Alvarez Toala Ecuaciones en Diferencias

8/17/2019 Alvarez Toala Ecuaciones en Diferencias

1/22

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS

ARMADAS ESPE

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

EXACTAS

ECUACIONES EN DIFERENCIAS

DOCENTE

Dr. MARCELO ROMAN

INTEGRATES

ALVAREZ FREDYTOALA RAFAEL

Latacunga 2016


2/22

Contents

1 Ecuaciones en Diferencias 1

1.1 Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Ecuaciones en diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Ejemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Ejemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Ecuaciones lineales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . 41.3.1 Ejemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Ecuaciones lineales de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . 61.4.1 Teorema de existencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4.2 Solución de ecuaciones en diferencias . . . . . . . . . . 7

1.5 Sistemas discretos en Simulink . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.6 Ejercicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7 Funciones Z de Transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Bibliograf́ıa 19

i


3/22

List of Figures

1.1 Representación esquemática de un sistema . . . . . . . . . . . 21.2 Sistema de procesamiento de señales en el tiempo . . . . . . . 4

1.3 Sistema de ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Parámetros de bloque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Parámetros de bloque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6 Diagrama de un sistema discreto de fundición . . . . . . . . . 111.7 Diagrama de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.8 Esquema del sistema en Simulink . . . . . . . . . . . . . . . . 121.9 Sistema con suministro de 20 toneladas y 0 piezas pedidas . . 131.10 Sistema con suministro de 50 piezas pedidas . . . . . . . . . . 141.11 Diagrama de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.12 Diagrama de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.13 Diagrama de bloque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

ii


4/22

Chapter 1

Ecuaciones en Diferencias

1.1 Antecedentes

En el capı́tulo número dos del libro Matemáticas Avanzadas para Ingenieŕıa- 2da Edición de Glyn James se estudió sobre la transformada de Laplacecomo un método para resolver ecuaciones diferenciales y a la vez como unamanera de caracterizar un sistema de tiempo continuo. Los métodos dela transformada de Laplace tienen un papel fundamental en el enfoque delanálisis y diseño en los sistemas de ingenieŕıa. El pionero en el desarrollo de

estos métodos fue el ingeniero eléctrico inglés Oliver Heavisede que desarrllóun método para la solución sistemática de ecuaciones diferenciales ordinariascon coeficientes constantes.

Heaviside estuvo interesado en la resolución de problemas prácticos y sumétodo fue basado en la intuición sin rigor matemático. Usando sus ideas,otros matemáticos se encargaron de justificarlas, como es el caso del matemáticofrancés Pierre Simon de Laplace, quien finalmente desarrolló una transfor-mación integral conocida como el método de la transformada de Laplace.

La transformada de Laplace es una clase de transformacíon integral que tomauna función f(t) de una variable t a la que nos referimos como tiempo enuna función F(s) de otra variable s llamada frecuencia. La transformada deLaplace encuentra una aplicación particular en el campo de las señales y elanálisis de sistemas lineales.

Una caracteŕıstica sobresaliente en un sistema es que cuando existe una ex-citación de entrada u(t), produce una respuesta de salida x(t). Donde u(t) yx(t) son funciones de una sola variable t que representa al tiempo, normal-

1


5/22

mente referidas como señales. En la práctica, la señal de entrada u(t) puede

ser una función discontinua, periódica o un impulso.

Esquemáticamente un sistema puede ser representado como se muestra en lasiguiente figura.

Figure 1.1: Representación esquemática de un sistema

Si el sistema es lineal e invariante en el tiempo, entonces la salida estárelacionada con la entrada por una ecuación diferencial lineal con coeficientesconstantes y tenemos un problema de valor inicial estándar que se puede re-solver mediante la transformada de Laplace.

Los sistemas se dividen en sistemas de tiempo continuos y sistema de tiempo

discreto, los sistemas de tiempo continuo son modelados por una ecuacióndiferencial. las señales de entrada y salida pueden variar en cualquier instantede tiempo, las cuales son funciones de una variable continua de tiempo y ala vez usando la transformada de Laplace.

En cambio, un sistema de tiempo discreto está modelado por una ecuaciónen diferencias en lugar de una ecuación diferencial y está tratado con el usode la transformada z.

1.2 Ecuaciones en diferencias

Una ecuación en diferencias es una expresión de la forma:

F (yt+n, yt+n−1, yt+n−2,...,yt+1, yt, t) = 0 (1.1)

Una solución de la misma, es toda sucesión que la cumpla; el conjunto de to-das las soluciones recibe el nombre de solución general.Esta solución generalpresenta cierto número de parámetros, que pueden determinarse a partir delas condiciones iniciales, dando lugar a las diferentes soluciones particulares.

2


6/22

El orden de una ecuación en diferencias se obtiene mediante la diferenciaentre el mayor y el menor de los ı́ndices que afectan a y.

Por ejemplo, la expresión −2yt+3 + 3yt = t + 1, es una ecuación en difer-encias de orden t + 3 − t = 3, es decir de tercer orden.

La ecuación en diferencias yt+1 − yt = 2 es de orden t + 1 − t = 1, esdecir de primer orden. y riene por solución general a todas las progresionesaritméticas de razón 2, es decir:

yt =

y(

t) = 2

t +

C

siendo C una constante cualquiera. Una solución particular, es la progresiónaritmética:

1, 3, 5, 6, ..., 2t+1,...

1.2.1 Ejemplo 1

Supongamos que una población de insectos crece el triple, en cada peŕıodode tiempo que transcurre entre dos medidas, de lo que creci ó en el perı́odoinmediatamente anterior. Construir el modelo.

Si llamamos yt al número de individuos en el instante t; del enunciado delejemplo se deduce:

yt+2 − yt+1 = 3(yt+1 − yt), t = 0, 1, 2, 3, ...

simplificando obtenemos:

yt+2 − 4yt+1 + 3yt = 0

que es una ecuación en diferencias de segundo orden. Si por ejemplo, cono-cemos el número inicial de insectos, y0 = y(0) = 100, podemos sustituir y

obtendŕıamos:yt+2 − 4yt+1 + 300 = 0

lo cual nos indica que debemos saber otra medida, por ejemplo y1, parapoder encontrar el resto de los valores.

1.2.2 Ejemplo 2

A continuación se presenta un sistema de procesamiento de señales en tiempodiscreto mediante un diagrama de bloques, en el que se puede observar un

3


7/22

ćırculo que representa un sumador S, un bloque D que representa el retardo

unitario del sistema, una ganancia alfa de retroalimentación.

Figure 1.2: Sistema de procesamiento de señales en el tiempo

xk representa una sucesión de observaciones en el paso de tiempo k queingresan al sistema como una entrada para ser filtrada usando el sistema deretroalimentación de tiempo discreto mostrado en la figura, después de ingre-sar xk se mezcla con la señal retroalimentada gracias a la acción del bloquesumador S, generándose una señal rk que ingresa al bloque de retardo uni-tario D que mantiene la señal de entrada hasta que el reloj avance un paso,es decir k + 1. En este momento la señal de entrada sale sin alteraciones

convirtiéndose en la señal yk+1, Al mismo tiempo esta señal es regresada alsumador mediante el bloque de ganancia alfa para proveer la siguiente en-trada al bloque de retardo D.

Matemáticamente tenemos que:

rk = yk+1 (1.2)

También gracias a la acción de la retroalimentación

rk = xk − α ∗ yk (1.3)

Combinado las ecuaciones tenemos la ecuación en diferencias de primer ordendel sistema.

yk+1 = xk − α ∗ yk (1.4)

1.3 Ecuaciones lineales de primer orden

Una ecuación en diferencias lineal de primer orden es aquella que puedeexpresarse como:

p1(t)yt+1 + p2(t)yt = q (t) (1.5)

4


8/22

Donde p1(t), p2(t)yq (t) son funciones en la variable discreta t. Si la sucesión

q (t) es nula, entonces la ecuación lineal recibe el nombre de ecuación ho-mogénea.Cuando las funciones p1(t) y p2(t) son constantes, se dice que la ecuaciónlineal (1.5) es de coeficientes constantes.

Este tipo de ecuaciones son muy interesantes en el estudio de din ámica depoblaciones. Suelen aparecer escritas como:

yt+1 = p(t)yt + q (t)

donde p(t)yt representa el crecimiento de la población en el tiempo t y q (t) elnúmero de individuos que en el tiempo t se incorporan a la población comoconsecuencia de la inmigración.

1.3.1 Ejemplo 1

Supongamos que una determinada población de insectos con 100 individuos,duplica su número en cada generacíon, y que además, 10 nuevos individuos seincorporan en cada generación procedente de otro lugar. Vamos a construiruna ecuación en diferencias que modele a esta situación y posteriormente laresolveremos.

Del enunciado se deduce: yt = 2yt−1 + 10 y y0 = y(0) = 100 lo que nospermite escribir,

y1 = 2 ∗ 100 + 10

y2 = 2(2 ∗ 100 + 10) + 10 = 2 ∗ 2 ∗ 100 + 2 ∗ 10 + 10

y3 = 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 100 + 2 ∗ 2 ∗ 10 + 2 ∗ 10 + 10

Generalizando:

yt = 2 ∗ ... ∗ 2 ∗100 + 2 ∗ ... ∗ 2 ∗10 + 2 ∗ ... ∗ 2 ∗10 + ... + 2 ∗ 10 + 10(t) (t − 1) (t − 2)

= 2t ∗ 100 + 2t−1 ∗ 10 + 2t−2 ∗ 10 + ... + 2 ∗ 10 + 10= 2t ∗ 100 + (2t−1 + 2t−2 + ... + 21 + 20) ∗ 10= 2t ∗ 100 + (2t−1 − 1) ∗ 10= 110 ∗ 2t − 10

5


9/22

donde en el último de los pasos hemos utilizado la fórmula que nos da la

suma de t términos de una progresión geométrica de razón 2. La solución es,por tanto:

yt = 110 ∗ 2t − 10

1.4 Ecuaciones lineales de segundo orden

Una ecuación en diferencias lineal de segundo orden es aquella que puedeexpresarse como:

p1(t)yt+2 + p2(t)yt+1 + p3(t)yt = q (t) (1.6)

donde p1, p2(t), p3 y q (t) son funciones en la variable discreta t.

Si la función q (t) = 0, entonces la ecuacion (1.6) es una ecuaci ón lineal endiferencias homogénea de segundo orden asociada. Además, si todas las fun-ciones p1, p2(t), p3 son constantes, entonces la ecuación (1.6) es una ecuaciónen diferencias lineal de segundo orden con coeficientes constantes.

1.4.1 Teorema de existencia

Veamos en primer lugar un teorema de existencia y unicidad de solucíon parauna ecuación en diferencias lineal homogénea de orden n.

Dada la siguiente ecuación lineal en diferencias homogénea de orden n:

yt+n + p1(t)yt+n−1 + ... + pn(t)yt = 0

y dados n números reales k0, k1,...,kn−2, exite una única solución, cumpliendo:

y0 = y(0) = k0, y1 = k1,...,yn−1 = kn−1

Para realizar la demostración de este teorema es necesario comenzar definiendola siguiente sucesión:

y0 = y(0) = k0, y1 = k1,...,yn−1 = kn−1

y para los valores de t mayores que n1, procedemos de la siguiente manera:

yn = − p1(0)yn−1 − ... − pn(0)y0 = p1(0)kn−1 − ... − pn(0)k0

yn+1 = − p1(1)yn − ... − pn(1)k1

6


10/22

De esta manera, yt queda definida por la ley de recurrencia anterior.

Puede comprobarse que yt es solución de la ecuación pedida y cumple lascondiciones iniciales.Además, es la única solución, ya que si wt es otra soluci ón que cumple:

w0 = k0, w1 = k1,...,wn−1 = kn−1

la ley de recurrencia que hemos encontrado anteriormente, determina el restode los valores de wt.

Consideremos la ecuación en diferencias lineal homogénea de segundo orden

con coeficientes constantesayt+2 + byt+1 + cyt = 0 (1.7)

cualquier combinación lineal de soluciones de la ecuación anterior sigue siendootra solución.

1.4.2 Solución de ecuaciones en diferencias

Las ecuaciones en diferencias surgen de diferentes maneras, algunas veces delmodelado directo de sistemas en tiempo discreto o como una aproximacíon de

una ecuación diferencial que describe el comportamiento de un sistema mod-elado como un sistema de tiempo continuo. El método de la transformada Zpara resolver ecuaciones en diferencias lineales con coeficientes constantes seemplea a continuación en un ejemplo.

Encuentre una ecuación en diferencias para representar al sistema que seindica en la figura que tiene sucesiones de entrada y salida xk y yk respec-tivamente, donde D es el bloque unitario de retardo y a y b son gananciasconstantes de retroalimentación.

Figure 1.3: Sistema de ejemplo

7


11/22

Introduciendo sucesiones intermedias de señales rk y vk como se muestra

en la figura, en cada paso, las salidas de los bloques de retardo son:

yk+1 = vk

yk+2 = vk+1

vk+1 = rk

yk+2 = rk

en el bloque de suma tenemos:

rk = xk − avk + byk

Sustituyendo obtenemos la ecuación en diferencias:

yk+2 = xk − ayk+1 + byk

Si en este ejemplo damos valores a = 1, b = 2 y la sucesión de entrada xkes la escalón unitario, y0 = 0, y1 = 1 resolver la ecuación en diferencias:

yk+2 = xk − ayk+1 + byk

Sustituyendo tenemos:

yk+2 + yk+1 − 2yk = 1, (k ≥ 0)

Aplicando la transformada Z tenemos:

Z {yk+2 + yk+1 − 2yk} = Z {1, 1, 1,...}

Aplicando la propiedad de linealidad y el resultado zz−1

:

Z {yk+2} + Z {yk+1} − 2Z {yk} = z

z − 1

Usando la segunda propiedad de traslacíon de avance de un paso Z {X k+1} =zX (z ) − zx0 y de manera similar la sucesión con adelanto de dos pasos X k+2,Z {X k+2} = z

2X (z ) − z 2x0 − zx1; se tiene:

z 2Y (z ) − z 2y0 − zy1

+ [zY (z ) − zy0] − 2Y (z ) =

z

z − 1

Reorganizando:

(z 2 + z − 2)Y (z ) = z

z − 1 + z 2y0 + z (y1 + y0)

8


12/22

Además como y0 = 0 y y1 = 1

(z 2 + z − 2)Y (z ) = z

z − 1 + z

Lo que convenientemente es:

(z + 2)(z − 1)Y (z ) = z

z − 1 + z

y resolviendo para Y(z) da:

Y (z ) = z

(z + 2)(z − 1) +

z

(z + 2)(z − 1)2 =

z 2

(z + 2)(z − 1)2

Para obtener la sucesión solución yk es necesario hallar la transformada in-

versa, descomponiendo en fracciones parciales tenemos:

Y (z ) = z 2

(z + 2)(z − 1)2 =

1

z

z

(z − 1)2 +

2

9

1

z − 1 −

2

9

z

z + 2

Usando la tabla breve de la transformada Z:

Z −1

z

z − a

=

ak

Z −1

z

(z − 1)2

= {k}

Obtenemos la sucesión solución para la ecuación en diferencias:

yk =

1

3k +

2

9 −

2

9(−2)k

(k ≥ 0)

1.5 Sistemas discretos en Simulink

Al igual que los sistemas continuos, los sistemas discretos se pueden repre-sentar en Simulink mediante su función de transferencia. Para ello, existendos posibilidades:

1. Utilizar el bloque ‘Discrete Transfer Function’ de la categoŕıa ‘Discrete’.Los coeficientes de numerador y denominador se introducen como vectores,al igual que en el caso de los sistemas continuos; y hay que especificar unparámetro adicional: el tiempo de muestreo (sample time). Por ejemplo, siqueremos introducir la siguiente función de transferencia:

G(z ) = z + 0.5

3z 2 + 1.5z + 2

Además suponiendo que el periodo de muestreo deseado fuese 0.1 segundos,los parámetros que tendrı́amos que introducir y el resultado obtenido seŕıan:

9


13/22

Figure 1.4: Parámetros de bloque

2. Utilizar el bloque ‘Discrete Filter’, también de la categoŕıa ‘Discrete’.Los coeficientes de numerador y denominador se introducen como vectores, aligual que en el caso anterior, pero con la particularidad de que se trabaja enpotencias negativas de z. Por ejemplo, la función de transferencia anterior,expresada en potencias negativas de z quedaŕıa:

G(z ) = z + 0.5

3z 2 + 1.5z + 2 ∗

z −2

z −2 =

z −1 + 0.5z −2

3 + 1.5z −1 + 2z −2

Suponiendo el mismo periodo de muestreo de 0.1 segundos, la forma de in-troducir el bloque seŕıa:

10


14/22

Figure 1.5: Parámetros de bloque

1.6 Ejercicio

Simulación de un sistema discreto en Simulink del comportamiento de unafundición, cuyo esquema se muestra en la siguiente figura:

Figure 1.6: Diagrama de un sistema discreto de fundición

Básicamente, a la fundición llega diariamente un suministro de lingotesde hierro, que se procesa para obtener un 80 por ciento de piezas y un 20por ciento de residuos. Estos residuos son tratados, con un tratamiento quedura un d́ıa completo, y se convierten de nuevo en lingotes listos para serprocesados. Al mismo tiempo, del stock de materia prima se pierde un ciertoporcentaje por corrosión.

11


15/22

Se puede modelar el sistema con dos entradas: el suministro diario de materiaprima y las piezas pedidas por los clientes (suponemos que sólo se fabricanlas piezas que se han pedido); y una única salida: la cantidad de materiaprima en stock. De este modo, buscamos ver cómo evoluciona el stock enfunción del suministro y de la cantidad de piezas pedidas.

El esquema resultante de Simulink serı́a el siguiente:

Figure 1.7: Diagrama de bloques

Se pide:1. Introducir el esquema de Simulink mostrado (atención: el tiempo demuestreo debe ser igual para todos los bloques; fijaremos este valor a uno,indicando un periodo de muestreo de un d́ıa).

Figure 1.8: Esquema del sistema en Simulink

12


16/22


17/22

Obteniéndose el siguiente gráfico:

Figure 1.10: Sistema con suministro de 50 piezas pedidas

En el cual observamos que el sistema se estabiliza en una pérdida de 300toneladas en el stock.

1.7 Funciones Z de Transferencia

Consideremos la ecuación en diferencias general lineal con coeficientes con-stantes, modelo de un sistema lineal invariante en el tiempo, con sucesi ón deentrada uk y sucesión de salida yk. Ambas uk y yk son sucesiones causalessiempre. El modelo de la ecuación en diferencias toma la forma:

akyk+n + an−1yk+n−1 + an−2yk+n−2 + ... + a0yk (1.8)− bmuk+m + bm−1uk+m−1 + bm−2uk+m−2 + ... + b0uk (1.9)

Donde k >= 0 y n, m (con n >= m) son enteros positivos y las a1 y b1son constantes.

La ecuación en diferencias antes mostrada difiere de ejemplos mostrados paraecuaciones de diferencias y solución de ecuaciones en diferencias en la posi-bilidad de que también están permitidos términos con retardo en la sucesión

14


18/22

de entrada uk.

El orden de la ecuación en diferencias es n si an ≡ 0, y para que el sis-tema sea f́ısicamente realizable n > m.

Suponiendo que el sistema esta inicialmente en estado de reposo, aplicamosla transformada Z en toda la ecuacion (1) para lo cual obtenemos.

(anz n + an−1z

n−1 + ... + a0)Y (z ) = (bmz m + bm−1z

m−1 + ... + b0)U (z ) (1.10)

Donde Y (z ) = Zyk y U (z ) = Zuk. El sistema discreto o la función z detransferencia G(z ) está definida como:

G(z ) = Y (z )

U (z ) =

bmz m + bm−1z

m−1 + ... + b0anz n + an−1z n−1 + ... + a0

(1.11)

y normalmente se reorganiza (dividiendo el numerador y el denominador en-tre an) de manera que el coeficiente de z

n en el denominador sea 1. Al deducirG(z ) de esta forma, hemos supuesto que el sistema estaba inicialmente enestado de reposo.Esta suposiciòn ciertamente es válida para el sistema (1) si:

y0 = y1 = ... = yn−1 = 0 (1.12)

u0 = u1 = ... = un−1 = 0 (1.13)

De aqúı diremos que esta en ”reposo” para definir que ningún valor dis-tinto de cero está almacenado en los elementos de retardo antes del tiempoinicial.Denotaremmos:

P (z ) = bmz m + bm−1z

m−1 + ... + b0 (1.14)

Q(z ) = anz n + an−1z

n−1 + ... + a0 (1.15)

Y la función de transferencia discreta puede expresarse como:

G(z ) = P (z )

Q(z ) (1.16)

Para Q(z ) = 0 es llamada la ecuaciòn caraster̀ıstica del sistema discreto,su orden n determina el orden del sistema y sus raı̀ces se llaman polos de lafunciòn de transferencia discreta.

15


19/22

Ejemplo:Dibuje un diagrama de bloque para representar el sistema modelado por laecuaciòn en diferencias:

yk+2 + 3yk+1 − yk = uk (1.17)

y encuentre la funciòn z de transferencia correspondiente.

Solución

La ecuación en diferencias puede pensarse como la relación entre los miem-bros adyacentes de la sucesión yk. Aśı en cada paso de tiempo k tenemos, apartir de la ecuación dada:

yk+2 = −3yk+1 + yk + uk (1.18)

En esta figura se apreciar la subestructura del diagrama de bloque básicode 2do orden y en la otra se puede apreciar el diagrama de bloques de laecuación dada:


Subestructura del diagrama de bloques 2do orden en el dominio de latransformada Z y la representación del diagrama de bloque en el dominio dela transformada z de la ecuación del problema.

16


20/22


La cual provee una fórmula para yk+2 que también involucra a yk, yk+1 yla entrada uk.Podremos elaborar un diagrama de bloque en el dominio de la transformadaZ usando un proceso semejante. Aplicando la tranformada Z. Suponiendoque tenemos un estado inicial de reposo tendremos que:

z 2Y (z ) + 3zY (z ) − Y (z ) = U (z ) (1.19)

z 2Y (z ) = −3zY (z ) + Y (z ) + U (z ) (1.20)

Con esto es sencillo construir la señal transformada z 2Y (z ) de la ecuación(1.20) y acomodarla para que esté disponible en el entrada de la unión desuma S en la figura:

17


21/22

Figure 1.13: Diagrama de bloque

En la figura podemos ver que mostramos el diagrama de bloques resul-tante. Y la función de transferencia obtenida enseguida de la ecuación (1.19)queda como:

G(z ) = Y (z )

U (z ) =

1

z 2 + 3z − 1 (1.21)

18


22/22

References

[1] Matemáticas Avanzadas para Ingenieŕıa - 2da Edición - Glyn James

[2] En ĺınea, Manual avanzado de Simulink para la asignatura fundamentosde automática. Universidad de Valladolid.

[3] En ĺınea, Ejemplos de Simulink, Pedro Corcuera. Universidad deCantabria

19

Documents

Alvarez Toala Ecuaciones en Diferencias