Alcuni trucchi e segreti per non usare la calcolatrice nei calcoli matematici

Alcuni trucchi e segreti per Alcuni trucchi e segreti per non usare la calcolatrice nei non usare la calcolatrice nei

calcoli matematicicalcoli matematici

Moltiplicazione di numeri con differenza piccola

Quadrato di alcuni numeri

Moltiplicazione di numeri che finiscono con una certa cifra

Altre scorciatoie nelle moltiplicazione

Criteri di divisibilità (con dimostrazioni)

Curiosità della matematica

Moltiplicazione di numeri con Moltiplicazione di numeri con differenza piccoladifferenza piccola

Moltiplicazione di due numeri con differenza 1





Moltiplicazione di due numeri Moltiplicazione di due numeri con differenza 1con differenza 1

4 • 5 = 5² - 5 = 25 – 5 = 20

4 • 5 = 4² + 4 = 16 + 4 = 20

36 • 35 = 35² + 35 = 1225 + 35 = 1260

40 • 41 = 40² + 40 = 1600 + 40 = 1640

Giustificazione

Giustificazione:Giustificazione:

n • (n + 1) = n² + n dove n è il più piccolon • (n + 1) = n² + n dove n è il più piccolo

n • (n – 1) = n² - nn • (n – 1) = n² - n dove n è il più grande dove n è il più grande

Spiegazione:Spiegazione:

• Si somma al numero più piccolo il suo quadrato.Si somma al numero più piccolo il suo quadrato.

• Si sottrae dal numero più grande elevato al quadrato il Si sottrae dal numero più grande elevato al quadrato il numero stesso.numero stesso.

Moltiplicazione di due numeri Moltiplicazione di due numeri con differenza 2con differenza 2

19 • 21 = 20² - 1 = 39959 • 61 = 60² - 1 = 3.59969 • 71 = 70² - 1 = 4.89929 • 31 = 30² - 1 = 899101 • 99 = 100² - 1 = 9.99939 • 41 = 40² - 1 = 1.59981 • 79 = 80² - 1 = 6.39991 • 89 = 90² - 1 = 8.099

GiustificazioneGiustificazione


(n – 1) • (n + 1) = n² - 1(n – 1) • (n + 1) = n² - 1 dove n è la mediadove n è la media


Si prende la media dei due numeri, la si eleva al quadrato Si prende la media dei due numeri, la si eleva al quadrato ee

si toglie 1.si toglie 1.

Esempi:Esempi:

121 • 119 = 120² - 1 = 14.399121 • 119 = 120² - 1 = 14.399

201 • 199 = 200² - 1 = 39.999201 • 199 = 200² - 1 = 39.999

49 • 51 = 50² - 1 = 2.49949 • 51 = 50² - 1 = 2.499

11 • 13 = 12² - 1 = 14311 • 13 = 12² - 1 = 143

Moltiplicazione di due numeri Moltiplicazione di due numeri con differenza 3con differenza 3 24 • 27 = (24 + 1)² + (24 – 1) = 625 + 23 = 64824 • 27 = (24 + 1)² + (24 – 1) = 625 + 23 = 648

59 • 62 = (59 + 1)² + (59 – 1) = 3600 + 58 = 365859 • 62 = (59 + 1)² + (59 – 1) = 3600 + 58 = 3658

34 • 37 = (34 + 1)² + (34 – 1) = 1225 + 33 = 125834 • 37 = (34 + 1)² + (34 – 1) = 1225 + 33 = 1258

49 • 52 = (49 + 1)² + (49 – 1) = 2500 + 48 = 254849 • 52 = (49 + 1)² + (49 – 1) = 2500 + 48 = 2548

99 • 102 = (99 + 1)² + (99 – 1) = 10.000 + 98 = 99 • 102 = (99 + 1)² + (99 – 1) = 10.000 + 98 = 10.09810.098


Giustificazione:Giustificazione:(n + 1)² + n – 1 = n² + 2n + 1 + n – 1 = n² + 3n = n (n+ 3)(n + 1)² + n – 1 = n² + 2n + 1 + n – 1 = n² + 3n = n (n+ 3)

dove n è il più piccolo dei numeridove n è il più piccolo dei numeri

Spiegazione:Spiegazione:Si prende il più piccolo dei due numeri e si aggiunge 1, si Si prende il più piccolo dei due numeri e si aggiunge 1, si

elevaelevatutto al quadrato e poi si aggiunge lo stesso numero diminuito tutto al quadrato e poi si aggiunge lo stesso numero diminuito

di 1.di 1.

Esempi: Esempi: 154 • 157 = (154 + 1)²+ (154 – 1) = 24.025 + 153 = 24.178154 • 157 = (154 + 1)²+ (154 – 1) = 24.025 + 153 = 24.17812 • 15 = (12 + 1)² + (12 – 1) = 169 + 11 = 18012 • 15 = (12 + 1)² + (12 – 1) = 169 + 11 = 18022 • 25 = (22 + 1)² + (22 – 1) = 529 + 21 = 55022 • 25 = (22 + 1)² + (22 – 1) = 529 + 21 = 55071 • 74 = (71 + 1 )² + (71 – 1) = 5184 + 70 = 525471 • 74 = (71 + 1 )² + (71 – 1) = 5184 + 70 = 525417 • 14 = (14 + 1)² + (14 – 1) = 225 + 13 = 23817 • 14 = (14 + 1)² + (14 – 1) = 225 + 13 = 23831 • 28 = (28 + 1)² + (28 – 1) = 841 + 27 = 86831 • 28 = (28 + 1)² + (28 – 1) = 841 + 27 = 868

Moltiplicazione di due numeri Moltiplicazione di due numeri con differenza 4con differenza 4 67 • 63 = 65² - 4 = 4.22167 • 63 = 65² - 4 = 4.221

14 • 18 = 16² - 4 = 25214 • 18 = 16² - 4 = 252

22 • 26 = 24² - 4 = 57222 • 26 = 24² - 4 = 572

38 • 42 = 40² - 4 = 1.59638 • 42 = 40² - 4 = 1.596

58 • 62 = 60² - 4 = 359658 • 62 = 60² - 4 = 3596

8 • 12 = 10² - 4 = 968 • 12 = 10² - 4 = 96



n² - 4 = (n + 2)(n – 2) n² - 4 = (n + 2)(n – 2) dove n è la dove n è la mediamedia


Si prende il quadrato della media dei due numeri e si sottrae Si prende il quadrato della media dei due numeri e si sottrae 4.4.

Esempi:Esempi:

28 • 32 = 30² - 4 = 89628 • 32 = 30² - 4 = 896

15 • 19 = 17² - 4 = 28515 • 19 = 17² - 4 = 285

21 • 25 = 22² - 4 = 52521 • 25 = 22² - 4 = 525

37 • 41 = 39² - 4 = 1.51737 • 41 = 39² - 4 = 1.517

48 • 52 = 50² - 4 = 2.49648 • 52 = 50² - 4 = 2.496

17 • 21 = 19² - 4 = 35717 • 21 = 19² - 4 = 357

Moltiplicazione di due numeri Moltiplicazione di due numeri con differenza 6con differenza 6 33 • 27 = 30² - 9 = 89133 • 27 = 30² - 9 = 891 83 • 77 = 80² - 9 = 6.39183 • 77 = 80² - 9 = 6.391 15 • 21 = 18² - 9 = 31515 • 21 = 18² - 9 = 315 25 • 19 = 22² - 9 = 47525 • 19 = 22² - 9 = 475 36 • 42 = 39² - 9 = 1.51236 • 42 = 39² - 9 = 1.512 13 • 19 = 16² - 9 = 24713 • 19 = 16² - 9 = 247 17 • 23 = 20² - 9 = 39117 • 23 = 20² - 9 = 391



(n + 3)(n – 3) = n² - 9 dove n è la media dei due (n + 3)(n – 3) = n² - 9 dove n è la media dei due numerinumeri


Si prende la media dei due numeri, la si eleva al quadrato e Si prende la media dei due numeri, la si eleva al quadrato e si toglie 9.si toglie 9.

Esempi:Esempi:

43 • 37 = 40² - 9 = 1.59143 • 37 = 40² - 9 = 1.591

57 • 63 = 60²- 9 = 359157 • 63 = 60²- 9 = 3591

33 • 27 = 30² - 9 = 89133 • 27 = 30² - 9 = 891

36 • 42 = 39² - 9 = 151236 • 42 = 39² - 9 = 1512

22 • 28 = 25² - 9 = 61622 • 28 = 25² - 9 = 616

Quadrato di certi numeriQuadrato di certi numeri

Quadrato di numeri che terminano con 1





Quadrato di numeri compresi tra 25 e 50

Quadrato di numeri vicini a 100

Quadrato di numeri che Quadrato di numeri che terminano con 1terminano con 1

41 • 41 = 40² + 40 + 41 = 1.68141 • 41 = 40² + 40 + 41 = 1.68111 • 11 = 10² + 10 + 11 = 12111 • 11 = 10² + 10 + 11 = 12131 • 31 = 30² + 30 + 31 = 96131 • 31 = 30² + 30 + 31 = 961

Giustificazione:Giustificazione:n² = (n – 1)² + n + n – 1n² = (n – 1)² + n + n – 1 con n = numero con n = numero

datodato

Spiegazione: Spiegazione: Si prende il numero diminuito di 1, si esegue il quadrato, si Si prende il numero diminuito di 1, si esegue il quadrato, si aggiunge il numero di partenza e il numero di partenza aggiunge il numero di partenza e il numero di partenza diminuito di 1diminuito di 1


34 • 34 = 35² - (35 + 34) = 1225 – 69 = 115634 • 34 = 35² - (35 + 34) = 1225 – 69 = 1156OppureOppure 34 • 34 = 35² - (2 • 35) + 1 = 1225 – 70 + 1 = 34 • 34 = 35² - (2 • 35) + 1 = 1225 – 70 + 1 =

11561156 14 • 14 = 15² - (15 + 14) = 225 – 29 = 19614 • 14 = 15² - (15 + 14) = 225 – 29 = 196

OppureOppure 14 • 14 = 15² - (2 • 15) + 1 = 225 – 30 + 1 = 14 • 14 = 15² - (2 • 15) + 1 = 225 – 30 + 1 = 196196

Giustificazione:Giustificazione:• n²= (n + 1)² - (n + n + 1)n²= (n + 1)² - (n + n + 1) n = numero daton = numero dato• n²= (n + 1)² - 2 • (n + 1) + 1 n²= (n + 1)² - 2 • (n + 1) + 1 n = numero n = numero

datodato

Spiegazione:Spiegazione:Si prende il quadrato del numero dato + 1 e si sottrae la Si prende il quadrato del numero dato + 1 e si sottrae la somma tra il numero dato e il suo successivo; oppure si prende somma tra il numero dato e il suo successivo; oppure si prende il quadrato del numero dato + 1, vi si aggiunge 1 e si toglie il il quadrato del numero dato + 1, vi si aggiunge 1 e si toglie il doppio prodotto del numero dato + 1doppio prodotto del numero dato + 1


Giustificazione: Giustificazione: • (10n + 5)²= 100n² + 100n + 25 = (10n + 5)²= 100n² + 100n + 25 = 100n • (n + 1) + 25100n • (n + 1) + 25

Con n cifra delle decine Con n cifra delle decine

45 • 45 = (10 • 4 + 5)²= 100(4)² + 100(4) + 25 = 1.600 + 400 + 25 = 45 • 45 = (10 • 4 + 5)²= 100(4)² + 100(4) + 25 = 1.600 + 400 + 25 = 2.0252.025

Spiegazione:Spiegazione:• Si mettono 25 unità e la parte delle centinaia è formata dal prodotto Si mettono 25 unità e la parte delle centinaia è formata dal prodotto

della cifra delle decine del numero di partenza per il suo successivodella cifra delle decine del numero di partenza per il suo successivo

2.0252.025 20 = 4 (cifra decine) • (4 + 1) = cifra centinaia20 = 4 (cifra decine) • (4 + 1) = cifra centinaia20 • 100 = 2.000 20 • 100 = 2.000 2.000 + 25 = 2.000 + 25 =

2.0252.025



n² = (n – 1)² + ( n + n – 1) n² = (n – 1)² + ( n + n – 1) con n numero dato con n numero dato

36 • 36 = (36 – 1)² + (36 + 36 – 1) = 35² + 36 + 35 = 1.225 + 71 = 36 • 36 = (36 – 1)² + (36 + 36 – 1) = 35² + 36 + 35 = 1.225 + 71 = 1.2961.296

56 • 56 = 55² + 56 + 55 = 3.13656 • 56 = 55² + 56 + 55 = 3.136


• Si esegue il quadrato del numero dato diminuito di 1, si aggiunge il Si esegue il quadrato del numero dato diminuito di 1, si aggiunge il numero di partenza e si aggiunge il numero di partenza diminuito di numero di partenza e si aggiunge il numero di partenza diminuito di 11


39 • 39 = 40² - (40 + 39) = 1.52139 • 39 = 40² - (40 + 39) = 1.521

19 • 19 = 20² - (20 + 19) = 36119 • 19 = 20² - (20 + 19) = 361

69 • 69 = 70² - (70 + 69) = 4.76169 • 69 = 70² - (70 + 69) = 4.761


n² = (n + 1)² - (n + n + 1) n² = (n + 1)² - (n + n + 1) con n con n numero datonumero dato

Spiegazione: Spiegazione:

• Si prende il quadrato del numero dato aumentato di 1, si Si prende il quadrato del numero dato aumentato di 1, si toglie il numero di partenza e il numero di partenza toglie il numero di partenza e il numero di partenza aumentato di 1aumentato di 1

Quadrato di numeri compresi Quadrato di numeri compresi tra 25 e 50tra 25 e 50

26 • 26 = 100 • (26 – 25) + (50 – 26)² = 100 • 1 + 576 = 67626 • 26 = 100 • (26 – 25) + (50 – 26)² = 100 • 1 + 576 = 676 47 • 47 = 100 • (47 – 25) + (50 – 47)² = 100 • 22 + 9 = 220947 • 47 = 100 • (47 – 25) + (50 – 47)² = 100 • 22 + 9 = 2209 32 • 32 = 100 • (32 – 25) + (50 – 32)² = 100 • 7 + 324 = 32 • 32 = 100 • (32 – 25) + (50 – 32)² = 100 • 7 + 324 =

10241024 28 • 28 = 100 • (28 – 25) + (50 – 28)² = 100 • 3 + 484 = 78428 • 28 = 100 • (28 – 25) + (50 – 28)² = 100 • 3 + 484 = 784

Giustificazione:Giustificazione:n² = 100 • (n – 25) + (50 – n)²n² = 100 • (n – 25) + (50 – n)² con n numero datocon n numero dato

Spiegazione:Spiegazione:• Si toglie dal numero dato 25 e si moltiplica il risultato per 100; Si toglie dal numero dato 25 e si moltiplica il risultato per 100;

dopodiché si aggiunge al risultato trovato il quadrato della dopodiché si aggiunge al risultato trovato il quadrato della differenza tra 50 e il numero di partenzadifferenza tra 50 e il numero di partenza

Quadrato di numeri vicini a Quadrato di numeri vicini a 100100 98 • 98 = 100 • (2 • 98 – 100) + (100 – 98)² = 9.60498 • 98 = 100 • (2 • 98 – 100) + (100 – 98)² = 9.604 104 • 104 = 100 • (2 • 104 – 100) + (100 – 104)² = 10.816104 • 104 = 100 • (2 • 104 – 100) + (100 – 104)² = 10.816 110 • 110 = 100 • (2 • 110 – 100) + (100 – 110)² = 12.100110 • 110 = 100 • (2 • 110 – 100) + (100 – 110)² = 12.100 108 • 108 = 100 • (2 • 108 – 100) + (100 – 108)² = 11.664108 • 108 = 100 • (2 • 108 – 100) + (100 – 108)² = 11.664

Giustificazione:Giustificazione:n² = 100 • (2n – 100) + (100 – n)²n² = 100 • (2n – 100) + (100 – n)² con n numero datocon n numero dato

Spiegazione:Spiegazione:• Si moltiplica per 100 la differenza tra il doppio del numero Si moltiplica per 100 la differenza tra il doppio del numero

dato e 100 e poi vi si aggiunge il quadrato della differenza tra dato e 100 e poi vi si aggiunge il quadrato della differenza tra 100 e il numero di partenza100 e il numero di partenza

Moltiplicazione di numeri che finiscono con una certa cifra

Moltiplicazione di numeri di cui almeno uno termina con 1 Moltiplicazione di numeri di cui almeno uno termina con 1

Moltiplicazione di numeri di cui almeno uno termina con 5Moltiplicazione di numeri di cui almeno uno termina con 5

Moltiplicazione di numeri entrambi terminanti con 5 e con la Moltiplicazione di numeri entrambi terminanti con 5 e con la somma delle decine parisomma delle decine pari

Moltiplicazione di numeri entrambi terminanti con 5 e con la Moltiplicazione di numeri entrambi terminanti con 5 e con la somma delle decine disparisomma delle decine dispari

Moltiplicazione per 11Moltiplicazione per 11

Moltiplicazione per 21,31,41…Moltiplicazione per 21,31,41…

Moltiplicazione di numeri di cui Moltiplicazione di numeri di cui almeno uno termina con 1almeno uno termina con 1

Moltiplicazione per 11Moltiplicazione per 11

Metodo AMetodo A

Metodo BMetodo B

Metodo CMetodo C

• A) 67 A) 67 .. 11=67 11=67 . . 10 + 67=737 10 + 67=737Spiegazione:Spiegazione:Si applica la proprietà distributiva ;si moltiplica per 10 e si Si applica la proprietà distributiva ;si moltiplica per 10 e si

aggiunge il numero di partenza.aggiunge il numero di partenza.

B) 369 B) 369 .. 11 11 369+369+ 369 =369 = 4059 4059 Spiegazione:Spiegazione: Si moltiplica il numero dato per 10 e lo si addiziona al Si moltiplica il numero dato per 10 e lo si addiziona al

numero stesso con questo incolonnamento. numero stesso con questo incolonnamento.

C) 27 C) 27 .. 11 11

Sommare 2+7=9Sommare 2+7=9Inserire il numero tra 2 e 7 297Inserire il numero tra 2 e 7 29743 43 . . 11=47311=47372 72 . . 11=79211=79285 85 . . 11=935 15611=935 156

Moltiplicazione per 21,31,41…Moltiplicazione per 21,31,41…

67 67 .. 21 = 2 21 = 2 .. 67 67 .. 10 + 67 = 1340 + 67 = 1407 10 + 67 = 1340 + 67 = 1407

54 54 .. 31 = 3 31 = 3 .. 54 54 .. 10 + 54 = 1620 + 54 = 1674 10 + 54 = 1620 + 54 = 1674

32 32 .. 41 = 4 41 = 4 .. 32 32 . . 10 + 32 = 1280 + 32 = 131210 + 32 = 1280 + 32 = 1312


Si applica la proprietà distributiva, cioè si moltiplica il Si applica la proprietà distributiva, cioè si moltiplica il numero per la cifra delle decine del numero terminante con numero per la cifra delle decine del numero terminante con 1, si moltiplica per 10 e si aggiunge il numero di partenza.1, si moltiplica per 10 e si aggiunge il numero di partenza.

Moltiplicazione di numeri di cui Moltiplicazione di numeri di cui almeno uno termina con 5 almeno uno termina con 5 (oppure metodo del doppio e (oppure metodo del doppio e della metà)della metà)• Moltiplicare per 15,25,35… :Moltiplicare per 15,25,35… :

64 64 . . 35 =32 35 =32 .. 70 = 32 70 = 32 .. 7 7 .. 10 = 2240 10 = 2240 175 175 .. 24 = 350 24 = 350 .. 12 = 700 12 = 700 .. 6 = 4200 6 = 4200 Spiegazione:Spiegazione: Si moltiplica per due il numero che termina con 5 e si divide per due l’altro.Si moltiplica per due il numero che termina con 5 e si divide per due l’altro. Metodo alternativo per moltiplicare per 15:Metodo alternativo per moltiplicare per 15: 64 64 .. 15 = (64+32) 15 = (64+32) .. 10 = 960 10 = 960 Spiegazione:Spiegazione: Questo trucco utilizza sempre il metodo della metà e del doppio:Questo trucco utilizza sempre il metodo della metà e del doppio: Se si deve moltiplicare un numero per 15, si moltiplica per 10 la metà di quel numero Se si deve moltiplicare un numero per 15, si moltiplica per 10 la metà di quel numero

addizionato al numero stesso.addizionato al numero stesso.

Moltiplicazione di numeri Moltiplicazione di numeri entrambi terminanti con 5 e entrambi terminanti con 5 e con la somma delle decine paricon la somma delle decine pari

35 35 .. 55=1925 55=1925

3 3 .. 5=15 (3+5) 5=15 (3+5) .. ½=4 15+4=19 1925 ½=4 15+4=19 1925

Dimostrazione:Dimostrazione:

(10a+5)(10b+5)=100ab+50a+50b+25=(10a+5)(10b+5)=100ab+50a+50b+25=

=100ab+100/2(a+b)+25=100ab+100/2(a+b)+25

=100(ab+a+b)+25=100(ab+a+b)+25

22

Moltiplicazione di numeri Moltiplicazione di numeri entrambi terminanti con 5 e entrambi terminanti con 5 e con la somma delle decine con la somma delle decine disparidispari65 65 .. 35=2275 35=2275

6 6 .. 3=18 6+3=4,5 18+4,5=22 2275 3=18 6+3=4,5 18+4,5=22 2275

2 0,5 2 0,5 . . 100=50100=50

Dimostrazione: 50+25=75 Dimostrazione: 50+25=75

(10a+5)(10b+5)=100ab+50a+50b+25=(10a+5)(10b+5)=100ab+50a+50b+25=

=100ab+100/2(a+b)+25=100ab+100/2(a+b)+25

=100(ab+a+b)+25=100(ab+a+b)+25

22

Altre scorciatoie nelle moltiplicazione

Moltiplicazione di due numeri con le decine pari a Moltiplicazione di due numeri con le decine pari a 11

Moltiplicazione di due numeri(a due cifre) aventi la Moltiplicazione di due numeri(a due cifre) aventi la somma delle unità pari a 10 e le decine ugualisomma delle unità pari a 10 e le decine uguali

Moltiplicazione di due numeri(a due cifre)aventi la Moltiplicazione di due numeri(a due cifre)aventi la somma delle decine pari a 10 e le unità ugualisomma delle decine pari a 10 e le unità uguali

Moltiplicazione di due numeri Moltiplicazione di due numeri fra 10 e 19fra 10 e 1916 16 .. 13 = 208 13 = 208

Si moltiplica per 10 la somma del primo numero con la cifra Si moltiplica per 10 la somma del primo numero con la cifra delle unità del secondo:16 + 3 = 19 19 delle unità del secondo:16 + 3 = 19 19 .. 10 = 190 10 = 190

Al numero ottenuto si aggiunge il prodotto delle cifre delle Al numero ottenuto si aggiunge il prodotto delle cifre delle unità:unità:

190 + 6 190 + 6 .. 3 = 208 3 = 208


(10+a)(10+b)=100+10a+10b+ab(10+a)(10+b)=100+10a+10b+ab

=10(10+a+b)+ab prodotto delle cifre delle =10(10+a+b)+ab prodotto delle cifre delle unitàunità

primo numero cifra delle unità del secondo numeroprimo numero cifra delle unità del secondo numero

Moltiplicazione di due numeri(a Moltiplicazione di due numeri(a due cifre) aventi la somma due cifre) aventi la somma delle unità uguali a 10 e le delle unità uguali a 10 e le decine ugualidecine uguali72 72 .. 78 = 5616 78 = 5616

Procedimento:Procedimento:

Si moltiplica la cifra delle decine per la sua successiva:7 Si moltiplica la cifra delle decine per la sua successiva:7 .. 8 = 8 = 5656

Si moltiplica le unità:8 Si moltiplica le unità:8 . . 2 = 162 = 16


(10a+b)(10a+c)=100a(10a+b)(10a+c)=100a22+10ab+10ac+bc+10ab+10ac+bc

=100a=100a22+10a(b+c)+bc+10a(b+c)+bc

=100a=100a22+10a(b+10-b)+bc+10a(b+10-b)+bc

=100a=100a22+100a+bc+100a+bc

=100a(a+1)+bc=100a(a+1)+bc

Moltiplicazione di due numeri(a Moltiplicazione di due numeri(a due cifre)aventi la somma delle due cifre)aventi la somma delle decine uguali a 10 e le stesse decine uguali a 10 e le stesse unità unità 36 36 .. 76 = 2736 76 = 2736

Si moltiplica il prodotto delle cifre delle decine sommato alle Si moltiplica il prodotto delle cifre delle decine sommato alle unità per 10: (3 unità per 10: (3 .. 7 + 6) 7 + 6) .. 100 = 2700. 100 = 2700.

Al risultato ottenuto si somma il quadrato della cifra delle Al risultato ottenuto si somma il quadrato della cifra delle unità:unità:

2700 + 62700 + 62 2 = 2736.= 2736.


(10a+c)(10b+c)=100ab+10bc+10ac+c(10a+c)(10b+c)=100ab+10bc+10ac+c22

=100ab+10c(b+a)+c=100ab+10c(b+a)+c22

=100ab+100c+c=100ab+100c+c22

Criteri di divisibilità (con Criteri di divisibilità (con dimostrazioni)dimostrazioni) Per 2Per 2 Per 3 o 9Per 3 o 9 Per 4Per 4 Per 5Per 5 Per 7Per 7 Per 11Per 11 Per 13Per 13

Per 2Per 2

100a+10b+c 2 100a+10b+c 2 .. (50a+5b)+c (50a+5b)+c

La divisibilità è legata all’ultima cifra.La divisibilità è legata all’ultima cifra.

Un numero è divisibile per 2 se la sua ultima cifra è divisibile Un numero è divisibile per 2 se la sua ultima cifra è divisibile per 2.per 2.

Per 3 o 9Per 3 o 9

100a+10b+c=99a+9b+(c+a+b)100a+10b+c=99a+9b+(c+a+b)

divisibili per 3 o 9divisibili per 3 o 9

Un numero è divisibile per 3 o 9 se la somma delle sue cifre Un numero è divisibile per 3 o 9 se la somma delle sue cifre è divisibile per 3 o 9.è divisibile per 3 o 9.

Per 4Per 4

100a+10b+c100a+10b+c

Il numero 100 o un suo multiplo è sempre divisibile per 4; è Il numero 100 o un suo multiplo è sempre divisibile per 4; è quindi evidente che la sua divisibilità dipende dalle sue quindi evidente che la sua divisibilità dipende dalle sue ultime due cifre.ultime due cifre.

Si può quindi affermare che le ultime due cifre sono tali che Si può quindi affermare che le ultime due cifre sono tali che se la sua penultima è dispari l'ultima è 2 oppure 6, e se la se la sua penultima è dispari l'ultima è 2 oppure 6, e se la sua penultima cifra è pari, l'ultima è 0, 4, 8. sua penultima cifra è pari, l'ultima è 0, 4, 8.

N.B=considero 0 pari.N.B=considero 0 pari.

Per 5Per 5

100a+10b+c100a+10b+c

Il numero 100 o un suo multiplo è sempre divisibile per 5; Il numero 100 o un suo multiplo è sempre divisibile per 5; è quindi evidente che la sua divisibilità dipende è quindi evidente che la sua divisibilità dipende dall’ultima cifra.dall’ultima cifra.

Un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 Un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 oppure 5.oppure 5.

Per 7Per 7

100a+10b+c+20c-20c=21c+10 100a+10b+c+20c-20c=21c+10 . . (10a+b-2c)(10a+b-2c)

Un numero è divisibile per 7 se (10a+b-2c) è divisibile per 7.Un numero è divisibile per 7 se (10a+b-2c) è divisibile per 7.

Procedimento:Procedimento: Si toglie l’ultima cifra del numero e si sottrae dal numero Si toglie l’ultima cifra del numero e si sottrae dal numero

rimanente il doppio della cifra tolta.rimanente il doppio della cifra tolta.Esempio:Esempio:147 è divisibile per 7 ?147 è divisibile per 7 ?Si,perché 14-Si,perché 14- 14=14= 0 0 è divisibile per 7.0 0 è divisibile per 7.

Per 11Per 11

100a+10b+c=100a+10b+c+100b-100b+100c-100c100a+10b+c=100a+10b+c+100b-100b+100c-100c

=100(a-b+c)+110b+99c=100(a-b+c)+110b+99c

divisibili per 11divisibili per 11

Un numero è divisibile per 11 se lo è la somma delle sue Un numero è divisibile per 11 se lo è la somma delle sue cifre di posto dispari sottratta a quella delle cifre di posto cifre di posto dispari sottratta a quella delle cifre di posto pari.pari.

Per 13Per 13

100a + 10b + c = 100a + 10b + c + 40c - 40c100a + 10b + c = 100a + 10b + c + 40c - 40c

=10(10a + b + 4c)- 39c=10(10a + b + 4c)- 39c

divisibile per 13divisibile per 13

Un numero è divisibile per 13 se (10a + b + 4c)è divisibile per 13.Un numero è divisibile per 13 se (10a + b + 4c)è divisibile per 13.

Procedimento:Procedimento:

Si toglie l’ultima cifra del numero e si sottrae dal numero Si toglie l’ultima cifra del numero e si sottrae dal numero rimanente quadruplo della cifra tolta.rimanente quadruplo della cifra tolta.

Esempio:Esempio:

143=divisibile per 13 ? Si,perché: 14+12=26 divisibile 143=divisibile per 13 ? Si,perché: 14+12=26 divisibile per 13per 13

Curiosità della matematicaCuriosità della matematica

Moltiplicazioni con numeri bizzarriMoltiplicazioni con numeri bizzarri

Radice quadrata con metodo di EroneRadice quadrata con metodo di Erone

Dal numero decimale periodico alla frazione Dal numero decimale periodico alla frazione generatricegeneratrice

Giochi matematiciGiochi matematici

Moltiplicazioni con numeri Moltiplicazioni con numeri bizzarribizzarri

Numeri(contenenti tutte le cifre) che moltiplicati Numeri(contenenti tutte le cifre) che moltiplicati per 9,2 o un numero a 5 cifre danno un prodotto per 9,2 o un numero a 5 cifre danno un prodotto contenente tutte le cifre.contenente tutte le cifre.

Il numero 12’345’679Il numero 12’345’679

Numeri (contenenti tutte le cifre) che Numeri (contenenti tutte le cifre) che moltiplicati per 9,2 o un numero a 5 cifre moltiplicati per 9,2 o un numero a 5 cifre danno un prodotto contenente tutte le cifre.danno un prodotto contenente tutte le cifre.

57’624’831 • 9 = 518’623’479 57’624’831 • 9 = 518’623’479 72’645’831 • 9 = 653’812’47972’645’831 • 9 = 653’812’47981’274’365 • 9 = 731’469’28581’274’365 • 9 = 731’469’285

518’623’479 • 2 = 1’037’246’958518’623’479 • 2 = 1’037’246’958653’812’479 • 2 = 1’307’624’958653’812’479 • 2 = 1’307’624’958731’469’285 • 2 = 1’462’938’570731’469’285 • 2 = 1’462’938’570

35’577 • 35’579 = 1’265’794’08335’577 • 35’579 = 1’265’794’08346’836 • 46’838 = 2’193’704’56846’836 • 46’838 = 2’193’704’56863’727 • 63’729 = 4’061’257’98363’727 • 63’729 = 4’061’257’98378’426 • 78’428 = 6’150’794’328 78’426 • 78’428 = 6’150’794’328

Il numero 12’345’679Il numero 12’345’679 Moltiplicato per un multiplo di 9 fino a 81:Moltiplicato per un multiplo di 9 fino a 81:12’345’679 • 18 = 222’222’22212’345’679 • 18 = 222’222’22212’345’679 • 27 = 333’333’33312’345’679 • 27 = 333’333’33312’345’679 • 36 = 444’444’44412’345’679 • 36 = 444’444’44412’345’679 • 45 = 555’555’55512’345’679 • 45 = 555’555’55512’345’679 • 54 = 666’666’66612’345’679 • 54 = 666’666’66612’345’679 • 63 = 777’777’77712’345’679 • 63 = 777’777’77712’345’679 • 72 = 888’888’88812’345’679 • 72 = 888’888’88812’345’679 • 81 = 999’999’99912’345’679 • 81 = 999’999’999

Moltiplicato per un numero le cui cifre, sommate Moltiplicato per un numero le cui cifre, sommate fra di loro, diano 9fra di loro, diano 9

12’345’679 • 108 = 1’333’333’33212’345’679 • 108 = 1’333’333’332

12’345’679 • 117 = 1’444’444’443 12’345’679 • 117 = 1’444’444’443

12’345’679 • 126 = 1’555’555’55412’345’679 • 126 = 1’555’555’554

Radice quadrata con metodo di Radice quadrata con metodo di EroneErone

Esistono diversi algoritmi, procedimenti di calcolo, che permettono Esistono diversi algoritmi, procedimenti di calcolo, che permettono di calcolare la radice quadrata di un numero. L’algoritmo di Erone di calcolare la radice quadrata di un numero. L’algoritmo di Erone utilizza solo le quattro operazioni dell’aritmetica, per la sua utilizza solo le quattro operazioni dell’aritmetica, per la sua efficacia é usato in tutte le calcolatrici e nei linguaggi di efficacia é usato in tutte le calcolatrici e nei linguaggi di programmazione. programmazione.

Esempio:Esempio: 5 < 5 < 35 < 7 35 < 7 35/6(approssimato) 5,8 < 35/6(approssimato) 5,8 < 35 < 6 media fra 5 e 735 < 6 media fra 5 e 7 media fra 5, 8 e 6 5,9 < media fra 5, 8 e 6 5,9 < 35 < 5,93 35/5,9(approssimato)35 < 5,93 35/5,9(approssimato) (…)(…) Procedimento:Procedimento: Si cercano due numeri il cui prodotto sia il numero di cui si vuole Si cercano due numeri il cui prodotto sia il numero di cui si vuole

ottenere la radice; si esegue la loro media e si divide il numero di ottenere la radice; si esegue la loro media e si divide il numero di partenza (nell’esempio 35) per la media trovata. In questo modo si partenza (nell’esempio 35) per la media trovata. In questo modo si trovano due valori fra i quali è compresa la radice del numero. Si trovano due valori fra i quali è compresa la radice del numero. Si può continuare con questo procedimento fino a quando non si è può continuare con questo procedimento fino a quando non si è soddisfatti dell’approssimazione della radice trovata.soddisfatti dell’approssimazione della radice trovata.


L’algoritmo si basa su considerazioni geometriche. Per calcolare la radice di un L’algoritmo si basa su considerazioni geometriche. Per calcolare la radice di un numero numero ll costruiamo un quadrato di area costruiamo un quadrato di area ll, il suo lato è proprio la radice di , il suo lato è proprio la radice di ll..Utilizziamo il metodo delle approssimazioni successive e partiamo da un rettangolo i Utilizziamo il metodo delle approssimazioni successive e partiamo da un rettangolo i

cui lati misurano cui lati misurano hh e e l /hl /h , scegliamo , scegliamo hh minore di minore di ll. L’area del rettangolo è . L’area del rettangolo è h h .. l/h = l l/h = l , , cioè è uguale all’area del quadrato che cerchiamo. I lati sono invece uno minore e uno cioè è uguale all’area del quadrato che cerchiamo. I lati sono invece uno minore e uno maggiore del lato del quadrato.maggiore del lato del quadrato.Calcolando la media aritmetica delle misure dei due lati del rettangolo, otteniamo Calcolando la media aritmetica delle misure dei due lati del rettangolo, otteniamo hh11=h+l/h=h+l/h dove dove hh11 è maggiore di è maggiore di hh..

2 2

Costruiamo un nuovo rettangolo i cui lati misurano Costruiamo un nuovo rettangolo i cui lati misurano hh11 e e l/hl/h11

Anche in questo caso l’area del rettangolo è Anche in questo caso l’area del rettangolo è hh1 1 .. l/h l/h1 1 = l= l cioè uguale a quella del cioè uguale a quella del

quadrato; quadrato; hh1 1 è un valore approssimato per eccesso del lato del quadrato, è un valore approssimato per eccesso del lato del quadrato, l/hl/h11 è un è un

valore approssimato per difetto.valore approssimato per difetto.Però la media aritmetica delle due approssimazioni ha fornito un valore Però la media aritmetica delle due approssimazioni ha fornito un valore hh1 1 più vicino a più vicino a

ll di quanto lo fosse di quanto lo fosse hh..Proseguendo per successive approssimazioni possiamo costruire due successioni di Proseguendo per successive approssimazioni possiamo costruire due successioni di numeri che approssimano, una per eccesso e una per difetto, la radice quadrata di numeri che approssimano, una per eccesso e una per difetto, la radice quadrata di ll. .

ll

hh

l/hl/h

Dal numero decimale alla frazione Dal numero decimale alla frazione generatrice generatrice 0,93 = 840,93 = 84

9090

Sia n = frazione generatriceSia n = frazione generatrice

10n = 9,33333… 10n = 9,33333…

10n – n = 9,333 – 0,933310n – n = 9,333 – 0,9333

9n = 8,49n = 8,4

90n = 84 n = 8490n = 84 n = 84

9090

Giochi matematiciGiochi matematici

Gioco di carteGioco di carte

Gioco con numeri primiGioco con numeri primi

Gioco algebricoGioco algebrico

Gioco di carteGioco di carte

Spiegazione:Spiegazione: Il gioco si basa sul fatto che la somma di tutti i valori attribuiti Il gioco si basa sul fatto che la somma di tutti i valori attribuiti

alle 40 carte di un mazzo completo è uguale a 180,che un alle 40 carte di un mazzo completo è uguale a 180,che un multiplo di 10. multiplo di 10.

Si porge allo spettatore un mazzo di 40 carte e gli si chiede di Si porge allo spettatore un mazzo di 40 carte e gli si chiede di togliere una carta. togliere una carta. Si sfoglia velocemente il mazzo,facendo la somma Si sfoglia velocemente il mazzo,facendo la somma progressiva dei valori delle carte progressiva dei valori delle carte (re=0,asso=1,due=2…),usando l’accortezza di memorizzare (re=0,asso=1,due=2…),usando l’accortezza di memorizzare solo la cifra delle unità di ogni risultato parziale ottenuto ad solo la cifra delle unità di ogni risultato parziale ottenuto ad esempio:7+8= 1 5 (in questo modo si scartano le decine di esempio:7+8= 1 5 (in questo modo si scartano le decine di 180). Al termine del calcolo si otterrà un risultato compreso 180). Al termine del calcolo si otterrà un risultato compreso fra 0 e 9; sottraendo questo numero da 10 si ricaverà il valore fra 0 e 9; sottraendo questo numero da 10 si ricaverà il valore della carta tolta.della carta tolta.

Gioco con numeri primiGioco con numeri primi

Si chiede allo spettatore di pensare ad un numero da 1 a 9.Si chiede allo spettatore di pensare ad un numero da 1 a 9.

Gli si chiede poi di moltiplicare il numero (con la Gli si chiede poi di moltiplicare il numero (con la calcolatrice!!!) per 3, per 7, per 11, per 13, per 37, senza calcolatrice!!!) per 3, per 7, per 11, per 13, per 37, senza premere uguale alla fine del calcolo. Gli si chiede poi di premere uguale alla fine del calcolo. Gli si chiede poi di restituirci la calcolatrice, e basterà premere uguale e restituirci la calcolatrice, e basterà premere uguale e guardare il display, perché il numero pensato sarà scritto 6 guardare il display, perché il numero pensato sarà scritto 6 volte!volte!


I numeri 3, 7, 11, 13, 37 sono i fattori primi di 111’111.I numeri 3, 7, 11, 13, 37 sono i fattori primi di 111’111.

Questo numero moltiplicato per le cifre comprese fra 1 e 9, Questo numero moltiplicato per le cifre comprese fra 1 e 9, darà un numero le cui cifre saranno il numero pensato dallo darà un numero le cui cifre saranno il numero pensato dallo spettatore.spettatore.

Gioco algebricoGioco algebricoScrivete un numero su un foglio e ponete il foglio in una busta chiusa.Scrivete un numero su un foglio e ponete il foglio in una busta chiusa.Chiamate uno spettatore e fornitegli le seguenti istruzioni.Chiamate uno spettatore e fornitegli le seguenti istruzioni. a) Scegli un numero di due cifre(per esempio 75).a) Scegli un numero di due cifre(per esempio 75). b) Esegui la somma delle due cifre(7+5=12)b) Esegui la somma delle due cifre(7+5=12) c) Sottrai il numero così ottenuto da quello scelto prima(nel nostro caso: c) Sottrai il numero così ottenuto da quello scelto prima(nel nostro caso:

75-12=63).75-12=63). d) Esegui la somma delle cifre del valore ottenuto, ripetendo l’operazione, d) Esegui la somma delle cifre del valore ottenuto, ripetendo l’operazione,

nel caso in cui il risultato non sia composto da una sola cifra (nel nel caso in cui il risultato non sia composto da una sola cifra (nel nostro caso: 6+3=9).nostro caso: 6+3=9).

e) Comunica il risultato ottenuto,nel nostro caso(anche in tutti i casi:9) e) Comunica il risultato ottenuto,nel nostro caso(anche in tutti i casi:9) - Aprite la busta e mostrate che sul vostro foglio avevate scritto proprio - Aprite la busta e mostrate che sul vostro foglio avevate scritto proprio

9, strappando un applauso di vivo stupore (si spera).9, strappando un applauso di vivo stupore (si spera).

Giustificazione:Giustificazione: 10x + y – (x + y) = 10x + y – x – y = 10x – x = 9x10x + y – (x + y) = 10x + y – x – y = 10x – x = 9x Il risultato finale è un multiplo di 9; un numero è divisibile per 9 se la Il risultato finale è un multiplo di 9; un numero è divisibile per 9 se la

sua somma è divisibile per 9.sua somma è divisibile per 9.

Alcuni trucchi e segreti per Alcuni trucchi e segreti per non usare la calcolatrice nei non usare la calcolatrice nei

calcoli matematicicalcoli matematici

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Alcuni trucchi e segreti per non usare la calcolatrice nei calcoli matematici