Algebra - GiG VEZBE

8/16/2019 Algebra - GiG VEZBE

http://slidepdf.com/reader/full/algebra-gig-vezbe 1/67

Skupovi

1. Proveriti koje od sledecih jednakosti su tacne:

(a) {1, 2, 1, 3, 2} = {1, 2, 3} (f) [1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3] = {1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3}

(b) (1 , 2, 3) = (1 , 2, 2, 2, 3, 3) (g) [1, 1, 2, 3, 3, 3, 4] = [4, 3, 1, 3, 2, 3, 1]

(c) {1, 2, 3} = (1 , 2, 3) (h) [1, 2]3 ,2 = {1, 2}

(d) (1 , 2, 3, 4) = (4 , 1, 3, 2) (i) [1, 2]3 ,2 = (1 , 1, 1, 2, 2)

(e) [1, 2, 3] = {1, 2, 3}

Re senje :

Tacne su jednakosti (a), (e) i (g).

2. Za skupove A,B, C ⊆ U dokazati da vazi:

(a) (A ∩ B )′

= A′

∪B′

;(b) A ∪ (B ∩C ) = ( A ∪B ) ∩ (A ∪C ).

Re senje :(a) x ∈ (A ∩ B ) ′

⇔ ¬ (x ∈ A ∩ B )⇔ ¬ (x ∈ A ∧x ∈ B )⇔ ¬ (x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ B )⇔ x ∈ A ′

∨x ∈ B ′

⇔ x ∈ A ′∪B ′ .

Koristili smo tautologiju: ¬( p∧q ) ⇔ ¬ p∨ ¬q .

(b) x ∈ A ∪ (B ∩C ) ⇔ x ∈ A ∨x ∈ B ∩C ⇔ x ∈ A ∨ (x ∈ B ∧x ∈ C )⇔ (x ∈ A ∨x ∈ B ) ∧ (x ∈ A ∨x ∈ C )⇔ x ∈ A ∪B ∧x ∈ A ∪C ⇔ x ∈ (A ∪B ) ∩ (A ∪C ).

Koristili smo tautologiju: p∨ (q ∧ r ) ⇔ ( p∨q ) ∧ ( p∨ r ).

3. Jedna grupa studenata je anketirana o tome da li su korisnici MT S , Telenor ili V IP mobilnemreze. MT S karticu imaju 23, Telenor karticu 22, a V IP karticu 17 studenata. Takodje jeutvrdjeno da 8 studenata poseduje istovremeno M T S i T elenor karticu, 5 studenata M T S i V IP ,a 7 studenata Telenor i V IP . Usluge sva tri mobilna operatera koriste 3 studenta. Odrediti brojanketiranih studenata ako je poznato da dvoje od njih ne poseduju mobilni telefon.Re senje : Anketirano je 47 studenata.



Relacije

1. Ispitati koje od osobina (R, S, A, T) imaju sledece relacije skupa A = {1, 2, 3, 4, 5}:

ρ1 = 1 1 3 21 2 3 4 ρ4 = 1 2 1 1 2

2 3 4 3 4 ρ7 = 1 2 3 4 51 2 3 4 5

ρ2 = 3 53 5 ρ5 = 4 3 5 4 3 45 4 3 3 3 4 ρ8 = ∅

ρ3 = 3 4 3 44 3 3 4 ρ6 = 1 2 2 3 3 4 5

1 2 3 3 5 4 5 ρ9 = A 2

Re senje :

ρ1 ρ2 ρ3 ρ4 ρ5 ρ6 ρ7 ρ8 ρ9

R − − − − − + + + +S − + + − − − + + +A + + − + − + + + −

T − + + + − − + + +2. Dopuniti relacije iz prethodnog zadatka tako da budu reeksivne, simetricne, odnosno tranzitivne.

Re senje :ρR

1 = ρ1 ∪ 2 3 4 52 3 4 5 ρS

1 = ρ1 ∪ 2 41 2 ρT

1 = ρ1 ∪ 14

ρR2 = ρ2 ∪

1 2 41 2 4 ρS

2 = ρ2 ρT 2 = ρ2

ρR3 = ρ∪

1 2 51 2 5 ρS

3 = ρ3 ρT 3 = ρ3

ρR4 = ρ4 ∪

1 2 3 4 51 2 3 4 5 ρS

4 = ρ4 ∪ 2 3 4 3 41 2 1 1 2 ρT

4 = ρ4

ρR5 = ρ5 ∪

1 2 51 2 5 ρS

5 = ρ5 ∪ 5 34 5 ρT

5 = ρ5 ∪ 5 54 5

ρR6 = ρ6 ρS

6 = ρ6 ∪ 3 52 3 ρT

6 = ρ6 ∪ 25

ρR7 = ρ7 ρS

7 = ρ7 ρT 7 = ρ7

ρR8 = ρ7 ρS

8 = ρ7 ρT 8 = ρ7

ρR9 = ρ9 ρS

9 = ρ9 ρT 9 = ρ9

3. Na skupu Ai data je relacija ρi . Ispitati njene osobine:

A1 = Z , ρ1 = {(x, − x) | x ∈Z } A4 = N , ρ4 = {(x, y ) | x + y je paran broj }

A2 = Q , ρ2 = {(x, y ) | x · y = 0} A5 = R , ρ5 = {(x, y ) | x · y > 0}

A3 = {1}, ρ3 = {(1, 1)}

Re senje :

ρ1 ρ2 ρ3 ρ4 ρ5R − − + + −S + + + + +A − − + − −T − − + + +



4. Primeri relacije poretka:

(a) ( N , ≤ ) - gde je ≤ relacija ”manje ili jednako”. Jedini minimalni i najmanji element je 1, anajveceg i maksimalnih elemenata nema.

(b) (P (A),⊆) - gde je ⊆ relacija ”biti podskup”. Jedini minimalni i najmanji element je ∅, a jedini maksimalni i najveci element je A.

(c) (N

, |) - gde je | relacija defnisana sa m | n ⇔ (∃k ∈ N ) n = km . Najmanji i jedini minimalnielement je 1, a najveceg i maksimalnih elemenata nema.

(d) ( Z , |) - nije uredjen skup jer relacija | nije antisimetricna na Z (npr. 2 | − 2 i − 2 | 2, ali2 = − 2).

(e) (N \ { 1}; |) - najmanjeg elementa nema, minimalni elementi su svi prosti bro jevi, a najvecegi maksimalnih elemenata nema.

5. Za date uredjene skupove ( A, ρ ) nacrtati Haseov dijagram, i odrediti najveci, najmanji, minimalnei maksimalne elemente (ako postoje):

(a) A = Z i ρ = ≥ ;

(b) A = {{1, 2}, {2, 3}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 2, 3, 4}} i ρ =⊆;

(c) A = {1, 2, 3, 4} i ρ = 1 2 3 41 2 3 4

(d) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} i ρ = 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 3 4 4 5 61 2 3 4 5 6 2 4 6 3 4 5 6 4 6 5 6;

(e) A = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 12, 18, 36} i ρ = |;(f) A = {2n | n ∈N}∪ {1, 3} i ρ = | .

Re senje :

(a) Ni minimalni, ni maksimalni, ni najmanji, ni najveci elementi ne postoje.

(b) Minimalni elementi su {1, 2} i {2, 3}, tako da najmanji element ne postoji, a jedinstvenimaksimalni i najveci element je {1, 2, 3, 4}.

(c) Uredjeni skup ( A, ρ ) je antilanac, pa su svi elementi istovremeno i minimalni i maskimalni,a najmanji i najveci ne postoje.

(d) Jedinstveni minimalni i najmanji element je 1, a maksimalni elementi su 5 i 6, te najveci nepostoji.

(e) Minimalni elementi su 2,3,5,7, a maksimalni su 5,7,36. Najmanji i najveci element ne postoji.

(f) Jedinstveni minimalni i najmanji element je 1, a jedinstveni maksimalni, ali ne i najvecielement je 3.

6. Relaciju ρ = 2 1 7 4 5 32 3 5 6 5 4 dopuniti do relacije ekvivalencije σ na skupu A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},

a zatim odrediti faktor skup [ A]σ .

Re senje : σ = ρ ∪ 1 3 4 6 7 3 4 6 5 1 4 3 6 1 61 3 4 6 7 1 3 4 7 4 1 6 3 6 1

[A]σ = {{1, 3, 4, 6}, {2}, {5, 7}}.

7. Naci relaciju ekvivalencije ρ na skupu A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ako je njen faktor skup [A]ρ ={{1, 3, 4}, {5}, {2, 6}}.

Re senje : ρ = 1 3 4 1 3 3 4 1 4 5 2 6 2 61 3 4 3 1 4 3 4 1 5 2 6 6 2



Funkcije

1. Za date skupove A i B , i date skupove f i ⊆ A × B ispitati: da li su f i funkcije iz skupa A u skupB , da li su injektivne i da li su sirjektivne funkcije iz A u B :

A = {1, 2, 3, 4}, B = {a,b,c }

f 1 = 1 2 4a a b f 2 = 1 2 3 2 4a b c b a f 3 = 1 2 3 4b c b b f 4 = 1 2 3 4a b c a

Re senje :

f i : A → B injektivna sirjektivnaf 1 ne / /f 2 ne / /f 3 da ne nef 4 da ne da

2. Neka je A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} i neka su funkcije f : A → A i g : A → A denisane sa

f = 1 2 3 4 5 65 2 5 5 3 5 i g = 1 2 3 4 5 6

5 3 1 6 4 2 .

Odrediti funkcije g− 1 , f ◦ g, g ◦ f, f ◦ f, g ◦ g.

Re senje :

g− 1 = 1 2 3 4 5 63 6 2 5 1 4 f ◦ f = 1 2 3 4 5 6

3 2 3 3 5 3

f ◦

g = 1 2 3 4 5 63 5 5 5 5 2

g◦

f = 1 2 3 4 5 64 3 4 4 1 4

g ◦ g = 1 2 3 4 5 64 1 5 2 6 3

3. Za funkcije f : R → R i g : R → R denisane sa f (x) = 1 − 3x i g(x) = x2 − 1

3 naci funkcije

f − 1 , f ◦ g, g ◦ f, f ◦ f, g ◦ g.Re senje :

f − 1 (x) = 1 − x

3

f ◦ g(x) = f (g(x)) = 1 − 3 · x2 − 1

3 = 2 − x 2

g ◦ f (x) = g(f (x)) = (1 − 3x)2 − 1

3 = 3x 2 − 2x

f ◦ f (x) = f (f (x)) = 1 − 3 · (1 − 3x) = 9 x − 2

g ◦ g(x) = g(g(x)) =x 2 − 1

3

2

− 1

3 =

x4 − 2x 2 − 827



Grupoidi, polugrupe, grupe

1. Koji od sledeCih uredjenih parova su grupoidi? Za te grupoide ispitati koje osobine imaju(komutativnost, asocijativnost, neutralni element):

(1) (N,+) (4) Z,-) (7) (lR,:) 10) { - l , D , l } , + )

(2) (N,') (5) (Z,·) (8) (lR \ {D},:) (11) ({ I : -- A},a)

(3) (N, - (6) (Z \ {D},:) 9) {- l ,D , l} , . )

RESENJE:

(1) (N, +) je komutativan i asocijativan grupoid, bez neutralnog elementa.

(2) N,·) je komutativan i asocijativan grupoid, sa neutralnim element om 1.

(3) (N, - nije grupoid jer npr. 2 - 5= -3 ¢ N.

(4) (Z, - ) je grupoid koji nije ni komutativan, ni asocijativan, niti ima neutralni element.

(5) (Z, ) je komutativan i asocijativan grupoid, sa neutralnim elementom 1.

(6) (Z \ {D},:) nije grupoid jer npr. 2 : 5¢ Z.(7) (lR 1 : nije grupoid jer deljenje nulom nije definisano.

(8) (lR \ {D},:) je grupoid koj nije ni komutativan, ni asocijativan, niti ima neutralni element.

(9) {-I, D I},.) je komutativan i asocijativan grupoid, sa neutralnim elementom 1.

(10) {-I, D I}, +) nije grupoid jer npr. 1 + 1 = 2 ¢ {-I , D I}.(11) ({ I : -- A},a) je asocijativan grupoid sa neutralnim elementom lA, ali nije komu

tativan.

2. Ispitati koje osobine ima grupoid G,*), akoje G = {a,b, c} , a operacija * je data tablicom:

*b c

a c a ab b c

c b c b

RESENJE: Operacija * nije komutativna jer njena tablica nije simetricna U odnosu na glavnudijagonalu, a nije ni asocijativna jer vazi: a * a *a) = a *c = a = = b = c *a = a *a) * a.Neutralni element grupoida G, *) je b jer je njegova vrsta jednaka granicnoj vrsti i njegovakolona je jednaka granicnoj koloni.

3. Primeri podgrupoida

(a) Par - skup parnih (prirodnih) brojeva, Nep - skup neparnih (prirodnih) brojeva. PaT, +)jeste podgrupoid od (N, +), a N ep, +) nije.

(b) (N, +) je podgrupoid od (Z, +) je podgrupoid od (Q, +) je podgrupoid od (lR, +) je podgrupoid od (te, +).

(c) ({ -1 , 1}, .) je podgru poid od ({ -1 , D I}, .)

4. NaCi sve podgrupoide grupoida G, *), ako je G = {a, b c, d} , a operacija * je data tablicom:

* b c da b a a ab b b d cc c b d dd d b d d

RESENJE: NosaCi podgrupoida su: {b}, {d}, {a, b}, {c, d}, {b, c, d} i G.



5. Dat je grupoid S = ({I, 2, 3, 4},*), gde je operacija * definisana sa: x * y = min{ x, y}.

(a) Dokazati da je S komutativan monoid, ali nije grupa.

(b) NaCi sve podgrupoide grupoida S.• V\e..-v..+Y';;,\\'\A € . - l ~~ ; ~we.nJe: ( ~ ) . ~ . : ) ( . . l : i a h ~ : ~ ~ , ~ l O V \ a -U\';' ~ a V ~ j \ . \4

0 \ 2 . : ; ~ y ~ a l . \ I l ; ~ 1te. s I.A '5,a ~ ( ~ \ t \ \ t~ .> < ( d l 2 : ) = ~ d ) . fr . ~ ~ ~ x d , : r ~

1 ~ ~ " 1 . 1 < . C > W \ \ \ . A . ~ Q . . + t v V \ o s t: - (b') 5", l . e r ~ f' 0 d...<;,Ic.u.po \/ i 'Q\C.U.Pd2. -\ 2. 'l.. 2. bbL.:c.a. o(->erac.'i' ~ ~ S 1 1 M ~ C \ t a

~ ~ 1 2 \ ~ 1 l . tSIA V\.oS2c; p E ) a G ~ f l ~? > 1 2 . 3 3 \A oc\ , (lCZVl V\c. ~ l ~ v V \ l , A .J . i \ a ~ o a . . l M.

L t 2 3 l f

6. Dat je grupoid G , *) gde je = {e, a, b c} i operacija * je definisana Kejlijevorn tablicorn. Dokazati da je G, *) Abelova grupa .

. t : ea - \ v - o ~ s ; :

e a b c ~ j O V O - v'f"S-ta i -olo\l\ov ~ ~\ ' M "'" +--'olA'"" 'O:l.... Oe a b c 'b OJ'\d-vI.Ac:\Il. I'V',," .~ h i ~ G).

a e c b e-\::;:. e I ec.-I 'l ~ ~c b-'-=-Io , c-\ "'"e~ k > a . C ; . r ~ a . . S o c i i a . J ; ~c b a e

• Ie O IM IA.+0- -t.\fV\.v ... ~ :-:e;l,061A~ a ~ v - e .x.... \ tEo C;

\ T ' 0.. , ( b ~eo) -::.0.... C l ' e \ r ~ ~ ,\-GIl ~ t ~ b \ . . i ( . . a i I ~e A v - \ ~ ~l . t

C9-*b),\e. . ~ ~ e ' oJ.."'-o«'\.-1. VIa COLa.I111\.1.A.~ \ a ~ o V 1 a - w .

*eabc

7. Neka je = Q \ { - I } . Ispitati da Ii je G, *) grupa, gde je operacija *definisana sa:

Va, bEG a *b = a + b + abo

Qeseie'·• ~ V o r e V \ 0 .... : _ w e \ . . ~ V 6 - L l I I . . le ~ E M . . . ~ ·

tI.. b 0 --) C\."t 10 ' 0 \ ~ 1 . 0 +-01. 10 e (\l ~ f < > \e e e- ~ \ I \ . ~ \ - r a . ~~ Q . < A . + -

D . . k b , - \ ~ a . . . . o . . . ~ ~ \ I d ~ l e. it q, ~ Q . , *-\. a . ~10 k- c..b ;: -'\ e.+ 0\. + e · C L ' - c.... h - ' e. ~ e.o... =- 0

o . . . ( ~ - + - o , >,. -,,-b t?-\ e( ( - \ -Gl . ) =- 0

0.. . . - U+b) --1. ~ \ e.::. 0 \ - ~ \e C o \ . ~ - 1 .q.'or ~ ~ ~ < ; . ~ ~ o ... ~ · < ; , ~ ~ ~ \ . w ~ ~ C \ . ~ ~ .

lv-ao\.) 0 \, b G-Ctt. .> 0.. If- b e C')Wl.oYC- J.a. va~ \ ~ - \ , l f - ~ -:0- e. ~ :

l ; . 0..-\ (o\+(X '\ =- ~o . . \ k > . , . c . e - ~ I ? ' Ct..-I =- -

'\ .;- C\. o..i1( bJtc) 0.. Ji c...b-l-c.+-be..)

'" CA+ l o ~ c . - - - o c . -- C l . L o h ~ + - ~ )

:: <\ -+Ie t + be.. 'rei. b +-C-c +-Ctb ~

'b ~ \>i. (X-\ \0; \)

~ l d o ) l l c~ (o..+b ,,""&\10 ') If-C

-;: Ct-t-Io +-c..10 + c + ( c . . 1 ~ - \ - < : : l , b ) · c . .

-::. C<..+- 10 - c.. t -"" 10 -c.e.. +-be.. +-0I.1oc.

C4, \Q €- c.,

Cl I t 10 -=-CI. - '0 +-0.. 10-=- \0 t- C<..+- 104 ::. 10 -If- C\,



8. Da li se date nepotpune Kejlijeve tablice mogu dopuniti do tablica grupovnih operacija?* e a b * e a b c

e e b e(a) (b) a a ea

b b eb a ac c e

P e s e V \ o e ~

(10) A ~ Ie 0.."" ~ 10 o",J.a. ~4) kaleo v- S \ 1 o - ~~ ~ { V \ . . r( ~ \ . ) ~

Cl·b-=!o·A.=e,Or. \ bE G1 ) e e t ~ ~ c ;\v.e a..)( ' b \. ' j ' C\. ~ 10

;+-0 ~ ~o' cla . + r a . . l M . . ie l ~ \ f \ ' ri W \ a . ~ u .\ : e A ' \ , ) ~ 1 ; ~r e s e . \ - \ ~ d-\A. + a - I o L t ~

l.I. + a . b ~ · c i .'3 r 1 . A - ~ o V \ I \ { ? 0 f e ( ' a . o ' \ ~ ~ ( ~ , , ~ oper. ;U: :e VI. '$ \ la \.:, \ \ -h \

b ( ~ ' ' ( a s r e . e t e ~~ \ e . . - \ y ) ~ o""'~ o , o \ l l . . ; SIJ;}\c-\ oel.ew-ewt e f'0\,3 v ~ \ eo&.M..O<ii '-\- VIa. ~ C V V l - V I . oLt· \0 d"""a-Lu.·

-\-:.'1011\.0 '" ieclwlvv\ . , ~ ~ . o\a k. j ~ \ a +a .oU<-e

~ e M o ~ e . &.opt..<\'\.d-; I ~ ¥ Se. \A ~ . VY",", ¢.;. ct. LA iai.:.c:>( -\d.IoL<0\ I V \ ~ ~ L w e ~

:f e. ,'''''''''('.... \.:n' h CA it c. :::-c. ,.. c.. :::- c:: ,9. Neki jednostavni primeri podgrupa: \..O\av1 \e.J...v .... ~ d . . . a--lA oV\. ckC\ \.;)~ .>e.. ... t . . ~ 0 , e..

(1) (lR, +) je podgrupa grupe (C, +). f O \ ~ vl ~ : I V d O olva- r + - a . , ~ t-o ""'-Ie \AA Ottee.(2) (Q, +) je podgrupa grupa (lR, +) i (C,+).(3) (1., +) je podgrupa grupa (Q, +), (lR, +), i (C,+).(4) (N,+) nije podgrupa od (1., +) jer nije grupa.

(5) (lR \ {O},·) je podgrupa grupe (C \{O}, .).

(6) (Q \ {O},·) je podgrupa grupa (lR \ {O},·) i (C \{O}, .).

10. Nati podgrupe KIajnove grupe.\ < e ' ~ f :

~ Q . . 1 - . ~ 1 t - i b V , , \1;QJy-eVlA.,l r-ocl"'OY'f.t\oe. Je(A v-eJ. ~ YUfe \ "?c3• e..CA.'o c f E > t ~ ~ r ek . ~ ~ j n l J V e .ca-V"Upe..V k - O ~ V I .'\W\,;y\-) A.. \ 2. ~ L . \ L.t e.Lew,€<-\ a. ,,+-U ~ e e 10 ~

Q . Q . . e c . b ( ~ e ~ \ ' J\ ( t e \ o . . ~ \ · )u e , I o ~ \ . )I C,e,c 'h ' ) 1. ( \ e l ~ \ b \ c ~ I · ) b Ioe.. e CI.

c c l o CLe ~ ~ N ~ i \ ~ ~ ~ ~ ~..C\..e b b e C ce

11. Dokazati da je funkcija : 1. --- {T, -.1}, definisana sa

T, x je paranf x) = { -.1, x je neparan '

homomorfizam grupoida (1., ) i ({T, -.1}, V), ali nije homomorfizam grupoida (Z, .) i ({T, -.1}, /\).~ ~ e > J I , s e :D6- 'Ir; ~ ~l ~ / )~ C . \ T \ . L ~ ,V) I.a.·o ~ ~ : c ~

l T. .L

~ ~ d J.a. \f6.:bi: ~ (')(. j ,.. -=tll<.\ IJ :tc,'1') , ~ w e . l( \ 1t:- .L .L.Lt1n.L

k . . o ~ v J . ~s\.\. < ; l u c ~ e \ l i :

") )(, "\ - ~ d . ~~ ) )<.''1-f Q"Q;v!l. ~ ) ) ( . - V 1 e . \ ~ ~ > a N \ . , 1-f4.l"dl.\ ~ \ )('''\-\'0>'3\1\, I LA sl.u.ca-\,-, ('2.'\ I"'-"d.""'-O

, \ l)t . . , , \ \ = ,. ~ 0<. ~ \=- \ \ ~ L X' - \ \ - :- \

: ( c . x ) ~ < . . ~ ) ; . \ V T . , . \ ~ l X ) \ I ~ l \ ) c . L i T - : : . . TI : \ l } ( \ ~ l 1 ) : : : - \ . l . . . = . l .

2.) )(.1'a.V'4,"" i - V \ ~ a ,~ )(.·'1-f6'l"3-VI. ~ ) ) ( , j - V \ ~ 3 I l M . --) l L · 1 ~ d \ d M .\ ~ ) { ~ \ , e ~ ~ t ' ' t Q M . , .~ ( j (.. . , ~ \ ~ ( X · f \ - : 1 . \ 1 ~ ~ - ~ a llt..\.\ z~ ( ) < . ) , , ~ < . . 1 \ =Tv..\... =-T ~ L J ( . \ \ i~ l , , \ \ : : - l . . \ J . L=-.1. \

, 0 ; - l \ T d 1 \ A

12. Da Ii j e ~ a j l l o v a izomorfna sa 1.4 , + 4 ?

«.ese"'Je: ,J.. e ~ b c.. + ~ 0 '\ 'L 3 N\ ~ I ACt. O W \ . uv-i\l\.E:- ~ I f VI. t: la.J'VIOV-;

e. e ~ b c.. 0 c 1 'L:> ~ fVl.r's \ l a ~ ' e l e M - l - ~ + - -\111\ r W ~ d . \ ACbdWt-OW\

Q. C<.. e.. c.. b ~ l . ~ C ~ \ a i, a.. ~ ~ \ ~ - \ i ·- \ ~ ~ e c t \ A . s v b Y l ; o

b b e e C l , 2. '2- ~ o\' V\ \f e y- ~ V \ A .

Cc.bG\.e 3 ~ O \ L



13. Sledece permutacije napisati u obIiku proizvoda disjunktnih ciklusa i proizvoda transpozicija:

(03 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11) _

(a) 2 5 6 7 1 9 10 0 8 4 : (03 ' -9 )0 ( ' \ ' 2 . . . : ' ) 0 \ ' \+"" ) " ( ' 8 10 )

= ( O : l ) o < , o ~ ) · ( o ~ ) o U S ) o l Z - )\i.I..<\") 0('11-) ,,(CO \ ~ )

(b) ( ~ 1 2 3 4 5 6 7 89)= (0 '\ ') 0 l" '2. 5 t> ~ ') .. (. '" 1- '3 ) 2 5 1 0 8 7 9 3 6 '" ( o ~ ) t > \ ) , , l \ b ) . l o \ S ) o l A . L ).. l b ~ l o ( 6 ~ )

14. Proizvod nedisjunktnih ciklusa napisati kao proizvod disjunktnih ciklusa:

(a) (1352) 0 (510) 0 (453) 0 (0241) = (~ ~ -; ~ ~ ~ ) , ( 0 '\ '2.. ~ ~ )

(b) (0241) 0 (453) 0 (510) 0 (1352) -; ~ ~ ~ ~ ~ ~ ) = (\>:. ') 0 \ t £ )

15. Preko permutacija proveriti da Ii su sledeCi uredjeni parovi grupe:

(a) A , · ) , gde jeA={a ,b , c ,d} i (b) (B,*), gdeje a= {1,2,3,4,5,6} i

* 1 2 3 4 5 6 b c d 1 1 2 3 4 5 6

a b c d 2 2 3 4 5 6 1 b b d c 3 3 4 1 6 2 5

c c d b 4 4 5 6 1 3 2 d d e b a 5 5 6 2 3 1 4

6 6 1 5 2 4 3

_ ~ 10c c\)fb- 10 CA. J. e.

~ . t';- (CA.10 c- d. \\ c l . - ~ b o - . )

P Y O ~ Y . : W ~ M Oda l\. ~ ~ P c , l P b lpc,pJl l 0)~ < U , . ~ a . ' Do b; ~ ~ U e M"

~ a v ~ d d l ~ e ~ ,p flo ~ ~ ~ ~

'0'(\..\.'d.-',fQ pO\.1>10t>e. ,?4

.. - = t ; . \ . . - \ - v ~ . \ - -flo ~ fJ 'f(..

~ rC. fel. f ~ ~ b ( 1 \ . 2 . : '1 ~ \ \f' >" f\:. \. <;: 2. 5' ~ \ ~ ) . . \ O ~ d"z,r 1 I?b .1~ J . rotfc. flo pc .

O ~ t - t e\ ( \ ~ 1 , P l - I P ~ 1 f" \P ~ l P6~ \0 ) \e d • ~ : ~ r h < : - 1 . 1 0 f ~ ( R:>~ ) 'tAA\e t ~ \ a.

r « L t - < w d M . \ ~'f I A v e ~~ S O C 1 Y a\Iv ric!

o ~ ~ ~ c : . .

o~ P - = ~ O \ .

~ ~ ~ I o

fc.-I ~ \-:>e.

f c . l . - I ~ r d .



Prsteni i polja

1. Neka je R = {a, b, c, d} i neka su na R definisane Kejlijevim tablicama operacije + i '. Dokazatida je R = (R, +,.) prsten.

+ a b c da a b c d ab b a d c bc c d a b cd d c b a d

R . e ~ e Y l A e:(,,) (R +-) \ ( \ a ~ V l O V d .

a b c da a a aa b c da a a a (Co.l llf ' l" ' ; l .el?) ) ( · l . d + : c ) = - x · ~ + ) l · t

a b c d) ( ~ \ . G ( . , c ~= ) } ( . · l ~ - r : c ) - = - - Q

x.. -l-)(. . ' :e- =- e.vI-a.. .- 0..

f. ~ 1 o\d.. - > )C. l 1 - t - : C ~ 1+ :e ~ ~ 1.,q.."'\<.\€ ~ a

\(. ~ r)(.· ~ 'd ~ C -

("2.) lQ.,· \• '$0. - \ v o r e V \ . C l i . ~, I f d ~

.. : . : . . . ~ ~ ~ - h \ r l . o S t :~ l h . j \ ~ ~ e . )x · l l T ; ~ ~ ( > c . . - j ) - ~

h S 6 ~- l ~ ~\ J a ~ a · - t ~ c .-t ~ ~ ~ b·hj,.t,-=-t) ( ~ \ C I . . c ~~ ) ) I : . < . , , \ ~ )CL i ( · · P = 2 , . ~ · - : e - ~ }

• ~ . ; l ~J , : t E : ~ )(.t-1b,d) -:.) X . . l ~ . ~ ) , ~ . 1 \ ( x j ) · ~ . ~ . - : e

= ) (\;:\ • ) I.e f ~ ~ ~ \ \..-\.f'c..

2. Neka je R = {a b, c, d}. Dopuniti tablice operacija + i " tako da struktura R = (R, +,.) budeprsten:

+abcd

b c da

a d c ba c

a d

b c d

b aa c

t - l ~ osy,O\J\.A. k+\ t , vY e.otV\os,t.; LA - t - d l o L : ~, c a . l c . . l ~ I A ~ l . < . d e \N\-C kh e . . u : h , ~ l . v v \e l e N V \ . e . v t . ~V\t\O (' '6-- ~ - M a. \ ~ a . vY 'b-t1A. i \:0 lo-Ifl. ~

e . t e . ~ ~ d -c.. ?C\()\AVl\a\fajVl.O ·h ..1.:..0 Jd-. r ~ a . l c . e . .d d v t A : C . ~ · I I \ . \ .

~ a - \ : . . o CR., ) 1 V \ ~ r a . 'oll,; ~ < : : > V h U . - \ - Q . + · V ~ , o\'d..-t-e.- e k ~ - t - e ~

~ a . \ o ~ ( . , l~ ~ r c : : ; , \ . \ . ~ t s I e . . . ~ C k o \.A.. eol\l\..O'VvI. V\d.- ~ l c w \ l \ - I . A .

O J ~ ~ ( ) O \ l \ ~~ ~ ~ ' \ .{

Na. Fos+d-la . . c:M.r d- V \ - < e c ; ; , ~ ~ s - \ - a - u ~~ \ ; b e L ~ e v t - t -;-.\-0~ ~ \ f \ M 7 V V \l..\. V l e . . ~\ . I Y ~ k i. ~ ~ l a v . - 1e v \ ~ v1 ~ L ;

V\A ~ ~ o e cu.de., L.. + ~ I o ~ c . . t ~ \ I \ e o ~ ~ ~ ~ e .

~ Q . . , , - \ - - ( 3 . t ~ c.. Ue.\+ ') \'e \r\\.Ala. 4 lRl.·)' ~ ~\A

v. )C v . ) ~ -\ ~ l ~ < b ~ e \ e \ M € . M . ~ ~ G ~ Q .

P r e o ~ ~ o . . -\MeS;- -4.-- ~ ~ \ . . A \ ; \ ~ \ f ~k o . - ~ ~ V'di l cA; Cirr\l.e>\.A..

- \ - t \ ( , - o ~ . \ i ,• ~ a +.

b·o1,,; b·Cbk' eo);. I c k \ o ~\ o + O \ . . ~\0

t·e\.. ~ e,·llo+-c) ::: ~ . I . o , ,C,. ~ : : :CA. l-C- c

<h b ~ Cb-\-c)' b e- 0. \, l r C -10 :: 6 l - ~ ,. 1.0



3. Ispitati koje od sledeCih uredjenih trojki su prsteni:

(1) (N, +,.) (4) (Q+,., +) (7) (Z4, +4, 4) (10) ({T, 1-}, {:}, =*)

(2) (Z,+,·) (5) ~ , +,.) 8) P A), u, n)

(3) (Z,·,+) (6) ({O,1},+,·) 9) {3k IkE Z},+,·)

RESENJE:

(1) (N, +, .) nije prsten jer (N, +) nije grupa (nema neutralni element).(2) (Z, +,.) jeste prsten.

(3) (Z,·, +) nije prsten jer (Z,·) nije grupa (nema inverzne elemente).

(4) (Q+,., +) nije prsten jer + nije distributivno prema '.

(5) ~ , +,.) jeste prsten.

(6) ({O, 1}, +, .) nije prsten jer ({O, 1}, +) nije grupoid.

(7) (Z4, +4, °4) jeste prsten.

8) P A), u, n) nije prsten jer P A), U) nije grupa (nema inverzne elemente).

9) {3k IkE Z},+,·) jeste prsten.

(10) ({T,1-},<=>,=*) nije prstenjer ({T,1-},=*) nije polugrupa.

4. Ispitati koje od sledeCih uredjenih trojki su polja:

(1) (Z,+,·); (2) (Q,+,.); (3) (Z4, +4, °4); (4) (Zs,+s,'s); (5) ~ + , + , . .

RESENJE:

(1) (Z, +,.) nije polje jer (Z \ {O}, 0) nije grupa (nema inverzne elemente).

(2) (Q, +,.) jeste polje.

(3) (Z4, +4, °4) nije polje jer (Z4 \ {O}, 4) nije grupoid.

(4) (Zs, +s, ·s) jeste polje.

(5) ~ + ,+, .) nije polje jer ~ + ,+) nije grupa (nema neutralni element).

5. Na skupu ~ = {(x, y) Ix, Y E ~ } definisane su operacije, za sve (ab a2), (bb b2) E ~ : . :

Dokazati da je uredjena trojka ~ 2 ,Ee, 0) prsten.

t<eSeAAoe:

(1\) CJ\Z2.

,(3) ) \€ A.-\oelolJa.

ea.W O\' eM.O Sk- :

..., 0\2-1 ( l6 , 10 ) ~ \ ~ L = CI.,\, (Az., \0 , \ , ~ ... ~ -:0-- ) ~ \ I ~, o . . ~ ~ 1 -6 - 1 ~-;..) L ~ A ,~ ) < £ > ( . c ~ l : > \ . . - ) E : - t ~ L

b ~ s - o u . ~ \ 1 \ 1 \ . t

( C v . \ ~ ) G : > ( C I o 4 . \ \ , , ) . w ~ ( ~ \ ~ ) ) = l ~ , C v L~ ( \ o I \ ~ ~ I . )~ ~ c - z . . )

:=- l - ('0'1. t ~ ' \ ) \ O\.-a- k l I o ~ ~ c l - \)

~ \ ( C I . - t - I o \ ) ~ ~ ,~ 2 . - r ) + ~ 1 - )LG 2-,-+-) \ e e S o 0 xo ·w\l14 \-: ~ \ d O I \ ~ 1 - , ~ 1 .) (f) ( ~ - \ ,C-z-)

,... \ . l C \ \ \ Q ~ )€>CI.oI\ Io-z.) ) l.f? c . . ~ \ c . l . . )



(CI.,.)c..1.-) (Jo'\.,Io-z,) ~ (01.'\+-b'\, C t 1 . - + - ~ l . - )

( b . ~ ~ C t . \ ,\::>1-+--Ct1.-) lCR\+-\ t e ~

l 1.>1\.,\0v) (£) Cc"" ~

o V\el.-\.-h a,..I.M.Ae \ . ~ e M . ~ · 0 0\ \ J

(C( ....) 0..1.-) G> lo \0 ) = l Ct, + 0 \ Ot ').. - \ -0 ) ; . ( Q \ I <:1. 2.-) [0 ,.;.\l\e.<Aty. ele- · \A Ut2.\:+-'\Jo t ' " ve <'1:Yvi. ~

~- (a.", ~ l . )-- (-Cl.'I.1 -c...1.-)

( o . . ~ + c t . . . . ) ~ ( ~ \ , - e - . 1 , . )=- l C t \ ~.. <'--4.,)1 c..'l.-+l--Ct'1.-)') = < " 0 , 0 ) L-o.. yi ~ v e x - e - ~e-... IA(\R\+-l]

(CI..,c,1-)t(Io\,\ot-) f - 1 ~ 1 . . -:>-) ~ , c . 1 - , I o \ , b....,,"IR.

C(,.'e, \ c....... ~ 1 . - ~ - ' \ (c..,,)Cvz...\0 C6"La'1-) e - \ ~ L

· d ~ :

(Ct., '1.<).)0 ((6'\.,1..>"!-)<::>~ ~ l . - ) ) ~ 0\, c...L')e l'b'\.·C,\ \ \ o 1 - ~ L - )

~ (::c.,.(10, .c.,\'\ c<'1..' C.\.:."L-c,..\")

~ lCc. ' vl\.)·C" , l ~ V \ : L ).c......) [CIQ.,'\ j-e ? . X : > ~ ~ V c ~ \ M >' )

;: (0.,\.'10") o..'}..-Io'1-)0 ( ~ ~ ,C'L-)

-=-(c '1A,G\1.-)0 U o ~ \ ~ ) ') c:>c . ~ , C 1 - )

( ~ )C \ 1 , . ) ( ~ ) C ~ b ~\ ~ ( '1 . ' \ ' \0 \ \ 0\2- - ~ L - )

~ ( ~ I \ .~ ~ , - - c . l . . ) \(W-, ') \-( ~ w t ; l . . + - ~1-=. (Ie, ~ l . - ) G (ot \, Cvz..,')

c ~ ) J J l > m l o \ . . \ . · h v , ~ ~ . \0 ~ a ®

( ~ l~ l .<::>(c. a \ ) \o ....} ® ~ , \ \ ~ 1 . . )') ~ ( : t ' l l "'-1.)0 Ui>,\+ ~ \ . , '.o.....t- c .....' )

~ lC\,\,( b , , - t ~ \ ) ) G\1-' ( o } . ~ ~ \ )

_ L a c U , ~. . . ~ a +-\- (,\,.\0" + - 4 ~ . e ,1 4'2.' L + - - q l . ~ - ) l I.A. ( IR \ .+ \ . ) j~ 0. 1 II I Gl.z..'o 't - ) ~ l ct...,C'l , 0.'2. ·c,.. ' )

;: c . . ~ , o . . l . ) 0(loo\\lo ......") (£) lc.,\ Cv z."I0CC-l.\C"1.-)

--.\ J a ~ \





(b) Duzina osnovice z1z2 je 2√ 2, pa kako je povrsina trougla 3 √ 2, sledi da je duzina visine na osnovicu3. Tacke z1 i z2 su simetricne u odnosu na realnu osu, tako da vrh jednakokrakog trougla morapripadati realnoj osi. Stoga postoje dva resenja, z3 = 4 ili z3 = −2.

4. Predstaviti u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksne brojeve

z1 = 1 + √ 3i, z 2 =

−2 + 2 i, z 3 =

−

√ 22 −

√ 22

i, z4 =√ 32 −

1

2i,

z5 = 3 , z6 = −25

, z7 = 12

i, z 8 = −8i,

a zatim izracunati: (1) z1 ·z2, (2) z4

z2, (3) z3

5, (4) 3√ z8.

Re senje :z1 = 1 + √ 3i = 2e

π

3 i = 2 cos π3 + i sin π

3 z5 = 3 = 3 e0i = 3(cos 0 + i sin 0)

z2 = −2 + 2 i = 2√ 2e3 π

4 i = 2√ 2 cos 3π4 + i sin 3π

4 z6 = −25 = 2

5 eπi = 25 (cos π + i sin π )

z3 = −√ 22 −

√ 22 i = e

5 π

4 i = cos 5π4 + i sin 5π

4 z7 = 12 i = 1

2 eπ

2 i = 12 cos π

2 + i sin π2

z4 = √ 32 − 12 i = e−π

6 i = cos −π6 + i sin −π

6 z8 = −8i = 8 e−π2 i = 8 cos −π

2 + i sin −π2

(1) z1 ·z2 = 2 eπ

3 i ·2√ 2e3 π

4 i = 4√ 2e( π

3 + 3 π

4 )i = 4√ 2e13 π

12 i

(2) z4z2

= e− π

6 i

2√ 2e3 π4

i = 12√ 2 e(−

π

6 −3 π

4 ) i = √ 24 e−11 π

12 i

(3) z53 = e

5 π

4 i5

= e25 π

4 i = e6πi ·eπ

4 i = eπ

4 i = cos π4 + i sin π

4 = √ 22 + √ 2

2 i

(4) 3√ z8 = 3√ 8e−

π

2 i∈ 2e

− π2 +2 kπ

3 i : k ∈ {0, 1, 2} = 2e−π

6 i , 2eπ

2 i , 2e7 π

6 i = √ 3 −i, 2i, −√ 3 −i

5. Odrediti kompleksne brojeve z1 i z2 u algebarskom obliku ako je

z1 =√ 22 + √ 2

2 i768

+ (2 −i)3 −2i

√ 22 −

√ 22 i

17 , (z2 + 1) 3 = −27.

Re senje :

(1) Kako je √ 22 ±

√ 22 i = e±

π

4 i , imamo

z1 = (eπ

4 i )768 + 8 −12i + 6 i2 −i3 −2i · e−π

4 i −17= e

768 π

4 i + 8 −12i −6 + i −2i ·e17 π

4 i

= e192πi + 2 −11i −2i ·e(4π + π

4 ) i = (1 + 2 + 11 i −2i) ·eπ

4 i = (3 + 9 i) ·( √ 22 + √ 2

2 i)

= −3√ 2 + 6√ 2i.(2) Posto je −27 = 27eπi , sledi

z2 = −1 + 3√ 27eπi∈−1 + 3 e

π +2 kπ

3 i : k ∈ {0, 1, 2} = −1 + 3 eπ

3 i , −1 + 3 eπi , −1 + 3 e5 π

3 i

= 12 + 3√ 3

2 i, −4, 12 − 3√ 3

2 i .

6. Jedno resenje jednacine z −√ 3 + 2 i6 = a je z1 = 2√ 3 −i . Odrediti a i ostala resenja ove jednacine.

Re senje :Kako je z1 = 2√ 3 −i jedno resenje date jednacine, imamo

a = 2√ 3−

i

−√ 3 + 2 i

6= √ 3 + i

6= 2e

π

6 i6

= 2 6

·eπi =

−64.

Posto je 6√ −64 = 6√ 64eπi∈ 2e

π +2 kπ

6 i : k ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5} = 2eπ

6 i , 2eπ

2 i , 2e5 π

6 i , 2e7 π

6 i , 2e3 π

2 i , 2e11 π

6 i

= √ 3 + i, 2i, −√ 3 + i, −√ 3 −i, −2i, √ 3 −i , dobijamo z ∈2√ 3 −i, √ 3, −i, −3i, √ 3 −4i, 2√ 3 −3i .



7. Naci sve kompleksne brojeve z koji zadovoljavaju uslov z4 = z .Re senje :

z4 = z ⇔ r 4e4ϕi = re −ϕi⇔ r 4 = r ∧4ϕ = −ϕ + 2 kπ ⇔ r (r −1)( r 2 + r + 1) = 0 ∧ϕ = 2kπ

5

⇔ (r = 0∨r = 1) ∧k ∈ {0, 1, 2, 3, 4} ⇔ (r = 0∨r = 1) ∧ϕ ∈0, 2π5 , 4π

5 , 6π5 , 8π

5

⇔ z ∈0, 1, e2 π

5 i , e4 π

5 i , e6 π

5 i , e8 π

5 i

8. Koristeci stepenovanje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku izracunati cos π8

i sin π5

.

Re senje :

(1) Iz cos2x + i sin2x = (cos x + i sin x )2 = cos 2 x + 2 i cos x sin x −sin2 x, izjednacavanjem realnih delovadobijamo cos2 x = cos 2 x −sin2 x = cos x −(1 −cos2 x ) = 2 cos 2 x −1. Odavde zamenom x = π

8 sledi

2cos2 π8 −1 = √ 2

2 , odnosno cos2 π8 = 2+ √ 2

4 . Posto je cos π8 > 0, imamo cos π

8 =√ 2+ √ 2

4 .

(2) Iz cos5x + i sin5x = (cos x + i sin x )5 = cos 5 x + 5 i cos4 x sin x −10cos3 x sin2 x −10i cos2 x sin3 x +5cos x sin4 x + i sin5 x, izjednacavanjem imaginarnih delova dobijamo

sin5x = 5 cos4 x sin x

−10cos2 x sin3 x + sin 5 x

= 5(1 −sin2 x )2 sin x −10(1 −sin2 x )sin3 x + sin 5 x

= 16 sin 5 x −20sin3 x + 5 sin x.

Odavde zamenom x = π5 sledi 16 sin5 π

5 −20sin3 π5 + 5 sin π

5 = 0 , a kako je sin π5 = 0 , ova jednakost

se svodi na 16sin 4 π5 − 20 sin2 π

5 + 5 = 0 , sto daje sin 2 π5 = 5±√ 5

8 . Posto je sin π5 > 0, imamo

sin π5 =

√ 5+ √ 52√ 2 ili sin π

5 =√ 5−√ 5

2√ 2 . Funkcija sin je na intervalu [0 , π2 ] rastuca, pa vazi π

5 < π4 ⇒

sin π5 < sin π

4 = √ 22 , sto znaci da je sin π

5 =√ 5−√ 5

2√ 2 .

9. Dokazati identitete:

(a) sin 3 x = 34

sin x − 14

sin3x ; (b) cos4 x = 18

cos 4x + 12

cos 2x + 38

.

Re senje :

(a) sin 3 x = e xi

−e− xi

2i

3= 1

−8i e3xi −3e2xi e−xi + 3 exi e−2xi −e−3xi = i8 e3xi −e−3xi −3(exi −e−xi )

= i8 (2i sin3x −3 ·2i sin x ) = −1

4 sin3x + 34 sin x.

(b) cos 4 x = exi + e− xi

2

4= 1

16 e4xi + 4 e3xi e−xi + 6 e2xi e−2xi + 4 exi e−3xi + e−4xi

= 116 e4xi + e−4xi + 4( e2xi −e−2xi ) + 6 = 1

16 (2cos 4x + 4 ·2cos2x + 6)

= 18 cos 4x + 1

2 cos 2x + 38 .

10. U krugu ciji je centar z0 = −3 + 4 i upisan je pravilan osmougao. Jedno teme je u tacki z1 = −3 + 5 i .Odrediti ostala temena osmougla.Re senje :

S obzirom da su nam poznati centar i jedno teme pravilnog osmougla, sva preostala temena mozemodobiti rotacijom z1 oko z0 za odgovarajuci ugao. Kako je centralni ugao pravilnog osmougla π

4 , imamo

zk+1 = R z0 , kπ

4(z1) = z0 + ( z1 −z0) ·e

kπ

4 i = −3 + 4 i + i ·ekπ

4 i , k = 1 , 2, . . . , 7.

Trazena temena su z2 = −6+ √ 22 + 8+ √ 2

2 i, z3 = −4 + 4 i, z 4 = −6+ √ 22 + 8−√ 2

2 i, z5 = −3 + 3 i,

z6 = −

6

−√ 22 +

8

−√ 22

i, z7 = −2 + 4

i, z8 = −

6

−√ 22 +

8+ √ 22

i.

11. Dati su kompleksni brojevi z1 = −2 + i i z3 = 4 − 3i . Odrediti kompleksne brojeve z2 i z4 tako da ukompleksnoj ravni tacke z1 i z3 budu naspramna temena kvadrata z1z2z3z4.



Re senje :

Posto imamo dva naspramna temena kvadrata, mozemo odrediti centar kvadrata, tj. z0 = z1 + z32 =

−2+ i+4 −3i2 = 1 −i. Preostala temena dobijamo rotacijom tacke z1 oko centra za ugao π

2 , odnosno −π2 ,

z2,4 = R z0 ,±π

2(z1) = z0 + ( z1 −z0) ·e±

π

2 i = 1 −i + ( −3 + 2 i) ·(±i),

tako da je z2 = 1 −i + ( −3 + 2 i) ·i = −1 −4i i z4 = 1 −i + ( −3 + 2 i) ·(−i) = 3 + 2 i.12. Neka je z1 = 3 + 2 i jedno teme kvadrata. Odrediti preostala temena z2, z 3, z 4 ako se zna da z2 lezi na

pozitivnom delu imaginarne ose, a z3 je na realnoj osi.Re senje :

Iz uslova zadatka imamo z2 = ai,a ∈R + i z3 = b, b ∈R . Takodje vazi z3 = R z2 ,−π

2(z1) = z2+( z1−z2)·e−

π

2 i ,pa sledi b = ai + (3 + 2 i −ai ) ·(−i) = (2 −a ) + ( a −3)i. Izjednacavanjem realnih i imaginarnih delovadobijamo sistem 2 −a = b i a −3 = 0 , cije je resenje ( a, b ) = (3 , −1), tj. temena su z2 = 3 i i z3 = −1.Cetvrto teme dobijamo iz cinjenice da je −−→z1z2 = −−→z4z3, odnosno z2−z1 = z3−z4, sto da je z4 = z3−z2 + z1 =

−1 −3i + 3 + 2 i = 2 −i.

13. (a) Odrediti kompleksan broj z ako je

Rez(2 + i) −5z

1 + i = −11, Im

z(2 + i) −5z1 + i

= −18.

(b) Odrediti kompleksne brojeve z1 i z2 tako da je z1 pozitivan realan broj, z2 pripada trecem kvadrantu,a trougao zz1z2 je jednakostranican stranice 5.

Re senje :

(a) Neka je z = x + yi. Tada imamoz(2 + i) −5z

1 + i =

(x −yi )(2 + i) −5(x + yi )

1 + i = −3x + y + xi −7yi

1 + i · 1 −i

1 −i= −2x −6y

2 +

4x −8y2

i = ( −x −3y) + (2 x −4y)i

Izjednacavanjem realnih i imaginarnih delova dobijamo sistem −x −3y = −11 i 2x −4y = −18, cije je resenje ( x, y ) = ( −1, 4), pa je trazeni broj z = −1 + 4 i.

(b) Neka je z1 = a ∈ R + . Kako je stranica trougla duzine 5, imamo 5 = |z1 − z | = |a + 1 − 4i| =√ (a + 1) 2 + ( −4)2, odnosno ( a + 1) 2 = 25 −16 = 9 , a posto je a > 0 jedino resenje je a = 2 , tj.z1 = 2 . Trece teme dobijamo rotacijom tacke z oko z1 za ugao π

3 ,

z2 = R z1 , π

3(z) = z1 + ( z −z1) ·e

π

3 i = 2 + ( −3 + 4 i) · 12 + √ 3

2 i = 1−4√ 32 + 4−3√ 3

2 i

14. Skicirati u kompleksnoj ravni sledece skupove tacaka:

(a) {z ∈C : 1 ≤ |z| ≤ 4}(b) {z ∈C : π

6 ≤ arg (z) ≤ π3 , |z| ≤ 3}

(c) {z ∈C : −1 ≤ Re (z ) ≤ 2, 1 ≤ I m (z) ≤ 3}(d) {z ∈C : |z −3 + i| = 2}.

Re senje :

(a) Kruzni prsten ogranicen centralnim kruznicama poluprecnika 1 i 4.(b) Kruzni isecak centralnog kruga poluprecnika 3 izmedju uglova π

6 i π3 .

(c) Pravougaonik ogranicen pravama x = −1, x = 2 , y = 1 i y = 3 .(d) Kruznica sa centrom 3 −i poluprecnika 2.



POLINOMI1. Odrediti kolicnik i ostatak pri deljenju polinoma p(x ) = ( x + 1)( x + 3)( x + 4) polinomom

q (x ) = x 2 + 1.

2. Naci racionalne korene polinoma p(x ) = 3x 4 + 5 x 3 + x2 + 5 x − 2, i faktorisati ga nad poljemrealnih i nad poljem kompleksnih brojeva.

3. Neka je p(z ) = iz 3 + z 2 + 2 z − 2i polinom nad C.

(i) Pokazati da je z 1 = i nula polinoma p.

(ii) Pokazati da z 1 nije nula polinoma p.

(iii) Faktorisati polinom p nad C.

4. Odrediti normiran polinom najmanjeg stepena

(i) nad C

(ii) nad C, sa realnim koecijentima,

tako da broj − 1 bude dvostruki, a brojevi 2 i 1 − i jednostruki koreni tog polinoma.

5. Polinom p(x ) = x 5 + x3 + 2 x 2 − 12x + 8 napisati po stepenima od x + 1.

6. Ostatak pri deljenju polinoma p(x ) polinomom x − 1 je 3, a polinomom x + 2 je − 3. Naciostatak pri deljenju polinoma p(x ) polinomom q (x ) = x 2 + x − 2.

7. Naci normiran polinom p(x ) cetvrtog stepena ako se zna da je zbir njegovih korena 2, proizvod1, i ako pri deljenju sa x − 2 daje ostatak 5, a pri deljenju sa x + 1 daje ostatak 8.

8. Neka je p(z ) = z 3 + pz 2 + qz + r, p, q , r ∈ C , i neka su z 1, z 2, z 3 koreni polinoma p. Akobrojevima 0 , z 1, z 2, z 3 u kompleksnoj ravni odgovaraju temena paralelograma, dokazati da je p3 − 4 pq + 8 r = 0.

9. Naci najveci zajednicki delilac za polinome p(x ) = x6 + 3 x 5 − 11x 4 − 27x 3 + 10 x 2 + 24x iq (x ) = x 3 − 2x 2 − x + 2.

10. Da li postoje realni brojevi a i b takvi da je nad poljem realnih brojeva na jveci zajednickidelilac polinoma

p(x ) = x 5 − ax 3 + 2 bx2 + 4 , q (x ) = x 4 + 2 x 3 − x − 2

polinom r (x ) = x 2 + x − 2?

11. Neka je dat polinom p(x ) = x 5 + ax 4 + 3 x 3 + bx2 + cx.

(a) Odrediti realne koecijente a,b,c polinoma p tako da bude deljiv sa x2 + 1 i x − 1.(b) Odrediti najveci zajednicki delilac polinoma p i q , ako je q (x ) = x 3 − 3x − 2.

(c) Napisati u obliku zbira parcijalnih razlomaka racionalnu funkciju r (x ) = q (x ) p (x ) .

12. Rastaviti na zbir parcijalnih razlomaka racionalnu funkciju r (x ) = 2x 4 − x 3 − 11x − 2

x 4 + 2 x 3 + 2 x 2 + 2 x + 1.

13. Faktorisati polinom p(x ) = 27x 6 − 9x 4 + 3 x 2 − 1 nad poljima C, R i Q .

14. Dokazati da je polinom p(x ) = x 8 + x4 + 1 deljiv polinomom q (x ) = x 2 + x + 1 .















SISTEMI LINEARNIH JEDNA CINA

1. Gausovim algoritmom resiti sistem:

(a)x + y + 2z = 22x − 3y − z = 53x − 2y + z = 10

; (b)x − y − z − u = 3

2x + y − 3z + 2u = 1− x + 2y − u = 0

;

(c)

x + 2y + z = 42x − y − z = 0

− 2x + y − 3z = − 45x + 5y + 6z = 16

; (d)x − y − 2z = − 3

− 2x + 2y + 4z = 63x − 3y − 6z = − 9

.

2. U zavisnosti od realnog parametra a diskutovati i resiti sistem jednacina:

(a)x + y + z = ax + ( a + 1) y + z = 2ax + y + az = − a

; (b)x + y + az = 1x + ay + z = a

ax + y + z = a2

ax + ay + az = a3

.

3. U zavisnosti od realnih parametara a i b diskutovati i resiti sistem jednacina:

x − (a + 1) y +( a + 1) z = 1ax + ay +( a + 1) z = 2ax − 2y +( a + 1) z = b

.

4. U zavisnosti od realnih parametara p i q diskutovati i resiti sistem jednacina: px + (2 p − p2 )y = q

( p + 1) x + ( p2 − 2 p)y = 3(2 p + 1) x + ( p2 − 2 p)y = 5

.

5. U zavisnosti od realnih parametara a, b i c diskutovati sistem jednacina:

a (a + 1) x + y − z + au = 1a (a + 1) x + ay +2 au = b

(a − 1)y +( a − 1)2 z +3 au = c − 1.

6. U zavisnosti od parametara a, b ∈ C diskutovati sistem jednacina:

x + iy +(1 + i)z = b2ix + ay +(2 i − 4)z = (2 + 2 i)b + 2 i

x +( a + 2 + i)y +( i − 1)z = 4b − 1.

Odrediti skup resenja sistema u slucaju kada je a = − 2.











MATRICE

1. Date su matrice

A = 0 0 11 2 1− 1 0 1

i B = 1 0 10 1 0− 1 0 1

.

Izracunati C = ( A − B )(A + B ). Da li je C = A 2 − B 2 ?

2. Koristeci elementarne transformacije na vrstama odrediti inverznu matricu (ako postoji) za:

(a) A =1 2 34 5 67 8 9

; (b) B =1 − 1 1

− 1 4 01 1 − 1

.

3. Matricnim racunom resiti sistem linearnih jednacina2x + y − 3z = 7

x − y + z = − 2− 3x + 2y + z = 0

.

4. Ako je

A = 1 42 3 , B = 2 2

2 2 , C = 1 − 10 5

resiti matricnu jednacinu(AX )− 1 B − C − 1 = X − 1 A− 1 .

5. Resiti matricnu jednacinu XAB = 4X − 2C ako je

B = 1 0 31 2 1 , A = B T , C = 1 0 1 .

6. Date su matrice

A =− 3 2 0

1 1 − 20 − 4 1

, B =− 3 − 9 13

8 0 − 7− 7 3 − 10

, C =2 3 − 21 0 4

− 3 − 1 1.

Resiti jednacinu AX + B = AC − 2X.









DETERMINANTE

1. Razvijanjem po prvoj vrsti i drugoj koloni izracunati vrednost determinante2 1 34 − 2 1

− 1 0 − 3.

2. Koristeci osobine determinanti izracunati: (a) D 1 =1 5 14 0 − 2

− 3 4 2; (b) D 2 =

1 2 32 3 43 4 6

.

3. Izracunati vrednost determinante:

(a)

1 1 1 a1 1 a 11 a 1 1a 1 1 1

; (b)

1 a a 2 a 3

a 3 1 a a 2

a 2 a 3 1 aa a 2 a 3 1

; (c)

1 a a 2 a 3

1 b b2 b3

1 c c2 c3

1 d d2 d3

.

4. Izracunati kompleksan broj z ako je Re (z) > 0 i

z 1 i

0 − 1 z1 2 0

= − 8 + 2 i .

5. Primenom Kramerovog pravila resiti sistem:x + y + z = 4x − 2y + 2z = 3

2x − y + 5z = 11.

6. Primenom Kramerovog pravila u zavisnosti od realnog parametra a diskutovati i resiti sistem jednacina:

x + y + z = ax + ( a + 1) y + z = 2ax + y + az = − a

7. U zavisnosti od realnih parametara a i b diskutovati sistem jednacina:

2x + ( a − 2)y − 3az = 0− x + az = b3x + a2 y − 2az = b2

8. Odrediti inverznu matricu matrice A =1 0 − 12 1 3

− 1 − 1 1 pomocu adjungovane matrice.

9. Odrediti rang matrice: (a) A =

1 2 3

4 5 67 8 9

; (b) B =

1 0 1 24 1 3 2

− 2 0 − 2 − 433 11 22 0

.

10. U zavisnosti od realnog parametra a diskutovati rang matrice A =3 + a 0 3 + a

a 1 + a 6 + 3a3 2 − 3 − 2a

.

11. Odrediti vrednost realnog parametra λ tako da rang matrice A =1 λ − 1 22 − 1 λ 51 10 − 6 1

bude 2.

12. Koristeci Kroneker-Kapelijevu teoremu, u zavisnosti od realnog parametra a , diskutovati sistem jednacina:

ax − a2 y + 9z = aax + 3 ay − 3az = − 3

a 2 x − 9ay + a3 z = a2.













VEKTORSKI PROSTORI

1. (1) Dokazati da je W = {(x,y,z ) ∈R 3 | x 2 + z2 = 0 } potprostor vektorskog prostora ( R 3 , R , + , ·).(2) Dokazati da W = {(x,y,z ) | x, y, z ∈Q } nije potprostor vektorskog prostora ( R 3 , R , + , ·).(3) Dokazati da je W = {(x,y,x + y) | x, y ∈R } potprostor vektorskog prostora ( R 3 , R , + , ·).

(4) Da li regularne matrice formata 2 × 2 nad poljem realnih brojeva, cine potprostor vektorskogprostora svih matrica formata 2 × 2, nad poljem realnih brojeva?

2. Dati su vektori

(a) a1 = (4 , 4, 3), a2 = (7 , 2, 1), a3 = (4 , 1, 6) i b = (5 , 9, λ )(b) a1 = (2 , 1, 0), a2 = ( − 3, 2, 1), a3 = (5 , − 1, − 1) i b = (8 , λ, − 2)(c) a1 = ( − 1, 3, − 4), a2 = (1 , − 3, 4), a3 = (2 , − 6, 8) i b = (0 , λ, − 1).

Odrediti λ ∈R tako da se vektor b moze izraziti kao linearna kombinacija vektora a1 , a 2 i a3 .

3. Ispitati linearnu zavisnost skupova vektora:A = {(− 4, 2, − 1, 3), (1, − 3, 2, 4), (− 2, 4, 3, − 1), (− 3, 5, 1, − 2)}B = {(1, 1, 2, 1), (1, − 1, 1, 2), (− 3, 1, − 4, − 5), (0, 2, 1, − 1)}C = {1 + x, x, 2x 2 , 1 − x + x2 }D = {3, sin2 x, cos2 x}

4. Dati su vektori a1 = (3 , 1, 1), a2 = ( m, − 1, 0) i a3 = (0 , 1, m )

(a) Za koje vrednosti realnog parametra m skup {a 1 , a 2 , a 3 } predstavlja bazu prostora R 3 ?(b) Ako je m = 2 napisati vektor b = (4 , 6, 8) kao linearnu kombinaciju vektora a1 , a 2 , a 3 .

5. Skup vektora A = {x,y,u,v } cini bazu vektorskog prostora R 4 . Da li je i skup vektoraB = {x + u, 2y + v, x + u − v, y − 3u} baza tog prostora?

6. Neka je S vektorski prostor generisan skupom A = {a,b,c,d,e } gde sua = (3 , 3, 0, 6, 9), b = (0 , 2, 1, 0, 4), c = (1 , 1, 2, 1, 4), d = (2 , 2, 0, 4, 6), e = (2 , 0, 1, 3, 3).

(a) Odrediti dimenziju vektorskog prostora S i linearnu zavisnost medju vektorima skupa A.(b) Odrediti sve podskupove skupa A koji su baze vektorskog prostora S .(c) Proveriti da li vektori x = (1 , 1, 0, 2, 1) i y = (0 , 4, 0, 1, 7) pripadaju prostoru S .

7. Odrediti dimenziju vektorskog prostora V generisanog skupom vektora A = {a,b,c,d,e } i naci svepodskupove skupa A koji su baze prostora V ako su sve zavisnosti medju vektorima skupa A date jednacinama

a + 2b + 4c − d + e = 02a + 3b + c + 5d + 2e = 0a + 2b + 3d + e = 0a + 2b + 2c + d + e = 0

8. Vektorski prostor V generisan je vektorima

v1 = ( a, 1, 1), v2 = ( − a,a, − a 2 ), v3 = ( a 3 , − a, 1).

Naci njegovu dimenziju i bazu u zavisnosti od realnog parametra a.

9. Pokazati da je S = {(a,b,c,d ) ∈R 4 | a + b = c + d} vektorski potprostor prostora R 4 . Odrediti jednunjegovu bazu, a zatim tu bazu dopuniti do baze vektorskog prostora R 4 .

10. (a) Pokazati da je P = { p ∈R [x ] | p(1) = 0 , st ( p) < 4} potprostror vektorskog prostora R[x ].

(b) Naci k , l, m ∈R tako da B = { x + m, x 2 + m, x 3 + kx 2 + lx + m} bude baza za P .(c) Ako je m = − 1 i k = 1 izraziti polinom p(x ) = x 3 +9 x 2 − 7x − 3 kao linearnu kombinaciju vektora

baze.































SLOBODNI VEKTORI

1. Dati su vektori a = (4 , −3, 1), b = (1 , 3, −1) i c = (−2, −4, 3). Odrediti:

(a) intenzitet vektora a − b ; (d) projekciju vektora a na vektor b ;

(b) skalarni proizvod vektora a i b ; (e) vektorski proizvod vektora a i c ;(c) ugao izmedju vektora b i 2 b + c ; (f) mesoviti proizvod vektora a, b i c .

2. Odrediti parametar α tako da za a = (1 , 1, 1) i b = (0 , 2, 0) vektori p = αa + 5 b i q = 3 a − bbudu: (a) paralelni; (b) ortogonalni.

3. Dati su vektori a = (2 k −1, 2, k + 2) , b = (3 , k −1, −1) i c = ( p, 1, 3), gde je k ∈R i p∈R − .

(a) Odrediti vrednost parametara k i p tako da vazi a ⊥ b i |c | = √ 26.

(b) Pokazati da su vektori a, b i c koplanarni, a zatim izraziti vektor a kao linearnu

kombinaciju vektora b i c .4. Za koje vrednosti realnog parametra a su vektori x = ( a, 1 −a, a ), y = (2a, 2a −1, a + 2) iz = (−2a,a, −a ) koplanarni?

5. Neka je p = αa + 2 b i q = 5 a −4 b, neka je p⊥ q i neka je |a | = | b | = 1.

(a) Naci α ako se zna da je a ⊥ b.

(b) Za α = 1 naci ∠ (a, b) i odrediti | p |.6. Za koju vrednost koecijenta α ce vektori p = 3 a

−α b i q = a +4 b biti kolinearni, ako vektori

a i b nisu kolinearni?7. Dati su vektori a = m −2n i b = 2 m + n , gde je | m | = 2 , |n | = 3 i ∠( m,n ) = π

3 .

(a) Odrediti projekciju vektora b na vektor a.

(b) Izracunati povrsinu trougla odredjenog vektorima a i b.

8. Date su tacke A(1, 0, 1), B (1, −1, 0), C (3, −2, 1). Odrediti tacku D tako da ABCD budeparalelogram, a zatim izracunati ugao koji obrazuju dijagonale tog paralelograma.

9. Izracunati zapreminu i visinu paralelopipeda konstruisanog nad vektorima a = (1 , 0, −2),

b = (0 , 1, −2) i c = (−1, 3, 5) ako je njegova osnova odredjena vektorima a i b.10. Izracunati povrsinu trougla ABC i zapreminu tetraedra ABCD ako su A(2, −3, 4), B (1, 2, −1),

C (3, −2, 1) i D (3, 0, 5).

11. Neka su m,n i p nekoplanarni vektori takvi da je | m | = 2 , |n | = 1 , | p | = 3 i ∠( m,n ) = π

4 ,∠( m, p) = ∠(n, p) = π

2 . Izracunati zapreminu paralelopipeda konstruisanog nad vektorima m,n i p.

12. (a) Dokazati da su nenula vektori a, b i (a × b) ×c koplanarni.

(b) Ako vazi a

× b + b

×c + c

×a = 0, pokazati da su nenula vektori a, b i c koplanarni.

13. Data je jedinicna kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Ako je tacka M srediste strane A1 B 1 C 1 D 1 , atacka N srediste strane BC C 1 B 1 , izracunati povrsinu trougla AMN .













ANALITI CKA GEOMETRIJA

1. Ispitati medjusobni polozaj pravih p i q . Ako se seku, naci tacku preseka.

(a) p : r = (2 t, 1 + t, 6t), t ∈ R , q : r = (2 + 4 s, 2 + 2 s, 6 + 12 s), s ∈ R

(b) p : x2 = y− 1

1 = z6 , q : x − 2

− 4 = y− 3− 2 = z +15

− 12

(c) p : x − 21 = y− 2

3 = z − 31 , q : x − 2

1 = y− 34 = z − 4

2

(d) p : r = (3 + 4 t, 3 + t, − 1 − t), t ∈ R , q : r = (2 s, 0, − 2 + s), s ∈ R

2. Ispitati medjusobni polozaj ravni α : 2x − y + z − 6 = 0 i prave p, ako je

(a) p : x − 1− 1 = y +1

− 1 = z − 41

(b) p : r = (0 , 0, 6) + (1 , 1, − 1)t, t ∈ R

(c) p : r = (2 t, 1 + 3 t, − 1 + t), t ∈ R

(d) p : x +2− 2 = y− 1

1 = z +1− 1

3. Date su tacke A (0, 6, − 2), B (3, − 3, 4) i P (1, − 1, 1).

(a) Napisati jednacinu prave p koja sadrzi tacke A i B .(b) Napisati jednacinu ravni α koja sadrzi tacku P i normalna je na pravu p.(c) Naci tacku P 1 koja je presek prave p i ravni α .(d) Izracunati duzinu duzi P P 1 .

4. Naci jednacinu presecne prave p ravni α : 4x − y + 3 z − 1 = 0 i β : 2x + y + 6 z + 1 = 0.5. Za koju vrednost parametra a ∈ R ce prava p : x − 1

− 2 = ya = z +1

1 biti paralelna ravni α odredjenoj tackamaA(1, 0, 1), B (1, − 1, 0), C (3, − 2, 1)?

6. Date su prave p : x1 = y− 2

− 1 = z +10 , q : x +2

3 = y− 2− 1 = z

− 1 i r : x +1− 4 = y− 1

0 = z − 35 .

(a) Naci jednacinu ravni α odredjene pravama p i q .(b) Odrediti projekciju prave r na ravan α .(c) Izracunati ugao koji prava r zaklapa sa ravni α .

7. Date su ravni α : x + y − 2z − 1 = 0 , β : 2x − y + 3 z + 4 = 0 i γ : − x + 2 y + z − 5 = 0.

(a) Naci zajednicku tacku P ravni α, β i γ .

(b) Odrediti tacku R simetricnu tacki Q(2, − 1, 3) u odnosu na ravan α .8. Date su prave p : r = (0 , 1, − 2) + (2 , a, 1)t, t ∈ R i q : r = ( − 1, 3, − 2) + ( b, 2, − 2)s, s ∈ R .

(a) Odrediti vrednosti realnih parametara a i b tako da prave p i q budu paralelne.(b) Naci rastojanje pravih p i q .(c) Odrediti jednacinu ravni α odredjene pravama p i q .

9. Kroz tacku Q (2, − 3, 0) postaviti pravu q koja je paralelna ravni α : 2x + y − z + 5 = 0 i koja sece pravu p : r = ( t, − 4 + 2 t, 5 − t), t ∈ R .

10. Date su tacka A (1, 2, 3) i prava a : r = ( t, 2 − t, − 1), t ∈ R .

(a) Odrediti jednacinu ravni α koja sadrzi tacku A i pravu a .

(b) Odrediti jednacinu ravni β koja sadrzi pravu a i normalna je na ravan α .11. Tacka A(0, 0, − 5) je jedno teme pravougaonika, dok se preostala temena nalaze na pravama p : x − 3

2 = y +11 = z − 2

1

i q : x1 = y+5

3 = z − 6− 5 . Odrediti temena B , C i D trazenog pravougaonika.

12. Date su tacka A(1, 2, 3), prave p : x2 = y +1

3 = z − 2− 1 i q : x +3

− 5 = y− 2 = z − 4

3 , i ravan α : 2x − y − 3z = 5 . Ako je tacka B presek pravih p i q , a tacka C projekcija tacke A na ravan α , odrediti tacku D tako da ABCD budeparalelogram i izracunati ugao izmedju dijagonala tog paralelograma.

13. Napisati parametrizaciju vektora od A do B , ako je A(2, − 1, 5) i B (4, 2, 1).

14. Skicirati geometrijsko mesto tacaka r (t) = ( − 1 + 3 t, 2 + t, − 2t), t ∈ [− 1, 2].

15. Date su tacke A, B i prava r = r A + t−−→AB. Skicirati datu pravu i podebljati tacke za koje je − 1

2 ≤ t ≤ 43 .

16. Date su tacke A (1, 2, 5), B (− 1, 0, 3) i C (1, 1, 2).(a) Odrediti parametarske jednacine ravni odredjene tackama A, B i C .(b) Napisati parametrizaciju paralelograma odredjenog tackama A, B i C .

17. Ako je ravan data parametarskim jednacinama: x = 1 + u − v, y = 2 − 2u + v, z = 2 , skicirati geometrijsko mestotacaka za koje je u ∈ [1, 3] i v ∈ [− 2, 1].

















Documents

Algebra - GiG VEZBE