Lineaarialgebra

5 op

Vektorit osa1

• Peruslaskutoimitukset

• Komponenttiesitys

• Vektorin pituus

• Jana vektorimuodossa

• Koordinaatistopisteen paikkavektori

Vektorit• Vektoreita tarvitaan mekaniikassa ja fysiikassa esittämään suureita,

joihin liittyy suuruuden lisäksi myös suunta: esim. voima F ja nopeus v.

Kuvioissa vektoreita esitetään nuolilla.

• Vektori voidaan esittää antamalla sen komponentit koordinaattiakselien

suunnassa, tai vaihtoehtoisesti antamalla pituus ja suuntakulma

esim. Lentokoneen nopeus

v = (200m/s, 100 m/s)

tai ts. v = 223.6 m/s suuntaan 26.6o

eli lyh. 223.6 <26.6o

Miten vektorin merkintä poikkeaa tavallisista luvuista eli skalaareista?

Suositeltava tapa: Jos alkupiste on A ja loppupiste B, käytetään

Huom: Koneella kirjoitetussa tekstissä (esim. Office) yläviivojen käyttäminen on hidasta. Tällöin

vektori erotetaan skalaarista pelkästä lihavoinnilla.

Esim. symbolijonossa (t , k , a, b, v, F, c) on 4 skalaaria ja kolme vektoria (a, v, F)

Peruslaskutoimitukset

b

a

a + b

a + b

-b

-b

a

a – b

= a + (-b)

a

b

suunnikassääntö

3b

Summa

a + b

erotus

vakio*vektori, esim. 3b

vastavektori

suunnikassääntö

a - ba

b

Esim1) Kuvan suunnikkaan kärjestä A lähtevät vektorit a ja b. Pisteet K ja L ovat suunnikkaan

sivujen AD ja CD keskipisteessä. Piste M sijaitsee ¼ matkaa C:stä kohti B:tä.

Esitä vektorien a ja b avulla seuraavat vektorit:

a) 𝐴𝐶= a + b

b) 𝐵𝐷= -a + b ( eli b – a)

c) 𝐾𝐶= ½ b + a

d) 𝐴𝐿= b + ½ a

e) 𝐿𝐾= - ½ a – ½ b

f) 𝐾𝑀 = ½ b + a – ¼ b = a + ¼ b

Vektorit koordinaatistossa

a = (2,4)

b = (-3, 2)

c = (-1, -4)

Vektorien peruslaskutoimitukset

komponenttimuodossaAlgebrallisesti:

(a1,a2) + (b1,b2) = (a1+ b1, a2 + b2,)

(a1,a2) - (b1,b2) = (a1 - b1, a2 - b2)

t (a1, a2) = (t a1, t a2)

Esim. Vektori a = (1,2) ja b = (3,-2) . Laske

a) a + b = (1+3, 2 -2) = (4, 0)

b) a – b = (1-3, 2 – (-2)) = (-2, 4)

c) -2 b = (-2*3 , -2*(-2)) = (-6, 4)

d) 3 a – 4 b = (3,6) – (12, -8) = (3-12, 6 + 8) =(-9, 14)

Useat laskimet, mm. wolframalpha osaavat laskea vektoreilla:

Esim. tehtävä d) voidaan syöttää 3*(1,2) -4*(3,-2) [Enter]

Eräissä TI-laskimissa sulkujen pitää olla muodossa {1,2} tai [1,2]

2

2

2

1|| aaa

a)

b)

Esim.

√(22+42) = √20 = 4.5

√(32+22) = √13 = 3.6

√(12+42) = √17 = 4.1

Summavektori ja sen pituus

s = (2,4)+(-3,2)+(-1,-4) =(-2, 2)

|s| = √(22+22) = √8 = 2.8

Janan AB vektorimuoto AB

Sääntö: Vektori AB saadaan vähentämällä janan loppupisteen

koordinaateista janan alkupisteen koordinaatit

b) Laske myös janan pituus

a) Esitä jana AB vektorina, kun

päätepisteiden koordinaatit ovat

A(-2,3) ja B(3,7)

(3,7) – (-2,3) =(3-(-2), 7-3) = (5,4)

|𝑨𝑩| = √(52+42)= √41 = 6.4

EsimerkkiSuunnistaja juoksee ensin rastilta A rastille B, joiden

koordinaatit ovat A(150, 200) ja B (340, 320).

Sitten hän jatkaa rastille C (400, 620)

Laske

a) välimatka rastilta A rastille B

b) välimatka rastilta B rastille C

c) rastin A ja rastin C välimatka linnuntietä.

rastivälit vektorimuodossa rastivälien pituudet

(340,320)-(150,200) = (190, 120) √(1902+1202)=225m

(400,620)-(340,320) = (60, 300) 306 m

(400,620) – (150,200) =(250,420) 489 m

Napakoordinaatit r ja φ

Muunnokset

(r < φ) =>(x,y)

(x,y) => (r < φ)

r

φ

Napakoordinaatit r,φ

sinry

Vektoreita esitetään komponenttimuodossa (x,y) tai vaihtoehtoisesti

napakoordinaattien avulla (merk. r < φ) , missä r = vektorin pituus ja φ on

vektorin suuntakulma (vektorin kulma positiivisen x – akselin kanssa)

cosrx

Vektorin komponentit (x,y)

saadaan napakoordinaateista

muunnoskaavoilla

Tehtävä: Laske kuvan vektoreiden summavektori ja sen pituus.

Eräillä laskinmalleilla (mm. Ti-89) tämän tehtävän voisi ratkaista erittäin helposti:

[12<60] + [7<155] + [9<270] Enter

antaa suoraan summavektorin pituuden ja suunnan

[4.53 < 104.4] (ei toimi enää Ti CAS:ssa)

Muunnoskaavat molempiin suuntiin

(x,y) = (r cosφ, r sinφ)

φ

r

r = √(x2+y2)

φ = tan-1(y/x) (+ 180o, jos x<0)

Komponenttimuoto ja napakoordinaattiesitys

Esim. laske ao. kuvan vektorien summavektori ja sen pituus

(x,y)

12 cos60o 12 sin60o

+ 7 cos155o 7 sin 155o

+ 9 cos265o 9 sin265o

= - 1.129 = 4,385

Summavektori s = (-1.13 , 4.39)

pituus |s| = √(1.132 + 4.392) = 4.53

suunta tan-1(4.39/-1.13) + 180o = 104.4o

Esim. Suunnistaja juoksee ensin itään 500 m , ja sitten koilliseen

300 m. Kuinka kaukana hän on lopussa lähtöpisteestään?

Lasketaan väli AB vektorimuodossa:

AB = (500, 0 ) + (300 cos45o, 300 sin45o) = (712.1 , 212.1)

Välimatka = vektorin pituus |AB| = √(712.12+212.12) m= 743 m

Esim. Maanmittari määrittää pisteiden A ja B välimatkan. Välissä on este, joka

täytyy kiertää, joten mittaus tehdään kuvan mukaisesti pätkissä. Laske vektoreita

käyttäen väli AB. (Tehtävä tehtiin syksyllä ”vaikealla tavalla” kosinilauseella)

(150, 0 ) + (130 cos40o, 130 sin40o)+(180 cos85o, 180 sin85o) = (265.3 , 262.9)

Vektorin pituus |AB| = √(265.32+262.92) m= 373.5 m

Napakoordinaattilaskimella tehtävä olisi helppo:[150<0] + [130<40] + [ 180<85] [Enter]

antaa [373.5 < 44.7]

Laske tehtävät 9 - 11

3D Vektorit kolme komponenttia (x,y,z)

2

2

2

1|| aaa

2D –vektori (a1,a2)

3D –vektori (a1,a2,a3)

2

3

2

2

2

1|| aaaa

Kuvassa on vektori (2,3,5) jonka pituus on

2.638532 222

ke. 25.1

Vektorien pistetulo

Vektorien väl. Kulma

*tehtäväosiot E ja F:

Teht. 12 - 18

lasketaan To 26.1

Vektorien kertolaskut

pistetulo antaa reaaliluvun

ristitulo antaa vektorin

Vektorien skalaaritulo eli pistetulo

Vektoreille on määritelty ns. skalaaritulo eli pistetulo ഥ𝒂.ഥ𝒃

a

bφ

Määritelmä

Cos – funktio on 1- säteisessä ympyrässä kulmaa vastaavan

kehäpisteen x – koordinaatti => cos0o = 1, cos90o = 0, cos180o = -1

= pituuksien tulo x vektorien välisen kulman kosini

Pistetulon laskeminen

komponenttimuodosta

2D -vektorien a = (a1,a2) ja b = (b1,b2) pistetulo laskettuna komponenteista

3D –vektoreille

Esim. Laske (1, 4) . (3, 2 )

Esim. Laske (5, -1, 3) . (3, 2, -4 )

= 1*3 + 4*2 = 11

= 5*3 + (-1)*2 + 3*(-4) = 15 – 2 – 12 = 1

Pistetulo laskimissa

WOLFRAMALPHA

Esim. (1,2,3) . (4,5,6) = 1*4+2*5+3*6 = 4+10+18=32

TI INSPIRE CAS

TI -89dotP({1,2,3},{4,5,6})

Käytetään pistettä

kertomerkkinä

Käytetään dotP() funktiota

Esim1.

Laske vektorien a ja b pistetulo a.b, kun

a) |a| = 5, | b |= 2 ja vektorit ovat samansuuntaiset

b) |a| = 5, | b | = 2 ja vektorit ovat vastakkaissuuntaiset

c) |a| = 5, | b | = 2 ja vektoreiden välinen kulma = 90o

Esim2.

Laske vektorien a ja b pistetulo a.b, kun

a) a = (2,4) ja b = (3,1)

b) a = (1,4,2) ja b = (3,1, -1)

Kaava: a.b=|a||b|cos φ =a1b1+a2b2+a3b3

a) 2*5*cos0o = 10

b) 2*5*cos180o = -10

c) 2*5*cos90o = 0

(2,4).(3,1) = 2*3+4*1 = 10

(1,4,2).(3,1,-1) = 1*3+4*1+2*(-1) = 5

Pistetulon sovelluksia

1.Vektorien välisen kulman laskeminen

2. Vektorin projektiot toisen vektorin

suunnassa (skalaari- ja vektoriprojektio)

1. Vektorien välisen kulman laskeminen

||||cos

ba

ba

Esim. Laske vektorien ( 3, 1) ja ( 1, 2) välinen kulma.

7071.0510

2*11*3

2113

)2,1()1,3(cos

2222

=> γ = cos-1(0.7071) = 45o

a.b = |a||b|cosPistetulon määritelmästä

seuraa, että vektorien a ja b välisen kulman voi laskea yhtälöstä

2. Kolmion sivujen ja kulmien ratkaiseminen, kun kärkipisteet on annettu

Kolmion kärkipisteet ovat A(3,4) , B(1,1) ja C(5,2) . Määritä

kolmion ABC a) sivujen pituudet b) kulmat c) ala

AB = (1,1) – (3,4) = (-2,-3) |AB| = √13

AC = (5,2) – (3,4) = (2,-2) |AC| = √ 8

BC = (5,2) – (1,1) = (4,1) |BC| = √ 17

b) Kulmat o

ACAB

ACAB7.78)

813

)2,2).(3,2((cos)

||||(cos 11

o

BCBA

BCBA3.42)

1713

)1,4).(3,2((cos)

||||(cos 11

α = 180o – 78.7o – 42.3o = 59.0o

c) Ala: A = ½ a b sin γ = ½ √ 13 √ 8 sin78.7o = 5.0

A B

C

α

(”ala = ½*kahden sivun tulo*niiden välisen kulman sini” )

a) Sivut esitetään vektoreina. Lasketaan pituudet

3. Vektorin kohtisuoruuden tutkiminen a ┴ ba.b = 0

Esim. Määrää jokin vektoria ( 2, 3) vastaan kohtisuora vektori.

Ratkaisu: esim. (3, - 2), koska (2,3).(3,-2) = 2*3 + 3* -2 = 0

4. Annetun vektorin kanssa kohtisuoran

vektorin löytäminen.

Mitkä kaksi vektoreista a = (1,2) , b = ( 1, - 2) ja c = (4,-2) ovat

toisiaan vastaan kohtisuorassa ?

a.b = (1,2).(1,-2) = 1*1+ 2*(-2) = 1 – 4 = - 3 (≠ 0 =>eivät ole kohtisuorassa)

a.c = (1,2).(4,-2) = 1*4+ 2*(-2) = 4 – 4 = 0 (=>ovat kohtisuorassa)

pitempi laskutapa olisi laskea vektorien väliset kulmat edellisen kalvon tapaan

• Muitakin ratkaisuja on: mm. kaikki vektorin (3,-2) monikerrat.

• Yleisesti vektorin (a, b) kanssa kohtisuora vektori on ainakin (b,-a), koska

pistetulo on tällöin ab-ba = 0.

ProjektiotSkalaariprojektio

Vektoriprojektio

Yksikkövektori

Yksikkövektori (cosφ , sinφ)

Määritä vektori, joka on vektorin (3,5) suuntainen ja jonka pituus on 1 ?

Tapa1: Ratkaistaan vektorin (3,5) suuntakulma ϕ yhtälöstä tan ϕ = 5/3 = 1.66667ϕ = tan-1(1.66667) = 59.04o

Kysytty yksikkövektori on siten (1*cos(59.04o) , 1*sin(59.04o)) = (0.514 , 0.857)

Tapa2: Lasketaan vektorin (3, 5) pituus: r = √(32 + 52) = √34 = 5.831Kaavoista x = r cos ϕ ja y = r sin ϕ saadaan

cos ϕ = x/r ja sin ϕ = y/r

Sovellettuna esimerkin vektoriin:(cos ϕ , sin ϕ ) = ( x/r , y/r ) = (3/5.831, 5/5.831) = (0.514 , 0.857)

Vektorin a = (x, y) suuntainen yksikkövektori

),()sin,(cos0

r

y

r

xa missä vektorin pituus r = √(x2 + y2)

Ongelma, joka voidaan ratkaista projektioillaTien päätepisteet ovat A(100, 50) ja B(700, 150). Pisteessä M(350,450) on muuntaja, josta on vedettävä kaapeli suoraan tielle pisteeseen P. Laskea) Pisteen P etäisyys pisteestä Ab) Kaapelin pituusc) Pisteen P koordinaatit

Ratkaisu aiemmin opittuja menetelmiä hyödyntäen.

Tien päätepisteet ovat A(100, 50) ja B(700, 150). Pisteessä M(350,450) on muuntaja, josta on vedettävä kaapeli suoraan tielle pisteeseen P. Laskea) Pisteen P etäisyys pisteestä Ab) Kaapelin pituusc) Pisteen P koordinaatit

a) AP:n pituus saadaan kaavalla |AM|cosα𝐴𝑀 = (350,450) – (100,50) = (250, 400) , pituus |𝐴𝑀| =√(2502+4002)= 471.7𝐴𝐵 = (700,150) – (100,50) = (600, 100) , pituus |𝐴𝐵| =√(6002+1002)= 608.3

cosα = 𝐴𝑀.𝐴𝐵

|𝐴𝑀||𝐴𝐵|=250∗600+400∗100

471.7∗608.3= 0.662

Siten janan AP pituus on |AM|cosα = 471.7*0.662 = 312 m

b) Kaapelin pituus |AM|sinsαcosα = 0.662 => α = cos-1(0.662) = 48.55o, Kaapelin MP pituus |AM|sinα = 471.7*sin(48.55o) = 354 m m3543127.471 22

tai Pythagoraan lauseella

c) Vektoriesitys 𝐴𝑃 :lle : pituus r = 312 m Suuntakulma ϕ = tan-1(100/600) = 9.46o, joten 𝐴𝑃 = ( r cos ϕ, r sin ϕ) = (312 cos(9.46o), 312 sin(9.46o) = (308.1 , 51.4) Pisteen P koordinaatit : ത𝑃 = ҧ𝐴 + 𝐴𝑃 = (100, 50 ) + (308.1, 51.4) = (408.1, 101.4)

Esimerkkitehtävä voidaan tehdä lyhyemmin seuraavilla kaavoilla

Kuvassa on vektorit a ja b, sekä a:n projektiovektori ab

vektorin b suunnassa.

Projektiovektorin pituutta kutsutaan skalaariprojektioksi :

||||||||cos||

b

ba

ba

baaaab

Projektiovektoria vektorimuodossa kutsutaan vektoriprojektioksi :

bb

ba

b

b

b

babaa bb 2

0

||||*

||

Teht. 19, 20,21

Tien päätepisteet ovat A(100, 50) ja B(700, 150). Pisteessä M(350,450) on muuntaja, josta on vedettävä kaapeli suoraan tielle pisteeseen P. Laskea) Pisteen P etäisyys pisteestä Ab) Kaapelin pituusc) Pisteen P koordinaatit

a) Janan AP pituus on juuri vektorin AM skalaariprojektio vektorilla AB. Ts. kaavan a = AM = (250, 400) ja kaavan b = AB = (600, 100)

mb

baaAP b 312

100600

)100,600()400,250(

||||

22

b) Kaapelin pituus lasketaan helpoimmin Pythagoraan lauseella:

|a| = 𝟐𝟓𝟎𝟐 + 𝟒𝟎𝟎𝟐 = 471.7, ab = 312 => |MP|= 𝟒𝟕𝟏. 𝟕𝟐 − 𝟑𝟏𝟐𝟐 = 354m

c) Vektori AP = vektoriprojektio ഥ𝒂b

)4.51,1.308()100,600(*514.0)100,600(100600

)100,600()400,250(

|| 222

b

b

baaAP b

Pisteen P koordinaatit saadaam lisäämällä A:n paikkavektoroon vektori AP:P = A + AP = (100, 50) + ( 308.1, 51.4) = (408.1, 101.4)

Aiempi esimerkki projektiokaavoja käyttäen

Janan keskipiste

Janan keskipisteen ja kolmion painopiste lasketaan koordinaattikeskiarvoina pääte- ja kärkipisteistä

)2

,2

(: 2121 yyxxKeskipiste

Kolmion painopiste

)3

,3

(: 321321 yyyxxxPainopiste

Vektoriyhtälöiden ratkaisu – algebrallinen menetelmä

Esim. 2 kg (G = mg =19.6 N) kuula on juuttunut

kahden seinämän väliin kuvan mukaisesti. Laske

tukivoimat N1 ja N2 seinämästä palloon.

Käytä menetelmänä vektorien jakoa

komponentteihin. Vastauksena riittää yhtälöpari.

Kokeile sen ratkaisua wolframalpha.com:lla

(0, -19.6) + (N1cos15, N2sin15) + (N2 cos135, N2sin135) = (0,0)

Tasapainoehto G + N1 + N2 = 0 =>

N1 cos(15o) + N2 cos(135o) = 0

N1 sin(15o) + N2 sin(135o) = 19.6

Vektoriyhtälöiden ratkaisu – geometrinen menetelmä

Esim. 2 kg (G = mg =19.6 N) kuula on juuttunut

kahden seinämän väliin kuvan mukaisesti. Laske

tukivoimat N1 ja N2 seinämästä palloon.

Käytä menetelmänä vektorien jakoa

komponentteihin. Vastauksena riittää yhtälöpari.

Kokeile sen ratkaisua wolframalpha.com:lla

Tasapainoehto G + N1 + N2 = 0 esitetään voimakolmiona

Voimat ratkaistaan sinilauseella

75sin45sin60sin

6.19 21 NN

Vektorien ristituloengl. cross product

ba

Huom! Ristitulo on määritelty vain 3D vektoreille (ei 2D)

Ristitulon ഥ𝒂xഥ𝒃 määritelmä

Ristitulo ഥ𝒂xഥ𝒃 on vektori, joka on 1) Kohtisuorassa vektoreita a ja b vastaan 2) Suunta saadaan oikean käden säännöllä: (etusormi a, keskisormi b, peukalo axb)

3) Ristitulovektorin pituus on|ത𝑎xത𝑏 | = |a || b | sinϕ

sen pituus on vektorien a ja b määräämän suunnikkaan ala

Ominaisuuksia:ഥ𝒃xഥ𝒂 = - ഥ𝒂xഥ𝒃 kun järjestys tulossa vaihdetaan, suunta vaihtuu päinvastaiseksiMuuton normaalit osittelulait pitävät paikansaഥ𝒂x(ഥ𝒃+ത𝒄) =ഥ𝒂xഥ𝒃 + ത𝐚xത𝒄 j.n.e

Ristitulo = (0,0,0), kun vektorit a ja b ovat saman- tai vastakkaissuuntaiset.

Ristitulon laskeminen

A) kynällä ja paperilla, B) laskimella , C) WolframAlphalla

A) Käsin laskeminen tapahtuu determinantin avulla

Matriisi = lukutaulukko

𝐴 =2 51 4

Esim. on 2 x 2 neliömatriisi, jonka alkiot ovat 2, 5, 1 ja 4

Determinantti = neliömatriisiin liittyvä reaaliluku

2 x 2 neliömatriisin determinantti lasketaan sen lävistäjien tulojen erotuksena. Determinanttia merkitään itseisarvomerkeillä tai kirjoittamalla det(A).

Kaava: 𝑎 𝑏𝑐 𝑑

= a d – c b

Det(𝐴) =2 51 4

= 2*4 –1*5 = 8 – 5 = 3Esim.

3x3 - neliömatriisi

𝐵 =2 5 13 1 74 1 2

Esim. on 3 x 3 neliömatriisi

3 x 3 neliömatriisin determinantin laskeminen

WolframAlphalla: det ((2,5), (1,4)) antaa tulokseksi 3

Ylärivin alkiot kerrotaan niitä vastaavilla 2x2 alideterminanteilla, jotka saadaan peittämällä alkion rivi ja sarake. Tulot lasketaan yhteen siten, että keskimmäisen tulon etumerkki vaihdetaan negatiiviseksi

Det(𝐵) =2* 1 71 2

- 5*3 74 2

+ 1*3 14 1

= 2*(-5) – 5*(-22) + 1*(-1) = 99

Tarkistus koneella:WolframAlpha: det ((2,5,1),(3,1,7),(4,1,2)) antaa 99Laskimissa tarvitaan yhdet sulut enemmän det (((2,5,1),(3,1,7),(4,1,2))) antaa 99

Excelissä on helppo laskeadeterminantit

3D vektorin esitys koordinaattiakselien suuntaisten yksikkövektorien avulla

Merkitään x, y ja z – akselien suuntaisia yksikkövektoreja symboleillai = (1,0,0) , j = (0, 1, 0) , k = ( 0,0,1)

Tällöin jokainen 3D vektori voidaan esittää niiden avulla, esimVektori ( 2, 4, 1) = 2 i + 4 j + k

Tätä merkintätapaa käyttäen voi myös laskea vektoreja yhteen:Esim ( 2, 1, - 5) + ( 4, 2, 7 ) = ( 2 + 4, 1 + 2, -5 + 7) = (6, 3, 2)voidaan laskea myös seuraavasti:2 i + j -5 k + 4 i + 2j + 7 k = (2 +4) i + (1+2) j + (-5+7) k = 6 i +3 j + 2kmikä muistuttaa paljon polynomilausekkeiden sieventämistä

Laskimet eivät tunne yksikkövektoriesitystä

Vektorin esitysmuoto (x 𝑖 + y ҧ𝑗 + z ത𝑘)

Ristitulo lasketaan determinanttina

Vektorien a =(a1, a2, a3) ja b =(b1, b2, b3) ristitulovektori lasketaan determinanttina

ത𝑎𝑥ത𝑏 =ҧ𝑖 ҧ𝑗 ത𝑘

𝑎1 𝑎2 𝑎3𝑏1 𝑏2 𝑏3

Esim. (1, 5, 2) x (3, 1, 3) =ҧ𝑖 ҧ𝑗 ത𝑘1 5 23 1 3

= i * 5 21 3

- j*1 23 3

+ k*1 53 1

= 13 i – (-3) j + (-14) k

= 13 i +3 j -14 k = (13, 3, -14)

Ristitulo laskimissa:

1) WolframAlpha(1,5,2)*(3,1,3)

Result: (13,3,-14)

2) TI – laskincrossP((1,5,2),(3,1,3))

ssa suluista voi olla aaltosulkujaSovellustehtävissä ristitulo kannattaa laskea koneella !

Maanmittareiden kaava kolmion alalle

Yleisesti : Kolmion samasta kärjestä lähtevät sivuvektorit ovat (x1,y2) ja (x2, y2). Laske kolmion ala .

ҧ𝑖 ҧ𝑗 ത𝑘𝑥1 𝑦1 0𝑥2 𝑦2 0

= k𝑥1 𝑦1𝑥2 𝑦2

= ( 0, 0, 𝑥1 𝑦1𝑥2 𝑦2

)

Kolmion ala A = ½ |𝑥1 𝑦1𝑥2 𝑦2

|

Kun lisätään vektoreihin z- komponentti 0, ja lasketaan vektorien ristitulo, saadaan

(x1,y2,0) x (x2, y2, ,0) =

Esim. Kolmion samasta kärjestä lähtevät vektori ovat (2,4) ja (5,1)

Kolmion ala A = ½ |2 45 1

| = ½*|-18| = 9

Ristitulon sovelluksia

Pinta-alalaskut

Tunnit ennen hiihtolomaa:To 9.2 ristitulon sovellukset

Ma 13.2 Skalaarikolmitulo +laskuharjoituksia

Ke 15.2 (laskujen tekoa + kertauslaskuja )

Ti 21.2 kertauslaskujen läpikäynti

Ke 22.2 koe vektoriopistaHuom aika: 9:30 – 11.45+ Laskutehtävien palautus

Ke 1.3 koepalautus 1 hTo 2.3 uusintakoe

Kolmion pinta-alan laskeminen

Seuraus:Olkoot a ja b kaksi vektoria, jotka lähtevät kolmion samasta kärjestä.Kolmion ala = puolet ristitulovektorin a x b pituudesta.

||2

1baA Kolmion ala

Ristitulon määritelmä:

Lasketaan kärjestä A lähtevät vektorit:AB = (5,2,1) – (1,1,1) = (4,1,0) AC = (2,7,3) - (1,1,1) = (1,6,2)

2.122382|| 222

21

21 baA

ESIM1: Kolmion kärkipisteet A,B ja C annettu. (3D – avaruudessa). Laske kolmion ala

Lasketaan ristitulovektori ABxAC :(4,1,0)x(1,6,2) = (2, -8, 23)

Ala on puolet ristitulovektorin pituudesta:

Laskimissa norm() = vektorin pituus

Lasketaan kärjestä A lähtevät vektorit:AB = (45,2) – (10,5) = (35,-3) AC = (25,30) – (10,5) = (15,25)

460920*21 A

ESIM1: Kolmion kärkipisteet A,B ja C ovat 2D koordi-naattipisteitä (x,y) kartassa. Laske kolmion ala

Lasketaan ristitulovektori ABxAC :(35,-3,0)x(15, 25, 0) = (0, 0, 920)

Huom! XY – tason vektorien pistetulo on z- akselin suuntainenAla on puolet ristitulovektorin pituudesta:

LISÄTÄÄN VEKTOREIHIN Z- KOORDINAATTI 0

Yksinkertaisempi kaava kartassa olevien kolmion muotoisten alueiden pinta-alojen laskentaan

LISÄTÄÄN VEKTOREIHIN Z- KOORDINTAATTI 0 ja lasketaan ristitulovektori

kyx

yx

yx

yx

kji

22

11

022

011

Vektorilla on vain z- komponentti, joten sen pituus on puolet tämän arvosta

|22

11|

2

1

yx

yxA

Maanmittauksessa pinta-alalaskenta perustuu kolmioihin ja tämän kaavan käyttöön.

Huom! Kaavan determinantti voi olla < 0 , joten kaavassa on vielä determinantin ympärillä itseisarvomerkit

Lasketaan kärjestä A lähtevät vektorit:AB = (45,2) – (10,5) = (35,-3) AC = (25,30) – (10,5) = (15,25)

460))3(*1525*35(|2515

335|

21

21

A

ESIM1 ratkaistuna maanmittareiden kaavalla Kolmion kärkipisteet A,B ja C ovat 2D koordi-naattipisteitä (x,y) kartassa. Laske kolmion ala

Lasketaan kärjestä A lähtevät vektorit:AB = (45,2) – (10,5) = (35,-3) AC = (25,30) – (10,5) = (15,20)

Lasketaan aiempi esimerkki maanmittareiden kaavalla

5.372)3152035(2015

335

2

1_

21

AAla

Huom! Kaavan determinantti voi olla < 0 , joten kaavassa on vielä determinantin ympärillä itseisarvomerkit

Esim. Lammen pinta-alan laskeminen

Ala voidaan laskea neljän kolmion alan summana.Ensin pitää laskea vektorit jotka lähtevät pisteestä A:AF = (280, -10) AE = (260,450) AD = (10, 470) AC=(-260, 270) AB=(-310, -20)

Kierretään lampi ja mitataan pisteiden A- F koordinaatit GPS:llä:A = (810, 80) B = (500, 60) C = (550, 350) D =(820, 550) E =(1070, 530) F = (1090, 70)

2230050|)20310

270260||

270260

47010||

47010

450260||

450260

10280(|

2

1mA

Kaavat pinta-alalaskuihin

||2

1baA 3D kolmion ala

Laskin:

½* norm( a x b)

2D kolmion ala ||22

11||

2

1

yx

yxA

”Maanmittarien kaava”

Tehtäviä: alkuviikon tunteihin liittyviä (osio J: 27, 28)kolmion alan sovellukset (osio K: 29 – 32)

Skalaarikolmitulo ഥ𝒂xഥ𝒃. ത𝒄

Kolmitulo ഥ𝒂xഥ𝒃. ത𝒄

Kolmitulon laskeminen manuaalisesti:

Kolmitulo lasketaan vektoreiden muodostamana determinanttina

Esim. Laske (3,2,1) x (1,2,3) .(5,4,2)

4)6()13(2)8(345

211

25

312

24

323

245

321

123

WolframAlpha ja TI- laskimet

det( (3,2,1) , (1,2,3) , (5,4,2))antaa -4

1. Suuntaissärmiön tilavuuden laskeminen Olkoot suuntaissärmiön samasta kärjestä lähtevät kolme vektoriaa = (a1,a2,a3) , b = (b1,b2,b3) ja c = (c1,c2,c3)

Särmiön tilavuus V = vektorikolmitulonaxb.c itseisarvo.

|| cbaV

Perustelu: hAcbacba pohja cos||||||

ϕ

Lieriöiden tilavuus V = A h

Esim. Suuntaissärmiön kärkipisteen A(1,1,1) viereiset kärkipisteet ovatB(5,1,2) , C(3,7,4) ja D(2,2,9). Laske suuntaissärmiön tilavuus

Lasketaan pisteestä A lähtevät vektorit jotka määräävät kuvan suuntaissärmiönAB = (4,0,1)AC = (2, 6, 3)AD = (1, 1, 8)

det( (4,0,1), (1,6,3), (1,1,8)) = 176

Tilavuus saadaan determinantin avulla

V = 176

2. Pisteen D kohtisuora etäisyys kolmion ABC tasosta

Kysytty etäisyys h= suuntaissärmiön korkeus.

Suuntaissärmiön korkeus on sen tilavuus V jaettuna pohjauunnikkaan alalla A

||

||

ba

cba

A

Vh

ഥ𝒂, ഥ𝒃 ja ത𝒄 ovat pisteestä A lähtevät vektorit AB, AC ja AD

Esim. Laske pisteen D(3,7,2) etäisyys kolmion A(1,2,1)B(7,2,1)C(1,4,3) tasosta

83.297.16

48

||

||

ba

cba

A

Vh

Lasketaan pisteestä A lähtevät vektorit jotka määräävät kuvan suuntaissärmiönAB = (6,0,0)AC = (0, 2, 2)AD = (2, 5, 1)

Kysytty etäisyys (kuvan h) = suuntaissärmiön tilavuus V jaettuna sen pohjasuunnikkaan alalla A

det( (6,0,0), (0,2,2), (2,5,1)) = -48 => V = 48

norm( (6,0,0)*(0,2,2) ) = 16.97 => A = 16.97

||

||

ba

cba

A

Vh

Laskimissa ja WolframAlphassaVektorin pituus lasketaan funktiolla norm()

Ti laskindet( {{6,0,0}, {0,2,2}, {2,5,1}} )norm(crossP( {6,0,0}, {0,2,2} ))

norm( {1,2,3} )

3. Tutki, ovatko pisteet A(1,1,1) B(2,3,4) C(7,2,1) ja D(5,2,1) samassa tasossa.

Pisteet ovat samassa tasossa jos vektorien AB, AC ja AD virittämänsuuntaissärmiön tilavuus V = 0

Lasketaan A:sta lähtevät vektorit:AB = (1,2,3)AC = (6,1,0)AD=(4,1,0)

Vastaus: Pisteet eivät ole samassa tasossa, koska tilavuus V > 0

Suuntaissärmiön tilavuus (laskimella)det( (1,2,3) , (6,1,0) , (4,1,0) ) = 34

4. Laske tetraedrin tilavuusa, kun sen kärkipisteet ovat A(1,1,1) B(2,3,4) C(7,2,1) ja D(5,2,1)

Lasketaan A:sta lähtevät vektorit:AB = (1,2,3)AC = (6,1,0)AD=(4,1,0)

Pyramidin ja kartion tilavuuden kaava V = 1/3 A *h

Tedraedrillä on sama korkeus h kuin suuntaissärmiöllä, mutta pohja on puolet suuntaissärmiön pohjasta:

Tilavuus = 1/3* (1/2A)*h 1/6 A h = 1/6 suuntaissärmiön tilavuudesta = 34/6 = 5. 33

22.2 kokeen koealue:

2D – vektorit1. Peruslaskutoimitukset summa, erotus, vakio*vektori komponenttimuodossa2. Vektorin pituus3. Yksikkövektori4. Vektorien pistetulo5. Vektorien välinen kulma6. Sovellus: kolmion sivujen pituudet ja kulmat7. Muunnokset napakoordinaateista komponentteihin ja päinvastoin8. Vektoriyhtälön ratkaiseminen ( esim. voimien ratkaiseminen ) 9. Skalaariprojektio ja vektoriprojektio

3D vektorit10. Vektorin pituus ja pistetulo 3D vektoreille11. Ristitulon laskeminen12. Ristitulon käyttö pinta-alalaskuissa13. Skalaarikolmitulon laskeminen14. Skalaarikolmitulon sovellukset (suuntaissärmiön tilavuus ym)