Embed Size (px)
Citation preview
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
1
Függvények ábrázolása, jellemzése II.
Alapfüggvények jellemzői
A függvények ábrázolásához használhatjuk a nevezetes szögek, illetve a határszögek értékeit.
𝑓 (𝑥) = sin 𝑥
Az ábráról leolvashatjuk a függvény tulajdonságait: (𝑘 ∈ ℤ)
Értelmezési tartomány: 𝐷𝑓: 𝑥 ∈ ℝ
Értékkészlet: 𝑅𝑓: 𝑦 ∈ [−1; 1]
Periodicitás: Periódus: 𝑝 = 2𝜋
Zérushely: 𝑥 = 0 + 𝑘 ∙ 𝜋
Monotonitás: Szigorúan monoton csökkenő: 𝑥 ∈ [𝜋
2+ 𝑘 ∙ 2𝜋;
3𝜋
2+ 𝑘 ∙ 2𝜋]
Szigorúan monoton növekvő: 𝑥 ∈ [−𝜋
2+ 𝑘 ∙ 2𝜋;
𝜋
2+ 𝑘 ∙ 2𝜋]
Szélsőérték: Maximum: Helye: 𝑥 =𝜋
2+ 𝑘 ∙ 2𝜋
Értéke: 𝑦 = 1
Minimum: Helye: 𝑥 = −𝜋
2+ 𝑘 ∙ 2𝜋
Értéke: 𝑦 = −1
Korlátosság: Pontos alsó korlát: 𝑘 = −1
Pontos felső korlát: 𝐾 = 1
Korlátos függvény.
Paritás: Páratlan
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
2
𝑔 (𝑥) = cos 𝑥
Az ábráról leolvashatjuk a függvény tulajdonságait: (𝑘 ∈ ℤ)
Értelmezési tartomány: 𝐷𝑓: 𝑥 ∈ ℝ
Értékkészlet: 𝑅𝑓: 𝑦 ∈ [−1; 1]
Periodicitás: Periódus: 𝑝 = 2𝜋
Zérushely: 𝑥 =𝜋
2+ 𝑘 ∙ 𝜋
Monotonitás: Szigorúan monoton csökkenő: 𝑥 ∈ [0 + 𝑘 ∙ 2𝜋; 𝜋 + 𝑘 ∙ 2𝜋]
Szigorúan monoton növekvő: 𝑥 ∈ [𝜋 + 𝑘 ∙ 2𝜋; 2𝜋 + 𝑘 ∙ 2𝜋]
Szélsőérték: Maximum: Helye: 𝑥 = 0 + 𝑘 ∙ 2𝜋
Értéke: 𝑦 = 1
Minimum: Helye: 𝑥 = 𝜋 + 𝑘 ∙ 2𝜋
Értéke: 𝑦 = −1
Korlátosság: Pontos alsó korlát: 𝑘 = −1
Pontos felső korlát: 𝐾 = 1
Korlátos függvény.
Paritás: Páros
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
3
ℎ (𝑥) = tg 𝑥
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
4
Az ábráról leolvashatjuk a függvény tulajdonságait: (𝑘 ∈ ℤ)
Értelmezési tartomány: 𝐷𝑓: 𝑥 ∈ ℝ \ {𝜋
2+ 𝑘 ∙ 𝜋}
Értékkészlet: 𝑅𝑓: 𝑦 ∈ ℝ
Periodicitás: Periódus: 𝑝 = 𝜋
Zérushely: 𝑥 = 0 + 𝑘 ∙ 𝜋
Monotonitás: Szigorúan monoton növekvő: 𝑥 ∈ ]−𝜋
2+ 𝑘 ∙ 𝜋;
𝜋
2+ 𝑘 ∙ 𝜋[
Szélsőérték:
Nincs szélsőértéke.
Korlátosság: Nincs alsó és felső korlátja.
Nem korlátos függvény.
Paritás: Páratlan
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
5
𝑡 (𝑥) = 𝑐𝑡𝑔 𝑥
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
6
Az ábráról leolvashatjuk a függvény tulajdonságait: (𝑘 ∈ ℤ)
Értelmezési tartomány: 𝐷𝑓: 𝑥 ∈ ℝ \ {0 + 𝑘 ∙ 𝜋}
Értékkészlet: 𝑅𝑓: 𝑦 ∈ ℝ
Periodicitás: Periódus: 𝑝 = 𝜋
Zérushely: 𝑥 =𝜋
2+ 𝑘 ∙ 𝜋
Monotonitás: Szigorúan monoton növekvő: 𝑥 ∈ ]0 + 𝑘 ∙ 𝜋; 𝜋 + 𝑘 ∙ 𝜋[
Szélsőérték:
Nincs szélsőértéke.
Korlátosság: Nincs alsó és felső korlátja.
Nem korlátos függvény.
Paritás: Páratlan
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
7
Gyakorló feladatok
K: középszintű feladat E: emelt szintű feladat
1. (K) Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket!
a) 𝒇 (𝒙) = 𝒔𝒊𝒏 (𝒙 −𝝅
𝟐) + 𝟏
b) 𝒇 (𝒙) = 𝟑 ∙ 𝒄𝒐𝒔 (𝟐𝒙)
c) 𝒇 (𝒙) = 𝒄𝒕𝒈 (𝟏
𝟐𝒙) − 𝟏
2. (E) Ábrázold és jellemezd az 𝒇 (𝒙) = 𝒕𝒈 (𝝅
𝟐− 𝒙) függvényt!
3. (K) Ábrázold a következő trigonometrikus függvényeket!
a) 𝒇 (𝒙) = 𝟐 − 𝒄𝒐𝒔 (𝟏
𝟑𝒙)
b) 𝒇 (𝒙) = 𝟏 − 𝒕𝒈 𝒙
c) 𝒇 (𝒙) =𝟏
𝟐∙ 𝒄𝒕𝒈 (𝒙 −
𝝅
𝟐)
4. (E) Ábrázold a következő trigonometrikus függvényeket!
a) 𝒇 (𝒙) = 𝟐 ∙ 𝒔𝒊𝒏 (𝝅
𝟒− 𝒙)
b) 𝒇 (𝒙) = |𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙|
c) 𝒇 (𝒙) = 𝒕𝒈 (|𝒙|)
5. (E) Ábrázold a következő trigonometrikus függvényeket!
a) 𝒇 (𝒙) = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 ∙ 𝒔𝒈𝒏 (𝒔𝒊𝒏 𝒙)
b) 𝒇 (𝒙) = 𝒕𝒈 𝒙 ∙ 𝒔𝒈𝒏 (𝒄𝒕𝒈 𝒙)
c) 𝒇 (𝒙) = [𝒙] ∙ |𝒔𝒊𝒏 (𝝅 ∙ 𝒙)|
d) 𝒇 (𝒙) = |𝒔𝒊𝒏 𝒙| − 𝒔𝒊𝒏 𝒙
e) 𝒇 (𝒙) = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 + |𝒄𝒐𝒔 𝒙|
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
8
6. (K) Határozd meg a következő függvények 𝒇 (−𝝅
𝟐) helyettesítési értékét!
a) 𝒇 (𝒙) = 𝟐 ∙ 𝐬𝐢𝐧 (𝒙 +𝝅
𝟒)
b) 𝒇(𝒙) = 𝐜𝐨𝐬(𝟑𝒙 − 𝝅)
c) 𝒇 (𝒙) = −𝒄𝒕𝒈 (𝒙 −𝝅
𝟓)
7. (K) Határozd meg, hogy a következő függvények hol veszik fel a 𝟐 értéket!
a) 𝒇(𝒙) = 𝟓 + 𝐬𝐢𝐧𝒙
b) 𝒇 (𝒙) = − 𝒄𝒐𝒔 (𝒙) + 𝟏
c) 𝒈 (𝒙) = 𝟐 ∙ 𝒕𝒈 (𝒙 +𝝅
𝟒)
8. (K) Döntsd el ábrázolás nélkül, hogy illeszkedik – e a 𝑷 (−𝝅;𝟒) pont a következő
függvények grafikonjára!
a) 𝒇(𝒙) = 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒙) + 𝟑
b) 𝒈 (𝒙) = 𝒕𝒈 (𝒙 − 𝝅)
9. (K) Határozd meg a 𝑷 (𝒙; 𝟎) és 𝑸 (𝝅; 𝒚) pontok koordinátáit úgy, hogy illeszkedjenek
a következő függvényekre!
a) 𝒇 (𝒙) = −𝐬𝐢𝐧 (𝒙 −𝟑𝝅
𝟐)
b) 𝒈 (𝒙) = 𝒄𝒕𝒈 (𝒙
𝟒) − 𝟏
10. (K) Határozd meg ábrázolás nélkül a következő függvények zérushelyeit!
a) 𝒇 (𝒙) = 𝐜𝐨𝐬𝟕𝒙
b) 𝒈 (𝒙) = 𝟐 − 𝒕𝒈 𝒙
11. (K) Írd fel annak a 𝒈 (𝒙) függvénynek a hozzárendelési szabályát, amelyet úgy
kapunk, hogy az adott 𝒇 (𝒙) függvényt eltoljuk az adott �⃗⃗� vektorral!
a) 𝒇 (𝒙) = 𝐬𝐢𝐧𝒙 és �⃗⃗� (𝝅; 𝟔)
b) 𝒇 (𝒙) = 𝒄𝒕𝒈 𝟐𝒙 és �⃗⃗� (−𝝅
𝟏𝟏; −𝟖)
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
9
Felhasznált irodalom
(1) Hajdu Sándor; 2003.; Matematika 10.; Műszaki Könyvkiadó; Budapest
(2) Urbán János; 2009.; Sokszínű matematika 10; Mozaik Kiadó; Szeged
(3) Ábrahám Gábor; 2010.; Matematika 10; Maxim Könyvkiadó; Szeged
(4) Urbán János; 2014.; Sokszínű matematika feladatgyűjtemény 10; Mozaik Kiadó; Szeged
(5) Korányi Erzsébet; 1998.; Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából;
Nemzeti Tankönyvkiadó; Budapest
(6) Vancsó Ödön; 2005.; Egységes Érettségi Feladatgyűjtemény Matematika I.;
Konsept H Könyvkiadó; Piliscsaba
(7) Fuksz Éva; 2011.; Érettségi feladatgyűjtemény matematikából 9 − 10. évfolyam;
Maxim Kiadó; Szeged
(8) Fröhlich Lajos; 2006.; Alapösszefüggések matematikából – emelt szint; Maxim Kiadó; Szeged
(9) https://users.itk.ppke.hu/itk_dekani/files/matematika/list.html
(10) Saját anyagok
