TIESIN

E ALGEBRA IR GEOMETRIJA

Mokymo priemone studiju programos "Programu

sistemos" I kurso studentams

Eugenijus Stankus

VILNIAUS UNIVERSITETAS

Matematikos ir informatikos fakultetas

Matematikos metodikos katedra

e.patas: eugenijus.stankus@maf.vu.lt

Vilnius, 2005

TURINYS

1. Tiesiniu lygiu sistemos. Gauso metodas ............................................................. 3

1.1. Tiesines lygtys .............................................................................................. 3

1.2. Tiesiniu lygiu sistemos ................................................................................ 5

1.3. Gauso metodas ............................................................................................. 7

1.4. Udaviniai ................................................................................................... 11

2. Determinantai ..................................................................................................... 15

2.1. Antros ir treios eiles determinantai ........................................................... 15

2.2. Keliniai ....................................................................................................... 17

2.3. Keitiniai ...................................................................................................... 18

2.4. n-osios eiles determinantas. Apibreimas ir savybes ................................... 21

2.5. Laplaso teorema .......................................................................................... 27

2.6. Udaviniai ................................................................................................... 29

3. Matricos .............................................................................................................. 31

3.1. Matricos svoka, taikymo galimybes ........................................................... 31

3.2. Tiesiniai veiksmai su matricomis ................................................................ 35

3.3. Matricu daugyba ........................................................................................ 36

3.4. Atvirktine matrica .................................................................................... 39

3.5. Kramerio formules ...................................................................................... 42

3.6. Udaviniai .................................................................................................. 43

4. Analizines geometrijos elementai ........................................................................ 45

4.1. Vektoriai ..................................................................................................... 45

4.2. Udaviniai ................................................................................................... 51

4.3. Tiese ploktumoje ....................................................................................... 51

4.4. Udaviniai ................................................................................................... 55

4.5. Ploktuma ir tiese erdveje ........................................................................... 55

4.6. Udaviniai ................................................................................................... 59

4.7. Antros eiles kreives ...................................................................................... 60

4.8. Udaviniai .................................................................................................... 66

5. Algebrines strukturos ........................................................................................... 67

5.1. Pusgrupe, iedas, kunas ............................................................................... 67

5.1. Kompleksiniai skaiiai .................................................................................. 69

5.2. Udaviniai .................................................................................................... 72

6. Tiesines erdves ..................................................................................................... 73

6.1. Tiesine erdve ir poerdvis .............................................................................. 73

6.2. Vektoriu tiesinis prikausomumas .................................................................. 75

6.3. Vektoriu sistemos rangas .............................................................................. 76

6.4. Matricos rangas ............................................................................................ 78

6.5. Homogenines tiesiniu lygiu sistemos sprendiniu poerdvio baze .................. 81

6.6. Vektoriu erdves bazes keitimas ..................................................................... 84

6.7. Vektoriu erdves tiesines transformacijos ........................................................85

6.8. Euklido erdves .............................................................................................. 87

6.9. Udaviniai .................................................................................................... 89

LITERAT

URA .....................................................................................................93

2

1Tiesiniu lygiu sistemos. Gauso

metodas

Tiesiniu lygiu sistemu teorija yra tiesines algebros ir geometrijos pagrindas. Tiesiniu

lygiu sistemos taikomos ir kitose mokslo akose - pavyzdiui, zikoje, ekonomikoje.

Ekonomikoje tiesinemis lygtimis ireikiami ivairus gamybos, vartojimo, mainu ir kitokios

ukines veiklos rodikliu sryiai. Tiesines lygtys ir dvieju tiesiniu lygiu su dviem neino-

maisiais sistemos buvo sprendiamos jau vidurineje mokykloje. ia nagrinesime paias

bendriausias tiesiniu lygiu sistemas su bet kokiu neinomuju ir lygiu skaiiumi.

1.1. Tiesines lygtys.

Tiesine lygtimi su n neinomuju vadinama lygybe

a1 x1 + a2 x2 + + an xn = b, (1.1)

kurioje a1, a2, . . . , an ir b yra relieji skaiiai, o x1, x2, . . . , xn neinomi dydiai. Skaiiaia1, a2, . . . , an vadinami lygties koecientais, b laisvuoju nariu, o x1, x2, . . . , xn neino-maisiais arba kintamaisiais. Neinomuju reikmiu rinkinys x = (x1;x2; . . . ;xn) vadinamas(1.1) lygties sprendiniu, jeigu galioja lygybe

a1 x1 + a2 x2 + + an xn = b.

Visu tiesines lygties sprendiniu aib paymekime X. J galima urayti taip:

X = {(x1;x2; . . . ;xn) : a1 x1 + a2 x2 + + an xn = b}.

Pavyzdiui, tiesines lygties su vienu neinomuoju 5 x = 2 sprendiniu aib sudarovienintelis skaiius: 0,4.

Tuo tarpu tiesine lygtis su dviem neinomaisiais 2 x1 + 3 x2 = 6 turi be galo daugsprendiniu. Visus juos gausime ireik, pavyzdiui, kintamji x1 kintamuoju x2 (x1 =3 1,5x2). Tuomet uraas (3 1,5 ; ), R, reikia visus nagrinejamos lygtiessprendinius. Pavaizdav iuos sprendinius ploktumos takais, gautume 1 pav. ties

tiesines lygties sprendiniu aibes X = {(3 1,5 ; ) : R} geometrini vaizd.

3

(0; 2)

(3; 0) x1

x2

1 pav.

Lygties su trim neinomaisiais, pavyzdiui, lygties 2x1 + 3x2 + x3 = 5 sprendiniu aibegali buti urayta taip:

{(; ; 5 2 3) : R, R}.

ios aibes geometrinis vaizdas - ploktuma trimateje erdveje (2 paveiksle pavaizduota ios

ploktumos dalis, atkirsta koordinaiu ploktumomis).

(0; 0; 5)

x3

x2

( ;0;0)2

5

(0; ; 0)3

5

x1

2 pav.

Tiesines lygties su didesniu negu trys neinomuju skaiiumi ( (1.1) lygties su n 4)sprendiniu aibes geometrikai nepavaizduosime. Apskritai aibes, kurios nusakomos tiesi-

nemis lygtimis, matematikoje vadinamos hiperploktumomis.

Sprendiant tiesines lygtis bei ju sistemas labai svarbi ekvivalentumo svoka.

Dvi tiesines lygtys su n neinomuju

a1 x1 + a2 x2 + + an xn = b (1.2)

ir

a1 x1 + a2 x2 + + an xn = b (1.3)vadinamos ekvivaleniomis, jeigu ju sprendiniu aibes X ir X sutampa.Pavyzdiui, tiesines lygtys su dviem neinomaisiais

3x1 + 4x2 = 5 ir 0,3x1 + 0,4x2 = 0,5

4

yra ekvivalenios, nes abi jos turi tas paias sprendiniu aibes: {(; 54 3

4): R}.Nesunku isitikinti, kad lygti (t. y. visus jos koecientus ir laisvji nari) padaugin i

nelygaus nuliui skaiiaus, gausime ekvivaleni lygti. Taigi lygtys

a1 x1 + a2 x2 + + an xn = b,ir

ka1 x1 + ka2 x2 + + kan xn = kbekvivalenios.

Sprendiant tiesiniu lygiu sistem danai sistemos lygtys prastinamos ir lygiu sistema

pertvarkoma i paprastesn lengviau isprendiam.

Tiesiniu lygiu (1.2) ir (1.3) tiesiniu dariniu vadinama tiesine lygtis

(a1 + a1) x1 + (a2 + a2) x2 + +

+( an + an) xn = b + b; (1.4)ia , realieji skaiiai.Atkreipkime demesi, kad su = = 1 (1.4) tiesinis darinys yra tiesiog lygiu (1.2)ir (1.3) suma:

(a1 + a1) x1 + (a2 + a2) x2 + + (an + an) xn = b + b.iu lygiu skirtumas

(a1 a1) x1 + (a2 a2) x2 + + (an an) xn = b b

yra ju tiesinis darinys su = 1 ir = 1.Bet kurio tiesiniu lygiu skaiiaus tiesinis darinys suvokiamas taip. Jeigu

ai1 x1 + ai2 x2 + + ain xn = bi, i = 1, 2, . . . ,m,yra tiesines lygtys su n neinomuju, o i, i = 1, 2, . . . ,m, bet kokie realieji skaiiai, taitiesine lygtis( m

i=1

iai1

) x1 +

( mi=1

iai2

) x2 + +

( mi=1

iain

) xn =

mi=1

ibi

vadinama iu m lygiu tiesiniu dariniu. Skaiiai i, i = 1, 2, . . . ,m, vadinami tiesiniodarinio koecientais.

1.2. Tiesiniu lygiu sistemos.

Tarkime, kad kintamieji x1, x2, . . . , xn susieti m tiesinemis lygtimis

ai1 x1 + ai2 x2 + + ain xn = bi, i = 1, 2, . . . ,m.Isprsti m tiesiniu lygiu sistem su n neinomuju

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1,a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm.(1.5)

5

reikia rasti bendrus (tinkanius visoms lygtims) ju sprendinius. Skaiiai aij (i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , n) vadinami sistemos koecientais, bi (i = 1, 2, . . . ,m) sistemos lais-vaisiais nariais, o neinomi dydiai xj (j = 1, 2, . . . , n) vadinami sistemos neinomaisiais(kintamaisiais).

Tiesiniu lygiu sistemos sprendiniu vadinamas toks neinomuju x1, x2, . . . , xn reikmiurinkinys x = (x1; x2; ;xn), kuris yra sistemos kiekvienos lygties sprendinys.Jeigu (1.5) sistemos sprendiniu aib paymesime X, o j sudaraniu lygiu sprendiniuaibes atitinkamai X1, X2, . . . , Xm, tai tarp iu sprendiniu aibiu galioja sryis:

X = X1 X2 Xm.Dvi tiesiniu lygiu sistemos su n neinomuju,

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1,a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm,ir

c11x1 + c12x2 + + c1nxn = d1,c21x1 + c22x2 + + c2nxn = d2,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ck1x1 + ck2x2 + + cknxn = dk,vadinamos ekvivaleniomis, jeigu ju sprendiniu aibes sutampa. Lygiu sistemos vadinamos

ekvivaleniomis ir tuo atveju, kai abi neturi sprendiniu.

Pavyzdiui, nesunku isitikinti, kad tiesiniu lygiu su trimis neinomaisiais sistemos

2x1 + x2 = 3,

2x2 + x3 = 2,x1 = 1ir

x1 + x3 = 1,

2x2 = 2,2x1 x2 + x3 = 1,

x3 = 0

yra ekvivalenios, nes ir viena, ir kita turi vieninteli sprendini x = (1; 1; 0).Panagrinekime kit neekvivaleniu tiesiniu lygiu su trimis neinomaisiais sistemu

por 2x1 2x2 + x3 = 4,3x1 = 6,

2x2 x3 = 0ir

{3x1 x2 + 3x3 = 6,

2x2 6x3 = 0.

Pirmoji sistema ekvivalenti sistemai 2x2 + x3 = 0,

x1 = 2,2x2 x3 = 0,kurios sprendiniu aibe yra

X = {(2;; 2) : R}.Antroji ekvivalenti sistemai {

x1 = 2,x2 = 3x3,

6

kurios sprendiniu aibe tokia:

X = {(2; 3; ) : R}.

Taigi kiekviena sistema turi be galo daug sprendiniu, taiau X 6= X . I tikruju (2; 0; 0)yra abieju sistemu sprendinys, o, pavyzdiui, (2; 3; 1) yra tik antrosios sistemos sprendinys.1.3. Gauso metodas.

Gauso metodu vadinamas (1.5) tiesiniu lygiu sistemos sprendimo budas, kai ji per-

tvarkoma i ekvivaleni trikamp tiesiniu lygiu sistemc11x1 + c12x2 + + c1nxn = d1,

c22x2 + + c2nxn = d2,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cnnxn = dn

(1.6)

su nelygiais nuliui koecientais c11, c22, . . . , cnn arba trapecin tiesiniu lygiu sistemc11x1 + c12x2 + + c1kxk + c1k+1xk+1 + + c1nxn = d1,

c22x2 + + c2kxk + c2k+1xk+1 + + c2nxn = d2,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ckkxk + ckk+1xk+1 + + cknxn = dk(1.7)

su nelygiais nuliui koecientais c11, c22, . . . , ckk.Taiau, kokiu budu reikia pertvarkyti duotj lygiu sistem, kad gautusi jai ekvi-

valenti sistema? Be to, kaip gauti ekvivaleni trikamp arba trapecin lygiu sistem?

itokie veiksmai gana paprasti ir vadinami elementariaisias pertvarkiais :

sistemos bet kurios lygties daugyba i nelygaus nuliui realiojo skaiiaus; sistemos vienos lygties keitimas jos ir kitos lygties, padaugintos i bet kokio realiojoskaiiaus, suma.

Nesunku isitikinti, kad su sistemos lygtimis atlik elementariuosius pertvarkius vi-

suomet gausime ekvivaleni ankstesniajai lygiu sistem.

Atkreipkime demesi, kad dvieju sistemos lygiu sukeitimas vietomis taip pat reali-

zuojamas elementariaisiais pertvarkiais. Noredami tai irodyti, kad butu patogiau, i-jsistemos lygti ymekime Li, j-j Lj, o lygti, gaut pirmj padauginus i skaiiaus k,antrj i l ir jas sudejus, ymekime kLi + lLj. Tuomet lygtis Li ir Lj sukeiia vietomistokia veiksmu seka:{

LiLj

{Li + Lj

Lj

{Li + Lj

Lj + (Li + Lj) (1) {Li + Lj

Li

{(Li + Lj) + (Li)

Li{

LjLi.

Elementariaisiais pertvarkiais (1.5) sistem galima pertvarkyti i jai ekvivaleni tri-

kamp (1.6) arba trapecin (1.7) tiesiniu lygiu sistem. Gauti trikamp tiesiniu lygiu

sistem imanoma tik tuomet, kai m n.Lygiu sistema (1.6) turi vieninteli sprendini. Ji gausime nuosekliai sudarydami aibes

Xn, Xn Xn1, Xn Xn1 Xn2,. . ., Xn Xn1 . . . X1; ia Xi, i = 1, 2, . . . , n yra(1.6) sistemos lygties Li sprendiniu aibe.Trapecine tiesiniu lygiu sistema (1.7) turi be galo daug sprendiniu. I tikruju pasirin-

kime bet kurias neinomuju xk+1, . . . , xn reikmes, pavyzdiui, xk+1 = tk+1, . . . , xn = tn

7

(tk+1, . . . , tn realieji skaiiai), iraykime i (1.7) sistemos lygtis ir gautj sistem ura-ykime taip:

c11x1 + c12x2 + + c1kxk = d1 c1k+1tk+1 c1ntn,c22x2 + + c2kxk = d2 c2k+1tk+1 c2ntn,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ckkxk = dk ckk+1tk+1 ckntn.O tai trikampe tiesiniu lygiu sistema su k neinomuju. Kadangi koecientai c11, c22, . . . ,ckk nelygus nuliui, tai ji turi vieninteli sprendini. Paymekime ji (x1;x2; . . . ;xk). issprendinys atitinka laisvai pasirinkt skaiiu rinkini (tk+1; . . . ; tn), o (x1;x2; . . . ;xk; tk+1;. . . ; tn) yra (1.7) sistemos sprendinys. Taigi su kiekvienu laisvai pasirinktu realiuju skaiiurinkiniu (tk+1; . . . ; tn) gauname vieninteli (1.7) sistemos sprendini.Pertvarkant sistem (1.5) i trikamp ar trapecin tiesiniu lygiu sistem galima gauti

tokio pavidalo lygiu:

0 x1 + 0 x2 + + 0 xn = d.Jei d = 0, tai tokia lygtis yra tapatybe ir j paaliname i sistemos. Kai d 6= 0, tai jineturi sprendiniu. O tai reikia, kad ir visos sistemos sprendiniu aibe tuia. iuo atveju

sprendim baigiame.

Pademonstruosime Gauso metod pavyzdiais.

1.1 pavyzdys. Gauso metodu isprskime i tiesiniu lygiu su keturiais neinomaisi-

ais sistem: x1 3x2 + x3 + x4 = 0,

2x1 + 7x2 x3 2x4 = 1,x1 5x2 + 3x4 = 2,3x1 8x2 + 2x3 + 4x4 = 3.(1.8)

Sprendimas. I pradiu eliminuokime neinomji x1 i lygiu L2, L3 ir L4 . Tuotikslu atlikime tokius pertvarkius: 2L1+L2, L1+L3, 3L1+L4. Gausime ekvivalenitiesiniu lygiu sistem

x1 3x2 + x3 + x4 = 0,x2 + x3 = 1,

2x2 x3 + 2x4 = 2,x2 x3 + x4 = 3.Neinomji x2 eliminuokime i treios ir ketvirtos lygiu iais pertvarkiais: 2L2 + L3,L2 + L4. Turesime toki tiesiniu lygiu sistem:

x1 3x2 + x3 + x4 = 0,x2 + x3 = 1,

x3 + 2x4 = 4, 2x3 + x4 = 2.Atlik pertvarki 2L3 + L4, eliminuosime neinomji x3 i ketvirtosios lygties ir gausimetrikamp tiesiniu lygiu sistem

x1 3x2 + x3 + x4 = 0,x2 + x3 = 1,

x3 + 2x4 = 4,5x4 = 10.

8

ios sistemos lygiu sprendiniu aibes paymekime Xi, i = 1, 2, 3, 4. Tada

X4 = {(r1; r2; r3; 2) : r1 R, r2 R, r3 R},

X4 X3 = {(r1; r2; 0; 2) : r1 R, r2 R},X4 X3 X2 = {(r1; 1; 0; 2) : r1 R},X4 X3 X2 X1 = {(1; 1; 0; 2)}.Vadinasi, (1.8) tiesiniu lygiu sistema su keturiais neinomaisiais turi vieninteli sprendini:

(1; 1; 0; 2).1.2 pavyzdys. Gauso metodu isprskime tiesiniu lygiu su keturiais neinomaisiais

sistem

2x1 + x2 + 3x3 = 6,3x1 + 4x2 x3 2x4 = 4,x1 + 2x3 + x4 = 4,4x1 + 5x2 3x4 = 6,2x1 + 4x2 3x3 3x4 = 0.

(1.9)

Sprendimas. Neinomuosius eliminuokime pagal toki schem:

1) 3L1 + 2L2, L1 2L3, 2L1 + L4, L1 + L5

2x1 + x2 + 3x3 = 6,5x2 11x3 4x4 = 10,x2 x3 2x4 = 2,3x2 6x3 3x4 = 6,3x2 6x3 3x4 = 6;

2)

13L4, L4 + L5

2x1 + x2 + 3x3 = 6,5x2 11x3 4x4 = 10,x2 x3 2x4 = 2,x2 2x3 x4 = 2,

0 = 0;

3) L2 5L3, L2 5L4, paaliname L5 tapatyb2x1 + x2 + 3x3 = 6,

5x2 11x3 4x4 = 10, 6x3 + 6x4 = 0, x3 + x4 = 0;

4) 16L3, 16L3 + L4

2x1 + x2 + 3x3 = 6,5x2 11x3 4x4 = 10,

x3 x4 = 0,0 = 0.

9

ios sistemos ketvirtoji lygtis (0 x1 + 0 x2 + 0 x3 + 0 x4 = 0) yra tapatybe, todelpaalinkime i sistemos. Taigi (1.9) sistem pakeiteme ekvivalenia trapecine tiesiniu

lygiu sistema 2x1 + x2 + 3x3 = 6,

5x2 11x3 4x4 = 10,x3 x4 = 0.(1.10)

ios sistemos lygiu sprendiniu aibes paymekime atitinkamai X1, X2, X3 ir pasirinkimebet kuri neinomojo x4 reikm: x4 = t, t R. Tada

X3 = {(r1; r2; t; t) : r1 R, r2 R},X3 X2 = {(r1; 3t 2; t; t) : r1 R},

X3 X2 X1 = {(4 3t; 3t 2; t; t)}; t R.Vadinasi, (1.10), taigi ir (1.9), lygiu sistema turi be galo daug sprendiniu. Juos galima

parayti viena formule:

x(t) = (4 3t; 3t 2; t; t), t R.1.3 pavyzdys. Gauso metodu isprskime tiesiniu lygiu su penkiais neinomaisiais

sistem 2x1 + x2 + x3 x4 2x5 = 1,x1 + 3x2 2x3 + 2x4 x5 = 3,x1 2x2 + 3x3 3x4 x5 = 0,4x1 x3 x4 x5 = 1.(1.11)

Sprendimas. I karto pastebime, kad ios sistemos negalima pertvarkyti i trikamp

tiesiniu lygiu sistem, nes neinomuju yra daugiau negu lygiu. Vadinasi, elementari-

aisiais pertvarkiais gausime trapecin tiesiniu lygiu sistem:

1) L1 2L2, L1 2L3, 2L1 + L42x1 + x2 + x3 x4 2x5 = 1,

5x2 + 5x3 5x4 = 5,5x2 5x3 + 5x4 = 1,

2x2 3x3 + x4 + 3x5 = 1;

2) 15L2, L2 + L3, 25L2 + L4

2x1 + x2 + x3 x4 2x5 = 1,x2 x3 + x4 = 1,

0 = 4, 5x3 + 3x4 + 3x5 = 1.(1.12)

Matome, kad treioji ios sistemos lygtis

0 x1 + 0 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5 = 4neturi sprendiniu. Todel ir (1.12) sistema, taip pat ir (1.11) sistema, sprendiniu neturi .

Pastebekime, kad atlikdami elementariuosius pertvarkius perskaiiuojame tik koe-

cientus ir laisvuosius narius. Vadinasi, neinomuju x1, x2, . . ., xn tarpiniuose skaiia-vimuose galetume nerayti, o vietoje lygiu sistemos rayti tik jos koecientu ir laisvuju

10

nariu lentel. Tokios skaiiu lenteles vadinamos matricomis. Veliau matricas nagrinesime

atskirai, o ia pademonstruosime kaip jos naudojamos sprendiant tiesiniu lygiu sistemas

Gauso metodu.

Uraykime matricomis, pavyzdiui, (1.8) sistemos sprendim:

1 3 1 1 0

2 7 1 2 11 5 0 3 23 8 2 4 3

1 3 1 1 00 1 1 0 10 2 1 2 20 1 1 1 3

1 3 1 1 00 1 1 0 10 0 1 2 40 0 2 1 2

1 3 1 1 00 1 1 0 10 0 1 2 40 0 0 5 10

.Pagal gautj koecientu ir laisvuju nariu matric nesunku urayti ir pai lygiu sis-

tem, o tuomet j isprsti, kaip tai dareme anksiau. Kartais, kad butu patogiau, alia

matricos eilutes uraomi atliekami su matricos eilutemis veiksmai. Pavyzdiui, alia

pirmosios matricos antros eilutes galetume rayti 2L1 + L2, tuo parodydami kaip gautatolesnes matricos antroji eilute. alia priepaskutines matricos ketvirtos eilutes galetume

rayti 2L3+L4 (taip gaunama paskutiniosios matricos ketvirta eilute). Tokie pagalbiniaiuraai padeda ivengti klaidu skaiiuojant, o padarius klaid, lengviau j aptikti.

Sprendiant tiesiniu lygiu sistemas Gauso metodu, daniausiai ir vartojamas toks

sprendimo uraymas.

1.4. Udaviniai

1. Pavaizduokite grakai iu tiesiniu lygiu su dviem neinomaisiais sprendiniu aibes:

1) 4x1 5x2 = 20 ;2) 5x1 + 3x2 = 15 ;3) 2x1 + 7x2 = 14 ;4) 0 x1 + 3 x2 = 6 ;5) 2 x1 + 0 x2 = 5 .2. Gauso metodu isprskite ias tiesiniu lygiu sistemas:

1)

x1 + 2x2 x3 = 1,3x1 x2 + x3 = 4,4x1 x2 + 2x3 = 7;Ats. (1; 1; 2)

2)

2x1 + x2 + x3 = 5,

2x1 + 2x2 + x3 = 2,3x1 3x2 4x3 = 3;Ats. (2; 1; 0)

3)

x1 + 2x2 + x3 = 2,2x1 + x2 + x3 = 1,x1 + x2 + 2x3 = 5;Ats. (1; 0; 3)

4)

2x1 + 3x2 x3 = 1,3x1 x2 + 2x3 = 13,x1 2x2 3x3 = 4;Ats. (3;2; 1)

11

5) 3x1 x2 x3 = 3,2x1 + 3x2 + 5x3 = 17,5x1 + 2x2 + 4x3 = 15;

Ats. 6)

x1 + x2 = 2,x1 + 2x2 + x3 + x4 = 5,

3x2 + 4x3 x4 = 6,2x1 x3 x4 = 0;Ats. (1; 1; 1; 1)

7) x1 2x2 + x4 = 2,2x1 5x2 + x3 = 2,x1 + x3 x4 = 0,

3x2 x3 + 2x4 = 2;Ats. (2 t; 0;2 + 2t; t)8)

x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 6,x2 + 2x3 + x4 = 3,

2x1 x2 2x4 = 1,3x1 x2 x3 + x4 = 1;Ats. (1; 1; 1; 0)

9) 2x1 + x2 x3 = 3,x1 x2 + 2x3 x4 = 3,

2x2 + x3 x4 = 3,x1 + x2 + x3 + x4 = 2;

Ats. (1; 0;1; 2)10)

2x2 + x3 2x4 = 2,3x2 x3 + x4 = 3,

2x1 x2 + x3 + 2x4 = 3,x1 + x2 x3 x4 = 3;Ats. (2; 1; 0; 0)

11) x3 + 3x4 = 4,

2x2 x3 x4 = 2,x1 x2 + 2x3 + x4 = 4,2x1 + x2 x3 = 7;Ats. (3; 2; 1; 1)

12

12) 2x1 + x3 + x4 = 4,x1 + 2x2 + x4 = 4,x1 + x2 + 2x3 = 4,2x1 + x2 x3 + 2x4 = 4.Ats. (4 + 5t; t; 4 3t;7t+ 8)13)

3x1 + 5x2 + 4x3 + x4 = 3,2x1 + 3x2 + 3x3 + x4 = 2,x1 + x2 x3 = 0,x1 3x3 x4 = 1;Ats. (2;1; 1;2)14)

3x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 2,x2 3x3 x4 = 1,

x1 + 2x3 + x4 = 1,2x1 + x2 + x3 = 1;

Ats. (1; 2; 1;2)15)

3x1 2x2 + x3 x4 = 5,2x1 + 3x2 2x3 4x4 = 2,x1 4x2 + 3x3 + 2x4 = 1,4x1 + x2 + 4x3 + x4 = 6;

Ats. (3; 0;2; 2)16)

x1 + 2x2 x3 + x4 = 3,2x1 + 3x2 2x3 + 2x4 = 5,x1 2x2 + 3x3 x4 = 7,3x1 + x2 2x3 + x4 = 1;Ats. (1;1; 1;1)17)

2x1 + 3x2 x3 + x4 = 5,4x1 + 2x2 2x3 + 3x4 = 0,4x1 3x2 + 2x3 + 3x4 = 1,2x1 4x2 + 2x3 + 5x4 = 4;Ats. (1; 3; 4; 2)18)

2x1 + x2 x3 + x4 = 1,3x1 2x2 + 2x3 3x4 = 2,5x1 + x2 x3 + 2x4 = 1,2x1 x2 + x3 3x4 = 4;Ats.

13

19) x1 + 2x2 x3 + x4 = 1,

x1 + 2x2 + x3 3x4 = 4,2x1 + 3x2 + 2x3 3x4 = 2,

x1 + 5x2 x3 + 2x4 = 1;Ats. 20)

2x1 3x2 4x3 + x4 = 5,x1 x2 x3 = 2,4x1 + x2 + x3 5x4 = 3,x1 + 2x2 + x3 x4 = 3;Ats. (1 + t;1 + t; 0; t)21)

x1 + x2 + x3 = 6,x2 + x3 + x4 = 9,

x1 + x3 + x4 = 8,x1 + x2 + x4 = 7,x1 + x2 + x3 + x4 = 10;

Ats. (1; 2; 3; 4)22)

3x1 + 2x2 + x3 x4 = 6,2x1 + x2 x3 + 3x4 = 2,x1 x2 + 3x3 + 2x4 = 3,

x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 4,x1 + x2 + x3 + x4 = 7;

Ats. 23)

x1 + 2x2 x3 2x4 = 0,2x1 x2 + 3x3 4x4 = 0,

5x2 6x3 + x4 = 0,2x1 + 3x2 2x3 3x4 = 0;Ats. (t; t; t; t)24)

2x1 + x2 x3 2x4 = 0,3x1 + 2x2 + x3 3x4 = 3,

x2 + 6x3 + x4 = 8;

Ats. (3 2t;4 + 5t; 2 t; t)25)

5x1 + x3 3x4 = 3,x1 2x2 + 2x4 = 1,4x1 + 2x2 + x3 5x4 = 5.Ats.

14

2Determinantai

2.1. Antros ir treios eiles determinantai.

Gauso metodas yra patogus ir nesudetingas ivairiu tiesiniu lygiu sistemu sprendimo

metodas. Taiau teoriniuose klausimuose Gauso metodas maiau parankus. ia geriau

butu inoti lygiu sistemos sprendinio iraik ios sistemos koecientais ir laisvaisiais

nariais. Toki galimyb suteikia determinanto svoka.

I pradiu isprskime dvieju tiesiniu lygiu sistem su dviem neinomaisiais:{a11x1 + a12x2 = b1,a21x1 + a22x2 = b2.(2.1)

Tarkime, kad bent vienas i jos koecientu aij, pavyzdiui, a11 yra nelygus nuliui.Jeigu taip nebutu, tai sistem arba tenkintu bet kuri realiuju skaiiu pora (x1; x2), arbaji neturetu sprendiniu.

Sistemos (2.1) antrj lygti pakeit lygtimi a21a11L1 + L2 gausime ekvivaleni sistem{

a11x1 + a12x2 = b1,(a22 a12a21a11 )x2 = b2 a21a11 b1,o antr ios sistemos lygti padaugin i a11, sistem{

a11x1 + a12x2 = b1,(a11a22 a12a21)x2 = a11b2 b1a21.

I ia, kai a11a22 a12a21 6= 0, turesime:

x1 =b1a22 a12b2a11a22 a12a21 , x2 =

a11b2 b1a21a11a22 a12a21 . (2.2)

Nesunku ivelgti taisykl, pagal kuri sudaryti pastaruju iraiku vardiklis ir skaitikliai.

Paymekime

A =

(a11 a12a21 a22

).

Tai 2-os eiles kvadratine matrica su elementais a11, a12, a21, a22. Dar susitarkime matricosA elementus a11, a22 vadinti pagrindine istriaine, o elementus a12, a21 alutine istriaine.Tuomet (2.2) sistemos iraiku vardiklis yra matricos A pagrindines istriaines elementusandaugos ir alutines istriaines elementu sandaugos skirtumas: D = a11a22 a12a21.

15

Skaiius D vadinamas matricos A determinantu (arba tiesiog 2-osios eiles determi-nantu) ir ymimas

D =

a11 a12a21 a22 .Trupmenu (2.2) skaitikliai taip pat yra determinantai:

D1 =

b1 a12b2 a22 D2 =

a11 b1a21 b2 .Tuomet (2.2) formules galima urayti taip:

x1 =D1D, x2 =

D2D

(D 6= 0). (2.3)

Pastarosios neinomuju iraikos vadinamos Kramerio formulemis (G. Cramer, 1704-1753,

veicaru matematikas).

Panaiai nagrinejant triju tiesiniu lygiu sistema11x1 + a12x2 + a13x3 = b1,a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2,a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3,(2.4)

galima ivesti treios eiles determinanto svok. Isprend (2.4) lygiu sistem (kad ir

Gauso metodu), gausime tokias neinomuju iraikas Kramerio formules:

x1 =D1D, x2 =

D2D, x3 =

D3D

(D 6= 0); (2.5)

ia D, D1, D2, D3 yra atitinkami (susij su (2.4) tiesiniu lygiu sistema) treios eilesdeterminantai. inoma, ju iraikos gerokai sudetinges negu 2-os eiles determinantu.

Formuliu (2.5) vardiklio D reikinys yra treios eiles determinanatas

D =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.Skaitikliu reikiniai taip pat yra determinantai, apskaiiuojami pagal t pai taisykl:

D1 =

b1 a12 a13b2 a22 a23b3 a32 a33

, D2 =a11 b1 a13a21 b2 a23a31 b3 a33

, D3 =a11 a12 b1a21 a22 b2a31 a32 b3

.Isiiurej i determinanto D iraik pastebesime gana paprast jo skaiiavimo taisykl,vadinam Sariuso (P. F. Sarrus, 1798-1861, prancuzu matematikas, ) arba tiesiog trikam-

pio taisykle:

. .

. .

. .=

_.. ... ..

..

. ..

.

.

. . ..

. ..

3 pav.

16

2.1 pavyzdys. Naudodamiesi Kramerio formulemis isprskime tiesiniu lygiu sis-

tem 2x1 5x2 + 3x3 = 5,4x1 + 2x2 + x3 = 5,3x1 + x2 + 6x3 = 9.(2.6)

Sprendimas. Pagal trikampio taisykl apskaiiuokime determinantus D, D1, D2 irD3:

D =

2 5 34 2 13 1 6

= 121, D1 =5 5 35 2 19 1 6

= 121,

D2 =

2 5 34 5 13 9 6

= 0, D3 =2 5 54 2 53 1 9

= 121.Pritaik Kramerio formules (2.5) gauname tokias sprendinio komponentes: x1 = 1,

x2 = 0, x3 = 1. Taigi (1; 0; 1) yra tiesiniu lygiu sistemos (2.6) sprendinys.Kramerio taisykl galima taikyti ir kai neinomuju yra daugiau negu lygiu. Tuo tikslu

kairiojoje sistemos puseje reikia pasirinkti neinomuosius, kuriu koecientu determinantas

nelygus nuliui, o kitus narius laisvuosius kintamuosius perkelti i deinij. Tuomet

pritaik Kramerio formules ir rinkdamiesi laisvuju kintamuju reikmes i reliuju skaiiu

aibes gausime visus sistemos sprendinius, kuriu iuo atveju yra be galo daug.

2.2. Keliniai.

Siekdami iplesti determinanto svok iki n-tos eiles determinanto (n N), turimepanagrineti keliniu, sudarytu i naturaliuju skaiiu 1, 2, 3, ..., n savybes. Aiku, kad i iun skaiiu i viso galima sudaryti n! skirtingu keliniu (j1; j2; . . . ; jk . . . ; jl; . . . ; jn).Jei du bet kuriuos kelinio elementus sukeisime vietomis kitus palikdami savo vietose

(is veiksmas vadinamas tu elementu transpozicija), tai gausime kit tu paiu elementu

kelini. Elementu jk ir jl transpozicij ymesime (jk, jl).2.1 teorema. I bet kurio n elementu kelinio (n>1) baigtiniu transpoziciju skaiiumigalima sudaryti kiekvien kit tu paiu elementu kelini.

Irodymas. Samprotausime taikydami matematines indukcijos metod kelinio elementu

skaiiaus n atvilgiu. Teiginys akivaizdus, kai n = 2. Tarkime, kad teoremos teiginysteisingas su n 1 elemento keliniais. Irodysime, kad jis teisingas n elementu keliniamsK = (j1; j2; . . . ; jn) ir L = (l1; l2; . . . ; ln).Jei j1 = l1, tai keliniai (j2; . . . ; jn) ir (l2; . . . ; ln) yra n 1 elemento, ir jiems pagal in-dukcijos prielaid teoremos teiginys galioja. Vadinasi, i kelinio K baigtiniu transpozicijuskaiiumi gausime kelini L.Jeigu j1 6= l1, tai kelinyje L atlik transpozicij (j1, l1) gausime k tik nagrinetatveji. Sakoma, kad skaiiai jk ir jl kelinyje (j1; j2; . . . ; jk . . . ; jl; . . . ; jn) sudaro inversij, jeigu

jk > jl. Pavyzdiui, kelinyje (1; 5; 4; 2; 3) inversijas sudaro ios skaiiu poros: 5 ir 4, 5 ir 2,5 ir 3, 4 ir 2, 4 ir 3. I viso iame rinkinyje yra penkios inversijos. Rinkinio (j1; j2, . . . , jn)inversiju skaiius ymimas I(j1; j2; . . . ; jn). Taigi I(1, 5, 4, 2, 3) = 5.Kelinys, turintis lygini inversiju skaiiu, vadinamas lyginiu keliniu, o kelinys su nely-

giniu inversiju skaiiumi nelyginiu keliniu. K tik nagrinetas kelinys (1; 5; 4; 2; 3) yranelyginis.

17

2.2 teorema. Viena kelinio elementu transpozicija keiia kelinio lyginum prieingu.

Irodymas. I pradiu transpozicij (jk, jl) pritaikykime greta esantiems kelinio elemen-tams jk ir jl. Toki kelini sutrumpintai galime ymeti A, jk, jl, B; ia A elementai, esantyskaireje skaiiaus jk, B elementai, esantys deineje skaiiaus jl. Tuomet po transpozicijosturesime kelini A, jl, jk, B.Skaiius jk, taip pat ir skaiius jl, ir prie transpozicij, ir po jos su aibiu A ir Belementais sudaro t pati inversiju skaiiu. Todel kelinyje A, jk, jl, B atlikus transpozicij(jk, jl) inversiju skaiius pasikeiia tik vienetu taigi ir lyginumas keiiasi prieingu.Dabar tarkime, kad tarp elementu jk ir jl, kuriems taikoma transpozicija, yra s kelinioelementu (s 1): C, jk,m1,m2, . . . ,ms, jl, D; ia C elementai, esantys kaireje skaiiausjk, D elementai, esantys deineje skaiiaus jl. Po transpozicijos (jk, jl) gaut keliniC, jl,m1,m2, . . . ,ms, jk, D galima gauti ir atlikus toki transpoziciju sek:

(jk,m1), (jk,m2), . . . , (jk,ms), (jk, jl), (ms, jl), . . . , (m2, jl), (m1, jl).

Kiekviena ios sekos gretimu elementu transpozicija keiia kelinio lyginum prieingu.

Kadangi ju i viso yra 2s + 1, tai ir nagrinejamu atveju transpozicija (jk, jl) pakeiiakelinio lyginum prieingu. Ivada. I n elementu 1, 2, . . . , n galima sudaryti n!

2lyginiu keliniu ir tiek pat nelyginiu

keliniu.

Irodymas. Kaip mateme, i viso yra n! keliniu. Tarkime, kad p i ju yra lyginiu, o q nelyginiu. Tuomet p + q = n!. Kiekviename kelinyje atlikus, pavyzdiui, transpozicij(1, 2) visu keliniu lyginumas pasikeis prieingu. Gausime p nelyginiu keliniu, kuriu i visoyra q, taigi p q. Po transpozicijos visuose nelyginiuose keliniuose gausime q lyginiukeliniu, taigi q p. Vadinasi, p = q. Tuomet 2p = n! ir p = q = n!

2. 2.3. Keitiniai.

Dabar nagrinekime transformaciju, leidianiu i vieno kelinio gauti kit kelini, aib.

Tokias transformacijas apibudinsime kiekvienam pirmojo kelinio elementui nusakydami

atitinkanti ji antrojo kelinio element. Pavyzdiui, i kelinio (3, 4, 1, 5, 2) gausime kelini(4, 1, 5, 3, 2) elementui 3 priskyr 4, elementui 4 priskyr 1, elementui 1 priskyr 5, ele-mentui 5 priskyr 3 ir elementui 2 priskyr 2. Kalbant bendriau, itoks priskyrimas, kai aibes elementai priskiriami tos paios aibes elementams, vadinamas bijekcija i save

(apskritai bijekcija gali veikti ir i kit aib). i bijekcij galima urayti paraius antrji

kelini po pirmuoju ji ir vadinama keitiniu (5-ojo laipsnio):(3 4 1 5 24 1 5 3 2

). (2.7)

Kadangi uraant keitini svarbu nurodyti kuris elementas "pereina" i koki, tai sukeit

stulpelius vietomis taip, kad pirmoji eilute butu "tvarkinga", turesime t pati keitini:(1 2 3 4 55 2 4 1 3

). (2.8)

i keitinio iraika vadinama standartine. Taigi n-ojo laipsnio keitiniu vadinsime(1 2 . . . ni1 i2 . . . in

); (2.9)

18

ia i1, i2, . . . in yra kuris nors elementu 1, 2, . . . n kelinys. Aiku, kad i viso skirtingukeitiniu, kaip ir keliniu, yra n!.Galima kalbeti ir apie bet kokiu dvieju aibiu X ir Y elementu tarpusavio atitiktis.Taisykle f , pagal kuri kiekvien aibes X element x atitinka vienintelis aibes Yelementas y, vadinama aibes X atvaizdiu aibeje Y (ymesime f : X Y ). Kitaiptariant, atvaizdis f yra funkcija, apibreta aibeje X su reikmemis i aibes Y . Elementasy = f(x) vadinamas elemento x vaizdu, o aibe, sudaryta i elementu x vaizdu, atvaizdiof vaizdu (ymimu Imf).Jeigu Imf = Y , tai atvaizdis f : X Y vadinamas surjekcija. Kai nelygiu aibes Xelementu vaizdai nelygus, tai atvaizdis f vadinamas injekcija. Jeigu atvaizdis yra kartusurjekcija ir injekcija, tai jis vadinamas bijekcija.

Atkreipkime demesi, kad keitinio stulpeliu sukeitimas vietomis nekeiia pirmosios ir

antrosios eiluiu inversiju sumos lyginumo. Jeigu pirmosios ir antrosios eiluiu inversiju

suma lygine, tai keitini galima vadinti lyginiu keitiniu, jeigu i suma nelygine nelyginiu

keitiniu. Pavyzdiui, keitinys (2.7) yra nelyginis, nes jo pirmosios eilutes inversiju skaiius

yra 5, o antrosios 6 (suma lygi 11). is keitinys uraytas standartine iraika (2.8) ilieka

nelyginis pirmosios eilutes inversiju skaiius 0, antrosios 7.

Dabar n-ojo laipsnio keitiniu aibeje apibrekime daugyb. Kad butu paprasiau, iveiksm pademonstruosime pavyzdiu. Tegu

A =

(1 2 3 4 55 2 4 1 3

)ir B =

(1 2 3 4 53 4 1 5 2

)

du 5-ojo laipsnio keitiniai. Tuomet ju sandauga vadinsime keitini

AB =

(1 2 3 4 52 4 5 3 1

).

Atkreipkime demesi, kad

BA =

(1 2 3 4 54 1 5 3 2

).

Taigi tokia iprasta dauginamuju keitimo vietomis savybe - komutatyvumas (galiojanti,

pavyzdiui, realiuju skaiiu aibeje) keitiniu aibeje negalioja. Nesunku isitikinti, kad

jungimo desnis (asociatyvumas) n-ojo laipsnio keitiniu aibeje galioja, t. y. (A B) C =A (B C).Ypatingas yra tapatusis (vienetinis) keitinys

E =

(1 2 . . . n1 2 . . . n

).

Padaugin keitini i vienetinio i bet kurios puses, gausime t pati keitini: AE = EA = A.Taigi tapatusis keitinys yra keitiniu aibes vienetas. Be to, n-ojo laipsnio keitiniu aibejekiekvienas keitinys A turi atvirktini keitini (ji ymesime A1), t. y. toki, su kuriuogalioja lygybes A A1 = A1 A = E.Ivardinome savybes, kurias turi n-ojo laipsnio keitiniu aibe. Del iu ir kitu simetrijossavybiu i aibe vadinama simetriju grupe Sn. Kai n 3, i grupe yra nekomutatyvi.Kad suvoktume, kodel tokia aibe vadinama simetriju grupe, panagrinekime S3. igrupe turi 3! = 6 elementus. Juos visus nesunku ivardinti:

19

(1 2 31 2 3

),

(1 2 31 3 2

),

(1 2 33 2 1

),

(1 2 32 1 3

),

(1 2 32 3 1

),

(1 2 33 1 2

).

Tarkime, turime lygiakrati trikampi, kurio virunes suymetos skaiiais 1, 2 ir 3.

Kiekvienas ios grupes keitinys atitinka tam tikr lygiakraio trikampio transforma-

cij: pirmasis tapai (vienetin); antrasis, treiasis ir ketvirtasis pasukim apie

paymetas simetrijos ais; penktasis pasukim apie simetrijos centr pagal laikrodio

rodykl ir etasis pasukim prie laikrodio rodykl.

12

3

1

2

3

1

2 3 1

2

31 2

3 1

23

4 pav.

Truputi keitiniu teorijos. Keitini, gaut i tapaiojo keitinio E sukeitus du apatineseilutes elementus i ir j vietomis (t. y., atlikus apatinio kelinio elementu transpozicij),

s =

(. . . i . . . j . . .. . . j . . . i . . .

)

irgi vadinsime tiesiog transpozicija arba dvinariu ciklu ir ymesime (i, j); ia daugtakiaireikia nekeiiamus elementus. Transpozicija yra nelyginis keitinys.

Keitini padaugin i deines i transpozicijos (i, j), apatines io keitinio eilutes elemen-tus i ir j sukeisime vietomis (bus atlikta elementu i ir j transpozicija). Kadangi visuskelinius baigtiniu transpoziciju skaiiumi galima gauti i kelinio 1, 2, 3, . . . , n, tai bet kuriskeitinys gali buti gautas i vienetinio E, ji baigtini skaiiu kartu dauginant (i deines)i transpoziciju. Tokiu budu, jeigu neraysime vienetinio keitinio E, gausime keitinioiraik transpoziciju sandauga. Pavyzdiui,

C =

(1 2 3 4 52 5 4 3 1

)= (1, 2)(1, 5)(3, 4).

Atkreipkime demesi, kad iraika transpoziciju sandauga yra ne vienintele, pavyzdiui,

C =

(1 2 3 4 52 5 4 3 1

)= (1, 4)(2, 4)(4, 5)(3, 4)(1, 3).

Taiau ir vienos, ir kitos iraikos daugikliu skaiius yra nelyginis, be to pats keitinys yra

taip pat nelyginis (7 inversijos)!

2.3 teorema. Bet kurios keitinio iraikos transpoziciju sandauga iu transpoziciju

skaiiaus lyginumas yra toks pat ir sutampa su paio keitinio lyginumu.

Irodymas. Matematines indukcijos metodu irodykime, kad k transpoziciju sandaugayra keitinys, kurio lyginumas yra toks pat kaip ir skaiiaus k. Kai k = 1, tai teiginysyra teisingas, nes transpozicija yra nelyginis keitinys. Tarkime, kad teiginys teisingas, kai

dauginamuju yra k 1. inoma, skaiiai k ir k 1 yra prieingo lyginumo, taip pat irkeitinio padauginimas i transpozicijos keiia keitinio lyginum prieingu (sukeiiami du

antrosios eilutes elementai vietomis). Vadinasi, teiginys teisingas ir kai dauginamuju yra

k. Taigi teiginys teisingas su visais naturaliaisiais k 1.

20

Keitinys

s =

(i1 i2 . . . ik1 ik ik+1 . . . ini2 i3 . . . ik i1 ik+1 . . . in

)vadinamas k-nariu ciklu (1 k n) ir ymimas s = (i1, i2, . . . , ik). Kai k = 2, gausimeaukiau apibret transpozicij.

Du n-ojo laipsnio ciklai vadinami nepriklausomais, jeigu jie neturi bendru elementu.Keitini vieninteliu budu galima ireikti nepriklausomu ciklu sandauga ir, atvirkiai,

ciklais ireiktas keitinys uraomas iprastine forma taip pat vienareikmikai.

Pavyzdiui, aukiau nagrineti keitiniai nepriklausomu ciklu sandauga uraomi taip:

A =

(1 2 3 4 55 2 4 1 3

)= (1, 5, 3, 4)(2), B =

(1 2 3 4 53 4 1 5 2

)= (1, 3)(2, 4, 5),

AB =

(1 2 3 4 52 4 5 3 1

)= (1, 2, 4, 3, 5), BA =

(1 2 3 4 54 1 5 3 2

)= (1, 4, 3, 5, 2),

C =

(1 2 3 4 52 5 4 3 1

)= (1, 2, 5)(3, 4).

Keitinio A iraikoje matome "cikl", kurio ilgis 1. Kartais tokie ciklai i viso neraomi,nes elementas nekeiiamas, taiau tuomet butina inoti keitinio laipsni.

n-ojo laipsnio keitinio A dekrementu (ymesime d(A)) vadinamas skirtumas n s; ias yra nepriklausomu ciklu skaiius (iskaitant ir vienetinio ilgio ciklus).Pavyzdiui, d(A) = 3, d(B) = 3, d(AB) = 4, d(BA) = 4, d(C) = 3.2.4 teorema. Keitinio lyginumas yra toks pat kaip ir io keitinio dekremento lyginu-

mas.

Irodymas. Bet kuri ilgio k cikl galima urayti (k 1)-os transpozicijos sandauga:(i1, i2, . . . , ik) = (i1, i2)(i1, i3) . . . , (i1, ik).

Tarkime, is keitinys (n-ojo laipsnio) uraytas nepriklausomu ciklu sandauga, i kuriu vyra vienetinio ilgio (tiek yra "nejudinamu" elementu), o kiti r ilgesni. Kiekvienas nevienetinio ilgio ciklas iskaidytas tokia transpoziciju sandauga. iu transpoziciju skaiiu

gausime i "judinamu" elementu skaiiaus n v atem nepriklausomu ne vienetinio ilgiociklu skaiiu r. Taiau skaiius n v r = n (v + r) yra keitinio dekrementas. Todelkeitinio lyginumas ir nusakomas dekremento lyginumu. 2.4. n-osios eil es determinantas. Apibreimas ir savybes.

Kiekvienai kvadratinei matricai

A =

a11 a12 a1na21 a22 a2n. . . . . . . . . . . . . . . . . .

an1 an2 ann

apibreiamas skaiius, kuris vadinamas jos determinantu ir ymimas

a11 a12 a1na21 a22 a2n. . . . . . . . . . . . . . . . . .

an1 an2 ann

21

arba trumpiau |A|, detA, .Matricos determinantas apibreiamas tokia taisykle:

I kiekvienos eilutes ir kiekvieno stulpelio imama po vien matricos element ir jiesudauginami. Sudaromos visos galimos sandaugos a1j1 a2j2 . . .anjn (indeksai j1, j2, . . . , jnyra pasirinktuju stulpeliu numeriai visi skirtingi).

Kiekviena sandauga a1j1 a2j2 . . . anjn padauginama i skaiiaus (1)I ; ia I sandaug a1j1 a2j2 . . . anjn sudaraniu matricos elementu indeksu keitinio(

1 2 . . . nj1 j2 . . . jn

); (2.10)

inversiju skaiius.

Visi gautieji skaiiai(1)Ia1j1 a2j2 . . . anjn (2.11)sudedami (demenu i viso yra n!). i suma vadinama matricos A determinantu.Formule (2.11) apibreti skaiiai vadinami determinanto nariais.

Pritaikykime determinanto apibreim pirmos, antros ir treios eiles kvadratinems

matricoms.

Kai A = (a11), tai, aiku, detA = a11.Skaiiuodami antros eiles kvadratines matricos

A =

(a11 a12a21 a22

)

determinant, gauname tik du determinanto narius:

detA =

a11 a12a21 a22 = a11 a22 a12 a21. (2.12)Treios eiles kvadratines matricos

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

determinantas yra eiu nariu suma:

detA =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

= a11 a22 a33 + a12 a23 a31++a13 a21 a32 a13 a22 a31 a11 a23 a32 a12 a21 a33. (2.13)Kiekvieno nario enkl galima nustatyti apskaiiavus atitinkamo indeksu keitinio inversiju

skaiiu.

Skaiiuojant determinantus naudinga inoti ju savybes. Jos ivedamos tiesiogiai i

determinanto apibreimo.

1 savybe. Bet kurios kvadratines matricos A determinantas lygus transponuotos ma-tricos AT determinantui:

detA = detAT .

22

Matricos

A =

a11 a12 a1na21 a22 a2n. . . . . . . . . . . . . . . . . .

an1 an2 ann

transponuota matrica vadiname matric

AT =

a11 a21 an1a12 a22 an2. . . . . . . . . . . . . . . . . .

a1n a2n ann

.

Irodymas. Matrica AT sudaryta i tu paiu elementu kaip ir matrica A tik matricosAT eilutes sudaro matricos A stulpeliai. Sudarant determinanto narius imama po vienelement i kiekvienos eilutes ir kiekvieno stulpelio, taigi abieju determinantu nariai bus

tie patys. Matricos AT nario indeksu keitinys yra tokio pat matricos A nario indeksuatvirktinis keitinys, todel ju lyginumas yra toks pat. Taigi abieju determinantu nariai

vienodi ir ieina su vienodais enklais. Vadinasi, bet kuri determinanto savybe, irodyta eilutems, galios ir stulpeliams. Todel

kad butu trumpiau kitas savybes formuluosime tik eilutems.

2 savybe. Jei kvadratine matrica A turi eilut, sudaryt vien tik i nuliu, tai josdeterminantas lygus nuliui.

Irodymas. Tarkime, matricos A i-oji eilute yra nuliai. I kiekvien jos determinantonari ieina i-osios eilutes elementas - nulis. Taigi visi determinanto nariai lygus nuliui. 3 savybe. Sukeitus dvi matricos A eilutes vietomis, keisis jos determinanto enklas.Irodymas. Tarkime, sukeiteme matricos A, kurios determinantas , i-j ir j-jeilutes vietomis - gavome matric A su determinantu . Aiku, abu determinantus su-daro tie patys nariai. Determinanto nario a1k1a2k2 . . . aiki . . . ajkj . . . ankn enklas nusako-mas keitiniu (

1 2 . . . i . . . j . . . nk1 k2 . . . ki . . . kj . . . in

). (2.14)

Tokio nario determinante enklas nustatomas i keitinio(1 2 . . . j . . . i . . . nk1 k2 . . . ki . . . kj . . . in

), (2.15)

nes, pavyzdiui, elementas aiki dabar yra j-oje eiluteje, taiau lieka ki stulpelyje. Keitiniai(2.14) ir (2.15) yra prieingo lyginumo, nes vienas i kito gaunami padauginus i vienos

transpozicijos. Taigi kiekvieno determinanto nario enklas yra prieingas determinanto enklui. 4 savybe. Jei kvadratine matrica A turi dvi vienodas eilutes, tai jos determinantaslygus nuliui.

Irodymas. Tegu matricos A i-oji j-oji eilutes vienodos (i 6= j), o jos determinantaslygus . Po iu eiluiu sukeitimo vietomis gausime toki pat matric su determinantulygiu (pagal 3 savyb). Taigi = , t. y. = 0. 5 savybe. Jei kvadratines matricos A kurios nors eilutes visi elementai turi t patidaugikli , tai ji galima ikelti prie determinanto enkl.

23

Irodymas. Tarkime matricos A i-osios eilutes visi elementai turi daugikli . Kadangii kiekvien determinanto nari ieina ios eilutes elementas, tai ir kiekvienas determinanto

narys turi i daugikli. Vadinasi, ir pats determinantas turi daugikli . 6 savybe. Jei matricos A dvi eilutes proporcingos, tai jos determinantas lygus nuliui.Irodymas. Jeigu matricos i-oji eilute skiriasi nuo j-osios eilutes tuo paiu daugikliu

, tai i daugikli galima ikelti prie determinanto enkl. Tuomet matrica tures dvivienodas eilutes ir jos determinantas lygus nuliui. 7 savybe. Tegu matricos A vienos eilutes elementai yra dvieju skaiiu sumos: aij =

bij + cij, j = 1, . . . , n. Tuomet ios matricos determinantas lygus dvieju determinantusumai ir pirmojo, ir antrojo visos eilutes tokios pat iskyrus i-j: pirmojo determinantoi-osios eilutes elementai yra bij, antrojo cij.Irodymas. Kiekvienas determinanto A narys yra

a1k1a2k2 . . . aiki . . . ankn = a1k1a2k2 . . . (biki + ciki) . . . ankn =

a1k1a2k2 . . . biki . . . ankn + a1k1a2k2 . . . ciki . . . ankn

su atitinkamu enklu. Sugrupav pirmuosius demenis gausime pirmji determinant, su-

grupav antruosius antrji. Apibreimas. Sakome, kad matricos A i-oji eilute yra kitu eiluiu tiesinis darinys,jei ji yra iu eiluiu, padaugintu i realiuju skaiiu, suma.

8 savybe. Jei matricos A viena eilute yra kitu eiluiu tiesinis darinys, tai detA = 0.Irodymas. Pasinaudojus 7 savybe matricos A determinant iskaidykime determinantusuma. Kiekvienas ios sumos determinantas tures dvi proporcingas eilutes ir todel lygus

nuliui. 9 savybe. Kvadratines matricos determinantas nepasikeis, jeigu prie eilutes pridesime

kit eilut, padaugint i bet kurio skaiiaus .Irodymas. Naujai gautji determinant iskaidykime dvieju determinantu suma. Vie-

nas i ju sutampa su pradiniu determinantu, o kitas tures dvi proporcingas eilutes ir bus

lygus nuliui. Pastaba. Determinanto reikme irgi nepasikeis, jeigu prie eilutes pridesime bet kuriu

kitu eiluiu tiesini darini.

Naudodamiesi iomis savybemis jau galime apskaiiuoti ir auktesniu negu treios eiles

determinantu reikmes matric nekeiiant jos determinanto reikmes galima suvesti i

trikamp form (kai visi elementai vir pagrindines arba alutines istriaines yra lygus

nuliui) ir tuomet determinanto reikme surandama lengvai ji yra lygi istriaines elementu

sandaugai, su atitinkamu enklu.

Patogesnis yra kitas determinanto skaiiavimo budas ireikti ji emesnes eiles deter-

minantais, kuriuos jau mokame apskaiiuoti. Tuo tikslu turime ivesti matricos elemento

adjunkto svok.

Pasirinkime bet kuri matricos

A =

a11 a1j1 a1j a1j+1 a1n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ai11 ai1j1 ai1j ai1j+1 ai1nai1 aij1 aij aij+1 ainai+11 ai+1j1 ai+1j ai+1j+1 ai+1n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

an1 anj1 anj anj+1 ann

24

element aij, ibraukime jos i-j eilut ir j-ji stulpeli, o i likusiu elementu sudarykime(n 1)-os eiles kvadratin matric:

a11 a1j1 a1j+1 a1n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ai11 ai1j1 ai1j+1 ai1nai+11 ai+1j1 ai+1j+1 ai+1n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

an1 anj1 anj+1 ann

.

ios matricos determinantas (ymimas Mij) vadinamas matricos A elemento aij minoru.Taigi

Mij =

a11 a1j1 a1j+1 a1n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ai11 ai1j1 ai1j+1 ai1nai+11 ai+1j1 ai+1j+1 ai+1n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

an1 anj1 anj+1 ann

. (2.16)

Pavyzdiui, matricos

A =

(5 20 3

)elementu minorai tokie:

M11 = det(3) = 3,

M12 = det(0) = 0,

M21 = det(2) = 2,M22 = det(5) = 5.

Treios eiles matrica

A =

3 5 12 0 34 1 2

turi devynis elementus, todel ir minoru devyni. Kelis apskaiiuokime:

M11 =

0 31 2 = 0 (2) 3 1 = 3;

M23 =

3 54 1 = 3 1 5 4 = 17;

M32 =

3 12 3 = 3 3 (1) 2 = 11.Adjunkto apibreimas. Kvadratines matricos A elemento aij adjunktas (ym. Aij)yra skaiius, gaunamas pagal formul:

Aij = (1)i+j Mij; (2.17)ia Mij elemento aij minoras.

25

2.2 pavyzdys. Apskaiiuokime matricos

A =

1 2 3 02 0 1 50 4 2 13 5 1 6

elementu adjunktus A11, A23 ir A42:

A11 = (1)1+1 M11 =M11 =0 1 54 2 15 1 6

== 0 2 6 + 1 1 5 + 5 4 1 5 2 5 1 4 6 0 1 1 = 49;

A23 = (1)2+3 M23 = M23 = 1 2 00 4 13 5 6

== (1 4 6 + 2 1 3 + 0 0 5 0 4 3 2 0 6 1 1 5) = 25;

A42 = (1)4+2 M42 =M42 =1 3 02 1 50 2 1

== 1 1 1 + 3 5 0 + 0 2 2 0 1 0 3 2 1 1 5 2 = 15.2.5 teorema. Kvadratines matricos

A =

a11 a12 a1na21 a22 a2n. . . . . . . . . . . . . . . . . .

an1 an2 ann

determinantas detA lygus bet kurios eilutes (bet kurio stulpelio) elementu ir ju adjunktusandaugu sumai.

i teorema yra ymai bendresnes Laplaso teoremos (kuri suformuluosime veliau)

atskiras atvejis. Skaiiuojant determinantus vis delto daniau naudinga 2.5 teorema.

Paraysime determinanto skaiiavimo formules:

detA = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + + ain Ain (2.18)(i = 1, 2, , n);

detA = a1j A1j + a2j A2j + + anj Anj (2.19)(j = 1, 2, , n).Formules (2.18) ir (2.19 vadinamos atitinkamai determinanto skleidiniu pasirinktja

eilute ir pasirinktuoju stulpeliu.

2.3 pavyzdys. Apskaiiuokime ketvirtos eiles kvadratines matricos

A =

1 2 7 02 1 1 30 0 2 45 1 0 0

26

determinant. Skaiiuodami pagal (2.18) formul su i = 4, gausime

detA =

1 2 7 02 1 1 30 0 2 45 1 0 0

= 5 A41 + 1 A42 + 0 A43 + 0 A44 = 5 A41 + A42 =

= 5 (1)4+1 M41 + (1)4+2 M42 = 5 M41 +M42 =

= 5 2 7 01 1 30 2 4

+1 7 02 1 30 2 4

== 5 (2 1 4 + 7 3 0 + 0 1 2 0 1 0 7 1 4 2 3 2)+

+(1 1 4 + 7 3 0 + 0 2 2 0 1 0 7 2 4 1 3 2) == 5 (32) + (58) = 102.i determinant galima apskaiiuoti ir racionaliau, t. y. skleidinio formul taikyti

ne i karto, kaip dareme dabar, o pirmiau, pasinaudojus savybemis, eiluteje arba stulpe-

lyje "padaryti visus nulius", iskyrus vien. Tuomet skleidiant determinant reiketu

apskaiiuoti tik vien adjunkt. Pavyzdiui, trei stulpeli padaugin i 2 ir pridej prieketvirto, turesime:

detA =

1 2 7 02 1 1 30 0 2 45 1 0 0

=1 2 7 142 1 1 10 0 2 05 1 0 0

= 2 A33 = 21 2 142 1 15 1 0

== 2(10 28 + 70 1) = 102.Panaiai skleidimu maindami skaiiuojamo determinanto eil galetume apskaiiuoti

ir auktesniu eiliu ir apskritai n-osios eiles determinantus.Uduotis. Naudodamiesi determinanto savybemis ir determinanto skleidiniu eilute

arba stulpeliu apskaiiuokite kvadratines matricos

A =

7 3 4 98 2 6 714 5 15 87 4 12 6

determinant. (Ats.: 935.)

2.5. Laplaso teorema. (Pierre-Simon Laplace, 1749-1827, prancuzu matematikas.)

Matricos A determinante pasirinkime k eiluiu ir k stulpeliu (1 k n 1). Ele-mentai, stovintys pasirinktuju eiluiu ir stulpeliu susikirtimuose, sudaro k-osios eiles de-terminant M , vadinam k-osios eiles minoru. Kai k = 1, turesime pirmos eiles minor,t. y., tiesiog matricos element. Visi likusieji elementai sudaro eiles n k matric, kuriosdeterminantas M vadinamas minoro M papildomu minoru.Jei minoras M sudarytas i eiluiu i1, i2, . . . , ik ir stulpeliu j1, j2, . . . jk, tai minor M

,

paimt su enklu (1)sM , kai sM = i1+ i2+ . . .+ ik + j1+ j2+ . . .+ jk, vadiname minoroM adjunktu.

27

2.5 teorema (Laplaso). Pasirinkime n-os eiles determinanto |A| k, 1 k n 1,eiluiu (arba k stulpeliu) ir sudarykime i ju elementu visus galimus minorus M . Tuometiu minoru ir ju adjunktu sandaugu suma lygi determinanto |A| reikmei.Noredami irodyti i teorem, pirmiau irodysime itoki teigini.

Lema. Kiekvieno minoro M kiekvieno nario ir jo adjunkto M kiekvieno nario san-dauga yra determinanto |A| narys.Irodymas. Pirmiau tarkime, kad minoras M yra determinanto virutiniame kairia-jame kampe:

|A| =

a11 a1k1 a1k | a1k+1 a1n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ak11 ak1k1 ak1k | ak1k+1 ak1nak1 akk1 akk | akk+1 akn ak+11 ak+1k1 ak+1k | ak+1k+1 ak+1n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

an1 ank1 ank | ank+1 ann

Tuomet minoras M yra deiniame apatiniame kampe, o minoro M adjunktas yra lygus(1)sMM =M , nes sM = 1 + 2 + . . .+ k + 1 + 2 + . . .+ k = 2(1 + 2 + . . .+ k).Tegu (1)ra1i1a2i2 . . . akik yra bet kuris minoro M narys; ia r yra inversiju skaiiuskeitinyje (

1 2 . . . ki1 i2 . . . ik

).

Bet kuris minoro M narys yra (1)rak+1lk+1ak+2lk+2 . . . anln su inversiju skaiiumi rkeitinyje (

k + 1 k + 2 . . . nlk+1 lk+2 . . . ln

).

Sudaugin iuos narius gausime

(1)r+ra1i1a2i2 . . . ak,ikak+1,lk+1ak+2,lk+2 . . . an,ln .Taiau toks pat narys ir su tokiu pat enklu ieina ir i determinanto |A| iraik.Lema irodyta atskiru atveju, kai minorasM yra determinanto virutiniame kairiajamekampe. Noredami isitikinti lemos teisingumu bet kuriam minorui, tarkime minoro Melementai yra eilutese su numeriais i1 < i2 < . . . < ik ir stulpeliuose su numeriais j1 0, tokia pat kaip ir vektoriaus~a, ir, jeigu k < 0, prieinga; jeigu k = 0, gausime vadinamji nulini vektoriu ~0, kurio ilgis

45

lygus nuliui, o kryptis neapibreta;

nulinio vektoriaus ir pradia, ir galas yra viename take, todel jis gali buti laikomas

kolineariu su bet kuriuo vektoriumi; vadinasi vektoriai ~a ir k~a visuomet kolinearieji; jeinenuliniai vektoriai ~a ir ~b yra kolinearieji, tai egzistuoja toks skaiius k, su kuriuo ~b = k~a.

Vektoriu skirtumas yra ivestinis veiksmas, apibreiamas naudojantis sumos apibre-

imu: vektoriaus ~a ir vektoriaus ~b skirtumu vadinamas vektorius, kuri sudejus su vekto-riumi

~b, gaunamas ~a (is skirtumas ymimas ~a~b, r. 6 pav.).Pastaba. Nesunku pastebeti, kad ~a~b = ~a+ (1)~b.Vektoriu tiesiniu veiksmu savybes.

~a+~b = ~b+ ~a (sudeties komutatyvumas).Savybe iplaukia tiesiog i vektoriu sumos apibreimo (r. pastab).

~a+ (~b+ ~c) = (~a+~b) + ~c (sudeties asociatyvumas).Irodymas. I 7 paveikslo matome, kad ir suma ~a+ (~b+~c), ir suma (~a+~b) +~c lygi tam

paiam vektoriui

~AB. Taigi jos lygios.

k(~a+~b) = k~a+ k~b (distributyvumas).Irodymas. Kai vektoriai ~a ir ~b nekolinearus, i savybe iplaukia i 8 paveiksle pavaiz-duotu lygiagretainiu panaumo: k~c = k~a+ k~b. ia ~c = ~a+~b.

Kai vektoriai ~a ir ~b kolinearus, i savybe taip pat nesunkiai irodoma geometrikai.

a b

c

a

b

A

B

+

+b

c

a

b

ka

kb

c

kc

7 pav. 8 pav.

Vektoriu projekcijos.

Taikant vektorius labai svarbu moketi juos urayti analizikai formulemis. Taigi

kaip pereiti nuo geometrines vektoriaus sampratos prie algebrines? Pirmasis ingsnis ia

kryptimi vektoriaus projekcijos kryptineje tieseje svokos ivedimas.

Kryptine tiese (projekciju aimi) vadinsime ties, kurioje pasirinktas ilgio vienetas ir

nurodyta tieses kryptis, pavyzdiui, kuriuo nors ios tieses vektoriumi (9 pav. tieses Ot

kryptis yra tokia pat kaip ir vektoriaus

~OA kryptis, o ilgio vienetas vektoriaus ~OA ilgis).

I vektoriaus ~a pradios ir galo taku i ties Ot nuleiskime statmenis, kurie su tiesekertasi takuose M ir N (r. 9 pav.). Vektoriaus

~MN ilgi paymekime l.

Vektoriaus ~a projekcija at = prOt~a tieseje Ot vadinsime skaiiu l, kai vektoriu ~a ir ~MNkryptys sutampa, skaiiu l, kai ju kryptys prieingos, ir projekcij laikome lygia nuliui,kai vektorius ~a statmenas tiesei Ot.

Lengva pastebeti, kad visu vektoriu, lygiu vektoriui ~a (pavyzdiui, ~MB, ~CD), projek-cijos tieseje Ot yra lygios. Todel projektuojam vektoriu visada galima perkelti kad jopradios takas priklausytu projekciju aiai.

Jeigu paymesime = BEt (9 pav.), tuomet at = |~a| cos . ia kampas tarpvektoriaus ~a ir projekciju aies Ot, 0 pi.Dabar tarkime, kad projekciju ais Ot yra tiese erdveje, projektuojamas vektorius ~a taip pat erdves vektorius. Tuomet, noredami gauti io vektoriaus projekcij tieseje Ot,

46

per vektoriaus pradios ir pabaigos takus iveskime ploktumas, statmenas projekciju

aiai (10 pav.). Takai M ir N yra ivestu ploktumu susikirtimo su projekciju aimitakai. Tuomet lieka pakartoti "ploktumini" projekcijos apibreim ir turesime erdves

vektoriaus projekciju ayje svok.

Dvieju vektoriu sumos projekcija kurioje nors ayje Ot lygi tu vektoriu projekciju

sumai: jeigu ~c = ~a+~b, tai ct = at + bt.Vektoriu padauginus i skaiiaus, jo projekcija ayje Ot taip pat padauginama i io

skaiiaus: jeigu ~c = k~a, tai ct = kat.ie teiginiai nesunkiai iplaukia i vektoriaus projekcijos ayje apibreimo.

OA

t

l

D

Ba

l

C

1

E

O

A

t

l

M

N

a

1

9 pav. 10 pav.

Tarkime, turime ploktumos staiakamp koordinaiu sistem xOy, kurios ayje Oxatidetas vienetinio ilgio vektorius

~i, o ayje Oy atidetas vienetinio ilgio vektorius ~j (r.11 pav.).

a

O

A

j

i

x

y

C

B

a

O

A

j

x

yC

B

k

z

D

E

i

11 pav. 12 pav.

Tuomet, pavyzdiui, jeigu ~a yra ploktumos vektorius ir jo pradia yra koordinaiupradios take O(0; 0), o galas take A(ax; ay), tai i veiksmu su vektoriais apibreimu

ir kolineariuju vektoriu savybes iplaukia, kad ~a = ~OB + ~OC = ax~i+ ay~j. inoma, tokipat iraik turi ir kiekvienas jam lygus ploktumos vektorius. Taigi, ivedus koordinaiu

sistem, kiekvienas ploktumos vektorius gali buti sutapatintas su dvieju skaiiu (io vek-

toriaus projekciju koordinaiu ayse) rinkiniu (ax; ay). Atkreipkime demesi, kad butentiuo momentu nuo geometrinio vektoriaus pereiname prie algebrines jo iraikos. Veliau

vektoriumi pavadinsime tiesiog n skaiiu rinkini.Jeigu ~a yra erdves vektorius ir jo pradia yra koordinaiu pradios take O(0; 0; 0), o

galas take A(ax; ay; az) (12 pav.), tai ~a = ~OE+ ~OD = ~OB+ ~OC+ ~OD = ax~i+ay~j+az~k =

47

(ax; ay; az). ia ~i yra Ox aies vienetinis vektorius, ~j Oy aies vienetinis vektorius, o ~k Oz aies vienetinis vektorius.Dabar ir geometriniai veiksmai su vektoriais (daugyba i skaiiaus bei sudetis) gali buti

ireikti "algebrikai": vektoriu padauginti i skaiiaus reikia jo projekcijas padauginti i

io skaiiaus, sudeti du vektorius tai reikia sudeti ju atitinkamas projekcijas. Skaitytojas

tuo nesunkiai isitikins pats.

I vektoriu sudeties gauname: jei vektoriaus

~AB pradios takas yra A(x1; y1), o galas

takas B(x2; y2), tai ~AB = (x2 x1; y2 y1).Skaliarine sandauga.

Analizineje geometrijoje svarbi vektoriu skaliarines sandaugos svoka.

Apibreimas. Vektoriu ~a ir ~b skaliarine sandauga vadinamasskaiius ~a ~b = |~a||~b| cos; ia yra kampas tarp vektoriu ~a ir~b (13 pav.).

a

b

A B

13 pav.

Jei vektoriaus

~b projekcij vektoriuje ~a paymesime ~b~a, o vektoriaus ~a projekcij vek-toriuje

~b paymesime ~a~b, tai i skaliarines sandaugos apibreimo

~a ~b = |~a| ~b~a = |~b| ~a~b. (4.1)

ios lygybes kartais naudingos geometrijoje.

Pastaba. Kai ~a = ax~i+ay~j+az~k = (ax; ay; az), tai i tikruju ax = ~a~i, ay = ~a~j, az = ~a~k.Skaliarines sandaugos savybes:

~a ~b = ~b ~a (iplaukia i (4.1) lygybes); k(~a ~b) = (k~a) ~b = ~a (k~b); ~a (~b+ ~c) = ~a ~b+ ~a ~c.Paskutiniosios dvi savybes nesunkiai irodomos pasinaudojus (4.1) lygybe ir vektoriu

projekciju savybemis.

I apibreimo iplaukia, kad du nenuliniai vektoriai statmeni tik tuomet, kai ju skalia-

rine sandauga lygi nuliui.

Dabar tarkime, kad vektoriai duoti projekcijomis ayse: ~a = ax~i + ay~j + az~k =

(ax; ay; az), ~b = bx~i + by~j + bz~k = (bx; by; bz). Naudodamiesi skaliarines sandaugossavybemis apskaiiuokime ju skaliarin sandaug:

~a ~b = (ax~i+ ay~j + az~k) (bx~i+ by~j + bz~k) = axbx(~i ~i) + axby(~i ~j) + axbz(~i ~k)+

+aybx(~j ~i) + ayby(~j ~j) + aybz(~j ~k) + azbx(~k ~i) + azby(~k ~j) + azbz(~k ~k).Kadangi

~i ~i = 1, ~j ~j = 1, ~k ~k = 1,~i ~j = ~j ~i = 0, ~j ~k = ~k ~j = 0, ~k ~i =~i ~k = 0,tai ~a ~b = axbx + ayby + azbz.Kai ~a = ~b, gauname vektoriaus skaliarini kvadrat ~a 2 = ~a ~a = a2x + a2y + a2z. Kitavertus, ~a 2 = |~a|2. Todel |~a| =

a2x + a

2y + a

2z.

Kamp tarp vektoriu galima apskaiiuoti pasinaudojus formule:

cos =axbx + ayby + azbz

a2x + a2y + a

2z

b2x + b

2y + b

2z

. (4.2)

48

Tegu ~a = (ax; ay; az), |~a| = 1, o io vektoriaus kampai su koordinaiu aiu Ox, Oy, Ozteigiamosiomis kryptimis atitinkamai yra , , . Tuomet ax = cos, ay = cos , az =cos . Irodykite. ie kosinusai vadinami vektoriaus krypties kosinusais.Vektorine sandauga.

Tarkime, kampas tarp vektoriu ~a ir ~b yra lygus .Apibreimas. Vektoriu ~a ir ~b vektorine sandauga vadina-mas vektorius ~c, kurio ilgis lygus vektoriu ~a ir ~b sudarytolygiagretainio ploto vienetu skaiiui (t. y. |~a||~b| sin) ir yrastatmenas lygiagretainio ploktumai; vektorius ~c nukreiptastaip, kad sistema ~a, ~b, ~c butu deinine (iurint i vektoriaus

~c virunes, vektoriu ~a iki vektoriaus ~b kampu reikia suktiprie laikrodio rodykl) (14 pav.).

c

b

a

14 pav.

Vektorin sandaug ymesime ~a~b .Vektorines sandaugos savybes:

~a~b = (~b ~a); (k~a)~b = k(~a~b) = ~a (k~b); (~a+~b) ~c = (~a ~c) + (~b ~c).Pirmosios dvi savybes gaunamos tiesiogiai i apibreimo, o trei irodyti kiek sunkiau

reikia nagrineti abieju lygybes pusiu vektorius atskirai ir isitikinti, kad jie lygus.

Vektorine sandauga gali buti nulinis vektorius ir kai ne vienas i daugikliu nera nulinis:

jei vektoriai ~a ir ~b kolinearus (priklauso lygiagreioms tiesems), tai ~a~b = ~0 ir atvirkiai jei ~a~b = ~0, tai ~a ir ~b kolinearus. Atskiru atveju, inoma, ~a ~a = ~0.Jeigu

~i, ~j ir ~k yra koordinaiu aiu vienetiniai vektoriai, tai:

~i~i = ~0, ~j ~j = ~0, ~k ~k = ~0,~i~j = ~k, ~j ~k =~i, ~k ~i = ~j,~j ~i = ~k, ~k ~j = ~i, ~i ~k = ~j.(4.3)

Sudauginkime "vektorikai" vektorius, kai jie duoti projekcijomis koordinaiu ayse:

~a = ax~i+ ay~j + az~k = (ax; ay; az), ~b = bx~i+ by~j + bz~k = (bx; by; bz). Tuomet

~a~b = (ax~i+ ay~j + az~k) (bx~i+ by~j + bz~k) = axbx(~i~i) + axby(~i~j) + axbz(~i ~k)++aybx(~j ~i) + ayby(~j ~j) + aybz(~j ~k) + azbx(~k ~i) + azby(~k ~j) + azbz(~k ~k).Iraykime (4.3) vektoriniu sandaugu iraikas ir sugrupuokime narius taip:

~a~b = (aybz azby)~i (axbz azbx)~j + (axby aybx)~k. (4.4)O pastarji reikini galima urayti determinantu. Taigi

~a~b =~i ~j ~kax ay azbx by bz

. (4.5)Mirioji triju vektoriu sandauga.

Tris vektorius galima sudauginti ivairiai, pavyzdiui, pirmuosius du "skaliarikai"

(gausime skaiiu) ir rezultat padauginti i treiojo vektoriaus arba pirmuosius du sudau-

ginti "vektorikai", o gaut vektoriu padauginti "vektorikai" i treiojo. Mes nagrinesime

49

mirij sandaug kai pirmieji du sudauginami "vektorikai", o po to gautasis vektorius

dauginamas i treiojo vektoriaus skaliarikai (rezultatas - realusis skaiius).

Apibreimas. Triju vektoriu ~a, ~b ir ~c mirija san-dauga vadiname: (~a,~b,~c) = (~a~b) ~c.itokia sandauga turi labai aiki geometrin prasm

jos modulis yra lygus gretasienio, nusakyto trimis

vektoriais ~a, ~b ir ~c, ieinaniais i vienos virunes (15pav.), turiui:

VDAEBCHFG = |(~a,~b,~c)|.

c

b

a

a b

C

B

A

D

E

FH

G

15 pav.

I tikruju sandaugos ~a~b ilgis lygus gretasienio pagrindo plotui, skaliarine sandauga|~a~b||~c| cos yra pagrindo ploto ir gretasienio auktines sandauga, t. y. turis; ia yrakampas tarp gretasienio briaunos ~c ir auktines vektoriaus ~a~b.Trimis vektoriais ~a, ~b ir ~c nusakoma ir piramide DABC (r. 15 pav.). Nesunkususivokti, kad jos turis lygus vienam etadaliui gretasienio turio. Taigi

VDABC =1

6|(~a,~b,~c)|.

Suraskime triju vektoriu mirij sandaug, kai vektoriai duoti projekcijomis koordi-

naiu ayse: ~a = ax~i + ay~j + az~k = (ax; ay; az), ~b = bx~i + by~j + bz~k = (bx; by; bz), ~c =

cx~i+ cy~j+ cz~k = (cx; cy; cz). I miriosios sandaugos apibreimo, pasinaudoj (4.4) lygybeir apskaiiav skaliarin sandaug, gauname

(~a,~b,~c) = ((aybz azby)~i (axbz azbx)~j + (axby aybx)~k) (cx~i+ cy~j + cz~k) =

cx(aybz azby) cy(axbz azbx) + cz(axby aybx).Pastaroji suma (prisiminkime determinanto skleidini eilute) yra determinantas

cx cy czax ay azbx by bz

.Sukeit io determinanto pirmsias dvi eilutes vietomis, o po to antrj su treija,

gauname, kad

(~a,~b,~c) =

ax ay azbx by bzcx cy cz

. (4.6)Trys vektoriai vadinami komplanariais, jeigu juos galima patalpinti vienoje ploktu-

moje. Ar duotieji trys vektoriai komplanarus, galima nustatyti pagal ju miriosios san-

daugos reikm.

Trys vektoriai ~a = (ax; ay; az), ~b = (bx; by; bz), ~c = (cx; cy; cz), tarp kuriu nera nulinio,

yra komplanarus tik tuomet, kai (~a,~b,~c) = 0.

Platesniuose analizines geometrijos kursuose nagrinejami ir kitokie vektoriu taikymai.

50

4.2. Udaviniai.

1. Vektorius su Ox ir Oz aimis sudaro vienodo dydio kampus: = = 600. Kokikamp vektorius sudaro su Oy aimi?Ats. 450 arba 1350.2. Duota: |~a| = 13, |~b| = 19, |~a+~b| = 24. Apskaiiuokite |~a~b|.Ats. 22.

3. Irodykite, kad keturi takai A(3;1; 2), B(1; 2;1), C(1; 1;3), D(3;5; 3) yratrapecijos virunes.

4. Apskaiiuokite vektoriu ~a = (3;5; 8) ir ~b = (1; 1;4) sumos ir skirtumo ilgius.Ats. |~a+~b| = 6, |~a~b| = 14.5. Vektoriai ~a = (2;3; 6) ir ~b = (1; 2;2) ieina i vieno tako. Apskaiiuokitevektoriaus ~c, nukreipto pusiaukampines kryptimi, koordinates, jeigu |~c| = 342.Ats. ~c = (3; 15; 12).6. Vektoriai ~a ir ~b sudaro kamp = 2pi

3ir |~a| = 4, |~b| = 3. Apskaiiuokite: 1) ~a ~b;2) ~a2; 3) ~b2; 4) (~a+~b)2; 5) (3~a+ 2~b)2; 6) (3~a 2~b) (~a+ 2~b); 7) (~a~b)2.Ats. 1) 6; 2) 16; 3) 9; 4) 13; 5) 108; 6) 252; 7) 37.7. Apskaiiuokite ~a ~b+~b ~c+ ~c ~a, jeigu ~a+~b+ ~c = ~0 ir |~a| = |~b| = |~c| = 1.Ats.3

2.

8. Apskaiiuokite trikampio ABC kampus ir irodykite, kad trikampis lygiaonis, jeigujo viruniu koordinares yra A(1; 2; 1), B(3;1; 7), C(7; 4;2).9. Vektoriai ~a ir ~b sudaro kamp = 2pi

3ir |~a| = 1, |~b| = 2. Apskaiiuokite: 1) (~a~b)2;2) ((2~a+~b) (~a+ 2~b))2; 3) ((~a+ 3~b) (3~a~b))2.Ats. 1) 3; 2) 27; 3) 300.

10. Lygiagretainio dvi kratines yra vektoriai ~a = ~k~j ir ~b =~i+~j+~k. Apskaiiuokitelygiagretainio istriainiu ilgius ir lygiagretainio plot.

Ats.

5, S =

6.11. Apskaiiuokite trikampio su virunemis A(1; 2; 0), B(3; 0;3), C(5; 2; 6) plot.Ats. 14.

12. Apskaiiukite vektoriu ~a = (1;1; 3), ~b = (2; 2; 1) ir ~c = (3;2; 5) mirijsandaug.

Ats. -7.

13. Ar takai A(1; 2;1), B(0; 1; 5), C(1; 2; 1) ir D(2; 1; 3) priklauso vienai ploktu-mai?

Ats. Taip.

14. Apskaiiuokite tetraedro, kurio virunes yra takai A(2;1; 1), B(5; 5; 4),C(3; 2;1) ir D(4; 1; 3) turi.Ats. 3.

15. Ar vektoriai ~a = (2; 3;1), ~b = (1;1; 3) ir ~c = (1; 9;11) komplanarus?Ats. Taip.

4.3. Tiese ploktumoje.

Bendroji tieses lygtis.

Tarkime, ploktumoje duota staiakampe koordinaiu sistema xOy ir nubreta kurinors kreive l (16 pav.). Tegu M(x; y) bet kuris ios kreives takas. Jeigu kreives takukoordinates x ir y susietos lygtimi F (x, y) = 0, kurios netenkina jokie kiti ploktumostakai, tai i lygtis vadinama kreives l lygtimi.

51

Paprasiausia ploktumos kreive yra tiese. Kokia bebutu tiese, j galima nusakyti

pasirinktuoju tieses taku A(x0; y0) ir nenuliniu vektoriumi ~n = (a; b), statmenu tiesei (17pav.). is vektorius vadinamas tieses normales vektoriumi.

Pastaba. Ties ploktumoje galima nusakyti ir kitaip, pavyzdiui, dviem jos takais

arba vienu jos taku ir kampu, kuri tiese sudaro su abscisiu aimi, ir pan.

O

16 pav.

M(x,y)

y

x

l.

O

17 pav.

A

x

y

.n

M..P

Tegu M(x; y) bet kuris tieses takas. Tuomet vektoriai ~n = (a; b) ir ~AM =

(x x0; y y0) yra statmeni ir todel ~n ~AM = 0, t.y. a(x x0) + b(y y0) = 0.Paymej c = ax0 by0, gausime lygti

ax+ by + c = 0. (4.7)

ios lygties netenkina jokie kiti ploktumos takai. I tikruju, jeigu P (x1; y1) nebutu

tieses takas, o jis tenkintu (4.7) lygti, tai gautume, kad

~AP~n (prietara teiginiui "dunenuliniai vektoriai statmeni tik tuomet, kai ju skaliarine sandauga lygi nuliui". Vadinasi,

(4.7) yra tieses, nusakytos taku A(x0; y0) ir normales vektoriumi ~n = (a; b), lygtis.Kita vertus, kai bent vienas i koecientu a ir b nelygus nuliui, tai(4.7) lygties spren-diniai yra takai, sudarantys ties. Irodysime tai.

Pasirinkime tris skirtingus (4.7) lygties sprendinius A(x1; y1), B(x2; y2) ir C(x3; y3) (ilygtis turi be galo daug sprendiniu). Taigi galioja:

ax1 + by1 + c = 0, ax2 + by2 + c = 0, ax3 + by3 + c = 0 a(x2 x1) + b(y2 y1) = 0, a(x3 x1) + b(y3 y1) = 0 ~AB~n, ~AC~n vektoriai

~AB ir ~AC kolinearus takai A, B ir C priklauso vienai tiesei.Kadangi kiekvien realij kintamojo x (arba y) reikm atitinka lygties (4.7) sprendinys,tai galima teigti, kad ios lygties sprendiniai upildo ties itisai.

Irodeme, kad bet kuri tiese uraoma (4.7) lygtimi ir, atvirkiai, (4.7) lygtis, kai bent

vienas i koecientu a ir b nelygus nuliui, reikia ties. Todel i lygtis vadinama bendrjatieses lygtimi.

Kryptine tieses lygtis.

Jau i vidurines mokyklos kurso paistamas tieses lygties kryptinis pavidalas

y = mx+ n (4.8)

(kai tiese nera lygiagreti su ordinaiu aimi).

itokia tieses lygtis gali buti gauta, kai duotas takas A(0;n), kuriame tiese kerta Oyai ir kampas , kuri ji sudaro su koordinaiu aies Ox teigiamja kryptimi; ia m = tgyra tieses krypties koecientas (18 pav.).

I tikruju, pagal tokius tieses duomenis jos padeti galima apibudinti taku A(0;n) irvienetinio ilgio normale, sudarania su Ox aimi kamp pi

2+. Tuomet normales vektoriusyra ~n0 = (cos(

pi2+); cos) = ( sin; cos), o tieses lygtis sin(x0)+cos(yn) =

0. I ios lygties ireik kintamji y, gausime kryptin tieses lygti (4.8).

52

O

18 pav.

A(0;n)

x

y

n

.0

O

19 pav.

A(x; y)

x

y

s

.0 0.M(x; y)

Tieses, ivestos per tak duotja kryptimi, lygtis.

Tarkime, duotas takas A(x0; y0), per kuri eina tiese, ir vektorius ~s = (l;m) (tieseskrypties vektorius), kolinearus su tiese (19 pav.)

Pasirinkime bet kuri tieses tak M(x; y). Tuomet vektoriai ~s = (l;m) ir ~AM =

(x x0; y y0) kolinearus, t.y. egzistuoja skaiius 6= 0, jog ~AM = ~s arba x x0 =l, yy0 = m. Kai tieses krypties vektorius nera lygiagretus ne su viena i koordinaiuaiu, gauname lygti

x x0l

=y y0m

. (4.9)

Kai tieses krypties vektorius yra lygiagretus su viena i koordinaiu aiu, pavyzdiui, su

Oy aimi (~s = (0; 1)), tai, kad butu patogiau, (4.9) lygtyje tiesiog raoma

x x00

=y y01

(nors trupmenos vardiklyje matyti nuli ir neiprasta).

Jeigu duoti du tieses takai A(x1; y1) ir B(x2; y2) , tai krypties vektoriumi galime laikyti

vektoriu

~AB (20 pav.). Tuomet pagal (4.9) tieses, einanios per iuos takus, lygtis tokia:

x x1x2 x1 =

y y1y2 y1 . (4.10)

O

20 pav.

A(x; y)

x

y

.1 2.B(x; y)

1

2

s

O

21 pav.

M(x; y)

x

y

.0n

p

Tieses normaline lygtis.

Dabar ties nusakysime jos atstumu p (p 0) nuo koordinaiu pradios tako irkampu , kuri sudaro statmuo i ties su Ox aies teigimja kryptimi (21 pav., kampas paymetas lankeliu su rodykle).

Tegu M(x; y) bet kuris tieses takas. Nubrekime vienetinio ilgio normales vektoriu

~n0 = (cos; sin) ir nagrinekime skaliarin sandaug ~OM ~n0. Pagal (4.1) ~OM ~n0 =| ~n0| ~OM ~n0 = p. Kita vertus ~OM ~n0 = x cos + y sin. Taigi x cos + y sin = p.Gautoji lygtis

x cos + y sin p = 0 (4.11)

53

vadinama tieses normaline lygtimi.

Kartais naudinga bendrj tieses lygti suvesti i normalin. Isiaikinsime kaip tai

padaryti.

Lygti ax+by+c = 0 padauginkime i tokio daugiklioM , kad lygtis igytu (4.11) lygtiespavidal:

Max+Mby +Mc = 0; Ma = cos, Mb = sin, Mc = p.Apskaiiuokime daugikli M :

Ma = cos, Mb = sinM2(a2 + b2) = cos2 + sin2 = 1M = 1a2 + b2

.

Kadangi Mc = p, o p > 0, tai Mc < 0. Vadinasi, daugiklio M enklas yra prieingaskoeciento c enklui. Kai c = 0, M enklas lieka nenustatytas.Tako atstumas nuo tieses.

Apskaiiuokime tako A(xo; y0) atstum d nuotieses t, duotos normaline lygtimi x cos +y sin p = 0 (22 pav.). Tegu takasB yra tako A projekcija tieseje t, ~n0 =(cos; sin) ilgio 1 tieses normale. Tuomet

d = | ~BA| = | ~BA ~n0| = |( ~OA ~OB) ~n0| == | ~OA ~n0 ~OB ~n0|. Apskaiiuojame: ~OA ~n0 == x0 cos + y0 sin, ~OB ~n0 = p.

O

22 pav.

x

y

.0n

B

A(x; y)00

d

t

.

Taigi gavome, kad

d = |x0 cos+ y0 sin p|. (4.12)Kampas tarp dvieju tiesiu.

Apibreimas. Kampu tarp tiesiu vadiname kamp tarp iu tiesiu normaliu vektoriu arba

tarp iu tiesiu krypiu vektoriu.

Jei tieses uraytos bendrosiomis lygtimis a1x+ b1y+ c1 = 0 ir a2x+ b2y+ c2 = 0, taikampo tarp ju kosinus cos apskaiiuosime pagal (4.2) formul:

cos =a1a2 + b1b2

a21 + b21

a22 + b

22

. (4.13)

Jei inotume tu tiesiu krypiu vektorius, tai kamp tarp tiesiu apskaiiuotume surad

kamp tarp ju krypiu vektoriu.

Atkreipkime demesi, kad surad kampo tarp tiesiu kosinus, pats kampas nera vien-

areikmikai apibretas rasime du kampus ir pi , i kuriu vienas smailusis, kitas bukasis (arba abu statieji).

Dar uraykime danai vartojamus dvieju tiesiu lygiagretumo ir statmenumo poy-

mius.

Jeigu tiesiu normales kolinearios, t.y., jeigu normaliu vektoriu koordinates proporcin-

gos (a1 = a2, b1 = b2, 6= 0), tai tieses yra lygiagreios, ir atvirkiai jei tieseslygiagreios, tai normaliu vektoriu koordinates proporcingos.

Jeigu tiesiu normales statmenos, t.y., jeigu galioja lygybe a1a2 + b1b2 = 0, tai tiesesyra statmenos, ir atvirkiai jei tieses statmenos, tai galioja a1a2 + b1b2 = 0.

54

4.4. Udaviniai.

1. Duota tiese t : 2x+ 3y + 4 = 0. Paraykite lygti tieses, einanios per tak M(2; 1)ir

1) lygiagreios tiesei t;2) statmenos tiese t.Ats. 1) 2x+ 3y 7 = 0; 2) 3x 2y 4 = 0.2. Duotos dvi prieingos kvadrato virunes A(1; 3) ir C(6; 2). Paraykite jo kratiniulygtis.

Ats. 3x 4y + 15 = 0, 4x+ 3y 30 = 0; 3x 4y 10 = 0, 4x+ 3y 5 = 0.3. Trikampio kratiniu lygtys yra 3x+ 4y 1 = 0, x 7y 17 = 0, 7x+ y + 31 = 0.Irodykite, kad trikampis lygiaonis.

4. Paraykite trikampio ABC kratiniu lygtis, jei viena jo virune A(1; 3), o dviejupusiaukratiniu lygtys yra x 2y + 1 = 0 ir y 1 = 0.Ats. x+ 2y 7 = 0, x 4y 1 = 0, x y + 2 = 0.5. Apskaiiuokite koecient k, jeigu tiese y = kx+5 nutolusi nuo koordinaiu pradiostako atstumu

5.Ats. k = 2.6. Apskaiiuokite atstum tarp tiesiu 2x 3y = 6 ir 4x 6y = 25.Ats.

132.

7. Paraykite tiesiu, lygiagreiu tiesei 3x 4y 10 = 0 ir nutolusiu nuo josatstumu 3.

Ats. 3x 4y 25 = 0, 3x 4y + 5 = 0.8. Paraykite kvadrato kratiniu lygtis, jeigu dvi jo gretimos virunes yra A(2; 0) ir

B(1; 4).Ats. 4x+ 3y 8 = 0, 4x+ 3y + 17 = 0, 3x 4y 6 = 0, 3x 4y + 19 = 0 arba4x+ 3y 8 = 0, 4x+ 3y 33 = 0, 3x 4y 6 = 0, 3x 4y + 19 = 0.4.5. Ploktuma ir tiese erdveje.

Ploktumos bendroji lygtis.

Ploktum erdveje, kaip ir ties ploktumoje, galima nusakyti keliais budais. Vienas i

budu yra ivesti ploktum per duotji erdves tak A(x0; y0; z0) statmenai pasirinktajamvektoriui ~n = (a; b; c), kuris vadimamas ploktumos normale (23 pav.). Kad sudary-tume tokios ploktumos lygti, pasirinkime bet kuri ploktumos tak M(x; y; z). Tuomet:

~n ~AM, ~AM = (xx0; yy0; zz0) ~n ~AM = 0 a(xx0)+b(yy0)+c(zz0) = 0.Paymej d = ax0 by0 cz0), gauname bendrj ploktumos lygti

ax+ by + cz + d = 0. (4.14)

O

23 pav.

x

y

nz

. .A

M

O

24 pav.

x

y

n

z .Ad0.B

55

Ploktumos normaline lygtis.

Tarkime, ploktuma nusakyta taip: duoti ploktumos normales vektoriaus krypties

kosinusai cos, cos , cos ir p ploktumos atstumas nuo koordinaiu pradios tako. Iiu duomenu ivedama (analogikai tieses normalinei lygiai) ploktumos normaline lygtis

x cos + y cos + z cos p = 0. (4.15)

Norint i bendrosios ploktumos lygties gauti jos normalin lygti, bendrj lygti reikia

padauginti i daugiklio

N = 1a2 + b2 + c2

.

Tako atstumas nuo ploktumos.

Tegu A(xo; y0; z0) erdves takas, o x cos+y cos +z cos p = 0 kuri nors ploktuma(24 pav.). Tada ~n0 = (cos; cos ; cos ) yra tos ploktumos vienetinis normales vektorius.Suraskime tako A atstum d nuo duotosios ploktumos:

d = | ~BA| = | ~BA ~n0| = |( ~OA ~OB) ~n0| = | ~OA ~n0 ~OB ~n0|;

~OA ~n0 = xo cos+ y0 cos + z0 cos , ~OB ~n0 = p.Vadinasi, tako A(xo; y0; z0) atstumas d nuo ploktumos x cos+ y cos + z cos p = 0yra lygus:

d = |x0 cos+ y0 cos + z0 cos p|. (4.16)Kampas tarp dvieju ploktumu.

Apibreimas. Tarkime, a1x + b1y + c1z + d1 = 0 ir a2x + b2y + c2z + d2 = 0 dviploktumos. Kampu tarp iu ploktumu vadiname kamp tarp ju normaliu.

Kadangi ploktumu normales yra n1 = (a1; b1; c1) ir n2 = (a2; b2; c2), tai kampo tarpdvieju ploktumu kosinusas yra:

cos =a1a2 + b1b2 + c1c2

a21 + b21 + c

21

a22 + b

22 + c

22

. (4.17)

Lygiagretumo ir statmenumo slygos. Dvi ploktumos yra lygiagreios tik tuomet, kai

ju normales kolinearios, t.y. kai a1 = a2, b1 = b2, c1 = c2, 6= 0; dvi ploktumosstatmenos tik tuomet, kai ju normales statmenos, t.y. kai a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0.

Tiese erdveje.

Ties erdveje galima nusakyti ivairiai: dviem susikertaniomis

ploktumomis; vektoriumi, kuris lygiagretus su tiese, ir kuriuo nors

tieses taku; dviem erdves takais, per kuriuos eina tiese. Visi ie

budai naudingi sprendiant analizines geometrijos udavinius.

Tarkime, kad inomas tieses takas A(x0; y0; z0) ir duotas tieseskrypties vektorius ~s = (l,m, n) (vektorius, lygiagretus su tiese). Iiu duomenu sudarykime tieses lygti.

Tegu M(x; y; z) yra bet kuris tieses takas. Tuomet vektorius

O

25 pav.

x

y

s

z

.A

.M

~AM = (x x0; y y0; z z0) kolinearus su tieses krypties vektoriumi ~s = (l,m, n), t.y.~AM = ~s, 6= 0 arba

56

x x0 = l,y y0 = m,z z0 = n.(4.18)

I ia gauname parametrines tieses lygtis :x = x0 + l,y = y0 + m,z = z0 + n.(4.19)

I (4.18) lygybiu eliminav parametr , gausime tieses erdveje kanonines lygtis

x x0l

=y y0m

=z z0n

. (4.20)

ios lygtys tai dvieju lygiu sistema, kurios kiekviena lygtis gaunama sulyginus du (4.20)

lygybiu narius.

Kaip ir tiesei ploktumoje, tieses erdveje lygtis raysime (4.20) pavidalu net ir tuomet,

kai krypties vektoriaus viena arba dvi koordinates lygios nuliui. Pavyzdiui, jeigu

l 6= 0, m = 0, n 6= 0 (tiese statmena Oy aiai), tai tiese urayta lygtimix x0

l=y y00

=z z0n

pagal (4.18) reikia lygiu sistem {y y0 = 0,xx0l

= zz0n.

Jeigu l = 0, m = 0, n 6= 0 (tiese statmena Ox ir Oy aims, t.y. yra lygiagreti su Ozaimi), tai jos kanonines lygtis raysime taip:

x x00

=y y00

=z z0n

.

ios lygtys i tikruju reikia, kad x x0 = 0,y y0 = 0,z = t, t R.

Atkreipkime demesi, kad ta pati tiese (4.20) lygtimis uraoma nevienareikmikai:

vietoje tako A(x0; y0; z0) gali buti iraytas bet kuris kitas tieses takas, vietoje tieseskrypties vektoriaus (l,m, n) gali buti bet kuris jam kolinearus vektorius.

Kai duoti du tieses takai A(x1; y1; z1) ir B(x2; y2; z2), tai vektoriu ~AB galime laikytitieses krypties vektoriumi, o vien i taku, pavyzdiui, A(x1; y1; z1) duotuoju taku.Tuomet gauname tokias tieses, einanios per du takus, lygtis :

x x1x2 x1 =

y y1y2 y1 =

z z1z2 z1 . (4.21)

57

Ties erdveje taip pat galima nusakyti ir dviem ploktumomis, einaniomis per i

ties. Kai tiese erdveje urayta dviem susikertaniomis ploktumomis (normaliu vektoriai

ne kolinearus) {a1x+ b1y + c1z + d1 = 0,a2x+ b2y + c2z + d2 = 0,

tai, noredami suinoti jos krypties vektoriu, turime parayti ios tieses kanonines lygtis.

Kaip i tieses, uraytos dviem ploktumomis, gauti jos kanonines lygtis? Panagrinekime

pavyzdi.

4.1 pavyzdys. Uraykime tieses{x + 2y 3z = 1,3x 4y + z = 2

kanonines lygtis.

Sprendimas. Pirmiau ties uraykime dviem ploktumomis, kuriu viena lygiagreti

su viena i koordinaiu aiu, o kita lygiagreti su kuria nors kita koordinaiu aimi.

Padaugin pirm lygti i skaiiaus ir sudej su antrja, gausime ploktum

(x+ 2y 3z) + 3x 4y + z = + 2,

einani per duotj ties arba, sutrauk panaius narius, turesime:

(+ 3)x+ (2 4)y + (3+ 1)z = + 2.

i ploktuma vadinama ploktumu pluoto, einanio per ties, lygtimi, nes ji reikia bet

kuri ploktum (iskyrus pirmj x + 2y 3z = 1), einani per ties. Su = 3gausime ploktum 10y + 10z = 1 lygiagrei Ox aiai. Su = 2 gausime ploktum5x 5z = 4, lygiagrei Oy aiai. iu lygiu sistema{ 10y + 10z = 1,

5x 5z = 4

reikia t pai ties, taiau i ios sistemos patogiau surasti kanonines tieses lygtis. I

kiekvienos lygties ireikkime kintamji z :

z =10y 110

, z =5x 4

5.

Taigi

5x 45

=10y 110

= z x 0, 81

=y 0, 1

1=z 01

.

I tiesiu kanoniniu lygiu nesunku nustatyti kuomet tieses lygiagreios turi buti

kolinearus tiesiu krypiu vektoriai.

Kampas tarp tiesiu.

Kampu tarp tiesiu vadinamas kampas tarp ju krypiu vektoriu.

Vadinasi, kampo tarp tiesiu

xx1l1

= yy1m1

= zz1n1ir

xx2l2

= yy2m2

= zz2n2kosinusas yra:

cos =lll2 +m1m2 + n1n2

l21 +m21 + n

21

l22 +m

22 + n

22

. (4.22)

58

Tieses yra statmenos tik tuomet, kai ju krypiu vektoriai statmeni, t.y. kai

l1l2 +m1m2 + n1n2 = 0.Tieses yra lygiagreios tik tuomet, kai ju krypiu vektoriai kolinearus, t.y. kai

l1 = l2, m1 = m2, n1 = n2, 6= 0.Dvi tieses, jei jos nera lygiagreios, gali priklausyti vienai ploktumai (tuomet jos

susikirs) arba gali buti prasilenkianios.

Pritaikius vektoriu miriosios sandaugos savybes, nesunku irodyti, kad: tieses prik-

lauso tai paiai ploktumai tik tuomet, kai tiesiu krypiu vektoriu ir vektoriaus, jungianio

bet kuri vienos tieses tak ir kitos tieses tak, mirioji sandauga lygi nuliui.

Kampas tarp tieses ir ploktumos.

Kampas tarp tieses ir ploktumos yra smailusis kampas tarp tieses ir jos projekcijos

ploktumoje.

Raskime kamp tarp tieses xx0l

= yy0m

= zz0nir ploktumos ax+ by + cz + d = 0.Ploktumos normale su tieses krypties vektoriumi sudaro kamp

pi2 . Todel

cos(pi

2 ) = sin = la+mb+ nc

l2 +m2 + n2a2 + b2 + c2

. (4.23)

4.6. Udaviniai.

1. Paraykite lygti ploktumos, einanios per tak M(2; 1;1) ir statmenos vektoriui~n = (1;2; 3).Ats. x 2y + 3z + 3 = 0.2. Paraykite lygti ploktumos, einanios per takM1(3;1; 2) ir statmenos vektoriui

M1M2, kai M2(4;2;1).Ats. x y 3z + 2 = 0.3. Paraykite lygti ploktumos, einanios per tris takus M1(3;1; 2), M2(4;1;1)ir M3(2; 0; 2).Ats. 3x+ 3y + z 8 = 0.4. Koki dvisieni kamp sudaro ploktumos xy2+z1 = 0 ir x+y2z+3 = 0?Ats.

pi3.

5. Paraykite lygti ploktumos, kuri eina per koordinaiu pradi statmenai ploktu-

moms 2x y + 3z 1 = 0 ir x+ 2y + z = 0.Ats. 7x y 5z = 0.6. Irodykite, kad ploktumos x2y+z7 = 0, 2x+yz+2 = 0 ir x3y+2z11 = 0kertasi viename take ir raskite i tak.

Ats. (1;2; 2).7. Apskaiiuokite tako P (1; 1;2) atstum nuo ploktumos, einanios per takus

M1(1;1; 1), M2(2; 1; 3) ir M3(4;5;2).Ats. 4.

8. Apskaiiuokite atstum tarp ploktumu x 2y 2z 12 = 0 ir x 2y 2z 6 = 0.Ats. 2.

9. Dvi kubo sienos priklauso ploktumoms 2x 2y+ z 1 = 0 ir 2x 2y+ z+5 = 0.Apskaiiuokite io kubo turi.

Ats. 8.

10. Ploktuma eina per koordinaiu ai Ox ir tak E(3; 2;5). Paraykite lygti tieses,kuria kertasi i ploktuma su ploktuma 3x y 7z + 9 = 0.Ats.

{3x y 7z + 9 = 0,

5y + 2z = 0.

59

11. Ar ios tieses yra lygiagreios?

x+ 2

3=y 12 =

z

1,

{x+ y z = 0,x y 5z = 8.Ats. Taip.

12. Paraykite tieses {x 2y + 3z = 4,3x+ 2y 5z = 4kanonines lygtis.

Ats.

x 22

=y + 1

7=z

4.

13. Apskaiiuokite tako M(2;1; 3) atstum nuo tiesesx+ 1

3=y + 2

4=z 15

.

Ats. 0, 338.14. Apskaiiuokite atstum tarp lygiagreiu tiesiu:

x 23

=y + 1

0=z + 3

4,

x 13

=y 10

=z + 1

4.

Ats. 2.

15. Paraykite lygti ploktumos, einanios per tak M(1;1;1) ir statmenos tieseix+ 3

2=y 13 =

z + 2

4.

Ats. 2x 3y + 4z 1 = 0.16. Su kuria m reikme tiese

x+ 1

3=y 2m

=z + 3

2lygiagreti ploktumai 2x+ 4y 3z + 5 = 0?Ats. 3.4.7. Antros eil es kreives.

Apibreimas. Antros eiles kreive vadinama kreive, kuri uraoma lygtimi

ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx+ 2ey + f = 0, (4.24)

kai bent vienas i koecientu a, b, c yra nelygus nuliui.Pastaba. Kartais antros eiles kreives koecientams ymeti patogiau naudoti t pai

raid su dviem indeksais, pavyzdiui, aij. Tuomet antros eiles kreiv uraysime lygtimi

a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a13x+ 2a23y + a33 = 0, (4.25)

60

kurioje bent vienas i koecientu a11, a12, a22 yra nelygus nuliui.Puikus tokios kreives pavyzdys yra apskritimo su centru take (x0; y0) ir spinduliu r lygtis:

(x x0)2 + (y y0)2 = r2. (4.26)

Kaireje lygties puseje atlik veiksmus, galetume rasti koecientu a, b, c, d, e, f iraikas.Jei (4.24) lygtyje a = c, b = 0 ir d2 + e2 > af , tai tokia lygtis reikia apskritim.Irodykime tai.

Nagrinekime lygti

ax2 + ay2 + 2dx+ 2ey + f = 0 (a 6= 0). (4.27)

Lygti padalykime i a ir uraykime (4.26) pavidalu:

x2 + y2 + 2d

ax+ 2

e

ay +

f

a= 0 (a 6= 0),

(x+

d

a

)2+(y +

e

a

)2=d2 + e2 af

a2.

Matome, jog tai apskritimo su centru (da; e

a) ir spinduliu r =

d2+e2af

alygtis.

Kai d2 + e2 = af , tai i lygtis reikia vieninteli tak (da; e

a), o kai d2 + e2 < af , tailygties netenkina joks ploktumos takas.

Kokias kreives dar gali reikti (4.24) lygtis? Isitikinsime, kad ia lygtimi uraomos:

elipse (apskritimas yra atskiras elipses atvejis), hiperbole, parabole. Kai kuriais atve-

jais, kaip mateme, (4.24) lygtis gali tureti tik vien sprendini tak, gali visai netureti

sprendiniu. Be to, (4.24) lygtis gali reikti ir tiesiu por. Panagrinekime i atveji isamiau.

Lygtis (4.24) reik dvi tieses tik tuomet, kai jos kairioji puse bus dvieju pirmojo laipsnio

trinariu sandauga, t. y.

ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx+ 2ey + f = (a1x+ b1y + c1)(a2x+ b2y + c2). (4.28)

Isiaikinsime kokias slygas turi tenkinti (4.24) lygties koecientai, kad galiotu (4.28)

skaidinys. Tuo tikslu perraykime (4.24) lygti kvadratines lygties pavidalu ir isprskime

j kintamojo