Algebra-Pred Poglavlje 1

Diplomski studij Matematika: ALGEBRA - predavanjaALGEBRAPoglavlje 1: GrupeTanja Vu cici cAkad. god. 2008./2009.ALGEBRA Poglavlje 1: Grupe 21 GRUPEKoncept grupe je za algebru fundamentalan.Teorija grupa ne razlikuje izomorfne grupe, pa je njen cilj klasikacija grupa do naizomorzam, tj.traenje nunih i dovoljnih uvjeta za izomorfnost dviju grupa.Klasi-kacija svih grupa nije zavrena i za sad su za to slabi izgledi. Ipak, za pojedine klasegrupa (ciklicke grupe, kona cno generirane abelove grupe, nerastavljive grupe i kon-a cne grupe malog reda) kompletirani su strukturni teoremi.Ovdje cemo detaljnije razmotriti i grupe koje imaju iroku primjenu u razlicitim matem-atickim granama poput simetricnih, slobodnih, nilpotentnih i rjeivih grupa.Radi u cinkovitosti studiranja grupa (analogno vrijedi i za druge algebarske strukture)prostudirat cemo i funkcije koje strukturu grupecuvaju, a to su homomorzmi. Prim-ijetit cemo da se u terminima objekata i homomorzama neki koncepti teorije prsten-ova, modula, polja, vektorskih prostora, itd. mogu jednako izre ci kao u teoriji grupa.Uvo denjem pojma kategorije zasnovat cemo prikladan "jezik" i okvir unutar kojeg cemosagledati te zajednicke koncepte.Diplomski studij Matematika: ALGEBRA - predavanjaALGEBRA Poglavlje 1: Grupe 31.1 Osnovni pojmoviNeka je Gneprazni skup. Binarna operacija na skupu Gje svako preslikavanje GG G. Za binarnu operaciju koristimo razlicite oznake poput . . +. +. itd., a znak binarneoperacije moemo i ispustiti ako je iz konteksta jasno o kojoj operaciji je rije c. Nama ce npr. c/ ozna cavati rezultat binarne operacije na paru elemenata (c. /) GG.Neprazni skup na kojem je denirana binarna operacija nazivamo grupoidom.Denicija 1.1 Polugrupa ili semigrupa je grupoid G kod kojeg je binarna operacijaasocijativna tj. vrijedi c(/c) = (c/)c. za svaki izbor c. /. c G.Monoid je polugrupa G koja sadri element c G sa svojstvom cc = cc = c za svakiizbor c G. c nazivamo jedinicom ili neutralnim elementom od G.Kaemo da su navedene strukture komutativne ili abelove ako je pripadna binarnaoperacija komutativna. Red grupe G je kardinalni broj [G[. Prema redu grupe dijelimona kona cne i beskona cne.Primjer 1.1 (Z. +), (Q. +), (R. +), (C. +), (Q+. ), (R+. ). (C+. ) su abelove grupe.Diplomski studij Matematika: ALGEBRA - predavanjaALGEBRA Poglavlje 1: Grupe 4Primjer 1.2 Grupa izometrija kvadrata 1+4. [1+4[ = 8. nije abelova. Spada u diedarskegrupe.Primjer 1.3 Grupa o: bijekcija skupa 1: = 1. 2. . . . . :, : N, nije abelova. Nazivase simetricna grupa indeksa :. [o:[= :!. Elementi joj se standardno prikazujudvored canim matricama od : stupaca, na na cin o: o = _1 2:o(1) o(2)o(:)_.Primjerice,_1 2 3 43 1 4 2_je jedan element grupe o4.Primjer 1.4 Direktni produkt grupa G i H. u oznaci GH. je primjer kako iz dvijugrupa moemo dobiti novu grupu. Za q1. q2 G. i /1. /2 H binarnu operaciju na di-rektnom produktu deniramo formulom (q1. /1)(q2. /2) = (q1q2. /1/2). Vrijedi [GH[ =[G[ [H[ . Ako su grupe G i H zapisane aditivno, za njihov direktni produkt (u smislunavedene binarne operacije) se koristi oznaka GH.Diplomski studij Matematika: ALGEBRA - predavanjaALGEBRA Poglavlje 1: Grupe 5Primjer 1.5 Par (Z:. +:), : N, klasa cijelih brojeva po relaciji kongruencije modulo: (tj. ostataka pri dijeljenju sa :) uz zbrajanje modulo :, je grupa kardinalnosti :.Primjer 1.6 Pokae se da je formulom c ~ / = c / Z denirana relacija ekviva-lencije na grupi (Q. +). Skup Q,Z tako dobivenih klasa ekvivalencije je (beskona cna)abelova grupa s obzirom na operaciju c + / = c + /. Naziva se grupa racionalnihbrojeva modulo 1.Denicija 1.2 Neka su G i H (polu)grupe. Preslikavanje , : G H je homomorzam(polu )grupa ako je ispunjeno,(r) = ,(r),(r). za svaki izbor r. G.Injektivni homomorzam je monomorzam. Surjektivni homomorzam je epimor-zam. Bijektivni homomorzam je izomorzam. Homomorzam , : G G je endo-morzam (polu)grupe G. Bijektivni endomorzam je automorzam.Diplomski studij Matematika: ALGEBRA - predavanjaALGEBRA Poglavlje 1: Grupe 6Ako postoji bar jedan izomorzam , : G H kaemo da su grupe G i H izomorfne ipiemo G ~= H.Primjer 1.7 Preslikavanje , : Z Z: denirano sa ,(r) = r je tzv. kanonski epimor-zam sa Z na Z:. Analogno je deniran epimorzam q : Q Q,Z aditivnih grupa.Primjer 1.8 Preslikavanje r r je automorzam abelovih grupa.Primjer 1.9 Neka su 1 < :. / N. Preslikavanje q : Z: Z:/ dano sa r /r jemonomorzam.Zadatak 1.1 Z~= /Z, / Z.Primjer 1.10 Za dane grupe G i H postoje 4 istaknuta homomorzma Gi1:1GH i2:2Hdenirana relacijama i1(q) = (q. c). i2(/) = (c. /). :1(q. /) = q. :2(q. /) = /. i1 i i2 sumonomorzmi, a :1 i :2 su epimorzmi.Diplomski studij Matematika: ALGEBRA - predavanjaALGEBRA Poglavlje 1: Grupe 7Denicija 1.3 Neka je preslikavanje ,:G H homomorzam grupa. Tada skup1c:, = c G [ ,(c) = c H nazivamo jezgrom. a skup 1:, = ,(c) [ c Gslikom homomorzma ,.Jezgra homomorzma , : G H je normalna podgrupa od G (1c:, C G), a slika jepodgrupa od H (Im, < H).Teorem 1.1 , je monomorzam ako i samo ako je 1c:, = c.Teorem 1.2 Skup svih automorzama grupe G tvori grupu uz kompoziciju koju ozna cu-jemo ntG. ntG je podgrupa grupe (G) svih bijekcija skupa G.Sa A ozna cujemo podgrupu grupe G generiranu podskupom A _ G. A je pres-jek svih podgrupa od G koje sadre skup A. A je skup generatora za grupu A . Akoje A kona can skup, A = c1. c2. . . . . c:. za grupu A kaemo da je kona cno gener-irana te za nju koristimo i oznaku c1. c2. . . . . c: . Ciklicka grupa je grupa generiranajedno clanim skupom.Diplomski studij Matematika: ALGEBRA - predavanjaALGEBRA Poglavlje 1: Grupe 8Teorem 1.3 Ako je G grupa, a A _ G njen neprazni podskup, onda podgrupu A < Gtvore svi kona cni produkti elemenata iz A ' A1. tj.A = r:11 r:22r:k/ [ ri A. :i Z. / N.Prema prethodnom teoremu, za ciklicku grupu generiranu elementom r vrijedi r =r:[ : Z. Primjerice, (Z. +) = 1 . Vrijedi i (Z:. +:) = 1 . ali je generator 1 u ovimdvjema neizomorfnim grupama razlicitog reda. Red elementa r G grupe G denirase kao kardinalni broj skupa r . Simbolima: [r[ := cc:d r .Primjer 1.11 Naka nam i C ozna cava imaginarnu jedinicu. Tada je [i[ = 4 u multip-likativnoj grupi (C+. ). jer je cc:d i = 4. U grupi (C. +) element i je beskona cnog redajer zbrajanjem kona cno mnogo imaginarnih jedinica ne moemo dobiti 0 C.Ako su H i 1 podgrupe grupe G. za podgrupu H ' 1 _ Gcesto se koristi oznakaH . 1. a u aditivnoj notaciji H + 1.Zadatak 1.2 Dokaite sljede cu potpunu karakterizaciju strukture cikli ckih grupa: svaka beskon-a cna cikli cka grupa je izomorfna sa Z; svaka kona cna cikli cka grupa je izomorfna sa Z: za neko: N.Diplomski studij Matematika: ALGEBRA - predavanjaALGEBRA Poglavlje 1: Grupe 9Denicija 1.4 Neka je G grupa i H < G njena podgrupa. Indeks podgrupe H u grupiG. u oznaci [G : H] . je kardinalni broj skupa desnih (ili lijevih) susjednih klasa od H uG.Drugim rije cima, [G : H] = cc:dHq [ q G = cc:dqH [ q G. Skup reprezen-tanata desnih (lijevih) susjednih klasa od H u G se sastoji od [G : H] elemenata odkojih nikoja dva nisu iz iste klase.Teorem 1.4 Neka su G. H. 1 grupe takve da vrijedi 1 < H < G. Tada je [G : 1] =[G : H] [H : 1] .Posljedica ovog teorema, koju dobijemo stavljaju ci 1 = c. jecuveni Lagrangeovteorem: [G[ = [G : H] [H[ . Posebno, i red svakog elementa u grupi dijeli red grupe.Ako su H. 1 kona cne podgrupe grupe G. onda H1 = // [ / H. / 1 ne morabiti podgrupa od G. ali vrijedi [H1[ = [H[ [1[[H 1[. Ako je bar jedna od podgrupa H. 1normalna, onda je H1 = 1H < G i to H1 = 1H = H ' 1 .Diplomski studij Matematika: ALGEBRA - predavanjaALGEBRA Poglavlje 1: Grupe 10Za normalnu podgrupu ` grupe G vrijedi q`q1= `. za sve q G. tj. lijeva i desnasusjedna klasa po ` svakog elementa iz G se podudaraju. Kvocijentni skup G,`je grupa reda [G : `] obzirom na binarnu operaciju (`c) (`/) = `c/. Preslikavanje: : G G,` denirano sa :(q) = `q je tzv. kanonski epimorzam s jezgrom `. Ako je ` C G. onda je ` normalna u svakoj podgrupi od G koja je sadri. Ako je `. 1 C G i 1 ` = c. onda je :/ = /: za sve / 1. : `. Ako su `1. `2. . . . . `:normalne podgrupe grupe G. onda je podgrupa`1' `2' . . . ' `: = `1`2 `: = :1:2 :: [ :i ì. Za grupu koja ne sadri nijednu pravu normalnu podgrupu kaemo da je prosta ilijednostavna.Diplomski studij Matematika: ALGEBRA - predavanjaALGEBRA Poglavlje 1: Grupe 11Teorem 1.5 Neka je , : G H homomorzam grupa i ` C G i ` _ 1c:,. Tadapostoji jedinstveni homo , : G,` H takav da komutira dijagramG, H|:,G,`tj. vrijedi , : = ,. Tako der je Im, = Im, i 1c:, = 1c:,,`. , je izomorzam ako isamo ako je , epimorzam i ` = 1c:,. Zelena teka!Korolar 1.1 (Prvi teorem o izomorzmu) Neka je , : G H homomorzam grupa.Tada je G,1c:, ~= Im,. , : G Im, je epimorzam grupa.Sada primijenimo prethodni teorem uz ` =1c:,.Diplomski studij Matematika: ALGEBRA - predavanjaALGEBRA Poglavlje 1: Grupe 12Korolar 1.2 Neka je , : G H homomorzam grupa, ` C G. ` C H i ,(`) < `.Tada , inducira homomorzam ,:G,` H,` deniran pridruivanjem `c `,(c)., je izomorzam ako i samo ako je Im, ' ` = H i ,1(`) `. Specijalno, ako je, epimorzam sa svojstvom ,(`) = ` i 1c:, `. onda je , izomorzam. Zelena teka!Korolar 1.3 (Drugi teorem o izomorzmu) Neka je G grupa, 1 < G i ` C G. Tada je1,(` 1) ~= `1,`. Zelena teka!Korolar 1.4 (Tre ci teorem o izomorzmu) Neka je G grupa i H. 1 C G takve da je1 < H. Tada je H,1 normalna podgrupa od G,1 i vrijedi (G,1) , (H,1) ~= G,H. Zelena teka!Ako je ` C G. tada je svaka podgrupa od G,` oblika 1,`. gdje je 1 podgrupa od Gkoja sadri `. I vie, 1,` je normalna podgrupa od G,` akko je 1 C G.Diplomski studij Matematika: ALGEBRA - predavanjaALGEBRA Poglavlje 1: Grupe 13Nekoliko detalja o simetricnoj grupi o: bijekcija skupa skupa 1: = 1. 2. . . . . :, : N.Denicija 1.5 Neka su i1. i2. . . . . i: (: _ :) razliciti elementi iz 1:. Tada (i1i2 i:) oz-na cava permutaciju koja preslikava redom i1 i2. i2 i3. . . . . i:1 i: i i: i1. asve ostale elemente iz 1: ostavlja na miru. (i1i2 i:) nazivamo ciklusom duljine :.Ciklus duljine 2 naziva se transpozicijom.Prikaz permutacije pomo cu ciklusa nije jednozna can. Na primjer, . =_1 2 3 44 1 2 3_=(1432) = (4321) = (3214) = (2143).Op cenito, ako je t o: ciklus i r 1: takav da je t(r) ,= r. onda jet = (rt(r)t2(r)td(r)) za neko d _ 1.Ciklus duljine : je element reda : u o:. Ciklus duljine 1 je identicna permutacija.Inverz ciklusa (i1i2 i:) je ciklus (i:i:1ii2 i2i1) = (i1i:i:1ii2 i2).Neka je o ciklus duljine 3, o = (125). Tada je o. = (125)(1432) = (1435) ,= (1432)(125) =(1)(2543) = (2543) = . o. Ciklusi op cenito ne komutiraju.Diplomski studij Matematika: ALGEBRA - predavanjaALGEBRA Poglavlje 1: Grupe 14Denicija 1.6 Za permutacije o1. o2. . . . . o: kaemo da su disjunktne ako za sve 1 _i _ : i za svako / 1: (oi(/) ,= /) = o,(/) = / za sve , ,= i.Drugim rije cima, o1. o2. . . . . o: su disjunktne ako niti jedan element iz 1: ne pomice vienego jedna od tih permutacija.Disjunktne permutacije komutiraju.Disjunktni ciklusikomutiraju.Propozicija 1.1 i) Svaka permutacija iz o: koja nije identiteta moe se prikazati u oblikuprodukta disjunktnih ciklusa duljine barem 2;ii) rastav i) je jedinstven do na poredak faktora;iii) red permutacije je najmanji zajednicki viekratnik duljina njenih ciklusa iz i);iv) svaka permutacija iz o: je produkt (ne nuno disjunktnih) transpozicija, tj. o: jegenerirana transpozicijama. i) idejno u Zelenoj teci. ii) je posljedica od i).Diplomski studij Matematika: ALGEBRA - predavanjaALGEBRA Poglavlje 1: Grupe 15Permutacija iz o: je parna ako je ona produkt parnog broja transpozicija, a u suprotnomslu caju je neparna.(Svaka permutacija je parna ili neparna; ako za j o: vrijedirastav u produkt transpozicija j = 1

2 / = j1j2 j|. onda je / | 2Z).Preslikavanje (signum) :q: : o: 1. 1 u multiplikativnu grupu reda 2, koje per-mutaciji j o: pridruuje 1 ili 1, ovisno o tomu je li j parna ili neparna, je homomor-zam. Dakle je skup svih parnih permutacija : = 1c:(:q:) normalna podgrupa odo: i vrijedi [o: : :] = 2. Odatle i [:[ = :!2.: je jedina podgrupa od o: indeksa 2. Naziva se alterniraju ca grupa indeksa :.Teorem 1.6 : je prosta grupa ako i samo ako je : ,= 4 U knjizi, elementaran.Jedine proste abelove grupe su ciklicke grupe Zj ~= Z,jZ. gdje je j prosti broj.Diplomski studij Matematika: ALGEBRA - predavanjaALGEBRA Poglavlje 1: Grupe 16Jo jedna vana podgrupa od o: je diedralna grupa 1: stupnja :. Ona se interpretirakao grupa izometrija pravilnog :-terokuta. Vrijedi [1:[ = 2:. pricemu rotacijecine :elemenata grupe, a ostalih : elemenata su simetrije. 1: je generirana s 2 permutacije:ciklusomc = (123:) =_1 2 3: 1 :2 3 4: 1_i sa / =_12 3: 1 :1 : : 13 2_.c je rotacija oko centra :-terokuta za 2:: . a / je simetrija oko osi kroz vrh 1 i centar.Teorem 1.7 Za : _ 3 diedralna grupa 1: je grupa generirana s 2 elementa c. / kojizadovoljavaju:1) [c[ = :. [/[ = 2;2) /c = c1/.Grupa mora sadravati sve razlicite potencije svih svojih elemenata i sve njihove pro-dukte. Iz 2) zaklju cujemo da je dovoljno uzeti produkte u kojima je na prvom mjestupotencija od c. Raspisano,1: = ci/,0 _ i _ : 1. 0 _ , _ 1 = 1. c. c2. . . . . c:1. /. c/. . . . . c:1/.Diplomski studij Matematika: ALGEBRA - predavanjaALGEBRA Poglavlje 1: Grupe 171.2 KategorijeNeki matematicki objekti koje smo dosad razmotrili (skupovi, grupe) i neki koje cemotek razmatrati (prsteni, moduli,...), zajedno s njima odgovaraju cimpreslikavanjima (funkcijeza skupove, homomorzmi za grupe), imaju izvjesna formalna zajednicka svojstva. Po-jam (jezik) kategorije ce nam omogu citi da u op ci kontekst formalno smjestimo razlicitematematicke situacije.Denicija 1.7 Kategorija ( se sastoji od klase objekata O/( (ozna cenih . 1. C. ...) iskupa morzama tih objekata tako da je ispunjeno sljede ce.(i)Za svaki ure deni par objekata . 1 dan je skup Ho:((. 1) morzama iz u 1 cije elemente ozna cujemo npr. , : 1 tj. , 1.(ii) Za svaku ure denu trojku objekata . 1. C dan je zakon kompozicije morzama,tj. funkcija : Ho:((1. C)Ho:((. 1) Ho:((. C).ciji je zapis pridruivanja(q. ,) q ,. Morzam q , nazivamo kompozicijom morzama , i q.Objekti i morzmi zadovoljavaju sljede ce aksiome:Diplomski studij Matematika: ALGEBRA - predavanjaALGEBRA Poglavlje 1: Grupe 181)za objekte . 1. C. 1 iz ,= C ili 1 ,= 1 slijedi da su Ho:((. 1) i Ho:((C. 1)disjunktni skupovi;2)kompozicija morzama je asocijativna, tj. vrijedi / (q ,) = (/ q) , za svakiizbor , Ho:((. 1). q Ho:((1. C). / Ho:((C. 1) - (asocijativnost);3) za svaki objekt postoji jedinicni morzam 1 Ho:((. ) takav da vrijedi, 1 = ,. za sve , Ho:((. 1) i 1 q = q za sve q Ho:((1. ) - (postojanjeidentitete).Morzme se naziva i "strelicama".Kategorije je mogu ce uvesti samo pomo cu mor-zama ako se svaki objekt identicira s morzmom 1.Denicija 1.8 Morzam , : 1 se naziva ekvivalencija ili izomorzam ako postojimorzam q : 1 takav da je q , = 1 i , q = 11.Morzam q iz prethodne denicije nazivamo inverznim morzmom. On je jedinstvenoodre den s , (zelena teka) i ozna cujemo ga ,1. Ako je , : 1 ekvivalencija, ondaza objekte i 1 kaemo da su ekvivalentni.Diplomski studij Matematika: ALGEBRA - predavanjaALGEBRA Poglavlje 1: Grupe 19Propozicija 1.2 Kompozicija ekvivalencija (izomorzama) je ekvivalencija (izomorzam). Neka su , : 1 i q : 1 C ekvivalencije. Onda postoje ,/ : 1 . (,/, = 1., ,/ = 11) i q/ : C 1. (q/ q = 11. q q/ = 1C). Imamo redom:(q ,) (,/ q/) = q (, ,/) q/ = q 11 q/ = q q/ = 1C;(,/ q/) (q ,) = ,/ (q/ q) , = ,/ 11 , = ,/ , = 1. Primjer 1.12 Skupovi su objekti kategorije o; za . 1 O/o je Ho:o(. 1) skup svihfunkcija , : 1. Morzam , je ekvivalencija ako i samo ako je , bijekcija.Primjer 1.13 Grupe su objekti kategorije (; za . 1 O/( je Ho:((. 1) skup svihhomomorzama , : 1. Morzam , je ekvivalencija ako i samo ako je , izomor-zam grupa. Analogno se denira kategorija / abelovih grupa.Primjer 1.14 Topoloki prostori su objekti kategorije T oj; za . 1 O/T oj je Ho:T oj(. 1)skup svih neprekidnih preslikavanja , : 1. Morzam , je ekvivalencija ako i samoako je , homeomorzam topolokih prostora.Diplomski studij Matematika: ALGEBRA - predavanjaALGEBRA Poglavlje 1: Grupe 20Primjer 1.15 Parcijalno ure deni skupovi (o. _) su objekti kategorijeciji su morzmi(o. _) (1. _) monotona preslikavanja, tj. takve funkcije , : o 1 da vrijedi r. o.r _ = ,(r) _ ,().Primjer 1.16 Neka je G grupa. Uzimamo je kao jedini objekt kategorije u kojoj jeHo:(G. G) skup svih elemenata iz G. Kompozicija morzama je mnoenje u grupiG. U ovoj kategoriji je svaki morzam ekvivalencija jer svaki element grupe ima inverz.1G je neutralni element c grupe G.Primjer 1.17 Neka nam je dana kategorija (. Novu kategoriju T denirajmo tako dasu njeni objekti morzmi kategorije (. Za ,. q morzme kategorije ( ho cemo deniratiHo:T(,. q). Pogledajmo donji pravokutnik i uo cimo morzme c Ho:((. C) i , Ho:((1. 1)., 1|c|,Cq 1Diplomski studij Matematika: ALGEBRA - predavanjaALGEBRA Poglavlje 1: Grupe 21Zahtijevat cemo komutativnost dijagrama i stavitiHo:T(,. q) = (c. ,) Ho:((. C) Ho:((1. 1) [ , , = q c.Denicija 1.9 Neka je ( kategorija, a i [ i 1 neka je familija objekata iz (. Pro-dukt familije i je objekt 1 u ( zajedno s familijom morzama :i : 1 i [ i 1koji ima sljede ce svojstvo:za svaki 1 O/( i familiju morzama ,i :1 i [ i 1 postoji jedinstvenimorzam , : 1 1 takav da je ,i = :i ,. i 1.Prethodnu deniciju moemo vizualizirati komutativnim dijagramom1:ii!,,i1. \i 1.Za denirani produkt obicno koristimo oznaku i1i(= 1). Morzme :i nazivamo pro-jekcijama od 1 na i.Diplomski studij Matematika: ALGEBRA - predavanjaALGEBRA Poglavlje 1: Grupe 22Primjer 1.18 Neka je 1 = 1. 2. Sada produkt od 1. 2 predstavljamo komutativnimdijagramom1:1 1:22,1 !,,21Familija objekata ne mora imati produkt. U kategoriji o produkt familije skupova i [i 1 postoji i to je Kartezijev produkt. Vidjet cemo da produkt postoji i u kategorijigrupa (.Teorem 1.8 Neka su (1. :i) i (Q. i) produkti familije i [i 1 objekata ukategoriji (. Tada su 1 i Q ekvivalentni. Z.T.U svakoj kategoriji postoje dualne denicije. One se dobiju okretanjem strelica u origi-nalnim denicijama. Slijedi denicija koprodukta (ili sume) koja je dualna deniciji pro-dukta.Diplomski studij Matematika: ALGEBRA - predavanjaALGEBRA Poglavlje 1: Grupe 23Denicija 1.10 Neka je ( kategorija, a i [ i 1 neka je familija objekata iz (.Koprodukt (ili suma) familije i je objekt o u ( zajedno s familijom morzama ji :i o [ i 1 koji ima sljede ce svojstvo:za svaki 1 O/( i familiju morzama i :i 1 [ i 1 postoji jedinstvenimorzam : o 1 takav da je i = ji. i 1.Prethodnu deniciju moemo vizualizirati komutativnim dijagramom:iji oi |!1Oznaka za koprodukt je i1i(= o). Koprodukt se naziva i sumom.Teorem 1.9 Neka su (o. :i) i (1. ti) koprodukti familije i [ i 1 objekata ukategoriji (. Tada su o i 1 ekvivalentni. Z.T.Diplomski studij Matematika: ALGEBRA - predavanjaALGEBRA Poglavlje 1: Grupe 24Denicija 1.11 Konkretna kategorija je kategorija ( zajedno s funkcijomo koja svakomobjektu iz ( pridruuje skup o() (tzv. pripadni skup) tako da vrijedi(i) svaki morzam 1 iz ( je funkcija na pripadnim skupovima o() o(1);(ii) identiteta svakog objekta iz ( je identiteta na pripadnom skupu o();(iii) kompozicija morzama iz ( je kompozicija funkcija na pripadnim skupovima.Primjeri konkretnih kategorija su na pripodan na cin kategorija grupa, kategorija abelovihgrupa i kategorija parcijalno ure denih skupova. Kategorija iz Primjera 1.16 nije konkretna.I mada se obicno poistovje cuju objekt i pripadni skup o(). treba precizno razlikovatimorzme konkretne kategorije od preslikavanja pripadnih skupova.Denicija 1.12 Neka je 1 objekt konkretne kategorije (, A neprazan skup (ne nunoobjekt u kategoriji) te i : A 1 preslikavanje skupova (ne nuno morzam u kate-goriji). Re ci cemo da je 1 slobodan nad skupom A ako za svaki O/( i svakopreslikavanje (skupova) , : A postoji jedinstveni morzam , : 1 takav da je, i = , (kao preslikavanje skupova A ).Diplomski studij Matematika: ALGEBRA - predavanjaALGEBRA Poglavlje 1: Grupe 25Ilustracija denicije komutativnim dijagramom:Ai1|,!,Osnovna karakteristika objekta slobodnog nad skupom je da je na njemu deniranemorzme dovoljno zadati na i(A).Primjer 1.19 Grupa Z je u kategoriji grupa ( slobodni objekt nad skupom A = 1. i jeskupovna inkluzija, i : 1 Z. Neka je G bilo koja grupa i , : A = 1 G bilo kojepreslikavanje. Ono je odre deno s q G za koje je ,(1) = q. Tada je traeni jedinstvenihomomorzam , : Z G koji ima svojstvo , i = , deniran sa ,(:) = q:.Teorem 1.10 Neka su 1 i 1/ slobodni objekti konkretne kategorije (, 1 nad A. a 1/nad A/ i vrijedi [A[ = [A/[ . Tada su 1 i 1/ ekvivalentni. Z.T.Diplomski studij Matematika: ALGEBRA - predavanjaALGEBRA Poglavlje 1: Grupe 261.3 Direktni produkti i direktne sumeProirimo pojam direktnog produkta grupa dan u to cki 1.1 na proizvoljnu familiju grupaGi [ i 1. Kartezijev produkt skupova Gi u oznaci i1Gi deniran je sa

i1Gi =_, : 1 i1Gi [ ,(i) Gi. za svako i 1_.Binarnu operaciju na kartezijevom produktu grupa i1Gi deniramo prirodno, za ,. q

i1Gi stavljaju ci,q : 1 i1Gi. i ,(i)q(i). za svako i 1.Na ovaj na cin

i1Gi postaje grupa. Ako se , i1Gi identicira sa svojom slikomci =,(i)i1. kako se radi u slu caju kona cnog 1. uvedena binarna operacija se svede nauobicajeno "mnoenje po komponentama": ci/i = ci/i. Grupu i1Gi nazivamodirektnim produktom familije grupa Gi [ i 1.Diplomski studij Matematika: ALGEBRA - predavanjaALGEBRA Poglavlje 1: Grupe 27Ako je 1 = 1. 2. . . . . :, i1Gi se ozna cuje G1G2G:. a u aditivnoj notacijiG1G2 G:.Preslikavanje :, : i1Gi G, denirano pridruivanjem , ,(,) je epimorzamgrupa. Epimorzme :, nazivamo kanonskim projekcijama direktnog produkta.Teorem 1.11 (

i1Gi. :i [ i 1) je produkt familije Gi [ i 1 u kategoriji grupa (. Z.T.Korolar 1.5 Direktni produkt (familije) abelovih grupa je produkt u kategoriji abelovihgrupa /. Direktni produkt abelovih grupa je abelova grupa.Diplomski studij Matematika: ALGEBRA - predavanjaALGEBRA Poglavlje 1: Grupe 28Denicija 1.13 (Eksterni, vanjski) slabi direktni produkt familije grupa Gi [ i 1u oznaci

ni1 Gi je skup

ni1 Gi =_, i1Gi [ ,(i) = ci za sve osim kona cno mnogo i 1_.ci je neutralni element grupe Gi. Ako su sve grupe Gi abelove (aditivne notacije),

ni1 Gi se obicno naziva (eksternom) direktnom sumom i ozna cuje

i1 Gi.Za kona cne 1 slabi direktni produkt i direktni produkt se podudaraju.Teorem 1.12 Neka je Gi [ i 1 familija grupa. Tada vrijedi:(i)

ni1 Gi je normalna podgrupa od i1Gi;(ii) za svaki / 1 preslikavanje j/ : G/

ni1 Gi denirano saj/(c) = ci =_ci. i ,= /c. i = / i1je monomorzam grupa;Diplomski studij Matematika: ALGEBRA - predavanjaALGEBRA Poglavlje 1: Grupe 29(iii) za svaki / 1 je j/(G/) normalna podgrupa od i1Gi. Z.T.Preslikavanja j/ se nazivaju kanonskim injekcijama.Teorem 1.13 Neka je Gi [ i 1 familija abelovih grupa.Tada je ni1 Gi = i1 Gikoprodukt (suma) u kategoriji / abelovih grupa. Z.T.Dakle je direktna suma u kategoriji / abelovih grupa odre dena jednozna cno do naizomorzam.Napomena. Tvrdnja teorema ne vrijedi ako se radi o kategoriji svih grupa.Dalje nas zanimaju uvjeti pod kojima ce grupa biti izomorfna slabom direktnom pro-duktu familije svojih podgrupa.Diplomski studij Matematika: ALGEBRA - predavanjaALGEBRA Poglavlje 1: Grupe 30Teorem 1.14 Neka je ì [i 1 familija normalnih podgrupa grupe G i neka jeispunjeno(i) G =_

i1ì_;(ii) za svaki / 1 je `/ _

i,=/ì_= c .Tada je G ~= ni1 ì. Z.T.U razmatranju strukture grupa od velike koristi ce nam biti specijalni slu caj ovog teo-rema koji se odnosi na kona cnu familiju podgrupa.Korolar 1.6 Ako su `1. `2. . . . . `: normalne podgrupe grupe G takve da jeG = `1`2 `: = :1:2 :: [ :i ì i da za svako /. 1 _ / _ :. vrijedi`/ (`1 `/1`/+1 `:) = c . onda je G ~= `1`2 `:.(Ovdje se radi o kona cnoj familiji podgrupa, pa se slabi direktni produkt i direktni pro-dukt podudaraju.)Diplomski studij Matematika: ALGEBRA - predavanjaALGEBRA Poglavlje 1: Grupe 31Prethodni teorem inspirira sljede cu deniciju.Denicija 1.14 Neka je ì [ i 1 familija normalnih podgrupa grupe G takvih da jeG =_

i1ì_i za sve / 1 vrijedi `/_

i,=/ì_= c . Tada kaemo da je G interni(unutranji) slabi direktni produkt familije grupa ì [ i 1 (ili unutranja direktnasuma ako je G abelova, aditivno zapisana grupa).Teorem 1.15 Neka je ì [ i 1 familija normalnih podgrupa grupe G. G je unutranjislabi direktni produkt familije ì [ i 1 ako i samo ako za svaki q G. q ,= c postojerazliciti elementi i1. . . . . i: iz 1 i jedinstveni c ,= cik ìk, 1 _ / _ :. takvi da jeq = ci1ci2 cin. Posljedica Teorema 1.14.Diplomski studij Matematika: ALGEBRA - predavanjaALGEBRA Poglavlje 1: Grupe 32Napomena. Ako je grupa G interni slabi direktni produkt familije grupa ì [i 1, onda su grupe ì stvarne podgrupe od G, a G je izomorfna eksternom slabomdirektnom produktu ni1 ì.S druge strane, eksterni slabi direktni produkt ni1 ìne sadri zapravo grupe ì nego njihove izomorfne kopije ji(ì). Kako ovu neznatnurazliku moemo zanemariti kad kod ne moe do ci do konfuzije, koristit cemo oznakuG =

ni1 ì za grupu Gkoja je unutranji slabi direktni produkt familije svojih podgrupaì [ i 1.Teorem 1.16 Neka je ,i : Gi Hi [ i 1 familija homomorzama grupa i neka je, = i1,i preslikavanje sa i1Gi i1Hi koje pridruuje ci ,i(ci). Tada je ,homomorzam grupa za koji vrijedi:(i) ,(

ni1 Gi) _

ni1 Hi;(ii) 1c:, = i11c:,i;(iii) Im, = i1 Im,i.Nadalje, , je mono (epi) ako i samo ako je svaki ,i mono (epi).Z.T.Diplomski studij Matematika: ALGEBRA - predavanjaALGEBRA Poglavlje 1: Grupe 33Korolar 1.7 Neka su Gi [ i 1 i ì [ i 1 familije grupa, ìC Gi. i 1. Tada je(i) i1ìC i1Gi;(ii)_

i1Gi_,_

i1ì_~= i1 (Gi,ì) ;(iii)

ni1 ìC

ni1 Gi;(iv)_ni1 Gi_,_ni1 ì_~= ni1 (Gi,ì) .Z.T.Diplomski studij Matematika: ALGEBRA - predavanjaALGEBRA Poglavlje 1: Grupe 341.4 Slobodne grupePokazat cemo za dani skup A u (konkretnoj) kategoriji ( uvijek postoji slobodni objektnad A; nazvat cemo ga slobodnom grupom i ozna citi sa 1. Ovo cemo iskoristiti dagrupu (generiranu s A) opiemo u terminima "generatora i relacija".Postupak konstrukcije grupe 1:1) Ako je A = ?. stavljamo da je 1 = c (trivijalna grupa).2) Ako je A ,= ?. uzimamo s njim disjunktni skup iste kardinalnosti i ozna cujemo gaA1. Iz [A[ = A1 slijedi da postoji bijekcija A A1. Za svaki r A sliku od rpo ovom preslikavanju ozna cimo r1. Kona cno odaberemo jedno clani skup disjunktans A ' A1i njegov jedini element ozna cimo s 1.3) Deniramo rije c u A kao niz (c1. c2. . . .) sa svojstvom ci A ' A1' 1 i postoji: N takvo da je c/ = 1 za sve / _ :.4) Konstantni niz (1. 1. . . .) nazovemo praznom rije cju i ozna cimo je tako der s 1, no tou kontekstu ne ce stvarati konfuziju.5) Rije c (c1. c2. . . .) cemo nazvati reduciranom ako je osigurano:(i) r i r1. r A. nisu susjedni u niti jednom od dva mogu ca poretka tj. ci = r =ci+1 ,= r1i ci = r1= ci+1 ,= r za sve : N;(ii) c/ = 1 = c: = 1 za sve : _ /.Diplomski studij Matematika: ALGEBRA - predavanjaALGEBRA Poglavlje 1: Grupe 35Dakle svaku nepraznu reduciranu rije c moemo napisati u obliku niza(r`11 . r`22 . . . . . r`n: . 1. 1. . . .).gdje je : N, ri A. ì = 1 i razumijevamo r1= r. Zapis ovakve rije ci cemo izprakticnih razloga skratiti na r`11 r`22r`n: .Po deniciji jednakosti nizova slijedi da su reducirane rije ci r`11 r`22r`m: i o11 o22on:(ri. , A; ì. o, = 1) jednake ako i samo ako su obje 1 ili je : = : i ri = i. ì = oiza svaki i = 1. 2. . . . . :.Skup svih reduciranih rije ci u A ozna cujemo 1(A). Preslikavanje A 1(A) deni-rano s r r1= (r. 1. 1. . . .) je o cigledno injektivno. Po toj osnovi cemo poistovje civatiA s njegovom slikom po ovom preslikavanju i smatrati da je A _ 1(A).Teimo na 1(A) denirati binarnu operaciju za koju bi prazna rije c 1 bila neutralnielement.Diplomski studij Matematika: ALGEBRA - predavanjaALGEBRA Poglavlje 1: Grupe 36Denicija izravnim dopisivanjem (jukstapozicioniranjem)_r`11 r`22r`m:__o11 o22on:_= r`11 r`22r`m: o11 o22on:ne bi bila dobra jer na desnoj strani moda imamo nereduciranu rije c (ako je r`m:=o11). Zato se binarna operacija uzima kao dopisivanje uz sva potrebna "skra cenja", tj.uz otpisivanje r1r1i r1r1dok se ne dobije reducirana rije c.Primjerice, (r11r12 r13)(r13 r12r14 ) = r11r14 . Formalizirajmo.Neka su r`11 r`22r`m: i o11 o22on: neprazne reducirane rije ci u A. neka je : _ : ineka je /. 0 _ / _ :. najve ci broj sa svojstvom r`mj:, = oj+1,+1za , = 0. 1. . . . . / 1.Deniramo_r`11 r`22r`m:__o11 o22on:_=___r`11r`mk:/ok+1/+1 on: . ako je / < :;om+1:+1 on: . ako je / = : < :;1. ako je / = : = :.Denicija je potpuno analogna u slu caju ::.Diplomski studij Matematika: ALGEBRA - predavanjaALGEBRA Poglavlje 1: Grupe 37Teorem 1.17 Neka je A neprazan skup i 1 = 1(A) skup svih reduciranih rije ci u A.Tada je 1 grupa uz prethodno deniranu binarnu operaciju i vrijedi 1 = A .1 je neutralni element za uvedenu binarnu operaciju, a inverz elementa r`11r`m:je r`m:r`11. Preostaje dokazati asocijativnost. To je mogu ce na ciniti induktivnoi razmatraju ci sve mogu ce slu cajeve (dugo i dosadno), ali postoji i elegantan na cin.(Z.T.) Kako Acine kona cni produkti iz A ' A1. to je o cito 1 = A . Grupu 1 = 1(A) nazivamo slobodnom grupom nad skupom A.Primjer 1.20 A = ? = 1(A) = c (trivijalna grupa);A = r (jedno clani skup) = 1(A) = r ~= Z. Svaki element slobodne grupe je beskona cnog reda. [A[ _ 2 = 1(A) nije abelova.Naime, r. A i r ,= = rr11je reducirana rije c, tj.rr11,= 1. pa je ir ,= r. Svaka podgrupa slobodne grupe je izomorfna nekoj slobodnoj grupi.(G _ 1(A) = 1 tako da je G ~= 1(1 )) (Bez dokaza!)Diplomski studij Matematika: ALGEBRA - predavanjaALGEBRA Poglavlje 1: Grupe 38Teorem 1.18 1 = 1(A) je slobodni objekt nad skupom A u kategoriji (.Z.T.Ako je 1/ = 1/(A) neki drugi slobodni objekt nad skupom A u kategoriji ( s preslika-vanjem ` : A 1/, onda postoji izomorzam , : 1 1/ takav da je ,i = ` (Teorem1.10).Ai 1|`, (izo)1/Posebno, `(A) je skup generatora za 1/.Korolar 1.8 Svaka grupa G je homomorfna slika slobodne grupe.Neka je A skup generatora za G i neka je 1 slobodna grupa nad A. Prema Teoremu1.18 inkluzija , : A G inducira jedinstveni homomorzam , : 1 G takav da je, i = ,. gdje je i : A 1(A) inkluzija. Za r A je ,(i(r)) = r. Im, je podgrupa odG koja sadri A. Jer je G = A najmanja takva, to je Im, = G. tj. , je epimorzam.Diplomski studij Matematika: ALGEBRA - predavanjaALGEBRA Poglavlje 1: Grupe 39Ovaj korolar i Prvi teorem o izomorzmu daju da je svaka grupa G = A izomorfnakvocijentu 1,`, gdje je 1 slobodna grupa nad A, a ` jezgra epimorzma , iz Korolara1.8.Dakle, da bismo neku grupu G opisali do izomorzma, potrebno je specicirati A. 1i `. 1 je do izomorzma odre dena s A (Teorem 1.10), a ` je odre dena nekim pod-skupom elemenata koji je generira kao podgrupu od 1. Ako je n 1 generator od `.n = ro11 ro22ron: . onda se po epimorzmu , : 1 G (oznaka iz dokaza Korolara 1.8)n preslika u c G. Jednadbu ro11 ro22ron:= c u G nazivamo relacijom na genara-torima ri. Kona cno zaklju cujemo da se grupu G u potpunosti moe opisati skupomnjenih generatora A i odgovaraju cim skupom 1 relacija na tim generatorima. Pritomizbor A i 1 ne mora biti jedinstven za danu grupu.Diplomski studij Matematika: ALGEBRA - predavanjaALGEBRA Poglavlje 1: Grupe 40Vrijedi i obratno. Za dani skup A i skup 1 reduciranih rije ci u A postoji grupa G kojaje generirana s A iciji elementi zadovoljavaju relacije n = c. n 1.Ovdje n = ro11 ro22ron: ozna cava produkt u G. (Pritom doputamo da neke elementeiz A grupa G ne razlikuje, primjerice elemente c. / A za koje je c1/1 1.)G konstruiramo na sljede ci na cin.Neka je 1 slobodna grupa nad A i ` normalna podgrupa od 1 generirana s 1. tj.presjek svih normalnih podgrupa od 1 koje sadre 1 .Za G uzmemo kvocijentnu grupu 1,`, a A identiciramo s njegovom slikom po pro-jekciji na kvocijent A 1 1,`.Tako Gmoemo promatrati kao grupu generiranu s A, a po konstrukciji vrijede i relacijen = c. n 1. Naime, n = ro11 ro22ron: 1 = ro11 ro22ron: ` = `ro11`ron: = `.a ovo zna ci ispunjenost ro11 ro22ron: = c u G = 1,`.Ovom diskusijom smo opravdali sljede cu deniciju.Diplomski studij Matematika: ALGEBRA - predavanjaALGEBRA Poglavlje 1: Grupe 41Denicija 1.15 Neka je A skup, a 1 _ 1(A) skup reduciranih rije ci u A. Re ci cemoda je grupa G denirana generatorima r A i relacijama n = c (n 1 ) ako jeG ~= 1(A),`, gdje je ` normalna podgrupa slobodne grupe 1(A) generirana s 1.Par A; 1 nazivamo prezentacijom grupe G.Ako je A; 1 prezentacija grupe G u smislu gornje denicije, onda je G najve camogu ca grupa s opisanim svojstvom kako se vidi iz sljede ceg teorema.Teorem 1.19 (Van Dyck) Neka je A skup, 1 skup reduciranih rije ci u A i G grupadenirana generatorima r A i relacijama n = c (n 1 ). Ako je H bilo koja grupagenerirana generatorima r A i koja zadovoljava relacije n = c (n 2 _ 1 ), ondapostoji epimorzam , : G H.Z.T.U sljede cim primjerima zadavanja grupe generatorima i relacijama koristit cemo (kakoje i uobicajeno) eksponencijalni zapis rije ci, primjerice r1r1111r1= r23r1.Diplomski studij Matematika: ALGEBRA - predavanjaALGEBRA Poglavlje 1: Grupe 42Primjer 1.21 1(A) = A; ? .Slobodna grupa je "slobodna od relacija". Skup (netrivijalnih) relacija koje zadovol-javaju elementi iz A je prazan.Primjer 1.22 Z Z =r. ; rr11_.Z je slobodna grupa s jednim generatorom, pa je kod ovog direktnog produkta jedinarelacija zahtjev da generatori svakog od faktora komutiraju.Primjer 1.23 Z: = r; r: . : N.Diplomski studij Matematika: ALGEBRA - predavanjaALGEBRA Poglavlje 1: Grupe 43Primjer 1.24 Pogledajmo koja je grupa zadana s G =c. /; c:. /2. /c/c_.Vidjeli smo da diedralna grupa 1: izometrija pravilnog :-terokuta ima 2 generatora:rotaciju c oko sredita za2:: (reda :) i osnu simetriju / (reda 2) kroz vrh i sredite.Prema Teoremu 1.7 ovi generatori zadovoljavaju relaciju /c = c1/ to je ekvivalentnos /c/c = c. Zna ci da skup relacija za 1: moe biti samo ve ci nego onaj za grupu G.Prema Teoremu 1.19 postoji epimorzam , : G 1:. pa je [G[ _ 2: = [1:[ . S drugeje strane G ~= 1(c. /),`. gdje je ` normalna podgrupa od 1(c. /) generiranaskupom rije ci c:. /2. /c/c. Iz `/c/c = ` == `/c = `c1/ = `c:1/ lako jevidjeti da je svaki element od 1(c. /),` mogu ce napisati u obliku `c//|za neke / i|. 0 _ / _ : 1. 0 _ | _ 1. Naime, provjeri se `/c/= `c://.Dakle, 1(c. /),` = `c//|[ 0 _ / _ : 1. 0 _ | _ 1. tj. [1(c. /),`[ = [G[ _ 2:.Kona cno, [G[ = 2: i , je izomorzam. Zadana grupa G je (izomorfna s) 1:.Diplomski studij Matematika: ALGEBRA - predavanjaALGEBRA Poglavlje 1: Grupe 441.5 Slobodni produktiU ovoj to cki smo i dalje u (konkretnoj) kategoriji grupa (; uvodimo "slobodne produkte"koji su koprodukti familija objekata (grupa).Neka je Gi [ i 1 familija grupa po pretpostavci (kao skupova) me dusobno disjunkt-nih. Ozna cimo A = i1Gi; 1 neka je jedno clani skup disjunktan sa A.Deniramo rije c u A kao niz (c1. c2. . . .) sa svojstvom ci A ' 1 i postoji : Ntakvo da je c/ = 1 za sve / _ :.Rije c (c1. c2. . . .) cemo nazvati reduciranom ako vrijedi:(i) niti jedan ci A nije jedinicni element pripadne grupe Gi;(ii) za sve i. , _ 1. ci i ci+1 (susjedni elementi) nisu iz iste grupe G,;(iii) c/ = 1 = c: = 1 za sve : _ /.Posebno, 1 = (1. 1. . . .) je primjer reducirane rije ci. To je tzv. prazna rije c.Svaku nepraznu reduciranu rije c moemo na jedinstven na cin napisati u obliku niza(c1. c2. . . . . c:. 1. 1. . . .) = (skra ceno) = c1c2. . . c:.gdje je ci A.Diplomski studij Matematika: ALGEBRA - predavanjaALGEBRA Poglavlje 1: Grupe 45Skup svih reduciranih rije ci ozna cuje se

+i1 Gi (odnosno, G1+ G2++ G: ako je 1kona can).Pokazuje se da je +i1 Gi grupa; nazivamo je slobodnim produktom familije grupaGi [ i 1.Binarna operacija je jukstapozicioniranje uz sva mogu ca skra cenja dok se ne dobijereducirana rije c. Na primjer, ako su ci. /i Gi. i = 1. 2. 3. onda je(c1c2c3)(c13 /2/1/3) = c1c2/1/3 = (c1. c2. /1. /3. 1. 1. . . .).gdje je c2 = c2/2 G2.1 je neutralni element za binarnu operaciju. 1 je rezultat ako se sve skrati.Diplomski studij Matematika: ALGEBRA - predavanjaALGEBRA Poglavlje 1: Grupe 46Za svako / 1 preslikavanje j/ : G/

+i1 Gi denirano saj/(r) =_1. r = c(c. 1. 1. 1. . . .) = c. r = cje monomorzam grupa. Na toj osnovi ponekad grupu G/ identiciramo s njenomhomomorfnom slikom j/(G/)

Documents

Algebra-Pred Poglavlje 1