Alvaro TCC

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA

INSTITUTO DE CIENCIAS EXATAS E NATURAIS

FACULDADE DE FISICA

Trabalho de Conclusao de Curso

Alvaro Cesar dos Santos Oliveira

BELEM - PA

2012

1

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA

INSTITUTO DE CIENCIAS EXATAS E NATURAIS

FACULDADE DE FISICA

Emaranhamento Quantico: Teoria eAplicacoes


Orientador: Prof. Dr. Wilson Ricardo Matos Rabelo

BELEM - PA

2012

2

Emaranhamento Quantico: Teoria e Aplicacoes


Julgado em:

Conceito:

Comissao Julgadora:

Prof. Dr. Wilson Ricardo Matos Rabelo (Orientador)

Profa. Dra. Silvana Perez

Profa. Dra. Maria Lucia de Moraes Costa

BELEM - PA

2012

Resumo

Emaranhamento Quantico: Teoria e Aplicacoes


Orientador: Prof. Dr. Wilson Ricardo Matos Rabelo

Resumo do Trabalho de Conclusao de Curso apresentado a Faculdade de Fsica Ciencias

Exatas e Naturais da Universidade Federal do Para (ICEN-UFPA) como parte dos requi-

sitos necessarios para obtencao do ttulo de Licenciatura Plena em Fsica.

No presente trabalho faz um estudo introdutorio sobre o emaranhamento, mostrando

como detectar e quantifica-lo. Para isso, e feita uma iniciacao nos postulados de Mecanica

Quantica. Mostramos o Paradoxo proposto por Albert Einstein, Boris Podolsky e Nathan

Rosen, fundamentando nos princpios de Localidade e Elemento de Realidade. Em se-

guida, chegamos a uma desigualdade feita por Bell com base na desigualdade CHSH, a

qual leva em consideracao as variaveis ocultas da teoria e do instrumento de medicao.

Demonstramos duas aplicacoes do emaranhamento: a codificacao superdensa e o tele-

transporte de informacao. Finalmente, usamos a Concorrencia como quantificador para

o modelo de emaranhamento magnetico XYZ em contato com um reservatorio a` uma

temperatura T e casos particulares: Modelo de Ising, XY Isotropico e XY Anisotropico.

Belem-Para

Dezembro de 2012

Abstract

In the present work is an introductory study on the entanglement, showing how to de-

tect and quantify it. For this, there is a tutorial in the postulates of quantum mechanics.

We show the paradox proposed by Albert Einstein, Boris Podolsky and Nathan Rosen,

basing on the principles of Feature Location and Reality. Then we arrive at an inequality

made by Bell inequality based on CHSH, which takes into account the hidden variables

theory and measurement instrument. We demonstrate two applications of entanglement:

superdense coding and teleportation of information. Finally, we use the Concurrence as

quantifier for model XYZ magnetic entanglement in contact with a reservoir at tempera-

ture T and particular cases: Ising model, XY Isotropic and XY Anisotropic.

Ao meu pai Edson Coelho, minha mae Francilene, meus irmaos, a Thammy e minha

filha Alice.

A coisa mais incompreensvel sobre o mundo e o fato de ele ser compreensvel.

Albert Einstein

Agradecimentos

Do ponto de vista religioso cristao, a Deus, pois sem Ele nada seria possvel.

Ao meu pai, Edson Antonio Coelho de Oliveira, por sempre ter me apoiado e dado

suporte em meus estudos, pois ele o responsavel direto pelo meu sucesso.

A` minha mae, Francilene dos Santos Oliveira, pelo amor dedicado.

Aos meus irmaos, Edson Junior, Bruno Patrcio e Francieleno, pelo companheirismo

e amizade.

Aos meus avos, Jose Serrao, Maria Jose e Lidia Coelho, que faleceram antes de me

formar e ao meu avo, Novato Nunes.

Aos meus tios, Flavio Souza e Francinete, pelos anos de convivencia.

Ao amigo de graduacao, de PET-Fsica e compadre, Reginaldo Junior, pela grande

amizade extra-curso.

Aos amigos de graduacao, em especial: Igor Coimbra, Anderson Almeida, David,

Diego, Tais Costa, Jaciney, Joao Paulo, Eduardo.

Aos amigos, em especial: Thammy, Amanda Pompeu, Andrine Costa, Arthur, Marcos

Carvalho, Benedito do Gurupa, Naiara, Eliz, Cristiano, Gustavo, Kelly, Bela, Cris Vulcao.

Aos amigos da salinha, Ygor Para, Leonardo, Felipe, pela amizade.

Ao PET-Fsica e os amigos que conquistei durante o tempo que fui bolsista: Luis

Eduardo, Isaac Torres, Ari Patrique, Bruno Rafael, Cassio, Cleofas, Rodrigo, Victor.

Aos professores Van Sergio, Joao Felipe, Sergio Vizeu, Silvana Perez e aos demais

professores por terem contribudo para a minha formacao academica.

Ao meu orientador, Wilson Ricardo Matos Rabelo, pelo incentivo e apoio.

A` PIBIC/FAPESPA pelo suporte financeiro.

Sumario

Introducao 11

1 Postulados da Mecanica Quantica 14

1.1 Postulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.1 Estado Fsico de um sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.2 Observaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.1.3 Evolucao de um sistema quantico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.2 O que e o Bit Quantico? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Emaranhamento Quantico 26

2.1 O que e o Emaranhamento? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1.1 O Paradoxo EPR segundo Bohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.2 Correlacao de spins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2 Desigualdade CHSH por Bell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2.1 Violacao da Desigualdade pela MQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3 Aplicabilidade do Emaranhamento 45

3.1 Codificacao Superdensa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2 Teletransporte de Informacao Quantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

9

4 Emaranhamento Termico e Magnetico 53

4.1 Modelo XYZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2 Calculo do Operador Densidade para o Estado Termico . . . . . . . . . . . 65

4.3 Quantificando o Emaranhamento por meio da Concorrencia . . . . . . . . . 69

4.4 Modelo de Ising . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.5 Modelo XY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.5.1 Modelo XY Isotropico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.5.2 Modelo XY Anisotropico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Consideracoes Finais 84

A Produto Tensorial 85

B Notacao de Dirac 87

C Espaco de Hilbert 89

D Anti-correlacao Perfeita do Singleto 92

Referencias Bibliograficas 94

10

Introducao

O emaranhamento e um importante recurso caracterstico da Mecanica Quantica

(MQ). A existencia de estados emaranhados pode ser vista como uma consequencia da

linearidade da MQ, ou seja, da existencia da superposicao de estados na teoria quantica1

([1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [13], [15]). A ideia de emaranhamento se origina com Erwin

Schrodinger no seu artigo [6] de 1926, sem o uso do termo que hoje e utilizado. So-

mente em 1935 no artigo[7] de Einstein, Poldolsky e Rosen (EPR) quando esse conceito

e usado para partculas separadas por grandes distancias que ganha uma maior atencao.

No artigo, EPR usa os princpios de localidade e realidade para verificar o carater de

completeza da MQ. Tal raciocnio conduz a ideia de que uma Mecanica Quantica local

e completa necessitaria de novas variaveis (ocultas) para descrever o estado do sistema,

variaveis estas que nao estao includas no formalismo tradicional da Mecanica Quantica

[1]. Nesse mesmo ano, Schrodinger cria o termo emaranhamento, quando publica um

artigo em alemao [8] onde usa a palavra verschranktque depois a traduz para o ingles

em outros dois artigos ([9], [10]) usando o termo emaranhamento2, sendo no artigo [9]

onde apresenta seu famoso paradoxo do gato.

Em 1951, David J. Bohm comenta o artigo de EPR em seu livro[11] demonstrando

1A superposicao de estados por vez, e uma consequencia do espaco vetorial no qual os vetores de

estados se encontram, o de Hilbert e, por construcao, linear.2Na literatura inglesa, conhecida como entanglement.

11

a mesma situacao do artigo original. Entretanto, usando um exemplo mais simples, um

sistema de dois spins no qual as partculas encontram-se relacionadas por estado singleto.

Com as crticas feitas por EPR, afirmando que a MQ apesar de ter previsoes corretas,

nao poderia ser completa. Pois, se a MQ fosse completa, o seu carater probabilstico

desapareceria. Haveria variaveis ocultas a` teoria quantica que assumidas tornariam a

determinista[12]. Assim, o emaranhamento e mencionado nas discussoes filosoficas da

epoca como sendo, considerado pela grande maioria, o aspecto mais marcante da teoria

quantica.

Ate entao, as discussoes a respeito do emaranhamento, encontravam-se muito mais

no campo da filosofia que fsico. E somente com John Bell que o status das discussoes

ganha uma nova versao. Em 1964, J. Bell em sua publicacao[13] mostra uma maneira de

detectar o emaranhamento, o que hoje e conhecida como desigualdades de Bell. Essa classe

de desigualdade possibilitou que as discussoes sassem do aspecto filosofico e permitiu que

medicoes em laboratorio fossem possveis. Ele percebe que estados emaranhados como o

singleto violam as suas desigualdades. Dessa maneira, a MQ seria contraria a uma teoria

de realismo local, como considera a teoria de variaveis ocultas([1], [9], [11], [13], [14], [15]).

Com o surgimento da Teoria de Informacao Quantica[16], o uso do emaranhamento

passa a ter um carater pratico. Nessa teoria a utilizacao do emaranhamento como re-

curso fsico e peca fundamental para a realizacao de protocolos da Informacao Quantica,

tais como: codificacao superdensa[17], teletransporte de estados quanticos[18]. Esses pro-

tocolos sao exponencialmente mais rapidos que seus analogos classicos. A codificacao

superdensa e um recurso fsico que permite condensar a informacao classica transmitida.

E o teletransporte permite que, no final do processo, o observador final possua o estado

inicial que descrevia a partcula no incio do processo.

Um grande vilaodo emaranhamento e a temperatura, sendo a sua dinamica alterada

quando e sujeita a variacoes de temperatura, portanto, a informacao contida no emara-

nhamento vai sendo perdida para o ambiente com um acrescimo de temperatura ([16],

12

[19] ). Uma maneira de tentar minimizar o efeito da temperatura sobre o emaranha-

mento e submete-lo a` um campo magnetico. Sistemas emaranhados sujeitos a` um campo

magnetico conseguem resistir por mais tempo a uma temperatura T que o mesmo sistema

sem o campo sujeito a mesma temperatura . Assim, alem de detectar o emaranhamento,

e muito importante conhecer o comportamento de um sistema emaranhado e o quanto ele

se encontra emaranhado. Um bom quantificador do emaranhamento e a Concorrencia.

Essa grandeza mostra o quanto o sistema fsico estudado esta emaranhado. Tambem, e

importante conhecer como o emaranhamento varia a` medida que a anisotropia do sistema

vai mudando.

Neste trabalho de conclusao de curso vamos abordar varios temas, comecando no

Captulo 01 com os postulados de Mecanica Quantica para que o leitor que esteja inte-

ressado em seguir essa area de conhecimento possa ter uma percepcao de MQ.

O Captulo 02 visa mostrar uma maneira de detectar o emaranhamento. Iniciando

com uma definicao pratica de emaranhamento, segue falando a abordagem feita por Bohm

sobre o Paradoxo EPR. Chegamos a uma desigualdade um pouco mais geral que Bell

fez inicialmente em 1964 e que teve como base o trabalho de Clauser, Horne, Shimony e

Holt em 1969. E finalizando, com uma demonstracao da quebradessa desigualdade.

Quando falamos do emaranhamento, e importante que seja feita alguma demons-

tracao de sua grande potencialidade como recurso fsico. O Captulo 03 faz dois exemplo

da aplicabilidade do emaranhamento: A Comunicacao Superdensa e Teletransporte de

Informacao de um estado quantico desconhecido.

No Captulo 04 mostramos uma forma de quantificar o emaranhamento de um sistema

fsico de dois spins-1/2 sem campo magnetico externo e em equilbrio termico com um

sistema externo, muito maior que o sistema fsico considerado. Demonstramos alguns

modelos particulares: Modelo de Ising, XY Isotropico e XY Anisotropico.

13

Captulo1Postulados da Mecanica Quantica

O leitor que ja esta familiarizado com os conceitos e postulados de MQ podara avancar

para o Captulo 02 sem nenhuma perda de continuidade. Este Captulo falara sobre os

postulados de MQ seguindo a abordagem semelhante ao de Michael A. Nielsen e Isaac L.

Chuang em seu livro[16]. Em seguida mostrara a definicao de um q-bit, conceito que sera

usado no trabalho.

1.1 Postulados

O formalismo da Mecanica Quantica e a estrutura matematica em que sao postulados

os conceitos primitivos pelos quais a teoria quantica e fundamentada. A descricao de um

sistema fsico e baseada em dois conceitos fundamentais: estado e observavel.

1.1.1 Estado Fsico de um sistema

A MQ e fundamentada em que um vetor de estado | descreve totalmente um sistemafsico. Este vetor de estado contem, dentro das limitacoes impostas pelo Princpio de

Heisenberg, a informacao maxima sobre o sistema quantico. De acordo com o postulado:

Postulado 1: A todo sistema fsico existe associado um espaco vetorial complexo

14

com produto interno, chamado espaco de Hilbert, conhecido como espaco dos estados do

sistema, cujos vetores de estados descrevem completamente os estados do sistema.

Os vetores de estados pertencem a um espaco vetorial de dimensao infinita, onde e

definido um produto escalar: uv = vu ,

Para a teoria quantica, e importante para sua interpretacao probabilstica que todos

os vetores da MQ tenham metrica unitaria, ou seja, e necessario que | seja normalizado.Assim, exceto para o ket nulo, um vetor |u pode ser colocado na forma normalizada:

|u = 1uu |u ,

que tem a propriedade de ortonormalidade,

uu = 1.

Ainda, tratando da interpretacao probabilstica da MQ, os vetores tem que ser ortogonais,

uv = 0.

Assim, os vetores da base {|n} sao, simultaneamente, ortonormais e ortogonais : Aprobabilidade de o vetor |u ser ele proprio e 100% e de ser um vetor arbitrario |v ezero. Essa interpretacao pode ser representada por uma delta de Kronecker:

uv = uv =

1, u = v,0, u 6= vA norma tem valor positivo definido,

uu > 0.

Prova:

15

Seja

|u =

.Calculando,

uu = ( )

= + = ||2 + ||2. (1.1)Como

||2 > 0,||2 > 0.

Temos que uu > 0.

Se dois vetores |1 e |2 pertencerem ao espaco de Hilbert, entao qualquer com-binacao linear entre eles, tambem pertencera a H,

| = |1+ |2 ,

onde , C. Essa propriedade e o Princpio da Superposicao aplicada ao espaco deHilbert.

Usando a propriedade de completeza,n

|n n| = 1. (1.2)

Podemos expandir os vetores pertencentes ao espaco de Hilbert, em termos de elementos

de uma base generica {|n}, tambem pertencente ao espaco de Hilbert,

| = 1 |=

n

|n n| |

=n |n

= n |n , (1.3)

onde n =n para n = 1, 2, ..., n.

16

1.1.2 Observaveis

E dito observavel, toda quantidade fsica que se pode medir em um dado sistema, como

por exemplo, a posicao, o momento, a energia, a componente do spin em uma direcao

arbitraria. O conceito de operador esta estritamente relacionado a` medida de observavel.

Na formulacao do formalismo da Mecanica Quantica, os observaveis sao representados

por operadores hermitianos definidos sobre o espaco de Hilbert.

Postulado 2: Qualquer quantidade fsica A mensuravel e descrita matematicamente

por um operador A que atua sobre o espaco de estados do sistema

Matematicamente, representamos o operador, como

A | = | , (1.4)

onde A e o operador que atua em | produzindo um outro vetor | no mesmo espaco.Consideramos que os operadores com interesse fsico sao lineares. Tal que,

A( |1+ |2) = A |1+ A |2 , (1.5)

para qualquer , C e |1 , |2 H.Existe uma classe de operadores que desempenham um papel muito importante na

MQ, sao os operadores hermitianos, pois o resultado de sua medida e um valor real.

Definicao: Um operador A e dito hermitiano ou auto-adjunto se

A = A,

isto e, se A for igual a` transposta do conjugado dele.

Temos, assim, que toda quantidade fsica mensuravel A e descrita por um operador

hermitiano A, sendo este operador um observavel pertencente ao espaco de Hilbert.

Algumas propriedade de operador hermitianos conjugados:

1. (A) = A

2. (A) = A

17

3. (A+B) = A +B

4. (AB) = BA

Ha casos na MQ em que os vetores de estado | nao sao alterados sobre a acao dooperador A, isso ocorre quando | e um autovetor (ou autoestado) associado ao operadorA em situacao. Assim, o unico resultado possvel para a medida da quantidade fsica A

e um dos autovalores an do operador A correspondente:

A |an = an |an . (1.6)

Para provar que os autovalores dos operadores hermitianos sao reais, tomamos a cor-

respondencia dual da equacao 1.6, dada por:

an|A = an| an. (1.7)

Multiplicando a eq. 1.7 a` direita por |an, a eq. 1.6 por an| a` esquerda e subtraindo umada outra. Chegamos a:

anan (an an) = 0. (1.8)

Como |an nao e nulo, entaoanan > 0. Assim, temos:

an = an. (1.9)

Operando de forma semelhante para dois autovetores distintos de um operador

anan (an an) = 0. (1.10)

Sendo an 6= an, e concludo queanan = 0, portanto, os autovetores associados a`

diferentes autovalores do operador A sao ortogonais.

Generalizando, para um conjunto de {Ak} de operadores. Uma medida quantica edescrita por um conjunto {Ak} de operadores de medida, atuantes no espaco de Hilbert dosistema observado. Podemos associar um ndice k a cada possvel resultado da medida. Se

18

o estado de um sistema quantico for |, imediatamente antes da medida, a probabilidadede um resultado k ocorrer e dada por:

p(k) = |AkAk | . (1.11)

Apos a realizacao da medida, o novo estado descrito pelo sistema e dado por

| Ak ||AkAk |

(1.12)

Para que p(k) tenha uma interpretacao de probabilidade, os operadores Ak satisfazem

a relacao de completude: k

AkAk = 1. (1.13)

O que expressa o fato de que a soma de todas as probabilidades devera ser igual a 1:k

p(k) =k

|AkAk | = 1. (1.14)

A formulacao dada na eq. (1.11) e similar a`

p(an) = |an |2, (1.15)

que e a probabilidade de obter o autovalor an (por simplicidade trataremos apenas do caso

nao degenerado) numa medida de um observavel A sobre o sistema no estado normalizado

|.Temos que a soma todas as probabilidades do sistema quantico ser encontrado de

alguma maneira equivale a` 1,n

p(an) =n

| an |2 = 1. (1.16)Uma classe muito importe de operadores hermitianos e a dos projetores, dados por

Pi |ui ui|

19

para um sistema puro. E facil demostrar que P e hermitiano para qualquer |u, Pi = P ie sao que e idempotente, Pi = P

2i

Geralmente, e usado a formulacao de vetor de estado | quando se conhece o estadoquantico. No entanto, na MQ ha momentos em que o observador nao consegue descreve

o vetor com que trabalha. Nessa dificuldade, aparece uma classe de operador projecao,

o chamado operador densidade. Assim, o estado fsico do sistema quantico pode ser

completamente descrito por um operador densidade, representado por .

O Operador densidade e uma forma mais conveniente para se descrever um sistema

quantico, o qual o estado nao e completamente definido. Assim, o operador densidade

pode ser definido como

i

pi |i i| , (1.17)

onde seria o somatorio de todos os conjuntos de estados puros |i com probabilidades pisendo i o ndice. Tal formulacao e matematicamente equivalente a` abordagem de vetor

de estado, mas ha casos em que se torna mais conveniente o uso de uma que de outra.

Assim, operadores que podem ser caracterizados como operadores densidade, se satis-

fazer as seguintes condicoes:

1. Condicao sobre o traco: O traco de = 1;

Prova:

tr() =i

pitr(|i i|)

=i

pi

= 1

2. Condicao de positividade: deve ser positivo.

Prova:

20

Seja | um vetor arbitrario no espaco de estados. Entao,

| | =i

pi | |i i| |

=i

pi| | |i |2

0.

Alem, dessas condicoes, o operador densidade por ser um operador projetor deve

satisfazer a seguinte igualdade,

= 2 = .

As medidas dos sistemas quanticos sao descritas por uma colecao de operadores de

medidas {Am}. Esses operadores atuam sobre o espaco de estados do sistema sendomedido. O ndice m faz referencia a um possvel resultado da medida. Se o estado do

sistema imediatamente antes da medida for , a probabilidade de o resultado m ocorrer

sera

p(m) = tr(AmAm) (1.18)

e o estado do sistema apos a medida sera

AmAm

tr(AmAm). (1.19)

Os operadores de medida satisfazem a seguinte equacao de completudem

AmAm = I.

E dito que um sistema quantico cujo o vetor de estado | e conhecido exatamenteesta em um estado quantico puro. Assim, o operador densidade se reduz a`

= | | .

Matematicamente, e possvel determinar se o estado e puro se satisfazer a condicao de

tr(2) = 1.

21

Quando nao e possvel descrever exatamente o sistema fsico, diz-se que e um estado

misto, em que ha um mistura de diferentes estados puros, ou seja, ha uma mistura de

diferentes conjuntos de estados puros.

Em um estado misto temos que:

tr(2) < 1.

1.1.3 Evolucao de um sistema quantico

E importante saber como o sistema evolui no tempo. A lei ou equacao de movimento

que rege a evolucao de vetor de estado no tempo para situacoes nao relativsticas e a

equacao de Schodinger.

Postulado 3: A evolucao temporal do estado de um sistema quantico e descrita pela

equacao de Schodinger:

i~d |dt

= H | . (1.20)

Sendo H o operador Hamiltoniano do sistema e esta associado a` energia total do sistema

fsico em questao. Assim, a equacao, por meio de H, depende do sistema fsico em

consideracao.

Se o hamiltoniano de um sistema for conhecido, sua dinamica sera completamente de-

terminada (em princpio). Geralmente, descobrir o hamiltoniano de um sistema particular

e um pouco complicado.

Sendo o hamiltoniano um operador hermitiano, ele possui uma decomposicao espectral

(retomada no Captulo 04),

H =E

E |E E| , (1.21)

com autovalores E e autovetores |E.No caso de um q-bit, qualquer operador unitario pode ser implementado em sistemas

fsicos reais. Assim, podemos dizer a evolucao de um sistema quantico e descrita por uma

22

transformacao unitaria U:

| = U | . (1.22)

O operador unitario pode ser representado por

U(t) = ei~ Ht = 1 i

~Ht. (1.23)

Quando caracterizamos o estado em termos de operador densidade a evolucao do

sistema e dada por

= UU . (1.24)

1.2 O que e o Bit Quantico?

O bit quantico (q bit) e a unidade de informacao quantica. Os q-bits sao objetosmatematicos com propriedades analogas aos bits1 que e usado na computacao classica. O

qbit pode assumir dois estados fsicos possveis |0 ou |12 que sao chamados de estadosda base. Estes estados da base que sao os mesmo dois existentes do bit, mas em notacao

de Dirac, tem sua representacao matricial dada por

|0 = |+ = 1

0

e |1 = | = 0

1

, (1.25)e formam uma base ortonormal nesse espaco vetorial, sendo |0 e |1 estados da basecomputacional. O qbit podera assumir valores diferentes de |0 e |1, podendo apresentarum estado generico formado pela superposicao dos dois estados da base

| = |0+ |1 =

, (1.26)1Bit (BInary digiT) e a menor unidade que se pode transmitir em computacao classica. Podendo

assumir dois valores mutualmente exclusivos, como por exemplo, positivo ou negativo, verdadeiro ou

falso, representados por 0 e 1.2Notacao utilizada na Mecanica Quantica chamada de notacao de Dirac que e padrao para estados

quanticos.

23

sendo as amplitudes e numeros complexos3. Quando realizamos uma medida sobre

o estado, o processo de medicao destroia superposicao fazendo com que o qbit possa

assumir o estado |0, com probabilidade ||2, ou o estado |1, com probabilidade ||2.Havendo apenas dois valores possveis, |0 e |1, temos entao que

||2 + ||2 = 1. (1.27)

Em virtude de se tratar da soma das probabilidades, a soma resulta em 100% ou 1. Em

outras palavras, a norma do vetor | e dada por | = ||2 + ||2 = 1. (1.28)A superposicao de estados (1.26) possibilita com que o q-bit possa existir em um

estado contnuo entre |0 e |1. Podemos interpretar que, antes de realizar a medida, oq-bit | esta simultaneamente presente nos estados |0 e |1. Tal interpretacao faz comque a quantidade de informacao que pode ser armazenada em um unico q-bit | possa serinfinita. Esse poderde informacao carregado por um q-bit foi muito bem representando

na chamada esfera de Bloch.

Observe que o estado | pode assumir tantos valores possveis quanto pontos presentesna esfera, ou seja, infinitos valores. Assim, era de se esperar que se possa armazenar

uma imensa quantidade de informacao em um unico q-bit. Entretanto, essa informacao

encontrasse a` nvel de interpretacao quantica. No momento em que se realiza a medida,

a informacao colapsara para um dos dois estados possveis |0 ou |1.O qbit devido a sua representacao vetorial em (1.26) pode ser reescrito na sua forma

polar como

| = ei(

cos

2|0+ ei sen

2|1), (1.29)

onde , e sao numeros reais.

Para entender melhor o que foi exposto, imagine que da mesma forma que no expe-

rimento de dupla fenda ha uma indeterminacao, antes da medida, entre qual das duas

3Lembrando que um numero complexo pode ser: z = x + iy, z = x ou z = iy

24

Figura 1.1: Representacao de um q-bit na esfera de Bloch. Imagem retirada do ar-

tigo Motta V. S., Carvalho L. M., Maculan N., Esfera de Bloch: algumas propriedades,

XXVIII-CNMAC, Sao Paulo, 2005.

fendas o eletron passa, nao se pode inferir em qual bit (|0 ou |1) o q-bit | se encontra.Mas, apos a realizacao do procedimento de medicao a funcao de onda colapsara para um

dos dois estados possveis, ou seja, teremos o estado |0 ou o estado |1.

25

Captulo2Emaranhamento Quantico

Neste captulo trataremos do que foi um importante passo na Mecanica Quantica, a

chamada desigualdade de Bell, trabalho este que possibilitou que a Mecanica Quantica

transitasse do campo do pensamento filosofico para o campo operacional, isto e, pudessemos

medir e observar experimentalmente as previsoes teoricas. Mas, antes trataremos de al-

guns acontecimentos relevantes ocorridos no decorrer da historica. Neste captulo, pri-

meiramente, trataremos do famoso artigo feito por Einstein, Podolski e Rosen em 1935[7],

o qual poem em duvida o carater de completeza da Mecanica Quantica. Logo depois,

iremos mostrar a interpretacao dada por Bohm sobre este experimento de pensamento,

fornecendo uma formulacao mais simples, quando trabalhou com um sistema de dois spins.

Finalizamos com a desigualdade de Bell, onde iremos fazer uma construcao para o estado

singleto.

2.1 O que e o Emaranhamento?

Vamos utilizar a definicao formal de emaranhamento usada em [19] para uma per-

cepcao pratica do leitor. Assim, temos que:

Definicao 1: Seja um sistema quantico composto de N subsistemas tal que o espaco

de Hilbert associado a ele e H = Nj=1Hj, onde Hj e o espaco de Hilbert associado a

26

cada subsistema. Se | H e o estado que descreve este sistema, entao ele nao estaemaranhado se, e somente se, podemos escreve-lo na forma fatorada:

| = Nj=1 | ,

onde |j Hj.A definicao acima se aplica apenas para estados puros. Para estados mistos emara-

nhados temos uma formulacao mais geral:

Definicao 2: Seja um sistema quantico composto de N subsistemas descrito por um

operador densidade = Nj=1j, onde j e o espaco de Hilbert formado por todos osoperadores que atuam em Hj. Dizemos que representa um sistema nao emaranhado se,

e somente se, este operador pode ser escrito, para algum k, como uma soma de produtos

diretos:

=ki=1

pi Nj=1 ij,

onde pi > 0,k

i=0 pi = 1 e ij Hj. Observe que quando definimos o emaranha-

mento, na verdade, definimos um estado nao emaranhado ou separavel. Alem disso, essas

definicoes nao sao operacionais para determinar o emaranhamento de um dado sistema,

devido a`s dificuldades da decomposicao de | ou de em uma base separavel. Paracontornar esses problemas varias medidas de emaranhamento foram propostas, entre elas

citamos algumas: o Emaranhamento de Formacao (Concorrencia)[20], a Entropia Relativa

de Emaranhamento[21] e o Emaranhamento Destilavel[22].

2.1.1 O Paradoxo EPR segundo Bohm

Em 1935, Einstein e seus colaboradores Boris Podolski e Nathan Rosen escreveram

um artigo[7] intitulado de Can Quantum-Mechanical description of Physical Reality be

considered complete?, o qual ficou mais conhecido como EPR devido aos seus autores.

Na epoca em que este artigo foi publicado, os conceitos da Mecanica Quantica ja estavam

27

fundamentados, no entanto, um carater em especial incomodava alguns cientistas, dentre

eles, estava A. Einstein, o qual achava que a interpretacao probabilstica da Mecanica

Quantica mostrava que algo faltava a essa teoria.

Este artigo tem um carater historico muito importante, pois possibilitou toda uma

discussao conceitual futura para o surgimento da teoria do emaranhamento quantico.

Nele, os autores propoem um experimento imaginario que argumenta sobre a completude

da teoria quantica.

Para chegar a comprovacao que a MQ seria incompleta, EPR faz duas definicoes muito

importantes: o que seria um elemento de realidade e o que definiria uma teoria completa.

As referencias ([2], [4]) repassam muito bem a ideia do artigo em si, e por isso serao

seguidas aqui.

Pela necessidade de uma especificacao precisa, EPR propuseram um criterio de realidade[4]:

Se, sem de modo algum perturbar o sistema, podemos predizer com certeza (i.e. com

probabilidade 1) o valor de uma quantidade fsica, entao existe um elemento de realidade

fsica correspondente a essa quantidade fsica.

Outro conceito chave no artigo e o que fundamentaria uma teoria completa (Condicao

de Completeza):

Para que uma teoria seja considerada completa, e necessario que todo elemento de

realidade fsica tenha um elemento correspondente na teoria fsica.

Isso quer dizer que cada elemento previsto na teoria da MQ deve ser medido tendo

uma correspondencia com algum elemento de realidade. Portanto, esses foram as duas

consideracoes iniciais feitas no artigo para debater o indeterminismo da MQ, que levam

problemas serios quando levamos em consideracao o Princpio de Incerteza de Heisenberg.

Segundo este princpio de 1927 consideramos:

Se duas quantidades fsicas sao representadas por operadores que nao comutam entre

si, o conhecimento preciso de uma destas quantidades impede que se tenha o conhecimento

da outra.

28

Assim, EPR[7] argumentou que,

Ou (1) a descricao quantica da realidade dada pela funcao de onda e incompleta, ou

(2) quando tomamos operadores correspondentes a duas grandezas fsicas e esses opera-

dores nao comutam, entao essas grandezas fsicas nao podem ter realidades simultaneas.

Se (1) for falso entao (2) tambem e falso [4]. Portanto, (1) deve ser verdadeiro,

a teoria quantica embora forneca previsoes corretas, deve ser incompleta. As medidas

devem apenas revelar estados ja pre-existentes, ainda nao descritos pela teoria. Ou, se

admitirmos a MQ como sendo uma teoria completa, ou seja, as quantidades fsicas que o

princpio de incerteza se refere deve ser conhecidas, levando a conhecer, simultaneamente,

as duas quantidades fsicas, violando assim o princpio.

Alem, de definir o que e elemento de realidade e completeza, EPR faz uma hipotese

de localidade crucial para o problema:

Nao existe acao a distancia, ou seja, se dois pontos estao afastados espacialmente,

nao pode haver nenhuma influencia imediata entre eles.

Assim, pela condicao de localidade, as medicoes realizadas em um sistema nao podem

afetar a` distancia, elementos de realidade relacionados em um outro sistema.

David Joseph Bohm, em 1951, tratou o problema de EPR de uma maneira muito

mais simples[11], considerando um arranjo no qual os estados de spin das partculas estao

correlacionados, sendo que o spin total e zero. Esse estado e chamado de singleto |.Dado por:

= 12

(|01 |12 |11 |02) , (2.1)

A medida na direcao z pode ser realizada para cada uma das partculas de Stern-

Gerlach. Supondo que se realiza uma medida na direcao z para a partcula 1 fornecer o

autovalor +1, o estado final de 2.1 e duzido para

|F = |0 |1 . (2.2)

29

Figura 2.1: Figura retirada do livro Conceitos de Fsica Quantica - Volume IIde Osvaldo

Jr. Estado de singleto de duas partculas de spin 1/2.

Assim, para este estado o autovalor fornecido pela medicao da partcula 2 sera necessa-

riamente 1. Este estado garante que o autovalor de uma partcula 1 seja oposto ao dapartcula 2, pois estao anti-correlacionadas.

Supondo agora que o aparelho de Stern-Gerlach tenha sido preparado para uma direcao

x. Assim, ao inves de escrever o estado em termos de z devemos reescrever os auto-estados

para a direcao x. No entanto, no Apendice D e mostrado que mesmo qualquer que seja

a direcao a adotada no aparelho de Stern-Gelarch, o resultado estao anti-correlacionados.

Por esse motivo, e dito que o estado singleto possui uma anti-correlacao perfeita. Caso o

sinal fosse alterado para +, o estado perderia essa simetria.

2.1.2 Correlacao de spins

Vamos admitir, agora, que o observador e livre para orientar em direcoes arbitrarias

cada um dos dois aparelhos de Stern-Gerlach. Sendo assim, temos , a matriz de Pauli, e

a e b (ou, simplesmente, a e b) as direcoes dos spins das partculas 1 e 2, respectivamente.

Os produtos escalares((1).a

)e((2).b

)serao as projecoes desses spins na direcoes a e

b.

Adotamos, o eixo do sistema de coordenadas na origem da fonte e o parametro de

direcao sera o eixo z, usado para medir as projecoes dos spins.

30

Figura 2.2: Figura retirada do livro Conceitos de Fsica Quantica - Volume IIde Os-

valdo Jr. Arranjo experimental com analisadores de Stern-Gerlach para a derivacao da

desigualdade de Bell para direcoes arbitrarias.

Supondo o seguinte operador

((1).a

) ((2).b) , (2.3)onde

((1).a

)e o operador que mede a projecao do spin da partcula 1 em uma direcao

arbitraria a e((2).b

)e a projecao da partcula 2 na direcao b. Assim, o operador ( 2.3 )

relaciona a interacao entre o spin 1 na direcao a com o spin da partcula 2 orientado em

b.

Partindo de um posicionamento muito importante, o de que a MQ deve ser capaz de

reproduzir resultados previstos da realidade fsica. Assim, o valor esperado para a equacao

(2.3) e considerada como uma medida de correlacao dada por

P (a,b) = ((1).a) ((2).b) , (2.4)

que, na verdade, e o valor medio esperado do produto tensorial((1).a

)((2).b) entre osoperadores que projetam os spins das duas partculas nas suas respectivas direcoes, com

o sistema que se encontra no estado |. A matriz da direita operara no estado | ea da esquerda no conjudado do vetor de estado , representado por |.

Vamos calcular o valor esperado da eq. (2.4), em termos da matriz de Pauli que pode,

facilmente, ser mudada para valores de spins por meio da relacao

31

=2

~S. (2.5)

Substituindo o estado singleto da eq. (2.1) na eq. (2.4) acima, temos

P (a,b) = ((1).a) ((2).b) [ 1

2(|01 |10)

]. (2.6)

E agora, o conjugado hermitiano correspondente ao | dado por

P (a,b) =

[12

(01| 10|)] ((1).a

) (2.7)((2).b

) [ 12

(|01 |10)],

ou ainda

P (a,b) =1

2(01| 10|) ((1).a) ((2).b) (|01 |10) . (2.8)

Fatorando os estados

P (a,b) =1

2(0|1 1|2 1|1 0|2)

((1).a

) (2.9)((2).b

)(|01 |12 |11 |02) .

P (a,b) =1

2

(0|1 ((1).a) 1|2 1|1 ((1).a) 0|2) (2.10)(|01 ((2).b) |12 |11 ((2).b) |02) .Obtendo

32

P (a,b) =1

2

[0|((1).a

)|0 1|

((2).b

)|1 (2.11)

1|((1).a

)|0 0|

((2).b

)|1

0|((1).a

)|1 1|

((2).b

)|0

+ 1|((1).a

)|1 0|

((2).b

)|0]. (2.12)

Sendo o produto escalar (1).a que nos fornece a projecao do spin na direcao a, da

forma

(1).a = xax + yay + zaz,

ou ainda,

(1).a =( 0 1

1 0

)ax +

( 0 ii 0

)ay +

( 1 00 1

)az (2.13)

(1).a =

az ax iayax + iay az

. (2.14)Vamos determinar os termos para a partcula 1:

0| ((1).a) |0 = ( 1 0 ) az ax iay

ax + iay az

10

=

(az ax iay

) 10

= az. (2.15)

33

1| ((1).a) |0 = ( 0 1 ) az ax iay

ax + iay az

10

=

(ax + iay az

) 10

= ax + iay. (2.16)

0| ((1).a) |1 = ( 1 0 ) az ax iay

ax + iay az

01

=

(az ax iay

) 01

= ax iay. (2.17)

1| ((1).a) |1 = ( 0 1 ) az ax iay

ax + iay az

01

=

(ax + iay az

) 01

= az. (2.18)

Sendo o produto escalar da partcula 2 semelhante ao da primeira,

(2).b =

bz bx ibybx + iby bz

(2.19)em termos de representacao geral. Obteremos uma representacao familiar ao da partcula

1 para a partcula 2:

0| ((1).b) |0 = bz, (2.20)1| ((1).b) |0 = bx + iby, (2.21)0| ((1).b) |1 = bx iby, (2.22)1| ((1).b) |1 = bz. (2.23)

34

Substituindo os termos encontrados na medida de correlacao:

P (a,b) =1

2[azbz (ax + iay)(bx iby) (ax iay)(bx + iby) azbz] .

=1

2[2azbz (axbx iaxby + iaybx + ayby) (axbx + iaxby iaybx + ayby)] .

=1

2[2axbx 2ayby 2azbz] .

= [axbx + ayby + azbz] .= a.b. (2.24)

Se as duas grandezas fossem medidas na mesma direcao com valores unitarios, sendo

a = b, teramos

P (a,b) = cos(a,b) = 1 (2.25)

Isso mostra que, em uma dada direcao arbitraria, a direcao do operador que mede a

projecao do spin da primeira partcula tera um valor oposto ao da segunda partcula:

((1).a

)= ((2).b) (2.26)

Ha a possibilidade[14], em um instante t, de se realizar uma medida em z na partcula

1, e dessa forma, haveria nesse instante t o elemento do realidade para a partcula 2, nessa

direcao. Ou, neste mesmo instante t, o aparelho de Stern-Gerlach poderia ser orientado

para realizar uma medida em x no spin da partcula 1, passando a existir no instante t o

elemento de realidade para a partcula 2 em x1. Considerando o princpio de localidade,

a escolha de realizar a medicao em z ou a em x, nao poderia afetar instantaneamente

1E importante lembrar que o observador podera realizar medida nao apenas nestas tres direcoes, mas

tambem em qualquer direcao arbitraria. Encontrando, assim, um elemento de realidade para qualquer

direcao arbitraria.

35

os valores dos observaveis da partcula 2. Assim, os elementos de realidade em x e z

coexistiriam simultaneamente no instante de tempo t, o que nao e previsto pelo formalismo

da Mecanica Quantica. Por essa argumentacao, a MQ seria uma teoria incompleta.

Figura 2.3: Figura retirada do livro Conceitos de Fsica Quantica - Volume IIde Osvaldo

Jr. Escolha da direcao para realizar a medicao no Stern-Gerlach.

2.2 Desigualdade CHSH por Bell

Bohm chamou a atencao para a natureza nao classica observada nas correlacoes entre

spins de uma molecula[11]. Pelas suposicoes de EPR e Bohm, a descricao provida pela

funcao de onda seria incompleta, e isso devia ao fato de existir variaveis que ainda nao se

tinham conhecimento na MQ e que dariam a` teoria um carater determinstico. Haviam

teorias propostas na epoca que tentavam complementar a teoria com variaveis ocultas,

entre elas uma proposta por Bohm em 1952[12], quando ainda se acreditava no teorema

proposto por von Neumann como prova contra esta teoria. A teoria de variaveis ocultas

(TVO) tem como finalidade, suplementar a MQ, de modo a torna-la completa. Em geral,

sao todas realista e assumem um carater determinista.

Em 1964, J. S. Bell [13] analisando o trabalho feito por Bohm a respeito do artigo de

EPR, conseguiu chegar a` uma desigualdade que trouxe a possibilidade de medir experi-

mentalmente problemas de carater fundamental na MQ que antes se encontravam apenas

na area de discussoes filosoficas. Bell mostrou que a teoria quantica e incompatvel com

36

as teorias de realismo locais. Utilizando o mesmo estado usado por Bohm, um estado

singleto como definido anteriormente.

Porem, essa desigualdade possui uma limitacao severa, pelo fato do uso essencial da

existencia de anticorrelacao perfeita entre o resultados obtido entre a direcao de dois

subsistemas, tornando sua aplicacao bem restritiva[27]. Assim, tal limitacao foi resol-

vida por Clauser, Horne, Shimony e Holt em 1969[25], obtendo uma nova desigualdade

com hipoteses menos restritivas, chamada de desigualdade CHSH devido seus autores.

Bell([28], [26]), em 1971, rededuziu essa desigualdade com um metodo mais cuidadoso

para as hipoteses envolvidas.

Uma TVO na MQ diz que o vetor de onda | nao e o bastante para descrever osistema fsico, havendo variaveis adicionais necessarias para incorporar a` teoria. Assim,

para medir um observavel A, o conhecimento de | e bastariam para fornecer umunico resultado na medicao. O conjunto de todos os atributos ocultos das duas partculas

sera representado por com um domnio que adicionado a` teoria, tornaria-a completa.

Ao estado quantico vamos atribuir uma distribuicao de probabilidade (), que podemos

nos referir como sendo uma distribuicao de ignorancia. Sendo a normalizacao,

()d = 1. (2.27)

Os resultados das medidas dos operadores que medem as projecoes dos spins das

partculas 1 e 2,((1).a

)e((2).b

), devem ser determinados, nao apenas pelas direcoes

de orientacoes, a e b, mas tambem por . Assim, a medida de((1).a

)para a primeira

partcula depende de (a, ) e a medida de((2).b

)da segunda partcula de (b, ). Tendo,

A e B a nova representacao dos operadores que atuarao na partcula 1 e 2, respectiva-

mente. Sendo os resultados possveis para as medicoes deles 1:

A(a, ) = 1, (2.28)B(b, ) = 1. (2.29)

37

Pela condicao de localidade, o resultado da medida de A ao medir o spin da partcula 1,

sera determinado exclusivamente pela direcao de a e , e o resultado de B, exclusivamente

por b e . Ou seja, o resultado de A nao dependera da orientacao b, nem o resultado de

B dependera de a.

Vamos supor agora que os proprios instrumentos usados na experimentacao contenham

em si variaveis ocultas que poderao influenciar nas medidas, como o caso de . O conjunto

de todas essas propriedades ocultas dos aparelhos sera representada por s e possuira um

domnio S. Alem das direcoes, a e b, e das variaveis escondidas das partculas, , os

resultados das medidas tambem dependerao de s.

A(a, , s) = 1, (2.30)B(b, , s) = 1. (2.31)

Sendo s as propriedades dos instrumentos ligados a partcula 1 e s os da partcula 2.

Essa escolha deu a possibilidade de termos um carater mais local ao indeterminismo no

sistema de medida. Permite ainda que os aparelhos de deteccao nao registrem nenhum

dos dois valores possveis 1, nesse caso atribui-se valor nulo. Tendo em vez do que setem em (2.30) e (2.31), a forma

A(a, , s) 1, (2.32)B(b, , s) 1. (2.33)

Essas relacoes servirao de bases para o restante das deducoes.

Agora, atribumos ao estado uma nova distribuicao de probabilidade mais ampla que

a anterior. Sendo a distribuicao de probabilidade das variaveis ocultas para a primeira

partcula, (a, , s). Ela e normalizada:

S

(a, , s)dsd = 1. (2.34)

38

E a distribuicao para a segunda partcula, (b, , s), sendo normalizada:

S

(b, , s)dsd = 1. (2.35)

A princpio, as distribuicoes de probabilidades 2.34 e 2.35 sao grandezas fatoraveis,

uma vez que podemos considerar o objeto de medida como, inicialmente, independente

do aparelho que realiza tal medicao:

(a, , s) = (a, s)(), (2.36)

(b, , s) = (b, s)(). (2.37)

Novamente, pela definicao de localidade, supomos que (a, s) e (b, s) possuem valores

independentes. Sendo que a distribuicao (a, s) para o aparelho 1 nao dependa de b, bem

como a distribuicao (b, s) do aparelho 2 nao tenha nenhuma dependencia com a direcao

de a.

Os valores esperados para A(a, , s) e B(b, , s) sao calculados por meio da distri-

buicao de probabilidade dos estados das duas partculas:

A(a, )

=

S

(a, s)A(a, , s)ds (2.38)B(b, )

=

S(b, s)B(b, , s)ds (2.39)

Calculando o valor esperado de((1).a

) ((2).b) dado agora porA(a, )B(b, )

, (2.40)

temos a possibilidade de se calcular as previsoes que a teoria quantica faz, sendo assim,

uma funcao de correlacao dada pelo produto dos valores medios dos dois aparelhos. Como,

pela suposicao feita anteriormente, o valor esperados de cada aparelho nao esta ligado ao

outro de nenhuma forma, dado pela condicao de localidade, podemos dizer que

39

P (a,b) =A(a, )B(b, )

=A(a, )

B(b, )

. (2.41)

Ou seja,

P (a,b) =

S

S

()(a, s)A(a, , s)(b, s)B(b, , s)ddsds (2.42)

Afim de nao carregar tanta notacao, simplificaremos a notacao das equacoes (2.38)

e (2.39) por A e B, respectivamente, que e a integracao sobre as variaveis ocultas dos

aparelhos,

P (a,b) =

()A(a, )B(b, )d (2.43)

Supondo que se possa reorientar tanto o aparelho 1, com a finalidade de medir o spin da

primeira partcula em uma outra direcao arbitraria a, quanto a direcao do aparelho 2 para

medir o spin da segunda partcula em uma direcao b qualquer. Isso e possvel, pelo fato

de Bell trabalhar em termos de valores medios, podendo, apos efetuar experimentacoes

com os instrumentos nas posicoes a e b, obtendo P (a,b), e depois, variando as orientacoes

em direcoes arbitrarias, encontrando novas funcoes de correlacao correspondentes a estes

novos pares de direcoes.

Calculando, a funcao de correlacao variando a direcao do aparelho 2, medindo o spin

da partcula 2, temos

P (a,b) =

()A(a, )B(b, )d. (2.44)

Subtraindo (2.43) e (2.44), temos

P (a,b) P (a,b) =

()A(a, )B(b, )d

()A(a, )B(b, )d. (2.45)

Somando e subtraindo pela expressao

()A(a, )B(b, )A(a, )B(b, )d

40

na eq. (2.45). Temos

P (a,b) P (a,b) =

()A(a, )B(b, )d

()A(a, )B(b, )d

+

()A(a, )B(b, )A(a, )B(b, )d

()A(a, )B(b, )A(a, )B(b, )d.

P (a,b) P (a,b) =

()A(a, )B(b, )[1 A(a, )B(b, )]d

()A(a, )B(b, )[1 A(a, )B(b, )]d (2.46)

Usando a desigualdade triangular,

|A B| |A|+ |B|, (2.47)

temos

|P (a,b) P (a,b)|

()A(a, )B(b, )[1 A(a, )B(b, )]d

+

()A(a, )B(b, )[1 A(a, )B(b, )]d (2.48)

|P (a,b) P (a,b)|

()A(a, )B(b, )[1 A(a, )B(b, )] d

+

()A(a, )B(b, )[1 A(a, )B(b, )] d (2.49)

|P (a,b) P (a,b)|

()A(a, )B(b, ) [1 A(a, )B(b, )] d

+

()A(a, )B(b, ) [1 A(a, )B(b, )] d (2.50)

41

Entao, devido a relacao (2.32) e (2.33),

|P (a,b) P (a,b)|

()[1 A(a, )B(b, )] d

+

()[1 A(a, )B(b, )] d. (2.51)

Ja que o produto entre dois valores esperados pode assumir valor maximo +1 ou

mnimo -1, sendo

1 AB 1,

implica que

1 AB = 1 AB. (2.52)Usando a relacao acima, podemos reescrever (2.51) como sendo

|P (a,b) P (a,b)|

()[1 A(a, )B(b, )]d

+

()[1 A(a, )B(b, )]d. (2.53)

|P (a,b) P (a,b)| 2

()d

()A(a, )B(b, )d

()A(a, )B(b, )d.

Obtendo

|P (a,b) P (a,b)| 2 [P (a,b) + P (a,b)] , (2.54)

ou ainda,

|P (a,b) P (a,b)|+ P (a,b) + P (a,b) 2. (2.55)

Usando 2.52 nos leva diretamente a` desigualdade de Bell:

|P (a,b) P (a,b)|+ |P (a,b) + P (a,b)| 2. (2.56)

Essa desigualdade semelhante a deducao original de CHSH, considera correlacoes en-

volvendo de quatro direcoes distintas, a e a para a primeira partcula e b e b para a

42

partcula 2, sendo assim, menos restritiva que a desigualdade de 1964. Dessa forma, caso

algum sistema composto que viole essa desigualdade, S > 2, dizemos que nao satisfaz a

hipotese de localidade de Bell.

Figura 2.4: Sistema de coordenadas assumindo duas novas direcoes em outras medidas

de Bell.

2.2.1 Violacao da Desigualdade pela MQ

Para demonstrar a discordancia com a Mecanica Quantica, iremos atribuir orientacoes

para os detectores (a, a, b, b) no plano zx, formando com o eixo z angulos de npi/4,

n = 0, 1, 2, 3, para o estado singleto, resultando

P (a,b) =

2/2,

P (a,b) =

2/2,

P (a,b) =

2/2,

P (a,b) =

2/2.

Substituindo os valores acima na eq. (2.56), obtemos o valor 2

2, o que viola a

desigualdade.

Nos ultimos 40 anos, a evidencia experimental aumentou enormemente, em particular,

em associar as correlacoes quanticas entre subsistemas ao emaranhamento quantico e sua

43

violacao experimentalmente testavel aos limites que seriam impostos pelas desigualdades

de Bell. Ou seja, estados puros emaranhados violam alguma desigualdade do tipo Bell.

44

Captulo3Aplicabilidade do Emaranhamento

A Teoria de Informacao Quantica busca meios de transmitir mais eficientemente a

informacao de uma regiao do espaco a` outra, usando para isso emaranhamento quantico.

E consenso na literatura que o emaranhamento e algo indispensavel na implementacao

de algortimos quanticos. O emaranhamento e necessario para que protocolos quanticos

sejam mais eficientes que protocolos classicos. Duas aplicacoes sao muito importantes: a

codificacao superdensa[17], a qual condensa a informacao classica enviada, e o teletrans-

porte de estado quanticos[18] que tem como finalidade o envio do estado de uma partcula

entre o emissor e o receptor. Faremos, neste captulo, uma abordagem resumida sobre

Codificacao Superdensa ([3], [19], [16]) e uma sntese do artigo intitulado de Teleporting

an Unknown Quantum State via Dual Classical and Einstein-Podolsky-Rosen Channels,

onde demonstra toda a potencialidade e aplicabilidade dos estados emaranhados.

3.1 Codificacao Superdensa

A codificacao superdensa [3] e um protocolo que permite que observador (Alice), que

pode se encontrar separado por uma grande distancia, possa enviar dois bits classicos de

45

informacao a outro observador (Bob), utilizando um unico q-bit1.

Para a realizacao do procedimento, Alice e Bob, necessitam compartilhar um canal

quantico, o qual a informacao sera transmitida. Vamos considerar que esse canal seja o

estado emaranhado, + = |00+ |112

. (3.1)

O primeiro bit pertence a` Alice e o segundo esta com Bob,

+ = |0A |0B + |1A |1B2

. (3.2)

Nao ha a necessidade de os dois observadores se encontrar para pre-fixar o estado |+.Um terceiro mediador poderia previamente preparar o estado e enviar uma partcula para

Alice e outra para Bob.

Alice operara localmente na sua partcula, gerando um dos quatro estados ortogonais

de Bell. As quatro operacoes unitarias que Alice podera realizar sao:

I+ = + , (3.3)

z+ = , (3.4)

x+ = + , (3.5)

iy+ = , (3.6)

onde I e a matriz identidade e i (i=x, y,z) sao as matrizes de Pauli.

Vamos propor que Alice queira enviar como informacao para Bob, 10. Sendo 1 e 0

a informacao do primeiro e segundo bits. Assim, para Bob decodificar a informacao 10

necessita de uma conversao de codificacao estabelecida por ambos. Usando a conversao

da Tab. (3.1).

Assim, Bob precisa do estado |+ para decodifica a mensagem 10. Operando lo-calmente em sua partcula, Alice por meio da conversao 3.5 transforma o estado |+

1Classicamente, para Alice enviar dois bits de informacao para Bob necessitaria enviar duas partculas

ou entidades fsica a Bob, as quais seriam usadas para codificar a informacao.

46

Estado Conversao

|+ 00| 01|+ 10| 11

Tabela 3.1: A coluna da esquerda associa cada estado de Bell a uma mensagem de dois

bits da coluna da direita.

em |+. Logo em seguida, envia o seu q-bit para Bob. Bob, por sua vez, realiza, emseu sistema composto por duas partculas, uma medida de Bell, descobrindo que Alice o

enviou o estado |+.

Figura 3.1: Retirado da Tese de Doutorado de Gustavo G. Rigolin (IFGW-Unicamp). a)

Alice realiza uma operacao local em seu q-bit, gerando um dos quatro estados de Bell,

e envia o resultado a Bob. b) Bob, realiza uma medida de Bell nos dois q-bits, lendo a

mensagem dos dois bits enviados atraves de um q-bit por Alice.

Podemos observar que Alice conseguiu enviar a informacao de dois bits classicos usando

apenas um unico q-bit. Essa foi a proposta feita por Bennet e Wiesner [17] em 1992,

usando estados quanticos emaranhados para condensar a informacao classica transmitida.

47

3.2 Teletransporte de Informacao Quantica

O Teletransporte Quantico e um processo em que um estado quantico desconhecido

(q-bit) e transmitido de uma regiao (Alice) do espaco para outra (Bob) utilizando um par

de Bell e dois bits de informacao classicos. Isto e, diferentemente do que temos nos livros

de ficcao cientfica, o q-bit nao e desmaterializadoe em seguida materializadoem outra

regiao.

O Teletransporte pode ser colocado formalmente do seguinte modo, Alice possui um

estado quantico arbitrario | e deseja envia-lo a` Bob. A maneira talvez nao mais facil,porem trivial de Bob obter todas as informacoes contidas no sistema | seria se Alicetransportasse a propria partcula ate o local onde Bob se encontra. Agora, caso pretenda

evitar o envio da partcula, Alice tera de agir de outra forma.

Inicialmente, Alice possui uma partcula que e descrita por um estado quantico, cha-

mado de bit quantico ou q-bit, |, e deseja enviar a` Bob. Para tanto, necessita de umcanal comum aos dois. Essa informacao viajara por meio de um dos estados de Bell,

denominado de canal EPR (usaremos o estado singleto, |). Assim, no final da co-municacao o estado | nao mais descrevera uma partcula de Alice, mas uma partculapertencente a` Bob. O estado | original de Alice sera destrudo no processo de medida,obedecendo assim o teorema de nao-clonagem, e ela passara a ter sua partcula descrita

por um dos quatro estados de Bell (| ou |), tratando de uma mistura de emaranha-mento maximo. Porem, como foi dito antes, para Bob poder construir uma replica exata

do sistema quantico |, necessitara de dois canais: um quantico e outro classico. O canalquantico compreende o estado de Bell ou ebit (entangled bit) e o classico esta relacionado

aos dois bits que Alice enviara a` Bob apos a medicao e que viajarao classicamente, pre-

servado a causalidade. Esse processo recebe o nome de Teletransporte Quantico. Vamos

agora demonstrar como transportar um estado quantico de uma partcula de spin-1/2.

Desejamos transmitir o estado quantico | que pertence a` Alice, mas antes devemosdivid-lo em uma parte classica e uma outra nao-classica. E conveniente escrever o estado

48

Figura 3.2: Retirado da Tese de Doutorado de Gustavo G. Rigolin (IFGW-Unicamp).

a) Alice faz uma medida de Bell nos seus dois qbits. b) Alice envia dois bits de in-

formacao a Bob. c) Apos receber a mensagem de Alice, Bob opera localmente em seu

qbit, completando o protocolo.

desconhecido da primeira partcula como

|A =(a |0A + b |1A

), (3.7)

com |a|2 + |b|2 = 1.Primeiramente, e preciso ressaltar que Alice e Bob possuem um par de partculas

emaranhadas, um estado de Bell. Isto e, Alice possui uma partcula e Bob (em outra regiao

do espaco) possui a outra. Juntas, elas formam um estado de Bell (tambem chamado de

e-bit), na figura (3.2), representado pela linha ondulada. O estado de Bell das duas

partculas de spin-1/2 em um estado singleto

= 12

(|0 |1 |1 |0) .

Ou ainda,

49

AAB = 12

(|0A |1B |1A |0B).

Apesar de compartilharem um canal quantico comum que sera usado para o teletransporte,

ainda esse estado de Bell nao possui nenhuma informacao sobre o q-bit |, o qual aindaencontra-se com Alice. Todo o sistema antes da medicao de Alice, compreendendo o q-bit

que Alice quer enviar a` Bob e o canal EPR,

|AAB = |A AB ,

= (a |0+ b |1) 12

(|01 |10) ,

=a2

(|001+ ||010) + b2

(|101+ |110) . (3.8)

E notado que o dois primeiros q-bits pertencem a Alice e o terceiro a Bob (|AAB, A:Alice e B: Bob). Agora, e possvel separarmos a parte pertencente a` Alice e ao Bob. O

produto interno | A | A pode ser reescrito em termos das base de Bell (| e |)obtendo

| = 12

[ (a |0 b |1) + + (a |0+ b |1)+ (a |0+ b |1) + + (a |0 b |1)].

Podendo ser melhor visualizada

|AAB = 12

[AA (a |0B b |1B) + +AA (a |0B + b |1B)+AA (a |0B + b |1B) + +AA (a |0B b |1B)]. (3.9)

Independente do q-bit que Alice possua inicialmente que representa um estado desco-

nhecido |, a probabilidade de alice obter qualquer um dos estados de Bell, apos a medidados dois q-bits que ela possui, e igualmente provavel, cada qual com uma probabilidade

50

Medida de Alice Estado dos tres qbits

| | (a |0 b |1)|+ |+ (a |0+ b |1)| | (a |0+ b |1)|+ |+ (a |0 b |1)

Tabela 3.2: Na primeira coluna os possveis resultados de Alice e na segunda como os tres

q-bits podem ser relacionados.

de 1/4. Apos Alice realizar a medida no seu estado que deseja teletransportar e q-bit

que compartilha com Bob, a partcula de Bob tera sido projetada para qualquer um dos

estados da tabela (3.2). O q-bit de Bob |B esta relacionado de uma maneira bastantetrivial com o estado desconhecido que Alice deseja teleporta-lo.

Alice necessita comunicar classicamente o resultado de sua medida a` Bob que de posse

dessa informacao (os dois bits de informacao fornecidos por Alice), apenas precisara olhar

na Tab. (3.3) em qual estado encontra-se a sua partcula e efetuar uma das 04 (quatro)

operacoes unitarias que necessita para se obter o estado original de Alice. Essas operacoes

unitarias serao realizadas por meio da matriz identidade (I) e as matrizes de Pauli (x e

z). Notemos que no primeiro resultado do estado de Bob |B apenas difere de uma faseglobal do estado desconhecido de Alice |. Agora para os outros tres casos, necessitararealizar rotacoes em torno dos eixos z, x e y, respectivamente, com a finalidade de recuperar

o seu estado |A original de Alice (Veja a Tab. 3.3).Vemos que pelo simples fato de Alice ter comunicado classicamente o resultado de sua

medida a` Bob, podemos realizar um teletransporte preciso em todos os casos, efetuando

rotacoes unitarias para se obter o estado original | de Alice. Caso Bob nao obtivesseos dois bits classicos de Alice, o estado das tres partculas |AAB seria descrito por = | |. Tomando o traco sobre os q-bits pertencentes a` Alice, teremos

51

Medida de Alice Operacao de Bob Q-bit de Bob

| I I(-a|0 b |1)|+ z z(a |0+ b |1)| x x(a |0+ b |1)|+ zx zx(a |0 b |1)

Tabela 3.3: Essas transformacoes unitarias devem transformar o q-bit de Bob em um

replica do estado desconhecido de Alice.

B = Tr1,2[]

= + + ++ + + +

=1

2|0 0|+ 1

2|1 1| . (3.10)

Note que apos a medida na base de Bell feita por Alice, Bob necessita apenas da

informacao classica dos dois bits de Alice para finalizar o protocolo e colapsar para um

dos quatros estados da tab. (3.3). O q-bit de Bob no final do processo nao estara mais

relacionado com os dois q-bits de Alice mostrando que o canal quantico deixa de existir

no final do processo.

No final do processo, o sistema quantico que descreve a partcula de Alice, nao sera

mais o estado desconhecido | original, mas um dos estados maximamente emaranhadosde Bell (| ou |), sem nenhum resqucio do estado original.

52

Captulo4Emaranhamento Termico e Magnetico

O emaranhamento em um sistema de duas partculas foi tratado nos captulos anteriores[19].

Consideraremos este sistema bipartite em um estado quantico puro, isto e, com um isola-

mento perfeito do ambiente. Uma discricao mais realista e quando adotarmos a influencia

de interacoes com o ambiente, e neste caso, consideremos sistemas compostos em estados

mistos, isto e, em uma mistura estatstica de estados quanticos. A descricao de operador

densidade para sistemas bipartites surge naturalmente quando consideramos os efeitos de

temperatura sobre estados quanticos, e neste contexto, a descoberta da existencia de ema-

ranhamento em uma cadeia de spin unidimensional, quando esta se encontra em equilbrio

termico com um reservatorio a temperatura T.

Vamos comecar falando de um modelo de interacao entre spins-1/2, chamado de XYZ

(modelo de Heisenberg anisotropico) sem campo externo, definido pela hamiltoniana:

H =N1i=1

[jx4x

ixi+1 +

jy4y

iyi+1 +

jz4z

izi+1

], (4.1)

onde temos as constantes de acoplamentos: Jx, Jy, Jz e x, y, z as matrizes de Pauli.

Usamos ~ = 1.

53

4.1 Modelo XYZ

Por simplicidade no trabalho algebrico e na manipulacao das matrizes, vamos tra-

balhar com dois spins, N = 2. Com este numero de spins podemos derivar analiticamente

uma expressao entre a quantidade de emaranhamento e a temperatura, alem de estudar

varios casos especiais da literatura. Reescrevendo a hamiltoniana do modelo XYZ, com

ausencia de campo externo, temos:

H =Jx41x

2x +

Jy41y

2y +

Jz41z

2z , (4.2)

O modelo e anisotropico devido aos parametros Jx, Jy e Jz assumirem quaisquer valores.

Podemos reescrever esses parametros de uma forma mais conveniente:

= jx jy, (4.3) = jx + jy, (4.4)

=

. (4.5)

Entao, nossa hamiltoniana fica:

H =Jz41z

2z +

+

81x

2x +

8

1y2y. (4.6)

O parametro e usado para quantificar anisotropia do sistema. Observe que, = 0 e

jz = 0, teremos o modelo XY isotropico. Para = 1 e jz = 0 temos o modelo de Ising.Antes de prosseguir analisando o modelo XYZ, vamos observar como e a atuacao desta

hamiltoniana na base canonica, isto e:

|00 =

1

0

0

0

; |01 =

0

1

0

0

; |10 =

0

0

1

0

; |11 =

0

0

0

1

. (4.7)

Vamos tambem trabalhar como uma notacao compacta, exemplo:(~2z

1 ~2z

2

)|0 |0 = 1

4zz |00 , ~ = 1,

54

Logo, temos:

zz |0 = 1/4 |0 ,zz |1 = 1/4 |1 ,xx |0 = 1/4 |1 ,xx |1 = 1/4 |0 ,yy |0 = 1/4 |1 ,yy |1 = 1/4 |0 , (4.8)

Entao ficamos com a atuacao de H na base canonica:

H |00 = 14

[jz4|00+ (jx jy)

4|11

],

H |01 = 14

[jz4|01+

4|10

],

H |10 = 14

[

4|01 jz

4|10

],

H |11 = 14

[

4|00+ jz

4|11

]. (4.9)

Como podemos observar os estados |00 , |01 , |10 , |11, nao sao autoestados da hamil-toniana de interacao.

Vamos encontrar os quatro autoestados da Halmiltonia (4.2). Usaremos para melhor

estudar e facilitar no estudo do modelo XY Z, como

H =Jz41z

2z +

+

81x

2x +

8

1y2y.

Sendo

= Jx Jy (4.10) = Jx + Jy. (4.11)

55

Vamos calcular a matriz acima. Temos que

zz =

1 00 1

1 00 1

=

1 0 0 0

0 1 0 00 0 1 00 0 0 1

, (4.12)

xx =

0 11 0

0 11 0

=

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

, (4.13)

yy =

0 ii 0

0 ii 0

=

0 0 0 10 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

. (4.14)

De forma que

H =Jz4

1 0 0 0

0 1 0 00 0 1 00 0 0 1

+ +

8

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

+

8

0 0 0 10 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

.(4.15)

56

H =1

4

Jz 0 0 0

0 Jz 0 00 0 Jz 00 0 0 Jz

+1

8

0 0 0 +

0 0 + 0

0 + 0 0

+ 0 0 0

+

+

0 0 0 + 0 0 00 0 0

+ 0 0 0

.to

(4.17)

H =1

4

Jz 0 0 0

0 Jz 0 00 0 Jz 00 0 0 Jz

+1

8

0 0 0 2

0 0 2 0

0 2 0 0

2 0 0 0

.

H =1

4

Jz 0 0

0 Jz 00 Jz 0 0 0 Jz

=

Jz/4 0 0 /4

0 Jz/4 /4 00 /4 Jz/4 0

/4 0 0 Jz/4

. (4.18)

Uma vez, encontrada a matriz que descreve a Hamiltoniana, vamos encontrar os au-

tovalores de energia. Por meio da equacao secular det(H I) = 0 encontramos os 04(quatro) autovalores correspondentes. Calculando

57

det

Jz/4 0 0 /4

0 Jz/4 /4 00 /4 Jz/4 0

/4 0 0 Jz/4

= 0 (4.19)

(Jz4 )det

Jz/4 /4 0

/4 Jz/4 00 0 Jz/4

+

(

4

)det

0 0 /4

Jz/4 /4 0/4 Jz/4 0

= 0 (4.20)(Jz4 )[(

Jz4 )2(

Jz4 )(

4

)2(Jz4 )]

+

(

4

)[(Jz

4 )2(

4

)(

4

)2(

4

)]= 0 (4.21)

(Jz4 )2 [(

Jz4 )2(

4

)2]+

(

4

)2 [(Jz

4 )2(

4

)2]= 0 (4.22)

[(Jz4 )2(

4

)2][(Jz

4 )2(

4

)2]= 0 (4.23)

Para uma solucao diferente da trivial temos duas possibilidades: ou o primeiro colchete

e igual a` zero, ou o segundo e nulo. Assim,(Jz4 )2(

4

)2= 0 (4.24)

58

Jz4 =

4(4.25)

=Jz

4. (4.26)

Obtendo, dois autovalores possveis

+ =Jz +

4, (4.27)

=Jz

4. (4.28)

E tambem, (Jz

4 )2(

4

)2= 0 (4.29)

Jz4 =

4(4.30)

=Jz

4(4.31)

Obtendo

+ = Jz + 4

, (4.32)

= Jz 4

. (4.33)

Apos obter os autovalores, iremos calcular os 04 autoestados correspondentes. Sendo

a funcao de autovalor obtemos a relacao (H ) | = 0, a qual pode ser escrita na suaforma matricial como

59

Jz/4 0 0 /4

0 Jz/4 /4 00 /4 Jz/4 0

/4 0 0 Jz/4

a

b

c

d

=

0

0

0

0

(4.34)

Temos para + :

/4 0 0 /4

0 Jz/2/4 /4 00 /4 Jz/2/4 0

/4 0 0 /4

a

b

c

d

=

0

0

0

0

(4.35)

Chegando no sistema

(4

)a+

(4

)d = 0,(Jz

2

4

)b+

(4

)c = 0,(

4

)b+

(Jz2

4

)c = 0,(

4

)a+

(4

)d = 0.

(4.36)

Da primeira equacao chegamos que a = d. Multiplicando a 2a e a 3a equacao por /4

e (Jz/2/4), respectivamente, obtemos b = 0 e c = 0. Usando a norma

|a|2 + |b|2 + |c|2 + |d|2 = 1,|a|2 + |d|2 = 1,|a|2 + |a|2 = 1,|a| = 1

2,

a =12

= d.

Obtendo,

60

+ =

1/

2

0

0

1/

2

=12

(|00+ |11) . (4.37)

Temos para :

/4 0 0 /4

0 Jz/2 + /4 /4 00 /4 Jz/2 + /4 0

/4 0 0 /4

a

b

c

d

=

0

0

0

0

(4.38)

Chegando no sistema

(4

)a+

(4

)d = 0,(Jz

2+

4

)b+

(4

)c = 0,(

4

)b+

(Jz2

+ 4

)c = 0,(

4

)a+

(4

)d = 0.

(4.39)

Da primeira equacao chegamos que a = d. Multiplicando a 2a e a 3a equacao por/4 e (Jz/2/4), respectivamente, obtemos b = 0 e c = 0. Usando a norma

|a|2 + |b|2 + |c|2 + |d|2 = 1,|a|2 + |d|2 = 1,

|a|2 + | a|2 = 1,|a| = 1

2,

a =12

= d.

Obtendo,

61

| =

1/

2

0

0

1/2

=12

(|00 |11) . (4.40)

Temos para + :

Jz/2 /4 0 0 /4

0 /4 /4 00 /4 /4 0

/4 0 0 Jz/2 /4

a

b

c

d

=

0

0

0

0

(4.41)

Chegando no sistema

(Jz2

4

)a+

(4

)d = 0,(

4

)b+

(4

)c = 0,(

4

)b+

(4

)c = 0,(

4

)a+

(Jz2

4

)d = 0.

(4.42)

Da segunda equacao chegamos que b = c. Multiplicando a 1a e a 4a equacao por /4

e (Jz/2 /4), respectivamente, obtemos a = 0 e d = 0. Usando a norma

|a|2 + |b|2 + |c|2 + |d|2 = 1,|b|2 + |c|2 = 1,|b|2 + |b|2 = 1,|b| = 1

2,

b =12

= c.

Obtendo,

62

+ =

0

1/

2

1/

2

0

=12

(|01+ |10) . (4.43)

Temos para :

Jz/2 + /4 0 0 /4

0 /4 /4 0

0 /4 /4 0

/4 0 0 Jz/2 + /4

a

b

c

d

=

0

0

0

0

(4.44)

Chegando no sistema

(Jz2

+ 4

)a+

(4

)d = 0,(

4

)b+

(4

)c = 0,(

4

)b+

(4

)c = 0,(

4

)a+

(Jz2

+ 4

)d = 0.

(4.45)

Da segunda equacao chegamos que b = c. Multiplicando a 1a e a 4a equacao por/4 e (Jz/2 /4), respectivamente, obtemos a = 0 e d = 0. Usando a norma

|a|2 + |b|2 + |c|2 + |d|2 = 1,|b|2 + |c|2 = 1,

|b|2 + | b|2 = 1,|b| = 1

2,

b =12

= c.

Obtendo,

63

Autovalor Autoestado

+ =Jz+

4|+ = 1

2(|00+ |11)

=Jz

4| = 1

2(|00 |11)

+ =Jz+

4|+ = 1

2(|01+ |10)

=Jz

4| = 1

2(|01 |10)

Tabela 4.1: Na primeira coluna os autovalores de energia da Hamiltoniana e na segunda,

seus correspondentes autoestados de energia.

=

0

1/

2

1/20

=12

(|01 |10) . (4.46)

Sendo

=Jz

4,

=Jz (Jx + Jy)

4,

= (Jx + Jy + Jz)

4.

Quando Jx = Jy = Jz temos o caso isotropico de Heisenberg,

H = J ~S(1).~S(2). (4.47)

O mesmo resultado para o autovalor do estado de energia, = 3/4J , onde o singletoe um autoestado fundamental.

Os resultados sao melhor vistos na tabela 4.1:

64

4.2 Calculo do Operador Densidade para o Estado

Termico

Uma vez, se tratando de um sistema termico, e importante sabermos como o

sistema fsico de duas partculas de spin-1/2 descrito pela Hamiltoniana (4.2) se comporta

quando e sujeito a` uma dada temperatura T.

A matriz densidade , que descreve um sistema em equilbrio termico com um reser-

vatorio a temperatura T

=exp(H/kT )

Z, (4.48)

onde k a constante de Boltzmann (k = 1, 38054 1023J/K) e Z e a funcao de particaodada por1:

Z = Tr {exp(H/kT )} . (4.49)Para calcular o estado termico do sistema em equilbrio a` uma temperatura T, repre-

sentaremos a Hamiltoniana na sua forma diagonal

H =i

i |i i| , (4.50)

onde i representa os autovalores para i = 1, 2, ..., N e |i os autoestados correspondentesa cada i. Nesse caso, a Halmitoniana (4.2) tera 04 autovalores. Assim, temos

H = ++ ++ + + + ++ . (4.51)

Calculando cada componente. Temos

+ + =

1/

2

0

0

1/

2

(

1/

2 0 0 1/

2)

=1

2

1 0 0 1

0 0 0 0

0 0 0 0

1 0 0 1

, (4.52)1Para um melhor entendimento, leia o Captulo 04 sobre Ensemble Canonico de S. R. A. Salinas,

Introducao a` Fsica Estatstica, USP, 2008.

65

=

1/

2

0

0

1/2

(

1/

2 0 0 1/2)

=1

2

1 0 0 10 0 0 0

0 0 0 0

1 0 0 1

, (4.53)

+ + =

0

1/

2

1/

2

0

(

0 1/

2 1/

2 0)

=1

2

0 0 0 0

0 1 1 0

0 1 1 0

0 0 0 0

, (4.54)

=

0

1/

2

1/20

(

0 1/

2 1/2 0)

=1

2

0 0 0 0

0 1 1 00 1 1 00 0 0 0

.(4.55)

Assim, a equacao (4.51) fica

H =+

2

1 0 0 1

0 0 0 0

0 0 0 0

1 0 0 1

+

2

1 0 0 10 0 0 0

0 0 0 0

1 0 0 1

+

++

2

0 0 0 0

0 1 1 0

0 1 1 0

0 0 0 0

+

2

0 0 0 0

0 1 1 00 1 1 00 0 0 0

. (4.56)

66

Calculando a matriz densidade a partir do Hamiltoniano acima, temos

=1

Z

{e+kT2

1 0 0 1

0 0 0 0

0 0 0 0

1 0 0 1

+e

kT

2

1 0 0 10 0 0 0

0 0 0 0

1 0 0 1

+

+e

+kT

2

0 0 0 0

0 1 1 0

0 1 1 0

0 0 0 0

+e

kT

2

0 0 0 0

0 1 1 00 1 1 00 0 0 0

}. (4.57)

Finalmente,

=1

Z

1

2

e

+kT + e

kT 0 0 e

+kT e

kT

0 e

+kT + e

kT e

+kT e

kT 0

0 e

+kT e

kT e

+kT + e

kT 0

e

+kT e

kT 0 0 e

+kT + e

kT

(4.58)

Lembrando que

e

+kT = exp

{ (Jz+4kT

)}= exp

(Jz4kT

),

e

kT = exp

{ (Jz4kT

)}= exp

(Jz+4kT

),

e

+kT = exp

{ (Jz+4kT

)}= exp

(Jz4kT

),

e

kT = exp

{ (Jz4kT

)}= exp

(Jz+4kT

).

Para compactar a notacao, chamamos

=Jz

4kT, =

4kT, =

4kT.

Temos, assim,

67

e

+kT = e,

e

kT = e+,

e

+kT = e,

e

kT = e+.

Desta forma, a matriz densidade assume a forma:

=1

Z

e+e+

20 0 e

e+2

0 e+e+

2ee+

20

0 ee+

2e+e+

20

ee+2

0 0 e+e+

2

. (4.59)

=1

Z

e(e+e)2

0 0 e(ee)

2

0 e(e+e)

2e(ee)

20

0 e(ee)

2e(e+e)

20

e(ee)2

0 0 e(e+e)

2

. (4.60)

Podemos reescrever a matriz densidade em funcao de duas relacoes trigonometricas.

Assim,

=1

Z

e cosh() 0 0 e sinh()

0 e cosh() e sinh() 00 e sinh() e cosh() 0

e sinh() 0 0 e cosh()

. (4.61)

E sendo

68

Z = Tr {exp(H/kT )} ,

= Tr




,= 2(e cosh() + e cosh()). (4.62)

Dessa forma, chegamos a` sua forma explicita:

=1

2(e cosh() + e cosh())




.(4.63)

Este e o operador densidade () na sua forma matricial para uma Hamiltoniana que

descreve um sistema de dois spins sujeito a` um banho termico.

4.3 Quantificando o Emaranhamento por meio da Con-

correncia

Nao existem muitas expressoes analticas que nos fornecem a quantidade de emara-

nhamento de um sistema a partir de um dado estado misto arbitrario[29]. Na literatura

do emaranhamento se descobriu relacoes analticas para o Emaranhamento de Formacao

de sistema bipartites 2x2. Para o caso acima, temos um sistema de dois spins, represen-

tado pelo operador densidade , isto e, um estado misto bipartite. Para estados mistos,

podemos quantificar a correlacao quantica usando a definicao do Emaranhamento de

69

Formacao(EoF)2([20], [23], [24]). A definicao de Concorrencia3 (do ingles, concurrence)

que vamos considerar como um quantificador de emaranhamento, e dada por:

C() = max[0, 1 2 3 4]. (4.64)

Os is sao razes quadraticas dos autovalores da matriz nao-hermitiana, R, em ordem

decrescente. Aqui,

R = , (4.65)

onde

= 2y 2y = (

1y 2y)(1y 2y).

Calculando o complexo conjugado , temos

=1

Z




,

=1

Z




, = (4.66)

Substituindo em ,

2O procedimento algortimo para calcular o Emaranhamento de Formacao para estados de dois q-bits

foi realizado, em 1997, por Hill e Wootters3Concorrencia no sentido de cooperacao, acordo, e nao de competicao.

70

=

0 0 0 10 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

1

Z




0 0 0 10 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

.

=1

Z


0 e sinh() e cosh() 00 e cosh() e sinh() 0


0 0 0 10 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

.

=1

Z




.

Trabalhando com a matriz R

71

R =1

Z2







.

R =1

Z2

e2(cosh2()+sinh2()) 0 0 2e2 cosh() sinh()

0 e2(cosh2()+sinh2()) 2e2 cosh() sinh() 0

0 2e2 cosh() sinh() e2(cosh2()+sinh2()) 0

2e2 cosh() sinh() 0 0 e2(cosh2()+sinh2())

.(4.67)

Considerando as relacoes hiperbolicas abaixo,

cosh2(x) sinh2(x) = 1,

cosh2(x) + sinh2(x) = cosh(2x),

2 cosh(x) sinh(x) = sinh(2x).

Temos

R =1

Z2

e2 cosh(2) 0 0 e2 sinh(2)

0 e2 cosh(2) e2 sinh(2) 00 e2 sinh(2) e2 cosh(2) 0

e2 sinh(2) 0 0 e2 cosh(2)

.

Vamos determinar os seus respectivos quatro autovalores. Logo, temos que

det(R I) = 0,

72

e2 cosh(2)Z2

0 0 e2 sinh(2)Z2

0 e2 cosh(2)

Z2 e2 sinh(2)

Z20

0 e2 sinh(2)Z2

e2 cosh(2)Z2

0e2 sinh(2)

Z20 0 e

2 cosh(2)Z2

= 0.

(e2 cosh(2)

Z2 )det

e2 cosh(2)

Z2 e2 sinh(2)

Z20

e2 sinh(2)Z2

e2 cosh(2)Z2

00 0 e

2 cosh(2)Z2

+

(e2 sinh(2)

Z2

)det

0 0 e

2 sinh(2)Z2

e2 cosh(2)Z2

e2 sinh(2)Z2

0

e2 sinh(2)Z2

e2 cosh(2)Z2

0

= 0.Fazendo as operacoes chegamos em

[(e2 cosh(2)

Z2 )2(e2 sinh(2)

Z2

)2][(e2 cosh(2)

Z2 )2(e2 sinh(2)

Z2

)2]= 0

Considerando a primeira parte igual a` zero. Temos

(e2 cosh(2)

Z2 )2

=

(e2 sinh(2)

Z2

)2,

e2 cosh(2)Z2

= e2 sinh(2)

Z2,

12 =e2

Z2(cosh(2) sinh(2)) .

Sendo

I =12.

73

Temos

I =e

Z(cosh() sinh()) .

Fazendo a segunda parte nula. Temos(e2 cosh(2)

Z2 )2

=

(e2 sinh(2)

Z2

)2,

e2 cosh(2)

Z2 = e

2 sinh(2)

Z2,

34 =e2

Z2(cosh(2) sinh(2)) .

Sendo

II =(34).

Temos

II =e

Z(cosh() sinh()) .

As quatro razes quadradas dos autovalores da matriz R sao

+I = eZ

(cosh() + sinh()),

I = eZ

(cosh() sinh()),

+II = e

Z(cosh() + sinh()),

II = e

Z(cosh() sinh()).

Precisamos colocar os autovalores em ordem decrescente para calcular a concorrencia,

e assim, determinar uma relacao analtica entre a quantidade de emaranhamento e a

temperatura. Contudo, nao e trivial colocar em ordem decrescente I e II , pois e

preciso conhecer os valores de , e para corretamente ordena-los. Ainda assim,

podemos escrever a concorrencia de de forma analtica.

Observe que em (4.64) apenas o 1 e positivo, sendo os demais negativos. Assim,

reescreveremos a eq. (4.64) como:

C() = max[0, 21 Tr(R)], (4.68)

74

sendo 1 a raiz quadrada do maior autovalor de R.

Primeiramente, vamos considerar +I como sendo a maior autovalor tomado a raiz

quadrada. Assim,

C+I () = +I I +II II ,

=2e

Zsinh() 2e

Zcosh(),

=e sinh() e cosh()e cosh() + e cosh()

. (4.69)

Fazendo I como sendo a maior autovalor tomado a raiz quadrada, temos

CI () = I +I +II II ,

= 2e

Zsinh() 2e

Zcosh(),

= e sinh() e cosh()e cosh() + e cosh()

. (4.70)

Fazendo +II como sendo a maior autovalor tomado a raiz quadrada, temos

C+II() = +II +I I II ,

=2e

Zsinh() 2e

Zcosh(),


. (4.71)

Fazendo II como sendo a maior autovalor tomado a raiz quadrada, temos

C+II() = II +I I II ,

=2e

Zsinh() 2e

Zcosh(),


. (4.72)

E importante visualizar que sempre esta sendo considerado apenas as razes como 1,

nao atribuindo os demais s na ordem decrescente.

A Concorrencia e uma funcao que visa quantificar o emaranhamento do sistema assu-

mindo valores entre [0, 1]. Vemos que as equacoes CI e CII assumem valores negativos,

75

entao serao descartadas. Ficamos com as concorrencias C+I e C+II proporcionadas quando

consideramos +I e +II , respectivamente, como sendo a raiz quadrada do maior autovalor

de R.

Se consideramos +I +II temos

+I +II ,+I+II

1,e sinh() e cosh()e sinh() e cosh() 1,

e2+() e0,2 + ( ) 0,

2 ( ). (4.73)

Agora, se considerarmos +I < +II temos

+II+II

< 1,

e sinh() e cosh()e sinh() e cosh() < 1,

e2() < e0,

2 ( ) < 0,2 > ( ). (4.74)

Dessa forma +II dara C1 e +I acarretara em C2. E, assim, a Concorrencia e analiti-

camente escrita da forma:

C =

max{0, C1}, se 2 > || ||,max{0, C2}, se 2 6 || ||. (4.75)onde

C1 =e sinh() e cosh()e cosh() + e cosh()

, (4.76)

C2 =e sinh() e cosh()e cosh() + e cosh()

. (4.77)

76

Podemos escrever, explicitamente, a quantidade de emaranhamento (concorrencia) em

funcao da temperatura T e dos acoplamentos do modelo XYZ, isto e, Jx, Jy e Jz:

C1 =eJz/4kT sinh(Jx+Jy

4kT) eJz/4kT cosh(JxJy

4kT)

eJz/4kT cosh(Jx+Jy4kT

) + eJz/4kT cosh(JxJy4kT

)), (4.78)

C2 =eJz/4kT sinh(JxJy

4kT) eJz/4kT cosh(Jx+Jy

4kT)

eJz/4kT cosh(Jx+Jy4kT

) + eJz/4kT cosh(JxJy4kT

)). (4.79)

4.4 Modelo de Ising

Vamos estudar alguns casos particulares, entre eles o Modelo de Ising. Para de-

terminar como a Hamiltoniana (4.2) ira se reduzir para o modelo de Ising, consideraremos

Jz 6= 0.E quando consideramos para este modelo que Jx = Jy = 0, implica em = = 0,

entao nossa Hamiltoniana de Ising e dada por:

H =

(jz4

)z

1z2, (4.80)

A concorrencia para o modelo de Ising e dada por

C = max

[0,

ejz/4kTejz/4kT + ejz/4kT

]= 0. (4.81)

Portanto, para o modelo de Ising termalizado, em quaisquer temperaturas, nao ha

emaranhamento. Este resultado ja era esperado, pois a hamiltoniana de Ising e diagonal

na base padrao. Quando = = 0 ela e diagonal, isto e, ausencia de correlacao quantica.

Note que a Hamiltoniana para o modelo de Ising e

H =

jz4

0 0 0

0 jz4

0 0

0 0 jz4

0

0 0 0 jz4

=1

Z

e 0 0 0

0 e 0 0

0 0 e 0

0 0 0 e

(4.82)

77

Figura 4.1: Emaranhamento nulo para o modelo de Ising. Grafico da Concorrencia em

funcao do parametro = jz/4kT , Eq. (4.81).

4.5 Modelo XY

Vamos agora discorrer sobre o emaranhamento no modelo XY ou planar. Este

modelo surge quando estamos trabalhando com o acoplamento Jz = 0. Na Hamiltoniana

geral, Eq. (4.2), temos para este caso o acoplamento jz nulo e dois casos a serem analisa-

dos: um isotropico (Jx = Jy = J) e outro anisotropico (Jx 6= Jy). Comecamos a ver estemodelo quando Jx e Jy Jz.

4.5.1 Modelo XY Isotropico

No modelo XY isotropico temos que = = 0 e = J/2kT . E como era

esperado, o parametro que mede a anisotropia do sistema e nulo. Assim,

= 0,

= 0,

Jx JyJx + Jy

= 0,

Jx = Jy = J.

78

A Hamiltoniana fica

H =J

41x

2x +

J

41y

2y ,

=J

4

(1x

2x +

1y

2y

). (4.83)

O operador densidade () para o caso isotropico sera

=1

2(1 + cosh())

1 0 0 0

0 cosh() sinh() 00 sinh() cosh() 00 0 0 1

, (4.84)

lembrando que = J/2kT .

Portanto, analisando a concorrencia da (Eq. (4.75)), a quantidade de emaranhamento

e dada por:

C = max

[0,

sinh( |J |2kT

) 1cosh( J

2kT) + 1

]. (4.85)

Vamos analisar a concorrencia dada pela equacao (4.85). Atraves do grafico (Fig.

(4.2)), observamos que para temperaturas muito baixas o emaranhamento e proximo de

1 e decresce monotonicamente com o aumento da temperatura, ate atingir uma tempe-

ratura crtica Tc, a qual e uma solucao de sinh(|J |/(2kTc)) = 1. Este comportamentoera esperado, visto que, para temperaturas muito baixas teremos uma flutuacao termica

pequena, e consequentemente, nosso emaranhamento quantico e mais preservado dos efei-

tos da temperatura. Quando aumentamos a temperatura, notamos claramente que nosso

estado quantico emaranhado vai se tornando um estado misto (ou mistura estatstica)

sem correlacao quantica entre os dois sub-sistemas, ou em outras palavras, vai deixando

de ser emaranhado.

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