Kompleksianalyysi

Jukka Kemppainen

Mathematics Division

Sisältö

1. Kompleksiluvut

2. Funktiot

3. Differentiaalilaskentaa

4. Integrointi

5. Sarjat

6. Residylaskentaa

7. Diskreetti systeemi

2 / 43

Kompleksiluvut C

Kompleksiluvut C määritellään reaalilukuparien (x , y) ∈ R2

joukkona, jolle on määritelty

◮ Yhtäsuuruus: (x , y) = (u, v) ⇔ x = u ja y = v .

◮ Yhteenlasku: (x , y) + (u, v) = (x + u, y + v).

◮ Kertolasku:(x , y) · (u, v) = (x , y)(u, v) = (xu − yv , xv + yu).

Kompleksilukua (0, 1) merkitään symbolilla i, jota käytetäännimitystä imaginaariyksikkö.

Jokainen kompleksiluku zmerk.= (x , y) voidaan kirjoittaa muodossa

z = x + iy .

3 / 43

Kompleksilujen laskutoimitukset

Huomautus 1

Kun laskutoimitukset on määritelty kuten edellä, voidaan osoittaa,että reaalilukujen tutut laskusäännöt pätevät myöskompleksiluvuille. Esimerkiksi

◮ (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) ja (z1z2)z3 = z1(z2z3) kaikillekompleksiluvuille z1, z2 ja z3 (summan ja tulon liitännäisyys)

◮ z + w = w + z ja zw = wz kaikille kompleksiluvuille z ja w(vaihdannaisuus).

Huomautus 2

Nyrkkisääntönä voidaan todeta, että kompleksiluvuilla lasketaankuten reaaliluvuilla, kunhan huomioidaan, että i2 = −1.

4 / 43

Terminologiaa

Kompleksiluvun z = x + iy

◮ konjugaatti (liittoluku): z = x − iy

◮ reaaliosa: Re z = x

◮ imaginaariosa: Im z = y

◮ itseisarvo (pituus): |z | = +√

x2 + y2, missä +-merkkiilmoittaa, että kyseessä on positiivinen neliöjuuri(kompleksiluvun juuri määritellään myöhemmin).

◮ käänteisluku: Kompleksiluvun z 6= 0 käänteisluku z−1 = 1

z

on yhtälön zw = 1 ratkaisu w .

5 / 43

Kompleksikonjugaatti geometrisesti

0 1 2

−2

−1

1

2

z = 2 + i

z = 2 − i

Kompleksiluvun konjugaattisaadaan peilaamalla luku reaa-liakselin suhteen, jolloin reaa-liosa säilyy samana ja imagi-naariosa muuttuu vastaluvuk-seen.

6 / 43

Kompleksikonjugaatti geometrisesti

Kuten edellä olevasta kuvasta näkyy, vastaa kompleksikonjugaatinottaminen kompleksiluvun z = x + iy (tai yhtälailla sitä vastaavanpaikkavektorin (x , y)) peilaamista reaaliakselin (x-akselin)suhteen.

7 / 43

Konjugaatin ominaisuuksia

Lause 1

Kompleksikonjugaatilla on seuraavat ominaisuudet

◮ z = z;

◮ z = z ⇔ z ∈ R;

◮ z + z = 2Re(z);

◮ z − z = 2iIm(z);

◮ zz = Re(z)2 + Im(z)2;

◮ z + w = z + w;

◮ zw = z · w.

8 / 43

Itseisarvon ominaisuuksia

Lause 2

Kompleksiluvun z itseisarvolle pätee

◮ |z | ≥ 0 (joten pituus-sana on järkevä),

◮ |z | = |z | (pituus säilyy konjugoinnissa),

◮ |zw | = |z ||w | (tulon pituus on pituuksien tulo),

◮ |Re z | ≤ |z |, |Im z | ≤ |z |,◮ zz = |z |2,◮ ||z | − |w || ≤ |z + w | ≤ |z |+ |w | (kolmioepäyhtälö).

9 / 43

Kompleksilukujen erotus ja osamäärä

Esim. 1

Osoita, että kompleksiluvun z = x + iy 6= 0 käänteisluku on

z−1 =x

x2 + y2+ i

−y

x2 + y2.

Nyt voidaan määritellä puuttuvat kaksi peruslaskutoimitusta, jotkaovat z ,w ∈ C

◮ Vähennyslasku: z − w := z + (−w). Lukua z − w sanotaanlukujen z ja w erotukseksi.

◮ Jakolasku: zw:= zw−1, kun w 6= 0. Lukua z

wsanotaan

lukujen z ja w osamääräksi.

10 / 43

Yksikköympyrä

Havainnollistamisessa ja muutenkin kompleksiluvuilla laskemisessaon avuksi peruskurssilta tuttu yksikköympyrä. Tarkastellaankompleksilukua z = x + iy , jolle x2 + y2 = 1, eli kyseessä onyksikköympyrällä oleva R

2:n piste (vektori) (x , y).Siirtymällä napakoordinaatteihin voidaan x- ja y -koordinaatitkirjoittaa muodossa x = cosα ja y = sinα, missä α on pisteen(vektorin) (x , y) ja positiivisen x-akselin välinen vaihekulma.

11 / 43

Yksikköympyrä

x

y

−1 −1

21

−1

−1

2

1

2

1

αsinα

cosα

Esimerkissä kulma α on 30◦

(π/6 radiaania). Kulman αsini, joka on punaisen viivanpituus, on

sinα = 1/2.

Pythagoraan lauseen mukaancos2 α+ sin2 α = 1. Näin ollensinisen viivan pituus, joka onkulman α kosini, on

cosα =√

1 − 1/4 = 1

2

√3.

12 / 43

Kompleksiluvun napakoordinaattiesitys jaargumentti

Siirtymällä napakoordinaatteihin x = r cos θ ja y = r sin θ saadaankompleksiluvulle z = x + iy 6= 0 napakoordinaattiesitys

z = r(cos θ + i sin θ),

missä r = |z | ja vaihekulma θ on yhtälöparin

{cos θ = x

r,

sin θ = yr,

(1)

ratkaisu.Yhtälöparista (1) saatavaa lukua θ sanotaan kompleksiluvun zargumentiksi ja merkitään θ = arg z .

13 / 43

Kompleksilukujen tulon ja osamäärännapakoordinaattiesitys

Esim. 2

Määrää kompleksilukujen z ja w tulon ja osamäärännapakoordinaattiesitykset. Käytä hyväksi sinin ja kosininyhteenlaskukaavoja

sin(α± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ,

cos(α± β) = cosα cosβ ∓ sinα sinβ.

14 / 43

Argumentin ominaisuuksiaArgumentti arg z on määritelty vain luvuille z 6= 0.Koska sini ja kosini ovat 2π-jaksollisia funktioita, onkompleksiluvun argumentilla äärettömän monta arvoa.Välille ]− π, π] kiinnitettyä vaihekulmaa Θ sanotaan argumentinpääarvoksi ja merkitään Θ = Arg z .Argumentin arg z ja argumentin pääarvon Arg z välillä on yhteys

arg z = Arg z + 2kπ

jollekin k ∈ Z.

Esim. 3

Määrää kompleksiluvun tulon ja osamäärän argumentin pääarvo.

Huomautus 3

Argumentin pääarvon määräämisessä kannattaa hyödyntääyksikköympyrää.

15 / 43

Laskutoimitukset geometrisesti

Kompleksilukujen peruslaskutoimituksia kannattaa havainnollistaageometrisesti. Geometrisessa havainnollistamisessa on suureksihyödyksi napakoordinaattiesitys.

16 / 43

Kompleksilukujen summa geometrisesti

0 1 2 3

1

2

3

z = 2 + i

w = 1 + i

z + w = 3 + 2iKompleksilukujen summa saadaanlaskemalla reaaliosat yhteen ja imagi-naariosat yhteen. Tässä esimerkissä

z + w = (2 + i) + (1 + i)

= (2 + 1) + (1 + 1)i

= 3 + 2i.

17 / 43

Kompleksilukujen summa geometrisesti

Kuten kuvasta näkyy, vastaa kompleksilukujen z = x + iy jaw = u + iv (tai yhtälailla niitä edustavien paikkavektoreiden (x , y)ja (u, v)) summa z + w geometrisesti lukujen z ja w määräämänsuunnikkaan lävistäjän määräämistä.

18 / 43

Kompleksilukujen tulo geometrisesti

0 1 2 3

1

2

3

z = 2 + iw = 1 + i

zw = 1 + 3i

αβγ

Kompleksilukujen z = 2+ i ja w = 1+ i tuloon

zw = (2 + i)(1 + i) = 2 · 1 + 2 · i + i · 1 + i2

= 1 + 3i.

Tulon argumentti on argumenttien summa(2π:n monikertaa vaille)

arg zw = γ = α+ β = argz + argw

ja pituus |zw | on pituuksien |z | ja |w | tulo

|zw | = |z | · |w |.

19 / 43

Kompleksilukujen tulo geometrisesti

Kuten kuvastakin nähdään, vastaa kompleksiluvun z kertominenluvulla w

◮ pituuden venyttämistä, jos |w | > 1, ja kutistamista, jos|w | < 1,

◮ kompleksiluvun z kiertämistä vastapäivään kulman argwverran.

20 / 43

Kompleksilukujen osamäärä geometrisesti

0 1 2 3

1

2

3

zw

= 2 + iw = 1 + i

z = 1 + 3i

γβα

Kompleksilukujen z = 1 + 3i ja w = 1 + i

osamäärä on

z

w=

zw

ww=

1

2(2 + i)(1 − i)

= 2 + i.

Osamäärän argumentti on argumenttien ero-tus (2π:n monikertaa vaille)

argz

w= γ = α− β = argz − argw

ja pituus | zw| on pituuksien |z | ja |w | osa-

määrä

| zw| = |z |

|w | .

21 / 43

Osamäärä geometrisesti

Kompleksiluvun z jakaminen luvulla w vastaa geometrisesti

◮ pituuden |z | venyttämistä, jos |w | < 1, ja kutistamista, jos|w | > 1,

◮ kiertoa myötäpäivään kulman argw verran.

22 / 43

Kompleksiluvun kokonaislukupotenssi

Määritellään kompleksiluvun kokonaislukupotenssi induktiivisestiasettamalla

Määr. 1

◮ z0 = 1 kaikilla kompleksiluvuilla z 6= 0,

◮ z1 = z kaikilla z ∈ C,

◮ zn = zn−1 · z kaikilla n ∈ Z+ ja z ∈ C,

◮ z−n = 1/zn kaikilla z 6= 0 ja n ∈ Z+ (negatiivinen potenssion positiivisen potenssin käänteisluku).

23 / 43

Kompleksiluvun kokonaislukupotenssi

Määritelmästä 1 saadaan induktiolla tutut potenssienlaskusäännöt.

Lause 3

Kaikilla m, n ∈ Z ja 0 6= z ,w ∈ C pätee

◮ zm · zn = zm+n,

◮ (zm)n = zmn,

◮ zm/zn = zm−n,

◮ (zw)n = znwn, (z/w)n = zn/wn.

Huomautus 4

Laskutoimituksissa kannattaa hyödyntää napakoordinaattiesitystä.

24 / 43

Potenssin napakoordinaattiesitys

Induktiolla Esimerkistä 2 saadaan potenssin napakoordinaattiesitys

zn = rn(cos nθ + i sin nθ), (2)

missä r = |z | ja θ = arg(z).Valitsemalla r = 1 saadaan kaavasta (2) De Moivre’n kaava

(cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ.

Kaavasta (2) saattaa näyttää siltä, että arg zn = narg z , muttayleisesti

arg zn = n · arg z + 2kπ, k ∈ Z

kuten Esimerkissä 3 nähtiin tapauksessa n = 2.

25 / 43

Kompleksiluvun juuri

Määr. 2

Olkoot n > 1 kokonaisluku ja w ∈ C. Jos on olemassa sellainenz ∈ C, että

zn = w ,

niin lukua z sanotaan luvun w n:s juureksi ja merkitään z = w1/n

tai z = n

√w .

Jos w = 0, niin z = 0 on ainoa (kertalukua n oleva) juuri. Jostaas w 6= 0, niin siirtymällä napakoordinaatteihin nähdään, ettäluvulla w on n erisuurta juurta

zk = r1/n(cos(θ/n + k2π/n) + i sin(θ/n + k2π/n)),

missä k = 0, 1, . . . , n − 1, r = |w | ja θ = arg w .

26 / 43

Komleksiluvun juuri

Valitsemalla edellä erityisesti k = 0, saadaan

z0 = r1/n(cos(θ/n) + i sin(θ/n)),

jota sanotaan n:s juuren pääarvoksi.

Esim. 4

Määrää ykkösen kuutiojuuret eli yhtälön z3 = 1 (kaikki) ratkaisut.Kirjoita ratkaisut muodossa z = x + iy .

27 / 43

Kompleksiluvun murtopotenssiEsitetään seuraavaksi määritelmä kompleksiluvun potenssille, kuneksponentti on murtoluku m/n.

Määr. 3

Olkoot m ∈ Z ja n > 1 kokonaisluku. Kompleksiluvun z 6= 0potenssi zm/n määritellään asettamalla

zm/n = (z1/n)m = ( n

√z)m,

missä oikea puoli tarkoittaa joukon n

√z alkioiden m:s potensseja.

Määritelmästä 2 seuraa, että yleisesti potenssi zm/n saa nerisuurta arvoa zk , jolle

|zk | = rm/n ja arg zk =m

nθ +

2km

nπ,

missä k = 0, 1, . . . , n − 1, r = |z | ja θ = arg z .28 / 43

Kompleksiluvun murtopotenssi

Koska murtopotenssi voi saada useita arvoja, kannattaamurtopotenssin kanssa olla tarkkana.Yleisesti

◮ zm/n = zm′/n′ , missä m′/n′ on m/n supistetussa muodossa.

◮ ( n

√z)m 6= n

√zm,

◮n

√z n

√w 6= n

√zw ,

◮n

√z + n

√z 6= 2 n

√z ,

missä molemmat puolet tulkitaan joukkoina.

Esim. 5

Osoita, että√−1

√−1 =

√(−1)2 ja

√−1 +

√−1 6= 2

√−1.

Päteekö yhtäsuuruus pääarvoille?

29 / 43

Kompleksinen eksponentti

Määritellään kompleksinen eksponentti, kun kantalukuna onNeperin luku e.

Määr. 4

Jokaisella kompleksiluvulla z = x + iy asetetaan

ez = ex+iy = ex(cos y + i sin y).

Erityisesti, kun y = 0, antaa Määritelmä 4 reaalisen eksponentinex .Jos taas valitaan x = 0, saadaan Eulerin kaava

eiy = cos y + i sin y .

30 / 43

Kompleksisen eksponentin ominaisuuksia

Voidaan osoittaa, että Määritelmän 4 mukainen ez toteuttaakaikki reaalisen eksponentin laskusäännöt.

Lause 4

Kompleksiselle eksponentille pätee

◮ e2kπi = 1, k ∈ Z. Erityisesti e0 = 1.

◮ ez · ew = ez+w .

◮ e−z = 1/ez .

◮ ez/ew = ez−w .

◮ |ez | = ex , arg ez = y + 2kπ, k ∈ Z.

◮ ez 6= 0 kaikilla z ∈ C.

◮ ez+2kπi = ez kaikilla k ∈ Z.

◮ (ez)n = enz , n ∈ Z.

31 / 43

Eksponenttiesitys

Eulerin kaavasta ja kompleksiluvun napakoordinaattiesityksestäsaadaan kompleksiluvun eksponenttiesitys

z = reiθ

missä r = |z | ja θ = arg z .Eksponenttiesitys on erityisen kätevä laskutoimitustenhavainnollistamisessa ja ominaisuuksien perustelemisessa.Kannattaa käydä esimerkiksi aiemmin esitettyjen tulon jaosamäärän geometrinen vaikutus sekä (murto)potenssi ja juuri läpieksponenttiesityksen avulla.

32 / 43

Vaihtovirtapiirit

Tarkastellaan kompleksianalyysin sovelluksena yksinkertaistenvaihtovirtapiirien analysointia.Palautetaan mieliin rinnan ja sarjaan kytkettyjen sähkövastustenyhteisen reistanssin laskukaavat tasavirtapiirissä.

33 / 43

Resistanssin laskukaavat

Rinnankytkentä

R1

R2

1

R= 1

R1+ 1

R2

Sarjaankytkentä

R1 R2

R = R1 + R2

Kaavat saadaan Ohmin laista U = RI ja Kirchhoffin virtalaista.

34 / 43

Jännitehäviöt vastukselle, käämille jakondensaattorille

◮ Ohmin lain mukaan U = RI , missä R on vastus, U jännite jaI on virta.

◮ Jos U on jännite ja I virta käämissä, jonka induktanssi on L,niin

U = LdI

dt.

◮ Kondensaattorissa, jonka kapasitanssi on C , on

U =1

C

t∫

0

I (s)ds + U(0).

35 / 43

Jännitehäviöt vaihtovirtapiirissäOletetaan nyt, että ao. piirissä on sinimuotoinen virta,

I (t) = I0 cosωt(= I0 sin(ωt +π

2)).

Kuva 1 : RLC-piiri

Jännitehäviöt vastukselle, käämille ja kondensaattorille ovat

UR = RI0 cosωt

UL = −ωLI0 sinωt

UC = 1

ωCI0 sinωt + UC (0).

(3)

36 / 43

Kompleksinen esitys

Virran I (t) = I0 cosωt sijasta kirjoitetaan I (t) = I0eiωt jolloin

fysikaalinen virranvoimakkuus on Re(I (t)). Kaavat (3) saavatmuodon

UR = RI

UL = iωLI

UC = 1

iωCI + vakio,

(4)

josta reaaliosille saadaan

Re UR = RI0 cosωt = UR ,

Re UL = −ωLI0 sinωt = UL,

Re UC = 1

ωCI0 sinωt + UC (0) = UC ,

kuten pitääkin

37 / 43

Kompleksinen impedanssi

Jos (4):ssa oletetaan vakio nollaksi, niin kaikki ovat muotoa

U = Z I , (5)

missä Z on R tai iωL tai 1

iωC= −i 1

ωC.

Lukua Z sanotaan (kompleksiseksi) impedanssiksi. Impedanssi onsuure, joka virtapiirin vaihtovirralle aiheuttamaa vastusta.Yleisesti impedanssi Z on (kulma)taajuuden funktio Z = Z (ω).Taajuutta ω, jolla impedanssin imaginaariosa häviää eli ImZ = 0,sanotaan resonanssitaajuudeksi.

38 / 43

Kompleksinen impedanssi, esimerkki

Kuvan 1 piirin jännitteeksi saadaan

U = UR + UL + UC = [R + i(ωL − 1

ωC)]I ,

joten piirin (kompleksinen) impedanssi on

Z = R + i(ωL − 1

ωC).

Piirin resonanssitaajuudeksi saadaan

ωL − 1

ωC= 0 ⇔ ω =

1√LC

.

39 / 43

Impedanssin laskusäännöt

Rinnankytkentä

Z1

Z2

1

Z= 1

Z1+ 1

Z2

Sarjaankytkentä

Z1 Z2

Z = Z1 + Z2

Impedanssille pätee täsmälleen samat laskukaavat kuintasavirtapiirin resistanssille.

40 / 43

Kokonaisimpedanssin laskeminen

Jos piirissä esiintyy sekä sarjan- että rinnankytkentää, saadaankokonaisimpedanssi osakytkentöjen impedanssien avulla.Tarkastellaan esimerkkiä.

41 / 43

Kokonaisimpedanssin laskeminen, esimerkki

Z1

Z2

1

Z= 1

Z1+ 1

Z2

Z3

Piirin punaisessa osassa on rinnankytkentä, jonka impedanssiksisaadaan Z = Z1Z2

Z1+Z2. Punainen osa muodostaa yhdessä mustan

osan kanssa sarjaankytkennän, joten piirin kokonaisimpedanssiksiZT saadaan

ZT = Z + Z3 =Z1Z2

Z1 + Z2

+ Z3.

42 / 43

Esimerkki

Esim. 6

Laske alla olevan piirin jännite ja resonanssitaajuus.

Vihje: Käytä kompleksista virtaa I (t) = eiωt , kaavaa (5) jaimpedanssin laskusääntöjä. Fysikaalinen jännite onU(t) = Re U(t).

43 / 43