Álgebra Linear e

Geometria Analítica

Rectas no plano, no espaço e em IRn

Planos no espaço e em IRn

Em geometria euclidiana:

2 pontos definem uma recta

ou 1 ponto e a direcção da recta

ou seja: 1 ponto + 1 vector

(u1,u2)

(v1,v2)

(u1+v1, u2+v2)

(u1,u2)

(v1,v2)

(u1+v1, u2+v2)

(-3,2)

(4,6)

u=(7,4)

(4,6)

(-3,2)

Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?

Como reconhecer se um ponto está sobre a recta?É preciso encontrar uma condição a que obedeçam os pontos da recta e só esses.

(u1,u2)

(ku1,ku2)

u

(u1,u2)

(ku1,ku2)

uαu

βu

Como encontrar a tal condição?

• Comecemos com a recta do exemplo:

A = (-3, 2) ponto

u = (7, 4) vector

Como encontrar a tal condição?

• Comecemos com a recta do exemplo:

A = (-3, 2) ponto

u = (7, 4) vector

P = (x, y) ponto geral da recta

Como encontrar a tal condição?

• Comecemos com a recta do exemplo:

A = (-3, 2) ponto

u = (7, 4) vector

P = (x, y) ponto geral da recta

P = A + α u

Como encontrar a tal condição?

• Comecemos com a recta do exemplo:

A = (-3, 2) ponto

u = (7, 4) vector

P = (x, y) ponto geral da recta

P = A + α u

(x, y) = (-3, 2) + α (7, 4)

Como encontrar a tal condição?

P = A + α u

(x, y) = (-3, 2) + α (7, 4) equação vectorial

equações

paramétricas

+=

+−=

α

α

42

73

y

x

+=

+−=

α

α

42

73

y

x

+=

+−=

α

α

42

73

y

x

+×+=

+=

7

342

7

3

xy

xα

+=

+−=

α

α

42

73

y

x

+×+=

+=

7

342

7

3

xy

xα

2674 =+− yx

Como encontrar a tal condição?

• Comecemos com a recta do exemplo:

A = (-3, 2) ponto

u = (7, 4) vector

P = (x, y) ponto geral da recta

2674 =+− yx

Como encontrar a tal condição?

• Comecemos com a recta do exemplo:

A = (-3, 2) ponto

u = (7, 4) vector

P = (x, y) ponto geral da recta

2674 =+− yx

Equação Cartesiana

Observemos:

A = (-3, 2) ponto

u = (7, 4) vector

2674 =+− yx

2627)3(4 =×+−×−

Observemos:

A = (-3, 2) ponto

u = (7, 4) vector

2674 =+− yx

2627)3(4 =×+−×−

04774 =×+×−

Observemos:

A = (-3, 2) ponto

u = (7, 4) vector

2674 =+− yx

2627)3(4 =×+−×−

04774 =×+×−

0)4,7()7,4( =⋅−

Equação geral da recta no plano:

cbyax =+

Em geral:

A = (a1, a2) ponto

u = (u1, u2) vector

(x, y) = (a1, a2) + α (u1, u2)

Em geral:

A = (a1, a2) ponto

u = (u1, u2) vector

(x, y) = (a1, a2) + α (u1, u2)

+=

+=

22

11

uay

uax

α

α

Em geral:

A = (a1, a2) ponto

u = (u1, u2) vector

(x, y) = (a1, a2) + α (u1, u2)

+=

+=

22

11

uay

uax

α

α

−=−

−=

2

1

12

1

1

uu

axay

u

axα

Em geral:

A = (a1, a2) ponto

u = (u1, u2) vector

(x, y) = (a1, a2) + α (u1, u2)

+=

+=

22

11

uay

uax

α

α

−=−

−=

2

1

12

1

1

uu

axay

u

axα

( )1

1

22 ax

u

uay −=−

Em geral:

A = (a1, a2) ponto

u = (u1, u2) vector

(x, y) = (a1, a2) + α (u1, u2)

( )1

1

22 ax

u

uay −=−

−+= 1

1

2

2

1

2 au

uax

u

uy

Em geral:

A = (a1, a2) ponto

u = (u1, u2) vector

(x, y) = (a1, a2) + α (u1, u2)

( )1

1

22 ax

u

uay −=−

−+= 1

1

2

2

1

2 au

uax

u

uy

Equação reduzida

Equação reduzida:

Diz-se que temos uma equação reduzida

da recta no plano se tivermos uma equação do tipo:

y = m x + h

Equação reduzida:

Diz-se que temos uma equação reduzida

da recta no plano se tivermos uma equação do tipo:

y = m x + h

−== 1

1

2

2

1

2 au

uah

u

um

−+= 1

1

2

2

1

2 au

uax

u

uy

u1

u2

θ

u1

u2

θ

1

2

u

utg =θ

Declive da recta:

• A chama-se declive da recta1

2

u

utg =θ

−== 1

1

2

2

1

2 au

uah

u

um

Declive da recta:

• A chama-se declive da recta1

2

u

utg =θ

−== 1

1

2

2

1

2 au

uah

u

um

y = m x + hm decliveh ordenada na origem

Declive da recta:

• A chama-se declive da recta

• Rectas paralelas têm o mesmo declive

1

2

u

utg =θ

-2x

+ y

= -4

-2x

+ y

= -1

-2x

+ y

= 1

-2x

+ y

= 6

Rectas ortogonais:

A recta L definida por { A + α u } é ortogonal à

recta L’ definida por { B + α v } se os vectores

u e v forem ortogonais, isto é se u . v = 0

y = 2x + 2

2

9

2

1+−= xy

Rectas ortogonais:

Supor que:

L definida por { A + α u } tem equação

reduzida y = m x + h

L’ definida por { B + α v } tem equação

reduzida y = m’ x + h’

Se as rectas são ortogonais qual a relação

entre m e m’?

−== 1

1

2

2

1

2 au

uah

u

umRecta L:

Recta L’:

−== 1

1

2

2

1

2 '' bv

vbh

v

vm

−== 1

1

2

2

1

2 au

uah

u

umRecta L:

Recta L’:

−== 1

1

2

2

1

2 '' bv

vbh

v

vm

00 2211 =+⇔=⋅ vuvuvu

−== 1

1

2

2

1

2 au

uah

u

umRecta L:

Recta L’:

−== 1

1

2

2

1

2 '' bv

vbh

v

vm

⇔=+⇔=⋅ 00 2211 vuvuvu

1

2

2

1

v

v

u

u−=⇔

−== 1

1

2

2

1

2 au

uah

u

umRecta L:

Recta L’:

−== 1

1

2

2

1

2 '' bv

vbh

v

vm

⇔=+⇔=⋅ 00 2211 vuvuvu

'

1

1

2

2

1

mm

v

v

u

u−=⇔−=⇔

Ângulo de duas rectas:

O ângulo de duas rectas é igual ao ângulo entre os vectores que definem as rectas

Posição relativa de duas rectas:

Duas rectas no plano podem ser:

• Paralelas

• Coincidentes

• Concorrentes:– Perpendiculares

– Oblíquas

Posição relativa de duas rectas:

Como reconhecer cada caso?

Posição relativa de duas rectas:

Como reconhecer cada caso?

0''':

0:

=++

=++

cybxasrecta

cbyaxrrecta

Posição relativa de duas rectas:

Como reconhecer cada caso?

0''':

0:

=++

=++

cybxasrecta

cbyaxrrecta

=++

=++

0'''

0

cybxa

cbyax

=++

=++

0'''

0

cybxa

cbyax

1º caso: sistema possível e determinado: as rectas são concorrentes

2º caso: sistema impossível: as rectas são paralelas3º caso: sistema indeterminado: as rectas são

coincidentes

Distância de um ponto a uma recta

Distância de um ponto a uma recta

Exemplo

Equação da recta: 1243 =+ yx

Equação geral da família de rectas perpendiculares àrecta:

hyx =− 34

Equação da recta perpendicular à recta dada que passa no ponto A = (5, 1): h = 4×5 - 3×1 = 17

1734 =− yx

=−

=+

1734

1243

yx

yx

−=−=

==

12.025

3

16.425

104

y

x

=−

=+

1734

1243

yx

yx

−=−=

==

12.025

3

16.425

104

y

x

=−

=+

1734

1243

yx

yx

−=−=

==

12.025

3

16.425

104

y

x

( ) ( )2212.0116.45),( ++−=BAd

4.1),( =BAd

Outra forma de calcular a distância:

• Encontrar um vector n normal à recta

• Considerar um ponto P sobre a recta

• Considerar o vector AP

• Fazer a projecção de AP sobre n.

Distância do ponto A = (x1, y1) à recta de equação ax + by + c = 0

22

11

ba

cbyaxd

+

++=

Rectas em IR3

Para definir uma recta são necessários:

• 2 pontos

ou

• 1 ponto e 1vector

u

P + uP

L = {0 + αu}

L’ = {P + αu}

Equações de rectas no espaço:

L = {P + αu}

com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)

Equações de rectas no espaço:

L = {P + αu}

com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)

+=

+=

+=

33

22

11

upz

upy

upx

α

α

α

Equações de rectas no espaço:

L = {P + αu}

com P = (p1, p2, p3) e u = (u1,u2,u3)

+=

+=

+=

33

22

11

upz

upy

upx

α

α

α

−+=

−+=

−=

3

1

13

2

1

1

2

1

1

uu

pxpz

uu

pxpy

u

pxα

Planos em IR3

Para definir um plano são necessários:

• 3 pontos não colineares

ou

• 1 ponto e 2 vectores linearmente independentes

• 1 ponto e 1 vector ortogonal ao plano

Planos em IR3

Um plano M é um conjunto de pontos da forma:

em que P é um ponto e u e v são vectores linearmente independentes.

{ }IRvuPM ∈++= βαβα ,:

Exemplo

Encontrar uma condição que defina o plano M sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)

Exemplo

Encontrar uma condição que defina o plano M sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)

(x, y, z) = (1,2,-3) + α(1,2,1) + β(1,0,4)

Exemplo

Encontrar uma condição que defina o plano M sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)

(x, y, z) = (1,2,-3) + α(1,2,1) + β(1,0,4)

++−=

+=

++=

βα

α

βα

43

22

1

z

y

x

++−=

+=

++=

βα

α

βα

43

22

1

z

y

x

+

−

−

3

2

1

41

02

11

z

y

x

+−+

+−−

−

−

13

222

1

30

20

11

xz

xy

x

+−

−

−

−

4

2

1

30

20

11

xz

xy

x

+−

−

−

−

4

2

1

30

20

11

xz

xy

x

+−

+−

−

42

1

30

10

11

xz

xy

x

−++−

+−

−

xy

xz

xy

x

32

34

2

1

00

10

11

042

34 =++−y

xz

42

34 −=++− zy

x

8238 −=++− zyx

8238 =−− zyx

Exemplo (outra forma de calcular)

Encontrar uma condição que defina o plano M sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)

Exemplo

Encontrar uma condição que defina o plano M sendo: P = (1,2,-3), u = (1,2,1) e v = (1,0,4)

1º passo: encontrar um vector n ortogonal ao plano

=

401

121det""

321eee

n

32101

21det

41

11det

40

12det eeen

+

−

=

( )2,3,8238 321 −−=−−= eeen

( ) 0=−⋅ PXn

( ) 0=−⋅ PXn

( ) ( ) 03,2,12,3,8 =+−−⋅−− zyx

( ) 0=−⋅ PXn

( ) ( ) 03,2,12,3,8 =+−−⋅−− zyx

0668238 =−+−−− zyx

( ) 0=−⋅ PXn

( ) ( ) 03,2,12,3,8 =+−−⋅−− zyx

0668238 =−+−−− zyx

8238 =−− zyx

Distância de um ponto a um plano:

{ }ℜ∈++= βαβα ,:vuPM

Q ponto que não pertence ao plano

Distância de um ponto a um plano:

{ }ℜ∈++= βαβα ,:vuPM

Q ponto que não pertence ao planon vector ortogonal ao plano

Distância de um ponto a um plano:

{ }ℜ∈++= βαβα ,:vuPM

Q ponto que não pertence ao planon vector ortogonal ao plano

( )n

nQPMQd

⋅−=),(

Distância de um ponto a um plano:

{ }ℜ∈++= βαβα ,:vuPM

Q = (x0, y0, z0) ponto que não pertence ao planon = (a, b, c) vector ortogonal ao plano de equação ax + by + cz + d = 0

( )222

000),(

cba

dczbyax

n

nQPMQd

++

+++=

⋅−=

P

nQ

P

nQ

P

nQ

Ângulo entre dois planos:

O ângulo entre dois planos é igual ao ângulo entre os vectores ortogonais aos planos

Posição relativa de dois planos:

• A intersecção de dois planos não paralelos éuma recta

• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia ou são coincidentes

Posição relativa de dois planos:

• A intersecção de dois planos não paralelos éuma recta

• Dois planos paralelos ou têm intersecção vazia ou são coincidentes

• Planos paralelos têm o mesmo vector ortogonal.

• Dois planos paralelos são coincidentes se um ponto de um dos planos pertencer ao outro.

Planos paralelos:

• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são paralelos o vector normal é n = (a, b, c)

Planos paralelos:

• ax + by + cz = d e ax + by + cz = d’ são paralelos o vector normal é n = (a, b, c)

• A distância entre os dois planos paralelos édada por

n

dd '−

Ângulos entre rectas e planos:

• Define-se o ângulo entre uma recta e um plano através do ângulo entre um vector com a direcção da recta e um vector normal ao plano.

Ângulos entre rectas e planos:

• Define-se o ângulo entre uma recta e um plano através do ângulo entre um vector com a direcção da recta e um vector normal ao plano.

• Qual a relação entre estes ângulos?