VEKTORSKA ANALIZA1. dio

5. listopada 2016.

Odjel za fiziku, Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera, Osijek

1.1 Vektorska algebra1.1.1 Vektorske operacije

algebra = područje matematike (teorija brojeva + geometrija + analiza)bavi se matematičkim simbolima i pravilima koja ih povezuju

vektor = (najopćenitije) element vektorskog prostora(u geometriji, fizici i inženjerstvu) euklidski vektor – geometrijski objekt koji ima iznos, smjer i orijentaciju: usmjerena dužina

a = a |a|= a

1.1 Vektorska algebra1.1.1 Vektorske operacije

(I) zbrajanje (i oduzimanje) vektora

1.1 Vektorska algebra1.1.1 Vektorske operacije

(II) množenje vektora skalarom

1.1 Vektorska algebra1.1.1 Vektorske operacije

(III) skalarni umnožak dvaju vektora

A⋅B = AB cos θ

(III) skalarni umnožak dvaju vektora

1.1 Vektorska algebra1.1.1 Vektorske operacije

(IV) vektorski umnožak dvaju vektora

A×B = n AB sinθ

1.1 Vektorska algebra1.1.2 Komponente vektora

a = a x+a y+az = i ax+ j a y+ k az

1.1 Vektorska algebra1.1.2 Komponente vektora

i⋅i = j⋅ j = k⋅k = 1

i⋅ j = i⋅k = j⋅k = 0

i× i = j× j = k×k = 0

i× j = k

j×k = i

k× i = j

ZADATAK 1.3 (Griffiths ItE 4th)

1.1 Vektorska algebra1.1.2 Komponente vektora

A×B =| i j kAx A y A z

Bx B y B z|

Sarrusovo praviloSarrusovo pravilo

ZADATAK 1.4 (Griffiths ItE 4th)

1.1 Vektorska algebra1.1.3 Trostruki umnožak

A⋅(B×C )= |Ax A y A z

Bx B y Bz

C x C y C z|

A×(B×C )= B(A⋅C)−C (A⋅B)

ZADATAK 1.5 (Griffiths ItE 4th)

infinitezimalni pomak

1.1 Vektorska algebra1.1.4 Vektor položaja, pomak i separacijski vektor

r = x i+ y j+ z k

r =rr

=x i + y j+z k

√ x2+ y2

+z 2

d l = dx i+dy j+dz k

1.1 Vektorska algebra1.1.4 Vektor položaja, pomak i separacijski vektor

r = x i+ y j+ z k

r ' = x ' i+ y ' j+z ' k

r e = r−r '

izvor

polje

r e =r−r '|r−r '|

=(x−x ') i+( y− y ' ) j+( z−z ') k

√(x−x ')2+( y− y ' )2

+( z−z ')2

ZADATAK 1.7 (Griffiths ItE 4th)

1.2 Diferencijalni račun1.2.1 “Obična” derivacija

Derivacija je nagib u odnosu na .

df = ( dfdx )dxdfdx

f x

je funkcija jedne varijable, .f f (x)

1.2 Diferencijalni račun1.2.2 Gradijent

dT = (∂T∂ x )dx+(∂T

∂ y )dy+(∂T∂ z )dz

je funkcija triju varijabli, .T T (x , y , z )

Teorem o parcijalnim derivacijama daje

Što podsjeća na rezultat skalarnog množenja

dT = ( i ∂T∂ x

+ j∂T∂ y

+ k∂T∂ z )⋅( i dx+ j dy+ k dz)

1.2 Diferencijalni račun1.2.2 Gradijent

dT = ( i ∂T∂ x

+ j∂T∂ y

+ k∂T∂ z )⋅( i dx+ j dy+ k dz)

dT = ∇ T⋅d l

∇ T = grad T = ( i ∂T∂ x

+ j∂T∂ y

+ k∂T∂ z )

Gradijent pokazuje u smjeru najvećeg porasta funkcije . ∇ T T

Iznos je nagib uzduž tog smjera.|∇ T| ZADATAK 1.11 (Griffiths ItE 4th)

1.2 Diferencijalni račun1.2.3 Nabla

∇ = i ∂∂ x

+ j ∂∂ y

+ k ∂∂ z

Nabla je vektorski operator koji djeluje na funkciju.Tri su načina na koje nabla može djelovati:

(1) na skalarnu funkciju

(2) na vektorsku funkciju skalarno

(2) na vektorsku funkciju vektorski

∇ T = grad T

∇⋅v = div v

∇×v = rot v

1.2 Diferencijalni račun1.2.4 Divergencija

∇⋅v = ( i ∂∂ x

+ j ∂∂ y

+ k ∂∂ z )⋅( i v x+ j v y+k v z)

∇⋅v = div v =∂ v x

∂ x+

∂ v y

∂ y+

∂ v z

∂ zDivergencija je skalar. Opisuje koliko se vektorsko polje rasprostire.

izvorponor

ZADATAK 1.15 (Griffiths ItE 4th)

1.2 Diferencijalni račun1.2.4 Rotacija

∇×v = rot v =|i j k∂∂ x

∂∂ y

∂∂ z

vx v y v z|

Rotacija je vektor. Opisuje koliko se vektorsko polje kovrča.

∇×v = 0∇×v ≠ 0

ZADATAK 1.18 (Griffiths ItE 4th)