Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
สมการเชิงอนุพันธสามัญ
Ordinary Differential Equations
ทบทวน ให ( )f x เปนฟงกชันที่มี เปนตัวแปรอิสระ (ตัวแปรตน) ให x ( )y f x= แลวเราเรียก วา ตัวแปรตาม y
บทนิยาม เราเรียกสมการทางคณิตศาสตรที่แสดงถึงความสัมพันธระหวางตัวแปรตาม ตัวแปรอิสระ(หนึ่งตัวแปร) และอนุพันธของตัวแปรตามเมื่อเทียบกับตัวแปรอิสระ (derivative )หรือ ดิฟเฟอเรนเชียล (differential) วา สมการเชิงอนุพันธสามัญ (ordinary differential equation)
ตัวอยาง ตัวอยางของสมการเชิงอนุพันธ
1. 3dy xdx = 2. 2xdy ydx x− =
3. 2 " 5 ' 3y xy− = 4. 22
22
d y dy x ydxdx⎛ ⎞ 2+ = −⎜ ⎟⎝ ⎠
บทนิยาม เราเรียกอันดับของอนุพันธที่สูงสุดซึ่งปรากฏอยูในสมการเชิงอนุพันธวา อันดับ (order) ของสมการเชิงอนุพันธ และเราเรียกเลขชี้กําลังของอนุพันธอันดับที่สูงสุดซึ่งปรากฏอยูในสมการเชิงอนุพันธ เมื่อจัดรูปแบบของสมการใหเลขช้ีกําลังเปนจํานวนเต็มบวกวา ระดับขั้น (degree)
ตัวอยาง ตัวอยางของอันดับและระดับขั้นของสมการเชิงอนุพันธ
1. 3dy ydx = เปนสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับ 1 ระดับขั้น 1
2. 2
2dy ydx⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
เปนสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับ 1 ระดับขั้น 2
3. 42
22 5d y dyx dxdx⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠
3= เปนสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับ 2 ระดับขั้น 1
4. 22
22
d y x ydx
⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠2 เปนสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับ 2 ระดับขั้น 2
2
หมายเหตุ สัญลักษณของอนุพันธของตัวแปรตามที่ใชกันทั่วไปในสมการเชิงอนุพันธมีหลายแบบ ถาให เปนตัวแปรตามและ แทนตัวแปรอิสระ เราใช y x ( )ny แทน
n
nd ydx
ในกรณีที่ 1, 2n = หรือ เรานิยมใชสัญลักษณ และ แทน 3 ', ''y y '''y
2
2,dy d ydx dx
และ 3
3d ydx
ตามลําดับ
บทนิยาม เราเรียกสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับ วา สมการเชิงอนุพันธสามัญเชิงเสนอันดับ (linear ordinary differential equation of order n ) ถาสามารถจัดสมการใหอยูในรูป
nn
(5.3.1) ( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ... ( ) ' ( ) (n n
n na x y a x y a x y a x y g x−−+ + + + )=
, ,..., ,n na a a a− gเมื่อ , และ เปนฟงกชันที่ขึ้นอยูกับตัวแปรอิสระ เพียงตัวเดียวและนิยามบนโดเมนของ โดยที่
1 1 0 y xy 0na ≠ และเรียกสมการเชิงอนุพันธสามัญ
อันดับ ที่ไมอยูในรูปดังกลาววา สมการเชิงอนุพันธสามัญไมเชิงเสนอันดับ (nonlinear ordinary differential equation of order )
n nn
ตัวอยาง จงพิจารณาสมการเชิงอนุพันธตอไปนี้วาเปนสมการเชิงเสนหรือไม
1. 2 ' ' 5 ' 2y y y+ − = x
=
2. 2 ' ' 5 ' 2xy y xy y+ − =
3. 22 '' 5( ') 2xy y y+ −
24. 2 '' 5(sin ) 'xy x y y+ − =
5. . '' ' 2xy yy y x+ − =
บทนิยาม เราเรียกฟงกชัน ที่สอดคลองกับสมการเชิงอนุพันธสามัญวา ผลเฉลย (solution) ของสมการเชิงอนุพันธ ถาสามารถเขียนผลเฉลยไดในรูป
y
( )y f x= เราเรียกผลเฉลยนั้นวา ผลเฉลยชัดแจง (explicit solution) แตถาเราไมสามารถเขียนในรูปชัดแจงได เราจะเรียกผลเฉลยนั้นวา ผลเฉลยโดยปริยาย (implicit solution)
3
ตัวอยาง จงแสดงวาฟงกชันที่กําหนดโดย 2xy e= สําหรับทุก ๆ จํานวนจริง เปน
ผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ
x
2dy xydx =
วิธีทํา ให 2xy e= จะเห็นวา
2 2 22 2 2x x xdy d de e x xe xydx dx dx= = = =
ทําใหไดวา 2xy e= เปนผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ 2dy xydx =
ตัวอยาง จงแสดงวาฟงกชันที่กําหนดโดย 12y x=−
สําหรับทุก ๆ จํานวนจริง 2x ≠
เปนผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ 2dy ydx =
วิธีทํา
ขอสังเกต เราสามารถตรวจสอบวาฟงกชันที่กําหนดโดย 212y = x เปนผล
เฉลยของสมการ dy xdx = นอกจากนี้สําหรับฟงกชัน 212y x C= + เมื่อ เปนคา
คงตัวใดๆ จะไดเชนกันวา
C
( )212
dy d x Cdx dx= + x= ซึ่งแสดงวา 212y x= +C ก็
เปนคําตอบของ dy xdx = ดวยเชนกัน
4
เราสามารถแบงประเภทของผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธไดเปน 2 ประเภทคือ ผลเฉลยทั่วไป (general solution) และ ผลเฉลยเฉพาะ (particular solution) ซึ่งผลเฉลย
ทั่วไป คือ ผลเฉลยที่มีคาคงตัวปรากฏอยู ตัวอยางเชน 212y x C= + เปนผลเฉลย
ทั่วไปของ dy xdx = สวนผลเฉลยเฉพาะ คือ ผลเฉลยที่เราแทนคาคงตัวดวยจํานวนจริง
ใด ๆ ตัวอยางเชน 212y x= , 21 12y x= + และ 21 32y x= + เปนผลเฉลย
เฉพาะของ dy xdx =
ตัวอยางเชน lny x C= + โดยที่ และ เปนคาคงตัว เปนผลเฉลย
ทั่วไปของสมการ
0 Cx >1x=dy
dx 3 แตถาเรากําหนดให ( )y e = จะได
3 ( ) ln 1y e e C= = + = +C ซึ่งจะไดวา 2C = และทําให ln 2y x= + เปนผล
เฉลยเฉพาะของสมการ 1dydx x=
บทนิยาม ปญหาคาเริ่มตน (initial value problem) ของสมการเชิงอนุพันธสามัญ คือการหาผลเฉลยของสมการบนชวง I โดยที่ผลเฉลยจะสอดคลองกับเงื่อนไข
0 0( )y x y=
เมื่อ และ เปนคาคงตัว เราจะเรียก 0x ∈ I 00y 0( )y x y= วา คาเริ่มตน(initial value)
สมการเชิงอนุพันธแบบแยกตัวแปรได
บทนิยาม เราเรียกสมการเชิงอนุพันธ วา สมการเชิงอนุพันธแบบแยกตัวแปรได (separable differential equations) หรือเรียกสั้นๆวา สมการแบบแยกตัวแปรได (separable equations) ถาสมการสามารถเขียนไดในรูป
( ) ( )dy p x g ydx = หรือ ( ) ( ) 0M x dx N y dy+ =
โดยที่ และ p M เปนฟงกชันตัวแปรเดียวซึ่งมี เปนตัวแปรอิสระ และ และ เปนฟงกชันตัวแปรเดียวซึ่งมี
x g Ny
5
ตัวอยาง จงแสดงวาสมการเชิงอนุพันธ 3dy xydx = เปนสมการแบบแยกตัวแปรได
วิธีทํา
ตัวอยาง จงแสดงวาสมการเชิงอนุพันธ 23
2dy xdx y= โดยที่ 0y ≠ เปนสมการแบบ
แยกตัวแปรได
วิธีทํา
สังเกตวา สมการเชิงอนุพันธ 3dy xydx = + ไมเปนสมการแบบแยกตัวแปรได
ขั้นตอนการหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธแบบแยกตัวแปรได
1. จัดรูปสมการ ( ) ( )dy p x g ydx = ใหมใหอยูในรูป
( ) ( )q y dy p x dx= โดยที่
1( ) ( )q y g y=
2. อินทิเกรตทั้งสองขางของสมการ จะได
( ) ( )q y dy p x dx=∫ ∫
3. เราจะได ( ) ( )Q y P x C= + เปนผลเฉลยของสมการ ( ) ( )dy p x g ydx =
โดยที่ Q และ P เปนปฏิยานุพันธของ และ ตามลําดับ q p
และ C คือคาคงตัว
6
ตัวอยาง จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ 22dy xydx =
วิธีทํา เนื่องจากสมการเชิงอนุพันธที่กําหนดใหเปนสมการเชิงอนุพันธแบบแยกตัวแปรได จึงเริ่มตนขั้นที่ 1 ดวยการเขียนสมการใหมในรูป
21 2dy xdxy
=
ขั้นตอนที่ 2 เราอินทิเกรตทั้งสองขาง จะได
21 2dy xdxy
=∫ ∫
ซึ่งจะได 21 x Cy− = + เมื่อ C เปนคาคงตัว ซึ่งสมมูลกับ 21y
x C= −
+
เพราะฉะนั้นเราไดผลเฉลยของสมการ 22dy xydx = คือ 2
1yx C
= −+
ตัวอยาง จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ dy xdx y=
วิธีทํา
7
ตัวอยาง จงหาผลเฉลยเฉพาะของปญหาคาเริ่มตน ' 2ye y x= เมื่อ (0) 2y =
วิธีทํา
ตัวอยาง จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ sincos xdy xedx =
วิธีทํา
ตัวอยาง จงหาผลเฉลยเฉพาะของปญหาคาเริ่มตน ' 2yy xe x= − , ( ) 0y =π
วิธีทํา
8
สมการเอกพันธุ
บทนิยาม เราเรียกสมการเชิงอนุพันธอันดับหนึ่ง ' ( , )y f x y= วา สมการเชิงอนุพันธแบบเอกพันธุ (homogeneous differential equation) หรือเรียกสั้นๆวา สมการ
เอกพันธุ ถา ' yy Fx
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
เมื่อ เปนฟงกชันตัวแปรเดียว F
ตัวอยาง สมการ dy ydx x= เปนสมการเอกพันธุ เพราะวา ฟงกชัน ( )F u u=
สอดคลองกับเงื่อนไขของบทนิยาม นั่นคือ ' y yy Fx x
⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
ตัวอยาง สมการเชิงอนุพันธตอไปนี้เปนสมการเอกพันธุ
1. 2 2' 2x y y xy= +
2. ' ln ln x yy x yx y+
= − +−
3. ( ) 2 23 2x y dx xydy− + 0=
9
ขั้นตอนการหาผลเฉลยของสมการแบบเอกพันธุ
1. จัดรูปสมการ ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ = (หรือ ' ( , )y f x y= )
ใหมใหอยูในรูป
ydy Fdx x
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
( )∗
2. ให yvx
= ( เปนตัวแปร dummy ) ทําใหได v
2
' ( )xy y F v vdvdx xx
− −= =
หรือ ( )F v vdvdx x
−=
3. จัดรูปสมการใหมเปน
1( ) dv dxF v v x=
−1
4. อินทิเกรตทั้งสองขางของสมการ จะได
1 ln( ) dv x CF v v = +−∫
5. ให เปนปฏิยานุพันธของ ( )Q v 1( )F v v− แลวจะไดวา
lnyQ xx
⎛ ⎞ C= +⎜ ⎟⎝ ⎠
เปนผลเฉลยของสมการ เมื่อ C เปนคาคงตัว ( )∗
10
ตัวอยาง จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ dy x ydx x
+=
วิธีทํา
ตัวอยาง จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ ( )2 2 2y x yx dx x dy+ + =
วิธีทํา
11
ตัวอยาง จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ 2 2
'2
y xyxy+
= เมื่อ (1) 2y = −
วิธีทํา
12
สมการแมนตรง
สัญลักษณ ถา ( , )u x y เปนฟงกชันสองตัวแปร กลาวคือมี และ เปนตัวแปรอิสระ และถา
x y( , )u x y สามารถหาอนุพันธเทีบยกับตัวแปร ได เราจะใชสัญลักษณ x
( , )u x yx∂∂
แทน ( , )d u x ydx
(โดยพิจารณาวา เปนเพียงคาคงตัว) ทํานองเดียวกัน
ถา
y
( , )u x y สามารถหาอนุพันธเทีบยกับตัวแปร ได เราใชสัญลักษณ y ( , )u x yy∂∂
แทน ( , )d u x ydy
(โดยพิจารณาวา เปนเพียงคาคงตัว) x
ตัวอยางเชน 2( , ) 2 1u x y x y x y= + + + จะได ( , ) 2 2u x y xyx∂ = +∂
และ 2( , ) 1u x y xy
∂ = +∂
เปนตน
บทนิยาม เราเรียกสมการเชิงอนุพันธในรูปแบบ
( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ =
วา สมการเชิงอนุพันธแมนตรง (exact differential equation) หรือเรียกสั้นๆวา สมการแมนตรง (exact equation) ถามีฟงกชันสองตัวแปร ( , )u x y ที่ทําให
( , ) ( , )uM x y x yx∂=∂
และ ( , ) ( , )uN x y x yy∂=∂
สําหรับทุกๆ ( , )x y บนโดเมนที่เราสนใจ
ทฤษฎีบท ถา My
∂∂
และ Nx
∂∂
เปนฟงกชันตอเนื่องบนอาณาบริเวณ ในระบบ
พิกัดฉาก แลว สมการเชิงอนุพันธ
R2 ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ = เปนสมการ
แมนตรง ก็ตอเมื่อ
M Ny x
∂ ∂=∂ ∂
สําหรับทุก ( , )x y ใน R
13
ตัวอยาง จงแสดงวา เปนสมการแมนตรง 2 2 0xy dx x ydy+ =
วิธีทํา จาก 2 2 0xy dx x ydy+ = จะได 2( , )M x y xy= และ 2( , )N x y x y= ซึ่ง
มีอนุพันธยอยเปน ( , ) 2M x y xyy∂ =∂
และ ( , ) 2N x y xyx∂ =∂
สําหรับทุก ๆ จํานวน
จริง และ จะเห็นวา x y My
∂∂
และ Nx
∂∂
เปนฟงกชันตอเนื่องบน และ 2
M Ny x
∂ ∂=∂ ∂
ที่ทุกจุดบน ดังนั้น 2 2 2 0xy dx x ydy+ = เปนสมการแบบแมนตรง
โดยทฤษฎีบทขางตน
ตัวอยาง จงแสดงวา เปนสมการแมนตรง 3 23y dx xy dy+ 0=
ขั้นตอนการหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธแมนตรง
ให u เปนฟงกชันซึ่งสอดคลองกับบทนิยาม
1. อินทิเกรต ( , ) ( , )uM x y x yx∂=∂ เทียบกับ เราได x
( , ) ( , ) ( )u x y M x y dx g y= +∫ (1)
โดยที่ g เปนฟงกชันที่มี เปนตัวแปรเพียงตัวเดียวที่สามารถหาอนุพันธได y
2. หาอนุพันธของ u ใน (1) เทียบกับ จะได y
( , ) ( , ) ( , ) '( )uN x y x y M x y dx g yy y∂ ∂= = +∂ ∂ ∫
นั่นคือ '( ) ( , ) ( , )g y N x y M x y dxy∂= −∂ ∫ (2)
3. อินทิเกรต (2) ทั้งสองขาง จะได
( ) ( , ) ( , )g y N x y M x y dx dyy⎡ ⎤∂= −⎢ ⎥∂⎣ ⎦∫ ∫
4. นํา ( )g y ที่ไดแทนใน (1) ทําใหได ( , )u x y และ สมการ ( , )u x y C= เปนผลเฉลยของ ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ = โดยที่ C เปนคาคงตัว
14
หมายเหตุ ในขั้นตอนที่ 1 เราอาจหา u จากการอินทิเกรตทั้งสองขาง
( , ) ( , )uN x y x yy∂=∂
เทียบกับ ทําใหได y
( , ) ( , ) ( )u x y N x y dy g x= +∫
โดยที่ g เปนฟงกชันที่มี เปนตัวแปรเพียงตัวเดียวที่สามารถหาอนุพันธอันดับหนึ่งได จากนั้นดําเนินการขั้นที่ 2 โดยการหาอนุพันธของ u เทียบกับ จะได
xx
( , ) ( , ) ( , ) '( )uM x y x y N x y dy g xx x∂ ∂= = +∂ ∂ ∫
และโดยการจัดรูปสมการใหมแลวอินทิเกรตทั้งสองขางในทํานองเดียวกับขั้นตอนการหาผลเฉลยขั้นที่ 3 และ 4 จะได
( ) ( , ) ( , )g x M x y N x y dy dxx∂⎡ ⎤= −⎢ ⎥∂⎣ ⎦∫ ∫
ทําใหได ( , )u x y ตามที่ตองการ
ตัวอยาง จงหาผลเฉลยของ ( ) ( )2 3 3 2x y dx x dy 0+ + + =
วิธีทํา จาก ( ) จะได ( )2 3 3 2x y dx x dy+ + + 0= ( , ) 2 3M x y x y= + และ ( , ) 3 2N x y x= + ซึ่งจะได
( , ) 3 ( , )M Nx y x yy x∂ ∂= =∂ ∂
สําหรับทุกๆจํานวนจริง และ จะเห็นวา x y My
∂∂
และ Nx
∂∂
เปนฟงกชันตอเนื่องบน
ดังนั้น เปนสมการแมนตรง 2 ( ) ( )2 3 3 2x y dx x dy+ + + 0=
ให ( , ) 0u x y = เปนผลเฉลยหนึ่งของสมการ โดยการอินทิเกรต
( , ) ( , ) 2 3u x y M x y x yx∂ = = +∂
เทียบกับ จะได x
( )( , ) 2 3 ( )u x y x y dx g y= + +∫
15
โดยที่ g เปนฟงกชันที่มี เปนตัวแปรเพียงตัวเดียวที่สามารถหาอนุพันธอันดับหนึ่งได ทําใหได
y
2( , ) 3 ( )u x y x yx g y= + +
จากนั้น เราหาอนุพันธ(ยอย)ของ u เทียบกับ จะได y
( , ) 3 '( )u x y x g yy∂ = +∂
และจาก ( , ) ( , )uN x y x yy∂=∂
จะได
3 2 ( , ) ( , ) 3 '(ux N x )y x y x g yy∂+ = = = +∂
ซึ่งสมมูลกับ '( ) 2g y = และเมื่ออินทิเกรตทั้งสองขาง เราได
1( ) 2g y y C= +
โดยที่ คือคาคงตัว ซึ่งทําให 1C
21( , ) 3 2u x y x yx y C= + + +
ดังนั้น 2
13 2x yx y C+ + + = 2C หรือ 2 3 2x yx y C+ + =
โดยที่ คือคาคงตัว และ เปนผลเฉลยของสมการที่กําหนดให 2C 2C C C= − 1
16
ตัวอยาง จงหาผลเฉลยของ ( ) ( )2 2 0x yy e dx e yx dy+ + + =
17
ตัวอยาง จงหาผลเฉลยของ ( )cos sin ' 0x xy e y x e y y− + + =
18
ตัวอยาง จงหาผลเฉลยของ ( ) ( )2cos sin 3 5 0x y x dx x y dy+ + − + =
19
ตัวประกอบการอินทิเกรต (Integrating factor)
พิจารณาสมการ
2 0ydx xdy+ = (1)
จะเห็นวา ( , ) 2M x y y= และ ( , )N x y x= ซึ่งเปนฟงกชันตอเนื่องและมีอนุพันธ
ยอยเปน ( , ) 2M x yy∂ =∂
และ ( , ) 1N x yx∂ =∂
สําหรับทุกๆจํานวนจริง และ
ทําให
x y
( , ) ( , )M Nx y x yy x∂ ∂≠∂ ∂
ดังนั้น (1) ไมเปนสมการแมนตรง แตถาเราคูณ (1)
ตลอดดวย จะได x
22 0yxdx x dy+ =
ซึ่งเปนสมการแมนตรง เราสังเกตวา
( )2 22d yx yxdx x dy= +
ทําให 2yx =C เปนผลเฉลยของสมการแมนตรง 22 0yxdx x dy+ =
โดยที่ C เปนคาคงตัว และเราสามารถตรวจสอบไดวา 2yx C= เมื่อ เปนผลเฉลยของสมการ (1) ดวยเชนกัน
0x ≠
ในหัวขอนี้เราจะศึกษาสมการที่ไมเปนสมการแมนตรง แตถาเราสามารถหาฟงกชันสองตัวแปรมาคูณตลอดทั้งสองขางของสมการ เพื่อใหสมการใหมที่ไดเปนสมการแมนตรง เราจะสามารถหาผลเฉลยของสมการนั้นไดดวยวิธีการของสมการแมนตรง และเราเรียกฟงก ชันดังกลาวที่จะนําสาคูณวา ตัวประกอบการอินทิเกรต (Integrating factor)
บทนิยาม เราเรียกฟงกชันสองตัวแปร ( , )I x y โดยที่ ( , ) 0I x y ≠ วา ตัวประกอบการอินทิเกรต (integrating factor) ของ ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ = ถา
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0I x y M x y dx I x y N x y dy+ =
เปนสมการแมนตรง
20
ตัวอยาง สมการ 3 2 0ydx xdy+ = ไมเปนสมการแมนตรง แตมี 1( , )I x y xy=
เปนตัวประกอบการอินทิเกรตของสมการ
ขอสังเกต สมการเชิงอนุพันธ ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ = บางสมการอาจมีตัวประกอบการอินทิเกรตมากกวาหนึ่งตัว เชน สมการ 0ydx xdy− = ถานํา
21( , )I x yx
= คูณทั้งสองขางของสมการ จะได
2 0ydx xdyx− =
หรือ ถา 21( , )I x y
x y=
+ 2 จะได 2 2 0ydx xdyx y
− =+
ซึ่งทั้ง 2 สมการเปนสมการ
แมนตรง
ในที่นี้เราจะศึกษาเฉพาะกรณีที่ integrating factor เปนฟงกชันที่มีตัวแปรอิสระเพียงตัวแปรเดียวเทานั้น
ข้ันตอนการหา integrating factor
1. จัดรูปสมการเชิงอนุพันธใหอยูในรูป
( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ =
2. พิจารณา
11 M NK N y x⎡ ⎤∂ ∂= −⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦
และ 21 M NK M y x⎡ ⎤∂ ∂= − −⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦
3. ถา 1K เปนฟงกชันที่มี เปนตัวแปรเพียงตัวเดียว เราให x
1K dxI e∫=
ถา 2K เปนฟงกชันที่มี เปนตัวแปรเพียงตัวเดียว เราให y
2K dyI e∫=
21
ขั้นตอนการหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธไมแมนตรงโดยใช integrating factor
ให I เปน integrating factor ของ
( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ = (1)
1. คูณสมการ ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ = ตลอดดวย I เราได
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0x y M x y dx x y N x y dyµ µ+ = (2)
ซึ่งเปนสมการแมนตรง
2. ใชกระบวนการหาผลเฉลยของสมการแมนตรง ทําใหได
( , )u x y C=
เปนผลเฉลยของ (2) เมื่อ เปนคาคงตัว C
และ สมการ ( , )u x y C= เมื่อ ( , ) 0I x y ≠ เปนผลเฉลยของ (1)
ตัวอยาง จงหาผลเฉลยของ ( )2 22 3 0 ∗ xydx x y dy− − = ( )
วิธีทํา จาก ( )2 22 3xydx x y dy 0− − = จะได ( , ) 2M x y xy= และ 2( , ) 3N x 2y y x= − ซึ่งเปนฟงกชันตอเนื่องและมี
( , ) 2M x y xy∂ =∂
และ ( , ) 6N x y xx∂ = −∂
สําหรับทุกๆจํานวนจริง และ จะเห็นวา x y ( , ) ( , )M Nx y x yy x∂ ∂≠∂ ∂
ทําใหไดวา
ไมเปนสมการแบบแมนตรง ( )∗
เนื่องจาก
1 4M NK M y x⎡ ⎤∂ ∂= − − = −⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦ y
เปนฟงกชันของ เพียงตัวเดียว ทําใหได y
44ln 4dyKdy yyI e e e y
− − −∫∫= = = =
22
เมื่อคูณสมการ ดวย ( )∗ I จะได
2 2
3 432 0x yx dx dy
y y−− = ( )∗∗
ซึ่งเปนสมการแบบแมนตรง และสามารถหาผลเฉลยได
ให ( , ) 0u x y = เปนผลเฉลยของ ( )∗∗ จะไดวา 32( , )u xx yx y
∂ =∂
และ 2 2
43( , ) x yu x yy y
−∂ = −∂
จาก 32( , )u xx yx y
∂ =∂ จะได
2
3 32( , ) ( ) ( )xxu x y dx g y g yy y
= + = +∫
โดยที่ g เปนฟงกชันที่มี เปนตัวแปรเพียงตัวเดียว และอนุพันธยอยของ เทียบกับ คือ
y uy
2
43( , ) '( )u xx y g yy y
∂ = − +∂
จึงไดวา 2 2 2
4 43 3 '( )x y x g y
y y−− = − +
ซึ่งจะได 21'( )g yy
= เราอินทิเกรตทั้งสองขาง จะได
11( )g y Cy= − +
โดยที่ คือคาคงตัว ซึ่งทําให 1C
2
131( , ) xu x y Cyy
= − +
เพราะฉะนั้น เราได 2
31x Cyy
− = โดยที่ C คือคาคงตัว เปนผลเฉลยของ
และทําให
( )∗∗
2
31x Cyy
− = เมื่อ เปนผลเฉลยของ (0y ≠ )∗
23
ตัวอยาง จงหาผลเฉลยของ ( ) ( )2 22 0x y dx x y x dy+ + − =
24
ตัวอยาง จงหาผลเฉลยของ 22 'x y xyy+ + = 0
25
การประยุกตของสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับหนึ่ง
ตัวอยาง สารกัมมันตภาพรังสีชนิดหนึ่งสลายตัวดวยอัตราที่เปนสัดสวนกับปริมาณในขณะนั้น ถาเริ่มตนมีสารอยู 50 มิลลิกรัม และหลังจากผานไป 2 ช่ัวโมง สังเกตเห็นวาสารสลายไป ครึ่งหนึ่งของมวลเริ่มตน จงหาสูตรสําหรับมวลของสารที่ยังเหลืออยูที่เวลา t ใดๆ
วิธีทํา ให แทนปริมาณของสารที่เวลา t ช่ัวโมง )(tx
เราจะไดสมการเชิงอนุพันธคือ kxdtdx
−=
จัดรูปสมการใหมไดเปน kdtxdx
−=
อินทิเกรตทั้งสองขางจะได 0ln lnx kt x= − +
เมื่อ 0ln x คือตัวคงคา
นั่นคือ ktexx −= 0
จากโจทยจะไดวา 50=x มิลลิกรัม เมื่อ 0=t ช่ัวโมงนั่นคือ
0)0(
050 xex k == −
ดังนั้นผลเฉลยคือ ktex −= 50
จากครึ่งหนึ่งของมวลเริ่มตนไดสลายไป หมายความวา 10% ของ 50 มิลลิกรัม ซึ่งเทากับ 5 มิลลิกรัม นั่นคือยังเหลือสารกัมมันตภาพรังสีชนิดนี้อยู 50 – 25 = 25 มิลลิกรัม เมื่อ ช่ัวโมง ดังนั้นจากผลเฉลยจะไดวา 2=t
(2)25 50 ke−=
2 0.5ke− =
2 ln 0.k 5− = นั่นคือ 0.5ln 0.5 0.347k = − ≈
ดังนั้นจะไดสมการสําหรับมวลของสารกัมมันตภาพรังสีชนิดนี้ ณ เวลา ใดๆ คือ t
0.34750 tx e−=
26
ตัวอยาง ในปฏิกิริยาเคมีของการสรางสาร เราจะไดสาร หนัก กรัม จากการรวมตัวกันของสาร
C C 3
A ที่หนัก กรัม และสาร 2 B ที่หนัก 1 กรัม ถาเราเริ่มตนปฏิกิริยาเคมีนี้ดวยสาร A หนัก กรัม และสาร 10 B หนัก กรัม และเมื่อเวลาผานไป นาที ปรากฏวามีสาร เกิดขึ้น กรัม จงเขียนสมการแสดงปริมาณของสาร ณ เวลา t นาที ใดๆ ภายใตกฎทางเคมีซึ่งกลาวไววา
15 20
C 6 C
“อัตราการเกิดสาร ณ เวลา นาที เปนสัดสวนกับผลคูณของปริมาณของสาร C t
A และสาร B ที่มีอยู ณ เวลานั้น”
วิธีทํา สมมติใหเมื่อเวลา นาที เรามีสาร อยู กรัม ซึ่งแสดงวาในเวลา นาที ไดมีการรวมตัวกันของสาร
t C x
t A หนัก 23x กรัม และสาร B หนัก
3x กรัม
เพราะฉะนั้นเมื่อเวลา t นาที จะมีสาร A เหลืออยู 2103x
− กรัม และสาร B
เหลืออยู 153x
− กรัม
ดังนั้นภายใตกฎทางเคมีขางตนเราสามารถสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตรในรูปสมการ
210 153 3
dx x xkdt
⎛ ⎞⎛= − −⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎝
⎞⎟⎠
เราสามารถเขียนสมการเชิงอนุพันธนี้ในรูปสมการแบบแยกตัวแปรได ดังนี้
23
2(15 )(45 )dx kdt
x x=
− −
เมื่ออินทิเกรตสมการจะไดผลเฉลยทั่วไปคือ
45 20ln15 3
x kt cx
−⎛ ⎞ = +⎜ ⎟−⎝ ⎠
และภายใตเงื่อนไขวา เมื่อ 0x = 0t = และ 6x = เมื่อ 20t = จะได
และ ln(3)c = 3(0.01846)20
k =
ทําใหไดสมการแสดงปริมาณของสาร ณ เวลา t นาทีคือ C
0.01846
0.01846
1451 3
t
t
exe
−=
−