Algebra

Alumno: Fernando Enrique HeinzMaestra:

Problema: Sustancias que funcionan como super proteínas a través de matrices

Instrucciones: Lee el problema y al final, realiza lo que se te pide.

Un grupo de ingenieros en biotecnología realizaron una investigación para crear una sustancia que funcionara como una super proteína en un tipo especial de microorganismos que habita cerca de una zona petrolera. El objetivo era crear microorganismos más resistentes y en el caso de que existiera algún derrame petrolero cerca de la zona, utilizarlos para la limpieza. Durante la investigación se presentaron muchas dificultades, pues se tenían previstos tres proyectos diferentes, mismos que resultaron un rotundo fracaso. En cada uno de éstos se desarrolló una sustancia diferente y cuando se realizaron las pruebas con las sustancias, éstas no mejoraron a los microorganismos como se esperaba, por esto los frascos que contenían las sustancias respectivas de cada proyecto fueron vaciados a un mismo contenedor con capacidad de m litros, el cual se encontraba completamente limpio. Los ingenieros tomaron una muestra de la sustancia que resultó de la combinación de las tres que se vaciaron al contenedor y luego de ponerla en el microscopio observaron los resultados. La muestra era producto de un accidente científico.

Después cada grupo hizo colocó una marca al recipiente que contenía su respectiva sustancia, esto con el fin de tener en cuenta la medida que utilizaron y relacionarlo con el resultado que se obtuvo. Así, volvieron a utilizar la misma medida que vaciaron al contenedor para formar una nueva sustancia, la probaron y el resultado fue exactamente el mismo que el que se encontraba en el contenedor.

Por consiguiente, se dieron cuenta que nadie sabía exactamente la cantidad que depositaron de la sustancia, sin embargo tenían el recipiente en el que señalaron la medida. Para saber las cantidades exactas, sugirieron formar un sistema de tres ecuaciones y así encontrarían los valores exactos de los recipientes de cada uno de los grupos, entonces realizaron las siguientes pruebas:

1. Utilizaron 2 vasos de la primera sustancia, 2 vasos de la segunda y un vaso más de la tercera y obtuvieron 4.5 litros de la sustancia final.

2. Utilizaron 4 vasos de la primera sustancia, 6 vasos de la segunda y 3 vasos más de la tercera, y obtuvieron 12 litros.

Nota: Para encontrar lo que se te pide supón que en las primeras dos pruebas (la del accidente y la repetición del mismo)se colocaron 6 vasos de la primer sustancia, 9 vasos de la segunda y 7 vasos de la tercera.

Para resolver este problema, realiza lo siguiente:

1. Integra en este archivo las actividades las respuestas que diste en las actividades Representación matricial y Método de Gauss. Después,

• Utiliza el método de Gauss Jordan para encontrar la cantidad en litros que se colocó en cada vaso de la primera, segunda y tercera sustancia.• Comprueba tus resultados por alguno de los métodos de comprobación.

2. Lee el planteamiento del siguiente problema:

Un grupo de ingenieros realiza el proyecto de mostrar en las escuelas la manera en que se debe elaborar impermeabilizante natural con baba de nopal. Para cubrir una superficie de 1 m² se requieren los siguientes materiales: 1/2 kilo de calidra, 1/2 kilo de cemento blanco, 1/3 de kilo de pega azulejo, 1/2 kilo de arena gris (cernida), 2/3 de barra de jabón de pasta, 1/6 de kilo de alumbre en piedra, 1/2 nopal de penca.

En la escuela secundaria Adolfo López Mateos, los alumnos tienen que impermeabilizar el techo de la biblioteca que mide 40 m², el auditorio de 50 m², 15 salones de 20 m² cada uno, 20 cubículos y la dirección de la escuela que mide 35 m².

Los gastos en material fueron los siguientes: de la dirección 1,067 pesos con 50 centavos, de los salones 9,150 pesos, de la biblioteca 1,220 pesos, de los cubículos 5,490 pesos, y del auditorio 1,525 pesos.

Cada nopal vale 1 peso y la barra de jabón está a 9 pesos.

• ¿Cuál es el costo por kilo de cada uno de los otros materiales?• ¿Cuántos metros cuadrados mide cada uno de los cubículos que impermeabilizaron? Para solucionar este problema, realiza lo siguiente:

1. Construye un sistema de ecuaciones lineales con los datos de las tres pruebas que se mencionan en el problema.2. Representa el sistema mediante su forma matricial.3. Resuelve el problema por el método de Gauss o de Gauss-Jordan.4. Comprueba tus resultados por alguno de los métodos que se comentaron en el foro Planteamiento del problema.5. Responde las preguntas que se plantean al final del problema.2

1. Integra en este archivo las actividades las respuestas que diste en las actividades Representación matricial y Método de Gauss.

1.-

Representación del sistema de ecuaciones mediante su forma matricial:

Proponemos el problema de la bacteria que se desarrolla en diferentes ambientes con variables térmicas, de humedad y de presión.

Debemos suponer que estas bacterias expanden su población de acuerdo a su hábitat, de tal modo que según las condiciones ambientales se reproducen.

Presión atmosférica Temperatura Humedad relativa bacterias1 x1 22 x2 1 x3 40001.5 x1 0 x2 2 x3 140.8 x1 50 x2 0.5 x3 75

La presión atmosférica esta daba 100 kPa como la presión promedio pero para fines de cálculo le nombraremos solo con el valor de 1, se entiende si es mas de 1 o menos de el es el cambio de presión. o x1

Sistema de ecuaciones

En donde

Y

2 2 14 6 3 6 9 7

Es la matriz principal o de coeficientes

4.512M

Es la matriz de

constantes

Matriz aumentada (A B)

Respuestas Parte 1

Para el valor de la temperatura usaremos el valor de los grados centígrados, o x2

Y de humedad relativa Humedad relativa x3

La humedad relativa es la humedad que contiene una masa de aire, en relación con la máxima humedad absoluta que podría admitir sin producirse condensación, conservando las mismas condiciones de temperatura y presión atmosférica. Esta es la forma más habitual de expresar la humedad ambiental. Se expresa en tanto por ciento. %

Donde:

es la presión parcial de vapor de agua en la mezcla de aire;

es la presión de saturación de vapor de agua a la temperatura en la mezcla de aire; y

es la humedad relativa de la mezcla de aire que se está considerando 1

Quedando así nuestro sistema de ecuaciones:

Y nuestra matriz aumentada de esta manera:

Con respecto a la tercera pregunta es por la sencilla razón que es más fácil y adecuado a las personas manejar cantidades vectoriales que si bien podrían parecer abstractas son en la práctica matemática más fáciles su manejo y con la herramienta matricial que es de gran exactitud en lo que concierne a resolver problemas extensos en espacios pequeños.

Sería impensable manejar con palabras las enormes cantidades de datos que se generarían en un supuesto experimento con bacterias, el solo pensar en cómo organizar y manejar las variables de su hábitat nos sería imposible de controlar.

De aquí se desprende que al saber el valor de x1, x2 y x3 lo que obtendremos son los valores que serían los óptimos para que la bacteria se reproduzca de la mejor manera, teniendo estos valores podremos construirles un hábitat muy a modo para que nos produzcan lo que buscamos. Es hipotético

Solución por el método de Gauss

SUMO -2 VECES EL RENGLON 1 AL RENGLON 2, DE LA MATRIZ INICIAL Y RESULTA ESTA OTRA MATRIZ

SUMO -3 VECES EL RENGLON 1 AL RENGLON 3 LO QUE NOS RESULTA EN ESTA MATRIZ

2 2 1 9/2

0 2 1 3

0 3 4 M-(27/2)

SUMO -3/2 VECES EL RENGLON 2 AL RENGLON 3, LO QUE RESULTA EN ESTA MATRIZ

2 2 1 9/2

0 2 1 3

0 0 5/2 M-18

SE USA OPERACIONES

CON QUEBRADOS

FORMA ESCALONADA INFERIOR

LA ECUACION FINAL NOS QUEDARIA ASÍ

2 X1 + 2 X2 + X3 = 9/2

2X2+ X3 = 3

5/2 X3 = M-18

Se inician las

operaciones de

DONDE SI DESPEJAMOS X3 NOS RESULTARA ASÍ:

X3=2/5(M-18) EN FUNCION DEL VALOR QUE LE DEMOS A M PODREMOS NUMERICAMENTE RESOLVER LAS INCOGNITAS DE LA MATRIZ.

CON EL VALOR QUE LE DEMOS A M SALDRAN TODOS LOS DEMAS VALORES, POR LO TANTO EN CIERTA FORMA HAY UN SINFÍN DE SOLUCIONES AL SISTEMA DE ECUACIONES, AHORA SOLO ESTARÁ QUE LOS INGENIEROS QUE DISEÑARON LA SUPER PROTEINA NO SEAN TAN DESCUIDADOS Y SEPAN CUANTO ES “M”

Ahora bien si le damos valores a “m” y esto suponiendo que cada vaso contenga alrededor de 900ml podríamos calcular que m sea de al menos 20 litros, entonces el valor seria exacto de las incógnitas.

Nos quedaría de esta manera:

Resolviendo por renglones según el método de gauss.

En su forma matricial

Paso 1° -2 veces el renglón 1 al renglón 2

Paso 2° -3 veces el renglón 1 al renglón 3

3° paso -3/2 veces el renglón 2 al

renglón 3

Lo que incluyo a continuación es una corrección que usted me hizo notar, se la reenvié hace poco

Resolviendo el valor de las incógnitas con los datos que tenemos de la solución matricial nos queda de esta manera.

y es de esta manera que resolviendo la matriz resultante escalonada inferior el valor de las incógnitas en el caso hipotético que el volumen del recipiente que contuvo los experimentos tenga un valor de más de 20 litros o que m tenga 20litros.

3° paso -3/2 veces el renglón 2 al

renglón 3

Ahora resolveré el mismo problema por el método de

Ahora resolveré el mismo problema por el método de

Multiplicamos el renglón 1 por 1/2

Sumamos 4 veces el renglón 1al renglón 2

Sumamos -6 veces el renglón 1 al renglón 3

Multiplicamos el renglón 2 por 1/2

Sumamos -1 vez el renglón 2 al renglón 1

Sumamos -3 veces el renglón 2 al renglón 3

Multiplicamos el renglón 3 por el renglón 2/5

Sumamos -1/2 veces el renglón 3 al renglón 2

Hemos reducido la matriz a su forma escalonada por renglones, encontrando así la solución múltiple

El resultado es exactamente igual en los 2

métodos

Sustituyendo los resultados para un valor de 20 litros nos queda:

34+0 x2+0 x3=

34

0 x1+1110

+0 x3=1110

0 x1+0 x2+45=45

2. Lee el planteamiento del siguiente problema:

Un grupo de ingenieros realiza el proyecto de mostrar en las escuelas la manera en que se debe elaborar impermeabilizante natural con baba de nopal. Para cubrir una superficie de 1 m² se requieren los siguientes materiales: 1/2 kilo de calidra, 1/2 kilo de cemento blanco, 1/3 de kilo de pega azulejo, 1/2 kilo de arena gris (cernida), 2/3 de barra de jabón de pasta, 1/6 de kilo de alumbre en piedra, 1/2 nopal de penca.

Nos queda así, respuestas en función del valor de “m”...si le damos el valor de 20

litros, esto se reduce a resultado numérico

Parte 2

Esto está hecho con Word,

En la escuela secundaria Adolfo López Mateos, los alumnos tienen que impermeabilizar el techo de la biblioteca que mide 40 m², el auditorio de 50 m², 15 salones de 20 m² cada uno, 20 cubículos y la dirección de la escuela que mide 35 m².

Los gastos en material fueron los siguientes: de la dirección 1,067 pesos con 50 centavos, de los salones 9,150 pesos, de la biblioteca 1,220 pesos, de los cubículos 5,490 pesos, y del auditorio 1,525 pesos.

Cada nopal vale 1 peso y la barra de jabón está a 9 pesos.

• ¿Cuál es el costo por kilo de cada uno de los otros materiales?• ¿Cuántos metros cuadrados mide cada uno de los cubículos que impermeabilizaron? Para solucionar este problema, realiza lo siguiente:

1. Construye un sistema de ecuaciones lineales con los datos de las tres pruebas que se mencionan en el problema.2. Representa el sistema mediante su forma matricial.3. Resuelve el problema por el método de Gauss o de Gauss-Jordan.4. Comprueba tus resultados por alguno de los métodos que se comentaron en el foro Planteamiento del problema.5. Responde las preguntas que se plantean al final del problema.2

Respuestas

Lo primero es plantear el problema de forma que podamos ver las variables y datos conocidos, por lo cual hice un arreglo de datos.

El costo por metro cuadrado se obtiene del cociente de los metros de superficie y el costo de la puesta del

impermeabilizante. Como ejemplo la biblioteca $1220.0040mts2

=$30.50 por metro2 y queda comprobado al realizar las

demás divisiones por simple inspección.

Sabiendo este costo por metro cuadrado podemos inferir de forma fácil la superficie de los cubículos y se logra con la división de $5490/$30.50 = 180 sin unidades de dimensión lo cual se infiere son metros cuadrados, que es la superficie de los cubículos, por lo tanto si son 20 cubículos cada uno tiene necesariamente 9mts2

Con estos datos ya podemos elaborar nuestra matriz inicial.

Cantidad Lugares Áreas Costo total20 Cubículos 180 mts2 $5490.001 Biblioteca 40 mts2 $1220.001 Auditorio 50 mts2 $1525.00

15 Salones 300 mts2 $9150.001 Dirección 35 mts2 $1067.50

Con estos datos estamos listos para elaborar la matriz que resolveremos pero antes debemos plantear las ecuaciones lineales, para lo cual es necesario tomar en cuenta el valor de cada uno de los elementos y la cantidad de metros cuadrados.

1 mts2= ½ Calidra +1/2 cemento blanco +1/3 pega azulejo +1/2 arena gris +2/3 jabón +1/6 alumbre +1/2 penca de nopal

2/3 de jabón resultan ser $ 6.00 pesos

½ penca de nopal resulta ser $0.50 pesos

Ahora ya podemos plantear las ecuaciones lineales dándole incógnitas de x(s) a cada elemento de construcción del impermeabilizante

Ecuación que corresponderá a los 20 cubículos en donde ya incluimos el valor de algunos materiales

a) 5490=180(1/2*x1 +1/2*x2 +1/3 *x3 +1/2*x4+$6.50 +1/6*x5)

Al realizar la operación de las multiplicaciones y sumas nos queda, el valor numérico de la derecha para a la izquierda restando que es en realidad dinero que se le restara a el valor inicial

4320= 90x1+90x2 +60x3 +90x4 +30x5 primer ecuación lineal para incluir en la matriz (cubículos)

Valores conocidos

Valor de las incógnitas x6 y x7 que suman & 6.50

Metros cuadrados que requiere esa superficie

Del mismo modo obtenemos para la biblioteca

1220=40(1/2*x1 +1/2*x2 +1/3 *x3 +1/2*x4+$6.50 +1/6*x5)

960= (20) x1+ (20) x2+ (40/3) x3 + (20) x4 + (20/3) x5 ecuación lineal de la biblioteca

En resumen obtendremos las demás ecuaciones, si alguna duda tiene de como las obtuve favor de informarme y le envío las capturas de mis apuntes en hojas de máquina.

1200= (25) x1 + (25) x2 + (50/3) x3 + (25) x4 + (25/3) x5 ecuación lineal del auditorio

7200= 150 x1 +150 x2 +100 x3 +150 x4 +50 x5 ecuación lineal de los salones

840 = (35/2) x1 +(35/2) x2 +(35/3) x3 +(35/2 )x4 + (35/6)x5 ecuación lineal de la dirección.

Los coeficientes de las ecuaciones es el resultado de los metros cuadrados por la fracción que de ellos se ocupa para la impermeabilización de los techos.

En resumen quedan así las ecuaciones

4320= 90x1+90x2 +60x3 +90x4 +30x5

960= (20) x1+ (20) x2+ (40/3) x3 + (20) x4 + (20/3) x5

1200= (25) x1 + (25) x2 + (50/3) x3 + (25) x4 + (25/3) x5

7200= 150 x1 +150 x2 +100 x3 +150 x4 +50 x5

840 = (35/2) x1 +(35/2) x2 +(35/3) x3 +(35/2) x4 + (35/6)x5

90 90 60 90 30 4320

20 20 40/3 20 20/3 960

25 25 50/3 25 25/3 1200

150 150 100 150 50 7200

35/2 35/2 35/3 35/2 35/6 840

Matriz aumentada

Este 40 es a cantidad de metros cuadrados de la biblioteca, lo mismo hacemos con las demás. Según sea sus mts2

Esta es la matriz que nos dará el valor de cada uno de los ingredientes.

Intente darle solución por el gauss jordan y no logre encontrar solución

• ¿Cuál es el costo por kilo de cada uno de los otros materiales?

Esto no lo pude resolver.

• ¿Cuántos metros cuadrados mide cada uno de los cubículos que impermeabilizaron?

9 mts2 cada uno de los cubículos por eso son 180 mts2 su totalidad y es por eso que impermeabilizarlos costo $5490.00 en la inteligencia de que cada metro sale $30.50

Bibliografía y referencias

Algebra Lineal Seymour Lipschutz serie Schaum Mc Graw Hill

Algebra Lineal de Stanley L. Grossman editorial Mc Graw Hill

1 http://es.wikipedia.org/wiki/Humedad