ALUMNO. FERNANDO ENRIQUE HEINZ

MAESTRA: MARTHA ANGELICA CANO FIGUEROA

Álgebra unidad 3

Ha llegado el momento de poner en práctica lo aprendido sobre los determinantes! Para eso, se ha preparado esta actividad en la que retomarás los resultados de los métodos matriciales (de Gauss y de Gauss-Jordan) que utilizaste para resolver el  problema Sustancias que funcionan como superproteínas.

1. Indica cuáles fueron las operaciones que realizaste sobre la matriz asociada al sistema en cada uno de los pasos para resolver el problema de la evidencia de la unidad 2 por el método de Gauss-Jordan.

2. En un nuevo documento de Word, realiza los determinantes D1, D2, D3 y D, asociados a las incógnitas x1, x2, x3 y a la matriz del sistema.

3. Contesta la siguiente pregunta: ¿Qué relación existe entre los determinantes que obtuviste en esta ocasión y las operaciones que realizaste en la evidencia de la unidad 2 para resolver el problema por el método de Gauss-Jordan?

Operaciones

Pasos de la Actividad

1. Indica cuáles fueron las operaciones que realizaste sobre la matriz asociada al sistema en cada uno de los pasos para resolver el problema de la evidencia de la unidad 2 por el método de Gauss-Jordán.

Multiplicamos el renglón 1 por 1/2

Sumamos 4 veces el renglón 1al renglón 2

Sumamos -6 veces el renglón 1 al renglón 3

Multiplicamos el renglón 2 por 1/2

A “m” le daremos valor de 20 al final 20 a

Sumamos -1 vez el renglón 2 al renglón 1

Sumamos -3 veces el renglón 2 al renglón 3

Multiplicamos el renglón 3 por el renglón 2/5

Sumamos -1/2 veces el renglón 3 al renglón 2

Hemos reducido la matriz a su forma escalonada por renglones, encontrando así la solución múltiple

Sustituyendo los resultados para un valor de 20 litros nos queda:

34+0 x2+0 x3=

34

0 x1+1110

+0 x3=1110

0 x1+0 x2+45=45

2. En un nuevo documento de Word, realiza los determinantes D1, D2, D3 y D, asociados a las incógnitas x1, x2, x3 y a la matriz del sistema.

Nos queda así, respuestas en función del valor de “m”...si le damos el valor de 20

litros, esto se reduce a resultado numérico

Esto está hecho con Word,

Siguiendo el procedimiento de la regla de Cramer, iremos sustituyendo las columnas por la columna formada por el vector b.

A1= A2=

A3=

De esta matriz sacaremos el determinante

2 2 2

4 6 3

6 9 7

X1

X2

X3=

9/2

12

20

9/2 2 2

12 6 3

20 9 7

2 9/2 2

4 12 3

6 9 7

2 2 9/2

4 6 12

6 9 20

Ahora debemos encontrar el determinante de la Matriz principal A

A=

IAI =

IAI = M11 = M12=

M13 =

Una vez que tenemos los menores, vamos a obtener el determinante de cada uno de ellos como sigue.

2 2 2

4 6 3

6 9 7

Usaremos los menores y cofactores

2 2 1

4 6 3

6 9 7

Procederemos a sacar los menores

2 2 1

4 6 3

6 9 7

6 3

9 7

4 3

6 7

4 6

6 9

Vamos a desarrollar el determinante de A utilizando los menores y cofactores de A, para esto, primero obtenemos los menores de la siguiente manera.

M11 = (6*7) – (3*9) =42-27=15

M12 = (4*7) – (6*3) =28-18 =10

M13 = (4*9)- (6*6) = 36-36 = 0

Ahora que hemos encontrado el determinante de cada uno de los menores, vamos a obtener los cofactores correspondientes a dichos menores tal y como se muestra a continuación.

Aij = (-1)ij IMij I

A11 = (-1)2 (15) = 15

A12= (-1)3 (10) = -10

A13 = (-1)4 (0) = 0

Una vez que obtenemos los cofactores aplicamos el método de expansión por cofactores para encontrar el determinante

de A.

Primero colocamos la ecuación para calcular el determinante de A, a partir de sus cofactores, la cual es la siguiente:

IAI = a11A11 +a12A12+a13A13

Únicamente se toman cuatro elementos debido a que A es una matriz de 3 x 3, la forma de expansión por cofactores se

refiere a una matriz de n x n y en este caso n = 3, de ahí que suceda esto.

Entonces los elementos que hacen falta para aplicar la fórmula anterior son:

IAI =2*(15) +2*(-10)+1*(0) =30-20+0=10

Para las demás matrices que son parte de este forma de obtención de incógnitas no seré explicito.

A1=D1= A2=D2=

9/2 2 2

12 6 3

20 9 7

2 9/2 2

4 12 3

6 9 7

A3=D3=

Seguimos aplicando la regla de menores y cofactores a estos determinantes y solo hare uno como ejemplo en forma desarrollado.

A3=D= 2(+1) + 2(-1)

ID3I= (2) (12) + (-2) (8) + (4.5) (0) = 8

ID1I= 7.5 4.5(+1) =24-16+0 =8

ID2I=11

Entonces:

X1= D1/D =7.5/10=3/4

X2=D2/D=11/10

X3=D3=8/10=4/5

2 2 9/2

4 6 12

6 9 20

2 2 9/2

4 6 12

6 9 20

Resultados iguales al resultado al método de gauss jordan

6 12

9 20

4 12

6 20

4 6

6 9

Menores y cofactores

3. Contesta la siguiente pregunta: ¿Qué relación existe entre los determinantes que obtuviste en esta ocasión y las operaciones que realizaste en la evidencia de la unidad 2 para resolver el problema por el método de Gauss-Jordan?

De tal modo que el sistema de gauss es más generalizado y más potente para encontrar los valores que el método de Cramer, aunque este sea más sencillo en su realización solo lo es con matrices de poco tamaño, si es de 5x5 por decirlo como ejemplo este método se complica muchísimo no así en de gauss o el de gauss jordan.

Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:

Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema de eliminación de Gauss-

Jordán.

Se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea la estructura

algebraica del que provengan los