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Álgebra LinearUnidade II:
Determinantes
Prof. Edson Brito
Tópicos Estudados
• UNIDADE II - Determinante e matriz inversa:– Aspectos introdutórios e conceitos preliminares,
definição e propriedades.– Desenvolvimento de Laplace, Regra de Cramer. – Procedimento para inversão de matrizes
É o valor real associado a toda matriz quadrada obtido a partir de uma série de operações bem definidas com seus elementos.Representa-se o determinante de uma matriz A por det A, ou por barras simples verticais, contendo todos os elementos da matriz.
I. Determinante
Matriz de ordem 1: o determinante é igual ao único elemento da matriz. Ex: A = [3] e det A = |3| = 3
Matriz de ordem 2: o determinante é obtido pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.
Exemplo:
II. Cálculo do determinante
1.Copiam-se, ao lado da matriz,suas duas primeiras colunas.
2. Multiplicam-se os elementos da diagonal principal e também o das outras duas filas paralelas e à sua direita. Somam-se os resultados:
3. Multiplicam-se os elementos da diagonal secundária; o mesmo deve ser feito com as duas outras filas paralelas e à sua direita. Ao final, somam-se os resultados:
II. Cálculo do determinante
Considere a matriz A =Matriz de ordem 3: o determinante é obtido pela regra de Sarrus.
4. Obtém-se o determinante pela diferença entre a primeira e a segunda soma:det A = (12 + 25 + 24) – (40 + 6 + 30) = 61 – 76 = –15
Matriz de ordem maior que 3: usa-se o teorema de Laplace, que pode ser utilizado no cálculo do determinante de matrizes cuja ordem seja maior ou igual a 2.
II. Cálculo do determinante
Menor Complemento
• Se A é uma matriz, então o determinante menor entrada aij, é denominado por |Aij| e definido como o determinante da submatriz que sobra quando suprimimos a i-ésima linha e a j-ésima coluna de A.
III. Matriz reduzida e cofator
Matriz reduzida Aij: é obtida eliminando-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna da matriz A. Matriz reduzida A21: é obtida retirando-se a segunda linha e a
primeira coluna da matriz original:
O cofator do elemento aij da matriz A é o número Cij dado por: Cij = (-1)i + j . |A ij|, em que |A ij| é o determinante da matriz reduzida A
ij.
Considere a matriz A =
Exemplo
IV. Teorema de Laplace
• O determinante de uma matriz quadrada M = [aij]mxn pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos co-fatores.
IV. Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz A = (aij)n (n ≥ 2) é obtido multiplicando-se cada elemento de uma das
filas (linha ou coluna) da matriz A pelo seu respectivo cofator e adicionando-se os resultados.
Exemplo:
IV. Teorema de Laplace
365142251
A Escolhemos a 1a linha para calcular os cofatores.
IV. Teorema de LaplaceExemplo
IV. Teorema de Laplace
• Se A é uma matriz nxn e Cij é o co-fator de aij,então a matriz
é chamada matriz de co-fatores de A. A transposta desta matriz é chamada de adjunta de A e denotada por adj(A).
Aplicação de Determinantes
• A Regra de Cramer é um teorema que fornece uma fórmula para a solução de certo sistemas de p equações e n incógnitas. Esta formula, conhecida como regra de Cramer, é de interesse marginal para fins computacional, mas é útil para estudar as propriedades matemáticas de uma solução sem precisar resolver o sistema.
Regra de Cramer
• Teorema:
Regra de Cramera11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2
an1x1 + an2x2 + an3x3 + ... + annxn = bn
.
.
.
aa11 11 a a1212 a a1313 ... a ... a1n1n
aa21 21 a a2222 a a2323 ... a ... a2n2n............
aan1 n1 a an2n2 a an3n3 ... a ... annnn
det (A) = det (A) =
bb1 1 a a1212 a a1313 ... a ... a1n1n
bb2 2 a a2222 a a2323 ... a ... a2n2n......
....
..bbn n a an2n2 a an3n3 ... a ... annnn
det (Adet (A11) = ) =
aa11 11 b b11 a a1313 ... a ... a1n1n
aa21 21 b b22 a a2323 ... a ... a2n2n......
......aan1 n1 b bnn a an3n3 ... a ... annnn
det (Adet (A22) = ) =
aa11 11 a a1212 b b11 ... a ... a1n1n
aa21 21 a a2222 b b22 ... a ... a2n2n...... ..
....
aan1 n1 a an2n2 b bnn ... a ... annnn
det (Adet (A33) = ) = ......
......
Regra de Cramer
aa11 11 a a1212 a a1313 ... b ... b11
aa21 21 a a2222 a a2323 ... b ... b22............
aan1 n1 a an2n2 a an3n3 ... b ... bnn
det (Adet (Ann) = ) = ......
Se det (A) 0 temos:
Regra de Cramer
det(A1) x1 = det(A) , x2 = det (A3) , x3 = det(A)det(An) xn = det(A),
,
... , det(A2)
det(A)
det(A)= det(A)= 3 23 21 -11 -1 = – 3 – 2 = – 5 = – 3 – 2 = – 5
det(Adet(A11) = ) = 8 28 21 -11 -1
= – 8 – 2 = – 10 = – 8 – 2 = – 10
det(Adet(A22) = ) = 3 83 81 11 1
= 3 – 8 = – 5= 3 – 8 = – 5
3x + 2y = 83x + 2y = 8x – y = 1x – y = 1
x = x = det(Adet(A11))
det(A)det(A) = = ––1010––55 = 2 = 2
y = y = det(Adet(A22) ) det(A)det(A) = = ––55
––55 = 1 = 1
S = {(x, y)}S = {(x, y)}
S = {(2, 1)}S = {(2, 1)}
Exemplo: Regra de Cramer
Determinação da Inversa de uma Matriz
• Algoritmo para achar a matriz inversa:• Passo 1: Calcular o determinante da matriz.• Passo 2: Calcular o cofator de cada elemento da
matriz.• Passo 3: Formar a matriz dos cofatores com os seus
valores calculados anteriormente.• Passo 4: Transpor a matriz dos cofatores para obter
a sua matriz adjunta.• Passo 5: Divida cada elemento da matriz adjunta Adj
pelo o determinada da matriz calculado no passo 1.
