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1
[ ][ ] [ ] ( )
, ,
, ,
z x y z
z x y z x y z
yp zp zp xp
y p z p p z p x i yp xp i L− −
− −
= − −
= + = − − =
[ ], , , ,x y z y x z z x z y x zL L yp zp zp xp yp zp xp zp zp xp−− − −
= − − = − − −
[ ]
,
,
,
x y z
y z x
z x y
L L i L
L L i L
L L i L
−
−
−
=
= =
( ),x y x y y x zzL L L L L L L L i L
etc
= − = ∧ =
L L i L∧ =
Componenti del momento angolare
Algebra del momento angolare
2 2 2 2_ _[ , ] [ , ] 0x y zL L L L L L= + + =
2 , , ,
, ,z
L m m
L m m m
λ λ λ
λ λ
=
=
Abbiamo visto che:
I matematici parlano di algebra quando si hanno operazioni + e *
2 2 2 2
2 2 2
,quanto vale ?
. . ha autovalori , intero,ma non si possono sommare perche' non hanno autovettori comuni
x y z
x
L L L L
N B L m m
λ= + +
2 2 2 2_ _[ , ] [ , ] 0x y zL L L L L L= + + =
1
2
Troveremo che gli autostati e gli autovalori del momento angolare sono diaposti secondo lo schema:
Le ampiezze Ylm(θ,φ)= <θ,φ|l,m> si chiamano armoniche sferiche.
0 01
1 01
l m
l m
= =
= = −
21
2 012
l m
= = −
−
2 , ( 1) , , , , , conzL l m l l l m L l m m l m= + =
Insomma e' un intero positivo, m un intero non superiore in modulo a
ll
Tutto discende in modo elegante dalle regole di commutazione.
2
3
[ ] ( ) ( )
†
Poiche'
Definizione: shift op
,
erators .
, ,
( ) , ( ) ,
( 1) . S
,
,operando con ambedue i membri s
,
u
i ,
z z x y y x x y
z
z
z
x y x y
z
L L L L iL i L iL L iL L
L L
L L iL L L iL L
m
L L L
L
L m L m LL m
L
m
m
L
L m
λ
λ λλ
λ
+ +
+ +
+
+
+
+
− +
+ + + +
= + = − = + =
≡ + ≡ − =
= + = +
= +
⇒ = +
e' trovato che
, e' autostato di con autovalore ( 1).
Unica alternativa: , 0.zL m L m
L m
λ
λ+
+
+⇒
=
2 , , ,
, ,z
L m m
L m m m
λ λ λ
λ λ
=
= [ ]
,
,
,
x y z
y z x
z x y
L L i L
L L i L
L L i L
−
−
−
=
= =
, , 1L m C mλ λ+ +⇒ = +
3
4
2
2 2
2
2
2 2
2
Poiche' commuta con le componenti di L
, 0, , 0
commuta anche con
, 0.
, deve appartenere allo stesso autovalore :
, , ,
, autostato di con auto
x y
L
L L L L
L L
L L
L m
L L m L L m L m
L m L
λ λ
λ λ λ λ
λ
+
+
+
+ + +
+
= =
=
= =
valore , come , .mλ λ
5
[ ] ( )
†
,
Analogamente, per l'operatore di shift si ha:
( ) , ( ) ,
( 1)
, autostato di con autovalore ( 1)
,
,
,
x y
z z
z z x y y x
z z
z
L L L L iL i L i iL L
L L L
L L iL L
L L L L m L m LL
m
m
L m L
L m
L m
L
m
λ
λ
λ λ
λ
− −
− − −
− +
−−
−
− − −
−
= − = − − =
≡ − =
= − = −
=
− ⇒
−
−
⇒
⇒ −
=
Unica alternativa: , 0.L mλ− =
2 , , ,
, ,z
L m m
L m m m
λ λ λ
λ λ
=
= [ ]
,
,
,
x y z
y z x
z x y
L L i L
L L i L
L L i L
−
−
−
=
= =
5
6
2
2 2
2
2
2 2
2
Poiche' commuta con le componenti di L
, 0, , 0
commuta anche con
, 0.
, deve appartenere allo stesso autovalore :
, , ,
, ' autostato di con a
x y
L
L L L L
L L
L L
L m
L L m L L m L m
L m e L
λ λ
λ λ λ λ
λ
−
−
−
− − −
−
= =
=
= =
utovalore , come , .mλ λ
, , 1L m C mλ λ− −=⇒ −
si chiamano pertanto operatori di spostamento.±L
7
2 22 2 2 2 22 , , , , , ., , x y z zm LL m Lm m mL m L mλ λ λ λλ λ λ λ= + == +⇒
Si puo’ far salire m senza limiti, per un dato λ ?Classicamente il quadrato di una componente non puo’ eccedere L2. Nemmeno quantisticamente puo’! Infatti,
2 22 2 2 2 2, , , , .x y z zm L m m L m mL Lλ λ λ λ λ= ≥ =+ +
x
22
2
2
2
I quadrati delle componenti sono positivi:espandendo in autostati di L ,nel sotto spazio , L , , , con L , ,
, , , , 0
Allo stesso modo, , , 0, quindix
x x x x x x x x
x xm
x
y
m m m m m m
m m m m mL
Lm m
λ λ λ λ λ
λ λ λ λ
λ λ
= =
= ≥
≥
∑
∑
Le relazioni , , 1 permettono di ottenere qualsiasi m con fisso?
L m C mλ λλ
± ±= ±
7Assegnato λ, m e’ limitato superiormente.
8
Sia max , intero 0 e funzione di .l m λ= ≥
Assegnato λ, m e’ limitato superiormente. Dobbiamo determinare gli m possibili per un dato λ.
A un certo punto la crescita deve finire , 0L lλ+ =
Da qui possiamo trovare l’autovalore λ di L2 .
, , 1
come puo' essere vero se , 1 non esiste, senza portare a errori?
L l m C l m
l m+ += +
+
8
[ ]
2 2
2 2 2 2
( )( ) ( )e per le regole di commuta
, , ,
zione
( )
x y x y x y y x x y
x y z x y z
x y z y z x z x y
L L L iL L iL L L i L L L L
L L L L i i L
L L i L L L i L L L L
L L
i
L−− −
+ −
+ −
= = =
= + − = + + −
= + + = +
− +
2 2z zL L L L L+ − = − +
zz LLLLL −−=+−22
E analogamente
2zAggiungendo e togliendo L
9
10
2Quindi, ( 1) con max . Agendo con L allo stesso modo si trova min m=-l.
l l l mλ
−
= + =
Nondimeno, si usa denotare gli autostati con |l,m> anziche’ con |l(l + 1),m>. Basta intendersi!
2 2
2 2
2 2 2
Applichiamo a , per max la relazione sali-scendi
Imponendo , 0
( ) , 0 implica
, ( ) , ( 1) , con m=l
z z
z z
z
l l m L L L L L
L l
L L L l
L l L L l m m l
λ
λ
λ
λ λ λ
− +
+
= = − −
=
− − =
= − = +
Le ampiezze Ylm(θ,φ)= <θ,φ|l,m> si chiamano armoniche sferiche.
0 01
1 01
l m
l m
= =
= = −
21
2 012
l m
= = −
−
2 , , ,
, ,z
L m m
L m m m
λ λ λ
λ λ
=
=
10
11
* *Viene , ( ) , 1 , , 1x yl m L iL C l m l m L C l m± ±= ± ⇒ = ±
Prendere il coniugato di , ( ) , , 1x yL l m L iL l m C l m± ±= ± = ±
222 ||,, ±=− CmlLLLml zz
Abbiamo visto che , ( ) , , 1x yL l m L iL l m C l m± ±= ± = ± Troviamo .C±
2, , | |l m L L l m C± ±=
Prendiamo il prodotto scalare con , ( ) , , 1x yL l m L iL l m C l m± ±= ± = ±
2 2 2 2Usando z z z zL L L L L L L L L L− + + −= − − = − +
[ ]2 2 ( 1) ( 1)C l l m m±⇒ = + − ±
, ( 1) ( 1) , 1L l m l l m m l m±⇒ = + − ± ±
Matrici degli operatori di shift
11
12
Matrici del momento angolare
( ) ( )1 2 1 2
2 2 2 21 1 2 2 1 1 , ,, 1 , e quindi 1 l l m mL l m l l m l m L l m l lλ δ δ= + = +
1 2 1 21 1 2 2 1 , ,, , e quindi z z l l m mL l m m l m l m L l m m δ δ= =
1 2 1 21 1 2 2 1 1 2 2 , , 1( 1) ( 1) l l m ml m L l m l l m m δ δ± ±= + − ±
Abbiamo visto che:
1 0 00 0 00 0 1
zL = −
Per l=1 sulla base |11>,|10>,|1,-1>
1 0 01,1 0 1,0 1 1, 1 0
0 0 1
→ → − →
1,1 1,0 1, 1−
1,11,01, 1−
12
Esempio L=1
13
†
0 0 0
2 0 0
0 2 0
L L− +
= =
2 2x yL L L LL L
i+ − + −+ −
= =
0 01 02 0 0
y
iL i i
i
− = −
1 0 00 0 00 0 1
zL = −
0 1 01 1 0 12 0 1 0
xL =
1, 1 2 1,0 1,0 2 1,1 1,1 0L L L+ + +− = = =
1,1 1,0 1, 1−
1,11,01, 1−
0 2 0
0 0 20 0 0
L+
=
13
14
0 1 01 1 0 12 0 1 0
xL =
0 01 02 0 0
y
iL i i
i
− = −
1 0 00 0 00 0 1
zL = −
1L =
2
1 0 11 0 2 02
1 0 1xL
=
2
1 0 11 0 2 02
1 0 1yL
− = −
2
1 0 02 0 1 0
0 0 1L
=
In generale, in termini di matrici di rango 2l+1, possiamo rappresentare ilmomento angolare sulla base delle armoniche |l,m>. Le matrici di L hanno le stesse regole di commutazione degli operatori del momento angolare e gli stessi autovalori; formano una rappresentazione del momento angolare.
[ ]
,
,
,
x y z
y z x
z x y
L L i L
L L i L
L L i L
−
−
−
=
= =
14
15
Problemi stazionari in 3 dimensioniLe equazioni differenziali alle derivate parziali sonomolto piu difficili da risolvere di quelle ordinarie,a meno che non si possano separare le variabili. Questo accade quando c’e’ molta simmetria e noi disponiamo di un sistema di coordinate adatto.
Una prima separazione e’ quella che portaall'equazione per gli stati stazionari, ed e’ permessaquando H non dipende dal tempo.
ˆ ˆ( , ) ( , ), ( , ) ( ,0) ( ,0) ( ,0)
set completo (teoria di Fourier)
iEt
iEt
H x t i x t x t x e H x E xdt
e
−
−
∂Ψ = Ψ Ψ = Ψ ⇒ Ψ = Ψ
⇒
Per fortuna alcuni fra i problemi stazionari piu’ interessanti sono separabili in coordinate cartesiane o in coordinate sferiche.
16
L’equazione degli stati stazionari
2 2 2 2
2 2 22V E
m x y z ∂ ∂ ∂
− + + Ψ + Ψ = Ψ ∂ ∂ ∂
si separa se ( , , ) ( ) (y) ( )x y zV x y z U x U U z= + +
( ) ( )Poniamo ( , , ) ( ) .x y z X x Y y Z zΨ =
2 2 2 2
2 2 22X YZ XZ Y XY Z VXYZ EXYZ
m x y z ∂ ∂ ∂
− + + + = ∂ ∂ ∂
dividiamo per XYZ
2 2 2
2 2 2 21 1 1 2X mY Z V EX x Y y Z z
∂ ∂ ∂+ + + = −
∂ ∂ ∂
2 2 2
2 2 2 21 1 1 2
x y zX mU Y U Z U E
X x Y y Z z ∂ ∂ ∂
+ + + + + = − ∂ ∂ ∂
Separazione variabili- Coordinate Cartesiane
17
2 2 2
2 2 2 21 1 1 2
x y zX mU Y U Z U E
X x Y y Z z ∂ ∂ ∂
+ + + + + = − ∂ ∂ ∂
dipende da x dipende da y dipende da z costante
Come puo’ essere?2 2 2
2 2 2 21 1 1 2
x y zX mU Y U Z U E
X x Y y Z z ∂ ∂ ∂
+ + + + + = − ∂ ∂ ∂
22 ε−
xm
22 ε−
ym
22 ε−
zm
x y z Eε ε ε+ + =
2
2
2
2
2
2
1 ( )( )1 ( )( )1 ( )( )
x x
y y
z z
X U xX x x
Y U yY x y
Z U zZ z z
ε
ε
ε
∂+ = ∂
∂ + = ∂ ∂
+ =∂
2
2
2
2
2
2
( ) ( ) ( ) Set completo ( )con
( ) ( ) ( ) Set completo Y ( )con
( ) ( ) ( ) Set completo Z ( )con
x x n nx
y y m my
z z p pz
X U x X x X x X xx
Y U y Y x Y x xyZ U z Z z Z z z
z
ε ε
ε ε
ε ε
∂+ = ⇒ ∂
∂+ = ⇒ ∂
∂+ = ⇒
∂
( ) ( )
( ) ( )
La piu' generale soluzione e'
( , , ) ( , , ) ( ) .
ˆAutostati di H:( ) con E=E
m n pmnp
m n p mnp nx my pz
x y z a m n p X x Y y Z z
X x Y y Z z ε ε ε
∞
Ψ =
= + +
∑
Quando U=Ux(x)+Uy(y)+Uz(z) i moti lungo i 3 assi sono indipendenti; classicamente prenderemmo ilprodotto delle probabilita’, qui viene il prodotto delle ampiezze, che significacomunque indipendenza statistica.
18
− < < − < < − < <=
∞
0, , , ,( , , ) 2 2 2 2 2 2, altrimenti
y yx x z zL LL L L Lx y zV x y z
Esempio: scatola parallelepipeda a pareti infinite
ψ
ε ε ε
=
= + +
( , , ) ( ) ( ) ( )x y z x y z
x y z x y z
n n n n n n
n n n n n n
x y z u x u y u z
E
π
πε
= +
=
2 2 2
2
2 1( ) sin ( )2
, eanaloghe per y,z2
x
x
xn x
x x
xn
x
nu x x L
L L
nmL
2xL
2xL
−
Fattore che dipende da x
19
20
222222 333115 ++=++
Nel caso cubico molti livelli sono degeneri (piu’ stati con la stessa E) , ad esempio
E511 = E151 = E115 = E333
La simmetria porta degenerazione
ε ε ε
ππ πε ε ε
= + +
= = =
2 2 22 2 2 2 2 2
2 2 2, , ,2 2 2
x y z x y z
x y z
n n n n n n
yx zn n n
x y z
E
nn nmL mL mL
21
( )2 2 2
2 2 2 2 2 2
, ,
12 2
x y z x y z
x y zx y z
n n n n n n
p p pH m x y z
mE
ω ω ω
ε ε ε
+ += + + +
= + +
Oscillatore in 3 dimensioni
( )ω ω
ε ε
+= + +
= +
2 22 2 2 2
, ,
12 2
x y z x y
x yx y
n n n n n
p pH m x y
mE
Oscillatore in 2 dimensioni
Isotropia degenerazione
Coordinate Cilindriche
2 2
arctan( )
r x yy
xz z
θ
= +
=
=
Da Cartesiane a Cilindriche:
Da Cilindriche a Cartesiane:
cossin
con[0, ] ; [0, 2 ] ; [ , ]
x ry rz z
r z
θθ
θ π
===
∈ ∞ ∈ ∈ −∞ +∞
Separazione in coordinate cilindriche e sferiche
22
cossin
x ry r
θθ
==
rx x r x
ry y r y
θθ
θθ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= +∂ ∂ ∂ ∂ ∂
2
1Usando arctg( )1
d tdt t
=+
2 2
arctan( )
r x yy
xθ
= +
=
2 2
cos( )sin( )yy xip
y r r x y r rθθ
θ θ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= = + = +∂ ∂ + ∂ ∂ ∂
Impulso in coordinate Cilindriche:
2 2
sin( )ip cos( )xx y
x r r x y r rθθ
θ θ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= = − = −∂ ∂ + ∂ ∂ ∂
23
cossin
x ry r
θθ
==
rx x r x
ry y r y
θθ
θθ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= +∂ ∂ ∂ ∂ ∂
sin( )Usando ip cos( )x r rθθ
θ∂ ∂
= −∂ ∂
2 2
arctan( )
r x yy
xθ
= +
=
cos( )sin( )yipr r
θθθ
∂ ∂= +
∂ ∂
2 2
2 2
sin( ) sin( )(cos( ) )(cos( ) )
cos( ) cos( )(sin( ) )(sin( ) ).
x y r r r r
r r r r
θ θθ θθ θ
θ θθ θθ θ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ = − −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂
+ + +∂ ∂ ∂ ∂
22 2
2I termini in danno [ cos( ) sin( ) ] r r r r r
θ θ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Laplaciano in coordinate Cilindriche:
24
2 2 22 2
2 2 2 2 2
I termini in danno
1 1 sin( ) cos( ) sin( ) cos( ) sin( ) cos( )r r
θ θ
θ θ θ θ θ θθ θ θ θ θ
∂ ∂∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
2 2
2 2
sin( ) sin( )(cos( ) )(cos( ) )
cos( ) cos( )(sin( ) )(sin( ) ).
x y r r r r
r r r r
θ θθ θθ θ
θ θθ θθ θ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ = − −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂
+ + +∂ ∂ ∂ ∂
2 2
termini misti in danno 0, quelli in
1 1 1cos( ) sin( )
Ir r
r r r r r r
θ θ
θ θ
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂+ =
∂ ∂ ∂
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1(r ) .x y r r r r r r r rθ θ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⇒ + = + + = +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
25
( ) ( )
2 2
Nei problemi a simetria cilindrica H=- ( , z)2
e' ciclica e L commuta quindi , , ,imz m
Um
i z e zθ
ρ
θ ψ ρ θ ψ ρθ
∇+
∂= − =
∂
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
laplaciano in cordinate cilindriche1 1(r ) .
x y z r r r r zθ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + = + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
26
27
( ) ( )( ) ( )
( )
sin cossin sin
cos
x ry r
z r
θ φθ φ
θ
= =
=
2 2 2
2 2 2arccos
arctan
r x y z
zx y z
yx
θ
φ
= + + = + +
=
x
2 sindV r d d drθ θ φ=
x
y
z r
θ
φ
Coordinate sferiche
28
coordinate sferiche
( ) ( )( ) ( )
( )
sin cossin sin
cos
x ry r
z r
θ φθ φ
θ
= = =
2 2 2
2 2 2arccos
arctan
r x y z
zx y z
yx
θ
φ
= + + = + +
=
x
y
z r
θ
φ
2 2 2
2 2 2sin( ) cos( ), etc.
x y zr xx x x y z
θ φ∂ + +∂
= = →∂ ∂ + +
2 2 2 22
2 2 2
2 2 22
2 2 22 2 2
3 32 2 2 2 2 2 2 2
1 1Usando arccos( ) , ( )1 1 ( )
1 1
1 ( ) 1
( ) .
d d d ztdt dx dxzt x y z
x y zr
z z x yx y zx y z
d z zx d r zx zxdx r dx rx y z x y r x y
θ
θ
= − = −− + +−
+ +
= =+− −
+ ++ +
= ⇒ = =+ + + + 28
Jacobiano della trasformazione sferiche -> cartesiane:
2
2 2 2 2
1arctan ; arctan( ) 1
sin( ) cos( )=- = 0.sin( ) sin( )
y d tx dt ty x
x x y r y x y r z
φ
φ φφ φ φθ θ
= = + ∂ ∂ ∂
= − = =∂ + ∂ + ∂
sin( ) cos( ) sin( )sin( ) cos( )cos( ) cos( ) cos( )sin( ) sin( )
sin( ) cos( ) 0sin( ) sin( )
r r rx y z
Jx y z r r r
r rx y z
θ φ θ φ θθ θ θ θ φ θ φ φ
φ φφ φ φθ θ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − = = ∂ ∂ ∂
− ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
x
y
z r
θ
φ
29
30
Operatore Impulso in coordinate sfericheIn unita' di
chain rule:
x
y
z
ripx x r x x
ripy y r y y
ripz z r z z
θ φθ φ
θ φθ φ
θ φθ φ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= = + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= = + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
cos cos sinsin cos
sinxipx r r r
θ φ φθ φ
θ θ φ∂ ∂ ∂ ∂
= = + −∂ ∂ ∂ ∂
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
cos sin cossin sin
sinyipy r r r
θ φ φθ φ
θ θ φ∂ ∂ ∂ ∂
= = + +∂ ∂ ∂ ∂
( ) ( )sincos
θθ
θ∂ ∂ ∂
= = −∂ ∂ ∂zipz r r
e si trova
x
y
z r
θ
φ
30
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
cos
sin sin
sinsin( )sin( )( )[ ]
cos sin cosrcos( )( i)[ ]
sin
isin cot( ) cos( )
xz y
L yp zp i
r r r
rr
rθ
θ φ
θθ φ
θθ φ φ
θθ θ φ
φ θ φθ φ
∂= − = − −
∂∂
∂ ∂− − + +
∂ ∂
∂ ∂= +
∂
∂
∂
∂
∂
( )
Analogamente,
i cos cot( )sin( )
y x zL zp xp
φ θ φθ φ
= − =
∂ ∂= − +
∂ ∂
Operatori di shift: exp[ ][ cot( ) ]
z y xL xp yp i
L i i
φ
φ θθ φ±
∂= − = −
∂∂ ∂
= ± ±∂ ∂
31
Componenti di L in coordinate sferiche:
( ) ( ) ( )2
2 2 22 2 2 2 2
1 1 1Inoltre ( ) sinsin sin
ip rr r r r r
θθ θ θ θ φ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ = = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
( ) ( ) ( )2 2
2 2 21 1sin
sin sinL θ
θ θ θ θ φ− ∂ ∂ ∂ = − ∂ ∂ ∂
22 2
2 21 Lrr r r r
∂ ∂ ∇ = − ∂ ∂
quindi
32
Momento angolare e laplaciano in coordinate sferiche
x
y
z r
θ
φ 2 2Direttamente o usando si trova
z zL L L L L− + = − −
33
Autofunzioni simultanee di L2 e Lz
( ) ( ) ( )2
22 2
1 1L'equazione agli autovalori per sinsin sin
e' risolta dalle arminiche sferiche
L θθ θ θ θ φ
− ∂ ∂ ∂ = − ∂ ∂ ∂
| || |2 2 1 ( | |)!( , ) ( 1) (cos( )
4 ( | |)!
m mm im
lm ll l mY P e
l mφθ φ θ
π
+ + −= −
+
m intero
Autofunzioni di Lz
22
2imd m e
dφ
φΦ
= − Φ ⇒ Φ =
Dipendenza da φ
Dipendenza da θ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
θ θ θ λ θθ θθ θ
θ θ
∂ ∂Θ − Θ = − Θ ∂ ∂
→
2
2
2
Sostituendo, rimane da risolvere 1 sin .
sin sin
Questa e' singolare per 0. Moltiplichiamo per sin . Si ritrova l'equazione di Legendre:
m
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2sin sin sin 0mθ θ θ λ θ θθ θ∂ ∂ Θ + − Θ = ∂ ∂
34
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2sin si
dove sappiamo che ( 1).
n sin 0,
Equazione di Legendre.
l l
mθ θ θ λ θ θ
λθ θ∂ ∂ Θ + − Θ =
= +
∂ ∂
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
Per l=1, risulta = 2 . Casi: m=-1,0,1
sin sin 2sin 0
risolta da cos( ).
Per l=1, =2 ,
Nel caso m=0,
nel c
sin sin 2sin 1 0
aso m
riso
(
= 1
1
l
)
t
l lλ
θ θ θ θ θθ θ
θ θ
λ
θ θ θ θ θθ θ
∂ ∂ Θ + Θ = ∂ ∂ Θ =
∂ ∂ Θ + − Θ = ∂ ∂
±
+ =
( )a da sin( ).In generale sono polinomi in cos( ) per m=0, altrimenti polinomi in cos( ) e sin( ).
θ θθ θ θ
Θ =
( ) ( ) ( )Per l=0 =0
,m=0 sin
Vediamo qualc
sin 0, risolta da
he caso semplice:
1.λ θ θ θθ θ∂ ∂ ⇒ Θ = Θ = ∂ ∂
34
35
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
2 2
sin sin sin 0
(cos( )), dove
P ( ) ( 1) (1 ) ( )
sono polinomi associa
Soluzione generale dell' equazione di Legend
ti di Legend
re:
re.
ml
m mm ml lm
m
P
dx x P xdx
θ θ θ λ θ θθ θ
θ θ
∂ ∂ Θ + − Θ = ∂ ∂ Θ ∝
= − −
35
2
I polinomi di Legendre ( ) soddisfano un'altra eq
uazione, cioe'
[(
Polinomi di Lege
1
ndr
) ( )] ( 1) (
e:
) 0.
m
m m
P xd dx P x m m P xdx dx
− + + =
36
0 1
2 32 3
4 2 5 34 5
( ) 1 ( )1 1( ) (3 1) ( ) (5 3 )2 21 1( ) (35 30 3) ( ) (63 70 15 )8 8
P x P x x
P x x P x x x
P x x x P x x x x
= =
= − = −
= − + = − +
= −2
Formula di Rodriguez:1( ) ( 1)
2 !
nn
n n n
dP x xn dx
∞
=
=− +
∑2 0
Inoltre:1 ( )
1 2n
nn
P x txt t
δ−
=+∫
1
1
Sono polinomi ortogonali:2( ) ( )
2 1m n mndxP x P xn
36
37
( )θ φ θφ
θφ
=Possiamo scrivere , ,( che la particella sia in ha i numeri quantici l,m)
lmY l mampiezza se
( ) ( )*' '
La normalizzazione e la completezza degli angoli solidi sono espresse dal seguente teorema:
( , ') ( , ') cioe' . , ', 'lm l md Y Y l l l m mm m lδ δΩ
Ω Ω Ω = Ω Ω∑∫
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
θ φ
θ φ θ φ θ φ θ φ
θ φ θ φ
δ δ
∞
= =−
∞
= =−
= Ω
= Ω − Ω =
∑ ∑ ∫
∑ ∑
*1 1 1 1 1
0
*1 1 2 2
0
1 2
Ogni f , possiamo svilupparla in armoniche sferiche:
f , , f , ,
vale infatti la relazione di Chiusura della base delle armoniche:
, ,
k
km kmk m k
k
km kmk m k
Y d Y
Y Y
( ) ( )φ φ δ θ θ− −1 2 1 2cos cos
Le armoniche sferiche sono una base per le funzioni degli angoli
38
Armoniche Sferiche e rotazioni
'
Ruotando il sistema di riferimento, ogni Y diventa unacombinazione lineare delle Y con lo stesso . Matematicamente, per ogni si ha una base di una rappresentazione irriducibile del Gruppo O(3
lm
lm ll
) delle rotazioni.Fisicamente: non dipende dal riferimento, m si'.l
39
( )001,4
Y θ φπ
= ( )103, cos
4Y θ φ θ
π= ( )1 1
3, sin8
iY e φθ φ θπ
±± = ±
( )2 115, sin cos8
iY e φθ φ θ θπ
±± = ±( ) 2
205, (3cos 1)
16Y θ φ θ
π= − ( ) 2 2
2 215, sin
32iY e φθ φ θ
π±
± =
Armoniche Sferiche con l<3
( ) ( ) ( ) ( )2
2soddisfa , ( 1) , , , ,
con m=l.
zlm lm lm lm
LL Y l l Y Y mYθ φ θ φ θ φ θ φ= + =
( )Si puo' verificare che , sinil llll Y e φ θ∀ =
40
( )001,4
Y θ φπ
=( )10
3, cos4
Y zθ φ θπ
=
( ) ( )11 11 13, s 3, ( )
81 lini
8en arei
mY r x iyY le Yφ θ φθ φ θπ π±
±± = ± = =± ±
( ) ( )22 11215, sin 15, (
8cos
8)i Y r zY e x iyφθ φ θ θ
πθ φ
π±
± ± = ±= ± ±
( ) ( ) 2 2202
220
5, (3cos 1 5, (3 )1
)16 6
Y rY z rθ φ θππ
θ φ= − = −
( ) ( )2 2
2
22
22
2 215,15, ( )
32 quadratica nelle coordinat
2sin
e32
m
i Y r x
Y
e
l
iyY φ θθ φπ
θ φπ
±± ±
=
= = ±
Armoniche Sferiche-forma cartesiana( ) ( )( ) ( )
( )Usando si possono scrivere in termini di x,y,z
sin cossin sin
cos
x ry r
z r
θ φθ φ
θ
= = =
40
41
Separazione variabili nei problemi centrali:V=V(r)
Equazione degli stati stazionari H Ψ = E Ψ
( ) ( ) ( ) ERYRYrVRYr
RYr
RYr
rrrm
=+
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
− )(sin
1sinsin11
2 2
2
2222
2
2
φθθθ
θθ
Riordiniamo un po’
( ) ( ) ( ) ERYmRYrVmRYr
RYr
RYr
rrr
)2()()2(sin
1sinsin11
222
2
2222
2
−=−+∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
φθθθ
θθ
( ) ( ) ( ) 0sin
1sinsin12)(21
2
2
222222
2 =∂∂
+
∂∂
∂∂
++−
∂∂
∂∂ RY
rRY
rRYmERYrmVRY
rr
rr φθθθ
θθ
Dividiamo per RY e moltiplichiamo per r2
( ) ( ) ( ) 0sin
11sinsin
112)(212
2
22
2
2
22 =
∂∂
+
∂∂
∂∂
++−
∂∂
∂∂ Y
YY
YmErrVmrR
rr
rR φθθθ
θθ
Separiamo le variabili con: ( )( , , ) ( ) ,r R r Yθ φ θ φΨ =
Togliamo la parentesi
22 ( ) ( , , ) ( , , )
2V r r E r
mθ φ θ φ
− ∇ + Ψ = Ψ
42
( ) ( ) ( ) 0sin
11sinsin
112)(212
2
22
2
2
22 =
∂∂
+
∂∂
∂∂
++−
∂∂
∂∂ Y
YY
YmErrVmrR
rr
rR φθθθ
θθ
indipendente da r
22 2 2 2
1 1 2 ( ) 2 0mV r mEr RR r r r r
λ∂ ∂ − + − = ∂ ∂
( ) ( ) ( )2
2 2
1 1 1 1sin , con ( 1)sin sin
Y Y l lY Y
θ λ λθ θ θ θ φ
∂ ∂ ∂ + = − = + ∂ ∂ ∂ Equazione angolare
Equazione radiale
22 2 2 2
1 2 ( ) 2 ( ) 0mV r mEr R R R R rr r r r
λ∂ ∂ − + − = ∂ ∂
L’equazione radiale e’ l’unica che dipende da V(r)
indipendente dagli angoli
| || |2 2 1 ( | |)!( , ) ( 1) (cos( )
4 ( | |)!
m mm im
lm ll l mY P e
l mφθ φ θ
π
+ + −= −
+
43
Equazione radiale
22 2 2 2
22
2 2
1 2 ( ) 2 ( 1) ( ) 0
E' un problema 1d ma con un muro infinito che impone r 0.1 2La parte cinetica e' piu' complicata.
Per l>0 una potente f
mV r mE l lr R R R R rr r r r
R Rr Rr r r r r r
∂ ∂ + − + − = ∂ ∂ ≥
∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂
orza centrifuga scaccia la particella da r=0.
Equazione degli stati stazionari H Ψ = E Ψ
Separate le variabili con: ( )( , , ) ( ) ,r R r Yθ φ θ φΨ =
E’ utile saperlo a memoria
Per V( r)=0 si ha una particella libera di momento angolare l
Campo centrale V(r)
44
Particella libera : autostati comuni di 2, , zH L L
l(l+1) autovalore di L2 ma R non dipende dall’autovalore m di LzSe ne dipendesse sarebbe proibito ruotare il riferimento!
2 2 2 02 2 2
21 ( 1) ( ), , R sta per R lm Ed dR l lr R k R r k
r dr dr r+ − + = =
krρ =equazione di Bessel sferica ( )2 2'' 2 ' 1 ( ) 0R R l l Rρ ρ ρ ρ + + − + =
[ , ] [ , ] [ , ]le onde piane non hanno momento angolare definito.
z x y x x x y yL p xp yp p x p p i p= − = = −
⇒
rappresenta un fascio di elettroni monocromatici con p definito.ikze
OAnche classicamente non hanno tutti lo stesso L rispetto a una origine O
45
sin( )per l=0 soddisfa R( )= ρρρ
krρ =equazione di Bessel sferica ( )2 2'' 2 ' 1 ( ) 0R R l l Rρ ρ ρ ρ + + − + =
( )soluzione generale:
sin1( )
funzioni di Bessel sferiche
ll
ldj
dρ
ρ ρρ ρ ρ
= −
0
1 sin( )( ) (2 1) (cos )ll
ikz ll
k
r d kre i l Pk r dr r
θ∞
=
= − + ∑
Espansione dell'onda piana in armoniche sfericheSi puo’ dimostrare che:
Friedrich Wilhelm Bessel(1784-1846)
fu il primo a misurare la distanza di una stella e scopri’ Sirio B.
45
46
Equazione radiale2
2 2 222 ( )1 2 ( 1) ( ) 0mV r mE l lr R R R R r
r r r r∂ ∂ + − + − = ∂ ∂
Equazione degli stati stazionari H Ψ = E Ψ
Separiamo le variabili con: ( )( , , ) ( ) ,r R r Yθ φ θ φΨ =
( )Trucco: per semplificare poniamo ( ) .u rR rr
=
2
2
2
( ) '( ) ( )
( ) '
( ) '' ' ' ''
u r u r u rr r r r
u rr ru ur r
u rr ru u u rur r r
∂= −
∂∂ = − ∂
∂ ∂ = + − = ∂ ∂
Particella in campo centrale non nullo
Piu’ semplice!
46
47
22 2 2 2
2
2 2 2
Cosi' l'equazione radiale 1 ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( 1) ( ) 0
( )mettendoci '' ' ' ''
'' 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( 1) ( )diventa 0
u r mV r u r mE u r l l u rrr r r r r r r r
u rr ru u u rur r r
u mV r u r mE u r l l u rr r r r r
∂ ∂ + − + − = ∂ ∂ ∂ ∂ = + − = ∂ ∂
+− + − = ⇒
2 2 22 ( ) ( 1) 2'' [ ] ( ) ( )
e' un problema 1d ristretto a r>0.
mV r l l mEu u r u rr+
− + + =
48
2 2
2 2
e' una equazione di Schrödinger 1d con r>0 (un muro impenetrabile impedisce r<0). Oltre al potenziale esternoc'e'
( 1) ( 1)potenziale centrifugo (per l>0). V(r) V(r)+2m 2m
l l l lr r+ +
= →
2 2 22 ( ) ( 1) 2'' ( ) ( ) ( )mV r l l mEu u r u r u r
r+
− + + =
2 22 ( ) ( 1)mV r l l
r+
+
r
proibito
49
Zona permessa
Semplicissimo per l=0
...3,2,1,2
22
22
0 == nnma
Enπ
2 2 2
Equazione radiale:2 ( ) ( 1) 2'' ( ) ( ) ( )mV r l l mEu u r u r u r
r+
− + + =
Imponendo condizioni al contorno u=0 per r = a si ottengono gli autovaloriper la particella in una scatola di potenziale sferica
Buca di potenziale sferica
0,( )
,r a
V rr a
<= ∞ >
2
2
2'' ( ),
2( ) sin( )
mEu u r r a
mEu r r
− = <
x
y
z r
θ
φ
Altrimenti funzioni di Bessel sferiche
Atomo
John Dalton per primo cercò di descrivere l’atomo nel 1803. L’evidenza in favore dell’esistenza degli atomi si basava sulla chimica, cioe’ sulla conservazione della massa (Lavoisier) e sulla legge delle proporzioni definite di Proust.quando due o più elementi reagiscono, per formare un determinato composto, si combinano sempre secondo proporzioni in massa definite e costanti.L’esistenza degli atomi pero’rimase a lungo una congettura. Il successo della teoria cinetica dei gas (distribuzione di Maxwell) contribui’ arafforzarla
John Dalton, Eaglesfield 1766-Manchester 1844
50
"...un composto è un prodotto privilegiato al quale la natura ha dato una composizione costante".
51
Atomo di IdrogenoL’elettrone fu scoperto da J.J. Thomson nel 1897, il nucleo da Rutherford nel 1911.
Ernest RutherfordJoseph John Thomson
La massa atomica dipendeva dal numero di Avogadro A=6*10^23, che fu ottenuto da Einstein nel 1905; si trova che un protone pesa 1,67 10^(-27) Kg.
Classicamente non si capisce come l’atomo sia stabile
11Tempodi vita radiativo dell'atomo classico : 1.6 10 .Invece l’atomo e’ stabile!
t s−=
La serie di Balmer, importante in in fisica e astronomia, e’ una sequenza di righe nel visibile dello spettro dell'atomo di idrogeno.
Classicamente non si capisce perche’ abbia dimensioni di 10-8 cm, energia caratteristica di 10 V, e nemmeno perche’ emetta righe ……..
52
53
54
Formula di Balmer,un'equazione empirica scoperta nel 1885 dal matematico svizzero Johann Balmer.Ancora non si era scoperto l’elettrone ne’ il nucleo….
2
2
7 12
1, 2,3...4
1 1 1( ), 1.0972 104
m mm
m
m cB mm
R R mm
λ νλ
λ−
= = =−
= − =
Poi fu scoperta la serie di Lyman (ultravioletta)
7 12 2
1 1 1Serie di Lyman ( ), 1.0972 101
R R mnλ
−= − =
55
(1888)
R=Rydberg=13.59 eV1 Hartree= 2 Rydberg = unita’ di energia delle unita’ atomiche in cui si prende
massa elettrone m=1carica elettrone e=1
=1
56
2 ( )Ponendo ( ) , ( ) semplifichiamo:Ze u rV r R rr r
= − =
Dimensioni:
[ ]2 2
2022 2
(mvL) mv L 1* mvee
L L a Lme
L
= = ⇒ =
2
( ) (Ze=carica del nucleo)ZeV rr
= −
2
2 22 2
2( 1) 2 2equazione radiale : ( ) ( )d u l l mEu u r u rdr r r
m Ze+− + − =
Stati legati (discreti) dell’atomo idrogenoide
Equazione radiale di Schroedinger
22 2 2 2
1 2 ( ) 2 ( 1) ( ) 0.mV r mE l lr R R R R rr r r r
∂ ∂ + − + − = ∂ ∂
−⇒
12
2 2udimensioni: ogni termine Z m LL
e
2
2 2 20
( 1) 2 2( ) ( )d u l l mEu u r u rdr r a r
+− + − =
Lunghezza caratteristica:2
0 2 ,
0.529Bohr
B h
B
o raam e Z
a a AZ
=
= =
=
problema classico: non ha scala
2 20
2 20
00
adimensionale
adimensiona
2energia2
lunghezz lea
Rydberg
maE E EE ma
r r aa
ε ε
ρ ρ
= = ⇒ =
= ⇒ =
Lunghezza caratteristica:2
+ 2 30 2 , 0.529 , aumentando si restringe (He , , ,...)Bohr
Baa a A Z Li B
me Z Z+ += = =
2
20
anche una energia caratteristica: 1 13.6 eV2
Unita' atomiche: unta' di energia = 1 Hartree= 2 Ry=27.2 eV (Da Douglas Rayner Hartree, Cambridge 1897-1958).
RydbergE Ry
ma∃ = = ≈
57
Forma adimensionaleEssendoci una scala, conviene lavorare con grandezze senza dimensioni
forma adimensionale
22 ( 1)'' ( ).l lu u uε ρρ ρ
++ = − +
02
2 2 20
Sostituendo r= nella
( 1) 2 2 ( ) ( )
a
d u l l mEu u r u rdr r a r
ρ
+− + − =
2
2
2
2 2 2 2 2 20 0
20 0
si trova: ( 1) 2 2( ) ( )
e semplificando si p2
erviene alla
d u l l mu u r u ra d a a maρ ρ ρ
ε+− + − =
58
59
Soluzione particolare (stato fondamentale)
=supponiamo 0 (classicamente nessuna orbita ha l=0,passerebbe per il nucleo, passando per un punto dove
il potenziale e' infinito)
l
λρ λρρρ ρρ
− −= ⇒ = ≈Soluzione es ()at (a )t u e euR
22 ( 1)'' ( )l lu u uε ρρ ρ
++ = − +
Nella forma adimensionale
2''( ) ( ) ( ) 0u u uρ ε ρ ρρ
⇒ + + =
λρ
ε ρ
ρ ρ ε ρ
ρ
ερρ
λ−
− −
→ ∞ + = = =
=
⇒
⇒ ≈
2Per ''( ) ( ) 0 con
( )
(
)
u u u
euR
e
60
Verifichiamo e troviamo ε:
λρ λλρ
λρ λρ
λρ λρ λρ λρ λρ
ρρ
λ λ ρ
λ λ λρ
λ
λ λ ρ λ ε
ρ−
− −
− − − −
− −
−
= ⇒
⇒ = − −
= − − − = − + = −
= −
2
'' ( )'
( ,
'
) 2
u eu e e
e e e e
u e
e
e
ρ ε ρ ρρ
+ + =2''( ) ( ) ( ) 0u u u
λ λρρλρ λρ
ε ρ
ε ρ
ε
ρ
λ ρρ
ρρ
ρ
λ ε λ ελ
λ ρ
λ λ ρ
λε
− − −−+ + =
+ + =
+ = =
+ +
=
−
− +
− +
− + ==
2
2
2
2 ( )
0
0.
Ma 0 perche' , e rest
Viene: ( )
2
2a: 0.Quindi
''( )
1 e viene =-
2
1
2
2
2.
u
e
u u
e e e
60
λ ε ε= = − ⇒
− =
=
=⇒ − = −
2
20
2 4 2
2 20
1 1
riferita al livello di vuoto2 2
(Per H lo zero dell'energia corrisponde a particelle fermeall'
2
infinito).
Rydbergme ZE
a
Ema
Em
Ricordando u e λρρ −= λρλρ
−−= ⇒ = = =1 Bohr
rauR e e
61
Qualunque distanza dal nucleo e’ possibile, incluso r=0 e r=1m.Ma il raggio di Bohr e’ la distanza caratteristica. L’elettrone non irraggia, e’in uno stato stazionario e non ha una traiettoria, ma ha momento angolare nullo.
Quantita’ dimensionate2
002
2
0 2
0
2Ricordiamo che
,
d
:
ove
Rydb
o r
g
h
er
B
ma
aame Z Z
E rE r aE a
ε ρ ρ= = = ⇒
=
=
=
62
000 0 3
0
Moltiplicando la funzione radiale per l'armonica sferica,
1 1( ) .4
Questa funzione e' sfericosimmetrica, mentre il modello di Bohr e' piatto.
raY r e
aψ
π π
−
= ⇒ =
2
0 2= = Bohraa
me Z Z2 4 2
2 202 2
me ZEma
= − = −
ψ π ψ= =∫ ∫2 23 2
0 0
Normalizzazione:
4 1d r drr
( )( , , ) ( ) ,r R r Yθ φ θ φΨ =
Ricaviamo tutti gli infiniti stati legati. Poi i sono quelli del continuo (Coulomb waves)
22 ( 1)'' ( )l lu u uε ρρ ρ
++ = − +
Partiamo dalla forma adimensionale
λρ
ρ ρ ε ρ
ρ λ ε−
→ ∞ + =
⇒ = = −
Indipendentemente da , se , ''( ) ( ) 0
( ) ,
l u u
u e
Ci sono infiniti stati legati entro i 13.59 eV dallo stato fondamentale; questo e’ dovuto alla legge di Coulomb per cui l’interazione e’ a lungo raggio. Sopra esiste il continuo elettrone+protone, che si puo’ studiare con esperimenti di scattering.
63
ρρ
ρ=funzione radiale
( )( ) nl
nl
uR
22 ( 1)Equazione radiale '' ( )l lu u uε ρρ ρ
++ = − +
2( 1)'' ( ), 0l lu u ρ ρρ+
≈ →a breve distanza dal centro
1
nl
Per 0, va a 0 come .La barriera centrifuga funziona! u 0 per 0 e R 0 se l 0.
lnluρ ρ
ρ
+→→ → → ≠
64
quello che cambia con l e’ l'andamento a breve distanza dal centro a causa della barriera centrifuga
ρρ
ρ=funzione radiale
( )( ) nl
nl
uR
( ) ( )1 ( )Poniamo l lu e fλρρ ρ ρ− +=
( )( )
( )
10 1
Vedremo che polinomio di grado e pertanto
... ,
=intero=numero quantico radiale, incognite : ,e i coefficienti
r
r
lr
nln
r i
f n
u e c c c
n c
λρ
ρ
ρ ρ ρ ρ
λ
− + = + + +
22 ( 1)Equazione da risolvere: '' ( )l lu u uε ρρ ρ
++ = − +
λρρ ρ λ ερ ρ
−
+
→ ∞ = = −
→ = 1
Come si e' visto,
Per , ( ) ,Per 0, l
u eu
65
( ) 11 2 10 1
0...λρ λρ ν
νν
ρ ρ ρ ρ ρ+ +− + + − + +
=
= + + + = ∑r
r
r
nn ll l l
nu e c c c e c
( ) ( )( )
( )
1
( )
10 1
( )
con polinomio di g
Ponia
rado
... , cioe'
m ,o
r
r
lr
l l
nln
f n
u e c c c
u e f
λρ
λρ ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ ρ−
− +
+
=
= + + +
22 ( 1)'' ( ).Sostituiamo in l lu u uε ρρ ρ
++ = − +
( )
( ) 2 1
0 0
1
0
0
0
1
0
Calcolo delle derivate:
' ( 1) .
'' ( 1)
( 1) ( 1)( ) .
r
r r
r r
r
n nl l
n
n nl l
nl l
u e c e
u e c e c l
e c l e c
c l
l l
λρ ν λρ νν ν
ν ν
λρ ν λρ
λρ ν λρ νν ν
νν ν
ν ν
ν ν
ρ λ ρ λ ν ρ
λ ν ρ
ρ λ ρ ν ρ
ν ν ρ
− + + − +
= =
− + − + −
= =
− + + − +
= =
= − + +
− + + + + +
= − +
+
+ +∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑66
( ) 11 2 10 1
02(con , come si sa dall'andamento a grandi distan
.
)
..
ze
rr
r
nn ll l l
nu e c c c e cλρ λρ νν
ν
ρ ρ ρ ρ ρ
λ ε
+ +− + + − + +
=
=
=
−
+ + + = ∑
( ) 1
0 0' ( 1)λρ ν λρ ν
ν νν ν
ρ λ ρ ν ρ− + + − +
= =
= − + + +∑ ∑r rn n
l lu e c e c l
( ) 2 1 1
0'' 2 ( 1) ( 1)( )
rnl l lu e c l l lλρ ν ν ν
νν
ρ ρ λ ν ρ ν νλ ρ− + + + + −
=
= − + + + + + +∑
1
0'' 2 ( 1) ( 1)( )
rnl lu u e c l l lλρ ν ν
νν
ε λ ν ρ ν ν ρ− + + −
=
+ = − + + + + + +∑
Potenze diverse: antipatiche da maneggiare
67
22 ( 1)Sostituiamo in '' ( )l lu u uε ρρ ρ
++ = − +
1
2
0( 1)('' ( )2 1)λρ ν
νν
ν
λ ε
ε λ ν ρ ν ν ρ+
=
+− −
= −
+ = − + + + + + +∑r
l ln
lu lu e c l
( ) ( )∑∑=+=
+=b
a
b
aff
11
νν
ννSpostare una sommatoria:
Cambio di nome
ν ν+1 ( ) ( )∑∑−
−==
+=1
11
b
a
b
aff
νν
νν
( ) ( )( )11
'' 2 1 1 2rn
lu u e c l c l lλρ νν ν
ν
ε ρ λ ν ν ν− ++
=−
+ = − + + + + + + + ∑
ν ν ν= < >e ricordando che 0 per 0 e per unifichiamo le somme:rc n
0
11
11
( 1)( ) ( 2)( 1)Spostando la somma r rn
ln
ll l lc lc νν ν
ν ν
νν ν ρ ν ν ρ−
+= =
+ − +
−
+ + + = + + + +∑ ∑
68
22 ( 1)'' ( )ε ρρ ρ
++ = − +
l lu u u
68
69
22 ( 1)'' ( )ε ρρ ρ
++ = − +
l lu u uAbbiamo calcolato il primo membro di
( ) ( )( )11
'' 2 1 1 2rn
lu u e c l c l lλρ νν ν
ν
ε λ ν ν ν ρ− ++
=−
+ = − + + + + + + + ∑( )
( )
2
1
0
2 ( 1)Calcolo del secondo membro [ ]
sempre conr
r
nl
n lu e
u
c
l l
λρ νν
ν
ρρ
ρ ρ
ρ
− + +
=
−
=
++
∑
( ) 1
0con
r
r
nl
n lu e cλρ νν
ν
ρ ρ− + +
=
= ∑
12
0 0
2 ( 1) ( ) 2 ( 1)r rn n
l ll l u e c l l cλρ ν νν ν
ν ν
ρ ρ ρρ ρ
− + + −
= =
+− + = − + +
∑ ∑
( ) ( )∑∑−
−==
+=1
11
b
a
b
aff
νν
νν
( )
1
120 1
10
2 ( 1) ( ) 2 ( 1)
2 ( 1)
r r
r
n nl l
nl
l l u e c l l c
e c l l c
λρ ν νν ν
ν ν
λρ νν ν
ν
ρ ρ ρρ ρ
ρ
−− + +
+= =−
− ++
=
+− + = − + +
= − + +
∑ ∑
∑
70
( )120
2 ( 1) ( ) 2 ( 1)rn
ll l u e c l l cλρ νν ν
ν
ρ ρρ ρ
− ++
=
+− + = − + +
∑
( ) ( )( )11
''
2 1 1 2rn
l
u u
e c l c l lλρ νν ν
ν
ε
ρ λ ν ν ν− ++
=−
+ =
− + + + + + + + ∑
( ) ( )( ) ( )11 2 ( 1)2 1 1 2c l c l c l l clν ν ννλ ν ν ν+ +− + +− + + + + + + + =
( ) ( )( )1
Riordiniamo:2 [1 2 1 ] [ 1 2 ( 1)] 0c l c l l l lν νλ ν ν ν+− + + + + + + + + − + =
1( 1) 12
( 1)( 2 2)lc c
lν νλ ν
ν ν++ + −
=+ + +
( ) 1
0
ansat( )Trucco z: :
r
r
nl
n l
u rRr
u e cλρ νν
ν
λ ε
ρ ρ− + +
=
= = −
= ∑2
2 ( 1)'' ( )ε ρρ ρ
++ = − +
l lu u u
Relazione di ricorrenza ν=0,1,2,3…..
71
Relazione di ricorrenza ν=0,1,2,3…..
che accade se ?ν → ∞
νλ ν
νcc 21 ≈+
( )!
2νλ ν
ν ≈c
1 2( ) lu e eλρ λρρ ρ −+≈
1( 1) 12
( 1)( 2 2)lc c
lν νλ ν
ν ν++ + −
=+ + +
( )
0 1 1 2
0
2 3
1
Pero' se c 0, tutti i successivi sono 0.
r
n
nl
c c c c c c
u e cλρ νν
ν
ρ ρ− + +
=
⇒ ⇒ ⇒=
= ∑
La funzione trascendente esplode all’infinito e la ψ non si puo’ normalizzareoccorre che sia un polinomio di grado finito-> la relazione di ricorrenza deve dare 0.
BANG!
72
n e’ misto: radiale e angolare
Posto 1 numero quantico principale, intero 1,la condizione per una funzione R normalizzabile e' 1 0,
1' .
rn l nn
cioen
λ
ε
+ + = ≥− =
− =
1( 1) 12
( 1)( 2 2)lc c
lν νλ ν
ν ν++ + −
=+ + +
Perche’ la serie termini occorre che venga cν+1 = 0 quando ν= nr
( ) 1
0
( )Trucco : :
r
r
nl
n l
ansat
u e c
zu rRr
λρ νν
ν
λ ε
ρ ρ− + +
=
= = −
= ∑
ν= nr numero quantico radiale=grado del polinomio
21 1 , 1,2,3,.....nn n
ε λ ε− = = ⇒ = − = ∞
73
2 2 2
2 213.59
2nB
Z e ZE eVa n n
= − = −
0, 0, 1 1per 0, 1,per 0, 1,
Per n fissato, 0,1,2,..., 1 ( 1 per n 0)
r r
r
r
r
l n n n ll n nn n l
l n l n
≥ ≥ = + + ≥ ⇒= = +
= = += − = − =
20
2
2 2
02
12
.nB
naE a
ma Z me Z nε ε= = = −=
Mettiamo insieme i risultati:
Le energie dipendono solo da n; per questo, 2s e 2p sono degeneri, 3s, 3p,3d sono degeneri, etc.. La successione degli stati e 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 3d, : : :secondo lo schema seguente.
'
1 1 0 02 0 0
22 1 1,0,13 0 0
3 3 1 1,0,13 2 2, 1,0,1,24 0 04 1 1,0,1
44 2 2, 1,0,1,24 3 3, 2, 1,0,1,2,3
Gusci piu bassi
guscio n nome livello l mK s
sL
ps
M pdsp
Ndf
−
−− −
−− −
− − −74
= 0 1 2 3 4:
lsimboli
s p d f g
2 21 1
mn RydbergEn m
ν = −
fotoni che l'atomo emette nel decadimento m n fotoni che l'atomo assorbe nella transizione opposta n m .
+
La serie di linee con n = 2 fu scoperta da Balmer nel 1885 e comincia nel visibile, con la riga Hα con ω23 nel rosso, la riga Hβ con ω24 nel blu, la riga Hγ con ω25 nel violetto; la serie continua nell'ultravioletto. Poi fu scoperta la serie ultravioletta di Lyman con n = 1, e le serie infrarosse con n = 3; 4; 5.
75
In alta risoluzione si trova che ci sono sdoppiamenti e spostamenti di livelli dovuti a effetti relativistici, al momento magnetico, alle dimensioni finite ed alla massa finita del nucleo, a piccolissimi effetti di elettrodinamica quantistica (Lamb shift).
76
Funzioni d’onda idrogenoidi
Relazione di ricorrenza ν=0,1,2,3…..
1( )( 1) 12
( 1)( 2 2)ν νλ ε νν ν+
+ + −=
+ + +lc c
l
( ), , ( , , ) ( ) ,θ φ θ φΨ =n l m nl lmr R r Y ( )( ) nlnl
u rR rr
=
( ) 11 2 10 1
0...λρ λρ ν
νν
ρ ρ ρ ρ ρ
λ ε
+ +− + + − + +
=
= + + + =
= −
∑r
r
r
nn ll l l
nu e c c c e c
Come si e’ visto,
1 , 1 numero quantico principalern n ln
λ = = + +
Relazione di ricorrenza ν=0,1,2,3…..
1( 1) 12
( 1)( 2 2)lc c
lν νλ ν
ν ν++ + −
=+ + +
77
⇔polinomi Polinomi associati di Laguerre
Edmond Nicolas Laguerre 1834-1886
−
−
= −
= −
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )!
p pq p q
xq qx
q
dL x L xdx
e dL x e xn dx
1 , 0
1 0,1,2,..., 1
λ = ≥
+ = − ⇒ = −
r
r
nn
n l n l n1
2 1( 1)( 2 2)ν ν
νν ν+
+ + −=
+ + +l nc c
n l
( )( ) nlnl
u rR rr
=( ) 11 20 1 ...
ρ
ρ ρ ρ ρ− + ++ + = + + +
r
r
n lnl
l lnne c cu c
( ) ( )10 0 101 0 0rn l n u e c R eρ ρρ ρ ρ− −= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
( )
( ) ( )
( ) ( )
ν
ρ
ρρ
ρ
ν
ρ
νρ ρν ν
ρ ρ ρ ρ
ρ
ρ
ρρ ρ ρ
+
− −
−
−
−
+ + − + = ⇒ = −
= == ⇒ + = ⇒ ⇒ = =
=
= −
⇒ =
=
+ +
= ⇒
− ⇒
=⇒
=
⇒
2 00 1 1
22
1
22 20 2
20
2
1
220
2
20
1
2 0 1 22 ( 1
1, 02 1
0, 1
1
12
) )
2
( 2 2
1
rr
r
cc c c c c
c u e R
n ln n l
n l
u e
e
el
u e R
78
Applicando le formule generali:
si trova:
79
( )
( )
( )
φ
φ
ψ θ φ
ψπ
ψπ
ψ θπ
ψ θπ
ψ θπ
−
−
−
−
−−
−
=
= −
=
=
=
0
0
0
0
0
32
1000
32
2200
0 0
32
2210
0 0
32
2211
0 0
32
221 1
0 0
( , , )
1 1
1 1 232
1 1 cos32
1 1 sin64
1 1 sin64
nlm
ra
ra
ra
ra i
ra i
r
ea
r ea a
r ea a
r e ea a
r e ea a
L>0 nodo in r=0
n>0 nodo
2 4 6 8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
ψ 100
ψ 200
−02
0
132
ZraZr e
a
= =
2
0 2Bohraa
me Z Z
Gli atomi con n di qualche centinaio o piu’ (atomi di Rydberg) sono stati studiati, con orbitali grandi qualche micron. L’elettrone si comporta in modo quasi classico.
80
Rappresentazioni pittoriche degli orbitali
Sono le superfici con |ψ|2 costante che contengono una probabilita’ del 90% di trovare l’elettrone. Talvolta sono colorate in modo da dare informazione sulla fase.
81
Da vikipedia
La Meccanica Quantistica ci portera’ alla seguente spiegazione delle righe spettrali:
Notare i livelli discreti e le regole di selezione (che troveremo piu’ avanti)82
![Sistemi di coordinate[1] Coordinate equatoriali: ascensione retta e declinazione Ascensione retta R.A. ( ); declinazione = distanza angolare di un astro](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/5542eb58497959361e8c3b1a/sistemi-di-coordinate1-coordinate-equatoriali-ascensione-retta-e-declinazione-ascensione-retta-ra-declinazione-distanza-angolare-di-un-astro.jpg)
