Algebra Proposicional Bueno Modulom Dos

LGEBRA DE PROPOSICIONES

1

CAPTULO I


1.1 PROPOSICIN

Proposicin (o enunciado) es una afirmacin verbal a la que puede

asociarse un valor de verdad, es decir, puede ser verdadera o falsa, por

ejemplo:

Hace calor Jos estudia El es feliz Oruro es una ciudad con clima fro

Las proposiciones pueden ser simples como las de los ejemplos anteriores

o compuestas, que se pueden unir a travs de conectores (conectivas)

Jos estudia y es feliz Hace calor o estoy muy abrigado Si llueve entonces me mojo

El lgebra proposicional es la representacin del lenguaje usual tomando

como elemento bsico una representacin matemtica de las frases

declarativas que definen las operaciones bsicas del lgebra

proposicional.

Para representar proposiciones se utilizarn letras: p, q, r, s,.Las operaciones bsicas son:

Negacin ~ () Conjuncin. Disyuncin

Disyuncin exclusiva Condicional Bicondicional Negacin conjunta

j.sabiNota adhesivasacado de http://docentes.uto.edu.bo/alvargaso/wp-content/uploads/2algebra_de_proposiciones.pdf

LGEBRA I 2

1.2 NEGACIN ~p

Permite negar un enunciado o proposicin, su tabla de verdad es falsa

cuando p es verdadera y viceversa:

No p No es verdad que p Es falso que p No es cierto que p

1.3 CONJUNCIN p q

Dos proposiciones pueden ser unidas con la conjuncin, lo cual puede

interpretarse como:

p y q p pero q p sin embargo q p no obstante q p a pesar de q

La tabla de verdad de la conjuncin es verdadera, solamente cuando los

dos enunciados son verdaderos.

1.4 DISYUNCIN p q

La disyuncin permite unir dos proposiciones

con el equivalente a la letra o

p o q o p o q o ambas cosas como mnimo p o q

La tabla de verdad de la disyuncin es falsa solamente cuando los dos

enunciados son falsos.

1.5 DISYUNCIN EXCLUSIVA p q

La disyuncin exclusiva equivale a unir dos

enunciados con un conector equivalente a

p o q pero no ambos, su tabla de verdad es

verdadera cuando un enunciado es verdadero

y el otro falso o viceversa.

p ~p

V F

F V

p q

V V V

V F F

F F V

F F F

p q

V V V

V V F

F V V

F F F

p Q

V F V

V V F

F V V

F F F


3

1.6 CONDICIONAL (IMPLICACIN) pq

Es una relacin de causa a efecto

p implica a q si p entonces q p es suficiente para q q es necesario para p q si p

La tabla de verdad del condicional tiene valor falso cuando el primer

enunciado es verdadero y el segundo falso.

1.7 BICONDICIONAL (DOBLE IMPLICACIN) pq

Se lee p si y slo si q, su tabla de verdad exige que ambos enunciados

sean verdaderos o ambos falsos para ser verdadera.

p si y slo si q p necesario y suficiente para q

1.8 NEGACIN CONJUNTA pq

Se lee ni p ni q y es verdadero cuando p es falso y q es falso

1.9 TABLAS DE VERDAD DE PROPOSICIONES

Cuando se construye una tabla de verdad se puede clasificar la misma, si

la ltima columna tiene todos los valores de verdad verdaderos, se trata

de una Tautologa, si son falsos es una Contradiccin y, si los valores

de verdad estn combinados una Contingencia.

p q

V V V

V F F

F V V

F V F

p q

V V V

V F F

F F V

F V F

p q

V F V

V F F

F F V

F V F

LGEBRA I 4

Para asignar los valores de verdad a una proposicin que contiene dos

enunciados p y q empiece por dar a p dos valores verdaderos y dos falsos

e intercale entre verdadero y falso los de q. Si se tienen tres enunciados p,

q, r asigne a p cuatro valores verdaderos y luego cuatro falsos, a q dos

verdaderos, dos falsos, dos verdaderos y luego dos falsos, finalmente

intercale los valores de verdad de r entre verdadero y falso. Siguiendo

sta lgica no existe ninguna dificultad para construir una tabla de verdad

de n enunciados, respete el orden alfabtico de las letras para empezar a

asignar los valores de verdad correspondientes.

Ntese que el nmero de lneas de una tabla de verdad vendr dado por

el nmero dos elevado al nmero de enunciados de la tabla. As por

ejemplo, una proposicin de cuatro enunciados tendr 24 =16 filas

Construya la tabla de verdad de las siguientes proposiciones e indique si

se trata de una tautologa, contradiccin o contingencia

Ejemplo 1

~ (p v q) v ~p ^ ~q

F V V V F F F F

F V V F F F F V

F F V V F V F F

V F F F F V V V

Es una contradiccin

Ejemplo 2

(p q) (r ^ ~p)

V V V F V F F

V V V F F F F

V F F V V F F

V F F V F F F

F V V V V V V

F V V F F F V

F V F V V V V

F V F F F F V

Es una contingencia


5

Ejemplo 3

{(p q) (~r ^ s)} V (~q v r)

V V V F F F V V F V V

V V V F F F F V F V V

V V V V V V V V F F F

V V V F V F F F F F F

V F F V F F V F V V V

V F F V F F F F V V V

V F F F V V V V V V F

V F F V V F F F V V F

F V V F F F V V F V V

F V V F F F F V F V V

F V V V V V V V F F F

F V V F V F F F F F F

F V F F F F V V V V V

F V F F F F F V V V V

F V F V V V V F V V F

F V F F V F F V V V F

Es una contingencia

Ejemplo 4

[(p q) ^ (q r)] (p r)

V V V V V V V V V V V

V V V F V F F V V F F

V F F V F V V V V V V

V F F F F F F V V F F

F V V V V V V V F V V

F V V F V F F V F V F

F V F V F V V V F V V

F V F V F V F V F V F

Es una tautologa

LGEBRA I 6

Ejemplo 5

(r v q) {(~p v s) (~q ~r)}

V F V F F V V V F V F

V F V F F F F V F V F

F V V V F V V V F V V

F V V F F F F V F V V

V V F F F V V F V F F

V V F V F F F V V F F

F F F F F V V V V V V

F F F F F F F V V V V

V F V F V V V V F V F

V F V F V V F V F V F

F V V V V V V V F V V

F V V V V V F V F V V

V V F F V V V F V F F

V V F F V V F F V F F

F F F F V V V V V V V

F F F F V V F V V V V

Es una contingencia

1.10 PARADOJAS LGICAS1

Existen acertijos lgicos que permiten matizar el aprendizaje del lgebra

de proposiciones, dando un contenido entretenido al tema. La mayor

parte de los acertijos se origina en lo que se ha dado a llamar la falacia del circulo vicioso, que es debida al hecho de despreciar el principio fundamental de que lo que se involucra al todo de una totalidad dada no

puede ser parte de la totalidad por ejemplo, el acertijo de Epimnides referente al cretense que dice que todos los cretenses son mentirosos. Otros ejemplos sencillos de esto son aquellas frases pontificiales,

familiares en todo el mundo, que parecen tener mucho significado, pero

que en realidad no tienen ninguno, tales como: nunca digas nunca o toda regla tiene excepciones. Entre otras paradojas interesantes estdiese la siguiente:

1 Kasner Edgard y Newman James, LAS MATEMTICAS Y LA IMAGINACIN Pub.Sociedad Matemtica Mexicana 1967


7

La caza esta prohibida en el territorio de un prncipe, quien fuera

sorprendido en este delito sera castigado con la muerte, el infractor deba

formular una proposicin, si era falsa se le ahorcaba y si era verdadera se

le decapitaba. Un bribn, ducho en lgica se vali de esta prerrogativa

diciendo: Ser ahorcado, si se le ahorcaba la proposicin era verdadera y contradeca la Ley y si era decapitado entonces la proposicin era falsa,

lo cual tambin iba en contra de la Ley.

Invitamos al lector a debatir sobre el valor de verdad de la siguiente

proposicin: El barbero de la aldea afeita a todos los hombres de la misma que no se afeitan a si mismos (analice la situacin del barbero)

1.11 APLICACIONES CON DERIVE

Derive es un formidable asistente matemtico que permite realizar

muchas operaciones en el campo de la matemtica, una de ellas el la

construccin de tablas de verdad, para ello el usuario deber tener cierta

familiaridad con el derive, la siguiente es la pantalla principal.

LGEBRA I 8

Ejemplo 6

Utilizando el asistente matemtico Derive

Ingrese la siguiente expresin en la barra de entrada

TRUTH_TABLE (p, q, r, s, ((p q) ( r s)) ( q v r))

Haciendo click en introducir y simplificar obtendr

p q r s (p q r ^ s) ( q v r) true true true true true true true true false true

true true false true false

true true false false false

true false true true false

true false true false false

true false false true true

true false false false false

false true true true true

false true true false true

false true false true false

false true false false false

false false true true true false false true false true

false false false true false

false false false false true

Resultar muy til a la formacin del estudiante, familiarizarse con el uso

del asistente matemtico Derive, el mismo cuenta con aplicaciones

matemticas de todas las asignaturas que le corresponder cursar a todo

estudiante de ingeniera, por ello se recomienda tomarse un tiempo para

trabajar con este asistente que no requiere mayores explicaciones que una

clase introductoria para familiarizarse con la pantalla principal.

Posteriormente, utilizando adecuadamente la ayuda se puede concretar

fcilmente un autoaprendizaje.

El asistente matemtico Derive permite construir tablas de verdad de una

forma muy simple, para ello basta con que se introduzca en la barra de

entrada de expresiones la proposicin cuya tabla se desea encontrar. Los

tres ltimos ejemplos pueden resolverse del siguiente modo;


9

Ejemplo 7

Introduzca la siguiente expresin

TRUTH_TABLE(p,q,r,((p q) ^ (q r)) (p r))

Se simplificar a:

p q r (p q) ^ (q r) (p r) true true true true

true true false true

true false true true

true false false true

false true true true

false true false true

false false true true

false false false true

Ejemplo 8

Introduzca lo siguiente:

TRUTH_TABLE(p, q, r, s, (r q) ^ (( p v s) (q r))) Luego de introducir y simplificar obtendr la siguiente tabla:

p q r s (r q) ^ ( p v s q r) true true true true false

true true true false false

true true false true true

true true false false false

true false true true true

true false true false false

true false false true false

true false false false false

false true true true false

false true true false false

false true false true true

false true false false true

false false true true true

false false true false true

false false false true false

false false false false false

LGEBRA I 10

1.12 LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSISIONES

Las proposiciones, bajo la ley de equivalencia lgica (), cumplen las siguientes leyes:

1.12.1 LEYES DE IDEMPOTENCIA

pppppp

1.12.2 LEYES ASOCIATIVAS

)()()()( rqprqprqprqp

1.12.3 LEYES CONMUTATIVAS

pqqppqqp

1.12.4 LEYES DE IDENTIDAD

ffppvpvvppfp ;;;

1.12.5 LEYES DE COMPLEMENTACIN

vffv

fppppvpp

~;~

~;~~;~

1.12.6 LEYES DE MORGAN

q~~)(~~~)(~ pqpqpqp

1.12.7 LEYES DISTRIBUTIVAS

)()()()()()( rpqprqprpqprqp

1.12.8 LEYES DE ABSORCIN

( )

( )

p p q p

p p q p

1.12.9 DEFINICIN DE CONDICIONAL Y BICONDICIONAL

( ) ( )

( ) ( )

p q p q

p q p q q p

p q p q q p


11

1.13 LGEBRA DE PROPOSICIONES

Ejemplo 9 Mediante las leyes del lgebra de proposiciones y sin utilizar la ley de

absorcin, simplificar las siguientes expresiones:

a) ( ) (~ )p q p f

qp

qpf

qppp

qpp

pqp

fpqp

~

)~(

)~()~(

)(~

~)(

)~()(

b)

p

vp

qvp

qpvp

qpp

fqpp

)((

)()(

)(

])[(

c)

p

fp

qfp

qpfp

qpp

vqpp

)((

)()(

)(

])[(

d)

Def. condicional, De Morgan

= Conmutativa

= Distributiva

= Complementacin

Identidad

Conmutativa

Distributiva

Complementacin

Identidad

Identidad

Identidad

Distributiva

Identidad

Identidad

Identidad

Identidad

Distributiva

Identidad

Identidad

LGEBRA I 12

= Identidad

= Def. Condicional

= De Morgan

Idempotencia complementacin

Ejemplo 10

Determinar el valor de verdad de los siguientes enunciados:

Si 1 1a

a entonces

22 2 2x x

V V V

Como el primer enunciado es verdadero, el segundo tambin, y el

conector es el condicional deducimos que el enunciado es verdadero

3 8 2 y 9 3

V F F

En este caso el primer enunciado es verdadero y el segundo falso, el

conector es la conjuncin, por tanto, el enunciado es falso

0 1 10 1x o x

F V V V

Ahora el primer enunciado es falso y el segundo verdadero, el

conector en la disyuncin, por tanto, el enunciado es verdadero.

2 2 2( )x y x y si y slo si sin45 cos45

V V El primer enunciado es verdadero y el segundo verdadero, el conector

es el bicondicional, en consecuencia el enunciado es verdadero.

Ejemplo 11

Conociendo que p, q, r, s son proposiciones verdaderas determine el

valor de verdad de:

( ) ( )p q r s p


13

( ) ( )

( )

V V V V V

V F F

V F

V

Si p,q son verdaderas y r,s,t falsas, hallar el valor de verdad de:

( ) ( ) ( )r q s t q p s

( ) ( ) ( )F V F F V V F

( ) ( ) ( )F F V V

V F

F

1.14 ENUNCIADOS CONDICIONALES Y VARIACIONES

El condicional qp tiene las siguientes proposiciones derivadas de

ella

Converso o recproco pq

Inverso o contrario qp ~~

Contrapositivo o contrarecproco pq ~~

Cuyas tablas de verdad son las siguientes:

Ntese que el enunciado condicional qp y su contrapositivo

pq ~~ son lgicamente equivalentes, de la misma manera el

converso pq y el inverso qp ~~ son tambin lgicamente

equivalentes.

Ejemplo 12

p q ~p ~q pq qp ~p~q ~q~p

V V F F V V V V

V F F V F V V F

F V V F V F F V

F F V V V V V V

LGEBRA I 14

Sea el enunciado condicional Si estudio matemticas aprobar la materia escriba en forma simblica y literal el condicional, converso, inverso contrapositivo.

Sea p estudio matemticas q aprobar la materia Condicional

qp Si estudio matemticas aprobar la materia

Converso

pq Si apruebo la materia entonces estudi matemticas

Inverso

qp ~~ Si no estudio matemticas, entonces no aprobar la

materia Contrapositivo

pq ~~ Si no apruebo la materia, entonces no estudi

matemticas Ejemplo 13

Sea el enunciado condicional Si me caso muy joven, ser infeliz, escriba en forma simblica y literal el condicional, converso, inverso y

contrapositivo.

Sea p me caso muy joven q ser infeliz Condicional

qp Si me caso muy joven, ser infeliz

Converso

pq Si soy infeliz entonces me cas muy joven

Inverso

qp ~~ Si no me caso muy joven entonces ser feliz

Contrapositivo

pq ~~ Si soy feliz entonces no me cas muy joven

1.15 ARGUMENTOS E IMPLICACIN LGICA

Argumento (razonamiento deductivo vlido) es una afirmacin de que un

conjunto dado de proposiciones

P1, P2, P3, Pn, denominadas premisas, producen como consecuencia lgica otra proposicin Q llamada conclusin, se

representa por:

P1, P2, P3, Pn, Q


15

Un argumento P1, P2, P3, Pn, Q es vlido si la conclusin es verdadera cuando todas las premisas son verdaderas; de otra manera es

falso.

Un argumento P1, P2, P3, Pn, Q es vlido si y slo si la proposicin (P1 ^P2^ P3^^ Pn) Q es una tautologa.

Ejemplo 14

Determine la validez del siguiente argumento

P1 : Estudio o voy a la fiesta

P2 : Si estudio aprobar el examen

P3 : Fui a la fiesta

.. Q : Reprob el examen

Sea p estudio; q voy a la fiesta; r aprob el examen

Estudio o voy a la fiesta p q

Si estudio aprobar el examen p r

Fui a la fiesta q

Reprob el examen ~ r

(p v q) ; (p r) ; q ~r

V V V V V V V F

V V V V F F V V

V F F V V V F F

V F F V F F F V

F F V F V V V F

F F V F V F V V

F F F F V V F F

F F F F V F F V

Solamente en la primera fila las premisas son verdaderas y la conclusin

es falsa, por tanto, el argumento no es vlido.

Tambin es posible determinar la validez del argumento construyendo la

siguiente tabla de verdad:

LGEBRA I 16

[(p V q) (p r) q] ~r

V V V V V V V V V F F

V V V F V F F F V V V

V F F F V V V F F V F

V F F F V F F F F V V

F F V F F V V F V V F

F F V F F V F F V V V

F F F F F V V F F V F

F F F F F V F F F V V

Como la tabla de verdad no es una tautologa, entonces el argumento no

es vlido

Ejemplo 15 Determine la validez del siguiente argumento

P1 : Si nieva har mucho fro

P2 : Hace mucho fro y me enfermo

P3 : No nev sin embargo me enferm

.. Q : No hizo mucho fro

Sea p nieva; q hace mucho fro; r me enfermo.

Si nieva har mucho fro p q

Hace mucho fro y me enfermo q r

No nev sin embargo me enferm p r

No hizo mucho fro ~ q

(p q) ; (q ^ r) ; p ^ r ~q

V V V V V V V V V F

V V V V F F V F F V

V F F F F V V V V F

V F F F F F V F F V

F V V V V V F F V F

F V V V F F F F F V

F V F F F V F F V F

F V F F F F F F F V

En la primera fila las premisas son verdaderas y la conclusin es falsa,

por tanto, el argumento no es vlido.


17

{[(p q) ^ (q ^ r)] ^ (p ^ r)} ~q

V V V V V V V V V V V F F

V V V F V F F F V F F V F

V F F F F F V F V V V V V

V F F F F F F F V F F V V

F V V V V V V F F F V V F

F V V F V F F F F F F V F

F V F F F F V F F F V V V

F V F F F F F F F F F V V

Tambin es posible determinar la validez del argumento construyendo la

tabla de verdad:

Como la tabla de verdad no es una tautologa el argumento no es vlido.

1.16 MODUS PONENS

,p p q q

Observe el razonamiento deductivo vlido

1.17 MODUS TOLLENS

(p q) ; ~q ~q

Observe el razonamiento deductivo vlido

1.18 CIRCUITOS LGICOS

Todas las proposiciones mostradas anteriormente, pueden ser traducidas a

p ; pq q p pq q

V V V V V V V V

V F F V F F V F

F V V F F V V V

F V F F F V V F

Pq ; ~q ~q pq ~q ~q

V F F V F F V F

F V F F F V V V

V F V V F F V F

V V V V V V V V

LGEBRA I 18

un circuito lgico, el cual muestra a travs de una lmpara encendida o

apagada la condicin de verdadero o falso respectivamente.

Cuando un circuito lgico requiere el uso de un mismo enunciado se

establece que si p es verdadero (interruptor cerrado), entonces ~p

(interruptor abierto) es falso y viceversa.

Todos los circuitos lgicos utilizan interruptores en serie para la

conjuncin y en paralelo para la disyuncin, las dems conectivas se

reducen a estos operadores para construir sus circuitos lgicos.

1.18.1 CONJUNCIN

1.18.2 DISYUNCIN

p ^ q

V V V

V F F

F F V

F F F

P v q

V V V

V V F

F V V

F F F

P q


19

1.18.3 NEGACIN CONJUNTA

1.18.4 CONDICIONAL O IMPLICACIN

V F V

V F F

F F V

F V F

~p ^ ~q

F F F

F F V

V F F

V V V

~p V q

F V V

F F F

V V V

V V F

P q

V V V

V F F

F V V

F V F

q

~p

q

~p

q

~p

~p

q

p

p

q

q

~q

~q

~p

~p

~p q p q

LGEBRA I 20

1.18.5 BICONDICIONAL O DOBLE IMPLICACIN

1.18.6 DISYUNCIN EXCLUSIVA O DIFERENCIA SIMTRICA

P q

V V V

V F F

F F V

F V F

p v q

( ) ~ ( )

( ) ~ (( ) ( ))

( ) ~ ( ) ~ ( )

( ) ( ~ ) ( ~ )

( ) ( ) ( ~ ) (~ ) (~ ~ )

( ) ( ) (~ ~ )

p q p q

p q p q q p

p q p q q p

p q p q q p

p q p q p p q q q p

p q p q p q

~q

p

q

~p

q

~p

~q

p

~q

p

q

~p

q

~p

~q

p

~ ~

p q p q q p

p q p q q p


21

p q p q p q

Ejemplo 16

Si se tiene el siguiente circuito lgico

a) Determinar la proposicin correspondiente

b) Simplificar y obtener la proposicin resultante ms simple del mismo

a) ( ) ( )p q p p q

V F V

V V F

F V V

F F F

~p

p

~q

q

~p

p

~q

q

~p

p

~q

q

~p

p

~q

q

q ~p

~q

p

p

LGEBRA I 22

La tabla de verdad correspondiente al circuito es:

(p V q) V (p (~p V ~q)

V V V V V F F F F

V V F V V V F V V

F V V V F F V V F

F F F F F F V V V

Puede observarse que las columnas de ( p V q ) y el resultado final de la

tabla son idnticas confirmando la reduccin efectuada

( ) ( ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

p q p p q

p q p p p q

p q f p q

p q p q

p q p p q q

p q p v

p q v

p q


23

Ejemplo 17

En el siguiente circuito lgico

La proposicin equivalente ser:

( ) ( ) ( )p p q r p r q r

Efectuando las reducciones se tiene:

(( ) ) (( ) ) ( ) ( )

(( ) ( ) (( ) ( ) ( ) ( )

p p q r p q p r q r r

p p r q r p p q p r q F

(( ) ( ) (( ) ( ) )

( ) ( ) ( )

p p r q r F q p r q

p p r q r q p

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

p p p r p q p r p q p p

F p r p q p r p q V

( ( )) (( ) )

( )

F p r p q V

F p q

p q

q q

~r

~p

r

p

p

r

LGEBRA I 24

La tabla de verdad es:

p V [((~p V q) (r V p)) V (r (q V ~r))] V V F V V V V V V V V V V V F

V V F V V V F V V V F F V V V

V F F F F F V V V F V F F F F

V F F F F F F V V F F F F V V

F F V V V V V V F V V V V V F

F F V V V F F F F V F F V V V

F F V V F V V V F F V F F F F

F F V V F F F F F F F F F V V

Que es equivalente a la tabla de verdad de

p q V V V

V V V

V F F

V F F

F F V

F F V

F F F

F F F

Y verifica la reduccin efectuada

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