An Intensity Based Approach for Credit Risk Modeling

Termkiat Kanchanapoom

PhD Student, Thammasat Business School

(เรยบเรยงจาก คาบรรยายวชา DB 853 Financial Market Development and Innovations ของ ศ.ดร.อญญา ขนธวทย)

เนอหาหลกของบทความนมาจาก [1-5]

1. ความสาคญของตราสารหนภาคเอกชนและการกาหนดราคา

ตราสารหนเปนสวนสาคญของตลาดการเงน มลคาของตราสารหนในระบบการเงนของไทยสงกวามลคาของตราสารทน

รปท 1 ขนาดของตลาดการเงนไทย ขอมลจากสมาคมตราสารหนไทย

ตราสารหนภาคเอกชน เปน financial obligation ของ corporation ซงม priority เหนอ common stock และ

preferred stock ในกรณทเกดการลมละลาย ตราสารหนภาครเอกชนสามารถแบงออกไดเปน

• Corporate bonds • Medium-term notes • Commercial paper • Bank loans • Convertible corporate bonds • Asset-backed securities

แมวามลคาของตราสารหนภาคเอกชนในประเทศไทย จะยงไมสงมากนก แตกมขนาดทใหญเพมขน

รปท 2 แสดงใหเหนมลคาของตราสารหนจากผออกตราสารแหลงตางๆ ในตลาดตราสารหนไทย

Page 1 of 23

การลงทนในตราสารหนมความเสยงทมาเกยวของดวยหลายประการ ไดแก interest-rate risk, reinvestment risk,

call risk, credit risk, inflation risk, exchange-rate risk, liquidity risk, volatility risk และ risk risk ในการ

บรรยายนจะไดกลาวจาเพาะเจาะจงถง credit risk

Credit risk มอย 3 dimensions คอ

• Default risk คอความเสยงจากการผดชาระหน เกดเมอ obligor (debtor, borrower) fails ทจะ fulfill

obligation ตอ creditor (lender) เมอถงกาหนดชาระหน

• Credit spread risk ในกรณทไมเกด default แตนกลงทนกยงมความเสยงจากการทมลคาตลาดของตราสาร

หนลดลงเมอเทยบกบตราสารหนตวอน โดยผลตอบแทนจากตราสารหนสามารถแบงออกไดเปน 2 สวนคอ

ผลตอบแทนตราสารหนภาครฐและผลตอบแทนจากการรบความเสยงในการถอตราสารหนทไมใชของรฐ ท

เรยกวา spread ซง risk premium ในสวนนเรยกวาเปน credit spread

หาก credit spread กวางขน ทาใหราคาตลาดลดลง เรยกวาเปน credit spread risk

• Downgrade risk เมอบรษทจดอนดบเครดตของตราสารหนแลว ยงคงมการตรวจสอบและอาจปรบอนดบได

หากคณภาพเครดตของผออกตราสารหนลดลง กอาจถกจดอนดบใหแยลง ความเสยงนเรยกวาเปน

downgrade risk

ในตางประเทศมการศกษาถงพฤตกรรมของตราสารหนกนมาก แตในประเทศไทยยงมการศกษาเรองนนอย เนองจาก

ขอจากดทางดานขอมล พฤตกรรมและความเสยงของตราสารหนมความสาคญตอการกาหนดราคาและมลคาของตราสาร

หน

2. การกาหนดราคาของตราสารหนภาคเอกชนและตราสารหนภาครฐ มความแตกตางท Default และ

Recovery Value

ขอสมมตเรองการผดนดชาระหนถอวาสมเหตผลหากผออกตราสารหนไมใชรฐบาล (เพราะรฐบาลม limited public

debt เมอเทยบกบ tax income หรอ GDP ของประเทศ ในกรณทมปญหา รฐบาลอาจจะเพมภาษ, ลดการใชจายภาครฐ

หรอแมกระทงพมพธนบตรเพม) เนองจากบรษทผออกตราสารหนอาจอยในสถานการณททาใหไมสามารถจายเงนตามท

ไดสญญาไวกบเจาหน ดงนนเมอนกลงทนประเมนมลคาของตราสารหนภาคเอกชน จงตองคานงถงความเปนไปไดทจะ

เกด default กอนถงกาหนดนดชาระหน

เมอเกด default แลว ผ ถอตราสารหนมกจะไดบางสวนของ face value กลบคนมา เรยกวา recovery rate ดงนนสง

สาคญสาหรบการประเมนการลงทนในตราสารหนภาคเอกชนคอ default loss rate ซงหาไดจากสมการ

𝐷𝑒𝑓𝑎𝑢𝑙𝑡 𝑙𝑜𝑠𝑠 𝑟𝑎𝑡𝑒 = 𝐷𝑒𝑓𝑎𝑢𝑙𝑡 𝑟𝑎𝑡𝑒 𝑥 (100% − 𝑅𝑒𝑐𝑜𝑣𝑒𝑟𝑦 𝑟𝑎𝑡𝑒)

ดงนน default rate จงมความสาคญสาหรบ diversified portfolio of corporate bondsในแงทเปน the worst

possible outcome หากตราสารหนทลงทนไมเหลอมลคาอยเลย

Page 2 of 23

3. ตวแบบจาลองเพอพรรณนาเหตการณ Default

3.1 คาพรรณนาแบบจาลอง

Credit risk models ใชเพอวด, ประเมนและควบคม portfolio’s credit risk นอกจากนยงใชสาหรบการกาหนดราคา

ของ credit risky debt instrument ดวย credit risk models สามารถแบงออกเปนหลกๆ 2 กลม คอ structural

models และ reduced-form models

การสรางแบบจาลองสาหรบ credit risk มความยงยากกวาการวด interest risk exposure ดวยเหตผล 3 ประการ คอ

1. Credit default risk เปน rare event ดงนน historical data ทใชเปน input สาหรบ credit risk model จง

มนอยกวาขอมลทใชสาหรบ interest rate risk

2. แมจะมขอมลเกยวกบ default กยงคงยากทจะสรางแบบจาลองทใชพยากรณไดอยางมความหมาย เพราะ

ความหลากหลายของบรษทท default (industry sector, size, and leverage) และการขอขอมลเกยวกบ

corporate practices

3. มหลายเหตผลททาใหเกด default ตงแต microeconomic factors (เชน poor management) ไปจนถง

macroeconomic factors (เชน high interest rates และ recessions) ซงทาใหการพยาการณ default

นนยาก

Credit risk modeling ใชสาหรบ

• Estimate the default probability • Pricing individual corporate bonds • Measuring a portfolio’s credit risk

Default probability คอ likelihood ท borrower จะ default ภายในชวงอายของ debt obligation เมอกลาวถง

default ในทางวชาการ หมายถง การท borrowers ไมสามารถทาตามขอตกลงได เชน ไมสามารถจาย coupon หรอ

principal ไดภายใตขอตกลง หรอ การ violation ของ bond covenant ในทางปฏบตมกจะพจารณาท default

ภายใน 1 ปขางหนา บางครงเรากเรยก default probability วาเปน expected default frequency ในการประมาณ

default probability จาเปนจะตองร

1. ความหมาย/ขอตกลงของ default event

2. ขอมลสวนทไมแนใจ (what information are we uncertain about?)

3. การเปลยนแปลงของขอมลไปตามระยะเวลา

เหตทยงตองม credit risk models แมวาจะม credit ratings แลวเปนเพราะ

• Rating เปน discrete เพราะม rating gradesในจานวนจากด ในขณะท default probabilities เปน

continuous และมคาตงแต 0-100%

• Rating มการ update ไมบอยนก ในขณะท default probabilities สามารถประมาณไดอยาง real-time

Page 3 of 23

• ในขณะท credit rating แบงออกเปนแค short- และ long-term แต credit risk models สามารถใหขอมล

ของ default probability by maturity (term structure of default probabilities) ซงอาจให insight

ของ default probability ในแตละชวงเวลาของ business cycles ได

ความเสยงของ default มบทบาทสาคญในการ pricing และ hedging ของ credit risk ดงทไดกลาวมาแลววา ม

approaches หลายอยางทจะ model default probabilities และ migration

Structural Models of Default Probability

Firms จะ default เมอไมสามารถ (หรอเลอกทจะไม) ทาตาม financial obligations แบบจาลองในกลทนขนอยกบ

timing ของ default-triggering events สวนใหญแลวแบบจาลองเหลานจะขนกบ balance sheet นนกคอ default

เกดเมอ asset มปรมาณนอยเมอเทยบกบ liabilities

แบบจาลองในกลมนมตนกาเนดมาจาก classic models ของ Black and Scholes (1973) และ Merton (1974) โดย

จะเกด default เมอ asset มมลคานอยกวา face value ของ debt เมอถง maturity date (𝐴𝑇 < 𝐷) ในตอนทาย

บทความของ BSM ไดกลาวถงการประยกตใช option pricing model ในการกาหนดราคาของ corporate bond โดย

มอง stockholders วาม call option ของมลคาของ assets โดยไดสทธนนจาก bondholders

รปท 2 Liquidation values ของ debt และ equity ตามแนวคดของ BSM (จาก Credit risk: pricing, measurement, and

management โดย Darell Duffie และ Kenneth J. Singleton 2003)

Page 4 of 23

สาหรบแบบจาลองของ BSM นน ม assumptions ดงน

• Assumption 1: บรษทมตราสารหนเพยงอยางเดยวใน debt structure

• Assumption 2: Bond outstanding เปน zero-coupon bond ซง mature ท T years

• Assumption 3: ม constant risk-free interest rate ตลอดชวงอายของ bond

• Assumption 4: การจายคนในกรณทม default เปนไปตาม principle of absolute priority

• Assumption 5: volatility คงท

กาหนดให

𝐸(𝑡) เปน value ของ equity ณ เวลาท t

𝐴(𝑡) เปน value ของ assets ณ เวลาท t

𝐾 เปน maturity value ของ zero-coupon bond ทออกโดย corporation

เมอถง maturity แลว value ของ equity และ assets คอ 𝐸(𝑇) และ 𝐴(𝑇) ตามลาดบ

ดงนน

𝐸(𝑇) = 𝐴(𝑇) − 𝐾

ให 𝐵(𝑇) เปน value ของ zero-coupon bond ดงนนมลคา ณ maturity คอ

𝐵(𝑇) = 𝐴(𝑇) − max[ 𝐴(𝑇) − 𝐾, 0]

นนคอ bondholder ม long position ใน corporation’s assets และขาย call option ของ assets ใหแก

stockholders

สมการนสามารถเขยนใหมเปน

𝐵(𝑇) = 𝐾 − max[ 𝐾 − 𝐴(𝑇), 0]

[ 𝐾 − 𝐴(𝑇)] คอ payoff ของ put option โดยม strike price ท K ดงนนเราสามารถมองสมการนไดวา value ของ

bond เปน long position ของ risk-free bond ลบออกดวย value ของ put position ของ corporate’s assets ท

stockholders ขาย ใหแก bondholders

Page 5 of 23

รปท 3 แสดงถง structural models ของ default (จาก Credit risk: pricing, measurement, and management โดย Darell

Duffie และ Kenneth J. Singleton 2003)

Black and Cox (1976) ไดขยายแบบจาลองของ BSM ให default เกดไดเมอ assets ลดลงจนถงจดทเปน low

default boundary หรอ default threshold เปนครงแรก ซงเหตการณนเกดขนไดแมยงไมครบกาหนดชาระหน

แบบจาลองนจงเรยกวาเปน first-passage models ในกรณนสามารถมอง default ไดวาเปน barrier option

กลมแบบจาลองของ BSM และแบบจาลองทขยายความออกไปเรยกวาเปน structural models โดยผลลพธของ

structural models มองวา credit risk ของ corporate bond เปน function ของ issuer’s leverage และ

volatility of the issuer’s assets แบบจาลองในกลมนใฃประโยชนใน 6 areas ไดแก

1. To estimate a corporate bond’s default risk 2. To predict rating changes (upgrades and downgrades with particular interest in downgrades) 3. For a given corporate issuer with several issues in its capital structure, to identify relative

value opportunities 4. For forecast changes in corporate bond credit spreads 5. From within the corporate bond market, to identify relative value opportunities 6. To evaluate the sensitivity of corporate bond credit spreads to equity prices

การนาแบบจาลองไปประยกตใชขนกบ area of credit risk analysis นอกจากนยงตองคานงถงขอจากดของ

assumptions ตางๆ ดวย

Page 6 of 23

Reduced-Form Models

เรมมการกลาวถง reduced-form models ในชวงกลางทศวรรษท 1990s โดยมแบบจาลองทสาคญ 2 models คอ

Jarrow-Turnbill model (1995) และ Duffie-Singleton model (1999)

ขอแตกตางทสาคญของ reduced-form models และ structural models คอ default ใน structural model เปน

endogenous variable เพราะเปนตวแปรทเปน dependent variable ทถก determined โดยตวแปรอนๆ ใน

economic model สวน reduced-form model นน default เปน exogenous variable ซงทาใหการ model credit

risk งายขน เพราะไมจาเปนตองกาหนดวาอะไรทาใหเกด default

3.2 บทบาทของ Default Probability

สาหรบแบบจาลองทศกษาเรอง default timing นน เรากาหนดให default เปน state ท obligor (debtor,

borrower) fails ทจะ fulfill obligation ตอ creditor (lender) เชน late payments ในทางวชาการนน default ถอ

วาเปน absorbing state ซงหมายความวา เมอ default แลว ลกหนจะถอวาอยในสภาวะ default ตลอดไป (แมวาใน

ความเปนจรง ลกหนสามารถ restructure debt scheme และออกจาก default state ได)

Survival เปน state ท obligor ไมเกด default state และ survival กบ default เปน mutually exclusive

กาหนดให

𝑝(𝑡) เปน survival probability จากเวลา 0 t

นนกคอ 𝑝(𝑡) เปน likelihood ท firm จะไม default เปนเวลาอยางนอย t ป

Probability ทจะ default ระหวางเวลา t และ s ≥ t คอ 𝑝(𝑡) − 𝑝(𝑠)

จาก Bayes’ rule เราจะได

𝑃(𝑠) = 𝑃(𝑠|𝑡) 𝑃(𝑡) เมอ 𝑠 > 𝑡

หมายความวา หากจะ survive ไปจนถงเวลา s นน obligor จะตอง

1. Survive อยางนอย ณ เวลา t ดวยความนาจะเปน 𝑃(𝑡)

2. Survive ตอไปจากเวลา t s ดวยความนาจะเปน 𝑃(𝑠|𝑡)

ซง 𝑃(𝑡) ≥ 𝑃(𝑠) เพราะม non-negative probability ท obligor จะ default ในระหวางเวลา t s

Question: สวนตาง 𝑃(𝑡) − 𝑃(𝑠) คอ อะไร

𝑃�𝑑𝑒𝑓𝑎𝑢𝑙𝑡𝛾; 𝑡 < 𝛾 ≤ 𝑠� = 𝑃(𝑡) − 𝑃(𝑠)

มาจาก

Page 7 of 23

𝑃(𝑠) = 𝑃(𝑠|𝑡) 𝑃(𝑡)

นาไปแทนคา

𝑃(𝑡) − 𝑃(𝑠) = 𝑃(𝑡) − 𝑃(𝑠|𝑡) 𝑃(𝑡)

= 𝑃(𝑡) �1 − 𝑃(𝑠|𝑡)�

โดยท 𝑃(𝑡) คอ ความนาจะเปนทจะ survive ถงเวลา t

1 − 𝑃(𝑠|𝑡) คอ ความนาจะเปนท default ในชวงระหวางเวลา t s โดยท obligor นน survive ณ เวลา t

ตองเอา 𝑃(𝑡) มาคณกอน เพราะไมสามารถ solvent (survive) ทเวลา s ได หาก default ตงแตเวลา t

3.3 Default Intensity

แบบจาลองของ default probabilities และ timing จานวนมากขนกบ arrival intensity of default โดยท เรา

สามารถใหคาจากดความของ default ไดวาเปน first arrival time 𝜏 (ซง 𝜏: 𝐴𝑠𝑠𝑒𝑡𝜏 < 𝐷𝑒𝑓𝑎𝑢𝑙𝑡 𝑡ℎ𝑟𝑒𝑠ℎ𝑜𝑙𝑑) ของ

Poisson process ทม some constant mean survival rate 𝜆 (โดย 𝜆 = 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑡𝑦) ดงนน

1. ความนาจะเปนทจะ survive 𝑝(𝑡) = 𝑒−𝜆𝑡

2. Expected time to default = 1𝜆

3. Probability ทจะเกด default ในชวงเวลา ∆ โดยท survive ณ ตอนตนของ period โดยประมาณเทากบ ∆𝜆

สาหรบ small ∆

ตวอยางเชน สาหรบ constant default intensity = 0.04 จะม probability ของ default ใน 1 ป = 1 − 𝑒−.04𝑥1 ≅

3.9% และม expected time to default 25 ป และเมอเกด default คา intensity ลดลงเหลอ 0

ใน classic Poisson นน arrival model ขนกบ independence of arrival risk over time แมวาเราอาจจะอยหาง

จากการรวา issuer จะ default เพยงชวขณะเวลา แตเมอเกด default กยงถอเปน surprise ในภาษาของ stochastic

process เรยกวา default time นน inaccessible

โดยทวไปแลวเราไมสามารถ assume ไดวา default intensity 𝜆 เปนคาคงทตลอดระยะเวลา ดงนนเราสามารถขยาย

แบบจาลอง Poisson โดยยอมใหม deterministically time-varying intensities ได

กาหนดให 𝜆 𝑡 เปน default intensity ใน period 𝑡

จาก Bayes’ Rules จะไดวา probability ทจะ survive ในชวงเวลาท 2 คอ

𝑝(2) = 𝑝(1) 𝑝(2|1)

= 𝑒−𝜆1𝑒−𝜆2

= 𝑒−(𝜆1+𝜆2)

Page 8 of 23

หากคานวนตอไปในชวงระยะเวลา t จะได probability ทจะ survive ในชวงเวลา t เปน

𝑝(𝑡) = 𝑒−(𝜆1+𝜆2+⋯+𝜆𝑡) = 𝑒−∑ 𝜆𝑖𝑡𝑖=1

โดย 𝜆𝑖 เปน default intensity ระหวางระยะเวลาท 𝑖

หาก ∆→ 0 สาหรบ t periods เราจะได deterministic continual variation in intensity เปน

𝑝(𝑡) = 𝑒−∫ 𝜆𝑡𝑑𝑡𝑡0

โดย 𝜆𝑡 เปน default intensity ระหวางระยะเวลาท 𝑡

โดยทวไปแลว เมอเวลาผานไปกจะมขอมลใหมๆ เพมขน ดงนน default intensity จะสามารถเปลยนไปไดอยางสมโดย

ขนกบขอมลทเพมขนมา ดงนนเราอาจจะให arrival ของ intensity เปน random process จากตวอยางขางตน เรา

สามารถเขยนใหมไดเปน

𝑝(2) = 𝑝(1) 𝑝(2|1)

= 𝑒−𝜆1 𝐸�𝑒−𝜆�2�

= 𝐸�𝑒−�𝜆1+𝜆�2��

(สงเกต 𝑒−𝜆1 ไมไดเปน expectation เพราะ information reveal แลวท period ท 1)

และใน general form

𝑝(𝑡) = 𝐸0 �𝑒−∑ 𝜆�𝑖𝑡𝑖=1 �

หรอ

𝑝(𝑡) = 𝐸0 �𝑒−∫ 𝜆�𝑡𝑑𝑡𝑡0 �

Double Stochastic Default

หากเรายอมให ��𝑡 เปน random process แลวเราจะได doubly stochastic model of default ซงตามแบบจาลองน

แลว conditional on information ทมาจาก path ของ intensity {𝜆𝑡 , 𝑡 ≥ 0} แลว default จะ arrive มาตาม

Poisson arrival ดวย time-varying intensity น กลาวคอ survival probability เปน conditional expectation

ของ conditional survival ตามสมการ

𝑝(𝑡) = 𝐸0[𝑃(𝜏 > 𝑡 | {𝜆𝑠: 0 ≤ 𝑠 ≤ 𝑡})]

= 𝐸0 �𝑒−∫ 𝜆�𝑠𝑡0 𝑑𝑠�

การเรยกวาเปน double stochastic default condition เนองจาก

1. Random variation in the default-intensity process ��𝑡

Page 9 of 23

2. Condition ตอ path ของ ��𝑡 แลว การเกด default กยงอาจจะเกดหรอไมเกด ณ เวลา t (ดงทไดกลาวไวแลว

วา Poisson arrival เปน surprise)

กาหนดให

𝑝(𝑡) = 𝐸0 �𝑒−∫ 𝜆�𝑢𝑡0 𝑑𝑢�

𝑝(𝑠) = 𝐸0 �𝑒−∫ 𝜆�𝑢𝑠0 𝑑𝑢�

ดงนนเราสามารถเขยน 𝑝(𝑡, 𝑠) ไดเปน survival probability ณ future time s โดยท conditional on all available

information ณ เวลา t

𝑝(𝑡, 𝑠) = 𝐸𝑡 �𝑒−∫ 𝜆�𝑢𝑠𝑡 𝑑𝑢�

การเขยนสมการแบบนม implicit assumption วา firm ตอง survive ณ เวลา t มฉะนน conditional probability ท

จะ survive ทเวลา s>t จะเปนศนย

จะเหนไดวาsurvival probability มลกษณะทเหมอนกบ term structure modeling โดยเปลยนจาก intensity

process 𝜆 เปน short interest rate process 𝑟 โดยทเราทราบวา ในการกาหนดราคาของ zero-coupon bond นน

𝐵(𝑇) = 𝐸0 �𝑒−∫ ��𝑡𝑑𝑡𝑇0 �

โดยท ��𝑡 เปน random (affine) process

ในกรณน เราม

𝑝(𝑇) = 𝐸0 �𝑒−∫ 𝜆�𝑡𝑇0 𝑑𝑡�

ซงมลกษณะเดยวกน ดงนนเราสามารถใชเทคนคการกาหนดราคา 𝐵(𝑇) มาประยกตในการคานวนหา survival

probability ได

3.4 The Affine Intensity Model

Intensity models กลมหนง [6] กาหนดให default probabilities ขนอยกบ Markov state process 𝑋 (ซงอาจจะ

เปน multidimensional/multivariate) นนคอ

𝜆𝑡 = 𝑎 + 𝑏 𝑋𝑡

สาหรบ nonnegative constant 𝑎 และ 𝑏 = (𝑏1,𝑏2, … , 𝑏𝑛)

และ 𝑋𝑡 = (𝑥1𝑡 ,𝑥2𝑡 , … ,𝑥𝑛𝑡) เปน vector ของ n independent processes ซงอาจจะเปน Weiner หรอ Weiner

with jump กได

Page 10 of 23

Dynamics of State Variables

เราม state variable X ซงเปน Markov process ซงอยใน state space D เชน ถา 𝐷 = ℝ แลว ผลลพธของ 𝑋𝑡 กจะ

เปน real number หรอ ถา 𝐷 = ℝ+𝑑 สาหรบ some positive integer d แลว ผลลพธของ 𝑋𝑡 กจะเปน

nonnegative d-dimensional vector

Markov property หมายความวา random walk ไมม memory เลยไปกวาตาแหนง ณ ปจจบน นนคอ สาหรบ any

function 𝑔:𝐷 → ℝ จะตอง satisfying conditions และสาหรบ any fixed times t และ s>t แลว

𝐸𝑡[g(𝑋𝑠)] = 𝑓(𝑋𝑡)

สาหรบ some function 𝑓:𝐷 → ℝ โดยท 𝐸𝑡 หมายถง expectation conditional on all information available

at time t กลาวคอ conditional distribution at time t ของ X, given all available information ขนกบ current

state 𝑋(𝑡) เทานน

ถา X เปน real value และ satisfies stochastic differential equation ในรป

𝑑𝑋𝑡 = 𝜇(𝑋𝑡) + 𝜎(𝑋𝑡)𝑑𝐵𝑡

โดยท 𝐵𝑡 เปน standard Brownian motion และ 𝜇 และ 𝜎 เปนไปตาม technical conditions

สาหรบ discount rate function 𝑅:𝐷 → ℝ หาก X เปน Markov process ใน D ดงนน

𝐸𝑡 �𝑒∫ −𝑅(𝑋𝑢)𝑑𝑢𝑠𝑡 g(𝑋𝑠)� = 𝐹(𝑋𝑡)

สาหรบ function 𝐹:𝐷 → ℝ

โดยทวไปแลว เราเรยกวาเปน affine function เมออยในรป constant plus linearเชน

ℎ(𝑥) = 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑥

หากเรากาหนดให 𝑅(𝑥) = 𝜌0 + 𝜌1 ∙ 𝑥

และ payoff function 𝑔 อยในรปของ exponential-affine form โดย 𝑔(𝑥) = 𝑒𝑎+𝑏∙𝑥

เราจะไดคาตอบของ 𝐹(𝑋𝑡) วาอยในรปของ exponential-affine form ซง Duffie, Pan, and Singleton (2000) [7]

ไดแสดงไว

𝐸𝑡 �𝑒∫ −(𝜌0+𝜌1∙𝑋𝑢 )𝑑𝑢𝑠𝑡 𝑒𝑎+𝑏∙𝑋𝑠� = 𝑒𝛼(𝑡)+𝛽(𝑡)𝑋(𝑡)

สาหรบ coefficient 𝛼𝑡และ 𝛽1𝑡 ,𝛽2𝑡 , … ,𝛽𝑑𝑡 ซงขนกบ s และ t เทานน

CIR Intensity Models

แบบจาลองนเปนไปตาม short rate processes ของ Cox, Ingersoll, and Ross (1985) [8] ซงกาหนดให

𝑑𝜆𝑡 = 𝜅(𝜃 − 𝜆𝑡) + 𝜎�𝜆𝑡𝑑𝐵𝑡

Page 11 of 23

โดยท 𝐵𝑡 เปน standard Brownian motion และ coefficients 𝜅, 𝜃, 𝜎 (all positive) มความหมายดงน

• 𝜃 เปน long-run mean ของ 𝜆 นนคอ 𝐸𝑡[𝜆𝑠] → 𝜃 เมอ 𝑠 → ∞

• 𝜅 เปน mean rate of reversion to the long-run mean (หรอ speed of adjustment) นนคอ

𝐸𝑡[𝜆𝑠] = 𝜃 + 𝑒−𝜅(𝑠−𝑡)(𝜆𝑡 − 𝜃) • 𝜎 เปน volatility coefficient ขอสงเกต คอ volatility ใน Black-Scholes sense ของ instantaneous

standard deviation เปน 𝜎�𝜆𝑡

CIR process นบางครงเรยกวาเปน Feller diffusion หรอ square-root process ขอสาคญคอ CIR process ตองเปน

nonnegative โดยตองกาหนด initial condition ให 2𝜅𝜃 > 𝜎2 ซงเรยกวา Feller condition

ถาหาก default เปน first arrival ของ Poisson process ทม constant intensity 𝜆 แลว เราจะได initial

probability of no default เปน 𝑝(𝑡) = 𝑒−𝜆𝑡 และหากเรายอมให default เปน deterministic แตม time-

varying Poisson arrival intensity แลว กจะได probability 𝑝(𝑡, 𝑠) ทจะไมม default กอนเวลา s (ในกรณทไมม

default ทเวลา t) เปน

𝑝(𝑡, 𝑠) = 𝑒∫ −𝜆𝑢𝑑𝑢𝑠𝑡

และหากขยายผลไปเปนกรณของ randomly varying default arrival intensity โดยกาหนดให arrival ของ default

เปน stochastic intensity ท 𝜆𝑡 = Λ(𝑋𝑡) โดยท X เปน Markov process แลวเราจะได conventional doubly

stochastic model

𝑝(𝑡, 𝑠) = 𝐸𝑡 �𝑒∫ −Λ(𝑋𝑢)𝑑𝑢𝑠𝑡 �

ซงหาก X เปน affine process และ Λ(∙) เปน affine แลวเราสามารถหาคาตอบใหอยในรปของ

𝑝(𝑡, 𝑠) = 𝑒𝛼(𝑡,𝑠)+𝛽(𝑡,𝑠)𝑋(𝑡)

ขอดของสมการนคอ time dependence ของ coefficients 𝛼(𝑡, 𝑠)และ 𝛽(𝑡, 𝑠) ท horizon time s ถกแสดงอยาง

explicitly นอกจากนเรายงสามารถ differentiate with respect to s แลวได conditional probability density

𝜋(𝑡, 𝑠) ของ default time horizon s โดยท

𝜋(𝑡, 𝑠) = 𝑝(𝑡, 𝑠)[−𝛼𝑠(𝑡, 𝑠) − 𝛽𝑠(𝑡, 𝑠)𝑋(𝑡)]

นอกจากน สมการ stochastic differential equation สาหรบ 𝜆 น สามารถทาใหอยในรปของ discrete-term

approximation ไดเปน

𝜆𝑡+∆𝑡 − 𝜆𝑡 = 𝜅(𝜃 − 𝜆𝑡)𝜆𝑡 + 𝜎�𝜆𝑡𝜀𝑡

โดยท ∆𝑡 เปนชวงระยะเวลาสนๆ และ 𝜀𝑡 เปน mean-zero independent normally distributed random variable

with variance ∆𝑡

Page 12 of 23

3.5 Conceptual Approaches to Pricing of Defaultable Risk

เพอใหงายตอการทาความเขาใจ พจารณา zero-coupon bond ทจาย $1 ทเวลา T ซงหากผออกตราสารหนน

default-free การกาหนดมลคาสามารถทาไดตามแบบ conventional default-free term model ซงมกจะใช short

rate 𝑟 โดยไปสรางแบบจาลองของ stochastic behavior ภายใต risk-neutral probability การทเราใช risk-

neutral probability กเพอให market value ของ security เทากบ expectation ของ discounted present value

of cash flows โดยใช compounded short rate ในการ discount

Pricing a risk-free zero-coupon bond

สาหรบ risk-free zero-coupon bond ทสญญาวาจะจาย $1 และ mature ณ เวลา t จะมราคา ณ เวลา T เทากบ

𝛿(𝑡,𝑇) = 𝐸𝑡𝑅𝑁�𝑒−(𝑟𝑡)𝑒−(𝑟𝑡+1) ∙∙∙ 𝑒−(𝑟𝑇−1)�

= 𝐸𝑡𝑅𝑁�𝑒−(𝑟𝑡+𝑟𝑡+1+⋯+𝑟𝑇−1)�

และสาหรบ continuous-time setting

𝛿(𝑡,𝑇) = 𝐸𝑡𝑅𝑁 �𝑒−∫ 𝑟(𝑢)𝑑𝑢𝑇𝑡 �

Pricing a defaultable zero-coupon bond

สาหรบ zero-coupon bond ทอาจจะ default ไดกอน maturity T นน นอกจากความเสยงในการเปลยนแปลงของ

interest rate 𝑟 แลว magnitude และ timing ของ payoff อาจจะไมแนนอน ดงนน เราอาจจะแยกพจารณา zero-

coupon bond เปน portfolio ของ 2 securities คอ

1. Security ทจาย $1 ณ เวลา T เฉพาะในกรณท (if and only if) ผออกตราสารยงคง survive ณ เวลา T

2. Security ทจายเปน random amount W ของ recovery เมอ default เกดขนกอน maturity

กาหนดให 1𝜏>𝑡 เปน indicator function ในกรณทเกดเหตการณเมอ 𝜏 > 𝑇 ซงม outcome เปน 1 เมอผออกตราสาร

ไม default กอนเวลา t และเปน 0 ในกรณอน

ดงนน 𝑑(𝑡,𝑇) ราคาของ defaultable zero-coupon bond เทากบ

𝑑(𝑡,𝑇) = 𝐸𝑡𝑅𝑁 �𝑒−∫ 𝑟(𝑢)𝑑𝑢𝑇𝑡 ∙ 1𝜏>𝑇� + 𝐸𝑡𝑅𝑁 �𝑒−∫ 𝑟(𝑢)𝑑𝑢𝑇

𝑡 ∙ 𝑊 ∙ 1𝜏≤𝑇�

โดยท 𝑒−∫ 𝑟(𝑢)𝑑𝑢𝑇𝑡 เปน stochastic discount factor, 𝑊 เปน percent recovery, 1𝜏>𝑇 และ 1𝜏≤𝑇 เปน indicator

function

เพอใหงาย สมมตให 𝑊 = 0 ดงนนจะไดราคาของ defaultable bond ในกรณท survive (survival-contingent

security) เปน

𝑑0(𝑡,𝑇) = 𝐸𝑡𝑅𝑁 �𝑒−∫ 𝑟(𝑢)𝑑𝑢𝑇𝑡 ∙ 1𝜏>𝑇�

Page 13 of 23

สมการนยงสามารถแยกพจารณาออกมาไดอกเปน 2 สวนคอ

𝑑0(𝑡,𝑇) = 𝐸𝑡𝑅𝑁 �𝑒−∫ 𝑟(𝑢)𝑑𝑢𝑇𝑡 � 𝐸𝑡𝑅𝑁[1𝜏>𝑇]

= 𝛿(𝑡,𝑇) 𝑝𝑅𝑁(𝑡,𝑇)

= 𝛿(𝑡,𝑇) 𝐸𝑡𝑅𝑁 �𝑒−∫ 𝜆𝑅𝑁(𝑢)𝑑𝑢𝑇𝑡 �

โดยท 𝐸𝑡𝑅𝑁 �𝑒−∫ 𝜆𝑅𝑁(𝑢)𝑑𝑢𝑇𝑡 � คอ risk-neutral survival probability เปน markdown ของราคาของ default-free

zero-coupon bond นนเอง

3.6 Reduced-Form Pricing

Lando (1998) [9] ไดแสดงใหเหนวา เราจะนา default intensity 𝜆 มารวมในการกาหนดราคาไดอยางไร โดย

กาหนดใหม probability space (Ω,ℱ,𝑃 )

กาหนดให ม process 𝑋 ของ state variables ซงมคาอยใน ℝ𝑑 อยใน probability space น ซง state variables จะ

รวมถง risk-free interest rate และอาจรวมถง เวลา, ราคาหน, credit ratings หรอตวแปรอนๆ ทอาจะมผลตอการ

พยากรณโอกาสเกด default

ให 𝜆 ∶ ℝ𝑑 → [0,∞) เปน non-negative continuous function

Lando ตองการสราง jump process โดยสนใจเฉพาะเวลาท jump ครงแรก 𝜏 ของ process น โดยกาหนดให

𝒢𝑡 = 𝜎{𝑋𝑠: 0 ≤ 𝑠 ≤ 𝑡} และให 𝐸1 เปน exponential random variable ทม mean 1 ทไมไดขนกบ (𝒢𝑡)𝑡≥0

กาหนดให default time เปน

𝜏 = 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑚𝑢𝑚�𝑡:� 𝜆(𝑋𝑠)𝑡

0≥ 𝐸1�

จากสมการน จะเหนไดวา default time 𝜏 เปน jump ครงแรกของ Cox process ทม intensity process 𝜆(𝑋𝑠)

นนเอง

ในทนเราตองการหาราคาของ defaultable zero-coupon bond ซง mature ทเวลา T ภายใต risk-neutral

probability โดยท default time 𝜏 ม intensity 𝜆(𝑋𝑡)

สมมตใหม short rate process 𝑟(𝑋𝑠) ซงทาให default-free zero-coupon bond มราคาเปน

𝛿(0,𝑇) = 𝐸0𝑅𝑁 �𝑒−∫ 𝑟(𝑋𝑠)𝑑𝑠𝑇0 �

ดงทไดแสดงไวขางบน หาก assume zero recovery แลว ราคาของ risky bond ณ เวลา 0 คอ

𝑑0(0,𝑇) = 𝐸0𝑅𝑁 �𝑒−∫ 𝑟(𝑋𝑠)𝑑𝑠𝑇0 ∙ 1𝜏>𝑇�

Page 14 of 23

= 𝐸0𝑅𝑁 �𝑒−∫ 𝑟(𝑋𝑠)𝑑𝑠𝑇0 ∙ 1𝜏>𝑇 | 𝒢𝑡�

= 𝐸0𝑅𝑁 �𝑒−∫ 𝑟(𝑋𝑠)𝑑𝑠𝑇0 ∙ 𝐸[1𝜏>𝑇] | 𝒢𝑡�

= 𝐸0𝑅𝑁 �𝑒−∫ 𝑟(𝑋𝑠)𝑑𝑠𝑇0 ∙ 𝑒−∫ 𝜆(𝑋𝑠)𝑑𝑠𝑇

0 �

= 𝐸0𝑅𝑁 �𝑒−∫ (𝑟+𝜆)(𝑋𝑠)𝑑𝑠𝑇0 �

นนกคอ short rate ใน default-free zero-coupon bond ถกแทนทดวย intensity-adjusted short rate

(𝑟 + 𝜆)(𝑋𝑠)

จากสมการของ Lando

𝑑0(𝑡,𝑇) = 𝐸𝑡𝑅𝑁 �𝑒−∫ (𝑟+𝜆)(𝑋𝑠)𝑑𝑠𝑇𝑡 �

สมการนไดรวมความสมพนธรหวาง riskless interest rate process และ risk-neutral default intensity process

กลาวคอ conditional on path ของ 𝑟 และ 𝜆 หรอ discount factor ของ interest rate 𝑒−∫ 𝑟(𝑋𝑠)𝑑𝑠𝑇𝑡 และ risk-

neutral survival probability 𝑒−∫ 𝜆(𝑋𝑠)𝑑𝑠𝑇𝑡 กจะหา discounted expected cash flow ไดเปน 𝑒−∫ (𝑟+𝜆)(𝑋𝑠)𝑑𝑠𝑇

𝑡

ซงกคอ bond price นนเอง โดยท risk-neutral survival probability เปน markdown ของราคาของ default-free

zero-coupon bond นนเอง

Conditional (risk-neutral) likelihood of default สามารถทจะเปลยนไปตาม business cycle และ interest rate

อาจจะขนกบ economic condition สมมตวาม 𝑛 risk factors, 𝑋 = (𝑋1,𝑋2, … ,𝑋𝑛) เปนปจจยทเกยวของกบการ

กาหนดราคา bond น และ X เปน multivariate square-root process นนคอสาหรบแตละ 𝑖 แลว 𝑋𝑖 เปน CIR และ

risk factors เหลานเปน risk-neutrally independent

กาหนดให

𝑟(𝑡) = 𝜌0 + 𝜌1 ∙ 𝑋(𝑡)

𝜆(𝑡) = 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑋(𝑡)

สาหรบ deterministic (แตอาจจะเปน time-dependent) coefficients 𝜌0, 𝜌1, 𝑎, และ 𝑏 ทาใหเราสามารถหา

ความสมพนธระหวาง 𝑟 และ 𝜆 ไดผานทาง joint dependence ตอ 𝑋(𝑡) นนเอง

จาก transformed affine process ของ Duffie, Pan, Singleton (2000) [7]

𝐸𝑡 �𝑒∫ −(𝜌0+𝜌1∙𝑋𝑢 )𝑑𝑢𝑠𝑡 𝑒𝑎+𝑏∙𝑋𝑠� = 𝑒𝛼(𝑡)+𝛽(𝑡)𝑋(𝑡)

เราสามารถ transform สมการของ Lando ในรปของ

𝐸𝑡𝑅𝑁 �𝑒−∫ (𝜌0+𝜌1∙𝑋(𝑡))𝑑𝑠𝑇𝑡 ∙ 𝑒−∫ (𝑎+𝑏∙𝑋(𝑡))𝑑𝑠𝑇

𝑡 � = 𝑒𝛼(𝑡)+𝛽(𝑡)𝑋(𝑡)

ขอสงเกต คอ ณ maturity T ในสวนของ risk-free 𝑒−∫ (𝜌0(𝑡)+𝜌1(𝑡)∙𝑋(𝑡))𝑑𝑠𝑇𝑡 นน

Page 15 of 23

𝑒−∫ (𝜌0+𝜌1∙𝑋(𝑡))𝑑𝑠𝑇𝑡 = 1

นนคอ ทง 𝜌0 และ 𝜌1 = 0

เราจะได boundary condition คอ

𝐸𝑇 �𝑒−∫ (𝑎+𝑏∙𝑋(𝑡))𝑑𝑠𝑇𝑡 � = 𝑒𝛼(𝑇)+𝛽(𝑇)𝑋(𝑡)

นนคอ 𝛼(𝑇) = 𝑎 และ 𝛽(𝑇) = 𝑏

3.7 The Case of Non-Zero Recovery

ในกรณท recovery 𝑊 ≠ 0 นน แบบจาลองทเปน reduced-form สามารถกาหนดใหม fractional recovery ได โดย

อาจมขอสมมตตางๆกน ดงน

• Fraction ของ default-free ทเหมอนกน เชน กลมของ Jarrow and Turnbull (1995)

• Fraction ของ market value ของ bond กอนทจะ default โดย Duffie and Singleton (1999)

• Fraction ของ face value ซงเปนตาม bankruptcy rights

ในทนจะไดกลาวถง fractional recovery of face value

ยอนกลบไปท 𝑑(𝑡,𝑇) ราคาของ defaultable zero-coupon bond เทากบ

𝑑(𝑡,𝑇) = 𝐸𝑡𝑅𝑁 �𝑒−∫ 𝑟(𝑢)𝑑𝑢𝑇𝑡 ∙ 1𝜏>𝑇� + 𝐸𝑡𝑅𝑁 �𝑒−∫ 𝑟(𝑢)𝑑𝑢𝑇

𝑡 ∙ 𝑊 ∙ 1𝜏≤𝑇�

ในกรณทเปน zero recovery เราไดกาหนดให

𝑑0(𝑡,𝑇) = 𝐸𝑡𝑅𝑁 �𝑒−∫ 𝑟(𝑢)𝑑𝑢𝑇𝑡 ∙ 1𝜏>𝑇�

สามารถเขยนสมการใหมไดเปน

𝑑(𝑡,𝑇) = 𝑑0(𝑡,𝑇) + 𝐸𝑡𝑅𝑁 �𝑒−∫ 𝑟(𝑢)𝑑𝑢𝑇𝑡 ∙ 𝑊 ∙ 1𝜏≤𝑇�

เพอใหงายตอการทาความเขาใจ สมมตให recovery payment จาย ณ เวลาทเกด default และ default เกดใน

discrete time interval ทมชวงระยะเวลา ∆ เชน ∆= 1365

และไดรบ recovery เมอสนสดวนท default ดงนนจานวน

period กอนทจะถง maturity จะเปน 𝑛 = 𝑇−𝑡∆

กาหนดใหเปนเลขจานวนเตม

ให 𝑍(𝑡, 𝑖) เปน present value ณ เวลา t ของ default recoveries ใดๆ ในกรณทเกด default เมอ 𝑖 ≤ 𝑇 ซงกคอ

recoveries ทไดรบระหวางเวลา 𝑡 + (𝑖 − 1)∆ กบ 𝑡 + 𝑖∆

ดงนน จะไดราคาของ defaultable zero-coupon bond เปน

𝑑(𝑡,𝑇) = 𝑑0(𝑡,𝑇) + �𝑍(𝑡, 𝑖)𝑛

𝑖=1

Page 16 of 23

โดยท 𝑑0(𝑡,𝑇) เปน present value ของ survival-contingent payment at maturity สวน ∑ 𝑍(𝑡, 𝑖)𝑛𝑖=1 เปน

present value ของ recovery cash flow ทไดรบเมอเกด default กอน maturity

สมมตให interest rate และ default risk เปนอสระตอกน และม known constant fraction w ของ fraction ของ

face value ท recovered มาได ณ default

ใน risk neutral เราจะได conditional probability of default ระหวางเวลาใดๆ คอ สวนตางระหวาง survival

probability ของตน period และทาย period นนเอง

𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏 𝑜𝑓 𝑑𝑒𝑓𝑎𝑢𝑙𝑡 ของชวงเวลา (𝑢,𝑇] = 𝑝𝑅𝑁(𝑡, 𝑢) − 𝑝𝑅𝑁(𝑡,𝑇)

ดงนน

𝑍(𝑡, 𝑖) = 𝛿(𝑡, 𝑡 + 𝑖∆) ∙ 𝑤 ∙ �𝑝𝑅𝑁(𝑡, 𝑡 + (𝑖 − 1)∆)− 𝑝𝑅𝑁(𝑡, 𝑡 + 𝑖∆)�

โดยท 𝛿(𝑡, 𝑠) คอ price ณ เวลา t ของ default-free zero-coupon bond ทเวลา s, w คอ fractional recovery

และ 𝑝𝑅𝑁(𝑡, 𝑡 + (𝑖 − 1)∆)− 𝑝𝑅𝑁(𝑡, 𝑡 + 𝑖∆) = 𝜋𝑖𝑅𝑁 คอ conditional probability of default ในระหวาง

ชวงเวลา 𝑖

ในรปของ continuous time หากเราใหชวงเวลา ∆→ 0 เรากจะได bond price เปน

𝑑(𝑡,𝑇) = 𝑑0(𝑡,𝑇) + w � 𝛿(𝑡,𝑢) 𝜋𝑅𝑁(𝑡,𝑢) 𝑑𝑢𝑇

𝑡

โดยท conditional on information ณ เวลา t แลว 𝜋𝑅𝑁(𝑡, ∙) เปน risk-neutral density ของ default time

นนเอง

𝜋𝑅𝑁(𝑡,𝑢) = −𝑑𝑑𝑢

𝑝𝑅𝑁(𝑡,𝑢)

การคานวนหา 𝜋𝑅𝑁(𝑡, 𝑢) ไดมาจากการ differentiate 𝑝𝑅𝑁(𝑡,𝑢) = 𝐸𝑡𝑅𝑁 �𝑒−∫ 𝜆𝑅𝑁(𝑢)𝑑𝑢𝑇𝑡 � ดวย 𝑑𝑢 นนเอง

𝜋𝑅𝑁(𝑡,𝑢) = 𝐸𝑡𝑅𝑁 �𝑒−∫ 𝜆𝑅𝑁(𝑠)𝑑𝑠𝑢𝑡 𝜆𝑅𝑁(𝑢)�

พจารณาสมการนอกครงหนง

• 𝜋𝑅𝑁(𝑡, 𝑢) คอ ความนาจะเปนทจะเกด default ณ เวลา 𝑢

• 𝑒−∫ 𝜆𝑅𝑁(𝑠)𝑑𝑠𝑢𝑡 คอ ความนาจะเปนทจะ survive จนกระทงกอนถงเวลา 𝑢 (ใน discrete form กคอ survive

จนถง 𝑢 − Δ นนเอง)

• 𝜆𝑅𝑁(𝑢)𝑑𝑢 คอ ความนาจะเปนทจะ default ในระหวาง small time interval [𝑢,𝑢 + 𝑑𝑢] conditional

วาตอง survive จนกระทงถง 𝑢

สาหรบ affine intensity model ของ 𝜆𝑅𝑁 นน คา density 𝜋𝑅𝑁(𝑡, 𝑢) อาจจะเขยนในรปของ closed form ได

Page 17 of 23

สาหรบ risk-neutral affine process 𝑋 สมมตให

𝜆𝑡𝑅𝑁 = 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑋𝑡

จะได

𝑝𝑅𝑁(𝑡, 𝑢) = 𝑒𝛼(𝑡,𝑢)+𝛽(𝑡,𝑢)𝑋𝑡

เราจะหา density 𝜋𝑅𝑁(𝑡,𝑢) ไดเปน

𝜋𝑅𝑁(𝑡,𝑢) = −𝑑𝑑𝑢

𝑝𝑅𝑁(𝑡,𝑢)

= −𝑒𝛼(𝑡,𝑢)+𝛽(𝑡,𝑢)𝑋𝑡[𝛼𝑢(𝑡,𝑢) + 𝛽𝑢(𝑡, 𝑢)𝑋𝑡]

โดยท 𝛼𝑢(𝑡,𝑢) = 𝑑𝑑𝑢𝛼(𝑡,𝑢) และ 𝛽𝑢(𝑡, 𝑢) = 𝑑

𝑑𝑢𝛽(𝑡,𝑢)

รวมสมการทงหมดเขาดวยกน เราสามารถเขยนสมการของ defaultable zero-coupon bond price ไดเปน

𝑑(𝑡,𝑇) = 𝑑0(𝑡,𝑇) + w � 𝛿(𝑡, 𝑢) 𝜋𝑅𝑁(𝑡,𝑢) 𝑑𝑢𝑇

𝑡

= 𝑑0(𝑡,𝑇) + w ∙ � 𝑒𝛼𝑑(𝑡,𝑢)+𝛽𝑑(𝑡,𝑢)𝑋𝑡 ∙𝑇

𝑡⟨𝑒𝛼𝜋(𝑡,𝑢)+𝛽𝜋(𝑡,𝑢)𝑋𝑡[𝛼𝑢(𝑡, 𝑢) + 𝛽𝑢(𝑡, 𝑢)𝑋𝑡]⟩

4. การประยกตใชในประเทศไทยและการกาหนดตวตนแบบ

สมาคมตลาดตราสารหนไทย หรอ Thai Bond Market Association มขอมลของตลาดตราสารหนภาคเอกชน ซง

สามารถเปนแหลงขอมลทสามารถนามาใชศกษาได

รปท 4 ขอมลของตราสารหนภาคเอกชนจากสมาคมตราสารหนไทย http://www.thaibma.or.th/compositerpt/DealerPriceReport.aspx

Page 18 of 23

สาหรบ state variables ทใชในแบบจาลองนน อาจจะเปน assumed observed state variables เชน credit

rating, bond age, firm's trailing one-year stock return, three-month Treasury bill rate, trailing one-year return on the S&P 500 index, firm-level earnings, financial ratios, 1-year idiosyncratic volatility, various macroeconomic variables, including industrial production, interest rates, trailing default rates, aggregate corporate earnings, and indicators for recession [10-12]

แตหาก state variables เปนตวแปรทไมสามารถวดได (latent variable) แต latent variable นนมผลตอ

observable characteristics เรากสามารถ estimate parameters โดยใช dynamic linear model ซง

introduced โดย Kalman (1960) และ Kalman and Bucy (1961) [13]

Kalman filter เปนเทคนคทใชในการประมาณหา unobserved variable โดยประกอบไปดวยสมการ 2 ชด คอ

1. State หรอ Transition Equation ซงม state variable ทเราวดไมได และเปน order one autoregression

𝑥𝑡 = 𝑐𝑡 + 𝑇𝑡𝑥𝑡−1 + 𝜂𝑡 โดย 𝜂𝑡 เปน zero mean, IID error term ทม covariance matrix เปน 𝑄𝑡

2. Measurement หรอ Observable Equation ซงม observable variables 𝑌𝑡 ทขนอยกบ state variable

𝑋𝑡 𝑦𝑡 = 𝑑𝑡 + 𝑍𝑡𝑦𝑡 + 𝜀𝑡

โดย 𝜀𝑡 เปน zero mean, IID error term ทม covariance matrix เปน 𝐻𝑡

หากกาหนดให 𝑎𝑡−1 เปน optimal estimator ของ 𝑋𝑡−1 โดยขนกบ information จนถง 𝑦𝑡−1

𝑎𝑡−1 = 𝐸[𝑥𝑡−1|𝑦𝑡−1]

และให 𝑷𝑡−1 เปน covariance matrix ของ estimation error

𝑃𝑡−1 = 𝐸[(𝑥𝑡−1 − 𝑎𝑡−1)(𝑥𝑡−1 − 𝑎𝑡−1)′]

จะได optimal estimator ของ 𝑥𝑡 เปน

𝑎𝑡|𝑡−1 = 𝑇𝑡𝑎𝑡−1 + 𝑐𝑡

และม covariance matrix ของ estimation error เปน

𝑃𝑡|𝑡−1 = 𝑇𝑡𝑃𝑡−1𝑇𝑡′ + 𝑄𝑡

ชดของสมการ 𝑎𝑡|𝑡−1 และ 𝑃𝑡|𝑡−1 เรยกวาเปน prediction equations

และเมอม new information 𝑦𝑡 เรากสามารถปรบ estimator ของ 𝑥𝑡 , 𝑎𝑡|𝑡−1 ได เรยกวาเปน updating equations

𝑎𝑡 = 𝑎𝑡|𝑡−1 + 𝑃𝑡|𝑡−1𝑍𝑡′ 𝐹𝑡−1 �𝑦𝑡 − 𝑍𝑡𝑎𝑡|𝑡−1 − 𝑑𝑡�

𝑃𝑡 = 𝑃𝑡|𝑡−1 − 𝑃𝑡|𝑡−1𝑍𝑡′𝐹𝑡−1𝑍𝑡𝑃𝑡|𝑡−1

โดยท

𝐹𝑡−1 = 𝑍𝑡𝑃𝑡|𝑡−1𝑍𝑡′ + 𝐻𝑡

Page 19 of 23

โดยม intuition สาหรบ updating equations คอ

• 𝑎𝑡 คอคาทเปน unconditional 𝑎𝑡|𝑡−1 บวกกบสวนตางของ new information ทมาจาก 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑒𝑑 𝑦𝑡 กบ

คาท predict จาก 𝑍𝑡𝑎𝑡|𝑡−1 − 𝑑𝑡

• 𝑃𝑡 คอคาทเปน unconditional 𝑃𝑡|𝑡−1 ลบกบ variance ทลดลงจาก new information 𝑦𝑡

เมอรวม prediction และ updating equations เรยกวาเปน Kalman filter โดย Arnold, Bertus, and Godbey

(2008) ไดแสดงตวอยางของการ estimate Kalman filter ดวย spreadsheet [14]

5. การขยายผลไปสการทา Pricing Credit Derivatives

ในป 1998 International Swaps and Derivatives Association (ISDA) ไดนยาม credit event วาประกอบไปดวย

เหตการณ 8 อยางคอ (1) bankruptcy, (2) credit event upon merger, (3) cross acceleration, (4) cross

default, (5) downgrade, (6) failure to pay, (7) repudiation/moratorium, และ (8) restructuring โดยทง 8

เหตการณนพยายามใหครอบคลมทกสถานการณท credit quality ลดลง

Credit derivative เปน financial contract ทถายโอน credit risk จาก market participant รายหนงไปสอกราย

หนง ทาใหสามารถจดการกบ exposure ตอ credit risk ได โดย Reduced form model เปนแบบจาลองทถกนามาใช

บอยทสดในการหา implied default probabilities จาก market quotes โดย market instruments ทถกนามาใช

ในการหา probabilities เหลานมกจะเปน credit default swap และ bonds

สาหรบในบทความนจะแสดงใหเหนถงมลคาของ single-name credit default swap ซงเปนตราสารอนพนธทาง

เครดตทพบบอยทสด รปแบบพนฐานของ single-name CDS เปน contract ทม maturity โดยมผเกยวของ 2 ฝาย คอ

protection buyer และ protection seller โดยม cash flow ทขนกบการ default กอน maturity ของ third party

ซงเรยกวาเปน reference entity

CDS ใชสาหรบปองกนความเสยงจากการ default ของ reference entity ดงนนเมอยงไมเกด default และยงไมถง

CDS maturity แลว protection buyer จะตองจาย premium ใหแก protection seller เปนระยะๆ โดยทวไปจะจาย

ไตรมาสละครง

ในกรณทเกด default นน default payment จะเทากบ nominal rate คณดวย loss rate ของ bonds เมอเทยบกบ

face value ของ reference entity อกสวนหนงทเปน recovery payment ยงคงตองจายโดย reference entity

ในทนจะใช Reduced-form framework มากาหนดมลคาของ single-name CDS

สมมตใหตารางระยะเวลาทจะตองจาย premium เปน 𝑇1,𝑇2, … ,𝑇𝑛 กาหนดให 𝑇𝑖+1 − 𝑇𝑖 = 𝛿

กาหนดให 𝑖(𝑡) = 𝑚𝑖𝑛{𝑖 𝜖 {1, 2, … ,𝑛}: 𝑇𝑖 > 𝑡} ดงนน 𝑇𝑖 จงเปนกาหนดเวลาทใกลทสดทจะตองจาย premium

หลงจากเวลา t

Page 20 of 23

ให 𝐹 เปน nominal amount ของ CDS

และให CDS ม annualized premium เทากบ 𝑘

ในกรณทไมเกด default ณ เวลา t จะได value ของ future premia (excluding the accrual payment upon

default) เปน

𝑉𝑡𝑝𝑟𝑒𝑚 = 𝐸𝑡

𝑄 � � 𝛿𝑘𝐹𝑒−∫ 𝑟𝑢𝑑𝑢𝑇𝑖𝑡 1𝜏>𝑇𝑖

𝑛

𝑖=𝑖(𝑡)

�

= 𝛿𝑘𝐹 � 𝐸𝑡𝑄 �𝑒−∫ 𝑟𝑢𝑑𝑢

𝑇𝑖𝑡 1𝜏>𝑇𝑖�

𝑛

𝑖=𝑖(𝑡)

= 𝛿𝑘𝐹 � 𝐸𝑡𝑄 �𝑒−∫ (𝑟𝑢+𝜆𝑢)𝑑𝑢𝑇𝑖

𝑡 �𝑛

𝑖=𝑖(𝑡)

สมการสดทายมาจาก Lando equation (1998) นนเอง โดยท 𝐸𝑡𝑄 �𝑒−∫ (𝑟𝑢+𝜆𝑢)𝑑𝑢𝑇𝑖

𝑡 � เปนราคา ณ เวลา t ของ

defaultable zero-coupon bond with zero recovery

กาหนดให ℓ𝜏 = 1 −ℛ𝜏 เปน loss rate ของ reference entity ในกรณทเกด default ดงนน default payment คอ

𝐹ℓ𝜏 ซงม present value เทากบ

𝑉𝑡𝑝𝑟𝑜𝑡 = 𝐸𝑡

𝑄 �𝐹ℓ𝜏𝑒−∫ 𝑟𝑢𝑑𝑢𝜏𝑡 1𝜏≤𝑇𝑛�

= 𝐹� 𝐸𝑡𝑄 �𝑒−∫ (𝑟𝑠+𝜆𝑠)𝑑𝑠𝑢

𝑡 𝜆𝑢ℓ𝑢�𝑇𝑛

𝑡𝑑𝑢

ซงสมการนกไดมาจาก value ของ recovery payment สวนทไดจาก protection seller นนเอง

ในกรณทร loss ลวงหนา และเปน constant จะได

𝑉𝑡𝑝𝑟𝑜𝑡 = 𝐹ℓ� 𝐸𝑡

𝑄 �𝑒−∫ (𝑟𝑠+𝜆𝑠)𝑑𝑠𝑢𝑡 𝜆𝑢�

𝑇𝑛

𝑡𝑑𝑢

เมอเกด default ขน ณ เวลา t คา premium payment กจะเกดขน ณ เวลา 𝑇𝑖(𝜏)−1 ดงนนจะม accrual payment

ขณะ default เทากบ �𝜏 − 𝑇𝑖(𝜏)−1�𝑘𝐹 ซงม present value เปน

𝑉𝑡𝑎𝑐𝑐𝑟 = 𝐸𝑡𝑄 �𝑒−∫ 𝑟𝑢𝑑𝑢

𝜏𝑡 ∙ �𝜏 − 𝑇𝑖(𝜏)−1�𝑘𝐹 ∙ 1𝜏≤𝑇𝑛 �

= 𝑘𝐹 ∙ 𝐸𝑡𝑄 �𝑒−∫ 𝑟𝑢𝑑𝑢

𝜏𝑡 ∙ �𝜏 − 𝑇𝑖(𝜏)−1� ∙ 1𝜏≤𝑇𝑛 �

= 𝑘𝐹� 𝐸𝑡𝑄 �𝑒−∫ (𝑟𝑠+𝜆𝑠)𝑑𝑠𝑢

𝑡 𝜆𝑢 � �𝑢 − 𝑇𝑖(𝑢)−1�𝑇𝑛

𝑡𝑑𝑢

รวมทกสมการเขาดวยกน จะได total present value ของ CDS ทม spread 𝑘 ตอ protection buyer เปน

𝑉𝑡𝐶𝐷𝑆 = 𝑉𝑡𝑝𝑟𝑜𝑡 − 𝑉𝑡

𝑝𝑟𝑒𝑚 − 𝑉𝑡𝑎𝑐𝑐𝑟

Page 21 of 23

= 𝐹� 𝐸𝑡𝑄 �𝑒−∫ (𝑟𝑠+𝜆𝑠)𝑑𝑠𝑢

𝑡 𝜆𝑢ℓ𝑢�𝑇𝑛

𝑡𝑑𝑢 − 𝛿𝑘𝐹 � 𝐸𝑡

𝑄 �𝑒−∫ (𝑟𝑢+𝜆𝑢)𝑑𝑢𝑇𝑖𝑡 �

𝑛

𝑖=𝑖(𝑡)

− 𝑘𝐹� 𝐸𝑡𝑄 �𝑒−∫ (𝑟𝑠+𝜆𝑠)𝑑𝑠𝑢

𝑡 𝜆𝑢 � �𝑢 − 𝑇𝑖(𝑢)−1�𝑇𝑛

𝑡𝑑𝑢

สรป

บทความน ไดกลาวถง พนฐานของ credit risk modeling โดยเนนไปท intensity based approach และการกาหนด

ราคาของ defaultable bond และ credit derivative โดยเทคนคทใชกคอ dynamic term structure models

นนเอง

Page 22 of 23

References

1. ขนธวทย, ศ.ดร.อญญา., คาบรรยายวชา DB 853 Financial Market Development and Innovations,

มหาวทยาลยธรรมศาสตร 2013 2. Duffie, D. and K.J. Singleton, Credit risk : pricing, measurement, and management. Princeton

series in finance2003, Princeton, N.J.: Princeton University Press. 396 p. 3. Lando, D., Credit risk modeling : theory and applications. Princeton series in finance2004,

Princeton, NJ: Princeton University Press. xvi, 310 p. 4. Fabozzi, F.J., Bond markets, analysis, and strategies. 8th ed2013, Boston: Pearson. x, 733 p. 5. Munk, C., Fixed income modelling2011, Oxford ; New York: Oxford University Press. xvi, 556

p. 6. Duffie, D. and R. Kan, A YIELD-FACTOR MODEL OF INTEREST RATES. Mathematical Finance,

1996. 6(4): p. 379-406. 7. Duffie, D., J. Pan, and K. Singleton, Transform Analysis and Asset Pricing for Affine Jump-

diffusions. Econometrica, 2000. 68(6): p. 1343-1376. 8. Cox, J.C., J.E. Ingersoll, Jr., and S.A. Ross, A Theory of the Term Structure of Interest Rates.

Econometrica, 1985. 53(2): p. 385-407. 9. Lando, D., On cox processes and credit risky securities. Review of Derivatives Research, 1998.

2(2-3): p. 99-120. 10. Duan, J.-C., J. Sun, and T. Wang, Multiperiod corporate default prediction—A forward

intensity approach. Journal of Econometrics, 2012. 170(1): p. 191-209. 11. Duffie, D., L. Saita, and K. Wang, Multi-period corporate default prediction with stochastic

covariates. Journal of Financial Economics, 2007. 83(3): p. 635-665. 12. Jiménez, G. and J. Mencía, Modelling the distribution of credit losses with observable and

latent factors. Journal of Empirical Finance, 2009. 16(2): p. 235-253. 13. Harvey, A.C., Forecasting, structural time series models, and the Kalman filter1989,

Cambridge ; New York: Cambridge University Press. xvi, 554 p. 14. Arnold, T., M.J. Bertus, and J. Godbey, A Simplified Approach to Understanding the Kalman

Filter Technique. The Engineering Economist, 2008. 53(2): p. 140-155.

Page 23 of 23