Analise Real Jadson Da Silva Souza

Universidade Federal de GoisInstituto de Matemtica e Estatstica

Programa de Mestrado Profissional emMatemtica em Rede Nacional

Nmeros Reais: Um Corpo Ordenado eCompleto

Jadson da Silva Souza

Goinia2013


Nmeros Reais: Um Corpo Ordenado eCompleto

Trabalho de Concluso de Curso apresentado ao Programade PsGraduao do Instituto de Matemtica e Estatsticada Universidade Federal de Gois, como requisito parcialpara obteno do ttulo de Mestre em matemtica

rea de concentrao: Matemtica do Ensino Bsico.

Orientador: Prof. Dr. Maurlio Mrcio Melo

Goinia2013

Dados Internacionais

de Catalogao na Publicao

(CIP)

GPT/BC/UFG

S729n

Souza, Jadson da Silva.

Nmeros reais

[manuscrito]

: um corpo ordenado e

completo

/ Jadson da Silva Souza.

-

2013.

f. : figs.

Orientador: Prof. Dr.

Maurlio Mrcio Melo.

Dissertao (Mestrado)

Universidade Federal de Gois,

Instituto de Matemtica e Estatstica, 2013.

Bibliografia.

Inclui lista de figuras.

1. Nmeros reais. 2. Corpo ordenado completo. 3.

Decimais. I. Ttulo.

CDU: 517.13

61

Todos os direitos reservados. proibida a reproduo total ou parcial dotrabalho sem autorizao da universidade, do autor e do orientador(a).


Licenciado em Matemtica e Especialista em Educao Matemtica pelaUEG. Professor da Secretaria de Educao do Estado de Gois e da SecretariaMunicipal de Educao de Anpolis, atuando no ensino bsico desde 2005.

minha esposa e filhas, pelo reconhecimento dos valiosos incentivos con-cluso de mais uma etapa de minha vida.

Agradecimentos

Aos professores, tutores e coordenadores do IME-UFG pelo empenho e dedi-cao mostrados ao longo do curso, em especial ao Prof. Dr. Maurlio Mrcio Melo peladedicao durante a orientao deste, aos colegas de turma pelo apoio e compreenso nosmomentos difceis e a CAPES pelo suporte financeiro.

No h ramo da Matemtica, por mais abstrato que seja, que no possaum dia vir a ser aplicado aos fenmenos do mundo real.

Nikolai Ivanovich Lobachevsky.

Resumo

Souza, Jadson da Silva . Nmeros Reais: Um Corpo Ordenado e Completo.Goinia, 2013. 61p. Trabalho de concluso de curso. Instituto de Matemtica eEstatstica, Universidade Federal de Gois.

Este trabalho tem como objetivo ampliar os conhecimentos sobre os nmeros reais,proporcionando uma nova perspectiva sobre sua construo conceitual. Inicialmente,aborda-se alguns fatos histricos que foram de maior importncia no processo da evoluoconceitual dos nmeros reais. Posteriormente, por meio do desenvolvimento das teorias delgebra, de conjuntos e de anlise matemtica, utiliza-se de um mtodo axiomtico paraexpor uma construo do corpo ordenado e completo dos reais, enunciando e provandoalgumas de suas propriedades. Finalmente, abordam-se alguns aspectos relevantes dacorrespondncia entre o corpo dos reais e a reta, e ainda da correspondncia entre o corpodos reais e os decimais.

Palavraschave

Nmeros Reais, Corpo Ordenado Completo, Decimais, Reta

Abstract

Souza, Jadson da Silva . Real Numbers: A Complete Ordered Field. Goinia,2013. 61p. Completion of course work. Instituto de Matemtica e Estatstica,Universidade Federal de Gois.

This paper aims to expand knowledge about the real numbers, providing a new perspectiveon their conceptual construction. Initially, covers up some historical facts that were ofutmost importance in the process of conceptual evolution of the real numbers. Secondly,through the development of theories of abstract algebra, sets and mathematical analysis, isused a axiomatic method to expose the complete ordered field of real, stating and provingsome of its properties. Finally, we discuss some relevant aspects of the correspondencebetween the real field and line, and also the correspondence between the real field anddecimals.

Keywords

Real Numbers, Complete Ordered Field, Decimals, Line

Sumrio

Lista de Figuras 12

Introduo 13

1 Fundamentos Bsicos sobre Conjuntos e lgebra Abstrata 161.1 Fundamentos Bsicos sobre Conjuntos 16

1.1.1 Noes bsicas de Conjuntos 161.1.2 Operaes entre Conjuntos 181.1.3 Noes bsicas de Funes 201.1.4 Conjuntos Finitos, Infinitos e Enumerveis 21

Conjuntos Finitos 21Conjuntos Infinitos 22Conjuntos Enumerveis 23

1.2 Fundamentos Bsicos de lgebra Abstrata 261.2.1 Grupos 261.2.2 Anis e Anis de Integridade 28

Anis e Subanis 28Anis Comutativos e Anis com Unidade 29Anis de Integridade 30

1.2.3 Corpo 30Corpo 30Corpo Ordenado 32Corpo Ordenado Completo 34

2 Nmeros Reais 372.1 Nmeros Reais como um corpo ordenado e completo 37

2.1.1 O corpo dos reais 372.1.2 O corpo ordenado dos reais 412.1.3 Completeza dos reais 43

2.2 Representao na reta dos nmeros reais 462.2.1 Nmeros inteiros sobre a reta 462.2.2 Nmeros racionais sobre a reta 472.2.3 Nmeros no racionais na reta 482.2.4 Nmeros reais na reta 49

2.3 Representao decimal dos nmeros reais 522.3.1 Expresses decimais e aproximaes de nmeros reais 522.3.2 Uma funo sobrejetiva e quase injetiva. 532.3.3 Dzimas peridicas simples e compostas. 56

Concluso 58

Referncias Bibliogrficas 60

Lista de Figuras

1.1 Diagrama de Venn representando a situao A B. 181.2 Diagrama de Venn representando o conjunto AB. 181.3 Diagrama de Venn representando o conjunto A B. 191.4 Diagrama de Venn representando o conjunto diferena AB. 191.5 Enumerao do conjunto X = X1X2 ...Xn .... 251.6 Enumerao do conjunto Q+. 26

2.1 Nmeros inteiros positivos sobre a reta. 472.2 Nmeros inteiros sobre a reta. 472.3 Nmeros racionais sobre a reta. 482.4 Tringulo retngulo em . 482.5 Nmeros no racionais sobre a reta r. 482.6 Nmeros no racionais sobre a reta r. 492.7 Reta real. 492.8 Soma de dois reais positivos na reta real. 502.9 Representao geomtrica da comutatividade da adio em R+. 502.10 Representao geomtrica da multiplicao em R+. 512.11 Representao na reta do valor absoluto |x y|. 51

Introduo

Aspectos Histricos

Pode-se destacar como um dos marcos ao incio do desenvolvimento histricodos nmeros reais a crise pitagrica na Grcia, ocasionada pela descoberta dos segmentosincomensurveis, que provavelmente deve ter sido feita por um pitagrico, no perodoentre 500 e 350 a.C. Apesar de Proclus (450 d.C) parecer ter atribudo essa descobertaa Pitgoras. A prova mais antiga sobre medidas incomensurveis que se conhece foiapresentada por Aristteles, e se refere a diagonal e ao lado de um quadrado. A verificaotrata-se de uma prova indireta, baseada no teorema de Pitgoras, e no fato de que, oquadrado de um nmero par tambm um nmero par, mais detalhes dessa prova ( [9] ,p. 55).

A prova de que os lados de quadrados cujas reas so os no-quadrados3,5,7,...,17 no so comensurveis com o lado de quadrado 1 foi atribudo a Teodorode Cirene (c. 390 a.C.). Em linguagem moderna ele provou a irracionalidade de

3,

5,7, ... ,

17. Em consequncia das grandezas incomensurveis surge a necessidade de se

construir uma teoria das propores independente da comensurabilidade, tal construofoi feita por Eudoxo (c. 370 a.C.), a qual serviu como base do Livro V dos Elementosde Euclides([2], pp. 74 87), um dos livros escrito pelo matemtico grego Euclides emAlexandria por volta de 300 a.C. Os Elementos de Euclides tiveram enorme importnciapara o desenvolvimento da geometria no que se refere organizao lgica e axiomtica.

Esse processo de organizao lgica e axiomtica na lgebra foi tardio con-siderando que as primeiras tentativas nesse sentido ocorreram no incio do sculo XIXe continuaram ao longo desse sculo por meio de trabalhos diversos como, por exem-plo, os feitos pelo matemtico noruegus Niels Henrik Abel (1802-1829) que no ano de1824 provaram a impossibilidade de se obter uma frmula geral por meio de radicaisque expressasse as razes de uma equao de grau 5. Mesmo assim, ainda restava umaquesto. O que caracterizava no aspecto matemtico os casos de equaes de grau 5 quepodem ter suas razes expressas por meio de radicais atravs de uma frmula geral? Estaquesto surgiu do fato de que as equaes de grau 5 no so, de modo geral, resolveispor radicais, mas alguns tipos o so, como j se sabia bem antes de Abel. A resposta a

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essa pergunta seria dada pelo matemtico francs Evariste Galois (1811-1832) cuja obradelineava pela primeira vez o conceito de grupo.

Apesar do conceito de corpo j estar nessa poca, implcito em trabalhos deAbel e Galois foi o matemtico alemo Richard Dedekind (1831-1916) que conseguiuexplicit-lo. Tal feito ocorreu no ano de 1879 quando publicou o livro "ber die Theorieder Ganzen Zahlen algebraischen"que definiu a noo de corpo numrico como umacoleo de nmeros que formam um grupo abeliano com relao s operaes de adioe multiplicao (com a exceo do zero), e na qual a multiplicao distributiva comrelao adio. Dedekind fez muitas contribuies importantes no campo da lgebra,especialmente, para teoria dos nmeros algbricos, nos fundamentos dos nmeros reais eteoria de anel, sua obra prima foi o "Corte de Dedekind"([2], p. 411).

Deve-se, tambm, destacar a teoria dos Conjuntos criada por Georg Cantor(1845-1918), a qual foi publicada em uma srie de artigos a partir de 1874. Em seustrabalhos Cantor estendeu a ideia de cardinal para conjuntos finitos e seu grande mrito foiperceber a existncia de uma hierarquia para os cardinais transitivos, ou seja, desenvolveuo conceito de enumervel. Cantor ainda conseguiu mostrar que os inteiros e os racionaisso enumerveis ([2], p. 414). Ainda mostrou que o conjunto dos nmeros reais temcardinal maior que os dos conjuntos enumerveis e que esse cardinal igual ao dosconjuntos irracionais, contrariando a velha ideia de que o todo tinha que ser maior doque a parte.

Em virtude dos conceitos desenvolvidos pelos matemticos aqui citados, dentreoutros de importncia relevante, durante o sculo XIX, foi possvel desenvolver ideiasda lgebra, do Clculo e da Anlise Matemtica que contriburam para a construo dosnmeros reais.

Situao Atual

A anlise de livros didticos de matemtica constitui um parmetro indicador doestado atual em que se encontra o ensino da mesma. Especificamente no ensino bsicopode-se constatar, pela leitura de [18], que o contedo dos nmeros reais, na maioria dasvezes equivocadamente, apresentado simplesmente como a unio dos racionais comos irracionais criando assim um problema de circularidade nesse conceito. Observa-sea necessidade do conhecimento prvio dos reais para se definir os nmeros irracionais.No ensino superior, pela leitura de [3], percebe-se que muitos dos livros didticos dematemtica persistem no equvoco da circularidade do conceito dos reais, ou ainda, tratamdos reais como um objeto de conhecimento dos alunos, no caso futuros professoresde matemtica. Ento como solucionar esse problema de circularidade do conceito dosnmeros reais?

15

Ao se deparar com essa situao no ensino bsico, uma abordagem maisaxiomtica visivelmente invivel, pois para isso teria-se que introduzir conceitosmatemticos complexos a nvel bsico. No entanto, no ensino superior, o tratamento maisestruturado e axiomtico dos conceito dos reais se faz necessria, no mbito de preparar ofuturo professor de matemtica a lidar e construir ferramentas pedaggicas que permitamminimizar ou resolver o problema da circularidade do conceito dos reais, a nvel de ensinobsico.

Considerando os reais como apenas a unio dos racionais com os irracionais,deixa-se de apresentar fatos relacionados ao mesmo que so importantes em contextosmais amplos, por exemplo, de que as propriedades dos reais so consequncias diretas dofato dos reais serem um corpo ordenado e completo.

Diante do exposto faz-se necessria uma reformulao na exposio dos con-tedos matemticos que privilegie a correo dos conceitos, bem como a apresentaosistemtica fundamentada das proposies enunciadas.

Apresentao dos Captulos

Esse trabalho est dividido em 4 captulos:O captulo 1, que desenvolve-se no momento, contm alguns aspectos histricos

que motivaram o desenvolvimento desse trabalho e uma abordagem sobre como atual-mente se ensina os nmeros reais.

O captulo 2, inicia-se com a linguagem de conjuntos de forma a apresentar al-gumas de suas definies, exemplos, teoremas ou proposies e suas demonstraes fo-cando conceitos relacionados a: operaes entre conjuntos, comparao entre conjuntos,conjuntos finitos e infinitos, conjuntos enumerveis, dentre outros. Ainda nesse captulo,so dadas as definies e propriedades consequentes de algumas das estruturas funda-mentais da lgebra: grupo, anel e corpo, focando principalmente a estrutura denominadacorpo que pea fundamental para o desenvolvimento deste trabalho.

O captulo 3, contm o desenvolvimento da proposta deste trabalho que definiros reais como um corpo, ordenado e completo. Inicialmente, defini-se esse fato de maneiraformal, ou seja, usando as definies, axiomas, teoremas e postulados da linguagemde conjuntos, da lgebra e da anlise desenvolvidos no captulo anterior. Ainda nessecaptulo, aborda-se o corpo dos reais de duas formas, onde em uma delas apresenta-se acorrespondncia entre o corpo ordenado completo dos reais e a reta numrica, enquanto aoutra apresenta a correspondncia entre o corpo ordenado dos reais e os decimais.

O captulo 4, contm as consideraes finais acerca do trabalho desenvolvido.

CAPTULO 1Fundamentos Bsicos sobre Conjuntos elgebra Abstrata

1.1 Fundamentos Bsicos sobre Conjuntos

Nesta seco no tratar-se- dos aspectos rigorosos da teoria dos conjuntos e simde alguns aspectos fundamentais de linguagem de conjuntos, os quais so base para odesenvolvimento deste trabalho. Para maiores detalhes sobre o assunto, ou mesmo, paraencontrar alguns dos resultados apresentados nessa seco, indicam-se as referncias [8],[12], [13] e [15].

1.1.1 Noes bsicas de Conjuntos

Um conjunto uma coleo de objetos, denominados seus elementos, a relaobinria entre um objeto e o conjunto de pertinncia, ou seja:

1) Se um objeto a um dos elementos que compem o conjunto A, dizemos que apertence ao conjunto A e escreve-se a A;

2) Se um objeto a no um dos elementos que compem o conjunto A, dizemos quea no pertence ao conjunto A e escreve-se a / A.

Exemplo 1.1 Conjunto dos Nmeros NaturaisA coleo dos nmeros naturais 1,2,3,..., representada pelo simbolo N um

exemplo de conjunto. A teoria sobre os nmeros naturais parte dos trs axiomas abaixo,

conhecidos como axiomas de Peano.

(A1) Todo nmero natural possui um sucessor que tambm natural. E ainda, nmeros

naturais distintos possuem sucessores distintos;

(A2) Existe um nico nmero natural, denotado por 1, que no sucessor de nenhum

outro;

1.1 Fundamentos Bsicos sobre Conjuntos 17

(A3) (Princpio da Induo) Se um conjunto, constitudo apenas por nmeros naturais,

contm o nmero 1 e tambm o sucessor de cada um de seus elementos, ento esse

conjunto contm todos os nmeros naturais.

Vale destacar que o terceiro axioma fornece uma ferramenta muito eficaz na matemtica,

conhecida como Princpio da Induo [13, pg.34]. Pode-se representar os conjuntos dosnmeros naturais atravs da seguinte notao: N = {1,2,3,4, ...}.

Em matemtica um conjunto pode ser caracterizado, por uma propriedade co-mum a cada um dos seus elementos ou ainda, listando todos os seus elementos.

Exemplo 1.2 Seja o conjunto P dos nmeros naturais pares, esse conjunto pode ser bemrepresentado de qualquer uma das formas abaixo:

P={x N ; x par }; P={2,4,6,8,10,...}.

Tambm em matemtica os elementos dos conjuntos no so necessariamentenmeros, podendo ser figuras geomtricas, pessoas, etc.

Exemplo 1.3 Como, por exemplo, o conjunto R dos poliedros regulares de Plato:R={tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro, icosaedro}.

Definio 1.1 Conjunto vazio que representado por /0 ou {} um conjunto que nopossui elementos.

Exemplo 1.4 Segue-se alguns exemplos de conjuntos vazios:

a) Seja A = {x; x2 = 9 e x par}, ento A= /0;b) Seja B, o conjunto de brasileiros que possuem altura superior a 4 metros, ento

B= /0.

Dados dois conjuntos A e B, a relao entre eles de incluso, diz-se que A subconjuntode B, se todos elementos de A so tambm elementos de B, ou seja, A est contido em B,indicando com a notao A B, ou ainda, pode-se afirmar que B contm A, indicado pelanotao B A.

Exemplo 1.5 Sejam A= {a,b,c,d}, B= {e, f ,g,h} e C= {a,b,c,d,e, f ,g}. Ento AC(ou C A ), pois todo elemento do conjunto A tambm elemento do conjunto C.Entretanto, B no est contido em C , pois o elemento h B e h /C.


1.1.2 Operaes entre Conjuntos

Quando se fala das operaes entre conjunto interessante salientar que uma fer-ramenta matemtica bastante til na visualizao dessas operaes o diagrama de Venn.A ideia a seguinte: primeiro para representar o conjunto de todos os elementos con-siderados traa-se um retngulo de dimenses arbitrrias. Depois, para cada subconjuntoprprio do universo que o retngulo representa traa-se uma curva fechada e convexa, nointerior desse retngulo, por exemplo:

Seja U o universo considerado e sejam A e B subconjuntos prprios de U , entoa relao A B representada na Figura 1.1.

Figura 1.1: Diagrama de Venn representando a situao A B.

Definio 1.2 Dados dois conjuntos A e B, a reunio dos conjuntos A e B o conjuntoAB, formado pelos elementos de A mais os elementos de B, portanto:

A B = {x;x A ou x B}.

O ouacima diferente do usado no senso comum, o ou em matemtica,

no caso acima, significa que pertence a pelo menos um dos conjuntos sem excluir a

possibilidade de pertencer ao mesmo tempo aos dois.

Figura 1.2: Diagrama de Venn representando o conjunto AB.

Exemplo 1.6 Sejam A = {1,3,5,7,9,10} e B = {2,4,6,8,10}. Ento, a reunio dosconjuntos A e B o conjunto AB = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.


Definio 1.3 Dados dois conjuntos A e B, a interseo dos conjuntos A e B o conjuntoAB, formado pelos elementos que pertencem simultaneamente aos conjuntos A e B,portanto:

A B = {x;x A e x B}.Se A e B no possuem nenhum elemento em comum, ento A B = /0. Neste

caso, afirma-se que A e B so conjuntos disjuntos.

Figura 1.3: Diagrama de Venn representando o conjunto A B.

Exemplo 1.7 Sejam A={1,3,5,7,9,10} e B= {2,4,6,8,10}. Ento, AB= {10}.Definio 1.4 Dados dois conjuntos A e B, a diferena dos conjuntos A e B o conjuntoAB, formado pelos elementos que pertencem a A e no pertencem a B, portanto:

AB = {x;x A e x / B}.

Figura 1.4: Diagrama de Venn representando o conjunto diferenaAB.

Exemplo 1.8 Sejam A={1,3,5,7,9,10} e B= {2,4,6,8,10}. Ento AB= {1,3,5,7,9}.Definio 1.5 Dados dois conjuntos A e B, o produto cartesiano dos conjuntos A e B o conjunto AB, onde seus elementos so todos pares ordenados (a,b) cuja a primeiracoordenada pertence a A e a segunda a B.

AB = {(a,b);a A e b B}.Exemplo 1.9 Sejam A={1,3,5} e B= {2,10}. Ento:

AB= {(1,2),(1,10),(3,2),(3,10),(5,2),(5,10)}.


1.1.3 Noes bsicas de Funes

Definio 1.6 Um funo f de um conjunto A em um conjunto B uma regra que a cadaelemento x A associa um nico elemento y = f(x) B, onde f(x) denominado o valor def no elemento x. O conjunto A chamado domnio da funo f, e o conjunto B chamado

contradomnio. A notao de uma funo f de um conjunto A em um conjunto B dada

por:

f: A B.

O conjunto dos elementos y B tais que existem pelo menos um x A tal quef(x) = y B chamado imagem de A pela funo f e designado por f(A).

Exemplo 1.10 Sejam S o conjunto dos polgonos do plano, R o conjunto dos nmerosreais e f: S R a funo que associa a cada polgono x sua rea f(x).

Definio 1.7 Uma funo f: A B tal que f(A)= B, ou seja, o conjunto imagem coincidecom o contradomnio chamada de sobrejeo ou funo sobrejetiva.

Exemplo 1.11 Seja f: R R definida por f(x)=x2, ento f no sobrejetora, pois oconjunto imagem de f no contm nmeros negativos. No entanto, a funo identidade

i : Z Z, definida por i(x) = x sobrejetiva, pois cada nmero inteiro levado por i nelemesmo. Logo, o conjunto imagem de i igual ao seu contradomnio, ou seja, i(Z)=Z.

Definio 1.8 Uma funo f: A B uma injeo ou funo injetiva se, para todox1,x2 A, com x1 6= x2, tem-se f(x1) 6= f(x2), ou seja, f leva elementos distintos de A emelementos distintos de B, ou ainda, se f(x1) = f(x2) implica que x1 = x2.

Exemplo 1.12 A funo identidade i: Z Z, definida por i(x) = x injetiva. De fato, sei(x1) = i(x2) x1 = x2. Por outro lado, se for considerada a funo f: Z Z, definidapor f(x)=x2. Ento f no injetiva, pois f(-2) = f(2), no entanto, -2 6= 2.

Definio 1.9 Uma funo f: A B uma bijeo ou funo bijetiva se, ao mesmotempo uma injeo e uma sobrejeo.

Exemplo 1.13 A funo identidade i: Z Z, definida por i(x) = x bijetora, pois dosExemplos 1.11 e 1.12 segue-se que i uma funo injetiva e sobrejetiva. Por outro lado,

se considerada a funo f : Z Z, definida por f (x)=x2. Segue-se do Exemplo 1.12 quef no se trata de uma funo injetiva, consequentemente nem bijetiva.


1.1.4 Conjuntos Finitos, Infinitos e Enumerveis

Conjuntos Finitos

Definio 1.10 Um conjunto X denomina-se finito quando ocorre um dos casos:

a) vazio;

b) Existe, para algum n N , uma bijeo f : In X, onde In o conjunto {1,2,3,...,n}dos nmeros naturais N de 1 at n.

No primeiro caso, diz-se que o conjunto X vazio, j no segundo caso, que o conjunto

X tem n elementos ou que tem nmero cardinal n. Informalmente, a correspondncia

f : In X, chama-se uma contagem do conjunto X.

Lema 1.1 Se existe uma bijeo f : X Y , ento dado a X e b Y existe uma bijeog : X Y tal que g(a) = b.

Prova. Se f (a) = b, nada a provar. No entanto, se f (a) 6= b, como f sobrejetiva, existef1(b) X tal que f ( f1(b)) = b, define-se a bijeo g : X Y pondo: g(x) = f (x) sex 6= a e x 6= f1(b), enquanto, g(a) = b e g( f1(b)) = f (a).

Teorema 1.1 Seja A um subconjunto de In, se existir uma bijeo f : InA, ento In =A.

Prova. A prova decorre-se por induo em n. Para n = 1, tem-se que existe uma bijeof : I1 A, o que implica que f (1) = 1, ou seja, A = I1 = {1}. Agora, suponha queo resultado seja vlido para um certo nmero n e considere uma bijeo f : In+1 A.Fixando a= f (n+1), a restrio de f a In fornece uma bijeo g : In A{a}, podendoocorrer duas situaes:

1a) Se tiver A{a} In, ento decorre-se da hiptese de induo que A{a} = In,donde a = n+1 e A = In+1.

2a) Se no tiver A{a} In, ento deve-se ter n+ 1 A{a}, sendo assim exiteb In+1 tal que f (b) = n+ 1. Logo, decorre-se do Lema 1.1, que pode-se definiruma bijeo h : In+1 A pondo h(x) = f (x) se x 6= b e x 6= n + 1, enquantoh(b) = a e h(n+ 1) = n+ 1. Agora, a restrio de h a In fornece uma bijeom : In A{n+ 1}, logo A{n+ 1} In e pela hiptese de induo decorre-se que A{n+1}= In, donde A = In+1.

Conclui-se assim a demonstrao.

Corolrio 1.1 Sejam f: In X e g: Im X duas bijees, ento m = n.


Prova. Considera-se apenas o caso em que m n, j que os demais so anlogos. Nessecaso tem-se que Im In. Pondo A=Im, do Teorema 1.1, obtm-se Im=In e, portanto, m= n.

Teorema 1.2 Se X um conjunto finito, ento todo subconjunto Y X finito.

Prova.Basta considerar o caso em que X = In. Para n = 1, os nicos subconjuntos

possveis de I1 so o prprio I1 e /0. Logo, Y = I1 ou Y = /0 os quais so finitos.Suponhamos que o resultado seja verdadeiro para X = In e verifiquemos que o

resultado vale para X = In+1. De fato:Se Y In Y finito pela hiptese de induo.Agora, se n+1Y Y {n+1} In Existe a bijeo : IpY {n+1},

com p n. Seja : Ip+1 Y a bijeo tal que

(x) =

{(x), se x Ip,n+1, se x = p+1.

Isto implica que Y finito com nmero de elementos p+ 1. Como p n, entop+1 n+1.

Finalmente, como no pode existir uma bijeo f : InY de um conjunto finitoIn sobre uma parte prpria Y In segue que se Y In, com n elementos, ento Y = In.

Exemplo 1.14 O conjunto dos poliedros regulares de PlatoDado o conjunto R={tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro, icosaedro}

pode-se facilmente estabelecer uma bijeo com o conjunto I5={1, 2, 3, 4, 5}. Seja

r : I5 R essa bijeo, para defini-la basta escolher a imagem em R de r(1), r(2),r(3), r(4) e r(5) que pode ser feito de 5.4.3.2.1= 120 modos, logo pode-se construir ao

todo 120 bijees. Por exemplo, pondo r(1)=tetraedro, r(2)=hexaedro, r(3)=octaedro,

r(4)=dodecaedro e r(5)=icosaedro, assim o conjunto R finito e 5 nmero cardinal do

conjunto R, independendo das escolhas entre as 120 bijees (contagens) possveis.

Conjuntos Infinitos

Definio 1.11 O conjunto X infinito quando no finito, ou seja, X infinitoquando no vazio e nem existe, para algum n N, uma bijeo f: In X, no qualIn={1,2,3, ...,n} com n N.


Exemplo 1.15 Segue alguns exemplos de conjuntos infinitos:

1) O conjunto N = {1, 2, 3, 4, ...} dos nmeros naturais;2) O conjunto Z = {0,1, 2, 3,4, ...} dos nmeros inteiros;3) O conjunto Q = {

ab

; a, b Z e b 6= 0 } dos nmeros racionais;4) O conjunto R dos nmeros reais;5) O conjunto C= {z = a+b i; a,b R} dos nmeros complexos.

Teorema 1.3 Se X um conjunto infinito, ento existe uma funo injetiva f : N X.

Prova. Considerando os conjuntos no vazios An X , com n N. Pode-se es-colher x1 A1 = X , pois A1 no vazio, e ponha x1 = f (1). Da mesma forma,escolhe-se x2 A2 = X { f (1)}, sendo que A2 no vazio, pois X infinitoe colocando x2 = f (2). Considerando esse processo sucessivamente tem-se quexn An = X { f (1), f (2), ..., f (n 1)}, com An no vazio, pois X infinito eagora defina a funo f :N X tal que f (n)= xn. Nessas condies f injetiva. Defato, se a 6= b, considere apenas o caso a < b, pois o caso b < a anlogo, entof (a) { f (1), f (2), ..., f (b 1)} porm f (b) X { f (1), f (2), ..., f (b 1)}, portantof (a) 6= f (b).

Conjuntos Enumerveis

Definio 1.12 Um conjunto X enumervel quando finito ou quando existe umabijeo com o conjunto dos nmeros naturais N. Seja f:N X essa bijeo, ento fdenomina-se uma enumerao de X, colocando f(1)= x1, f(2)=x2, ..., f(n)=xn, .... Assim,X={x1,x2, ...,xn, ...}. Analogamente, se X for finito e no vazio, segue-se da Definio1.10 que existe uma bijeo g : In X, com n N, ento uma enumerao de X pode serdefinida por g, colocando g(1)= x1, g(2)=x2, ..., g(n)=xn. Assim, X={x1,x2, ...,xn}.

Exemplo 1.16 O conjunto dos nmeros naturais pares 2.N = {2,4,6,8, ...} enu-mervel, basta tomar a bijeo f : N 2.N definida por f (n) = 2.n.

Exemplo 1.17 O conjunto Z dos inteiros {...,3,2,1,0,1,2,3, ...} enumervel,basta tomar a bijeo f:N Z definida por f (1) = 0, f (2.n) = n e f (2.n+1) =n.

Teorema 1.4 Se X enumervel e Y X, ento Y enumervel.

Prova. Se X enumervel e finito, ento decorre-se do Teorema 1.2, que Y X tambm finito. Logo, da Definio 1.12 segue-se que Y enumervel. Agora, se X enumervele infinito, ento existe uma bijeo f :N X , tal que X = { f (1), f (2), f (3), f (4), ...}.


Se Y X for finito, ento Y enumervel. No entanto, se Y X for infinito, deve-se encontrar uma bijeo g : N Y . Seja A = {a N; f (a) Y }. Tem-se queA 6= /0, pois Y 6= /0. Como A N, exite a1 que o menor elemento de A. Definag(1) = f (a1). Agora, considera-se o conjunto A1 = {a N; f (a) Y e a > a1},seja a2 o menor elemento de A1, e defina g(2) = f (a2). Considera-se, indutivamenteo conjunto An = {a N; f (a) Y e a > an}, seja an+1 o menor elemento de An,e defina g(n + 1) = f (an+1). Dessa forma, obtm-se a bijeo g : N Y , tal queY = {g(1),g(2),g(3),g(4), ...,}, portanto Y enumervel.

Corolrio 1.2 Seja f : X Y uma funo injetiva. Se Y enumervel, ento X tambm enumervel.

Prova. Como f : X Y se trata de uma funo injetora, tem-se que f : X f (X), ondef (X) o conjunto imagem de X em relao a f , uma bijeo. Como f (X) Y e Y pelahiptese enumervel, decorre-se do Teorema 1.4 que f (X) enumervel e, portanto, X enumervel.

Corolrio 1.3 Seja f : X Y uma funo sobrejetiva. Se X enumervel, ento Ytambm enumervel.

Prova. Pelo fato de f : X Y tratar-se de uma funo sobrejetiva, ento para cada y Yexiste pelo menos um x X tal que f (x) = y, assim para cada y escolhe-se um nicoelemento xy entre os x que satisfazem a relao f (x) = y. Dessa forma, defini-se umafuno g : Y X dada for g(y) = xy, tal que f (g(y)) = f (xy) = y para todo y Y , assimg uma funo injetiva. Como por hiptese X enumervel, decorre do Corolrio 1.2que Y tambm um conjunto enumervel.

Corolrio 1.4 Sejam X1, X2, X3, ..., Xn, ... conjuntos enumerveis, ento a reunioX = X1X2X3 ...Xn ... enumervel.

Prova. Considere que a reunio X = X1X2X3 ...Xn ... de conjuntos enumerveissejam disjuntas dois a dois, pois caso contrrio, basta considerar os conjuntos X1,X2X1, X3 (X2X1),..., cuja a unio tambm igual a X . Como os Xn so conjuntosenumerveis, tem-se que:

X1 = {x11,x12,x13,x14,x15,x16, ..}X2 = {x21,x22,x23,x24,x25,x26, ..}X3 = {x31,x32,x33,x34,x35,x36, ..}


...Xn = {xn1,xn2,xn3,xn4,xn5,xn6, ..}

...

Para enumerar todos os elementos da reunio X = X1 X2 X3 ... Xn ... bastaconsiderar o seguinte processo:

(1) Os elementos da reunio de enumerveis X = X1 X2 X3 ... Xn ... soalinhados de forma que a linha Li, ficam com aqueles elementos que pertencemao conjunto enumervel Xi com i = 1,2,3, ..;

(2) Enumeram-se esses conjuntos, tomando o primeiro elemento como x11, o segundoelemento como x21, o terceiro elemento como x12 e assim por diante, conforme osentido das setas do esquema representado na Figura 1.5.

Figura 1.5: Enumerao do conjunto X = X1X2 ...Xn ....

Dessa forma, todos elemento de X estaro em correspondncia com um nmero naturaldeterminado, ficando assim estabelecida uma bijeo f : N X . Da Definio 1.12,decorre-se que X enumervel.

Exemplo 1.18 O conjunto Q+ dos racionais positivos enumervel. Basta para issoutilizar o mtodo que pode ser obtido por meio dos seguintes passos:

(1) Os racionais positivos, so alinhados de forma que a coluna Ri, ficam com aqueles

cujo o numerador seja i com i = 1,2,3, ..n, ...;

(2) Enumeram-se esses racionais, tomando o primeiro elemento como11

, o segundo

elemento como12

, o terceiro elemento como22

e assim por diante, conforme o

sentido das setas do esquema representado na Figura 1.6.

1.2 Fundamentos Bsicos de lgebra Abstrata 26

Figura 1.6: Enumerao do conjunto Q+.

Dessa forma, todos elementos do conjunto Q+ estaro em correspondncia comum nmero natural determinado. Assim, fica estabelecida uma sobrejeo f : N Q+e do Corolrio 1.3, decorre-se que Q+ enumervel. Logo, o conjunto dos nmerosracionais Q tambm um conjunto enumervel. De fato, pelo Corolrio 1.3, tem-se quebasta considerar a sobrejeo g: NQ dada por:

g(x) =

0, se x = 0,f (n), se x = 2 n1, f (n), se x = 2 n.

1.2 Fundamentos Bsicos de lgebra Abstrata

Nesta seco tratar-seapenas dos aspectos necessrios para o desenvolvimentodeste trabalho relativos as definies de grupo, anel e corpo que so estruturas da lgebraque permitem a formalizao conceitual de boa parte da matemtica. Para maioresdetalhes sobre o assunto, indicam-se as referncias [4], [7], [10],[11], e [17].

1.2.1 Grupos

Ao longo da histria nota-se que o conceito de grupo um dos instrumentos degrande importncia para a esquematizao e organizao de vrias partes da matemtica.Por exemplo, para o matemtico francs Evariste Galois (1811-1832) ela foi essencialpara que ele conseguisse por fim a questo da resolubilidade por radicais de equaes degrau n 5.

Definio 1.13 Sejam G um conjunto no vazio munido de uma operao ( ou lei decomposio interna) denotada por , tal que para cada a,b G associa a um elementoab G. Diz-se G em relao , ou simplesmente (G,) um grupo se, e somente se,satisfazem as propriedades:


(G1) ASSOCIATIVA

Vale a propriedade associativa, ou seja:

a, b, c G, a (b c) = (ab) c;(G2) ELEMENTO NEUTRO

Existe um elemento e de G, denominado elemento neutro tal que:

a G, a e = ea = a;(G3) ELEMENTO INVERSO

Todo elemento de G simetrizvel em relao a , ou seja: a G, a G : aa = a a = e.

Definio 1.14 Defini-se um grupo (G,) como abeliano ou comutativo se, e somente se,G for comutativo em relao a operao , ou seja:(G4) COMUTATIVO

Dados quaisquer elementos a,b G, vale a comutatividade, ou seja: a,b G, ab = ba.

A respeito da notao (G,) para definir um grupo, quando no houver dvidasem relao a operao , esta ser excluda da notao, assim usa-se apenas a G paradenotar o grupo G.

Exemplo 1.19 Grupo aditivo dos inteirosConsidere o conjunto dos nmeros inteiros Z={0,1,2,3,4,5, ..} e a

operao usual de adio, denotada por +, ento o par (Z,+) um grupo, pois satisfazas Propriedades G1, G2 e G3 da Definio 1.13. Pelo fato, de tambm satisfazer a

Propriedade G4 da Definio 1.14, trata-se de um grupo comutativo ou abeliano.

interessante ressaltar que em um grupo (G,), quando o conjunto G finito,diz-se que o par (G,) um grupo finito.Exemplo 1.20 (Z3): grupo aditivo das classes de resto mdulo 3

Considere o conjunto G = {0,1,2} e a operao usual de adio denotada por+, ento o par (G,+) um grupo finito, pois satisfaz as Propriedades G1, G2 e G3 da

Definio 1.13 e G um conjunto finito. Alm disso, pelo fato de tambm satisfazer a

Propriedade G4 da Definio 1.14 se trata de um grupo comutativo ou abeliano. Para

verificar que (G,+) um grupo comutativo basta considerar a tbua da operao + no

conjunto G:

Tbua: (G,+)

+ 0 1 2

0 0 1 2

1 1 2 0

2 2 0 1


Exemplo 1.21 Matrizes de ordem 2 com elementos inteirosConsidere o conjunto de todas as matrizes de ordem 2 com elementos inteiros

denotada por M2(Z) com a operao usual de adio entre matrizes, denotada aqui por+ e ento, (M2(Z),+) um grupo comutativo, pois satisfaz as Propriedades G1,G2,G3 eG4 das Definies 1.13 e 1.14.

No entanto, ao considerar o conjunto M2(Z) com a operao usual de multipli-cao entre matrizes, denotadas aqui por , a estrutura algbrica (M2(Z), ) no formagrupo, pois nem toda matriz de M2(Z) admite inverso multiplicativo, sendo assim nosatisfaz a Propriedade G3 da Definio 1.13.

1.2.2 Anis e Anis de Integridade

Anis e Subanis

Definio 1.15 Seja A um conjunto no vazio munido de duas operaes adio emultiplicao representadas respectivamente por + e . A estrutura algbrica (A,+, ) denominada anel se, e somente se, satisfaz as seguintes propriedades:

(1) O conjunto A um grupo abeliano em relao a adio, ou seja, satisfaz asPropriedades G1, G2, G3 e G4 das Definies 1.13 e 1.14.

(2) O conjunto A, em relao a multiplicao satisfaz as propriedades:

(M1) ASSOCIATIVA

Vale a propriedade associativa, ou seja:

a, b, c A, a (b c) = (a b) c;(M2) A MULTIPLICAO DISTRIBUTIVA EM RELAO ADIO

a, b, c A, a (b+ c) = a b+a c .

A respeito da notao (A,+, ) para definir um anel, quando no houver dvidasem relao as operaes + e , opta-se pela excluso dessas da notao, assim usa-seapenas a notao A para denotar o anel.

Exemplo 1.22 (Z,+, ), (Q,+, ), (R,+, ) e (C,+, ) so anis, onde + e so respecti-vamente as operaes usuais de adio e multiplicao.

Definio 1.16 Seja (A,+, ) um anel e S um subconjunto no vazio de A. Diz-se que(S,+, ) subanel de A se:

(1) o conjunto S fechado para as operaes + e de A, ou seja: a, b A a+b S e ab S;

(2) a estrutura (S,+, ) tambm um anel, sendo que a adio e multiplicao so asmesmas do anel (A,+, ).


Exemplo 1.23 Subanel nZ, com n inteiro no nulo.Considere o conjunto nZ={0,1 n,2 n,3 n,4 n,5 n, ...} com n sendo

um inteiro no nulo e as operaes de adio e multiplicao usuais entre os inteiros,

tem-se que (nZ,+, ) um subanel do anel (Z,+, ).

Anis Comutativos e Anis com Unidade

Definio 1.17 Considere o anel (A,+, ), diz-se que esse anel comutativo se a multi-plicao for comutativa, ou seja:

a,b A, a b = b a.

Definio 1.18 O anel (A,+, ) denominado um anel com unidade, se o mesmo contiverum elemento neutro para multiplicao, ou seja;

a A, 1 A; a 1 = 1 a = a.

Exemplo 1.24 Os anis (Z,+, ), (Q,+, ), (R,+, ) e (C,+, ) so anis comutativos,pois em todos a multiplicao comutativa alm de que, so anis com unidade, pois tm

o nmero 1 como unidade.

Exemplo 1.25 Os anis Mn(A), em que A indica Z, Q, R ou C, se n > 1, no socomutativos, pois em ambos casos no se tem obrigatoriamente A B = B A, ou seja, possvel encontrar matrizes A e B tais que A B 6=B A, para isso basta tomar comoexemplo as matrizes:

A=

1 1 ... 10 1 ... 1.... .... .... ....

0 0 ... 1

e B=

1 0 ... 01 1 ... 0.... .... .... ....

1 1 ... 1

.No entanto, esses anis so anis com unidade, cuja a unidade desses a matriz

identidade

In =

1 0 ... 00 1 ... 0.... .... .... ....

0 0 ... 1

.


Anis de Integridade

Definio 1.19 Se a e b so elementos no nulos de um anel (A,+, ) tais que a b = 0ou b a = 0, sendo 0 o elemento neutro de A em relao a adio, diz-se que a e b sodivisores prprios do zero em A.

Exemplo 1.26 (Anel Z4) Considere o anel (Z4,+, ), tem-se que 2 um divisor prpriode zero em Z4 , pois 2 2= 0, conforme a tbua de Z4 abaixo:

Tbua de Z4

0 1 2 30 0 0 0 0

1 0 1 2 3

2 0 2 0 2

3 0 3 2 1

.

Definio 1.20 Considere um anel comutativo com unidade (A,+, ), defini-se esse anelcomo anel de integridade ou domnio integridade se a seguinte afirmao for verdadeira:

a,b A, a b=0 ou b a=0 a = 0 ou b = 0.

A afirmao acima conhecida como a lei do anulamento do produto. Em outras palavras

(A,+, ) um anel de integridade se, e somente se, (A,+, ) for um anel comutativo comunidade que no possui divisores prprios de zero.

Exemplo 1.27 Os anis (Z,+, ), (Q,+, ), (R,+, ) e (C,+, ) so anis de integridade.

1.2.3 Corpo

Corpo

Conforme mencionado anteriormente, os anis (Z,+, ) e (Q,+, ) so ambosanis de integridade. Seja U(A) o conjunto formado pelos elementos de A que possuemsimtrico multiplicativo ento: U(Z) = {1,1} e U(Q) =Q{0}.

Note que enquanto o anel (Z,+, ) possui apenas dois elementos que possueminversos multiplicativos, no anel (Q,+, ) todo nmero racional no nulo admite simtricomultiplicativo, tal diferena motiva a definio:

Definio 1.21 Um anel (K,+, ) comutativo com unidade recebe o nome de corpo setodo elemento no nulo de K admite simtrico multiplicativo, ou seja:

a K, a 6= 0 b K; a b = 1.


A respeito da notao (K,+, ) para definir um corpo, quando no houver dvidasem relao as operaes + e , estas sero excludas da notao, assim usa-se- a notaoK para definir corpo.

Exemplo 1.28 Os anis numricos (Q,+, ), (R,+, ) e (C,+, ) so corpos, pois emambos todos os seus elementos no nulos admitem inversos multiplicativos. No entanto,

o anel (Z,+, ) no um corpo pois, apenas os seus elementos 1 e 1 admitem inversosmultiplicativos.

Proposio 1.1 Se (K,+, ) um corpo, ento (K,+, ) tambm um anel de integridade.

Prova. Sendo (K,+, ) um corpo, para mostrar que este tambm um anel de integridadedeve-se evidenciar que o mesmo satisfaz a lei do anulamento do produto, citada naDefinio 1.20. Sejam a,b K tais que a b = 0. Supondo, por exemplo, que b 6= 0, logob inversvel, ou seja, existe b1 K tal que b b1 = 1. Multiplicando os dois membrosda igualdade a b = 0 por b1 tem-se: a b b1 = 0.b1 = 0. Como b b1 = 1 ento:a b b1 = a 1 = a = 0, ou seja a = 0. Analogamente, mostra-se que, quando a 6= 0,ento b = 0. Logo o produto de dois fatores de K no pode ser nulo sem que um delesno o seja, o que demonstra que (K,+, ) um anel de integridade.

A recproca da Proposio 1.1 no verdadeira, pois conforme citado no Exem-plo 1.28, o anel (Z,+, ) um anel de integridade mas no um corpo.

Proposio 1.2 Seja (K,+, ) um corpo, ento:

(1) As seguintes propriedades decorrem-se das Propriedades G1, G2, G3 e G4 dasDefinies 1.13 e 1.14:

a) O elemento neutro aditivo nico;

b) Para todo x K, o seu simtrico (x) nico e alm disso tem-se que(x) = x;

c) Vale a lei do corte, ou seja:

a,b,c A,b+ c = a+ c b = c.(2) As seguintes propriedades decorrem-se da Propriedade M1 da Definio 1.15 e das

Definies 1.17, 1.18 e 1.21:

a) O elemento neutro multiplicativo nico;

b) Para todo x K, x 6= 0, o seu inverso multiplicativo x1 nico e alm disso,(x1)1 = x;

c) Vale a lei do corte, ou seja:

a,b,c A,a b = a c b = c.


Corpo Ordenado

Definio 1.22 Um corpo (K,+, ) ordenado se nele est contido um subconjuntoprprio P K, que satisfaz as seguintes condies:

(P1) Dados x,y P, tem-se: x+ y P e x y P, ou seja, P fechado em relao aadio + e a multiplicao ;

(P2) Dados x K, tem-se que exatamente uma das trs alternativas ocorre: ou x = 0 oux P ou x P, sendo que 0 o elemento neutro da adio.

Se (K,+, ) um corpo ordenado, pode-se formar o conjunto P = {x;x P}e assim obter:

K =P {0} P.

Note que os conjuntos P, {0} e P so dois a dois disjuntos.

Definio 1.23 Sejam a e b elementos de um corpo ordenado (K,+, ) e P K umsubconjunto que satisfaz as Propriedades P1 e P2 da Definio 1.22. Diz-se que a

menor do que b, denotado por a < b quando, ba P. Diz-se a maior do que b,denotado por a > b, quando ab P .

As relao a < b e a > b so as relaes de ordem em (K,+, ).

Proposio 1.3 A relao de ordem a < b em (K,+, ) goza das seguintes propriedades:

(O1) TRANSITIVIDADE

a,b,c K, a < b e b < c a < c;(O2) TRICOTOMIA

Dados a,b K, tem-se que exatamente uma das trs alternativas ocorre: ou a = bou a < b ou b < a;

(O3) MONOTONICIDADE DA ADIO

a,b,c K, a < b a+ c < b+ c;(O4) MONOTONICIDADE DA MULTIPLICAO

a,b,c K com 0 < c, a < b a c < b c;No entanto se: a,b,c K com c < 0, a < b b c < a c.

Prova. Considera-se a,b,c K e o subconjunto P K que satisfaz as Propriedades P1 eP2 da Definio 1.22 ento:

(O1) Como a < b e b < c ento (ba),(cb) P. Logo, (ba)+(cb) P. Como(ba)+(cb) = (ca), decorre-se que (ca) P e portanto a < c.


(O2) Considere a,b K e sendo K um corpo ordenado, ento ocorre um e somente umdos trs casos abaixo:(i) ab = 0 a = b;(ii) ab P b < a;(iii) (ab) P ba P a < b.

(O3) Sendo a < b, ento ba P. Como 0 elemento neutro da adio e 0 = c+(c)tem-se que:

b+0a P b+ c+(c)a P b+ c (a+ c) P a+ c < b+ c.

(O4) Considerando a < b, segue-se que ba P. H que se dividir em dois casos:1o Caso: Se 0 < c, ento c P. Logo,

(ba) c P b ca c P a c < b c.2o Caso: Se c < 0, ento c P. Logo,

(ba) (c) P a cb c P b c < a c.

A relao de ordem a > b em (K,+, ) de maneira anloga tambm satisfaz asPropriedades O1,O2, O3 e O4 da Proposio 1.3.

Exemplo 1.29 O corpo (Q,+, ) um corpo ordenado.De fato, considere o subconjunto dos nmeros racionais positivos denotado por

Q+={ab

; a,b N}. Para provar que (Q,+, ) um corpo ordenado deve-se verificaras Propriedades P1 e P2 dadas na Definio 1.22. Para isso considere dois elementos

quaisquer x,y Q+, ou seja, x = ab

e y =cd

com a,b,c e d N.(P1)

Tem-se que x+ y =ab+

cd=

a d+ c bb d . Como (a d + c b),b d N ento

x+ y Q+. J para o produto x y temos que x y = ab c

d=

a cb d . Como a c,b d N

ento x y Q+. Logo Q+ fechado com relao a adio e a multiplicao.(P2)

SejamabQ, segue-se que a,bZ, com b 6= 0. Ento, tem-se trs possibilidades

a b = 0, a b > 0 ou a b < 0. No 1o caso, a = 0. Logo, ab= 0, visto que b 6= 0. J o 2o

caso tornaabQ+ e no 3o caso, a

bQ+.

Proposio 1.4 Sejam (K,+, ) um corpo ordenado e PK um subconjunto que satisfazas Propriedades P1 e P2 da Definio 1.22. Se a 6= 0 e a K, ento a2 P.


Prova. Como a 6= 0, ento da Propriedade P2 segue-se que a P ou a P. Assim, daPropriedade P1 segue-se-se que a a P ou (a) (a) P. Como a a = (a) (a),decorre-se que: a a = a2 P.

Proposio 1.5 Se (K,+, ) um corpo ordenado e P K um subconjunto que satisfazas Propriedades P1 e P2 da Definio 1.22, ento o elemento neutro da multiplicao,

denotado por 1, um elemento de P.

Prova. Como (K,+, ) um corpo tem-se que os elementos neutros da adio e damultiplicao so distintos, ou seja, 1 6= 0. Suponha, por absurdo, que 1 / P. Ento,da Propriedade P2 segue-se que 1 P. Assim, da Propriedade P1 decorre-se que(1) (1) = 1 P, o que uma contradio. Portanto, 1 P.

Exemplo 1.30 O corpo (C,+, ) no ordenado pois, se fosse existiria P C satis-fazendo as Propriedades P1 e P2 da Definio 1.22. Como, 1 o elemento neutro da

multiplicao de C, i C e i 6= 0 ento i P ou i P. Se ocorresse i P teria-sei i = 1 P o que contraria a Proposio 1.5, pois da Propriedade P2 teria-se que1 / P. Se ocorresse i P teria-se (i) (i) = 1 P, novamente uma contradio.Portanto, (C,+, ) no pode ser um corpo ordenado.

Corpo Ordenado Completo

Definio 1.24 Seja (K,+, ) um corpo ordenado e AK. A limitado superiormente seexiste um cK tal que x c, para todo xA, nesse caso c denominado cota superior deA. A menor das cotas superiores de um conjunto A limitado superiormente denominada

supremo do conjunto A, denotado por sup(A).

Definio 1.25 Seja (K,+, ) um corpo ordenado e A K. A limitado inferiormente seexiste um c K, tal que x c, para todo x A, nesse caso c denominado cota inferiordo conjunto A. J a maior das cotas inferiores de um conjunto A limitado inferiormente

denominada nfimo do conjunto A, denotado por inf(A).

Definio 1.26 Seja (K,+, ) um corpo ordenado e A K. Quando A for limitadosuperiormente e inferiormente, diz-se que A um conjunto limitado.

Exemplo 1.31 Considere o conjunto A= {2 1n

;nN} R. Nesse conjunto tem-se queinf(A)=1 e sup(A)=2.

Teorema 1.5 Seja (K,+, ) um corpo ordenado infinito. Tem-se que as afirmaes abaixoso equivalentes:


1) N K no limitado superiormente.2) Para quaisquer a,b K, com a > 0 existe n N tal que b < n a.3) Para qualquer a K, com a > 0 existe n N tal que 0 < 1

n< a.

Prova.(1) (2): como N K no limitado superiormente e K um corpo ordenado

infinito, dados a,b K, com a > 0, existem a1 K e n N tais que:

a1 a = 1 e b a1 < n b a1 a < n a b < n a.

(2) (3): de (2) tem-se que dado um 1,a K, com a > 0, existe um n Ntal que 1 < a n. E ainda, como K um corpo ordenado infinito, existe n1 K tal quen1 > 0 e n n1 = 1 . Ento:

1 < a n 1 n1 < a n n1 0 < 1n< a.

(3) (1): de (3) tem-se que dado qualquer b K, com b > 0, existe um n Ntal que

1n 0, com a,b N, existe n = b+ 1 N tal que

0 0.

Da Definio 2.1 segue-se que para todo x R tem-se |x| R+ pois , se x 0nota-se que |x| = x 0 e se x < 0, ento x > 0 e |x| = x > 0. Em outras palavras|x|= max{x,x}, ou seja, o mdulo de x igual ao maior dos dois nmeros reais x e x.Portanto, para qualquer nmero real x, tem-se que:

2.1 Nmeros Reais como um corpo ordenado e completo 42

|x| x e |x| x |x| x e |x| x|x| x |x|.

Pode-se ainda definir |x| como o nico numero real positivo cujo o quadrado igual a x2.

Exemplo 2.1 Dados os nmeros reais 5, -7 e -pi temos que: |5| = 5, |-7| = 7 e |-pi| = pi.

Teorema 2.1 Para quaisquer que sejam x,y R, tem-se:

1) |x+ y| |x|+ |y| (Desigualdade Triangular);2) |x.y|= |x|.|y|;3) ||x| |y|| |x y|.

Prova.

(1) Da Definio 2.1, segue-se que dados x,y R, ento: |x| x e |y| y somandoessas desigualdades tem-se que |x|+ |y| x+ y. De maneira anloga, conclui-seque |x| x e |y| y e que |x|+ |y| (x+ y). Logo:

|x|+ |y| max{x+ y,(x+ y)}= |x+ y|.

Portanto, |x+ y| |x|+ |y|.(2) Da Definio 2.1, segue-se que para todo x R ocorre que x2 = (x)2 = |x|2,

pois |x| um dos elementos x e x. Logo, |x y|2 = (x y)2 = x2 y2 = |x|2 |y|2 =(|x| |y|)2. Portanto, |x y|= |x| |y|.

(3) Decorre-se da Desigualdade Triangular, que:

|x|= |(x y)+ y| |(x y)|+ |y| |x| |y| |(x y)|.

E ainda que:

|y|= |(yx)+x| |(yx)|+ |x| |y| |x| |(yx)| (|x| |y|) |(yx)|.

Como |(x y)|= |(y x)|. Conclu-se que:

|x y| max{|x| |y|,(|x| |y|)}= ||x| |y||.

Portanto, ||x| |y|| |x y|.


2.1.3 Completeza dos reais

A afirmao que o corpo ordenado dos reais completo significa conforme aDefinio 1.28 que todo subconjunto no vazio AR que limitado superiormente possuium supremo em R. Os teoremas e proposies a seguir decorrem diretamente do fato de(R,+, ) ser um corpo ordenado completo.

Teorema 2.2 (R arquimediano) Para quaisquer a,b R, com a > 0 existe n N talque b < n a.

Prova. O resultado decorre da Proposio 1.6, ou seja, todo corpo ordenado completo arquimediano.

Proposio 2.2 Seja b R+, existe uma nica soluo real positiva da equao x2 = b.Esta soluo ser denotada por

b.

Prova. Prova da unicidade: Suponha que existam duas solues x1,x2 R+ da equaox2 = b, ento: x21 = b e x

22 = b x21 = x22 x21x22 = 0 (x1+x2) (x1x2) = 0, como

x1+ x2 > 0 ento, x1 x2 = 0 x1 = x2.Prova da existncia: Considere os conjuntos A = {x R+;x2 > b} e

B = {x R+;x2 < b}. Seja c = in f (A) e suponhamos, por absurdo, que c2 6= b, en-to c A ou c B. Se c A pode-se mostrar para n suficientemente grande que c 1

n A

o que contradiz o fato de c ser o nfimo de A. Por outro lado, se c B pode-se mostrarpara n suficientemente grande que c+

1n B o que contradiz o fato de c ser a maior das

cotas inferiores de A. Portanto c = b.

Proposio 2.3 No existe nenhum x Q tal que x2=2.

Prova. Seja x Q tal que x2 = 2. Ao considerar x = ab

com a e b primos entre si, ou seja,

x =ab

est na sua forma reduzida. Como x2 = (x)2 basta provar para o caso em quex > 0, ou seja, x =

ab

com a,b N e a,b primos entre si. Como x2 = 2, tem - se:

(ab)2 = 2 a

2

b2= 2 a2 = 2 b2.

Logo, a par. Ento, existe um c N tal que a = 2 c. Substituindo a = 2 c na equaox2 = 2 tem-se que:

(2 c)2 = 2 b2 4 c2 = 2 b2 2 c2 = b2 b par.


Absurdo, pois a,b serem pares contradiz a hiptese deles serem primos entre si. Portanto,no existe nenhum nmero racional cujo o quadrado 2.

Definio 2.2 (Intervalos) Dados a,b R coma < b, chama-se de intervalos a classe desubconjuntos de R abaixo:

I1) (a,b)={x R; a < x < b}; I5) (-,a)={x R; x < a};I2) [a,b]={x R; a x b}; I6) (-,a]={x R; x a};I3) [a,b)={x R; a x < b}; I7) [a,)={x R; x a};I4) (a,b]={x R; a < x b}; I8) (a,)={x R; x > a};

I9) (-, ) = R.

Os intervalos I1, I2, I3 e I4 so intervalos limitados, sendo que os smbolos [ e ] no intervalo, quando esto imediatamente ao lado de nmero c R significa queesse real pertence ao intervalo, enquanto o smbolo ( ou ) imediatamente ao ladode um nmero c R significa que o nmero no pertence ao intervalo. Os intervalos I5,I6, I7, I8 e I9 so ilimitados, com exceo de I9 que representao da prpria reta r. Sea = b no intervalo I2 o mesmo se reduz a nico elemento, sendo, denominado assim deintervalo degenerado.

As Proposies 2.2 e 2.3 apontam o fato de existir pelo menos um nmero quepertence ao corpo ordenado dos reais e no pertence ao corpo ordenado dos racionais, talnmero denominado por

2. Esse fato d nfase a uma das consequncias do corpo

ordenado dos reais ser completo enquanto o dos racionais no. Como Q R levanta-se apossibilidade da existncia de outro conjunto. Os prximos teoremas iro ajudar a reforaressa existncia.

Teorema 2.3 Dada uma sequncia decrescente I1 I2 I3 ... In ... de intervaloslimitados e fechados In = [an,bn], existe pelo menos um nmero real c tal que c In paratodo n N.

Prova. Para n N existe um intervalo In+1 In, ou seja:

a1 a2 ...an ... bn ...b2 b1.

Considere os conjuntos A = {a1, a2, ... , an} e B = {b1, b2, ... , bn}, observe queambos so limitados, pois no caso de A o a1 cota inferior e cada um dos bn uma cotasuperior, j no caso do conjunto B o b1 uma cota superior e cada um dos an uma cotainferior. Sejam a,b, respectivamente, os supremo de A e o nfimo de B. Como cada umdos bn cota superior de A, ento a bn para cada valor de n, assim como cada an cotainferior de B ento an b para cada n, portanto a b, logo:


a1 a2 ...an ... a b ... bn ...b2 b1.

Conclu-se que o a e b pertencem a todos os intervalos In, ou seja, [a,b] In para cada n,o que significa que pelo menos um ponto pertence a todos os intervalos In (caso a = b)ou um intervalo est contido em todos intervalos In (caso a 6= b). Se considerar umx < a = supA, existe algum an A, tal que x < an, ou seja, x / In. Assim, nenhum x < apertenceria a todos intervalos In, com n N. De modo anlogo, conclui-se que nenhumy > b pertenceria a todos intervalos In, com n N. Portanto, apenas os elementos dointervalo [a,b] pertencem a todos intervalos In, com n N.

Teorema 2.4 O conjunto dos nmeros reais no enumervel

Prova. Considere o conjunto enumervel X = {x1,x2, ..., xn, ... } R, pode-se encontrarum nmero x / X . Considere um intervalo I1=[a1,b1] com a1, b1 sendo nmeros reaisdistintos, tal que x1 / I1, em seguida considere o intervalo I2=[a2,b2] com a2, b2 sendonmeros reais distintos, tal que x2 / I2 e I2 I1 e assim por diante indutivamente obtm-se que I1 I2 I3 ... In, onde In so intervalos limitados fechados e no-degenerado,com xi / Ii(1 i n), podendo ainda obter In+1 In com xn+1 / In+1. Isso fornece asequncia decrescente I1 I2 I3 ... In ... de intervalos limitados e fechados. PeloTeorema 2.3, decorre-se que existe c R tal que c I1 I2 I3 ... In ... e c diferente de todos xn, e portanto nenhum conjunto enumervel X pode conter todos osnmeros reais.

Como o conjunto dos nmeros racionais Q R enumervel enquanto o dosnmeros reais R no enumervel, ento existe um conjunto (RQ) que disjunto dosracionais, tal que R = Q (RQ). Pode-se concluir que esse conjunto (RQ) no enumervel, pois do contrrio R seria enumervel (Corolrio 1.4). A existncia desseconjunto motiva a definio a seguir:

Definio 2.3 Um nmero chama-se irracional se no racional. O conjunto de todosos nmeros irracionais representado por I, note que I= (RQ).

Teorema 2.5 Para todo nmero primo p positivo tem-se que

p irracional.

Prova. Suponha, por absurdo, que

p=ab

seja racional, com m.d.c(a,b) = 1 (A notaom.d.c(a,b), representa mximo divisor comum de a e b). Assim

(

p)2 = (ab)2 a2 = p b2,

2.2 Representao na reta dos nmeros reais 46

como m.d.c(a,b) = 1 ento p divide a2. Logo existe k N tal que a = p k. Substituindoa= p k em a2 = p b2 obtm-se (p k)2 = p b2 b2 = p k2 o que implica que b= p m,com m N. Segue-se que a e b so divisveis por p, contradio, pois m.d.c(a,b) = 1.Portanto, para todo nmero primo p positivo temos que

p irracional.

2.2 Representao na reta dos nmeros reais

Ao se considerar, representar geometricamente os nmeros reais seria interes-sante iniciar a representao com alguns de seus subconjuntos, como por exemplo, oconjunto dos nmeros inteiros e o dos racionais. Para isso deve-se escolher um elementogeomtrico. Nessa seco ser apresentado um modelo interessante para essa finalidade,tal modelo o de uma reta.

2.2.1 Nmeros inteiros sobre a reta

Considere uma reta r e nela marca-se um ponto O denominado origem. Esseponto determina na reta r duas semirretas sendo uma delas associada aos nmerospositivos enquanto a outra aos negativos. Sobre a semirreta positiva (considere, porexemplo, que essa seja a semirreta direita de O) escolhe-se um ponto A1 tal que a medidado segmento de reta OA1 vai ser a unidade de comprimento, ou seja,

med(OA1) = 1unidade.

.

Definio 2.4 Conclui-se que um segmento OA e o segmento padro u so comensurveisse existir algum segmento w que caiba n vezes em u e m vezes em OA. Nesse caso tem-se

que a medida de OA mn

, ou seja, med(OA) =mn

e ainda a medida do segmento w ser1n

.

Se os segmentos OA e u no forem comensurveis diz-se que esses so incomensurveis.

Para associar cada nmero inteiro a um ponto da reta, pode-se iniciar associandoo nmero 0 ao ponto O, em seguida o nmero 1 ao ponto A1, e definir a medida dosegmento OA1 como o comprimento padro, depois o nmero 2 se associa ao ponto A2 dareta r, ponto que se encontra uma unidade direita de A1, ou seja,

med(A1,A2) = 1 med(O,A1) e med(O,A2) = 2 med(O,A1).

J o nmero 3 se associa ao ponto A3 da reta r, ponto que se encontra uma unidade direita de A2, ou seja, med(A2,A3) = 1 med(O,A1) e med(O,A3) = 3 med(O,A1), dessaforma consegue - se associar todos os nmeros inteiros positivos (Figura 2.1).


Figura 2.1: Nmeros inteiros positivos sobre a reta.

De modo anlogo, associam-se os nmeros inteiros negativos a reta r. Primeiromarca-se na semirreta negativa ( esquerda da origem) o ponto A1 de modo quemed(O,A1)= 1 med(O,A1), em seguida o nmero -1 associado a esse ponto, enquantoo nmero -2 associado ao ponto da reta A2 localizado uma unidade esquerda de A1,j o nmero -3 associado ao ponto da reta A3 localizado 1 unidade esquerda deA2, e assim por diante. Dessa forma consegue-se associar o conjunto Z a pontos da retar (Figura 2.2), essa forma funciona pelo fato de qualquer um dos segmentos OAn comn Z{0} e o segmento OA1 serem comensurveis.

Figura 2.2: Nmeros inteiros sobre a reta.

2.2.2 Nmeros racionais sobre a reta

Pode-se observar que mesmo aps representar nmeros inteiros na reta r, faltammuitos pontos sobre a reta que no esto associados a nenhum nmero inteiro, comoZ Q, alguns desses pontos da reta podem ser associados aos pontos do conjunto(QZ).

Para associar nmeros racionais positivos a pontos da reta r, primeiramentedeve-se associar o nmero 0 ao ponto O da reta, em seguida dado o nmero racionalab

, com a,b N, marca-se sobre o eixo positivo da reta o ponto Aa de forma que amed(O,Aa) = a med(O,A1), se b = 1 associa-se o nmero ab ao ponto Aa que coincidircom um ponto j associado a um inteiro, no caso a Z (Figura 2.3), agora se b > 1,particiona-se o segmento OAa em b segmentos iguais, marcando b1 pontos sobre OAa,sendo o ponto A(a,b) o ponto mais prximo de O, associando o nmero racional

ab

a esseponto. Esse processo permite associar os nmeros racionais positivos. Para o caso dosnmeros racionais negativos faz-se uma construo anloga sobre a semirreta negativa.


Figura 2.3: Nmeros racionais sobre a reta.

2.2.3 Nmeros no racionais na reta

Do Teorema 2.5, tem-se que para um p racional e primo o nmero

p no racional, seja um segmento OB de medida

p e um segmento padro OA1 de medida

racional ento OA1 e OB so segmentos incomensurveis, logo os processos utilizadosanteriormente para associar nmeros inteiros e racionais a reta, no funcionam, em geral,para estes nmeros. Para associar estes reta usa-se um processo que tem como base oteorema abaixo:

Teorema 2.6 (Teorema de Pitgoras) Seja ABC um tringulo retngulo em , entoBC2 = AB2 + AC2, ou seja, o quadrado do valor da hipotenusa igual a soma dos

quadrados dos valores dos catetos.

Figura 2.4: Tringulo retngulo em .

Inicialmente associa-se o nmero 0 ao ponto O da reta r, depois associa-se onmero 1 ao ponto A1 da semirreta positiva contida na reta r, depois considera-se umquadrado OA1BC. Em seguida com o auxlio do compasso, fixa-se sua ponta seca em O esua outra ponta em B traando uma semicircunferncia que intersecta a reta r em D1, porconstruo tem-se que med(O,D1) = med(O,B). Como med(O,A1) = med(A1,B) = 1(Figura 2.5), segue-se do Teorema de Pitgoras que med(OD1) = med(OB) =

2, e por

fim associa-se nmero

2 ao ponto D1.

Figura 2.5: Nmeros no racionais sobre a reta r.


Para associar o nmero

3 reta r deve-se construir o retngulo OD1B1C(Figura 2.6), donde se obtm o tringulo retngulo OD1B1 cuja a hipotenusa OB1 temmedida igual a

3. De forma anloga ao caso anterior, obtm-se um ponto D2 em r tal

que med(OD2) =

3. E assim sucessivamente associam-se os nmeros

4,

5,

6,... apontos da reta r. Para associar os nmeros2,3 ,4, 5, 6, ... basta repetiro processo s que considerando a semirreta negativa da reta r.

Figura 2.6: Nmeros no racionais sobre a reta r.

2.2.4 Nmeros reais na reta

Utilizando-se do axioma da construo de geometria Euclidiana possvelassociar todos nmeros reais aos pontos da reta r de maneira a no sobrar pontos semter correspondncia em R.

Axioma 2.1 Existe uma correspondncia biunvoca entre os pontos da reta e os nmerosreais de forma que o valor absoluto da diferena entre os nmeros associados a

distncia entre os pontos correspondentes.

Definio 2.5 Seja r uma reta, em que fixado um ponto O denominado a origem,que divide a reta r em duas semirretas onde em uma delas sero marcados os pontos

associados a nmeros reais positivos, enquanto na outra semirreta marcam-se os pontos

associados a nmeros reais negativos. Fixa-se tambm na semirreta positiva da reta r um

ponto A, diferente de O, tomando-se o segmento OA como unidade de comprimento, o

qual corresponder ao nmero real 1, esta reta r a reta numerada ou reta real.

Figura 2.7: Reta real.

Devido a correspondncia biunvoca entre os pontos da reta real e os nmerosreais (conforme Axioma 2.1) pode-se optar a no se distinguir nmeros reais e pontos dareta.


Definio 2.6 A soma de dois nmeros reais x e y, geometricamente se define atravsde uma traslao que conserva a direo e o sentido conforme indicado na Figura 2.8.

Considera-se os seguintes casos:

1) Seja x R e y R+, ento a soma x+ y definida como o nmero real associadoa extremidade final do segmento, orientado para a direita, com extremidade inicial

em x, e comprimento com medida igual a medida do segmento associado a y;

2) Seja x R e y R, ento a soma x+y definido como o nmero real associado aextremidade final do segmento, orientado para a esquerda, com extremidade inicial

em x, e comprimento com medida igual medida do segmento associado a y.

Figura 2.8: Soma de dois reais positivos na reta real.

Exemplo 2.2 (Representao geomtrica da comutatividade aditiva em R )Consideraremos apenas a comutatividade da adio em R+, pois de maneira anlogarepresenta-se os demais casos em R. Ento sejam x,y R+, da Definio 2.6 tem-se quea representao geomtrica da comutatividade da adio em R+ dada pela Figura 2.9:

Figura 2.9: Representao geomtrica da comutatividade daadio em R+.

Definio 2.7 O produto de dois nmeros reais positivos x e y, geometricamente definido por meio da construo representada pela Figura 2.10:

a) traa-se pela origem 0 uma reta s perpendicular a r, em seguida marca-se na retareal r os pontos 1, y , enquanto que na reta s marca-se o ponto x. Considere a reta

t que passa por 1 e por x.b) traa-se por y uma reta u paralela a reta t, ento marca-se o ponto P = u s, ou

seja, o ponto de interseco das retas s e u;

c) traa-se uma semicircunferncia de origem em O e que passa por P, seja Q= r.O nmero real associado ao ponto Q representa o produto dos nmeros reais

positivos x e y, ou seja, Q est associado ao nmero real x y.


Figura 2.10: Representao geomtrica da multiplicao em R+.

Para os demais casos possveis de produto em R, basta modificar o sinal de x yconforme a regra dos sinais:

x < 0 e y > 0|x| |y|x > 0 e y < 0|x| |y|x < 0 e y < 0 +|x| |y|

De fato, o valor da medida do segmento OP indicado na Definio 2.7 x y, poisos tringulos O1x e OyP so semelhantes pelo caso AAA (ngulo-ngulo-ngulo),logo:

y1=

OPx med(O,P) = x y.

Como P,Q pertencem a mesma semicircunferncia ento a medida de OP e OQ so iguais.

Exemplo 2.3 (Elemento neutro da multiplicao em R+) Seja a R+, ento a 1 = a.De fato, basta tomar na construo da Definio 2.7, x = a e y = 1, os tringulos O1xe OyP so congruentes, logo o segmento OQ tem comprimento a, assim a 1 = a.

Definio 2.8 (Representao na reta do valor absoluto em R) O valor absoluto deum nmero real x representado na reta real como sendo o valor da distncia entre o

ponto x a O, sendo O a origem da reta numerada. Dados x,y R, ento |x y|= |y x| o valor das distncias entre os pontos x e y da reta (Figura 2.11).

Figura 2.11: Representao na reta do valor absoluto |x y|.

2.3 Representao decimal dos nmeros reais 52

2.3 Representao decimal dos nmeros reais

2.3.1 Expresses decimais e aproximaes de nmeros reais

Definio 2.9 Seja k um inteiro positivo e considerando os inteiros a1 ,a2 ,a3 , ... tais que0 ai 9 (i = 1,2,3,...). Ento o smbolo da forma =k,a1a2a3....an... denominado umaexpresso decimal. Sendo o nmero k denominado parte inteira de e os a1 ,a2 ,a3 , ...so denominados dgitos.

Exemplo 2.4 So exemplos de expresses decimais:

a) O resultado da diviso de 437 por 100, ou seja,437100

= 4,37.

b) O resultado da diviso de 437 por 100, ou seja,43

1000= 0,043.

c) O resultado da diviso de 10 por 9, ou seja,109

= 1,33333....

d) O resultado da diviso de 25 por 99, ou seja,2599

= 0,25252525....

As expresses decimais que possuem um nmero finito de dgitos no nulos apsa vrgula so denominadas de decimais finitos, enquanto os que possuem um nmeroinfinito de dgitos no nulos aps a vrgula so denominadas de decimais infinitos.

Definio 2.10 Toda frao cujo o denominador uma potncia de 10 denominadafrao decimal.

Exemplo 2.5 As fraes310

,654100

,25

1000e

710000

so exemplos de fraes decimais.

Os conjunto dos nmeros reaisR tem a propriedade de que para todo nmero realx, pode-se fazer uma aproximao to boa quanto se deseja usando nmeros racionais. Defato, seja k o maior inteiro positivo que menor do que ou igual a parte inteira do nmeroreal x, ento k x < k+1 0 xk < 1, o erro da aproximao xk seria um nmeroreal que pertence ao intervalo [0,1). Escrevendo x k = 0,a1a2a3....an... com 0 ai 9,o que significa que:

Ao considerar o nmero racional n, escrito na forma:

n = an+an1 10+an2 102+an3 103+ ...+a2 10n2+a1.10n1.

Enton10n x k < n+1

10n, assim k+

n10n

uma boa aproximao, no sentido que o

erro cometido de substituir x por n seria |x (k+ n10n )| que igual a um nmero nosuperior a

110n

.Definindo 0 = k, pode-se construir uma sequncia no decrescente de nmeros

racionais 0 12 3...n ... que sero valores cada vez mais prximos donmero real x.


Define-se, ento como limite dessa sequncia de nmeros racionais o nmeroreal x. O fato de sempre existir um nmero real x decorre de R ser um corpo ordenadocompleto.

Exemplo 2.6 Considere o nmero real x = 1 e fazendo aproximaes por nmerosracionais n, assim:

0 = 0, sendo 0 o maior inteiro < 1.1 =

910

, sendo 9 o maior dgito tal que 0+9

10 1. Note que nesse caso o erro

de aproximao de 1 910

=1

10.

2 =9

10+

9102

, sendo a2 = 9 o maior dgito tal que 0+9

10+

9102 1. Note

que nesse caso o erro de aproximao de 1 910 9

102=

1102

.

E assim por diante, para um n suficientemente grande o valor do erro da

aproximao de n to pequeno quanto se queira, como R um corpo ordenado ecompleto, para um n suficientemente grande esse valor tende a zero, ou seja:

910

+9

102+ ...+

910n

+ ...=

n=1

910n

= 1.

2.3.2 Uma funo sobrejetiva e quase injetiva.

Seja D o conjunto de todas as expresses decimais 0,a1a2a3....an... pertencentesao intervalo [0,1), basta considerar apenas esse intervalo, pois as outras expressesdecimais so facilmente obtidas mediante a translao conveniente de um nmero inteiro.

Defina-se a funo f : D R dada pela expresso:

f (0,a1a2a3....an...) =a110

+a2

102+

a3103

+ ...+an

10n+ ...=

n=1

an10n

.

Como

n=1

an10n

n=1

910n

= 1, ento a srie

n=1

an10n

majorada pela srie

geomtrica

n=1

910n

(mais detalhes ver, [7]).

Exemplo 2.7 Considere as expresses decimais 1= 0,257 e 2= 0,256999..., elas solevadas por f em:

f (1) =2

10+

5102

+7

103e f (2) =

210

+5

102+

6103

+9

104+

9105

+9

106...

Do exemplo acima, pode-se concluir que a funo f : DR no injetiva. Bastanotar que

9104

,9

105,

9106

, ... uma progresso geomtrica (PG), ento decorre da frmulade soma infinta dos termos de uma PG que:


f (2) =210

+5

102+

6103

+9

104+

9105

+9

106+ ...

f (2) = 210 +5

102+

6103

+

9104

1 110

f (2) = 210 +5

102+

6103

+1

103

f (2) = 210 +5

102+

7103 f (2) = f (1)

Logo, 1 6= 2 no entanto f (1) = f (2), ou seja, f no uma injeo.A quase injetividade de f , ocorre pelo fato que o nico caso em que expresses

decimais distintas representam o mesmo nmero real ocorre se 0 an 8, com n N,1 = 0,a1...an999... e 2 = 0,a1...(an+1)000....

De fato, como f (1) =a110

+a2

102+ ...+

an10n

+9

10n+1+

910n+2

+ ..., ento:

f (1) =a110

+a2102

+ ...+an

10n+

910n ( 1

10+

1102

+ ...)

f (1) = a110 +a2102

+ ...+an

10n+

910n (

110

1 110)

f (1) = a110 +a2

102+ ...+

an10n

+9

10n (1

9)

f (1) = a110 +a2

102+ ...+

an+110n

.

E ainda, f (2) =a110

+a2

102+ ...+

an+110n

. Logo, f (1) = f (2), ou seja:

0,a1...an999... 6= 0,a1...(an+1)00... f (0,a1...an999...) = f (0,a1...(an+1)00...).

Considerando D como sendo o conjunto formado por todas expresses decimais = 0,a1 a2 a3... das quais no tem todos elementos iguais a 9, a partir de uma certa ordemento, a funo f : D R injetiva.

Ao mostrar que a funo f sobrejetiva em [0,1) ocorre uma correspondncia

biunvoca f : D [0,1) ou seja 0,a1a2....=

n=1

an10n

.

De fato, isso ocorre:

Seja r [0,1), decompondo [0,1) da seguinte forma: [0,1) =9

i=0

[i

10,i+110

).

Portanto r pertence a um, e s um desses subintervalos: r I1 = [a110 ,a1+1

10). Agora

se for considerada a decomposio [a110

,a1+1

10) =

9i=0

[a110

+i

102,

a110

+i+1102

) novamente

r pertence a um, e s um desses subintervalos: r I2 = [a110 +a2

102,

a110

+a2+1

102). E assim

por diante. Pelo Teorema 2.3, existe pelo menos um nmero real c In , para todo n N,no qual In o intervalo fechado que tem as mesmas extremidades que In. Como r In,para todo n N, segue-se que para n suficientemente grande a sucesso formada pelas


extremidades esquerdas dos In tendem a r, e portanto, r =

n=1

an10n

e a decimal que toma

para corresponder a r 0,a1a2a3 ....Devido a correspondncia biunvoca f :D[0,1) dada por:

f (0,a1a2....an...) =a110

+a2

102+ ...+

an10n

+ ...

Pode-se optar em representar a expresso f (0,a1a2....an...) =a110

+a2

102+ ...+

an10n

+ ...

por simplesmente 0,a1a2....an... =a110

+a2

102+ ...+

an10n

+ .... Essa correspondnciapermite analisar e interpretar diversas propriedades do corpo ordenado completo dos reaisde forma clara e concisa. At mesmo em questes delicadas como, por exemplo, a questoda no enumerabilidade do conjunto dos nmeros reais.

Exemplo 2.8 (A representao decimal da no enumerabilidade dos reais) Do Teo-rema 2.4, segue-se que o conjunto dos nmeros reais no enumervel. De fato, usando

o mtodo da diagonal de Cantor, basta levar em considerao que o intervalo [0,1)

no enumervel. Suponha, por absurdo, que o intervalo [0,1) seja enumervel. Ento,

usando as expresses decimais pertencentes a D pode-se enumerar todos os nmerosreais de [0,1) assim:

0,a11a12a13a14a15...0,a21a22a23a24a25...

0,a31a32a33a34a35... ....

0,an1an2an3an4an5......

Construindo o nmero real 0,b1b2b3b4b5... com b j 6= 9 e b j 6= a j j, cujo j N, observa-seque esse nmero no figura a lista acima, logo chega-se a uma contradio. Portanto,

[0,1) no enumervel, consequentemente o conjunto R tambm no.

Proposio 2.4 O decimal finito um nmero racional que pode ser representado poruma frao decimal.

Prova. Seja = 0,a1a2a3....an a expresso decimal finita, ento da funo bijetivaf : D[0,1) dada por f (0,a1a2....an...) = a110 +

a2102

+ ...+an

10n+ ... tem-se que:

f () =a110

+a2

102+ ...+

an10n

f () = a1.10n1+a2.10n2+ ...+an.100

10n f () = a1a2...an

10n.


Como f uma bijeo, pode-se adotar que: =a1a2...an

10n, ou seja, =0,a1a2....an pode

ser representado por uma frao decimal cuja potncia do denominador elevado a n(nmeros de algarismos aps a vrgula).

2.3.3 Dzimas peridicas simples e compostas.

Definio 2.11 Uma dzima peridica simples uma expresso decimal do tipo=0,a1a2....apa1a2....ap... = 0, a1a2....ap na qual, os p primeiros dgitos imediatamentedepois da vrgula formam um bloco de termos (chamado perodo) e a partir da a ex-

presso decimal constituda da repetio desse bloco.

Definio 2.12 Uma dzima peridica composta uma expresso decimal do tipo=0,b1b2...bq a1a2....apa1a2....ap...= 0,b1b2...bqa1a2....ap que depois da vrgula tem umaparte que no se repete seguida por uma parte peridica.

Teorema 2.7 (Transformao de dzimas peridicas em fraes geratriz) A dzimaperidica = 0,b1b2...bqa1a2....ap de perodo a1....ap um nmero racional que pode ser

escrito na forma

b1...bqa1...apb1...bq9...90...0

,

cujo denominador um nmero com p noves e q zeros.

Prova. Seja = 0,b1b2...bqa1a2....apa1a2....ap... ento:

=b110

+b2

102+ ...+

bq10q

+a1

10q+1+

a210q+2

+ ...+ap

10q+p+ ...

= b1b2...bq10q

+a1a2...aq

10q+p+

a1a2...aq10q+2p

+a1a2...aq10q+3p

+ ...

= b1b2...bq10q

+a1a2...aq

10q ( 1

10p+

1102p

+1

103p+ ...)

Como 110p +1

102p +1

103p + ... se trata da soma dos termos de uma P.G tem-se que1

10p+

1102p

+1

103p+ ...=

110p1, assim:

=b1b2...bq

10q+

a1a2...aq10q

( 110p1)

= b1...bqa1...apb1...bq10q.(10p1)

= b1...bqa1...apb1...bq9...90...0

,


cujo denominador 99..900...0 = 10q.(10p1) um nmero com p noves e q zeros.

Exemplo 2.9 Seja o decimal = 0,23555..., ento do teorema acima decorre que a sua

representao em frao dada por: =23523

900=

212900

.

Corolrio 2.1 Seja = 0,b1...bnb1...bn... uma dzima peridica simples, ento igual

ab1...bn9...9

, onde o denominador um nmero constitudo de n noves.

Prova. Considere a dzima peridica simples = 0,b1...bnb1...bn..., decorre do Teorema

2.7 que : =b1b2...bn0

99...9 = b1b2...bn

99...9, cujo o denominador um nmero consti-

tudo de n algarismos iguais a 9.

Exemplo 2.10 Seja o decimal = 0,235235235..., ento segue-se do Corolrio 2.1 tem-

se que a sua representao em frao racional dada por: =235999

.

Corolrio 2.2 Toda dzima peridica simples igual a uma frao irredutvel cujodenominador no divisvel nem por 2 nem por 5.

Prova. Seja =0,a1a2....apa1a2....ap..., uma dzima peridica simples de perodo

a1a2....ap, assim decorre do Teorema 2.7 que: =a1a2....ap0

10p1 =a1a2....ap

99...9, cujo

o denominador 10p1 = 99...9 um nmero constitudo de p algarismos iguais a nove,logo no divisvel por 2 e nem por 5. Portanto, o denominador na forma irredutvel dea1a2....ap

99...9tambm no divisvel por 2 e nem por 5.

Corolrio 2.3 Uma dzima peridica composta com m termos no-peridicos igual auma frao irredutvel cujo denominador divisvel por 2m ou por 5m , mas no porpotncias de 2 ou 5 cujo expoentes sejam maiores do que m.

Prova. Seja = =0,b1b2...bm a1a2....apa1a2....ap... essa dzima, ento decorre do Teo-rema 2.7 que:

=b1b2...bma1a2....apb1b2...bm

(10p1).10m . (2-1)

Como 10p 1 = 99...9 constitudo de apenas p algarismos iguais a 9, tem-se quem.d.c(10p 1,10) = 1. J 10m = 2m.5m, ento o denominador (10p 1).10m da frao(2-1) divisvel por 2m e 5m, mas no por potncias 2s ou 5s, com s > m. Assim a formairredutvel da frao (2-1) tambm no divisvel por potncias de 2 ou 5 cujo expoentessejam maiores do que m.

Concluso

Conceitos e propriedades importantes da teoria de lgebra e de tpicos sobreconjuntos foram utilizados neste trabalho para definir os nmeros reais como um corpoordenado completo. Este contexto, traduz a inteno de oferecer uma alternativa abor-dagem de nmeros reais como uma simples extenso dos nmeros racionais. Essa alter-nativa a de que os nmeros reais formam um corpo ordenado completo, visto que a ideiados nmeros reais, como extenso dos racionais, se faz importante para a percepo daexistncia do corpo dos reais. No entanto, ressalta-se que todas propriedades dos nmerosreais decorrem do fato de formarem um corpo ordenado e completo.

A compreenso da abordagem sobre os nmeros reais como corpo ordenadocompleto, apesar de minimizar o problema da circularidade deste tema, uma questodelicada, pois para tal, se faz necessrio o uso de estrutura axiomtica de certa formarigorosa, ao se considerar, por exemplo, um estudante a nvel do ensino bsico. Almdo que, em geral, encontra-se dificuldades em construir situaes concretas e cotidianasque realmente justifiquem a necessidade de expandir o estudo do conjunto dos nmerosracionais para o estudo dos nmeros reais. Para tentar minimizar essas dificuldadespode-se recorrer a prpria histria da evoluo do conceito dos reais, da qual pode seridentificada ferramentas poderosas no aspecto de motivar e facilitar o estudo sobre osnmeros reais.

Os problemas geomtricos que os gregos j enfrentavam no perodo de 500 a350 a.C. que envolviam medidas comensurveis e incomensurveis so exemplos disso,pois essas ideias permitem sistematizar uma correspondncia entre os nmeros reais e areta, contribuindo assim para uma melhor compreenso e interpretao dos axiomas quefundamentam a base conceitual do corpo dos reais.

Atravs deste trabalho espera-se contribuir tanto com aqueles que se encontramnuma formao em nvel bsico como aqueles que aspiram a uma formao acadmicasuperior, baseado em conceitos matemticos provindos, inicialmente, da lgebra, daanlise e da matemtica em geral. Em especfico no caso do professor do ensino bsicoespera-se que, apesar de no ser aconselhado aplicar em sua totalidade no ensino bsico osconceitos aqui discutidos, se tenha fornecido uma base conceitual que permita dar opespara que o mesmo possa construir estratgias pedaggicas de ensino referente a esse tema,

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e que tais se demonstrem eficientes e significativas para o amadurecimento matemticode seus alunos.

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Elementos Pr-TextuaisCapaPublicaoFolha de RostoDireitos AutoraisDedicatriaAgradecimentosEpgrafeResumoAbstract

SumrioLista de FigurasIntroduo1 Fundamentos Bsicos sobre Conjuntos e lgebra Abstrata1.1 Fundamentos Bsicos sobre Conjuntos1.1.1 Noes bsicas de Conjuntos1.1.2 Operaes entre Conjuntos1.1.3 Noes bsicas de Funes1.1.4 Conjuntos Finitos, Infinitos e EnumerveisConjuntos FinitosConjuntos InfinitosConjuntos Enumerveis

1.2 Fundamentos Bsicos de lgebra Abstrata1.2.1 Grupos1.2.2 Anis e Anis de IntegridadeAnis e SubanisAnis Comutativos e Anis com UnidadeAnis de Integridade

1.2.3 CorpoCorpoCorpo OrdenadoCorpo Ordenado Completo

2 Nmeros Reais2.1 Nmeros Reais como um corpo ordenado e completo2.1.1 O corpo dos reais 2.1.2 O corpo ordenado dos reais2.1.3 Completeza dos reais

2.2 Representao na reta dos nmeros reais2.2.1 Nmeros inteiros sobre a reta2.2.2 Nmeros racionais sobre a reta2.2.3 Nmeros no racionais na reta2.2.4 Nmeros reais na reta

2.3 Representao decimal dos nmeros reais2.3.1 Expresses decimais e aproximaes de nmeros reais2.3.2 Uma funo sobrejetiva e quase injetiva.2.3.3 Dzimas peridicas simples e compostas.

ConclusoReferncias Bibliogrficas

Documents

Analise Real Jadson Da Silva Souza