Anteprima Estratta dall' Appunto di Analisi3 Universit : Politecnico di Torino Facolt : Ingegneria Indice di questo documentoL' AppuntoLe Domande d'esame ABCtribe.com e' un sito di knowledge sharing per facilitare lo scambio di materiali ed informazioni per lo studio e laformazione.Centinaia di migliaia di studenti usano ABCtribe quotidianamente per scambiare materiali, consigli eopportunit Pi gli utenti ne diffondono l'utilizzo maggiore e' il vantaggio che ne si pu trarre : 1. Migliora i tuoi voti ed il tempo di studio gestendo tutti i materiali e le risorse condivise2. Costruisci un networkche ti aiuti nei tuoi studi e nella tua professione3. Ottimizza con il tuo libretto elettronico il percorso di studi facendo in anticipo le scelte migliori per ogni esame4. 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Marco Codegoneappunti di Capuzzo Alessandro v1.3Metodimatematiciperl'ingegneria.ABCtribe.comABCtribe.com - [Pagina 3]Note dell'autore:Sicuramente non sostituiscono un libro di testo, probabilmente non sono un lavoro sensazionale, senza dubbio sono molti gli errori, di vario genere;ma questi appunti, presi guardando le videolezioni di Marco Codegone(professore di analisimatematica presso il Politecnico di Torino)sono il frutto di settimane di lavoro ea me personalmente sono stati molto utili. Ho deciso quindi di renderli disponibili in rete per chiunque pensasse di ricavarne un qualche vantaggio,poich penso che la condivisione sia il bene che salver il mondo eperch ci avvenga, bisogna uscire dalla logica del guadagno a tutti i costi,convincendosi che contribuire disinteressatamente alla ricchezza culturale del proprio paese non tempo perso, n mancato guadagno, ma il bene pi grande che si possa fare a s stessi,...e ai propri figli.Capuzzo Alessandro... buon lavoro.ABCtribe.comABCtribe.com - [Pagina 4]Indice generaleNumeri complessi..........................................................................................1Forma cartesiana..............................................................................................................................1Complesso coniugato.......................................................................................................................3Forma trigonometrica.......................................................................................................................4Formula di Eulero............................................................................................................................6Esempi.............................................................................................................................................6Propriet del modulo e dell'argomento............................................................................................9Seni e coseni complessi.................................................................................................................11Seni e coseni iperbolici..................................................................................................................13Logaritmo complesso.....................................................................................................................14Esponenziale complesso................................................................................................................15Funzioni a valori complessi.........................................................................17Funzioni reali di variabile reale.....................................................................................................17Funzioni complesse di variabile reale............................................................................................18Funzioni periodiche.....................................................................................19Analisi armonica..........................................................................................21Armoniche elementari....................................................................................................................21Energia di un'armonica elementare................................................................................................24Polinomi di Fourier......................................................................................25Energia di un polinomio di Fourier................................................................................................29Polinomio di Fourier di x(t)...........................................................................................................30Serie di Fourier............................................................................................35Funzioni continue a tratti...............................................................................................................35Norma e prodotto scalare...............................................................................................................36Traslazioni.....................................................................................................................................37Riscalamento (dilatazione, omotetia)............................................................................................37Convergenza puntuale e convergenza uniforme............................................................................38Funzioni di variabile complessa..................................................................43Funzionireali di variabile complessa...........................................................................................43Funzioni complesse di variabile complessa...................................................................................44Integrali di linea in campo complesso...........................................................................................47Funzioni analitiche......................................................................................49Formule integrali di Cauchy..........................................................................................................531 Formula integrale di Cauchy.....................................................................................................562 Formula integrale di Cauchy.....................................................................................................57Esistenza delle derivate di ogni ordine di f(z)...............................................................................57Sviluppi in serie...........................................................................................59Sviluppi in serie di Taylor..............................................................................................................59Giustificazione della formula di Eulero.........................................................................................62Sviluppi in serie di Laurent............................................................................................................63Singolarit ...................................................................................................67Singolarit isolate..........................................................................................................................68Poli di 1 ordine.............................................................................................................................69Poli di ordine qualunque................................................................................................................72Singolarit essenziali.....................................................................................................................75Punto all'infinito di C.....................................................................................................................77Singolarit non uniformi................................................................................................................80Singolarit non isolate...................................................................................................................80ABCtribe.comABCtribe.com - [Pagina 5]Tabelle riassuntive.........................................................................................................................82Osservazioni finali.........................................................................................................................83Residui.........................................................................................................85Calcolo pratico dei residui in poli del 1 ordine............................................................................88Calcolo pratico dei residui in poli di ordine N>=1........................................................................90Integrali impropri col metodo dei residui......................................................................................92Lemma di Jordan (per cammini paralleli all'asse reale).................................................................95Lemma di Jordan (per cammini paralleli all'asse immaginario)....................................................96Decomposizione in fratti semplici ............................................................101Poli semplici................................................................................................................................101Poli multipli.................................................................................................................................106Poli complessi coniugati..............................................................................................................109Distribuzioni..............................................................................................115Funzionali....................................................................................................................................115Limiti (nel senso delle distribuzioni)...........................................................................................115Derivate distribuzionali................................................................................................................120Modelli (ingresso - uscita)...........................................................................................................125Prodotto di convoluzione.............................................................................................................125Propriet del prodotto di convoluzione........................................................................................130Trasformata di Fourier...............................................................................131Trasformata della porta................................................................................................................131Trasformata della campana razionale..........................................................................................132Trasformata della delta di Dirac..................................................................................................133Trasformata della costante 1........................................................................................................134Antitrasformata di Fourier...........................................................................................................135Propriet della trasformata di Fourier..........................................................................................136Altre trasformate..........................................................................................................................145Trasformata del gradino unitario.................................................................................................146Equazioni nel dominio delle distribuzioni...................................................................................147Esempi di trasformate di Fourier.................................................................................................150Esercizi introduttivi alle distribuzioni limitate e a crescita lenta.................................................156Distribuzioni limitate...................................................................................................................159Distribuzioni a crescita lenta........................................................................................................160Treno di impulsi...........................................................................................................................161Trasformata di Fourier di distribuzioni periodiche......................................................................165Esempi di trasformate di Fourier di segnali periodici..................................................................168Trasformata di Laplace..............................................................................175Trasformata di Laplace bilatera...................................................................................................175Propriet della trasformata di Laplace.........................................................................................180Esercizi su trasformate fondamentali...........................................................................................184Trasformata di Laplace unilatera.................................................................................................191Antitrasformata di Laplace..........................................................................................................192Esercizi di antitrasformazione.....................................................................................................193Trasformata di Laplace per segnali periodici per t>=0................................................................197Considerazioni pratiche...............................................................................................................200Teorema del valor finale..............................................................................................................201Teorema del valore iniziale..........................................................................................................201Uso della trasformata di Laplace nei modelli differenziali..........................................................202Applicazione ad un modello concreto.........................................................................................203Separazione dei termini di transitorio e di regime.......................................................................206ABCtribe.comABCtribe.com - [Pagina 6]z=x+ jyxy0Appunti di Capuzzo Alessandro - Numeri complessiNumeri complessiI numeri complessi si possono presentare in tre forme:Forma cartesianaForma trigonometricaForma esponenzialeForma cartesianaIl numero complesso in forma cartesiana si scrive nel seguente modo:z=x+jyconj si intende l'unit immaginaria, ovvero quel numero complesso che verifica la seguenteuguaglianza:j2=-1Nei corsi di matematica normalmente l'unit immaginaria simboleggiata dalla letterai , mentrenei corsi di applicazioneall'elettronicasi utilizzalalettera j , perchla i riservataallacorrente. Noi ci uniformiamoaquest'ultimaindicazioneinquantoil nostrocorsohaunaforteinclinazione alle applicazioni elettroniche.Il vantaggio della forma cartesiana che si possono leggere immediatamente la parte reale e la parteimmaginaria del numero complesso:Re z=xIm z=yLa forma cartesiana presenta invece qualche difficolt quando se ne vogliono cercare il modulo el'argomento. Rappresentandoinunpianocartesianoil numerocomplesso, siutilizzal'assedelleascisse per la parte reale e l'asse delle ordinate per la parte immaginaria e la loro composizioneindividua un punto nel piano che lo rappresenta.

Ilmodulodi unnumerocomplessorappresentaquellacheladistanzadel puntodel pianoxydall'origine, dunque:z=.x2+y2.Invecel'argomentodi unnumerocomplessol'angolo 0 formatodallasemirettachepartedall'asse delle x e ruota fino ad incontrare ilnumerozE' chiaro che se facciamo una rotazione in sensoantiorario indichiamo l'angolo positivamente, se la facciamo in senso orario, lo indichiamonegativamente. Comefacciamoadindividuareil valoredi 0 ?Seguardiamoinfiguraabbiamoil triangoloForma cartesiana-Pag. 1ABCtribe.comABCtribe.com - [Pagina 7]-n2n20+n0-n2Appunti di Capuzzo Alessandro - Numeri complessirettangolo Oxz. In questo triangolo0 l'angolo adiacente al cateto Ox ed opposto al cateto xz,quindi si ha, grazie alla trigonometria:tg 0= yx0=arctg(yx)Bisogna per fare una certa attenzione nel calcolodi 0 , perch la funzione tangente non invertibile in tutto il suo dominio: una funzioneperiodicadiperiodo n edessendolafunzionearcotangente l'inversa della funzione tangenteesclusivamente nell'intervallo|-(n2),(n2),la formula cos com' vale solo se l'angolo0 compreso in tale intervallo, ovvero: quandolaparterealedel numerocomplessopositiva,la formula per ricavarlo quella scrittasopra. Se invece l'angolo si trova fuori da questointervallo, ovvero: quandolaparterealedel numerocomplessonegativa, bisogna aggiungere o toglieren (vedifigura : la freccia indica lo spostamento necessarioper rientrare nel dominio dell'arcotangentepartendo con 0 fuori del dominiodell'arcotangente, questo spostamento vale!n ).Concludendo:sex=Re z>0 = arg z=0=arctg(yx)sex=Re z0 = arg z=0=arctg(yx)!n-Pag. 2ABCtribe.comABCtribe.com - [Pagina 8]z=x+jyxy0z*=x- jy-0j0Appunti di Capuzzo Alessandro - Numeri complessiComplesso coniugatoIlsimbolo z*rappresenta ilcomplesso coniugatodi z e si ottiene cambiandoil segno dellaparte immaginaria :sez=x+jy , z*=x-jyDal punto di vista geometrico ricavare ilcomplesso coniugato corrisponde a fare unasimmetria rispetto all'asse reale.La forma cartesiana permette di fare agevolmentesomme e sottrazioni, ma diventa un po' piproblematica tutte le volte che dobbiamo fareprodotti o potenze. Infatti si vede subito che nellaforma cartesiana il numero complesso corrispondead un binomio, con tutte le conseguenze del caso:un prodotto porta a 4 termini, una potenza ancorapeggio.Vediamo un esempio:z=-4.3-4 jdunque:Re z=-4.3Im z=-4E' sempre molto importante valutare subito modulo ed argomento:z=.(-4.3)2+(-4)2=8(osserviamo che il modulo sempre positivo)Ci vuol dire che la distanza dall'origine diz 8. E'moltoimportantedacomprendere: comedirecheilnostro numero complesso sta su di una circonferenza dicentrol'origine e raggio8(vedi figura). Calcoliamoadesso l'argomento: dobbiamo subito fare unariflessione sul segno della parte reale. Nel nostro caso negativa per cui dobbiamo aggiungerenarg z=arctg(-4-4.3)+n=arctg(1.3)+n=n6=7n6Complesso coniugato-Pag. 3ABCtribe.comABCtribe.com - [Pagina 9]j0Appunti di Capuzzo Alessandro - Numeri complessiForma trigonometricaIl numero complesso si scrive nella forma:z=j(cos 0+ j sen0)Quando il numero complesso espresso in forma trigonometrica leggiamo subito il valore delmodulo ( j ) e dell'argomento ( 0 ). E' invece necessario qualche calcolo per le parti reale ed immaginaria:Re z=jcos 0 Im z=jsen0Il complesso coniugato diz si ottiene cambiando il segno alla parte immaginaria oppurecambiando il segno all'argomento:z*=j(cos 0- j sen0)=j(cos(-0)+ j sen(-0))La validit del secondo membro facilmente verificabile in quanto il coseno una funzione pari,dunquecos 0=cos(-0) ed il seno una funzione dispari, dunque-sen0=sen(-0) . Laformatrigonometricaevidenziail fattocheil complessoconiugatosi ottienesemplicementecambiando segno all'angolo 0 (infatti in questo modo si ottiene la simmetria del numerocomplesso rispetto all'asse delle x).Vediamo un esempio.z=5(cos(4n3)+j sen(4n3))Perrappresentarequestonumeronelpianocartesianoosserviamocheilnumerostarsudiunacirconferenza di raggio5edil suomoduloformer unangolodi4n3conl'asse delle x.Calcoliamo le parti reale ed immaginariaRe=5cos(4n3)=5(-12)=-52Im z=5sin(4n3)=5(-.32 )=-5.32Il numero complesso pu essere cos espresso in forma cartesiana: z=-52-5.32 ed il coniugato z*=-52+5.32=5(cos(-4n3)+j sen(-4n3))Forma trigonometrica-Pag. 4ABCtribe.comABCtribe.com - [Pagina 10]zzzCirconferenza unitariaAppunti di Capuzzo Alessandro - Numeri complessiVogliamo fare adesso delle considerazioni che ci introducano alla forma esponenziale. La seguenteuguaglianza sicuramente ovvia:z=z zzGeometricamente questo vuol dire che ogninumero complesso pu essere scritto come ilprodotto di un numero realez per un numerocomplesso che sta sulla circonferenza unitariazz.Abbiamofatto questaosservazione perchper ora vogliamooccuparci esclusivamente dinumericomplessi che hanno modulo 1.Prendiamo i seguenti numeri complessi e scriviamoli in forma trigonometrica:z1=1 = z1=cos 01+ j sen01z2=1 = z2=cos 02+ j sen02e moltiplichiamoli tra loro:z1z2=cos 01cos 02-sen01sen02+ j (cos 01sen02+sen01cos 02)ricordando le formule di addizione e sottrazionez1z2=cos 01cos 02-sen01sen02_cos(01+02)+j ( cos 01sen02+sen01cos 02_sen(01+02))risultaz1z2=cos(01+02)+ j ( sen(01+02))Questounrisultatoestremamenteinteressanteperchillustracheper fareil prodottodi duenumeri complessi ci siamo ricondotti a fare una somma tra gli argomenti. Vi un'analogia con laforma esponenziale:eaeb=ea+b- il prodotto degli esponenziali si traduce in una somma degli esponenti; il prodotto dei numeri complessi si traduce in una somma degli argomenti.Questo ci porta a riflettere sulla possibilit che potrebbe esserci una forma di rappresentazione deinumeri complessi come esponenziale. Ineffetti cos, ma certonon pu essere una formaesponenziale di tipo reale, perch se si volesse rappresentare ad esempio il numero complessoj :j=cos(n2)+j sen(n2), chiaro che una forma esponenziale del tipo en2 sarebbe un numeroForma trigonometrica-Pag. 5ABCtribe.comABCtribe.com - [Pagina 11]Appunti di Capuzzo Alessandro - Numeri complessireale, dunque non andrebbe bene. Bisogner in qualche misura introdurre un oggetto nuovo.Laformacorrettalaseguenteinquantol'esponentenonunnumerorealemaunnumeroimmaginario:z1=ej 01z2=ej 02Questa rappresentazione traduce molto bene anche il prodotto, infatti volendo fare il prodotto di duenumeri complessi dobbiamo fare la somma degli argomenti:z1z2=ej 01ej 02=ej (01+02)Bisognerebbe per essere sicuri che questo tipo di notazione in qualche misura coerente con tuttele propriet degli esponenziali. Piavanti nel corso, quando avremogli strumenti necessari,dimostreremo che cos. Siamo dunque giunti alla Formula di Euleroej 0=cos 0+ j sen0Questa una formula fondamentale nel nostro cammino.Familiarizziamo un po' con essa effettuando una divisione tra due numeri complessi:z1z2=cos(01-02)+ j sin(01-02)= ej 01ej 02=ej (01-02)Utilizzando la formula di Eulero possiamo scrivere un numero complesso nel seguente modo:z=jej 0Laformaesponenzialeunaformaincui si leggonoagevolmentemoduloeargomentoedestremamente pratica per fare le operazioni di prodotto, di potenza, di radice n-sima.Per esempio l'elevamento a potenza diviene il seguente:zn=(jej 0)n=jn(ej 0)n=jnej n0EsempiVediamo un esempio pratico.Prendiamo z=3.3+3 je facciamone la potenza ottava.Diciamo subito che se dovessimo eseguire questo calcolo in forma cartesiana, ci ritroveremmo adover fare il prodottodi un binomio con due addendi per s stesso8 volte, edil calcolodiventerebbe una cosa estremamente faticosa. Se invece scriviamo il numero complesso in formaesponenziale questo diventa molto semplice:z=.(3.3)2+32=.36=6Esempi-Pag. 6ABCtribe.comABCtribe.com - [Pagina 12]zz8Appunti di Capuzzo Alessandro - Numeri complessiarg z=arctg(33.3)=n6osserviamo chea>0 , quindi non si aggiungenper cui la potenza z8=(6ej n6)8=68ej 8n6E' molto importante verificare cosa succedegraficamente, facendo una rappresentazionegeometrica; fare l'ottava potenza significatoelevare il modulo all'ottava potenza; ed avere fattouna rotazione, moltiplicando l'argomento per 8.Vediamo un altro esempio.Ciponiamolaquestionedifarelaradicen-simadi z .Ricordandochefarelaradicen-simasignifica fare un elevamento a potenza frazionaria, possiamo scrivere:n.z=n.jej 0=( jej 0)1nSi tratta anche in questo caso di sfruttare le propriet dell'esponenziale, tenendo per conto dellaperiodicitdi 0 cherimanepur sempreunangolodellacirconferenzagoniometrica, per cuirisulta:n.z=n.jej 0=(jej 0)1n=(jej 0+2k n j)1nAggiungereunmultiplodi 2n a 0 ci faottenerelostessonumerocomplesso. Dobbiamoquindi tenerne conto e sviluppare la radice come segue:n.z=n.jej 0=( jej 0)1n=(jej 0+2k n j)1n=j1nej 0n+2nnkjconk -ZOsserviamo adesso che se se noi facciamo variare k non otteniamo infinite radici distinte, perchk=0 porta allo stesso angolo a cui porta k=n , per cui sar sufficiente far variare knell'insiemek -0,1,2 , ... , n-1Traduciamo in un esempio numerico. Calcolare4.-2-2.3 jIl primo problema che affrontiamo scrivere il numero nella forma esponenziale:-2-2.3=.(-2)2+(-2.3)2=.16=4arg z=arctg(-2.32)+n=n3+n=4n3(in questo casoao per cui si aggiungen )possiamo scrivere:Esempi-Pag. 7ABCtribe.comABCtribe.com - [Pagina 13]Appunti di Capuzzo Alessandro - Numeri complessi4.-2-2.3 j=4.4ej4n3=4.4ej n3+2n4kjRappresentiamonel pianocomplessole radiciquartedi z . Osserviamochehannotuttelostesso modulo:4.4=2.2. Quello che cambia l'angolo perch dobbiamo variare il parametro k.Osserviamo che al variare di k si ottengonosempre gli stessi 4punti, quindi per ottenereradici distinte si prende, come gi detto, solok=0,1,2,3I punti sono i vertici di un poligono regolare cheha tanti lati quanto l'indice della radice (inquesto caso abbiamo un quadrato regolare inscritto nella circonferenza di raggio .2 .Vediamo un altro esempio.5.-1Scriviamo il numero in forma esponenziale (quando il numero cos semplice pi facile ricavarsimodulo e argomento graficamente che far calcoli)Il modulo 1, l'anomalia o argomento nper cui5.-1=5.ej n=(ej n)15=ej n5+2n5kjLaprimaradicelaotteniamomettendo k=0 , ilmodulo sempre 1.Aggiungendomultipli di2n5otteniamogli altripunti(checorrispondonoaiverticidiunpentagonoregolare iscritto nella circonferenza unitaria).Vediamo un altro esempio.Esempi-Pag. 8

z0 z1

z3 z2

0-1ABCtribe.comABCtribe.com - [Pagina 14]Appunti di Capuzzo Alessandro - Numeri complessi6.-1=6.ej n=(ej n)16=ej n6 +2n6kjIn questo caso le altre radici si ottengonoattraverso una rotazione di 2n6Questo tipo di esercizi molto utile per cui siconsiglia lo studente di eseguire per s i seguenti:.13.14.15.16.13.-14.-13. j4. j5. j6. j3.-j4.-j5.-jE' chiaro che bisogna ricordarsi che 1=ej 0, j=ej n2Propriet del modulo e dell'argomentoz1 z2=z1z2Scriviamo i numeri complessi nella loro forma esponenzialez1=j1ej 01z2=j2ej 02=z1z2=j1ej 01j2ej 02=j1j2ej (01+02)Risulta evidente dunque l'identitz1 z2=z1z2 = j1j2=j1j2arg ( z1z2)=arg z1+arg z2z1z2=z1z2arg(z1z2)=arg z1-arg z2Le dimostrazioni sono tutte immediate scrivendo il numero complesso sotto forma esponenziale.Vediamo un esempio concreto.Propriet del modulo e dell'argomento-Pag. 9

0-1ABCtribe.comABCtribe.com - [Pagina 15]Appunti di Capuzzo Alessandro - Numeri complessiz=2+2 j1+.3 j ej n4Supponiamo di essere interessati, come spesso capita, a vedere subito il modulo e l'argomento diquestonumerocomplesso. Questocalcolodivienesemplicesenoi utilizziamoleproprietcheabbiamo appena mostrato:z= 2+2 j1+.3 j

ejn4=.8.41=.2arg z=arg(2+2 j )-arg(1+.3 j )+arg(ejn4)=arctg 1-arctg .3+n4=n4-n3+n4=n6Osservazionez ej ocorrispondeadunarotazione, inquantoilmodulodiznoncambia, mentrel'argomentoviene moltiplicato pero .Per esempiozj porta ad una rotazione di n2diz .Questo evidenzia una caratteristica dij , proviamo a svilupparne le potenze:j0=1j1= jj2=-1j3=-jj4=1............Si pu vedere dal grafico che effettivamente ogni prodotto per j corrisponde ad una rotazione din2, percui calcolarelepotenzedi j diventaeffettivamentesemplice(si dividel'indicedellapotenza per 4 e si prende il resto della divisione ...)Propriet del modulo e dell'argomento-Pag. 10 j-1 1 -jABCtribe.comABCtribe.com - [Pagina 16]Appunti di Capuzzo Alessandro - Numeri complessiSeni e coseni complessiConsideriamoez=ex+j y=exej ye ricordando la formula di Euleroexej y=ex(cos y+j sen y)abbiamo cos potuto scrivere e elevato ad un qualunque numero complesso.Possiamo subito osservare cheez=exarg ez=yAbbiamo appena trattato una forma un pochino pi completa della formula di Eulero:ez=ex(cos y+j sen y)Facciamo le seguenti considerazioni, abbiamoej o=cos o+j seno o-Riniziamosubitocol dire che grazie alla formula di Eulero possiamo dire che l'esponenzialecomplesso pu essere visto come una combinazione lineare di coseni e seni. Cerchiamo il complesso coniugatoe-j o=cos o-j senoe adesso sommiamo membro a membro le due uguaglianze, ottenendoej o+e-j o=2cos o = cos o=ej o+e-j o2osserviamo che il coseno pu essere visto come una combinazione lineare di esponenzialicomplessi, e questo un fatto molto importante. Facciamo adesso la sottrazione membro a membroej o-e-j o=2 j sin o = seno=ej o-e-j o2josserviamocheancheilsenopuessereespressocomecombinazionelinearedi 2esponenzialicomplessi. Mettere come argomento di seno e coseno un numero complesso di difficileinterpretazione (non sappiamo dire cosa significa), ma se noi sfruttiamo le uguaglianze che ci siamoappena ricavati, possibile farlo (perch un esponenziale complesso ha significato, come gi vistoprecedentemente), dunque possiamo procedere con le seguenti definizioni:cos z=ej z+e-j z2definizione di coseno complessosen z=ej z-e-j z2 jdefinizione di seno complessoVediamo un esempio. AbbiamoSeni e coseni complessi-Pag. 11ABCtribe.comABCtribe.com - [Pagina 17] Questo documento e' un frammento dell'intero appunto utile comeanteprima. Se desideri l'appunto completo clicca questo link.ABCtribe.com - [Pagina 18]Preparati con le domande di ABCtribe su Analisi 3. * Carica Appunti,Domande,Suggerimenti su : Analisi 3 e guadagna punti >> * Lezioni Private per Analisi 3 >> Avvertenze:La maggior parte del materiale di ABCtribe.com offerto/prodotto direttamente dagli studenti (appunti, riassunti,dispense, esercitazioni, domande ecc.) ed quindi da intendersi ad integrazione dei tradizionali metodi di studio enon vuole sostituire o prevaricare le indicazioni istituzionali fornite dai docenti. Il presente file pu essere utilizzato inbase alle tue necessit ma non deve essere modificato in alcuna sua parte, conservando in particolare tutti iriferimenti allautore ed a ABCtribe.com; non potr essere in alcun modo pubblicato tramite alcun mezzo, senzadiverso accordo scritto con lautore ed i responsabili del progetto ABCtribe.com. Per eventuali informazioni, dubbi ocontroversie contattate la redazione allindirizzo help@ABCtribe.com.ABCtribe.com - [Pagina 19]