“Root Locus LGR” - webx.ubi.ptwebx.ubi.pt/~felippe/texts/contr_systems_ppt11p.pdf · e os polos de malha fechada deste sistema são as raízes da equação característica da

Aula 11

“Root Locus – LGR”(Lugar Geométrico das Raízes)

parte I

Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

G(s)

G(s)

)s(G

Sistema de malha fechada

Sistema de malha fechada

O “Root Locus” é o lugar geométrico dos polos do sistema de malha fechada, quando K varia.

Aqui vamos fazer sempre para K > 0, mas também é possível construir o “Root Locus” para K < 0 ou para -∞ < K < ∞.

K


Mas o “Root Locus” é na verdade o lugar geométrico dos polos, ou seja, das raízes da equação característica, do sistema de malha fechada

Logo, o “Root Locus” é traçado no plano complexo

Ou seja, a parte de cima é um espelho da parte de baixo

Plano

Complexo

eixo real

eixo

imaginário

0

jω


“Root Locus” (RL) = Lugar Geométrico das Raízes (LGR)

É fácil de observar que o “Root Locus” é SIMÉTRICO em relação ao eixo real

Como já sabemos, a “função de transferência” de malha fechada (FTMF) do sistema é dada por

1 + G(s)⋅H(s) = 0

)s(H)s(G1

)s(G.T.F

+=

Root Locus – LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

e os polos de malha fechada deste sistema são as raízes da equação característica da FTMF

É fácil de mostrar que estas raízes da equação característicada FTMF são as mesmas raízes que

1 + G(s)⋅H(s) = 0

e depois calcula-se as raízes do numerador.

Estas serão raízes da equação característica da FTMF sem a necessidade de calcular a FTMF

Na verdade, a equação característica desta FTMF é justamente o numerador de


1 + G(s)⋅H(s)

Ou seja, calcula-se a expressão

)4s(

)1s2(K

−+⋅

s

1

s)4s(

)1s2(K1)s(H)s(G1

−+⋅+=+

Observe que:

Exemplo 1:


s)4s(

Ks)4K2(s)s(H)s(G1

2

−+−+=+

logo,

e portanto, a equação característica da FTMF é dada por:

0Ks)4K2(s2 =+−+

que poderia igualmente ser obtida (embora com um pouco mais de contas) através do denominador da FTMF, que é dada por:

Ks)4K2(s

s)1s2(KFTMF

2 +−++=

Exemplo 1 (continuação)


)5s(

)2s(K

+−⋅

)5s(

)K25(s)1K(

+−++=

Exemplo 2:


)5s(

)2s(K1)s(H)s(G1

+−⋅+=+

Observe que:

Vamos fazer o Root Locus do sistema M.F.



Logo, a equação característica do sistema M.F. é:

0)K25(s)1K( =−++e o único polo de M.F. é:

)1K(

)5K2(s

+−=

)5s(

)2s(K

+−⋅


Portanto, o Root Locus deste sistema é o lugar geométrico de s

)1K(

)5K2(s

+−=

no plano complexo, quando varia-se o K, para K > 0.


)5s(

)2s(K

+−⋅


0x o

eixo real

se K = 0

2–5

s→ +2

s = –5

se K →∞

Portanto, é fácil de observar que o Root Locus deste sistema é o segmento de reta no eixo real entre –5 e +2, isto é [–5 ,+2].

Observe que:


eixo

imaginário


eixo real

K→∞K → 0

Na verdade, o segmento de reta que vai de –5 para 2, quando K vai de 0 a ∞.

e note que K = 2,5 quando s = 0.

K = 2,5


0x o

eixo real 2–5

eixo

imaginário


Como este sistema de M.F. é de 1ª ordem,

o único polo de M.F. é real,

e portanto,

este Root Locus fica inteiramente localizado no eixo real.


eixo real

K→∞K → 0 K = 2,5

0x o

eixo real 2–5

eixo

imaginário


O Root Locus permite-nos ver que

para K < 2,5 ⇒ o sistema M.F. é estável,

pois neste caso o único polo M.F. estará no SPE, enquanto que

para K ≥ 2,5 ⇒ o sistema M.F. não é estável.


eixo real

K→∞K → 0 K = 2,5

0x o

eixo real 2–5

eixo

imaginário

3s2s

K2 −+

Exemplo 3:


3s2s

)3K(s2s2

2

−+−++=

)3s()1s(

K1)s(H)s(G1

+−+=+

Observe que:



Logo, a equação característica do sistema M.F. é:

0)3K(s2s 2 =−++e os 2 polos de M.F. são:

K41s −±−=

3s2s

K2 −+



Portanto, o Root Locus deste sistema é o lugar geométrico de s

K41s −±−=

3s2s

K2 −+

no plano complexo, quando varia-se o K, para K > 0.


se K = 0 s = –3 e s = 1

Observe que:

0x

eixo real 1–3

K = 0K = 0

x


eixo imaginário


se K < 4 polos reaisalém disso:

K41s −±−=

se K = 4 polos reais e duplos1s −=

0x

eixo real 1–3

K = 0K = 0 K = 4

x

–1


eixo imaginário


se K = 3 o Root Locuspassa pela origem0s =

e ainda:

0x

eixo real 1–3

K = 0K = 0 K = 4

x

–1

K = 3


eixo imaginário


se K > 4 complexos

conjugados4Kj1s −±−=

Mas este Root Locus não fica restrito ao eixo real, pois

K →∞

K →∞

0x

eixo real 1–3

K = 0K = 0 K = 4

x

–1

K = 3


eixo imaginário

com parte real = –1e a parte imaginária variando de 0 a ∞.


0x

eixo real 1–3

K = 0K = 0

x

–1

K = 3

Resumindo, …

K = 4

K →∞

K →∞

Este Root Locus tem 2 ramos

E mostrando os 2 ramos deste Root Locus com cores diferentes, como faz o Matlab…


eixo imaginário


0x

eixo real 1–3

K = 0K = 0

x

–1

K = 3K = 4

K →∞

K →∞

E mostrando os 2 ramos deste Root Locus com cores diferentes, como faz o Matlab…


eixo imaginário


O Root Locus permite-nos ver que para K ≤ 3 ⇒⇒ o sistema M.F. não é estável,

enquanto que para K > 3 ⇒ o sistema M.F. é estável, pois neste caso os 2 polos M.F. estarão no SPE.


0x

eixo real 1–3

K = 0K = 0

x

–1

K = 3K = 4

K →∞

K →∞

eixo imaginário

Note que o “Root Locus” depende apenas do produto G(s)⋅H(s) e não de G(s) ou de H(s) separadamente.

Portanto, se os 2 sistemas de malha fechada abaixo

então os “Root Locus” destes dois sistemas serão o mesmo


satisfazem

G1(s)⋅H1(s) = G2(s)⋅H2(s)

é chamada de função de transferência do sistemaem malha aberta (FTMA).

G(s)⋅H(s)(FTMA)

é como malha fosse aberta aquitornando-se aberta


A expressão

G(s)⋅H(s)

são chamados de polos e zeros de malha aberta.

m = número de zeros de malha aberta


Portanto, os polos e zeros de

G(s)⋅H(s)

Vamos chamar de n e m o número de polos e zeros de G(s)⋅H(s), respectivamente

ou seja:

n = número de polos de malha aberta

A seguir vamos apresentar 8 regras que auxiliarão na elaboração do esboço do “Root Locus” para um sistema de malha fechada

com FTMA dada por G(s)⋅H(s).


Regras para a construção do “Root Locus”

Regra #1

Número de ramos


Regra #1 – Número de ramos

O número de ramos n de um “Root Locus” é o número de polos de malha aberta, ou seja, o número de polos

de G(s)⋅H(s).


n = nº ramos = nº polos de G(s)⋅H(s)

Regra #2

Intervalos com e sem “Root Locus” no eixo real


Regra #2 – Intervalos com e sem “Root Locus” no eixo real

ou seja, se houver um número ímpar de polos e zeros reais de G(s)⋅H(s) a direita de s.


Um ponto s no eixo real pertencerá ao “Root Locus” se houver um número ímpar de polos e zeros reais de malha

aberta a direita de s.

0xxx x xx o oo o

0xx xo ox o

Exemplo 4:

eixo real

eixo real


Aplicação da Regra #2 –


0

x

x

x

xx ooo o

0xx xo ox o

x

x

o

o

eixo real

eixo real



Aplicação da Regra #2

x– 2

xx– 3 – 1 0

Exemplo 5: Aplicação da Regra #2 –



Considere o sistema de M.F. no qual

)3s()2s()1s(

K)s(H)s(G

+++=

eixo real

Regra #3

Pontos de início e término dos ramos do “Root Locus”


Regra #3 – Pontos de início e término dos ramos do “Root Locus”

ou seja, começam nos n polos de G(s)⋅H(s)

e os restantes: (n – m) ramos do “Root Locus” terminam no infinito (∞)


Os n ramos do “Root Locus” começam nos n polos de malha aberta

ou seja, terminam nos m zeros de G(s)⋅H(s)

m dos n ramos do “Root Locus” terminam nos m zeros de malha aberta

Regra #3 – Pontos de início e término dos ramos do “Root Locus”

Logo, se o número de polos de malha aberta for igual ao número de zeros de malha aberta, então nenhum ramo

termina no infinito (∞)

(continuação)

i.e., a diferença entre o número de polos e zeros de G(s)⋅H(s)


Note que (n – m) é a diferença entre o número de polos de

malha aberta n e o número de zeros de malha aberta m

Se n = m então (n – m) = 0, e portanto nenhum ramo

termina no infinito (∞)

Regra #4

Assíntotas no infinito


Regra #4 – Assíntotas no infinito

Para os (n – m) ramos do “Root Locus” que não terminam nos m zeros de malha aberta, isto é, os m zeros finitos de G(s)⋅H(s), pode-se determinar a direção que eles vão para o infinito no plano complexo.

)mn(

)1i2(º180

−+⋅=γ L,2,1,0i =

γ = ângulo da assíntota com o eixo real


Regra #4 – Assíntotas no infinito

n – m γ = ângulo da assíntota com o eixo real

1 180º

2 90º e –90º

3 60º, –60º e 180º

4 45º, –45º, 135º e –135º

5 36º, –36º, 108º, –108º e 180º

6 30º, –30º, 90º, –90º, 150º e –150º

: : :: : :

Aplicando-se a fórmula obtém-se a tabela abaixo:


(continuação)

Regra #5

Pontos de interseção das assíntotas com o eixo real


Regra #5 – Pontos de interseção das assíntotas com o eixo real

)mn(

)zRe()pRe(n

1i

m

1j

ji

o −

−

=σ∑ ∑

= =

As (n – m) assíntotas no infinito ficam determinadas pelas suas direções (ângulos γ) e pelo ponto onde eles se encontram no eixo real, σo dado pela expressão:


Regra #6

Pontos do eixo real onde há encontro de ramos


Regra #6 – Pontos do eixo real onde há encontro de ramos

0ds

dK =

Primeiro constrói-se a equação

1 + G(s)⋅H(s) = 0,

e daí obtém-se uma expressão para K em função de s:

K(s)

então calcula-se a derivada de K em relação a s, dK/ds

obtém-se os pontos s do eixo real onde há encontro de ramos

Agora, através da equação abaixo em s



0ds

dK =

maior que o número de pontos de encontro de ramos no eixo real

A equação em s

É necessário cancelar as soluções que não sejam pontos pertencentes ao “Root Locus”

s = s1 s = s2 s = s3 s = s4 s = s5 … … …


(continuação)

em geral tem um número de soluções

s = s1 s = s2 s = s3 s = s4 s = s5 … … …

eixo real

Quando há encontro de ramos no eixo real pode ser ramosque se encontram e ENTRAM no eixo real ou ramos que se encontram e PARTEM do eixo real.



(continuação)

Para um ponto

s = s’

onde há encontro de ramos no eixo real,

calculamos a segunda derivada de K(s) em s = s’

s's2

2

ds

Kd

=



(continuação)

eixo real

⇒ 2 ramos que se encontram e PARTEM do eixo real

s’

0ds

Kd

s's2

2

<=

Se



(continuação)

eixo real

⇒ 2 ramos que se encontram e ENTRAM no eixo real

s’

0ds

Kd

s's2

2

>=

Se



(continuação)

eixo real

⇒ mais de 2 ramos que se encontram neste ponto ⇒ prosseguir para Regra #7 – Encontro de mais de dois ramos

s’

0ds

Kd

s's2

2

==

Se



(continuação)




Retornando ao Exemplo 1, fazendo

0s)4s(

)1s2(K1)s(H)s(G1 =

−+⋅+=+

tem-se que:

)1s2(

s)4s(K

+−−=

e portanto:

0)1s2(

)2ss(2

ds

dK2

2

=+

−+=s = –2

s = 1

Logo, s = 1 e s = –2 são os pontos onde há encontro de ramos

Exemplo 6 (continuação) Aplicação da Regra #6


Logo, os pontos onde há encontro de ramos são

1)1s2(

s)4s(K

1s

=+

−−==

Para se saber o valor de K em cada um destes pontos

é necessário substituí-los (s = 1 e s = –2) na expressão

de K

4)1s2(

s)4s(K

2s

=+

−−=−=

s = 1 (K = 1) e

s = –2 (K = 4)


eixo reals’’= –2 s’= 1

K = 1K = 4


os pontos onde há encontro de ramos são

s = 1 (K = 1) e

s = –2 (K = 4)

0



Agora para se saber se cada um destes encontro de ramossão de ramos que CHEGAM ou de ramos que PARTEM, é necessário calcular a segunda derivada

32

2

)1s2(

18

ds

Kd

+−=

substituindo-se pelos pontos onde há encontro de ramos:

s = 1 e s = –2

03

2

)1s2(

18

ds

Kd

1s1s32

2

<−=+

−===

03

2

)1s2(

18

ds

Kd

2s2s32

2

>+=+

−=−=−=

ramos que PARTEM

do eixo real

ramos que ENTRAM

no eixo real

Logo, os pontos onde há encontro de ramos são:

s = 1 (K = 1) ramos que PARTEM do eixo real

s = –2 (K = 4) ramos que ENTRAM no eixo real



eixo reals’’= –2 s’= 1

K = 1K = 4

0




)3s()2s()1s(

K)s(H)s(G

+++=

então

0)3s()2s()1s(

K1)s(H)s(G1 =

++++=+

6s11s6s

)3s()2s()1s(K

23 −−−−=

+++−=

11s12s3ds

dK 2 −−−=

Retornando ao Exemplo 5



logo, fazendo

011s12s3 2 =−−−0ds

dK =

s = –1,423

s = – 2,58

x– 2

xx– 3 – 1 0

agora, observando os intervalos com e sem“Root Locus” no eixo real (exemplo 5)

concluímos que somente uma das soluções,

s = –1,423está numintervalo com“Root Locus”

eixo real

Regra #7

Encontro de mais de dois ramos


Regra #7 – Encontro de mais de dois ramos

0ds

Kd

s's2

2

==

Na aplicação da regra anterior se

isto significa que há encontro de mais de dois ramos e tem que se continuar a derivar K(s) para derivadas de ordem mais altas

k

k

ds

KdL,5,4,3k =

até que

0ds

Kd

s'sη

η

≠=

para algum η



isto significa que há encontro de η ramos em s’

0ds

Kd

s's

≠=

η

η

Se

ou seja, η ramos CHEGAM e η ramos PARTEM em s’

0ds

Kd

s'sk

k

==

e para ∀ k < η


(continuação)

O encontro de 3 ramos ou mais não é muito comum Certamente ocorre com menos frequência que o encontro de 2 ramos (Regra #6) Portanto esta Regra #7 não é sempre utilizada. Somente naqueles casos em que, ao aplicar a Regra #6, nós encontrarmos

0ds

Kd

s's2

2

==

eixo reals’



3 ramos CHEGAM

e 3 ramos PARTEM

em s’

Um encontro de 3 ramos em s’ pode ter o seguinte aspeto

(continuação)


eixo reals’

4 ramos CHEGAM

e 4 ramos PARTEM

em s’


(continuação)

Um encontro de 4 ramos em s’ pode ter o seguinte aspeto



Encontro de mais de dois ramos

)1s(

K)s(H)s(G

3 −=

1sK 3 +−=

0s3ds

dK 2 =−=

0)s(H)s(G1 =+

s’ = 0

0s6ds

Kd0s

0s2

2

=−= ==

aplicar Regra #7(a começar pela

derivada de 3ª ordem)

eixo reals’= 0

3 ramos CHEGAM

e 3 ramos PARTEM

em s’= 0



06ds

Kd

0s3

3

≠−==

encontro de 3 ramos em s’ = 0

1

–0,5 + 0,866j

–0,5 – 0,866j

x

x

x

K = 0K = 0

K = 0

K = 1

K = ∞

K = ∞

K = ∞

Este exemplo apenas ilustra a aplicação da Regra #7Para fazer o esboço deste “Root Locus” completo é necessário aplicar todas as regras

Felippe de Souza

[email protected]

Obrigado!

Departamento de Engenharia Eletromecânica

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