã thaáy khi ñoù f∗ laø duy nhaát vaø goïi laø phaàn tuyeán tính cuûa f .Kyù hieäu Aff(E,F ) laø taäp moïi aùnh xaï affin töø E vaøo F .

Ví duï. Moïi aùnh xaï affin f : Rn → Rm, coù daïng f(x) = c+Ax,trong ñoù A laø m× n ma traän vaø c ∈ Rm.

Meänh ñeà. Cho f ∈ Aff(E,F ), g ∈ Aff(F,G). Khi ñoù

g ◦ f ∈ Aff(E,G), vaø (g ◦ f)∗ = g∗ ◦ f∗

Baøi taäp: Chöùng minh meänh ñeà treân.

1.3 Ñaúng caáu affin. Moät song aùnh affin töø E leân F goïi laø moät ñaúng caáu affin.Khi E = F moät ñaúng caáu affin goïi laø töï ñaúng caáu affin hay pheùp bieán ñoåi affin treân E.Taäp caùc pheùp bieán ñoåi affin treân E, kyù hieäu GA(E), goïi laø nhoùm affin cuûa E.Khi E laø khoâng gian Euclid, moät pheùp ñaúng cöï treân E laø song aùnh f : E → E sao cho

d(f(A), f(B)) = d(A,B), ∀A,B ∈ E

Taäp caùc pheùp ñaúng cöï treân E, kyù hieäu Iso(E), goïi laø nhoùm ñaúng cöï treân E.

Meänh ñeà. GA(E) vaø Iso(E) laø caùc nhoùm vôùi pheùp hôïp thaønh ◦.

Baøi taäp: Chöùng minh meänh ñeà treân.

Theo moät nghóa naøo ñoù, hình hoïc affin nghieân cöùu caùc tính chaát hình hoïc baát bieán(khoâng ñoåi) qua caùc pheùp bieán ñoåi affin (chaúng haïn tính song song), coøn hình hoïceuclid nghieân cöùu caùc tính chaát hình hoïc baát bieán qua caùc pheùp ñaúng cöï (chaúng haïntính baûo toaøn goùc, tính baûo toaøn khoaûng caùch).

1.4 Cô sôû affin. Moät cô sôû affin cuûa E laø moät caëp (O;B) = (O;�e1, · · · , �en), trong ñoùO ∈ E ñöôïc goïi laø goác , B = (�e1, · · · , �en) laø moät cô sôû cuûa khoâng gian vector E.Neáu E laø khoâng gian Euclid vaø B laø cô sôû tröïc chuaån, thì (O;B) ñöôïc goïi laø cô sôû euclid.

1.5 Toïa ñoä affin. Cho (O;B) = (O;�e1, · · · , �en) laø moät cô sôû affin cuûa E. Khiñoù vôùi moïi M ∈ E, ta coù bieåu dieãn duy nhaát

−→OM= x1�e1 + · · · + xn�en

Boä soá x =

x1...xn

∈ Rn ñöôïc goïi laø toïa doä ñieåm M theo cô sôû (O;B).

Khi ñoù E ñöôïc ñoàng nhaát vôùi Rn qua ñaúng caáu M ↔ x.

Chöông IX. AÙp duïng vaøo hình hoïc 45

�

O

��

��

→

e1

�→

e2

�

��

��

��

x1→e1

�

x2→e2

��M ↔(x1

x2

)

1.6 Coâng thöùc chuyeån cô sôû. Cho (O;B) = (O;�e1, · · · , �en) vaø (I;B′) = (I; �e′1, · · · , �e′n)laø hai cô sôû affin cuûa E.Goïi x vaø x′ laø caùc toïa ñoä töông öùng cuûa cuøng moät ñieåm M ∈ E theo hai cô sôû treân.Goïi P laø ma traän chuyeån cô sôû B sang B′ vaø b laø toïa ñoä I trong cô sôû (O,B).

Töø heä thöùc−→OM=

−→OI +

−→IM , ta coù coâng thöùc sau

x = b+ Px′ hay

(x1

)=

(P bO 1

)(x′

1

)

Neáu B = B′, thì ta goïi pheùp chuyeån cô sôû treân laø pheùp tònh tieán cô sôû töø O ñeán I.Khi ñoù P = In vaø x = b+ x′.Neáu caùc cô sôû laø cô sôû euclid, thì P laø ma traän tröïc giao.

Ví duï. Trong R2 cho moät cô sôû tröïc chuaån (O,→e1,

→e2). Cho I ∈ R2 coù toïa ñoä

(a1, a2). Khi ñoù:Neáu chuyeån qua cô sôû (I, k1

→e1, k2

→e2), thì coâng thöùc chuyeån toïa ñoä laø{

x1 = a1 + k1x′1

x2 = a2 + k2x′2

Neáu chuyeån qua cô sôû (I,→e′1,

→e′2), vôùi

→e′1,

→e′2 laø quay cuûa

→e1,

→e2 moät goùc ϕ, thì coâng

thöùc chuyeån toïa ñoä laø {x1 = a1 + cosϕ x′1 − sinϕ x′2x2 = a2 + sinϕ x′1 + cosϕ x′2

1.7 Bieåu dieãn ma traän aùnh xaï affin. Cho f : E → F laø aùnh xaï affin.Cho (O;B) = (O;�e1, · · · , �en) laø cô sôû cuûa E, (I; C) = (I; �f1, · · · , �fn) laø cô sôû cuûa F .Goïi c laø toïa ñoä cuûa f(O) trong cô sôû (I, C) vaø A = M C

B(f∗).Vôùi moïi M ∈ E, kyù hieäu x laø toïa ñoä M trong cô sôû (O,B) vaø y laø toïa ñoä f(M) trongcô sôû (I, C).

Töø heä thöùc f(M) = f(O) + f∗(−→OM), ta coù coâng thöùc

y = c+Ax hay

(y1

)=

(A cO 1

)(x1

)

46

1.8 Khoâng gian affin con - Phaúng k chieàu. Moät taäp con F cuûa khoâng gian affinE goïi laø moät khoâng gian affin con hay moät phaúng trong E neáuu toàn taïi moät ñieåmM0 ∈ E vaø moät khoâng gian vector con F∗ cuûa khoâng gian vector E, sao cho:

F = M0 + F∗ = {M ∈ E :−→M0M∈ F∗} = {M0+

→v :

→v∈ F∗}

Khi ñoù F ñöôïc goïi laø moät phaúng qua M0, coù phöông F∗ vaø soá chieàu dimF = dimF∗.Khi dimF = 1, 2, dimE − 1, thì F laàn löôït ñöôïc goïi laø ñöôøng thaúng, maët phaúng, sieâuphaúng.

��

��

��

��F∗

�0

��

��

��

��F

� M0

F

�M0

��

��

��

��

F∗�0

Baøi taäp: Chöùng minh neáu moät phaúng coù hai bieåu dieãn F = M1 + F∗ = M2 + F ′∗, thìF∗ = F ′∗ vaø

−→M1M2∈ F∗.

Cho (O;B) = (O;�e1, · · · , �en) laø cô sôû affin cuûa E. Töông töï nhö phöông trình ñöôøngthaúng vaø maët phaúng trong khoâng gian ba chieàu, moät phaúng k chieàu F = M0 + F∗trong E coù theå bieåu dieãn bôûi taäp caùc ñieåm M coù toïa ñoä x trong cô sôû ñaõ cho thoaû:

Phöông trình tham soá: x = x0 + t1→v1 + · · · + tk

→vk, t1, · · · , tk ∈ R,

trong ñoù x0 laø toïa ñoä cuûa M0 vaø→v1, · · · , →vk laø cô sôû cuûa F∗.

Phöông trình: Ax = b,trong ñoù A ∈Mat(n− k, n) coù haïng n− k vaø b ∈ Rn−k sao choF∗ = {→v∈ E : toïa ñoä v cuûa

→v thoaû Av = 0} vaø b = Ax0 (x0 laø toïa ñoä cuûa M0)

Ví duï. Trong R3, heä hai phöông trình tuyeán tính ñoäc laäp nhau xaùc ñònh moät ñöôøngthaúng{

A1x1 +B1x2 + C1x3 +D1 = 0A2x1 +B2x2 + C2x3 +D2 = 0

, ñieàu kieän: rank

(A1 B1 C1

A2 B2 C2

)= 2

Moät sieâu phaúng trong Rn, ñöôïc cho bôûi moät phöông trình:

a1x1 + · · · + anxn + b = 0 (a21 + · · · + a2

n = 0)

Phaúng F goïi laø song song vôùi phaúng F ′, kyù hieäu F ‖ F ′, neáuu F∗ ⊂ F ′∗.Baøi taäp: Chöùng minh quan heä song song treân taäp caùc phaúng cuûa E coù tính phaûn xaïvaø baéc caàu, i.e vôùi caùc phaúng F, F ′, F ′′ trong E, ta coù:

F ‖ F vaø F ‖ F ′, F ′ ‖ F ′′ ⇒ F ‖ F ′′


2. Moät soá aùnh xaï affin thoâng duïng.

2.1 Pheùp tònh tieán. Cho→v∈ E. Pheùp tònh tieán theo

→v , laø aùnh xaï t→

v: E → E,

thoaû−−−−−−→Mt→

v(M)=

→v hay t→

v(M) = M+

→v , ∀M ∈ E

Vaäy pheùp tònh tieán laø bieán ñoåi affin vôùi phaàn tuyeán tính (t→v)∗ = idE .

��

��

�t→v(M)

�M

→v

Meänh ñeà. Vôùi moïi→u,

→v∈ E, ta coù t→

u◦ t→

v= t→

u+→v, t→

0= idE , (t→

v)−1 = t−→

v

Noùi moät caùch khaùc, taäp caùc pheùp tònh tieán Trans(E) = {t→v

:→v∈ E} vôùi luaät hôïp thaønh

◦ laø moät nhoùm, ñaúng caáu vôùi nhoùm (E,+).

Baøi taäp: Chöùng minh pheùp tònh tieán trong khoâng gian Euclid baûo toaøn ñoä daøi, baûotoaøn goùc vaø vì vaäy baûo toaøn theå tích n chieàu.

Neáu (O;B) laø cô sôû affin cuûa E, thì t→v

coù bieåu dieãn trong cô sôû ñoù laø

x �→ c+ x, vôùi c laø toïa ñoä→v trong cô sôû B

Nhaän xeùt. Cho f ∈ Aff(E,E) vaø O ∈ E. Ta coù

f(M) = f(O) + f∗(−→OM) = (f(O) −O) + (O + f∗(

−→OM)), ∀M ∈ E

Goïi g : E → E, g(M) = O + f∗(−→OM). Khi ñoù g(O) = O. Ta noùi g coù taâm O.

Goïi→v=

−−−−−→Of(O)= f(O) −O. Khi ñoù ta coù:

Meänh ñeà. Vôùi moïi aùnh xaï affin f : E → E, vaø moïi ñieåm O ∈ E, toàn taïi aùnh xaïaffin g : E → E vaø vector

→v , sao cho

f = t→v◦ g, vôùi g(O) = O, vaø g∗ = f∗

2.2 Pheùp chieáu - Pheùp ñoái xöùng. Cho H laø moät sieâu phaúng trong khoâng gian E vaø→v∈ E khoâng song song vôùi H .Pheùp chieáu theo phöông

→v leân H laø aùnh xaï P = P

H,→v

: E → E, thoaû

P (M) ∈ H vaø−−−−−−→MP (M) ‖ →

v , ∀M ∈ E

48

Pheùp ñoái xöùng qua H theo phöông→v laø aùnh xaï S = S

H,→v

: E → E, thoaû

−−−−−−→MS(M)= 2

−−−−−−→MP (M) , ∀M ∈ E

��

��

H

��

��

�M

�P (M)

�

→v

��

��

H

�P (M)

�M

�S(M)

→n

Töø ñònh nghóa deã daøng suy ra:

Meänh ñeà. Pheùp chieáu P vaø pheùp ñoái xöùng S laø caùc aùnh xaï affin. Ngoaøi ra,

P ◦ P = P vaø S ◦ S = IdE

Ñeå tìm bieåu thöùc cuï theå ta coù caùc coâng thöùc sau xem nhö baøi taäp:

Baøi taäp: Trong R3, cho maët phaúng H : Ax+By + Cz +D = 0, vaø→v= (a, b, c).

a) Chöùng minh pH,

→v(x, y, z) = (x, y, z) − Ax+By + Cz +D

Aa+Bb+ Cc

→v

b) Suy ra coâng thöùc pheùp chieáu vuoâng goùc leân H , i.e. khi→v=

→n⊥ H .

c) Chöùng minh pheùp ñoái xöùng (vuoâng goùc) qua H cho bôûi

SH,

→n(x, y, z) = (x, y, z) − 2

Ax+By + Cz +D

A2 +B2 + C2(A,B,C)

Ta cuõng coù theå ñònh nghóa pheùp chieáu vuoâng goùc hay pheùp ñoái xöùng qua khoâng giansoá chieàu tuøy yù.

Baøi taäp: Trong R3 cho ñöôøng thaúng D :x− x0

a=y − y0

b=z − z0c

.

Haõy ñònh nghóa vaø tìm bieåu thöùc cuûa pheùp chieáu vuoâng goùc PD(x, y, z) vaø pheùp ñoáixöùng vuoâng goùc SD(x, y, z) cuûa M = (x, y, z) leân D.

2.3 Pheùp ñaúng cöï. Cho E laø khoâng gian Euclid. Xeùt caùc pheùp ñaúng cöï f ∈ Iso(E).

Meänh ñeà. f : E → E laø moät pheùp ñaúng cöï khi vaø chæ khi f laø moät ñaúng caáu affin treânE vaø phaàn tuyeán tính f∗ laø bieán ñoåi tröïc giao treân E, i.e. f∗ ∈ O(E).

Chöùng minh: Roõ raøng neáu f∗ laø pheùp bieán ñoåi tröïc giao, thì f laø pheùp ñaúng cöï.Ngöôïc laïi, giaû söû f laø moät pheùp ñaúng cöï. Tröôùc heát ta chöùng minh f laø aùnh xaï affin.

Goïi→v=

−−−−−→0f(0) . Xeùt aùnh xaï g = t−→

v◦ f .


Khi ñoù g(0) = 0. Hôn nöõa, vôùi moïi M,N ∈ E, ta coù

‖g(M) − g(N)‖ = ‖t−→v(f(M)) − t−→

v(f(N))‖ = ‖f(M) − f(N)‖ = ‖M −N‖,

i.e. g baûo toaøn khoaûng caùch trong khoâng gian vector Euclid E. Vaäy g laø toaùn töû tröïcgiao (xem phaàn toaùn töû tröïc giao cuûa chöông VII). Do E laø khoâng gian höõu haïn chieàuneân g laø song aùnh. Suy ra f = t→

v◦ g laø ñaúng caáu affin vaø f∗ = g ∈ O(E) . �

Heä quaû. Iso(E) laø nhoùm con cuûa nhoùm GA(E).

Baøi taäp: Chöùng minh caùc pheùp ñaúng cöï baûo toaøn ñoä daøi, baûo toaøn goùc vaø vì vaäybaûo toaøn theå tích n chieàu.

Neáu (O;B) laø cô sôû euclid cuûa E, thì theo chöùng minh treân moïi pheùp ñaúng cö ftreân E coù bieåu dieãn trong cô sôû ñaõ cho laø

x �→ c+ Px , P ∈ O(n)

Ngöôøi ta thöôøng phaân bieät hai loaïi bieán hình cuûa pheùp ñaúng cöï f :Pheùp dôøi hình khi det f∗ = 1.Pheùp phaûn dôøi hình khi det f∗ = −1.

Moâ taû pheùp ñaúng cöï trong R2:Cho f : R2 → R2 laø aùnh xaï affin. Khi doù f ñöôïc goïi laø:Pheùp quay taâm I ∈ R2 vôùi goùc quay ϕ vaø kyù hieäu f = RI,ϕ neáuu

−−−−−−−−−−→IRI,ϕ(M) = Rϕ(

−→IM), ∀M ∈ R2

Pheùp ñoái xöùng-tröôït neáuu toàn taïi ñöôøng thaúng D vaø→u‖ D, sao cho f = t→

u◦ SD ,

trong ñoù SD laø pheùp ñoái xöùng (vuoâng goùc) qua D.Deã thaáy pheùp quay vaø pheùp ñoái xöùng-tröôït laø caùc pheùp ñaúng cöï.

�

I

ϕ ��

��

��

��

��

��

��

��

��

�

�

�

�

M

�

RI,ϕ(M)

D

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��f(M)

→u

�

M

�SD(M)

50

Ví duï. Pheùp ñoái xöùng- tröôït qua truïc Oy coù daïng: f(x, y) = (−x, y + a)

Baøi taäp: Chöùng minh khi duøng cô sôû chính taéc trong R2, ta coùa) Pheùp quay taâm I = (a, b) goùc ϕ cho bôûi coâng thöùc

RI,ϕ(x1, x2) =

(y1 = c1 + cosϕx1 − sinϕx2

y2 = c2 + sinϕx1 + cosϕx2

)

trong ñoù c1, c2 phuï thuoäc vaøo a, b, ϕ.b) Pheùp ñoái xöùng qua ñöôøng thaúng D : Ax1 +Bx2 + C = 0 cho bôûi coâng thöùc

(y1, y2) = SD(x1, x2) = (x1, x2) − 2Ax1 +Bx2 + C

A2 +B2(A,B)

Meänh ñeà. Cho f ∈ Iso(R2). Khi ñoù• f laø pheùp dôøi hình khi vaø chæ khi f laø pheùp tònh tieán hay laø pheùp quay.• f laø pheùp phaûn dôøi hình khi vaø chæ khi f laø pheùp ñoái xöùng-tröôït.

Chöùng minh: Deã thaáy khi f coù caùc daïng neâu treân thì f laø ñaúng cöï. Ta chöùngminh chieàu ngöôïc laïi. Do f ∈ Iso(R2), neân phaàn tuyeán tính f∗ ∈ O(R2).(1) Tröôøng hôïp det f∗ = 1, i.e. f laø pheùp dôøi hình. Khi ñoù f∗ laø pheùp quay goùc ϕ,neân trong cô sôû chính taéc f coù daïng{

y1 = c1 + cosϕx1 − sinϕx2

y2 = c2 + sinϕx1 + cosϕx2

Neáu ϕ = 0 (mod2π), thì f = t→v

laø pheùp tònh tieán vector→v= (c1, c2).

Neáu ϕ = 0 (mod2π), thì f = RI,ϕ laø pheùp quay taâm I moät goùc ϕ. Ñeå chöùng minh tatìm taâm I laø ñieåm baát ñoäng cuûa f , i.e. tìm nghieäm phöông trình

f(I) = I ⇔{

(1 − cosϕ)x1 + sinϕx2 = c1− sinϕx1 + (1 − cosϕ)x2 = c2

Heä phöông trình treân coù ñònh thöùc (cosϕ− 1)2 + sin2 ϕ = 0, neân coù duy nhaát nghieäm.

Vaäy f coù duy nhaát ñieåm baát ñoäng I. Töø−−−−−→If(M)=

−−−−−→f(I)f(M)= f∗(

−→IM), suy ra f laø

pheùp quay taâm I goùc ϕ.

(2) Tröôøng hôïp det f∗ = −1, i.e. f laø phaûn dôøi hình. Khi ñoù f(M) = f(O)+f∗(−→OM),

vôùi aùnh xaï tuyeán tính f∗ = SD∗ laø pheùp ñoái xöùng qua moät ñöôøng thaúng D∗ qua O.

Vieát caùch khaùc f = t→v◦ SD∗ , vôùi

→v=

−−−−−→Of(O).

Phaân tích→v=

→u +

→w, vôùi

→u∈ D∗,

→w⊥ D∗. Khi ñoù deã thaáy t→

w◦ SD∗ = SD, trong ñoù

D = 12

→w +D∗ laø tònh tieán cuûa ñöôøng thaúng D∗. Suy ra f = t→

u◦SD laø pheùp ñoái xöùng

qua D vaø tröôït song song vôùi D theo→u . �

Nhaän xeùt. Cho f ∈ Iso(R2). Tuøy thuoäc vaøo det f∗ vaø soá ñieåm baát ñoäng, ta coù:Neáu det f∗ = 1 vaø f khoâng coù ñieåm baát ñoäng, thì f laø pheùp tònh tieán.


Neáu det f∗ = 1 vaø f moät ñieåm baát ñoäng I, thì f laø pheùp quay taâm I.Neáu det f∗ = −1 vaø f khoâng coù ñieåm baát ñoäng, thì f laø pheùp ñoái xöùng tröôït.Neáu det f∗ = −1 vaø f coù ñieåm baát ñoäng, thì f laø pheùp ñoái xöùng.

Moâ taû pheùp ñaúng cöï trong R3:Cho f : R3 → R3 laø moät aùnh xaï affin. Khi ñoù f ñöôïc goïi laø:Pheùp quay-tröôït hay pheùp xoaén neáuu f laø hôïp cuûa pheùp quay quanh truïc l vaø pheùptònh tieán song song vôùi l, i.e. toàn taïi ñöôøng thaúng l, goùc ϕ vaø

→u‖ l: f = t→

u◦Rl,ϕ.

Pheùp ñoái xöùng-tröôït neáuu f laø hôïp cuûa pheùp ñoái xöùng qua maët phaúng P vaø pheùp tònhtieán song song vôùi P , i.e. toàn taïi maët phaúng P vaø

→u‖ P : f = t→

u◦ SP .

Pheùp ñoái xöùng-quay neáuu f laø hôïp cuûa pheùp ñoái xöùng qua maët phaúng P vaø pheùp quayquanh moät truïc vuoâng goùc vôùi P , i.e. toàn taïi maët phaúng P , truïc l ⊥ P vaø goùc ϕ:f = SP ◦Rl,ϕ.Deã thaáy caùc pheùp bieán ñoåi treân ñeàu laø caùc pheùp ñaúng cöï.

l

�M�

R(M)

�f(M)

ϕ

Pheùp xoaén

��

��

�

�M

S(M) � f(M)→u

Ñoái xöùng-tröôït

��

��

l

�M

S(M)�

f(M)ϕ

Ñoái xöùng-quay

Ví duï. Pheùp xoaén quanh truïc Oz, pheùp ñoái xöùng-tröôït qua Oxy, vaø pheùp ñoái xöùng-quay qua Oxy vôùi truïc quay laø Oz laàn löôït coù daïng :

X = cosϕ x− sinϕ yY = sinϕ x+ cosϕ yZ = z + a

X = x+ aY = y + bZ = −z

X = cosϕ x− sinϕ yY = sinϕ x+ cosϕ yZ = −z

Meänh ñeà. Cho f ∈ Iso(R3). Khi ñoù• f laø pheùp dôøi hình khi vaø chæ khi f laø pheùp tònh tieán hay pheùp xoaén.• f laø pheùp phaûn dôøi hình khi vaø chæ khi f laø pheùp ñoái xöùng-tröôït hay pheùp ñoái xöùng-quay.

Chöùng minh: Ta chæ caàn chöùng minh phaàn chæ khi. Coá ñònh O ∈ R3. Khi ñoù f = t→v◦g,

trong ñoù g(O) = O vaø g∗ = f∗ ∈ O(R3).(1) Neáu det f∗ = 1, thì g laø pheùp quay quanh truïc l∗ qua O, g = Rl∗,ϕ.Neáu ϕ = 0(mod2π), thì f laø pheùp tònh tieán.Neáu ϕ = 0(mod2π), thì ta phaân tích

→v=

→u +

→w, vôùi

→u‖ l∗,→w⊥ l∗.

52

Do→w⊥ l∗, neân khi haïn cheá treân caùc maët phaúng P vuoâng goùc vôùi l∗, t→w ◦Rl∗,ϕ laø pheùp

quay quanh ñieåm giao cuûa P vôùi ñöôøng thaúng l = 12

→w +l∗. Vaäy t→

w◦ Rl∗,ϕ = Rl,ϕ.

Suy ra f = t→u◦ t→

w◦Rl∗,ϕ = t→

u◦Rl,ϕ, vôùi

→u‖ l, laø pheùp xoaén.

(2) Neáu det f∗ = −1, thì g laø pheùp ñoái xöùng-quay, g = SP∗ ◦ Rl∗,ϕ, vôùi P∗ laø maëtphaúng qua O, l∗ ⊥ P∗ vaø qua O.Phaân tích

→v=

→u +

→w, vôùi

→u⊥ l∗ (do vaäy

→u‖ P∗) vaø

→w‖ l∗ (do vaäy

→w⊥ P∗).

Do→w⊥ P∗, neân t→w = SP ◦ SP∗ , vôùi maët phaúng P = 1

2

→w +P∗ (?).

Do→u‖ P , neân t→

u◦ SP = SP ◦ t→

u.

Vaäy f = t→u◦ t→

w◦ SP∗ ◦Rl∗,ϕ = t→

u◦ SP ◦ SP∗ ◦ SP∗ ◦Rl∗,ϕ = t→

u◦ SP ◦Rl∗,ϕ.

Neáu ϕ = 0(mod2π), thì f = t→u◦ SP , vôùi

→u‖ P , neân laø pheùp ñoái xöùng-tröôït.

Neáu ϕ = 0(mod2π), thì f = SP ◦ t→u◦ Rl∗,ϕ. Do

→u⊥ l∗, neân t→

u◦ Rl∗,ϕ = Rl,ϕ, vôùi

ñöôøng thaúng l = 12

→u +l∗ (?).

Vaäy f = SP ◦Rl,ϕ, vôùi l ⊥ P , neân laø pheùp ñoái xöùng-quay. �

Baøi taäp: Döïa vaøo det f∗ vaø soá ñieåm baát ñoäng ñeå phaân loaïi f ∈ Iso(R3).

2.4 Pheùp ñoàng daïng. Cho E laø khoâng gian Euclid. Moät pheùp ñoàng daïng tæ soá k(k > 0) laø moät aùnh xaï f : E → E, thoaû

d(f(A), f(B)) = kd(A,B), ∀A,B ∈ E

Khi ñoù f ñöôïc goïi laø ñoàng daïng thuaän neáuu det f∗ > 0, vaø ñoàng daïng ngöôïc neáuudet f∗ < 0.

Meänh ñeà. Taäp caùc pheùp ñoàng daïng Sim(E) laø moät nhoùm con cuûa GA(E)

Baøi taäp:• Chöùng minh meänh ñeà treân, vôùi chuù yù laø neáu f, f ′ laø caùc pheùp ñoàng daïng tæ soá k, k′

töông öùng, thì f ◦ f ′ laø pheùp ñoàng daïng tæ soá kk ′ vaø f−1 laø pheùp ñoàng daïng tæ soá k−1.• Chöùng minh caùc pheùp ñoàng daïng baûo toaøn goùc.• Moät pheùp ñoàng daïng tæ soá k, laøm thay ñoåi: ñoä daøi moät tæ leä k, dieän tích tæ leä k2, theåtích n chieàu tæ leä kn.

Meänh ñeà. Moïi f ∈ Sim(E) \ Iso(E) ñeàu coù duy nhaát moät ñieåm baát ñoäng.

Chöùng minh: Cho O ∈ E. Tröôùc heát ñeå yù laø I laø ñieåm baát ñoäng cuûa f khi vaøchæ khi

f(I) = I ⇔−−−−−−→f(O)f(I)=

−−−−−→f(O)I⇔ f∗(

−→OI) =

−−−−−→f(O)O +

−→OI⇔ (idE − f∗)(

−→OI) =

−−−−−→Of(O)

Khi f ∈ Sim(E) \ Iso(E), thì idE − f∗ laø song aùnh: Vì neáu→x∈ E, (id − f∗)(

→x) =

→0 ,

thì f∗(→x) =

→x . Suy ra ‖k →

x ‖ = ‖ →x ‖. Do k = 1,

→x=

→0 . Vaäy id− f∗ ñôn aùnh. Do E

höõu haïn chieàu id− f∗ laø song aùnh.

Vaäy toàn taïi duy nhaát I ∈ E sao cho (id− f∗)(−→OI) =

−−−−−→Of(O), i.e. I laø ñieåm baát ñoäng


duy nhaát cuûa f . �

Moät trong caùc pheùp ñoàng daïng ñaëc bieät laø pheùp vò töï. Cho I ∈ E, k ∈ R \ {0}.Pheùp vò töï taâm I tæ soá k, laø aùnh xaï h = hI,k : E → E , thoaû

−−−−→Ih(M)= k

−→IM hay h(M) = I + k

−→IM, ∀M ∈ E

Deã thaáy pheùp vò töï hI,k laø pheùp ñoàng daïng tæ soá |k|.Neáu (O;B) laø cô sôû affin cuûa E, thì töø h(M) = I + k

−→IM= (1 − k)I + kM , pheùp vò

töï coù daïngx �→ c+ kx.

Moâ taû pheùp ñoàng daïng trong R2 Cho f : R2 → R2 laø pheùp ñoàng daïng tæ soá k. Khiñoù• f laø ñoàng daïng thuaän khi vaø chæ khi f laø pheùp tònh tieán hay pheùp quay hay laø hôïpcuûa moät pheùp quay taâm I vaø moät pheùp vò töï taâm I tæ soá k.• f laø ñoàng daïng ngöôïc khi vaø chæ khi f laø pheùp ñoái-xöùng tröôït hay laø hôïp cuûa moätpheùp ñoái xöùng qua ñöôøng thaúng D vaø moät pheùp vò töï taâm I ∈ D tæ soá k.

Chöùng minh: Khi k = 1, f ∈Iso(R2). Caùc daïng treân suy töø moâ taû pheùp ñaúng cöï.Khi k = 1, theo meänh ñeà treân f coù duy nhaát ñieåm baát ñoäng I.Neáu f laø ñoàng daïng thuaän, thì hI, 1

k◦f laø pheùp dôøi hình coù taâm I. Vaäy hI, 1

k◦f = RI,ϕ.

Suy ra f = hI,k ◦RI,ϕ.Neáu f laø ñoàng daïng ngöôïc, thì hI, 1

k◦ f laø pheùp phaûn dôøi hình coù taâm I. Vaäy

hI, 1k◦ f = SD, vôùi D laø ñöôøng thaúng qua I. Suy ra f = hI,k ◦ SD. �

Ñoàng daïng thuaän

�

I

��

��

��

��

��

��

��

��

�

�

�

M

�

h(M)

�

f(M)

Ñoàng daïng ngöôïc

��

��

D

��

��

�I

��

��

�

M

�

S(M)

�

f(M)

54

3. Ñöôøng, maët baäc 2

3.1 Ñònh nghóa. Trong khoâng gian affin E cho cô sôû (O;�e1, · · · , �en). Taäp caùc ñieåmM coù toïa ñoä x = (x1, · · · , xn), thoûa phöông trình

F (x) =n∑

i,j=1

aijxixj + 2n∑

i=1

a0ixi + a00 = 0,

goïi laø sieâu maët baäc 2.Khi n = 2, ta coù ñöôøng cong baäc 2, goïi laø conic.Khi n = 3, ta coù maët cong baäc 2, goïi laø quadric.Khi duøng kyù hieäu ma traän:

A = (aij)n×n laø ma traän ñoái xöùng, α =

a01...a0n

vaø x =

x1...xn

,

phöông trình treân coù daïng

F (x) = txAx+ 2tαx+ a00 = 0.

Khi duøng kyù hieäu ma traän môû roäng:

A =

(A αtα a00

)

phöông trình seõ coù daïng:

F (x) = t

(x1

)A

(x1

)= 0

Ví duï. Trong R3 cho maët baäc 2: F (x1, x2, x3) = x1x2 − x3 = 0. Khi ñoù

A =

0 12 0 0

12 0 0 00 0 0 −1

20 0 −1

2 0

Khi chuyeån cô sôû theo ñoåi bieán: x1 = X1 +X2, x2 = X1 −X2, x3 = X3,phöông trình trôû thaønh: X2

1 −X22 −X3 = 0, vaø ma traän bieán ñoåi thaønh

A′ =

1 0 0 00 −1 0 00 0 0 −1

20 0 −1

2 0

3.2 Caùc baát bieán cô baûn. Qua pheùp chuyeån cô sôû affin caùc heä soá cuûa phöông trìnhtreân thay ñoåi. Tuy nhieân haïng vaø chæ soá quaùn tính cuûa caùc ma traän sau khoâng ñoåi

A = (aij) vaø A =

(A αtα a00

)


Chöùng minh: Qua chuyeån cô sôû x = b+ Px′, hay

(x1

)= P

(x1

),

trong ñoù P =

(P bO 1

)laø ma traän khaû nghòch.

Khi ñoù A bieán ñoåi thaønh A′ = tPAP , vaø A bieán ñoåi thaønh A′ = tP AP .Vì P vaø P ñeàu khaû nghòch neân theo luaät quaùn tính haïng vaø chæ soá quaùn tính cuûa Avaø A laø khoâng ñoåi khi qua bieán ñoåi treân. �

Töø caùc baát bieán neâu treân vaø daïng chính taéc cuûa daïng toaøn phöông, ta coù caùc phaânloaïi sau:

3.3 Phaân loaïi affin sieâu maët baäc 2. Moïi sieâu maët baäc 2 trong khoâng gian affinñeàu toàn taïi cô sôû affin ñeå phöông trình coù moät (vaø chæ moät) trong caùc daïng sau:

(I) X21 + · · · +X2

p −X2p+1 − · · · −X2

r = 1 (p ≤ r ≤ n)(II) X2

1 + · · · +X2p −X2

p+1 − · · · −X2r = 0 (p ≤ [n

2 ])(III) X2

1 + · · · +X2p −X2

p+1 − · · · −X2r = 2Xr+1 (p ≤ r < n)

trong ñoù r = rankA, p = ind+A hay p = ind−A.

3.4 Phaân loaïi euclid sieâu maët baäc 2. Moïi sieâu maët baäc 2 trong khoâng gian euclid ñeàutoàn taïi cô sôû euclid ñeå phöông trình coù moät (vaø chæ moät) trong caùc daïng sau:

(I) λ21X

21 + · · · + λ2

pX2p − λ2

p+1X2p+1 − · · · − λ2

rX2r = 1 (p ≤ r ≤ n)

(II) λ21X

21 + · · · + λ2

pX2p − λ2

p+1X2p+1 − · · · − λ2

rX2r = 0 (p ≤ [n

2 ])(III) λ2

1X21 + · · · + λ2

pX2p − λ2

p+1X2p+1 − · · · − λ2

rX2r = 2Xr+1 (p ≤ r < n)

trong ñoù r = rankA, p = ind+A hay p = ind−A, vaø λ1, · · · , λr > 0.

Cuï theå trong khoâng gian 2 hay 3 chieàu, ta coù:

3.5 Daïng chính taéc cuûa conic trong maët phaúng Euclid. Coù 9 daïng:

1.x2

a2+y2

b2+ 1 = 0 Ellip aûo detA > 0, det A > 0

2.x2

a2+y2

b2− 1 = 0 Ellip detA > 0, det A < 0

3.x2

a2+y2

b2= 0 Ñieåm detA > 0, det A = 0

4.x2

a2− y2

b2− 1 = 0 Hyperbol detA < 0, det A > 0

5.x2

a2− y2

b2= 0 Caëp ñöôøng thaúng giao nhau detA < 0, det A = 0

6. y2 − 2px = 0 Parabol detA = 0, det A = 07. y2 + a2 = 0 Caëp ñöôøng thaúng aûo detA = 0, det A = 08. y2 − a2 = 0 Caëp ñöôøng thaúng song song detA = 0, det A = 09. y2 = 0 Ñöôøng thaúng detA = 0, det A = 0

56

Hình daïng cuûa Ellip (2), Hyperbol (4) vaø Parabol (6), trong heä toïa truïc Oxy:

�x

�y

0

x2

a2+y2

b2= 1

b

a �x

�y

0

x2

a2− y2

b2= 1

a−a

y =− bax

�x

�y

0

y2 − 2px = 0

Baøi taäp: Veõ caùc ñöôøng cong coøn laïi.

3.6 Daïng chính taéc cuûa quadric trong khoâng gian Euclid. Coù 17 daïng:

1.x2

a2+y2

b2+z2

c2+ 1 = 0 Ellipsoid aûo.

2.x2

a2+y2

b2+z2

c2− 1 = 0 Ellipsoid.

3.x2

a2+y2

b2+z2

c2= 0 Noùn aûo.

4.x2

a2+y2

b2− z2

c2+ 1 = 0 Hyperboloid 2 taàng.

5.x2

a2+y2

b2− z2

c2− 1 = 0 Hyperboloid 1 taàng.

6.x2

a2+y2

b2− z2

c2= 0 Noùn.

7.x2

a2+y2

b2− 2z = 0 Paraboloid-Elliptic.

8.x2

a2− y2

b2− 2z = 0 Paraboloid-Hyperbolic (maët yeân ngöïa).

n∗ Phöông trình thöù n ôû baûng treân Maët truï sinh bôûi ñöôøng baäc 2 thöù n.

Duøng phöông phaùp “caét laùt”, ta coù phaùc hoïa moät soá maët quadric neâu treân:


Baøi taäp: Veõ caùc maët truï.

3.7 Phöông phaùp ñöa sieâu maët veà daïng chính taéc. Gæa söû trong heä cô sôû banñaàu sieâu maët cho bôûi phöông trình

F (x) = txAx+ 2tαx+ a00 = 0.

Böôùc 1: Xeùt daïng toaøn phöông Q(x) = txAx.Tröôøng hôïp affin: Duøng thuaät toaùn Lagrage ñöa Q veà daïng chuaån taéc, ta coù P ∈Gl(n), khi ñoåi bieán x = Py, Q = y2

1 + · · · + y2p − y2

p+1 − · · · − y2r .

Tröôøng hôïp euclid: Duøng thuaät toaùn cheùo hoaù tröïc giao, ta coù P ∈ O(n), sao cho khiñoåi bieán x = Py, Q = λ2

1y21 + · · · + λ2

py2p − λ2

p+1y2p+1 − · · · − λ2

ry2r

Böôùc 2: Trong cô sôû môùi (vôùi caùc toïa ñoä laø caùc coät cuûa P ), ta coù

F (Py) = λ21y

21 + · · · + λ2

py2p − λ2

p+1y2p+1 − · · · − λ2

ry2r + 2

n∑i=1

a′0iyi + a00

58

• Neáu a′0i = 0, vôùi moïi i > r, thì duøng bieán ñoåi λ2y2 +2ay = λ2(y+a

λ2)2 − a2

λ4, ta coù

F = λ21(y1 +

a′01

λ21

)2 + · · · − λ2r(yr − a′0r

λ2r

)2 + C

Tònh tieán Xi = yi ± a′0i

λ2i

(i = 1, · · · , r);Xk = yk (k > r).

Töø ñoù ta coù daïng (I) khi C = 0, daïng (II) khi C = 0.• Neáu toàn taïi i > r maø a′0i = 0, thì chuyeån vò ñeå coù i = r + 1. Cuõng duøng bieán ñoåinhö treân, ta coù

F = λ21(y1 +

a′01

λ21

)2 + · · · − λ2r(yr − a′0r

λ2r

)2 + 2∑i>r

a′0iyi + C

Tröôøng hôïp affin: Ñoåi bieán

Xi = yi ± a′0i

λ2i

(i = 1, · · · , r), Xr+1 = −∑i>r

a′0iyi − C

2, Xk = yk (k > r + 1)

laø ñoåi bieán affin ñöa F veà daïng (III).Tröôøng hôïp euclid: Ñeå coù pheùp chuyeån cô sôû tröïc chuaån, ta phaûi tröïc giao hoùa pheùpñoåi bieán treân nhö sau

Xi = yi ± a′0i

λ2i

(i = 1, · · · , r),

Xr+1 =

−∑i>r

a′0iyi√a′20,r+1 + · · · + a′20n

− C

2, Xk =

∑j>r

bkjyj (k > r + 1),

trong ñoù bkj coù ñöôïc nhôø tröïc giao hoaù G-S caùc vector doøng ma traän:

a′0r+1√a2

0r+1 + · · · + a20n

a′0r+2√a2

0r+1 + · · · + a20n

· · · a′0n√a2

0r+1 + · · · + a20n

0 1 · · · 0...

. . ....

0 0 · · · 1

G-S−→

a′0r+1√a2

0r+1 + · · · + a20n

a′0r+2√a2

0r+1 + · · · + a20n

· · · a′0n√a2

0r+1 + · · · + a20n

br+1,r+1 br+1,r+2 · · · br+1,n...

......

bn,r+1 bn,r+2 · · · bnn

Sau vieäc ñoåi bieán naøy F = 0 coù daïng (III).

Ví duï. Trong R2 vôùi heä cô sôû chính taéc Oxy cho ñöôøng cong baäc 2

F (x, y) = 2x2 − 2xy + 2y2 +√

2x+√

2y = 0.

Ñeå moâ taû hình hoïc ñöôøng cong ta tìm caùch ñöa veà daïng truïc chính:Tröôùc heát xeùt daïng toaøn phöông Q(x, y) = 2x2 − 2xy + 2y2.


Cheùo hoaù tröïc giao A =

(2 −1

−1 2

):

Ta coù PA(λ) = (λ− 1)(λ− 3).

Caùc vector rieâng sau khi tröïc chuaån hoùa laø f1 =1√2(1, 1), f2 =

1√2(−1, 1).

Vaäy ñeå ñöa A veà daïng ñöôøng cheùo ta duøng ñoåi bieán(xy

)=

1√2

(1 −11 1

)(XY

).

Ñoù laø pheùp quay heä toïa truïc Oxy moät goùcπ

4.

Trong toïa truïc OXY ñöôøng cong coù phöông trình

F = X2 + 3Y 2 +√

2(X − Y√

2) +

√2(X + Y√

2) = (X + 1)2 + 3Y 2 − 1 = 0

Ñoåi bieán u = X + 1, v = Y (pheùp tònh tieán heä toïa truïc OXY ñeán Iuv trong ñoù I coùtoïa ñoä trong heä OXY laø (−1, 0)). Khi ñoù trong heä cô sôû Iuv ñöôøng cong coù phöôngtrình

u2 + 3v2 = 1.

Ñoù laø moät ellip taâm I vôùi caùc truïc chính Iu vaø Iv.

�x

�y

0

��

��

��

��

Y

��

��

��

��

��

��

��X

��

��

��

��

��

��u

��

��

��

��

v

I

Ví duï. Xaùc ñònh tính chaát cuûa maët baäc hai cho bôûi phöông trình sau trong R3:

F (x, y, z) = x2 + y2 + z2 + 4xy + 4yz + 4zx+ 10√

3(x+ y + z) = 0.

Tröôùc heát xeùt daïng toaøn phöông Q(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + 4xy + 4yz + 4zx.Baèng thuaät toaùn cheùo hoaù tröïc giao (xem ví duï ôû Chöông IX), ta coù ñoåi bieán

xyz

=

1/

√3 1/

√2 −1/

√6

1/√

3 0 2/√

61/

√3 −1/

√2 −1/

√6

X

YZ

60

ñeå coù daïng chính taéc Q = 5X2 − Y 2 − Z2.Thay ñoåi bieán treân vaøo, ta coù F = 5X2−Y 2−z2 +30X = 5(X+3)2−Y 2−Z2−45.Tònh tieán: u = X + 3, v = Y,w = Z, ta coù daïng chính taéc cuûa maët:

u2

9− v2

45− w2

45= 1

Ñoù laø moät Hyperboloid 2 taàng.

Baøi taäp

VI. Cheùo hoùa ma traän.

1. Trong R3, xaùc ñònh ma traän chuyeån cô sôû chính taéc sang cô sôû:

(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1).

2. Trong R2, tìm ma traän chuyeån cô sôû: (1, 1), (3, 1) sang (2, 1), (1, 2)

3. Cho f : R2 → R2, f(x1, x2) = (2x1 + x2, x1 + 2x2).a) Tìm ma traän A bieåu dieãn f trong cô sôû chính taéc B.b) Tìm ma traän A′ bieåu dieãn f trong cô sôû C = ( f1 = (−1, 1), f2 = (1, 1) ).c) Xaùc ñònh ma traän chuyeån cô sôû P , töø B sang C. Kieåm chöùng laïi A′ = P−1AP .

4. Cho T : R2[X] → R2[X],

T (a0 + a1X + a2X2) = (2a0 − a1 − a2) + (a0 − a1)X + (−a0 + a1 + a2)X2

a) Vieát ma traän A bieåu dieãn T trong cô sôû chính taéc B = (1, X,X2).b) Vieát ma traän A′ bieåu dieãn T trong cô sôû C = (1 +X −X2, 1 +X2, 1 +X).c) Xaùc ñònh ma traän chuyeån cô sôû P töø B sang C. Kieåm tra laïi A′ = P−1AP .

5. Trong khoâng gian R2[X], cho caùc ña thöùc:

p = −3 + 5X +X2, q = 8 − 6X + 2X2, r = 5 −X2

a) Xaùc ñònh toïa ñoä caùc ña thöùc treân trong cô sôû chính taéc (1, X,X2).Baèng caùch duøng coâng thöùc chuyeån cô sôû, haõy vieát caùc ña thöùc treân döôùi daïng:b) a0 + a1x+ a2x(x− 1).c) b0 + b1(x− 1) + b2(x− 1)2.

6. Cho A = (aij) ∈MatK(n). Ñònh nghóa veát cuûa A laø

Tr(A) = a11 + a22 + · · · + ann ( toång caùc soá haïng ñöôøng cheùo)

a) Chöùng minh PA(λ) = det(A−λI) = (−1)n(λn − Tr(A)λn−1 + · · ·+(−1)n detA).b) Chöùng minh det(P−1AP − λI) = PA(λ), vôùi moïi ma traän khaû nghòch P .c) Chöùng minh Tr(A) = Tr(P−1AP ), vôùi moïi ma traän khaû nghòch P .d) Gæa söû λ1, · · · , λn ∈ K, laø caùc gía trò rieâng cuûa A. Tính Tr(A) vaø detA qua caùcgía trò rieâng ñoù.

7. Gæa söû λ laø gía trò rieâng cuûa ma traän A. Chöùng minh:a) λk laø gía trò rieâng cuûa Ak, vôùi k ∈ N.b) 1/λ laø gía trò rieâng cuûa A−1, neáu A khaû nghòch.c) λ+ a laø gía trò rieâng cuûa A+ aI.

8. Cho ma traän vuoâng P , thoûa P 2 = P . Chöùng minh caùc gía trò rieâng cuûa P chæ coù theålaø 0 hay 1.

62

9. Cho ña thöùc q(x) = a0 + a1x + · · · + akxk ∈ K[x], vaø A ∈ MatK(n). Ñònh nghóa ña

thöùc ma traänq(A) = a0In + a1A+ · · · + akA

k.

Chöùng minh neáu λ ∈ K laø gía trò rieâng cuûa A, thì q(λ) laø gía trò rieâng cuûa q(A).

10. Cho A ∈MatK(n). Gæa söû toàn taïi P ∈ GlK(n) : P−1AP = D = diag(λ1, · · · , λn).a) Tìm PD(λ). Chöùng minh PD(D) = 0.b) Suy ra PA(A) = 0.

11. Ñònh lyù Hamilton-Caley: Cho A ∈MatK(n). Khi ñoù A laø nghieäm cuûa ma traän ña thöùc

ñaëc trng cuûa noù, i.e. PA(A) = 0. Cho

A =

1 2 0

0 2 00 2 1

,

a) Kieåm tra ña thöùc ñaëc tröng laø PA(λ) = −λ3 + 4λ2 − 5λ+ 2.b) Kieåm tra PA(A) = −A3 + 4A2 − 5A+ 2I = O.

c) Kieåm tra A−1 =12A2 − 2A+

52I.

12. Tìm vector rieâng vaø giaù trò rieâng cuûa:(1 22 1

) (0 −11 0

) (1 −21 4

)

13. Tìm caùc vector rieâng vaø gía trò rieâng cuûa f : R3 → R3, vôùia) f(x, y, z) = (3x+ z,−x+ 2y− z, x+ z) b) f(x, y, z) = (4x− 5y+ 7z, x− 4y+9z, 4x+ 5z).

14. Gæa söû λ1, · · · , λs laø caùc gía trò rieâng khaùc nhau cuûa ma traän A. Chöùng minh heä caùcvector rieâng e1, · · · , es öùng vôùi caùc gía trò rieâng ñoù laø ñoäc laäp tuyeán tính.

15. Cho D : C1(R) → C1(R), laø aùnh xaï ñaïo haøm D(f) = f ′. Tìm caùc vector rieâng cuûaD.

16. Chöùng minh caùc ma traän sau coù cuøng ña thöùc ñaëc tröng laø P (λ) = (λ− 1)4, i.e. λ = 1laø gía trò rieâng boäi 4, nhöng soá chieàu caùc khoâng gian con rieâng Ker(A − I), coù soáchieàu laø 1, 2, 3, 4 töông öùng

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

1 1 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

1 1 0 00 1 1 00 0 1 00 0 0 1

1 1 0 00 1 1 00 0 1 10 0 0 1

17. Xaùc ñònh caùc ma traän sau coù cheùo hoùa ñôïc khoâng? Neáu coù ñöa veà daïng cheùo, i.e. tìmma traän khaû nghòch P , sao cho P−1AP laø ma traän cheùo. Vôùi A =

6 −5 −3

3 −2 −22 −2 0

2 −1 2

5 −3 3−1 0 −2

1 1 1 11 1 −1 −11 −1 1 −11 −1 −1 1

Baøi taäp 63

18. Xaùc ñònh caùc giaù trò α, a, b, c, d ∈ R ñeå ma traän sau coù cheùo hoùa ñöôïc. 1 α 1

0 2 00 0 α

1 0 0

0 1 + α 0α 0 1

1 a b

0 2 c0 0 d

0 1 0

0 0 1−α 1 α

19. Baèng caùch bieåu dieãn x qua caùc vector rieâng cuûa A. Tìm A10x, vôùi

a) A =

(4 −25 −3

)x =

(09

)b) A =

1 2 −1

0 5 −20 6 −2

x =

2

47

20. Gæa söû ma taän vuoâng A cheùo hoùa ñôïc vaø P−1AP = D laø ma traän cheùo. Chöùng minhAk = PDkP−1. AÙp duïng, tính A100, khi A =

(5 −63 −4

) 25 −8 30

24 −7 30−12 4 −14

21. Cho M =

(α+ 1 1−α 0

). Xaùc ñònh α ∈ R ñeå M coù theå cheùo hoùa. Tính M k khi

α = 2.

22. Xeùt daõy Fibonacci toång quaùt: F0 = a, F1 = b, Fk+1 = Fk + Fk−1. Tính Fk.

23. Tìm bieåu thöùc cuï theå cuûa caùc daõy soá (uk) vaø (vk), vôùi u0 = v0 = 1 vaø vôùi k = 1, 2, · · ·{uk = 2uk−1 + 4vk−1

vk = uk−1 + 2vk−1

24. Tìm bieåu thöùc cuï theå cuûa caùc daõy soá (xk), (yk) vaø (zk) theo x, y0, z0 vaø k neáu vôùik = 1, 2, · · ·

xk = 3xk−1 − yk−1 + zk−1

yk = −2xk−1 + 4yk−1 − zk−1

zk = −4xk−1 + 4yk−1 − zk−1

25. Cho x0, y0, z0 ∈ R, vaø vôùi k = 1, 2, · · ·xk = 2xk−1 − yk−1 + zk−1

yk = xk−1 + zk−1

zk = xk−1 − yk−1 + 2zk−1

Chöùng minh toàn taïi limk→∞

xk, limk→∞

yk, vaø limk→∞

zk.

26. Cho daõy trong Rn, ñöôïc ñònh nghóa qui naïp:

xk = Axk−1, vôùi A ∈MatK(n), vaø ñieàu kieän ñaàu x0 ∈ Kn.

64

a) Chöùng minh xk = Akx0.b) Neáu A coù theå cheùo hoùa, i.e. toàn taïi P ∈ GlK(n): P−1AP = D = diag(λ1, · · · , λn),

thì Ak = PDkP−1 = P diag(λk1, · · · , λk

n)P−1.c) Gæa söû e1, · · · , en laø caùc vector rieâng töông öùng, vôùi caùc gía trò rieâng λ1, · · · , λn.Neáu x0 = a1e1 + · · · + anen, thì xk = a1λ

k1e1 + · · · + anλ

knen.

d) Xaép xeáp sao cho |λ1| = max |λi|. Gæa söû a1 �= 0. Khi ñoù:

Neáu |λ1| < 1 , thì limk→∞

xk = 0.

Neáu |λ1| = 1 , thì ∃M : |xk| < M, ∀k.Neáu |λ1| > 1 , thì lim

k→∞|xk| = ∞.

27. AÙp duïng baøi taäp treân tìm limk→∞

xk, khi

a) A =

(0, 8 0, 20, 2 0, 8

), x0 =

(12

)b) A =

0, 6 0, 1 0, 1

0, 1 0, 8 0, 20, 3 0, 1 0, 7

, x0 =

200

200200

28. Cho A =

(0 0, 90, 9 0, 8 − h

). Xeùt daõy (xk) trong R2, ñònh nghóa bôûi xk = Axk−1,

vôùi gía trò x0 ∈ R2 cho tröôùc. Haõy xaùc ñònh h ∈ R sao cho:a) lim

k→∞xk = 0 b) lim

k→∞xk = ∞ c) Daõy (xk) giôùi noäi.

VII. Khoâng gian vector Euclid.

1. Cho daïng song tuyeán tính q(x1, x2; y1, y2) = x1y1 + 2x1y2 + 2x2y1 +mx2y2.Ñònh m ñeå q laø moät tích voâ höôùng trong R2.

2. Trong khoâng gian Euclid chöùng minh:a) ‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2‖x‖2 + 2‖y‖2.b) ‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2 = 4 < x, y > .

3. Trong R3 xaùc ñònh caùc soá a, b, c sao cho heä vector sau laø heä tröïc giao:a) (1, 1, 1), (2, 2,−4), (a, b, c) b) (2, 1,−1), (a, 1,−1), (b, 3, c).

4. Chöùng minh moïi heä vector khaùc khoâng, tröïc giao nhau töøng ñoâi laø heä ñoäc laäp tuyeántính.

5. Trong R3, cho maët phaúng coù phöông trình Ax + By + Cz = 0. Tìm bieåu thöùc chopheùp chieáu tröïc giao leân maët phaúng ñaõ cho.

6. Trong R4, tröïc giao hoaù Gram-Schmidt caùc heä vector:a) f1 = (0, 0, 1, 0), f2 = (1, 1, 2, 3), f3 = (1, 0, 1, 1).b) f1 = (1, 0, 1, 1), f2 = (0, 1, 0, 0), f3 = (1, 0, 0, 1).

7. Cho f1, f2, f3 ∈ R4 laø caùc vector ôû baøi treân, x = (1, 0, 0, 0). Tìm hình chieáu x leânkhoâng gian L(f1, f2, f3).

Baøi taäp 65

8. Haõy tìm moät cô sôû tröïc giao cho khoâng gian W vaø hình chieáu PWx cuûa x leân W , neáua) W = {(x1, x2, x3) ∈ R3 : x1 − 2x2 + x3 = 0}, x = (1, 2, 6).b) W = ImA, vôùi A(x1, x2) = (x1 + 2x2, x1 + x2, x2), vaø x = (3, 0, 3).

9. Xaùc ñònh pheùp chieáu tröïc giao P leân khoâng gian W cho ôû baøi taäp treân. Kieåm traP 2 = P .

10. Xeùt C[−π, π] vôùi tích voâ höôùng < f, g >=∫ π

−πfg.

a) Chöùng minh heä haøm 1, sinx, cosx, · · · , sin kx, cos kx, · · · laø heä tröïc giao.b) Cho f(x) = x3. Tìm hình chieáu PW f cuûa f leân khoâng gianW sinh bôûi 1, sinx, cosx(i.e. khai trieån Fourier).Kieåm tra laïi ‖f − PW f‖ = min{‖f − g‖ : g ∈W}.

11. Xeùt khoâng gian C[−1, 1] vôùi tích voâ höôùng < f, g >=∫ 1

−1fg. Tröïc giao hoùa heä

haøm ña thöùc 1, x, x2, x3, · · · . Tìm hình chieáu cuûa f(x) = ex leân khoâng gian sinh bôûi1, x, x2, x3.

12. Trong khoâng gian C[−1, 1], chöùng minh bieåu thöùc sau xaùc ñònh moät tích voâ höôùng

< f, g >=12

∫ 1

−1

f(x)g(x)√1 − x2

dx, f, g ∈ C[−1, 1].

Haõy tröïc giao hoùa heä haøm 1, x, x2, x3, · · · xaùc ñònh caùc ña thöùc Chebyshev loaïi 1

T0, T1, T2, T3. (HD: Ñoåi bieán x = cos θ)

13. Cho W laø khoâng gian vector con cuûa khoâng gian vector Euclid E, vaø x ∈ E. Chöùngminh goùc taïo bôûi x vaø caùc y ∈ W ñaït giaù trò nhoû nhaát khi vaø chæ khi y cuøng phöôngvôùi hình chieáu tröïc giao cuûa x leân W .

14. Chöùng minh caùc heä phöông trình Ax = b sau ñaây voâ nghieäm. Tìm nghieäm bình phöôngbeù nhaát x, i.e. x → ‖Ax− b‖ ñaït minimum khi x = x.

a) A =

1 2

−1 11 3

b =

1

11

b) A =

1 0 0

3 0 01 1 1

b =

11

31

c) A =

1 0 20 2 2

−1 1 −1−1 2 0

b =

3−3

0−3

15. Tìm xaáp xæ tuyeán tính, bình phöông beù nhaát cuûa haøm y = y(t) cho bôûi döõ kieän:

a)t 0 3 6y 1 4 5

b)t 1 4 8 11y 1 2 4 5

c)t −1 0 1 2y 0 1 2 4

16. Tìm xaáp xæ baäc hai, bình phöông beù nhaát cuûa haøm y = y(t) cho bôûi döõ kieän:

a)t −2 −1 1 2y 2 1 1 2

b)t −2 −1 0 1 2y 12 5 3 2 4

66

17. Cho T : R2 → R2 laø toaùn töû tröïc giao. Gæa söû u, v ∈ R2 laø caùc vector tröïc giao nhau.Caùc caëp vector sau caëp naøo tröïc giaoa) αu, βv (α, β ∈ R) b) u+ v, u− v c) Tu, u d) Tu, Tv.

18. Xaùc ñònh caùc gía trò α, β, a, b, c sao cho caùc ma traän sau laø tröïc giao α β a

0 2β bα −β c

α −β aα 3β bα −2β c

19. Chöùng minh neáu A,B laø caùc ma traän tröïc giao, thì AB vaø A−1 laø tröïc giao.

20. Xaùc ñònh tính chaát hình hoïc cuûa f : R2 → R2, (x, y) → (X,Y ), cho bôûi:

a)

{X = 1

2x−√

32 y

Y =√

32 x+ 1

2yb)

{X = −

√3

2 x− 12y

Y = −12x+

√3

2 y

21. Xaùc ñònh aùnh xaï f : R2 → R2, thöïc hieän:a) Pheùp quay goùc ϕ.b) Pheùp ñoái xöùng qua ñöôøng thaúng D : Ax1 +Bx2 = 0.

22. Xaùc ñònh ma traän bieåu dieãn trong cô sôû tröïc chuaån cuûa R3, cuûa:a) Pheùp quay quanh tröïc Ox3 goùc ϕ.b) Pheùp quay quanh truïc Ox1 goùc θ.c) Cuï theå khi ϕ, θ ∈ {π

2 ,π3 ,

π4 }.

23. Trong R3 bieåu dieãn pheùp quay bôûi tích 3 ma traän öùng vôùi 3 pheùp quay trong maëtphaúng (vôùi caùc goùc quay Euler).

24. Chöùng minh moïi T ∈ O(R3, toàn taïi cô sôû tröïc chuaån ñeå ma traän bieåu dieãn T coù daïngchính taéc

±1 0 00 cosϕ − sinϕ0 sinϕ cosϕ

Khi ñoù ϕ ñöôïc xaùc ñònh bôûi ±1 + 2 cosϕ = Tr(T ).

25. Cho T : R3 → R3 laø aùnh xaï coù ma traän bieåu dieãn trong cô sôû chính taéc:

13

−2 −1 2

2 −2 11 2 2

a) Chöùng minh T ∈ O(R3) vaø detT = 1. Vaäy T laø pheùp quay quanh moät truïc D moätgoùc ϕ.b) Tìm D baèng caùch giaûi phöông trình T (X) = X , vaø ϕ töø 1 + 2 cosϕ = Tr(T ).


−19

−8 4 1

4 7 41 4 −8

Baøi taäp 67

a) Chöùng minh T ∈ O(R3) vaø detT = −1. Vaäy T laø hôïp cuûa moät pheùp ñoái xöùng quamoät maët phaúng P vaø moät pheùp quay quanh truïc D ⊥ P moät goùc ϕ.b) Chöùnng minh vì ma traän laø ñoái xöùng neân T laø pheùp ñoái xöùng qua P . i.e ϕ = 0.c) Tìm P baèng caùch giaûi phöông trình T (X) = X .


−14

3 1

√6

1 3 −√6

−√6

√6 2

a) Chöùng minh T ∈ O(R3) vaø detT = −1. Vaäy T laø hôïp cuûa moät pheùp ñoái xöùng quamoät maët phaúng P vaø moät pheùp quay quanh truïc D ⊥ P moät goùc ϕ.b) Chöùng minh vì ma traän khoâng ñoái xöùng neân T khoâng laø pheùp ñoái xöùng qua moätmaët phaúng.c) Tìm D baèng caùch giaûi phöông trình T (X) = −X , vaø ϕ töø −1 + 2 cosϕ = Tr(T )

28. Toång keát vaø toång quaùt hoaù 3 baøi taäp treân ñeå moâ taû hình hoïc T ∈ O(R3).

29. Cho A ∈ O(3). Tìm P ∈ O(3), sao cho P−1AP coù daïng chính taéc:

a)13

2 2 −1

2 −1 2−1 2 2

b)

12

1 1 −√

21 1

√2√

2 −√2 0

30. Trong R3, cho vector ñôn vò v = (a, b, c).a) Vieát bieåu thöùc pheùp quay RD,ϕ, quanh ñöôøng thaúng D ‖→v goùc ϕ.

b) Cuï theå khi→v= (1, 1, 1).

HD: Goïi A laø ma traän bieåu dieãn pheùp quay caàn tìm. Khi ñoù A = PRP−1, trong ñoù

1 0 0


va P =

x1 x2 a

y1 y2 bz1 z2 c

∈ O(3)

Töø tính tröïc giao cuûa P , tính toaùn ta coù

A =

cosϕ c sinϕ −b sinϕ

−c sinϕ cosϕ a sinϕb sinϕ −a sinϕ cosϕ

+ (1 − cosϕ)

a2 ab acab b2 bcac bc c2

31. Chöùng minh taäp caùc toaùn töû ñoái xöùng S(E) treân moät khoâng gian vector Euclid E n-

chieàu laø moät khoâng gian conn(n+ 1)

n- chieàu cuûa L(E). Ñieàu teân töông ñöông ñöông

vôùi: taäp moïi ma traän ñoái xöùng caáp n treân R laø moät khoâng gian conn(n+ 1)

n-chieàu

cuûa MatR(n).

68

32. Kieåm tra tính chaát sau: neáu ma traän thöïc A laø ñoái xöùng, thì caùc gía trò rieâng laø thöïcvaø caùc vector rieâng öùng vôùi caùc gía trò rieâng khaùc nhau laø tröïc giao nhau. Vôùi A =

3 −2 0−2 0 0

0 0 −3

1 1 1

1 1 11 1 1

33. Cheùo hoaù tröïc giao caùc ma traän ñoái xöùng 1 3 0

3 −2 −10 −1 1

11 2 −8

2 2 10−8 10 5

17 −8 4

−8 17 −44 −4 11

VIII. Daïng song tuyeán tính - Daïng toaøn phöông.

1. Cho V laø khoâng gian caùc haøm R → R. Ñaët q : V × V → R

q(f, g) =3∑

i=1

f(i)g(i), f, g ∈ V

Chöùng minh q laø daïng song tuyeán tính. q coù ñoái xöùng khoâng?

2. Cho daïng song tuyeán tính q : R3 × R3 → R,

q(x, y) = −x1y1+3x1y2−5x1y3+4x3y2−2x3y3, x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) ∈ R3

a) Tìm ma traän bieåu dieãn A cuûa q trong cô sôû chính taéc B.b) Tìm ma traän bieåu dieãn A′ cuûa q trong cô sôû C = ( (1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1) ).c) Xaùc ñònh ma traän chuyeån cô sôû P , töø B sang C. Kieåm tra laïi A′ = tPAP .

3. Cho daïng toaøn phöông Q(x) = x21 + 3x1x2 + x2

2. Tìm moïi ma traän thöïc A ∈MatR(2)vaø daïng song tuyeán tính q treân R2, sao cho Q(x) =t xAx = q(x, x). Tìm daïng cöïccuûa Q (i.e. daïng song tuyeán tính ñoái xöùng sinh ra Q) .

4. Xaùc ñònh ma traän ñoái xöùng bieåu dieãn daïng toaøn phöông sau R3

Q(x1, x2, x3) = x21 + 2x2

2 + 3x23 + 6x1x2 + 4x1x3 − 10x2x3

5. Cho daïng toaøn phöông thöïc:

Q = x21 + x2

2 + 3x23 + 4x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3.

a) Xaùc ñònh daïng cöïc vaø ma traän bieåu dieãn Q trong cô sôû chính taéc.b) Ñöa Q veà daïng chính taéc. Suy ra haïng vaø chæ soá quaùn tính döông, aâm.

6. Töông töï baøi taäp treân vôùia) Q = 2x2

1 + x22 + 5x2

3 + 2x1x2 + 4x1x3 + 4x2x3.b) Q = x2

1 + x22 + 4x2

3 − 2x1x2 + 62x1x3.c) Q = −2x2

1 − x22 − 2x2

3 + 2x1x2 + 2x1x3 − 2x2x3.

Baøi taäp 69

7. Duøng thuaät toaùn Lagrange ñöa daïng caùc toaøn phöông sau veà daïng chuaån taéc:a) x2

1 + x22 + 3x2

3 + 4x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3.b) x2

1 − 2x22 + 1x2

3 + 2x1x2 + 4x1x3 + 2x2x3.c) x2

1 − 3x23 − 2x1x2 + 2x1x3 − 6x2x3.

d) x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4.

8. Haõy tìm pheùp bieán ñoåi tuyeán tính ñeå ñöa caùc daïng cuûa baøi taäp treân veà daïng chính taéc.(Chuù yù laø pheùp bieán ñoåi ñoù laø khoâng duy nhaát)

9. Kieåm tra caùc daïng toaøn phöông thöïc sau coù xaùc ñònh daáu?a) Q = 2x2 + 6xy + 2y2.b) Q = 5x2 − 4xy + 5y2.c) Q = x2

1 + 2x22 + 3x2

3 + 2x1x2.d) Q = x2

1 − x22 − 5x2

3 + 4x1x3.e) Q = x2 + y2 + z2 + t2 − 2(xy + xz + xt+ yz + yt+ zt).

10. Cho daïng toaøn phöông thöïc Q =n∑

i,j=1

aijxixj . Caùc phaùt bieåu sau ñuùng hay sai?

a) Neáu Q > 0, thì aii > 0 vôùi moïi i = 1, · · · , n.b) Neáu aii > 0 vôùi moïi i = 1, · · · , n, thì Q > 0.c) Neáu aij > 0 vôùi moïi i, j = 1, · · · , n, thì Q > 0.

11. Tìm moïi gía trò λ ∈ R, ñeå daïng toaøn phöông sau laø xaùc ñònh döông:a) 5x2

1 + x22 + λx2

3 + 4x1x2 − 2x1x3 − 2x2x3.b) 2x2

1 + x22 + 3x2

3 + 2λx1x2 + 2x1x3.

12. Cho A laø ma traän ñoái xöùng. Chöùng minh: A xaùc ñònh döông khi vaø chæ khi A = tCC,vôùi C laø ma traän khaû nghòch.

13. Ñöa daïng toaøn phöông sau veà daïng chính taéc baèng pheùp bieán ñoåi tröïc giao:a) −4x1x2 − 4x1x3 + 3x2

2 − 2x2x3 + 3x23.

b) 3x22 + 3x2

3 + 4x1x2 + 4x1x3 − 2x2x3.c) 3x2

1 + 3x22 − x2

3 − 6x1x2 + 4x2x3.

14. Cho daïng toaøn phöông Q(x) = txAx, vôùi x ∈ Rn vaø A laø ma traän ñoái xöùng.a) Gæa söû λ1 ≤ · · · ≤ λn laø caùc gía trò rieâng cuûa A. Chöùng minh

λ1‖x‖2 ≤ Q(x) ≤ λn‖x‖2, ∀x ∈ Rn

b) Suy ra min‖x‖=1Q(x) = λ1, max‖x‖=1Q(x) = λn.

IX. AÙp duïng vaøo hình hoïc.

1. Cho E laø khoâng gian affin 3 chieàu. Chöùng minh moät aùnh xaï affin f : E → E, ñöôïcxaùc ñònh moät caùch duy nhaát bôûi aûnh cuûa boán ñieåm khoâng ñoàng phaúng.

2. Trong R2 cho 2 ñöôøng thaúng D,D′. Goïi SD, SD′ laø caùc pheùp ñoái xöùng qua D,D′.Chöùng minh:Neáu D,D′ song song thì SD′ ◦ SD laø pheùp tònh tieán.Neáu D,D′ caét nhau thì SD′ ◦ SD laø pheùp quay.

70

3. Trong R2, cho I(a, b) vaø ϕ ∈ [0, 2π].a) Vieát bieåu thöùc cuûa pheùp quay taâm I, goùc quay ϕ.

b) Cuï theå khi I(1, 2), ϕ =π

4.

4. Trong R2, cho ñöôøng thaúng D : Ax+By + C = 0.a) Vieát bieåu thöùc cuûa pheùp ñoái xöùng-tröôït f = t→

u◦ SD, qua D vaø vector

→u‖ D.

b) Cuï theå khi D : x+ y = 1.

5. Trong R3, cho vector→v= (A,B,C).

a) Vieát bieåu thöùc pheùp xoaén f = t→u◦RD,ϕ, quanh D ‖→v goùc ϕ vaø

→u‖→v .

b) Cuï theå khi→v= (1, 1, 1).

6. Trong R3, cho maët phaúng P : Ax+By + Cz +D = 0.a) Vieát bieåu thöùc pheùp ñoái xöùng-tröôït f = t→

u◦ SP , qua P vaø

→u‖ P .

b) Cuï theå khi P : x+ y + z = 1.

7. Trong R3, cho maët phaúng P : Ax+By + Cz +D = 0 vaø→v= (a, b, c) �‖ P .

a) Vieát bieåu thöùc pheùp chieáu p(x, y, z) = (x′, y′, z′), leân P song song→v .

b) Vieát bieåu thöùc pheùp chieáu vuoâng goùc leân P .c) Vieát bieåu thöùc pheùp ñoái xöùng qua Pd) Cuï theå caùc caâu treân vôùi P : x+ 2y + 3z − 6 = 0,

→v= (1, 1, 1).

8. Trong R3, cho maët phaúng P : Ax+By + Cz +D = 0 vaø ñöôøng thaúng l ⊥ P qua O.a) Vieát bieåu thöùc pheùp ñoái xöùng-quay f = Rl,ϕ ◦ SP .

b) Cuï theå khi P : x+ y + z = 1, ϕ =π

2.

9. Xeùt f : R3 → R3, f(x, y, z) = (x′, y′, z′) sau ñaây:

a)

x′ =13(−2x− 2y + z + 1)

y′ =13(−2x+ y − 2z + 2)

z′ =13(x− 2y − 2z + 1)

b)

x′ = −z + 2y′ = −x+ 1z′ = y + 1

c)

x′ = −z − 2y′ = −x+ 1z′ = y + 1

Chöùng minh f laø pheùp xoaén, i.e. f = t→u◦ RD,ϕ, vôùi

→u‖ D. Xaùc ñònh truïc quay D,

goùc quay ϕ vaø vector tònh tieán→u .

(HD: Xaùc ñònh D baèng caùch tìm phöông→v töø f∗(

→v ) =

→v vaø M ∈ D ⇔

−−−−−−→Mf(M)= t

→u .

Xaùc ñònh ϕ töø 1 + 2 cosϕ = Tr(f∗) vaø sinϕ cuøng daáu vôùi det(→e1, f(

→e1),

→v ). Coøn

→u= λ

→v )

10. Xeùt f : R3 → R3, f(x, y, z) = (x′, y′, z′) sau ñaây:

a)

x′ =19(x− 8y − 4z + 2)

y′ =19(−8x+ y − 4z + 2)

z′ =19(−4x− 4y + 7z + 1)

b)

x′ =13(x− 2y − 2z) + 2

y′ =13(−2x+ y − 2z) + 1

z′ =13(−2x− 2y + z)

Baøi taäp 71

c)

x′ = −z + 2y′ = x+ 1z′ = y + 1

Chöùng minh f laø caùc pheùp phaûn dôøi hình. Xaùc ñònh f laø pheùp ñoái xöùng-tröôït haypheùp ñoái xöùng- quay? Moâ taû tính chaát hình hoïc cuûa f .(HD: Neáu f coù duy nhaát moät ñieåm baát ñoäng thì f laø pheùp ñoái xöùng-quay. Khi ñoù truïcquay D qua ñieåm baát ñoäng vaø coù phöông

→v thoûa f∗(

→v ) = − →

v , maët phaúng ñoái xöùngP ⊥ D, goùc quay ϕ ñöôïc xaùc ñònh nhö baøi taäp treân. Neáu f khoâng coù ñieåm baát ñoängthì f laø pheùp ñoái xöùng-tröôït f = t→

u◦ SP . Khi ñoù

→u xaùc ñònh bôûi f ◦ f = t

2→u, P laø

taäp ñieåm baát ñoäng cuûa SP = t−→u◦ f ).

11. Döïa vaøo caùc baát bieán veà daáu cuûa ñònh thöùc, haõy xaùc ñònh daïng cuûa caùc conic coùphöông trình:a) 3x2 − 10xy + 3y2 − 2x− 14y − 13 = 0.b) 25x2 − 14xy + 25y2 + 64x− 64y − 224 = 0.c) 9x2 − 24xy + 16y2 − 20x+ 110y − 50 = 0.

12. Tìm moät cô sôû euclid cuûa R2 ñeå conic cho ôû baøi taäp treân coù daïng chính taéc. Töø ñoùmoâ taû hình hoïc cuûa conic ñoù.

13. Veõ caùc maët baäc 2 chính taéc cho bôûi phöông trình sau trong R3:

a)x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1 (Ellipsoid)

b)x2

a2+y2

b2− z2

c2= 1 (Hyperboloid 1 taàng)

c)x2

a2+y2

b2− z2

c2= −1 (Hyperboloid 2 taàng)

d)x2

a2+y2

b2− z2

c2= 0 (Maët noùn)

e)x2

a2+y2

b2− 2z = 0 (Paraboloid)

f)x2

a2− y2

b2− 2z = 0 (Maët yeân ngöïa)

Trong caùc phöông trình treân a, b, c laø caùc soá thöïc döông.

14. Xaùc ñònh daïng maët baäc 2 (quadric) cho bôûi phöông trình:a) −8x2 − 8y2 + 10z2 + 32xy − 4xz − 4yz = 24.b) 3y2 + 3z2 + 4xy + 4xz − 2yz + 4x+ 1 = 0.c) 7x2 − 2y2 + 4z2 + 4xy + 20xz + 16yz − 36x+ 72y − 108z + 36 = 0.d) x2 + y2 + z2 − 2xy − 1 = 0.e) x2 − 4x− 3y + 4z − 3 = 0.

15. Tìm moät côû sôû euclid cuûa R3 ñeå quadric cho ôû baøi taäp treân coù daïng chính taéc. Töø ñoùmoâ taû hình hoïc quadric ñoù.

- Heát -

Documents

ÑAÏI SOÁ VAØ HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH 2 · PDF fileHöôùng daãn sinh vieân ñoïc giaùo trình Ñaây laø giaùo trình Ñaïi soá vaø Hình hoïc Giaûi tích 2 daønh