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Análise por Variáveis de Estado(4a parte)
Equação Característica, Autovalor e Auto Vetor
Autovalores:definição - são as raízes da equação característica e são também chamados como os autovalores da matriz A
•Propriedades dos autovalores
•Se os coeficientes de A são reais os autovalores também são reais
•Se 1, , ..., n os autovalores de A então
n
1i i)A(tr
Equação Característica, Autovalor e Auto Vetor
•Propriedades dos autovalores ( cont.)
•tr(A)= soma dos autovalores de A
•Se i, i=1,2...n é um autovalor de A então também o será de A’
•Se A é não singular, com autovalores i, i=1,2...n então 1/i, i=1,2...n serão autovalores de A-1
•
Tópicos:
•Autovetores generalizados
•Transformação de Similaridade
0p)A( ii Em que autovalor de A, é chamado de autovetor
•Se a matriz A tem autovalores múltiplos e é não simétrica então: nem todos os autovetores podem ser encontrados usando-se a equação abaixo
1mqnmqnj
2qn3qnj
1qn2qnj
1qnj
pp)A(
:
pp)A(
pp)A(
0p)A(
•Neste caso os autovalores distintos serão calculados utilizando a equação anterior e os repetidos chamados de autovetores generalizados por
1mqnmqnj
2qn3qnj
1qn2qnj
1qnj
pp)A(
:
pp)A(
pp)A(
0p)A(
Em que
• q= no. de autovetores distintos
• m= no. de autovetores generalizados
•Algumas formas das matrizes que descrevem a equação de estado e de saída são de particular interesse no controle.
•Exemplo a forma canônica de controlabilidade para testes de controlabilidade e projeto em sistemas com retroalimentação.
Transformações de Similaridade
)t(Du)t(Cx)t(y
)t(Bu)t(Axdt
)t(dx
•Dado as equações de estado e de saída
Transformações de Similaridade
)t(xPx
)t(xP)t(x
1_
_
)t(uD)t(xC)t(y
)t(uB)t(xAdt
)t(xd
____
____
Transformações de Similaridade
)t(BuP)t(PxAP
)t(BuP)t(xAPdt
)t(dxP
dt
)t(xd
11
111
_
BPB
APPA
1_
1_
•Equação de estado
Transformações de Similaridade•Equação de saída
)t(uD)t(CPxy__
DD
CPC_
_
Transformações de Similaridade, Transformações de Similaridade, (cont.)(cont.)•Estas transformações mantém propriedades tais como:
•equação característica
• autovalores
• autovetores e
•funções de transferência
Transformações de Similaridade, Transformações de Similaridade, (cont.)(cont.)
PAPPPsPAPSIASI 111_
Como o determinante do produto de matrizes é igual ao produto dos
determinantes então
Transformações de Similaridade, Transformações de Similaridade, (cont.)(cont.)
ASIPASIPASI 1_
Assim a equação característica é preservada o que implica em mesmos
autovalores e autovetores
Transformações de Similaridade, Transformações de Similaridade, (cont.) - função de transferência(cont.) - função de transferência
DBP)APPsI(CPG
DB)AsI(CG111
_
__1
___
)s(GDB)AsI(C)s(G 1
Forma da canônica da controlabilidade
0asa...sasAsI 011n
1nn
Forma da canônica da controlabilidade
SMP
BA...BAABBS1n2
Forma da canônica da controlabilidade
0
0
0
0...
0
1
1
a::::
01...aa
1a...aa
M
1n
32
121
Forma da canônica da controlabilidade
1n210
_1
_
a
1
a
...0
a
0
a
0::::
0...100
0...010
APPA
Forma da canônica da controlabilidade
1
:
0
0
BPB 1_