Algebra gestion.pdf

5/24/2018 Algebra gestion.pdf

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UNIVERSIDAD PUBLICA DE EL ALTO

CARRERA INGENIERIA DE SISTEMAS

Gestion I-2012

Autor

Lic. Noemi Poma Moya

ALGEBRA

Contenido

CAP 1. Logica BasicaCAP 2. ConjuntosCAP 3. Induccion, divisivilidad

CAP 4. CongruenciasCAP 5. RelacionesCAP 6. FuncionesCAP 7. Numeros Complejos

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UPEA [email protected] 2

[4]. LOGICA

1. LOGICA BASICA

1. Construir las tablas de verdad de las siguientes formas proposicionales:a) (p

q)

((

p)

q)

b) (p p)c) (p q) (( p) ( q))d) p (q r)

2. Probar mediante tablas que las siguientes formas proposicionales son tautologas:a) (p (p q)) qb) ((p q) (q r)) (p= r)c) ((p q) ( p q)) qd) ((p q) p) qe) (p p) q

3. Considere la frase ambigua x2 =y2 implica x= y para todo x, y

a) Transforme esta frase en una proposicion no ambigua cuyo valor de verdad sea verdadero.b) Transforme esta frase en una proposicion no ambigua cuyo valor de verdad sea falso.4. Encuentre proposiciones logicamente equivalentes a las siguientes utilizando solamente los co-

nectivos y a) p qb) (p r) (p q)c) (p r) qd) p ( q r)

5. Sabiendo que p es verdad y q (p r) es falso. Indica el valor de verdad de:a) p qb) r pc) (p r) md) (p r) te) r (p (p r))

6. Proporcione las recprocas de las siguientes proposiciones:a) Sipes primo entonces

p es irracional.

b) Si acepto el mundo que me ofrecen y soy feliz, entonces empiezo a cavar mi propia tumba.c) Sia b= 0, entonces a = 0 o b = 0d) Sia < 0, entonces a1 0 yb


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c) (p q) (p q)d) (p q) (p q)e) [(p q) ( p q)] qf) [( p q) (p q)]

10. Cuales de los siguientes razonamientos son validos?.a)

p (q r)q rp

(q q) (r r)b)

p qq s

(r s)

pc)

p (q r)s q

s r p s

11. Construya demostraciones formales de los siguientes teoremas.a) Si (q r) p; p q; s r yp, entonces s pb) Si (p r); qp; r sy (q s) (t s) entoncess t.c) Sip q; t qyt ( s p), entonces r s.d) Si (p q); q (p t) yr s, entonces t s.

12. Construya demostraciones formales de los siguientes teoremas.a) Sip (q r) yq s, entoncesp (r s)b) Sip q; r sy (p s), entonces q rc) Sip q; r sy q s, entonces p r

13. Construya una demostracion por contradiccion de los siguientes teoremas.a) Sip (q r); (q s) ty p s, entonces tb) Sip (q r); r sy (q s), entoncesp

14. Escribe en lenguaje formal los siguientes razonamientos demostrando si son correctos y especi-fique las reglas de inferencia utilizadas.

a) Si salgo a la calle me visto. Salgo a la calle, por tanto voy vestido.b) La comida incluye el primer plato y el segundo, por tanto incluye el primer plato.c) Si vale menos de Bs. 100 tengo dinero suficiente. Si tengo dinero suficiente lo comprare

Vale menos de Bs. 100 por tanto lo compro.15. Considere las siguientes hipotesis. Si tomo el minibus o el micro, entonces llegare tarde a mi

clase. Si tomo un taxi entonces no llegare tarde a mi clase y me quedare sin dinero. Llegare atiempo a mi clase. Cual de las siguientes conclusiones debe seguir: es decir, puede inferirse delas hipotesis?. Justifica tus respuestas

LIC. NOEMI POMA MOYA 3 NPM


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a) Tomare un taxib) Me quedare sin dineroc) No tomare el microd) Si me quedo sin dinero, entonces tome un taxie) Si tomo el minibus, entonces no me quedare sin dinero

16. Identificar adecuadamente las distintas conectivas lingusticas y las variables proposicionales,

obtener las premisas, la conclusion y estudiar la validez de los siguientes razonamientos.a) Si a es un numero perfecto entonces a es par y n no es un numero impar. aes par y n esimpar. Por consiguiente a no es perfecto.

b) Si no hay huelga o el sindicato miente o el ministro tiene razon. Hay huelga o en casocontrario el ministro se equivoca. Por lo tanto el sindicato no miente

17. Determinar si el siguiente razonamiento es correcto.Si Jose gano la carrera entonces Pedro fue el segundo o Ramon fue el segundo. Si Pedro fue elsegundo entonces Jose no gano la carrera. Si Carlos fue el segundo entonces Ramon no fue elsegundo. Jose gano la carrera. Luego Carlos no fue el segundo.

18. Escribir el siguiente razonamiento en forma simbolica y compruebe su validez.Mi padre me alaba si yo estoy orgulloso de m mismo. O me va bien en deportes o no puedo

estar orgulloso de m mismo. Si estudio bastante, entonces no me va bien en deportes. Portanto, si mi padre me alaba, entonces no estudio bastante

19. Demuestre o Refutea) Sixes un entero impar su cuadrado es impar.b) Six N, el resto de dividir x2 entre 4 solo puede tomar los valores 0 o 1c) Sin es un numero natural y 3n + 1 es un cuadrado perfecto, demostrar que n + 1 es suma

de tres cuadrados perfectosd) Sea x Z,x es par si y solamente si x2 es par. .e) Sia 0 es un numero real tal que para todo numero real positivo, >0, se tiene 0 a < ,

entonces a = 0.f)

2 no es racional

g) La suma de tres enteros consecutivos es multiplo de tresh) El producto de un entero par con un entero impar es pari) La suma de dos primos nunca es primo

j) si un numero realxes racional entonces + xno es racional20. Sines un numero natural y 2n+ 1 es un cuadrado perfecto, demostrar que n + 1 es suma de

dos cuadrados perfectos21. Demostrar que 1 sumado al producto de cuatro enteros consecutivos da un cuadrado.22. Demostrar por contrarrecproco:

m, n Z, si m n es impar, entonces m como n son impares23. Seana, b

N. Se define que a > b si existe un numero natural c

Ntal que a = b +c.

Demostrar: si a > b y b > c entonces a > c

24. Sia es un numero real positivo entonces 1

a es positivo

25. Negar la sentencia:Todos los alumnos de esta clase han aprobado algun examen en Marzo.

26. Escribir de forma simbolica las siguientes sentencias y su negacion de manera que en la expresionfinal no haya ningun cuantificador precedido de la negacion.a) No todos los espanoles son periodistas



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b) Si algun caminante bosteza, todos los caminantes bostezanc) Todo el mundo conoce a algun abogadod) Entre dos numeros reales distintos cualesquiera existe algun numero racionale) No existe un primo mayor que el resto de los numeros primos

27. Escriba formalmente las siguientes frases y su negacion en lenguaje formal y en lenguaje natural.a) Si vale menos de Bs. 10, comere en la cafetera.

b) Todos los habitantes de Madrid viajan en metro.c) Hay personas en todas las ciudades que usan el transporte publico.28. Proporcione un contraejemplo para las siguientes afirmaciones

a) Todo entero mayor que 17 es el cuadrado de un numero enterob) Todo entero mayor que 6 es multiplo de 2 o de 3c) 100n+ 1 > n2 para todo entero n

29. Sea X el conjunto de pases e Y el conjunto de deportes olmpicos. La sentencia M(x, y)significa que el pas x Xha ganado una medalla en el deporte y Y. Escribe las siguientesfrases utilizando cuantificadores, evitando la aparicion de un signo de negacion delante de uncuantificador.a) Ningun pas ha ganado todas las medallas

b) Todos los pases han ganado alguna medallac) Algun Pas ha ganado alguna medallad) Algun Pas no ha ganado ninguna medalla

30. Sea N el conjunto de los numeros naturales y P(a, b) la sentencia a divide a b. Determine elvalor de verdad de las siguientes proposiciones:a) P(2, 3)b) P(5, 10)c) P(2, 3) P(5, 10)d) P(2, 3) P(5, 10)e) P(2, 3) P(5, 10)f)m N, n NP(m, n)g)m N, n NP(m, n)h)n N, m NP(m, n)i)m NP(m, 1)

31. Considerando cualquier universo de discurso, demostrar o refutar las siguientes sentencias:a) SiP(x, y) es cualquier predicado entonces: (xyP(x, y)) (yxP(x, y))b) SiP(x, y) es cualquier predicado entonces: (xyP(x, y)) (yxP(x, y))c) SiP yQ son predicados cualesquiera,x(P(x) Q(x)) (xP(x)) (xQ(x))d) SiP yQ son predicados cualesquiera, ((xP(x)) (xQ(x))) x(P(x) Q(x))e) SiP yQ son predicados cualesquiera,x(P(x) Q(x)) ((xP(x)) (xQ(x)))

2. CONJUNTOS

1. Caracterizar cada uno de los siguientes conjuntos por comprension y por extension (si es posible)a) A es el conjunto de los divisores enteros de 12b) B es el conjunto de los multiplos enteros de 5c) C es el conjunto de los numeros racionales cuyos numeradores

son menores que los denominadores

d) E es el conjunto de enteros divisibles por 3 y menores que 15



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2. Al lado de cada una de las siguientes proposiciones, escribe F (falso) o V (Verdadero), seguncorresponda.

a){a,a,b,c} = {a,b,c}b){a} { {a}}c) a {{a}}

d){a} { {a}}e){{a} } {a, {a}}f){a} = {a, {a}}

3. Dados los siguientes conjuntos:

A= {x Z/|x| 5}B= {x Z/x|4}C= {x N/x2


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a) A= B b) C=D c) C=E

7. Pruebe o refute.a) A B = A C, implica B = Cb) A B = A C, implica B = Cc) A B = A C yA B= A C, implica B = Cd) A B A B, implica A = Be) A B=A C, implica B = Cf) Si para todo conjuntoXse tiene X B=X C, entoncesB =C

8. Pruebe o refute.a) A B P(A) P(B)b) P(A B) =P(A) P(B)c) P(A B) =P(A) P(B)

9. Al lado de cada una de las siguientes proposiciones, escribe F (falso) o V (Verdadero), seguncorresponda.a) {}b) {}c) P({})d) P({})

10. Describir en notacion conjuntista cada una de las ocho regiones en la siguiente figura.(Por ejemploA Bc Cc)

I II III

IV V VI

VII

A B

C

11. De 319 estudiantes, 61 gustan de la materia de algebra, 78 de fsica y 213 no gustan de ningunade las materias. Cuantos estudiantes gustan unicamente de algebra?12. El comite ejecutivo de un centro de estudiantes esta formado por Anibal, Carlos, Gerardo y

Daro. Cada miembro tiene exactamente un voto (no se admiten abstenciones) y se necesita unasimple mayora para aprobar o rechazar una cierta nocion. Si una cierta nocion no se apruebani se rechaza se considera bloqueada y debe considerarse de nuevo. Determina el numero demodos en que los miembros pueden votar de forma que una nocion (a) sea aprobada, (b) searechazada (c)sea bloqueada.



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13. En un grupo de 165 estudiantes, 8 toman c alculo, fsica y programacion; 33 toman calculo yprogramacion; 20 toman calculo y fsica; 24 toman fsica y programacion; 79 estan en calculo83 estan en fsica y 63 toman programacion.a) Cuantos estudiantes toman exclusivamente fsica?b) Cuantos estudiantes toman solamente dos materias?c) Cuantos estudiantes toman calculo y programacion?

d) Cuantos estudiantes toman al menos una de las tres materias?e) Cuantos estudiantes no toman ninguna de estas asignaturas?14. En una encuesta realizada a 120 pasajeros, una lnea aerea descubrio que a 48 les gustaba el

vino (V)con sus alimentos, a 78 les gustaba las bebidas preparadas (P) y a 66 el te helado (T).Ademas, a 36 les gustaba cualquier par de estas bebidas y a 24 pasajeros les gustaba todo.a) Cuantos pasajeros solamente les gusta el te?b) A cuantos de ellos solamente les gusta el vino con sus alimentos?c) A cuantos de ellos solamente les gusta las bebidas preparados?d) Cuantos de ellos les gusta al menos 2 de las bebidas para acompanar sus alimentos?e) Cuantos de los pasajeros no beben ni vino. ni te, ni bebidas preparadas?

15. Demostrar sin utilizar diagramas de Venn:

a) A Bc

A B = b) A B= U Ac Bc) A B (A C) (B C)d) A B (A C) (B C)e) (A B) C A (B C)f) B A (A B) B = Ag) A CyB C (A B) Ch) A B= U A B= B=Ac

16. Demostrar las siguientes igualdadesa) A B= A= B= b) A (B C) = (A B) (A C)c) (A B) (C D) = [(A C) B] [A (B D)]17. Determine los siguientes conjuntosa) Z+ Zb) Z+ Zc) Z+ Z

18. Graficar en el plano cartesianoa) A= {(m, n) N2/ 1 m n 1}b) B= {(m, n) N2/1 m n 4}c) C= {(x, y) R2/x2 =y}d) D= {(x, y) R2/x 0, y 0, x+y= 1}

19. Paran N,sea P(n) la proposicion n3 n es divisible por 6. Revise si esto es verdaderopara cadan 5. Tiene alguna conjetura para n 6?

20. En este ejercicio el universo es N. Para cadan N. Sea:An= {k N :k n} y Bn= {k N :k 2n}

a) Determine6

n=3

An,6

n=3

Bn,6

n=3

An6

n=3

Bn

b) Determine5

n=1

Acn yn=1

(An Bn)c



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21. Sea A0 = {n Z; n es divisible por 3} y para cada n sea Ak = {n+ k: n A0}a) Que relacion hay entre A3 yA0?, A4 yA1?, A30 yA0?b) Generalice sus respuestas de la parte (a)

c) Determine2

k=0

Ak,2

k=1

Ak

22. Sea A = {0, 1, 2, 3, 4} yB = {0, 2, 4}a) Enumere o dibuje los elementos de{(m, n) A B: m+n >3}b) Enumere o dibuje los elementos de{(m, n) A A: m+n= 10}

23. Sean (Ai)iIuna familia de conjuntos y A un conjunto. Demuestre que:

a) A

iI

Ai

=iI

(A Ai)

b) A

iI

Ai

=iI

(A Ai)

3. NUMEROS ENTEROS, INDUCCION MATEMATICA,DIVISIBILIDAD

1. Demostrar por induccion las siguientes formulas:

a)n N, 12 + 32 + 52 + + (2n 1)2 = n(2n 1)(2n+ 1)3

b)n N, 14 + 24 + 34 + +n4 = n(n+ 1)(2n+ 1)(3n2 + 3n 1)

30

c)n N, 15 + 25 + 35 + +n5 = n2(n+ 1)2(2n2 + 2n 1)

12

d)n N, 1 2 + 2 3 + +n (n + 1) = n(n + 1)(n+ 2)3

e)n N, 1 2 + 3 4 + 5 6 + (2n 1)(2n) = n(n + 1)(4n 1)3

f)

nN, 1

2

3 + 2

3

4 + 3

4

5 +

+n(n+ 1)(n + 2) =

n(n+ 1)(n+ 2)(n + 3)

4g)n N, 1

1 5+ 1

5 9+ 1

9 13+ + 1

(4n 3)(4n+ 1) = 1

4n + 1

h)n N, 12

1 3+ 22

3 5+ + n2

(2n 1)(2n+ 1) = n(n + 1)

2(2n+ 1)2. Escribanse en forma explcita las siguientes sumas:

a)5

k=1 k

b)7

j=1 rj

c)

5k=1(6 k)

d)6i=2 a2ie)4

k=1 r2k1

f)5

k=1(k3 + 3k2)

g)5

k=1[k (k 1)]h)

5k=1[k

3 (k 1)3]i)5k=1[k2 (k 1)2]j)5k=1[ak ak1]

3. Escribase explicitamente las sumas:6

k=13ak y 36

k=1 ak4. Escribanse explicitamente las sumas:

5k=1(ak+bk) y

5k=1 ak+

5k=1 bk

5. Demostrar por induccion las siguientes formulas:

a)n N,n

i=1

i2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6



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b)n N,n

i=1

i3 =n2(n + 1)2

4

c)n N,n

i=1

1

(2i + 1)(2i 1)= n

2n+ 1

d)n N,n

i=1(3i 1) = n

2(3n+ 1)

e)n N,n

i=13i1 =3

n

12

f)n N,n

i=1

1

2i(i + 1) =

n(n+ 1)(n + 2)

6

g)n N,n

i=1

i2i1 = 1 + (n 1)2n

h)n N,n

i=1

3i 2 = n(3n 1)2

6. Demuestren

k=0ak =

an+1 1a

1

para a R, a = 0, a = 1 y n N

7. Demostrar que todo numero natural es par o impar.8. Demuestre la desigualdad de Bernoulli (Jacques Bernoulli 1654-1705) Sia > 1,n N entonces

(1 +a)n 1 + n aPor que es esto trivial si a > 0?

9. Probar por induccion que la suma de numeros naturales es asociativa y conmutativa.10. Probar que si el conjuntoAtienenelementos, entonces el conjunto de partes tiene 2n elementos.11. Paran N, n >10,pruebese que,

n 2< n2 n12

12. a) Demuestre n2 > n+ 1 para n 2b) Demuestre n!> n2 paran 4

13. Determine todos los numeros naturales para los cuales: 1 2 3 4 n >2n14. Demostrar por induccion

a) 2n > n2 + 4n+ 5 para todo naturaln 7b)

11

+ 1

2+

13

+ + 1n

>

npara todo natural n 215. Demostrar que para todo numero natural n:

(2n)!1 , el ultimo dgito del numero 22n

+ 1 es 7.

17. Demostrar que para todo numero natural n se tiene 2n

> n18. Demostrar por induccion, que si nes un numero impar, 7n + 1 es divisible por 8.19. Demostrar por induccion las siguientes proposiciones

a)n N : x2n y2n es divisible por (x y)b)n N : x2n1 +y2n1 es divisible por (x +y)c)n N : n3 + 2n es divisible por 3d)n N : 2n+ (1)n+1 es divisible por 3e)n N : 10n + 3 4n+1 + 5 es divisible por 9



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f)n N : 52n + (1)n+1 es divisible por 13g)n N : 72n + 16 1 es divisible por 64h)n N : 9|(10n 1)i)n N : 17|(102n+1 + 72n+1)

j)n N : 13|(92n 42n)k)n N : 6|(52n 1)l)n N : 53|(7

4n

24n

)20. Determinar si el producto de 3 numeros impares consecutivos es siempre divisible por 6.21. Determine si la suma de tres numeros enteros consecutivos es siempre divisible por 6.22. Demuestre que para todo n N

n

3+

n2

2 +

n3

6 N

23. Para todo n natural

3 + 33 + 333 + + 3... n veces

..,3 =

10n+1 9n 1027

24. Paran N,sea p(n) la proposicion 2n2

2n + 7 es primo. Determine para cualesn 5 esverdadera. Tiene alguna conjetura para n 6?25. Considere la proposicion p(n) =n2 + 5n+ 1 es par

a) Demuestre que la veracidad de p(n) implica la veracidad de p(n + 1) para todo n Nb) Para que valores den,p(n) es realmente verdadera? Cual es la moraleja de este ejercicio?

26. Este ejercicio requiere un poco de conocimiento de identidades trigonometricas. Demuestre que| sin(nx)| n| sin x|para toda x Ry para toda n N.

27. Demostrar el principio de induccion completa a partir del principio de induccion ordinario.Indicacion: Si A contiene 1 y A contiene n+ 1 siempre que contenga 1,...n, considerese elconjunto B de todos los k tales que 1,...,k estan todos en A.

28. A manera de repaso demostrar cada uno de los siguientes resultados:

a) a|bimplica a|bcpara cualquier entero cb) a|by b|cimplica a|cc) a|by a|c implica a|(bx +cy) para cualesquiera enterosx e yd) a|by b|aimplicaa= be) a|b a >0, b >0 implica a b

29. Demostrar los siguientes resultadosa) Para cualquier entero positivo m, (ma, mab) =m(a, b)

b) Sid|a, d|by d >0, entonces

a

d,b

d

=

1

d(a, b), si (a, b) =g, entonces

a

g,b

g

= 1

c) Si (a, m) = (b, m) = 1, entonces (a b, m) = 1d) Para todox: (a, b) = (b, a) = (a, b) = (a, b) = (a, b+ ax)e) Sic|a by (b, c) = 1, entonces c|a30. Sim >0, demostrar que [ma,mb] =m[a, b].

31. Sia, b Z, demostrar que [a, b] (a, b) = |ab|32. Demostrar: Si ac|bcentoncesa|b33. Dadoa|byc|dprobar que ac|bd34. Probar que 4 (n2 + 2) para cualquier entero n35. Dado que (a, 4) = 2 y (b, 4) = 2 probar que (a +b, 4) = 436. Probar que si ayb son enteros positivos que satisfacen (a, b) = [a, b] entoncesa = b.



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37. Determinar si las siguientes aseveraciones son verdaderas o falsas. Para la veracidad probar elresultado, para la falsedad, dar un contraejemplo.a) Si (a, b) = (a, c), entonces [a, b] = [a, c]b) Si (a, b) = (a, c), entonces (a2, b2) = (a2, c2)c) Si (a, b) = (a, c), entonces (a, b) = (a,b,c)d) Sia3|c3, entonces a|ce) Sia

3

|c2

, entonces a|cf) Sia2|c3, entonces a|cg) Sipes un primo y p|(a2 +b2) yp|(b2 +c2), entonces p|(a2 c2)h) Sipes un primo y p|(a2 +b2) yp|(b2 +c2), entonces p|(a2 + c2)

38. Sia= pr11 p

r22 p

r33 p

r44 prkk , b= ps11 ps22 ps33 ps44 pskk

dondep1, p2, p3, pk son primos positivos distintos, y cada ri, si 0, entonces, probar que:(a, b) =pn11 p

n22 p

n33 p

n44 pnkk

donde para cadai:ni = mn{ri, si}y[a, b] =pt11p

t22p

t33p

t44

ptkk

donde para cadai:ti= max{ri, si}39. Por descomposicion en factores primos encontrar el maximo comun divisor y el mnimo comun

multiplo de:

a) 98, 294, 392 y 1176b) 320, 450, 560 y 600c) 144 y 520d) 500, 560, 725, 4350 y 8200

e) 54, 76, 114 y 234f) 33, 77 y 121g) 464, 812 y 870h) 2168, 7336 y 9184

40. Utilizando el Algoritmo de Euclides calcular el maximo comun divisor de los numeros dados yexpresarlo como una combinacion lineal de los mismos

a) 937 y 414b) -551 y -874c) 648 y -1218d) 7325 y 8485e) -666 y -12309

f) 1813 y -1789g) 1235 y 477h) 228 y 348i) 329 y 1005

j) 729 y 4527

41. Si (a, 0) = 1 Que valor tendraa?42. Utilizar el algoritmo de la division para probar que todo entero es de la forma 3k, 3k+ 1 o de

la forma 3k+ 2 para algunk Z

4. CONGRUENCIAS

1. Mencionar dos ejemplos de:a) numeros congruentes con 2 modulo 3b) numeros congruentes con 5 modulo 7c) numeros congruentes con 11 modulo 5d) numeros no nulos modulo 12 tal que su producto modulo 12 sea nuloe) numeros distintos de 1 modulo 15 tal que su producto sea 1



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2. Demostrar la regla de divisibilidad por 9: n es divisible por 9 si la suma de sus cifras es divisiblepor 9

3. Encuentre una solucion para cada una de las siguientes congruencias

a) 12x 8 mod 20b) 5x 3 mod 7c) 2x

1 mod 7

d) 2x 1 mod 17

e) 3x 1 mod 19f) 3x 6 mod 18g) 4x

6 mod 18

h) 40x 777 mod 1777

4. Hallar todas las soluciones enteras de las siguientes congruenciasa) 5x+ 2 5 mod 7b) 3x+ 3 4 mod 5

5. Seana, b, c, d, p Zconp >1 tales que a c mod p y b dmod p. Demostrar que:a) ab cd modpb) a +b c+d mod pc)a cmod p

6. Sea a, b, c, m Zcon m > 1. Demostrar o Refutara) Sia +c

b +c mod m, entonces a

b mod m.

b) Sia c b c modm, entoncesa bmod m.7. Muestre que todo numero es congruente con 0,1,2,3 o 4 modulo 58. Demuestre los siguientes criterios de divisibilidad. Recordemos que si un entero se escribe en

notacion decimal como:anan1 a2a1a0

dondea0 es su dgito de las unidades, a1 es su dgito de las decenas, etc.a) Un numero es divisible por 3 si la suma de sus dgitos es divisible por 3.b) Un numero es divisible por 4 si 4|a1 a0. Tambien es divisible por 4 si 4|2a1+a0.c) Un numero es divisible por 5 si su dgito de las unidades es 5 o 0.d) Un numero es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3.

e) Un numero es divisible por 7 sia2a1a0 a5a4a3+ a8a7a6 ...

es divisible por 7.f) Un numero es divisible por 8 si 8|a2a1a0. Tambien es divisible por 8 si 8|4a2+ 2a1+ a0.

9. Encuentre el resto de la division de: 2100 por 11; 734 por 51; 563 por 29.10. Determine el numero mas pequeno que tenga un resto 1 cuando se lo divide por 2, un resto de

2 cuando se lo divide por 3, un resto de 3 cuando se lo divide por 4 y un resto 4 cuando se lodivide por 5.

11. Una mujer tiene un cesto de manzanas. Haciendo grupos de 3 sobran 2 y haciendo grupos de4 sobran 3. Halla el numero de manzanas que contiene el cesto sabiendo que tiene aproxima-

damente 100.12. Halla un numero que al dividirse por 10 da de resto 9, al dividirse por 9 da de resto 8 yas sucesivamente hasta que al dividirse por dos deje residuo 1.

13. Encuentra dos multiplos de 7 que dejen resto 1 cuando se divide por 2, 3, 4, 5 o 6.14. La banda

El director de una banda bastante grande de musicos de un pueblo de Palencia estaba deses-perado. Hiciese como hiciese la formacion de sus musicos para desfilar, siempre le sobraba unoque se llamaba Cano y tocaba los platillos. Si colocaba a los musicos de 4 en fondo, le sobraba



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uno, el pobre Cano que tena que ir solo al final; si formaban en columna de a tres, el problemasegua siendo el mismo: Cano y sus platillos otra vez solos al final. Incluso cuando la bandadesfilaba de dos en dos ocurra igual. Luisa, la mujer de Cano, que era una gran observadora,propuso al director que los colocase de 5 en fondo. Este le hizo caso y, sorpresa!, todas lasfilas quedaron completas, ya no sobraba el pobre Cano. Cuantos musicos tena la banda, sisabemos que tena mas de 30 pero menos de 100?

5. RELACIONES

1. Se considera el conjunto A = {a, b}a) Cuantas relaciones binarias se pueden definir sobre A?b) Encontrar todas la relaciones de equivalencia que se pueden definir sobre A

2. Se consideranA= {1, 2, 3, 4, 5} B = {1, 4, 6, 16} y C= {2, 3, 8, 10}y las relaciones:R A B, S B Cdefinidas por:

(x, y) R y= x2, (y, z) S z= y2

Se pide:a) Determinar Ry Spor extension

b) Definir la composicion S R A Cpor extensionc) Determinar los dominios e imagenes de las tres relaciones

3. Demostrar que la relacion de congruencia modulo m es una relacion de equivalencia.4. Sea A un conjunto se define la relacion identidad de A como I dA= {(x, y) A A: x = y}.

SeaA un conjunto y R una relacion sobre A. Demostrara) R IdA= Rb) Id1A =I dA

5. SeanAun conjunto yR A Auna relacion en A, demostrar:a) R es reflexiva si y solo siI dA Rb) R es simetrica si y solo siR1 =Rc) R es antisimetrica si y solo siR

R1

IdA

d) R es transitiva si y solo siR R R6. SeaA el conjunto de todos los triangulos en el plano, R una relacion definida en A por:sRt si

y solo sises semejante a t. Clasificarla.7. Sea A = {1, 2, 3} y R la relacion enA dada por R = {(1, 2)(1, 3)(2, 3)}. Hallar:

a) R R1b) R1 R

c) R Rd) R1 R1

8. Sea A={1, 2, 3}, B ={4, 5, 6}, C={2, 3, 4} con R={(1, 4), (1, 5), (2, 6), (3, 4)} una relaciondeAen B yS= {(4, 2), (4, 3), (6, 2)} una relacion de B enC. Hallar:a) S

R

b) R

1 S

1

c) (S R)19. Sea R una relacion en N dada por :

xRy si y solo sik Z :x y= 5 k.Se define Si= {x: xRi}, i N. Determinar S1, S2, S3, S4, S5, S6, S7

10. Sean A ={1, 2, 4}, B ={1, 3, 4}. Sean R ={(1, 1), (4, 3), (2, 3)} una relacion de A en B,S= {(1, 1);(3, 4); (3, 2)} una relacion de B enA y T = ; una relacion deAen B . Encuentre



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a) Dom(R)b) Im(R)c) S Rd) Dom(S R)e) Dom(R S)

f) R1 S1g) (R S) Rh) R Si) Dom(S)

j) Im(S)

k) S1 R1l) Dom(T)

m) Im(T)

11. SeanRuna relacion de A en B ySuna relacion de B enC. Demostrar:a) Dom(S R) Dom(R)b) Im(S R) Im(S)

12. En el conjuntoA = {1, 2, 3, 4} se consideran las siguientes relaciones:R1= {(1, 1), (1, 2)}, R2={(1, 1), (2, 3), (4, 1)}, R3 = {(1, 3)(2, 4)}, R4= {(1, 1), (2, 2), (3, 3)},R5= A A,R6= . Deter-minar cuales son reflexivas, simetricas, transitivas.

13. Sean el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y la relacion:R= {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5), (6, 6)}

enA. Es R una relacion de equivalencia? En caso afirmativo cual es el conjunto cociente ?14. En R2 se considera la relacionR siguiente:

(x1, y1), (x2, y2)

R2 (x1, y1)R(x2, y2)

x1= x2

Demostrar que R es relacion de equivalencia y representar geometricamente, en el plano reallas clases de equivalencia

15. En Z (Z {0}) se considera la relacion Ssiguiente:(a, b)S(c, d) a d= b c

a) Demostrar que es una relacion de equivalencia.b) Calcular la clase de equivalencia [(4, 8)]

16. Considerar la relacion R definida sobre N

mRn si y solo si (k N) :m2 =k nEstudiar sus propiedades (demostrandolas las que se satisfacen y dar un contraejemplo las que

no se satisfacen)17. Considerar la relacion definida en R2

(x1, y1), (x2, y2) R2, (x1, y1) (x2, y2) 5x21 x1 5x22+x2= y1 y2Clasificarla.

18. Consideremos un conjuntoAyBun subconjunto deA. EnP(A) definimos la siguiente relacion:

XRY si y solo si X B= Y BDemostrar que R es una relacion de equivalencia.

19. En el conjunto de los enteros Z se define la relacion: x y x2 y2 = x y.Es unarelacion de equivalencia? En caso afirmativo, cual es la clase asociada al elemento a Z?

20. Sean R, S relaciones sobre A. Para cada una de las siguientes afirmaciones, determine si esverdadera o falsa, dando una demostracion o un contraejemplo respectivamente:a) SiRySson reflexivas sobre A , entonces R Stambien lo es.b) SiRySson simetricas, entonces R Stambien lo es.c) SiRySson transitivas, entonces R Stambien lo es.

21. Sea R una relacion sobre A. Para cada una de las siguientes afirmaciones, determine si esverdadera o falsa, dando una demostracion o un contraejemplo respectivamente:a) SiRes asimetrica entonces R R1 =



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b) SiR R1 = entoncesR es asimetricac) SiRes antisimetrica entonces (R R1) IdAd) Si (R R1) IdA entonces R es antisimetricae) SiRes asimetrica entonces R es antisimetricaf) SiRes antisimetrica entonces R es asimetrica

22. DadoXun conjunto no vaco yS X, sea RS una relacion definida enP(X):RS= {(A, B) P(X)

2

:A Bc

S}. Demostrar que si RS RS= , entonces S=X23. Sea A = {2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 48} y denota el orden parcial de divisibilidad en A,si B ={4, 6, 12} encuentre, si existen, cotas superiores, cotas inferiores, maxima cota inferiory mnima cota superior de B .

24. SeaA, el conjunto de factores de un entero positivo m y sea la relacion de divisibilidad.Dibuje el diagrama de Hasse para m = 2, m= 6, m= 30, m= 45.

25. De un ejemplo de una relacion que sea tanto de equivalencia como de orden parcial.26. Defina las relaciones


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31. Dado los dos diagramas de Hassea) Cuales son los elementos maximales?b) Cuales son los elementos minimales?c) Cuales tienen ultimo elemento?d) Cuales tienen primer elemento?e) Encuentre si es que existen, los siguientes elementos:

sup{d, c}, mn{a,b,c,d},sup{q,p,r}, mn{s,q,p,r}

o

p

q

r

t

s

u

v

e

d

c

b

a

32. Dibuja un diagrama de Hasse para el conjunto D24= {x: x|24} con la relacion divisor de33. Dibuja un diagrama de Hasse para el conjunto D180 ={x : x|24} con la relacion divisor

de(Sugerencia: Dibuja un diagrama tridimensional)

6. FUNCIONES

1. Sea f : A B donde A ={1, 2, 3, 4}, B ={1, 3, 5}y f es dada por f(1) = 1, f(2) = 1,f(3) = 5, f(4) = 5. Determinar:

a) f({1, 3})b) f({1, 2})c) f1({1})d) f1({4})

2. Definimosf : R Rde la siguiente forma

f(x) =

x3, si x 1x, si 0 x


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c) Hay funciones que transforman Ssobre T?d) Hay funciones que transforman T sobre S?e) Hay alguna correspondencia uno a uno entre SyT?

5. SiB = {1, 2, 3, 4}yC= {a,b,c}a) Cuantas funciones f :B C hay?b) Cuantas funciones f :B Cson inyectivas?c) Cuantas funciones g : C B hay?d) Cuantas funciones g : C B son inyectivas?e) Cuantas funciones f :B Ccumplenf(1) =a?f) Cuantas funcionesf :B Ccumplenf(1) =f(2) =a?g) Cuantas funciones f :B Ccumplenf(1) =a, f(2) =b?

6. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y sea f :A Auna funcion dada por

f(x) =

x + 1, si x = 61, si x = 6,

a) Encuentre f(3), f(6), (f+ f)(3), f(f(2)).b) Encuentre una preimagen de 2 y de 1.

c) Muestre que f es inyectiva.7. Muestre que f : R R dada porf(x) =x3 es 1-1 y sobreyectiva mientras queg : R Rdada

por g(x) =x2 1 no es 1-1 ni es sobreyectiva.8. Sea S= {1, 2, 3, 4, 5} y considere las siguientes funciones de SenS: 1S(n) =n, f(n) = 6 n,

g(n) = max{3, n},h(n) = max{1, n 1}.a) Escriba cada una de estas funciones como un conjunto de pares ordenados; es decir, enumere

los elementos de su grafica.b) Esboce la grafica de cada una de estas funcionesc) Cuales de estas funciones son uno a uno y sobre?

9. Para n Z sea f(n) = 12

[(1)n + 1]. La funcion f es la funcion caracterstica de algun

subconjunto deZ.Cual subconjunto?10. Representar y clasificar las siguientes funciones:a) Sea f : R Rtal que f(x) =x 1b) Sea f : R Rtal que f(x) =x2 1c) Sea f : R [1, ) tal que f(x) =x2 1d) Sea f : [1, ) R tal que f(x) =x2 1e) Sea f : R+ R+ tal que f(x) =x2 1

11. De correspondencias inyectivas entre los siguientes pares de conjuntosa) (0, 1) y (1, 1)b) [0, 1] y [5, 8]c) (0, 1) y (0, )

12. Sea E= {n N :n es par}. Exhiba funciones inyectivas f : N Eyg : N N E13. Esta es otra funcionf inyectiva que transforma (0, 1) sobre R:

f(x) = 2x 1x(1 x)

a) Esboce la grafica de fb) Si sabe un poco de c alculo demuestre que f es inyectiva mostrando que su derivada es

positiva en (0, 1).



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14. Si el dominio de g es A ={0, 1,...,n}, encuentre un dominio de fen los casos siguientes, demanera queg feste bien definida.a) f(x) =

x + 3, six es par

x, six es impar

b) f(x) = 5x 1c) f(x) =x(n

x)

15. Dar un ejemplo de una funcion fque sea inyectiva pero no suryectiva16. Dar un ejemplo de una funcion g que sea suryectiva pero no inyectiva17. SiA = {1, 2, 3, 4}. Exhibir funciones f yg de A en A tal que f g=g f.18. Sea Uun conjunto no vaco yA, B U. Sea f : P(U) P(U), f(X) =A (B X), pruebe

quef f=f19. Sea f :A B, g :C D. Defina h: A C B D tal que h(a, c) = (f(a), g(c)). Pruebe

queh es biyectiva si y solo si, f yg son biyectivas.20. SiB yCson conjuntos no vacos. Probar que la funcion:

f :B C C B

dado por f(x, y) = (y, x) es una biyeccion.21. Seanf :B Cyg: C D funciones. Probar:a) Sif yg son inyectivas, entonces g f :B D es inyectiva.b) Sif yg son sobreyectivas, entonces g f :B D es sobreyectiva.

22. Sea g : B C C (conB= ) la funcion dada por g(x, y) =y.a) Probar que g es sobreyectivab) Bajo que condiciones g es inyectiva?

23. Sea B un conjunto finito y f :B B es una funcion. Probar que fes inyectiva si y solamentesi es sobreyectiva.

24. Seanf :B Cyg: C D funciones biyectivas. Demostrar que:a) La funcion compuesta g f :B D es biyectivab) (g f)

1

=f1

g1

25. Sea g :N N definida por g(n) = 2n. Si A= {1, 2, 3, 4} y f :A N esta definida mediantef= {(1, 2), (2, 3), (3, 5), (4, 7)}, halle g f

26. Seaf, g: R R, dondeg(x) = 1x + x2,f(x) =ax + b, (g f)(x) = 39x + 9x2, determneseayb.

27. Clasificar las siguientes funciones g : R R,ademas determnese la imageng(R).a) g(x) =x+ 7b) g(x) = 2x 3c) g(x) = x+ 5d) g(x) =x2

e) g(x) =x2 +x

28. Sea f :X Yuna funcion. Demostrar queA, A

X, B, B

Y :a) A A f(A) f(A)b) B B f1(B) f1(B)c) f(A A) =f(A) f(A)d) f1(B B) =f1(B) f1(B)

29. Sea f :X Yuna funcion. Demostrar queA, A X, B, B Y:a) f1(B B) =f1(B) f1(B)b) f(A A) f(A) f(A)



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c) f(A A) =f(A) f(A) si y solamente si fes inyectiva30. Sea f :X Yuna funcionA, A X, B, B Y. Se tiene

f1(Bc) = [f1(B)]c probar!

Para que:

f(Ac) = [f(A)]c

sea valida para todoAes necesario y suficiente que fsea biyectiva (Probar!)31. Sean las funciones f :X Y,g: Y Z. SeaA X, pruebe que: (g f)|A= g (f|A)32. Sean las funciones

A f B g C h D

tal que g f yh g son biyecciones, probar que f , g, hson biyectivas.33. Sea f :X Yuna funcion. Para todo A X, demostrar:

a) A f1[f(A)]b) A= f1[f(A)] si y solamente si fes inyectiva

34. Sea f :X Yuna funcion. Para todo B Y, demostrar:a) f[f1(B)]

B

b) f[f

1(B)] =B si y solamente si fes suryectiva35. Sea f :E Funa funcion, (Xi)iIcualquier familia de subconjuntos de E. Demostrar

a) f(iI

Xi) =iI

f(Xi)

b) f(iI

Xi) iI

f(Xi)

c) f(iI

Xi) =iI

f(Xi) si y solamente sif es inyectiva.

36. Sea f :E Funa funcion, (Yi)iIcualquier familia de subconjuntos de F. Demostrara) f1(

iI

Yi) =iI

f1(Yi)

b) f1(

iIYi) =

iIf1(Yi)

7. NUMEROS COMPLEJOS

1. Calcular

a) (1 + i)9

1 +i

b) (1 +i)9

(1 i)72. Cuantos valores diferentes puede tomaar la expresionin +in?3. Calcular el valor de:

i2 + 2i4 + 3i6 + 4i8 + 5i10 + 6i12

4. Calcular tres argumentos del numero complejo 1 +i5. Calcular asabiendo que:

a + 3i

2 5ies un imaginario puro

6. La diferencia de dos numeros complejos es real, su producto vale 1 + 3i y la parte real de lasuma es igual a 3. Calcular la suma de los cuadrados de los m odulos.



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7. Hallar el modulo del complejo:

Z=(4 + 3i)2(1 +i)4

(

3 +i)5

8. Calcular la raz cuadrada de 5 + 12i9. Determinar las races cubicas de la unidad.

10. De las dos races complejas que aparecen en la raz cubica de la unidad, una de ellas es elcuadrado de la otra. Si una raz compleja de la unidad es w, la otra esw2, siendo la tercera elnumero real 1.a) Demostrar 1 +w+w2 = 0b) Calcular (1 +w w2)3 (1 w+w2)3

11. Cual es el argumento del numero complejo 8(

3 3i) + 52(1 +i)?12. Obtener las dos races complejas de la ecuacion de segundo grado x2 33x + 9 = 0, y

expresarlas en forma polar. Como son entre si?13. La suma de dos numeros complejos conjugados es 8 y la suma de sus modulos es 10. Cuales

son los numeros complejos en cuestion?14. Resuelva las ecuaciones

a) (2 +i)z= 3 +ib) (2 +i)(1 +i) = 2 +zi15. Dadoz= 1 + sin a +i cos a,determinar|z2 z|16. Calcule y represente en el plano complejo los numerosz= x +iy, tales que:

a)|z| = 3b)|z| 7c)|z 2| 5d)|z i| |z+i|e) z+z= |z|2

17. Determinar los conjuntos de puntos del plano que satisfacen a las siguientes relacionesa)2 Im(z)< 3b)|z+ 1| >2c)

4 Arg(z) 3

4 |z|


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a) Re (zw +zw) =zw+zwb) Im (zw zw) =zw zw

25. Demostrar por induccion completa la formula de Moivre

(cos x +i sin x)n = cos nx +i sin nx

26. Utilizando la formula de Moivre, demostrar las siguientes formulas

a) sin2x= 2 sin x cos xb) sin3x= 3 cos2 x sin x sin3 x

c) cos2x= cos2 x sin2 xd) cos3x= cos3 x 3cos x sin2 x

27. Determinar y representar las races que se indican

a) 4

1 i b) 3i c) 38

28. Dadosu =

2 + i

2 yv =

2 i2, emplee la forma exponencial para hallar uv y uv

29. Hallar las races cubicas de1 i3 y expresalas en la forma binomica.30. Halle las races cuadradas de2 2iy representelas en el plano complejo.31. Demostrar: log(

1) =i

32. Hallar

a) log c b) log i c) log(ci)33. Determinar los valores principales de las exponenciales siguientes

a) w= (

2 i)1i b) w= (3i)2i c) w= (1 i3) 1i

34. Resolver la ecuacion x2i 2xi + 2 = 035. Obtener el valor principal de zen los siguientes casos

a) (1

i)z = 1

b)1 +i3

2

z=i


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