3
y = f (x, y), y(x 0 )= y 0 , x 0 x x 0 + X. (1) [x 0 ,x 0 + h] h X T i (α) [x 0 ,x 0 + h] y(x 0 + αh)= i=0 a i [y]T i (α), Φ(α)= i=0 a i [Φ]T i (α), (2) Φ(α)= F (x 0 + αh)= f ( x 0 + αh, y(x 0 + αh) ) 0 α 1 a i [y]= 2 π 1 0 y(x 0 + αh) α(1 α) T i (α) dα, a i [Φ] = 2 π 1 0 f ( x 0 + αh, y(x 0 + αh) ) α(1 α) T i (α) (3) a i [y]= h 4i ( a i1 [Φ] a i+1 [Φ] ) , i> 0; (4) 1 2 a 0 [y]= y 0 + h 4 a 0 [Φ] 1 2 a 1 [Φ] + h 4 j=2 (1) j 1 j +1 1 j 1 a j [Φ]. (5) k (k + 1)

An approximate method for integration of ordinary differential equations

  • Upload
    s-f

  • View
    214

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: An approximate method for integration of ordinary differential equations

���� �������� �� ��� ������ ��� ���������� �������� ��� ���� ! ��� ""� �#�$�#%� �© &������� '�� ���� ����(��)���� *� ��� +�,� �© (���&�� ������ ����������� -��� ��. ��/�0����-�� ��� "�1�� ��. �� �� ���- �� -�� -�)������� ����� ��������-�� ��-����-� ��� ���� ! ��� ""� %$% �

����� ����������

�� ��������� �� �� ��� ���������� ������� ��������� �������

�� �� ������� � �� ����������� � �� �� ������

������ ���� �� ������ ������ ��������� �����

������� ����� ������� ������ ������

�������� ����� � ���

����������� ���������� �������� ������ �� ������� � ����� ������ �� ����� ������� �� ������� �� ������� �!������ �� ���������" #�� ������ �� ����� �� ��� ������������ �� ��� ������� �������� ��� �� ������� ��������� �����" #�� ���$������ �� ��� ����� �� ��������� �� �� �������������� ���� %�&�� !����� ������"

���� ����������������������

�� ������� �� ����������� ������� ������ �� ������� � �� �� ���!��� ��� ��� �����"��� ������ �������� �������� ��#�������� �$ ������%

y′ = f(x, y), y(x0) = y0, x0 ≤ x ≤ x0 +X. (1)

&�� ������ �� !���� �� ��� ��������� �� ��� ��� ���� �� ��� �� �� ���!��� ��� ��� ���������� ���� '� ���������� ���� ������� (��� )��� ���!����� ����������� *�+� &� � ������ �� ����� ������ ��� ����� ����� �� ����������� ��� '� ���� ��, ����� !� � � ���� ����������� ���� �� ���� �� �$ ������ ��� ��������� ��, �������� ��� ���������� �� ��� ��� ����� ��� ������ ����� ��, �����- "� �� ����� � �� ����������� ��� ������ ��� �� �� ���!���� . ������� � � �� � ���!����� ������ �� ��� ���� � ���������� �� !��� ����/�$ ���������������� �� � � � ����- ! � �� ���� ����� � ���� ������������� �� ��� ������ ����� �� ��� �� ������� �����/���� ���� �� ��� �$ ����� ��� ��� ����� � � ������� ����������� �� ��� ��������� ������ �� �������� ������� ��� �������� �� ��� ��������� ��������� !���" ��� ��� 0 ���( ����� �� ��� ��� ����������������

�� ��������� �� ��� ������ � �!"�# ���� � ���!����$ �� ���� �� ��� ��� ��� ������� �������[x0, x0 + h]- h ≤ X � &�� ��� ������� �� ��� ���������� �� ��� �����/���� ���� �� �$ ����� 1�2 �������� ������ �������� � �� ��� ������ ���� ������� (��� )��� ���!����� ����������� T ∗

i (α) �� ��� �������[x0, x0 + h]- ����-

y(x0 + αh) =

∞∑

i=0

′a∗i [y]T

∗i (α), Φ(α) =

∞∑

i=0

′a∗i [Φ]T

∗i (α), (2)

"���� Φ(α) = F (x0 + αh) = f(x0 + αh, y(x0 + αh)

)- 0 ≤ α ≤ 1 ���

a∗i [y] =2

π

1∫

0

y(x0 + αh)√α(1 − α)

T ∗i (α) dα, a∗i [Φ] =

2

π

1∫

0

f(x0 + αh, y(x0 + αh)

)√α(1− α)

T ∗i (α) dα (3)

1��� ����� ���!�� ���� ��� � � ����� ���� ��� � ����� "��� ��� ����� � �� ��)�� "��� ��� ������������ ��� ���2� &�� ���!����� ��, ����� �� ��� ��������� �� ��� ��� ���� �� ��� �� �� ���!��� ������ �� ������!����� ��, ����� �� ��� �����/���� ���� �� ������ 1�2 �� ��� �����"��� "��%

a∗i [y] =h

4i

(a∗i−1[Φ]− a∗i+1[Φ]

), i > 0; (4)

1

2a∗0[y] = y0 +

h

4

(a∗0[Φ]−

1

2a∗1[Φ]

)+

h

4

∞∑

j=2

(−1)j( 1

j + 1− 1

j − 1

)a∗j [Φ]. (5)

%� �� �$����� �� �&������� �� ��� ���#��� $�"��� �� ���!����$ ���'������ �� ��� �(��)���*��*� �� �����# +�, ��* ���� � � � ������ 1�2 �� !� ��� ��� ����� ���� �� �� ������� ��������������� ��� ��� ���� �� ������ 1�2� 3�����- ��� ����� ����� �� ��� ������ !� ��� k�� ��� (k + 1)�� ������� � ����� ��� ����� ����� �� ��� �� ��� �������� �� 1�2 !� 4��)��5� $ ����� �� ���� �� *�6+ "��� ��� �� �"�

�7�

Page 2: An approximate method for integration of ordinary differential equations

�' �((�)*+%�#, %,#-). )� +'#,/��#+)' �7�

����� ����� �� ����� � ��� "��� k ���/(��� ����� ���� �� ��� �����"��� ��������� ��� ����������� ��� �� ����� ���!����� ��, ����� �� ��� � � ���� Φ(α) 1������� ���� !� a∗i [J̃k]- i = 0, 1, . . . , k2%

a∗i [J̃k] =4

2k + 1

k∑

j=0

′f(x0 + αjh, U

(x0 + αjh; a

∗0[J̃k], . . . , a

∗k[J̃k]

))T ∗i (αj), (6)

"���� α0 = 0- αj =1

2

(1 + cos

(2j − 1)π

2k + 1

)- U

(x0 + αjh; a

∗0[J̃k], . . . , a

∗k[J̃k]

)=

k+1∑

i=0

′a∗i [U ]T ∗

i (αj) ���

J̃k(α) =

k∑

i=0

′a∗i [J̃k]T

∗i (α)� &�� ��, ����� a∗i [U ] ��� �� ����� !� ���� ��� 182- 12 "���� a∗l [Φ] ��� ��

!� ����� �� !� a∗l [J̃k] ��� l = 0, 1, . . . , k- !� a∗l [J̃k] = 0 ��� l > k- ��� a∗i [y] ��� �� !� ����� �� !� a∗i [U ]�9���� ��� ��������� ��� ���������� �� ���!����� ������ ��� 4��)��5� $ ����� �� ���� �� *+- ��� ��

����� � �� ��������� �������� �� ��� ������ δi = a∗i [Φ]−a∗i [J̃k] �� ��� ����������� ���!����� ��, �����

a∗i [J̃k] �� ��� �����/���� ���� �� ������ 1�2- ����- δk = O(hk+1)- δi = O(hk+2)- 0 ≤ i ≤ k−1� '�� ��� ��#���������$ ����� y′ = f(x) "���� �����/���� ���� ���� ��� ������ �� ��� ��$ ���� � � ����- ���� ����� ��� ��� �����δi = O(h2k+1−i)- i = 0, 1, . . . , k�

:�������� 12 ��� � ������ �� �$ ������ ��� ��� ��, ����� a∗i [J̃k] �� ��� ��� ���� a∗i = ϕi(a∗0, a

∗1, . . . , a

∗k)�

;����� ��� l�� �������� �� ��� �� ��� � � ���� ϕi !� ϕli ��� ��� n�� �������� �� ��� �� ��� a∗m[J̃k] !�

anm� &�� ������� �����������∂ϕli

∂anm��� ����� ��� �� ��� h → 0- ������-

∂ϕli

∂anm= O(h)� &��������- ��)��� �

� , ������ ����� ��<� h �� ��� ������� ������� [x0, x0+h]- "� �� ������� ��� � , ���� �������� � ������������ ��� ������/��������� ������ *�+�

-� ���"���� ��� ���#����� �� ��� ��"����� �� ������ � �!"�#�=���� ��� ��� �� �� ��� ���!����� ��, ����� a∗i

[y(x0 + αh)

]= a∗i [U ]- ��� ������� � � �� ��� ������

U(x) = U(x0 + αh) =

k+1∑

i=0

′a∗i [y]T

∗i (α)

����� �� ������� ������������� �� ��� ��� ���� y(x) ≈ U(x) �� ��� ����� x = x0 + αh- 0 ≤ α ≤ 1� >�

����� ���- y(x + h) ≈k+1∑

i=0

′a∗i [y]� >� ���� ��� ��� ����� �� ��� ����������� ��� � U(x0 + h) �� ��� ��� ����

��� ��� ����� O(hk+2)�.� ���#�"��� �2 �� ��������� ��� �������� ��#�������� �$ �����

y′ = λ(y(x)− ϕ(x)

)+ ϕ′(x), ϕ(x) = sinx, λ = −100, 0 ≤ x ≤ xf , xf =

π

2. (7)

&�� ��� ���� �� ���� �$ ����� ��� ��� ���� y(x) = eλx+ϕ(x)� &"� �� ����� "��� �� ��������� ��#���� � ����� !������� �� ��� ��� ���� ��� ����� �� ��� ��������� ������� &�� ������ �� ��� (��� �� ���� 1!� ����������2 τ ≈ 0.05 �� ����������� ���� ���� ���� ��� ��� �� ��� ���� ?� ��� (��� �� ����- ��� �������� �� ������ ���� ������� ���� �� � ���� ����������� ��� !� ���� �������!�� ������ &�� ���������� �� ��� ��� ���� ������� �� �!��� �� ��� � ����� ?� ��� �� ��� �� ����- ��� x > τ ��� ���������� �� ��� ��� ���� �� ����������� ������ �!��� �� ��� � ��� ��� ��� ���� ��� �� ���� ��� ���� "��� ��� ��"/������� � � ���� ϕ(x)� @��!��� 1�2 "������������ !� ���� ���!����� ������� >� ���� ��� "� ��� �(�� ��� �������� �� ��� ����������� ������� [0, xf ]���� � ������ �� ������� �������� �� ������ h ��� ����������� ��� ��� ���� �� �� � ������� �� ��� ���� �� ���(k + 1)�� ������� � � �� ��� ������� &�� �� ������� "��� ��������� "��� � �����( ��� ������� '�� k = 10��� ����� �� ��� ����� �� ��� !� ����� ����� xj = jh- h = 0.01- "�� ������ �$ �� �� <��� "����� �� �����������- �� ��� ��� ����� 10−16610−17� &�� ���� � �� � "�� �������� ���� ��� "���� ����������� ���������&� �- ��� �� ������ �� ��� ��� ���� "��� ��� ���� ���� � �� � ��$ ���� ����� h = 0.01 �� ��� !� ���������� [0, 0.05] ��� �� ����� �� ��� ���� ������ �� ��� ������� [0, xf ]�

>� ��� ����������� �� �$ ����� 1�2 !� ��� ���A�/���!�� =��� ������ �� �����!�� ����� "��� � �����!�� ����*B+ ��� !��� � � ���� �������� ����� �� ��� ����������� ��� ���� �� ��� ���� ����� ��� ��� ����� 10−14610−15

��� ��� ����� �� ��� ����� xf "�� �$ �� �� <���� >� ���� ��� ��� �� ������� "��� ��� ���� � �� � ��$ ������B ����� �� ��� !� ����� ����� [0, 0.05] ��� �8�8 ����� �� ��� ������� [0, xf ]�

� � ����� �� ����� �� ��� � �!�� �� ����� �� ��� !� ����� ����� �� ��� ������ �� ������ ����� �� � ������� �!�� �� �� ������� �� ��� �����/���� ���� �� ��� ������������� �� ��� ��� ���� �� ��� !� ����� �����

%)0�)1 2'+3,�0+#4 %�#-,%�#+�0 5266,#+' 3��" 78 '�" 7 ���

Page 3: An approximate method for integration of ordinary differential equations

�78 ��20-�'4�'� 3)6�-,'09)3�� :�6,#9+'

���� ���� �� =���5� ������ 17� �� ������� �� ��� �����/���� ���� �� ��� ������ �� ������ ������� ���� �� ������� �� =���5� ������2�

>� "� ���� ���� �� )��" ��� ��� ���� � ����� �� ��� !� ����� ����� 1����- �� ��� �� ���� "���� ��� ��� ������ ���������� !� ��� ������ ��������2- ���� � ���� � �� � �� !� �������� �� ��� ������ �� ������ ���� � ������ �������� �� ��� ����������� ������� '�� �������- ��� k = 5 �� �� � , ���� �� ������� ������� h = 0.05 �� �� ����� h = 0.07 �� ����� �� �!���� <��� ����� �� ��� ��� �� ��� �������� xf � '�� h = 0.02��� k = 5 "� ������� �7 ����� ��� ���� �� ������� �� ��� �����/���� ���� �� �!���� <��� ����� �� xf � &��<��� ����� "�� �������� �� =���5� ������ �� �8�8 ����� ��� �7�7 �� ������� �� ��� �����/���� �����

�2 �� ��������� ��� �����"��� ������ �� �������� ��#�������� �$ ������%

y′1 = −1000y1 + 999y2, y′2 = y1 − 2y2, y1(0) = 2, y2(0) = 1. (8)

&�� ��� ���� �� ���� ������ ��� ��� ���� y1 = 0.999e−1001x + 1.001e−x- y2 = −0.001e−1001x + 1.001e−x�&�� !� ����� ����� ��� ��� ������ τ ≈ 0.005 ��� ��� ������ ������� �������� �� ��� ��� ���� �� $ � )�������� �� ��- ��� �������� y1 ��� � ����� ���������� �� �!��� �� ��� �� .���� ������� ���� ��� !� ����������- ��� x > τ ��� ����������� �� ��� ��� ���� �� ��� ��� ����� ��� ���������� !� ��� ����������� e−x� &�����!��� "�� ������ !� ��� ������ �� ���!����� ������ �� ��� ������� [0, xf ]- xf = 0.4- �� ���� ��� "���� ��� ��� �������� �� ��� �������� ���� � ������ �� ������� �������� �� ������ h ��� ����������� ��� ��� ������ �� � ������� !� � (k + 1)�� ������� ���!����� � �� &�� �� ������� "��� ��������� "��� � �����( ���������� '�� k = 10 ��� ����� �� ��� ����������� ��� ���� �� ��� !� ����� ����� ����� xj = jh- h = 0.0005-"��� ������ �$ �� �� <���- �� ��� ��� ����� 10−15� &�� ���� � �� � "�� �������� ���� ��� "���� �������������������� &� �- ��� �� ������ �� ��� ��� ���� "��� ��� ���� ���� � �� � ��$ ���� �� ����� h = 0.0005 ����� !� ����� ����� [0, 0.005] ��� B�� ����� �� ��� ������� [0, xf ]�

>� ��� ����������� �� ������ 1B2 !� ��� ���A�/���!�� =��� ������ �� �����!�� ����� "��� � �����!�� ����*B+ ��� !��� � � ���� �������� ����� �� ��� ����������� ��� ���� �� ��� ���� ����� �� ��� !� ����� �����"�� ������ �$ �� �� <��� 1�� ����� ����� ��� ���� ��� y22- �� ��� ��� ����� 10−14610−15- ��� �� ��� �����xf �� ��� ��� ����� 10−14� >� ���� ��� ��� �� ������� "��� ��� ���� � �� � ��$ ���� ��� ����� �� ���!� ����� ����� [0, 0.05] ��� ��� ����� �� ��� ������� [0, xf ]�

� � ����� �� ����� �� ��� � �!�� �� ����� �� ��� !� ����� ����� �� ��� ������ �� ������ ����� �� ������� � �!�� �� �� ������� �� ��� �����/���� ���� �� ������ 1B2 �� ��� ������������� �� ��� ��� ���� �� ���!� ����� ����� ���� ���� �� =���5� ������ 1���� �� ������� �� ��� �����/���� ���� �� ��� ������ �� ������������� ���� �� ������� �� =���5� ������2�

>� "� ���� ���� �� )��" ��� ��� ���� � ����� �� ��� !� ����� ����� 1����- �� ��� �� ���� "���� ��� ��� ������ ���������� !� ��� ������ ��������2- ���� � ���� � �� � �� !� �������� �� ��� ������ �� ������ ���� � ������ �������� �� ��� ����������� ������� '�� �������- ��� k = 10 �� �� � , ���� �� ������� ������ h = 0.006 �� ����� �� �!���� ��� ����� �� ����� 10−15 �� ��� ����� xf � '�� k = 4 ��� h = 0.004 ������$ ���� ��� ����� ��� ���� �� ������� �� ��� �����/���� ���� �� �!���� ��� ����� �� ����� 10−15 �� �������� xf � &�� ����� �� ����� 10

−14 �� �������� �� =���5� ������ �� ��� ����� ��� ��8 �� ������� �� ��������/���� �����

&�� ��� ��� ��������� �!��� ����" � �� ��)� ��� �����"��� �� � ����� :������������� �� ��� ����� ���������� ��#�������� �$ ������ �� ��� ���� �� ������� � �� �� � ������� ���!����� ������ ����� �� ����������� ������� ������� "��� � ���� � �� �� >� ���� ��� ���� ��� �������� �������� ��� �����!�� "��� ��� ��� ������ ���������� "��� � ������ � �!�� �� ����� ��� ���� "��� � ������ � �!�� �� �� ������� �� ��� �����/�������� ���� �� ��� ���A�/���!�� =��� �������

.�C3?�DE;=4E3&�&�� "��) "�� � ������� !� ��� : ����� '� ������� ��� F��� :����� � 1���0� � ��� ��6��6���7�2�

:E'E:E3�E��" )" 5" ��������� '" +" 3�������&���� ��� 0" �" :����&��� ;����������� �� )�������� ,��������� �� ����������+��������� �� )����� .� ������� ,!�������< 3����" %��&" 2���"� %����" %�&���"� '�" =" =� > ���?"

" 9" +" 5����&�� ����������� � !������� "������� >'�&�� %����@� �A87? B�� ������C"

�" +" (" %�����&�&�� ������ �� !������� ������ >0�"�(������ 2���"� 0�"�(������� �AA8? B�� ������C"

=" 3" (" +�D�� ��� 4" �" 9E������� "��#���� ����������� � !������� "������� >'�&�� '��������&� �A87? B��������C"

F" )" 5" �������� ��� 0" �" :����&��� ;����������� �� %�&��D� G����� �� )�������� ,����������< 3����"%��&" 2���"� %����" %�&���"� '�" 7" �8 > ��A?"

7" 0" �" :����&��� ;%�&��D� '������ +��������� ����� @��� #@� ����� '���� ��� +�� ����������� �� )��������,����������< 3������" %����� � (����" >�?� �=� > ��F?"

H" '" 0" 5�&������� '" (" :���&��� ��� /" %" 9����&��� !������� ������ >5+')%� %����@� ��H? B�� ������C"

8" )" 5" �������� ��� 0" �" :����&��� !������� �������� � $������� %�&������ '(������� ���� �$�)�"!>%����@� 0���� 2���"� %����@� �AA�? B�� ������C"

��������� � � ����������

%)0�)1 2'+3,�0+#4 %�#-,%�#+�0 5266,#+' 3��" 78 '�" 7 ���