Linearna algebra i geometrijaUniverzitet u Sarajevu Elektrotehni£ki fakultet Linearna algebra i geometrija predavanja Sarajevo, oktobar 2014

Univerzitet u Sarajevu

Elektrotehni£ki fakultet

Linearna algebra i geometrija

� predavanja �

Sarajevo, oktobar 2014.

Sadrºaj

Sadrºaj ii

1 Uvod 1

1.1 Elementi matemati£ke logike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Elementi teorije skupova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Elementi teorije algebarskih struktura . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Elementi teorije vektorskih prostora . . . . . . . . . . . . . . . 16

POGLAVLJE 1

Uvod

U ovom poglavlju uvest ¢emo terminologiju i notaciju kori²tenu u nastavku.De�nirat ¢emo osnovne pojmove matemati£ke logike i teorije skupova i datineke njihove osobine. Zatim ¢emo uvesti pojam binarne operacije, te de�ni-rati algebarske strukture na datom skupu odre�ene samo jednom binarnomoperacijom, kao ²to su grupoid, polugrupa i grupa, kao i strukture sa dvijebinarne operacije, kao ²to su prsten, tijelo i polje. Uvest ¢emo i pojam vek-torskog prostora, njegove baze i dimenzije.

1.1 Elementi matematicke logike

Osnovni pojam u matemati£koj logici je iskaz ili sud. To je svaka smis-lena izjava koja moºe biti samo istinita ili samo neistinita, odnosno laºna.Skup svih iskaza obiljeºavat ¢emo sa I, a pojedina£en izkaze malim slovimap, q, r, s, . . ..

Primjer 1.1. Re£enica "Broj 4 je paran broj." je istinit iskaz, dok je re£e-nica "3 je ve¢e od 5" neistinit iskaz. Re£enica "Da li je 5 prost broj?" nijeiskaz, nego pitanje.

1.1.Elementi matemati£ke logike Doc. dr. Almasa Odºak

Istinitost iskaza p ozna£ava se sa τ(p), pri tome τ(p) = 1 zna£i da je iskazp istinit, a τ(p) = 0 zna£i da je neistinit. Tako�er se koriste oznake τ(p) = >,kada je p istinit izkaza i τ(p) = ⊥, kada je p neistinit iskaz. �esto se zbogkratko¢e pisanja, ukoliko to ne dovodo do zabune, umjesto τ(p) pi²e samo p.U tom slu£aju ne zanima nas sadrºaj iskaza p, nego samo njegova istinitosnavrijednost.

Na skupu iskaza moºemo de�nirati odre�ene operacije 1 pomo¢u kojihdobijamo sloºenije iskaze.

Negacija iskaza p, ¬p, £ita se "ne p" ili "nije p", je istinit iskaz jedinokada je p neistinit, a neistinit jedino kada je p istinit iskaz. Za negacijuiskaza p koriste se i oznake p i p′.

Konjunkcija iskaza p i q, p∧q, £ita se "p i q", istinita je jedino kadu su is-kazi p i q istiniti, a u protivnom je laºna. U nekoj literaturi konjunkcijaiskaza p i q ozna£ava se sa pq ili p&q.

Disjunkcija iskaza p i q, p ∨ q, £ita se "p ili q", laºna je jedino kada suiskazi p i q laºni, a u protivnom je istinita.

Ekskluzivna disjunkcija iskaza p i q, pY q, £ita se "ili p ili q", istinita jejedino kada su iskazi p i q razli£ite istinitosne vrijednosti, a u protivnomje neistinita. Za ekskluzivnu disjunkciju koristi se i oznaka p⊕ q

Implikacija iskaza p i q, p ⇒ q, £ita se "p implicira q" ili "p povla£i q"ili "ako je p, onda je q" ili "p je dovoljno za q" ili "q je potrebno zap", istinita je uvijek kada je q istinit iskaz ili kada su i p i q neistiniti.Neistinita je, dakle, jedino kada je p istinit, a q neistinit iskaz.

Ekvivalencija iskaza p i q, p ⇔ q, £ita se "p ekvivalentno q" ili "p ako isamo ako q" (£esto se pi²e skra¢eno akko) ili "p je potrebno i dovoljno zaq", istinita je jedino kada iskazi p i q imaju istu istinitosnu vrijednost.

Zavisnost istinitosne vrijednosti sloºenog iskaza od istinitosne vrijednostiizkaza koji ga £ine moºemo zapisati u obliku tablice istinitosti.

τ(p) τ(q) τ(¬p) τ(p ∧ q) τ(p ∨ q) τ(p Y q) τ(p⇒ q) τ(p⇔ q)0 0 1 0 0 0 1 10 1 1 0 1 1 1 01 0 0 0 1 1 0 01 1 0 1 1 0 1 1

1Preciznu de�niciju operacije dat ¢emo ne²to kasnije.

2


Sloºeni iskazi dobijeni iz nekih polaznih iskaza primjenom logi£kih opera-cija negacije, konjunkcije, disjunkcije, implikacije i ekvivalencije nazivaju seformulama.

Primjeri formula su p⇒ ¬q, (p ∨ q)⇐ (¬q ∨ r), q ∨ ((p ∧ r) ∧ (q ⇒ r)).Istinosna vrijednost formule jasno zavisi od istinitosnih vrijednosti iskza

koji ju £ine. Tu zavisnost je pogodno ispitivati pomo¢u tablice istinitosti,kao u sljede¢em primjeru.

Primjer 1.2. Odrediti istinitosnu vrijednost formule p ∧ (q ⇒ ¬r) za sveistinitosne vrijednosti iskaza koje ih £ine.

p q r ¬r q ⇒ ¬r p ∧ (q ⇒ ¬r)0 0 0 1 1 00 0 1 0 1 00 1 0 1 1 00 1 1 0 0 01 0 0 1 1 11 0 1 0 1 11 1 0 1 1 11 1 1 0 0 0

Posebno vaºna situacija je kada je formula istinita za sve vrijdnosti isti-nitosti iskaza koji ulaze u tu farmulu. Takva formula se naziva tautologija.Formula koja je neistinita za sve vrednosii istinitosti iskaza koji ulaze u tuformulu je kontradikcija. Pogledamo li tablicu istinitosti formule iz primjera1.2 jednostavno zaklju£ujemo da posmatrana formula nije ni tautologija, ani kontradicija.

Zadatak 1.1. Odrediti istinitosnu vrijednost formula za sve istinitosne vri-jednosti iskaza koje ih £ine.

1. p ∨ ¬p

2. p ∧ ¬p

3. (p⇒ q)⇔ (¬q ⇒ ¬p)

4. ((p ∨ q) ∧ ¬r)⇒ (¬q ∨ r).

Da li su neke od navedenih formula tautologije ili kontradikcije?

Osnovni zakoni logike iskaza izvode se koriste¢i neke vaºne tautologije. Unastavku ¢emo navesti neke od njih.

3


• Zakon dvojne negacije: ¬¬p = p

• Zakon konzistentnosti (neprotivurje£nosti): p ∧ ¬p = 0

• Zakon isklju£enja tre¢eg: p ∨ ¬p = 1

• Zakon idempotentnosti za konjunkciju: p ∧ p = p

• Zakon idempotentnosti za disjunkciju: p ∨ p = p

• Zakon komutativnosti za konjunkciju: p ∧ q = q ∧ p

• Zakon komutativnosti za disjunkciju: p ∨ q = q ∨ p

• Zakon asocijativnosti za konjunkciju: p ∧ (q ∧ r) = (p ∧ q) ∧ r

• Zakon asocijativnosti za disjukciju: p ∨ (q ∨ r) = (p ∨ q) ∨ r

• Zakon distributivnosti disjunkcije u odnosu na konjunkciju: p∧(q∨r) =(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

• Zakon distributivnosti konjunkcije u odnosu na disjukciju: p∨ (q∧r) =(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

• De Morganov zakon za konjunkciju: ¬(p ∧ q) = ¬p ∨ ¬q

• De Morganov zakon za disjunkciju: ¬(p ∨ q) = ¬p ∧ ¬q

• Zakon kontrapozicije: p⇒ q = ¬q ⇒ ¬p

• Zakon tranzitivnosti implikacije: (p⇒ q) ∧ (q ⇒ r)⇒ (p⇒ r)

• Zakon tranzitivnosti ekvivalencije: (p⇔ q) ∧ (q ⇔ r)⇒ (p⇔ r)

Zadatak 1.2. Dokazati ta£nost navedenih zakona.

Posmatrajmo re£enice "x je paran broj." i "x je djeljivo sa y.". Ove re£e-nice o£igledno nisu iskazi jer im je nemogu¢e odrediti istinitosnui vrijednost.Ovakve re£enice dovode do pojma predikata.

De�nicija 1.1. Predikat je izjavna re£enica koja sadrºi parametre i kojapostaje iskaz kada parametri poprime odre�enu vrijednost. Broj parametarapredstavlja duºinu predikata.

4


Dakle, "x je paran broj." je predikat duºine 1, dok je re£enica "x je djeljivosa y." predikat duºine 2. Predikate duºine 1 obi£no ozna£avamo sa P (x), aduºine 2 sa P (x, y).

Za predikat P (x, y) opisan re£enicom "x je djeljivo sa y." iskaz P (4, 2) jeistinit, dok je P (2, 5) neistinit iskaz.

Posebno vaºni iskazi dobiveni od predikata su oni nastali pomo¢u kvan-ti�katora, tj. zamjenica svaki i neki.

Univerzalni kavnti�kator, u oznaci ∀, nam govori da je predikat istinitza sve vrijednosti neke od varijabli.

Egzistencijalni kvanti�kator, u oznaci ∃, govori da je predikat istinit zaneki izbor varijable. U slu£aju kada je izbor jedinstven koristi se oznaka∃!.

Kvanti�katore je mogu¢e i kombinirati kako bi se od datog predikataformirao iskaz.

Primjer 1.3. Neka je predikat P (x) dat sa x2 = 9. Moºemo formiratiiskaze:

• p: Za svaki realan broj x vrijedi x2 = 9

• q: Postoji realan broj x za koji vrijedi x2 = 9

• r: Postoji ta£no jedan realan broj x za koji vrijedi x2 = 9

• s: Postoji ta£no jedan prirodan broj x za koji vrijedi x2 = 9.

Pomo¢u kvanti�katora zapisujemo ih na sljede¢i na£in:

• p: (∀x ∈ R)P (x), odnosno (∀x ∈ R)x2 = 9

• q: (∃x ∈ R)P (x), odnosno (∃x ∈ R)x2 = 9

• r: (∃!x ∈ R)P (x), odnosno (∃!x ∈ R)x2 = 9

• s: (∃!x ∈ N)P (x), odnosno (∃!x ∈ N)x2 = 9.

Za svaki od formiranih iskaza moºemo odrediti njegovu istinitosnu vrijednost:τ(p) = 0, τ(q) = 1, τ(r) = 0 i τ(s) = 1.

5

1.2.Elementi teorije skupova Doc. dr. Almasa Odºak

Primjer 1.4. Za predikat P (x, y) opisan re£enicom "x je djeljivo sa y."moºemo formirati iskaze

• p: Za svaki prirodan broj x vrijedi x je djeljivo sa 2.

• q: Postoji prirodan broj y za koji vrijedi da je 6 djeljivo sa y.

• r: Za svaki prirodan broj x i svaki prirodan prirodan broj y, x je djeljivsa y.

Pomo¢u kvanti�katora zapisujemo ih na sljede¢i na£in:

• p: (∀x ∈ N)P (x, 2)

• q: (∃y ∈ N)P (6, y)

• r: (∀x ∈ N)(∀y ∈ R)P (x, y)

Za svaki od formiranih iskaza moºemo odrediti njegovu istinitosnu vrijednost:τ(p) = 0, τ(q) = 1 i τ(r) = 0.

1.2 Elementi teorije skupova

Osnovni pojam teorije skupova i jedan od osnovnih pojmova matematikeuop²te je skup i on se i ne de�nira. Skup je zadan svojim elementima, biloda su nabrojani pojedina£no ili karakterizirani nekom zajedni£kom osobinom.Za skup koriste se i nazivi familija, kolekcija, klasa, a za njegove elemente£lanovi, ta£ke. Skupove obi£no obiljeºavamo velikim slovima, dok njihoveelemente naj£e²¢e obiljeºavamo malim slovima. Vaºni primjeri skupova suskupovi brojeva, za njih ¢emo korisiti sljede¢e oznake

• N - skup prirodnih brojeva

• Z - skup cijelih brojeva

• Q - skup racionalnih brojeva

• I - skup iracionalnih brojeva

• R - skup realnih brojeva

• C - skup kompleksnih brojeva

6


Pripadnost elemeta a skupu A zapisujemo slimboli£ki sa a ∈ A i £itamo"a je element skupa A". �injenicu da elemenat b ne pripada skupu B za-pisujemo sa b /∈ B i £itamo "b nije element skupa B". Prazan skup obilje-ºavamo simbolom ∅. Ukoliko je skup zadan nabrajanjem elemenata pi²emoih odvojene zarezom unutrar viti£astih zagrada, dok u slu£aju kada je skupA skup elemeta x koji zadovoljavaju osobinu p(x) pi²emo A = {x : p(x)} iliA = {x|p(x)}.

Primjeri skupova su

• {x, y, z},

• {0, 1},

• {a},

• {x : x > 0},

• {x : x = 3n ∧ n ∈ N},

• {x : x = pq∧ p ∈ Z ∧ q ∈ Z}.

Za skupove mogu¢e je de�nirati odre�ene relacije i operacije 2. Uvest¢emo relacije inkluzije i jednakosti i operacije unije, presjeka, razlike i kom-plementa.

De�nicija 1.2. Neka su A i B skupovi takvi da je svaki elemenat skupa Aujedno i elemenat skupa B tada kaºemo da je A podskup od B, odnosno daje B nadskup od A. Pi²emo A ⊂ B, odnosno B ⊃ A.

Relaciju ⊂ nazivamo relacijom inkluzije.

Primjer 1.5. Vrijede inkluzije N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.

De�nicija 1.3. Neka su A i B skupovi koji se sastoje od istih elemenata, tojeste ako vrijedi A ⊂ B i B ⊂ A, tada kaºemo da su oni jednaki i pi²emoA = B.

Ukoliko skupovi A i B nisu jednaki pi²emo A 6= B.Ukoliko vrijedi da je A ⊂ B i A 6= B kaºemo da je A pravi podskup od

B.Relacije inkluzije i jednakosti za skupove zadovoljavaju sljede¢e osobine:

2Preciznu de�niciju relacije i operacije dat ¢emo ne²to kasnije.

7


• A ⊂ A, (A ⊂ B)∧ (B ⊂ A)⇒ A = B, (A ⊂ B)∧ (B ⊂ C)⇒ (A ⊂ C)

• A = A, (A = B)⇒ (B = A), (A = B) ∧ (B = C)⇒ (A = C)

De�nicija 1.4. Partitivni skup skupa A je skup svih podskupova skupa A.Ozna£ava se sa P(A) ili 2A.

Jasno je da partitivni skup P(A) uvijek sadrºi ∅ i A. Na primjer za skupA = {x, y} partitivni skup je P(A) = {∅, {x}, {y}, {x, y}}.

Koriste¢i operacije nad skupovima od datih skupova moºemo formiratinove skupove. Neka su dati skupovi A i B.

Unija skupova A i B, u oznaci A∪B, je skup £iji elementi imaju svojstvoda pripadaju bar jednom od skupova A i B. Dakle, A ∪ B = {x : x ∈A ∨ x ∈ B}.

Presjek skupova A i B, u oznaci A ∩B, je skup £iji elementi imaju svoj-stvo da pripadaju i skupu A i skupu B. Dakle, A ∩ B = {x : x ∈A ∧ x ∈ B}.

Razlika skupova A i B, u oznaci A\B, je skup £iji elementi imaju svojstvoda pripadaju skupu A, a ne pripadaju skupu B. Dakle, A \ B = {x :x ∈ A ∧ x /∈ B}.

Simetri£na razlika skupova A i B, u oznaci A4B unija razlika A \ B iB \ A, dakle A4B = (A \B) ∪ (B \ A).

Neka je dat i skup X takav da je A ⊂ X.

Komplement skupa A u odnsosu na skup X, u oznaciACX je razlikaX\A. Dakle, ACX = {x : x ∈ X ∧ x /∈ A}. �esto se koristi skra¢ena oz-naka AC ukoliko je jasno u odnosu na koji skup se uzima komplement.Tako�e se koriste oznake CX(A) i C(A).

Za skupove £iji je presjek prazan skup kaºemo da su disjunktni.Moºe sa pokazati da uvedene operacije zadovoljavaju sljede¢e osobine:

• A ∪ A = A, A ∪ ∅ = A, A ∪B = B ∪ A, (A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

• A ∩ A = A, A ∩ ∅ = ∅, A ∩B = B ∩ A, (A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

• (A ∪B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C), (A ∩B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)

8


• (A ∪B) = (A ∩B) ∪ (A \B) ∪ (B \ A)

• A4B = (A ∪B) \ (A ∩B)

• A ∪ AC = X, A ∩ AC = ∅, XC = ∅, ∅C = X,(AC)C = A

• X \ (A ∪B) = (X \ A) ∩ (X \B), X \ (A ∩B) = (X \ A) ∪ (X \B)

Zadatak 1.3. Pokazati da vrijede navedene osobine operacija sa skupovima.

Za uvo�enje pojam Dekartovog proizvoda skupova potrebno je de�niratiure�en par.

De�nicija 1.5. Ure�en par elemenata x i y, u oznaci (x, y) je skup {{x), {x, y}}.

Termin "ure�en" u prethodnoj de�niciji isti£e da je poredak elemenatau paru (x, y) bitan, x je prvi, a y drugi elemenat. Iz navedene de�nicijejednostavno proizilazi jednakost ure�enih parova (x, y) = (u, v) ⇔ ((x =u) ∧ (y = v)). Elemente ure�enog para nazivamo i koordinatama.

Pojam ure�enog para moºe se jednostavno poop²titi na ure�ene trojke,£etvorke,. . . , op¢enito n-torke.

Dekartov proizvod skupova A i B, u oznaci A×B je skup svih ure�enihparova £ije su preve koordinate elementi skupa A, a druge koordinateelementi skupa B. Dakle, A×B = {(x, y) : x ∈ A ∧ y ∈ B}.

Dekartov proizvod skupa A sa samim sobom se naziva i Dekartovim kvadra-tom i obiljeºava se sa A2. Dekartov proizvod i Dekartov kvadrat jednostavnose generaliziraju za slucaj tri i vi²e skupova. Dekartovog proizvoda skupa Asa samim sobom n puta naziva se i n-ti stepen skupa A.

Primjer 1.6. Rn je skup ure�enih n-torki relanih brojeva. Dakle, Rn ={(x1, . . . , xn) : xi ∈ R, i = 1, . . . , n}. Posebno zna£ajne situacije su za n = 2i n = 3.

Ranije smo spominjali relacije inkluzije i jednakosti za skupove. Sadasmo u mogu¢nosti de�nirati pojam relacije.

De�nicija 1.6. Neka su A i B neprazni skupovi. Svaki podskup ρ Dekartovogproizvoda A × B je binarna relacija izme�u elemenata skupa A i elemenataskupa B. Ako su elementi a ∈ A i b ∈ B u relaciji ρ pi²emo (a, b) ∈ ρ iliaρb. Ako je A = B tada je ρ ⊂ A2 binarna relacija na skupu A.

9


Ukoliko elementi a ∈ A i b ∈ B nisu u relaciji ρ pi²emo (a, b) /∈ ρ ili a/ρb.Za relaciju ρ ⊂ A×B inverznu relaciju ρ−1 ⊂ B ×A de�niramo tako da

(x, y) ∈ ρ−1 akko (y, x) ∈ ρ.Neka je A neprazan skup i ρ binarna relacija na A. Rlacija ρ moºe da

ima sljede¢e osobine.

ρ je re�eksivna ako je (∀x ∈ A) xρx.

ρ je antire�eksivna ako je (∀x ∈ A) (x, x) /∈ ρ.

ρ je simetri£na ako je (∀x, y ∈ A) (xρy)⇒ (yρx).

ρ je antisimetri£na ako je (∀x, y ∈ A) (xρy) ∧ (yρx)⇒ (x = y).

ρ je tranzitivna ako je (∀x, y, z ∈ A) (xρy) ∧ (yρz)⇒ (xρz).

Uvedene osobine nam omogu¢avaju de�nisanje vaºnih tipova relacija kao ²tosu relacije ekvivalencije i relacije poretka.

De�nicija 1.7. Relacija ekvivalencije na skupu A je binarnu relacija ρ naA koja je re�eksivna, simetri£na i tranzitivna.

Za proizvoljne elemenat a ∈ A i relaciju ekvivalencije ρ klasu ekvivalencijeelementa a, u oznaci [a]ρ de�niramo kao skup svih elemenata iz A koji suu relaciji sa a, to jeste [a]ρ = {x ∈ A : xρa}. Pokazuje se da su klaseekvivalencije me�usobno disjunktne i da se skup A moºe na jedinstven na£inprikazati kao unija tih klasa. Skup klasa ekvivalencije za datu relaciju ρ senaziva faktorski skup i obiljeºava se sa A/ρ. Relacija ekvivalencije se £estoobiljeºava sa ∼.

Primjeri relacije ekvivalencije su relacija paralelnosti za prave proizvoljneravni, uvedena relacija jednakosti za skupove.

Zadatak 1.4. Neka je dat cijeli broj m. Na skupu cijelih brojeva de�nirajmorelaciju ρ tako da je (∀x, y ∈ Z)xρy ⇔ (∃k ∈ Z)x− y = km. Ispitati da li jedata relacija relacija ekvivalencije.

De�nicija 1.8. Relacija poretka na skupu A je binarnu relacija ρ na A kojaje re�eksivna, antisimetri£na i tranzitivna.

Ako je na skupu A zadata relacija poretka kaºemo da je skup A ure�enskup. Ako su svaka dva elementa skupa A u relaciji poretka, to jeste me-�usobno uporediva, kaºemo da je skup A totalno ure�en skup. Za relacijuporetka koja je antire�eksivna kaºemo da je relacija strogog poretka.

10


Relacija poretka se £esto obiljeºava sa ≤ ili �, dok se relacija strogogporetka obiljeºava sa < ili ≺.

Relacija ≤ na skupu realnih brojeva je relacija poretka, kao i relacijainkluzije na partitivnom skupu nekog skupa, dok su relacija < na skupurealnih brojeva i relacija "biti pravi podskup" (£esto se obiljeºava sa $)na partitivnom skupu nekog skupa relacije strogog poretka. Skup relanihbrojeva je totalno ure�en skup. Partitivni skup nekog skupa nije totalnoure�en skup.

Zadatak 1.5. Neka je relacija ρ de�nisana sa aρb akko a2 ≤ b2, gde je ≤relacija poredka na skupu cijelih brojeva.

a) Ispitati da li je data relacija relacija poredka na skupu cijelih brojeva.

b) Ispitati da li je data relacija relacija poredka na skupu prirodnih brojeva.

Ranije smo spominjeali neke operacije sa iskazima, kao i ooperacije saskupovima, no nismo precizno de�nirali pojam operacije u op²tem slu£aju.To ¢emo u£initi u narednom odjeljku, no prije toga uvest ¢emo pojam funkcijeili preslikavanja.

De�nicija 1.9. Neka su A i B neprazni skupovi, a f zakon po kojemu sesvakom elementu A pridruºuje jedan i samo jedan element skupa B. Ure�enutrojku (A,B, f) nazivamo funkcija sa skupa A na skup B ili preslikavanje iz

skupa A u skup B. Pi²emo f : A→ B ili Af→ B.

Skup A se naziva de�niciono podru£je ili domen funkcije f , a skup B jepodru£je vrijednosti ili kodomen funkcije f . �esto se preslikavanje poisto-vje¢uje sa zakonom pridruºivanja ukoliko je jasno is konteksta ²ta je domen,a ²ta kodomen.

Element b skupa B pridruºen elementu a ∈ A prema pravilu f obiljeºa-vamo sa f(a), dakle b = f(a). Element a se naziva nezavisnom varijablom iliargumentom funkcije f , dok je b zavisna varijabla funkcije f , odnosno slikaelementa a.

Neka su data dva preslikavanja f : A → B i g : B → C takva da sekodomen prvog preslikavanja podudara sa domenom drugog preslikavanja.Preslikavanje h : A→ C de�nirano sa h(a) = g(f(a)) za svako a ∈ A jednoz-na£no je odre�eno i naziva se kompozicijom preslikavanja f i g i ozna£ava sag ◦ f .

Za preslikavanja mogu¢e je postaviti i neke dodatne zahtjeve. Neka jedato preslikavanje f : A→ B.

11

1.3.Elementi teorije algebarskih struktura Doc. dr. Almasa Odºak

f je sirjektivno ili "preslikavanje na" ako je slika domena cijeli kodomen.

f je injektivno ili "1-1 preslikavanje" ako razli£iti elementi domena imajurazli£ite slike.

f je bijektivno ili obostrano jednozna£no preslikavanje ako je i sirjektivnoi injektivno.

Ako je f bijektivno preslikavanje skupa A na skup B, onda postoji funk-cija koja preslikava skup B na skup A, koja svakom elementu b ∈ B pri-druºuje element a ∈ A, takav da je b = f(a). Ovako de�nirana funkcija jeinverzna funkcija �nkcije f i ozna£ava se sa f−1. Tada vrijedi f−1(f(a)) = a.

1.3 Elementi teorije algebarskih struktura

Sa pojmom operacije smo se ve¢ susretali ranije. Na primjer, kada iskazupridruºuje negirani iskaz vr²imo operaciju negacije iskaza. Ova operacijajednom iskazu pridruºuje novi iskaz, takve operacije nazivamo unarnim. Uslu£aju konjuncije iskaza, paru iskaza pridruºujemo novi iskaz, konjunkcijupo£etnih iskaza, ²to je primjer binarne operacije. Mogu se de�nirati i ter-narne, i op¢enito n-arne operacije.

Na skupu realnih brojeva pridruºivanje broju a broja−a je primjer unarneoperacije, dok su operacije sabiranja ili mnoºenja dva realna broja primjeribinarnih operacija.

Operacija se mogu de�nirati na proizvoljnom skupu. Za skup G na kojemje de�nirana jedna ili vi²e operacija kaºemo da je algebarska struktura. Zarazmatranje algebarskih struktura od posebnog su zna£aja binarne operacije.Preciznu de�niciju dat ¢emo u nastavku.

De�nicija 1.10. Binarna operacija ◦ na skupu A je svako preslikavanjekoja preslikava elemente Dekartovog proizvoda skupa A u skup A, to jeste◦ : A× A→ A.

Iz prethodne de�nicije je jasno da binarne operacije ure�enom paru (a, b) ∈A× A pridruºuju elemenat c skupa A. Elemenat c nazivamo rezultatom bi-narne operacije ◦ na paru (a, b) i pi²emo c = ◦(a, b) ili c = a ◦ b.

Za binarnu relaciju de�niranu na ovaj na£in £esto se kaºe da je unutra²njabinarna operacija, jer je rezultat operacije u istom skupu kao i operandi.Tako�e kaºemo da je skup A zatvoren u odnosu na operaciju ◦.

12


Treba napomenuti da postoje skupovi i operacije de�nirane na njima kojine posjeduju osobinu zatvorenosti. Na primjer skup neparnih brojeva nijezatvoren u odnosu na operaciju sabiranja jer zbir dva neparna broja nijeneparan broj. Primijetimo da je ovaj skup zatvoren u odnosu na operacijumnoºenja.

Svojstvo zatvorenosti se naziva i svojstvom grupoidnosti, otuda proizilazii sljede¢a de�nicija.

De�nicija 1.11. Ure�en par (G, ◦) nepraznog skupa G i binarne operacije ◦na G nazivamo grupoid.

Primjer 1.7. (N,+), (N, ·), (Z,+), (Z, ·), (Q,+), (N, ·), (R,+), (R, ·),(P(A),∪), (P(A),∩) su grupoidi.

Za operacije mogu¢e je postaviti i neke dodatne zahtjeve. Neka je Aneprazan skup i neka je data operacija ◦ : A× A→ A.

◦ je asocijativna ako (∀a, b, c ∈ A)(a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c). Za grupoidu kojem operacija ◦ zadovoljava svojstvo asocijativnosti kaºemo da jeasocijativan.

◦ je komutativna ako (∀a, b ∈ A)a◦b = b◦a. Za grupoid u kojem operacija◦ zadovoljava svojstvo komutativnosti kaºemo da je komutativan.

e je neutralni element za ◦ (∀a ∈ A)a ◦ e = e ◦ a = a.

Ukoliko postoji neutralni elemenat u odnosu na operaciju ◦ moºemo uvesti ipojam invertibilnosti.

a je invertibilan u odnosu na ◦ ako (∃b ∈ A)a ◦ b = b ◦ a = e. Elemenatb nazivamo inverznim elementom elementa a i obiljeºavamo ga sa a∗.

Na primjer sabiranje i mnoºenje na skupu prirodnih brojeva posjedujeosobine asocijativnosti i komutativnosti. Mnoºenje ima neutralan element(1), dok u skupu prirodnih brojeva ne postoji neutralni element za sabiranje(0 ne pripada skupu prirodnih brojeva). U skupu prirodnih brojeva, naprimjer, broj 2 nije invertibilan u odnosu na mnoºenje, ne postoji njegovinverzni element.

Zadatak 1.6. Neka je na skupu R de�nisana relacija ◦. Ispitati osobineasocijativnosti i komutativnosti.

13


a) a ◦ b = a+b2,

b) a ◦ b = ab+ a− b.

Uvedene osobine omogu¢avaju de�niranje sloºenijih algebarskih strukturau odnosu na grupoid.

De�nicija 1.12. Asocijativan grupoid (G, ◦) je polugrupa.

De�nicija 1.13. Gupoid (G, ◦) koji je asocijativan, u kojem postoji baremjedan neutralni elemenat i u kojem je svaki elemenat invertibilan je grupa.

De�nicija 1.14. Grupa (G, ◦) u kojoj operacija ◦ zadovoljava svojstvo ko-mutativnosti je Abelova grupa.

De�nicija 1.15. Neka je (G, ◦) grupa i H ⊂ G takav da je (H, ◦) grupa,tada kaºemo da je (H, ◦) podgrupa grupe (G, ◦).

Primjer 1.8. (i) (Z,+), (Q,+) i (R,+) su primjeri Abelovih grupa. Ne-utralni element je 0, a inverzni element elementa a je −a.

(i) (Q \ {0}, ·) i (R \ {0}, ·) su primjeri Abelovih grupa. Neutralni elementje 1, a inverzni element elementa a je 1

a. Za grupu na kojoj je operacija

◦ operacija mnoºenja kaºemo da je multiplikativna.

Primjer 1.9. Ure�en par (Rn,+), pri £emu je operacija sabiranja de�nisanapo komponentama, to jeste sa

(x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn)

je Abelova grupa. Ova £injenica proizilazi iz £injenice da je (R,+) Abelovagrupa i na£ina na koji je de�nirana operacija sabiranja. Neutralni elementje (0, . . . , 0), a inverznoi element elementa (x1, . . . , xn) je (−x1, . . . ,−xn).

Za grupu na kojoj je operacija ◦ obiljeºena znakom + kaºemo da je adi-tivna, tada se neutralni elementa naziva nulom i obiljeºava sa 0, a inverznielemenat elementa a se naziva suprotnim i ozna£ava se sa −a. Ukoliko jeoperacija ◦ obiljeºena sa · kaºemo da je grupa multiplikativna, neutralni ele-ment se naziva jedinica i biljeºava se sa 1, a inverzni elemenat elementa a seozna£ava sa a−1.

U narednom teoremu kojeg navodimo bez dokaza dat ¢emo osnovne oso-bine grupe.

14


Teorem 1.1. Neka je (G, ◦) grupa. Tada vrijedi:

(i) Neutralni element je jedinstven.

(ii) Za svaki elemenat g ∈ G inverzni element g∗ je jedinstven.

(iii) Za neutralni elemenat e ∈ G vrijedi e∗ = e.

(iv) Za svaki elemenat g ∈ G vrijedi (g∗)∗ = g.

(v) Za svaka dva elemenata g1, g2 ∈ G vrijedi (g1 ◦ g2)∗ = g∗2 ◦ g∗1.

Bogatije strukture od grupe mogu¢e je dobiti ako na nekom skupu de-�niramo dvije binarne operacije koje su me�usobno uskla�ene. Na primjerna skupovima brojeva moºemo vr²iti sabiranje i mnoºenje. Obi£no se ve¢ ude�nicijama pomenutih struktura operacije obiljeºavaju sa + i ·. Tako ¢emoi mi u£initi.

De�nicija 1.16. Neka je P neprazan skup na kojem su de�nirane dvijeoperacije + i ·. Ure�ena trojka (P,+, ·) je prsten ukoliko su zadovoljenisljede¢i uslovi:

(i) (P,+) je Abelova grupa,

(ii) (P, ·) je polugrupa,

(iii) zadovoljene su osobine distribuditvnosti date sa

(∀a, b, c ∈ P )a · (b+ c) = a · b+ a · c

(∀a, b, c ∈ P )(a+ b) · c = a · c+ b · c.

Primjer 1.10. (Z,+, ·), (Q,+, ·) i (R,+, ·) su prsteni.

Za neutralni elemenat 0 Abelove grupe (P,+) kaºemo da je nula prstena(P,+, ·). Ukoliko polugrupa (P, ·) ima neutralni elemenat kaºemo da je tojedinica prstena (P,+, ·) i obiljeºavamo je sa 1. Za prsten kaºemo da jeprsten s jedinicom. Za prsten (P,+, ·) kaºemo da je komutativan ukoliko jeoperacija · komutativna.

Narednim teoremom navodimo osnovne osobine prstena.

Teorem 1.2. Neka je (P,+, ·) prsten. Tada za svako a, b, c ∈ P vrijedi:

15

1.4.Elementi teorije vektorskih prostora Doc. dr. Almasa Odºak

(i) a · 0 = 0 · a = 0.

(ii) −a · b = −(a · b) = a · (−b).

(iii) (−a) · (−b) = a · b.

De�nicija 1.17. Prsten (P,+, ·) u kojem je (P \ {0}, ·) grupa je tijelo.

De�nicija 1.18. Komutativno tijelo je polje.

Primjer 1.11. (Q,+, ·), (R,+, ·) i (R,+, ·) su polja.

1.4 Elementi teorije vektorskih prostora

U prethodnom odjeljku upoznali smo se sa pojmom binarne operacije, kojomsmo paru elemenata nekog skupa pridruºivali novi elemenat tog skupa. Me-�utim, ne²to druga£ija situacija od opisane je, na primjer, operacija mnoºenjavektora skalarom. U ovom slu£aju operacija se vr²i me�u elementima dvarazli£ita skupa. Ova i sli£ne situacije opisuju se pojmom vektorskih prostora.

De�nicija 1.19. Neka je (V,+) komutativna grupa, a (F,+, ·) polje. Nekaje de�nirano preslikavanje F × V → V sa (α, a) 7→ αa, tako da za svakoa, b ∈ V i svako α, β ∈ F vrijedi

(i) α(a+ b) = αa+ αb,

(ii) (α + β)a = αa+ βa,

(iii) α(βa) = (αβ)a,

(iv) 1a = a.

Tada kaºemo da je V vektorski prostor nad poljem F i ozna£avamo ga saV(F).

Elemente skupa V nazivamo vektorima, a elemente skupa F skalarima. Uslu£aju kada je polje F skup realnih brojeva govorimo o realnom, a u slu£ajuF = C o kompleksnom vektorskom prostoru.

Za operaciju uvedenu prethodnom de�nicijom kaºe se da je eksterna bi-narna operacija.

16


Primjer 1.12. Skup Rn u kome je sabiranje de�nirano kao u primjeru 1.9i eksterna binarna operacija R× Rn → Rn sa,

a(x1, . . . , xn) = (ax1, . . . , axn)

je vektorski prostor nad poljem realnih brojeva.

Za dati vektorski prostor mogu¢e je de�nirati i njegov podprostor.

De�nicija 1.20. Neka je V vektorski prostor nad poljem F i W neprazanpodskup skupa V . W je podprostor vektorskog prostora V ako je W vektorskiprostor nad poljem F u odnosu na operacije koje su de�nirane u V .

Jednostavan kriterij za ispitivanje da li je neki skup podprostor vektorskogprostora dat je uslovom sadrºanim u sljede¢emo teoremu.

Teorem 1.3. Neka je W neprazan podskup vektorskog prostora V nad poljemF , W je podprostor vektorskog prostora V akko vrijedi

(∀a ∈ W )(α ∈ F )αa ∈ W, (1.1)

(∀a, b ∈ W )a+ b ∈ W. (1.2)

Uslov (1.1) se naziva uslovom homogenosti, dok je (1.2) uslov aditivnosti.Jednostavno se pokazuje da ovi uslovi mogu biti zamijenjeni jednim uslovomdatim sa

(∀a, b ∈ W )(α, β ∈ F )αa+ βb ∈ W. (1.3)

Ovaj uslov se naziva uslovom linearnosti.Usko povezan pojam sa pojmom vektorskih prostora je pojam linearne

kombinacije, linearno zavisnih i nezavisnih vektora.

De�nicija 1.21. Neka je V vektorski prostor nad poljem F i neka su vi,(i = 1, . . . n) vektori prostora V i αi, (i = 1, . . . n) skalari polja F , tadavektor

v = α1v1 + α2v2 + . . .+ αnvn

nazivamo linearnom kombinacijom vektora vi, (i = 1, . . . n) sa skalarima αi,(i = 1, . . . n).

U slu£aju kada je αi = 0, (i = 1, . . . n) kaºemo da je linearna kombinacijatrivijalna.

17


De�nicija 1.22. Neka je V vektorski prostor nad poljem F . Za vektorevi ∈ V , (i = 1, . . . n) kaºemo da su linearno zavisni ako postoje skalariαi ∈ F , (i = 1, . . . n) od kojih je bar jedan razli£it od 0 takvi da je

α1v1 + α2v2 + . . .+ αnvn = 0.

Za vektore vi ∈ V , (i = 1, . . . n) koji nisu linearno zavisno kaºemo da sulinearno nezavisni.

Sljede¢i teorem daje neke vaºen osobine linearno zavisnih i linearno ne-zavisnih vektora.

Teorem 1.4. (i) Niz vektora koji sadrºi nula vektor je zavisan.

(ii) Niz vektora koji sadrºi linearno zavisan podniz vektora je linearno za-visan.

(iii) Svaki podniz linearno nezavisnog niza je linearno nezavisan.

(iv) Ukoliko su dva vektora niza jednaka niz je linearno zavisan.

(v) Niz vektora je zavisan akko se bar jedan od njih moºe napisati kaolinearna kombinacija preostalih.

Za proizvoljno odabran skup vektora nekog prostora zna£ajno je posma-trati skup svih linearnih kombinacija vektora iz tog skupa, pokazuje se da jeto njmanji vektorski prostor koji sadrºi odabrane vektore.

De�nicija 1.23. Neka je S neprazan skup vektora vi, (i = 1, . . . n) vek-torskog prostora V nad poljem skalara F . Skup svih linearnih kombinacijaposmatranih vektora

L(S) = L({v1, . . . , vn}) = {α1v1 + . . .+ αnvn : αi ∈ F, i = 1, . . . , n}

nazivamo lineal vektora vi, (i = 1, . . . n).Kaºemo da je lineal L(S) generisan skupom S i da je S generator lineala

L(S).

Teorem 1.5. Lineal L({v1, . . . , vn}) vektora vi, (i = 1, . . . n) vektorskog pros-tora V nad poljem skalara F je podprostor prostora V .

Teorem 1.6. Lineal L({v1, . . . , vn}) vektora vi, (i = 1, . . . n) je najmanjivektorski prostor koji sadrºi vektore vi, (i = 1, . . . n).

18


Imaju¢i u vidu upravo navedeno prirodno je postaviti pitanje u kojemslu£aju skup S generi²e po£etni prostor V . Posebno zna£ajna situacija je uslu£aju kada je skup S kona£an, o tome govorimo u nastavku.

De�nicija 1.24. Ako u vektorskom prostoru V nad poljem F postoji skup Stako da je L(S) = V kaºemo da je V generisan skupom S. Ako je S kona£ankaºemo da je vektorski prostor kona£no generisan.

Postavljanjem uslova linearne nezavisnosti za elemente generatora vek-torskog prostora uvodi se pojam baze vektorskog prostora.

De�nicija 1.25. Neka je V vektorski prostor nad poljem F . Skup vektora Bje baza vektorskog prostora V ako je V generisan skupom B, to jeste L(B) =V i B je linearno nezavisan skup vektora u V .

Zna£aj baze ogleda se u njenim osobinama koje ¢emo navesti u narednimteoremima.

Teorem 1.7. Skup B vektora vektorskog prostora V nad poljem F je bazaakko je taj skup maksimalan linearno nezavisan skup.

Teorem 1.8. Skup B vektora vektorskog prostora V nad poljem F je bazaakko je taj skup minimalan skup koji generi²e vektorski prostor V .

Teorem 1.9. Skup B vektora vektorskog prostora V nad poljem F je bazaakko se svaki vektor prostora V moºe napisati kao linearna kombinacija ele-menata skupa B.

Teorem 1.10. Ako je V kona£no dimenzionalan vektorski prostor nad poljemF , tada sve baze imaju isti broj elemenata.

Posljednji teorem je motivacija za uvo�enje pojma dimenzije.

De�nicija 1.26. Neka vektorski prostor V nad poljem F ima bazu sa nelemenata, tada se prirodan broj n naziva dimenzija kona£no dimenzionalnogvektorskog prostora. Pi²emo n = dim(V ).

Teorem 1.11. Neka je V vektorski prostor nad poljem F dimenzije n. Tadasvaki skup od n linearno nezavisnih vektora £ini bazu.

19


Primjer 1.13. Posmatrajmo vektore

e1 = (1, 0, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), e3 = (0, 0, 1, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, 0, . . . , 1)

prostora Rn. Skup {e1, e2, e3, . . . , en} je baza vektorskog prostora Rn. Ovabaza se £esto naziva i kanonskom. Proizvoljan element (x1, x2, x3, . . . , xn)prosotra Rn moºe se napisati preko elemenata baze na sljede¢i na£in

(x1, x2, x3, . . . , xn) = x1e1 + x2e2 + x3e3 + . . .+ xnen.

Dimenzija prostora Rn je n.

20

Sadrºaj

Sadrºaj ii

1 Uvod 0

2 Matrice i determinante 1

2.1 Pojam matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Operacije s matricama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.1 Sabiranje matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.2 Mnoºenje matrica skalarom . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.3 Mnoºenje matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.4 Transponovanje matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 Inverzna matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5 Rang matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

POGLAVLJE 2

Matrice i determinante

U ovom poglavlju uvest ¢emo pojam matrice. Matrice i operacije s ma-tricama su pogodne za zapisivanje i rje²avanje sistema linearnih jedna£ina,koriste se u teoriji linearnih transformacija, kao i u mnogim drugim oblas-tima matematike. Pogodne su za zapisivanje podataka koji zavise od dvaparametra.

2.1 Pojam matrice

De�nicija 2.1. Neka je P skup brojeva. Funkciju

A : {1, 2, . . . ,m} × {1, 2, . . . , n} → P

datu sa (i, j) 7→ aij nazivamo matricom formata m× n nad skupom P .

Matrice obi£no zapisujemo u obliku pravougaone sheme elemenata aiji = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n skupa P , to jeste u obliku

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

......

am1 am2 · · · amn

.

2.1.Pojam matrice Doc. dr. Almasa Odºak

Koristi se i skra¢ena oznaka A = (aij)m×n. U literaturi se koriste i sljede¢eoznake A = [aij]m×n i A = ‖aij‖m×n. Brojeve aij, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n,nazivamo elementima matrice. Elementi ai1, ai2, . . . , ain £ine i-ti red (vrstu)matrice, dok brojevi a1j, a2j, . . . , amj £ine j-tu kolonu (stubac) matrice A.Dakle, element aij leºi u i-tom redu i j-toj koloni.

Obi£no je P neko polje brojeva. Skup svih matrica formata m × n nadpoljem P obiljeºavamo sa Mm,n(P ). U slu£aju kada je P = R govorimo orealnim, a za P = C o kompleksin matricama. Skup svih realnih matrica seobiljeºava i sa Rm×n, a kompleksnih sa Cm×n

Mi ¢emo se u nastavku, radi jednostavnosti bazirati na rad s realnimmatricama, mada se svi pojmovi mogu generalizirati i za slu£aju proizvoljnogskupa brojeva.

De�nicija 2.2. Matricu sa istim broj redova i kolona, to jeste matricu for-mata n× n nazivamo kvadratnom matricom reda n.

Dakle, kvadratna matrica reda n je oblika

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

......

an1 an2 · · · ann

.

Za elemente a11, a22, . . . , ann kaºemo da su elementi glavne dijagonale kva-dratne matrice A, dok su elementi a1n, a2n−1, . . . , an1 elementi sporedne di-jagonale matrice A.

Primjer 2.1. Neka je

A =

2 5 0 50 1 −3 2−2 2 4 1

,B =

3 2 −14 0 4−2 3 7

.

Matrica A je pravougaona matrica formata 3×4, dok je matrica B kvadratnamatrica reda 3. Elementi 0,1,-3,2 su elementi drugog reda matrice A, ele-menti 0,-3,4 su elementi tre¢e kolone te matrice. Elementi 3, 0, 7 £ine glavnudijagonalu matrice B, dok su elementi -1,0,-2 elementi sporedne dijagonalete matrice.

Postavljaju¢i zahtjeve na format matrice ili na elemente matrice dobijamoneke specijalne tipove matica.

2


• Matricu formata 1× n nazivamo matrica red ili matrica vrsta(a11 a12 · · · a1n

),

a matricu formata m× 1 matrica kolona ili matrica stubaca11a21...am1

.

Matrice red i matrice kolona nazivamo i vektorima.

• Kvadratnu matricu £iji su svi elementi van glavne dijagonale jednaki 0nazivamo dijagonalnom

a11 0 · · · 00 a22 · · · 0...

......

0 0 · · · ann

.

• Kvadratnu matricu £iji su svi elementi iznad glavne dijagonale jednaki0 nazivamo donjom trougaonom matricom

a11 0 · · · 0a21 a22 · · · 0...

......


,

a onu £iji su svi elementi ispod glavne dijagonale jednaki 0 nazivamogornjom trougaonom

a11 a12 · · · a1n0 a22 · · · a2n...

......

0 0 · · · ann

.

3


• Matricu £iji su svi elementi jednaki nula nazivamo nula matrica0 0 · · · 00 0 · · · 0...

......

0 0 · · · 0

.

Nula matrica se obiljeºava sa 0m×n ili samo sa 0 ako se iz kontekstazna o kojem formatu se radi.

• Dijagonalnu matricu reda n £iji su elementi na dijagonali jednaki 1nazivamo jedini£nom matricom i obiljeºavamo je sa En ili In

En =

1 0 · · · 00 1 · · · 0...

......

0 0 · · · 1

.

�esto se pi²e samo E ili I ukoliko je iz konteksta jasno o kojem redumatrice se radi.

Primjer 2.2. Primjeri matrica su

A1 =(2 3 5 1

),A2 =

(a b

),A3 =

(xy

),A4 =

2.304

,

A5 =

2 0 00 1 00 0 4

,A6 =

a 0 0 00 0 0 00 0 b 00 0 0 c

,A7 =

1 3 2 20 2 8 60 0 3 30 0 0 4

,

A8 =

2 0 0 03 6 0 04 4 5 06 3 0 7

,A9 =

(0 0 0 00 0 0 0

),A10 =

1 0 00 1 00 0 1

.

Matrice A1 i A2 su matrice vrsta, matrice A3 i A4 su matrice kolona. Ma-trice A5, A6 i A10 su primjeri dijagonalnih matrica. Matrica A7 je gornjatrougaona, a matrica A8 donja trougaona. Matrica A9 je primjer pravouga-one nula matrice, dok je matrica A10 jedini£na matrica reda 3.

4

2.2.Operacije s matricama Doc. dr. Almasa Odºak

U nastavku ¢emo uvesti osnovne operacije s matricama, no prije togade�nirajmo relaciju jednakosti.

De�nicija 2.3. Matrice A = (aij)m×n i B = (bij)p×q su jednake ako su istogformata i ako su im odgovaraju¢i elementi jednaki, to jeste m = p, n = q iaij = bij, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n.

Zadatak 2.1. Pokazati da je relacija jednakosti za matrice na skupuMm,n

relacija ekvivalencije.

2.2 Operacije s matricama

U ovom odjeljku de�nirat ¢emo osnovne operacije sa matricama: transpono-vanje, sabiranje, mnoºenje skalarom i mnoºenje.

2.2.1 Sabiranje matrica

Dvije matrice istog formata A = (aij)m×n i B = (bij)m×n sabiraju se tako²to im se saberu odgovaraju¢i elementi, to jeste

A+B = (aij)m×n + (bij)m×n = (aij + bij)m×n.

Primijetimo da je sabiranje matrica de�nirano samo za matrice istog for-mata. Matrice razli£itog formata se ne mogu sabirati.

Oduzimanje matrica se de�ni²e analogno. Dvije matrice istog formataA = (aij)m×n i B = (bij)m×n oduzimaju se tako ²to im se oduzimaju odgo-varaju¢i elementi, to jeste

A−B = (aij)m×n − (bij)m×n = (aij − bij)m×n.

Neka je A,B,C,0 ∈ Rm×n. Sabiranje matrica posjeduje sljede¢e osobine

(i) Asocijativnost: (A+B) +C = A+ (B+C),

(ii) Komutativnost: A+B = B+A,

(iii) Nula matrica je neutralni element za sabiranje: 0+A = A+ 0 = A.

5


2.2.2 Mnozenje matrica skalarom

Matrica A = (aij)m×n se mnoºi skalarom α ∈ R tako ²to se svaki elementpomnoºi tim skalarom, to jeste

αA = α(aij)m×n = (αaij)m×n.

Neka je A,B,0 ∈ Rm×n, α, β ∈ R. Mnoºenje matrica skalarom posjedujesljede¢e osobine

(i) α(A+B) = αA+ αB,

(ii) (α + β)A = αA+ βA,

(iii) (αβ)A = α(βA),

(iv) 1A = A,

(v) 0A = 0.

Za svaku matricu A ∈ Rm×n matricu (−1)A ozna£avamo kra¢e sa −A inazivamo suprotnom matricom matrice A. Za suprotnu matricu vrijedi

(vi) A+ (−A) = −A+A = 0.

2.2.3 Mnozenje matrica

Matrice A = (aij)m×n i B = (bij)p×q se mogu mnoºiti samo ako je brojkolona matrice A jednak broju vrsta matrice B, odnosno ako je n = p. Uovom slu£aju kaºemo da su matrice A i B saglasne za mnoºenje. Rezultuju¢amatrica C = AB je formata m × q. Elemente cij matrice C ra£unamo poformuli

cij =n∑

k=1

aikbkj, (i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , q).

Dakle, elemenat cij koji se nalazi u i-toj vrsti i j-toj koloni matrice C = ABdobijemo tako ²to svaki element i-te vrste matrice A pomnoºimo odgovara-ju¢im elementom j-te kolone matrice B i te proizvode saberemo.

Mnoºenje matrica posjeduje sljede¢e osobine

(i) A(BC) = (AB)C, (A ∈ Rm×n,B ∈ Rn×p,C ∈ Rp×q),

6


(ii) AEn = EmA = A, (A ∈ Rm×n),

(iii) A0n×p = 0m×p, 0k×mA = 0k×n, (A ∈ Rm×n),

(iv) A(B+C) = AB+AC, (A ∈ Rm×n,B,C ∈ Rn×p),

(v) (A+B)C = AC+BC, (A,B ∈ Rm×n,C ∈ Rn×p),

(vi) αAB = (αA)B = A(αB), α ∈ R,A ∈ Rm×n,B ∈ Rn×p).

Vaºno je napomenuti da mnoºenje matrica u op²tem slu£aju nije komu-tativno. Naime, ako postoji proizvod AB matrica A i B, ne mora postojati iproizvod BA. Dodatno, i ako postoje oba proizvoda AB i BA to ne morajubiti matrice istog formata, ali ako i jesu istog formata, one u op²tem slu£ajunisu jednake.

U slu£aju kada je matricaA kvadratna moºemo je mnoºiti samu sa sobom.U tom slu£aju govorimo o stepenovanju matriceA. ZaA ∈ Rn×n po de�nicijistavjamo

A0 = En, An = An−1A (n ∈ N).

2.2.4 Transponovanje matrice

Transponovana matrica matrice A = (aij)m×n je matrica AT = (aji)n×m.Dakle, transponovanu matricu matrice A dobijemo tako ²to zamijenimo

ulogu kolona i vrsta.Operacija transponovanja zadovoljava sljede¢e osobine

(i) (AT )T = A, (A ∈ Rm×n),

(ii) (αA+ βB)T = αAT + βBT , (α, β ∈ R,A,B ∈ Rm×n),

(iii) (AB)T = BTAT , (A ∈ Rm×n,B ∈ Rn×p).

U slu£aju kada je A = AT kaºemo da je matrica A simetri£na, a kada je−A = AT kaºemo da je ona kososimetri£na. Ukoiko je AAT = Em kaºemoda je matrica A ortogonalna.

Ukoliko su elementi matrice iz skupa kompleksnih brojeva onda se £estoposmatra matrica koja se dobije od po£etne transponovanjem i konjugova-njem elemenata. Takva matrica se obiljeºava sa AH . Dakle, za A = (aij)m×n

je AH = (aji)n×m.Koriste¢i upravo uvedenu matricu uvodimo i sljede¢e tipove matrica.

7

2.3.Determinante Doc. dr. Almasa Odºak

U slu£aju kada je A = AH kaºemo da je matrica A hermitska, a kada je−A = AH kaºemo da je ona kosohermitska. Ukoiko je AAH = Em kaºemoda je matrica A unitarna, a ako je AAH = AHA kaºemo da je matrica Anormalna.

Imaju¢i u vidu uvedene operacije sa matricama i njihove osobine moºe sezaklju£iti da vrijede sljede¢i teoremi.

Teorem 2.1. (Rm×n,+) je Abelova grupa.

Teorem 2.2. (Rm×n,+, ·), gdje je · operacija mnoºenja matrica skalarom,je vektorski prostor nad poljem realnih brojeva.

Primijetimo da (Rm×n, ∗), gdje je ∗ operacija mnoºenja matrica u op²temslu£aju nije ni grupoid. Naime, proizvod dvije matrice formata m × n zam 6= n ne postoji, pa taj skup nije zatvoren u odnosu na mnoºenje. Spe-cijalno, za m = n skup (Rn×n, ∗) jeste grupoid, zbog zadovoljenog uslovaasocijativnosti, to je i polugrupa. No, postavlja se pitanje da li je (Rn×n, ∗)grupa. Iz osobine (ii) mnoºenja matrica slijedi da je jedini£na matrica redan neutralni element u (Rn×n, ∗), pa za odgovor na postavljeno pitanje neo-phodno je ispitati egzisteniciju inverznog elementa matrice A u odnosu naoperaciju mnoºenja.

U nastavku ¢emo posebnu paºnju posvetiti kvadratnim matricama, jersu upravo one matrice koje mogu posjedovati inverzni elemenat u odnosu namnoºenje.

2.3 Determinante

U svrhu ispitavanja egzistencije i nalaºenja inverznog elementa matrice A ∈Rn×n u odnosu na operaciju mnoºenja matrica uvodimo pojam determinante.

Precizna de�nicija determinanti se uvodi pomo¢u pojma permutacija imatemati£ki je prili£no zahtjevna i ovdje je ne¢emo navoditi. Smatrat ¢emoda je determinata matrice A ∈ Rn×n realan broj pridruºen toj matrici iopisati induktivni postupak za ra£unanje tog broja. Determinantu matriceA obiljeºavamo sa detA, det(A) ili |A|. U op²tem slu£aju determinantumatrice reda n pi²emo u obliku∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

......


∣∣∣∣∣∣∣∣∣8


i za determinantu kaºemo da je reda n. Pojmovi elemenata, redova, kolona,dijagonale i sporedne dijagonale determinante su potpuno analogni odgova-raju¢im pojmovima za matrice.

Op²ti oblik matrice prvog reda je (a11). Njena determinanta je |a11| = a11.Dakle, determinanta matrice prvog reda jednaka je njenom jedinom elementu.

Op²ti oblik matrice drugog reda je(a11 a12a21 a22

). Njena determinanta je

∣∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a21a12.

Dakle, determinanta matrice drugog reda jednaka je razlici proizvoda eleme-nata na glavnoj dijagonali i proizvoda elemenata na sporednoj dijagonali.

Op²ti oblik matrice tre¢eg reda je

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

. Njena determi-

nanta je ∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

− a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33.

Izraz za determinantu tre¢eg reda moºe se izvesti koriste¢i tzv. Sarusovopravilo. Ono se sastoji u sljede¢em. S desne strane determinante dopi²emoprvu i drugu kolonu te determinante, ra£unamo proizvod elemenata na glav-noj dijagonali i na dvjema linijama paralelnim sa glavnom dijagonalom injih uzimamo sa znakom plus, a potom ra£unamo proizvode elemenata nasporednoj dijagonali i dvjema linijama paralalnim sa njom i uzimamo ih saznakom minus. Ilustracija Sarusovog pravila data je u nastavku.

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣a11 a12a21 a22a31 a32

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

− a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33

Treba napomenuti da se opisano pravilo moºe koristiti isklju£ivo za ra£unanjedeterminanti tre¢eg reda i ne moºe se uop²titi na determinante ve¢eg reda.Drugi na£in ra£unanja matrica tre¢eg reda je pomo¢u matrica drugog reda.

9


Ovaj drugi metod je zna£ajan jer se moºe uop²titi i za ra£unanje determinantivi²eg reda. Da bi ga mogli opisati potrebno je uvesti pojmove minora ikofaktora elementa aij matrice A.

De�nicija 2.4. Neka je A ∈ Rn×n i aij proizvoljan elemenat te matrice.Determinanta reda n− 1 koju dobijemo brisanjem i-tog reda i j-te kolone izdeterminante matrice A nazivamo minor elementa aij matrice A. Obiljeºa-vamo ga sa Mij.

De�nicija 2.5. Neka je A ∈ Rn×n i aij proizvoljan element te matrice. Broj(−1)i+jMij nazivamo kofaktorom elementa aij matrice A. Obiljeºavamo gasa Aij.

Primijetimo da determinantu tre¢eg reda moºemo napisati na sljede¢ina£in.

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣= a11(a22a33 − a23a32)− a12(a21a33 − a23a31) + a13(a21a32 − a22a31)

= a11

∣∣∣∣ a22 a23a32 a33

∣∣∣∣− a12 ∣∣∣∣ a21 a23a31 a33

∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣ a21 a22a31 a32

∣∣∣∣= a11M11 − a12M12 + a13M13

= a11A11 + a12A12 + a13A13.

Dakle, determinantu tre¢eg reda napisali smo kao proizvod elemenata prvevrste i njima odgovaraju¢ih kofaktora. Kaºemo da smo determinantu razvilipo prvoj vrsti. Moºe se pokazati da se razvoj moºe izvr²iti po bilo kojoj vrstiili koloni. Pokazuje se da se opisani postupak moºe poop²titi na ra£unanjedeterminante bilo kojeg reda, to jeste vrijedi sljede¢i teorem.

Teorem 2.3. Determinanta reda n jednaka je zbiru proizvoda elemenata makoje vrste ili kolone i njima odgovaraju¢ih kofaktora

det(A) =n∑

i=1

aijAij, (∀j = 1, . . . , n),

det(A) =n∑

j=1

aijAij, (∀i = 1, . . . , n).

10


Opisani postupak se naziva Laplasov razvoj determinante. Obzirom dase u ovom postupku kofaktori mnoºe sa elementima vrste ili kolone po kojojse razvoj vr²i jasno je da je najpogodnije za razvoj birati kolonu ili vrstu kojaima najvi²e elemenata jednakih nuli.

Postupak opisan u teoremu 2.3 je induktivnog karektera i teorijski omo-gu¢ava ra£unanje determinante bilo kojeg reda, no ovaj postupak za deter-minante ve¢eg reda nije od prakti£nog zna£aja. Naime broj operacija kojetreba obaviti za ra£unanje determinante reda n je reda n!. E�kasniji na£iniza ra£unanje determinanti zasnivaju se na primjeni osobina determinanti. Unastavku ¢emo navesti neke od njih.

(i) Determinanta matrice koja ima vrstu (kolonu) koja se sastoji od samihnula jednaka je 0.

(ii) Determinanta gornje ili donje trougaone matrice jednaka je proizvoduelemenata na dijagonali. Specijalno, determinanta dijagonalne matricejednaka je proizvodu elemenata na dijagonali.

(iii) Determinanta matrice koja ima dvije jednake ili proporcionalne vrste(kolone) jednaka je 0.

(iv) Ukoliko vrste i kolone matrice zamijene uloge determinanta matrice sene mijenja. Dakle det(A) = det(AT ).

(v) Determinanta mijenja predznak ukoliko dvije susjedne vrste (kolone)zamijene mjesta.

(vi) Determinanta se mnoºi skalarom tako ²to se jedna, proizvoljno oda-brana, vrsta ili kolona determinante pomnoºi tim skalarom. Drugimrije£ima, zajedni£ki faktor elemenata jedne vrste (kolone) moºe se iz-vu¢i ispred determinante.

(vii) Determinanta je multilinearna funkcija svojih kolona (vrsta), to jeste

11

2.4.Inverzna matrica Doc. dr. Almasa Odºak

vrijedi∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . a1i . . . a1na21 . . . a2i . . . a2n...

......

an1 . . . ani . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . βb1i + γc1i . . . a1na21 . . . βb2i + γc2i . . . a2n...

......

an1 . . . βbni + γcni . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= β

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . b1i . . . a1na21 . . . b2i . . . a2n...

......

an1 . . . bni . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ γ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . c1i . . . a1na21 . . . c2i . . . a2n...

......

an1 . . . cni . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .(viii) Vrijednost determinante ostaje nepromijenjena ukoliko sve elemente

jedne vrste (kolone) pomnoºimo nekim realnim brojem i saberemo saodgovaraju¢im elementima neke druge vrste (kolone).

(ix) Za A,B ∈ Rn×n vrijedi det(AB) = det(A)det(B).

(x) Determinanta je razli£ita od nule ako i samo ako su vrste (kolone)matrice linearno nezavisne.

Prilikom ra£unanja determinante posebno je pogodno koristiti osobinu(viii). Primjenom transformacija opisanih ovom osobinom vrijednost deter-minante se ne mijenja. Cilj je, njihovom primjenom, determinantu transfor-misati na determinantu gornje ili donje traougaone matrice, a takve je laganoizra£unati primjenom osobine (ii).

2.4 Inverzna matrica

Pojam inverznog elementa u op²tem slu£aju smo uveli ranije. Specijalno zamatricu A ∈ Rn×n inverzna matrica je matrica B takva da je

AB = BA = En. (2.1)

Jedinstvenost inverzne matrice, ukoliko ona postoji, garantovana je slje-de¢im teoremom.

Teorem 2.4. Neka je A ∈ Rn×n. Ako postoji matrica B koja zadovoljava(2.1), onda je ona jedinstvena.

12


Dokaz. Pretpostavimo da postoje dvije matrice B1 i B2 koje zadovoljavaju(2.1). Pokaºimo da je B1 = B2. Iz (2.1) slijedi

(B1A)B2 = EnB2 = B2,

(B1A)B2 = B1(AB2) = B1En = B1.

Dakle, B1 = B2, pa je dokaz zavr²en.

Obzirom na jedinstvenost, inverznu matricu matrice A, ozna£avamo saA−1.

De�nicija 2.6. Za matricu A ∈ Rn×n kaºemo da je regularna ukoliko onaima inverznu matricu. U protivnom kaºemo da je matrica A singularna.

Prirodno je postaviti pitanje postoji li e�kasan metod za ispitivanje re-gularnosti matrice.

U nastavku ¢emo dokazati teorem koji nam daje metod ispitivanja regu-larnosti pomo¢u determinate i istovremeno eksplicitnu formulu za ra£unanjeinverzne matrice matrice A. Prije formulacije pomenutog teorema uvedimopojam adjungovane matrice i dokaºimo jedan vaºan rezultat za adjungovanumatricu koji ¢emo koristiti u nastavku.

De�nicija 2.7. Neka je A ∈ Rn×n. Matricu adj(A) = (Aij)T = (Aji)

zovemo adjungovanom matricom matrice A.

Dakle, adjungovanu matricu matrice A dobijemo tako ²to svaki elementaij matrice A zamijenimo njegovim kofaktorom Aij i tako dobijenu matricutransponujemo. U nekoj literaturi se matrica sa£injena od kofaktora matriceA obiljeºava sa A∗, a adjungovana matrica sa A∗∗.

Operacija adjungovanja zadovoljava sljede¢e osobine.

(i) adj(AB) = adj(B)adj(A), (A,B ∈ Rn×n),

(ii) adj(AT ) = (adj(A))T , (A ∈ Rn×n).

Jo² jedna vaºna osobina adjungovanja matrice data je sljede¢im teore-mom.

Teorem 2.5. Neka je A ∈ Rn×n. Vrijedi Aadj(A) = adj(A)A = det(A)En.

13


Dokaz. Iskoristimo li razvoj determinante matrice A po j-toj (j = 1, . . . , n)koloni dobijamo jednakost

n∑i=1

aijAij = det(A).

Modi�kujemo li matricu adj(A) tako ²to algebarske komplemente Aij kolonej zamijenimo komplementima iz kolone k, k 6= j, dobijamo matricu koja imadvije iste kolone, pa je prema osobini (iii) determinanti determinanta takvematrice 0. Dakle, vrijedi

n∑i=1

aijAik = 0,

jer je gornja suma razvoj modi�kovane matrice po j-toj koloni. Dvije pos-ljednje jednakosti moºemo objediniti koriste¢i Kronekerov simbol dat sa

δjk =

{1, j = k;0, j 6= k.

Dakle,n∑

i=1

aijAik = δjkdet(A).

Sada koriste¢i de�niciju mnoºenja matrica jednostavno zaklju£ujemo da jeAadj(A) = det(A)En. Analogno se dobije i adj(A)A = det(A)En, pa jetvrdnja teorema dokazana.

Teorem 2.6. Neka je A ∈ Rn×n. Matrica A je regularna akko je det(A) 6= 0.Ako je A regularna, onda je

A−1 =1

det(A)adj(A).

Dokaz. Neka je A regularna matrica. Tada postoji matrica A−1 takva daje AA−1 = A−1A = En. Prema osobini (ix) determinanti slijedi da jedet(AA−1) = det(A)det(A−1), a prema osobini (ii) determinanta jedini£nematrice je 1, pa vrijedi det(A)det(A−1) = 1. Dakle, mora biti det(A) 6= 0, pasmo dokazali da ukoliko je matrica A regularna , determinanta joj je razli£itaod nula. Tako�e slijedi da je u tom slu£aju

det(A−1) =1

det(A).

14

2.5.Rang matrice Doc. dr. Almasa Odºak

Pokaºimo sada da vrijedi obrat. Neka je det(A) 6= 0, pokaºimo da je ma-trica A regularna. Dijeljenjem sa det(A) jednakosti iz teorema 2.5 dobijamoda vrijedi

1

det(A)adj(A)A = A

1

det(A)adj(A) = En,

pa iz de�nicije inverzne matrice slijedi da je A−1 = 1det(A)

adj(A).

Invertovanje matrice zadovoljava sljede¢e osobine.

(i) Ako je A ∈ Rn×n regularna matrica, tada je i A−1 tako�e regularna ivrijedi (A−1)−1 = A.

(ii) Ako su A,B ∈ Rn×n regularne matrice tada je i AB regularna matricai vrijedi (AB)−1 = B−1A−1.

(iii) Ako je A ∈ Rn×n regularne matrica tada je i AT regularna matrica ivrijedi (AT )−1 = (A−1)T .

2.5 Rang matrice

Vaºan pojam vezan za matrice je i rang matrice. Moºe se koristiti za ispitiva-nje regularnosti matrice, a vrlo je pogodan za rje²avanje sistema jedna£ina,kao ²to ¢emo vidjeti u sljede¢em poglavlju.

Za razliku od determinante matrice koja moºe biti pridruºena samo kva-dratnim matricama, rang matrice moºe se odrediti za proizvoljnu matricuformata m× n.

Neka je A ∈ Rm×n proizvoljna matrica. Ukoliko je m 6= n, determinantamatrice A ne postoji. Me�utim od kolona i vrsta matrice A mogu¢e jeformirati nove matrice koje su kvadratne, pa je za njih mogu¢e ra£unatideterminantu. Upravo navedeno sluºi za uvo�enje pojma ranga matrice. Zapreciznu de�niciju prvo uvedimo pojam podmatrice.

De�nicija 2.8. Neka je A ∈ Rm×n. Svaka matrica koja se iz matrice Amoºe dobiti uklanjanjem bilo kojih vrsta i (ili) kolona je podmatrica matriceA. Ukoliko je B podmatrica matrice A formata r × r kaºemo da je onakvadratna i da je reda r.

De�nicija 2.9. Neka je A ∈ Rm×n. Rang ne-nula matrice A je red njenenajve¢e kvadratne podmatrice kojoj je determinanta razli£ita od nula. Rangnula matrice je 0. Rang matrice A ozna£avamo sa r(A) ili rang(A).

15


Iz de�nicije odmah slijedi da za A ∈ Rm×n vrijedi r(A) ≤ min{m,n}.Pokazuje se da se rang matrice moºe izraziti i pomo¢u linearne nezavis-

nosti redova i kolona. Ovu osobinu navodimo u narednom teoremu kojegdajemo bez dokaza.

Teorem 2.7. Rang matrice A jednak je maksimalnom broju linearno neza-visnih kolona matrice A. Maksimalan broj linearno nezavisnih kolona jednakje maksimalnom broju linearno nezavisnih vrsta posmatrane matrice.

Iz posljednjeg teorema odmah slijedi jo² jedna osobina ranga matrice.Vrijedi r(A) = r(AT ).

Odre�ivanje ranga matrice, bilo po de�niciji bilo koriste¢i teorem 2.7, jezahtjevan posao, jednostvaniji na£in opisat ¢emo u nastavku. Zasniva se naprimjeni elementarnih transformacija.

De�nicija 2.10. Elementarne transformacije matrice su

(i) zamjena mjesta dvije vrste ili kolone,

(ii) mnoºenje vrste ili kolone skalarom razli£itim od 0,

(iii) mnoºenje elemenata jedne vrste ili kolone skalarom razli£itim od 0 idodavanje odgovaraju¢im elementima neke druge vrste ili kolone.

De�nicija 2.11. Ako se matrica A moºe dobiti iz matrice B primjenomkona£nog broja elementarnih transformacija kaºemo da su matrice A i Bekvivalentne i pi²emo A ∼ B.

Zna£aj ekvivalentnih matrica se ogleda u sljede¢em teoremu.

Teorem 2.8. Ekvivalentne matrice imaju isti rang.

Dokaz. Za dokaz teorema ¢emo koristiti karakterizaciju ranga pomo¢u line-arne nezavisnosti datu u teoremu 2.7.

Imaju¢i u vidu de�niciju linearne nezavisnosti odmah slijedi da se zamje-nom mjesta dvije vrsta (kolone) ili mnoºenjem vrste (kolone) nenultim bro-jem ne mijenja maksimalan broj linearno nezavisnih vrsta (kolona), pa za-klju£ujemo da se elementarnim transformacijama tipa (i) i (ii) ne mijenjarang matrice.

Poaºimo da je to slu£aj i za elementarnu transformaciju tipa (iii). Ma-tricu A ∈ Rm×n moºemo napisati u sljede¢em obliku

A =(K1 K2 . . . Ki . . . Kj . . . Kn

), (2.2)

16


pri £emu smo saKi, (i = 1, . . . , n) ozna£ili i-tu kolonu matriceA. Primjenomelementarne transformacije tipa (iii) na kolone i i j dobijamo matricu oblika

B =(K1 K2 . . . Ki + αKj . . . Kj . . . Kn

),

gdje je α ∈ R, α 6= 0.Slijedi da ako je kolona Ki linearno zavisna od ostalih kolona onda je i

kolona Ki+αKj linearno zavisna od tih kolona i obratno. Moºemo zaklju£itida matrice A i B imaju isti broj linearno nezavisnih kolona, onda imaju iisti rang.

Postupak za prakti£nu primjenu prethodnog teorema se ogleda u sljede-¢em. Elementarnim transformacijama je potrebno datu matricu transformi-sati na matricu £iji je rang jednostavno odrediti. U tu svrhu uvodimo pojamtrapezne matrice.

De�nicija 2.12. Neka je A ∈ Rm×n. Mantrica A se naziva trapeznommatricom ako je oblika

t11 t12 · · · t1nt21 t22 · · · t2n...

......

tm1 tm2 · · · tmn

,

pri £emu postoji broj r (r ≤ min{m,n}) takav da je

• t11, t22, . . . , trr 6= 0,

• tij = 0, za svako i, j takvo da je i > j,

• tij = 0, za svako i, j takvo da je r < i ≤ j.

Koriste¢i teorem 2.7 jednostavno se zaklju£uje da je rang trapezne matricejednak broju elemenata na glavnoj dijagonili koji su razli£iti od 0. Dakle,upravo su trapezne matrice one £iji je rang jednostavno odrediti.

Vrijedi sljede¢i teorem.

Teorem 2.9. Za svaku ne-nula matricu postoji njoj ekvivalentna trapeznamatrica.

Dokaz ovog teorema ne¢emo izvoditi. Dat ¢emo ilustraciju pomo¢u pri-mjera.

17


Primjer 2.3. Neka je data matrica

A =

1 2 0 20 3 5 11 3 −1 −1

.

Odredimo rang date matrice svo�enjem na trapezni oblik. U prvom korakuvrste 1 i 2 prepi²imo, a zatim od tre¢e vrste oduzmimo prvu. U drugomkoraku zamijenimo drugu i tre¢u vrstu, a zatim od tre¢e oduzmimo tri putadrugu. 1 2 0 2

0 3 5 11 3 −1 −1

∼

1 2 0 20 3 5 10 1 −1 −3

∼

1 2 0 20 1 −1 −30 3 5 1

∼

1 2 0 20 1 −1 −30 0 8 10

.

Rang posljednje matrice je 3, pa je onda i rang matrice A tako�e 3.

Elementarne transformacije nad matricom A mogu se opisati i pomo¢umnoºenja te matrice odgovaraju¢im matricama koje se nazivaju elementar-nim matricama. U nastavku ¢emo opisati elementarne matrice koje dajuelemntarne transformacije nad vrstama.

(i) Elementarna matrica Eij kojom se postiºe zamjene vrsta i i j datematrice A dobije se iz jedini£ne matrice zamjenom vrsta i i j.

(ii) Elementarna matrica Ei(α) kojom se postiºe mnoºenje vrste i matriceA skalarom α jednaka je jedini£noj matrici u kojoj je i-ta vrsta pom-noºena sa α.

(iii) Elementarna matricaEij(α) kojom se postiºe dodavanje j-te vrste pom-noºene sa α i-toj vrsti matrice A dobija se iz jedini£ne matrice tako²to se u i-toj vrsti i j-toj koloni umjesto vrijednosti 0 pi²e skalar α.

Primjer 2.4. Transformacije kojim smo matricu A iz prethodnog primjerasveli na trapezni oblik mogu biti opisane elementarnim matricama. Dobi-jeni trapezni oblik se moºe dobiti i mnoºenjem po£etne matrice odgovara-ju¢im elementarnim matricama. Transformaciji oduzimanja prve vrste od

18


tre¢e odgovara matrica E31(−1), zamjeni tre¢e i druge vrste matrica E23 ikona£no transformaciji oduzimanja tri puta druge vrste od tre¢e odgovaramatrica E32(−3), pa je

E32(−3)E23E31(−1)A

=

1 0 00 1 00 −3 1

1 0 00 0 10 1 0

1 0 00 1 0−1 0 1

1 2 0 20 3 5 11 3 −1 −1

=

1 0 00 1 00 −3 1

1 0 00 0 10 1 0

1 2 0 20 3 5 10 1 −1 −3

=

1 0 00 1 00 −3 1

1 2 0 20 1 −1 −30 3 5 1

=

1 2 0 20 1 −1 −30 0 8 10

Na kraju ovog poglavlja navest ¢emo teorem koji slijedi iz prethodno

izloºenog, a daje nam vezu regularnosti matrice i njenog ranga. Tako�e ¢emoopisati i alternativni na£in za nalaºenje inverzne matrice za datu matricu.

Teorem 2.10. Neka je A ∈ Rn×n. A je regularna akko je ekvivalentnajedini£noj matrici reda n.

Postupak za nalaºenje inverzne matrice pomo¢u elementarnih transforma-cija poznat je pod nazivom Gaus-�ordanov postupak i sastoji se u sljede¢em.

Neka je data matrica A ∈ Rn×n, £iju inverznu matricu traºimo. Formi-ramo matricu formata n × 2n tako ²to s desne strane matrice A dopi²emojedini£nu matricu reda n. Dakle, za

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

......


19


novoformirana matrica je oblikaa11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

......


∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 · · · 00 1 · · · 0...

......

0 0 · · · 1

.

Zatim nad novoformiranom matricom vr²imo elementarne transformacije ucilju dobijanja jedini£ne matrice na lijevoj strani nove matrice. Dakle, cilj jedobiti matricu oblika

1 0 · · · 00 1 · · · 0...

......

0 0 · · · 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣b11 b12 · · · b1nb21 b22 · · · b2n...

......

bn1 bn2 · · · bnn

(2.3)

Mogu¢a su dva ishoda. Ukoliko u postupku primjene elemntarnih transfor-macija dobijemo na lijevoj strani novoformirane matrice red sa£injen od svihnula moºemo zaklju£iti da je matricaA singularna, to jeste da nema inverznumatricu. U protivnom dobit ¢emo matricu oblika (2.3). Tada je matrica Aregularna i vrijedi

A−1 =

b11 b12 · · · b1nb21 b22 · · · b2n...

......

bn1 bn2 · · · bnn

. (2.4)

Opravdanost opisanog postupka se zasniva na sljede¢em. Ve¢ smo napo-menuli da se primjena elementarnih transformacija na matricu A moºe opi-sati mnoºenjem te matrice odgovaraju¢im elementarnim matricama. Dakle,ukoliko smo primjenom k elementarnih transformacija do²li do matrice oblika(2.3), onda se ona moºe napisati u obliku

(Xk . . .X2X1A|Xk . . .X2X1En),

pri £emu smo sa X1,X2, . . . ,Xk ozna£ili odgovaraju¢e elementarne matrice ipri £emu je Xk . . .X2X1A = En, pa slijedi da je A−1 = Xk . . .X2X1. No, nadesnoj strani (2.3) se upravo nalazi ovaj produkt matrica, pa vrijedi (2.4).

Upravo opisani postupak za nalaºenje inverzne matrice je zna£ajan jer jeza matrice ve¢eg reda znatno e�kasniji od ranije opisanog postupaka pomo¢uadjungovane matrice.

20




� predavanja �

Sarajevo, oktobar 2014.

Sadrºaj

Sadrºaj ii

1 Uvod 1


3 Sistemi linearnih jedna£ina 3

3.1 Pojam sistema linearnih jedna£ina . . . . . . . . . . . . . . . . 33.2 Kvadratni sistemi linearnih jedna£ina . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2.1 Rje²avanje sistema rje²avanjem matri£ne jedna£ine . . 63.2.2 Kramerovo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.3 Gausov metod eliminacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.4 Kroneker-Kapelijev stav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

POGLAVLJE 3

Sistemi linearnih jedna£ina

Mnogi problemi iz prakse mogu biti napisani u obliku sistema linearnih jed-na£ina. U ovom poglavlju precizno ¢emo de�nirati pojam sistema linearnihjedna£ina i rje²enja sistema. Razlikovat ¢emo kvadratne i pravougaone, ho-mogene i nehomogene sisteme. Bavit ¢emo se pitanjem egzistencije rje²enjai metodama za rje²avanje sistema linearnih jedna£ina.

3.1 Pojam sistema linearnih jednacina

De�nicija 3.1. Skup jedna£ina oblika

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2...

am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

, (3.1)

gdje su aij i bj (i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n) elemeni polja brojeva F nazivamosistemom od m jedna£ina sa n nepoznatih xj (j = 1, . . . , n).

Naj£e²¢e se posmatraju situacije u kojima je polje F polje realnih ili

3.1.Pojam sistema linearnih jedna£ina Doc. dr. Almasa Odºak

kompleksnih brojeva. Mi ¢emo se u nastavku bazirati na takve sisteme iakomnogi pojmovi i metodi mogu biti generalizirani i na druge situacije.

Brojeve aij (i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n) nazivamo koe�cijentima sistema,dok su bi (i = 1, . . . ,m) slobodni £lanovi.

U op²tem slu£aju kaºemo da je sistem (3.1) pravougaoni, dok u slu£ajum = n govorimo o kvadratnom sistemu linearnih jedna£ina.

U slu£aju kada je bi = 0 (∀i = 1, . . . ,m) kaºemo da je sistem homogen, au protivnom rije£ je o nehomogenom sisitemu linearnih jedna£ina.

Sistem linearnih jedna£ina (3.1) moºemo napisati i pomo¢u matrica uobliku

AX = B, (3.2)

pri £emu smo uveli oznake

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

......

am1 am2 · · · amn

,X =

x1x2...xn

,B =

b1b2...bm

.

Matricu A nazivamo matricom sistema, X je vektor nepoznatih, a B vektorslobodnih £lanova. Sistemu jedna£ina tako�e moºemo pridruºiti i takozvanupro²irenu matricu sistema, koju dobijemo tako ²to matrici sistema A s desnestrane dopi²emo vektor slobodnih £lanova. Obiljeºavamo je sa (A|B). Dakle

(A|B) =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

am1 am2 . . . amn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣b1b2...bm

.

Osnovno pitanje vezano za sisteme jedna£ina je nalaºenje njihovog rje²e-nja. Uvode se pojmovi saglasnog i nesaglasnog sistema.

De�nicija 3.2. Svaka ure�ena n-torka (α1, α2, . . . , αn) takva da je za

(x1, x2, . . . , xn) = (α1, α2, . . . , αn)

svaka od m jedna£ina sistema (3.1) identi£ki zadovoljena je rje²enje tog sis-tema.

4

3.1.Pojam sistema linearnih jedna£ina Doc. dr. Almasa Odºak

Ukolio posmatramo sistem jedna£ina zapisan u matri£nom obliku (3.2)onda pod rje²enjem sistema podrazumijevamo svaki vektor X koji zadovo-ljava matri£nu jedna£inu (3.2).

De�nicija 3.3. Za sistem linearnih jedna£ina koji ima barem jedno rje²enjekaºemo da je saglasan (kompatibilan, rje²iv). U suprotnom kaºemo da jesistem nesaglasan (protivrje£an, kontradiktoran, nerje²iv).

Pored egzistencije rje²enja, vaºno pitanje je i pitanje broja rje²enja. Je-dan od rezultata koji nam govori o tome navest ¢emo u narednom teoremu.Formulisat ¢emo ga i dokazati koriste¢i matri£ni zapis.

Teorem 3.1. Ako su X1 i X2 dva razli£ita rje²enja sistema (3.2) onda je iX(µ) = µX1 + (1− µ)X2, za svako µ ∈ R tako�e rje²enje tog sistema.

Dokaz. Da bi dokazali tvrdnju dokazat ¢emo da X(µ) zadovoljava jedna£inu(3.2). Koriste¢i osobine operacija s matricama i pretpostavku da X1 i X2

zadovoljavaju jedna£inu (3.2) slijedi da je

A(µX1 + (1− µ)X2) = µAX1 + (1− µ)AX2 = µB+ (1− µ)B = B,

pa je dokaz zavr²en.

Upravo dokazani teorem nam kaºe da sistem, ukoliko ima dva razli£itarje²enja, onda ih ima beskona£no mnogo.

Dakle, svaki sistem oblika (3.1) zadovoljava ta£nu jednu od sljede¢e tritvrdnje.

(i) Sistem nema rje²enje.

(ii) Sistem ima ta£no jedno rje²enje.

(iii) Sistem ima beskona£no mnogo rje²enja.

U slu£aju (ii) kaºemo da je sistem odre�en, dok u slu£aju (iii) kaºemo daje neodre�en. Jasno, u situaciji (i) sistem je nesaglasan, dok je u situacijama(ii) i (iii) saglasan.

Primijetimo da je homogen sistem uvijek saglasan, jer je ure�ena n-torkasa£injena od svih 0 rje²enje svakog homogenog sistema. Ovo rje²enje se na-ziva trivijalnim. Ukoliko je homogeni sistem odre�en onda je njegovo jedinorje²enje trivijalno. Neodre�en homogen sistem, pored trivijalnog, ima i drugarje²enja koja nazivamo netrivijalnim.

5

3.2.Kvadratni sistemi linearnih jedna£ina Doc. dr. Almasa Odºak

Napomenimo jo² da rije²iti sistem zna£i na¢i sva njegova rje²enja ili us-tanoviti da sistem nema rje²enje.

U nastavku ovog poglavlja govorit ¢emo o metodama rje²avanja sistemai uslovima pod kojim sistem zadovoljava tvrdnje (i)-(iii). Zna£ajnu ulogupri rje²avanju sistema imaju ekvivalentni sistemi. Sli£no, kao i kod matrica,elementarnim transformacijama se sistem prevodi u ekvivalentan sistem.

De�nicija 3.4. Dva sistema jedna£ina su ekvivalentna ako imaju isti skuprje²enja.

Elementarne transformacije koje sistem prevode u ekvivalentan sistem su:

(i) Zamjena mjesta bilo koje dvije jedna£ine sistema.

(ii) Mnoºenje proizvoljne jedna£ine sistema nekim brojem razli£itim od 0.

(iii) Dodavanje jedne jedna£ine sistema, prethodno pomnoºene nekim bro-jem razli£itim od 0, drugoj jedna£ini sistema.

Tako�e se nekad pod elementarnom transformacijom podrazumijeva i pro-mjena poretka varijabli u jedna£inama sistema, no treba napomenuti da jeu tom slu£aju vaºno voditi ra£una o novom poretku, pogotovo ukoliko sesistem pi²e pomo¢u matrica koje ga odre�uju i rje²enje se zapisuje u oblikuure�ene n-torke.

3.2 Kvadratni sistemi linearnih jednacina

U ovom odjeljku ¢emo se baviti sistemima linearnih jedna£ina kod kojih jebroj jedna£ina jednak broju nepoznatih. Speci�£nost ovog tipa sistema namgarantuje da je matrica sistema kvadratna, pa je mogu¢e ra£unati njenudeterminantu i odre�ivati njenu inverznu matricu ukoliko je ona regularna.Upravo na ovim £injenicama su zasnovane dvije metode rje²avanja kvadratnihsistema koje ¢emo opisati u nastavku.

3.2.1 Rjesavanje sistema rjesavanjem matricne jednacine

Kako smo ve¢ napomenuli sistem linearnih jedna£ina, pa specijalno i kva-dratni sistem linearnih jedna£ina, moºe biti napisan u matri£noj formi (3.2).

Forma (3.2) se moºe interpretirati kao matri£na jedna£ina, jedna£ina ukojoj je nepoznata varijabla matrica. Ovu matri£nu jedna£inu, kao i matri£ne

6


jedna£ine op¢enito, rje²avamo koriste¢i operacije s matricama i njihove oso-bine. Vaºno je napomenuti da treba voditi ra£una da mnoºenje matrica nijekomutativno.

Neka je matrica A kvadratnog sistema regularna, to jeste postoji njojinverzna matrica A−1. Pomnoºimo jednakost (3.2) s lijeve strane sa A−1,a zatim iskoristimo £injenicu da je produkt matrice i njoj inverzne matricejednak jedini£noj matrici, kao i £injenicu da je jedini£na matrica neutralnielement za mnoºenje matrica. Opisani postupak moºemo zapisati na sljede¢ina£in.

AX = B

A−1(AX) = A−1B

(A−1A)X = A−1B

EX = A−1B

X = A−1B.

3.2.2 Kramerovo pravilo

U ovom dijelu opisat ¢emo metod za rje²avanje kvadratnih sistema jedna£inabaziran na primjeni determinanti. Kvadratnom sistemu

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2...

an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = bn

, (3.3)

odgovara kvadratna matrica sistema A. Njoj moºemo pridruºiti determi-nantu, koju nazivamo determinantom sistema (3.3) i obiljeºavamo je sa D.Istom sistemu moºemo pridruºiti i determinante Di, (i = 1, . . . , n), koje do-bijemo tako ²to i-tu kolonu determinante D zamijenimo kolonom slobodnih£lanova. Dakle, za sistem (3.3) je

D =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ,7


Di =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1i−1 b1 a1i+1 . . . a1na21 a22 . . . a2i−1 b2 a2i+1 . . . a2n...

......

......

...an1 an2 . . . ani−1 bn ani+1 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .Rezultat na kojem se zasniva Kramerovo pravilo za rje²avanje kvadratnih

sistema dat ¢emo u teoremu koji slijedi.

Teorem 3.2. Neka sistem (3.3) ima barem jedno rje²enje. Tada svako rje-²enje (α1, α2, . . . , αn) tog sistema zadovoljava jednakosti

αiD = Di, (i = 1, . . . , n). (3.4)

Dokaz. Dokaz ¢emo izvesti koriste¢i osobine determinanti. Odaberimo pro-izvoljno i �ksirajmo indeks i, (i = 1, . . . , n). Prema osobini determinanti (vi),determinanta se mnoºi skalarom tako ²to joj se jedna kolona ili vrsta mnoºitim sklarom. Da bi pomnoºili skalarom αi determinantu D pomnoºimo timskalarom i-tu kolonu te determinante. Zatim primijenimo osobinu (viii) nadobijenu determinantu tako ²to ¢emo pomnoºiti elemente prve kolone sa α1 idodat ih i-toj koloni, zatim pomnoºiti elemente druge kolone sa α2 i dodat ihi-toj koloni i postupak ponoviti za sve kolone izuzev kolone i. Determinantakoju dobijemo nakon opisanih transformacija je oblika

αiD =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1i−1 a11α1 + a12α2 + . . .+ a1nαn a1i+1 . . . a1na21 a22 . . . a2i−1 a21α1 + a22α2 + . . .+ a2nαn a2i+1 . . . a2n...

......

......

...an1 an2 . . . ani−1 an1α1 + an2α2 + . . .+ annαn ani+1 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .Po pretpostavci je (α1, α2, . . . , αn) rje²enje posmatranog sistema, pa uvr²ta-vanjem vrijednosti αi (i = 1, . . . , n) u jedna£ine sistema dobijamo ta£ne jed-nakosti, ²to zna£i da lijeve strane jedna£ina, koje se pojavljuju u i-toj kolonigornje matrice, moºemo zamijeniti desnim, to jeste, i−tu kolonu vektoromslobodnih £lanova. Dobijena matrica je upravo matrica Di, pa je tvrdnjateorema dokazana.

Posmatrajmo sistem (3.3). Neka je matrica sistema regularna, to jesteD 6= 0. Tada iz (3.4) slijedi da je posmatrani sistem odre�en i ima jedinstvenorje²enje dato sa

xi =Di

D, (i = 1, . . . , n).

8


Ukoliko matrica sistema nije regularna, odnosno ukoliko jeD = 0 i ukolikopostoji indeks j, (j = 1, . . . , n) takav da je Dj 6= 0 onda jedna od jedna£inaiz (3.4), za i = j postaje nemogu¢a, pa je sistem u ovom slu£aju protivrje£an.

Zaklju£ak u preostalom slu£aju, to jeste kada je D = 0 i Di = 0 za sve i =1, . . . , n se ne moºe direktno izvesti. Potrebno je posmatrati poddeterminanteposmatranih determinanti.

Upravo navedena razmatranja dovode do rezultata koji je poznat podnazivom Kramerovo pravilo. Formulisat ¢emo ga u narednom teoremu.

Teorem 3.3. Neka je dat kvadratni sistem (3.3).

1. Ako je determinanta sistema D 6= 0 sistem ima jedinstveno rje²enjedato sa xi =

Di

D, (i = 1, . . . , n), to jeste sistem je odre�en.

2. Ako je D = 0 i barem jedna od determinanti Di (i = 1, . . . , n) razli£itaod 0 sistem je protivrje£an.

3. Ako je D = 0 i D1 = D2 = . . . = Dn = 0 onda mogu nastupiti dvijesituacije, sistem je neodre�en ili je sistem protivrje£an. Odgovor napitanje kada nastupa koja situacija daje nam sljede¢i niz koraka.

(a) Ako je bar jedna subdeterminanta reda n− 1 determinante D raz-li£ita od nule sistem je neodre�en.

(b) Ako je svaka subdeterminanta reda n− 1 determinante D jednakanuli, a barem jedna od subdeterminanti reda n − 1 determinantiDi razli£ita od nule, sistem je protivrje£an.

(c) Ako je svaka subdeterminanta reda n−1 svih determinanti Dk i Djednaka nuli nastavljamo postupak ponavljanjem koraka (a), (b) i(c) za subdeterminante jednog reda manje.

Primjenom prethodnog teorema na homogene sisteme jedna£ina dobi-jamo jednostavan kriterij kada homogeni sistem ima i netrivijalna rje²enja.Posmatrajmo homogen kvadratni sistem

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = 0...

an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = 0

. (3.5)

9

3.3.Gausov metod eliminacije Doc. dr. Almasa Odºak

Neka oznake D i Di imaju isto zna£enje kao i ranije. Iz na£ina formiranjadeterminanti Di i osobine (i) determinanti slijedi da je Di = 0 za svakoi = 1, . . . , n. Osim toga, kako smo ve¢ napomenuli, homogeni sistem uvijekima trivijalno rje²enje, pa nikada nije nemogu¢. Dakle, vrijedi tvrdnja.

Posljedica 3.4. Homogeni sistem (3.5) je odre�en ako je D 6= 0, a neodre�enu slu£aju kada je D = 0.

3.3 Gausov metod eliminacije

Gausov metod eliminacije zasniva se na £injenici da se sistemi jedna£inakod kojih je matrica sistema trougaona ili trapezna jednostavno rje²avaju.Takve sisteme ¢emo zvati trougaonim ili trapeznim. Sam metod se sastojiiz dvije osnovne etape, prva je transformisanje datog sistema u ekvivalentantrougaoni ili trapezni, a druga je rje²avanje novodobijenog sistema.

Ilustrirat ¢emo postupak na sistemu napisanom u op²tem obliku (3.1).Pretpostavimo da je a11 6= 0. Ukoliko to nije slu£aj moºemo izvr²iti

elementarnu transformciju zamjene redoslijeda jedna£ina sistema, tako dauslov bude zadovoljen. Naime, barem jedan od koe�cijenata uz varijablu x1mora biti razli£it od nula, jer u protivnom varijabla x1 moºe imati proizvoljnuvrijednost.

Prvu jedna£inu podijelimo sa x1, a zatim od i-te (i = 2, . . . ,m) jedna£ineoduzmimo prvu jedna£inu pomnoºenu sa ai1. Dobijamo ekvivalentan sistemoblika

x1 + a12a11x2 + · · · + a1n

a11xn = b1

a11(a22 − a21 a12a11

)x2 + · · · +

(a2n − a21 a1na11

)xn = b2 − a21 b1

a11...(

am2 − am1a12a11

)x2 + · · · +

(amn − am1

a1na11

)xn = bm − am1

b1a11

.

Ovaj sistem moºemo zapisati u ne²to kra¢em obliku uvedemo li oznake

• a′1j =a1ja11

, (j = 2, . . . , n),

• b′1 = b1a11,

• a′ij = aij − ai1 a1ja11

, (i = 2, . . . ,m, j = 2, . . . n),

10


• b′i = bi − ai1 b1a11,, (i = 2, . . . ,m).

Sistem poprima sljede¢i oblik

x1 + a′12x2 + · · · + a′1nxn = b′1a′22x2 + · · · + a′2nxn = b′2...

a′m2x2 + · · · + a′mnxn = b′m

.

Postupak nastavljamo tako ²to prepi²emo prvu jedna£inu, a na ostale pri-mijenimo transformacije analogne ve¢ ura�enim. Drugu jedna£inu dijelimosa a′22 i od i-te (i = 3, . . . ,m) oduzimamo drugu jedna£inu pomnoºenu saa′i2. Naravno dijeljenje je mogu¢e izvr²iti jedino ako je a′22 6= 0. Ukolikoto nije slu£aj mogu nastupiti tri situacije. Ukoliko postoji a′i2 6= 0 za nekoi = 3, . . . ,m, onda zamjenom mjesta jedna£ina postiºemo da je traºeni uslovzadovoljen. Ukoliko to nije slu£aj mogu¢e je da da postoji koe�cijent aij,i = 2, . . . ,m, j = 3, . . . , n razli£it od nule, pa se zamjenom pisanja redosli-jeda varijabli, odnosno prenumeracijom, postiºe ispunjenje uslova. Ukolikoni jedan od dva navedena uslova nije ta£an, to zna£i da su svi koe�cijentisistema u svim jedna£ina izuzev prve jednaki 0, pa se te jedna£ine svode na0 = bi, (i = 2, . . . ,m). Jasno, u ovom slu£aju sistem ima jedino rje²enje akoje bi = 0 (i = 2, . . . ,m). U protivnom ovaj sistem, pa i po£etni, je nemogu¢.Nakon opisanih transformacija uz skra¢ene oznake

• a′′2j =a′2ja′22

, (j = 3, . . . , n),

• b′′2 =b′2a′22,

• a′′ij = aij − ai2a′2ja′22

, (i = 3, . . . ,m, j = 3, . . . n),

• b′′i = b′i − a′i2b′2a′22,, (i = 3, . . . ,m),

sistem poprima oblik

x1 + a′12x2 + a′13x3 · · · + a′1nxn = b′1x2 + a′′23x3 · · · + a′′2nxn = b′′2

a′′33x3 · · · + a′′3nxn = b′′3...

a′′m3x3 · · · + a′′mnxn = b′′m

.

11


Postupak nastavljamo i nakon m koraka dobijamo trougaoni ili trapezni sis-tem. Treba napomenuti da je mogu¢e i da u nekom k-tom (k < m) koraku

posljednjih m − k jedna£ina poprimi oblik 0 = b(k)i , (i = k + 1, . . . ,m). U

tom slu£aju sistem je saglasan jedino ako je b(k)i = 0 za sve i = k + 1, . . . ,m.

U protivnom je nemogu¢.

Nizom opisanih koraka zavr²ava se prva etapa. Primijetimo da smo uprvom koraku varijablu x1 eliminisali iz svih izuzev prve jedna£ine, nakontoga u drugom koraku varijabla x2 je eliminisana iz svih, izuzev prve i drugejedna£ine i tako dalje. Upravo iz ovog razloga se postupak naziva metodomeliminacije.

U drugoj etapi rje²avamo sistem ekvivalentan po£etnom dobijen u pret-hodnoj etapi. U sl£aju kada je m = n dobijeni sistem je trougaoni i ako jesaglasan posljednja jedna£ina je oblika xn = b

(n)n i sistem ima jedinstveno rje-

²enje. Dakle, posljednja jedna£ina nam daje vrijednost varijable xn. Zatim,uvr²tavanjem te vrijednosti u pretposljednju jedna£inu moºemo izra£unativrijednost varijable xn−1. Postupak nastavljamo. Kona£no u posljednjemkoraku ove etape, poznate su nam vrijednosti varijabli xn, . . . , x2 i pomo¢uprve jedna£ine ra£unamo vrijednost varijable x1. Time je postupak rje²avanjasistema zavr²en.

U slu£aju kada je m < n (ili k < n za situaciju kada odre�eni broj jed-

na£ina poprima oblik 0 = b(k)i (i = k + 1, . . . ,m) i ako je sistem mogu¢)

sistem ima beskona£no mnogo re²enja. Varijable xm+1, xm+2, . . . , xn mogubiti proizvoljno odabrane, a preostale, primjenom analognog postupka opi-sanom postupku u situaciji m = n, mogu biti izraºene preko proizvoljnoodabranih varijabli.

U slu£aju kada je m > n postupkom eliminacije, da bi sistem bio mogu¢,odre�en broj jedna£ina se mora svesti na identi£ne jedna£ine ili jedna£ine0 = b

(k)i (i = k + 1, . . . ,m) i pri tome svi b

(k)i koje se pojavljuju u njima

moraju biti jednaki 0. Ostatak sistema je jednog od razmatrana dva oblika,pa se tako i rje²ava.

Treba napomenuti da se postupak eliminacije prakti£no vr²i primjenomelementarnih transformacija na jedna£ine sistema, odnosno na pro²irenu ma-tricu sistema. Ve¢ smo obrazloºili da se elementarne transformacije matricamogu interpretirati kao mnoºenje matrice odgovaraju¢im matricama, pa jenaravno to slu£aj i za elementarne transformacije sistema linearnih jedna£ina.

12

3.4.Kroneker-Kapelijev stav Doc. dr. Almasa Odºak

3.4 Kroneker-Kapelijev stav

Kao ²to smo vidjeli ranije primjenom Kramerovog teorema mogu¢e je ispi-tivati saglasnost kvadratnih sistema linearnih jedna£ina. No, treba napo-menuti da ovaj postupak moºe biti jako obiman jer je potrebno ra£unativeliki broj poddeterminanti. Tako�e ovaj postupak je ograni£en isklju£ivona kvadratne sisteme. U ovom odjeljku ¢emo opisati postupak za ispitiva-nje saglasnosti pravougaonog sistema zasnovan na rangu matrice sistema ipro²irene matrice.

Teorem 3.5. Sistem (3.3) je saglasan ako i samo ako je

rang(A) = rang(A|B) = r.

Dodatno, ukoliko je ispunjena gornja relacija onda,

(i) ako je r = n sistem ima jedinstveno rje²enje,

(ii) ako je r < n sistem ima beskona£no mnogo rje²enja.

Dokaz. Za dokaz teorema koristit ¢emo interpretaciju ranga matrice datu po-mo¢u linearno nezavisnih kolona matrice navedenu u prethodnom poglavlju.

Prvo pretpostavimo da sistem ima rje²enje. Neka je ono dato sa x1 = α1,x2 = α2, . . . , xn = αn i neka je matrica sistema zapisana pomo¢u svojihkolona u obliku

A =(K1 K2 . . . Ki . . . Kj . . . Kn

). (3.6)

Koriste¢i matri£ni zapis sistema jedna£ina i uvedene oznake slijedi da vrijedi

α1K1 + α2K2 + . . .+ αnKn = B.

O£igledno je B linearna kombinacija kolona matrice A, pa je rang(A|B) ≤rang(A). Kako se dodavanjem kolona nekoj matrici rang ne moºe smanjiti,to je rang(A) ≤ rang(A|B). Slijedi da je rang(A) = rang(A|B).

Pretpostavimo da je sada rang(A) = rang(A|B) = r. Pokaºimo da jesistem saglasan, tj. da ima rje²enje. Jednakost iz pretpostavke implicira daje B zavisno od kolona matrice A, pa se moºe napisati u obliku linearnekombinacije kolona K1, . . . , Kn, to jeste u obliku

B = α1K1 + α2K2 + . . .+ αnKn,

13


a ovo upravo zna£i da su skalari α1, α2, . . . , αn rje²enja posmatranog sistema.Ovim je prvi dio teorema dokazan.

Za dokaz drugog dijela primijetimo da iz pretpostavke da je rang(A) =rang(A|B) = r, prema de�niciji ranga, slijedi da u matrici sistema postojisubdeterminanta reda r razli£ita od 0, odnosno da je r kolona matrice Alinearno nezavisno. Bez umanjenja op²tosti moºemo pretpostaviti da je toprvih r kolona. U protivnom moºemo izvr²iti prenumerisanje varijabli. Os-talih n− r kolona se mogu napisati kao linearne kombinacije prvih r kolona.Sli£no vrijedi i za vrste, pa je posljednjih m− r jedna£ina sistema posljedicaprvih r jedna£ina, te se mogu odbaciti. Po£etni sistem se sada moºe napisatiu obliku

a11x1 +a12x2 + · · · +a1rxr = b1 −a1r+1xr+1 − . . . −a1nxna21x1 +a22x2 + · · · +a2rxr = b2 −a2r+1xr+1 − . . . −a2nxn...

ar1x1 +ar2x2 + · · · +arrxr = br −arr+1xr+1 − . . . −arnxn.(3.7)

Sistem (3.7) je kvadratni sistem reda r i determinanta tog sistema je raºli£itaod 0, pa primjenom Kramerovog metoda sistem (3.7) kao sistem od r vari-jabli ima jedinstveno rje²enje. No, za r < n po£etni sistem ima beskona£nomnogo rje²enja, jer za svaki izbor varijabli xr+1, xr+2, . . . , xn ima jedno rje-²enje, pa je dokazana tvrdnja (i). Za n = r na desnoj strani sistema (3.7)nema varijabli, pa je jedinstveno rje²enja sistema (3.7) i jedinstveno rje²enjepo£etnog sistema.

Napomenimo da se pri prakti£noj primjeni Kroneker-Kapelijevog teorematraºi rang pro²irene matrice svo�enjem na trapezni oblik i pri tome se po-sljednja kolona matrice ne pomjera. Trapezni oblik pro²irene matric dajenam i trapezni oblik matrice sistema, pa im je rang jednostavno odrediti.Takodjer, trapezni oblik pro²irene matrice daje trapezni sistem koji je ekvi-valentan po£etnom sistemu, pa se on jednostavno rje²ava, kao i kod Gausovogmetoda eliminacije.

Teorem 3.5 primijenjen na homogene sisteme daje nam jednostavan kri-terij o egzistenciji netrivijalnih rje²enja homogenog sistema. Naime, obziromda je kolona slobodnih £lanova homogenog sistema sastavljena samo od nula,to je uvijek rang matrice sistema i pro²irene matrice sistema jednak, pa jeprema teoremu 3.5 sistem saglasan, kako smo ve¢ i napomenuli.

14


Posljedica 3.6. Homogeni sistem AX = 0, A ∈ Rm×n ima netrivijalnorje²enje akko je r(A) < n.

15




� predavanja �

Sarajevo, novembar 2014.

Sadrºaj

Sadrºaj ii

1 Uvod 1



4 Linearni operatori 4

4.1 Pojam linearnog operatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44.2 Matrice i linearni operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.3 Promjena baze i matrica operatora . . . . . . . . . . . . . . . 104.4 Jezgro i slika linearnog operatora . . . . . . . . . . . . . . . . 134.5 Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori . . . . . . . . . . . . 144.6 Dijagonalizacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

POGLAVLJE 4

Linearni operatori

U uvodnom dijelu smo uveli pojam preslikavanja koje elementima jednogskupa pridruºuje elemente drugog skupa. Ukoliko umjesto skupova posma-tramo vektorske prostore i posmatramo preslikavanja koja uvaºavaju njihovulinearnu strukturu govorimo o linearnim operatorima. Ovakva preslikavanjasu osnovni predmet prou£avanja linearne algebre i funkcionalne analize i jav-ljaju se u mnogim oblastima primijenjene matematike.

4.1 Pojam linearnog operatora

De�nicija 4.1. Neka su V i W vektorski prostori nad istim poljem F . Pres-likavanje A : V → W za koje vrijedi

(∀x, y ∈ V, ∀α, β ∈ F ) A(αx+ βy) = αA(x) + βA(y) (4.1)

naziva se linearan operator.

Treba napomenuti da se za preslikavanje uvedeno prethodnom de�nicijomu nekoj literaturi koristi i pojam operator, ²to moºe dovesti do zabune jerje mogu¢e posmatrati i operatore koji nisu linearni, to jeste one koji nezadovoljavaju uslov (4.1).

4.1.Pojam linearnog operatora Doc. dr. Almasa Odºak

Analogno ranije posmatranoj situaciji uslov (4.1) se naziva uslovom line-arnosti i ekvivalentan je uslovima aditivnosti i homogenosti datim sa

(∀x, y ∈ V ) A(x+ y) = A(x) + A(y), (4.2)

(∀x ∈ V, ∀α ∈ F ) A(αx) = αA(x). (4.3)

Slika elementa x ∈ V pri djelovanju operatora A se £esto skra¢eno pi²e saAx umjesto A(x). Tako�e skup svih linearnih operatora koji slikaju elementeskupa V u elemente skupa W obiljeºavamo sa L(V,W ).

Na ovom skupu mogu¢e je de�nirati operaciju sabiranja i operaciju mno-ºenja skalarom na sljede¢i na£in.

• Za A,B ∈ L(V,W ) operator A + B ∈ L(V,W ) de�niramo sa (∀x ∈V ) (A+B)x = Ax+Bx;

• Za A ∈ L(V,W ), α ∈ F operator αA ∈ L(V,W ) de�niramo sa (∀x ∈V ) (aA)(x) = a(A(x));

• Nula operator O je operator za koji vrijedi (∀x ∈ V ) O(x) = 0W , gdjeje 0W neutralni element u W .

• Za A ∈ L(V,W ), operator −A se de�nira sa −A = (−1)A.

Jendostavno se pokazuje da skup L(V,W ) sa upravo de�niranim opera-cijama uz uvedeni neutralni i suprotni element predstavlja vektorski prostor.

Iz same de�nicije odmah slijede neke osobine linearnih operatora.

(i) Linearan operator A : V → W nulu vektorskog prostora V slika u nuluvektorskog prostora W. Dokaz slijedi stavljaju¢i da je α i β, iz osobinelinearnosti, jednako neutralnom elementu polja F .

(ii) Linearan operator A : V → W po²tuje linearnu kombinaciju, to jesteza proizvoljno n ∈ N vrijedi

(∀αi ∈ F, ∀xi ∈ V ) A

(n∑i=1

αixi

)=

n∑i=1

αiA(xi).

Dokaz se dobije induktivnim putem primjenom osobine linearnosti.

5

4.1.Pojam linearnog operatora Doc. dr. Almasa Odºak

(iii) Ako su x1, . . . , xn linearno zavisni elementi prostora V i ako je A :V → W linearan operator, onda su A(x1), . . . , A(xn) linearno zavisnielementi prostora W. Dokaz slijedi iz de�nicije linearne zavisnosti iosobine (i).

Dalje, treba napomenuti da de�nicija linearnog operatora dopu²ta daprostori V i W budu jednaki i u tom slu£aju govorimo o linearnim operato-rima na prostoru V .

Specijalno, operatore kod kojih je prostor W prostor skalara nazivamo li-nearnim funkcionalima ili linearnim formama. Naj£e²¢e jeW u ovom slu£aju,kao i polje F za linearne operatore, polje realnih ili kompleksnih brojeva.

Primjer 4.1. Neka je V = R3 i W = R2 i neka je preslikavanje dato saA : (x1, x2, x3) 7→ (x1, x2). Pokaºimo da je A linearan operator. Kao ²to smoranije vidjeli Rn, n = 2, 3 su vektorski prostori nad poljem realnih brojeva.Pokaºimo da je zadovoljen uslov linearnosti. Koristimo de�niciju operacijau Rn, n = 2, 3 i de�niciju preslikavanja A. S jedne strane je

A(α(x1, x2, x3) + β(y1, y2, y3)) = A(αx1 + βy1, αx2 + βy2, αx3 + βy3)

= (αx1 + βy1, αx2 + βy2),

a s druge

αA(x1, x2, x3) + βB(y1, y2, y3)) = α(x1, x2) + β(y1, y2)

= (αx1 + βy1, αx2 + βy2),

pa je o£igledno uslov zadovoljen.

Primjer 4.2. Neka je V = Rn, W = Rm i A ∈ Rm×n. De�ni²imo operatorA sa A(x) = Ax. Pri tome ure�enu k-torku (k = m,n) posmatramo kaomatricu formata 1 × k i desnu stranu de�nicije operatora A tuma£imo kaomnoºenje matrica. Imaju¢i na umu osobine mnoºenja matrica zaklju£ujemoda je ovako de�nisan operator linearan.

Upravo navedeni primjeri linearnih operatora su primjeri linearnih opera-tora de�niranih na kona£nodimenzionalnim prostorima i mi ¢emo u nastavkuisklju£ivo takve operatore i posmatrati.

6

4.2.Matrice i linearni operatori Doc. dr. Almasa Odºak

4.2 Matrice i linearni operatori

Primjer 4.2 nam u su²tini govori da svaka matrica predstavlja jedan linearanoperator. Prirodno je postaviti pitanje, da li i svakom linearnom operatorumoºemo pridruºiti neku matricu. Odgovor je potvrdan, me�utim, to pri-druºivanje nije obostrano jednozna£no. Naime, da bi operatoru jednozna£nopridruºili matricu neophodno je odabrati baze prostora V i W . Vidjet ¢emoda se promjenom baze u op²tem slu£aju mijenja i matrica pridruºena tomoperatoru. Jedan od vaºnih zadataka linearne algebre je upravo odabir bazatako da matrica pridruºena operatoru bude ²to jednostavnija.

Pridruºivanje matrice linearnom operatoru zasnovano je na £injenici daje za poznavanje djelovanja operatora dovoljno poznavati njegovo djelovanjena elementima baze.

Preciznije, neka je A : V → W linearni operator, dimV = n < ∞.Neka je {b1, b2, . . . , bn} baza prostora V . Proizvoljan elemenat x prostora Vmoºe biti napisan na jedinstven na£in kao linearna kombinacija elemenata

baze x =n∑j=1

αjbj. Koriste¢i osobinu (ii) linearnih operatora slijedi da je

A(x) =n∑j=1

αjA(bj). Dakle, A(x) je potpuno odre�eno sa A(bj), odnosno

linearan operator je u potpunosti odre�en djelovanjem na bazu.Neka je A : V → W , dimV = n < ∞, dimW = m < ∞, a BV =

{b1, b2, . . . , bn} i BW = {w1, w2, . . . , wm} baze prostora V i W , respektivno.Operator A elemente baze BV slika u neke elemente A(bj), j = 1, . . . , nprostora W , ti elementi mogu biti napisani u obliku linearne kombinacijeelemenata baze BW prostora W , to jeste, postoje skalari aij, i = 1, . . . ,m,j = 1, . . . , n takvi da je

A(bj) = a1jw1 + a2jwa + . . .+ amjwm (4.4)

za sve j = 1, . . . , n. Koriste¢i skalare aij formiramo ºeljenu matricu. Preciz-nije uvodimo sljede¢u de�niciju.

De�nicija 4.2. Neka je A : V → W , dimV = n < ∞, dimW = m <∞, a BV = {b1, b2, . . . , bn} i BW = {w1, w2, . . . , wm} baze prostora V i W ,respektivno. Matricu A = (aij)m×n, pri £emu su skalari aij dati relacijom(4.4), nazivamo matrica operatora A u odnosu na baze BV i BW .

Matrica iz prethodne de�nicije se £esto ozna£ava sa ABV ,BWili ABW

BV,

ukoliko ºelimo istaknuti u odnosu na koje baze prostora je data matrica A.

7


Djelovanje operatora A na element x prostora V koriste¢i matricu opera-tora moºe biti opisano mnoºenjem matrice ABW

BVoperatora A sa x. Pri tome

vektore x i y interpretiramo kao matrice fomrata n× 1 i m× 1, respektivno.

Naime, jedinstvenost prikaza elemenata x =n∑j=1

αjbj i A(x) = y =m∑i=1

βiwi

po datim bazama prostora i linearnost operatora A implicira da vrijedi

A(x) = A

(n∑j=1

αjbj

)=

n∑j=1

αjA(bj)

=n∑j=1

αj

m∑i=1

aijwi =m∑i=1

(n∑j=1

aijαj

)wi,

pa mora biti βi =n∑j=1

aijαj za sve i = 1, . . .m, a prema de�niciji mnoºenja

matrica to implicira da je ABWBV

x = y.De�nicija matrice linearnog operatora i upravo navedena razmatranja po-

kazuju da vrijedi sljede¢i teorem.

Teorem 4.1. Neka je A : V → W , dimV = n < ∞, dimW = m < ∞, aBV = {b1, b2, . . . , bn} i BW = {w1, w2, . . . , wm} baze prostora V i W , respek-tivno. Operatoru A se moºe pridruºiti jedinstvena matrica A = (aij)m×n £ijesu kolone koordinate vektora A(bj) u bazi BW i pri tome je A(x) = Ax 1.Tako�e, svakoj matrici Am×n odgovara samo jedan operator A koji djeluje naelemente prostora V dimenzije n i slika ih u elemente prostora W dimenzijem tako da vrijedi

(∀x ∈ V )(∃!y ∈ W )A(x) = Ax = y.

�injenica da je za poznavanje operatora dovoljno poznavati samo njegovodjelovanje na elemente baze ima jo² neke vaºne implikacije.

Ukoliko se djelovanje dva linearna operatora A i B s prostora V na prostorW podudara na elementima baze prostora V onda su operatori A i B jednaki.

Vrijedi i sljede¢i teorem.

Teorem 4.2. Neka su V i W kona£nodimenzionalni vektorski prostori nadpoljem F . Neka je dimV = n < ∞, {b1, b2, . . . , bn} baza prostora V i

1Kao i ranije prilikom mnoºenja matrica elemente x i y interpretiramo kao matrice

kolone.

8


(w1, w2, . . . , wn) ure�ena n-torka elemenata prostora W . Tada postoji je-dinstveni linearni operator A : V → W takav da je A(bi) = wi, i = 1, . . . , n.

Dokaz. Prvo dokaºimo egzistenciju linearnog operatora A. Neka je x pro-

izvoljan element prostora V , x =n∑i=1

αibi. Stavimo da je A(x) =n∑i=1

αiwi.

Pogodnim izborom skalara odmah zaklju£ujemo da je A(bi) = wi. Dokaºimo

linearnost. Neka je x, y ∈ V , x =n∑i=1

αibi, y =n∑i=1

βibi. Sada je

αx+ βy =n∑i=1

(ααi + ββi)bi,

i

A(x) =n∑i=1

αiwi, A(y) =n∑i=1

βiwi,

pa je

A(αx+ βy) =n∑i=1

(ααi + ββi)wi =n∑i=1

(ααiwi + ββiwi)

=n∑i=1

ααiwi +n∑i=1

ββiwi = αn∑i=1

αiwi + βn∑i=1

βiwi

= αA(x) + βA(y).

Dakle, egzistencija linearnog operatora A je dokazana. Dokaºimo i jedins-tvenost. Pretpostavimo da postoji i linearan operator B : V → W takav daje B(bi) = wi, za sve i = 1, . . . , n. Sada je

B(x) = B

(n∑i=1

αibi

)=

n∑i=1

αiB(bi) =n∑i=1

αiwi = A(x).

Dakle, A = B, pa je jedinstvenost operatora A dokazana.

Zna£aj upravo dokazanog teorema se ogleda u tome da za zadanu bazuprostora V postoji jedinstven linearan operator A : V → W koji ¢e elementete baze preslikati u zadate, po volji odabrane vektore prostora W .

9

4.3.Promjena baze i matrica operatora Doc. dr. Almasa Odºak

4.3 Promjena baze i matrica operatora

U prethodnom odjeljku smo vidjeli da matrica operatora direktno zavisi odizbora baza prostora na kojima operator djeluje. Pitanje koje se prirodnoname¢e je kako uspostaviti vezu matrica nekog operatora pri razli£itim iz-borima baza. Da bismo odgovorili na ovo pitanje prvo ¢emo vidjeti kakouspostaviti vezu izme�u koordinata nekog vektora datih u dvije baze jednogprostora.

Neka je V vektorski prostor diomenzije n <∞. Neka suBV = {b1, b2, . . . , bn}i B′V = {b′1, b′2, . . . , b′n} dvije baze tog prostora. Kaºemo da je BV stara, aB′V nova baza. Proizvoljan element x ∈ V ima reprezentaciju i u jednoj i udrugoj bazi, to jeste

x =n∑j=1

αjbj =n∑j=1

α′jb′j.

Da bi oderedili vezu izme�u komponenti vektora x u dvjema datim repreze-natcija prvo ¢emo prona¢i vezu vektora jedne i druge baze. Naime, vektoreBV moºemo razloºiti po vetorima baze B′V i obratno. Neka je

b′1 = p11b1 + p21b2 + . . .+ pn1bn

b′2 = p12b1 + p22b2 + . . .+ pn2bn...b′n = p1nb1 + pn2b2 + . . .+ pnnbn,

odnosno

b1 = q11b′1 + q21b

′2 + . . .+ qn1b

′n

b2 = q12b′1 + q22b

′2 + . . .+ qn2b

′n

...bn = q1nb

′1 + qn2b

′2 + . . .+ qnnb

′n.

Koe�cijenti iz prethodnih relacija formiraju matrice

P =

p11 p12 · · · p1np21 p22 · · · p2n...

......

pn1 pn2 · · · pnn

, Q =

q11 q12 · · · q1nq21 q22 · · · q2n...

......

qn1 qn2 · · · qnn

. (4.5)

10


Matrica P se naziva matricom prelaza sa stare na novu bazu, matrica Qmatricom prelaza sa nove na staru bazu.

Vezu me�u uvedenim matricama prelaza i koordinatama datog vektora urazli£itim bazama iskazat ¢emu u vidu sljede¢ih teorema.

Teorem 4.3. Neka je V vektorski prostor diomenzije n < ∞. Neka suBV = {b1, b2, . . . , bn} i B′V = {b′1, b′2, . . . , b′n} dvije baze tog prostora. Zamatrice prelaza P i Q date sa (4.5) vrijedi PQ = QP = E.

Dokaz. Dokaz slijedi direktnom primjenom razlaganja vektora jedne bazepreko druge baze, zamjenom redoslijeda sumiranja u kona£nim sumama iprimjenom de�nicije mnoºenja matrica, kao i £injenice da su vektori bazelinearno nezavisni. Linearna nezavisnost nam tako�e govori da matrica sa-£injena od kolona £iji su elementi komponente vektora baze je matrica pu-nog ranga, pa je ona regularna. Proizilazi da su matrice P i Q me�usobnoinverzne.

Teorem 4.4. Neka je V vektorski prostor dimenzije n <∞. Neka su BV ={b1, b2, . . . , bn} i B′V = {b′1, b′2, . . . , b′n} dvije baze tog prostora i P matrica

prelaza sa baze BV na bazu B′V . Neka za x ∈ V vrijedi x =n∑j=1

αjbj =n∑j=1

α′jb′j.

Tada je α′ = P−1α, pri £emu je α =

α1

α2...αn

i α′ =

α′1α′2...α′n

.

Dokaz. Koristimo jedinstvenost prikaza elemenata vektorskog prostora u pro-izvoljno odabranoj bazi i reprezentaciju vektora nove baze pomo¢u vektorastare baze. Zaista,

x =n∑j=1

α′jb′j =

n∑j=1

α′j

(n∑i=1

pijbi

)=

n∑i=1

(n∑j=1

α′jpij

)bi.

i x =n∑i=1

αibi implicira da je αi =n∑j=1

α′jpij za sve i = 1, . . . , n, odnosno

matri£no zapisano α = Pα′, ili zbog regularnosti matrice prelaza u oblikuα′ = P−1α, ²to je i trebalo dokazati.

Pre�imo sada na osnovni zadatak ovog odjeljka, a to je razmatranje vezematrica pridruºenih nekom operatoru pri izboru razli£itih baza.

11


Neka je A : V → W linearan operator, dimV = n < ∞, dimW = m <∞. Neka su BV = {b1, b2, . . . , bn} i B′V = {b′1, b′2, . . . , b′n} baze prostora Vi PV matrica prelaza sa baze BV na bazu B′V , a BW = {w1, w2, . . . , wm} iB′W = {w′1, w′2, . . . , w′m} baze prostora W s matricom prelaza PW sa bazeBW na bazu B′W . Neka je A matrica operatora A u odnosu na baze BV iBW , a matrica A′, matrica tog operatora u odnosu na baze B′V i B′W . Neka

je y = A(x), x =n∑j=1

αjbj =n∑j=1

α′jb′j i y =

m∑i=1

βiwi =n∑i=1

β′iw′i, i neka su kao i

ranije α, α′, β i β′ matrice kolone sa£injene od odgovaraju¢ih koe�cijenata.Prema dosada²njim razmatranjima, koriste¢i matri£ne zapise, zaklju£u-

jemo da vrijedi

β = Aα, β′ = A′α′,

α′ = P−1V α, β′ = P−1W β,

²to impliciraP−1W β = A′(P−1V α),

pa je daljeβ = PW (A′(P−1V α)).

Primjenom osobina mnoºenja matrica dobijamo da je

β = (PWA′P−1V )α.

Posljednja jednakost i jednakost β = Aα impliciraju da je

A = PWA′P−1V , (4.6)

odnosnoA′ = P−1W APV .

Napomenimo da smo ustanovili da su matrrice prelaza regularne, pa postojenjihove inverzne matrice.

Dakle, dokazali smo teorem.

Teorem 4.5. Neka je A : V → W linearan operator, dimV = n < ∞,dimW = m < ∞. Neka su BV = {b1, b2, . . . , bn} i B′V = {b′1, b′2, . . . , b′n}baze prostora V i PV matrica prelaza sa baze BV na bazu B′V , a BW ={w1, w2, . . . , wm} i B′W = {w′1, w′2, . . . , w′m} baze prostora W s matricom pre-laza PW sa baze BW na bazu B′W . Ako je matrica A matrica operatora A uodnosu na baze BV i BW , tada je matrica A′ operatora A, u odnosu na bazeB′V i B′W , data sa A′ = P−1W APV .

12

4.4.Jezgro i slika linearnog operatora Doc. dr. Almasa Odºak

Specijalno moºemo posmatrati situaciju kada je V = W , pa je BV = BW ,B′V = B′W i PV = PW . Neposredno iz prethodnog teorema slijedi da vrijediposljedica.

Posljedica 4.6. Neka je A : V → V linearan operator, dimV = n < ∞.Neka su BV = {b1, b2, . . . , bn} i B′V = {b′1, b′2, . . . , b′n} baze prostora V i PV

matrica prelaza sa baze BV na bazu B′V , a A matrica operatora A u odnosuna bazu BV . Tada je matrica A′ operatora A u odnosu na bazu B′V data saA′ = P−1V APV

Prethodna posljedica je motivacija za uvo�enje pojma sli£nih matrica.

De�nicija 4.3. Za matrice A,B ∈ Rn×n kaºemo da su sli£ne ukolio postojiregularna matrica P ∈ Rn×n tako da vrijedi

B = P−1AP.

Pi²emo A ' B.

Neke od osobina relacije sli£nosti za matrice su sljede¢e.

• Relacija sli£nosti za matrice je relacija ekvivalencije na skupu kvadrat-nih matrica reda n.

• Sli£ne matrice imaju jednake determinante.

• Sli£ne matrice imaju jednak rang.

Vidjet ¢emo u nastavku da se sli£ne matrice koriste u postupku dijagonali-zacije.

4.4 Jezgro i slika linearnog operatora

Iz same de�nicije linearnog operatora A ∈ L(V,W ) slijedi da su V i Wvektorski prostori. Neki njihovi potprostori su posebno zna£ajni.

Uvedimo pojmove jezgra i slike linearnog operatora.

De�nicija 4.4. Neka je A ∈ L(V,W ). Skup

Im(A) = {y ∈ W : (∃x ∈ V )A(x) = y}

nazivamo slikom operatora A.

13

4.5.Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori Doc. dr. Almasa Odºak

De�nicija 4.5. Neka je A ∈ L(V,W ). Skup

Ker(A) = {x ∈ V : A(x) = 0W}

nazivamo jezgrom operatora A.

U prethodnoj de�nicji sa 0W smo ozna£ili neutralni element u vektorskomprostoru W .

Koriste¢i de�niciju vektorskog podprostora odmah slijedi sljede¢a tvrdnja.

Teorem 4.7. Neka je A ∈ L(V,W ). Im(A) je podprostor prostora W , aKer(A) podprostor prostora V .

Svaki podprostor je u su²tini vektorski prostor, pa moºemo govoriti onjegovoj dimenziji. Uvodimo sljede¢e pojmove.

De�nicija 4.6. Neka je A ∈ L(V,W ). Dimenzija vektorskog prostora Im(A)naziva se rangom operatora A i ozna£ava se sa r(A). Dimenzija vektorskogprostora Ker(A) naziva se defektom operatora A i ozna£ava se sa d(A).

Vaºan rezultat o defektu i rangu dat je sljede¢om teoremom.

Teorem 4.8. Neka je A ∈ L(V,W ). Vrijedi r(A) + d(A) = dimV.

4.5 Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori

Vaºan alat u postupku dijagonalizacije, o kojem ¢emo govoriti u narednomodjeljku, su svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori. Ovdje uvodimo tepojmove i njihove najzna£ajnije osobine.

Posmatrat ¢emo samo operatore koji djeluju na nekom kona£no-dimen-zionalnom vektorskom prostoru i imaju vrijednosti u istom tom prostoru.

De�nicija 4.7. Neka je V kona£no-dimenzionalan vektorski prostor nad po-ljem F , dimV = n <∞ i A : V → V linearan operator. Skalar λ ∈ F nazivase svojstvenom vrijedno²¢u operatora A ako postoji nenulti vektor x ∈ V ta-kav da je

A(x) = λx. (4.7)

Nenulti vektor koji zadovoljava (4.7) naziva se svojstvenim vektorom kojiodgovara svojstvenoj vrijednosti λ. Skup svih svojstvenih vrijednosti operatoraA naziva se spektar operatora.

14


Umjesto pojma svojstveni iz prethodne de�nicije koriste se i pojmovisopstveni, karakteristi£ni i vlastiti.

Treba napomenudi da se prethodnom de�nicijom de�niraju svojstvenivektori i svojstvene vrijednosti operatora. Imaju¢i na umu korespondencijulinearnih operatora i matrica, analogno uvedenoj de�niciji uvode se i pojmovisvojstvenih vrijednosti i vektora kvadratne matrice. Odre�ivanje svojstvenihvrijednosti i svojstvenih vektora za dati operator £esto se naziva i rje²avanjemproblema svojstvenih vrijednosti datog operatora.

Iz de�nicije 4.7 moºemo zaklju£iti da su zadovoljene sljede¢e osobine.

(i) Ukoliko je nenulti vektor x svojstveni vektor operatora A sa svojstve-nom vrijedno²¢u λ, onda je i αx (α ∈ F ) svojstveni vektor sa istom tomsvojstvenom vrijedno²¢u. Zaista, A(αx) = αA(x) = α(λx) = λ(αx).

(ii) Ukoliko su nenulti vektori x i y svojstveni vektori operatora A sa svoj-stvenom vrijedno²¢u λ, onda je i αx+ βy (α, β ∈ F ) svojstveni vektorsa istom tom svojstvenom vrijedno²¢u ukoliko je on razli£it od nulavektora. Zaista, A(αx + βy) = αA(x) + βA(y) = α(λx) + β(λy) =λ(αx+ βy).

Obzirom da se prema de�niciji zahtjeva da svojstveni vektor bude nenultivektor, islju£enje tog vektora u osobini (ii) uzrokuje da skup svih svojstvenihvektora koji odgovaraju istoj svojstvenoj vrijednosti λ ne obrazuje vektorskiprostor. No, ako tom skupu dodamo nula vektor, tada ¢e on postati vektorskipodprostor prostora V . Ovaj podprostor se naziva svojstvenim podprostoromoperatora A koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ i ozna£ava se sa Eλ.

Ovaj podprostor se moºe dobiti i ne²to druga£ije. Naime, relacija (4.7)se moºe napisati i ne²to druga£ije

(A− λE)x = 0, (4.8)

pri £emu smo sa E ozna£ili identi£ni operator, to jeste operator koji svakielement prostora V slika u samog sebe. Sada proizilazi da je Eλ = Ker(A−λE). Kako smo ve¢ napomenuli skup svih linearnih operatora je vektorskiprostor, pa je linearna kombinacija linearnih operatora linearan operator, paima smisla posmatrati jezgro tog operatora.

Posljednja razmatranja nam daju i na£in na koji moºemo rje²avati pro-blem svojstvenih vrijednosti. Naime, svojstveni vektor x je nenulti vektor

15


koji zadovoljava homogeni sistem jedna£ina odre�en sa (4.8), ukoliko isko-ristimo jednozna£nu korespondenciju matrica i operatora u slu£aju kada jeizabrana baza posmatranog prostora. Neka operatoru A odgovara matricaA = (aij)n×n u nekoj proizvoljno odabranoj, ali �ksiranoj bazi. Identi£nomoperatoru odgovara jedini£na matrica, pa operatoru A−λE odgovara matricaA− λEn. Kao i ranije, u matri£nom zapisu ¢emo vektor x pisati kao vektorkolonu. Da bi sistem (A− λEn)x = 0 imao netrivijalno rje²enje potrebno jeda je determinanta sistema bude jednaka nula, to jeste∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 − λ a12 · · · a1na21 a22 − λ · · · a2n...

......

an1 an2 · · · ann − λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0. (4.9)

Ukoliko determinantu iz (4.9) razvijemo dobijamo polinom n-tog stepena poλ. Vode¢i koe�cijent tog polinoma je (−1)n.

Determinanta iz (4.9) se naziva karakteristi£nim polinomom matrice A,a odgovaraju¢a jedna£ina karakteristi£nom jedna£inom.

Razmotrimo sada kako se mijenja jedna£ina (4.9) kada se mijenja matricaposmatranog operatora, odnosno baza prostora na kojem on djeluje.

Neka su matrice A i B matrice datog opereatora u dvije baze prostorana kojem djeluje dati operator. To su sli£ne matrice, pa postoji regularnamatrica P takva da je B = P−1AP. Sada koriste¢i osobine matrica i deter-minanti slijedi da je

det(B− λEn) = det(P−1AP− λEn)

= det(P−1AP−P−1λEnP)

= det(P−1(A− λEn)P)

= det(P−1)det(A− λEn)det(P)

= det(A− λEn).

Dakle, zaklju£ujemo da jedna£ina (4.9) ostaje nepromijenjena pri promjenibaze prostora V .

Obzirom na navedeno, determinanta iz (4.9) se naziva i karakteristi£nimpolinomom operatora A, dok se odgovaraju¢a jedna£ina naziva karakteristi£-nom jedna£inom.

16


Dakle, da bi odredili svojstvene vrijednosti operatora A potrebno je idovoljno da rije²imo karakteristi£nu jedna£inu. Da bismo to uradili potrebnoje izra£unati determinatnu n-tog reda i odrediti nule polinoma n-tog stepena.Oba ova problema s prakti£nog aspekta su zahtjevna za ve¢e vrijednostin. Treba napomenuti da posmatrana determinanta sadrºi pored numeri£kihvrijednosti i varijablu λ, ²to oteºava ra£un. Koristimo li razvoj determinantepotrebno je ra£unati veliki broj poddeterminanti. Tako�e, za traºenje nulapolinoma n-tog stepena ne postoje esplicitne formule za n > 4.

Dodatno, napomenimo da, u op²tem slu£aju, karakteri²ti£na jedna£inasa koe�cijentima iz polja F , ne mora uvijek imati rje²enje u tom polju. Uspecijalnom, naj£e²¢e kori²tenom, slu£aju poljem realnih brojeva, karakteris-ti£na jedna£ina ne mora imati rje²enja koja su realni brojevi. Obzirom danam osnovni stav algebre garantuje da polinom n-tog stepena ima ta£no nnula u skupu kompleksnih brojeva, uzimaju¢i u obzir njihovu vi²estrukost,pri rje²avanju problema svojstvenih vrijednosti koristi se polje kompleksnihbrojeva. Slijedi da, u slu£aju F = C, karakteristi£na jedna£ina ima oblik

(−1)n(λ− λ1)n1(λ− λ2)n2 . . . (λ− λr)nr = 0,

gdje su λ1, . . . , λr razli£ite svojstvene vrijednosti, a n1, . . . , nr njihove vi²es-trukosti, respektivno, n1 + . . . + nr = n. Ovaj prelaz na skup kompleksnihbrojeva garantuje da svaki linearan operator A ima barem jednu svojstvenuvrijednost, ²to ne mora biti slu£aj ako se ograni£imo na skup realnih brojeva.Bez obzira na navedenu prednost vektorskih prostora nad poljem kompleks-nih brojeva u nekim primjenama neophodno je posmatrati vetorske prostorenad poljem realnih brojeva. U tom slu£aju moºemo se susresti sa situacijomu kojoj linearnan operator nema svojstvenih vrijednosti.

Za odre�ivanje svojstvenih vektora datog operatora za datu svojstvenuvrijednost λ = λ0 treba uvrstiti datu vrijednost u homogeni sistem (4.8).Obzirom na izbor vrijednosti λ sistem ima netrivijalna rje²enja, ima ih be-skona£no mnogo, ²to je u skladu sa osobinom (ii) svojstvenih vektora. Trebajo² napomenuti, da u slu£aju kada odaberemo F = C, svojstvene vrijednostimogu biti kompleksni brojevi, pa to mogu biti i komponenete svojstvenihvektora.

Jedna vaºna osobina karakteristi£nog polonima operatora data je Cayley-Hamiltonovim teoremom. Navest ¢emo ga bez dokaza.

Teorem 4.9. Neka je P (A) karakteristi£ni polinom linearnog operatora A :V → V . Tada je P (A) nula-operator.

17


Obzirom na ranija razmatranja moºe se zaklju£iti da prethodni teoremmoºe biti formuliran i dokazan i za matrice. Dakle, matrica A zadovoljavasvoj karakteristi£ni polinom.

Na kraju ovog odjeljka dokazat ¢emo jednu vaºnu osobinu svojstvenihvektora.

Teorem 4.10. Neka je V vektorski prostor, dimV = n i A : V → V linearanoperator. Neka su λ1, . . . , λr razli£ite svojstvene vrijednosti operatora A, ax1, . . . , xr njima pridruºeni svojstveni vektori, respektivno. Skup {x1, . . . , xr}je linearno nezavisan.

Dokaz. Dokaz ¢emo izvesti koriste¢i princip matemati£ke indukcije po brojur razli£itih svojstvenih vrijednosti. U slu£aju r = 1 tvrdnja je o£iglednota£na, jer posmatramo jednoelementan skup i po de�niciji svojstveni vektorje nenulti vektor.

Pretpostavimo sada da tvrdnja vrijedi za r−1 i dokaºimo da vrijedi za r.

Posmatrajmor∑i=1

αixi = 0. Treba pokazati da je αi = 0 za sve i = 1, . . . , r.

Djelovanjem operatora A na sumu iz prethodne jednakosti dobijamo

A

(r∑i=1

αixi

)=

r∑i=1

αiA(xi) =r∑i=1

αiλixi,

pa jer∑i=1

αiλixi = 0, odnosno nakon oduzimanja posljednje i po£etne jedna-

kosti pomnoºene sa λr dobijamor∑i=1

αiλixi −r∑i=1

αiλrxi = 0

r−1∑i=1

αi(λi − λr)xi = 0.

Obzirom da su prema induktivnoj pretpostavci vektori {x1, . . . , xr−1} line-arno nezavisni, to slijedi da je αi(λi − λr) = 0 za sve i = 1, . . . , r − 1. Popretpostavci su svojstvene vrijednosti me�usobno razli£ite, pa je λi 6= λr zai = 1, . . . , r− 1. Slijedi da mora biti αi = 0 za sve i = 1, . . . , r− 1. No, sadase po£etna suma reducira na αrxr = 0, a po²to su svojstveni vektori nenultivektori, slijedi da mora biti αr = 0. Dakle, prema principu matemati£keindukcije tvrdanja teorema vrijedi.

18

4.6.Dijagonalizacija Doc. dr. Almasa Odºak

4.6 Dijagonalizacija

Kako smo ve¢ napomenuli matrica nekog operatora zavisi od izbora bazaprostora na kojim operator djeluje. Jedan od vaºnih zadataka je odre�ivanjepogodne baze tako da matrica operatora bude ²to jednostavnija. Odgovorna pitanje koliko jednostavnu matricu je mogu¢e dobiti za dati operator nijejednostavno unaprijed dati. No, imaju¢i na umu da je ra£un sa dijagonalnimmatricama znatno jednostavniji od onog sa proizvoljnim matricama, moºemozaklju£iti da bi bilo zna£ajno odrediti bazu prostora za koju je matrica opera-tora dijagonalna, ukoliko takva postoji. Postupak kojim se datom operatorupridruºuje dijagonalna matrica se naziva postupkom dijagonalizacije opera-tora. Za operator kojem se moºe pridruºiti dijagonalna matrica kaºe se dase moºe dijagonalizirati.

Razmotrimo jednu direktnu posljedicu teorema 4.10. Posmatrajmo line-aran operator A : V → V , koji djeluje na kona£no-dimenzionalnom prostoruV , dimV = n. Ukoliko operator A ima n razli£itih svojstvenih vrijednosti,tada je skup od n njima odgovaraju¢ih svojstvenih vektora nezavisan, pa uprostoru dimenzije n £ini bazu. Slijedi, koriste¢i de�niciju svojstvenih vek-tora, da je matrica operatora A, u toj bazi sastavljenoj od svojstvenih vek-tora dijagonalna. Dodatno, elementi na dijagonali su svojstvene vrijednostioperatora.

Odavde slijedi da se operator koji ima n nezavisnih svojstvenih vektoramoºe dijagonalizirati. Pokazuje se da vrijedi i obrnuta tvrdnja. Preciznije,vrijedi sljede¢i teorem, kojeg navodimo bez dokaza.

Teorem 4.11. Linearni operator se moºe dijagonalizirati ako i samo akopostoji baza koja se sastoji od njegovih svojstvenih vektora.

Ovdje treba napomenuti da operator koji ima n razli£itih svojstvenihvrijednosti ima i n razli£itih svojstvenih vektora, koji su prema teoremu 4.10linearno nezavisni, pa se prema teoremu 4.11 moºe dijagonalizirati. No, uslovrazli£itosti svojstvenih vrijednosti nije potreban, mogu¢e je da operator samanje od n razli£itih svojstvenih vrijednosti ima n nezavisnih svojstvenihvektora i da se moºe dijagonalizirati.

Karakteristike dijagonalne matrice i matrice prelaza pri dijagonalizacijidate su sljede¢im teoremom.

Teorem 4.12. Neka je operator A dat matricom A ∈ Rn×n i neka se moºedijagonalizirati. Elementi na glavnoj dijagonali dijagonalne matrice A′ su

19

4.6.Dijagonalizacija Doc. dr. Almasa Odºak

svojstvene vrijednosti operatora A (odnosno matrice A). Matrica prelaza Pna bazu sa£injenu od svojstvenih vektora je matrica £ije su kolone formiraneod komponenti svojstvenih vektora.

Navedena razmatranja nam daju i postupak kojim se vr²i dijagonalizacijaoperatora A kojem je pridruºena matrica operatoraA. Dakle, prvo odredimosvojstvene vrijednosti operatora rje²avaju¢i karakteristi£nu jedna£inu, zatimza svaku od svojstvenih vrijednosti rje²avanjem odgovaraju¢eg homogenogsistema jedna£ina odredimo pridruºene svojstvene vektore. Ukoliko postojin linearno nezavisnih svojstvenih vektora operator se moºe dijagonalizirati.Matricu prelaska P s date baze na bazu sa£injenu od svojstvenih vektora for-miramo tako ²to komponente svojstvenih vektora pi²emo kao kolone matriceprelaza. Matrica A′ operatora A u novoj bazi je dijagonalna matrica £iji suelementi na dijagonali svojstvene vrijednosti, to jeste

A′ = P−1AP =

λ1 0 . . . 00 λ2 0... . . . ...0 0 . . . λn

.

Treba napomenuti da se pojam dijagonalazicije nekada uvodi samo zamatrice bez referiranja na odre�eni operator. No rezultati su potpuno ana-logni, a formalni prelazak se izvodi koriste¢i operator odre�en matricom kaou primjeru 4.2.

Jedna od primjena dijagonalizacije matrice je primjena na ra£unanje ste-pena matrice. Naime, kako smo vidjeli, postupak mnoºenja matrica, pa istepenovanja, zahtijeva izvr²enje velikog broja ra£unskih operacija. No, uslu£aju dijagonalnih matrica postupak je vrlo jednostavan.

20




� predavanja �

Sarajevo, decembar 2014.

Sadrºaj

Sadrºaj ii

1 Uvod 1




5 Vektorska algebra 5

5.1 Orjentisane duºi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65.2 Modul, pravac i smjer vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.3 Sabiranje vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95.4 Mnoºenje vektora skalarom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.5 Kolinearni i komplanarni vektori . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.6 Koordinatizacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.7 Skalarni proizvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.8 Vektorski proizvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.9 Mje²oviti proizvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

POGLAVLJE 5

Vektorska algebra

U ovom poglavlju prou£avat ¢emo jedan specijalni vektorski prostor - pros-tor vektora u trodimenzionalnom prostoru elementarne geometrije. Smatrat¢emo poznatim osnovne pojmove geometrije, kao i neke tvrdnje koje ih ka-rakteri²u.

Skup svih ta£aka trodimenzionalnog prostora ozna£avat ¢emo sa E (ili E3,da naglasimo da je rije£ o trodimenzionalnom prostoru, u tom slu£aju sa E2ozna£avamo ravan, a sa E1 pravu).

Poznato je da su dvije osnovne kategorije �zikalnih veli£ina skalarne ivektorske veli£ine. Za poznavanje skalarne veli£ine dovoljno je poznavatinjen iznos, dok je za poznavanje vektorske veli£ine potrebno pored iznosa,znati i pravac i smijer. Primjeri vektorskih veli£ina su brzina, ubrzanje, sila,impuls. Tako�e neke geometrijske transformacije, poput translacije, mogubiti opisane pomo¢u vektora. Ovi, kao i mnogi drugi, primjeri ukazuju navaºnost ovog specijalnog vektorskog prostora.

Uobi£ajeno se vektor zami²lja kao duº sa strelicom, no matemati£ki is-pravna de�nicija je znatno sloºenija. U nastavku ¢emo precizno de�nirativektor, ukazati na njegovu vezu sa usmjerenom duºi i prou£avati osnovneoperacije sa vektorima. Tako�e ¢emo uo£iti obostrano jednozna£nu kores-pondenciju vektora trodimenzionalnog prostora sa skupom R3.

5.1.Orjentisane duºi Doc. dr. Almasa Odºak

5.1 Orjentisane duzi

Uobi£ajena intuitivna predodºba vektora kao �duºi sa strelicom� vi²e od-govara pojmu usmjerene ili orjentisane duºi nego pojmu vektora. Pojamusmjerene duºi uvodimo sljede¢om de�nicijom.

De�nicija 5.1. Neka su A i B bilo koje ta£ke prostora E. Ure�en par na-zivamo usmjerena duº (to jeste, element skupa E × E). Ta£ku A zovemopo£etnom, a ta£ku B krajnjom ta£kom usmjerene duºi.

Usmjerenu duº ozna£avat ¢emo sa−→AB, pridruºujemo joj duº AB i pri

crtanju stavljamo strelicu. Iz de�nicije odmah slijedi da−→AB i

−→BA nisu iste

usmjerene duºi kad god je A 6= B.Koriste¢i pojam usmjerene duºi de�nira se pojam vektora. Intuitivno, to

je skup svih paralelnih usmjerenih duºi jednake duºine.Za precizno de�niranje vektora, uvodimo sljede¢u relaciju na skupu svih

usmjerenih duºi u E × E , taj skup ozna£imo sa D.

De�nicija 5.2. Za usmjerene duºi−→AB i

−−→CD kaºemo da su ekvivalentne ako

duºi AD i BC imaju zajedni£ko sredi²te. Pi²emo−→AB ∼

−−→CD.

Mogu¢e su dvije situacije:

(a) Ta£ke A, B, C i D leºe na istom pravcu.

(b) Ta£ke A, B, C i D ne leºe na istom pravcu.

Primijetimo da u situaciji (b) posmatrane ta£ke £ine £etverougao ABDC, kojije paralelogram. Sjetimo se da je paralelogram £etverougao kojem oba parasuprotnih stranica leºe na paralelnim pravima. Pokazuje se da je £etverougaoparalelogram akko se dijagonale tog £etverougla polove.

Ova razmatranja, kao i prethodna de�nicija dovode nas do zaklju£ka dasu usmjerene duºi

−→AB i

−−→CD ekvivalentne akko je £etverougao ABDC para-

lelogram ili ta£ke A, B, C i D leºe na istoj pravoj i pri tom duºi AD i BCimaju zajedni£ko polovi²te.

Napomenimo da smo prethodna razmatranja proveli u slu£aju trodimen-zionalnog prostora E ×E = E3×E3, analogno vrijedi i za E2×E2 ili E1×E1.

Koriste¢i £injenicu da za duºi poredak krajnjih ta£aka nije bitan, interpre-taciju relacije ∼ pomo¢u paralelograma i osobine relacije paralelnosti moºese pokazati da relacija ∼ na skupu D zadovoljava osobinu re�eksivnosti, si-meri£nosti i tranzitivnosti. Dakle, vrijedi teorem.

6

5.1.Orjentisane duºi Doc. dr. Almasa Odºak

Teorem 5.1. Relacija ∼ je relacija ekvivalencije na skupu usmjerenih duºiD.

�injenica da svaka relacija ekvivalencije odre�uje klase ekvivalencije, koje£ine particiju skupa na kojem je de�nirana posmatrana relacija omogu¢avanam uvo�enje pojma vektora kao u sljede¢oj de�niciji.

De�nicija 5.3. Vektor je klasa ekvivalencije po relaciji ∼ na skupu D.1

Skup svih vektora trodimenzionalnog prostora ozna£avat ¢emo sa V 3.Klasu ekvivalencije odre�enu sa

−→AB ozna£avat ¢emo [

−→AB] ili [

−→AB]∼, tj.

[−→AB] = {

−→PQ ∈ D :

−→PQ ∼

−→AB}.

Jasno,−→AB ∈ [

−→AB], kaºemo da je

−→AB predstavnik ili reprezentant vektora

[−→AB].

Vektore ozna£avamo malim slovima ~a,~b,~c, . . . , ~x, ~y, ~z, . . .Napomenimo da je potpuno analogno situacija i za dvodimenzionalni i

jednodimenzionalni slu£aj. U slu£aju da smo krenuli od E2 ili E1 umjesto E3potpuno analogno bi dobili skupove vektora V 2 i V 1. Za elemente skupa V 2

kaºemo da su vektori ravni, a za elemente skupa V 1 da su vektori na prevoj.Poznato je da su elementi jedne klase ekvivalencije me�usobno ravno-

pravni u smislu da svaki od njih moºe biti izabran za predstavnika klase.Prilikom prou£avanja vektora i njihove upotrebe korisno je birati predstav-nike koji imaju po£etak u zadatoj ta£ci. O mogu¢nosti izbora takvog pred-stavnika nam govori sljede¢i teorem.

Teorem 5.2. Neka je ~a = [−→AB] i C ∈ E. Tada postoji jedinstvena ta£ka

D ∈ E takva da je ~a = [−−→CD].

Dokaz. Posmatrat ¢emo dvije mogu¢e situacije, kada ta£ka C leºi na pravojodre�enoj ta£kama A i B i kada ne leºi na toj pravoj. U prvom slu£ajuta£ka D je jedinstvena ta£ka na pravoj odre�enoj ta£kama A i B takva daduºi AD i BC imaju zajedni£ko sredi²te. Razmotrimo drugi slu£aj. Postojijedinstvena prava koja je paralelna pravoj odre�enoj ta£kama A i B i prolazita£kom C. Ozna£imoje sa p. Tako�e postoji jedinstvena prava koja prolazita£kom B, a paralelna je sa pravom odre�enom ta£kama A i C. Ozna£imo jesa q. Presjek pravih p i q je ta£ka D. Jedinstvenost ta£ke slijedi iz rezultata

1Treba napomenuti da postoje i drugi na£ini de�niranja vektora.

7

5.2.Modul, pravac i smjer vektora Doc. dr. Almasa Odºak

euklidske geometrije. Po konstrukciji £etverougao ABDC je paralelogram,pa je

−−→CD ∼

−→AB. Dakle,

−−→CD moºe biti izabran za predstavnika vektora

~a.

Posmatrajmo vektor koji je odre�en predstavnikom £ija se po£etna i kraj-nja ta£ka poklapaju. Dakle, razmotrimo situaciju [

−→AA]. Neka

−−→CD ∈ [

−→AA],

tada je−→AA ∼

−−→CD i duºi AD i AC imaju zajedni£ko sredi²te, a to je mogu¢e

samo ako je D = C, pa je [−→AA] = {

−→CC : C ∈ E}. Ovaj vektor nazivamo

nulavektorom i pi²emo ~0.Za ~a = [

−→AB], de�niramo −~a kao vektor s predstavnikom

−→BA. Jednos-

tavno se pokaºe da−→BA 6∈ [

−→AB] kada je A 6= B. Vektor −~a nazivamo suprot-

nim vektorom vektora ~a. Jednostavno se zaklju£uje da vrijedi −(−~a) = ~a.Pojmovi nulavektor i suprotni vektor asociraju na sli£ne pojmove nula

element i suprotni element koji se uvode u prou£avanju algebarskih struktura.Pokazat ¢emo, ne²to kasnije, da to i jesu neutralni i suprotni elemenat datogelementa u odnosu na operaciju sabiranja vektora.

5.2 Modul, pravac i smjer vektora

U ovom odjeljku ¢emo pokazati da svaki vektor moºe biti okarakterisan sasvoja tri osnovna svojstva, modulom, pravcem i smjerom.

Jasno je da svakoj usmjerenoj duºi moºemo pridruºiti duº zanemariva-njem usmjerenja. Duºina usmjerene duºi je duºina njoj pridruºene duºi. Po-kazat ¢emo da dvije usmjerne duºi koje su predstavnici istog vektora imajuistu duºinu. Neka je

−→AB,

−−→CD ∈ ~a. Ako su A, B, C i D kolinearne ta£ke, iz £i-

njenice da AD i BC imaju zajedni£ko sredi²te S, slijedi da vrijede jednakosti|AS| = |SD|, |BS| = |SC|, pa je |AB| = |AS|− |SB| = |SD|− |SC| = |CD|(U prethodnim relacijama |MN | ozna£ava duºinu duºi MN). Dakle, duºineduºi AB i CD su jednake. Ako A, B, C i D nisu kolinearne, onda je ABDCparalelogram, pa je |AB| = |CD|. Dakle, dvije usmjerene duºi iz ~a imajuiste duºine. Pod modulom ili intenzitetom vektora ~a podrazumijevamo du-ºinu predstavnika

−→AB vektora ~a. Pokazali smo da svi predstavnici imaju

istu duºinu pa je pojam modula vektora dobro de�niran. Jasno je da vrijedi∣∣∣~0∣∣∣ = 0.

Ako je ~a 6= ~0 i−→AB ∈ ~a, tada ta£ke A i B odre�uju ta£no jednu pravu

koju nazivamo nosa£em usmjerene duºi. Ako je−−→CD neki drugi predstavnik

8

5.3.Sabiranje vektora Doc. dr. Almasa Odºak

posmatranog vektora ~a, tada i ta£ke C i D odre�uju jednu i samo jednupravu. Kako je

−→AB ∼

−−→CD, to su A, B, C, D kolinearne ili £ine paralelogram

ABDC. U oba slu£aja prave su paralelne, pa odre�uju isti pravac paralelnihpravih, kojeg nazivamo pravcem vektora ~a. Ako je ~a = ~0, tada je

−→AB njegov

predstavnik samo za A = B, ali tada kroz jednu ta£ku prolazi beskona£nomnogo pravih, pa kaºemo da pravac nula vektora nije odre�en.

Za dva vektora kaºemo da su kolinearni ako imaju isti pravac. Dogovoromsmatramo da je nulavektor kolinearan sa svim vektorima.

Neka su−→AB i

−−→CD dvije kolinearne usmjerene duºi, neka su im nosa£i

razli£iti, tada te ta£ke odre�uju jednu ravan, a ta£ke A i C jednu pravu pu toj ravni. Ako ta£ke B i D pripadaju istoj poluravni odre�enoj pravomp kaºemo da orjentisane duºi imaju isti smjer, a ako ta£ke B i D pripadajurazli£itim poluravnima kaºemo da su

−→AB i

−−→CD suprotnog smjera. U slu£aju

kad se nosa£i poklapaju, mogu¢i presjeci polupravih pp(AB) i pp(CD)2 suta£ka A, duº AC ili jedna od tih polupravih. U prve dvije situacije kaºemo dausmjerene duºi imaju suprotan smjer, a u tre¢oj da imaju isti smjer. Vaºnoje napomenuti da samo za kolinearne vektore moºe govoriti da li su isto ilisuprotno orjentirani.

Sve navedeno implicira sljede¢u tvrdnju.

Teorem 5.3. Vektor je jednozna£no odre�en svojim modulom, pravcem ismjerom.

5.3 Sabiranje vektora

U ovom odjeljku ¢emo uvesti operaciju sabiranja za vektore i razmotriti oso-bine te operacije.

De�nicija 5.4. Neka je ~a,~b ∈ V 3, ~a = [−→AB], ~b = [

−−→BC]. Zbir vektora ~a i ~b

~a+~b odre�en je predstavnikom−→AC. Dakle,

~a+~b = [−→AC].

Ukoliko se sabiranje vektora vr²i prema gornjoj de�niciji kaºemo da jekori²teno pravilo trougla ili pravilo nadovezivanja.

Pokaºimo da je prethodna de�nicjia korektna, da ne zavisi od izborapredstavnika. Neka su za vektore ~a i ~b pored ranije odabranih predstavnika

2pp(AB) ozna£ava polupravu £ija je po£etna ta£ka A, a sadrºi ta£ku B.

9

5.4.Mnoºenje vektora skalarom Doc. dr. Almasa Odºak

−→AB i

−−→BC, odabrani predstavnici

−−→A′B′ i

−−→B′C ′, respektivno. �etverouglovi

ABB′A′ i BCC ′B′ su paralelogrami, pa su AA′ i BB′ paralelni i jednakihduºina, kao i BB′ i CC ′, pa slijedi da su takve i duºi AA′ i CC ′. Onda jeACC ′A′ paralelogram, pa je

−→AC ∼

−−→A′C ′. Sli£no se pokazuje da je de�nicija

dobra i u slu£aju kada ta£ke A, B i C leºe na istoj pravoj.Sabiranje se moºe de�nirati koriste¢i predstavnike s istim po£etkom. Neka

je ~a = [−→OA], ~b = [

−−→OB], tada je ~a+~b = [

−→OC], pri £emu je C jedinstvena ta£ka

takva da je OACB paralelogram.Ovaj metod sabiranja nazivamo pravilom paralelograma. Analogno se

pokazuje da je i ova de�nicija nezavisna od izbora predstavnika. Izborom[−→AC] za predstavnika vektora ~b pokazuje se da su de�nicije ekvivalentne.

Naredna teorema daje neke osnovne osobine sabiranja vektora.

Teorem 5.4. Neka su ~a,~b,~c ∈ V 3 po volji odabrani, tada vrijedi

(a) ~a+~b ∈ V 3,

(b) (~a+~b) + ~c = ~a+ (~b+ ~c),

(c) ~a+~0 = ~0 + ~a = ~a,

(d) ~a+ (−~a) = −~a+ ~a = ~0,

(e) ~a+~b = ~b+ ~a.

Prethodni teorem se jednostavno dokazuje primjenom de�nicije sabiranjai pogodnim izborom predstavnika pojedinih vektora. Ovaj teorem nam go-vori da je skup vektora trodimenzionalnog euklidskog prostora sa uvedenomoperacijom sabiranja Abelova grupa. Dakle, (V 3,+) je Abelova grupa.

5.4 Mnozenje vektora skalarom

U ovom odjeljku uvodimo operaciju mnoºenja vektora skalarom. Razmotrit¢emo situaciju kada su skalari iz skupa relanih brojeva.

De�nicija 5.5. Mnoºenje vektora skalarom je operacija: R× V 3 → V 3 kojaure�enom paru (α,~a) pridruºuje vektor α~a za koji vrijedi

(i) |α~a| = |α| |~a|

10

5.4.Mnoºenje vektora skalarom Doc. dr. Almasa Odºak

(ii) pravac je kao kod vektora ~a (ako su ~a i α~a razli£iti od ~0)

(iii) smjer je jednak kao kod vektora ~a za α > 0, a suprotan za α < 0.

Primijetimo da je α~a = ~0 akko je α = 0 ili ~a = ~0.Zaista,

(⇒) Po de�niciji je |α~a| = |α| |~a|, pa |α~a| = 0 implicira |α| |~a| = 0, odnosno|α| = 0 ili |~a| = 0, pa je α = 0 ili ~a = ~0.

(⇐) Ako je α = 0 ili ~a = ~0 tada je |α~a| = |α| |~a| = 0.

Sljede¢i teorem nam govori da je suprotni vektor vektora ~a jednak rezultatumnoºenja vektora ~a sa skalarom −1.

Teorem 5.5. Za svaki vektor ~a ∈ V 3 vrijedi (−1)~a = −~a.

Dokaz. Dokaz ¢emo izvesti koriste¢i tvrdnju da je vektor u potpunosti odre-�en svojim modulom, pravcem i smjerom. Posmatrajmo vektor ~a, njemusuprotan vektor je −~a, po de�niciji on ima isti modul i pravac kao i vektor~a, a smjer mu je suprotan. Po de�niciji skalarnog mnoºenja vektor (−1)~aima modul |(−1)~a| = |(−1)||~a| = |~a|, dakle, isti kao i vektor ~a. Pravci suim tako�e isti, a kako je −1 < 0, to je smjer vektora (−1)~a suprotan smjeruvektora ~a. Dakle, vektor (−1)~a ima isti modul i pravac kao i vektor ~a, a smjermu je suprotan. Kako smo do²li do istog zaklju£ka i za vektor −~a tvrdnjavrijedi.

Razliku vektora ~a−~b de�niramo kao ~a+ (−~b).Naredni teorem daje bitne osobine mnoºenja vektora skalarom.

Teorem 5.6. Neka su ~a,~b po volji odabrani vektori iz V 3 i α i β realnibrojevi, vrijedi

(a) α~a ∈ V 3,

(b) α(β~a) = (αβ)~a,

(c) α(~a+~b) = α~a+ α~b,

(d) (α + β)~a = α~a+ β~a,

(e) 1~a = ~a.

11

5.5.Kolinearni i komplanarni vektori Doc. dr. Almasa Odºak

Teorem se dokazuje koriste¢i de�niciju mnoºenja vektora skalarom i tvrd-nju koja govori da je svaki vektor u potpunosti odre�en svojim intenzitetom,pravcem i smjerom.

Osobine vektora navedene u posljednjem teoremu zajedno sa ranije izve-denim zaklju£kom da je (V 3,+) Abelova grupa govore nam da je V 3 vektorskiprostor nad poljem R. Dakle, (V 3,+, ·), gdje + predstavlja operaciju sabi-ranja vektora, a · operaciju mnoºenja vektora skalarom, je vektorski prostor.Kako u op²tem vektorskom prostoru, tako specijalno i u (V 3,+, ·), mogu¢eje govoriti o lineranoj kombinaciji vektora, linearnoj zavisnosti i linearnojnezavisnosti.

5.5 Kolinearni i komplanarni vektori

Pojmovi kolinearnosti i komplanarnosti su zna£ajni za vektore. Uvodimo ihu nastavku i dajemo vezu sa linearnom zavisno²¢u.

De�nicija 5.6. Za dva vektora kaºemo da su kolinearni ako imaju isti pra-vac.

Obzirom da pravac za nula vektor nije odre�en smatra se da je nula vektorkolinearan sa svakim vektorom. Za vektore koji nisu kolinearni kaºemo dasu nekolinearni.

Iz de�nicije mnoºenja vektora skalarom slijedi da su vektori ~a i α~a koli-nearni. Sljede¢i teorem nam govori da vrijedi i obrat.

Teorem 5.7. Neka su ~a i ~b kolinearni vektori i ~a 6= ~0. Tada postoji ta£nojedan realan broj α takav da je ~b = α~a.

�injenica da jednakost ~b = α~a iz prethodnog teorema moºemo napisatikao α~a−~b = ~0 ili u slu£aju kada vektori ~a i ~b zamijene uloge kao −~a+α~b = ~0,odnosno op¢enito kao α~a+ β~b = ~0, implicira da vrijede sljede¢e tvrdnje.

Teorem 5.8. Vektori ~a i ~b su kolinearni ako i samo ako postoji netrivijalanizbor skalara α i β takav da je α~a+ β~b = ~0.

Teorem 5.9. Vektori ~a i ~b su nekolinearni ako i samo ako α~a + β~b = ~0implicira da je α = β = 0.

Pojam komplanarnosti vezan je za paralelnost vektora nekoj ravni. Slje-de¢om de�nicijom ga uvodimo.

12

5.5.Kolinearni i komplanarni vektori Doc. dr. Almasa Odºak

De�nicija 5.7. Za vektor ~a = [−→AB] kaºemo da je paralelan ravni π ako je

prava odre�ena ta£kama A i B paralelna ravni π. Za vektore prostora V 3

kaºemo da su komplanarni ako su paralelni istoj ravni.

Za vektore koji nisu komplanarni kaºemo da su nekomplanarni. Primije-timo da je prethodna de�nicija korektna, ne zavisi od izbora predstavnika,jer su svi predstavnici nekog vektora me�usobno paralelni.

Neposredno iz de�nicije komplanarnosti slijedi da su kolinearni vektorikomplanarni i da su svaka dva vektora prostora V 3 komplanarna.

Jos jedna vaºna osobina kolinearnih vektora data je u sljede¢em teoremu.

Teorem 5.10. Neka su ~a i ~b nekolinearni vektori. Svaki vektor ~c kompla-naran s njima moºe se na jedinstven na£in razloºiti po tim vektorima, tj.napisati u obliku ~c = α~a+ β~b, gdje su α i β realni skalari.

Karakterizaciju komplanarnih i nekomplanarnih vektora, sli£no kao i koli-nearnih i nekolinearnih, moºemo izvr²iti koriste¢i osobinu linearne zavisnostii nezavisnosti.

Teorem 5.11. Vektori ~a, ~b i ~c su komplanarni ako i samo ako postoji netri-vijalan izbor skalara α, β i γ takav da je α~a+ β~b+ γ~c = ~0.

Teorem 5.12. Vektori ~a, ~b i ~c su nekomplanarni ako i samo ako α~a+ β~b+γ~c = ~0 implicira da je α = β = γ = 0.

Vaºan rezultat koji nam govori o bazi prostora vektora V 3 je sadrºan usljede¢oj teoremi.

Teorem 5.13. Neka su ~a, ~b i ~c nekomplanarni vektori. Svaki vektor ~x pros-tora V 3 moºe se na jedinstven na£in razloºiti po tim vektorima, tj. napisatiu obliku ~x = α~a+ β~b+ γ~c, gdje su α, β i γ realni skalari.

Dakle, ovaj teorem nam govori da svaka tri nekomplanarna vektora £inebazu prostora V 3, pa je taj prostor kona£no generisan i dimenzija mu je 3.

Za baze prostora V 3 uvode se pojmovi desne i lijeve baze. Neka je databaza (~a,~b,~c), neka su predstavnici vektora baze izabrani tako da imaju zajed-ni£ki po£etak, neka su predstavnici

−→OA,

−−→OB i

−→OC, respektivno. Posmatrajmo

trougao OAB iz ta£ke C. Kaºemo da je ovaj trougao pozitivno orijentiranako je najkra¢i obilazak O → A → B suprotan kretanju kazaljke na satu,tada kaºemo da je baza (~a,~b,~c) desno orijentirana ili desna baza. U protiv-nom kaºemo da je lijevo orijentirana ili lijeva baza.

13

5.6.Koordinatizacija Doc. dr. Almasa Odºak

5.6 Koordinatizacija

Pod pojmom koordinatizacije podrazumijevamo izbor koordinatnog sistema,koji se sastoji u izboru baze i koordinatnog po£etka. Teorem 5.13 nam govorida postoji ta£no jedna ure�ena trojka (α, β, γ) takva da za proizvoljan vektor~x vrijedi ~x = α~a + β~b + γ~c, pri £emu vektori ~a, ~b i ~c £ine bazu prostora V 3.Trojku (α, β, γ) nazivamo koordinatama ili komponentama vektora ~x po bazi(~a,~b,~c). Kaºe se da je vektor ~x razloºen po posmatranoj bazi. Obzirom najedinstvenost komponenti u posmatranom razlaganju za datu bazu mogu¢eje posmatrati preslikavanje k : V 3 → R3 de�nisano sa

k(~x) = k(α~a+ β~b+ γ~c) = (α, β, γ),

koje je bijekcija. Pi²e se ~x = (α, β, γ).Ovo preslikavanje nam omogu¢ava predstavljanje vektora pomo¢u realnih

brojeva. Operacije s vektorima se pojednostavljuju, jer se operacije s vekto-rima svode na odgovaraju¢e operacije u R3, dakle na operacije s brojevima.O tome nam govori naredni teorem.

Teorem 5.14. Neka je ~x = (α1, β1, γ1) i ~y = (α2, β2, γ2). Tada je

~x+ ~y = (α1 + α2, β1 + β2, γ1 + γ2),

a~x = (aα1, aβ1, aγ1).

Treba napomenuti da se u prethodnoj teoremi podrazumijeva da su kom-ponente vektora ~x i ~y, kao i rezultuju¢ih vektora date u odnosu na istu bazu.

Za uvo�enje koordinatnog sistema pored izbora baze treba izabrati i ko-ordinatni po£etak. Ure�en par (O, (~e1, ~e2, ~e3)) ta£ke O prostora E i baze(~e1, ~e2, ~e3) naziva se koordinatni sistem. Za proizvoljnu ta£ku M prostoraE , vektor [

−−→OM ] naziva se radijus vektorom ta£ke M . Komponente (α, β, γ)

radijus vektora u odnosu na bazu (~e1, ~e2, ~e3) nazivaju se koordinatama ta£keM .

�esto se prilikom koordinatizacije prostora uvode specijalni zahtjevi zaelemente baze. Ukoliko zahtijevamo da su elementi baze jedini£ni vektori, tojeste da im je modul 1, i da su me�usobno okomiti onda govorimo o orto-normiranoj bazi. �esto se zahtijeva i da baza bude desno orijentirana. Bazakoja zadovoljava navedene uslove obiljeºava se sa (~i,~j,~k). Odgovaraju¢i koor-dinatni sistem se naziva Descartesovim pravouglim koordinatnim sistemom.

14

5.6.Koordinatizacija Doc. dr. Almasa Odºak

Navedena razmatranja su se odnosila na trodimenzionalni euklidski prostor iprostor vektora V 3. Sli£na razmatranja vrijede i za ravan i pravac, odnosnoprostore vektora V 2 i V 1. Zaklju£uje se da postoji bijektivno preslikavanjeskupova V 2 i V 1 u skupove R2 i R, respektivno

U nastavku ¢emo opisati postupak koordinatizacije na pravcu, u ravnii trodimenzionalnom prostoru. Po²to je postupak induktivan polazimo odpravca.

• Koordinatizaciju pravca vr²imo na sljede¢i na£in. Prvo odaberemo ko-ordinatni po£etak O, a potom pravu p koja prolazi ta£kom O. Pravojp pridruºimo brojnu pravu, tako da vrijednosti 0 odgovara koordinatnipo£etak O. Odaberemo ta£ku I tako da ona odgovara broju 1 na broj-noj pravoj. Vektor ~i de�niramo tako ²to stavimo da je ~i = [

−→OI]. Iz

na£ina odabira ta£ke I slijedi da je |~i| = 1. Na ovaj na£in je uvedenkoordinatni sistem (O, (~i)) pravca. Brojnu pravu pridruºenu pravoj pnazivamo apscisom ili x-osom. Svakoj ta£ki A pravca jednozna£no jepridruºen vektor ~a = [

−→OA], kao i komponenta x u odnosu na datu bazu.

Koriste¢i teorem 5.7 i osobine mnoºenja vektora skalarom zaklju£ujemoda je prikaz ~a = x~i jednozna£an. Pi²e se [

−→OA] = (x).

• Koordinatizaciju ravni π vr²imo tako ²to u njoj odaberemo koordinatnipo£etak O, a potom prave p i q koje prolaze ta£kom O i me�usobno suokomite. Na pravima p i q izvr²imo kordinatizaciju kako je opisano, tojeste uvedemo koordinatne sisteme (O, (~i)) i (O, (~j)), gdje je ~i = [

−→OI]

i ~j = [−→OJ ] i ta£ke I i J su odabrane tako da se ta£ka I rotacijom

oko ta£ke O za ugao od π/2 u pozitivnom smjeru slika u ta£ku J . Naovaj na£in je uveden desni ortonormirani koordinatni sistem u ravni(O, (~i,~j)). Brojnu pravu pridruºenu pravoj p nazivamo apscisom ili x-osom, onu pridruºenu pravoj q ordinatom ili y-osom. Ravan π osamaje podijeljena na £etiri dijela koja nazivamo kvadrantima. Svakoj ta£kiA ravni jednozna£no je pridruºen vektor ~a = [

−→OA], kao i komponente

x i y u odnosu na datu bazu. Koriste¢i teorem 5.10 zaklju£ujemo da jeprikaz ~a = x~i+ y~j jednozna£an. Pi²e se [

−→OA] = (x, y).

• Koordinatizacija prostora se vr²i na sljede¢i na£in. Prvo odaberemokoordinatni po£etak O i me�usobno okomite prave p, q i r koji prolazekroz ta£ku O. U ravnini odre�enoj pravima p i q de�niramo desni orto-normirani koordinatni sistem (O, (~i,~j)), kako je ve¢ opisano, a na pravoj

15

5.7.Skalarni proizvod Doc. dr. Almasa Odºak

r koordinatni sistem (O, (~k)) tako da vektori ~i, ~j i ~k £ine desnu bazu.Na ovaj na£in je de�niran ortonormirani koordinatni sistem (O, (~i,~j,~k))u euklidskom prostoru E .

Brojne prave pridruºene pravim p, q i r nazivaju se apscisa, ordinatai aplikata, odnosno x-osa, y-osa i z-osa, respektivno. Ravni odre�eneovim osama nazivaju se koordinatnim ravnima i prostor dijele na osamoktanata.

Svakoj ta£ki A prostora jednozna£no je pridruºen vektor ~a = [−→OA],

kao i komponente x, y i z u odnosu na datu bazu. Koriste¢i teorem5.13 zaklju£ujemo da je prikaz ~a = x~i + y~j + z~k jednozna£an. Pi²e se[−→OA] = (x, y, z).

5.7 Skalarni proizvod

Pored navedenih operacija za vektore mogu¢e je uvesti i proizvode vektora.Razlikuju se skalarni, vektorski i mje²oviti proizvod vektora. Prvo ¢emode�nirati skalarni proizvod i razmotriti njegove osobine.

Za uvo�enje pojma skalarnog proizvoda trebamo uvesti pojam ugla iz-me�u dva vektora.

Neka ~a,~b ∈ V 3, ~a 6= ~0, ~b 6= ~0. Pod uglom izme�u ovih vektora podra-zumijevamo mjerni broj ugla ]AOB (gdje je ~a = [

−→OA], ~b = [

−−→OB]) koji se

nalazi u intervalu [0, π]. Smatramo da je ugao neorjentiran.Ako je bar jedan od vektora ~a ili ~b nula vektor, ugao izme�u tih vektora

se ne de�nira.Moºe se pokazati da ova de�nicija ugla izme�u vektora ne zavisi od izbora

predstavnika. Naime, svi predstavnici jednog vektora su me�usobno para-lelni, a uglovi sa paralelnim kracima su jednaki. Obzirom da posmatramoneorijentisani ugao slijedi da je ](~a,~b) = ](~b,~a).

Specijalno, ako je ](~a,~b) = π2kaºemo da su vektori ~a i ~b okomiti i pi²emo

~a ⊥ ~b.U slu£aju kada su ~a, ~b kolinearni, onda je ](~a,~b) = π ili ](~a,~b) = 0. U

prvom slu£aju vektori su suprotno orjentirani, a u drugom isto orjentirani.Vrijedi i obrat, to jeste, ako je ugao izme�u dva vektora 0 ili π onda suposmatrani vektori kolinearni.

Sljede¢om de�nicijom se uvodi skalarno mnoºenje vektora.

16


De�nicija 5.8. Skalarno mnoºenje vektora je operacija · : V 3 × V 3 → Rkoja

(a) vektorima ~a,~b 6= ~0 pridruºuje skalar

~a ·~b = |~a||~b| cos](~a,~b),

(b) vektorima ~a,~b od kojih je bar jedan ~0 pridruºuje ~a ·~b = 0.

Vrijednost ~a ·~b nazivamo skalarnim proizvodom vektora ~a i ~b.

Skalarnim proizvodom se karakteri²u okomiti vektori. Vrijedi sljede¢iteorem.

Teorem 5.15. Neka je ~a,~b ∈ V 3, ~a 6= ~0, ~b 6= ~0. ~a ⊥ ~b ako i samo ako je~a ·~b = 0.

Dokaz. Obzirom da je tvrdnja u formi ekvivalencije dokazivat ¢emo je u dvakoraka. Neka ~a i ~b zadovoljavaju uslov teoreme.

(⇒) Prvo pretpostavimo da je ~a ⊥ ~b, tada je ](~a,~b) = π2, pa je cos](~a,~b) =

0, odnosno ~a ·~b = |~a||~b| · 0 = 0.

(⇐) Neka je sada ~a · ~b = 0. Tada je |~a||~b| cos](~a,~b) = 0, pa kako je popretpostavci |~a| 6= 0, |~b| 6= 0, to mora biti cos](~a,~b) = 0 pa, obziromna ograni£enje uvedeno za uglove pri de�niranju ugla izme�u vektora,slijedi da je ](~a,~b) = π

2, odnosno ~a ⊥ ~b.

Teorem je dokazan.

Specijalno ukoliko posmatramo skalarni proizvod vektora sa samim sobomslijedi da je ~a · ~a = |~a||~a| cos](~a,~a) = |~a|2. Pi²emo ~a · ~a = ~a2.

Iz de�nicije skalarnog proizvoda i osobine funkcije kosinus slijedi da vrijedi

~a ·~b ≥ 0 za ](~a,~b) ≤ π

2,

~a ·~b < 0 za ](~a,~b) >π

2,

imaju¢i na umu ograni£enje da se pod uglom izme�u dva vektora smatraugao iz zatvorenog intervala [0, π].

Sljede¢e dvije teoreme daju neke od najzna£ajnijih osobina skalarnogmnoºenja.

17


Teorem 5.16. Neka ~a,~b ∈ V 3. Vrijedi

(i) (~a+~b)2 = ~a2 + 2~a ·~b+~b2,

(ii) (~a−~b)2 = ~a2 − 2~a ·~b+~b2.

Ovaj dokaz se moºe izvesti razmatraju¢i posebno situacije kada su vektorikolinearni istog smjera, kolinearni suprotnog smjera i kada su nekolinearni. Uprva dva slu£aja se koristi de�nicija sabiranja pomo¢u pravila nadovezivanja,a u posljednjoj situaciji kosinusna teorema.

Naredni teorem se dokazuje koriste¢i de�niciju skalarnog proizvoda i oso-bine ranije uvedenih operacija.

Teorem 5.17. Neka je ~a,~b ∈ V 3 i λ ∈ R.

(a) ~a2 ≥ 0,

(b) ~a2 = 0 ako i samo ako je ~a = ~0,

(c) ~a ·~b = ~b · ~a,

(d) (λ~a) ·~b = λ(~a ·~b) = ~a · (λ~b),

(e) ~a · (~b+ ~c) = ~a ·~b+ ~a · ~c,

(f) (~a+~b) · ~c = ~a · ~c+~b · ~c.

Na kraju ovog odjeljka razmotrimo na£in ra£unanja skalarnog proizvodavektora ukoliko su vektori zadati svojim komponentama u ortonormiranojbazi (~i,~j,~k). Kako su vektori ortonormirane baze nenulti vektori koji sume�usobno okomiti iz de�nicije skalarnog mnoºenja slijedi da je

· ~i ~j ~k~i 1 0 0~j 0 1 0~k 0 0 1

Neka su ~a i~b vektori prostora V 3 dati svojim koordinatama ~a = (a1, a2, a3)

i ~b = (b1, b2, b3) u odnosu na ortonormiranu bazu(~i,~j,~k

). Tada je

I ~a ·~b = a1b1 + a2b2 + a3b3,

18

5.8.Vektorski proizvod Doc. dr. Almasa Odºak

I |~a| =√a21 + a22 + a23,

I

cos](~a,~b) =a1b1 + a2b2 + a3b3√

a21 + a22 + a23√b21 + b22 + b23

=~a ·~b|~a||~b|

.

Specijalno, ukoliko posmatramo kosinuse uglova proizvoljnog vektora ~a savektorima baze zaklju£ujemo da je

cos](~a,~i) =a1|~a|, cos](~a,~j) =

a2|~a|, cos](~a,~k) =

a3|~a|.

Neposrednim uvr²tavanjem dobijamo da vrijedi

cos2](~a,~i) + cos2](~a,~j) + cos2](~a,~k) = 1.

Napomenimo da se skalarni produkt moºe de�nirati i za vektore iz pros-tora ve¢e dimenzije.

5.8 Vektorski proizvod

U ovom odjeljku uvodimo vektorsko mnoºenje vektora i razmatramo osobineovog proizvoda.

De�nicija 5.9. Vektorsko mnoºenje vektora je operacija × : V 3×V 3 → V 3

koja paru vektora (~a,~b) pridruºuje vektor ~c = ~a×~b de�niran na sljede¢i na£in:

(i) Ako su ~a i ~b kolinearni, onda je ~c = ~0,

(ii) Ako ~a i ~b nisu kolinearni, onda je

(a) |~c| = |~a||~b| sin](~a,~b),

(b) pravac vektora ~c je okomit na pravac od ~a i od ~b,

(c) smjer vektora ~c je takav da je{~a,~b,~c

}desno orijentirana baza

prostora V 3.

~a×~b nazivamo vektorskim proizvodom vektora ~a i ~b.

19


Intenzitet vektorskog proizvoda dva vektora ima i svoju geometrijsku ka-rakterizaciju. Naime |~a × ~b| jednako je povr²ini paralelograma odre�enogvektorima ~a i ~b. Pod paralelogramom odre�enim sa dva vektora podra-zumijevamo paralelogram konstruisan nad njihovim predstavnicima koji suodabrani tako da imaju zajedni£ki po£etak. Poznato je iz geometrije da jepovr²ina paralelograma jednaka produktu baze i visine. Baza je jednaka in-tenzitetu jednog od vektora nad kojim je paralelogram konstruisan, a visinumoºemo izraziti koriste¢i osobinu funkcije sinus u pravouglom trouglu £ija jejedna stranica drugi vektor nad kojim je paralelogram konstruisan, a drugavisina paralelograma. Ugao naspram visine u tom trouglu je ugao izme�uvektora nad kojim je paralelogram konstruisan. Slijedi da je sin](~a,~b) = h

|~b|,

pa je h = |~b| sin](~a,~b). Sada je P = |~a| · h = |~a||~b| sin](~a,~b).Vektorskim proizvodom se karakteri²u kolinearni vektori.

Teorem 5.18. ~a×~b = ~0 ako i samo ako su vektori ~a i ~b kolinearni.

Dokaz. Dokaz ¢emo izvesti u dva dijela.

(⇒) Prvo pretpostavimo da je ~a ×~b = ~0. Neka ~a i ~b nisu kolinearni, tadaje prema de�niciji vektorskog mnoºenja |~a × ~b| = |~a||~b| sin](~a,~b), apo pretpostavci je |~a × ~b| = |~0| = 0. Po²to vektori nisu kolinearnito je sin](~a,~b) 6= 0, pa mora biti |~a| = 0 ili |~b| = 0. Slijedi da je~a = ~0 ili ~b = ~0, a to je suprotno nekolinearnosti jer se smatra da jenulavektor kolinearan sa svakim vektorom. Dakle, ovo je kontradikcija,pa je pretpostavka da ~a i ~b nisu kolinearni pogre²na. Slijedi da su onikolinearni.

(⇐) Ovaj dio tvrdnje slijedi direktno iz dijela (i) de�nicije vektorskog mno-ºenja.

Primjenom prethodne teoreme na vektorsko mnoºenje vektora sa samimsobom dobijemo sljede¢u posljedicu.

Posljedica 5.19. Neka je ~a ∈ V 3, tada je ~a× ~a = ~0.

Naredni teorem daje osnovne osobine vektorskog mnoºenja.

Teorem 5.20. Neka je ~a,~b,~c ∈ V 3 i λ ∈ R. Tada vrijedi

20


(a) ~a×~b = −~b× ~a,

(b) (λ~a)×~b = ~a× (λ~b) = λ(~a×~b),

(c) ~a× (~b+ ~c) = ~a×~b+ ~a× ~c,

(d) (~a+~b)× ~c = ~a× ~c+~b× ~c,

Osobina (a) se naziva antikomutativnost, a osobina (b) kvaziasocijativ-nost, dok su osobine (c) i (d) osobine distributivnosti vektorskog mnoºenjaprema sabiranju.

Primijetimo da vektorsko mnoºenje ne zadovoljava sljede¢e osobine:

(i) asocijativnostNa primjer posmatrajmo proizvode (~a × ~b) × ~c i ~a × (~b × ~c). Nekasu ~a,~b,~c ∈ V 3 komplanarni (paralelni sa ravni π) i neka ~a i ~c nisukolinearni. Iz de�nicije slijedi da su ~a ×~b i ~b × ~c okomiti na ravan π.Onda su (~a ×~b)× ~c i ~a × (~b× ~c) paralelni sa π (jer dva puta okomitodaje paralelno). Dakle, (~a×~b)×~c je okomit na ~c, a ~a×(~b×~c) je okomitna ~a. Po²to ~a i ~c nisu kolinearni, to ne mogu biti isti vektori, pa su dvaposmatrana proizvoda razli£ita.

(ii) Ne postoji neutralni element za vektorsko mnoºenje.Ne moºe postojati ~e ∈ V 3 takvo da je ~a × ~e = ~e × ~a = ~a za pro-izvoljno ~a ∈ V 3. Zbog antikomutativnosti ne vrijedi prva jednakost, aiz de�nicije je ~e× ~a ⊥ ~a, pa ne moºe biti jednak ~a.

Sljede¢i teorem povezuje vektorsko i skalarno mnoºenje.

Teorem 5.21. Neka su ~a,~b,~c ∈ V 3. Tada je

(i) (~a×~b)× ~c = (~a · ~c)~b− (~b · ~c)~a,

(ii) ~a× (~b× ~c) = (~a · ~c)~b− (~a ·~b)~c.

Kao i u slu£aju skalarnog mnoºenja razmotrimo izra£unavanje vektorskogproizvoda kada su vektori dati svojim komponentama u odnosu na ortonor-miranu bazu. Iz de�nicije vektorskog mnoºenja odmah slijedi da za vektore~i, ~j i ~k vrijedi

21

5.9.Mje²oviti proizvod Doc. dr. Almasa Odºak

× ~i ~j ~k~i ~0 ~k −~j~j −~k ~0 ~i~k ~j −~i ~0

Posmatrajmo sada vektore date svojim komponentama u bazi (~i,~j,~k),~a = (a1, a2, a3), ~b = (b1, b2, b3). Prema de�niciji i koriste¢i navedenu tablicuslijedi da je

~a×~b = (a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1) =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~ka1 a2 a3b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣ . (5.1)

Napomenimo da je vektorski proizvod karakteristi£an za prostor V 3 i negeneralizuje se na prostore ve¢ih dimenzija. Obzirom na zapis (5.1), slijedida se osobine vektorskog proizvoda odgovaraju osobinama determinanti. Naprimjer osobina antikomutativnosti slijedi iz £injenice da determinanta mije-nja znak promjenom susjednih vrsta. Osobina kvaziasocijativnosti slijedi izosobine mnoºenja determinante skalarom.

5.9 Mjesoviti proizvod

Kombinovanjem skalarnog i vektorskog proizvoda uvodi se mje²oviti pro-izvod.

De�nicija 5.10. Operaciju m : V 3 × V 3 × V 3 → R koja trojci vektora(~a,~b,~c) pridruºuje skalar (~a×~b)·~c nazivamo mje²ovitim mnoºenjem. Rezultat

(~a×~b) ·~c ∈ R nazivamo mje²ovitim proizvodom. Pi²emo m(~a,~b,~c) = (~a,~b,~c).

Komplanarnost vektora se moºe karakterisati koriste¢i mje²oviti proizvod.

Teorem 5.22. Mje²oviti proizvod triju vektora jednak je nuli ako i samo akosu vektori komplanarni.

Dokaz teorema se izvodi koriste¢i navedene osobine skalarnog i vektorskogmnoºenja.

Koriste¢i koordinatni prikaz vektora u bazi (~i,~j,~k) mje²oviti proizvod semoºe pisati pomo¢u determinante. Vrijedi teorem.

22


Teorem 5.23. Neka je ~a = (a1, a2, a3), ~b = (b1, b2, b3), ~c = (c1, c2, c3) koor-

dinatni zapis posmatranih vektora u bazi (~i,~j,~k), tada je

(~a×~b) · ~c =

∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣ .Dokaz. Dokaz slijedi koriste¢i zapis vektorskog proizvoda pomo¢u determi-nante. Vrijedi

(~a×~b) · ~c =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~ka1 a2 a3b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣ · (c1~i+ c2~j + c3~k)

= (a2b3 − a3b2)c1 + (a3b1 − a1b3)c2 + (a1b2 − a2b1)c3

=

∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣ .

Kombiniranjem posljednja dva teorema dobijamo posljedicu.

Posljedica 5.24. Tri vektora ~a = (a1, a2, a3), ~b = (b1, b2, b3) i ~c = (c1, c2, c3)su komplanarni ako i samo ako je∣∣∣∣∣∣

a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣ = 0.

Koriste¢i osobine determinanti i posljednji teorem, mogu¢e je dokazatiosobine mje²ovitog proizvoda vektora.

Teorem 5.25. Neka ~a,~b,~c, ~d ∈ V 3 i λ ∈ R. Vrijedi

(a) Mje²oviti proizvod ne mijenja vrijednost za bilo koju cikli£ku izmjenufaktora, dok kod necikli£ke izmjene mijenja znak.

(~a,~b,~c) = (~b,~c,~a) = (~c,~a,~b) = −(~b,~a,~c) = −(~a,~c,~b) = −(~c,~b,~a),

(b) (~a+~b,~c, ~d) = (~a,~c, ~d) + (~b,~c, ~d),

23


(c) (λ~a,~b,~c) = λ(~a,~b,~c),

(d) (~a×~b) · ~c = ~a · (~b× ~c).

Mje²oviti proizvod ima i svoju geometrijsku interpretaciju u formi zapre-mine paralelopipeda konstruisanog nad nekomplanarnim vektorima prostoraV 3. Preciznije vrijedi sljede¢i teorem.

Teorem 5.26. Zapremina paralelopipeda konstruisanog nad vektorima ~a, ~b i~c jednaka je apsolutnoj vrijednosti mje²ovitog produkta (~a,~b,~c).

Dokaz. Bez umanjenja op²tosti moºemo smatrati da su predstavnici vektoraodabrani tako da imaju isti po£etak. Zapremina paralelopipeda je jednakaproizvodu baze i visine na tu bazu V = B · H. Ukoliko smatramo da jebaza odre�ena vektorima ~a i ~b iz osobine vektorskog proizvoda slijedi da jeB = |~a×~b|. Visina se moºe izraziti kao H = |proj~a×~b~c| = |~c|| cos](~a×~b,~c)|.Ukoliko ~a, ~b, ~c £ine desni trijedar, H je jednako pozitivnoj projekciji, dok jeu slu£aju lijevog trijedra ugao koji £ine ~a ×~b i ~c tupi, pa je visina jednakanegativnoj projekciji. Zbog toga se uzima apsolutna vrijednost projekcije.Slijedi da je V = |~a×~b| · |~c|| cos](~a×~b,~c)| = |(~a×~b) · ~c|.

Zapremina tetraedra konstruisanog nad vektorima ~a,~b, ~c jednaka je ²estinizapremine paralelopipeda konstruisanog nad tim vektorima. Dakle,

Vtetraedar =1

6(~a,~b,~c).

Koriste¢i mje²oviti proizvod mogu¢e je karakterizirati i orjentaciju baze.Vrijedi teorem.

Teorem 5.27. Trijedar (~a,~b,~c) je desne orjentacije ako i samo ako je (~a,~b,~c) >

0, a lijeve ako i samo ako je (~a,~b,~c) < 0.

24




� predavanja �


Sadrºaj

Sadrºaj ii

1 Uvod 1





6 Analiti£ka geometrija 6

6.1 Pojam jedna£ine linije i povr²i . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76.1.1 Linije u ravni i njihove jedna£ine . . . . . . . . . . . . 76.1.2 Povr²i u prostoru i njihove jedna£ine . . . . . . . . . . 96.1.3 Parametarske jedna£ine . . . . . . . . . . . . . . . . . 106.1.4 Algebarske krive i povr²i . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

7 Analiti£ka geometrija u ravni 12

7.1 Prava u ravni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127.2 Udaljenost ta£ke od prave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Sadrºaj Doc. dr. Almasa Odºak

7.3 Ugao izme�u dvije prave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167.4 Krive drugog reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

7.4.1 Kruºnica u ravni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177.4.2 Elipsa u ravni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197.4.3 Hiperbola u ravni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217.4.4 Parabola u ravni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

iii

POGLAVLJE 6

Analiti£ka geometrija

Analiti£ka geometrija se bavi prou£avanjem klasi£ne euklidske geometrijeravni i prostora koriste¢i algebarske metode. Naziva se i geometrijom ko-ordinata ili Descartesovom geometrijom. Iako se analiti£ka geometrija tra-dicionalno veºe za ime Rene Descartesa, treba napomenuti da su se njenimproblemima bavili i matemati£ari stare Gr£ke i Perzije.

Osnovna ideja analiti£ke geometrije je da se ta£ke ravni ili prostora opi-suju koordinatama, a geometrijski objekti poput pravih, ravni, krivih i plohapomo¢u jedna£ina.

Analiti£ka geometrija je matemati£ka disciplina £iji se rezultati primje-njuju u mnogim drugim matemati£kim disciplinama, u �zici i inºenjerstvu.Posebno je zna£ajna i za neke od nau£nih disciplina novijeg datuma poputkompjuterske geometrije.

Polazi²te za izu£avanje analiti£ke geometrije je euklidska ravan ili pros-tor. Osnovni pojmovi poput ta£ke, prave i ravni se ne de�niraju, a njihovime�uodnosi se odre�uju aksiomima euklidske geometrije, smatrat ¢emo ihpoznatim u ovom kursu. U slu£aju prou£avanja euklidske ravni govorimo oanaliti£koj geometriji u ravni, a u slu£aju prou£avanja prostora o analiti£kojgeometriji u prostoru.

U nastavku ¢emo uvesti pojam jedna£ine krive i povr²i, govorit ¢emo o pa-

6.1.Pojam jedna£ine linije i povr²i Doc. dr. Almasa Odºak

rametarskim i algebarskim jedna£inama, a zatim ¢emo pre¢i na prou£avanjapojedinih objekata u analiti£koj geometriji u ravni, odnosno u prostoru.

6.1 Pojam jednacine linije i povrsi

6.1.1 Linije u ravni i njihove jednacine

Prilikom prou£avanja koordinatizacije ravni vidjeli smo da svakoj ta£ki ravniπ (prostora E2) odgovara ure�en par realnih brojeva i obratno. Vidjet ¢emoda linijama u ravni odgovaraju jedna£ine koje zavise od dvije promjenljive.Veza izme�u linija i jedna£ina svodi se na izu£avanje geometrijskih svojstavalinija i analiti£kih osobina jedna£ina.

Linije se obi£no shvataju kao geometrijska mjesta ta£aka. Izdvaja seosobina zajedni£ka svim ta£kama linije.

Primjer 6.1. Kruºnica sa centrom C i radijusom R > 0 je geometrijskomjesto ta£aka koje su udaljene od ta£ke C za udaljenost R. Za svaku ta£kuM koja leºi na kruºnici je |MC| = R, a za svaku koja nije na kruºnici je|MC| 6= R.

Za odre�ivanje jedna£ine linije u ravni neophodno je uvesti koordinatnisistem. Posmatrajmo Descartesov koordinatni sistem u ravni i neku liniju utoj ravni. Kada se ta£ka kre¢e po liniji, njene koordinate x i y se mijenjaju,ali zadovoljavaju neki uslov, svojstven ta£kama posmatrane linije, to namdaje odre�eni odnos izme�u x i y koji ¢e vaºiti samo dok se ta£ka �kre¢e�duº odabrane linije.

Dakle, liniji u ravni odgovara odre�ena jedna£ina sa dvije promjenljive xi y, koju zadovoljavaju koordinate svake ta£ke koja leºi na liniji, a ne zado-voljavaju koordinate bilo koje ta£ke koja ne leºi na toj liniji. Tu jedna£inunazivamo jedna£inom date linije.

Za datu jedna£inu dvije promjenljive mogu¢e je posmatrati skup L rje-²enja te jedna£ine. Svakom rje²enju odgovara jedna ta£aka ravni. Skup svihta£aka koje odgovaraju rje²enjima nazivamo gra�kom date jedna£ine. Kakose obi£no ta£ka i njen koordinatni prikaz poistovje¢uju, tako se i skup rje-²enja neke jedna£ine i gra�k te jedna£ine poistovje¢uju. Kaºe se da je datajedna£ina jedna£ina linije L.

Primjer 6.2. Sastaviti jedna£inu kruºnice sa centrom C(a, b) i radijusomR > 0. Dakle, |CM | = R, gdje je M proizvoljna ta£ka kruºnice, M(x, y).

7


Naravno, o koordinatama ta£ke i o jedna£ini moºemo govoriti jedino podpretpostavkom da je dat koordinatni sistem.

Slijedi da je √(x− a)2 + (y − b)2 = R,

odnosno(x− a)2 + (y − b)2 = R2,

²to je jedna£ina traºene kruºnice. Specijalno za (a, b) = (0, 0) je x2+y2 = R2.

Jedna£inu je mogu¢e pisati i u obliku F (x, y) = 0. Preciznu de�nicijudajemo u nastavku.

De�nicija 6.1. Neka je dat Descartesov koordinatni sistem(0,(~i,~j))

. Jed-

na£inu F (x, y) = 0 nazivamo jedna£inom linije L u datom koordinatnomsistemu ako koordinate svake ta£ke te linije zadovoljavaju tu jedna£inu, akoordinate bilo koje ta£ke koja ne leºi na L ne zadovoljavaju tu jedna£inu.

Treba napomenuti da je mogu¢e da se jedna£ine linija u ravni reducirajui na neki od specijalih slu£ajeva, poput sljede¢ih.

• Jedna£ine koje sadrºe samo jednu koordinatu. Na primjer, F (x, y) =y − 2, dakle, prakti£no funkcija F ne zavisi od koordinate x, pa jejedna£ina posmatrane linije y = 2.

• Jedna£ine koje se mogu napisati tako da se funkcija F napi²e kao pro-izvod dvije ili vi²e funkcija. U ovom slu£aju datom jedna£inom odre-�eno je dvije ili vi²e linija. Na primjer, F (x, y) = x2−y2, pa je jedna£inaoblika (x − y)(x + y) = 0, odnosno x = y i x = −y, ²to su jedna£inedvije prave linije.

• Datom jedna£inom je opisana jedna ili nekoliko ta£aka. Na primjer,jedna£inom x2+y2 = 0 opisana je ta£aka (0, 0), dok je jedna£inom (x2−1)2+(y2−4)2 = 0, opisan skup ta£aka {(1, 2), (1,−2), (−1, 2), (−1,−2)}.

• Datom jedna£inom je opisan prazan skup, to jeste, nema ta£aka kojezadovoljavaju datu jedna£inu. Primjer takve jedna£ine je jedna£inax2 + y2 + 1 = 0.

Op¢enito kada govorimo o linijama i njihovim jedna£inama name¢u sedva osnovna problema.

8


• Za datu jedna£inu treba konstruisati liniju koja je opisana tom jedna-£inom.

• Za datu liniju treba odrediti jedna£inu kojom je ta linija opisana.

6.1.2 Povrsi u prostoru i njihove jednacine

Analogno razmatranju linija u ravni i njihovih jedna£ina moºemo vr²iti raz-matranje povr²i u prostoru i njihovih jedna£ina. Ilustrovat ¢emo to na pri-mjeru sfere. Posmatrajmo Descartesov koordinatni sistem u prostoru.

Primjer 6.3. Odredimo jedna£inu sfere sa centrom S(a, b, c) i radijusomR > 0. Sfera je skup svih ta£aka prostora £ija je udaljenost od S jednaka R.Neka je M proizvoljna ta£ka date sfere s koordinatom (x, y, z). Slijedi da je|MS| = R, odnosno√

(x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R,

odnosno(x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2.

De�nicija jedna£ine povr²i analogna je de�niciji linije u ravni.

De�nicija 6.2. Neka je dat Descartesov koordinatni sistem(O,(~i,~j,~k

)).

Jedna£inu F (x, y, z) = 0 nazivamo jedna£inom povr²i S u datom koordinat-nom sistemu ako koordinate svake ta£ke te povr²i zadovoljavaju tu jedna£inu,a koordinate bilo koje ta£ke koja ne leºi na povr²i S ne zadovoljavaju tujedna£inu.

Kao i u prethodnom slu£aju moºemo govoriti o nekim posebnim tipovimajedna£ina.

• Jedna£ine koje ne sadrºe jednu koordinatu. Oblika su, na primjer,G(x, y) = 0. Ukoliko ta£ka M0(x0, y0, z0) zadovoljava datu jedna£inuonda i ta£ka (x0, y0, z) zadovoljava tu jedna£inu, pa pripada posmatra-noj povr²i. Dakle, svaka ta£ka prave koja prolazi ta£komM0 i paralelnaje sa z osom leºi na posmatranoj povr²i.

• Jedna£ine odre�uje skup ta£aka. Na primjer, jedna£inom

(x2 + y2 + z2)((x− 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2) = 0,

odre�en je skup ta£aka {(0, 0, 0), (1, 2, 3)}.

9


• Jedna£ina ne odre�uje povr². Takva je na primjer jedna£ina x2 + y2 +z2 + 1 = 0.

6.1.3 Parametarske jednacine

Prilikom prou£avanja jedna£ina linija ili povr²i u nekim situacijam korisno jeliniju ili povr² opisati pomo¢u parametarskih jedna£ina.

U tom slu£aju koordinate ta£aka koje leºe na posmatranoj liniji ili povr²inisu povezane jednom jedna£inom. U slu£aju linija u ravni ili prostoru,svaka koordinata se izraºava posebno kao funkcija nove promjenljive, pa suparametarske jedna£ine linije u ravni date sa

x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ A ⊂ R,

dok su parametarske jedna£ine linije u prostoru oblika

x = ϕ(t), y = ψ(t), z = χ(t), t ∈ A ⊂ R.

Novu promjenljivu t nazivamo parametrom.Za uvo�enje parametarskih jedna£ina povr²i neophodna su dva parame-

tra. Parametarske jedna£ine povr²i uvode se jedna£inama

x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v), z = χ(u, v), u ∈ A ⊂ R, v ∈ B ⊂ R.

Primjer 6.4. Jedna£ine x = R cos t, y = R sin t, t ∈ [0, 2π), predstav-ljaju parametarsku jedna£inu kruºnice s polupre£nikom R > 0. Parametar tpredstavlja ugao koji radijus vektor ta£ke R gradi s pozitivnim dijelom x ose.

6.1.4 Algebarske krive i povrsi

Posebno zna£ajne krive i povr²i su one koje mogu biti opisane jedna£inomkoja je polinomijalna po svojim varijablama. Takve krive i povr²i nazivamoalgebarskim. U tom slu£aju se uvodi i pojam reda algebarske linije i povr²i.Precizirajmo ove pojmove u nastavku.

Pod algebarskom krivom podrazumijevamo krivu koja u odnosu na nekiDescartesov koordinatni sistem ima jedna£inu oblika

A1xk1yl1 + . . .+ Asx

ksyls = 0, (6.1)

gdje je ki, li ≥ 0, ki, li ∈ Z, Ai ∈ R, i = 1, . . . , s. Najve¢i od brojeva ki + liza i = 1, . . . , s, naziva se stepen algebarske krive ili jedna£ine.

10


Pod algebarskom povr²i podrazumijevamo povr² koja u nekom Descarte-sovom koordinatnom sistemu moºe biti zadana jedna£inom oblika

A1xk1yl1zm1 + . . .+ Asx

ksylszms = 0, (6.2)

gdje je ki, li,mi ≥ 0, ki, li,mi ∈ Z, Ai ∈ R, i = 1, . . . , s. Najve¢i od brojevaki + li +mi za i = 1, . . . , s, naziva se stepen povr²i.

Kako smo vidjeli jedna£ina linije i povr²i je odre�ena izborom koordinat-nog sistema. Prirodno je postaviti pitanje kako se mijenja jedna£ina prilikompromjene koordinatnog sistema. Vidjeli smo da se izbor koordinatnog sistemasvodi na izbor koordinatnog po£etka i baze. Osim toga primijetili smo da sekoordinate pojedine ta£ke ravni ili prostora podudaraju sa koordinatama ra-dijus vektora te ta£ke, pa se rezultati o promjeni koordinata vektora prilikomprelaska s baze na bazu odnose i na promjene koordinata ta£eke.

Vaºni rezultati koji nam govore o osobini jedna£ine algebarske linije ilipovr²i pri promjeni koordinatnog sistema sadrºani su u sljede¢im teoremima.

Teorem 6.1. Ako linija u nekom Descartesovom koordinatnom sistemu moºebiti zadana jedna£inom oblika (6.1), onda ona u svakom drugom Descarte-sovom pravouglom sistemu ima jedna£inu istog oblika i obje jedna£ine imajuisti stepen.

Teorem 6.2. Ako povr² u nekom Descartesovom koordinatnom sistemu moºebiti zadana jedna£inom oblika (6.2), onda ona u svakom drugom Descarte-sovom pravouglom sistemu ima jedna£inu istog oblika i obje jedna£ine imajuisti stepen.

Rezultati prethodnih teorema se formuliraju £esto i na sljede¢i na£in.Oblik jedna£ine neke algebarske linije ili povr²i invarijantan je u odnosu napromjenu koordinatnog sistema.

11

POGLAVLJE 7

Analiti£ka geometrija u ravni

U ovom poglavlju razmotrit ¢emo neke osnovne linije u ravni.

7.1 Prava u ravni

Razmotrimo jedna£ine prave u ravni π (E2). Pokazat ¢emo da se jedna£inaravni moºe zadati na vi²e razli£itih na£ina, koji su, pokazuje se, me�usobnoekvivalentni.

Posmatrat ¢emo pravougli Descartesov koordinatni sistem(O, (~i,~j)

).

U nastavku ¢emo koristiti rezultat iz vektorske algebre koji nam govorikoje su koordinate vektora u posmatranom koordinatnom sistemu, ako sunam date koordinate po£etne i krajnje ta£ke predstavnika tog vektora. Nekasu A, B, A = (a1, a2), B = (b1, b2) ta£ke date koordinatama. Tada vektor[−→AB] ima koordinate [

−→AB] = (b1 − a1, b2 − a2).

Do razli£itih jedna£ina prave moºemo do¢i izborom razli£itih elemenatakojim je prava zadana.

Razmotrimo prvo situaciju kada su zadani ta£ka T0 ∈ π i vektor ~s ∈ V 2,~s 6= ~0. Tada postoji jedinstvena prava p kroz ta£ku T0 paralelna vektoru ~s.Kaºemo da je vektor ~s vektor pravca prave p. Neka su ta£ka i vektor zadati

7.1.Prava u ravni Doc. dr. Almasa Odºak

svojim koordinatama T0 = (x0, y0), ~s = a~i + b~j = (a, b) i neka je T = (x, y)po volji odabrana ta£ka T prave p.

Vektor [−−→T0T ] kolinearan je s vektorom ~s, pa postoji skalar α ∈ R takav

da je [−−→T0T ] = α~s, odnosno ako stavimo da je ~r = [

−→OT ] i ~r0 = [

−−→OT0]

~r = ~r0 + α~s. (7.1)

Skalar α je za svaku izabranu ta£ku T prave p jedinstveno odre�en, za razli£iteta£ke skalar je razli£it. Dakle, pridruºivanja ta£ke T prave p i broja α ∈ Rje bijekcija. Jedna£inu (7.1) nazivamo parametarskim vektorskim oblikomjedna£ine prave p.

Raspisuju¢i jedna£inu (7.1) po koordinatama dobijamo

x = x0 + αa,

y = y0 + αb, α ∈ R, (7.2)

²to je parametarski koordinatni oblik jedna£ine prave p.Ako je a 6= 0 iz prve jedna£ine u (7.2) dobijamo da je α = 1

a(x− x0), pa

uvr²tavanjem u drugu jedna£inu iz (7.2) slijedi da je y − y0 = ba(x − x0), a

ako je b 6= 0, to moºemo pisati u obliku

x− x0a

=y − y0b

, (7.3)

²to je kanonski oblik jedna£ine prave. Treba napomenuti da je jedna£inuprave formalno dozvoljeno pisati u obliku (7.3) i kada je a = 0 i/ili b = 0 ipri tome se smatra da su brojnici odgovaraju¢ih razlomaka jednaki 0.

Koe�cijent bajednak je tangensu ugla ²to ga prava p obrazuje s pozitivnim

dijelom x-ose, odnosno tgϕ = ba.

�esto se banaziva koe�cijentom smjera prave p i ozna£ava se sa k. Pi²emo

y − y0 = k(x− x0), (7.4)

²to se naziva jedna£inom prave zadanog koe�cijentom smjera k koja prolazita£kom (x0, y0).

Za a = 0, ϕ = π2, k nije de�nisan, takav pravac je paralelan y-osi, a

njegova jedna£ina glasi x = x0.Za b = 0, ϕ = 0, k = 0, pravac je paralelna sa x-osom, a njegova jedna£ina

glasi y = y0.

13

7.1.Prava u ravni Doc. dr. Almasa Odºak

Razmotrimo sada situaciju kada je prava zadana dvjema rali£itim ta£-kama T1 = (x1, y1), T2 = (x2, y2). Jedna£inu moºemo izvesti svode¢i situacijuna prethodni slu£aj. Za vektor pravca biramo [

−−→T1T2] = (x2 − x1, y2 − y1), a

za ta£ku T0 jednu od datih ta£aka. Dobijamo sljede¢e jedna£ine

[−→OT ] = [

−−→OT1] + α

([−−→OT2]− [

−−→OT1]

), α ∈ R, (7.5)

~r = ~r1 + α(~r2 − ~r1), α ∈ R, (7.6)

odnosno

x = x1 + α(x2 − x1),y = y1 + α(y2 − y1), α ∈ R. (7.7)

Jedna£ine (7.5) i (7.6) su parametarske vektorske jedna£ine, dok su (7.7)parametarske koordinatne jedna£ine prave date dvjema ta£akama.

Ako je x1 6= x2, tada je k = y2−y1x2−x1 , pa je

y − y1 =y2 − y1x2 − x1

(x− x1), (7.8)

²to je jedna£ina prave kroz dvije ta£ke.Specijalno, ako za posmatrane ta£ke odaberemo ta£ke presjeka sa koor-

dinatnim osama, date sa M = (m, 0) i N = (0, n), onda jedna£ina pravepoprima oblik

x

m+y

n= 1, (7.9)

²to je segmentni oblik jedna£ine prave.Brojevi m i n se nazivaju odsje£cima na osama x i y, respektivno.Jedna£ina (7.4) se modi�kuje ukoliko prava y-osu presjeca u ta£ki L =

(0, l) i poprima obliky = kx+ l, (7.10)

²to je eksplicitni oblik jedna£ine prave. Broj l je odje£ak na y osi.Tre¢i na£in zadavanja prave je situacija kada se umjesto vektora pravca

zadaje vektor normale. Neka su zadati ta£ka T0 svojim koordinatama (x0, y0)i vektor normale prave ~n, svojim koordinatama (A,B). Neka je ta£ka T povolji odabrana ta£ka prave p. Vektor [

−−→T0T ] = (x − x0, y − y0) nalazi se na

pravoj i okomit je na vektor normale ~n, pa je skalarni produkt ta dva vektorajednak 0. Dakle, vrijedi

(x− x0, y − y0)(A,B) = 0

14

7.2.Udaljenost ta£ke od prave Doc. dr. Almasa Odºak

A(x− x0) +B(y − y0) = 0,

²to moºemo pisati u obliku

Ax+By + C = 0, (7.11)

gdje je C = −Ax0 −By0, ²to je implicitni oblik jedna£ine prave.Oblik jedna£ine prave dat sa (7.11) govori da je to jedna£ina prvog reda,

odnosno da je prava kriva u ravni prvog reda.

7.2 Udaljenost tacke od prave

Prilikom prou£avanja problema analiti£ke geometrije £esto je potrebno ode-diti udaljenosti dva geometrijska objekta.

Najjednostavnije je odrediti udaljenost dvije ta£ke ravni. Naime, udalje-nost izme�u dvije ta£ke jednaka je duºini duºi koja je odre�ena tim ta£kama,a ona je jednaka duºini vektora £iji je predstavnik odre�en tim ta£kama.Preciznije, vrijedi tvrdnja.

Teorem 7.1. Neka su A i B dvije ta£ke ravni π date svojim koordinatama(a1, a2), (b1, b2), respektivno, tada je udaljenost tih ta£aka, u oznaci d(A,B)data sa

d(A,B) =√

(b1 − a1)2 + (b2 − a2)2.

Op¢enito udaljenost izme�u dva skupa ta£aka A i B de�nira se na sljede¢ina£in

d(A,B) = inf{d(A,B) : A ∈ A, B ∈ B}.Nas zanima udaljenost izme�u ta£ke i prave. O tome udaljenost kojih ta£akanam daje traºenu udaljenost govori nam sljede¢a tvrdnja.

Teorem 7.2. Neka je T0 ta£ka ravni π i prava p prava te ravni. Neka je Npresjek normale kroz ta£ku T0 na pravu p i prave p. Neka je P proizvoljnata£ka prave p, tada je d(T0, N) ≤ d(T0, P ), P ∈ p.

Dokaz ove tvrnje neposredno slijedi iz £injenice da je hipotenuza pravo-uglog trougla duºa od ma koje katete tog trougla primijenjene na trougaoodre�en ta£kama T0, N i P .

Upravo navedeni teorem nam omogu¢ava da ra£unanje udaljenosti izme�uta£ke i prave svedemo na ra£unanje udaljenosti izme�u dvije ta£ke. Moºe sepokazati da vrijedi tvrdnja.

15

7.3.Ugao izme�u dvije prave Doc. dr. Almasa Odºak

Teorem 7.3. Udaljenost ta£ke T0 = (x0, y0) od prave p date jedna£inomAx+By + C = 0 data je sa

d(T0, p) =|Ax0 +By0 + C|√

A2 +B2.

7.3 Ugao izmedu dvije prave

Neka su date dvije prave y = kix + li, i = 1, 2. Pod uglom izme�u dvijeprave podrazumijevamo manji od dva ugla koje grade te dvije prave, to jestepodrazumijevamo da je ugao iz segmenta [0, π/2]. Kako smo ve¢ napomenulikoe�cijenti smjera su jednaki tangensima uglova koje te prave zatvaraju sapozitivnim dijelom x-ose. Ozna£imo li pomenute uglove sa φ1 i φ2, respek-tivno, slijedi da je k1 = tg(φ1) i k2 = tg(φ2). Slijedi da se tangens ugla φizme�u posmatranih pravih moºe izraziti na sljede¢i na£in

tg(φ) =

∣∣∣∣ k2 − k11 + k1k2

∣∣∣∣ .Specijalno, k1 = k2 predstavlja uslov paralelnosti, a uslov k2k1 = −1, je uslovokomitosti.

Do istog rezultata smo mogli do¢i i posmatraju¢i ugao izme�u vektorapravca posmatranih pravih ili izme�u uglova vektora normale. Ova druga£injenica nam omogu¢ava da izraz za ugao izme�u dvije prave izvedemo i uslu£aju pravih zadatih u implicitnom obliku.

Neka su date prave Aix+Biy+Ci = 0, i = 1, 2. Njihovi vektori normalasu ~ni = (Ai, Bi), i = 1, 2. Ugao izme�u datih pravih je dat sa

cosφ =~n1 · ~n2

|~n1| · |~n2|, ϕ ∈ [0,

π

2].

Sada uslov okomitosti moºemo pisati u obliku

A1A2 +B1B2 = 0,

a uslov paralelnosti je dat sa

A1

A2

=B1

B2

.

16

7.4.Krive drugog reda Doc. dr. Almasa Odºak

7.4 Krive drugog reda

Jedna£ine krivih drugog reda u ravni zavise od promjenljivih x i y i mogusadrºati £lanove oblika x2, xy i y2, preciznije mogu biti napisane u obliku

Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0,

pri £emu je bar jedan od koe�cijenata A, B i C razli£it od 0. Identi�kacijomkrivih ¢emo se baviti u jednom od narednih poglavlja, a sada ¢emo razmotritineke od specijalnih slu£ajeva.

7.4.1 Kruznica u ravni

De�nicija 7.1. Kruºnica je skup ta£aka u ravni π jednako udaljenih od £vrsteta£ke te ravni.

�vrstu ta£ku nazivamo sredi²tem ili centrom kruºnice, a udaljenost centraod bilo koje ta£ke kruºnice radijusom ili polupre£nikom.

Posmatramo Dekartov koordinatni sistem(O,(~i,~j))

. Izvedimo jedna-£inu kruºnice. Neka je C(a, b) centar, a r radijus. Proizvoljnu ta£ku kruºniceozna£imo sa T (x, y). T pripada kruºnici akko |TC| = r, pa jedna£ina glasi

(x− a)2 + (y − b)2 = r2. (7.12)

Posljednju jedna£inu moºemo pisati i u obliku

x2 − 2ax+ a2 + y2 − 2by + b2 = r2,

to jestex2 + y2 − 2ax− 2by + (a2 + b2 − r2) = 0,

odnosno kaox2 + y2 +Dx+ Ey + F = 0, (7.13)

gdje je D = −2a, E = −2b i F = a2+b2−r2. Jasno, ovo je jedna£ina drugogreda, pa je kruºnica kriva drugog reda.

Primijetimo da u obliku jedna£ine kruºnice (7.13), koe�cijenti uz kva-dratne £lanove su jednaki, a £lan sa proizvodom xy nedostaje, to jeste njemupridruºen koe�cijent je jednak 0. Vrijedi i obratno, ukoliko jedna£ina dru-gog reda zadovoljava uslove da su koe�cijenti uz kvadratne £lanove x2 i y2

17


jednaki, a koe�cijent uz proizvod xy jednak 0, onda je ta jedna£ina, jedna-£ina kruºnice, jer se moºe svesti na jedna£inu oblika (7.13) dijeljenjem sakoe�cijentima uz x2.

Iz (7.13) slijedi da je

a = −D2, b = −E

2, r2 = a2 + b2 − F =

D2 + E2 − 4F

4.

Ukoliko je D2 + E2 − 4F > 0 jedna£ina (7.13) odre�uje kruºnicu radijusa

r =

√D2 + E2 − 4F

4.

Za D2 +E2− 4F = 0 jedna£ina odre�uje kruºnicu radijusa 0, to jeste ta£ku,a za D2 + E2 − 4F < 0 jedna£ina ne odre�uje nikakav geometrijski lik.

Razmotrimo sada me�usobni poloºaj prave i kruºnice. Neka su date pravay = kx+ l i kruºnica (x− a)2 + (y− b)2 = r2. Zajedni£ku ta£ku odre�ujemorje²avaju¢i odgovaraju¢i sistem. Dobijamo

(x− a)2 + (kx+ l − b)2 = r2,

odnosno

(1 + k2)x2 + 2x(k(l − b)− a) + (l − b)2 + a2 − r2 = 0.

Broj rje²enja posljednje jedna£ine odre�uje broj zajedni£kih ta£aka prave ikruºnice. Kako je diskriminanta gornje jedna£ine data sa

DK = [2(k(l − b)− a)]2 − 4(1 + k2)((l − b)2 + a2 − r2),

to prava i kruºnica imaju dvije zajedni£ke ta£ke za DK > 0, jednu zajedni£kuta£ku za DK = 0 (to jeste, prava je tangenta kruºnice) i nemaju zajedni£kihta£aka za DK < 0.

U slu£aju DK = 0 izraz se moºe pojednostaviti tako da poprimi oblik

(1 + k2)r2 = (b− ka− l)2. (7.14)

Izraz (7.14) se naziva i uslovom dodira prave i kruºnice, odnosno uslovomtangencijalnosti.

Ovaj uslov moºe se izvesti i na sljede¢i na£in. Prava p je tangenta kruºniceako i samo ako je udaljenost prave od centra kruºnice jednaka r. Koristimo

18


formulu za udaljenost ta£ke C(a, b) od prave y = kx+ l (odnosno u njenomimplicitnom obliku −kx+ y − l = 0), pa dobijamo da je

|−ka+ b− l|√1 + k2

= r,

²to je ekvivalentno prethodnom izrazu, nakon kvadriranja.Izvest ¢emo i parametarsku jedna£inu kruºnice. Umjesto Dekartovog ko-

ordinatnog sistema mogu¢e je koristiti i takozvani polarni koordinatni sistem.Neka je O �ksna ta£ka ravni π i pp poluprava s po£etkom u O. Ta£ka T ravniπ, T 6= O jednozna£no je odre�ena svojom udaljeno²¢u r = d(O, T ) od ta£keO i uglom ϕ koji gradi poluprava OT sa polupravom pp, ϕ ∈ [0, 2π). Uve-deni koordinatni sistem naziva se polarnim sistemom, a par (r, ϕ) polarnimkoordinatama ta£ke T .

Ukoliko posmatramo Descartesov i polarni koordinatni sistem sa istimishodi²tem, pri £emu se poluprava pp podudara sa pozitivnim dijelom x-ose,onda slijedi veza Descartesovih i polarnih koordinata

x = r cosϕ, y = r sinϕ,

odnosnor =

√x2 + y2, tgϕ =

y

x.

Parametarske jedna£ine kruºnice slijede iz navedene veze, pri £emu je rasto-janje r �ksno (zadato), a parametar je ϕ, tj. kruºnica je data sa

x = r cosϕ,

y = r sinϕ, ϕ ∈ [0, 2π).

7.4.2 Elipsa u ravni

De�nicija 7.2. Neka su F1 i F2 dvije £vrste ta£ke u ravni π udaljene za2e > 0 i neka je a zadan realan broj, a > e. Elipsa je skup ta£aka u ravni πza koje je zbir udaljenosti od F1 i F2 konstantan i jednak 2a, to jeste

E = {T ∈ π : d(T, F1) + d(T, F2) = 2a} .

Ta£ke F1 i F2 nazivamo fokusima ili ºiºama elipse. Ako stavimo b2 =a2 − e2 > 0 izvodi se jedna£ine elipse

x2

a2+y2

b2= 1. (7.15)

19


Koordinatni sistem je odabran tako da fokusi leºe na x-osi i da je koordinatnipo£etak sredi²te duºi odre�ene fokusima. Jedna£ina (7.15) se naziva kanon-skom jedna£inom elipse. Ovo je i centralna jedna£ina, jer je koordinatnisistem odabran tako da se nalazi u centru elipse.

Ta£ke A1(−a, 0), A2(a, 0), B1(0,−b) i B2(0, b) zovu se tjemena elipse.AA1 je glavna osa, OA1 i OA2 su glavne poluose, BB1 je sporedna ili malaosa, a OB1 i OB2 male poluose. Dakle, a je duºina glavne, a b sporednepoluose. Broj e se naziva linearni ekscentricitet elipse, e < a, a broj ε = e

a,

0 < ε < 1 je numeri£ki ekscentricitet elipse. Kada je ε blizu 0, a i b su bliske,pa je elipsa bliska kruºnici.

Mogu¢e je postaviti koordinatni sistem tako da fokusi leºe na y-osi togsistema, pa jedna£ina elipse poprima oblik

x2

b2+y2

a2= 1, b < a,

pri £emu je Fi = (0,±e), (i = 1, 2), e2 = a2−b2. Ukoliko je koordinatni sistemodabran tako da centar elipse nije u koordinatnom po£etku, jedna£ina elipseglasi

(x− p)2

a2+

(y − q)2

b2= 1,

gdje je (p, q) centar elipse.U nastavku ¢emo razmotriti me�usobni poloºaj prave i elipse. Zajedni£ke

ta£ke prave i elipse odre�ujemo rje²avaju¢i sistem

y = kx+ l,

x2

a2+y2

b2= 1,

odakle slijedi(a2k2 + b2)x2 + 2a2klx+ a2(l2 − b2) = 0. (7.16)

Zavisno od diskriminante ove kvadratne jedna£ine, mogu¢e je da postojedvije, jedna ili nijedna presje£na ta£ka.

Uslov dodira se dobije analognim postupkom kao i kod kruºnice i oblikaje

a2k2 + b2 = l2.

Iz jedna£ine (7.16) uz uslov dodira dobijamo jedna£inu tangente elipsekroz ta£ku (x1, y1)

x1x

a2+y1y

b2= 1.

20


Postoje i drugi na£ini de�niranja elipse. U tu svrhu se uvodi pojamdirektrise ili ravnalice.

De�nicija 7.3. Direktrisa elipse je prava p za koju vrijedi da je za svakuta£ku T elipse omjer udaljenosti od jednog fokusa elipse i od prave p kons-tantan realan broj c > 0, tj. vrijedi

d(T, F )

d(T, p)= c. (7.17)

Odredimo direktrisu elipse, ukoliko postoji. Prvo primijetimo da direk-trisa ne smije sje¢i elipsu, jer bi postojale ta£ke £ija je udaljenost od direktrise0 i one £ija udaljenost nije 0. Zatim, uo£imo da ta£ke simetri£ne u odnosu naveliku osu su jednako udaljene od fokusa, pa moraju biti i jednako udaljeneod direktrise. Slijedi da direktrisa mora biti okomita na veliku osu elipse.Kona£no, elipsa je simetri£na u odnosu na malu osu, pa ako postoji jednaonda postoje i dvije direktrise p1 i p2. Kombiniraju¢i sve navedene zaklju£kepokazuje se da su direktrise oblika

x = ±aε.

7.4.3 Hiperbola u ravni

De�nicija 7.4. Neka su F1 i F2 dvije £vrste ta£ke ravni π udaljene za 2e > 0i neka je a zadan pozitivan realan broj, a < e. Hiperbola je skup ta£aka ravniπ za koje je apsolutna vrijednost razlike udaljenosti od F1 i F2 konstantna ijednaka 2a, tj.

H = {T ∈ π : |d(T, F1)− d(T, F2)| = 2a} .

Ta£ke F1 i F2 nazivamo fokusima ili ºiºama hiperbole.Neka je dat koordinatni sistem

(0,(~i,~j))

i neka su F1(−e, 0) i F2(e, 0).Jedna£ina hiperbole je oblika

x2

a2− y2

b2= 1, (7.18)

gdje je b2 = e2 − a2.

21


Moºe se provjeriti da sve ta£ke skupa zadanog jedna£inom (7.18) su ta£kehiperbole koja je opisana de�nicijom. Jedna£ina (7.18) implicira da je

y = ±b√x2

a2− 1,

pa zaklju£ujemo da je y de�nirano za sve x, |x| ≥ a, pa je hiperbola neogra-ni£ena kriva, koja se sastoji od dvije grane.

Ta£keA1(−a, 0) iA2(a, 0) nazivamo tjemenima hiperbole. Ta£keB1(0,−b)i B2(0, b) nisu ta£ke hiperbole. A1A2 je realna osa hiperbole, dok je B1B2

imaginarna osa, OA1 i OA2 su realne poluose, a OB1 i OB2 imaginarnepoluose.

Jedna£ina (7.18) je kanonska jedna£ine hiperbole. To je i centralna jed-na£ina, koordinatni po£etak je smje²ten u centar hiperbole. e je linearni, a εnumeri£ki ekscentricitet. Iz e > a slijedi da je ε > 1.

Jedna£inu je mogu¢e formirati i smje²taju¢i fokuse na y-osu. Tada jejedna£ina oblika

−x2

b2+y2

a2= 1, b < a,

pri £emu je Fi = (0,±e), (i = 1, 2), e2 = a2 + b2. Ukoliko se centar hiperbolene podudara sa koordinatnim po£etkom, jedna£ina (7.18) poprima oblik

(x− p)2

a2− (y − q)2

b2= 1,

gdje je (p, q) centar hiperbole.Prava i hiperbola mogu imati dvije, jednu ili nijednu zajedni£ku ta£ku,

²to zavisi od broja rje²enja kvadratne jedna£ine koja se dobije rje²avanjemsistema

y = kx+ l,

x2

a2− y2

b2= 1.

Uslov dodira je oblikaa2k2 − b2 = l2,

a jedna£ina tangente kroz ta£ku (x1, y1) je data sa

x1x

a2− y1y

b2= 1.

22


Za razliku od elipse, hiperbola ima asimptote. Asimptote odre�ujemo kaograni£ni poloºaj tangente kada se zajedni£ka ta£ka kre¢e ka beskona£nosti.

Jednostavno je provjeriti da je presje£na ta£ka tangente i hiperbole datasa

x1 =a2kl

b2 − a2k2, y1 =

b2l

b2 − a2k2.

Ovo postaje beskona£no daleka ta£ka za b2− a2k2 = 0, tj. za k = ± ba. Uslov

dodira implicira da je tada l = 0, pa su asimptote oblika

y = ± bax.

Jedna£ine asimptote se mogu odrediti i klasi£nom metodom za odre�ivanjekosih asimptota funkcije.

Za hiperbolu se de�ni²e direktrisa, potpuno isto kao i za parabolu i ana-logno se dokazuje da je mogu¢e de�nirati hiperbolu koriste¢i pojam direktrise.

Neka je F £vrsta ta£ka, p £vrsta prava ravni π. Skup ta£aka T ∈ π kojezadovoljavaju uslov

d(T, F )

d(T, p)= ε, ε > 1

je hiperbola. Pokazuje se da su direktrise hiperbole

x = ±aε= ±a

2

e.

7.4.4 Parabola u ravni

De�nicija 7.5. Neka je p £vrsta prava i F £vrsta ta£ka ravni π koja nepripada pravoj p. Parabola je skup ta£aka u ravni π koje su jednako udaljeneod p i F

P = {T ∈ π : d(T, F ) = d(T, p)} .

Pravu p nazivamo direktrisom parabole, a ta£ku F ºiºom ili fokusom. Pri-mjetimo da je navedena de�nicija analogon de�nicijama za elipsu i hiperboluuvedenu pomo¢u direktrise, za slu£aj ε = 1.

Izvedimo jedna£inu parabole.Neka je dat Dekartov koordinatni sistem

(0,(~i,~j))

, pri £emu je koordi-natni po£etak smje²ten u tjeme parabole de�nirano na sljede¢i na£in. Nekaje N projekcija ta£ke F na pravu p, tada je tjeme parabole polovi²te duºi

23


FN . Ozna£avamo ga sa A. Dakle, odabrali smo koordinatni sistem tako daje A = O. Prava kroz A i F se naziva osom parabole. Neka se u odabranomkoordinatnom sistemu osa parabole podudara sa x-osom.

Ozna£imo sa p polovinu duºinu tetive koja prolazi kroz F i paralelna je sdirektrisom. Broj p se naziva parametrom parabole. Krajnje ta£ke te tetivesu jednako udaljeni od F i p, jer su to ta£ke parabole. Slijedi da je d(F, p) = p,pa je F

(p2, 0)(d(p,A) = d(A,F )) i x = −p

2je jedna£ina direktise.

Izjedna£avaju¢i udaljenosti iz de�nicije parabole zaklju£ujemo da za pro-izvoljnu ta£ku T (x, y) parabole vrijedi

2xp = y2, (7.19)

²to je kanonski oblik jedna£ine parabole. Ova jedna£ina se naziva i tjemenom,jer je tjeme u koordinatnom po£etku.

Rje²avanjem sistema y2 = 2px, y = kx + l zaklju£ujemo da prava i pa-rabola mogu imati dvije, jednu ili nijednu zajedni£ku ta£ku. Uslov dodira jeoblika

p = 2kl.

Jedna£ina tangente na parabolu u ta£ki (x1, y1) glasi

yy1 = p(x+ x1),

a koordinate ta£ke dodira su

x1 =p− klk2

, y1 =p

k.

24




� predavanja �


Sadrºaj

Sadrºaj ii

1 Uvod 1







8 Analiti£ka geometrija u prostoru 8

8.1 Ravan u prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88.2 Udaljenost ta£ke od ravni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128.3 Me�usobni odnos dvije ravni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138.4 Pramen ravni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148.5 Prava u prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Sadrºaj Doc. dr. Almasa Odºak

8.6 Udaljenost ta£ke od prave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168.7 Me�usobni odnos dvije prave u prostoru . . . . . . . . . . . . 178.8 Me�usobni odnos prave i ravni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218.9 Povr²i drugog reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

8.9.1 Rotacione povr²i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248.9.2 Primjeri povr²i drugog reda . . . . . . . . . . . . . . . 258.9.3 Konusne povr²i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308.9.4 Cilindri£ne povr²i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

iii

POGLAVLJE 8

Analiti£ka geometrija u

prostoru

U ovom poglavlju bavit ¢emo se najjednostavnijim povr²ima i najjednostav-nijim krivim u prostoru, a to su ravan i prava. Izvest ¢emo razne oblikejedna£ina ravni i prave u prostoru. Bavit ¢emo se me�usobnim odnosomdvije ravni u prostoru, dvije prave u prostoru, kao i me�usobnim odnosomprave i ravni u prostoru.

8.1 Ravan u prostoru

Prilikom prou£avanja analiti£ke geometrije u ravni vidjeli smo da su najjed-nostavnije krive u ravni, krive prvog reda, zapravo prave linije. Sada ¢emopokazati da su najjednostavnije povr²i u prostoru, povr²i prvog reda, zapravoravni u prostoru. Iz de�nicije stepena povr²i direktno slijedi da jedna£inu po-vr²i prvog reda moºemo pisati u obliku

Ax+By + Cz +D = 0, A2 +B2 + C2 = 0. (8.1)

Teorem 8.1. U Descartesovom pravouglom koordinatnom sistemu svaka ra-van moºe biti zadana jedna£inom (8.1). Svaka linearna jedna£ina (8.1) u

8.1.Ravan u prostoru Doc. dr. Almasa Odºak

odnosu na proizvoljan Descartesov pravougli koordinatni sistem odre�uje ra-van.

Dokaz. Neka je data proizvoljna ravan π. Pokazat ¢emo da ta ravan ima jed-na£inu oblika (8.1) u pogodno odabranom pravouglom koordinatnom sistemu.Obzirom da oblik jedna£ine ostaje invarijantan pri prelasku s jednog na drugipravougli koordinatni sistem, kako smo ve¢ napomenuli, to ¢e posmatranaravan imati jedna£inu oblika (8.1) u svakom Descartesovom pravouglom ko-ordinatnom sistemu.

Neka je O proizvoljna ta£aka prave π i neka su u toj ravni odabraniortonormirani vektori i i j. Stavimo da je k = i × j. Tada je (O, (i, j, k))Descartesov pravougli koordinatni sistem. Neka je M proizvoljna ta£ka ravniπ. Tada je [

−−→OM ] = αi+βj+0k, to jeste koordinate ta£keM , odnosno njenog

radijus vektora su (α, β, 0). Slijedi da posmatrana ravan ima jedna£inu oblikaz = 0 u odabranom koordinatnom sistemu, ²to je jedna£ina oblika (8.1), paje prvi dio dokaza zavr²en.

Za drugi dio dokaza pretpostavimo da nam je data jedna£ina oblika (8.1) uproizvoljno odabranom pravouglom koordinatnom sistemu (O, (i, j, k)). Popretpostavci je barem jedan od koe�cijenata A, B, C razli£it od 0. Bezumanjenja op²tosti moºemo pretpostaviti da je A = 0. Jednostavnim uvr-²tavanjem moºe se provjeriti da ta£ke

(−D

A, 0, 0

),(−B+D

A, 1, 0

)i(−C+D

A, 0, 1

)zadovoljavaju jedna£inu (8.1). Stavimo da je

n = [−−−−→M1M2]× [

−−−−→M1M3] = i+

B

Aj +

C

Ak.

Postoji ta£no jedna ravan π odre�ena vektorom normale n koja prolazita£kom M1. Pokaºimo da je to ravan opisana jedna£inom (8.1). Neka jeM0 = (x0, y0, z0) proizvoljna ta£ka koja zadovoljava jedna£inu (8.1). Tada jeAx0 +By0 + Cz0 +D = 0, odnosno

x0 +B

Ay0 +

C

Az0 +

D

A= 0. (8.2)

Koomponente vektora [−−−−→M1M0] date su sa

(x0 +

DA, y0, z0

), pa je

n · [−−−−→M1M0] = x0 +

B

Ay0 +

C

Az0 +

D

A,

odnosno koriste¢i (8.2) slijedi da je n · [−−−−→M1M0] = 0, pa su posmatrani vektori

okomiti, odakle slijedi da ta£ka M0 pripada ravni π. Obzirom da je M0 bila

9


proizvoljna odabrana ta£ka koja zadovoljava jedna£inu (8.1), slijedi da sveta£ke koje zadovoljavaju tu jedna£inu pripadaju ravni π. Za ta£ku M kojane pripada ravni π vektor [

−−−→M1M ] nije okomit na vektor n, pa ne vrijedi

n · [−−−−→M1M0] = 0.

Direktna posljedica prethodnog razmatranja data je u nastavku.

Posljedica 8.2. Ako je u nekom pravouglom koordinatnom sistemu u pros-toru vektor n dat komponentama (A,B,C), onda je on ortogonalan na ravandatu jedna£inom Ax+By + Cz +D = 0.

U nastavku ¢emo razmotriti razli£ite oblike jedna£ine ravni. Kao polazi-²te za odre�ivanje pomenutih jedna£ina su razli£iti objekti kojima je ravanodre�ena.

Ravan π je odre�ena ta£kom T0 koja joj pripada i sa dva nekolinearnavektora a i b s kojima je paralelna. Neka je ta£ka T0 data svojim koordina-tama (x0, y0, z0). Neka je T = (x, y, z) proizvoljna ta£ka ravni π i neka suposmatrani vektori dati svojim koordinatama a = (a1, a2, a3) i b = (b1, b2, b3).Vektor [

−−→T0T ] obzirom na izbor ta£aka T0 i T pripada ravni π, pa su a, b i

[−−→T0T ] komplanarni vektori, proizilazi da su oni linearno zavisni. Slijedi dapostoje realni skalari α i β takvi da je

[−−→T0T ] = αa+ βb.

Stavimo li da je r = [−→OT ] i r0 = [

−−→OT0], slijedi da je [

−−→T0T ] = αa+βb = r− r0,

to jeste,r = r0 + αa+ βb, α, β ∈ R. (8.3)

Jedna£ina (8.3) je parametarski vektorski oblik jedna£ine ravni π.Kako su u dekompoziciji, odnosno zapisu u obliku linearne kombinacije

skalari α i β jedinstveni, to su oni jedinstveni i u (8.3). Iskoristimo li koordi-natni zapis vektora iz (8.3) dobijamo novi oblik jedna£ine ravni u prostoru.Vrijedi

x = x0 + αa1 + βb1

y = y0 + αa2 + βb2 (8.4)z = z0 + αa3 + βb3, α, β ∈ R,

²to je parametarski koordinatni oblik jedna£ine ravni π.

10


�injenicu da su vektori a, b i [−−→T0T ] komplanarni moºemo zapisati i na

drugi na£in koriste¢i karakterizaciju komplanarnosti pomo¢u mje²ovitog pro-izvoda. Zahtijevamo da je njihov mje²oviti proizvod jednak 0,∣∣∣∣∣∣

x− x0 y − y0 z − z0a1 a2 a3b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣ = 0, (8.5)

²to je drugi oblik jedna£ine ravni odre�ene ta£kom T0 i sa dva nekolinearnavektora a i b.

Ravan je odre�ena sa tri ta£ke koje leºe na njoj, a nisu na istoj pra-voj. Neka su te ta£ke date svojim koordinatama Ti = (xi, yi, zi), i = 1, 2, 3.Formirajmo vektore a = [

−−→T1T2] i b = [

−−→T1T3]. Iz nekolinearnosti odabranih ta-

£aka slijedi nekolinearnost formiranih vektora, pa novi oblik jedna£ine ravnimoºemo izvesti primjenjuju¢i (8.5) na novoformirane vektore. Dobijamo daje ∣∣∣∣∣∣

x− x1 y − y1 z − z1x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1

∣∣∣∣∣∣ = 0, (8.6)

²to je jedna£ina ravni kroz tri ta£ke.Odaberimo specijalno za tri nekolinearne ta£ke ravni ta£ke presjeka sa ko-

ordinatnim osama (za ravan koja ne prolazi koordinatnim po£etkom). Nekasu one date svojim koordinatama

T1 = (m, 0, 0), , T2 = (0, n, 0), T3 = (0, 0, p).

Uvr²tavanjem u prethodno izvedeni oblik jedna£ine ravni dobijamo da je∣∣∣∣∣∣x−m y z−m n 0−m 0 p

∣∣∣∣∣∣ = 0,

²to moºemo pisati u obliku

(x−m)np+ ymp+ zmn = 0,

pa jexnp+ ymp+ zmn = mnp.

11

8.2.Udaljenost ta£ke od ravni Doc. dr. Almasa Odºak

Dijeljenjem posljednje jedna£ine sa mnp (pretpostavili smo da ta£ke ne pred-stavljaju koordinanti po£etak, pa je mnp = 0) dobijamo

x

m+

y

n+

z

p= 1, (8.7)

²to je segmentni oblik jedna£ine ravni.Ravan je tako�e odre�ena vektorom normale n = (A,B,C) = 0 i jednom

ta£kom te ravni T0 = (x0, y0, z0).Jednostavno je primijetiti da je T = (x, y, z) ta£ka ravni ako i samo ako

su vektori [−−→T0T ] i n okomiti. Koriste¢i karakterizaciju okomitosti pomo¢u

skalarnog proizvoda slijedi [−−→T0T ] · n = 0, odakle je

(x− x0, y − y0, z − z0) · (A,B,C) = 0.

Iz posljednje jedna£ine dobijamo da je

A(x− x0) +B(y − y0) + C(z − z0) = 0,

odnosno,Ax+By + Cz +D = 0, (8.8)

gdje je D = −Ax0 − By0 − Cz0. Jedna£ina (8.8) je op²ti ili implicitni oblikjedna£ine ravni.

Stavimo li da je r radijus vektor ta£ke T , a r0 ta£ke T0 posljednja jedna£inapoprima oblik

(r − r0) · n = 0, (8.9)

²to je vektorski oblik jedna£ine ravni.

8.2 Udaljenost tacke od ravni

Kao i u slu£aju odre�ivanja udaljenosti ta£ke od prave u ravni, kada sekoristila ortogonalna projekcija ta£ke na pravu, i u slu£aju udaljenosti ta£keod ravni u prostoru koristi se ortogonalna projekcija ta£ke na ravan. Rezultatje dat u nastavku.

Propozicija 8.3. Neka je T0 ta£ka, a π ravan prostora. Neka je N podnoºjenormale kroz T0 na ravan π i neka je P proizvoljna ta£ka ravni π, tada jed(T0, N) ≤ d(T0, P ), P ∈ π.

12

8.3.Me�usobni odnos dvije ravni Doc. dr. Almasa Odºak

Dokaz prethodne propozicije neposredno slijedi iz £injenice da je duºinakatete u pravouglom trouglu manja od duºine hipotenuze. Imaju¢i na umude�niciju udaljenosti skupova ta£aka, odmah slijedi da je udaljenost ta£ke odravni jednaka udaljenosti ta£ke od njene ortogonalne projekcije na tu ravan.

Izvedimo formulu za tu udaljenost. Neka je T0 = (x0, y0, z0) ta£ka prostoradata svojim koordinatama i π ravan prostora data svojom jedna£inom uimplicitnom obliku Ax + By + Cz + D = 0, slijedi da je n = (A,B,C).Vrijedi,

d(T0, T ) = d(T0, N) = |T0N |

=

∣∣∣∣[−−→T0N ] · n

|n|

∣∣∣∣=

∣∣∣([−−→ON ]− [−−→OT0]

)· n

∣∣∣|n|

=

∣∣∣[−−→ON ] · n− [−−→OT0] · n

∣∣∣|n|

=|Ax0 +By0 + Cz0 +D|√

A2 +B2 + C2.

Po²to je N ∈ π slijedi da je [−−→ON ] · n = −D, pa gornja jednakost vrijedi.

Dakle, vrijedi tvrdnja.

Teorem 8.4. Udaljenost ta£ke T0 = (x0, y0, z0) od ravni π : Ax+By+Cz+D = 0 data je sa

d(T0, π) =|Ax0 +By0 + Cz0 +D|√

A2 +B2 + C2.

8.3 Medusobni odnos dvije ravni

Prilikom razmatranja me�usobnog poloºaja dvije ravna zna£ajno je posma-trati ugao izme�u tih ravni. Neka su date ravni svojim implicitnim jedna-£inama Aix + Biy + Ciz + Di = 0, i = 1, 2. Njihovi vektori normala suni = (Ai, Bi, Ci), i = 1, 2. Ugao izme�u dvije ravni jednak je uglu koji £inevektori normala ili suplementu tog ugla, pa je

cosφ =n1 · n2

|n1| · |n2|, φ ∈ [0,

π

2].

13

8.4.Pramen ravni Doc. dr. Almasa Odºak

Ako su date ravni okomite i njihovi vektori normala su okomiti, pa jen1 · n2 = 0, to jeste (A1, B1, C1) · (A2, B2, C2) = 0. Vrijedi i obrat. Dakle,

A1A2 +B1B2 + C1C2 = 0,

je uslov okomitosti.Ravni su paralelne ako i samo ako su njihovi vektori normala kolinearni,

pa je uslov paralelnosti ravni dat sa

A1

A2

=B1

B2

=C1

C2

.

8.4 Pramen ravni

Neka su date dvije ravni

Aix+Biy + Ciz +Di = 0, i = 1, 2. (8.10)

Ako se date ravni sijeku onda je njihov presjek prava u prostoru. Krozjednu pravu moºemo postaviti beskona£no mnogo ravni. Skup svih ravni kojeprolaze kroz presjek dvije ravni naziva se pramenom ravni. Posmatrajmo

α(A1x+B1y+C1z+D1)+β(A2x+B2y+C2z+D2) = 0, α, β ∈ R. (8.11)

Jedna£ina (8.11) za proizvoljno odabrane, ali �ksirane skalare α i β pred-stavlja jedna£inu ravni, jer je lijeva strana polinom prvog stepena sa trinepoznate. Jedna£ina (8.11) se £esto pi²e u obliku

A1x+B1y + C1z +D1 + λ(A2x+B2y + C2z +D2) = 0,

gdje je λ proizvoljan realan parametaar. Posljednja jedna£ina se naziva jed-na£inom pramena ravni.

8.5 Prava u prostoru

Prava linija u prostoru moºe biti odre�ena razli£itim elementima, ²to omo-gu¢ava izvo�enje razli£itih oblika jedna£ine prave u prostoru.

Prava p odre�ena je ta£kom T0 = (x0, y0, z0) i vektorom pravca p =

(p1, p2, p3). Neka je T proizvoljna ta£ka prave p. Tada su vektori [−−→T0T ] i p

kolinearni, pa postoji skalar α ∈ R takav da vrijedi

[−−→T0T ] = αp.

14

8.5.Prava u prostoru Doc. dr. Almasa Odºak

Stavimo r = [−→OT ] i r0 = [

−−→OT0], pa je

r − r0 = αp, α ∈ R,

odnosnor = r0 + αp, α ∈ R, (8.12)

²to je parametarski vektorski oblik jedna£ine prave p.Uvr²tavaju¢i koordinate ta£aka T0, T i vektora pravca p u (8.12) dobijamo

oblik jedna£ine prave u prostoru dat sa

x = x0 + αp1,

y = y0 + αp2, (8.13)z = z0 + αp3, α ∈ R,

²to je parametarski koordinatni oblik jedna£ine prave.Eliminacijom parametra α dobijamo kanonski oblik jedna£ine prave

x− x0

p1=

y − y0p2

=z − z0p3

, (8.14)

uz uslov da je p1, p2, p3 = 0. �esto se koriste sljede¢e oznake za koordinatevektora pravca p = (k, l,m). Ukoliko je p1 = 0 pi²emo

x = x0,y − y0p2

=z − z0p3

,

za p2 = 0 je

y = y0,x− x0

p1=

z − z0p3

,

a za p3 = 0 vrijedi

z = z0,x− x0

p1=

y − y0p2

.

Forma (8.14) se £esto formalno pi²e i u slu£aju kada su nazivnici 0 imaju¢iu vidu da oni predstavljaju komponente vektora i tada se zapis interpetirakako je upravo navedeno.

Nove oblike jedna£ine prave u prostoru mogu¢e je izvesti koriste¢i £inje-nicu da je prava p odre�ena dvjema razli£itim ta£kama. Neka su ta£ke datesvojim koordinatama T1 = (x1, y1, z1) i T2 = (x2, y2, z2). Za vektor pravca p

15

8.6.Udaljenost ta£ke od prave Doc. dr. Almasa Odºak

biramo vektor [−−→T1T2] = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1), a za ta£ku T0 odaberemo

ta£ku T1, to jeste stavimo T0 = T1.Jedna£ina (8.13) sada poprima oblik

x = x1 + α(x2 − x1),

y = y1 + α(y2 − y1),

z = z1 + α(z2 − z1), α ∈ R,

a jedna£ina (8.14)x− x1

x2 − x1

=y − y1y2 − y1

=z − z1z2 − z1

.

Posljednje dvije jedna£ine su jedna£ine prave u prostoru zadate dvjema ta£-kama.

Prava moºe biti zadana i kao presjek dvije neparalelne ravni π1 i π2. Nekasu ravni zadane jedna£inama

Aix+Biy + Ciz +Di = 0, i = 1, 2, A1 : B1 : C1 = A2 : B2 : C2. (8.15)

Jedna£ina (8.15) je jedna£ina prave zadana presjekom ravni. Prava zadanana ovaj na£in se moºe prevesti u paramatarski vektorski oblik. Ukoliko suravni u (8.15) date vektorskim jedna£inama

r · ni +Di = 0, i = 1, 2, (8.16)

pokazuje se da je jedna£ina prave odre�ene presjekom datih ravni oblika

r = r0 + λa,

gdje je r0 =(n1×n2)×(D1n2−D2n1)

|a|2 , a = n1 × n2.

8.6 Udaljenost tacke od prave

Analogno ranije razmatranoj situaciji u ravni pokazuje se da vrijedi teorem.

Teorem 8.5. Udaljenost ta£ke T0 od prave p u E3 jednaka je udaljenostita£ke T0 od podnoºja normale kroz ta£ku T0 na pravu p.

16

8.7.Me�usobni odnos dvije prave u prostoru Doc. dr. Almasa Odºak

Izvedimo formulu za udaljenost ta£ke T0 od prave p u prostoru. Neka jeprava p data vektorskom jedna£inom

r = r1 + αp,

gdje je r radijus vektor ta£ke T , koja je proizvoljna ta£ka prave p, a r1 radijusvektor ta£ke T1 prave p.

Neka je ta£ka T2 ta£ka prave p za koju je [−−→T1T2] = p. Primijetimo da

je udaljenost ta£ke T0 od prave p jednaka duºini visine trougla △T0T1T2.Koriste¢i standardnu formulu za povr²inu trougla slijedi da je

P△T0T1T2 =1

2|p| · d(T0, p),

gdje je d(T0, p) traºena udaljenost ta£ke T0 od prave p. S druge strane povr-²inu posmatranog trougla moºemo izra£unati koriste¢i intenzitet vektorskogproizvoda vektora nad kojim je konstruisan posmatrani trougao. Slijedi daje

P△T0T1T2 =1

2

∣∣∣[−−→T0T1]× [−−→T1T2]

∣∣∣ = 1

2|(r1 − r0)× p|.

Kombiniranjem dva izraza za povr²inu trougla proizilazi da je

1

2|p| · d =

1

2|(r1 − r0)× p|,

odnosno

d(T0, p) =|(r1 − r0)× p|

|p|.


Teorem 8.6. Udaljenost ta£ke T0, £iji je radijus vektor r0, od prave p datejedna£inom r = r1 + αp, data je izrazom

d(T0, p) =|(r1 − r0)× p|

|p|.

8.7 Medusobni odnos dvije prave u prostoru

Dvije prave u prostoru mogu zauzimati razli£ite poloºaje. Mogu se poklapati,biti paralelne, sije¢i se ili biti mimoilazne.

17


Za razmatranje me�usobnog odnosa dvije prave u prostoru zna£ajno jeposmatrati ugao izme�u pravih. Pod uglom izme�u dvije prave podrazumi-jevamo ugao izme�u njihovih vektora pravaca. Neka su date prave

p1 : r = r1 + α1p1

p2 : r = r2 + α2p2, (8.17)

tada je ugao φ = ](p1, p2) = ](p1, p2) odre�en izrazom

cosφ =p1 · p2|p1||p2|

.

Ukoliko su prave paralelne, vektori pravca su paralelni i obratno, ako suvektori pravca paralelni onda su prave paralelne. Dakle, prave su paralelneako i samo ako je

k1k2

=l1l2

=m1

m2

,

gdje su vektori pravca posmatranih pravih dati sa p1 = (k1, l1,m1), p2 =(k2, l2,m2).

Ukoliko su prave okomite onda je p1 ⊥ p2 i obratno, ako je p1 ⊥ p2 pravesu okomite. Dakle, prave su okomite ako i samo ako je

k1k2 + l1l2 +m1m2 = 0,

gdje su vektori pravca posmatranih pravih dati sa p1 = (k1, l1,m1), p2 =(k2, l2,m2).

Provjerimo pod kojim uslovom se dvije prave prostora sijeku. Neka seprave (8.17) sijeku i neka je radijus vektor ta£ke presjeka R. Za parametreα1 i α2 koji odgovaraju ta£ki presjeka vrijedi jednakost

r1 + α1p1 = r2 + α2p2,

to jeste,r2 − r1 = α1p1 − α2p2.

Skalarnim mnoºenjem posljednje jedna£ine sa (p1 × p2) dobijamo jednakost

(r2 − r1) · (p1 × p2) = α1p1 · (p1 × p2)− α2p2 · (p1 × p2).

Obzirom da je p1 ⊥ (p1 × p2) i p2 ⊥ (p1 × p2) slijedi da je

(r2 − r1) · (p1 × p2) = 0. (8.18)

18


Uslov (8.18) jeste potreban uslov da bi se prave u prostoru sjekle, ali ne idovoljan. Uslov (8.18) se moºe napisati i u obliku determinante∣∣∣∣∣∣

x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1k1 l1 m1

k2 l2 m2

∣∣∣∣∣∣ = 0. (8.19)

Upravo navedeni uslov se moºe izvesti koriste¢i £injenicu da su u slu£ajupresjeka dvije prave vektori p1, p2 i [

−−→T1T2] komplanarni. (8.19) je uslov kom-

planarnosti posmatranih vektora, pri £emu je r1 radijus vektor ta£ke T1, a r2ta£ke T2.

Treba primijetiti da je uslov (8.19) zadovoljen i u slu£aju kada su dvijeprave paralelne. Druga i tre¢a vrsta determinante su proporcionalne, pa jedeterminanta jednaka 0. Moºe se pokazati da je uslov (8.19) dovoljan uslovza presjek pravih u slu£aju kada prave nisu paralelne.

Za prave koje se ne sijeku i nisu paralelne kaºemo da su mimoilazne prave.Za takve prave ne postoji ravan koja ih sadrºi.

Za mimoilazne prave je zna£ajno odrediti njihovu udaljenost. Da bi odre-dili tu udaljenost konstrui²emo zajedni£ku normalu posmatranih pravih, tojeste prava koja sije£e obje date prave i okomita je na njih. Pokaºimo da jezajedni£ka normala mimoilaznih pravih jedinstvena.

Neka su mimoilazne prave date sa

p1 : r = r1 + α1p1,

p2 : r = r2 + α2p2.

Vektor pravca zajedni£ke normale n okomit je na p1 i p2, pa moºemo stavitida je

n = p1 × p2.

Zajedni£ka normala n i prava p1 se sijeku, pa odre�uju ravan π1, koja moºebiti zadana uslovom komplanarnosti vektora r − r1, p1 i n, to jeste,

(r − r1, p1, n) = 0. (8.20)

Sli£no r − r2, p2 i n odre�uju ravan π2, koja je odre�ena sa zajedni£komnormalom n i pravom p2,

(r − r2, p2, n) = 0. (8.21)

19


Zajedni£ka normala n mimoilaznih pravih odre�ena je presjekom ravni (8.20)i (8.21). Udaljenost mimoilaznih pravih ra£una se kao udaljenost ta£akapresjeka normale n sa pravima p1 i p2. Preciznije, vrijedi tvrdnja.

Teorem 8.7. Neka su p1 i p2 dvije mimoilazne prave i n njihova zajedni£kanormala. Neka su N1 i N2 presjeci normale n s pravima p1 i p2. Tada je

d(p1, p2) = d(N1, N2).

Dokaz. Treba pokazati da je udaljenost ta£aka N1 i N2 najmanja mogu¢a odsvih udaljenosti ta£aka P1 ∈ p1 i P2 ∈ p2. Vrijedi

[−−→P1P2] = [

−−−→P1N1] + [

−−−→N1N2] + [

−−−→N2P2] = α1p1 + [

−−−→N1N2] + α2p2.

Odatle je∣∣∣[−−→P1P2]∣∣∣2 = ∣∣∣[−−−→N1N2]

∣∣∣2 + |α1p1 + α2p2|2 + 2α1p1 · [−−−→N1N2] + 2α2p2 · [

−−−→N1N2].

Kako je p1 · [−−−→N1N2] = 0 = p2 · [

−−−→N1N2], to je∣∣∣[−−→P1P2]

∣∣∣2 = |[−−−→N1N2]|2 + |α1p1 + α2p2|2,

to jeste,

d(P1, P2)2 = d(N1, N2)

2 + |α1p1 + α2p2|2 ≥ d(N1, N2)2.

Udaljenost dvije mimoilazne prave ne¢emo ra£unati direktno koriste¢iudaljenost ta£aka N1 i N2. Ako ozna£imo sa Mi ta£ke £iji su radijus vek-tori ri, i = 1, 2, onda vektori [

−−−−→M1M2], p1 i p2 obrazuju paralelopiped. Visina

tog paralelopipeda je traºena udaljenost, dok mu je baza odre�ena vektorimap1 i p2, pa je

V = |(p1 × p2) · [−−−−→M1M2]| = B ·H.

Po²to je B = |p1 × p2| slijedi da je

H =

∣∣∣(p1 × p2) · [−−−−→M1M2]

∣∣∣|p1 × p2|

.


20

8.8.Me�usobni odnos prave i ravni Doc. dr. Almasa Odºak

Teorem 8.8. Udaljenost mimoilaznih pravih datih sa pi : r = ri + αipi(i = 1, 2) jednaka je

d(p1, p2) =|(r2 − r1) · (p1 × p2)|

|p1 × p2|.

Treba napomenuti da je ovu tvrdnju mogu¢e dokazati ra£unaju¢i udalje-nost dvije ravni π1 i π2, spomenute ranije, koje sadrºe prave p1, p2, respek-tivno i okomite su na zajedni£ku normalu. Udaljenost dvije paralelne ravnira£unamo kao udaljenost ta£ke od ravni.

Jo² napomenimo da se pod uglom izme�u mimoilaznih pravih p1 i p2podrazumijeva ugao izme�u pravih p1 i p′2, gdje je p

′2 prava paralelna pravoj

p2 koja prolazi ta£kom T1 prave p1.

8.8 Medusobni odnos prave i ravni

Razmotrimo me�usobni odnos prave i ravni u prostoru. Neka je data pravasa

x− x0

k=

y − y0l

=z − z0m

, (8.22)

to jeste njen vektor pravca dat je sa p = (k, l,m) i ravan sa

Ax+By + Cz +D = 0, (8.23)

to jeste, njen vektor normale je n = (A,B,C).Ugao izme�u prave i ravni de�nira se kao ugao izme�u prave i njene

ortogonalne projekcije na ravan. Dakle, moºemo ga razmatrati kao ugaoizme�u dvije prave. Ozna£imo ugao izme�u date prave i date ravni sa φ.Tada je π

2− φ ugao izme�u vektora pravca prave i vektora normale ravni.

Slijedi da je

cos(π2− φ

)=

p · n|p| · |n|

.

Kako je cos(π2− φ

)= sinφ, to je

sinφ =p · n

|p| · |n|,

odnosno

sinφ =|Ak +Bl + Cm|√

k2 + l2 +m2 ·√A2 +B2 + C2

. (8.24)

21

8.8.Me�usobni odnos prave i ravni Doc. dr. Almasa Odºak

Koriste¢i izraz (8.24) jednostavno izvodimo uslove paralelnosti i okomitostiprave i ravni.

Prava i ravan su paralelne kada je ugao izme�u njih jednak 0, pa jesinφ = 0, odnosno Ak +Bl + Cm = 0, ²to je uslov paralelnosti. Ovaj uslovslijedi i iz £injenice da su tada vektor normale ravni i vektor pravca p pravep okomiti, pa im je skalarni produkt jednak 0.

Uslov okomitosti dobijamo iz £injenice da su za pravu i ravan, koje suokomite, vektor pravca prave i vektor normale ravni paralelni, pa je dat sa

A

k=

B

l=

C

m,

odnosno sa k : l : m = A : B : C.Razmotrimo kakav moºe biti presjek izme�u prave i ravni. Neka su prava

i ravan date jedna£inama (8.22) i (8.23). Iz (8.22) slijedi da je

x = x0 + αk,

y = y0 + αl, (8.25)z = z0 + αm.

Uvr²tavaju¢i (8.25) u (8.23) dobijamo da je

A(x0 + αk) +B(y0 + αl) + C(z0 + αm) +D = 0,

to jesteAx0 +By0 + Cz0 + α(Ak +Bl + Cm) +D = 0,

pa je

α = −Ax0 +By0 + Cz0 +D

Ak +Bl + Cm,

u slu£aju kada je izraz u nazivniku razli£it od 0. Uvr²tavaju¢i α u (8.25)dobijamo koordinate zajedni£kih ta£aka.

Ako je Ak + Bl + Cm = 0 onda α izra£unato na opisani na£in je ko-na£no, pa prava i ravan imaju jednu zajedni£ku ta£ku, koja se naziva ta£komprodora.

Ako je Ak +Bl + Cm = 0, Ax0 +By0 + Cz0 +D = 0 prava je paralelnaravni (prvi uslov je uslov paralelnosti), a ta£ka (x0, y0, z0) prave p ne leºi uravni, pa prava i ravan nemaju zajedni£kih ta£aka.

Ako je Ak+Bl+Cm = 0, Ax0 +By0 +Cz0 +D = 0, prava je paralelnaravni, kao i u prethodnom slu£aju, ali kako ta£ka (x0, y0, z0) leºi u ravni, ²toslijedi iz drugog uslova, to prava leºi u ravni.

22

8.9.Povr²i drugog reda Doc. dr. Almasa Odºak

Dakle, presjek prave i ravni u prostoru moºe biti prazan skup, ta£ka iliprava.

8.9 Povrsi drugog reda

U ovom dijelu ¢emo razmatrati neke od povr²i drugog reda u prostoru. Prili-kom prou£avanja povr²i zna£ajno je ispitivati simetri£nost povr²i u odnosu nakoordinatne ose i u odnosu na koordinatne ravni. Tako�e je zna£ajno uo£itikoje krive nastaju presjekom posmatrane povr²i sa ravnima paralelnim koor-dinatnim ravnima. Posebno ¢emo razmotriti povr²i nastale rotacijom kriveoko date prave prostora, cilindri£ne i konusne povr²i.

Neka je dat Descartesov pravougli koordinatni sistem (O, (i, j, k)) u pros-toru. Razmatramo skup ta£aka u prostoru koji je opisan algebarskom jed-na£inom drugog reda u varijablama x, y i z. Dakle, posmatramo polinomdrugog reda u varijablama x, y i z

f(x, y, z) = a11x2 + a22y

2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz

+ 2a14x+ 2a24y + 2a34z + a44,

gdje je aij ∈ R, i ≤ j, j = 1, 2, 3, 4 i bar jedan od koe�cijenata aij, i ≤ j =1, 2, 3 nije 0. Skup

S ={(x, y, z) ∈ R3 : f(x, y, z) = 0

}nazivamo algebarskom povr²i drugog reda.

U nastavku razmotrimo osobine simetri£nosti povr²i S u odnosu na ko-ordinatne ose i koordinatne ravni.

Neka je ta£ka T data svojim koordinatama (x1, y1, z1). Ta£ka S sa ko-ordinatama (x2, y2, z2) je simetri£na ta£ki T u odnosu na x-osu ukoliko jex1 = x2, y1 = −y2, z1 = −z2. S je simetri£no sa T u odnosu na y-osu ako jex1 = −x2, y1 = y2, z1 = −z2, dok su posmatrane ta£ke simetri£ne u odnosuna z-osu ako je x1 = −x2, y1 = −y2, z1 = z2. Slijedi da je povr² S simetri£nau odnosu na x-osu ukoliko je f(x, y, z) = f(x,−y,−z), dok je simetri£na uodnosu na y-osu ako je f(x, y, z) = f(−x, y,−z), odnosno u odnosu na z-osuako je f(x, y, z) = f(−x,−y, z).

Ta£ka T je simetri£na ta£ki S u odnosu na xy ravan ukoliko je x1 = x2,y1 = y2, z1 = −z2, a u odnosu na xz ravan ako je x1 = x2, y1 = −y2, z1 = z2.Simetri£nost ta£aka S i T u odnosu na yz ravan implicira da je x1 = −x2,

23


y1 = y2, z1 = z2. Navedena razmatranja govore da je povr² S simetri£na uodnosu na xy ravan, ako je f(x, y,−z) = f(x, y, z), u odnosu na xz ravan,ako je f(x,−y, z) = f(x, y, z), dok posmatrana povr² simetri£na u odnosuna yz ravan ukoliko je f(−x, y, z) = f(x, y, z).

Tako�e je mogu¢e razmatrati simetri£nost u odnosu na koordinatni po-£etak. Povr² S je simetri£na u odnosu na koordinatni po£etak ukoliko jef(−x,−y,−z) = f(x, y, z).

Primjer 8.1. Posmatrajmo povr² odre�enu jedna£inom x2

4+ y2

9− 6z = 0.

Kako je f(x, y, z) = x2

4+ y2

9−6z i vrijedi f(x, y, z) = f(−x,−y, z) posmatrana

povr² je simetri£na u odnosu na z-osu. Tako�e je f(x, y, z) = f(−x, y, z) if(x, y, z) = f(x,−y, z), pa je posmatrana povr² simetri£na u odnosu na yz,odnosno xz ravan.

Drugi metod za ispitivanje osobina povr²i u prostoru je ispitivanje pre-sjeka posmatrane povr²i sa ravnima paralelnim koordinatnim ravnima. Pre-sjek por²i sa datim ravnima predstavlja liniju presjeka. Ako presje£emo povr²S ravni koja je paralelna xy ravni skup ta£aka odre�en jedna£inama

f(x, y, z) = 0, z = h,

de�ni²e jedna£inu linije presjeka posmatrane povr²i sa ravni z = h. Kakoje h promjenljivi parametar, dobijamo skup linija presjeka povr²i S ravnimaparalelnim xy ravni. Analogno se moºe razmatrati presjek povr²i sa ravnimakoje su paralelne yz i xz ravnima.

Primjer 8.2. Posmatrajmo povr² odre�enu jedna£inom x2

4+ y2

9− z = 0.

Presjek ove povr²i sa ravni z = 1 je kriva odre�ena jedna£inama x2

4+ y2

9−1 =

0, z = 1, ²to je jedna£ina elipse. Presjek posmatrane povr²i sa ravni x = 0 jekriva odre�ena sa y2

9− z = 0, x = 0, odnosno y2

9= z, x = 0, ²to je jedna£ina

parabole.

Posebni tipovi povr²i su rotacione, konusne i cilindri£ne povr²i. Razma-tramo ih u nastavku.

8.9.1 Rotacione povrsi

Neka je data ravan π i prava p u toj ravni. Pri rotaciji ravni π oko prave psvaka ta£ka ravni, koja ne leºi na pravoj p, opisuje kruºnicu, a ta£ke prave postaju nepokretne.

24


Ako je u ravni π zadana kriva L, onda rotacijom ravni π oko prave pta£ke krive linije L opisuju kruºnicu. Skup tih kruºnica formira povr² kojunazivamo rotaciona povr².

Odaberimo Descartesov koordinatni sistem tako da je k na pravoj p, ai u ravni π i i ⊥ k. Tada je

(0,(i, k

))Descartesov pravougli koordinatni

sistem u ravni π.Neka kriva linija L ima jedna£inu φ(x, z) = 0. Neka je M(x, y, z) pro-

izvoljna ta£ka rotacione povr²i nastale rotacijom krive L oko prave p. Rota-cijom oko prave p, ta£ka M opisuje kruºnicu koja leºi u ravni koja je ortogo-nalna na k i prolazi ta£kom M . Ova kruºnica sije£e ravan π u dvije ta£ke, odkojih je jedna sa pozitivnom, a druga sa negativnom apscisom. Ozna£imo teta£ke sa M0 i M1. Koordinate ta£ke M0 su (x0, 0, z). Udaljenost ta£ke M odz-ose je

√x2 + y2, dakle, x0 =

√x2 + y2. Jedna od ta£aka M0 i M1 leºi na

krivoj L, pa njene koordinate zadovoljavaju jedna£inu krive, to jeste,

φ(±√

x2 + y2, z)= 0. (8.26)

Analognim razmatranjem izvode se jedna£ine rotacionih povr²i u slu£ajukada se izabere druga osa rotacije ili se kriva £ijom rotacijom nastaje povr²nalazi u nekoj drugoj koordinatnoj ravni. Rezultati pomenutih razmatranjasu sumirani u sljede¢oj tabeli.

Ravan u kojoj je L Jedna£ina L u ravni Osa rotacije Jedna£ina Sz = 0 φ(x, y) = 0 x φ

(x,±

√y2 + z2

)= 0

z = 0 φ(x, y) = 0 y φ(±√x2 + z2, y

)= 0

y = 0 φ(x, z) = 0 x φ(x,±

√y2 + z2

)= 0

y = 0 φ(x, z) = 0 z φ(±√

x2 + y2, z)= 0

x = 0 φ(y, z) = 0 y φ(y,±

√x2 + z2

)= 0

x = 0 φ(y, z) = 0 z φ(±√

x2 + y2, z)= 0

8.9.2 Primjeri povrsi drugog reda

U nastavku dat ¢emo neke primjere rotacionih povr²i i neka njihova poop-²tenja.

Elipsoid Posmatrajmo povr² koja je nastala rotacijom elipse oko njene osesimetrije. Izaberimo vektor k tako da on leºi na maloj osi elipse. U

25


tom slu£aju jedna£ina elipse je oblika

x2

a2+

z2

c2= 1 ili

x2

c2+

z2

a2= 1,

gdje je c duºina male poluose.

Iz (8.26) slijedi da je jedna£ina odgovaraju¢e rotacione povr²i

x2 + y2

a2+

z2

c2= 1,

x2 + y2

c2+

z2

a2= 1.

Ove povr²i se nazivaju rotacioni elipsoidi.

Poop²tenje rotacionog elipsoida je op¢enito elipsoid i ima jedna£inuoblika

x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1.

Slika 8.1: Elipsoid, rotacioni elipsoid, sfera

Specijalno za a = b, a = c ili b = c elipsoid je rotacioni. U slu£ajukada je a = b = c posmatrana povr² je sfera. Iz rotacionog elipsoidadilatacijom ili kontrakcijom mogu¢e je dobiti elipsoid.

Jednokrilni hiperboloid Rotacioni jednokrilni hiperboloid je povr² kojanastaje rotacijom hiperbole. Posmatrajmo hiperbolu u xz ravni

x2

a2− z2

c2= 1

26


i rotirajmo je oko z-ose. Jedna£ina nastale povr²i je

x2 + y2

a2− z2

c2= 1.

Iz ove jedna£ine dilatacijom ili kontrakcijom dobijamo jednokrilni hi-perboloid, £ija je jedna£ina u op²tem slu£aju oblika

x2

a2+

y2

b2− z2

c2= 1.

U op²tem slu£aju presjeci hiperboloida sa ravnima paralelnim xy ravnisu elipse, a u slu£aju rotacionog, to su kruºnice. Naravno, polaznahiperbola se moºe odabrati tako da bude u nekoj drugoj koordinatnojravni.

Slika 8.2: Jednokrilni hiperboloid, rotacioni jednokrilni hiperboloid

Dvokrilni hiperboloid Rotacijom hiperbole koja je u xz ravni data jedna-£inom

z2

c2− x2

a2= 1

oko z-ose nastaje rotacioni dvokrilni hiperboloid, £ija je jedna£ina

z2

c2− x2 + y2

a2= 1, (a, c > 0).

27


Dilatacijom ili kontrakcijom dobijamo op²tu jedna£inu dvokrilnog hi-perboloida datu sa

−x2

a2− y2

b2+

z2

c2= 1, (a, b, c > 0).

Presjeci ove povr²i sa ravnima paralelnim xy ravni su elipse, a sa rav-nima paralelnim xz i yz ravnima hiperbole. Druge varijante se dobijuizborom hiperbole u drugoj koordinatnoj ravni.

Slika 8.3: Dvokrilni hiperboloid, rotacioni dvokrilni hiperboloid

Elipti£ki paraboloid Rotacijom parabole x2 = 2pz oko z-ose dobijamopovr² £ija je jedna£ina x2 + y2 = 2pz, a nazivamo je rotacionim para-boloidom. Dilatacijom ili kontrakcijom dobija se op²tiji slu£aj povr²i£ija je jedna£ina

x2

a2+

y2

b2= 2pz, (a, b, p = 0),

a koju nazivamo elipti£ki paraboloid. Presjeci sa ravnima paralelnimsa xz i yz ravnima su parabole, a sa ravnima paralelnim sa xy ravnisu elipse. Druge varijante se dobiju izborom parabole u drugim koor-dinatnim ravnima.

28


Slika 8.4: Elipti£ki paraboloid, rotacioni elipti£ki paraboloid

Hiperboli£ki paraboloid Povr² £ija je jedna£ina data sa

x2

a2− y2

b2= 2pz, (a, b, p = 0),

naziva se hiperboli£ki paraboloid. Presjeci s ravnima paralelnim xyravni su hiperbole, a sa ravnima paralelnim xz i yz ravnima parabole.Konstrukciju ove povr²i moºemo opisati na sljede¢i na£in. Posmatramodvije parabole koje su u me�usobno okomitim ravnima i pustimo da seravan jedne od tih parabola �pomijera� tako da vrh te parabole klizi podrugoj paraboli.

Slika 8.5: Hiperboli£ki paraboloid

29


8.9.3 Konusne povrsi

Neka je L data kriva u prostoru i V data ta£ka koja ne leºi na datoj krivoj L.Povr² koju dobijemo od pravih nastalih spajanjem ta£ke V sa svim ta£kamakrive L nazivamo konusnom povr²i generisanom krivom L. Prave pomo¢ukojih nastaje konusna povr² nazivaju se generatrise, a kriva pomo¢u koje sekreira konus je direktrisa.

U slu£aju kada je L kriva drugog reda, jedna£ina konusne povr²i je oblika

x2

a2+

y2

b2− z2

c2= 0.

Slu£aj kada je a = b daje nam jedna£inu rotacionog konusa. Jedna£inarotacionog konusa se moºe izvesti i korsite¢i opisani postupak formiranjajedna£ine rotacione povr²i primijenjen na par pravih koje se sijeku. Jedna£inaop²te konusne povr²i u ovom slu£aju moºe se izvesti iz jedna£ine rotacionekonusne povr²i dilatacijom ili kontrakcijom.

Slika 8.6: Konusna povr²

8.9.4 Cilindricne povrsi

Neka je L kriva prostora i neka je zadan odre�eni pravac u prostoru. Povr²koja nastaje tako da svakom ta£kom krive L provu£emo pravu paralelnudatom pravcu nazivamo cilindri£nom povr²i generisanom krivom L. Kriva Lse naziva generatrisom, a prave p koje £ine tu povr² su generatrise. Kada jeL kriva drugog reda razlikujemo elipti£ki, hiperboli£ki i paraboli£ki cilindar.

Elipti£ki cilindar. Jedna£ina elipti£kog cilindra pri £emu je data prava pa-ralelna z-osi je x2

a2+ y2

b2= 1. Specijalno u slu£aju kada je a = b rije£ je

o rotacionom cilindru.

30


Slika 8.7: Cilindri£na povr²

Hiperboli£ki cilindar. Jedna£ina hiperboli£kog cilindra je x2

a2− y2

b2= 1, u

slu£aju kada je dati pravac paralelan z-osi.

Paraboli£ki cilindar. Jedna£ina paraboli£kog cilindra je y2 = 2px, u slu-£aju kada je dati pravac paralelan z-osi.

Slika 8.8: Elipti£ki, hiperboli£ki i paraboli£ki cilindar

Navedene jedna£ine su napisane za slu£aj kada je generatrisa u xy ravni, adati paravac paralelan z-osi. Analogne jedna£ine se dobiju izborom genera-trise u nekoj drugoj koordinatnoj ravni.

Napomenimo da op²tim oblikom polinoma drugog reda od tri varijablemogu biti zadani i sljede¢i skupovi: unija dviju ravni, ravan, prava, ta£ka iliprazan skup. Za ove skupove kaºemo da su degenerisane povr²i drugog reda.

31




� predavanja �


Sadrºaj

Sadrºaj ii

1 Uvod 1








9 Ispitivanje jedna£ina drugog reda u R2 9

9.1 Krive sa centrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119.2 Krive bez centra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

POGLAVLJE 9

Ispitivanje jedna£ina drugog

reda u R2

Posmatrajmo op²ti polinom drugog reda u varijablama x i y

f(x, y) = ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx+ 2ey + f, (9.1)

gdje su a, b, c, d, e, f ∈ R i a2 + b2 + c2 6= 0. Skup

K ={

(x, y) ∈ R2 : f(x, y) = 0}

(9.2)

nazivamo krivom drugog reda u ravni. Primjeri krivih drugog reda koje smoranije spominjali su kruºnica, elipsa, hiperbola i parabola. Pokazat ¢emo dasu upravo navedene krive jedine krive koji opisuju skup K, osim u slu£ajudegenerisanih skupova, kao ²to su prave, ta£ke i prazan skup. Ovo ¢emoposti¢i tako ²to ¢emo izvr²iti adekvatnu transformaciju koordinatnog sistemau kojem ¢e posmatrani skup biti opisan ve¢ poznatim jedna£inama.

Jedna od transformacija koordinatnog sistema koju ¢emo koristiti je ro-tacija. U dijelu o linearnim operatorima uveli smo pojam matrice prelaza sjedne baze na drugu. Koriste¢i de�niciju rotacije i osobine trigonometrijskihfunkcija moºe se pokazati da je matrica prelaza na novu bazu dobijenu od

Doc. dr. Almasa Odºak

stare rotacijom za ugao ϕ data sa(cosϕ − sinϕsinϕ cosϕ

).

Slijedi da je veza koordinata u dva koordinatna sistema koja su nastala ro-tacijom oko kooordinatnog po£etka za ugao ϕ jedan iz drugog data sa

x = x′ cosϕ− y′ sinϕ,y = x′ sinϕ+ y′ cosϕ.

Primijetimo da se koordinatni po£etak prilikom rotacije koordinatnog sis-tema ne mijenja, obzirom da rotaciju vr²ima upravo oko te ta£ke.

Druga transformacija koordinatnog sistema koju ¢emo koristiti je trans-lacija. Jasno je da se translacijom za nenulti vektor pomijera i koordinatnipo£etak. Ukoliko izvr²imo translaciju tako da se koordinatni po£etak preslikau ta£ku (u, v), onda je veza koordinata x i y starog sistema sa koordinatamax′ i y′ novog sistema pri translaciji data sa

x = x′ + u,

y = y′ + v.

Pokazat ¢emo da se upravo translacijom za pogodan vektor i rotacijomza adekvatno odabran ugao rotacije op²ta jedna£ina drugog reda moºe svestina neku od poznatih jedna£ina krivih drugog reda i na taj na£in izvr²itiidenti�kacija zadane krive.

Prilikom ispitivanja krivih drugog reda vaºno je uo£iti neke bitne elementekoji karakteri²u posmatranu krivu. Mi ¢emo se bazirati na dva elementa, ato su centar krive i ose simetrije. Pokazuje se da speci�£an centar i speci�£neose simetrije uti£u na is£ezavanje pojedinih £lanova u jedna£ini posmatranekrive. Preciznije, pokazuje se da vrijede sljede¢e tvrdnje.

Teorem 9.1. Ako su koe�cijenti uz linearne £lanove u jedna£ini iz (9.2)jednaki 0, tada je koordinatni po£etak centar simetrije krive (9.2). Obratno,ako je koordinatni po£etak centar simetrije krive (9.2), tada su koe�cijenti uzlinearne £lanove u jedna£ini iz (9.2) jednaki 0.

Teorem 9.2. Ako je u jedna£ini iz (9.2) koe�cijent uz proizvod koordinatajednak 0, tada kriva ima za osu simetrije pravu paralelnu jednoj od koordi-natnih osa. Obrnuto, ako kriva (9.2) ima za osu simetrije pravu paralelnujednoj od koordinatnih osa, tada je u njenoj jedna£ini koe�cijent uz proizvodkoordinata jednak 0.

10

9.1.Krive sa centrom Doc. dr. Almasa Odºak

U nastavku ¢emo posebno razmotriti slu£ajeve kada krivea ima centar ikada nema centar.

9.1 Krive sa centrom

Neka kriva odre�ena polinomom (9.1) ima centar u ta£ki (x0, y0). Izvr²imotranslaciju koordinatnog sistema tako da koordinatni po£etak novog koordi-natnog sistema bude ta£ka (x0, y0). Nove koordinate ozna£imo sa x1 i y1.Kako smo ranije napomenuli, slijedi da je veza koordinata data sa

x = x1 + x0,

y = y1 + y0.

Sada jedna£ina posmatrane krive poprima oblik

a(x1+x0)2+2b(x1+x0)(y1+y0)+c(y1+y0)2+2d(x1+x0)+2e(y1+y0)+f = 0,

odnosnoax2

1 + 2bx1y1 + cy21 + 2d1x1 + 2e1y1 + f1 = 0,

gdje je d1 = ax0 + by0 + d, e1 = bx0 + cy0 + e i f1 = ax20 + 2bx0y0 + cy2

0 +2dx0 + 2ey0 + f . Prema teoremu 9.1, da bi koordinatni po£etak bio centarkrive, mora biti d1 = e1 = 0, to jeste

ax0 + by0 + d = 0,

bx0 + cy0 + e = 0.

Ovaj sistem ima jedinstveno rje²enje ako mu je determinanta razli£ita od 0,odnosno ukoliko je

δ =

∣∣∣∣ a bb c

∣∣∣∣ 6= 0.

Takva kriva ima centar i u novom koordinatnom sistemu jedna£ina krive jeoblika

ax21 + 2bx1y1 + cy2

1 − f ′ = 0, (9.3)

gdje je f ′ = ∆δ, pri £emu smo stavili da je

∆ =

∣∣∣∣∣∣a b db c ed e f

∣∣∣∣∣∣ .11


Dalje, izvr²imo rotaciju koordinatnog sistema oko novog koordinatnog po-£etka za ugao ϕ. Veza koordinata x1, y1 i novih koordinata x′, y′ data jesa

x1 = x′ cosϕ− y′ sinϕ,y1 = x′ sinϕ+ y′ cosϕ.

Uvr²tavanjem u jedna£inu (9.3) dobijamo jedna£inu £iji £lan uz proizvod x′y′

ima koe�cijent

2(c− a) sinϕ cosϕ+ 2b cos 2ϕ.

Ukoliko ºelimo da odredimo ϕ tako da ovaj koe�cijent bude 0, mora biti

(c− a) sin 2ϕ+ 2b cos 2ϕ = 0,

odnosno

(a− c) sin 2ϕ = 2b cos 2ϕ.

Ako je a− c = 0 slijedi da je cos 2ϕ = 0, odnosno ϕ = π4.

U slu£aju kada je a− c 6= 0 slijedi da je

sin 2ϕ

cos 2ϕ=

2b

a− c,

to jeste

tg2ϕ =2b

a− c,

odnosno

ϕ =1

2arctg

2b

a− c.

Za ovako odabrano ϕ jedna£ina (9.3) poprima oblik

a′x′2

+ c′y′2 − f ′ = 0, (9.4)

gdje je a′ = a cos2 ϕ + c sin2 ϕ + b sin 2ϕ i c′ = a sin2 ϕ + c cos2 ϕ − b sin 2ϕ.Razmotrimo sada koje su mogu¢nosti krivih koje predstavlja jedna£ina (9.4).

Ukoliko je bar jedan od brojeva a′, c′ jednak 0, tada je a′c′ − b′2 = 0, pakriva nema centra. Ovu situaciju razmatrat ¢emo u drugom dijelu.

Neka su a′ i c′ razli£iti od 0.

12


(I) Neka je f ′ 6= 0, tada (9.4) moºemo napisati u obliku

x′2

α+y′2

β= 1, α =

f ′

a′, β =

f ′

c′.

Zavisno od znaka parametara α i β razmatramo razli£ite situacije.

1◦ Ako je α > 0 i β > 0 moºemo uvesti nove parametre A i B takoda je α = A2, β = B2, pa je (9.4) oblika

x′2

A2+y′2

B2= 1,

²to je jedna£ina elipse.

2◦ Ako su α i β razli£itog znaka, to jeste αβ < 0, onda jedna£ina(9.4) adekvatnom smjenom poprima oblik

x′2

A2− y′2

B2= 1,

iliy′2

A2− x′2

B2= 1,

²to su jedna£ine hiperbole.

3◦ Ako je α < 0, β < 0, moºemo uvesti nove parametre A i B takoda je α = −A2, β = −B2, pa je posmatrana jedna£ina oblika

−x′2

A2− y′2

B2= 1,

odnosnox′2

A2+y′2

B2= −1,

²to je izraz koji predstavlja ∅ u skupu realnih brojeva.

(II) Neka je f ′ = 0, tada (9.4) poprima oblik

a′x′2

+ c′y′2

= 0.

Zavisno od znakova koe�cijenata a′ i c′ razmotrimo razli£ite slu£ajeve.

13

9.2.Krive bez centra Doc. dr. Almasa Odºak

1◦ Ako su a′ i c′ istog znaka, jedna£ina (9.4) je oblika

A2x′2

+B2y′2

= 0,

²to implicira da ona predstavlja ta£ku (0, 0) u ravni.

2◦ Ako su a′ i c′ razli£itog znaka, jedna£ina (9.4) je oblika A2x′2 −B2y′2 = 0. Moºemo je pisati u obliku

(Ax′ −By′)(Ax′ +By′) = 0,

²to je skup ta£aka koji predstavlja dvije prave koje se sijeku ukoordinatnom po£etku.

9.2 Krive bez centra

Za krive bez centra je δ = 0, to jeste ac−b2 = 0. Ako je a = 0 ili c = 0 slijedida je b = 0, pa onda svo�enjem na potpuni kvadrat slijedi da je jedna£inom(9.2) data jedna£ina parabole.

Neka je ac 6= 0. Kako je b2 = ac, to su a i c istog znaka. Bez umanjenjaop²tosti moºemo pretpostaviti da su oba pozitivna. Slijedi da je

ax2 + 2bxy + cy2 = ax2 + 2√acxy + cy2 = (

√ax+

√cy)2.

Stavimo

~f1 =

√c√

a+ c~i−

√a√

a+ c~j, ~f2 =

√a√

a+ c~i+

√c√

a+ c~j.

Posmatrajmo koordinatni sistem(O,

(~f1, ~f2

)). Nove koordinate ozna£imo

sa x′ i y′. Vrijedi da je

x =x′√c+ y′

√a√

a+ c,

y =−x′√a+ y′

√c√

a+ c.

Jedna£ina krive (9.2) u novom koordinatnom sistemu je oblika

(a+ c)y′2

+ 2d′x′ + 2e′y′ + f ′ = 0.

14


(I) Za d′ 6= 0 ova jedna£ina poprima oblik

(a+ c)

(y′ +

e′

a+ c

)2

+ 2d′(x′ +

f ′

2d′− e′2

2d′(a+ c)

)= 0.

Izvr²imo translaciju koordinatnog sistema na nove koordinate

x′′ = x′ +f ′

2d′− e′2

2d′(a+ c),

y′′ = y′ +e′

a+ c,

pa kriva poprima oblik

y′′2

= 2px′′, p = − d′

a+ c,

²to je parabola.

(II) Za d′ = 0 jedna£ina postaje

(a+ c)

(y′ +

e′

a+ c

)2

+ f ′ − e′2

a+ c= 0.

Translacijom koordinatnog po£etka u ta£ku(0, −e

′

a+c

)jedna£ina postaje

(a+ c)y′′2

+ f ′ − e′2

a+ c= 0,

gdje je y′′ = y′+ e′

a+c. Stavimo da je α = f ′

a+c− e′2

(a+c)2. Jedna£ina postaje

y′′2

+ α = 0.

Zavisno od znaka parametra α mogu nastupiti razli£ite situacije.

1◦ Za α < 0 moºemo staviti da je α = −A2, pa je jedna£ina y′′2−A2 =0, odnosno

(y′′ − A)(y′′ + A) = 0,

²to predstavlja jedna£inu dvije paralelne prave.

15


2◦ Za α > 0, jedna£ina je oblika

y′′2

= −A2,

za α = A2 pa ona nema realnih rje²enja, odnosno predstavljaprazan skup.

3◦ Za α = 0, jedna£ina je oblika

y′′2

= 0

, ²to moºe biti interpretirano kao dvije prave koje se poklapaju.

Navedena razmatranja se mogu sumirati u vidu sljede¢eg teorema.

Teorem 9.3. Neka je u Descartesovom koordinatnom sistemu zadana krivasa

ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx+ 2ey + f = 0.

Tada postoji Descartesov koordinatni sistem u kojem ta jedna£ina ima obliki predstavlja

(a) x2

A2 + y2

B2 = 1, elipsu,

(b) x2

A2 + y2

B2 = −1, prazan skup,

(c) x2

A2 − y2

B2 = 1, hiperbolu,

(d) A2x2 − C2y2 = 0, par pravih koje se sijeku,

(e) A2x2 + C2y2 = 0, ta£ku,

(f) y2 = 2px, parabolu,

(g) y2 − A2 = 0, par paralelnih pravih,

(h) y2 + A2 = 0, prazan skup,

(i) y2 = 0, par pravih koje se poklapaju.

Prilikom prethodnih razmatranja vidjeli smo da zna£ajne vrijednosti kojese pojavljuju pri identi�kaciji krivih su determinante δ i ∆, kao i suma a+ c,koju ¢emo ozna£iti sa T , to jeste T = a + c. Broj T je zbir elemenata naglavnoj dijagonali determinante δ i naziva se tragom te determinante. Vaºanrezultat koji se ti£e ovih vrijednosti sadrºan je u teoremu koji slijedi.

16


Teorem 9.4. Veli£ine T , δ i ∆ se ne mijenjaju pri rotaciji i translacijikoordinatnog sistema u ravni.

Teorem se dokazuje primjenom osobina determinanti i jedna£ina koje dajuvezu koordinata u sistemima koji su nastali translacijom, odnosno rotacijomjedan od drugog.

Obzirom na navedenu osobinu, kaºe se da su veli£ine T , δ i ∆ invarijantejedna£ine iz (9.2) pri rotaciji i translaciji.

Zna£aj navedenog rezultata se ogleda u mogu¢nosti identi�kacije krivena osnovu vrijednosti invarijanti date krive. Rezultate moºemo sumirati uobliku sljede¢e tabele.

Krive s centrom

δ > 0∆ 6= 0

∆T < 0 elipsa

∆T > 0 prazan skup

∆ = 0 ta£ka

δ < 0∆ 6= 0 hiperbola

∆ = 0 dvije prave koje se sijeku

Krive bez centra δ = 0

∆ 6= 0 parabola

∆ = 0d2 − af > 0 dvije paralelne prave

d2 − af = 0 dvije prave koje se poklapaju

d2 − af < 0 prazan skup

Treba napomenuti da je identi�kaciju objekata odre�enih polinomom dru-gog stepena u tri varijable mogu¢e izvr²iti na anlaogan na£in. Ra£un jeznatno opseºniji i prevazilazi okvire ovog kursa.

17




� predavanja �

Sarajevo, januar 2015.

Sadrºaj

Sadrºaj ii

1 Uvod 1








9 Ispitivanje jedna£ina drugog reda u R2 9

10 Polinomi 10

POGLAVLJE 10

Polinomi

Neka je (K,+, ·) polje i neka su 0 i 1 neutralni elementi tog polja u odnosuna operacije + i ·, respektivno. Neka je operacija stepenovanja uvedena nauobi£ajeni na£in sa

x0 = 1, xk = xxk−1, (∀x ∈ K, k ∈ N).

De�nicija 10.1. Ako x ∈ K i ak ∈ K (k = 0, 1, . . . , n), formalni izraz

P (x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn =

n∑k=0

akxk (10.1)

naziva se algebarski polinom po x nad poljem K.

Za elemente ak kaºemo da su koe�cijenti polinoma P (x). Ako je koe�-cijent an 6= 0, za polinom P (x) kaºemo da je stepena n i to ozna£avamo sadegP (x) = n. �esto se stepen polinoma nazna£ava u nazivu polinom, pa sepolinom n-tog stepena obiljeºava sa Pn(x). Za koe�cijent an 6= 0 kaºemo daje vode¢i koe�cijent posmatranog polinoma.

Dakle, stepen polinoma P (x) je najvi²i stepen od x koji se pojavljuje uizrazu za P (x) sa nenultim koe�cijentom.


Naj£e²¢e se posmatraju situacije u kojima je polje K polje realnih ilikompleksnih brojeva i u tom slu£aju govorimo o algebarskim polinomimanad poljem realnih, odnosno kompleksnih brojeva, respektivno ili kra¢e orealnim ili kompleksnim polinomima.

De�nicija 10.2. Za polinom

O(x) = 0 + 0x+ · · ·+ 0xn−1 + 0xn

kaºemo da je nula polinom i ozna£avamo ga sa 0.

Stepen nula polinoma O(x)(≡ 0) se ne de�nira.Elementi polja K se tretiraju kao polinomi stepena nula. Element x ∈ K

moºe se interpretirati kao polinom prvog stepena de�nisan sa P (x) = x. Zaelement x koristi se termin varijabla, promjenljiva ili nepoznata. Za polinomP (x) de�nisan sa (10.1) kaºe se da je polinom po promjenljivoj x, preciznijepolinom n-tog stepena po promjenljivoj x nad poljem K.

Za polinom £iji je vode¢i koe�cijent jednak jedinici kaºemo da je jedini£niili moni£an.

Skup svih polinoma nad poljemK po promjenljivoj x ozna£avamo saK[x].Od interesa je posmatrati skup svih onih polinoma £iji stepen nije ve¢i od n.Taj podskup skupa svih polinoma ozna£ava se sa Pn[x]. Proizvoljni polinomiz Pn[x] je oblika

Pn(x) =n∑

k=0

akxk, (ak ∈ K),

pri £emu ako je degP (x) = m < n, tada je am+1 = · · · = an = 0.Zna£ajno je razmotriti koju algebarsku strukturu predstavlja posmatrani

skup sa adekvatno uvedenim operacijama sabiranja i mnoºenja. Prvo uve-dimo relaciju jednakosti.

De�nicija 10.3. Polinomi

P (x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn i Q(x) = b0 + b1x+ · · ·+ bmx

m

su jednaki ako i samo ako je ak = bk za svako k ≥ 0.

Operacije sabiranja i mnoºenja se uvode sljede¢om de�nicijom.

11


De�nicija 10.4. Za dva polinoma

P (x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn i Q(x) = b0 + b1x+ · · ·+ bmx

m

zbir i proizvod de�ni²u se sa

(P +Q)(x) = P (x) +Q(x) = c0 + c1x+ · · ·+ crxr

i(PQ)(x) = P (x)Q(x) = d0 + d1x+ · · ·+ dsx

s,

gdje suck = ak + bk, (0 ≤ k ≤ r = max(n,m))

i

dk =k∑

i=0

aibk−i, (0 ≤ k ≤ s = n+m).

Dakle, ako P (x) ∈ Pn[x] i Q(x) ∈ Pm[x], tada (P + Q)(x) ∈ Pr[x] i(PQ)(x) ∈ Ps[x], gdje su r = max(n,m) i s = n + m. Jednostavno seprovjerava da za nenula polinome P (x) i Q(x) vaºi

deg(PQ)(x) = degP (x) + degQ(x),

deg(P +Q)(x) ≤ max{degP (x), degQ(x)},

kada je P (x) +Q(x) 6≡ 0.Treba primijetiti da je specijalan slu£aj proizvoda polinoma proizvod po-

linoma P (x) sa skalarom α ∈ K, koji se tretirati kao polinom nultog stepena,kako smo ve¢ napomenuli.

Pokazuje se da vrijedi sljede¢i teorem.

Teorem 10.1. Skup K[x] snadbjeven operacijama sabiranja i mnoºenja po-linoma £ini komutativni prsten sa jedinicom.

Oduzimanje polinoma se moºe de�nisati kao sabiranje sa suprotnim ele-mentom. Operacija dijeljenja, kao inverzna operacija operaciji mnoºenja, sene de�ni²e. Me�utim, operacija dijeljenja sa ostatkom se moºe de�nisati,kako ¢emo vidjeti u nastavku.

Naredna tvrdnja nam daje rezultat kojim je motivirano uvo�enje pome-nute operacije.

12


Teorem 10.2. Za svaki polinom P (x) i svaki nenula polinom Q(x), postojejedinstveni polinomi S(x) i R(x) takvi da vaºi jednakost

P (x) = S(x)Q(x) +R(x), (10.2)

pri £emu je R(x) nula polinom ili degR(x) < degQ(x).

Tvrdnja posljednjeg teorema, po analogiji za slu£aj prirodnih brojeva,posluºila je za uvo�enje pojmova koli£nika i ostatka pri dijeljenju polinoma.

De�nicija 10.5. Za polinom S(x) koji zadovoljava (10.2) kaºemo da je ko-li£nik pri dijeljenju polinoma P (x) polinomom Q(x)(6≡ 0), a za odgovaraju¢ipolinom R(x) da je ostatak pri tom dijeljenju.

Ako je ostatak nula polinom, kaºemo da je P (x) djeljivo sa Q(x) i polinomQ(x) zovemo djelilac polinoma P (x). �injenicu da je Q(x) djelilac polinomaP (x) pi²emo kao Q(x)|P (x).

Pokazuje se da su osobine djeljivosti polinoma analogne osobinama dje-ljivosti cijelih brojeva.

Za polinome je posebno zna£ajno posmatrati nule polinoma. Uvodimopojam nula polinoma u nastavku i govorimo o njihovom odre�ivanju.

Neka je a ∈ K i P (x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn. Tada je

P (a) = a0 + a1a+ · · ·+ anan

jedan element u polju K. Za P (a) kaºemo da je vrijednost polinoma u ta£kix = a.

Za element a ∈ K kaºemo da je nula polinoma P (x) ∈ K[x] ako je vri-jednost polinoma u toj ta£ki jednaka nuli, to jeste ako je P (a) = 0. Utom slu£aju, za polinom prvog stepena x − a kaºemo da je linearni faktorposmatranog polinoma.

Vaºni rezultati o nulama polinoma sadrºani su u sljede¢a dva teorema.Drugi teorem je poznat pod nazivom Bézoutov stav.

Teorem 10.3. Ako je a nula polinoma P (x) ∈ K[x], tada je P (x) djeljivlinearnim faktorom x− a.

Dokaz. Kako je

xk − ak = (xk−1 + xk−2a+ · · ·+ xak−2 + ak−1)(x− a),

13


to je

P (x)− P (a) = a1(x− a) + a2(x2 − a2) + · · ·+ an(xn − an)

= (a1 + a2(x+ a) + · · ·+ an(xn−1 + · · ·+ an−1))(x− a)

= Q(x)(x− a),

gdje je Q(x) polinom stepena n− 1.S druge strane, po pretpostavci je P (a) = 0, pa slijedi da je P (x) =

Q(x)(x− a), ²to zna£i da je polinom P (x) djeljiv linearnim faktorom x− a,pa je dokaz zavr²en.

Teorem 10.4. Ostatak pri dijeljenju polinoma P (x) sa x− a jednak je vri-jednosti polinoma P (x) u ta£ki a, to jeste jednak je P (a).

Dokaz. Kako je Q(x) = x−a polinom prvog stepena, na osnovu teoreme 10.2,postoji jedinstveni polinom S(x) i konstantaR, to jeste polinom stepena nula,takvi da je

P (x) = S(x)(x− a) +R. (10.3)

Stavljaju¢i x = a u prethodnoj relaciji dobijamo da je R = P (a), ²to je itrebalo pokazati.

Kori²tenjem prethodne teoreme, svaki polinom P (x) ∈ K[x] stepena nmoºemo na jedinstven na£in predstaviti (razloºiti) po stepenima od x − a,odnosno napisati u obliku

P (x) = A0 + A1(x− a) + A2(x− a)2 + · · ·+ An(x− a)n,

gdje su Ak, k = 0, 1, . . . , n elementi polja K.Jedan jednostavan, ali vaºan problem je izra£unavanje vrijednosti poli-

noma za dato x = a. Cilj je ²to e�kasnije izvr²iti pomenuto ra£unanje.Pretpostavimo da je polinom zadat po opadaju¢im stepenima, to jeste nekaje napisan u obliku

P (x) = a0xn + a1x

n−1 + a2xn−2 + · · ·+ an−1x+ an. (10.4)

Ako bismo izra£unavali vrijednost polinoma P (a), na osnovu datog izrazabilo bi potrebno 2n − 1 mnoºenja i n sabiranja. Me�utim, ukoliko P (x)predstavimo u ne²to druga£ijem obliku tako ²to izvu£emo promjenljivu x iz

14


svih £lanova koji je sadrºe, pa ponovno iz ostatka promjenljivu x iz svih£lanova koji je sadrºe i postupak nastavimo, dobijamo sljede¢i zapis

P (x) = (· · · ((a0x+ a1)x+ a2)x+ · · ·+ an−1)x+ an, (10.5)

gdje je potrebno samo n mnoºenja i n sabiranja za izra£unavanje traºenevrijednosti.

Za prakti£no ra£unanje moºe se konstruisati i rekurzivni postupak zatraºenje vrijednosti polinoma u nekoj ta£ci. Sa b0, b1, . . . , bn−1 ozna£imo ko-e�cijente polinoma S(x) iz (10.3) i stavimo bn = R. Tada slijedi da je

a0xn + a1x

n−1 + · · ·+ an−1x+ an

= (b0xn−1 + b1x

n−2 + · · ·+ bn−1)(x− a) + bn,

odakle, upore�ivanjem koe�cijenata uz odgovaraju¢e stepene na lijevoj i des-noj strani prethodne jednakosti, dobijamo da vrijedi

a0 = b0, ak = bk − bk−1a, (k = 1, . . . , n).

Posljednje jednakosti impliciraju rekurzivne relacije koje daju postupakza ra£unanje koe�cijenata bk, a time i izra£unavanje vrijednosti polinoma zax = a. Date su sa

b0 = a0, bk = ak + bk−1a, (k = 1, . . . , n), (10.6)

Uzastopnom primjenom gornjih relacija, nakon n koraka dobijamo vrijednostposmatranog polinom za x = a, to jeste P (a) = bn. Primjetimo da sukoe�cijenti bk, u stvari, vrijednosti u odgovaraju¢im zagradama u relaciji(10.5) izra£unate za x = a.

Izloºeni postupak (10.6) poznat je i pod nazivom Hornerova ²ema i moºese zapisati u obliku sljede¢e tablice.

a a0 a1 a2 a3 · · · an−1 anb0a b1a b2a · · · bn−2a bn−1a

b0 b1 b2 b3 · · · bn−1 bn = P (a)

Prvu vrstu, dakle, zapo£injemo sa vrijedno²¢u x = a za koju izra£unavamovrijednost polinoma, a zatim pi²emo koe�cijente polinoma (10.4), po£ev odnajstarijeg koe�cijenta. U tre¢oj vrsti pi²emo koe�cijente bk, koje izra£una-vamo sabiranjem odgovaraju¢ih elemenata prve i druge vrste, pri £emu je

15


b0 = a0. Elemente druge vrste formiramo mnoºenjem vrijednosti a sa pret-hodnim elementom iz tre¢e vrste. Elementi tre¢e vrste su, dakle, koe�cijentipolinoma S(x) i ostatak pri dijeljenju R = P (a).

�esto se tablica pi²e i izostavljanjem drugog reda, to jeste u obliku kojislijedi.

a a0 a1 a2 a3 · · · an−1 anb0 b1 b2 b3 · · · bn−1 bn = P (a)

Primjer 10.1. Neka je P (x) = 4x4 − 4x3 + 13x2 − 16x − 12 ∈ R[x].Primjenom Hornerove ²eme odredit ¢emo vrijednost P (2). Tabela je oblika:

2 4 −4 13 −16 −128 8 42 52

4 4 21 26 40

ili skra¢eno

2 4 −4 13 −16 −124 4 21 26 40

Dakle, P (2) = 40. Koli£nik pri dijeljenju polinoma P (x) sa x − 2 jepolinom S(x) = 4x3 + 4x2 + 21x+ 26, a ostatak dijeljenja je R = P (2) = 40.

Jasno, Hornerova ²ema se moºe koristiti i za ispitivanje djeljivosti poli-noma nekim faktorom oblika x− a. Obzirom na navedene rezultate zahtjevdjeljivosti sa x− a je ekvivalentan zahtjevu da je vrijedost posmatranog po-linoma u ta£ci a jednaka 0.

Uzastopnom primjenom opisanog postupka mogu¢e je dobiti razlaganjepolinoma po stepenima odgovaraju¢eg linearnog polinoma, kako je ilustriranou narednom primjeru.

Primjer 10.2. Polinom P (x) = 4x4 − 4x3 + 13x2 − 16x − 12 razloºiti postepenima polinoma x− 2.

Koristit ¢emo uzastopnu primjenu Hornerove ²eme.

2 4 −4 13 −16 −124 4 21 26 404 12 45 1164 20 854 284

16


Prema tome,

P (x) = 40 + 116(x− 2) + 85(x− 2)2 + 28(x− 2)3 + 4(x− 2)4.

U nastavku ¢emo navesti neke osnovne rezultate o polinomima nad sku-povima kompleksnih i realnih brojeva.

Jedan od najvaºnijih teorema je Osnovni stav algebre kojeg navodimo unastavku.

Teorem 10.5. Svaki polinom P (x) ∈ C[x] stepena n ≥ 1 ima bar jednu nulu.

Ovaj teorem moºe se formulisati i ne²to druga£ije.

Teorem 10.6. Svaki polinom P (x) ∈ C[x] stepena n ≥ 1 je proizvod nlinearnih faktora.

O£igledno iz teorema 10.6 slijedi teorem 10.5. Vrijedi i obrnuto, ako je x1nula polinoma P (x) ∈ C[x], koja postoji na osnovu teorema 10.5, tada je, naosnovu teorema 10.3, P (x) djeljiv linearnim faktorom x− x1, to jeste vaºi

P (x) = (x− x1)P1(x),

gdje je P1(x) polinom stepena n− 1. Ako je n ≥ 2, tada ponovo primjenomteorema 10.5, zaklju£ujemo da P1(x) ima bar jednu nulu, recimo x2, tako daje

P1(x) = (x− x2)P2(x), degP2(x) = n− 2.

Dakle,P (x) = (x− x1)(x− x2)P2(x).

Nastavljaju¢i ovakav postupak dolazimo do faktorizacije

P (x) = (x− x1)(x− x2) · · · (x− xn)Pn(x),

gdje je degPn(x) = 0, to jeste Pn(x) se svodi na konstantu, najstariji koe�-cijent polinoma P (x).

Dakle, polinom

P (x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0, (10.7)

sa kompleksnim koe�cijentima a0, a1, . . . , an i an 6= 0 ima n nula x1, x2, . . . , xn,i vaºi

P (x) = an(x− x1)(x− x2) · · · (x− xn). (10.8)

Me�u kompleksnim brojevima x1, x2, . . . , xn moºe biti i jednakih i u tomslu£aju govorimo o vi²estrukim nulama. Taj pojam uvodimo u sljede¢ojde�niciji.

17


De�nicija 10.6. Za nulu x1 polinoma P (x) ∈ C[x] kaºemo da je vi²estrukanula reda k ∈ N ako postoji polinom Q(x) takav da je

P (x) = (x− x1)kQ(x), Q(x1) 6= 0.

Ako je k = 1 kaºemo da je nula x1 prosta ili jednostruka.

Prethodna razmatranja dovode do sljede¢eg rezultata.

Teorem 10.7. Ozna£imo sa x1, x2, . . . , xm me�usobno razli£ite nule poli-noma P (x) ∈ C[x] stepena n, neka jenjihova vi²estrukost k1, k2, . . . , km, res-pektivno. Tada vaºi faktorizacija

P (x) = an(x− x1)k1(x− x2)k2 · · · (x− xm)km , (10.9)

gdje je k1 + k2 + · · ·+ km = n, a an je najstariji koe�cijent polinoma P (x).

Faktorizacija (10.9) se naziva kanonska faktorizacija polinoma P (x) nalinearne faktore. Pokazuje se da je kanonsko razlaganje (10.9) jedinstveno.

Veza nula nekog polinoma i njegovih koe�cijenata moºe se izraziti i for-mulama koje su poznate pod nazivom Viètova pravila ili Viètove formule.Posmatrajmo polinom P (x) sa kompleksnim koe�cijentima stepena n kojije dat sa (10.7). Neka su njegove nule redom x1, x2, . . . , xn. Iz jednakostipolinoma, na osnovu (10.7) i (10.8), dobijamo Viètove formule

x1 + x2 + · · ·+ xn = −an−1

an,

x1x2 + x1x3 + · · ·+ xn−1xn =an−2

an,

...x1x2 · · · xn = (−1)n

a0an.

Navedeni rezultati o nulama kompleksnih polinoma mogu se iskoristiti zadobijanje rezulata o nulama realnih polinoma. Zna£ajan rezultat koji namkoristi pri odre�ivanju fakorizacije polinom nad skupom realnih brojeva jesljede¢i teorem.

Teorem 10.8. Ako je xj kompleksna nula reda kj realnog polinoma P (x),tada je i xj tako�e njegova kompleksna nula istog reda.

18


Upravo ovaj teorem u kombinaciji sa prthodnim izlaganjima dovodi dozaklju£ka da realni polinom moºe imati realne nule i/ili parove konjugovanokompleksnih nula.

Prema tome, realni polinom P (x) se moºe faktorisati u obliku

P (x) = an

m∏j=1

(x− xj)kjl∏

j=1

(x2 + pjx+ qj)sj , (10.10)

gdje je an najstariji koe�cijent polinoma P (x), x1, . . . , xm su realne nule vi²es-trukosti k1, . . . , km, respektivno i α1± iβ1, . . . , αl± iβl su parovi konjugovanokompleksnih nula vi²estrukosti s1, . . . , sl posmatranog polinoma. U relaciji(10.10) je

pj = −2αj, qj = α2j + β2

j , (j = 1, . . . , l).

19

Documents

Linearna algebra i geometrijaUniverzitet u Sarajevu Elektrotehni£ki fakultet Linearna algebra i geometrija predavanja Sarajevo, oktobar 2014