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EntanglementProblema di Kepler classico: si risolve con la massa efficace
1
µ µ= + + = +
+
22
2 1
1 1 1(1,2) ( ),2( ) 2
Newton risolse il problema del moto relativo. Da esso si risaleai moti individuali ( ), (t) che orbitano attorno al baricentro.
rB ppH V r
m M m M
r t r
= + +
+= = −
+
= + = + = +
2 21 2
1 22 1
1 2 1 2
(1,2) ( )2 2
Baricentro: , moto relativo
( ) ( ) si conservaB
p pSe H V rm M
mr MrB r r rm M
d dp m M B mr Mr p pdt dt
1
Classicamente, uno puo’ assegnare l‘orbita della Terra e conoscere q(t),p(t),per esempio in uno stato in cui il c.m. e’ fermo. 1
Ad essere separabili non sono i moti di elettrone e nucleo, ma il moto del baricentro e quello relativo.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
ψ ψ ψ
ψ ψ ψ
=
= =∑
Per particelle non interagenti, si puo' prendere ,
(separazione delle variabili) ma e' una dipendenza funzionale molto particolare. In generale,
, qualunque fu
ep e p e e p p
ep e p ij ei e pj pij
r r r r
r r c r r nzione.
ψ
Ψ = Ψ= − ∇ = − ∇
Ψ =
Quantisticamente,la separazione del baricentro continua a valere. (1,2) (1,2) (1,2)
( , ) ( )B
B B r rp B
i
H Ep i p i
r B r e
22
ψψ
Non esiste una traiettoria dell'elettrone!Non esiste neppure una dell'elettrone!Non esiste una del nucleo!Sono entangled (ingarbugliati, intrecciati.)
ψΨ
Esistono una del moto relativo e una del baricentro dell'atomo. Pero'...
Questa situazione e’ veramente esotica perche’ classicamente, per descrivere lo stato di un sistema, dobbiamo descrivere lo stato e la dislocazione delle sue parti. Nel motore di un’auto ogni vite ha il suo posto! Il meccanico controlla ogni pezzo e controlla che sia al suo posto.
Invece quantisticamente lo stato del sistema possiamo conoscerlo, ma le parti hanno stati interdipendenti. Esempio: caso dei due spin
3
1Base a 2 corpi per 2 spin : 2
(1) (2)(1) (2)(1) (2)(1) (2)
α αα ββ αβ β
α β β α
±
=
=
Se siamo nello stato entangled(1) (2)- (1) (2)|SM>= 0,0
20,0 0 (singoletto)
Che succede quando misuriamo lo spin di una particella?
S
3
4
↑ ↓Se lo spin di 1 e' quello di 2 e'
↓ ↑Se lo spin di 1 e' quello di 2 e'
α β β α=
(1) (2)- (1) (2)Supponiamo di preparare due elettroni in un singoletto 0,02
4
che dipende da una fase continua, pero’ contiene la stessa quantita’ di info di un bit classico (teorema di Holevo)
Tuttavia un quantum computer avrebbe comunque vantaggi a causa di un livello elevato di parallelismo (ad esempio la scomposizione in fattori primi potrebbe essere molto piu’veloce).
2 qbits saranno intrecciati, ingarbugliati, cioe’ entangled. Vediamo che succede.
0 1ψ α β= +
Un sistema quantistico a due stati (ad esempio, elettrone con spin su o giu)
puo’ trovarsi in una sovrapposizione quantica . Per gli studiosi del quantum computing e’ un q-bit.
Qbits e stati entangled
Stati entangled di 2 spin (o qbit)
+ +
− −
+ +Φ = Ψ =
− −Φ = Ψ =
0 0 1 1 0 1 1 0
2 20 0 1 1 0 1 1 0
2 2
0 0 0 12 2
1 1 1 02 2
+ − + −
+ − + −
Φ + Φ Ψ + Ψ= =
Φ − Φ Ψ − Ψ= =
Entangled vuol dire che la funzione d’onda non e’ un prodotto. I due sistemi possono occupare stati ortogonali a particella singola 0 e 1 e possono formare i seguenti stati ortogonali (stati di John Bell) a 2 particelle:
5
Da questi ovviamente si possono riottendere gli stati base:
6
Se viene misurato lo spin della particella 1 lungo una certa direzione ed e’ α, allora quello di 2 collassa su β. Il collasso e’ istantaneo. Prima della misura sulla particella 1 lo stato della particella 2 e’ completamente indeterminato, ma dopo l’asse di quantizzazione e’ fissato e la particella 2 si trova in uno stato ben definito.
Lo stato quantico della particella 2 e’ stato alterato dalla misura fatta sulla particella 1. Ma la misura sullo spin 1 potrebbe avvenire anche a grande distanza dalla particella 2.Se la misura produce un cambimento che va ad influire sull'altra particella, non dovrebbe questo cambiamento subire un ritardo dipendente dalla distanza?
α β β α=
Supponiamo di preparare due particelle in uno stato entangled(1) (2)- (1) (2)come due elettroni in un singoletto 0,0
2
6
Paradosso EPR
Charlie produce singoletti e manda una particella ad Alice ed una a Bob, che si trovano a grande distanza.
I due hanno sistemi di riferimento paralleli.
7
xA
yA
yB
xB
Formulazione di Born del paradosso EPR: Azione istantanea a distanza
Al momento della misura possiamo scrivere: 2
A B A Bψ+ − − − +
=
Charlie
Se A decide di usare z come asse di quantizzazione,
.2
Supponiamo che il risultato di A sia ; lo stato collassa in
e se B misura con lo stesso asse z trova certamente 1.
P
A B A Bz z
Az z
Bz
ψ
σ ψ
σ
+ − − − +=
= + −
= −
ero' se A misura , lo stato collassa in e B misura 1
se B misura con lo stesso asse x.
A Bx xx
σ σ= + − = −
8
puo' scegliere quale osservabile misurare dopo che le particelle si sono separate da C, e modifica lo stato della particella di B mentrequesta e' in volo e non interagisce con nulla.
A
La misura fatta da A cambia istantaneamente lo stato della particella che arriva a B. L’azione fatta da A sembra evidentemente la causa del cambiamento che avviene dalle parti di Bob.
Pero’ per qualche osservatore, la misura di B puo’ essere fatta prima di quella di A. Allora l’effetto precede la causa!
9
stazione
La luce arriva contemporaneamente su A e B per il macchinista, arriva prima su A per il capostazione, arriva prima su B per un aereo piu’ veloce del treno
A B
Questo e’ il paradosso E.P.R . A. Einstein, B. Podolsky and N. Rosen, Phys. Rev. 47, 777 (1935).
Einstein parlava di spooky action at a distance( azione fantasma a distanza); era convinto che la teoria quantistica , di cui egli stesso era fra i principali artefici, desse una descrizione incompleta della realta’ fisica.
1010
Il fatto che la misura provoca un collasso istantaneo della funzione d’onda si puo’ conciliare con la Relativita’?
TerraGiove
Spooky action
Principio di realismo: una grandezza che ha un valore ben definito in un sistema lo ha indipendentemente dal fatto che lo si misuri.
Principio di localita’: qualunque cosa faccia A non puo’ influenzare una misura eseguita da B prima del tempo rAB/c.
11
Per EPR erano irrinunciabili due principi: quello di realismo e quello di localita’.
Per molto tempo sembro’ una disputa filosofica e quindi inconcludente.
12
Sono state proposte da vari autori teorie delle variabili nascoste secondo le quali la meccanica quantistica dice solo parte della verita’, mentre per una descrizione completa ci sono altri parametri che sono ignorati dalla meccanica quantistica ma sono necessari.
Per esempio potremmo sapere da quale fenditura passa l’elettrone nell’ esperimento della doppia fenditura. La MQ non lo dice.
Di fronte ai grandi successi della MeccanicaQuantistica non c’e’ spazio per crederla sbagliata;molti come EPR hanno pensato che fosse correttama incompleta in modo da tenere insiemerealismo, localita’ e quanti.
J.S. Bell, ( Physics 1, 195 (1964)) dimostro’ un teorema inatteso:nessuna teoria locale di variabili nascoste puo’ riprodurre tutti i risultati della Meccanica Quantistica. Se sono veri i principi di localita’ e realismo si devono verificare delle disuguaglianze che contrastano con la Meccanica Quantistica. Quindi si deve scegliere sulla base di opportuni esperimenti.
13
Teorema di Bell
Il teorema si presenta come una disuguaglianza che deve essere vera se sono veri localita’ e realismo, ma e’ violata dalla MQ
14
14
xA
yA
yB
xB
2
A B A Bψ+ − − − +
=
Charlie
Riprendiamo la formulazione di Born del paradosso EPR: Charlie produce singoletti
e manda una particella ad Alice ed una a Bob, che si trovano a grande distanza.
I due hanno sistemi di riferimento paralleli. Modifichiamo l’esperimento per mettere alla prova il principiodi realismo.
15
xA
yA
yB
xB
2
A B A Bψ+ − − − +
=
Charlie
Realismo o non realismo? Disuguaglianza del tipo di Bell
sceglie a caso se misurare oppure e ottiene risultati = 1 oppure = 1.A Ax z x zA σ σ σ σ± ±
Anche B sceglie a caso se misurare oppure e ottiene risultati = 1 oppure = 1.
B Bx z
B Bx z
σ σ
σ σ± ±
Mettendo insieme i risultati di molte misure si cerca una correlazione fra i risultati. Qual'e' la quantita' che puo' mettere alla prova il realismo?
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indipendentemePer il Principi
nte dal fatto co di realismo, una grandezza c
he la si misurihe ha un valore ben definito in un sistema
lo haQuindi , , e esistono indipendentemente dall
.aA A B B
x z x zσ σ σ σ
Quindi ( + ) 0 oppure 2, ( ) 0 oppure 2.
Allora consi
misura e
de
riam
valgono .
o
1
A A A Az x z xσ σ σ σ= ± − = ±
±
Facendo la media su molte repliche dell'esperimento che ogni volta da' = 2 si deve trovare che | M | 2.
M ±
≤
il principio di realismo
M=( + ) ( ) . A A B A A Bz x z x z xσ σ σ σ σ σ+ −
Se ( + ) 0, quindi 1 e 1 o viceversa, allora il primo termine di M e' nullo, ma nel secondo termine ( ) 2, quindi M= 2.L'unica alternativa e' ( + ) 2, nel qual caso (
A A A Az x z x
A Ax z
A A A Az x x z
σ σ σ σ
σ σ
σ σ σ σ
= = = −
− = ± ±
= ± − ) 0, = 2.M= ⇒ ±
17
1 1 1 1=
2A B A Bψ
− − −
Il calcolo quantistico richiede di medi M=( + ) ( ) sare uA A B A A Bz x z x z xσ σ σ σ σ σ+ −
Calcolo quantistico di <M>
ricordando che 1 1 , 1 1 , 1 1 , 1 1 .z z x xσ σ σ σ= − = − − = − − =
2 ( )( 1 1 1 1 ) ( )( 1 1 1 1 ).I quattro termini sono:( )( 1 1 ) 1 1 1 1
( )( 1 1 ) 1 1 1 1
( ) 1 1 1 1 1 1 1 1
( )( 1 1 ) 1 1 1 1
A A A Az x A B A B z x A B A B
A Az x A B A B A B
A Az x A B A B A B
A Az x A B A B A B A B
A Az x A B A B A B
Mψ σ σ σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
= + − − − − + + − − −
+ − − = − − − − −
+ − − = − − −
+ = + −
+ − − − = − − − −
In tutto viene
2 2( 1 1 11 ). 2.M Mψ ψψ = − − + − ⇒ = −
Questo risultato e’ al limite, ma ancora compatibile con la disuguaglianza di Bell | | 2.Mψ ψ ≤
18
xA
yA
18
2
A B A Bψ+ − − − +
=
Charlie
Consideriamo un esperimento come sopra in cui pero’ gli assi sono inclinati di 45 gradi
Come prima, sceglie a caso se misurare oppure e ottiene risultati = 1 oppure = 1.
x zA A
x z
A σ σ
σ σ± ±B sceglie a caso se misurare oppure (riferiti ai suoi assi) e ottiene risultati = 1 oppure = 1.
B Bx z
B Bx z
σ σ
σ σ± ±
Mettendo insieme i risultati di molte misure si ottiene la mediasulle coppie fornite da Charlie della quantita' M=( + ) ( ) .A A B A A B
z x z x z xσ σ σ σ σ σ+ −
19
xA
yA
19
2
A B A Bψ+ − − − +
=
Charlie
M=( + ) ( ) .Se ( + ) 0, quindi 1 e 1 o viceversa, il primo termine e' nullo, ma nel secondo termine ( ) 2, quind
Per il Principio di realismo, resta vero c
i
he A A B A A Bz x z x z x
A A A Az x z x
A Ax z
σ σ σ σ σ σ
σ σ σ σ
σ σ
+ −
= = = −
− = ±
M= 2.L'unica alternativa e' ( + ) 2, nel qual caso ( ) 0, = 2.Che gli assi siano inclinati non cambia nulla e |<M>| 2.
A A A Az x x z Mσ σ σ σ
±
= ± − = ⇒ ±≤
20
Dato che Bob ha un sistema di assi tali che, riferiti a quelli di Alice,sono
1 1(1,0,1), ( 1,0,1)2 2
B Bz xn n= = −
conviene riferire anche le sue matrici di Pauli a un sistema orientato come quello di Alice,
1 1. ( ), . ( ).2 2
B B B B B B B Bx x x z z z x zn nσ σ σ σ σ σ σ σ= = − + = = +
Calcolo quantistico
21
( )
M 2=( + )( ) ( )( )
2 .
A A B B A A B Bz x z x x z z x
A B A B A B A B A B A B A B A Bz z z x x z x x z z z x x z x x
A B A Bz z x x
σ σ σ σ σ σ σ σ
σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ
σ σ σ σ
+ + − −
= + + + + − − +
= +
Sostituendo in M=( + ) ( ) = +si trova (grazie alla scelta felice degli angoli) una comoda semplificazione:
A A B A A B A B A B A B A Bz x z x z x z z x z x x z xσ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ+ − + −
Charlie ha gli assi orientati come quelli di Alice e dice che1 1 1 1
= , cioe' e' un singoletto e una particella va 2
da A mentre l'altra va da B. 1 1 1 1
(Ma comunque siano orientati gli assi =
A B A B
A B A
ψ
ψ
− − −
− − −.
2un singoletto non cambia per rotazioni.)
B
22
( ) 1 1 1 1M = .2 2
A B A BA B A Bz z x xψ σ σ σ σ
− − −+
Dato che = , = ,A B A Bz z x xσ σ ψ ψ σ σ ψ ψ− −
M = 2 .2
2 2M
ψ ψ
ψ ψ
−
= −
Questo e’ il risultato quantistico che contraddice i criteri di EPR.
La questione posta dal paradosso EPR e’ sperimentalmente risolubile. La meccanica quantistica esclude il principio del realismo.Le grandezze che non sono misurate non hanno un valore a noi ignoto; il valore non c’e’.Non e’ che noi non sappiamo da quale fenditura passa l’elettrone nell’esperimento della doppia fenditura.Questa scelta non viene fatta.
ricordando che 1 1 , 1 1 , 1 1 , 1 1 ,z z x xσ σ σ σ= − = − − = − − =
Conclusioni:
Principio di localita’. C’e’ contrasto con la Relativita’?
Consideriamo un esperimento di tipo EPR in cui c’e’ una sorgente di coppie di elettroni in stati di singoletto, e gli elettroni vengono mandati uno ad Alice e l’altro a Bob. Se Alice puo’ usare il collasso della funzione d’onda per mandare un messaggio istantaneo a Bob, addio Relativita’. Ma puo’?
Quando Alice misura la componente x dello spin, la ψ collassa. Allora Bob ha un autostato opposto della componente x. Pero’ Alice non puo’ decidere se mandare spin alto o spin basso. In questo modo, nessun messaggio e’ possibile.
Alice potrebbe tentare di mandare un messaggio superluminale a Bob fatto di zeri e uno; per ogni 0 Alice misura la componente x dello spin, e per ogni 1 misura la componente y. Cosi’ Bob si troverebbe istantaneamente con elettroni che sono autostati o della componente x o di quella y. Se potesse capire in quale delle due e’ ciascuna particella, potrebbe leggere un messaggio superluminale.
23
24
xA
yA
singolettificio
Messaggio indecifrabile
Solo, come potrebbe Bob distinguerle? Misurando lo spin di un elettrone una volta lungo un qualsiasi asse, non puo’ arrivare a nessuna conclusione. Soltanto avendo tanti elettroni nello stesso stato uno potrebbe trovare l’asse di quantizzazione.
252525
Facendo numerosi cloni di ciascun elettrone Bob potrebbefacilmente distinguere quelli che danno sempre lo stessovalore di una componente.Se fosse possibile clonare lo stato, la trasmissione istantanea della informazione a qualsiasi distanza sarebbe possibile e la Relativita’ sarebbe violata.
Il teorema di no cloning salva l’accordo con la relativita’.
26
Entanglement di fotoni
27
Teletrasportol’entanglement puo’ essere usato, insieme a dati classici trasmessi per via convenzionale, a trasportare
informazione (teletrasporto) e riprodurre a distanza uno stato quantico senza conoscerlo distruggendo l’originale. Senza distruggere l’originale non si puo’ (no cloning theorem).
http://www.research.ibm.com/quantuminfo/teleportation/
28
29
30
Alice Bob
Coppia ingarbugliara
αψ
β
=
Teletrasporto
Alice ha anche un q-bit da trasmettere a Bob
αψ α β ψ
β
α
ψ
= + ⇔ =
0 1 .
La terza particella (qbit) e' nello stato 0 con ampiezza , etc.
Ne' Alice ne' Bob conoscono .Alice non puo' fare misure perche' modificherebbe il qbit.
A A A AA
A
Alice e Bob hanno ciascuno una particella (sistema a due livelli o qbit) di una coppia ingarbugliata (funzione d’onda che non e’ un prodotto):
ψ−
=coppia
0 1 1 0;
2 0 significa particella in stato 0 in possesso di Alice,etc.
A B A B
A
Stato delle 3 particelle
ψ ψ−
=terna
0 1 1 0
2A B A B
A
Teletrasporto
31
Stato delle 3 particelle
ψ ψ α β
ψ α β
− −= = +
= +
0 1 1 0 0 1 1 0( 0 1 )
2 20 1
A B A B A B A Bterna A A A
A A A
ψ α β α β= + − −2 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 .terna A A B A A B A A B A A B
32
Espandendo,
Alice puo’ fare una copia della terza particella e spedirla a Bob? No. Il no cloning theorem proibisce di fare una cosa del genere.
Stato delle 3 particelle
ψ α β α β= + − −2 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 .terna A A B A A B A A B A A B
33
+ +
− −
+ +Φ = Ψ =
− −Φ = Ψ =
0 0 1 1 0 1 1 0,
2 20 0 1 1 0 1 1 0
, . 2 2
Analizziamo le 2 paricelle di Alice (coppia A) in termini degli stati ingarbugliati di Bell:
+ − + −
+ − + −
Φ + Φ Ψ + Ψ= =
Φ − Φ Ψ − Ψ= =
0 0 , 0 12 2
1 1 , 1 02 2
A A A AA A A A
A A A AA A A A
ovvero:
ψ α β α β= + − −terna2 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0si puo' riscrivere:
A A B A A B A A B A A B
2 ( 1 0 ) ( 1 0 )
( 1 0 ) ( 1 0 )terna B B B BA A
B B B BA A
ψ α β α β
β α β α
+ −
+ −
= Φ − + Φ +
+ Ψ − − Ψ +
Alice misura localmente la sua coppia A facendo collassare istantaneamente tutta la funzione d’onda e puo’ trovare uno dei 4 risultati seguenti
34
α β
+ +
− −
+ +Φ = Ψ =
− −Φ = Ψ =
0 0 1 1 0 1 1 0,
2 20 0 1 1 0 1 1 0
, .2 2
Dopo aver fatto la misura, Alice non ha alcuna informazionesu e . Alice conosce solo l'esito della sua misura.
35
ψ α β α β
β α β α
+ −
+ −
= Φ − + Φ +
+ Ψ − − Ψ +
Dato che lo stato era
2 ( 1 0 ) ( 1 0 )
( 1 0 ) ( 1 0 )terna B B B BA A
B B B BA A
α β
α β
β α
β α
+
−
+
−
Φ −
Φ +
Ψ −
Ψ +
Se viene Bob ha ( 1 0 )
Se viene Bob ha ( 1 0 )
Se viene Bob ha ( 1 0 )
Se viene Bob ha ( 1 0 )
B BA
B BA
B BA
B BA
Dopo la misura fatta da Alice, la particella di Bob non e’ piu’ intrecciata; Bob puo’ misurare il suo spinore, ma non sa quale delle 4 possibilita’ si e’ realizzata.
αψ α β
β
= + →
Cosi’ Bob nell'ultimo caso ha gia’ una copia : 0 1
Alice telefona a Bob e gli e lo dice . Il processo richiede la propagazione di un segnale e non viola la Relativita’.
αψ α β
β
= + →
Abbiamo visto che Bob nell'ultimo caso
ha gia’ una copia : 0 1
36
Negli altri casi
βα β
α
βα β
α
αβ α
β
+
−
+
−Φ ⇒ − →
Φ ⇒ + → −
Ψ ⇒ − →
Bob ha ( 1 0 )
Bob ha ( 1 0 )
Bob ha ( 1 0 )
B BAB
B BAB
B BAB
puo’ ottenerla con una trasformazione di spin.
36
Alla fine Bob non ha la particella originale ma ha una particella identica all’originale ed indistinguibile da essa. Alice non conosce lo stato della particella. Quindi Alice ha trasmesso a Bob informazione che non aveva ma la Relativita’ salvata dalla telefonata (del tutto ?).
Esperimenti sono stati fatti con fotoni.
β β ασ
α α β
β β ασ
α α β
α α ασ
β β β
− − −= = −
= = − −
= = − −
00
0 11 0
1 00 1
yB B B
xB B B
zB B B
ii
i
37
Scientific American June 2011
38
Criptografia QuantisticaDa millenni e’ andata avanti la competizione fra chi voleva criptare i segreti con codici e chi voleva carpirli decifrando il codice. Gli alleati ebbero grande vantaggio quando Alan Turing trovo’ il modo di decrittare i messaggi di Enigma.
Con la meccanica quantistica la gara e’ ormai vinta da chi vuole mantenere i segreti. L’idea dovuta a Charles Bennet ed a Gilles Brassard e’ stata sviluppata negli anni ’80. Vari apparecchi per realizzare la criptografia usando il principio di indeterminazione sono arrivati a livello industriale e sono venduti da varie ditte commerciali.
Alice Bob, devono scambiarsi informazioni segrete, usando un canale publico, comeuna linea telefonica o la radio; chi ha interesse a carpire i segreti puo’ spiare e ricevere i segnali. Il segreto puo’ essere custodito efficacemente solo se Bob e Alice hanno un codice per crittografare; questo vuol dire che devono condividere gia’ una certa quantita’ di informazione segreta prima di cominciare la conversazione.
41
Concettualmente, questa informazione nota sia ad Alice che a Bob equivale a un numero, che e’ la chiave del codice.
Come fanno Alice e Bob a scambiarsi la chiave senza che questa sia ricevuta anche dalla spia che ha accesso al canale pubblico?
Il segnale viene trasmesso come una successione di bit che possono valere1 o 0. Alice e Bob convengono che un fotone polarizzato orizzontale vale 1 ed uno polarizzato verticale vale 0.
=1 =0
Pero’ per trasmettere e ricevere fotoni ambedue dispongono di un secondo filtro polarizzatore ruotato di 45 gradi rispetto al primo in senso orario.
Quindi indicando con un trattino il piano di polarizzazione, il bit 1 puo’ viaggiare come - o come \, mentre il bit 0 puo’ viaggiare come | o come /.
Se il filtro usato per ricevere e’ lo stesso di quello usato per trasmettere, il bit viene letto senza errori, ma se ad esempio un segnale emesso come 1 viene captato con il filtro sbagliato, ci sono 50 probabilita’ su 100 che venga interpretato come 0.Anche nel casso di spin ½ passando il fascio attraverso un apparato di Stern-Gerlach orientato a caso il fascio si divide in due.
Alice manda una successione casuale di bit scegliendo casualmente anchecon quale filtro inviarli, e prendendo nota ogni volta di quello che fa’.
Per ogni bit in arrivo, Bob sceglie a caso quale filtro usare per leggerlo e annota sia il filtro usato che la lettura.
Dopo la fine della trasmissione dei fotoni, Bob comunica ad Alice attraversoil canale pubblico la sequenza dei filtri usati nelle letture (senza comunicareovviamente la sequenza delle letture). Allora Alice pu`o rivelargli, usando lostesso canale, quali filtri sono stati usati correttamente. Allora, eliminati ifotoni letti col filtro sbagliato rimane una sequenza di bit che costituiscono lachiave segreta.
La spia riceve i fotoni, ma la meccanica quantistica impediscedi osservare lo stato di polarizzazione senza modificarlo. Scegliere fra − e | significa scegliere fra due stati ortogonali, come gli stati α e β di uno spin.
La spia, se riceve il fotone con il filtro sbagliato, rischia non solo di leggere la polarizzazione in modo erroneo, ma anche di modificarla. Gli errori introdotti in questo modo finiranno per tradirla.
Infatti scegliendo a caso un piccolo numero di bit fra quelli che costituiscono il messaggio, Alice e Bob possono verificare sul canale pubblico se sono arrivati imperturbati o meno; in quest’ultimo caso la presenza della spia sara’ smascherata.
