AM 1 Introduction au monde quantiqueLycée Vauvenargues - Physique-Chimie - PTSI 2 - 2020-2021

Contenu du programme officiel :Notions et contenus Capacités exigiblesDualité onde-particule pour la lumière et la matière.Relations de Planck-Einstein et de Louis de Bröglie.

- Évaluer des ordres de grandeurs typiques intervenant dans des phéno-mènes quantiques.- Approche documentaire : décrire un exemple d’expérience mettant enévidence la nécessité de la notion de photon.- Approche documentaire : décrire un exemple d’expérience illustrant lanotion d’ondes de matière.

Interprétation probabiliste associée à la fonctiond’onde : approche qualitative.

- Interpréter une expérience d’interférences (matière ou lumière) « parti-cule par particule » en termes probabilistes.

Inégalités de Heisenberg. - Approche documentaire : comprendre les conséquences d’une inégalitéd’Heisenberg fournie dans une expérience nécessitant une description quan-tique.

Quantification de l’énergie d’une particule libre confi-née 1D.

- Établir le lien qualitatif entre confinement spatial et quantification.

En gras les points devant faire l’objet d’une approche expérimentale.

Table des matières1 Bref historique de la mécanique quantique 12 Dualité onde-particule 3

2.1 L’existence du photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Le comportement ondulatoire de la matière grâce à des expériences de fentes d’Young . . . . 52.3 Relations de Planck-Einstein et de de Bröglie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 La fonction d’onde : interprétation probabiliste de la mécanique quantique 83.1 Interprétation de l’expérience des fentes d’Young avec des électrons . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 La fonction d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.3 L’inégalité de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 Exemple d’une particule confinée 104.1 Vitesse minimale pour la particule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2 Quantification des niveaux d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Ce cours prendra la forme d’un cours inversé. Vous devrez lire les deux premières parties de ce cours avant la séance deprésentation. Au cours de cette séance, nous répondrons collectivement aux questions et exercices inclus dans ce polycopiéet répondrons à vos éventuelles questions posées soulevées lors de votre lecture.

Travail demandé

1 Bref historique de la mécanique quantique

Jusqu’au début du XXème siècle, la physique permet-tait de décrire correctement deux types de phénomènes :le comportement des particules matérielles et lerayonnement. Les particules matérielles sont locali-sées, c’est-à-dire qu’à chaque instant, on peut déterminerprécisément leurs positions et leurs vitesses. De plus si on

connaît la position et la vitesse initiale d’une particule àun instant, la mécanique newtonienne nous permet deconnaitre la position et la vitesse de la particule à toutinstant. Il s’agit de lois physiques déterministes. Lesondes électromagnétiques sont bien différentes car ellesoccupent une partie étendue de l’espace et lors-

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qu’on tente de limiter l’étendue spatiale d’une onde, celleci à tendance à s’étaler : c’est le phénomène de diffrac-tion. Les phénomènes électromagnétiques sont décrits parles équations de Maxwell et la théorie de l’électromagné-tisme.

Le début du XXème siècle fut marqué par deux révo-lutions qui aboutirent à l’introduction de la mécaniquerelativiste et quantique : les lois de la physique clas-sique cessent d’être valables à des vitesses de l’ordre degrandeur de celle de la lumière (domaine relativiste) ouà l’échelle atomique (domaine quantique). Cependant laphysique classique apparaît comme une approximationde ces nouvelles théories valable pour la plupart des phé-nomènes à l’échelle courante. Dans ce cours, nous n’abor-derons pas le domaine relativiste mais nous allons nousconcentrer sur le domaine quantique.

Pour comprendre la genèse de cette théorie, revenonssur l’exemple de la lumière. La nature corpusculairede la lumière est une idée ancienne : Newton (1643-1727)considérait déjà la lumière comme un flot de particules(le mot photon ne fut inventé qu’en 1926). Cependant, lesexpériences d’interférences ou de diffraction ne pouvaients’expliquer qu’à l’aide d’un modèle ondulatoire (tra-vaux de Huygens (1629-1695) puis Fresnel (1788-1827)).Maxwell (1831-1879) formalisa la théorie électromagné-tique de la lumière en y intégrant notamment l’optiquegéométrique (on peut montrer que l’optique géométriqueest une approximation de la théorie électromagnétiquedans le cadre des « faibles » longueurs d’onde).

Cependant cette théorie restait impuissante pour ex-pliquer le rayonnement du corps noir découvert parPlanck en 1900. Einstein résolut le problème en postulantque la lumière était composée de photons d’énergie hν,ce qui remis au goût du jour l’aspect corpusculaire de lalumière. Dans la théorie de Planck-Einstein, l’interactiond’une onde électromagnétique avec la matière se fait parun processus où le rayonnement apparait comme consti-tué de particules : les photons. Ainsi la lumière peutêtre décrite de manière équivalente par une ondeou une particule.

Mais en 1924, Louis de Bröglie (prix Nobel en1929 à 37 ans !) postula que toute particule maté-rielle pouvait également être considérée commeune onde. Cette hypothèse fut vérifiée expérimentale-ment en 1927 par Davisson et Germer (prix Nobel en1937) en réalisant une expérience de diffraction avec desélectrons. La mécanique quantique était née. Commenttraiter la matière ? Comme une onde ou comme une par-ticule ? Aucune théorie connue ne permettait de concilierces deux visions. Il fallu une révolution intellectuelle pourpermettre de mettre au point une nouvelle théorie et yapporter une réponse : la mécanique quantique.

Cette révolution fut notamment menée pas Heisen-berg (prix Nobel en 1932) Schrödinger (prix Nobel en1933) et Dirac (prix Nobel en 1933). Cette théorie, diffi-cile à accepter pour les physiciens, bouleversa totalementnotre façon de voir le monde et n’a actuellement jamaisété mise en défaut.

Max Planck Albert Einstein Louis de Bröglie

Werner Heisenberg Erwin Schrödinger Paul Dirac

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2 Dualité onde-particule2.1 L’existence du photon

I Effet photoélectriqueL’expérience des fentes d’Young, discutée au para-

graphe suivant 2.2 réalisée par Thomas Young en 1802, acontribué à imposer le modèle ondulatoire de la lumièreau XIXème siècle. La question était de savoir si la lumièreétait un ensemble de corpuscules, comme le soutenait parexemple Newton, ou bien une onde. La conclusion de l’ex-périence de Young était formelle : la lumière est une onde.

Ce document présente une première expérience datant dela fin du XIXème siècle qui laisse entendre que la réalitépourrait ne pas être aussi simple.

On peut observer expérimentalement 1 qu’une plaquede zinc initialement chargée négativement se déchargelorsqu’elle est éclairée par un rayonnement ultraviolet.Ce document propose une interprétation simplifiée de ceteffet, découvert en 1887 par Heinrich Hertz.

mA

A

K

lumière

e−

Fig. 1 – Expérience d’effet photoélectrique. Figure de gauche extraite de l’encyclopédie Larousse en ligne,figure de droite extraite de Wikipedia.

On réalise l’expérience schématisée figure 1. Laplaque métallique K est enfermée dans une cellule à videet soumise à un rayonnement de fréquence ν (longueurd’onde c/ν). Le milliampèremètre permet de mettre enévidence la présence d’un éventuel courant électrique par-courant le circuit. Si un courant est observé, cela signi-fie que des électrons sont arrachés à la plaque K par lerayonnement, et sont capturés par l’électrode A qui leurpermet de « rejoindre » le circuit. Le générateur a pourrôle de polariser l’électrode A à un potentiel positif etdonc d’y attirer les électrons éventuellement issus de laplaque K, qui sont a priori émis dans toutes les directions.Les résultats observés sont les suivants :. si la plaque est éclairée par un rayonnement du do-

maine visible, aucun courant n’est observable, et cequelle que soit l’intensité lumineuse émise par lalampe ;

. si la plaque est éclairée par un rayonnement ultra-violet, donc de fréquence plus élevée, alors un cou-rant est systématiquement observé dans le circuit, etson intensité est d’autant plus élevée que l’intensitélumineuse de la lampe est élevée.

Un modèle ondulatoire de la lumière permet d’expliquerpourquoi des électrons sont arrachés à la plaque K, maisprédit qu’il y a d’autant plus d’électrons arrachés que lalampe envoie d’énergie sur la plaque, indépendammentde la fréquence du rayonnement : cette prévision n’estpas en accord avec les résultats de l’expérience.

Einstein interprète cette expérience en 1905 en pos-

tulant que les échanges d’énergie sont quantifiés. Celasignifie que les échanges d’énergie entre l’onde lumi-neuse et les électrons du métal ne se font que par ab-sorption de « paquets élémentaires » d’énergie ε = hνoù h = 6.62× 10−34 J · s est la constante de Planck et νla fréquence du rayonnement. L’interprétation d’Einsteinrepose sur une description de la lumière incidente commeun ensemble de particules qu’il appelle « Lichten Quan-ten » et qui seront baptisés plus tard photons : un photond’un rayonnement de fréquence ν transporte une quan-tité d’énergie ε. L’absorption de lumière par la plaqueest modélisée par une « collision » entre un photon et unélectron, qui permet d’éjecter l’électron hors de la plaquesi le photon a suffisamment d’énergie, c’est-à-dire si safréquence est suffisamment élevée.

L’existence d’une énergie minimale que doit posséderun photon pour arracher un électron peut se comprendrequalitativement en remarquant que l’électron est a prioriempêché de sortir du métal à cause des forces d’attractionexercées par les protons. Pour l’arracher, il faut lui four-nir une énergie minimale W appelée travail d’extraction.Si hν < W , un photon n’a pas assez d’énergie pour arra-cher un électron. Au contraire, si hν > W , alors l’électronpeut être arraché du métal, l’excédent d’énergie lui don-nant une énergie cinétique

Ec = hν −W . (2.1)

Des travaux expérimentaux très soignés de RobertMillikan publiés en 1916 ont permis de confirmer cette

1. Si cela vous intéresse, une vidéo de l’expérience [1] très bien commentée (en anglais) a été réalisée par le STEM NationalCenter.

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théorie. Son travail a consisté à mesurer l’énergie ciné-tique maximale d’électrons issus d’une plaque de sodiuméclairée par des rayonnements de différentes fréquences,comme représenté figure 2. Pour l’anecdote, il semblaittellement inconcevable à Millikan que la lumière puisseêtre constituée de corpuscules qu’il cherchait en fait àmettre la théorie d’Einstein en défaut... c’est finalementla confirmation de Millikan qui permit à Einstein d’êtrerécompensé du prix Nobel en 1921.

Cependant, cette expérience ne permet « que » deconclure à la quantification des échanges d’énergie, maisne permet pas de dire si cette quantification provient durayonnement (ce que postule Einstein) ou de la matière.En d’autres termes, elle ne permet pas de conclure sansambiguïté à l’existence du photon.

Fig. 2 – Résultats expérimentaux de R. Millikan.Figure extraite d’un cours en ligne de l’université duTenessee.

. En modélisant la lumière par une onde, de quoi devrait dépendre l’intensité du courant parcourant le circuit ?

. Indiquer avec précision ce qui contredit ce modèle dans les résultats de l’expérience.

. Expliquer avec vos propres mots l’interprétation d’Einstein.

. Conclure : que montre l’expérience ? que ne montre-t-elle pas ?

Questions

I Preuve du caractère corpusculaire de la lumière,un photon sur une lame semi-réfléchissanteIl a fallu attendre 1977 pour que l’existence du pho-

ton soit prouvée sans ambiguïté par H. Kimble, M. Da-genais et L. Mandel. Leur expérience a consisté à en-voyer de la lumière issue d’une source de faible intensitésur une lame semi-réfléchissante et à mesurer l’intensitélumineuse dans les deux voies de sortie de la lame pardeux détecteurs, comme représenté figure 3. Une lamesemi-réfléchissante, aussi appelée lame séparatrice, est uncomposant optique qui divise un faisceau de lumière endeux parties d’intensité égale : la moitié du rayonnementtraverse la lame, alors que l’autre moitié est réfléchie.

source

lameséparatrice

détecteur 1

détecteur 2

corrélateur

Fig. 3 – Expérience de Mandel

Sans s’attarder sur les détails techniques complexes,on admettra d’une part que les détecteurs 1 et 2 envoientun signal proportionnel à l’intensité lumineuse I1 ou I2qu’ils reçoivent pendant une durée ∆t ; d’autre part quele rayonnement émis par la source est tel que, si la lu-mière se compose de photons, alors il ne peut y avoir quezéro ou un photon qui voyage de la source aux détec-teurs pendant la durée ∆t. Le corrélateur est un dispo-sitif électronique complexe dont le signal de sortie s est

proportionnel à une quantité g(2) appelée paramètre decorrélation entre ses deux voies d’entrée,

s ∝ g(2) = 〈I1 I2〉〈I1〉 〈I2〉

. (2.2)

La notation 〈Ii〉, i = 1 ou 2, désigne la moyenne de l’in-tensité lumineuse Ii lorsque l’expérience « est recommen-cée de nombreuses fois », c’est-à-dire lorsqu’elle dure pen-dant un temps total T beaucoup plus grand que ∆t.

Dans un modèle ondulatoire, la lame semi-réfléchissante divise par deux l’intensité lumineuse dufaisceau : on a tout au long de l’expérience I1 = I2, etdonc

〈I1 I2〉 =⟨I 2

1⟩

= 〈I1〉2 d’où g(2) = 1 . (2.3)

Au contraire, dans un modèle corpusculaire, un photonne peut pas être divisé par la lame semi-réfléchissante :ou bien il est réfléchi, ou bien il est transmis, avec àchaque fois une probabilité 1/2. Compte tenu du fonc-tionnement de la source, on a donc tout au long de l’ex-périence ou bien I1 6= 0 et I2 = 0 si le photon est réfléchi,ou bien I1 = 0 et I2 6= 0 si le photon est transmis. Parconséquent, à tout instant I1 I2 = 0 et le paramètre decorrélation vaut donc g(2) = 0.

En tenant compte des imperfections dans le fonction-nement de la source et des détecteurs pour estimer lesincertitudes de mesure, Mandel et ses collaborateurs ontobtenu

g(2) = 0.2± 0.3 (2.4)

valeur compatible seulement avec le modèle corpuscu-laire : l’existence du photon est ainsi établie. D’autresexpériences, menées en particulier en France par AlainAspect et Philippe Grangier, ont permis de confirmercette nature corpusculaire de la lumière.

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. Déterminer la valeur attendue de g(2) dans les modélisations ondulatoire puis corpusculaire.

. Expliciter pourquoi le résultat de l’expérience est incompatible avec le modèle ondulatoire mais compatible avec lemodèle corpusculaire.

. Conclure : que montre l’expérience ? que ne dit-elle pas ?

Questions

2.2 Le comportement ondulatoire de la matière grâce à des expériences de fentes d’Young

Fig. 4 – Expérience des fentes d’Young. Figure de gauche extraite du cours en ligne de D. Malka, figure dedroite extraite de la version anglaise de Wikipedia.

Comme mentionné précédemment, l’expérience desfentes d’Young a contribué à imposer le modèle ondula-toire de la lumière au XIXème siècle. Ce document pro-pose d’interpréter cette expérience en termes de photons.

I Réalisation avec une source lumineuse intenseL’expérience consiste à éclairer une double fente par

un laser monochromatique. Chaque fente diffracte la lu-mière incidente et émet ainsi un faisceau secondaire delumière. On observe la lumière sur un écran plan situé àune distance D de la double fente. Si l’une des fentes estfermée, on observe une figure de diffraction par l’autrefente, comme représenté figure 4 « single-slit pattern ».Cette figure de diffraction peut s’interpréter ou bien parun modèle ondulatoire, ou bien par un modèle corpuscu-laire : on peut comprendre le phénomène en imaginantdes rebonds des particules sur le bord de la fente.

Ouvrons les deux fentes simultanément. La théoriecorpusculaire classique prédit que l’intensité lumineusetotale est la somme des intensités lumineuses observéesen ouvrant simultanément l’une et l’autre fente : une« bille de lumière » passe par l’une ou l’autre fente, maisne peut pas passer par les deux fentes à la fois. Aucontraire, la théorie ondulatoire prédit des interférencesentre la lumière issue de la fente gauche et la lumière issuede la fente droite. Cela se traduit notamment par la nul-lité de l’intensité lumineuse en certains points de la zonede recouvrement des deux faisceaux, lorsque les interfé-rences sont destructives. Expérimentalement, on observela distribution spatiale de l’intensité lumineuse repré-sentée figure 4, mettant en évidence des zones sombres.Ainsi, l’expérience confirme la théorie ondulatoire maiscontredit un modèle corpusculaire. Cela veut-il dire qu’ilfaut renoncer à la notion de photon ? Certainement pas,mais seulement que le comprendre comme une « bille de

lumière » est trop naïf.

I Réalisation avec une source de photons uniquesPour aller plus loin, étudions une expérience ana-

logue où le laser, source intense, est remplacé par unesource de photons uniques du même type que celle uti-lisée par Mandel et ses collaborateurs pour l’expériencedécrite document 2.1.2. Pour des raisons pratiques, le dis-positif expérimental doit être profondément modifié pourpermettre l’utilisation d’une telle source, et n’utilise plusde « fentes » au sens propre du terme. On se concentredans ce document sur une expérience analogue, décritedans la thèse de V. Jacques.

Fig. 5 – Fentes d’Young avec une source à photonsuniques. Figure extraite de la thèse de V. Jacques.

Des photons, émis par un « centre NV », sont en-voyés en incidence normale sur un biprisme de Fresnel.Une caméra CCD est positionnée dans la zone de recou-vrement des deux fronts d’onde déviés par le biprisme,comme représenté figure 5. Le dispositif est réglé de façonà ce qu’il existe au plus un seul photon dans l’appareilde mesure durant la fenêtre de détection de la caméra.On admettra que ce dispositif est exactement équivalent

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à celui des fentes d’Young éclairées par une source dephotons uniques, le biprisme jouant le rôle de la doublefente.

Le résultat de l’expérience est donné sous forme de2000 clichés, équivalents à la détection d’environ 200 000photons. Ces clichés accumulés ont été mis bout à boutsous forme d’un film, figure 6, qui permet de visuali-ser très clairement la construction photon par photon defranges d’interférences. On observe sur cette vidéo quela détection d’un photon se traduit par l’apparition d’unpoint lumineux sur l’écran : en ce qui concerne la dé-tection, tout se passe comme si la lumière était compo-sée d’objets matériels dont on repérerait les points d’im-pact sur l’écran. En revanche, décrire la répartition de cespoints d’impacts nécessite le modèle ondulatoire, puisquecette répartition est celle d’une figure d’interférences tellequ’elle est observée avec un laser intense. Ainsi, la lumièreprésente une nature mixte, ni complètement ondulatoire,

ni totalement corpusculaire : on parle de dualité onde-corpuscule.

Fig. 6 – Capture d’écran de la vidéo de l’expérience.Une autre vidéo d’expérience d’intéreférence de photonpar photon est disponible ici [2].

. Expliquer avec vos propres mots ce que signifie la dualité onde-corpuscule de la lumière.

. On considère un laser rouge de longueur d’onde λ ≈ 600 nm et de puissance P = 1 mW. Calculer l’ordre de grandeurdu nombre de photons qu’il envoie en ∆t = 10−2 s, c’est-à-dire moins que la persistance rétinienne.

. En déduire comment retrouver le résultat de l’expérience avec un laser à partir des résultats de l’expérience avec photonsuniques.

Questions

I Interférences d’électrons

Il a été montré que la lumière, initialement connueseulement comme une onde, pouvait présenter un com-portement de type particule lorsqu’elle était détectée.Elle présente donc un double caractère : on parle de dua-lité onde-corpuscule. Ce constat amène à se demander sides objets connus comme des corpuscules peuvent éga-lement être décrits comme des ondes. L’expérience dé-crite dans ce document aborde cette question pour desélectrons. Elle a été réalisée en 1989 par les laboratoiresd’Hitachi 2.

Il s’agit d’une expérience de type « fentes d’Young »,schématisée figure 7. Des électrons, émis par une sourceidentique à celle d’un microscope électronique, sont ac-célérés sous une différence de potentiel de 50 kV, puis di-rigés vers un ensemble de trois électrodes. Le flux d’élec-trons émis par la source est contrôlé, de l’ordre de 103

électrons par seconde, ce qui correspond à un courantd’intensité 10−16 A. Une électrode centrale cylindrique,de diamètre inférieur au micromètre, est portée à un po-tentiel supérieur de 10V à celui de deux électrodes planesdisposées latéralement. La distance entre les deux élec-trodes latérales est de 10mm. La distance entre la source

d’électrons et le détecteur est de 1.5m, les électrons sedéplaçant dans le dispositif à environ 108 m/s.

Le faisceau électronique est ainsi divisé en deux fais-ceaux, déviés dans des sens opposés, et se recouvrantdans une zone où un détecteur est placé. En pratique,l’impact d’un électron en un point du détecteur produitde la lumière de fluorescence, qui est ensuite amplifiée etfilmée, ce qui permet de repérer l’impact d’un électron surle détecteur, voir la vidéo et la capture d’écran figure 8.On observe les électrons arriver un par un sur le détec-teur. Cependant, lorsqu’un nombre suffisant d’électronsa atteint le détecteur, on constate qu’ils ne sont pas équi-répartis. La probabilité qu’un électron arrive en un pointdu détecteur est donnée par une figure d’interférences.

Des interférences de même type ont été observéesavec des objets de plus en plus gros : d’abord des neu-trons, puis des atomes de rubidium, et même désormaisdes molécules comme les fullerènes (C60, masse molaire720 g/mol) ou depuis 2012 des colorants de la familledes phthalocyanines 3 (la plus grosse étant de formuleC48H26F24N8O8, masse molaire 1.2× 103 g/mol).

. Sur le schéma de l’expérience, identifier clairement les deux faisceaux qui interfèrent.

. Justifier par un calcul d’ordre de grandeur qu’il ne peut y avoir au plus qu’un seul électron dans le dispositif à chaqueinstant.

. Interpréter le résultat de l’expérience par analogie avec le document précédent sur les fentes d’Young optique. Pourquoiest-il légitime de parler d’onde de matière ?

Questions

2. Article original dont le document est inspiré : A. Tonomura et al. « Demonstration of single electron buildup of aninterference pattern. » American Journal of Physics, volume 57, février 1989.

3. Si cela vous intéresse, voici une vidéo de l’expérience [4].

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source àélectrons accélérateur

électrodes

zone de recouvrementdes faisceaux

détecteur

Fig. 7 – Expérience d’interférences d’électrons.

Fig. 8 – Capture d’écran de la vidéo de l’expérience. Vidéo réalisée par A. Tonomura et ses collaborateursd’Hitachi en 1989 [3].

2.3 Relations de Planck-Einstein et de de Bröglie

Ainsi, tous les objets physiques peuvent être décrits par une onde et par une particule. On parle dedualité onde-corpuscule. Comme pour le photon et l’onde lumineuse, la particule et l’onde de matièredécrivent le même objet physique et leurs propriétés sont donc intimement liées.

Une particule en mécanique classique est décrite en particulier par sa quantité de mouvement #»p = m #»vet par une énergie cinétique. Ces quantités doivent aussi être définies pour un photon, malgré sa massenulle. De même, il est nécessaire de définir une fréquence ou une longueur d’onde pour un objet matériel,permettant ainsi sa description comme une onde. C’est l’intérêt des relations de Planck-Einstein et de deBröglie 4.

Définition. L’énergie du photon est donnée par la relation de Planck-Einstein

Ephoton = hν = hc

λ

avec ν leur fréquence (correspondant à l’onde lumineuse) et h = 6.62× 10−34 J · s la constante de Planck.

Définition. Les relations de de Bröglie indiquent que la quantité de mouvement p d’une particule estdonnée par le relation #»p = ~ #»

k avec ~ = h

2π et #»

k le vecteur d’onde et k = ‖ #»

k ‖ le nombre d’onde del’objet.

. Pour un photon, on a k = 2πλ

avec λ la longueur d’onde de celui ci.

. Pour une particule massive, on a la longueur d’onde de de Bröglie λ = h

p= 2π

kavec p = mv

la quantité de mouvement de la particule.

4. qui se prononce « de Breuille ».

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I Comportement quantique ou non ?

Les comportements ondulatoires de la matière correspondent aux phénomènes quantiques. Or il estévident par l’expérience usuelle de chacun que les comportements quantiques de la matières ne sont pasperceptibles à un niveau usuel. Cela a d’ailleurs été confirmé par la technicité nécessaire des expériencesmettant en évidence le comportement quantique de la matière.

Propriété. Le caractère ondulatoire des particules devient important lorsque les dimensions caractéris-tiques du milieu L deviennent de l’ordre de grandeur, ou inférieur, de la longueur d’onde de de Bröglieλ.

Application 1 : Justifier alors que pour une balle de tennis et pour une voiture en déplacement,les aspects quantiques sont négligeables.

3 La fonction d’onde : interprétation probabiliste de la mécanique quantique3.1 Interprétation de l’expérience des fentes d’Young avec des électrons

Revenons à l’expérience du paragraphe 2.2.3. On réalise l’expérience en envoyant sur les fentes uneparticule à la fois. On enregistre sur l’écran l’impact de la particule après son passage par les fentes. Si lafente 2 est fermée, l’ensemble des particules passant par la fente 1 forme la série d’impacts (1), pr contre, sila fente 1 est fermée, l’ensemble des particules passant par la fente 2 forme la série d’impacts (2). Comme ona affaire à des particules matérielles en laissant les deux fentes ouvertes, on devrait donc observer les deuxséries d’impacts (1) et (2). Or ce n’est pas ce que montre l’expérience : on observe une figure d’interférence.

Série d’impacts (1)

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•••••••••••••

1 ouverte / 2 fermée

Série d’impacts (2)

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•••••••••••••

1 fermée / 2 ouverte••••••••••••••

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••••••••••••••

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1 et 2 ouvertes

Ainsi, si on envoie les particules une par une la série d’impacts obtenue est une figure d’interférence.Plus précisément, l’ensemble des impacts reconstitue la figure d’interférence.

Cependant, la particule doit bien passer par une fente ou l’autre. Pour savoir par quelle fente est passéela particule, on place un détecteur au niveau d’une des fentes. En réalisant cette manipulation, on constatequ’une particule sur deux passe par la fente 1 et une particule sur deux par la fente 2. Mais le plus étrangeest que la figure d’interférence disparaît ! Ainsi, le simple fait de savoir par quelle fente passe les particulesfait disparaître les interférences.

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Fentes 1 et 2 ouvertes avec un dispositif permet-tant de savoir par quelle fente passe les particules

On aboutit à une caractéristique très singulière de la mécanique quantique : effectuer une mesuresur un système perturbe le système. Il s’agit d’une différence importante avec la mécanique classiqueoù nous sommes capable de mesurer une grandeur sans la perturber (si on mesure la vitesse d’une voiturepar exemple, on ne perturbe pas la voiture !).

Il est donc impossible de visualiser la figure d’interférence et de savoir à travers quelle fente les particulespassent. On est donc obligé d’abandonner l’idée qu’une particule passe par une fente déterminée. On remet

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ainsi en cause la notion même de trajectoire. On peut uniquement parler de probabilité de présencedans une zone de l’espace. Ainsi la particule a une probabilité non nulle de passer par la fente 1 et lafente 2 ce qui permet d’obtenir des interférences.

Propriété. La mécanique quantique est probabiliste.

3.2 La fonction d’ondeNous venons donc de voir qu’il n’est pas possible de connaitre exactement la position d’une particule :

il est seulement possible de connaître la probabilité de présence d’une particule dans une zone del’espace.

Propriété. La notion de trajectoire n’existe pas en mécanique quantique. Elle est remplacée par la notionde fonction d’onde, notée Ψ(M, t). Il s’agit d’une fonction complexe régie par l’équation de Schrödinger.Considérons un point M de l’espace et définissons un volume infinitésimal (extrêmement petit) dans sonvoisinage noté dV . La probabilité dP (M) élémentaire de trouver une particule au voisinage de M estdonnée par

dP (M) = |Ψ(M, t)|2 dV .

La fonction d’onde a la dimension L−3/2 et est normalisée, au sens où la particule se situe nécessairementquelque part dans l’espace. On a donc

´́ ´espace dP (M) = 1.

3.3 L’inégalité de HeisenbergDans une description classique, la position et la quantité de mouvement d’une particule matérielle

peuvent être en principe connues avec une précision aussi grande que l’on souhaite, seulement limitéepar la précision intrinsèque des instruments de mesure. En revanche, dans une description quantique, laparticule possède également un caractère intrinsèquement ondulatoire. Comme une onde ne peut pas êtreparfaitement localisée, alors la position et la quantité de mouvement ne sont plus définies avec une précisioninfinie, et ce indépendamment de toute problématique liée à la mesure.

Propriété. Pour une particule repérée par sa position x, et ayant pour quantité de mouvement px = mvx,l’indétermination intrinsèque ∆x sur la position et ∆px sur la quantité de mouvement sont reliées par

∆x∆px ≥~2 . (3.1)

Cette inégalité démontrable par le formalisme de la mécanique quantique est connue sous le nomd’inégalité d’Heisenberg, et peut se généraliser aux trois dimensions de l’espace indépendammentde toute hypothèse sur le mouvement de la particule. Comme le caractère ondulatoire est intrinsèque-ment quantique, on traduit souvent cette inégalité en postulant que si une particule a un comportementquantique alors

∆x∆px ∼ ~ . (3.2)

Application 2 : Considérons le bras automatisé d’un robot chargé d’enfoncer une pièce dans uneautre. La masse de celle ci est de 10 g, la position finale de la pièce doit être précise au dixième demillimètre et la vitesse de la pièce au moment de l’enfoncement est inférieure à un millimètre parseconde. La précision du robot est-elle limitée par la physique quantique ?

Application 3 : Par des techniques de refroidissement laser et confinement magnétique, on peutpiéger un nuage d’atomes de sodium.

B Masse d’un atome de sodium : m = 4× 10−26 kg ;B En étudiant les positions des atomes du nuage, on mesure une dispersion ∆x ∼ 3 µm ;B En étudiant les vitesses de ces atomes, on mesure une dispersion ∆v ∼ 2 mm/s.Peut-on améliorer le piégeage en gardant la même dispersion des vitesses ?

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I Conséquence expérimentale

y

#»p 0

#»p

θ

« écran »L’inégalité d’Heisenberg fournit une interprétation naturelle aux expé-riences de diffraction d’électrons. Intéressons-nous à celle réalisée en 2012par R. Bach et ses collaborateurs 5. Les auteurs avaient pour objectif dereproduire exactement l’expérience des fentes d’Young historique, maisavec des électrons. Les difficultés expérimentales à surmonter expliquentque la réalisation soit si récente. On s’intéresse au passage d’un électronde quantité de mouvement #»p 0 = m #»v 0 au travers d’une fente de largeur adans la direction y.

Initialement, avant le passage par la fente, la quantité de mouvement de l’électron est très bien connuemais sa position ne l’est pas. L’indétermination est donc forte sur la position, et faible sur la quantité demouvement.

Si un électron est détecté sur « l’écran », c’est bien sûr qu’il est passé au travers de la fente, ce quidonne une information sur sa position avec une indétermination d’au plus ∆y ' a. Puisque l’on gagneen information sur la position, il y a nécessairement perte d’information sur la quantité de mouvement py

pour respecter l’inégalité d’Heisenberg. L’indétermination sur la quantité de mouvement est donc

∆py ∼~

∆y ∼~a. (3.3)

En d’autres termes, suite au passage par la fente, différents électrons présentent une quantité de mouvementdifférente en projection sur la direction y, ce qui n’était pas le cas avant la fente où p0,y = 0. Ainsi, py peutprendre toutes les valeurs entre −∆py et +∆py. En considérant des petits angles,

py = p0 sin θ ' p0 θ d’où ∆py ' p0 ∆θ . (3.4)

On aboutit enfin à∆θ ∼ ~

a p0. (3.5)

Comme d’après la relation de de Bröglie p0 = h/λ0 on retrouve alors une relation bien connue,

∆θ ∼ λ0a, (3.6)

qui donne l’ordre de grandeur de la largeur angulaire du cône de diffraction d’une onde de longueur d’onde λ.Ainsi, le principe d’indétermination permet d’interpréter la diffraction des ondes de matière.

Dans le cas de l’expérience mentionnée plus haut, les fentes ont pour largeur 62 nm et le faisceaud’électrons est émis avec une énergie de 600 eV, ce qui correspond à une longueur d’onde de de Brögliede 50 pm. L’ouverture angulaire de la figure de diffraction est prévue comme étant de l’ordre de 8× 10−4 rad.Le dispositif d’acquisition est trop complexe pour être détaillé ici, on admettra que tout se passe commesi la figure de diffraction était enregistrée par une cellule sensible de taille apparente environ 1mm situéeà 25 cm de la double fente. Cette cellule permet d’acquérir un champ angulaire d’environ 4× 10−3 rad, etdonc de voir la figure de diffraction dans son ensemble.

4 Exemple d’une particule confinéeDans cette partie, nous allons discuter du phénomène d’une particule confinée. Le confinement peut

être dû à plusieurs facteurs, par exemple une balle dans un vrai puits, mais pour discuter de phénomènesquantiques, nous devons aller chercher plus petit.

Prenons par exemple un électron confiné dans un puits d’énergie potentielle causé par des forces mé-caniques extérieures. La notion de puits de potentiel sera explicitée plus tard dans l’année, mais d’unecertaine manière, tout se passe comme si la particule était réellement dans un vrai puits constitué de mursinfranchissables. Ce type de modèle permet en première approximation de décrire sommairement pourquoiun électron reste confiné autour d’un noyau dans un atome.

5. Article original dont le document est inspiré : R. Bach et al. « Controlled double-slit electron diffraction. » New Journalof Physics, 13 mars 2013.

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x0 a

Ep

0

•

Fig. 9 – Schématisation d’une particule piégée dans un puits d’énergie potentielle de taille a. Les murs sontinfranchissables et la particule doit nécessairement rester dans le puits.

4.1 Vitesse minimale pour la particule

L’énergie classique d’une particule libre est son énergie cinétique, donnée par Ec = 12mv

2. Tant qu’uneparticule n’est pas en contact avec les bords du puits de potentiel, elle est libre.

Classiquement, une particule peut être immobile et l’énergie minimale de cette particule est donc nulle.Dans le cas quantique, si la vitesse de la particule est nulle, alors la relation d’Heisenberg impose

∆x = +∞, autrement dit la particule est localisée dans tout l’espace, donc totalement délocalisée. C’est iciimpossible car la particule est contrainte de rester dans le puits. Autrement dit, la vitesse de la particuleest nécessairement non nulle.

4.2 Quantification des niveaux d’énergieLa particule est donc nécessairement en mouvement. Elle va donc nécessairement entre en collision sur

les bords du puits. D’un point de vue ondulatoire, on observe donc une superposition de deux ondes sepropageant dans des directions opposées. Par ailleurs, la particule ne peut pas traverser le puits. Nécessai-rement, la fonction d’onde décrivant la particule est nulle sur les deux bords du puits.

On retrouve donc tous les éléments que nous avons décrits dans l’étude de la corde de Melde. Tout sepasse donc comme lors de l’étude de la corde mécanique.

Pour rappel, toutes les vibrations possibles de la corde, ici de la fonction d’onde, peuvent se décomposercomme une sommes des modes propres de la corde. Ces modes propres sont définis par leurs longueursd’onde données par a = nλn

2 avec a la longueur de la corde et n un entier positif non nul.

Ici, la fonction d’onde de la particule piégée est aussi décrite par une superposition de modes propres.

Propriété. Le confinement d’une particule quantique impose l’apparition de modes propres indexés parun entier naturel n. On parle de quantification des modes.

Par ailleurs, l’énergie du mode n s’exprime par la relation

En = 12mv

2n = p2

n

2m = ~2

2mk2n = h2

2mλ2n

= h2n2

8ma2 .

Chaque mode est donc d’une énergie différente. L’énergie totale de la particule se répartit alors surchacun de ces modes. On dit qu’ils sont peuplés.

Références[1] https://www.youtube.com/watch?v=v-1zjdUTu0o

[2] https://www.youtube.com/watch?v=I9Ab8BLW3kA&t=375s

[3] https://www.youtube.com/watch?v=ZJ-0PBRuthc

[4] https://www.youtube.com/watch?v=NUS6_S1KzC8

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