Alen Lakovi OPTIMIZACIJA PORTFELJA DIONICA NA PRIMJERU ...oliver.efri.hr/zavrsni/908.B.pdf · vrijednosnica), ali i na strani potražnje (mali broj investitora). Slaba razvijenost

SVEU�ILIŠTE U RIJECI EKONOMSKI FAKULTET

Alen Lakovi�

OPTIMIZACIJA PORTFELJA DIONICA NA PRIMJERU ZAGREBA�KE BURZE

DIPLOMSKI RAD

Rijeka 2015.

SVEU�ILIŠTE U RIJECI EKONOMSKI FAKULTET

OPTIMIZACIJA PORTFELJA DIONICA NA PRIMJERU ZAGREBA�KE BURZE

DIPLOMSKI RAD

Predmet: Kvantitativne metode za poslovno odlu�ivanje

Mentor: prof.dr.sc. Ljiljana Lovri�

Student: Alen Lakovi�

Studijski smjer: Financije i bankarstvo

JMBAG: 0081128586

Rijeka, srpanj 2015.

SADRŽAJ:

1. UVOD ...................................................................................................................... 4

1.1. Problem i predmet istraživanja.............................................................................. 5

1.2. Cilj istraživanja ..................................................................................................... 5

1.3. Metode istraživanja ............................................................................................... 5

1.4. Stuktura rada ......................................................................................................... 6

2. HRVATSKO TRŽIŠTE KAPITALA ...................................................................... 7

2.1. Hrvatsko tržište dužni�kih vrijednosnih papira ..................................................... 8

2.2. Hrvatsko tržište vlasni�kih vrijednosnih papira .................................................... 8

2.3. Zagreba�ka burza .................................................................................................. 9

2.3.1. CROBEX ..................................................................................................... 11

2.3.2. CROBIS ....................................................................................................... 12

3. TEORIJSKE OSNOVE OPTIMIZACIJE PORTFELJA ....................................... 14

3.1. Moderne teorija portfelja .................................................................................... 14

3.2. Zna�aj, doprinos i kritike moderne teorije portfelja............................................ 25

3.3. Markowitzev model optimizacije portfelja ......................................................... 28

3.3.1. Formulacija problema optimizacije.............................................................. 28

3.3.2. Primjena programa MS Solver u rješavanju problema optimizacije ........... 32

4. MATEMATI�KI MODEL OPTIMIZACIJE PORTFELJA DIONICA CROBEX

INDEKSA ...................................................................................................................... 34

4.1. Sastavljanje uzorka dionica za formiranje optimalnog portfelja......................... 34

4.2. Specifikacija modela optimalnog portfelja dionica CROBEX indeksa .............. 37

4.2.1. Matemati�ki model minimizacije rizika ulaganja ........................................ 37

4.2.2. Izra�un parametara modela .......................................................................... 38

4.3. Analiza rezultata optimizacije ............................................................................. 41

4.3.1. Dioni�ka struktura optimalnog portfelja ...................................................... 41

4.3.2. Usporedba performansi službenog dioni�kog indeksa i optimalnih portfelja ..

................................................................................................................ 43

5. ZAKLJU�AK ........................................................................................................ 50

LITERATURA ............................................................................................................... 52

Popis tablica ................................................................................................................... 54

Popis grafikona .............................................................................................................. 55

Popis slika ...................................................................................................................... 56

4

1. UVOD

Na razvijenim financijskim tržištima privatni i poslovni subjekti sve više napuštaju

konzervativne oblike štednje te sve više ulažu u dionice, obveznice, terminske ugovore,

opcije i druge financijske izvedenice. Upravljanje portfeljima vrijednosnica jedno je od

temeljnih izazova svih financijskih institucija, prije svega banaka, osiguravaju�ih

društava, mirovinskih fondova ali i proizvodnih i uslužnih poduze�a pa sve do

individualnih investitora koji žele višak svojih sredstava oploditi na financijskom

tržištu. Naravno cilj svakog investitora je prona�i na�in kako efikasno rasporediti svoja

sredstva uz najve�i mogu�i prinos i što manji rizik. Upravo je Harry Markowitz 1952.

godine objavio model koji minimizira rizik uz zadani o�ekivani prinos ili maksimizira

prinos uz zadanu razinu rizika. I danas, iako je prošlo preko 60 godina od postavljanja

temelja moderne teorije portfelja, taj je model interesantan unato� kritikama koje se

vežu uz njega.

Hrvatsko tržište kapitala se po�elo razvijati osnutkom Republike Hrvatske. U vrijeme

kad Hrvatskom bjesni oružana i ratna agresija, dolazi do tranzicije s gospodarskog

sustava na tržišni sustav. U nastavku dolazi i do reforme države, ali i provo�enja

netransparentne privatizacije. Burza u svojim za�ecima nije ispunjavala osnovnu

funkciju jer su se javljali problemi na strani ponude (mali broj uklju�enih

vrijednosnica), ali i na strani potražnje (mali broj investitora). Slaba razvijenost tržišta

kapitala posljedica je politi�kih, socioloških i ekonomskih �imbenika. Kao glavni

razlozi slabe razvijenosti hrvatskog tržišta kapitala mogu se navesti: rat, loše provedena

privatizacija, izoliranost od nekih dijelova me�unarodne zajednice itd. Kroz

privatizaciju najve�e banke su prešle u ruke stranaca koje su zadovoljne monopolskim

statusom i nije im u interesu razvijati hrvatsko tržište kapitala. Korporacijski skandali,

porezni nameti te gospodarska nesigurnost dodatno smanjuju povjerenje i zanimanje

potencijalnih ulaga�a (Matuli�, 2014., str 60). Zakonom o tržištu kapitala iz 2002. došlo

je do sre�ivanja odnosa na tržištu kapitala u Republici Hrvatskoj no i dalje susre�emo

problem nelikvidnosti, nepredvidive oscilacije prinosa, netrasparentost poslovanja i sl.

5

1.1. Problem i predmet istraživanja

Predmet istraživanja je moderna teorija portfelja i analiza primijene na mlado i

relativno nerazvijeno tržište kapitala kao što je Zagreba�ka burza. Glavni problem

postaje pitanje, može li se formirati optimalni portfelj dionica koji �e istodobno

zadovoljiti postavljena ograni�enja, ali i pružiti zadovoljavaju�u razinu prinosa i rizika

investitorima.

1.2. Cilj istraživanja Istraživanjem se želi utvrditi može li se, unato� problemima s kojima se susre�e

hrvatsko tržište kapitala, u prvom redu nelikvidnoš�u i nenormalno distribuiranim

prinosima dionica, empirijskom analizom dokazati kako je Markowitzev model

primjenjiv na relativno mala i nerazvijena tržišta kapitala te da daje zadovoljavaju�e

rezultate odnosno da se može koristiti kao alat pri formiranju optimalnog portfelja na

hrvatskom tržištu kapitala. Cilj istraživanja je formirati optimalni portfelj na hrvatskom

tržištu kapitala koji �e donositi ve�i prinos i predstavljati manji rizik za investitora od

tržišnog dioni�kog indeksa (CROBEX-a). Nadalje, cilj je i postaviti model koji �e

zadovoljiti ograni�enje ulaga�a od minimalno 9% prinosa godišnje, te usporediti

karakteristike u odnosu na optimalni portfelj koji nema zadanih ograni�enja.

1.3. Metode istraživanja Istraživanje �e se provoditi uz upotrebu teorijskih i empirijskih modela. Temelji se na

prou�avanju stru�ne literature, internetskih izvora i podataka o prometu i cijenama

dionica na službenoj stranici Zagreba�ke burze.

Metode rade koje �e se koristiti su analiza, sinteza, indukcija, dedukcija, komparacija i

deskripcija, metodu matemati�kog programiranja i statisti�ke metode. Pritom osnovni

alat biti �e tabli�ni kalkulator Excel i njegov alat za rješavanje Solver.

6

1.4. Struktura rada

Rad je formiran u 5 poglavlja. Struktura rada navedena je u nastavku.

U uvodnom djelu postavljeni su problem i predmet rada te su utvr�eni ciljevi

istraživanja. Nadalje su navedene korištene metode pri izradi rada, te na kraju uvodnog

dijela opisana struktura rada.

U drugom poglavlju opisano je hrvatsko tržište kapitala, u prvom redu dužni�kih i

vlasni�kih vrijednosnih papira te problemi s kojima se tržište suo�ava od svojeg

osnutka do danas. Nadalje opisana je kratka povijest nastanka Zagreba�ke burze te su

objašnjene zakonske odredbe dioni�kog indeksa CROBEX i obvezni�kog indeksa

CROBIS.

U tre�em poglavlju predstavljene su teorijske osnove optimizacije portfelja. Objašnjene

su definicija i teorijske postavke moderne teorije portfelja. U tom dijelu prikazane su

formule koje se koriste pri izra�unu optimalnog portfelja. Objašnjena je važnost i

utjecaj moderne teorije portfelja i novina koje je otkrio Harry Markowitz u svom

istraživanju. Nadalje prikazani su doprinosi, ali i kritike moderne teorije portfelja te je

objašnjeno na koji na�in se postavlja problem optimizacije ulaganja. Na kraju

prikazana je i primjena MS Solvera u rješavanju problema optimizacije.

�etvrti dio se odnosi na predstavljanje i primjenu matemati�kog modela optimizacije

portfelja. Zapo�inje sastavljanjem uzorka dionica za formiranje optimalnog portfelja, a

nastavlja se specifikacijom modela, odnosno postavljanjem matemati�kog modela

minimizacije rizika. Nakon izra�una potrebnih parametara, na kraju poglavlja prikazani

su rezultati provedene optimizacije. Dobivene dioni�ke strukture uspore�ene se sa

službenim dioni�kim indeksom u cilju empirijske potvrde kako su performanse

dobivenog optimalnog portfelja nadmašile performanse CROBEX-a u promatranom

razdoblju.

Zaklju�ak je sinteza dobivenih empirijskih rezultata i teorijskih postavki, a nakon toga

slijede popis korištene literature, popis tablica, grafikona i slika.

7

2. HRVATSKO TRŽIŠTE KAPITALA

Financijsko tržište definira se kao skup odnosa ponude i potražnje za financijskim

sredstvima. Hrvatsko je tržište kapitala relativno mlado i manje razvijeno u odnosu na

zapadne zemlje. U Hrvatskoj banke i dalje imaju premo� nad ostalim sudionicima na

tržištu, stoga je kredit i dalje naj�eš�e sredstvo zaduživanja kod poslovnih subjekata, a

ulaganje novca u bankovne depozite naj�eš�i oblik štednje gra�ana.

Grafikon 1: Udjeli u financijskoj imovini gra�ana u srpnju 2014.

11,20%

55,30%1,90%

4,50%

19,70%0,50%

2,20%4,70%

Gotovina

Bankovni depoziti

Stambena štednja

Matemati�ke pri�uve životnihosiguranja

Mirovinski fondovi

Obveznice

Izlistane dionice

Investicijski fondovi

Izvor: Poslovni.hr, http://www.poslovni.hr/hrvatska/trendovi-ulaganja-graana-u-

hrvatskoj-282410, preuzeto 03.06.2015.

Iz priloženog grafikona vidimo kako ulaganje fizi�kih osoba na tržišta kapitala

predstavlja vrlo mali udio u ukupnoj financijskoj imovini. Hrvatsko tržište kapitala, kao

i ostalih tranzicijskih zemalja relativno je nerazvijeno i susre�e se s mnogim

problemima. Takva tržišta su uglavnom atributirana slabim obujmom trgovanja,

nedostatkom pravodobnih informacija, visokim transakcijskim troškovima,

nelikvidnoš�u te su objekt manipulacije velikih igra�a na tržištu (Barbi�, 2010., str 29-

62). U svijetu se smatra da su ulaganja u tranzicijske zemlje veoma rizi�na, ali

potencijalno veoma isplativa, te nude prednosti diversifikacije. Investitori u tranzicijske

zemlje posebno su oprezni zbog nepredvidivih i brzih promjena politi�ke situacije,

zakona vezanih za zaštitu vjerovnika i ulaga�a, regulatornih ograni�enja te

8

promjenama u valutnim te�ajevima. Ostali bitni �imbenici za inozemne investitore jesu:

upitno funkcioniranje pravne države, korumpiranost, nepouzdanost informacija plitko i

nelikvidno tržište (Žikovi�, 2004, str 22).

Hrvatsko tržište kapitala može se podijeliti na tržište dužni�kih vrijednosnih papira i na

tržište vlasni�kih vrijednosnih papira. U Hrvatskoj jedino tržište kapitala je Zagreba�ka

burza.

2.1. Hrvatsko tržište dužni�kih vrijednosnih papira

Dužni�ki vrijednosni papiri prenosivi su financijski instrumenti koji dokazuju

postojanje dužni�ke obveze izdavatelja prema ulaga�ima te ulaga�ima nose prinos u

obliku kamata ili diskonta. Dužni�kim vrijednosnim papirima smatraju se obveznice,

trezorski i blagajni�ki zapisi, komercijalni 2 zapisi, certifikati o depozitu, potvrde o

deponiranim dužni�kim vrijednosnim papirima, povlaštene dionice bez prava glasa i sl.

Na Zagreba�koj burzi najviše se trguje obveznicama, preferencijalnim dionicama i

komercijalnim zapisima. Tržište obveznica vrlo se polako razvija, a ulaga�i su

ve�inom mirovinski fondovi koji su zakonom obvezati najve�i udio svoje imovine

ulagati upravo u relativno sigurne vrijednosnice poput državnih obveznica. Na burzi

nalazimo uvrštenja državnih obveznica, municipalnih obveznica te komercijalnih

obveznica, dok tržište komercijalnih zapisa ne predstavlja zna�aju ulogu u trgovanju na

burzi. Udio preferencijalnih dionica zanemariv je u odnosu na redovne.

2.2. Hrvatsko tržište vlasni�kih vrijednosnih papira

Dionice spadaju u vlasni�ke vrijednosne papire budu�i da predstavljaju udio dioni�ara

u vlasništvu dioni�kog društva. Karakteristika koja je dionicama dala primat na

financijskim tržištima je pravo na njihov prijenos, odnosno slobodnu prodaju. Ovo

pravo �ini dionice vrlo likvidnim financijskim ulaganje, omogu�avaju�i brzi ulazak i

izlazak iz odre�enih vlasni�kih pozicija (Mandir, 2009., str 18). Tržište dionica

relativno je slabo razvijeno i nelikvidno. Najja�i zamah tržište je doživjelo 2007. i

2008. godine nakon što su objavljene inicijalne ponude dionica Hrvatskog Telekoma i

Industrije nafte.

9

Grafikon 2: Redovan promet dionica na Zagreba�koj burzi

0

5

10

15

20

25

Milijarde kuna

2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

Godina

Izvor: izra�un autora na temelju podataka sa Zagreba�ke burze [online], dostupno na:

www.zse.hr

Promet dionica na Zagreba�koj burzi smanjuje se iz godine u godinu, a razlog tome je

zasigurno nepovjerenje u financijska tržišta nakon svjetske ekonomske krize, ali i

strukturi problemi s kojima se susre�u poduze�a koja kotiraju na burzi. Na tržištu se

naj�eš�e trguje dionicama Ine (INA-R-A), Hrvatskog Telekoma (HT-R-A), Riviere

Adrie (RIVP-R-A), te u posljednjih nekoliko dana investitorima je zanimljiva dionica

Adris grupe (ADRS-P-A).

2.3. Zagreba�ka burza

Zagreba�ka burza osnovana je 1991. godine, kada 25 banaka i 2 osiguravaju�a društva

osnivaju Zagreba�ku burzu koja postaje središte trgovine vrijednosnim papirima u

Republici Hrvatskoj. Takvu funkciju Zagreba�ka burza ima i danas. Od svojih po�etaka

burza se postepeno razvijala pa se tako broj pove�ao na pedesetak aktivnih trgovaca,

banka i privatnih brokerskih ku�a. U samim po�etcima trgovina vrijednosnicama

odvijala se u dvoranama Zagreba�ke burze gdje su se sastajali brokeri koji su

podizanjem i spuštanjem drvenih palica davali ponude za izloženu robu. Sustav fizi�ke

trgovine napušten je 1994. godine te je uveden tzv. TEST (telekomunikacijski sustav

trgovine) �ime dolazi do modernizacije poslovanja. Od tada brokeri više nisu trebali

10

dolaziti i biti fizi�ki prisutni, ve� su svoje naloge mogli izvršavati elektronski iz svog

ureda. Dioni�arstvo se od tog trenutka po�elo vrlo brzo razvijati što pokazuje podatak

da je od 1995. pa do 2000. godine vrijednost tržišta Zagreba�ke burze narasla gotovo

10 puta.

U Hrvatskoj je od 1993. poslovala i Varaždinska burza, osnovana kao Varaždinsko

tržište vrijednosnica. U stru�nim krugovima prevladalo je mišljenje da su dva mjesta za

trgovanje na doma�em tržištu kapitala previše za malu zemlje kao što je Hrvatska stoga

je došlo do spajanja Varaždinske burze s Zagreba�kom 2007. godine. Razlozi

pripajanja bili su postizanje ve�e transparentnosti, bolja likvidnosti i stabilnije cijene.

Danas na Zagreba�koj burzi postoje tri kotacije: Vode�e tržište, Službeno tržište te

Redovno tržište.

Op�i uvjeti uvrštenja vrijednosnica na Ure�eno tržište su:

� financijski instrument kojim se može trgovati fer, uredno i djelotvorno

� izdavatelj mora biti uredno registriran prema propisima Republike Hrvatske ili

države sjedišta izdavatelja

� ispunjenje obveze objave prospekta1 i drugih informacija sukladno odredbama

ZTK-a2

� vrijednosnica mora biti slobodno prenosiva

� mora biti osigurana u�inkovita namira transakcija

Vode�e tržište najzahtjevniji je tržišni segment koji zahtjeva da javnosti mora biti

distribuirano najmanje 25% dionica te da tržišna kapitalizacija iznosi najmanje

100.000.000 kuna. Pri uvrštenju obveznica na Vode�e tržište nominalni iznos mora biti

ve�i od postavljenog minimuma od 1.500.000 kn. Redovito tržište zahtjeva tako�er da

25% bude distribuirano javnosti te da tržišta kapitalizacija bude minimalno 8.000.000

kuna. Redovito tržište zahtjeva da udio dionica distribuiranih javnosti bude ve�e od

25% te predstavlja najmanje zahtjevno tržište glede transparentnosti i objave

financijskih i drugih izvještaja.

1 u trgova�kom pravu op�i poziv upu�en za upis dionica svima, a ne samo odre�enim osobama 2 Zakon o tržištu kapitala

11

2.3.1.CROBEX

CROBEX je službeni indeks Zagreba�ke burze koji se po�eo objavljivati 1. rujna 1997.

godine. Bazni datum je 1. srpanj 1997. godine a bazna vrijednost 1000 bodova.

CROBEX je indeks vagan na osnovi free float tržišne kapitalizacije, pri �emu je udio

pojedine dionice ograni�en na 10%

Dionice koje ulaze u CROBEX moraju ispuniti sljede�e uvjete (Zagreba�ka burza,

2014.):

� dionice koje su uvrštene na Ure�eno tržište s kojima se trgovalo više od 80%

trgovinskih dana u šestomjese�nom razdoblju koje prethodi reviziji

� dionice kod kojih je podnesen prijedlog za otvaranje postupka predste�ajne

nagodbe, ste�ajnog postupka ili postupka likvidacije nad izdavateljem, dionice

ne mogu u�i u sastav indeksa CROBEX-a

� ukoliko izdavatelj ima više rodova dionica koje zadovoljavaju uvjete za ulazak

u CROBEX, u indeks �e se uklju�iti samo jedan rod dionica i to onaj s ve�im

rangom

U indeks ulazi 25 dionica, a formula po kojoj se izra�unava je 1000)0(

)(×

×=

MK

tMI

T

jj

t ,

gdje je:

)(tM j - free float tržišna kapitalizacija dionica koje ulaze u CROBEX na dan t i

vrijeme j

)0(M - free float tržišna kapitalizacija na bazni datum

TK - faktor prilago�avanja baze indeksa na dan revizije T

Revizija indeksa obavlja se polugodišnje, to�nije svakog tre�eg petka u mjesecu ožujku

i rujnu, te se primjenjuje od sljede�eg trgovinskog dana.

U zadnjoj reviziji 05.03.2015 uvjete za ostanak nisu zadovoljile dionice: Viadukt

d.d.,Varteks d.d., Petrokemija d.d., RIZ-odašilja�i d.d., Vupik d.d., Tehnika d.d., Luka

Rijeka d.d., Jadroplov d.d., Uljanik Plovidba d.d. te su umjesto njih uvrštene dionice

koje su zadovoljile sve uvjete a to su dionice: Turisthotel d.d., Luka Plo�e d.d., HUP -

12

Zagreb d.d., Plava laguna d.d., Liburnia Riviera Hoteli d.d., Imperial d.d., Hoteli

Maestral d.d. te Ingra d.d.

Grafikon 3: Kretanje CROBEX-a od 01.01.2015 do 08.06.2015. godine

1.640,00

1.660,00

1.680,00

1.700,00

1.720,00

1.740,00

1.760,00

1.780,00

1.800,00

1.820,00

2015.

CR

OB

EX


www.zse.hr

2.3.2.CROBIS

CROBIS je službeni obvezni�ki indeks Zagreba�ke burze koji se objavljuje od

listopada 2002. godine. Bazna vrijednost postavljena je na 100 bodova na bazni datum

30.09.2002. godine. Indeks se ra�una na kraju svakog trgovinskog dana na na�in da se

koristi prosje�na dnevna cijena ponderirana koli�inom za sve obveznice koje se nalaze

u indeksu, a ukoliko se nekom obveznicom koja je uklju�ena u indeks nije trgovalo, za

izra�un indeksa se uzima prosje�na dnevna cijena od prethodnog dana, odnosno od

zadnjeg dana kada se obveznicom trgovalo. Indeks je vagan na osnovu tržišne

kapitalizacije obveznica pri �emu težina pojedine obveznice u indeksu ne može prije�i

35% (Zagreba�ka burza, 2002.).

U indeks se uklju�uju državne obveznice i obveznice državnih agencija koje su

uvrštene na Zagreba�ku burzu uz slijede�e uvjete:

� nominalna vrijednost izdanja ve�a ili jednaka 75 milijuna €;

� dospije�e obveznica ve�e od 18 mjeseci;

13

� obveznice imaju fiksnu kamatnu stopu, uz isplatu glavnice jednom, po

dospije�u

Grafikon 4: Kretanje CROBIS-A od osnutka do 08.06.2015.

80

85

90

95

100

105

110

115

(t)

CR

OB

IS


www.zse.hr

14

3. TEORIJSKE OSNOVE OPTIMIZACIJE PORTFELJA

Portfelj ili porfolio predstavlja skup imovine razli�itih oblika u vlasništvu odre�ene

pravne ili fizi�ke osobe. Portfelj se može sastojati od nekretnina roba, novca (stranog i

doma�eg) i vrijednosnih papira. Upravljanje portfoliom, u sadašnjom smislu te rije�i

pojavljuje se nastankom prvih vrijednosnica, koje su izdale tvrtke kako bi pribavile

dodatne nov�ane izvore za obavljanje svojih poslovnih aktivnosti (Žikovi�, 2004., str

6). U ovom poglavlju objasnit �e se što je moderna teorija portfelja, tko je njen

utemeljitelj i koje su osnovne postavke iste. Nadalje obrazložit �e se elementi moderne

teorije portfelja te pokazati koji su doprinosi, ali i njene kritike.

3.1. Moderne teorija portfelja

Harry Max Markowitz je 1952. godine u svom objavljenom �lanku Portfolio Selection,

postavio temelje moderne portfolio teorije, prezentiraju�i model optimizacije portfelja

u uvjetima neizvjesnosti i rizika. Mnogo zanimljivija bila jest njegova knjiga Portfolio

Selection: Efficient Diversifikation of Investment iz 1959. u kojoj Markowitz razvija

teoriju prema kojoj se rizik i nagrada (prihod) mogu uravnotežiti u dobro odabranoj

kombinaciji vrijednosnica, to jest portfelju( Aljinovi�, Marasovi�, Šego, 2011., str 137).

Model se zove MV model (eng. Mean-variance model), �iji cilj nije prona�i portfelj kojim

se maksimira o�ekivani prihod, ve� prona�i ravnotežu izme�u dva osnovna parametra

modela, prinosa i rizika (Markowitz, 1952., str 77-91).

Osnovne pretpostavke Markowitzevog modela (Jeron�i�, Aljinovi�,2011., str 585):

• prinosi na dionice su distribuirani po normalnoj distribuciji,

• investitori žele maksimizirati svoju ekonomsku korisnost,

• investitori su racionalni i imaju averziju prema riziku,

• investitori su dobro obaviješteni o svim relevantnim �injenicama potrebnima

za donošenje investicijske odluke,

• nema transakcijskih i poreznih troškova,

• vrijednosnice su savršeno djeljive.

15

Dakle, Markowitzeva ideja bila je formirati matemati�ki model za izbor portfelja koji

donosi najve�u stopu prihoda, ali na odre�enom stupnju rizika. Takav portfelj koji za

zadanu stopu rizika ima najve�u stopu prihoda, odnosno portfelj koji za zadanu stopu

prihoda ima minimalni rizik, Markowitz je nazvao efikasnim portfeljom (Aljinovi�,

Marasovi�, Šego, 2011., str 137). Koriste�i se Markowitzevim modelom, investitor iz

skupa mogu�ih portfelja izabire optimalni ili efikasni portfelj koji zadovoljavaju

njegovu preferenciju rizika odnosno prihoda. Tako �e primjerice, konzervativniji

investitor odabrati portfelj koji ima manji rizik, a ujedno i manji o�ekivani prinos.

I prije Markowitza postojali su teorijski modeli za donošenje investicijskih odluka koji

su obra�ali pozornost na o�ekivani povrat pojedine vrijednosnice kao i na njen rizik.

Razlika izme�u prijašnjih modela i Markowitza je u tome što on prvi uklju�uje u�inak

diversifikacije u donošenje odluke o investiranju. Dakle, osim dvije osnovne varijable,

povrata (r) i rizika (�), koje utje�u na odluku o formiranju pojedinog portfelja. Markowitz

u svom novom modelu uklju�uje i novu, tre�u varijablu – me�uovisnost kretanja

pojedina�nih vrijednosnica koje se nalaze unutar portfelja, tj. njihovu korelaciju (�).

Uvo�enjem ove varijable investitori sada mogu formirati nove portfelje koji im omogu�uju

ve�e povrate, uz isti rizik, ili iste povrate uz manji rizik, bez mijenjanja prve dvije varijable

(r i �) (Žikovi�, 2004., str. 7)

16

U ovom dijelu objasnit �e se kako izra�unavamo o�ekivani prinos, varijancu,

standardnu devijaciju te ostale parametre u modernoj teoriji portfelja, a nakon toga

prikazat �e se i riješeni primjer na kojom �e se objasnit izra�un svih parametara.

O�ekivani prinos je varijabla koja se jednostavno ra�una, kao suma povrata ulaganja u

dionicu ponderiranu vjerojatnoš�u ostvarenja o�ekivanog doga�aja

�=

×==N

i

iiii RpRRE1

)(

gdje je:

)( iRE - o�ekivani prinos i-te dionice u promatranom razdoblju,

iR - prosje�an prinos i-te dionice u promatranom razdoblju,

iR - povrat ulaganja u i-tu dionicu u razdoblju t.

ip - vjerojatnost nastupa odre�enog prinosa dionice i ,

Rizik mjerimo varijancom odnosno standardnom devijacijom. Neizvjesnost koja okružuje

ulaganje funkcija je veli�ine mogu�ih iznena�enja. Kako bismo izrazili rizik u jednoj

brojci, prvo �emo izra�unati varijancu kao o�ekivanu vrijednost kvadriranih odstupanja od

sredine (Bodie, Kane, Marcus, 2006., str 157).

i

N

i

iti pRR ×−=�=

2

1

2 )(σ

gdje je:

2iσ - varijanca

itR - povrat ulaganja u i-tu dionicu u razdoblju

iR - prosje�an prinos i-te dionice u promatranom razdoblju

ip - vjerojatnost nastupa odre�ene vrijednosti

Standardna devijacija predstavlja drugi korijen iz varijance:

i

N

i

iti pRR ×−= �=

2

1

)(σ

17

Potencijalni je nedostatak standardne devijacije kao mjere rizika simetri�no tretiranje

pozitivnih i negativnih odstupanja od o�ekivanog prinosa. U stvarnosti, kao što znamo,

pozitivna iznena�enja �ine ulaga�e zadovoljnima pa bi prikladna mjera rizika trebala

bit usredoto�ena samo na loše ishode. Me�utim ako je distribucija prinosa simetri�na

(vjerojatnost negativnih iznena�enja približno je jednaka vjerojatnosti pozitivnih

iznena�enja iste veli�ine), tada �e standardna devijacija prinosa biti približna mjera

rizika kao da je isklju�ivo usredoto�ena na negativna odstupanja (Bodie, Kane, Marcus,

2006.,str 158).

Za usporedbu dviju distribucija sa razli�itim broj�anim vrijednosnim obilježjima koristi

se koeficijent varijacije kao relativna mjera disperzije oko srednje vrijednosti.

100×=R

Vσ

gdje je:

V- koeficijent varijacije

2σ - varijanca

R - prosje�an prinos i-te dionice u promatranom razdoblju

O�ekivani prinos portfelja je vagana aritmeti�ka sredina o�ekivanih prinosa pojedinih

ulaganja, gdje su ponderi udjeli pojedinih vrijednosnica u portfelju (Aljinovi�,

Marasovi�, Šego,2011., str 123), to jest:

�=

×=N

i

iiport REwRE1

)()(

gdje je:

)( portRE - o�ekivani stopa prinosa na portfelj,

iw - postotni udio pojedine dionice (i) u portfelju,

iRE( ) - o�ekivani prinos i-te dionice

18

Rizik portfelja nije jednostavno vagana sredina (prosjek) standardnih devijacija

pojedina�nih vrijednosnih papira. Rizik portfelja ne ovisi samo o rizi�nosti vrijednosnih

papira koji tvore portfolio nego tako�er i o vezama koje postoje izme�u tih

vrijednosnih papira (Van Horne, 1997.).

Varijanca portfelja izra�unavamo formulom:

� ��= ==

+=N

i

N

i

ijjiji

N

i

ii www1 11

222 ρσσσσ

gdje je:

2iσ - varijanca i-te vrijednosnice

iσ - standardna devijacija i-te vrijednosnice

iw - postotni udio pojedine dionice (i) u portfelju,

ijρ - koeficijent korelacije izme�u stopa povrata vrijednosnica

Koeficijent korelacije � izra�unava se:

ji

ij

ij

Cov

σσρ =

Kod izgradnje rizi�nog portfelja koji se sastoji od dvije rizi�ne imovine najvažnija je

veza izme�u kretanja prinosa imovine. Rizik portfelja ovisi o korelaciji izme�u prinosa

imovine u portfelju (Bodie, Kane, Marcus, 2006., str187).

Za lakše razumijevanje elementa moderne teorije portfelja i uvoda u problematiku

pronalaska optimalnog portfelja kroz minimizaciju rizika u ovom poglavlju prikazan je

teorijski primjer ulaganja u dvije dionice (dionica A i dionica B).

19

Tablica 1: Izra�un o�ekivane stope povrata i varijance za dionicu A

Stanje gospodarstva

Vjerojatnost pi

Povrat Ri

pi x Ri (Ri- R )² x pi Uzlet 0,25 30,00 7,50 (30 - 14,5)² x 0,25 = 60,06

Normalno 0,50 16,00 8,00 (16 - 14,5)² x 0,50 = 1,13 Recesija 0,25 -4,00 -1,00 ( -4 - 14,5)² x 0,25 = 85,56

1 14,5 146,8 Izvor: izra�un autora

O�ekivani prinos dionice A iznosi:

%5,141

5,14

1==

×=� ii

A

RpR

Varijanca povrata dionice iznosi:

%8,1461

8,146

1

)(2

2 ==×−

=� iit pRR

σ

Standardna devijacija:

%11,128,1462 === σσ

Koeficijent varijacije:

%52,831005,14

11,12100 =×=×=

RV

σ

Tablica 2: Izra�un o�ekivane stope povrata i varijance za dionicu B

Stanje gospodarstva

Vjerojatnost pi

Povrat Ri

pi x Ri (Ri- R )² x pi Uzlet 0,25 14,00 3,50 (14 - 8)² x 0,25 = 9,00 Normalno 0,50 4,00 2,00 ( 4 - 8)² x 0,50 = 8,00 Recesija 0,25 10,00 2,50 (10 - 8)² x 0,25 = 1,00 1 8 18

Izvor: izra�un autora

O�ekivani prinos dionice B iznosi:

%8=BR

Varijanca povrata dionice iznosi:

20

%182 =σ

Standardna devijacija:

%24,418 ==σ


03,531008

24,4=×=V

Pod pretpostavkom da investitor ulaže isti iznos novca u dionicu A i u dionicu B,

odnosno da portfelj sa�injavaju dionica A i dionica B s istim udjelom od 50% tada

ra�unamo o�ekivani povrat portfelja:

14,5%(0,5) + 8%(0,5) = 11,25%

Vagana sredina pojedina�nih standardnih devijacija iznosi:

12,11%(0,5) + 4,24%(0,5) = 8,18%

Tablica 3: Izra�un o�ekivane stope povrata i varijance za portfelj sastavljen od dionice A i dionice B

Stanje gospodarstva

Vjerojatnost pi

Povrat Ri

pi x Ri (Ri- R )² x pi Uzlet 0,25 22,00 5,50 (22 - 11,25)² x 0,25 = 28,89 Normalno 0,50 10,00 5,00 (10 - 11,25)² x 0,50 = 0,78 Recesija 0,25 3,00 0,75 ( 3 -11,25)² x 0,25 = 17,02 1 11,25 46,69


O�ekivani povrat na portfelj iznosi 11,25% i jednak je ranije izra�unatoj ponderiranoj

sredini povrata portfelja sastavljenih od dionica A i B.

Varijanca portfelja iznosi 46,69%, a standardna devijacija iznosi 6,93%.

Standardna devijacija portfelja (6,93%) je manja nego vagana sredina pojedina�nih

standardnih devijacija (8,18%). To ukazuje da postoji osim povrata i rizika pojedine

dionice unutar portfelja postoji i tre�i �imbenik koji smanjuje rizik cjelokupnog

portfelja, a koji nije uzet u obzir. Tre�i faktor zove se korelacija izme�u povrata dva

vrijednosna papira.

21

Kovarijanca izme�u dviju investicija pokazuje( Žikovi�, 2004., str 10):

- do kojeg stupnja se o�ekuje od njih da variraju zajedno jedna s drugom, umjesto

da to �ine odvojeno ili zasebno, odnosno

- da li povrati na te investicije zajedno padaju ili rastu i koliko je velika ta

promjena.


%74,6010025,11

93,6=×=V

U tablici 4 pokazan je izra�un prinosa portfelja sastavljenog od 50% dionice A i 50%

dionice 5 kroz petogodišnje razdoblje pod pretpostavkom da dionice savršeno

negativno koreliraju.

Tablica 4: Prosje�ni povrat portfelja sastavljenog od dionica A i B za petogodišnje razdoblje

Godina Povrat od dionice A

(%)

Povrat od dionice B

(%)

Povrat portfelja

(%)

1. -2 16 7 2. 2 12 7 3. 4 10 7 4. 0 14 7 5. 3 11 7

Ukupno 7 63 35 Izvor: izra�un autora

O�ekivani povrat od dionice A:

%4,15

7==AR

O�ekivani povrat od dionice B:

%6,125

63==BR

O�ekivani povrat portfelja:

%75

35== ili 1,4(0,5) + 12,6(0,5) = 7%

22

Unato� variranju povrata dionica A i B, stopa prinosa portfelja stabilna je kroz cijelo

petogodišnje razdoblje i iznosi 7%, tj dobiven je portfelj koji ima stabilni o�ekivani

prinos kroz cijelo razdoblje, a rizik je u potpunosti uklonjen. Izra�un varijance i

standardne devijacije pojedina�nih dionica A i B dat je u tablici 5, a portfelja u tablici

6.

Tablica 5: Varijanca i standardna devijacija povrata za dionice A i B

Standardna devijacija za dionicu A

Standardna devijacija za dionicu B

Godina (Ri- R )² Godina (Ri- R )² 1. (-2 - 1,4)² = 11,6 1. (16 - 12,6)² = 11,56 2. (2 - 1,4)² = 0,36 2. (12 - 12,6)² = 0,36 3. (4 - 1,4)² = 6,76 3. (10 - 12,6)² = 6,76 4. (0 - 1,4)² = 1,96 4. (14 - 12,6)² = 1,96 5. (3 - 1,4)² = 2,56 5. (11 - 12,6)² = 2,56

Ukupno 23,2 Ukupno 23,2 Izvor: izra�un autora

Varijanca dionice A: %64,45

2,232 ==Aσ Varijanca dionice B: %64,45

2,232 ==Bσ

Standardna devijacija dionice A: Standardna devijacija dionice B:

%154,264,4 ==Aσ %154,264,4 ==Bσ

Ponderirana aritmeti�ka sredina standardnih devijacija stopa povrata izme�u dionica A

i B iznosila bi:

2,154%(0,5) + 2,154%(0,5) = 2,154%

Rizik portfelja iznosio bi 2,154% ukoliko bi se zanemarila korelacija izme�u dionica A

i B. Zbog postojanja savršene negativne korelacijske veze, rizik se minimizira te se

svodi na 0, što je i prikazano u tablici 6.

23

Tablica 6: Varijanca i standardna devijacija povrata portfelja Godina

1. (7-7)² = 0 2. (7-7)² = 0 3. (7-7)² = 0 4. (7-7)² = 0 5. (7-7)² = 0

Ukupno 0 Izvor: izra�un autora

Do pada standardne devijacije dolazi zbog suprotnog kretanja prosje�nih prinosa

dionica od kojih je sastavljen portfelj, što prikazuje grafikon rasipanja.

Kako bi se dokazalo postojanje savršene negativne korelacijske veze u tablici 7

prikazan je izra�un kovarijance i koeficijenta korelacije.

Tablica 7: Izra�un kovarijance i koeficijenta korelacije dionica A i B RAi - RA RBi – RB -2 - 1,4 x 16 - 12,6 = -11,56 2 - 1,4 x 12 - 12,6 = -0,36 4 - 1,4 x 10 - 12,6 = -6,76 0 - 1,4 x 14 - 12,6 = -1,96 3 - 1,4 x 11 - 12,6 = -2,56

-23,2 Izvor: izra�un autora

Me�usobna kovarijanca izme�u dionica A i B je:

64,45

2,23, −=

−=BACOV

Koeficijent korelacije iznosi:

1154,2154,2

64,4,−=

×

−=

×=

BA

BACOV

σσρ

Dobivena korelacija izme�u stopa A i B iznosa ( 1−=ρ ) dokazuje da stope povrata

izme�u dionica savršeno negativno koreliraju.

Kroz ovaj primjer pokazalo se je kako je savršena negativna korelacija izme�u povrata

dionica poželjna kod optimizacije portfelja te kako omogu�uje u�inke diversifikacije.

24

Slika 1: Skupovi mogu�ih portfelja u slu�aju investiranja u dvije vrijednosnice uz razli�ite koeficijente korelacije

Izvor: Van Horne C. James: Financijsko upravljanje i politika, Zagreb, Mate, 1993., 58

str.

Slika 2: Skupovi mogu�ih portfelja sastavljenih od dvije vrijednosnice uz razli�ite koeficijente korelacije

Izvor: Van Horne C. James: Financijsko upravljanje i politika, Zagreb, Mate, 1993., 59

str.

25

3.2. Zna�aj, doprinos i kritike moderne teorije portfelja.

Moderna teorija portfelja nudi mogu�nost racionalnom investitoru optimizirati portfelj

s ciljem maksimiziranja prihoda uz što manji mogu�i rizik. Teorija pretpostavlja da su

svi investitori racionalni te da nisu skloni riziku, odnosno da preferiraju sigurnost.

Racionalni investitor je onaj koji uvijek izabire portfelj koji mu donosi više, a ukoliko

dva portfelja imaju isti o�ekivani prinos onda izabire onaj koji predstavlja manji rizik.

Investitorov odabir optimalnog portfelja mogu�i ovisit �e ponajprije o funkciji

korisnosti, odnosno o stupnju zadovoljstva pojedinog investitora pri ulaganju u neku

vrstu imovine. Funkcija korisnosti ovisit �e u samom o�ekivanom prinosu, ali i

vjerojatnosti nastupa doga�aja (riziku).

),()( σRfUE =

Funkcija korisnosti je funkcija o�ekivanog prinosa i standardne devijacije te kod

racionalnog investitora uvijek ima konkavni oblik (risk averse), karakteristi�an za

osobe koje izbjegavaju rizik.

Efikasna granica je krivulja koja predstavlja skup portfelja koji maksimiziraju prinos za

zadanu razinu rizika. Portfelj koji je definiran svojim o�ekivanim prinosom i

standardnom devijacijom može se prikazati u koordinatnom sustavu gdje ordinata

predstavlja o�ekivani prinos E(R), a apscisa standardnu devijaciju (�).

Slika 3: a) skup minimalne varijance b) efikasna granica a) b)

Izvor: obradio autor

26

Efikasna granica predstavlja portfelje s najve�om mogu�om o�ekivanom stopom

prihoda s obzirom na standardnu devijaciju portfelja. Portfelje koji se nalaze ispod

to�ke minimalne varijance možemo odmah odbaciti jer u gornjem dijelu efikasne

granice postoje portfelji koji za istu razinu rizika daju ve�i o�ekivani prinos. Portfelji

koji leže na efikasnoj granici, iznad to�ke minimalne varijance, nazivamo efikasnim

portfeljima. Portfelj je efikasan ukoliko ne postoji nijedan drugi portfelj koji ima

(Žikovi�, 2004., str 2):

- ve�u o�ekivanu stopu povrata i manju standardnu devijaciju

- ve�u o�ekivanu stopu povrata i istu standardnu devijaciju

- istu o�ekivanu stopu povrata i manju standardnu devijaciju

Važan segment moderne teorije portfelja je diversifikacija ulaganja. Diversifikacija

predstavlja ulaganje u više razli�itih vrijednosnica kako bi se smanjio rizik ukupnog

portfelja. Pri ulaganju u vrijednosne papire potrebno je, osim karakteristika pojedinih

sastavnica portfelja, promatrati i njihovu me�usobnu interakciju. Markowitz je u svom

istraživanju shvatio kako se rizik portfelja smanjuje pove�anjem broja vrijednosnica u

portfelj. Razlog tome je što varijanca svake vrijednosnice doprinosi smanjenju ukupne

varijance portfelja, ali to nije slu�aj kod kovarijance. Kovarijanca dodatno uklju�enog

vrijednosnog papira ne smanjuje kovarijancu ukupnog portfelja, ve� teži prosjeku

kovarijance portfelja. Stoga, rizik možemo podijeliti na sistemski i nesistemski.

Sistemski rizik je rizik koji proizlazi iz promjena u svjetskom i nacionalnom

gospodarstvu (porezi, kamatne stope...), te se pove�anjem broja vrijednosnica u portfelj

ne može smanjiti. Rizik koji se može smanjiti uklju�ivanjem ve�eg broja dionica naziva

se nesistemski rizik koji predstavlja specifi�ni rizik poduze�a, koji je uzrokovan

promjenama u poslovanju emitenata vrijednosnica.

27

Slika 4: Sistemski i nesistemski rizik u odnosu na ukupni rizik

Izvor: Tomi�-Plazibat, Aljinovi� i Marasovi� 2006., str. 29

Do 1952. godine, kad je Markowitz iznio svoju teoriju portfelja, investitori su svoja

ulaganja temeljili na fundamentalnoj analizi pojedine vrijednosnice. Moderna teorija

portfelja pokazala je da osim o�ekivanog prinosa i rizika, postoji i tre�i faktor koji

utje�e na formiranje optimalnog portfelja, a to je interakcija izme�u vrijednosnica u

portfelju koju nazivamo korelacija. Diversifikacijom i uporabom moderne teorije

portfelja investitori mogu smanjiti rizik ulaganja uz pove�anje profitabilnosti,

ulaganjem i na me�unarodnom tržištu kapitala, jer je lakše posti�i ve�u diversifikaciju

na više tržišta, nego samo na doma�em tržištu kapitala. Model je vrlo jednostavan te je

empirijski dokazan kao pouzdan normalnim tržišnim uvjetima te predstavlja

najzna�ajniju investiciju 20. stolje�a na podru�ju investiranja i upravljanja portfeljem

vrijednosnih papira (Žikovi�,2004.,str 20).

Naravno, model nisu zaobišle ni kritike, koje su tako�er važne, bez obzira na njegove

mnogobrojne doprinose. U vrijeme nastanka model je kritiziran zbog velikog obujma i

složenosti parametara potrebnih za izra�unavanje optimalnog portfelja, no kasnije se taj

problem riješio razvitkom IT tehnologije. Jedna od zamjerki je tako�er velik utrošak

novca i vremena pri izra�unavanju parametara koji služe za donošenje jednokratne

odluke o ulaganju, a zanemaruje kontinuirano pra�enje promjena.

Tako�er dodatni nedostatak je zanemarivanje transakcijskih troškova, utjecaja poreza i

niska likvidnost vrijednosnica pogotovo u tranzicijskim zemljama gdje se je uo�ilo da

28

o�ekivani prinosi nisu normalno distribuirani. Campbell, Koedijk i Kofman 2002. daju

kritiku kako u vremenima financijske krize dolazi do nestanka diversifikacije zbog

konvergencije koeficijenata korelacije prema 1, odnosno dolazi do jake pozitivne

korelacijske veze izme�u vrijednosnica uklju�enih u portfelj.

3.3. Markowitzev model optimizacije portfelja U ovom poglavlju prikazat �e se teorijske postavke optimizacije portfelja pomo�u

Markowitzevog modela. Nadalje prikazat �e se i formulacija problema optimizacije

portfelja te korištenje Excelove makronaredbe Solvera u rješavanju istog.

3.3.1. Formulacija problema optimizacije

U prethodnom poglavlju vidjeli smo da je o�ekivani prinos portfelja dan relacijom:

�=

×=n

i

iiport REwRE1

)()( ,

a varijanca portfelja relacijom:

� ��= ==

+=n

i

n

i

ijjiji

n

i

ii www1 11

222 ρσσσσ

Skup mogu�ih portfelja �ine svi portfelji koji se mogu sastavit od N zadanih rizi�nih

vrijednosnica. Svaki portfelj karakteriziran je svojim (o�ekivanim) prinosom i svojim

rizikom (varijancom prinosa ili standardnom devijacijom).

Slika 5: Skup mogu�ih portfelja

Izvor: Aljinovi�, Marasovi�, Šego, 2011., str.139.

29

Naravno da je za investitora pri izboru portfelja najvažnije posti�i što je mogu�e ve�i

prinos. Me�utim, ako je to jedini kriterij, tada �e on uložiti cijeli iznos na vrijednosnicu

s najve�im o�ekivanim prinosom, koja je �esto vrlo rizi�na vrijednosnica s vrlo velikim

fluktuacijama prinosa. Osnovna Markowitzeva ideja bila je prona�i ravnotežu izme�u

rizika i prinosa. Stoga, promatraju�i sve mogu�e portfelje nad nekim kona�nim skupom

vrijednosnica, investitora �e najviše zanimati baš oni portfelji koji leže na krivlji

minimalne varijance. To su oni portfelji koji za dani prinos imaju najmanju varijancu.

Ako ti portfelji ujedno za zadanu stopu rizika imaju maksimalni prinos, onda leže na

efikasnoj granici i nazivamo ih efikasnim porfeljima. Dakle portfelj x je efikasan

portfelj ako ne postoji nijedan drugi portfelj y za koji je E(Ry) � E(Rx) i σ y � σ x

(Aljinovi�, Marasovi�, Šego, 2011, str: 141-142).

Markowitzev model optimizacije portfelja može se formirati na 2 na�ina. Jedan na�in je

da ulaga� odredi donju granicu prinosa portfelja i tada se iz skupa mogu�ih portfelja

izabire onaj koji ima minimalnu varijancu, odnosno minimalan rizik. Drugi na�in je da

ulaga� zada gornju granicu prihvatljivog rizika i onda se iz skupa mogu�eg portfelja

izabere onaj koji maksimizira prinos. Matemati�ki se ova dva pristupa optimizaciji

portfelja mogu zapisati na sljede�i na�in:

(1) (2)

Min Var (Rport) Max E(Rport)

E(Rport) � c 1 Var (Rport) � c2

11

=�=

N

i

iw 11

=�=

N

i

iw

Nepoznate varijable u ovom modelu su udjelu pojedinih dionica u portfelju, to jest

vektor portfelja kojemu su pojedine dionice komponente Dakle, potrebno je odrediti

udio svake pojedine dionice u portfelju da bi rizik portfelja bio minimalan uz prinos ne

manji od onog kojeg je ulaga� unaprijed zadao (konstanta c1) odnosno koliki mora biti

udio svake pojedine dionice u portfelju da bi prinos bio maksimalan, uz rizik koji nije

ve�i od onog kojeg je ulaga� unaprijed zadao (konstanta c2).

Problem (1) je problem kvadratnog programiranja (to jest funkcija cilja je kvadratna

funkcija, a ograni�enja su linearna). Ako pretpostavimo da je � pozitivno definirana i

30

da je skup mogu�ih rješenja neprazan, tada ovaj problem ima jedinstveno rješenje koje

se može odrediti standardnim algoritmima za probleme kvadratnog programiranja

(Tomi� Plazibat, Aljinovi�, Marasovi�, 2006.,str. 13-14).

Problem optimizacije možemo postaviti:

��

��

�+� ��

= = =

n

i

n

i

n

i

ijjijiii www1 1 1

22min ρσσσ

Prilikom rješavanja Markowitzevog problema neophodno je uvažiti sljede�e uvjete:

1) �=

=n

i

i CRiEw1

)(

2) �=

=n

i

iw1

1

3) niwi ,...,1,0 =≥

pri �emu je: �=

=n

i

portii REREw1

)()(

Kako bi se formirala efikasna granica potrebno je minimizirati rizik mjeren varijancom

portfelja za svaku danu o�ekivanu stopu prinosa C.

Drugo ograni�enje odnosi se na sumu udjela pojedinih dionica u portfelju te moraju biti

jednake jedan, dok posljednji uvjet predvi�a nemogu�nost kratke prodaje 3(engl. Short

selling).

Rješenje MV modela je optimalni ili efikasni portfelj koji je odre�en udjelom svake

dionice u portfelju. Efikasni portfelj ima najve�u stopu prinosa za željeni nivo rizika, ili

minimalni rizik uz unaprijed postavljenu o�ekivanu stopu prinosa. Može se re�i kako se

metoda sastoji od pronalaženja skupa portfelja koji imaju najmanju ukupnu varijancu

za zadanu stopu prinosa, odnosno pronalaženja udjela pojedine dionice u portfelju tako

da se rizik portfelja minimizira. Variranjem E(Rport) izme�u maksimalnog prinosa i

prinosa koji se može ostvariti u to�ki sa minimalnom varijancom formira se efikasna

granica, što u matemati�kom smislu pripada problemu kvadratnog programiranja.

3 Kratka prodaja je špekulativna operacija koja se provodi u o�ekivanju pada cijene vrijednosnih papira. Investitor posu�uje dionice ili druge vrijednosne papire od brokera i prodaje ih kako bi ih otkupio prema o�ekivanom padu njihovih cijena i, nakon što ih vrati brokeru, zaradio na padu cijena vrijednosnih papira.

31

Investitor, kvadratnim programiranjem, pronalazi pondere – wi (uz uvjet da je w1 + w2

+ ... + wi = 1) koji maksimiziraju funkciju korisnosti uz date ulazne parametre:

o�ekivani prinosi, standardne devijacije i korelacije izme�u dionica. Korištenjem

predstavljenih jednadžbi, metoda kvadratnog programiranja predstavlja na�in

maksimizacije prinosa i minimiziranja varijance:

)(min 2portport REz λσ −=

Nagib funkcije – može da poprimiti vrijednosti od nula do beskona�no, kako bi se

dobile razli�ite to�ke na efikasnoj granici (Mirjani�, 2015., str 39-40). Mijenjanjem

vrijednosti proizvoljne konstante s (koja ovisi o samom investitoru) i ponovnom

optimizacijom modela, dobivamo portfelje koji pripadaju efikasnoj granici, tj. one

portfelje koje za danu razinu rizika daju maksimalni o�ekivani prinos. Efikasni portfelji

su, dakle, oni koji pripadaju dijelu skupa minimalne varijance koje karakterizira bolja

diversifikacija u odnosu prema ostalim portfeljima iz skupa mogu�ih rješenja

(Škrinjari�, Šoštari�, 2014., str. 359).

32

3.3.2. Primjena programa MS Solver u rješavanju problema optimizacije

Solver je makronaredba tabli�nog kalkulatora Excela koja omogu�uje optimizaciju

matemati�kih modela. U ovom radu koristi se pri optimizaciji portfelja dionica na

Zagreba�koj burzi, stoga �e se u nastavku prikazati teorijske postavke, odnosno na koji

na�in funkcionira.

Na sljede�oj slici prikazane su vrijednosti o�ekivanog prinosa i standardne devijacije za

3 dionice: Adris povlaštene, Ine te Zagreba�ke banke. Nepoznate varijable u ovom

modelu matemati�kog programiranja jesu udjeli pojedinih dionica u portfelju. Dakle

potrebno je izra�unati udio svake pojedine dionice u portfelju poštuju�i ograni�enje

rizika koje je ulaga� unaprijed zadao, uz maksimizaciju prinosa.

Slika 6: Izra�un efikasnog portfelja u Excelu


Postupak u Excelu je sljede�i:

Odaberemo �elije u kojima �e se nalaziti nepoznate varijable odnosno udjeli (w), na

slici B19:B21

33

U �eliji B14 ispisana je funkcija za o�ekivani prinos portfelja, a u �eliji B17 upisana je

formula za standardnu devijaciju portfelja. Zbroj udjela dan je u �eliji B23 (

SUM(B19:B21)).

Problem matemati�kog programiranja rješava se pozivanjem opcije Tools/Solver.

Slika 7: Izbornik Solver Parameters

Izvor. obradio autor

U izborniku ozna�imo:

Funkcija cilja: Set Target Cell: B14

Odaberemo opciju Max (jer želimo maksimizirati zadanu funkciju).

Nepoznate varijable: By Changig Cells: B19:B21

Ograni�enja modela dodamo odabirom opcije Add, te u izborniku Options odaberemo

opciju Assume Non Negative (jer ne želimo da nam udjeli poprime negativnu

vrijednost).

Slika 8: Izbornik Add Constraint


Nakon pritiska na dugme Solve, problem se riješi te se dobiju vrijednosti udjela i

maksimizirani prinos, poštuju�i ograni�enja modela.

34

4. MATEMATI�KI MODEL OPTIMIZACIJE PORTFELJA DIONICA CROBEX INDEKSA

Optimalni portfelj definira se kao svaki portfelj koji se nalazi na efikasnoj granici. To je

onaj portfelj za koji se neki investitor odlu�i s obzirom na razinu prinosa i

varijabilnosti, odnosno rizika. Izbor pojedinog portfelja ovisi o funkciji korisnosti tj.

želji za maksimizacijom prihoda i/ili smanjenjem rizika. U nastavku je prikazano

sastavljanje uzorka dionica i izbor optimalnog portfelja na temelju Markowitzeve

teorije portfelja.

4.1. Sastavljanje uzorka dionica za formiranje optimalnog portfelja Pri izboru dionica za formiranje optimalnog portfelja glavni je kriterij bio likvidnost

dionica te dovoljno velika neprekinuta serija podataka od minimalno 36 mjeseci

unatrag. Likvidnost je vrlo bitna iz više razloga. Bitna je za aktivno upravljanje

portfeljem jer omogu�ava da u svakom trenutku kupimo ili prodamo dionicu bez

zna�ajnijeg porasta odnosno pada cijene. Likvidnih dionica tako�er ima na burzi i u

ve�im koli�inama, što je bitno ako se radi o visokim iznosima kojima upravljamo u

portfelju jer smo onda u mogu�nosti kupiti ili prodati relativno ve�u željenu koli�inu.

Likvidnost dionice bi tako�er u pravilu trebala osigurati i fer vrednovanje dionice, jer

veliki broj transakcija, barem u teoriji, osigurava konvergenciju cijene dionice ka

ravnotežnoj cijeni ponude i potražnje, koje su pak uvjetovane tržišnim silama i

o�ekivanjima investitora (Jeron�i� i Aljinovi�, 2011., str 588). Za potrebe izrade ovog

rada koristilo se prvih 10 dionica CROBEX indeksa poredanih po ukupnoj tržišnoj

kapitalizaciji na dan 18.03.2015. smatraju�i kako velika tržišna kapitalizacija dodatno

garantira dovoljno veliku likvidnost. Naime jedan od uvjeta uklju�enja dionica u

CROBEX indeks je da su iste uvrštene na ure�eno tržište te da se njima trgovalo više

od 80% ukupnog broja trgovinskih dana u šestomjese�nom razdoblju koje prethodi

reviziji.

Stanje CROBEX indeksa i tržišna kapitalizacija uklju�enih dionica prikazano je u

tablici 12.

35

Tablica 8: Tržišna kapitalizacija dionica uklju�enih u CROBEX na dan 18.03.2015 Simbol Izdavatelj Tržišna kapitalizacija Težina HT-R-A HT d.d. 1.177.427.068,40 9,92 ADRS-P-A Adris grupa d.d. 1.133.546.086,53 9,55

RIVP-R-A VALAMAR RIVIERA d.d. 1.113.727.759,20 9,38

PODR-R-A Podravka d.d. 1.088.113.968,00 9,17 LEDO-R-A Ledo d.d. 1.051.561.100,00 8,86

KOEI-R-A Kon�ar - Elektroindustrija d.d. 1.041.488.070,00 8,77

INA-R-A INA d.d. 1.027.764.050,00 8,66

ERNT-R-A Ericsson Nikola Tesla d.d. 979.229.496,00 8,25

ATGR-R-A Atlantic Grupa d.d. 892.258.680,00 7,52 ZABA-R-A Zagreba�ka banka d.d. 486.767.764,00 4,1 KRAS-R-A Kraš d.d. 366.070.140,00 3,08 ATPL-R-A Atlantska plovidba d.d. 276.871.168,00 2,33 ARNT-R-A Arenaturist d. d. 221.325.142,50 1,86 ADPL-R-A AD Plastik d.d. 217.013.535,00 1,83 DLKV-R-A Dalekovod d.d. 153.556.322,66 1,29 VDKT-R-A Viadukt d.d. 96.902.722,00 0,82 BLJE-R-A Belje d.d. Darda 88.217.885,60 0,74 LKRI-R-A Luka Rijeka d.d. 81.483.985,50 0,69

DDJH-R-A uro akovi� Holding d.d. 79.537.274,50 0,67

ULPL-R-A Uljanik Plovidba d.d. 70.574.400,00 0,59 THNK-R-A Tehnika d.d. 53.285.625,00 0,45 PTKM-R-A Petrokemija d.d. 47.940.242,68 0,4 VPIK-R-A Vupik d.d. 46.964.720,11 0,4 JDPL-R-A Jadroplov d.d. 41.887.380,62 0,35 VART-R-1 Varteks d.d. 24.111.304,56 0,2 RIZO-R-A RIZ-odašilja�i d.d. 14.751.672,32 0,12

Izvor: službena stranica Zagreba�ke burze [online], dostupno na: http://zse.hr/default.aspx?id=44101&index=CROBEX, 18.03.2015.

Iz tablice je odabrano prvih deset dionica, s izuzetkom dionice RIVP-R-A izdane od

Valamar Riviera d.d. zbog prekinute serije trgovanja od kolovoza do studenog 2013.

zbog integriranja Valamar Adria holdinga i Valamar grupe u Riviera Adriu, �ime je

stvorena Valamar Riviera. Zbog toga je umjesto dionice Riviere Adrie uvrštena dionica

KRAS-R-A izdavatelja Kraš d.d. Odabrane dionice prikazane su u tablici 13.

36

Tablica 9: Uzorak dionica uklju�enih u optimalni portfelj

Redni

br. Simbol Izdavatelj

1. ADRS-P-A Adris grupa d.d.

2. ATGR-R-A Atlantic Grupa d.d.

3. ERNT-R-A Ericsson Nikola Tesla d.d.

4. HT-R-A HT d.d.

5. INA-R-A INA d.d.

6. KOEI-R-A Kon�ar – Elektroindustrija d.d.

7. KRAS-R-A Kraš d.d.

8. LEDO-R-A Ledo d.d.

9. PODR-R-A Podravka d.d.

10. ZABA-R-A Zagreba�ka banka d.d. Izvor: obradio autor

Sve dionice, s iznimkom ADRS-P-A, su redovne dionice dok je dionica Adris grupe

d.d. povlaštena. Simbol –A ukazuje kako su sve dionice iz uzorka izdane u prvoj

emisiji.

37

4.2. Specifikacija modela optimalnog portfelja dionica CROBEX indeksa

Nakon odabira dionica sa službenih stranica Zagreba�ke burze potrebno je izra�unati tri

klju�ne varijable za formiranje optimalnog portfelja: o�ekivani prinos E(Ri),

standardnu devijaciju (�) te matricu varijanci i kovarijanci. Za izra�un varijabli

korišteni su povijesni podaci sa službene stranice Zagreba�ke burze za razdoblje od 36

mjeseci, od 01. velja�e 2012. do 28. velja�e 2015, za svih deset dionica iz uzorka. U

nastavku poglavlja prikazat �e se postavljeni model i na�in izra�unavanja potrebnih

parametara modela.

4.2.1. Matemati�ki model minimizacije rizika ulaganja

Na temelju izra�unanih podataka o�ekivanog prinosa, varijance i standardne devijacije

uz pomo� Excelovog alata Solver formirat �emo dva optimalna portfelja u kojima

minimiziramo rizik ulaganja. Prvi optimalni portfelj ne�e imati ograni�enja, dok �e

drugi imati minimalno zadani o�ekivani prinos te ograni�eni udio ulaganja u pojedinu

dionicu. Na kraju �e se oba usporediti i donijeti zaklju�ak.

U oba portfelja želimo minimizirati rizik stoga nam je funkcija cilja postavljena kao:

��

�

��

��= =

n

i

n

i

ijji ww10 10

covmin , uz uvjete:

1) �=

=10

1

1i

iw

2) 10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0 =≥ iwi

Dakle zajedni�ka ograni�enja za oba portfelja su:

� želimo minimizirati rizik , odnosno minimizirati standardnu devijaciju portfelja

� ukupan zbroj svih dionica uklju�enih u portfelj mora biti 1 (100%)

� udjel svake dionice uklju�ene u optimalni portfelj mora biti jednak ili ve�i od nule

0≥iw ,

Ograni�enja koja vrijede za drugi formirani portfelj jesu:

1) �=

=n

i

i CRiEw10

)( ,

2) 25,0≤iw ,

38

gdje C predsatvlja konstantu i minimalnu razinu prinosa koju ulaga� traži od 0,75%

mjese�no, odnosno 9% godišnje.

Drugi dio ograni�enja odnosi se na ograni�enje varijable, odnosno postotak udjela

pojedine dionice u portfelju ne smije prelaziti 25% ukupnog udjela.

4.2.2. Izra�un parametara modela

Za svaku dionicu prikazane su najviša i najniža dnevna cijena, prva i zadnja cijena toga

dana te prosje�na dnevna cijena. Na razvijenim tržištima uobi�ajena je primjena zadnje

cijene kojom se trgovalo. Zadnju cijena dionice naj�eš�e se izabire zato što bi trebala

smanjiti neuskla�enost cijena unutar dnevnog trgovanja, no na hrvatskom tržištu

kapitala uzimanje zadnje cijene može dati iskrivljenu sliku stvarnih dnevnih doga�aja.

Cijene dionica na hrvatskom tržištu unutar dana zna�ajno variraju, a zadnja cijena

predstavlja tek jednu od tih oscilacija, a ne korekciju cijene kao što to predstavlja na

razvijenim tržištima (Žikovi�, 2004., str 34). Iz tog razloga za izra�un o�ekivanog

prinosa koristile su se dnevne prosje�ne cijene. Zbog nedovoljne razvijenosti hrvatskog

tržišta kapitala pojedinim dionicama se ne trguje svakodnevno, stoga su izra�unane

mjese�ne cijene na bazi prosje�nih dnevnih cijena. Mjese�na cijena predstavlja

aritmeti�ku sredinu svih prosje�nih dnevnih cijena u pojedinom mjesecu. Kako ne bi

smo sami ra�unali mjese�ne vrijednosti, što bi, paze�i na dane kojima se trgovalo

dionicom, oduzelo previše vremena, koristimo pomo� Excelovih Pivot (stožernih)

tablica.

Nakon izra�una prosje�ne mjese�ne cijene, mjese�ne promjena ra�una se pomo�u

formule ��

��

�

=

−1,

lnti

it

itP

PR , gdje je itP cijena i-te dionice u razdoblju t, a 1, −tiP cijena i-te

dionice u razdoblju t-1. O�ekivani prinos E(Ri), svake dionice iz uzorka, ra�una se

pomo�u funkcije AVERAGE( ) jer predstavlja prosjek mjese�nih promjena. Varijanca(�2)

i standardna devijacija(�) tako�er su izra�unate preko Excelovih funkcija VARP( ) i

STDEV( ) koriste�i mjese�ne promjene cijena. U tablici 14. prikazani su o�ekivani prinos,

varijanca i standardna devijacija svake dionice iz uzorka.

39

Tablica 10: O�ekivani prinosi, varijanca i standardna devijacija dionica iz uzorka za

formiranje optimalnog portfelja

O�ekivani prinos

E(Ri) Varijanca

(�2) Standardna devijacija

(�) ADRS-P-A 1,4239% 0,001243 3,5261% ATGR-R-A 1,7285% 0,002584 5,0837% ERNT-R-A 0,2874% 0,004669 6,8327% HT-R-A -1,0257% 0,001368 3,6983% INA-R-A -0,0886% 0,001378 3,7115% KOEI-R-A 0,9287% 0,001369 3,7002% KRAS-R-A -0,3919% 0,002234 4,7261% LEDO-R-A 0,8968% 0,001840 4,2897% PODR-R-A 0,3730% 0,002504 5,0045% ZABA-R-A -0,5050% 0,002686 5,1829%

Izvor: izra�un autora na temelju podataka sa Zagreba�ke burze [online], dostupno na: www.zse.hr

Iz tablice je vidljivo kako 6 dionica ima pozitivan, a 4 dionice negativan o�ekivani

mjese�ni prinos. Najve�i o�ekivani mjese�ni prinos ima dionica ATGR-R-A, dok najlošiji

o�ekivani prinos ima dionica HT-R-A. Najrizi�nija dionica je dionica ERNT-R-A, dok

najmanju standardnu devijaciju ima dionica ADRS-P-A. Iz priložene tablice vidljivo je

kako su o�ekivani mjese�ni prinosi mali, a neki �ak i negativno stoga se može ve� sad

pretpostaviti kako ni optimalni portfelj ne�e ponuditi zna�ajan prinos. Imaju�i na umu kako

su to dionice s najve�om tržišnom kapitalizacijom na tržištu, još se jednom potvr�uje kako

hrvatsko tržište kapitala nudi slabe investicijske prilike.

Zadnja varijabla koja je potrebna za optimizaciju portfelja je matrica varijanci i

kovarijanci koja je tako�er dobivena preko funkcija u Excelu i to u dva koraka. Prvo je

izra�ena tablica razlika pojedinih mjese�nih prinosa i o�ekivanog prinosa (R-E(R)

tablica) za svih 10 dionica iz uzorka, a u drugom koraku je pomo�u Excelovih funkcija

MMULT( ) i TRANSPOSE( ) formirana matrica varijanci i kovarijanci. Cjelovita

formula za izradu matrice izgleda ovako:

36

E(R)) - R tabliceti vrijednosE(R)), - R tabliceti(vrijednos(TRANSPOSE MMULT, a

dobiveni rezultati prikazani su u tablici 15.

40

Tablica 11: Matrica varijanci i kovarijanci dionica iz uzorka za formiranje optimalnog portfelja

ADRS ATGR ERNT HT INA KOEI KRAS LEDO PODR ZABA ADRS 0,0012 ATGR 0,0008 0,0026 ERNT 0,0008 0,0006 0,0047

HT 0,0008 0,0007 0,0007 0,0014 INA 0,0002 0,0001 -0,0001 0,0002 0,0014

KOEI 0,0008 0,0006 0,0007 0,0005 0,0004 0,0014 KRAS 0,0004 0,0000 0,0008 0,0007 0,0004 0,0006 0,0022 LEDO 0,0003 0,0010 0,0013 0,0004 0,0002 0,0008 0,0004 0,0018 PODR 0,0007 0,0012 0,0011 0,0008 0,0004 0,0012 0,0008 0,0012 0,0025 ZABA 0,0006 0,0008 0,0002 0,0008 0,0004 0,0006 0,0004 0,0008 0,0011 0,0027


Tablica 12: Koeficijenti korelacije dionica iz uzorka za formiranje optimalnog portfelja ADRS ATGR ERNT HT INA KOEI KRAS LEDO PODR ZABA ADRS 1 ATGR 0,4505 1 ERNT 0,3408 0,1866 1 HT 0,6435 0,3870 0,2597 1 INA 0,1639 0,0760 -0,0361 0,1785 1 KOEI 0,5798 0,3153 0,2640 0,3581 0,2912 1 KRAS 0,2274 -0,0174 0,2615 0,3883 0,2549 0,3318 1 LEDO 0,2112 0,4404 0,4350 0,2505 0,0957 0,5342 0,2051 1 PODR 0,4020 0,4739 0,3280 0,4442 0,2367 0,6578 0,3500 0,5810 1 ZABA 0,3445 0,3119 0,0671 0,4365 0,2038 0,3022 0,1567 0,3572 0,4058 1

Izvor: Izvor: izra�un autora na temelju podataka sa Zagreba�ke burze [online], dostupno na: www.zse.hr

41

Matrica koeficijenata korelacije dobivena na temelju matrice varijanci i kovarijanci te

standardne devijacije svih dionica uklju�enih u uzorak prikazana je u sljede�oj tablici,

vrijednosti se nalaze u rasponu od -1 do 1.

Iz matrica varijanci i kovarijanci te matrice koeficijenata korelacije možemo zaklju�iti

kako ve�ina dionica me�usobno pozitivno kovarira, odnosno korelira. Dvije negativne

korelacije veze dobivene su izme�u dionica ATGR-R-A i KRAS-R-A te ERNT-R-A i

INA-R-A. Ve�ina dionica koreliraju slabom pozitivnom vezom, 4 koeficijenta

korelacije ukazuju na srednju pozitivnu vezu (ADRS-P-A i HT-R-A, ADRS-P-A I

KOEI-R-A, LEDO-R-A I KOEI-R-A te PODR-R-A i KOEI-R-A) što ukazuje da rast

dionice KOEI-R-A u zna�ajnoj mjeri utje�e na rast dionica ADRS-R-A, LEDO-R-A i

PODR-R-A. Jake korelacijske veze me�u dionicama iz uzorka nema.

Kad su sva tri klju�na pokazatelja – o�ekivani prinos, standardna devijacija i matrica

varijanci i kovarijanci izra�unati, može se pristupiti formiranju optimalnog portfelja.

4.3. Analiza rezultata optimizacije U ovom poglavlju prikazat �e se rezultati optimizacije, odnosno dobivene dioni�ke

strukture portfelja A i portfelja B te �e se oba usporediti s službenim dioni�kim

indeksom Zagreba�ke burze

4.3.1. Dioni�ka struktura optimalnog portfelja

Portfelj koji je postavljen bez dodatnih ograni�enja nazvat �emo portfelj A (tablica 17),

a portfelj s postavljenim ograni�enjima nazvat �emo portfelj B( tablica 18)

Tablica 13: Dioni�ka struktura portfelja A Dionica Udio O�ekivani prinos Standardna devijacija

ADRS-P-A 25,49% 1,4239% 3,5261% ATGR-R-A 3,49% 1,7285% 5,0837% ERNT-R-A 0,15% 0,2874% 6,8327% HT-R-A 9,97% -1,0257% 3,6983% INA-R-A 32,01% -0,0886% 3,7115% KRAS-R-A 9,41% -0,3919% 4,7261% LEDO-R-A 19,00% 0,8968% 4,2897% ZABA-R-A 0,48% -0,5050% 5,1829% Portfelj 100% 0,4242% 2,4454%


42

U portfelj A, koji je postavljen bez ograni�enja, uklju�eno je ukupno 8 dionica. Najve�i

udio u portfelju ima dionica INA-R-A dok najmanji udio sa�injava dionica ERNT-R-A.

Velik udio u optimalnom portfelju A imaju i dionice ADRS-P-A i LEDO-R-A sa

25,5% i 19%, a zna�ajan udio imaju dionice KRAS-R-A I HT-R-A s oko 10%. Grafi�ki

prikaz optimalnog portfelja prikazan je na grafikonu 7.

Portfelj A ima mjese�ni o�ekivani prinos od 0,42% i standardnu devijaciju od 2,45%.

Grafikon 5: Struktura optimalnog portfelja A na dan 18.03.2015.

25,49%

3,49%

0,15%

9,97%32,01%

9,41%

19,00%0,48%

ADRS-P-A

ATGR-R-A

ERNT-R-A

HT-R-A

INA-R-A

KRAS-R-A

LEDO-R-A

ZABA-R-A


Na temelju ograni�enja uz pomo� Solvera-a odredili smo i drugi optimalni portfelj, portfelj

B., a u sljede�oj tablici dana je njegova dioni�ka struktura.

Tablica 14: Dioni�ka struktura portfelja B

Dionica Udio O�ekivani prinos Standardna devijacija ADRS-P-A 25,00% 1,4239% 3,5261% ATGR-R-A 12,21% 1,7285% 5,0837% INA-R-A 25,00% -0,0886% 3,7115% KOEI-R-A 8,55% 0,9287% 3,7002% KRAS-R-A 10,59% -0,3919% 4,7261% LEDO-R-A 18,65% 0,8968% 4,2897% Portfelj 100,00% 0,7500% 2,5149%


43

Portfelj B u kojem je traženi mjese�ni o�ekivani prinos postavljen na 0,75% i u kojem

je postavljeno ograni�enje da se u pojedinu dionicu može uložiti maksimalno 25%

sastoji se od 6 dionica od ukupno 10 uklju�enih u uzorak. Najve�i, odnosno maksimalni

udio, od 25%, zauzimaju dionica ADRP-R-A i INA-R-A, dok najmanji udio sa�injava

dionica KOEI-R-A. Kod portfelja B o�ekivani prinos je jednak postavljenom

o�ekivanom prinosu od 0,75% na mjese�noj razini, dok standardna devijacija iznosi

2,51% . Struktura dionica uklju�enih u optimalni portfelj B prikazana je na grafikonu 8.

Grafikon 6: Struktura optimalnog portfelja B na dan 18.03.2015.

25,00%

12,21%

25,00%

8,55%

10,59%

18,65%

ADRS-P-A

ATGR-R-A

INA-R-A

KOEI-R-A

KRAS-R-A

LEDO-R-A


4.3.2. Usporedba performansi službenog dioni�kog indeksa i optimalnih

portfelja

U ovom poglavlju usporedit �emo oba dobivena optimalna portfelja s CROBEX-om te

grafi�ki prikazati kako se u razdoblju od 01.03.2012. do 28.02.2015 kretao CROBEX te

kako bi se u tom razdoblju kretao mjese�ni prinos portfelja A i portfelja B s

pretpostavkom da su formirani 01.03.2012.

Prije grafi�ke usporedbe pokazat �e se osim o�ekivanog prinosa i standardne devijacije

i mjere zaobljenosti i asimetrije, odnosno viši momenti razdiobe oko sredine, za oba

optimalna portfelja i za tržišni indeks CROBEX.

44

Tre�i moment oko sredine ili mjera asimetrije4 opisuje odstupanja vrijednosti

numeri�ke varijable od aritmeti�ke sredine kako bi prikazala na�in razmještaja

vrijednosti varijable oko sredine (Lewin, 1973., str.168). Koeficijent asimetrije �3

omjer je tre�eg momenta oko sredine i standardne devijacije podignute na tre�u

potenciju a izra�unava se prema sljede�oj formuli:

�=

��

��

�

�

��

−=

N

i

ix

1

3

3σ

µα

Koeficijent asimetrije �3 uobi�ajeno poprima vrijednosti iz intervala ± 2, a ponekad i

ve�e vrijednosti. Koeficijent 0 ukazuje na normalnu distribuciju, odnosno istu

vjerojatnost da se ostvari pozitivan ili negativan povrat. Predznak + ispred koeficijenta

ukazuje na oštriji nagib i kratak rep distribucije na lijevoj strani i blaži nagib i

produženi rep distribucije na desnoj strani distribucije što je poželjna karakteristika

distribucije kad govorimo o stopama povrata na portfelj.

�etvrti moment oko sredine ili mjera zaobljenosti5 �4 je parametar koji daje

informaciju o zaobljenosti modalnog vrha na poligonu distribucije frekvencija

varijable.( Kocei� Bilan, 2011.), a izra�unava se slijede�om formulom:

31

4_

4 −��

��

�

��

��

�

−

=�=

N

i

i xx

σα

Kurtosis koji iznosi 0 ukazuje na normalnu distribuciju, dok negativan predznak

upu�uje na spljoštenu distribuciju, a pozitivan na šiljastu distribuciju.

U tablici 19 prikazane su usporedne vrijednosti portfelja A, portfelja B i tržišnog

indeksa CROBEX.

Tablica 15: Deskriptivna analiza Portfelja A, Portfelja B i CROBEX-a N Min Max E(Ri) � Skewness Kurtosis Portfelj A 36 -3,59% 6,51% 0,42% 2,45% 0,50 -0,41 Portfelj B 36 -3,73% 6,53% 0,75% 2,51% 0,53 -0,29 CROBEX 36 -6,81% 7,00% -0,06% 2,83% 0,05 0,23

4 Eng. Skewness 5 Eng. Kurtosis

45


Iz izra�unatih podataka može se zaklju�iti kako je tržišni indeks CROBEX zabilježio

najve�i mjese�ni pad u periodu od 36 mjeseci od -6,81%, ali i najve�i rast od 7%.

Portfelji A i B kretali su se u rasponu -4% do 6,5%. O�ekivani mjese�ni prinos i

portfelja A i portfelja B uvelike nadmašuju o�ekivani prinos CROBEX tržišnog indeksa

koji je negativan u promatranom razdoblju. Oba portfelja su manje rizi�na u odnosu na

CROBEX, što je tako�er vrlo bitno za usporedbu. Mjera zaobljenosti CROBEX-a

iznosi približno 0 što ukazuje na normalnu distribuciju odnosno istu vjerojatnost da se

ostvare pozitivni i negativni rezultati. Kod oba optimalna portfelja je mjera zaobljenosti

pozitivnog predznaka što upu�uje na ve�u vjerojatnost ostvarivanja pozitivnih rezultata

što je kod ulaganja u dionice više nego poželjno. Kurtosis CROBEXA ukazuje na

šiljastu distribuciju zbog pozitivnog predznaka dok optimalni portfelj A i B imaju

plosnatu distribuciju. U nastavku su prikazani histogrami mjese�nih povrata oba

portfelja i CROBEX indeksa.

Grafikon 7: Histogram distribucije mjese�nih povrata optimalnog portfelja A u razdoblju od 01.03.2012. do 28.02.2015.

0

2

4

6

8

10

12

Bro

j o

paž

anja

-5,43% -4,05% -2,67% -1,29% 0,09% 1,48% 2,86% 4,24% 5,62% 7,00%

Stopa povrata %

Izvor: izra�un autora na temelju podataka sa Zagreba�ke burze [online], dostupno na: www.zse.hr Kod distribucije mjese�nih prinosa portfelja A vidi se produženi rep distribucije na

desnoj stani i blaži nagib što je svakako pozitivno kod ulaganja. Isto tako da se

primijetiti spljoštenost distribucije.

46

Grafikon 8: Histogram distribucije mjese�nih povrata optimalnog portfelja B u razdoblju od 01.03.2012 do 28.02.2015.

0

2

4

6

8

10

12

Bro

j o

paž

anja

-5,43% -4,05% -2,67% -1,29% 0,09% 1,48% 2,86% 4,24% 5,62% 7,00%

Stopa povrata %


Kod distribucije mjese�nih povrata portfelja B možemo uo�iti kako se ne razlikuje

previše od distribucije mjese�nih povrata portfelja A. No, distribucija mjese�nih

povrata kod tržišnog indeksa CROBEX zna�ajno se razlikuje od oba optimalna

portfelja.

Grafikon 9:Histogram distribucije mjese�nih povrata CROBEX tržišnog indeksa u razdoblju od 01.03.2012. do 28.02.2015.

0

2

4

6

8

10

12

Bro

j o

paž

anja

-5,43% -4,05% -2,67% -1,29% 0,09% 1,48% 2,86% 4,24% 5,62% 7,00%

Stopa povrata %

Izvor: izra�un autora na temelju podataka sa Zagreba�ke burze [online], dostupno na: www.zse.hr Iz histograma distribucija CROBEX-a vidljivo je kako su opažanja normalno

distribuirana odnosno vrlo blizu Gaussove distribucije te kako je distribucija blago

šiljasta.

47

Za kona�nu usporedbu prikazani su mjese�ni povrati obaju optimalnih portfelja te

mjese�ni povrati CROBEX indeksa kroz cjelokupno promatrano razdoblje od

01.03.2012 do 28.02.2015.

Grafikon 10: Usporedba kretanja mjese�nih povrata optimalnog portfelja A i CROBEX indeksa od 01.03.2012. do 28.02.2015.

-8,00%

-6,00%

-4,00%

-2,00%

0,00%

2,00%

4,00%

6,00%

8,00%

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35

Portfelj A

CROBEX


Iz grafikona vidljivo je kako portfelj A ima manje ekstremnih vrijednosti od CROBEX

indeksa jer se kre�e u mnogo manjem rasponu. Isto tako može se iš�itati kako se

portfelj A kra�e sli�no kako i CROBEX pa se može izvest zaklju�ak da pozitivno

koreliraju.

48

Grafikon 11: Usporedba kretanja mjese�nih povrata optimalnog portfelja B i CROBEX indeksa od 01.03.2012. do 28.02.2015.

-8,00%

-6,00%

-4,00%

-2,00%

0,00%

2,00%

4,00%

6,00%

8,00%

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35

Portfelj B

CROBEX


Za portfelj B vrijedi sve kao i za portfelj A jer su razlike vrlo male. Iz oba grafikona da

se zaklju�iti kako oba portfelja imaju manji rizik od CROBEX indeksa te kako su im

mjese�ni prinosi ve�inu promatranog razdoblja ve�i nego kod CROBEX-a.

Kako bi se utvrdilo koja je od navedenih investicija najuspješnija potrebno je osim

usporedbe ukupnih prinosa odabranih optimalnih portfelja i CROBEX-a, uzeti u obzir i

razinu rizika kojem bi se izložio potencijalni investitor pri ulaganju u jednu od opcije.

Za potrebe mjerenja uspješnosti investiranja korigiranih za preuzeti rizik je Sharpov

omjer. Sharpov omjer ra�una se na slijede�i na�in: p

fp rrS

σ

−= gdje je:

fr - prinos ne rizi�ne investicije

pr - prinos portfelja

pσ - standardna devijacija portfelja

Sharpov omjer dijeli prosje�ni dodatni prinos razdoblja sa standardnom devijacijom

razdoblja. Brojnik pokazuje inkrementalni prinos portfelja u odnosu na alternativno

ulaganje u nerizi�nu imovinu, a nazivnik prikazuje pove�anje volatilnosti portfelja u

odnosu na nerizi�nu alternativu. Prema tome, Sharpov omjer pokazuje odnos izme�u

prinosa i (ukupne) volatilnosti (Bodie, Kane, Marcus, 2006., str 607.).

49

Za ra�unanje omjera potreban je podatak o nerizi�noj stopi investicije, stoga je za

potrebe izra�una korištena kamatna stopa trezorskog zapisa Ministarstva financija s

rokom dospije�a od 364.dana koja je na aukciji 09.06.2015 iznosila 1,5%. Prosje�an

prinos od 1,5% izražen je na godišnjoj razini stoga je potrebno za daljnju analizu

izra�unati mjese�nu stopu korištenjem složenog kamatnog ra�una.

��

�

�

��

�

�−��

��

+= 1

1001100 12

)( godfrrf

Korištenjem jednadžbe izra�unata je mjese�na stopa koja iznosi 0,1241%

Tablica 16: Shapovi omjeri za portfelj A, portfelj B i CROBEX

Sharpov omjer Portfelj A Portfelj B CROBEX 0,1208 0,2494 -0,0651


Iz priložene tablice 20 vidljivo je kako portfelj B ostvaruje najve�e prinose po jedinici

preuzetog rizika, portfelj A tako�er ostvaruje zadovoljavaju�e, ali i upola manje prinose

po jedinici preuzetog rizika u odnosu na portfelj B, dok CROBEX ima negativan

predznak i nikako nije privla�an za investitore.

50

5. ZAKLJU�AK

U radu je predstavljen matemati�ki model optimizacije portfelja dionica i primjena na

tržište vrijednosnih papira Zagreba�ke burze.

Cilj istraživanja bio je utvrditi može li se na hrvatskom tržištu kapitala formirati

optimalni portfelj dionica koji �e s aspekta prinosa i rizika biti uspješniji od tržišnog

dioni�kog indeksa. Isto tako cilj je bio ukazati na probleme s kojima se susre�e

hrvatsko tržište kapitala.

Istraživanje se temelji na odabranom uzorku od 10 dionica sastavnica CROBEX-a s

najve�om kapitalizacijom u promatranom razdoblju od 36 mjeseci (ožujak 2012. do

velja�e 2015.) Za procjenu srednje vrijednosti, varijance i standardne devijacije

korišteni su mjese�ni podatci. Na osnovi tih podataka formirala su se dva optimalna

portfelja te su empirijski analizirana i uspore�ena s performansama tržišnog dioni�kog

indeksa.

Kroz empirijsku analizu pokazalo se je da su optimalni portfelj A i optimalni portfelj B

s aspekta rizika i prinosa nadmašili tržišni dioni�ki indeks CROBEX. Oba optimalna

portfelja imala su pozitivne prosje�ne mjese�ne prinose ( 0,42% odnosno 0,75%), dok

je CROBEX zabilježio negativni prosje�ni mjese�ni prinos od -0,06%. I s aspekta

rizika su oba optimalna portfelja nadmašila CROBEX. Izra�unani Sharpov omjer

pokazuje kako su optimalni portfelj A s 0,12% prinosa po jedinici prinosa i portfelj B s

0,25% prinosa po jedinici prinosa manje rizi�ni od ulaganja u CROBEX koji bilježi

negativan (-0,06% ) prinos po jedinici rizika stoga možemo zaklju�iti da je na

hrvatskom tržištu kapitala mogu�e je formirati portfelj koji �e donositi ve�i prinos i

predstavljati manji rizik za investitora od tržišnog dioni�kog indeksa (CROBEX-a).

Portfelj A nije imao dodatnih ograni�enja, dok je portfelj B imao ograni�enje udjela

pojedine dionice u sastavu portfelja do maksimalno 25% po jednoj dionici. Nadalje

imao je i ograni�enje da minimalni prosje�ni mjese�ni prinos bude 0,75%, odnosno 9%

godišnje. Logi�no je bilo o�ekivati kako �e tako postavljeni model predstavljati ve�i

51

rizik za investitora. Me�utim pokazalo se je suprotno. Iako portfelj A ima manju

standardnu devijaciju od portfelja B (2,45% naprema 2,51%), Sharpov omjer pokazao

je kako portfelj B ima prinos po jedinici rizika od 0,25%, dok portfelj A bilježi upola

manji prinos po jedinici rizika (0,12%). Kurtosis portfelja B ukazuje na nešto ve�u

vjerojatnost ostvarivanja pozitivnih rezultata od portfelja A (0,53 naprema 0,50) stoga

je i u tom segmentu nadmašio portfelj A. Iz toga proizlazi zaklju�ak da je optimalni

portfelj koji je imao ograni�enje prinosa od minimalno 9% godišnje manje rizi�an u

odnosu na optimalni portfelja koji nema postavljenih ograni�enja.

Problema na hrvatskom tržištu kapitala ima: od nelikvidnosti, netransparentnosti,

visokih transakcijskih troškova do nenormalno distribuiranih prinosa. Iako je Harry

Markowitz svoje istraživanje temeljio na razvijenom tržištu kapitala, u ovom radu

prikazalo se kako je mogu�e i na tržištu kapitala tranzicijske zemlje, poput Hrvatske,

primijenit osnovne postulate moderne teorije portfelja. U istraživanju se pokazalo kako

osim rizika i prinosa pojedina�ne dionice u sastavu portfelja, na portfelj utje�e i tre�i

bitan element, tj. korelacijska veza izme�u dionica. Možemo zaklju�iti da teorijske

postavke moderne teorije portfelja vrijede i danas, nakon 60 godina od postavljanja

njenih temelja. Na kraju se može zaklju�iti da Markowitzev model daje

zadovoljavaju�e rezultate i može se koristiti kao alat pri formiranju optimalnog

portfelja na hrvatskom tržištu kapitala.

52

LITERATURA

Knjige i radovi:

Aljinovi� Z., Marasovi� B. i Šego B. 2011., Financijsko modeliranje, Ekonomski

fakultet Split, Split

Bodie, Z., Kane, A. i Marcus, A. 2006., Po�ela ulaganja, Mate, Zagreb

Borjani�, M, 2015., Upravljanje performansama akcijonog portfolia u specifi�nim

uslovima novonastaju�ih finansijskih tržišta: Primer Beogradske burze, fakultet za

podslovno industrijski menadžment Beograd,

Kocei� Bilan, N. 2011., Primijenjena statistika, Prirodoslovni matemati�ki fakultet u

Splitu, Split

Lewis, E. 1973., Metods of Statistical analysis in Economics and business, Houghton

Milflin Company, Boston.

Mandir J. 2009., Tržišta kapitala, Mate,, Zagreb

Matuli�, A. 2014., Usporedba performansi optimalnog portfelja dobivenog

Markowitzevim modelom i Crobex-a, diplomski rad, Ekonomski fakultet Split, Split

Tomi�-Plazibat, N., Aljinovi�, Z. i Marasovi�, B. 2006., Matemati�ki modeli u

financijskom upravljanju, Ekonomski fakultet Split, Split

Van Horne, J. C. 1997., Financijsko upravljanje i politika, Mate, Zagreb

Žikovi�, S. 2004. Formiranje optimalnog portfolia hrvatskih dionica i mjerenje

tržišnog rizika primjenom VaR metode, magistarski rad, Ekonomski fakultet Ljubljana,

Ljubljana.

�lanci:

Barbi�, T. 2010., Pregled razvoja hipoteze efikasnog tržišta, Privredna kretanja i

ekonomska politika, vol. 20, no. 124, studeni 2010. str. 29-62

Cambell R., Koedijk K., Kofman P. 2002., Increased Correlation in Bear Markets,

Financial Analysts Journal, vol. 58, no. 1., str. 87-94

Jeron�i� M., Aljinovi� Z. 2011., Formiranje optimalnog portfelja pomo�u

Markowitzevog modela uz sektorsku podjelu kompanija, Ekonomski pregled, vol. 62

no. 9-10

Markowitz, M. H., 1952., Portfolio Selection, The Journal of Finance, vol. 7, no. 1, str.

77-91

53

Škrinjari�, T., Šostari�, N., 2014., Komplementarnost metodologije Markovljevih

lanaca i Markowitzeva modela optimizacije portfelja, Ekonomska misao i praksa, vol

23, no 1, str 353-370

Internet izvori:

www.limun.hr

www.poslovni.hr

Zagreba�ka burza, 2002., preuzeto 10.06.2015., dostupno na

http://zse.hr/UserDocsImages/dokumenti_indeksi/CROBIS_20130219130236-

CROBIS-odluka.pdf

Zagreba�ka burza, 2014., preuzeto 10.06.2015., dostupno na

http://zse.hr/UserDocsImages/dokumenti_indeksi/CROBEX_20141222094139-2014-

12-Odluka%20o%20indeksu%20CROBEX.pdf

54

POPIS TABLICA Tablica 1: Izra�un o�ekivane stope povrata i varijance za dionicu A ............................ 19�

Tablica 2: Izra�un o�ekivane stope povrata i varijance za dionicu B ............................ 19�

Tablica 3: Izra�un o�ekivane stope povrata i varijance za portfelj sastavljen od dionice

A i dionice B .................................................................................................................. 20�

Tablica 4: Prosje�ni povrat portfelja sastavljenog od dionica A i B za petogodišnje

razdoblje ......................................................................................................................... 21�

Tablica 5: Varijanca i standardna devijacija povrata za dionice A i B .......................... 22�

Tablica 6: Varijanca i standardna devijacija povrata portfelja ....................................... 23�

Tablica 7: Izra�un kovarijance i koeficijenta korelacije dionica A i B .......................... 23�

Tablica 8: Tržišna kapitalizacija dionica uklju�enih u CROBEX na dan 18.03.2015 ... 35�

Tablica 9: Uzorak dionica uklju�enih u optimalni portfelj ............................................ 36�

Tablica 10: O�ekivani prinosi, varijanca i standardna devijacija dionica iz uzorka za

formiranje optimalnog portfelja ..................................................................................... 39�

Tablica 11: Matrica varijanci i kovarijanci dionica iz uzorka za formiranje optimalnog

portfelja .......................................................................................................................... 40�

Tablica 12: Koeficijenti korelacije dionica iz uzorka za formiranje optimalnog portfelja

........................................................................................................................................ 40�

Tablica 13: Dioni�ka struktura portfelja A .................................................................... 41�

Tablica 14: Dioni�ka struktura portfelja B..................................................................... 42�

Tablica 15: Deskriptivna analiza Portfelja A, Portfelja B i CROBEX-a ....................... 44�

Tablica 16: Shapovi omjeri za portfelj A, portfelj B i CROBEX .................................. 49�

55

POPIS GRAFIKONA Grafikon 1: Udjeli u financijskoj imovini gra�ana u srpnju 2014. .................................. 7�

Grafikon 2: Redovan promet dionica na Zagreba�koj burzi ............................................ 9�

Grafikon 3: Kretanje CROBEX-a od 01.01.2015 do 08.06.2015. godine ..................... 12�

Grafikon 4: Kretanje CROBIS-A od osnutka do 08.06.2015. ....................................... 13�

Grafikon 5: Struktura optimalnog portfelja A na dan 18.03.2015. ................................ 42�

Grafikon 6: Struktura optimalnog portfelja B na dan 18.03.2015. ................................ 43�

Grafikon 7: Histogram distribucije mjese�nih povrata optimalnog portfelja A u

razdoblju od 01.03.2012. do 28.02.2015. ....................................................................... 45�

Grafikon 8: Histogram distribucije mjese�nih povrata optimalnog portfelja B u

razdoblju od 01.03.2012 do 28.02.2015. ........................................................................ 46�

Grafikon 9:Histogram distribucije mjese�nih povrata CROBEX tržišnog indeksa u

razdoblju od 01.03.2012. do 28.02.2015. ....................................................................... 46�

Grafikon 10: Usporedba kretanja mjese�nih povrata optimalnog portfelja A i CROBEX

indeksa od 01.03.2012. do 28.02.2015. ......................................................................... 47�

Grafikon 11: Usporedba kretanja mjese�nih povrata optimalnog portfelja B i CROBEX

indeksa od 01.03.2012. do 28.02.2015. ......................................................................... 48�

56

POPIS SLIKA

Slika 1: Skupovi mogu�ih portfelja u slu�aju investiranja u dvije vrijednosnice uz

razli�ite koeficijente korelacije ...................................................................................... 24

Slika 2: Skupovi mogu�ih portfelja sastavljenih od dvije vrijednosnice uz razli�ite

koeficijente korelacije .................................................................................................... 24

Slika 3: a) skup minimalne varijance b) efikasna granica .............................................. 25

Slika 4: Sistemski i nesistemski rizik u odnosu na ukupni rizik .................................... 27

Slika 5: Skup mogu�ih portfelja ..................................................................................... 28

Slika 6: Iza�un efikasnog portfelja u Excelu.................................................................. 32

Slika 7: Izbornik Solver Parameters ............................................................................... 33

Slika 8: Izbornik Add Constraint ................................................................................... 33

57

Documents

Alen Lakovi OPTIMIZACIJA PORTFELJA DIONICA NA PRIMJERU ...oliver.efri.hr/zavrsni/908.B.pdf · vrijednosnica), ali i na strani potražnje (mali broj investitora). Slaba razvijenost