Algebran ja Geometrian laskukokoelma

A. Potenssien laskusäännöt

Sievennä

1. (r3)4 2. (2a3)3 3. x3 x5

4. 𝑘11

𝑘5 5. 2𝑎2𝑎7

−5𝑎3 6. (-3x2y3)3

7. (1

4)−3 8. (2

𝑎2

𝑏−3)3

Lisätehtäviä

9. (a2)4 10. 𝑥 2𝑦5

𝑥 𝑦3 11. x2 x3

12. 3 𝑢 𝑧3

(2𝑢 𝑧)2 13. 3𝑏2

𝑏7 14. (-3a2b)2

B. Murtoluvut

15. Supista murtoluvut

a) 105

39b)

12

45

16. Suorita seuraavat laskut murtoluvuilla

a) 5

2

3

11 b) 6:

3

5

17. Sievennä

a) 11

52

b)

6

73

5

18. Sievennä

a) 51

42b)

4

31

3

2 c)

12

53

2

C. Murtolausekkeet

19. Esitä tulomuodossaa) 4z2 + 3z b) y2- 1 c) b2 - 4

20. Supista a) 𝑎𝑥+5𝑥

𝑥b)

𝑎−𝑏

𝑏−𝑎c)

𝑎−1

𝑎2−1

21. Sievennä yhdistämällä yhdeksi murtolausekkeeksi

a) 1

𝑎−

1

𝑎+1 b)

1

𝑎−

2

𝑏 + 1

22. Esitä yhtenä murtolausekkeena 2𝑎

𝑥:

3𝑥

5

Lisätehtäviä:

23. Sievennä a) 𝑥2+2𝑥

5𝑥 b)

𝑥3−4𝑥

𝑥+2

24. Sievennä

a) 1

𝑥−1−

1

𝑥+1 b)

−2𝑎

𝑏∙

3𝑥

5𝑎

D. Juurten laskusääntöjä

25. Sievennä viemällä juurimerkin sisällä olevia neliötekijöitä juuren ulkopuolelle.

a) √18 b) √28

26. Sievennä käyttäen sääntöjä √𝑥√𝑦 = √𝑥𝑦 ja √𝑥

√𝑦= √

𝑥

𝑦

a) √2√6 b) √3√12 c) √10

√2

Lisätehtäviä

27. Sievennä a) √20 b) √27 c) √10

√5

E. Polynomien peruslaskutoimitukset 28. Sievennä poistamalla sulut a) (3x - 5) – (x-1) b) -5 (-3x + 2) 29. Sievennä suorittamalla kertolaskut a) (2x + 1) (3x – 5) b) (2x + 1)(2x2 – x + 3) 30. Sievennä poistamalla sulut a) (x2- 5x + 2) - (2x2 + x – 3) b) 3(2x + 5) – ( 1 – 2x)

31. Määritä seuraavan polynomijakolaskun osamäärä ja jakojäännös: (x3 – 2x2 + 5x – 7) : (x + 2)

E. 1. asteen yhtälöt ja epäyhtälöt Ratkaise tuntematon x seuraavista yhtälöistä 32. a) -2x + 1 = 5 x + 2 b) 2(x + 3) = - 3x + 7 33. b) a x + 5 = b b) a x – 2 = x

34. 𝑥

3 – 1 =

2𝑥+1

2

Ratkaise kysytty suure seuraavista yhtälöistä 35. p V = n R T T = ?` 36. x = v0 t + ½ a t2 a = ? Lisätehtäviä 37. Ratkaise x

a) 2 – 5 x = 1 + 2 x b) 3(x -2) = 5 ( x + 1) c) 𝑥+3

2 + 1 =

2𝑥

3 +

1

2

F. Toisen asteen yhtälöt ja epäyhtälöt Ratkaise tuntematon muuttuja seuraavista yhtälöistä 38. a) x2 + 2x = 0 b) x2 – 5 = 0 39. b) 2 x2 + 1 = 0 b) 2x2 + 3x – 5 = 0 40. a) x2 = 8 x b) 2x2 - 5 = 0 41. a) 2x2 – 3x + 1 = 0 b) -1.8 + 19.7 t – 4.9 t2 = 0

G. Suoran yhtälö

42. Määritä suoran yhtälö, kun suoran kulmakerroin on – 2 ja se leikkaa y-akselia kohdassa y = 3

43. Määritä suoran yhtälö, kun suoran kulmakerroin on 2 ja suora kulkee pisteen (1,-2) kautta.

44. Muodosta sen suoran yhtälö, joka kulkee pisteiden (-2,1) ja (3,2) kautta.

H. Lineaarinen malli y = a x + b

45. Mobiilipuhelun hinta muodostuu 14.00 Euron kuukausittaisesta perusmaksusta, sekä minuuttimaksusta, joka on 0.025 Euroa/min. Olkoon x kuukaudessa puhuttu minuuttimäärä. Määritä kuukausilaskun loppusumman y lauseke x:n avulla.

46. Erään omakotitaloasiakkaan kaukolämpölasku koostuu kuukausittaisesta perusmaksusta P, sekä energian kulutukseen perustuvasta maksusta, joka on 45 Euroa/MWh. Kyseinen asiakas kulutti eräässä kuussa 1.6 MWh energiaa, jolloin kuukausilaskun loppusumma oli 132 Euroa. Mikä oli perusmaksun P suuruus?

47. Electrolux pesukone maksaa 340 Euroa ja kuluttaa keskimäärin 60 ltr (0.060 m3) vettä pesukertaa kohti. LG pesukone maksaa 410 Euroa ja kuluttaa 42 ltr pesukertaa kohti. Vesikuution kokonaishinta (sis. jätevesimaksun) on 5.50 Euroa/m3. Kuinka monta kertaa pyykkiä pitäisi pestä, jotta LG tulisi kokonaiskustannuksiltaan edullisemmaksi vaihtoehdoksi?

48. Omakotitalon vesilaskun loppusumma koostuu perusmaksusta ja kulutukseen

perustuvasta maksusta. Erään talon vesilasku laskutusjaksolta oli 185.50 Euroa, ja kulutus 28.2 kuutiometriä Naapurin lasku oli 204.30 Euroa ja kulutus vastaavasti 31.7 kuutiometriä. Määritä perusmaksu ja vesikuution hinta.

I. Toisen asteen polynomimalli 49. Suorakaiteen muotoinen rantatontti (sivut x ja y) rajataan 500 m pituisella

aidalla. Määritä tontin sivujen pituudet, kun tontin pinta-ala on suurin mahdollinen.

50. Piirrä paraabeli y = x2 + 2x – 3 määrittämällä kolme tärkeintä pistettä: nollakohdat ja paraabelin huippu.

51. Määritä paraabelin y = x2 + 3x - 4 juuret ja huipun koordinaatit. Piirrä kuva

paraabelista.

52. Saappaanheitossa saappaan korkeus maan pinnasta y riippuu ajasta seuraavasti:

y = 2.1 + 15.5 t - 4.9 t2

Laske a) saappaan lentoaika b) radan korkein kohta (=y:n maksimiarvo)

J. Verrannot ja verrannollisuus

53. Eräästä hallitsijasta tehtiin 2.5 m korkea näköispatsas. Hänen pituutensa oli

luonnosssa 1.80 m, massa 85 kg ja tilavuus 85 litraa. Mikä oli patsaan tilavuus ja massa m , kun patsas oli veistetty graniitista jonka tiheys on 5 - kertainen ihmisen tiheyteen verrattuna?

54. Autokoulussa opetetaan, että auton jarrutusmatka on verrannollinen auton nopeuden neliöön. Oletetaan, että erään auton jarrutusmatka kuivalla kelillä nopeudesta 60 km/h on 35 m. Mikä on auton jarrutusmatka samoissa olosuhteissa

a) nopeudesta 120 km/h ? b) nopeudesta 90 km/h ?

55. Erään rakennuksen pohjan pinta-ala on luonnossa 600 m2. Rakennuksesta on tehty pienoismalli mittakaavassa 1:200 . Mikä on pienoismallin pohjan pinta-ala?

K. MUITA YHTÄLÖTYYPPEJÄ

Juuriyhtälö ja murtoyhtälö

56. Ratkaise x yhtälöistä

a) 21 x b) √𝑥2 + 3 = 𝑥 + 1

57. Ratkaise x yhtälöistä

a) 31

x b) 2

12

3

x

x

Potenssiyhtälö

58. Ratkaise x yhtälöistä

a) 2x4 = 11 b) x5 + 32 = 0 c) x10 + 2 = 0

Suureyhtälöiden ratkaiseminen

Ratkaise kysytty suure seuraavista yhtälöistä

59. a) A = π r2 , r = ? oletetaan, että r > 0 b) v = v0 + a t , v0 = ?

60. a) pV = nRT , n = ?

b) s = v0 t+ ½ a t2 , v0 = ?

61.

a) T = 2𝜋√𝑠

𝑔 , g = ?

b. c2 = a2 + b2 , b = ?

62.

a) 22 fab , f = ?

b) V = 1

6π d3 , d = ?

KOLMIOGEOMETRIAA

L. Suorakulmainen kolmio

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

M. Yleinen kolmion ratkaiseminen

70.

71.

72.

73.

74.

75.

76.

77.

Tehtävien vastauksia

1. r12 2. 8 a9 3. x8 4. k65. −

2

5𝑎6 6. -27x6y9

7. 64 8. 8a3b9 9. a8 10. x y2 11. x512.

3𝑧

4𝑢

13. 3

𝑏514. 9a4b2

15.a)13

3515b)

15

416.a)

16

1516b)

5

1817.a) -

10

1117 b)

10

7

18 a) 14

1718 b)

5

1218c)

8

519a) z(4z+3) 19b) (y-

1)(y+1) 19c) (b-2)(b+2)

20a) a+5 20b) -1 20c) 1

𝑎+121a)

1

𝑎(𝑎+1)21b)

𝑏−2𝑎+𝑎𝑏

𝑎𝑏22)

10𝑎

3𝑥2

23a) 𝑥+2

523b) x(x-2) 24a)

2

𝑥2−124b)

−6𝑥

5𝑏25a) 3√2 25b) 2√7

26a) 2√3 26b) 6 26c) √5 27a) 2√5 27b) 3√3 27c) √2

28a) 2x – 4 28b) 15x - 10 29a) 6x2-7x-5 29b) 4x3+5x+3 30a) –x2-6x+5 30b) 8x +14

31) osamäärä x2 – 4x + 13 , jakojäännös 33

32a) - 1/7 32b) 1/5 33a) (b-5)/a 33b) 2/(a-1) 34) -9/4 35) T = 𝑝 𝑉

𝑛 𝑅

36) 2(𝑥−𝑣0𝑡)

𝑡237a) – 1/7 37b) -11/2 37c) 12 38a) 0 tai -2 38b) √5 tai - √5

39a) ei ratk. 39b) 1 tai -5/2 40a) 0 tai 8 40b) -√5

2 tai √5

2

41a) ½ tai 1 41b) 0.094 tai 3.927

42) y = -2x+3 43) y = 2x-4 44) y = 𝑥

5 +

7

545) y =14+ 0.025x

46) 60 Euroa 47) 707 kertaa

48) perus 34 €kuutio 5.37 €

49) mitat125mx250m

50) -3 ja 1huippu (-1,-4)

51) -4 ja 1huippu (-3/2,-25/4)

52) 3.29 symax=14.4 m

53) V = 227.7ltrm = 1139 kg

54) 140 m ja79 m

55) 150 cm2 56a) 3 56b) 1 57a) 1/3 57b) -2

58a)

−√11

2

4tai√

11

2

4

58b) -2 58c) ei ratkaisua 59a) r =√

𝐴

𝜋

59b) v0 = v - at

60a) n =𝑝 𝑉

𝑅 𝑇

60b)𝑣0 = 𝑠−1

2𝑎𝑡2

𝑡

61a) g=4𝜋2𝑠

𝑇261b) 𝑏 =

√𝑐2 − 𝑎2

62a) f =

√𝑎2 − 𝑏2 62b) d = √6𝑉

𝜋

3 63) 7.0 m

64a)a=15.6 kulmat 60o , 30o

64b)b=2.89 c=5.77, β=60o

65) 180 cmja163.92 cm

66) 1.73 m 67a) 28.6 b) 5.24

68a) 143.5 m b) 216.9 m

68c) 84608 m2 d) 2.53milj.m3

69a)AB=3.055m BC = 4.00 m b) 37.0 m2

70) x = 12.9α=26.6o

β=48.4o

71) γ = 117.3o

α = 36.3o, β =26.4o

Ala 21.3

72) β = 40.0o

x = 10.95y = 7.06

73) 514 m

74) 373 m 75) h = 43.0 mvaijerit: 52.3 m

47.3 m

76) a=235.8 b=110.2

77) n.5200 m2

Opiskelijan nimi: _______________________ Op.nro_____________ Merkitse rastilla laskemasi tehtävät:

1. 2. 3. 4. 5. 6.

7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

15a) 15b) 16a) 16b) 17a) 17b) 18a) 18 b) 18c) 19a) 19b) 19c)

20a) 20b) 20c) 21a) 21b) 22) 23a) 23b) 24a) 24b) 25a) 25b)

26a) 26b) 26c) 27a) 27b) 27c)

28a) 28b) 29a) 29b) 30a) 30b)

31)

32a) 32b) 33a) 33b) 34) 35)

36) 37a) 37b) 37c) 38a) 38b)

39a) 39b) 40a) 40b) 41a) 41b)

42) 43) 44) 45) 46) 47)

48) 49) 50) 51) 52) 53)

54) 55) 56a) 56b) 57a) 57b)

58a) 58b) 58c) 59a) 59b) 60a)

60b 61a) 61b 62a) 62b) 63)

64a)

64b)

65)

66) 67a) b)

68a) b)

68c) d)

69a) b)

70)

71)

72)

73)

74) 75) 76) 77)