ALINEACIN DEL GPS Y CONVERGENCIA MERIDIANA

Desde el advenimiento del sistema de posicionamiento global (GPS), los acimuts geodsicos se pueden computar exactamente por la puesta en prctica simple de los conceptos bien conocidos 3D. Sin embargo, cuando la alineacin del GPS se examina implicando acimuts estos se disean por adelantado, y se observan ms adelante y se reducen (e.g., durante trabajo cinemtico del GPS), las correcciones debido a la convergencia de los meridianos deben ser tenidas presente. En este estudio un algoritmo prctico fue utilizado para comparar su exactitud (convergencia meridiana) contra el formalismo clsico disponible en libros de textos estndares.

Convergencia MeridianaEn una superficie curvada (cuerpo globular) es el acercamiento mutuo de los meridianos en pasar del ecuador a los polos. En una superficie curvada (cuerpo globular) y para un par dado de meridianos y de un geodsico dado, es la diferencia entre los dos ngulos formados por la interseccin del geodsico con los dos meridianos. En un mapa, en un punto dado, es el ngulo medido a la derecha de la tangente de la proyeccin del meridiano a la lnea coordinada northing (norte de la rejilla) - ngulo tambin llamado del mapa o ngulo el traz.

Una ilustracin de la primera definicin se representa grficamente en el Fig. 1(a). El razonamiento matemtico seguido es el tratamiento generalmente del tema en la mayora de los libros de textos clsicos [e.g., Zakatov (1962, P. 100)]. La convergencia entre cualquier dos puntos de A y C situadas en la misma latitud geodetic A es visualizada por tangentes de dibujo al elipsoide a lo largo de los meridianos de A y de C hasta que intersecan el eje del semieje menor del elipsoide en el E. Por la definicin, el ngulo entre las tangentes es la convergencia supuesta de los meridianos que pasan a travs de los puntos A y C. APROXIMACIONES A LA CONVERGENCIA MERIDIANA Aproximacin N 1

Fig. 1. Convergencia meridiana en la superficie del elipsoide (diagrama no dibujado a la escala)

Aplicando la igualdad antedicha al tringulo EAC Semejantemente, del tringulo FAC tenemos entonces Para el caso plano diferencial, un elemento del ds geodsico es igual a un elemento de la seccin normal una expresin para dFinalmente

El NA del smbolo refiere al radio principal de curvatura de la vertical primera del punto A

El elipsoide de la revolucin adoptado en esta investigacin es el elipsoide GRS80 (Moritz 1992)

el semieje mayor a = 6.378.137 m

Aproximacin N 2Una aproximacin alternativa y mejor a la convergencia meridiana fue introducida por la costa y la Geodetic Survey (frmulas 1933, Pp. 8 y 97) de los EE.UU. Se da la ecuacin final como:Donde

CONVERGENCIA MERIDIANA RIGUROSA Acimut geodsico - el acimut geodsico entre dos puntos de A y B en la superficie del elipsoide de la referencia medido en A.Acimut Geodetic - el acimut entre dos puntos espaciales A y B (no necesariamente en el elipsoide) medido a la derecha del norte geodetic en el plano geodetic de A, este plano del horizonte que estaba a un ngulo recto del normal elipsoidal. Este parmetro es referido por algunos autores como el acimut 3D Cuando los puntos A y B estn cerca de uno ( 10 kilmetros), por lo tanto, una notacin nica y la definicin del acimut geodetic sern asumidas a travs del resto de este trabajo.

El acimut geodetic AB y la altitud geodetic AB (es decir, ngulo geodetic del vertical) entre dos puntos de A y B se puedehallar siguiendo la siguiente ecuacin: Esto implica que los componentes del vector AB ( , , ) se deben saber a lo largo del marco coordinado geodetic local (e, n, u). stos pueden ser calculados transformando los componentes ( , , ) a lo largo (x, y, z) del marco en A segn lo dado por el GPS, en (e, n, u) el marco. Esta transformacin es realizada usando la matriz de la rotacin [R]A definida como sigue

Y la ecuacin de la matriz

Investigacin numrica Para comprobar la exactitud de (6) y (7) cuando estaba utilizada como alternativa para la aproximacin de la convergencia meridiana, una simulacin numrica fue realizada. Se basa en un acercamiento riguroso 3D que emule la lgica aplicada en trabajo diario del GPS. Una lnea horizontal que ensamblaba dos estaciones arbitrarias A y B separados por una distancia de 10 kilmetros fue seleccionada para restringir el resultado del anlisis a las encuestas sobre prcticas la ingeniera. Porque los resultados previstos son dependiente del acimut, los valores de fueron aumentados en incrementos de 15 del meridiano del punto A. Semejantemente, explicar la dependencia de la convergencia

Fig. 2. Convergencia meridiana a lo largo de la lnea AB del acimut (diagrama no dibujado a la escala)

Fig. 3. Algoritmo riguroso para determinar convergencia meridiana

Fig 4. Diagrama esquemtico riguroso para computar convergencia meridiana

Notar que P es la proyeccin de P en la superficie del elipsoide ( )P', Q', R', el etc., no estn contenidos generalmente en el mismo plano. Las excepciones incluyen puntos a lo largo del mismo meridiano o en el ecuador donde la convergencia es cero Nuestra simulacin demuestra que aunque la altura elipsoidal del punto B es 7.8 m (distancia BB' en el Fig. 4) la diferencia en la convergencia computada usando el algoritmo riguroso y (14) es solamente 0.02 La convergencia entre los meridianos aumenta con el valor del acimut, alcanzando un mximo en los acimutes de 90.

Fig 5. Convergencia meridiana rigurosa como funcin de la distancia y del acimut

FIG. 6. Convergencia meridiana en diversas latitudes y el acimut constante=45 (constantes)

FIG. 7. Diferencia de la convergencia meridiana entre los puntos norteos y meridionales simtricos con respecto al acimut 90

FIG. 8. Representacin grfica de la convergencia meridiana en los puntos norteos y meridionales (diagrama no dibujado a la escala)

FIG. 9. Diferencias en la convergencia meridiana (Riguroso-Aproximada)

Cuando las ecuaciones aproximadas [(6) y (7)] fueron comparados al acercamiento riguroso, las diferencias encontradas hasta distancias de 10 kilmetros no son significativas. Esto se representa en la Fig. 9, que demuestra que la discrepancia entre el algoritmo riguroso y las dos ecuaciones aproximadas es mxima en 45 de acimut. La escuacin (7) da resultados levemente mejores. El grfico demuestra que, en 45 acimutes y distancias de 10 kilmetros, la diferencia mxima entre el algoritmo riguroso y (6) alcanza solamente 0.30 segundos del arco. La convergencia real en esta distancia y acimut es 180 segundos del arco (Fig. 5). Esto implica que, en el panorama peor posible, estamos haciendo solamente 0.2% de error cuando aproximamos la convergencia de meridianos (6).

FIG. 10. Convergencia meridiana general 3D (diagrama no dibujado a la escala)

FIG. 11. Algoritmo para computar convergencia del meridiano en 3D

FIG. 12. Compensaciones acumulativas circulares de la estacin debido a descuidar errores meridianos de la convergencia

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