Algebra 1 - fmf.uni-lj.sikokol/zbirka/Alg1FDN.pdf · 1 VEKTORJI V R3 1.9. Vektor 2~a−~b je pravokoten na vektor ~a+~b, vektor ~a−2~b pa je pravokoten na vektor 2~a+~b. Določi

Damjana Kokol Bukovšek

Algebra 1

Študijsko gradivo za študente prvega letnikaFinančne matematike

Ljubljana, 2011

Naslov: Algebra 1Avtor: Damjana Kokol Bukovšek1. izdajaSamozaložbaDostopno na spletnem naslovu www.fmf.uni-lj.si/∼kokol

CIP - Kataložni zapis o publikacijiNarodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana

512(0.034.2)

KOKOL-Bukovšek, DamjanaAlgebra 1 [Elektronski vir] : študijsko gradivo za študente prvega letnika

Finančne matematike / Damjana Kokol Bukovšek. - 1. izd. - El. knjiga. -Ljubljana : samozal., 2011

Način dostopa (URL): http://www.fmf.uni-lj.si/ kokol

ISBN 978-961-276-197-4 (pdf)

256853504

2

PREDGOVOR

Predgovor

Naloge v tej zbirki so namenjene študentom prvega letnika Finančne matematike zadomače delo pri predmetu Algebra 1. Večina nalog je rutinskih in bi jih moral znatirešiti vsak študent, ki je razumel snov na pedavanjih in vajah. Nekatere naloge paso malce težje in zahtevajo od študenta nekaj izvirnosti in kako idejo. Te naloge sooznačene z zvezdico (∗). Namenjene so študentom, ki želijo na izpitu doseči višjooceno (9 ali 10).

3

4

1 VEKTORJI V R3

1 Vektorji v R3

1.1. V R3 naj bodo dane točke A(5,−2, 2), B(3,−4, 6) in C(2, 1,−1).

(a) Izračunaj dolžino daljice AB.

(b) Izračunaj kot ∠BAC.

1.2. Dana sta vektorja ~a =

012

in ~b =

123

. Določi takšni števili x in y, da bo

vektor ~c =

1xy

pravokoten tako na vektor ~a kot na ~b.

1.3. Naj bosta ~a in ~b vektorja, ki oklepata kot 600 in je ||~a|| = 1, ||~b|| = 2. Označivektorja ~c = 2~a +~b in ~d = ~a + 2~b.

(a) Izračunaj 〈~a,~b〉.

(b) Pokaži, da je 〈~d,~b〉 = 3〈~c,~a〉.

(c) Izračunaj 〈~c, ~d〉.

(d) Izračunaj ||~c|| in ||~d||.

1.4. V enakokrakem trapezu naj bo dolžina daljše osnovnice enaka 2, dolžina krakovpa 1. Pri tem naj kraka z daljšo osnovnico oklepata kot 600. S pomočjovektorjev izračunaj dolžino diagonal in krajše osnovnice.

1.5. Naj bosta ~a in ~b enotska vektorja (torej vektorja dolžine 1), ki oklepata kot600. Določi takšno konstanto α, da bosta vektorja 2~a+~b in α~a+5~b pravokotna.

1.6. V trapezu ABCD sta stranici AB in CD vzporedni. V kakšnem razmerju sesekata diagonali, če velja |AB| = 3|CD| ?

1.7.∗ V tristrani piramidi ABCD z osnovno ploskvijo ABC je točka E težiščeploskve BCD, točka F pa razpolovišče stranice AC. Točka X leži na daljiciFD tako, da se daljici BX in AE sekata. V kakšnem razmerju deli točka Xdaljico FD?

1.8.∗ Paralelepiped ABCDA′B′C ′D′ ima za osnovno ploskev paralelogram ABCD,točke A′, B′, C ′ in D′ pa zaporedoma ležijo nad točkami A, B, C in D. Točka Eje presek diagonal ploskve BCC ′B′. V kakšnem razmerju odreže paralelogramBB′D′D daljico AE?

5

1 VEKTORJI V R3

1.9. Vektor 2~a−~b je pravokoten na vektor ~a+~b, vektor ~a− 2~b pa je pravokoten navektor 2~a +~b. Določi kot med vektorjema ~a in ~b.

1.10. Določi kot med vektorjema ~m in ~n, če veš, da je vektor ~a = ~m+3~n pravokotenna vektor ~b = 7~m − 5~n in je vektor ~c = ~m − 4~n pravokoten na vektor ~d =7~m− 2~n.

1.11. Izračunaj ploščino, dolžine stranic in notranje kote trikotnika z oglišči

A(1,−1, 1), B(−1, 1, 1), C(1, 0, 2) .

1.12. Vektorji ~a,~b,~c ∈ R3 naj bodo paroma pravokotni in naj velja ||~a|| = 1, ||~b|| = 2in ||~c|| = 2.

(a) Izračunaj |〈~a×~b,~c〉|.(b) Določi volumen paralelepipeda z robovi ~a + 2~b, ~b− 2~c in ~a + 3~c.

1.13. Vektorji ~a,~b in ~c so enotski vektorji in zanje velja ∠(~a,~b) = ∠(~a,~c) = 450 ter∠(~b,~c) = 600. Izračunaj volumen paralelepipeda z robovi ~a×~b,~a in ~c + 2~b.

1.14. Pokaži:〈(~a +~b)× (~b + ~c),~c + ~a〉 = 2〈~a×~b,~c〉.

1.15. Pokaži:

(~a×~b)× (~c× ~d) = 〈~a× ~c, ~d〉~b− 〈~b× ~c, ~d〉~a = 〈~a×~b, ~d〉~c− 〈~a×~b,~c〉~d.

1.16. Pokaži, da za enotska vektorja ~a,~b ∈ R3 velja enakost⟨(~a×~b)×~b, (~a×~b)× ~a

⟩= 〈~a,~b〉 − 〈~a,~b〉3 .

1.17. Naj bosta ~a,~b ∈ R3 dana nekolinearna vektorja. Reši vektorsko enačbo

~x× (~a +~b) + 〈~x,~b〉~a = 〈~x,~a〉~b

1.18. Naj bosta vektorja ~a in ~b linearno neodvisna. Reši vektorsko enačbo

~a× ~x = ~x + 〈~b, ~x〉~a .

1.19. Naj bosta ~a in ~b enako dolga vektorja v prostoru R3, ki oklepata kot 60o. Rešivektorsko enačbo

〈~a, ~x〉~a + 〈~b, ~x〉~b + ~a×~b = ~a× ~x .

1.20. Naj bosta ~a in ~b neničelna vektorja v prostoru, ki oklepata kot 30o, za njunidolžini pa velja ||~b|| =

√3||~a||. Reši vektorsko enačbo

〈~x,~a +~b〉~a + ~x×~b = 2~a×~b + 3||~a||2~b .

6

2 PREMICE IN RAVNINE V R3

2 Premice in ravnine v R3

2.1. Dana je premicap : x + 2 = y − 2 =

z

−2.

Določi enačbo premice q, ki seka p pod pravim kotom in gre skozi točkoA(0, 2, 1).

2.2. Dan je trikornik z oglišči A(1,−1, 0), B(−1, 1, 0) in C(1, 2, 3). Poišči točko,kjer višina iz B seka stranico AC.

2.3. Določi pravokotno projekcijo premice x = y = z/2 na ravnino

2x + 2y + z = 6.

2.4. Poišči enačbo ravnine, ki je pravokotna na premico

x

2=

y + 4

2= z − 3,

in je oddaljena od izhodišča za 3.

2.5. Premico, podano z enačbo

x = 2, 1− y =z − 1

2,

prezrcali čez ravnino, ki vsebuje točke A(1, 1, 2), B(0, 1, 3) in C(1, 0, 1).

2.6. Na premici p, ki je presek ravnin Π in Σ

Π : 3x− 2y + z = 2, Σ : x + y + 2z = 4

poišči točko, ki je enako oddaljena od točk A(1,−1,−1) in B(1,−1, 3).

2.7. Kocka ABCDA1B1C1D1 naj ima za spodnjo osnovno ploskev kvadrat ABCD,točke A1, B1, C1 in D1 pa naj zaporedoma ležijo nad točkami A, B, C in D.Skozi središče ploskve A1B1C1D1, središče ploskve ABA1B1 in razpoloviščedaljice BC potegnemo ravnino Σ. V kakšnem razmerju seka ravnina Σ stranicoAB?

2.8. Dan je tetraeder z oglišči

A(1,−1, 1), B(6,−3, 1), C(2,−1, 5), D(5, 1, 1).

Poišči enačbo premice p, ki seka robova AD in BC pod pravim kotom.

7

2 PREMICE IN RAVNINE V R3

2.9. Določi vse točke v prvem oktantu, ki so enako oddaljene od treh koordinatnihravnin in od ravnine 2x + y + 2z = 16.

2.10. Ravnina Σ vsebuje premico

p : x− 1 = 2y − 2 = z + 1

in se dotika nekega valja V z osjo x = y = z. Določi enačbo ravnine Σ inpolmer valja V .

8

3 MATRIKE IN SISTEMI LINEARNIH ENAČB

3 Matrike in sistemi linearnih enačb3.1. Dana je matrika

A =

[1 1 11 0 −1

].

Poišči vse take matrike B, da bo veljalo AB =

[1 00 1

].

3.2. Dana je matrika

A =

0 sin φ 0sin φ 0 cos φ

0 cos φ 0

.

Za vsako naravno število n izračunaj matriko An.


A =

0 x 0y 0 y0 x 0

.

Za vsako naravno število n izračunaj matriko An.

3.4. Poišči vse matrike A ∈ R2×2, za katere velja A2 = 0.

3.5. Določi rang matrike

A =

−2− t 4 5 + t 4 + t1 −1 −2 −1−t 3 1 + t 4 + t

v odvisnosti od parametra t.

3.6. Reši sistem enačb2x1 − 2x2 − x3 + 4x4 = 8

x1 − x2 + x3 + 2x4 = 1−x1 + x2 − 2x4 = −3

2x1 − 2x2 + x3 + 4x4 = 4

3.7. Obravnavaj sistem enačb v odvisnosti od parametra a

2x1 + 2x3 = a + 1−x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = −2a

x1 − x2 − x3 + x4 = 0x1 + x2 + 3x3 + x4 = a− 1

9


3.8. Obravnavaj sistem enačb v odvisnosti od parametra b

x1 + x2 + x3 + bx4 = 2b2x1 + 2x2 + 2x3 + bx4 = 4

2x1 + 2x2 + 2x3 + 2bx4 = 4bx1 + bx2 + x3 + x4 = 2

3.9. Dan je sistem enačbx− y + 2z − 2u = 02x− y − bz + u = 0

3x− 2y − bz + u = 2bx− y − 2z − 2au = 2c

Za katere vrednosti parametrov a, b, c je sistem rešljiv? Kdaj je enoličnorešljiv? V tem primeru poišči rešitev.

3.10. Reši enačbo [2 12 2

]X −X

[1 −11 1

]=

[1 11 −1

].

3.11. Izračunaj inverze naslednjih matrik:

(a) A =

1 2 11 3 21 4 4

(b) B =

1 1 11 2 12 2 3

(c) C =

0 0 0 10 0 1 −20 1 −2 31 −2 3 −4

(d) D =

1 1 1 11 1 −1 −11 −1 1 −11 −1 −1 1

(e) E =

1 2 −1 0 1−1 −1 1 0 −11 2 0 0 1−1 0 1 1 01 1 −1 −1 1

10


3.12. Določi vsa taka števila a, da bo matrika A obrnljiva.

A =

1 1 3 20 0 2 10 2 a 01 a 2 1

.

V tem primeru izračunaj inverz.

3.13. Dani sta matriki

A =

1 0 0 2 40 1 0 6 80 0 1 5 70 0 0 2 00 0 0 0 2

in B =

1 1 1 1 11 1 −1 −1 11 −1 1 −1 11 −1 −1 1 −11 −1 1 1 1

.

Izračunaj matriki 6A−1 + A2 ter 4B−1 + BT .


A =

[1 1−2 −1

].

Poišči matriko X ∈ R2×2, ki reši enačbo

AXAT = AT A.

3.15. Dane so matrike

A =

1 1 11 1 11 1 1

, B =

0 1 21 2 32 3 5

in C =

0 0 01 0 00 2 0

.

Reši enačboXA + XB − C = I.

3.16. Dana je matrika A =

−1 −1 20 −1 −11 0 0

. Reši matrično enačbo

AX + 2X = A + I

11

4 PERMUTACIJE

4 Permutacije4.1. Zmnoži permutacije:

(a)(

1 2 3 4 55 2 4 3 1

)·(

1 2 3 4 52 3 4 5 1

)(b)

(1 2 3 4 52 3 4 5 1

)·(

1 2 3 4 55 2 4 3 1

)(c)

(1 2 3 4 52 4 5 3 1

)·(

1 2 3 4 55 4 2 3 1

)·(

1 2 3 4 54 5 2 1 3

)(d)

(1 2 3 4 5 6 7 8 93 8 5 7 1 6 2 4 9

)·(

1 2 3 4 5 6 7 8 92 9 7 6 3 5 8 4 1

)4.2. Izračunaj inverze permutacij:

(a)(

1 2 3 4 55 2 4 3 1

)(b)

(1 2 3 4 52 3 4 5 1

)(c)

(1 2 3 4 52 4 1 3 5

)(d)

(1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 9 7 6 3 10 8 4 1 5

)4.3. Preštej inverzije in izračunaj signature permutacij:

(a)(

1 2 3 4 55 2 4 3 1

)(b)

(1 2 3 4 52 3 4 5 1

)(c)

(1 2 3 4 52 4 1 3 5

)(d)

(1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 9 7 6 3 10 8 4 1 5

)4.4. Koliko je permutacij reda 2 v množici vseh permutacij petih elementov S5?

Permutacija π je reda 2, če velja π 6= id in π2 = id.

12

5 DETERMINANTE

5 Determinante5.1. Izračunaj determinanto ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 2 1 1 11 2 2 1 11 1 2 2 11 1 1 2 21 1 1 1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

5.2. Izračunaj determinanto ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 1 0 0 01 2 1 0 00 1 2 1 00 0 1 2 10 0 0 1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

5.3. Poišči vsa taka realna števila x, za katera je determinanta∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1 11 x 1 2 11 1 x 1 11 2 1 x 11 1 1 1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣enaka 0.

5.4. Določi vsa taka realna števila x, da bo matrika A obrnljiva.

A =

1 1 1 11 2x 3 42 3 4x 53 4 5 6x

.

5.5. Izračunaj determinanto ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 0 0 0 0 01 1 1 1 0 0 0 00 1 1 1 1 0 0 00 0 1 1 1 1 0 00 0 0 0 1 1 1 00 0 0 0 1 1 1 10 0 0 0 0 1 1 10 0 0 0 0 0 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

13

5 DETERMINANTE

5.6. Reši enačbo, v kateri nastopa determinanta velikosti n× n∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 · · · 1 11 1− x 1 · · · 1 1

1 1 2− x. . . 1 1

...... . . . . . . . . . ...

1 1 1. . . n− 2− x 1

1 1 1 · · · 1 n− 1− x

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

5.7. Izračunaj determinanto velikosti n× n∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−1 1 0 0 · · · 0 00 −1 1 0 · · · 0 00 0 −1 1 · · · 0 0

0 0 0 −1. . . 0 0

......

... . . . . . . . . . ...

0 0 0 0. . . −1 1

1 1 1 1 · · · 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣5.8. Izračunaj determinanto velikosti n× n∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 1 1 · · · 1 11 0 1 · · · 1 1

1 1 0. . . 1 1

...... . . . . . . . . . ...

1 1 1. . . 0 1

1 1 1 · · · 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣5.9.∗ Izračunaj determinanto velikosti 2n× 2n∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 · · · 0 1 0 0 · · · 00 2 · · · 0 2 0 0 · · · 0...

... . . . ......

......

...0 0 · · · n− 1 n− 1 0 0 · · · 01 2 · · · n− 1 n n + 1 n + 2 · · · 2n0 0 · · · 0 n + 1 n + 1 0 · · · 00 0 · · · 0 n + 2 0 n + 2 · · · 0...

......

......

... . . . ...0 0 · · · 0 2n 0 0 · · · 2n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

.

14

5 DETERMINANTE

5.10.∗ Dana je matrika A = [aij]ni,j=1 ∈ Rn×n. Naj bo

p(x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 + x a12 + x · · · a1n + xa21 + x a22 + x · · · a2n + x

...... . . . ...

an1 + x an2 + x · · · ann + x

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .

(a) Dokaži, da je p linearen polinom v spremenljivki x.(b) Dokaži: p(x) = (1− x) detA + xp(1).

5.11. Izračunaj determinanto velikosti n× n∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

5 2 0 · · · 02 5 2 · · · 00 2 5 · · · 0...

...... . . . ...

0 0 0 · · · 5

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

5.12.∗ Izračunaj determinanto velikosti n× n∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

3 2 0 0 0 · · ·1 3 1 0 0 · · ·0 2 3 2 0 · · ·0 0 1 3 1 · · ·...

......

...... . . .

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

5.13. Izračunaj determinanto velikosti 2n× 2n∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a 0 · · · 0 b0 a · · · b 0...

... . . . ......

0 b · · · a 0b 0 · · · 0 a

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

5.14. S pomočjo Kramerjevega pravila reši sistem enačb:

x1 + x2 +2x3 = −12x1 − x2 +2x3 = −44x1 + x2 +4x3 = −2

.

15

5 DETERMINANTE

5.15. Izračunaj inverz matrike

A =

1 1 1 −11 −1 1 11 1 −1 11 −1 −1 −1

s pomočjo prirejenke.

16

6 GRUPE, KOLOBARJI, OBSEGI

6 Grupe, kolobarji, obsegi6.1. Pokaži, da je množica

{a + b√

3; a, b ∈ Q, a2 + b2 6= 0}

grupa za množenje.

6.2.∗ Na potenčni množici dane množice M definiramo simetrično razliko množic spravilom:

A4B = (A \B) ∪ (B \ A).

Pokaži, da je potenčna množica za dano operacijo grupa.

6.3.∗ Naj za a, b, c, d ∈ R velja ad− bc = 1. V množici R∪{∞} smiselno definiramooperacije s številom ∞ (tako, da so ustrezna pravila skladna z limitami).

(a) Pokaži, da je vsaka preslikava oblike

f : R ∪ {∞} → R ∪ {∞}, f(x) =ax + b

cx + d

bijekcija.

(b) Pokaži, da vse možne preslikave iz točke (a) tvorijo grupo za komponiranjepreslikav.

6.4. Pokaži, da množica ostankov pri delitvi s 6, označimo jo z Z6, ni grupa zamnoženje; množica Z7 \ {0} pa je grupa za moženje.

6.5. Naj bo

G = {z ∈ C; z = 2k(cos(mπ

√2) + i sin(mπ

√2)

), k, m ∈ Z},

Pokaži, da je G podgrupa v grupi (C \ {0}, ·) neničelnih kompleksnih števil zaobičajno množenje.

6.6. Dani sta grupi (G, ∗) in (H, ◦). V množici G×H definiramo operacijo

(g1, h1) · (g2, h2) = (g1 ∗ g2, h1 ◦ h2) .

Pokaži, da je množica G×H je grupa za to operacijo.

6.7.∗ Naj bo (G, +) komutativna grupa, A pa poljubna množica. Naj bo f : G → Abijektivna preslikava. Dokaži, da je A komutativna grupa za operacijo

s ◦ t = f(f−1(s) + f−1(t)).

17

6 GRUPE, KOLOBARJI, OBSEGI

6.8. Naj bo

G = {z ∈ C; z = 2k(cos(mπ

√2) + i sin(mπ

√2)

), k,m ∈ Z},

H = {(x, y) ∈ R2; x, y ∈ Z} .

Pokaži, da je preslikava f : H → G, podana s pravilom

(x, y) 7→ 2x(cos(yπ

√2) + i sin(yπ

√2)

),

izomorfizem grup G in H.

6.9. Naj bo

G =

{A ∈ R2,2; A =

[a b0 1

], a, b ∈ R, a 6= 0

},

H =

{A ∈ G; A =

[1 b0 1

]}.

Pokaži, da je G grupa za množenje matrik, H pa njena podgrupa edinka.

6.10.∗ Dokaži:

(a) Grupa Z2 × Z2 ni izomorfna grupi Z4.

(b) Grupa Z2 × Z5 je izomorfna grupi Z10.

6.11. Dopolni tabelici seštevanja in množenja tako, da dobiš kolobar z enoto:

+ a b c da a cb b cc ad c

· a b c da a a a ab a bc a cd a d c

6.12. Sestavi tabelo za seštevanje, množenje in invertiranje v obsegu Z7

18

7 EVKLIDOV ALGORITEM, POLINOMI

7 Evklidov algoritem, polinomi7.1. Določi celi števili x in y, ki zadoščata enačbi

102x + 125y = 1 .

7.2. Določi celi števili x in y, ki zadoščata enačbi

152x− 231y = 1 .

7.3. (a) Izračunaj inverz števila 15 v Z17.

(b) Izračunaj inverz števila 27 v Z61.

7.4. Določi takšna polinoma p(x) in q(x), da za vsak x velja enakost

(x3 + 2)p(x) + (x2 − x)q(x) = 6 .

7.5. Določi takšna polinoma a(x) in b(x), ki rešita polinomsko enačbo

(x5 + 2x3 + 2x2)a(x) + (x2 + 1)b(x) = 1 .

7.6. Poišči največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik naslednjih parovpolinomov p in q:

(a) p(x) = x4 − 6x2 + 8x− 3, q(x) = 2x4 − 3x3 − x2 + 3x− 1.

(b) p(x) = x3 + 3x2 + 2x, q(x) = x4 + 7x3 + 17x2 + 17x + 6.

7.7.∗ Poišči polinom najnižje stopnje, ki pri deljenju z x+2 da ostanek 3, pri deljenjuz (x + 1)2 pa ostanek −3x. Določi vse polinome s to lastnostjo.

19

8 VEKTORSKI PROSTORI

8 Vektorski prostori8.1. Pokaži, da je množica

A = {p ∈ Rn[x], p(x) = p(1− x)}

vektorski podprostor v prostoru Rn[x] polinomov stopnje največ n.

8.2. Naj bodo vektorji x, y, z, w ∈ R6 linearno neodvisni. Pokaži, da so tudi vektorji

x + y − z, x + z − w, x + 2z, y + z + w

linearno neodvisni.

8.3. Ugotovi, ali je množica

{x2 + 3x− 2, x2 + 4x− 3, x2 + 2x + 1}

linearno neodvisna.

8.4. Dan je vektorski prostor

U = Lin

23−14

,

1212

,

4718

,

11−22

.

Poišči njegovo bazo in dimenzijo.

8.5. Dana je množica U ⊂ R3

U =

x

yz

, x− t(y + 2z − 2) = 4

.

Določi parameter t tako, da bo U vektorski podprostor v R3. Poišči bazoprostora U .

8.6. Dana je matrika J =

[0 01 1

]∈ R2×2 in množica

U = {A ∈ R2×2; AJT + JAT = 0}.

Pokaži, da je U vektorski podprostor v prostoru vseh realnih 2 × 2 matrik.Poišči njegovo bazo in dimenzijo.

20


8.7. Dana je množica

U =

{X ∈ R2×2 ;

[0 12 1

]X = X

[0 12 1

]}.

Pokaži, da je U vektorski podprostor v prostoru vseh realnih 2 × 2 matrik.Poišči njegovo bazo in dimenzijo.

8.8. V prostoru R3[x] polinomov stopnje največ 3 je dana množica

V = {p ∈ R3[x]; p′′(1) = p′(1), p(1) = 0}.

Pokaži, da je V vektorski podprostor v R3[x]. Poišči njegovo bazo in dimenzijo.

8.9. Dan je vektorski podprostor

U = {p ∈ R3[x], p(1) = p(−1), p′′(0) = 2p(1)}

v prostoru R3[x] polinomov stopnje največ 3. Poišči kakšno bazo prostora Uin določi dimU .

8.10.∗ Naj bo n ≥ 4 in Rn[x] vektorski prostor vseh polinomov stopnje največ n.Dana je množica

U = {p ∈ Rn[x]; p(1) = p(−1), p′′(0) = 2p(1)}.

(a) Dokaži, da je U vektorski podprostor v Rn[x].(b) Poišči kakšno bazo prostora U in določi dimU .(c) Dopolni bazo U do baze vsega Rn[x].

8.11. V prostoru R4 sta dana podprostora U in V . Prostor U ima bazo

B1 =

11−11

,

1−100

prostor V pa bazo

B2 =

1012

,

20−11

.

Poišči bazi podprostorov U ∩ V in U + V .

21


8.12. Dana sta vektorska podprostora

U = {p ∈ R3[x] : p(−1) = p(1) = 0} in

V = {p ∈ R3[x] : p′′′(0) = p′(0) = 0}v prostoru R3[x] polinomov stopnje največ 3. Poišči baze prostorov U + V inU ∩ V .

8.13. Dana sta vektorska podprostora

U = {p ∈ R3[x], p(0) = p′(0) = 0}

inV = Lin{x3 − x + 1, x3 − x2, x2 − x + 1}

v prostoru R3[x] polinomov stopnje največ 3. Poišči baze prostorov U , V ,U + V in U ∩ V .

8.14. V prostoru R3[x] polinomov stopnje največ 3 sta dana podprostora

U = Lin{x3 − x− 1, x2 + x + 1, x3 − x2 − 2x− 2}

inV = {p(x) = ax3 + bx2 + bx− a; a, b ∈ R}.

Poišči baze podprostorov U, V, U + V in U ∩ V .

8.15. V prostoru R3[x] polinomov stonje največ 3 sta dana podprostora

U = {p ∈ R3[x], p(1) = p(−1), p′′(0) = 2p(1)}

inV = Lin{x2, 1}.

Poišči bazi prostorov U + V in U ∩ V .

8.16. V prostoru R4 je dana baza

B =

11−11

,

1−100

,

00−11

,

0011

.

Poišči vektor koeficientov razvoja vektorja

x =

20−13

po tej bazi.

22


8.17. Podprostor U v R4 ima bazo

B =

1012

,

0110

,

20−11

.

Pokaži, da je vektor

x =

1−1−3−1

element prostora U in poišči njegov vektor koeficientov razvoja po bazi B.

8.18. Podprostor U v prostoru R3[x] ima bazo

B = {x3 − x− 1, x2 + x + 1, x3 − x2 − 2x}.

Pokaži, da je polinomp(x) = 2

element prostora U in poišči njegov vektor koeficientov razvoja po bazi B.

8.19. V prostoru R4 je dana baza

B =

11−11

,

1−100

,

00−11

,

0011

.

Poišči prehodno matriko iz baze B v standardno bazo prostora R4 in prehodnomatriko iz standardne baze v bazo B.

8.20. Vektorski prostor U ima bazi

B1 =

10−11

,

01−11

in

B2 =

2−1−11

,

11−22

.

Poišči prehodno matriko iz baze B1 v bazo B2 in prehodno matriko iz baze B2

v bazo B1.

23


8.21. Prostor R2[x] ima bazeS = {x2, x, 1},

B1 = {x2 − x− 1, x + 1, x2 + 1}

inB2 = {x2 + x + 1, 2x2 + x, x2 − 2}.

Poišči prehodne matrike PB1S , PB2S , PSB1 , PSB2 , PB1B2 in PB2B1 .

24

9 LINEARNE PRESLIKAVE

9 Linearne preslikave9.1. Naj bo preslikava A : R3 → R3 dana s predpisom

A

x1

x2

x3

=

2x1 − 2x2 − x3

x1 − x2 + x3

−x1 + x2

.

Ugotovi, ali je linearna.

9.2. Naj bo preslikava A : R3 → R3 dana s predpisom

A~x = 〈~x, ~x〉~x.


9.3. Naj bo preslikava A : R2[x] → R2[x] dana s predpisom

(Ap)(x) = x2p(1

x).


9.4. Naj bo linearna preslikava A : R3 → R3 dana s predpisom

A

xyz

=

3x− y + zx− y − 2z−2x− 3z

.

Poišči kaki bazi za jedro in sliko preslikave A.

9.5. Dana sta vektorja ~a,~b ∈ R3. Naj bo A : R3 → R3 preslikava dana s predpisom

A~x = 〈~x,~a〉~b + 2〈~x,~b〉~a.

Pokaži, da je A linearna preslikava. V primeru

~a =

110

, ~b =

011

.

poišči kaki bazi za jedro in sliko preslikave A.

9.6. Dan je vektor ~a ∈ R3

~a =

121

.

Naj bo linearna preslikava A : R3 → R3 dana s predpisom

A~x = 〈~x,~a〉~a.


25


9.7. Pokaži, da je preslikava A : R2[x] → R2[x] podana s predpisom

(Ap)(x) = (x2 − x)p′′(x) + (2x− 1)p′(x)

linearna. Določi njeno jedro in sliko.

9.8. Dana je linearna preslikava A : R2[x] → R2[x]

(Ap)(x) = (x− 2)(p′(x) + xp(1)).

Določi njeno jedro in sliko.


A =

[1 10 1

]in linearna preslikava T : R2×2 → R2×2

T (X) = AX −XA.

Poišči kaki bazi za jedro in sliko preslikave T .

9.10. Naj bo A pravokotna projekcija na premico v R3 z enačbo

x

−2= y =

z

−1.

Določi jedro in sliko preslikave A.

9.11. Linearna preslikava A : R4 → R3 ima v standardnih bazah matriko

A =

1 3 1 41 2 1 32 2 2 4

.


9.12. Dana sta vektorja ~a,~b ∈ R3

~a =

110

, ~b =

011

.

Naj bo A : R3 → R3 linearna preslikava dana s predpisom

A~x = 〈~x,~a〉~b + 2〈~x,~b〉~a.

Poišči matriko za A v standardni bazi prostora R3.

26



(Ap)(x) = (x2 − 2)(p′(x) + xp(−1)

).

Poišči njeno matriko v bazah B1 = {x2, x, 1} za R2[x] in B2 = {x3, x2, x, 1} zaR3[x].

9.14. Linearna preslikava A : R2[x] → R2[x] je podana s predpisom

(Ap)(x) = (x2 − x)p′′(x) + (2x− 1)p′(x)

Poišči matriko, ki pripada A v bazi {x2, x, 1}.


(Ap)(x) = (x− 2)(p′(x) + xp(1)).

Poišči njeno matriko v bazi {x2, x, 1}.

9.16. Pokaži, da je preslikava T : R2×2 → R2×2 podana s predpisom

T (X) =

[1 12 1

]X

linearna. Poišči matriko, ki pripada T v bazi{[1 00 0

],

[0 10 0

],

[0 01 0

],

[0 00 1

]}.


A =

[1 10 1

]in linearna preslikava T : R2×2 → R2×2

T (X) = AX −XA.

Poišči matriko preslikave T v bazi

B =

{[1 00 0

],

[0 10 0

],

[0 01 0

],

[0 00 1

]}.

9.18. Linearna preslikava A : R2[x] → R2[x] ima v bazi {1, x, x2} matriko

AS =

1 1 00 1 20 0 1

.

Poišči njeno matriko v bazi {1 + x, x + x2, 1 + x2}.

27


9.19.∗ Linearna preslikava TA : R2×2 → R2×2 je podana s predpisom

TA(X) := AXA−1 ,

kjer je A neka obrnljiva matrika iz R2×2. Določi vse matrike A, za katerepreslikavi TA v bazi {E11, E12, E21, E22} prostora R2×2 ustreza matrika

T =

1 0 2 02 −1 4 −20 0 −1 00 0 −2 1

.

9.20. Linearni preslikavi A : R3 → R3 pripada v standardni bazi S matrika

AS =

1 1 00 1 12 0 1

.

Kakšna matrika ji pripada v bazi

B =

0

12

,

10−1

,

110

?

9.21. Linearna preslikava A : R3 → R3 ima v bazi

B =

1

21

,

211

,

100

matriko

AB =

2 0 00 1 00 0 −1

.

Poišči njeno matriko v standardni bazi prostora R3.

9.22. Linearna preslikava A : R3 → R3 je podana s predpisom

A

xyz

=

2x− z−x + y − 3z−x− 2z

.

(a) Poišči matriko, ki pripada A v standardni bazi prostora R3.

28


(b) Poišči matriko, ki pripada A v bazi B =

3

01

,

2−1−2

,

100

.

9.23. Dani so vektorji

~a =

120

, ~b =

110

, ~c =

001

.

Linearna preslikava A : R3 → R3 deluje takole

A~a = ~a +~b, A~b = 2~a, A~c = ~c.

Poišči matriki za to linearno preslikavo v bazi B = {~a,~b,~c} in v standardnibazi prostora R3.

9.24. V prostoru R2[x] so dani polinomi

p1(x) = x + 1, p2(x) = x2 + x, p3(x) = x2 + x + 1.

Poišči prehodno matriko iz baze B = {p1, p2, p3} na standardno bazo S ={x2, x, 1}. Za linearno preslikavo A : R2[x] → R2[x] velja

Ap1 = p2 + p3, Ap2 = p2, Ap3 = p1.

Poišči njeno matriko v bazi B in matriko v bazi S.

9.25. Naj bo A : R3 → R3 zrcaljenje čez ravnino x− y− z = 0. S pomočjo prehodana novo bazo poišči matriko tega zrcaljenja v standardni bazi prostora R3.

9.26. Naj bo A : R3 → R3 pravokotna projekcija na premico x = y = −z/2 = 0. Spomočjo prehoda na novo bazo poišči matriko te projekcije v standardni baziR3.

9.27. Linearna preslikava A : R3 → R3 deluje takole:

A

1−1−1

=

311

, A

11−1

=

201

, A

102

=

−121

.


9.28. Dana je preslikava A : R2[x] → R2[x]

(Ap)(x) = (x2 − 2)p(1)− xp′(x).

Poišči njeno matriko v bazi S = {1, x, x2} in v bazi B = {1 + x, x + x2, x2}.

29


9.29. Dana je preslikava A : R2[x] → R2[x]

(Ap)(x) = (x− 2)(p′(x) + xp(1)).

Določi matriko zaA : (R2[x],B1) → (R2[x],B2)

v bazah

B1 = {1, x− 1, x2 − 3}, B2 = {x2 − 2x, x− 2, 1}.

30

10 LASTNE VREDNOSTI IN LASTNI VEKTORJI

10 Lastne vrednosti in lastni vektorji10.1. Dana je matrika

A =

2 −2 11 −1 10 0 1

.

Poišči njene lastne vrednosti in pripadajoče lastne vektorje. Ali je matrika Apodobna kakšni diagonalni matriki? Kateri? Poišči še prehodno matriko.

10.2. Izračunaj lastne vrednosti in lastne vektorje matrike

C =

[i 0i −i

].

10.3. Matrika

A =

2 −1 a0 b 0−1 c −1

ima dvojno lastno vrednost 1. Lastni podprostor pri tej lastni vrednosti jenapet na vektorja 1

10

in

131

.

Določi števila a, b in c. Poišči tretjo lastno vrednost in lastni vektor.

10.4. Matrika

A =

1 −2 0a 4 00 b c

.

ima lastne vrednosti 1, 2 in 3. Lastni vektor pri lastni vrednosti 2 je 2−11

.

Določi števila a, b in c.

10.5. Naj bosta a, b ∈ R in b 6= 0. Poišči lastne vrednosti matrike

A =

a b 0 00 a 0 00 0 a 00 0 0 a

.

ter njihove algebraične in geometrične večkratnosti. Poišči tudi lastne vektorjein lastne podprostore.

31

10 LASTNE VREDNOSTI IN LASTNI VEKTORJI

10.6. Poišči lastne vrednosti in pripadajoče lastne podprostore matrike

A =

1 −1 2 −2−2 0 −1 10 0 2 00 0 0 2

.

Ali je matrika A podobna kakšni diagonalni matriki?

10.7.∗ Naj bodo a1, a2, ..., an dani linearno neodvisni vektorji iz Rn. O linearni pres-likavi A vemo:

A : Rn → Rn ;

Aa1 = a2, A2a1 = a3, ..., An−1a1 = an, Ana1 = a1 .

Določi lastne vrednosti, lastne vektorje in karakteristični polinom preslikaveA.

10.8. Dana je preslikava F : R2×2 → R2×2

FX =

[0 11 0

]X −X

[1 01 0

].

Določi njene lastne vrednosti in lastne vektorje.

10.9.∗ Naj bosta a in b linearno neodvisna vektorja iz Rn in matrika C = abT + baT .Pokaži, da je

Lin{a, b}⊥ = {x ∈ Rn | 〈x, a〉 = 〈x, b〉 = 0}

lastni podprostor matrike C za lastno vrednost 0. Določi še ostale lastnevrednosti in lastne vektorje.

10.10.∗ Za realni 2× 2 matriki

A =

[a bc d

]in B =

[x yz t

]naj bo

A⊗B =

ax bx ay bycx dx cy dyaz bz at btcz dz ct dt

.

Dokaži, da velja: če je λ lastna vrednost za A in µ lastna vrednost za B, potemje λµ lastna vrednost za A⊗B.

32

11 SCHUROV IZREK IN MINIMALNI POLINOM

11 Schurov izrek in minimalni polinom11.1. Dana je matrika

A =

0 2 −1−1 −3 1−1 −2 0

.

Poišči njej podobno zgornje trikotno matriko in prehodno matriko.


A =

0 1 0−1 2 01 1 1

.



A =

0 −1 0 01 2 0 00 1 0 01 0 2 2

.



A =

−1 1 0 1−1 1 1 00 0 −1 20 0 0 1

.

Izračunaj karakteristični in minimalni polinom matrike A. Ali je matrikapodobna kakšni diagonalni matriki?


A =

1 1 1 10 1 1 10 0 1 10 0 0 1

.

Izračunaj karakteristični in minimalni polinom matrike A. Ali je matrikapodobna kakšni diagonalni matriki?


A =

1 0 1 −11 0 1 −11 0 1 −11 0 1 −1

.

33

11 SCHUROV IZREK IN MINIMALNI POLINOM

Izračunaj karakteristični in minimalni polinom matrike A. Ali je matrikapodobna diagonalni matriki?

11.7. Izračunaj karakteristični in minimalni polinom matrike

A =

0 1 −1 1−1 2 −1 10 0 1 −10 0 0 0

.


A =

0 −1 −3 31 −2 2a− 2 2− a0 0 2a− 1 −a0 0 4a −1− 2a

.

Izračunaj karakteristični in minimalni polinom matrike A v odvisnosti odparametra a.


A =

0 1 2a− 1 a−1 2 4a 2a + 10 0 2 10 0 −1 0

.

Izračunaj karakteristični in minimalni polinom matrike A v odvisnosti odparametra a.

34

12 JORDANOVA KANONIČNA FORMA

12 Jordanova kanonična forma12.1. Poišči Jordanovo kanonično formo matrike

A =

−1 −3 −90 5 180 −2 −7

.

Določi še prehodno matriko.

12.2. Poišči Jordanovo kanonično formo matrike

A =

0 0 −3 20 0 −2 1−3 2 0 0−2 1 0 0

.

Določi še prehodno matriko.

12.3. Poišči Jordanovo kanonično formo in prehodno matriko za matriko

A =

1 0 0 −11 2 0 20 0 2 0−1 −1 0 0

.


A =

0 1 2a− 1 a−1 2 4a 2a + 10 0 2 10 0 −1 0

.

Poišči njeno Jordanovo kanonično formo v odvisnosti od parametra a. Zaa = 0 poišči tudi prehodno matriko.

12.5. O linearni preslikavi A : R10 → R10 vemo naslednje: edini lastni vrednostista 1 in 2. Lastni podprostor za 1 je trirazsežen, lastni podprostor za 2 jedvorazsežen. Velja še

rang(A− I)5 = rang(A− I)4 = 3 .

Kolikšna je razsežnost jedra preslikave (A− I)2? Napiši vse možne Jordanovekanonične forme za A.

35

12 JORDANOVA KANONIČNA FORMA

12.6.∗ Matrika A ima karakteristični in minimalni polinom

pA(λ) = (λ2 − 1)6, mA(λ) = (λ2 − 1)2(λ− 1).

Poleg tega velja še:

dim ker (A2 − I) = 7, dim ker (A2 − I)2 = 10.

Poišči karakteristični in minimalni polinom preslikave A2 ter Jordanovo kanon-ično formo preslikav A2 in A.


A =

2 −3 11 −2 10 0 1

.

Izračunaj A11 + A4 + A2000.


A =

[15 −714 −6

].

Poišči matriko B, za katero velja B3 = A.

12.9. Izračunaj exp(A) za matriko

A =

1 4 42 2 1−2 −1 0

.

12.10.∗ Matrika A = [aij]ni,j=1 je spodnjetrikotna matrika (to je aij = 0 za i < j), ima

diagonalne elemente paroma različne, velja pa

ea11 = ea22 = ... = eann .

Izračunaj exp(A).

36

13 SKALARNI PRODUKT

13 Skalarni produkt13.1. Podprostor V in vektor ~v prostora R4 (opremljenega s standardnim skalarnim

produktom) sta dana takole:

V = Lin

1100

,

0110

,

1−111

, ~v =

0004

.

Poišči ortonormirano bazo za V in izračunaj pravokotno projekcijo vektorja ~vna podprostor V .

13.2. V prostoru R3 z običajnim skalarnim produktom je dan podprostor

W = Lin

1

0−1

,

012

.

Poišči ortonormirano bazo prostora W . Poišči pravokotno projekcijo vektorja 030

na podprostor W .

13.3. Pokaži, da je ⟨[xy

],

[ab

]⟩= 2xa + xb + ya + yb

skalarni produkt na vektorskem prostoru R2. Poišči kako ortonormirano bazoprostora R2.

13.4. V prostoru R2[x] polinomov stopnje največ 2 je dan predpis

〈p, q〉 = p(0)q(0) + p(1)q(1) + p(2)q(2).

Pokaži, da je to skalarni produkt. Poišči kako ortonormirano bazo prostoraR2[x].

13.5. V prostoru R2[x] polinomov stopnje največ 2 opremljenim s skalarnim produk-tom

〈p, q〉 = p(0)q(0) + p(1)q(1) + p(−1)q(−1)

sta dana podprostor V in polinom p

V = Lin{x2 − 1, x− 1}, p(x) = x2.

Poišči ortonormirano bazo za V in izračunaj pravokotno projekcijo polinomap na podprostor V .

37

13 SKALARNI PRODUKT

13.6. V prostoru R2[x] polinomov stopnje največ 2 je dan skalarni produkt

〈p, q〉 = p(0)q(0) + p(1)q(1) + p(−1)q(−1)

in podprostorU = Lin{x2 − 1, x2 − 2x + 1}.

Poišči kako ortonormirano bazo prostora U in jo dopolni do ortonormiranebaze prostora R2[x].


〈p, q〉 = p(0)q(0) +

∫ 1

0

p′(x)q′(x)dx.

Poišči kako ortonormirano bazo podprostora

V = {p ∈ R3[x]; p(x) = ax + bx3, a, b ∈ R}.


〈p, q〉 = p(−1)q(−1) + p(0)q(0) + 3p(1)q(1).

Poišči kakšno ortonormirano bazo podprostora

V = {p ∈ R2[x]; p(1) = p′(−1)}.

13.9. Vektorski prostor R2[x] je opremljen s skalarnim produktom

〈p, q〉 = p(−1)q(−1) + p(0)q(0) + p(1)q(1).

Naj bo V = Lin{1 + x}. Poišči V ⊥!

13.10. V prostoru Lin{1, cos t, sin t} je dan skalarni produkt

〈f, g〉 =

∫ π

0

f(t)g(t)dt.

Določi pravokotno projekcijo funkcije cos t na prostor V = Lin{sin t, 1−cos t}.

38

14 ADJUNGIRANE PRESLIKAVE

14 Adjungirane preslikave14.1. Prostor R2 opremimo s skalarnim produktom⟨[

x1

x2

],

[y1

y2

]⟩= x1y1 − x1y2 − x2y1 + 2x2y2.

Naj linearni preslikavi A : R2 → R2 v standardni bazi pripada matrika

A =

[1 21 1

].

Izračunaj

A∗[

11

].


〈p, q〉 = p(0)q(0) + p(1)q(1) + p(−1)q(−1).

Naj bo A : R2[x] → R2[x] linearna preslikava, dana s predpisom

(Ap)(x) = xp′(x) .

Določi A∗(x2 − 1).


〈p, q〉 = p(0)q(0) + p(1)q(1) + p(−1)q(−1).

Naj bo A : R2[x] → R2[x] linearna preslikava dana s predpisom

(Ap)(x) = p′(x) .

Določi A∗(x2 − x− 1).

14.4. Prostor R2 opremimo s skalarnim produktom⟨[x1

x2

],

[y1

y2

]⟩= 3x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2.

Naj linearni preslikavi A : R2 → R2 v standardni bazi pripada matrika

A =

[1 −1−2 2

].

Poišči matriko preslikave A∗ v standardni bazi prostora R2.

39

14 ADJUNGIRANE PRESLIKAVE

14.5. V prostoru R2 je dan skalarni produkt⟨[x1

x2

],

[y1

y2

]⟩= 2x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2.

Poišči matriko preslikave A∗ v standardni bazi, če ima preslikava A v stan-dardni bazi matriko [

1 01 1

].


A =

−1 0 00 1 20 2 1

.

Poišči ortonormirano bazo prostora R3, sestavljeno iz lastnih vektorjev matrikeA.


A =

1 1 1 11 1 −1 −11 −1 1 −11 −1 −1 1

.

Poišči ortonormirano bazo prostora R4, sestavljeno iz lastnih vektorjev matrikeA.

14.8. Naj bo A : R3 → R3 sebi adjungirana linearna preslikava, ki ima lastnovrednost −2. Za vsak vektor u, ki leži na ravnini x + z = 0 velja Au = 2u.Poišči njeno matriko v standardni bazi prostora R3.

14.9. Sebi adjungirana linearna preslikava A : R3 → R3 ima dvojno lastno vrednost2 in velja

A

11−1

=

−1−11

.


14.10. Naj bo A : R3 → R3 sebi adjungirana linearna preslikava, ki ima lastnovrednost 3. Za vsak vektor v, ki leži na ravnini x + y = 0, velja Av = −v.Poišči matriko preslikave A v standardni bazi prostora R3.

40

15 NORMALNE PRESLIKAVE

15 Normalne preslikave15.1. Naj bo

A =

0 0 i0 1 0−i 0 0

∈ C3×3.

Ali je matrika A sebi adjungirana, ali je normalna, ali je unitarna, ali je pozi-tivno definitna?


A =

2 0 00 1 −i0 i 3

∈ C3×3.

Ali je matrika A sebi adjungirana, ali je normalna, ali je unitarna, ali je pozi-tivno definitna?


A =

[1 a2 b

]∈ R2×2.

(a) Poišči vse vrednosti parametrov a in b tako, da bo matrika sebi adjungirana.(b) Poišči vse vrednosti parametrov a in b tako, da bo matrika normalna.

15.4. Določi manjkajoča števila v matriki A tako, da bo unitarna.

A =1

3

2i ∗ ∗2i −i ∗1 −2 −2i

.

Ali je tako dobljena matrika sebi adjungirana, ali je normalna?

15.5. Izračunaj lastne vrednosti in lastne vektorje matrike

A =

[i i0 −i

].

Pokaži, da sta lastna vektorja pravokotna v skalarnem produktu⟨[x1

x2

],

[y1

y2

]⟩= 2x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2.

Ali je matrika A v tem skalarnem produktu normalna, ali je sebi adjungirana,ali je unitarna?

41

15 NORMALNE PRESLIKAVE


A =1

2

−1 0 −√

30 2 0√3 0 −1

.

Pokaži, da predstavlja rotacijo. Izračunaj os in kot rotacije.


A =1√2

1 −1 0

0 0√

21 1 0

.

Pokaži, da predstavlja zrcalno rotacijo. Izračunaj os in kot rotacije ter zrcalnoravnino.

15.8. Naj bo V končnorazsežen realen vektorski prostor s skalarnim produktom 〈., .〉in a, b ∈ V dana vektorja.(a) Pokaži, da je preslikava A : V → V

Ax = 〈x, a〉b

linearna in določi preslikavo A∗.(b) Kdaj je preslikava A sebi adjungirana?(c) Kdaj je preslikava A normalna?

15.9.∗ Naj bosta x, y neničelna vektorja evklidskega prostora V . Pokaži, da obstajataka pozitivno definitna preslikava A, za katero je Ax = y natanko takrat, koje 〈x, y〉 > 0.

15.10. (a) Poišči normalni matriki A, B ∈ C2×2 za kateri matrika AB ni normalna.(b) Naj bosta A, B ∈ Cn×n normalni matriki, za kateri velja AB∗ = B∗A.Dokaži, da je matrika AB normalna.

42

16 KVADRATNE FORME

16 Kvadratne forme16.1. Katero krivuljo v ravnini predstavlja enačba

−3x2 − 8xy + 3y2 = 20 ?

Poišči njene glavne osi in polosi ter jo nariši.

16.2. Katero krivuljo v ravnini prestavlja enačba

19x2 − 6xy + 11y2 = 10 ?

Poišči njene glavne osi in polosi ter jo nariši.

16.3. Nariši krivuljo3x2 − 4xy = 4 .

16.4. Nariši krivuljo9x2 − 4xy + 6y2 = 10 .

16.5. Katero ploskev v prostoru predstavlja enačba

2y2 − 3z2 + 4xz = 1 ?

Poišči njene glavne osi in polosi.

16.6. Katero ploskev v prostoru prestavlja enačba

x2 + y2 + 2√

2xz = 1 ?



y2 − 2xy + 2yz = 1 ?



x2 + 2y2 + z2 + 4xy + 2xz − 4yz = 1 ?



−y2 + 3z2 − 4xz = 1 ?



x2 + z2 − 2xy + 2yz = 1 ?


43

REŠITVE

Rešitve1.1. (a) 2

√6.

(b) cos ∠BAC = −√

23

.

1.2. x = −2, y = 1.

1.3. (a) 1.

(b) Izračunaj, da je 〈~d,~b〉 = 9, 〈~c,~a〉 = 3.

(c) 15.

(d) ||~c|| = 2√

3, ||~d|| =√

21.

1.4. Dolžina diagonal:√

3, dolžina krajše osnovnice: 1.

1.5. α = −4.

1.6. 3 : 1.

1.7. 1 : 2.

1.8. 2 : 1.

1.9. cos ∠(~a,~b) = −√

1010

.

1.10. 600.

1.11. plABC =√

3, ||AB|| = 2√

2, ||AC|| =√

2, ||BC|| =√

6,∠A = 600, ∠B = 300, ∠C = 900.

1.12. (a) 4.

(b) 4.

1.13. 1.

1.17. ~x = α(~a +~b + ~a×~b).

1.18. Če je 〈~a,~b〉 = −1, potem je ~x = α~a, sicer je ~x = 0.

1.19. ~x = −45~a +~b− 3

5~a×~b .

1.20. ~x = 2~a + 29~b + 2~a×~b.

2.1. x2

= z − 1, y = 2.

2.2. B′(1, 0, 1).

44

REŠITVE

2.3. x− 1 = y − 1 = z−2−4

.

2.4. 2x + 2x + z = ±9.

2.5. x−22

= 1− y, z = 1.

2.6. T (1, 1, 1).

2.7. 3 : 1.

2.8. x− 3 = y−2

= z−12

.

2.9. T1(2, 2, 2) in T2(8, 8, 8).

2.10. Ravnina ima enačbo x− z = 2, polmer valja je√

2.

3.1. B =

e 1 + f1− 2e −1− 2f

e f

.

3.2. A2k =

sin2 φ 0 sin φ cos φ0 1 0

sin φ cos φ 0 cos2 φ

, A2k+1 = A.

3.3. B =

1 0 10 2 01 0 1

, A2k = 2k−1xkykB, A2k+1 = 2kxkykA.

3.4. A =

[0 0c 0

], kjer je c ∈ R poljuben, ali

A =

[a b−a2

b−a

], kjer je a ∈ R poljuben in b 6= 0.

3.5. Če je t = 1, je rangA = 2, če je t 6= 1, je rangA = 3.

3.6. x2, x4 sta parametra, x1 = 3 + x2 − 2x4, x3 = −2.

3.7. Če je a = 1, je sistem rešljiv, x3 je parameter, x1 = 1−x3, x2 = −2x3, x4 = −1Če je a 6= 1, sistem ni rešljiv.

3.8. Če je b = 0, sistem ni rešljiv.Če je b = 1, je sistem rešljiv, x2, x3 sta parametra, x1 = 2− x2 − x3, x4 = 0.Če je b 6= 0, 1, je sistem rešljiv, x3 je parameter, x1 = 2b−2b2+4

b− x3, x2 =

2b−4b

, x4 = 4b−4b

.

45

REŠITVE

3.9. Sistem je rešljiv, če velja a 6= −1 ali a = −1 in c = 2b.Sistem je enolično rešljiv, če velja a 6= −1.x = b2−ab2−bc−2ab−4b+c

a+1, y = b2−ab2−bc−4ab−6b+c

a+1, z = b−c−ab

a+1, u = 2b−c

a+1.

3.10. X =

[1 −1/2

−1/2 1/2

].

3.11. (a) A−1 =

4 −4 1−2 3 −11 −2 1

.

(b) B−1 =

4 −1 −1−1 1 0−2 0 1

.

(c) C−1 =

0 1 2 11 2 1 02 1 0 01 0 0 0

.

(d) D−1 = 14

1 1 1 11 1 −1 −11 −1 1 −11 −1 −1 1

.

(e) E−1 =

−1 −1 1 −1 −11 1 0 0 0−1 0 1 0 00 −1 0 0 −1−1 −1 0 1 1

.

3.12. a 6= 2 in a 6= −1

A−1 = 1a2−a−2

a2 −2a2 + a + 2 a −a− 2−a a −1 a2 −2 a− 1 −2−4 a2 − a + 2 −2a + 2 4

.

3.13. 6A−1 + A2 = 7I, 4B−1 + BT =

3 1 3 3 −13 1 −1 −1 −33 −3 3 −1 −11 −1 −3 1 3−1 3 −1 −3 5

.

3.14. X = A−1AT A(A−1)T =

[13 −21−21 34

].

46

REŠITVE

3.15. X = (I + C)(A + B)−1 =

−2 0 1−2 3 −11 4 −3

.

3.16. X = (A + 2I)−1(A + I) =

−1 −2 11 1 −11 1 0

.

4.1. (a)(

1 2 3 4 52 4 3 1 5

).

(b)(

1 2 3 4 51 3 5 4 2

).

(c)(

1 2 3 4 55 2 3 1 4

).

(d)(

1 2 3 4 5 6 7 8 98 9 2 6 5 1 4 7 3

).

4.2. (a)(

1 2 3 4 55 2 4 3 1

).

(b)(

1 2 3 4 55 1 2 3 4

).

(c)(

1 2 3 4 53 1 4 2 5

).

(d)(

1 2 3 4 5 6 7 8 9 109 1 5 8 10 4 3 7 2 6

).

4.3. (a) inv = 8, sgn = 1.(b) inv = 4, sgn = 1.(c) inv = 3, sgn = −1.(d) inv = 26, sgn = 1.

4.4. 25.

5.1. 4.

5.2. 6.

5.3. x = 0, x = 1, x = 2.

5.4. x 6= 1 in x 6= −1/2.

5.5. 1.

5.6. x = 0, x = 1, ..., x = n− 2.

47

REŠITVE

5.7. (−1)n−1(n− 1).

5.8. (−1)n−1n.

5.9. −(2n)!(2n− 1).

5.11. 4n+1−13

.

5.12. 2n+1 − 1.

5.13. (a2 − b2)n.

5.14. x1 = 1, x2 = 2, x3 = −2.

5.15. A−1 = (1/4)AT .

7.1. x = 38, y = −31.

7.2. x = 38, y = 25.

7.3. (a) 15−1 = 8.

(b) 27−1 = 52.

7.4. p(x) = −x + 3, q(x) = x2 − 2x− 2.

7.5. a(x) = 15(x− 2), b(x) = 1

5(−x4 + 2x3 − x2 + 5).

7.6. (a) (x− 1)2, 2x6 + x5 − 13x4 + 10x3 + 8x2 − 11x + 3.

(b) x2 + 3x + 2, x5 + 7x4 + 17x3 + 17x2 + 6x.

7.7. −3x2 − 9x− 3. Vsi polinomi s to lastnostjo so oblike 3 + (x + 2)(3x(x + 1) +(x + 1)2r(x)), kjer je r poljuben polinom.

8.3. Da.

8.4. baza U =

23−14

,

1212

, dim U = 2.

8.5. t = 2, baza U =

2

10

,

401

.

8.6. baza U =

{[1 −10 0

],

[0 01 −1

]}, dim U = 2.

48

REŠITVE

8.7. baza U =

{[1 00 1

],

[0 12 1

]}, dim U = 2.

8.8. baza U = {x3 + 3x− 4, x2 − 1}, dim U = 2.

8.9. baza U = {x3 − x, x2}, dim U = 2 .

8.10. Če je n sodo število, je baza U = {xn − 1, nn−1 − x, ..., x4 − 1, x3 − x, x2}.Če je n liho število, je baza U = {xn − x, nn−1 − 1, ..., x4 − 1, x3 − x, x2}.dim U = n− 1.baza Rn[x] = baza U ∪ {x, 1}.

8.11. baza U + V =

11−11

,

1−100

,

1012

, baza U ∩ V =

20−11

.

8.12. baza U + V = {x3 − x, x2 − 1, x2}, baza U ∩ V = {x2 − 1}.

8.13. baza U = {x3, x2}, baza V = {x3 − x + 1, x3 − x2} ,baza U + V = {x3, x2, x3 − x + 1}, baza U ∩ V = {x3 − x2}.

8.14. baza U = {x3 − x− 1, x2 + x + 1}, baza V = {x3 − 1, x2 + x} ,baza U + V = {x3 − x− 1, x2 + x + 1, x3 − 1, x2 + x}, baza U ∩ V = {}.

8.15. baza U + V = {x3 − x, x2, 1}, baza U ∩ V = {x2}.

8.16. xB =

1111

.

8.17. xB =

−1−11

.

8.18. pB =

−111

.

8.19. PSB =

1 1 0 01 −1 0 0−1 0 −1 11 0 1 1

, PBS = 12

1 1 0 01 −1 0 0−1 −1 −1 10 0 1 1

.

49

REŠITVE

8.20. PB2B1 = 13

[1 −11 2

], PB1B2 =

[2 1−1 1

].

8.21. PSB1 =

1 0 1−1 1 0−1 1 1

, PSB2 =

1 2 11 1 01 0 −2

, PB1S =

1 1 −11 2 −10 −1 1

,

PB2S =

−2 4 −12 −3 1−1 2 −1

, PB2B1 =

−5 3 −34 −2 3−2 1 −2

,

PB1B2 =

1 3 32 4 30 −1 −2

.

9.1. Da.

9.2. Ne.

9.3. Da.

9.4. Baza Ker A =

−3−72

, baza Im A =

3

1−2

,

−1−10

.

9.5. Baza Ker A =

1−11

, baza Im A =

0

11

,

231

.

9.6. Baza Ker A =

−2

10

,

−101

, baza Im A =

1

21

.

9.7. Ker A = Lin{1}, Im A = Lin{6x2 − 4x, 2x− 1}.

9.8. Ker A = Lin{x2 − 3}, Im A = Lin{x2 − 2x, x2 − x− 2}.

9.9. Baza Ker A =

{[0 10 0

],

[1 00 1

]}.

9.10. Ker A = Lin

1

20

,

011

, Im A = Lin

−2

1−1

.

50

REŠITVE

9.11. Baza Ker A =

−1010

,

−1−101

.

baza Im A =

1

12

,

322

.

9.12. A =

0 2 21 3 21 1 0

.

9.13. A =

3 −1 10 1 0−6 2 −20 −2 0

.

9.14. A =

6 0 0−4 2 00 −1 0

.

9.15. A =

3 1 1−6 −1 −20 −2 0

.

9.16. T =

1 0 1 00 1 0 12 0 1 00 2 0 1

.

9.17. T =

0 0 1 0−1 0 0 10 0 0 00 0 −1 0

.

9.18. A = 12

3 3 2−1 −1 21 3 0

.

9.19. A =

[a 2a0 −a

], kjer je a ∈ R.

51

REŠITVE

9.20. AB =

0 3 3−2 5 43 −4 −2

.

9.21. AS =

−1 −1 50 3 −20 1 0

.

9.22. AS =

2 0 −1−1 1 −3−1 0 −2

, AB =

7 −4 16 −3 1−28 24 −3

.

9.23. AB =

1 2 01 0 00 0 1

, AS =

2 0 05 −1 00 0 1

.

9.24. AB =

0 0 11 1 01 0 0

, AS =

−2 3 −1−1 2 00 0 1

.

9.25. AS = 13

1 2 22 1 −22 −2 1

.

9.26. AS = 16

1 1 −21 1 −2−2 −2 4

.

9.27. AS = 16

8 −3 −76 −3 36 0 0

.

9.28. AS =

−2 −2 −20 −1 01 1 −1

, AB =

−4 −4 −23 3 2−1 −3 −3

.

9.29. AB2B1 =

1 0 00 1 00 0 0

.

10.1. λ1,2 = 1, λ3 = 0, v1 =

−101

, v2 =

210

, v3 =

110

,

52

REŠITVE

da, D =

1 0 00 1 00 0 0

, P =

−1 2 10 1 11 0 0

.

10.2. λ1 = i, λ2 = −i, v1 =

[21

], v2 =

[01

].

10.3. a = 2, b = 1, c = 1, λ3 = 0, v1 =

−101

.

10.4. a = 1, b = −1, c = 1.

10.5. λ1,2,3,4 = a, a(a) = 4, g(a) = 3,

v1 =

1000

, v2 =

0010

, v3 =

0001

, La = Lin

1000

,

0010

,

0001

.

10.6. λ1,2,3 = 2, λ4 = −1,

L2 = Lin

1−100

,

0011

, L−1 = Lin

1200

, ne.

10.7. λ = 1 je edina (realna) lastna vrednost, če je n lih, če pa je n sod, sta 1 in −1lastni vrednosti. Lastni vektor za 1 je a1 + a2 + · · · + an, l. vektor za −1 (čeje n sod) pa je a1 − a2 + a3 − · · · − an.

10.8. Lastne vrednosti: -2, -1, 1, 0. Lastni vektorji:[−1 01 0

],[

1 −1−1 1

],[−1 1−1 1

],[

1 01 0

].

10.9. λ1,2 = 〈a, b〉 ± ||a|| · ||b||. v1,2 = ±||b||a + ||a||b.

11.1. B =

−1 0 −10 −1 10 0 −1

, P =

1 0 00 1 0−1 −2 1

.

11.2. B =

1 2 10 1 −10 0 1

, P =

0 1 10 1 01 0 0

.

53

REŠITVE

11.3. B =

1 0 0 −10 0 0 −10 0 2 10 0 0 1

, P =

1 0 0 1−1 0 0 0−1 1 0 01 −1 1 0

.

11.4. mA(λ) = λ4 − λ2, pA(λ) = λ4 − λ2, ne.

11.5. pA(λ) = mA(λ) = (λ− 1)4, ne.

11.6. pA(λ) = λ4 − λ3, mA(λ) = λ2 − λ, da.

11.7. pA(λ) = λ(λ− 1)3, mA(λ) = λ(λ− 1)2.

11.8. pA(λ) = (λ+1)4, če a 6= 0, je mA(λ) = (λ+1)4, če a = 0, je mA(λ) = (λ+1)3.

11.9. pA(λ) = (λ−1)4, če a 6= 0, je mA(λ) = (λ−1)4, če a = 0, je mA(λ) = (λ−1)2.

12.1. J =

−1 0 00 −1 10 0 −1

, P =

0 −9 01 18 0−1

3−6 1

.

12.2. J =

−1 1 0 00 −1 0 00 0 1 10 0 0 1

, P =

1 −1

2−1 −1

2

1 0 −1 01 −1

21 1

2

1 0 1 0

.

12.3. J =

1 1 0 00 1 1 00 0 1 00 0 0 2

, P =

−1 −1 −2 01 0 0 00 0 0 10 1 1 0

.

12.4. Če je a 6= 0, je J =

1 1 0 00 1 1 00 0 1 10 0 0 1

. Če je a = 0, je J =

1 1 0 00 1 0 00 0 1 10 0 0 1

,

P =

1 0 1 −10 0 1 0−1 −1 0 01 0 0 0

.

12.5. dim ker(A−I)2 ∈ {5, 6}. Možne jordanske forme: Za lastno vrednost 2 imamovedno eno 1× 1 in eno 2× 2 kletko. Za lastno vrednost 1 imamo naslednje trimožnosti za kletke: (a) ena 1× 1, dve 3× 3, (b) dve 2× 2, ena 3× 3, (c) ena1× 1, ena 2× 2, ena 4× 4.

54

REŠITVE

12.6. pA2(λ) = (λ − 1)12, mA2(λ) = (λ − 1)3. A2 ima edino lastno vrednost 1,Jordanova kanonična forma za A2 pa ima 4 kletke velikosti 1 × 1, eno kletkovelikosti 2× 2 in 2 kletki velikosti 3× 3. Kanonična forma za A ima dve kletkivelikosti 3×3 za lastno vrednost 1, za lastno vrednost −1 pa imamo eno kletkovelikosti 2× 2 in štiri velikosti 1× 1.

12.7.

4 −3 11 0 10 0 3

.

12.8.[

3 −12 0

].

12.9.

e 4e 4e2e 6e 5e−2e −5e −4e

.

12.10. exp(A) = ea11I.

13.1. ONBV =

1/√

2

1/√

200

,

−1/

√6

1/√

6

2/√

60

,

1/2−1/21/21/2

, projV ~v =

1−111

.

13.2. ONBW =

1/

√2

0

−1/√

2

,

1/√

3

1/√

3

1/√

3

, projW~v =

111

.

13.3. ONB =

{[1/√

20

],

[−1/

√2√

2

]}.

13.4. ONB ={1/√

3, (x− 1)/√

2, (3x2 − 6x + 1)/√

6}.

13.5. ONBV ={x2 − 1, 1

2(x− x2)

}, projV p = 1

2(x2 − x).

13.6. ONBU ={x2 − 1, 1

2(x2 − x)

}, ONBR2[x] =

{x2 − 1, 1

2(x2 − x), 1

2(x2 + x)

}.

13.7. ONBV ={

x,√

52

(x3 − x)}

.

13.8. ONBV ={

12x, 1√

21(x2 + x− 3)

}.

13.9. V ⊥ = Lin {2− 3x, 5x2 − 2x− 2}.

13.10. π2

3π2−16(cos t + 4

πsin t− 1).

55

REŠITVE

14.1.[

32

].

14.2. 0.

14.3. −6x2 − 12x + 4.

14.4.[

1 −1−2 2

].

14.5.[

2 1−1 0

].

14.6.

1

00

,

0

1/√

2

−1/√

2

,

0

1/√

2

1/√

2

.

14.7.

1/√

2

1/√

200

,

1/√

6

−1/√

6

2/√

60

,

1/2

√3

−1/2√

3

−1/2√

3

3/2√

3

,

−1/21/21/21/2

.

14.8.

0 0 −20 2 0−2 0 0

.

14.9.

1 −1 1−1 1 11 1 1

.

14.10.

1 2 02 1 00 0 −1

.

15.1. Je sebi adjungirana, je normalna, je unitarna, ni pozitivno definitna.

15.2. Je sebi adjungirana, ni unitarna, je normalna, je pozitivno definitna.

15.3. (a) a = 2, b poljuben,(b) a = 2, b poljuben ali a = −2, b = 1.

15.4. A = 13

2i 2i 12i −i −21 −2 −2i

, ni sebi adjungirana, je normalna.

56

REŠITVE

15.5. λ1 = i, λ2 = −i, v1 =

[10

], v2 =

[1−2

],

je normalna, ni sebi adjungirana, je unitarna.

15.6. Os x = z = 0, ϕ = 2π3

.

15.7. Os x1−√

2= −y = z, ϕ = arccos 2+

√2

4, zrcalna ravnina (1−

√2)x− y + z = 0.

15.8. (a) A∗x = 〈x, b〉a,(b) kadar sta vektorja a in b linearno odvisna,(c) kadar sta vektorja a in b linearno odvisna.

16.1. Hiperbola, v1 =

[21

], v2 =

[−12

], a = 2, b = 2 .

16.2. Elipsa, v1 =

[−31

], v2 =

[13

], a = 1/

√2, b = 1 .

16.5. Enodelni hiperboloid,

v1 =

−102

, v2 =

010

, v3 =

201

, a = 1/2, b = 1/√

2, c = 1 .


v1 =

−10√2

, v2 =

010

, v3 =

√2

01

, a = 1, b = 1/√

2, c = 1 .

16.7. Hiperbolični valj,

v1 =

−1−10

, v2 =

−121

, v3 =

101

, a = 1, b = 1/√

2 .


v1 =

−111

, v2 =

−1−21

, v3 =

101

, a = 1/√

2, b = 1/2, c = 1/√

2 .

16.9. Dvodelni hiperboloid,

v1 =

−102

, v2 =

201

, v3 =

010

, a = 1/2, b = 1, c = 1 .

57

REŠITVE


v1 =

−1−21

, v2 =

−111

, v3 =

101

, a = 1, b = 1/√

2, c = 1.

58

KAZALO

KazaloPredgovor 3

1 Vektorji v R3 5

2 Premice in ravnine v R3 7

3 Matrike in sistemi linearnih enačb 9

4 Permutacije 12

5 Determinante 13

6 Grupe, kolobarji, obsegi 17

7 Evklidov algoritem, polinomi 19

8 Vektorski prostori 20

9 Linearne preslikave 25

10 Lastne vrednosti in lastni vektorji 31

11 Schurov izrek in minimalni polinom 33

12 Jordanova kanonična forma 35

13 Skalarni produkt 37

14 Adjungirane preslikave 39

15 Normalne preslikave 41

16 Kvadratne forme 43

Rešitve 44

59

Documents

Algebra 1 - fmf.uni-lj.sikokol/zbirka/Alg1FDN.pdf · 1 VEKTORJI V R3 1.9. Vektor 2~a−~b je pravokoten na vektor ~a+~b, vektor ~a−2~b pa je pravokoten na vektor 2~a+~b. Določi